Смешанный метод конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВДШИЕ.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА I. СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДУЕМОЙ ПРОБЛЕМЫ.

I.I. Метод конечных элементов. Решение задач теории пластин и оболочек.

Х.2. Анализ СМКЭ для бигармонической задачи

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНАЯ

И СМЕШНАЯ. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ

2.1. Постановка задачи. Существование и единственность решения

2.2. Смешанная вариационная формулировка

2.3. Некоторые абстрактные результаты о существовании и единственности седловой точки

2.4. Расширенные задачи о седловой точке

ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНАЯ ЗАДАЧА. АБСТРАКТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

3.1. Существование и единственность решения дискретной задачи

3.2. Абстрактные оценки погрешности для первой компоненты решения

3.3. Абстрактные оценки погрешности для второй компоненты решения

ГЛАВА 4. СМЕШАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ.

4.1. Схема Германа-Мийоси

4.2. Оценки скорости сходимости решения схемы Германа-Мийоси

4.3. Схема Германа-Джонс она.

4.4. Оценки скорости сходимости решения схемы Германа-Джонсона

4.5. Сходимость в случае меньшей гладкости решения

При проектирований многих народно-хозяйственных объектов, инженерных сооружений, летательных аппаратов и в судостроении необходимым этапом является.расчет напряженно-деформированного состояния обол очечных конструкций. Большое распространение в задачах такого рода получил метод конечных элементов, обладающий большой универсальностью, удачно сочетающий в себе положительные качества вариационных и разностных методов и.позволяющий достаточно точно описывать геометрические и физические параметры конструкций. Метод оказался наиболее эффективным при решении более сложных задач, как, например, нелинейные задачи, задачи об устойчивости и колебаниях тонкостенных конструкций. Метод позволяет проводить расчет напряженно-деформированного состояния не только отдельных элементов, но и конструкций в целом, учитывая взаимодействие отдельных элементов на линиях сопряжения, тонкостенных элементов со стержневыми или трехмерными элементами, а современные возможности ЭВМ позволяют создавать пакеты программ как узкого, так и широкого назначения для расчета конструкций, обладающие простотой в эксплуатации и широкими сервисными возможностями.

Большую роль в теории и практике метода конечных элементов играет проблема разработки и математического обоснования эффективных и экономичных схем, дающих удовлетворительную точность решения при малых затратах ресурсов ЭВМ. Особое значение эта задача приобретает при решении сложных задач механики твердого деформируемого тела, которые описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, какими, например, являются задачи расчета напряженно-деформированного состояния оболочек. Создание и использование эффективных и экономичных алгоритмов метода является необходимым условием при разработке программ, когда расчет напряженно-деформированного состояния является лишь промежуточным и многократно выполняемым этапом, а также в разработке пакетов программ, расчитанных на мини-ЭВМ, которые становятся основным средством расчетов в инженерной практике.

Решение задач теории пластин и оболочек при помощи метода конечных элементов связано с трудностями, возникающими за счет присутствия производных высокого порядка в уравнениях, описывающих эти задачи. Имеется множество схем метода конечных элементов для решения таких задач, однако большинство их приводит к разрешающим системам линейных алгебраических уравнений большой размерности и требует больших ресурсов ЭВМ как при формировании матрицы системы, так и при ее решении. В связи с этим, в последнее время для решения задач с уравнениями четвертого порядка широкое распространение получили смешанные и гибридные методы, которые основаны на смешанных вариационных принципах типа принципа Рейсснера в теории упругости, заключающихся в нахождении стационарной точки некоторого смешанного функционала, соответствующего исходной краевой задаче. В таких вариационных формулировках понижается порядок производных от искомой функции за счет того, что сама функция и ее некоторые производные считаются независимыми переменными. Это позволяет использовать простые конечные элементы для аппроксимации неизвестных, так что, хотя в задаче и добавляются новые неизвестные, общее количество неизвестных в разрешающей системе уменьшается. Кроме того, в результате решения разрешающей системы уравнений наряду с неизвестной функцией (в задачах теории пластин и оболочек это, обычно, перемещения) получаются и значения некоторых ее производных. Это очень важно для приложений, так как определение напряжений, являющихся линейными комбинациями производных от перемещений и получаемых здесь независимо от перемещений, является основной целью расчетов.

Несмотря на то, что имеется достаточно много работ, доказывающих эффективность смешанных схем метода конечных элементов (обзор имеется в главе I), возможности их исследованы недостаточно-особенно в задачах о деформации оболочек. Кроме того, на сегодняшний день нет полного и обстоятельного математического анализа таких схем метода конечных элементов для задач о деформации оболочек, какой, например, имеется для смешанных методов в задаче об изгибе пластины. Эти вопросы, имеющие большой интерес в теории и практике метода конечных элементов, являются целью настоящего исследования.

Работа состоит из четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе дается обзор работ по методу конечных элементов, его применению и математическому анализу в задачах теории пластин и оболочек, сформулированы основные предпосылки и задачи настоящего исследования. Здесь также отражены основные результаты анализа смешанных методов конечных элементов для задачи об изгибе пластины, которые в той или иной мере будут использованы в исследовании смешанных методов для задач о деформации пологих оболочек.

Во второй главе рассматривается постановка задачи о деформации пологой оболочки. На основе общих положений теории двойственности в выпуклом анализе выводится смешанная вариационная формулировка,^ которой три компоненты перемещения серединной поверхности оболочки и вторые производные от нормальной компоненты перемещения считаются независимыми переменными. Здесь доказано существование и единственность решения как основной вариационной задачи минимизации функционала энергии, соответствующего исходной краевой задаче, так и смешанной задачи о седловой точке полученного смешанного функционала. Здесь же вводятся абстрактные "расширенные" вариационные задачи, являющиеся исходными для построения смешанных схем метода конечных элементов, дан анализ вопросов существования и единственности решений таких задач.

В третьей главе вводится абстрактная дискретная задача, являющаяся дискретизацией абстрактной "расширенной" задачи о седло-вой точке, полученной в предыдущей главе. Доказаны .теоремы существования и единственности.решения дискретной задачи,, получены абстрактные оценки погрешности для двух.компонент седловой точки.

В четвертой главе описываются две схемы смешанного метода конечных элементов, являющиеся дискретизацией полученных во второй главе вариационных задач в конкретных пространствах конечных элементов. Получены теоремы существования и единственности конеч-ноэлементных решений таких задач. На основании абстрактных результатов, полученных в третьей главе, и.известных результатов по конечноэлементной аппроксимации в пространствах Соболева получены оценки скорости сходимости для двух схем смешанного метода конечных элементов, которые в задачах об изгибе пластин получили названия схем Германа-Мийоси и Германа-Джонсона.

В приложениях описан алгоритм схемы Германа-Джонсона, структура программы, реализующей данный алгоритм. Здесь же помещены текст программы на языке ФОРТРАН, результаты численных расчетов на ЭВМ для модельных задач, где оценивается фактическая погрешность результатов в зависимости от шага сетки, результаты решения задач с концентрацией напряжений, в том числе задач , в которых решение имеет особенность, задач с различными параметрами оболочки, геометрически нелинейных задач и примеры численного исследования реально существующих оболочечных конструкций.

- 9

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

1. Общие обозначения

Q - открытое множество из Rо границей 3Q , удовлетворяющей условию непрерывности по Липшицу, di,dij , - производные по X и ^ , где индекс 1 соответствует X , индекс 2 - у, П= (П-иН-г) ~ вектор внешней нормали к 3Q ,

Ctiyiz) - вектор касательной к , дп , - производные по внешней нормали и по касательной к за,

Tft - триангуляция , К - треугольник из Tft , С0=(а,гг, гсГ) , Vе- векторы перемещений серединной поверхности оболочки, в которых всегда первые и вторые компоненты соответствуют касательным перемещениям вдоль координат X и у соответственно, третьи компоненты - нормальным перемещении, m.=(m„,m22>m<2)7p=(p11,p22lpl2),6«(6l1l(522,G'f2) - векторы моментов, под компонентами которых понимаются вторые производные от нормальной компоненты перемещения, = *" векТ0Р внешней нагрузки, в котором первые две компоненты - касательные составляющие, третья- нормальная.

2. Функциональные пространства у > у . пространства нормальных перемещений с нормами |М1у, Нф , Где VcV ,

Y/ » W ~ пространства перемещений с нормами || • II ^ , II • II ф , где W=Y*YX V » W=YXYXV, в которых нормальные компоненты т г ^ принадлежат V или V » а касательные - V, М » М - пространства моментов с нормами ||* ||м , II'II М ' где М с И .

Vft ~ конечномерное подпространство пространства V , fv

Wlv ~ конечномерное подпространство пространства W , rw

- конечномерное подпространство пространства М , л/ ^

W*' » W - пространства, двойственные

W и W соответственно, fM J (V

М" . м

- пространства, двойственные И и г/ соответственно,

Lp(Q) - пространство функций, суммируемых с р-той степенью в £2, с нормой / / р М/п

Lp(D

- аналогичное пространство на

Г - дя, пространство Соболева функций из Lp(Q) , производные которых до Ht -того порядка включительно также принадлежат LAQ), с нормой

Iallm,p,si = (Z lDALLl^,n),/' оЦ 6ИТ. и полунормой 0 ч1/„

Hm(Q)= Wm'4Q) 0Н°Р»0Й 1И«.яв I-Urn,а,а,

2} (Q) ~ пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем из Q ,

Cm(Q) - пространство функций, непрерывно дифференцируемых до УУ1 -того порядка включительно в , н„2с«)= Ш)н2(£2), и (q)

- пространство, двойственное н1/2(г)={геи(г),зиенм ш=г «а г, где jyt V - "след" IГ на Г}, imiH,/2(r)= in/{||u-|i1jSi; гГ€НЧй), ttf = гна Г^

Н'1/2(Г) - пространство, двойственное |-|1/2(Г) ,

М^ (Q) - весовое пространство Соболева с весом б [22],

Р^ - пространство многочленов от X , ^ степени не выше £ ,

Xf = C°(QX VKeTfc. x^'=xf Л H^Q).

3. Операторы и билинейные формы •£(X»Y)- пространство линейных непрерывных отображений из X bY, ОН-*'), U' .-> •) - непрерывные билинейные формы, определенные соответственно на Их М , MxV и соответствующие энергии изгибной деформации,

С( - ■>•) - непрерывная билинейная форма, определенная на WxW и соответствующая энергии мембранной деформации, А ^ i?(M,M') - оператор, такой что < Am, j>> ~CL{m^), 6 * £(M,V') - оператор, такой что <gj>, = X), С ^ оператор, такой что <Сси,^> = С(CJ,^),

ДКГ= <9ц Й22 W -- оператор Лапласа, -Д2Л (АКТ) - бигармонический оператор, V2-UTst М^-ЭгаМ/", 3f2^)" оператор, ставящий в соответствие нормальному перемещению 1Д>Г вектор моментов \^UT6 М , £(•) - оператор мембранной деформации, £ (cj)- (бС^бгМ,^^))

7Г \ л. '

5 (• > •.)- - непрерывная билинейная форма, определенная на n*V » такая, что 4(f>,X)° i(p,Z) VfeM.VXeV, С (.'■>•) - непрерывная билинейная форма, определенная на WxW, такая что С (и>, Y) = С (UJ, V) \/и>,¥ t W,

Интерполянты в соответствующих пространствах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследованы схемы смешанного метода конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек и получены следующие основные результаты:

1. На основе общих положений теории двойственности в выпуклом анализе получена полусмешанная вариационная формулировка, соответствующая краевой задаче, описывающей состояние равновесия пологой оболочки с произвольными краевыми условиями. Полученная вариационная формулировка отличается от общеизвестного принципа Рейсснера тем,что здесь в качестве дополнительных независимых переменных выступают только вторые производные от нормальной компоненты вектора перемещений. Эта вариационная формулировка позволяет строить наиболее экономичные схемы метода конечных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологой оболочки, имеющие практические преимущества перед другими схемами метода конечных элементов, например, схемами метода перемещений. Доказаны теоремы существования и единственности седловой точки полученного смешанного функционала, компоненты которой представляют собой перемещения и моменты.

2. Разработана общая теория смешанных методов конечных элементов, основанных на аппроксимации седловой точки некоторого смешанного функционала, соответствующего задаче о деформации пологой оболочки. Получены абстрактные теоремы существования и единственности седловой точки для "расширенной" задачи, в которой ослаблены ограничения, накладываемые на функции из пространств, где ищется седловая точка. Выведены абстрактные оценки погрешности решения дискретной задачи, аппроксимирующей "расширенную" задачу о седловой точке на пространствах конечных элементов.

3. На основе полученных общих абстрактных результатов исследованы две конкретные схемы смешанного метода конечных элементов для задачи о деформации пологой оболочки. Доказаны теоремы существования и единственности решений дискретных задач, соответствующих этим схемам, и получены оптимальные оценки погрешности соответствующих конечноэлементных решений.

4. Разработана программа, реализующая одну из исследуемых схем смешанного метода конечных элементов. Проведены серии расчетов на ЭВМ для различных задач о деформации пологих оболочек, на основе которых всесторонне изучены практические возможности метода и разработаны основные вопросы технологии программирования метода. При решении модельных задач определена численно зависимость фактической погрешности конечноэлементного решения от шага сетки. Метод применен к решению задач с наличием особенностей у решения (оболочки и пластины с трещинами, включениями, остроугольными вырезами и т.п.). В результате решения множества таких задач сделан вывод об эффективности применения данной схемы метода к задачам с концентрацией напряжений, что важно с практической точки зрения, т.к. здесь не нарушается общая структура алгоритма метода конечных элементов и не вводятся специальные элементы, учитывающие особенности и, следовательно, упрощает эксплуатацию программы. Это говорит об эффективности и широкой применимости исследуемых схем в задачах расчета напряженно-деформированного состояния оболочек.

Таким образом, в работе всесторонне исследованы, математически обоснованы и практически опробованы схемы смешанного метода конечных элементов для задач о деформации пологих оболочек. Созданная программа, реализующая метод, внедрена в практику расчета напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций при проектировании летательных аппаратов.

1. Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости.- В кн.: Справочник по теории упругости под ред. П.М.Варвака и А.Ф.Рябова. Киев, 1971, с.206-212.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.Л. Вариационные принципы теории упругости и теория оболочек. Красноярск, 1973. - 190 с.

3. Астафьев В.И. Применение смешанного метода конечных элементов для решения задач об изгибе пластин. Научн. труды Института механики Моск. ун-та, 1975, № 37, с. 9-14.

4. Белубекян. Э.В. Изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластины с внутренней симметричной трещиной. В кн.: Теория оболочек и пластин. - М., 1973, вып.1, с. 33-37.

5. Белубекян Э.В. Изгиб свободно опертой по контуру пластины с симметричным разрезом. Изв. АН АрмССР, Механика, 1968, т. 221, № 2, с. 28-41.

6. Бережницкий Д.Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластинок с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка, 1979. - 400 с.

7. Бесселинг И.Ф. Методы конечных элементов. В кн.: Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. Под ред. Г.С. Шапиро. - М.: Мир, 1983, с. 22-51.

8. Виссер В. Применение.криволинейного элемента смешанного типа для расчета оболочек. В кн.: Расчет упругих конструкцийс использованием ЭВМ. Пер. с англ., под ред. А.П. Филина: в 2-х т., Л.: Судостроение, 1974, т.1, с. 230-254.

9. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976, - 416 с.

10. Галилеев М.М. Схема смешанного метода конечных элементов для пластин и оболочек. Прикладные и теоретические исследованиястроительных конструкций. М., 1981, с. 26-30.

11. Гинесин Л.Ю., Стратонова М.М., Берне А.Л. Применение метода конечных элементов к расчету тонких пологих оболочек. Тр. Центр, института авиац. моторостроения. 1962, № 996, с.39-50.

12. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. - 512 с.

13. Гордон Л.А., Розин Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек. Изв. ВНИИГ им. Веденеева, 1971, т. 95, с. 85-97.

14. Григоренко-Й.М., Кокошин С.С. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели МКЭ. Прикладная механика, 1982, т. 18, № 2, с. 3-6.

15. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вита школа, 1979. 280 с.

16. Дюво Г., Лионе I.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1980. - 384 с.

17. Дьяконов Е.Г. О построении итерационных методов на основе использования операторов, эквивалентных по спектру. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966, т. 6, № I, с. 12-34.

18. Дьяконов Е.Г. Некоторые классы операторов, эквивалентных по спектру и их применению. В кн.: Вариационно-разностные методы математической физики. Новосибирск, 1976,

19. Дьяконов Е.Г., Столяров Н.Н. О решении нелинейных статических задач теории пластин и оболочек. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1979, т. 10, № 5, с. 39-62.

20. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

21. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

22. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравненийс коническими или угловыми точками. Тр. Моск. матем. общ.,1967, т. 16, с. 209-292.

23. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: йзд-во Ленинград, ун-та, 1977. - 206 с.

24. Корнеев В.Г, 0 дифференциальном операторе системы уравнений равновесия теории тонких оболочек. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, № 2, с. 89-97.

25. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

26. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. «* М.: Наука, 1968. 260 с.

27. Лионе I.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

28. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

29. Масловская Л.В. Поведение решений краевых задач для бигармо-нического уравнения в областях с угловыми точками. Дифференциальные уравнения, 1983, т. XIX, № 12, с. 2172-2175.

30. Масловская Л.В. Смешанный метод конечных элементов для основных краевых задач теории пластин в областях с угловыми точками. В кн.: Методы аппроксимации и интерполяции. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 75-84.

31. Масловская Л.В., Филиппович А.П. Смешанный метод конечных элементов в одной задаче об изгибе пластин. Рукопись депонирована в ВИНИТИ II июня 1981 г. № 2839-81.-20 с.

32. Масловская Л.В., Филиппович А.П. Полусмешанный метод конечных элементов в задачах о деформации оболочек. В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. -Под ред. Н.С.Бахвалова и Ю.А.Кузнецова. - М., 1984, с.172-182.

33. Масловская Л.В.,Филиппович А.П. Полусмешанный метод конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек. -Рукопись депонирована в УкрНИШТИ 6 января 1984, № 8Ук-Д84.

34. Метод конечных элементов в механике твердых, тел. Под ред. А.С.Сахарова и И.Альтенбаха. - Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1982. - 480 с.

35. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, в 2-х частях. Под ред. А.Ф.Смирнова. 4.1., М.: Стройиздат,.1976. 248 с. . . .

36. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЗВМ, в 2-х частях. Под ред. А.Ф.Смирнова. 4.II, М.:Стройиздат, 1976. 237 с.

37. Милейковский И.Е., Трайнин Л.А. Красчету оболочек по методу конечных элементов с использованием-смешанного потенциала Рейсснера. Строит, механика и расчет сооружений, 1977,4, с. 21-27.

38. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

39. Михлин. С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

40. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.:1. Наука, 1966.

41. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек.-Л.-М.: ГШ, 1966.

42. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

43. Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. - 304 с.

44. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.-М.: Мир, 1977.

45. Оганесян Л.А., Ривкинд В.й., Руховец Л.А. Вариационно- разностные методы решения эллиптических уравнений. В сб.: Дифференциальные аравнения и их применение, Вып. 5, Вильнюс, Пяргале, 1973, вып. 8, Вильнюс, Пяргале, 1974.

46. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно- разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: йзд-во АН АрмССР, 1979.

47. Олман Д. Треугольные конечные элементы для расчета изгибаемых пластин при постоянных и линейно распределенных моментах.

48. В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Пер. с англ.под.ред. А.П. Филина, в 2-х т.,- Л.: Судостроение, 1974, т. I, с. 80-101.

49. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацишин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. - 443 с.

50. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наукова думка, 1982. - 295 с.

51. Постнов В.А., Харкурим И.ft. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

52. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гоотехиздат, 1950. - 360 о.

53. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1978. - 224 с.

54. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Наука, 1977. - 128 с.

55. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

56. Сливке р В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1982, № 4, с. 88-97.

57. Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1950. - 220 с.

58. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: №р, 1977. - 349 с.

59. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.-М.: Мир, 1980. 512 с.62. 1Ъшошенко С.П., Войновский-Кригер С.А. Пластинки и оболочки.-М.: Наука, 1963. 636 с.

60. Филиппович А.П. Применение смешанного метода конечных элементов в задачах об изгибе пологих оболочек. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982, т. 13, » 4, с. 143-162.

61. Филиппович А.П. Расчет пологих оболочек при наличии концентраторов напряжений с помощью метода конечных элементов.

62. В сб.: Восьмая Всесоюзная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии. 20-21 сент. 1984 г. Тезисы докладов. Одесса, 1984, с. 161.

63. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир, 1979. 399 с.

64. Atluri S., Pian Theodore Н.Н. Theoretical formulation of finite-element methods in linear-elastic analysis of general shell. J. of Struct. Mech., 1972, v. 1, IT 1, p. 1-41.

65. Babuska I. Error bound fo,r finite element method. Numer. Math., 1971, v. 16, p. 322-353.

66. Babuska I. The finite element method with Lagrangian multipliers. Numer. Math., 1973, v. 20, p. 179-192.

67. Bressi P. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers.

68. RAIRO, 1974, v. 8, E2, p. 129-151.75» Brezzi F. Sur la methode des elements finis hybrdes pour le probleme biharmonique. Numer. Math., 1975, v. 24, p. 103-131.

69. Brezzi F. Non-standart finite element for fourth order elliptic problems. Energy Method Finite Element Anal,, Chichester e.a., 1979, p. 193-211.

70. Brezzi F., Johnson C., Mersier B. Analysis of a mixed finite element method for elasto-plastic plates. Math, of Comput., 1977, v. 31» N 140, p. 809-817.

71. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc., 1943, v. 49, p. 1-23.

72. Cowper G.R., Linberg G.M. Olson M.D. A shallow shell finite element of triangular shape. Int. J. Solids Struct., 1970, v. 6, p. 1133-1156.

73. Ernst L.J. A finite element approach to shell problems. -Theory Shells 3.IUTAM Symp. Shell Theory delic. Memory Acad. I.N.Vekua. Tbilisi, Aug. 22-28, 1978, Amsterdam e.a., 1980, p. 241-262.

74. Falk R.S., Osborn J.E. Error estimates for mixed methods. -RAIRO, Numer. Anal., 1980, v. 14, N 3, p. 249-277.

75. Hellan K. Analysis of elastic plates in flecsure by a simplified finite element method. Acta Polytechn. Scandinavica, Gi. 40, Trondheim, 1967, v. 46, p. 1-29.

76. Herrmann L. Finite element bending analysis of plates.

77. J. of Mech., 1967, Div. ASCE, v. 93, EM5, p. 49-8388. Herrmann L.R., Cambell O.M. A finite element analysis for thin shell. AIAA, 1968, v. 6, N 10, p. 1842-1847.

78. Ji Zhen-yi, Wu Chang-Chun. Смешанный вариационный принцип для дискретного анализа пологих оболочек и применение гибридного искривленного элемента оболочки с двенадцатью степенями свободы. Acta Mech. Solida sin., 1982, N3, p. 366-378.

79. Johnson C. On the convergence of a mixed finite element method for plate bending problems. Numer Math., 1973, v. 21, p. 43-62. ,

80. Kanok Nukulchai W., Taylor R.L., Nughes Thoma J.B. A large deformation formulation for shell analysis by the finite element method. Comput. and Struct., 1981, v.13, p. 19-27.

81. Kikuchi F., Ando I. A new variational functional for the finite element method and application to plate and shell problems. Nuclear Engng. and Design., 1972, v.21, p.95-113»

82. Koiter W.T. On the foundations of the linear theory of thin elastic shell. I, II. Proc. Koninklijne Nederlands Akad. van Wetenschappen, ser. B, 73, 1970, p. 169-196.

83. Leonard J.W., Chin-Thong Li. Strongly curved finite element for shell analysis. Proc Amer Soc. of Civil Engng. J. of the Engng. Mech. Div., 1973, v. 99, N 3, p. 515-535.

84. Lee S.W., Pian H.H.H. Improvement of plate and shell finite element by myxed formulation. AIAA J., 1978, v. 16, N 1, p. 29-34.

85. Mansfield L. Finite element for nonlinear shell analysis. -Numer. Math., 1981, v. 37, N 1, p. 121-131.

86. Miyoshi T. A finite element method for the solutions of fourth order partial differential equations. Kumanoto J. Sci. (Math.), 1973, v. 9, p. 87-116.

87. Miyoshi T. Finite element method of mixed type and its convergence in linear shell problems. Kumanoto J. Sci. (Math.), 1973, v. 10, p. 35-58.

88. Morley L.S.D. Inextensional bending of a shell triangular element in quadratic parametric representation. Int. J. Solid Struct., 1982, v. 18, N 11, p. 919-935.

89. Noor A.A. Error bound for mixed finite element methods. -Meth. Kept. Acad. Sci. Can., 1980, v. 2, N 5, p. 227-230.

90. Oden J.Т., Reddy J.N. On dual-complementary variational principles in mathematical physics. Int. J. Engng. Sci., 1974, v. 12, p. 1-29.

91. Osborn J.E. Analysis of mixed methods using mesh dependent spaces. Comput. Meth. Nonlinear Mech. Proc. TICOM 2nd Int. Conf., Austin, Tex., 1979» - Amsterdam e.a. , 1980, p. 361-377.

92. Quarteroni A. On mixed methods for fourth-order problems. -Comput. Meth. in Appl. Mech. and Engng.,1980,v.24, p.13-34.

93. Raviart P.A. Elements finis et dualite. Proc. Int. Congr. Math., Helsinki, 15-23, Aug. 1978, v. 2, Helsinki, 1980,p. 929-935.

94. Rannacher R. On nonconforming and mixed finite element method for plate bending problems. The linear case. -RAIRO, Anal. Numer., 1979, v. 13, N 4, p. 369-387.

95. Reddy J.N. Bending of laminated of anisotropic shells by a shear deformable finite element. Fibre Sci. and Techn., 1982, v. 17, p. 9-24.

96. Reissner E. On a variational theorem in elasticity. J. Math, and Physics, 1950, v. 29, N 2, p. 90-95.

97. Sander G., Idelson S. A family of conforming finite elements for shell analysis. Int. J. for Numer. Meth in Engng., 1982, v. 18, p. 363-380.

98. Scapolla T. A mixed finite element method for the biharmo-nic problem. RAIRO, Numer. Anal., 1980, v.14, N 1,p.55-79.

99. Scholz R. A mixed method for 4 th order problems using linear finite elements. RAIRO, Numer. Anal., 1978, v. 12,1. N 1, p. 85-90.

100. Scholz К. Interior error estimates for a mixed finite element method. Numer. Funct. Anal, and Optimiz., 1979, v.1, N 4, p. 415-429.

101. Talaslidis D. On the convergence of a mixed finite element approximation for cylindrical shells. Z. angew. Meth. und Mech., 1979, v. 59, N 9, P- 421-436.

102. Tahiani C., Lachance L. Linear and nonlinear analysis of thin shallow shells by mixed finite elements. Comput. and Struct., 1975, v. 5, P. 167-177.

103. Visser W. A refined mixed type plate bending element. -AIAA J., 1969, v. 7.

104. Wada H., Taki Y., Takamura T. Nonlinear analysis of plates and shells by the incremental procedure using a mixed model of the finite element method. Bull, of the JSME, v. 23,1. N 186, p. 1943-1951.

105. Zlamal M. On the finite element method. Numer Math., 1968, v. 12, p. 394-402.1. ПРИЛОЖЕНИЙ