Приближенные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств теории нелинейной фильтрации и теории мягких оболочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

003056696

На правах рукописи

ЗАДВОРНОВ Олег Анатольевич

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ И КВАЗИВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2007

003056696

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина"

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Вабищевич Петр Николаевич,

доктор физико-математических

наук, профессор

Конное Игорь Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Паймушин Виталий Николаевич.

Ведущая организация: Московский государственный

университет им М.В. Ломоносова.

Защита состоится 26 апреля 2007 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан 25 марта 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета; д. ф.-м. н., профессор

ЕГ.М. Федотов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Численные методы в настоящее время являются одними из наиболее употребляемых способов решения задач, возникающих в практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие из этих задач сводятся к поиску минимума выпуклых функционалов на выпуклых множествах и эквивалентны вариационным неравенствам. В последние десятилетия разработаны эффективные способы решения таких неравенств на базе сеточных методов. Соответствующие аппроксимирующие задачи, как правило, решаются итерационными методами. Различные аспекты указанных выше методов освещены в многочисленных монографиях и обзорах. Значительная часть этих работ посвящена методам решения конечномерных задач. Вместе с тем, поскольку исходные задачи рассматриваются в функциональных пространствах, актуальным является исследование итерационных методов непосредственно в этих пространствах. Такой подход позволяет рассчитывать на равномерную, по параметру аппроксимации, сходимость итерационных алгоритмов.

Наряду с выпуклыми задачами, важную роль в приложениях играют и невыпуклые задачи. Необходимые условия существования решения задач минимизации на невыпуклых множествах могут быть сформулированы в виде квазивариационных неравенств. К таким же формулировкам приводят и вепотенциальные задачи механики и математической физики со связями, порождающими невыпуклые множества ограничений. Теория численных методов решения квазивариационных неравенств в настоящее время является актуальной и интенсивно развивается.

Вариационные и квазивариационные неравенства возникают, в частности, при моделировании задач с ограничениями в теории мягких оболочек, характерной особенностью которых является допущение о конечных перемещениях и деформациях, что, наряду с наличием препятствия произвольной формы, приводит к невыпуклым задачам. С практической точки зрения важным классом являются задачи теории мягких сетчатых оболочек.

Другой областью, в которой возникают вариационные неравенства, являются задачи теории фильтрации несжимаемой жидкости, при моделировании которых широко используются нелинейные реологические соотношения (с предельным градиентом, многозначные законы), описываемые функциями с линейным ростом на бесконечности. Известные вариационные постановки, описывающие процессы фильтрации с такими законами, не позволяют охватить, тем не менее, важный, с точки зрения приложений, класс задач с точечными источниками, моделирующими скважины. Поэтому актуальным является исследование математических моделей задач фильтрации в случае произвольной ограниченной области со сосредоточенными источниками для указанных выше законов, построение и обоснование соответствующих приближенных методов.

Целью работы является теоретическое исследование вариационных и квазивариационных неравенств, возникающих при математическом моделировании стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек и теории нелинейной фильтрации

при наличии точечных источников, построение и исследование конечномерных аппроксимаций этих задач, конструирование и теоретическое обоснование сходимости итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств.

Методы исследования математических моделей и сходимости итерационных методов опираются на аппарат нелинейного функционального анализа, выпуклого анализа, теорию уравнений и вариационных неравенств с монотонными и псевдомонотонными операторами. При построении конечномерных аппроксимаций используется теория метода конечных элементов. Изучение сходимости сеточных схем опирается на получение априорных оценок для решений конечномерных задач.

Научная новизна работы. Предложены новые математические модели задач теории нелинейной фильтрации при наличии точечных источников и контактных задач теории мягких оболочек, проведено исследование их корректности. Построены и исследованы приближенные методы решения этих задач. Предложены и теоретически обоснованы новые итерационные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств, возникающих, в частности, в указанных выше задачах.

Основные результаты диссертации:

1. Предложены итерационные методы с расщеплением для решения вариационных неравенств с операторами монотонного типа в гильбертовых пространствах, не требующие обращения операторов исходной задачи. Получены критерии сходимости этих итерационных методов, использующие параметры операторов вариационных неравенств.

2. Предложены итерационные методы решения квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых пространствах. Получены критерии сходимости этих итерационных методов, формулируемые в терминах исходных данных задач.

3. Предложены обобщенные постановки нелинейных стационарных задач фильтрации в произвольной ограниченной области при наличии точечных источников в виде вариационных неравенств. Доказаны теоремы существования обобщенных решений.

4. Предложены обобщенные постановки нелинейных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий в виде квазивариационных неравенств. Доказаны теоремы существования обобщенных решений.

5. Построены конечноэлементные аппроксимации для стационарных задач фильтрации с разрывным законом фильтрации с предельным градиентом при наличии точечных источников. Доказана сходимость и получены оценки точности.

6. Построены конечноэлементные аппроксимации для задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек, ограниченных в перемещении препятствиями. Доказана сходимость и получены оценки точности.

Практическая значимость. Результаты теоретических исследований и разработанные численные методы могут быть использованы при решении задач увеличения нефтеотдачи, при определении границ предельно-равновесных целиков остаточ-

ной вязко-пластичной нефти, при проектировании строительных и других конструкций, силовой основой которых являются армированные оболочки.

Достоверность научных результатов. Все результаты, полученные в диссертации подтверждены строгими математическими доказательствами, а также положительным сравнением результатов численных экспериментов с точными решениями для модельных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I - III Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых за-дач"(Казань, 24-28 июня 1996 г., 18-21 сентября 1998 г., 18-21 сентября 2000 г.), на Международной школе - конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.М. Гагаева "Алгебра и анализ"(Казань, 16-22 июня 1997 г.), на VII - IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования"(Абрау-Дюрсо, 8-13 сентября 1997, 5-17 сентября 1999 г., 8-13 сентября 2001 г.), на Международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике"(Ижевск 5-7 февраля 1998 г.), на Международных конференциях "Optimization of Finite Element Approximations"(С.-Петербург, 25-29 июня 1995 г., 25-29 июня 2001 г.), на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики"(Казань, 30 япваря-06 февраля 2002 г.), на IV - VI Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(Казань, 13-16 сентября 2002 г., 17-21 сентября 2004 г., 1-4 октября 2005 г.), па Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения акад. А.Ф.Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.). на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIV", "Понтрягинские чтения - XV"(Воронеж , 3-9 мая 2003 г., 3-9 мая 2004 г.), па XII, XIII Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г., Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г.), на Международной конференции "Ломоносов-2004"(Москва, 10-13 апреля 2004 г.), Международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 (Новосибирск, 21-25 июня 2004 г.), на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики "(Казань, 27-30 сентября 2004 г.), на Minisymposium "Recent Advances in Multi-phase flow in porous media (Kazan, 2426 August 2004), на Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"(Воронеж, 12-17 декабря 2005 г.), на III Международной научной конференции "Математические идеи ПЛ. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 1418 мая 2006 г.), на VII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, 17-21 мая 2006 г.), на Международной научной конференции "Тихонов и современная математика"(Москва, 19-25 июня 2006 г.), на научной конференции "Теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 3-8 июля 2006 г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством Ляшко А. Д., на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1997-2006 г.г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 работ. Основные результаты опубликованы в работах |l-32j, из которых 14 — в журналах, входящих в перечень ВАК Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 265 наименований. Общий объем работы составляет 244 страницы, включая 25 рисунков.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 01-01-000616, 03-01-00380, 06-01-00633).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность тематики исследований, сформулирована цель работы, дан обзор работ, близких к тематике диссертации, изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе проведено исследование итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств в гильбертовых и банаховых пространствах, установлены критерии слабой сходимости итерационных последовательностей. Естественно, что при использовании этих методов для решения аппроксимирующих задач, получается сходимость последовательностей в нормах конечномерных пространств. Численная реализация рассмотреннных итерационных процедур сводится к решению сеточных уравнений и неравенств, теория которых хорошо развита (см., например, книги A.A. Самарского и Е.С. Николаева; Р. Гловински, Ж.-Л. Лионса и Р. Тремольера и др.).

Рассмотрены смешанные вариационные неравенства с обратно сильно монотонными, вообще говоря, не потенциальными операторами и собственными выпуклыми полунепрерывными снизу функционалами. Для решения неравенств предложены методы расщепления, в основе которых лежат применяемые в потенциальном случае идеи двойственности с использованием расширенного лагранжиана (см., например, работы Д. Габэя, П.Л. Лионса, Б. Мерсье, Е.Г. Голыптейна, Н.В. Третьякова и др.). Отметим, что в отличие от ранее предлагаемых алгоритмов, рассмотренные итерационные процессы не требуют обращения операторов, входящих в вариационные неравенства. Исследование сходимости методов основано на применении результатов теории нерастягивающих отображений (см., например, работы Ф.Е. Враудера, В.В. Петрушина, 3. Опиаля и др.)

В заключение предложен итерационный метод решения квазивариационных неравенств в банаховых пространствах с псевдомонотонным, потенциальным, коэрцитивным оператором. Каждый шаг этого метода сводится к решению вариационного неравенства с оператором двойственности, который обладает лучшими свойствами по сравнению с исходным псевдомонотонным оператором. Получены критерии сходимости итерационного процесса.

Отметим, что далее, в четвертой главе диссертации, эти итерационные методы применены для решения рассматриваемых в диссертации задач теории фильтрации и теории мягких сетчатых оболочек.

В § 1 первой главы рассматривается задача поиска такого элемента и € V, что

(Аи^-^у + Ф^-Ф^ + Р^-Р^^У^-г^у Ут] € V, (1)

где V, Я - гильбертовы пространства, отождествленные со своими сопряженными (соответственно (•,-)1/, (•>•)# - скалярные произведения); Л : V —> Я - линейный, непрерывный оператор, Р : V —> Д1, Ф : Я —> Д1 - собственные, выпуклые, полунепрерывные снизу функционалы, / € V - заданный элемент, А : V —> V - монотонный оператор.

Решение задачи (1) осуществляется при помощи следующего итерационного процесса. Зададим г > 0, г > 0, и пусть и'0' € V, з/0' € Я, А'0' е Я - произвольные элементы. Для к = 0,1,2,..., зная у1к\ А'*', определим и'*"*"1) как решение вариационного неравенства

_ „<«-!) ) + Пп) _ Д^+1)) >

> (/ - АиМ - Л*А(*> _ гЛ*(Ли'*' - у<*>),77 _ «№+1))^ Ут? е V. (2)

Затем находим у(к+1), решая следующую задачу:

г (у(*+1),2 - у(к+1))н + Ф(г) - Ф(у(ь+1)) > (гЛи<*+1> + — у(м))н V2 € Я, (3) Полагаем, наконец,

Л(*+1) = А(*) + (Ли<*+1) _ у<*+1)) (4)

Здесь Л* : Я —» V - сопряженный к Л оператор:

(к"у,г1)у=(у,Ап)[{ Уу€Н, (5)

Исследование сходимости этого метода опирается на представлении его в виде метода последовательных приближений отыскания неподвижной точки оператора X : V х Я х Я —> V х Н X Н, ставящего в соответствие произвольному вектору Я = {Чи ?2> 9з) = («, У, А) элемент Тд = (7\ д, Т2 д, Г3 д) следующим образом:

Адх - / + Л* <73 + г Л*(Лд1 - д2)

Т1Я = Ргр(я1--

Т2д = РфФ(АПд + г^д3 Т3 д = д3 + г (Л7\ д - Т2 д),

где через РГ:У —>У обозначено проксимальное отображение с функционалом <р:

Ру(у)= г: (г-у,т1-г)у + <р(г1)-ф)>0 \/г/ € У,

так что итерационный процесс (2) - (4) записывается в виде

9(*+1) _ Тд<к\ д(0) € V х Я х Я - произвольный элемент, (6)

где д« = (и«,у<*>,Л«), Л = 0,1,2...

Установлена связь между множеством решением задачи (1) и множеством неподвижных точек оператора Т:

Теорема 1. Точка q = (и, у, А) является неподвижной точкой оператора Т в том и только том случае, когда выполнены условия

у = А и, А 6 ЭФ (у), -Л*А edF(u) + Au;

при этом первая компонента и любой неподвижной точки (и, у, А) оператора Т является решением задачи (1).

Теорема 2. Пусть существует решение задачи (1), и выполнено условие: Э у* е Л (dorn F) П dorn Ф : lim Ф(у) = Ф(у*).

у—*У*

Тогда множество неподвижных точек оператора Т не пусто.

На прямом произведении пространств VxHxH введена следующая билинейная форма:

(1 _ Tr\ 1 i)q = —~— (Рь + г (Р2. Чз)н + ~ (Рз, ?з)я .

определяющая, при условии rr < 1, скалярное произведение. Пространство с этим скалярным произведением обозначено через Q.

В дальнейшем предполагается, что оператор А является обратно сильно монотонным с константой а > 0, то есть

(Au — Arj,u — tj)v > ст ]]Au — Ar)\\y Vu,T] € V.

Исследование сходимости итерационного процесса (6) опирается на следующий результат о свойствах оператора перехода Т:

Теорема 3. Пусть оператор А является обратно сильно монотонным с константой а > 0, оператор А*oh является каноническим изоморфизмом, и выполнено следующее условие:

2а

т<2ТГГТ- (7)

Тогда оператор Т является нерастягивающим.

Более того, для произвольных q = (?i, <й,<7з) ир = (рърг,рз) из Q справедливо неравенство

II Tq - TpfQ + 5 (Aqi - Ари 91 - + г || (q2 - Л Tyq) - (pj - Л TlP)f„ + + 1 S 11(1 - rr)((a - Гц) - (рг - Та)) - r (Aqi - APl)||* < ||g - pfQ ,

T^l — TV) ^

где

_ 2a — r(2ar + 1) <т(1 — rr)

Теорема 4. Пусть выполнены условия теорем 2 и 3, итерационная последовательность построена согласно правилу = Т<£к\ q^ € Q - произвольно заданный элемент. Тогда эта последовательность сходится слабо в Q при к —> +оо, ее предел q* является неподвижной точкой оператора Т, и справедливы равенства

lim ||yW-Au«|L = 0, lim ||9<*+1> - Л = 0.

fc-M-oo11 ||н fc—*-t-oo "V

В § 2 первой главы рассмотрена задача поиска и eV такого, что (Au, Г) - и)у + (Л* О В О Л(и), Т] - u)v +

+G (Лт?) - G (Au) + F(rf) - F(u) >0 Vi? € V, (8)

где Л : V —> H - линейный, непрерывный оператор, В : H —> H и А : V —> V

- монотонные операторы, F : V —» Rl и G : H —+ R1 - собственные, выпуклые, полунепрерывные снизу функционалы, Л* : H —> V — сопряженный к Л оператор.

Для решения этого вариационного неравенства предложен следующий итерационный процесс. Зададим тА > 0, тв > 0 и г > 0. Пусть и<°> е V, i/0> е H и е H

- произвольные элементы. Для к =0,1,2,..., зная у(к\ A«, определим как решение вариационного неравенства

— («№+0 - «W , т, - + (Au« + Л* Л« +гЛ* (Ли^ - у«) ,7? - )„ +

Та

+F(rj) - F(u<*+1>) > 0 Vrç е V. (9)

Затем находим решая вариационное неравенство

^ (y(l+1) - у(к\ z - у<*+1>)я + (ВуЮ - Л«) - г (Аи^ - у«) >г - у(*+Ч)я +

+G(z) - G(y<t+1>) >0 Vzëïï. (10)

Полагаем, наконец,

Л(«=+1) = Л(Ч +(Au(*+D - у(*+1)) (11)

Так же, как и в § 1, вводится оператор Т-. VxHxH-^VxHxH, ставящий в соответствие вектору q = (qi, qi, Яз ) = (u, у, А ) элемент Tq = (Tiq, T2q, T3q) следующим образом:

Т1Я = P.

-Г л F !

-та aql + a*q3 + ra^'(aq1-q2)

T2q-=Prвa[q2-тв В?2-?з + г(г2-ЛГ19) Г3? = © + г (ЛЦд - Г29). При этом итерационный процесс (9) - (11) можно записать в виде

{q(0) — произвольный элемент

я1к+1) = ТчЮ> д(к) = (и(к)! у<«0,А«), А: = 0,1, 2..., ^ 1

Теорема 5. Точка д = (и,у, А) является неподвижной точкой оператора Т в том и только том случае, когда выполнены условия:

у = Ли , Л е dG(y) + Ву, -Л* А е dF(u) + Аи;

при этом первая компонента и любой неподвижной точки оператора Т является решением задачи (8).

Теорема 6. Пусть существует решение задачи (8), и выполнено условие: Зу* е Л (dorn F) П dorn G : lim G(y) = G(y*).

Тогда множество неподвижных точек оператора Т не пусто.

Теорема 7. Пусть множество неподвижных точек оператора Т не пусто, операторы А, В являются обратно сильно монотонными с постоянными па, ов и выполнены условия

2 аА 2<тв Тл < г--—г, г в < ■

2<гЛг+1' 2 <7в г + 1 '

итерационная последовательность {V*'}^ построена согласно (12). Тогда эта последовательность сходится слабо к q* в Q при к —> +оо, q" является неподвижной точкой оператора Т, и справедливы равенства

lim ||у«-Ли«||„ = 0, lim ||e<*+1)-9W|L = 0.

fc—tco" ||Я *-.4co»* * "О

В § 3 первой главы рассмотрена задача поиска элемента и 6 М С V, являющегося решением следующего квазивариационного неравенства:

{Au,ti-u)>{f,r}-u)'Vr)eM{u), (13)

где V - рефлексивное банахово пространство, строго выпуклое вместе со своим сопряженным V*, || • ||v - норма в V, (•,•) - отношение двойственности между V и Vm: М - слабо замкнутое, вообще говоря, не выпуклое подмножество V; каждому элементу и 6 М сопоставлено выпуклое, замкнутое множество М(и) С М, / 6 V" -заданный элемент, А : V —> V* - псевдомонотонный, потенциальный, коэрцитивный оператор, удовлетворяющий условию:

¡¡Au — Аи||у < ¿¿(Д)Ф(||и — г>||у) Vu.ueV, (14)

где R = max{||u||y, ¡|г>||у}, д - неубывающая на [0, +оо) функция, Ф - непрерывная, строго возрастающая на [0,+оо) функция, такая, что Ф(0) = О, Ф(С) -гоо при ? ->+оо.

Относительно множества М(и) считается, что и € М(и), и выполнено условие: пусть последовательность (г/*)} С М слабо сходится к элементу и (в силу слабой замкнутости М элемент и принадлежит множеству М), тогда для произвольного

элемента т] g М(и) найдется такая последовательность (т/*1'}, 77^' S M (иW), что: limj:_,+cc 7/*) = г], т.е. многозначное отображение и —» М"(и) полунепрерывно снизу.

Для решения задачи (13) предложен следующий итерационный процесс, позволяющий свести ее к вариационному неравенству с оператором двойственности вместо исходного псевдомонотонного оператора.

Пусть задан произвольный элемент г/0' 6 М. Для к = 0,1, 2,..., определим г(№+1) g М(иW) как решение вариационного неравенства:

(J^1)-u(-k)),v-u(k+1>)>r{f-Au^,v-uik+1)) Vi,еМ{и(к)), (15)

где т > 0 итерационный параметр, J : V —» V - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф.

Доказана

Теорема 8. Пусть M - выпуклое множество, и выполнено условие

О < г < min{l, 1/^0}, Ио + (16)

где Ro = sup'||u|]v> Ri = sup ||Аи - f\\y, S0 = {и G M : F (и) ^ F(u0)}. Тогда

uÇSo uÇzSo

итерационная последовательность {u^}, построенная согласно (15), ограничена в V, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (13).

Функционал F : V —> R1. участвующий в формулировке теоремы, определен соотношением

1

F(u) = FA(u) - (/, и), Fa(u) = j{A(tu),u)dt,

0

и из его коэрцитивности вытекает, что До < а из ограниченности оператора А следует, что Ri < +00. Таким образом, 0 < fi0 < +00, т.е. итерационный параметр в (16) определен корректно.

Вторая глава посвящена исследованию математических моделей процессов установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации, в произвольной ограниченной области при наличии точечных источников. Рассматриваются случаи как непрерывного, так и многозначного законов фильтрации. Предполагается, что функция, определяющая закон фильтрации, имеет линейный рост на бесконечности.

В случае, когда область фильтрации и функция, определяющая закон фильтрации, имеют специальный вид, указанные задачи исследовались на основе преобразований типа годографа области и методами теории струй в работах A.M. Алишаева, В.М. Бнтова, Н.Б. Ильинского, Ю.М. Молоковича, Э.В. Скворцова, J1.M. Котляра и ДР- .

Вопросам исследования корректности математических моделей и соответствующих приближенных методов для установившихся и неустановившихся процессов фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации

(с предельным градиентом, с многозначным законом) посвящены работы А.Д. Ляш-ко, М.М, Карчевского, A.B. Лапина, И.Б. Вадриева, М.Ф. Павловой и др. В этих работах в случае произвольной ограниченной области устанавливается существование обобщенного решения стационарной задачи с законом фильтрации, задаваемым функцией, имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенные задачи формулируются в виде уравнений или вариационных неравенств с оператором, действующим в случае линейного роста из гильбертова соболевского пространства в сопряженное.

В настоящей главе проведено исследование нелинейных задач фильтрации с менее гладкой правой частью: в неодномерном случае дельта-функция Дирака, моделирующая точечный источник, не принадлежит указанному сопряженному пространству. Обойти эту трудность удалось благодаря аддитивному выделению особенности, связанной с дельта-функцией.

В § 1 второй главы рассматривается стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации

v = —д{ | Vw |) | Vit; |Vtii, (17)

где v - поле скоростей фильтрации, m - поле давления жидкости. Фильтрация происходит в ограниченной области П С Я", п > 2 с лишпиц-непрерывной границей Г, на которой давление считается равным нулю, при наличии точечного источника с интенсивностью q в начале координат (считаем, что начало координат - внутренняя точка П). Указанный процесс фильтрации описывается следующей краевой задачей

-divu(x) = qS(x), zefi, (18)

ги(х) = 0, хеГ. (19)

Считаем, что функция д, определяющая закон фильтрации (17), представима в виде:

£(*)={ °7 1 S>5° (20) 1 9o(s ~ ¿о), s > s0,

s0 > 0 - заданное число (случай s0 > 0 соответствует закону фильтрации с предельным градиентом -Sq), функция да : [0, -t-oo) —> R1 строго возрастает, д0(О) = О,

ga(s)-ga(t)>k(s-t)Vs>t>s*, J ga(s) - g0(t) | < L \ s - t [ Vi, t > 0. (21)

Под обобщенным решением задачи (18), (19) понимается функция w такая, что выполнено следующее вариационное равенство

j(G(Vw(x)),Vri(x))dx = qv(0) V^W), (22)

n

где оператор G : Rn —> R" определен по функции g следующим образом:

^^j^Dlyl-^, уф о, (23)

При исследовании задачи (22) использован частный случай этой задачи при U = Br = {х G Л" : |х| < г}, Г = ST = {х G R" : \х\ = г} :

найти w GW ^(Д.) : J(G(Vw(x)),Vt](x)) dx = qV(0) Vt? G C™(Br). (24) вг

Решение задачи (24) определено в явном виде:

г

«V : Д. Д1, Wr(x) = Pr(\x\) , Pris) = j h dt, (25)

s

где <ту = mes Si, his) = /¡o(-s) + so, функция Ло является обратной к

Далее г выбирается достаточно большим, так, чтобы выполнялось включение П С Вт, и, поскольку 0 является внутренней точкой Q, то существует такое е > 0, что Г С Br \ Вс. Установлено, что wr G \ ^е). а значит, найдется функция

u-т G для которой выполнено условие

wг(х) = -шг(а:) , х G Г. (26)

Решение задачи (22) ищется в виде w = гиг + щ- +и, где и G V = W - неизвестная функция. Поскольку С£°(П) С С£°(ВГ), то задача (22) сводена к следующей:

найти U&V-. J (G(V(wr + щг + и)) — G(Vwr), Vtj) dx = 0 Vtj е Cg°(C2). (27) a

Для исследования задачи (27) определен опрератор А : V —> V",

(.Au,j])v = J(G(V(wr + wc + u))-G(S/wr)yri)dx u.rçeV, n

где (•, -)v - скалярное произведение на V.

Установлено, что при выполнении условий (20), (21) оператор Л является обратно сильно монотонным с постоянной сг = \ jL и коэрцитивным, и, поскольку задачу (27) можпо записать в виде уравнения Au = 0, то на основе результатов теории уравнений с монотонными операторами получено существование решения задачи (22).

В § 2 главы 2 рассмотрена стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости при наличии внешних источников, в том числе точечных с интенсивностью <ji, сосредоточенных в точках i = 1, 2,... m. Фильтрация происходит в ограниченной

области fl с Rn, п > 2, с лишпиц-непрерывной границей Г = Г^ U Гг (Г1 ПГ2 = 0, mesTi > 0, на давление считается равным нулю, Гг - непроницаема). Поле скоростей фильтрации v(x), х G Q определяется по полю давлений w в соответствии с законом (17), (20), (21), описанным в предыдущем параграфе. Краевая задача имеет следующий вид:

m ^

-div v(x) = Чг 5{х ~ z(i))+ f(x), x e П> (28)

¡=1

w(x) = 0, x G Г1, {v(x),v{x)) = 0, x G Гг, v— внешняя нормаль , (29)

предполагается, что / порождает линейный и непрерывный функционал / над И^П).

Под решением задачи (28), (29) понимается такая функция w G что

■w(x) = 0, х G Гъ что выполнено следующее равенство

J(G(Vw(x)), Уф)) dx = J2 » + / f (ХШ dx Vl? e (30)

n i=1 л

где G - оператор, определенный в (23), а через C^(fi) обозначено множество бесконечно дифференцируемых в Q функций, равных нулю в окрестности IV По аналогии с § 1 рассмотрены следующие задачи для г = 1,2,..., т:

найти u;« ^(Bj) : J(G(Vw<^(:1)), Vtj(z)) dx = q{V{x^) Vtj G CS°(Bj). (31)

B'r

где B£ = Br(x^), Br(x) = {z € R" : \z — x\ < г}. Решения этих задач имеют вид

Далее г выбрано достаточно большим, так, чтобы выполнялись включения П С В*, i = 1,2,..., т, и, значит, определена функция:

m

wr(x) = Y^,w^(x),xeCl. (33)

¿=1

Так как попарно различные точки хМ, j = 1> 2,... т, являются внутренними точками П, то существует такое г > 0, что |~| BJ = 0 при г ^ и Г|~| В^ — 0 для любого г, следовательно, ivr G В£ = Uiii BJ, и, таким образом, найдется функция

шг, для которой выполнены условия

щ- G И^1' (fi), = -uv(i), i G Гь (34)

Решение задачи (30) ищется в виде w = wT + wr + и, где и G V - неизвестная функция, V = {77 € : т]{х) = 0, х € 1\}, относительно которой, с учетом

равенств (31), сформулирована задача:

í ÍGtVK + tür + w^-^GtVw^.Ví?) dx= í f {х)щ{х) dx V77 G C^(Í2). (35)

n V i=1 ' í

Далее определен оператор А : V —» V формой

(Аи,rj)v = J ^G(V(wr +wr + и)) - ¿^(Vu;«), Vt^ dx, (36)

и задача (35) записывается в виде уравнения: Аи = /.

Доказано, что оператор А является обратно сильно монотонным и коэрцитивным, и, на основе этих свойств, установлено существование решения задач (35), (30) и единственность скорости фильтрации. -

В § 3 второй главы рассмотрена задача фильтрации (28), (29) в предположении, что жидкость следует многозначному закону фильтрации

-W^'-H ОТ

Считается, что многозначная функция д может быть представлена в виде:

g(s) = g(s)+eH(s-p), s> 0, (38)

где функция д удовлетворяет условиям (20), (21), Н определена по формуле

Í0, s < 0,

[0,1], а = 0, (39)

1, s > 0,

e>0-af}>sa- заданные числа, (s0 - константа из (20)).

Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей многозначному закону (37), при наличии точечных источников интенсивности g¡ понимается функция (поле давления) w s w(x) = 0, x € I\ удовлетворя-

ющая вариационному неравенству

J (G(Vw(x)), V?](x)) dx+e J V(t7(i) + u;(x))| - P) - V{\Vw(x)\- /?) ] dx > a n

> ¿ ®i7(«W) + Jf (*) dx Vv e C£(il), (40)

где оператор С? определен в (23), а функция ц> является субпотенциалом многозначной функции Л:

Г 0, 5 < О,

Пусть, далее, функции и>г, и!г \ г = 1,2, ...т, к;г заданы согласно (33) и (34), пространство V определено так же, как и в § 2 главы 2.

Решение задачи (40) ищется в виде т = Ь1Г + ти? + и, где и £ V - неизвестная функция, и, с учетом равенств (31), задача (40) сводится к следующей:

найти иеУ : J + и'Г + и)) - ^ Уш<г)), Ут^ с1х+

+в !ф{\Ч{г) + ц}Т + и)г + и)\ -р)<1х-в I <р(\Ч{и)г + тг+и)\-р)йх> п а

> !]т]<1х Ут] е (41)

п

Введены в рассмотрение функционал Ф : У = [1^(П)]" —» Н1, оператор Л : V —> У и сопряженный к нему Л* : У —* V по формулам

Ф(0 = в I <р{|+ щ) + - ¡3) ¿х, (42)

п

Л(к) = V«, (Л*(0 ,и)у = I (£, Чи)<1х V и € V, £ е У, ¡2

где £(*) = (&(*), ... £„(х)), & € £2(П), г = 1,2,... п.

Установлено, что функционал Ф, определенный в (42), конечен на всем пространстве, является выпуклым, липшиц-непрерывным и, следовательно, всюду субдиффе-ренцируемым. Доказано, что для каждого у 6 ЭФ(£) С У существует такая функция Ху, что для почти всех х из П выполнены равенство

и включение

х,(х) е вН{\У{-шт{х) + «*(*)) + £(*)| - ¡3). (44)

Здесь принято соглашение, что для случая г = 0 вектор г/\г\ является некоторым элементом единичного шара — {6 € Д" : |6| < 1} .

Далее задача (41) записана в виде эквивалентного вариационного неравенства:

найти и € V : (Аи,т] - и)у + Ф(А.т}) - Ф(Аи) > (/,т] - и)у Ут}еУ (45) с оператором А, определенным в (36), линейным и непрерывным функционалом / над V, порожденным функцией /, и доказана

Теорема 9. Пусть выполнены условия (20), (21). Тогда:

1) Множество решений задачи (45) не пусто, выпукло и замкнуто.

2) Задача (28), (29), (37) имеет решение в следующем смысле: найдется такая

пара функций ги € : и-(х) = 0, х е Г1 иу£ [Ьх(П)]", что выполнено почти

всюду на £2 включение (37), и имеет место равенство:

J(v(x), Vj?(z)) dx = J

J>5(s-*«)+/(*)

T]{x) dx V77 G (46)

Более того, решение w имеет следующий вид w — и>г + гиг + и, где и - некоторое решение задачи (45) .

3) Для любых решений w\, W2 задачи (28), (29), (37) в смысле п. 2 настоящей теоремы справедливы соотношения G(Vwi) = G(^7w2),

Пвд = = iio с точностью до множества меры нуль,

где = {х € П : |V»j(x)| > s0}-

В третьей главе рассматрены пространственные задачи о равновесном состоянии мягких оболочек, находящихся под воздействием внешних нагрузок и ограниченных в перемещении препятствием.

Описанию задач теории мягких оболочек, численным методам их решения, посвящена многочисленная литература, в частности, работы С.А. Алексеева, Х.А. Рах-матуллнна, В.И. Усюкина, Б.В. Гулина, В.В. Риделя, Р.Ш. Гимадиева и др., математические вопросы теории изотропных мягких оболочек рассмотрены в работах P.P. Шагидуллина, А.Д. Кидониса и др.

Важным классом мягких оболочек являются сетчатые оболочки. Различным математическим вопросам исследования задач теории мягких сетчатых оболочек, построению приближенных методов их решения посвящены работы B.JI. Бидермана, Б.Л. Бухина, Е.Г. Дьяконова, И.Б. Бадриева, P.P. Шагидуллина и др.

С точки зрения приложений важную роль играют контактные задачи. В случае мягких оболочек сложность этих задач возрастает в связи с сильной формоизменяемостью этих оболочек. Следует отметить, что наличие препятствия приводит к необходимости использовать при математическом описании этих задач квазивариационные неравенства.

В первом параграфе, исходя из уравнений равновесия, записанных в декартовой системе координат, сформулирована дифференциальная задача. Затем на основе принципа виртуальных перемещений получена вариационпая формулировка. При условии достаточной гладкости решения установлена эквивалентность указанных задач.

Затем рассмотрен случай мягкой сетчатой оболочки, силовой основой которой являются два семейства взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких упругих

нитей. Ячейки сети считаются малыми и не сопротивляющимися сдвиговым деформациям. Деформации и перемещения допускаются конечными. Нити, образующие разные семейства, могут описываться разными физическими законами. В предположении степенного роста функций, задающих физические соотношения в нитях, поставлена обобщенная задача в виде квазивариационного неравенства в банаховом пространстве и установлена ее разрешимость.

Для задачи с препятствием выпуклой формы установлены свойства множества допустимых перемещений, позволяющие использовать предложенный в § 3 главы 1 итерационный метод для решения квазивариационных неравенств.

Наконец, рассмотрена задача с выпуклым допустимым множеством (с препятствием вогнутой формы) при наличии следящей поверхностной нагрузки. При этом обобщенная задача сформулирована в виде вариационного неравенства. Получены критерии существования решения обобщенной задачи.

В § 1 третьей главы рассмотрена пространственная задача о равновесном состоянии мягкой оболочки при условии, что поверхность препятствия описывается достаточно гладкой функцией. Введена декартова система координат (х^, х2, Считается, что в недеформированном состоянии оболочка может быть описана поверхностью: ((а) = (¿а(аг), £2(а)> где а = (аиа2) е Г2 - лагранжевы координаты, О - ограниченная область из Я2 с непрерывной по Липшицу границей Г; предполагается, что функция £ удовлетворяет условиям:

е 6 [Сч(П)]3 , I [Э^а),^)] | > С > О Уа £ П.

Через ги(а) = (ги^а), ^(а), гиз(сс)) обозначена функция, описывающая поверхность оболочки в деформированном состоянии, С?(а) = {[д^^а),д21и(а)]\2 - дискриминант метрического тензора поверхности деформированной оболочки.

Здесь использованы обозначения: дк = д/дак, к = 1,2; [-,•],(•,•) и |-| - векторное, скалярное произведения и норма в Д3 соответственно.

Известно, что уравнение равновесия оболочки, находящейся под воздействием внешних сил, в декартовой системе координат имеет следующий вид:

2

]Г) дт{-/дтктдк'ш) + \Я;р + ^о1д = о< (47)

£,171=1

где Р, ф - вектора плотности соответственно поверхностной и массовой нагрузок, 7 -плотность материала оболочки в деформированном состоянии, Ткт - ковариантные компоненты тензора напряжений: Т = т=1 ТктКкИт , Ик{&) = дкии(а) - вектора, образующие ковариантный локальный базис на деформированной поверхности.

Предполагается, что расположение оболочки в пространстве ограничено препятствием, а края оболочки закреплены: т(а 1, а2) = ?((*ь а2), (ах, а2) е Г.

Взаимодействие препятствия с оболочкой учтено путем внесения в уравнение (47) дополнительной поверхностной нагрузки Ра - плотности силы реакции препят-

ствия:

Б(у}) + %/ёРо = 0, £(ш) = ^ дт{у/ёткт 9* ш) + ч/ёр + чЯ. (48)

к,т= I

Во введенной декартовой системе координат поверхность препятствия задается в виде х3 = '-р(ху, х2), где <р £ С\(/12), и оболочка находится "над препятствием", т.е. &(«)> аеп.

Предполагается также, что материал препятствия абсолютно твердый, а его поверхность - абсолютно гладкая, т.е. препятствие, при воздействии на него, не деформируется и порождает усилия только в направлении внешней нормали к своей поверхности. Тогда плотность силы реакции препятствия можно представить в виде Ра(си) = ¡3(а)М(и>(а)), где р : П —» Я - неизвестная функция, удовлетворяющая условиям:

/3(а) >0,а€ 1(ги) г { £е П : к3(а) = F(ш(2))}; (49)

¡3(а) = 0, а е Г (и>) = { 5е П : и;3(а) > £>'(5))}. (50)

Здесь Р(х1,х2>х3) = 1р{х1,х?), х е Л3, а через N : Л3 —* Л3 обозначена вектор-функция, связанная с единичной внешней нормалью к поверхности препятствия формулой

Щхих2,*3) = ^иХ2\, , * € Л3, (51)

" = [тит2],п = (1,0,дг<р(х1, х2)) ,т2 = {0,\,д2<р{хих2)).

Задача о равновесном положении закрепленной по краю мягкой оболочки, находящейся под воздействием нагрузки и ограниченной в пространстве абсолютно твердым и гладким препятствием, сведена к поиску функций т (1М и /3, удовлетворяющих уравнению

Б{ю(се)) + ,/Ща)Р(а)К(и](а))= 0, аеП, (52)

и условиям (49), (50), где

М= {и : а -> Л3 , и3(о0 > у{а)), аеП, г;|г = ?|г} , (53)

М - множество допустимых конфигураций оболочки, состоящее из функций описывающих поверхности, находящиеся "над препятствием".

Далее осуществлен переход к вариационной формулировке этой задачи:

найти ювМ: ^ (£)(ш(а)), Т](а)) ¿а < О V?;еА*"(ги), (54)

а

где М (ш) - множество допустимых направлений из произвольного положения оболочки И1&М, достаточно малый сдвиг по которым из принадлежит ММ {ш) = {и : П -» Л3, > 0;гй+5и Ш (55)

Установлено, что решение w задачи (52) и (49), (50) является решением задачи (54), а при сответствующей гладкости - решение w задачи (54) и функция

построенная по w, удовлетворяют уравнению (52) и условиям (49), (50).

В § 2 третьей главы рассмотрена задача с препятствием о равновесии мягкой сетчатой оболочки. Под сетчатой понимается оболочка, силовой основой которой является сетка, образованная двумя системами взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких упругих нитей. Ячейки сети считаются малыми и не сопротивляющимися сдвиговым деформациям. Деформации и перемещения допускаются конечными.

Лагранжевы координаты (а1, а2) выбраны так, что координатные линии сона-правленны с нитями, образующими оболочку. Через ¿ь ¿2 : R+ —> R+ обозначены функции, характеризующие физические свойства нитей, через рк : Q —> R+ - количество нитей, сонаправленных с а*-й координатной осью, на единицу длины а**-й координатной оси в недеформированном состоянии (к = 1,2, к' = 3 — к). Эти функции определены конструкцией сетчатой оболочки, и предполагается, что они удовлнтво-ряют условиям:

tk € C{R+), tk(s) = 0 при s < 1 (т.е. нити не воспринимают сжимающих усилий), fjt(s) - строго возрастает при s > 1, существуют такие co,ci,C > 0, рьрг > 1. что

рк е С(П) и существует с > 0, что рк(а) > с > 0 для всех а е О. .

Для сетчатой оболочки, поскольку считается, что ячейка сети не оказывает сопротивления повороту нитей в узлах скрепления, и в силу выбора лагранжевой системы координат для компонент тензора напряжений выполнены равенства:

Т 13 = Т21 > = Ъ^Мркдк. , гдел = | М |, к = 1, 2 .

Задача сформулирована в перемещениях: искомой выбрана вектор-функция и(а) = w(a) — f(a), а 6 Q, где w, £ - соответственно нагруженное и начальное положение оболочки. Введено пространство

V =

w^L, (n)

,с нормой ЦиЦV = II |Эц»| |иР1 + II \д*о\ |иР2. (56)

Для рассматриваемого случая уточнены определения множеств (53), (55):

М = {и € V : &(а) + из (а) > ^(£(<*) + и(а)) п. вс. на П} , (57)

М(и) = {V € М : Уз е [0,1], и + - и) € М} .

Поверхностная нагрузка предполагается равной нулю: Р = 0. Плотность массовых сил (¡) : П —> Rs считается известной. В силу закона сохранения массы имеем:

\fG~j = |[Э1.£(а),Эг^(о;)]| 7, где 7: П —♦ Я - заданная плотность материала неде-

о

формированной оболочки. Относительно <3 и 7 считаются выполненными условия: <5 € [С(П)]3, 7е С(П); 7 (а) ^ с > 0, а е П. Вариационная задача (54), в силу выше сделанных предположений, приводит к следующей задаче:

найти « 6 и : У] [ tШ^Шpkgk.{дk^ + „), а^ _ и)) ¿ос > «-1 а

> У(1 ЭгШ 7 »-«)<*<* ^еЛГ(и). (58)

п

Далее определены операторы А, Ак : У —> V* и функционал / е V* формами:

А = А1 + А2, (Аки, v) = I + и)> дк„)йа, к = 1,2,

п 1

= (59)

п

и с учетом этих обозначений обобщенная задача (58) сформулирована в виде квазивариационного неравенства:

найти иеМ: (А(п),и - и) > (/,и - и) V« 6 М(и). (60)

Установлено, что оператор А хеминепрерывен, монотонен, коэрцитивен и потенциален. С учетом этого на основе результатов теории нелинейного функционального анализа доказано, что задача (60) имеет решение.

Функция <р, описывающая поверхность препятствия, считается вогнутой на всей области её определения:

<?(А(хьх2) + (1 - Х)(хих2)) > Л Фи х2) + (1 - АМх1,х2) У(хь х2) € Л2, УА е [0,1],

и, таким образом, множество = {х € Я3 : х3 < р(1Ь х2)}, которое можно считать, без ограничения общности, препятствием, является выпуклым и замкнутым.

Дифференциальной задаче (52), (49), (50) сопоставлена вариационная задача (60) с множеством допустимых направлений

М{у) = {т; £ V : (£(а) + П{а) - Р»(а), N{Pv(a))) >0, а в П} , (61)

где оператор N : В? -» Д3 задан в (51), функция Р* = : П -»■ Д^

опеределена по V € М:

Р"(а) = Р({(а)+у(а)) для а е П, (62)

при помощи оператора проектирования Р на множество Дv Р : R3 -> Av , Р(х) = arg min \х — z\.

zGAtfj

Множество M(v) является выпуклым и замкнутым подмножеством М. Далее, в этом параграфе, предполагается, что Q является звездной областью, то есть существует внутренняя точка а" такая, что для любого единичного вектора е G R2 выполнено условие:

{a- + teeCl при 0 < t < te,

а' + te е Г при t = t€, (63)

а" + при t > te.

Для достаточно малого е определена функция : Cl —» i?1,

В предположении компактного вложения пространства V в [Ci(fi)]3 доказана

Лемма 1. Пусть последовательность {и„} из М слабо сходится kv eV. Тогда для произвольной функции w из K(v) существует такая константа sw > 0, не зависящая от п, что для всякого е € (0, ew] найдется номер пе, начиная с которого выполнено включение w£ е M(v„), где w£ = ги + 9гез, е3 = (0,0,1), функция ве определена согласно (64).

Эта лемма используется при доказательстве следующего результата, позволяющего обосновать сходимость предложенного в § 3 главы 1 итерационного метода для рассматриваемой задачи теории сетчатых мягких оболочек.

Теорема 10. Пусть последовательность {г>„} из М слабо сходится kv в V при п —* +оо. Тогда многозначное отображение v —» M(v) является полунепрерывным снизу, т.е. для произвольной функции w из М(у) найдется такая последовательность {гип}, что

wn G M(v„) , п = 1,2,3,. .., lim ||w„- u;|| v = 0.

n—*+oo

В § 4 третьей главы рассмотрена задача теории мягких сетчатых оболочек с выпуклым допустимым множеством при наличии следящей поверхностной нагрузки.

Функция уз, описывающая поверхность препятствия, считается выпуклой на всей области её определения:

^(А(х1,12) + (1-А)(х1,х2)) < А <p(xi, х2) + (1 — A)ip(xi, Х2) V(xi, Х2) € R2, VA € [0,1],

и, таким образом, множество М, определенное с помощью (57), является выпуклым и множество М(у) совпадает с М.

Задача рассматривается при наличии поверхностной нагрузки Р интенсивности дГ в случае, когда показатели степенного роста функций, характеризующих физические свойства нитей, удовлетворяют условию шт{й,й} > 2. Обобщенная задача сформулирована следующим образом:

найти ив М : (А(и), и - и) - д* (В(и), и - и) > (/, V - и) Уи € М, • (65)

где оператор А и функционал / определены в (59), оператор В : V —> V' (пространство V задано в (56)) определен формой:

(Ви, и) = J([д1(u + (),д2(u + S)}>v)da \/и,у€У. а

Установлено, что оператор В секвенциально слабо непрерывен, пседомонотонен и ограничен. Эти свойства оператора В, а также установленные ранее свойства оператора А применены для получения критериев разрешимости задачи (65).

В четвертой главе проведено построение и обоснование приближенных методов для решения рассмотренных в диссертации задач теории мягких оболочек и теории фильтрации. Доказаны существование решения и сходимость конечномерных аппроксимаций указанных задач, обосновано применение итерационных методов, предложенных в первой главе, для их решения. Приведены результаты численных расчетов для модельных задач, свидетельствующие об эффективности рассмотренных в диссертации приближенных методов.

В § 1 четвертой главы методом конечных элементов построены аппроксимаци-онные задачи для квазивариационных неравенств (60) и (65) с множествами М С V, М(и) определенными, соответственно, в (57) и (61). Область Г!с й2 считается многоугольником. Введены регулярная триангуляция Т^ семейством треугольников К и пространство X^ равных нулю на границе множества Л непрерывных кусочно-линейных функций, ассоциируемое с триангуляцией. Определено конечномерное про-

о о о

странство V/, =Хн хД хХдСК с нормой, введенной в (56).

Множеству М С V, определенному в (57), сопоставлено множество М^ С

Мн П„е3(аО 4- У3(а) > ^(Щ£(сО + «(а)) , а (66)

множеству М(и) С М, определенному в (61), сопоставлено множество Мд(ы/,) С

Мн(ин) = {у 6 : (ПЛ6(а) + ч,(а) - ЩР»»(а))) > О, аеЩ, (67)

где П/, = {од € "П , I = 1,2,... - множество вершин треугольников К из П/Дя;) = I = 1,2,..., - интерполянт функции £ € [С(П)]3.

Установлено, что многозначное отображение иь е Ми : «л —* М^щ) является полунепрерывным снизу.

Задаче (60) поставлена в соответствие аппроксимирующая задача:

Найти ин е Мк : (Аик, ил - ин) > (/,ил - ин) , Чуй 6 Ми(ин). (68)

Установлена ограниченная лишпиц-ненрерывность (см. определение (14)) оператора А. определенного в (59).

Для решения задачи (68) рассмотрен следующий итерационный процесс:

Пусть и^ - произвольный элемент из Мн- Для к = 0,1,2,..., определим и(4+1) е как решение вариационного неравенства:

У„ещ««), (69)

где т > 0 итерационный параметр, 3 : V —> V" - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф из определения (14).

Исследована сходимость итерационного процесса (69): на основании теоремы 8 установлено, что все предельные точки и/, итерационной последовательности

являются решениями квазивариационного неравенства (68).

Далее доказано, что если оператор А в задаче (60) - псевдомонотонный, а последовательность решений задачи (68) слабо сходится к и" в V, то при Л; —+ 0 ее предел является решением задачи (60); установлена равномерная ограниченность по Л в пространстве V множества ин решений задачи (68). На основании этих ре-зультататов доказана сходимость конечномерных решений и^ к решению задачи (60) при /1 —► 0. Затем рассмотрен случай, когда правая часть и решение задачи (60) обладают дополнительной гладкостью. Доказано, что если решение и задачи (60) и правая часть / удовлетворяют условиям и € [И7^ (П)]3. (/ — Ли) £ Ь*, то выполнена оценка (множество М предполагается выпуклым и М(и) = М )

£ ЦТ*(С + «) - ПШ + «ЛНь, < СК, гдеВД =

гдер = тш{р1,р2} > 2, ? = р/(р— 1), через Ь* обозначено пространство, сопряженное к ЬР = [£у(П)]3, а поле Тк(ги) - это усилия в нитях к-го семейства деформированной поверхности ш.

В § 2 четвертой главы предложенные в настоящей диссертации итерационные методы применены для численного решения модельной задачи об определении положения равновесия бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся под воздействием следящей поверхностной нагрузки и ограниченной в перемещениях препятствием. Эта задача сводится к "одномерной" (П = [0,1]) в плоскости сечения. Следует отметить, что данная задача интересна с той точки зрения, что она отражает основные особенности рассматриваемых в диссертации задач с препятствием. В ряде случаев построены точные решения, что оказалось весьма полезным при оценке эффективности предложенных в диссертации приближенных методов.

Обобщенная задача сформулирована в виде неравенства (60) с псевдомонотонным и потенциальным оператором А : V —> V", А = Т + д"В и множеством допустимых конфигураций М, задаваемых соотношениями 1 I

сти, v) = / ^£1+ц'1)(б1 + у')лз _ (ви> (+ 1)г,2 _ и'2у1й$ > е1 = (!, 0),

J + и \ J

о о

М = г;2(5) > <р{в + ^(»^(з)) « € [0,1]} , V = IV} ([0,1])

где функция ш = (и^тг) описывает поперечное сечение оболочки в деформированном состоянии (начальное состояни £($) = я е [0,1]), функция t : Л+ —> Л+ характеризует физические свойства оболочки, функция 1р : Л1 —> Л1 описывает границу препятствия в Л2. Постоянная д' задает интенсивность следящей нагрузки, массовые силы отсутствуют (/ = 0). Множество допустимых направлений М{у) определено по аналогии с (61) в "плоском" варианте.

Рис. 1. а) Зависимомть числа итераций от г Ь) Задача с выпуклым препятствием

Для описанной задачи в случае, когда f(A) = (А —1)+ (таким образом р = 2), проведены численные рассчеты. Аппроксимация осуществлена по "одномерному" аналогу (Хь - пространство непрерывных кусочно-линейных на отрезке [0,1] функций) схемы, описанной в (66)-(68). Конечномерная задача решалась итерационным методом (69), критерий выхода - достижение заданной точности нормы разности соседних итераций. Наблюдалось, в частности, что количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, практически не зависит от числа узлов сетки. Характерная зависимость числа итераций от итерационного параметра г приведена на графике 1а. Сплошная линия соответствует случаю "плоского" препятствия (<р ~ const), линия с кружками - задаче с выпуклым препятствием. На рисунке lb сплошной линией изображено точное решение задачи с выпуклым препятствием, кусочно-линейной - приближенное. На рисунке 2а сплошной линией изображена зависимость погрешности от числа узлов сетки, линией с кружками - зависимость от числа узлов сетки расстояния между границей коинцидентного множества I(w) (см. 49) и ближашим узлом сетки вне I{vi). Анализ приведенных зависимостей, в частности, подтверждает известный факт о том. что в односторонних задачах построение сеток должно учитывать особенности, возникающие в районе границы коинцидентного множества. Наблюдается хорошее совпадение точного и приближенного решения. Это свидетельствует об эффективности предложенных в диссертации приближенных методов решения стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек.

0.014

0,012

001

ё 0.008

0

1

§■ 0.006

0.004

0.002 о

о 02 0« се ОБ 1

Рис. 2. а) Зависимость погрешности от числа узлов Ь) Закон с предельным градиентом

В § 3 четвертой главы проведено построение конечноэлементных аппроксимаций задачи фильтрации (45) с использованием регулярной триангуляции. При этом аппроксимирующее пространство построено на основе треугольных конечных элементов первого порядка. Доказаны теоремы существования решения конечномерных задач, теоремы сходимости итерационных методов для их решения. В случае сильной монотонности оператора А из неравенства (45) (это свойство выполняется, когда в законе фильтрации (38) константы зо, из (20), (21) равны нулю) и дополнительной гладкости решения ( и 6 ), получена оценка точности ||и - и;,||у = О (Ь1/2),

аналогичная оценкам, имеющимся для задач фильтрации с более гладкой, чем в настоящей диссертации, правой частью.

В § 4 четвертой главы проведено численное моделирование некоторых модельных задач фильтрации и сравнение приближенных решений с аналитически построенными характеристиками точных решений, известными из литературы. В частности, рассмотрена задача о цепочке равноудаленных скважин, расположенных на одной прямой с известным расходом q и многозначным законом фильтрации следующего вида:

!Лз, з < 1,

[А,1], в = 1, 0 < А < 1. (70)

я, я > 1,

Приближенное решение указанной задачи фильтрации сводится к следующей краевой задаче (считается, что выполнено условие 2 >> 1): уравнение (18) на области П={(1,})ей2:0<1<1,0<1/<2}с источником интенсивности д/4 в начале координат, с многозначным законом (37), (70) и краевыми условиями (29),

где г,. = {о < х < 1, у = гу, г2 = {х = о,о < у < г)и(о < х < 1, у = о>и(х =

1, 0 < У < 2'}' Аппроксимация этой краевой задачи построена в соответствии со схемой, изложенной в § 3. Полученные конечномерные задачи решались итерационным

а)

Ь)

Рис. 3. Многозначный закон а) д/4 < А

Ь) д/4 > 1

методом (1) с Н = У = [¿2(Я)]"(см. определение (42)). При этом решение задачи (2) (в силу того, что Р ^ 0) свелось к решению сеточного уравнения Лапласа с соответствующими краевыми условиями, а решение задачи (3) реализовано по формуле: 2/*+!) = + А'*'), где Ф* - функционал, сопряженный к функционалу

Ф(-) = г/2 \\-fy + Ф(-) (для рассматриваемой задачи получен явный вид градиента

На рисунке 2Ь приведены результаты расчетов для закона (70) с А = 0, что соответствует многозначному закону фильтрации с предельным градиентом (¿о = = 0,к = 1,Ь — 1,/? = 1,0 = 1 в (37)), при этом оператор А является обратно сильно монотонным с а = 1. На рисунке приведена триангуляция (задача решалась в области П с = 10), причем серым цветом закрашены элементы, на которых IV«/,| = /3, а линия ВР (на которой |Уи| = /3) построена по известным аналитеческим формулам для задачи о скважинах.

На рисунках За и ЗЬ приведены результаты расчетов для закона (70) с А = 0.5, что соответствует задаче (18) с сильно монотонным оператором. Темным цветом закрашены элементы, на которых = ¡3. а сплошные линии, построенные по

известным аналитическим формулам, ограничивают область, где |У«| = /?.

Расчеты показали, что оптимальным (в смысле количества итераций) является значение г = 1, при этом оптимальное значение т практически не зависит от числа узлов сетки.

В результате проведенных численных экспериментов подтверждена эффективность предложенных приближенных методов решения задач фильтрации.

УФ").

Список основных публикаций.

1. Бадриев И.В., Баидеров В.В., Задворнов O.A. О численном решении одномерных задач теории мягких оболочек // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 4-го Всеросс. сем. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002. - С. 17-18.

2. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов O.A. Исследование задачи о контакте нити с препятствием // Исследования по прикладной математике и информатике. -Казань: Изд-во Казанского госуниверситета, 2003. - Вып. 24. - С. 3-11.

3. Бадриев И.В., Бандеров В.В., Задворнов O.A. Постановка и численное исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004. Ч. I . -Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 390-395.

4. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов O.A. Постановка и численное исследование осесимметричной задачи о равновесии мягкой оболочки вращения// Исследования по прикладной математике и информатике. - Казань: Казанский государственный университет, 2004. - Вып. 25. - С. 11-33.

5. Бадриев И.В., Задворнов O.A. Исследование разрешимости стационарных задач для сетчатых оболочек// Известия ВУЗов. Математика. - 1992. - N 11. - С. 3-7.

6. Бадриев И.В., Задворнов O.A. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами// Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32. - N 7. - С. 898-901.

7. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением// Журнал вычисл. математики и матем. физики. -1997. - Т. 37. - N 12. - С. 1424-1426.

8. Бадриев И.В., Задворнов O.A., Саддек A.M. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами// Дифференциальные уравнения. - 2001. - Т. 37. - N 7. - С. 891-898.

9. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Построение и исследование сходимости итерационных методов решения вариационных задач с ведифференцируемым функционалом // Дифференциальные уравнения - 2002. - Т. 38. - N 7. - С. 930-935.

10. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О решении вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 4-го Всеросс. сем. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002. - С. 18-22.

11. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Известия ВУЗов. Математика. - 2003. - N 1. - С. 20-28.

12. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т. 39. - N 7. - С. 888-895.

13. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Исследование разрешимости осесимметрич-

вой задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения// Известия ВУЗов. Математика. - 2005. - N 1. - С. 12-18.

14. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Исследование стационарной задачи фильтрации с многозначным законом при наличии точечного источника// Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41. - N 7. - С. 874-880.

15. Бадриев И.В., Задворнов O.A. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42. - N 8. - С. 1115-1122.

16. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Исмагилов JI.H. Применение метода декомпозиции для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации // Исследования по прикладной математике и информатике. - Казань: Казанский государственный университет, 2003. - Вып. 24. - С. 12-24.

17. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Исмагилов Л.Н. Численное решение задачи о целиках остаточной вязкопластичной нефти // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения -XV". (3-9 мая 2004 г.). - Воронеж: Изд-во Воронежского госуниверситета, 2004. - С-20-21.

18. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Исмагилов Л.Н. Численное решение вариационных неравенств, возникающих при описании процессов фильтрации // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Матер. 5-го Всеросс. семинара. - Казань: Казанский государственный университет, 2004. - С. 24-25.

19. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Исмагилов Л.Н. Численное исследование вариационных неравенств теории стационарной фильтрации // Труды Средневолжско-го математического общества. - 2006. - Т. 8. - N 2. - С. 62-66.

20. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Исмагилов Л.Н., Скворцов Э.В. Решение задач об определении предельно равновесных целиков остаточной вязко - пластической нефти// Исследования по прикладной математике и информатике. - Казань: Казанский государственный университет, 2004. - Вып. 25. - С. 33-48.

21. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Ляшко А.Д. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с потенциальными операторами монотонного типа // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004. Ч. I. - Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 3-8.

22. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Ляшко А.Д. Исследование итерационных методов с переменным шагом для решения вариационных неравенств второго рода// Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. - N 7. - С. 908-919.

23. Задворнов O.A. О стационарных задачах контакта мягкой оболочки с препятствием // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Четвертого Всероссийского семинара. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002. - С. 55-61.

24. Задворнов O.A. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием// Известия ВУЗов. Математика. - 2003. - N 1. -С. 45-52.

25. Задворнов O.A. Математическое моделирование задач о контакте мягких оболочек с препятствием // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тезисы докладов Всеросс. конф., посвященной 70-летию со дня рожд. акад. А.Ф.Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.). - Екатеринбург: Изд-во ИММ УРО РАН, 2003. - С. 36-37.

26. Задворнов O.A. Математическое моделирование задач о контакте мягких оболочек с препятствием //Тезисы докладов Двенадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам, Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г. - М.: Изд-во МАИ, 2003. - С. 280 - 281.

27. Задворнов O.A. О сходимости итерационного метода решения квазивариационного неравенства // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Пятого Всероссийского семинара. - Казань: Казанский государственный университет, 2004. - С. 71-75.

28. Задворнов O.A. О формулировке обобщенной задачи теории фильтрации при наличии точечного источника // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 25. Материалы международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики". - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2004. - С. 119.

29. Задворнов O.A. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника// Известия ВУЗов. Математика. - 2005. - N 1. -С. 58-63.

30. Задворнов O.A. Приближенное решение квазивариационных неравенств, описывающих контактные задачи теории мягких оболочек// Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г. - М: Вузовская книга, 2005. - С. 180-181

31. Задворнов O.A. О сходимости полуявного метода с расщеплением для решения вариационных неравенств второго рода // Известия ВУЗов. Математика. - 2005. - N 6. - С. 61-70

32. Задворнов O.A. Исследование итерационного метода решения квазивариаци-оиного неравенства с потенциальным оператором// Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 6-го Всероссийского семинара. - Казань: Казанский государственный университет, 2005. - С. 86-91.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина Тираж 150 экз. Заказ 3/44

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 231-53-59, 292-65-60

Введение

глава 1. Итерационные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств.

§ 1. Итерационный метод решения вариационных неравенств с монотонным оператором в гильбертовом пространстве.

§ 2. Итерационный метод решения вариационных неравенств в гильбертовом пространстве в случае суммы монотонных операторов.

§ 3. Итерационный метод решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным потенциальным оператором в банаховом пространстве.

Глава 2. Исследование задач теории нелинейной фильтрации.

§4. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии точечного источника.

§ 5. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии нескольких точечных источников.

§ 6. Задача фильтрации с многозначным законом при наличии точечных источников.

Глава 3. Исследование задач теории мягких оболочек при наличии препятствия.

§ 7. Постановка задачи о равновесии мягкой оболочки, ограниченной в перемещениях препятствием.

§ 8. Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия.

§ 9. Свойства множества допустимых перемещений в задаче с препятствием выпуклой формы.

§ 10. Задача с выпуклым допустимым множеством при наличии следящей поверхностной нагрузки.

Глава 4. Приближенное решение стационарных задач теории нелинейной фильтрации и теории мягких сетчатых оболочек.

§ 11. Исследование приближенных методов решения задач о равновесии сетчатой оболочки с препятствием.

§ 12. Численное решение модельных задач о равновесии оболочки при наличии препятствия.

§ 13. Исследование приближенных методов решения задач фильтрации с точечными источниками

§ 14. Численное решение модельных задач фильтрации с точечными источниками

Вариационные и квазивариационные неравенства возникают при описании многих процессов механики сплошной среды, экономики, биомеханики и т.д. (см., например, [89], [115], [131], [161], [194], [197], [201]). Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения приходится использовать приближенные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [97], [115], [157], [159], [165], [186], [196], [198], [211]—[216], [221]—[223].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [94], [151], [166], [164], [206]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [135], [153], [184], [185], [199], [248]).

Диссертация посвящена построению и исследованию итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств, возникающих при математическом моделировании стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, находящихся под воздействием поверхностных и массовых сил, при наличии препятствия и стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации с предельным градиентом (в том числе при наличии точечных источников).

Математические модели сформулированы в виде вариационных и квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых пространствах. Доказаны теоремы существования и исследованы свойства решений этих неравенств. Предложены итерационные методы решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным оператором в банаховых пространствах, итерационные методы решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными операторами в гильбертовых пространствах. Проведено построение конечномерных аппроксимаций вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами, конечномерных аппроксимаций квазивариационных неравенств, доказаны теоремы разрешимости и сходимости. Получены оценки точности.

Проведено численное исследование модельных задач об определении положения равновесия бесконечно длинных и осесимметричных мягких оболочек, пространственных мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, задач фильтрации несжимаемой жидкости с многозначным законом фильтрации и задач об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязко-пластичной нефти при наличии точечных источников. Результаты численных экспериментов, их сравнение с имеющимися точными решениями подтвердили их эффективность.

Результаты диссертации могут быть использованы при решении задач увеличения нефтедотдачи, при проектировании строительных конструкций, а также в учебном процессе - при разработке новых учебных курсов, при выполнении курсовых и дипломных работ, курсовых проектов.

Методы теории монотонных операторов (см., например, [80], [89], [93],

98], [99], [110], [161], [172], [174], [219], [242], [261] - [263]), а также выпуклого анализа (см., например, [95], [102] - [108], - [107], [111], [117], [123], [150], [152], [175], [183], [197], [204], [205], [210], [217], [239], [240], [243]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [9], [88], [93], [100], [101], [108], [114], [115], [117], [120], [121], [149], [161], [162], [163], [197], [239], [242], [249]—[252], [255], [256], [260], [264]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [81], [90], [110].

Задачи с точечными источниками имеют многочисленные приложения. Достаточно хорошо эти задачи для специальных областей изучены в линейном случае (см., например, [109], [148], [225] и др.). Сеточные методы решения линейных задач с точечными источниками рассмотрены в работах [10]- [14]. Одним из приложений, в котором возникают такие задачи, является теория подземной фильтрации при наличии точечных источников, моделирующих скважины (см. [92], [154], [166], [218], [228]). Эти задачи играют важную роль при решении вопросов эффективной разработки нефтяных месторождений, и, в первую очередь, вопросов повышения нефтеотдачи. В случае, когда область фильтрации О, и функция, определяющая закон фильтрации, имеют специальный вид, указанные задачи имеют точные решения (см., например, [94], [132]—[134], [166], [191], [218]). В работах [116], [156], [158], [159], [178], [179], [180] в случае произвольной ограниченной области устанавливается существование обобщенного решения стационарной задачи фильтрации с законом, задаваемым функцией, имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенные задачи формулируются в виде уравнений или вариационных неравенств с оператором, действующим

О /1\ в случае линейного роста из соболевского пространства W 2 (ty в сопряженное с ним, и, соответственно, рассматривается ситуация, когда функция, описывающая плотность внешних источников, определяет ли

О /л \ нейный непрерывный функционал на W 2

В [159], [178], [156] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [116], [159], [178] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математические модели задач стационарной фильтрации с разрывным законом рассмотрены в работах [16], [17], [78], [155], [169], [176], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [15], [83] для задач фильтрации с разрывным законом построены конечно-разностные и конечно-элементные аппроксимации и исследована их сходимость. В [173] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом. В [17], [18], [78], [82], [84] рассматривались итерационные методы типа Удзавы и методы, основанные на использовании расширенного лагранжиана для решения задач фильтрации с разрывным законом.

Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [170], [180]—[182], [200], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным, строятся и исследуются разностные схемы.

Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [4]-[6], [126], [127], [207]—[209], [224]—[235], [254]). Одномерные задачи теории мягких оболочек рассматривались в [112], [118], [189]. Плоская задача о равновесном положении нити под воздействием нагрузки и ограниченной в расположении полуплоскостью поставлена в виде вариационного неравенства в [85]. Там же установлено существование решения этой задачи. В работе [122] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [96] построена модель сетчатой конструкции в рамках теории безмоментных оболочек. В работах [128]—[130] исследована корректность линеаризованных моделей сетчатых оболочек, находящихся в двухосном состоянии, предложены и исследованы методы их решения. В [233] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

1. Абрамов А. А., Гаипова А.Н. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования// Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1972. - Т. 12. - N 1.- С. 204-207.

2. Абрамов А.А., Гаипова А.Н. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы// Доклады АН СССР. 1973. -Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Авхадиева К.Ф., Бадриев И.В., Задворнов О.А. Сеточные методы решения стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Каз. мат. об-ва, 1999. - Вып. 21. - С. 50-67.

4. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, 1965. -Вып. 10. - С. 5-38.

5. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1966. - Вып. 11. -С. 31-52.

6. Алексеев С. А. Задачи статики и динамики мягких оболочек// Тр. VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.- С. 28-37.

7. Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом // В сб. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1968. - С. 202211.

8. Алишаев М.Г., Вахитов Г.Г., Гехтман М.М., Глумов И.В. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах// Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 1966. - N 3. - С. 166-169.

9. Алъбер Я.И., Рязанцева И.П. Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами регуляризующий алгоритм// Доклады АН СССР. - 1978 - Т. 212. - N 5. - С. 1017-1020.

10. Андреев В.В., Кряквина С.А. О функции источника сеточного оператора Лапласа// Журнал вычисл. математики и матем. физики. -1972 Т. 12. - N 2. - С. 364-373.

11. Андреев В.Б., Кряквина С.А. О фундаментальном решении одно-параметрического семейства разностных аппроксимаций оператора Лапласа на плоскости// Журнал вычисл. математики и матем. физики-1973-Т. 13.-N 2.-С. 343-355.

12. Андреев В.В. Новая сеточная аппроксимация задачи о скважине// Вычислительные методы и программирование. Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 34. - С. 95-103

13. Андреев В.Б., Архшова Е.Ю. Аппроксимация задачи о скважине на треугольной и шестиугольной сетках// Вычислительные методы и программирование. Москва: Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 34. - С. 103125

14. Андреев В. Б. Аппроксимация задачи о скважине на полярной сетке/ / Вычислительные методы и программирование. Москва: Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 34. - С. 125-128

15. Бадриев И.Б. Разностные схемы для нелинейных задач фильтрации с разрывным законом// Известия ВУЗов. Математика. 1983. - N 5. - С. 3-12.

16. Бадриев И. Б. О регуляризации нелинейной задачи теории фильтрации с разрывным законом// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. - Вып. 10. - С. 162-176

17. Бадриев И. Б. Применение метода двойственности к исследованию стационарных задач фильтрации с разрывным законом // Исследования по прикл. математике Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. -Вып. 13. - С. 67-75

18. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов О.А. Исследование задачи о контакте нити с препятствием // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Казанский государственный университет, 2003. - Вып. 24. - С. 3-11.

19. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости стационарных задач для сетчатых оболочек// Известия ВУЗов. Математика. 1992. - N И. - С. 3-7.

20. Бадриев КБЗадворнов О.А. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами// Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - N 7. - С. 898-901.

21. Бадриев И.В., Задворнов О.А. О сходимости итерационного процесса для решения вариационного неравенства второго рода// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1997. - Вып. 22. - С. 5-17.

22. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением// Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1997. - Т. 37. - N 12. - С. 1424-1426.

23. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О решении стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек с препятствием //Труды VIII Всеросс. шк.-сем. "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1999. - С. 22-26

24. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сходимости итерационных методов решения вариационных неравенств второго рода//Тез. междун. конф. OFEA-2001, (С.-Петербург, 25-29 июня 2001 г.). С.-Петербург: Изд-во С.-ПбГУ, 2001. - С. 8-9.

25. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Построение и исследование сходимости итерационных методов решения вариационных задач с недиф-ференцируемым функционалом // Дифференциальные уравнения -2002. Т. 38. - N 7. - С. 930-935.

26. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Известия ВУЗов. Математика. 2003. - N 1. - С. 2028.

27. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - N 7. - С. 888-895.

28. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. Казань: Казанский государственный университет, 2003. - 132 с.

29. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости осесим-метричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения// Известия ВУЗов. Математика. 2005. - N 1. - С. 12-18.

30. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование стационарной задачи фильтрации с многозначным законом при наличии точечного источника// Дифференциальные уравнения. 2005. - Т. 41. - N 7. - С. 874-880.

31. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42. - N 8. - С. 11151122.

32. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения смешанных вариационных неравенств // Труды Средневолжского математического общества. 2006. - Т. 8. - N 2. - С. 57-61.

33. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Исмагилов JI.H. Численное исследование вариационных неравенств теории стационарной фильтрации // Труды Средневолжского математического общества. 2006. - Т. 8. -N 2. - С. 62-66.

34. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Ляшко А.Д. Исследование итерационных методов с переменным шагом для решения вариационных неравенств второго рода// Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - N 7. - С. 908-919.

35. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Саддек A.M. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами// Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - N 7. - С. 891-898.

36. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Саддек A.M. О конечномерных аппроксимациях некоторых вариационных неравенств второго рода // Иссл-я по прикл. матем. и информатике. Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 8-21.

37. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Саддек A.M. О решении некоторых вариационных неравенств второго рода //Иссл-я по прикл. матем. иинформатике. Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. -С. 22-30.

38. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом// Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - N 7. -С. 1133-1144.

39. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного метода типа Удзавы для решения стационарной задачи теории фильтрации с предельным градиентом// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1985. - Вып. 13. - С. 56-67.

40. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Методы двойственности в прикладных задачах (общая теория). Казань: Изд-во Казанск. ун-та,1987. -147 с.

41. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве// Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1990. - Вып. 17. - С. 3-15.

42. Бадриев И.Б., Ляшко А.Д., Панкратова О.В. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации// Известия ВУЗов. Математика. 1998. - N И. - С. 8-13.

43. Бадриев И.Б., Панкратова О.В. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации// Исслед-ния по прикл. математике. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1989. - Вып. 16. - С. 17-34.

44. Бадриев И.Б., Панкратова О.В., Шагидуллин P.P. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом// Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33. -N 3. - С. 396-399.

45. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного статического состояния мягкой оболочки// Сеточные методы решения дифф. уравнений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. - С. 14-28.

46. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки и алгоритма их решения// Известия ВУЗов. Математика. 1992. - N 1. - С. 7-17.

47. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. Исследование сходимости итерационного процесса для решения одной стационарной задачи теории мягких оболочек // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанск.ун-та, 1992. - Вып. 18. - С. 3-12.

48. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространстве // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1997. - Вып. 22. - С. 17-21.

49. Байокки К., Капелло А. Вариационные и квазивариационные неравенства Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. - 448 с.

50. Бакушииский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. - 128 с.

51. Бандеров В.В., Задворнов О.А. Численное решение вариационных неравенств, возникающих в теории мягких сетчатых оболочек// Матер. Международной конференции "Ломоносов 2004" (Москва, 10-13 апреля 2004 г.). М.: Изд-во МГУ, 2004. - С. 3.

52. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. М - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.

53. Бенсусап А., Лионе Ж.-Л., Темам Р. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения// Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975. - С. 144274.

54. Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 с.

55. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагран-жа. М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

56. Бидермап В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки // Инж. журн. МТТ. 1966. - N 1. - С 84-89.

57. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во Московского ун-та, 1987. - 164 с.

58. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

59. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

60. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств // Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17, - N 11.- С. 2029 - 2040.

61. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств// Вариационно-разностные методы в математической физике. М., 1984. - С. 34 - 41.

62. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

63. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 518 с.

64. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

65. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 552 с.

66. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования// Изв. вуз. Математика. -1978.-N 11.-С. 23-33.

67. Васин В. В. Проксимальный алгоритм с проектированием в задачах выпуклого программирования. Препринт/ИММ УНЦ АН СССР. -Свердловск, 1982. - 47 с.

68. Васин В.В., Еремин В.В. Операторы и итерационные процессы фей-еровского типа. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2005. - 200 с.

69. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 348 с.

70. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

71. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 204 с.

72. Гимадиев Р.Ш. Расчет статических натяжений в одноосных мягких оболочках// Нестационарные задачи механики. Труды сем. Вып. 22.- Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та Казанск. филиала АН СССР, 1989. С. 69-72.

73. Гимадиев Р.Ш. Динамика мягких оболочек парашютного типа. -Казань: Казан, гос. энерг. ун-т, 2006. 208 с.

74. Главачек ИГаслипгер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. - 270 с.

75. Гловински Р.Г., Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

76. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации// Прикладная математика в научно-технических задачах. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 1976. - С. 12 - 21.

77. Голъштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Jla-гранжа. М.: Наука, 1989. - 400 с.

78. Гулин Б.В., Ридель В.В. Статика одноосных сосотояний мягкой оболочки/ / Нелинейные задачи строительной механики. Оптимизация конструкций. Киев: Изд-во Киевского инж. - строит, ин-та, 1978. -С. 119-122.

79. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1961.- 496 с.

80. Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифферент уравнения. 1995.- Т.31, - N 6.- С. 961 - 970.

81. Даутов Р.З., Павлова М.Ф., Шагидуллип P.P. Теорема существования для нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек // Сеточные методы решения дифф. уравнений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. - С. 50-57.

82. Демьянов В.Ф., Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация.- М.: Наука, 1981. 384 с.

83. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. - 432 с.

84. Девликамов В.В., Хабибуллин З.А., Кабиров М.М. Аномальные нефти. М.: Недра, 1975. - 168 с.

85. Днепров И.В., Пономарев А. Т., Радченко А.В., Рысев О.В. К определению напряженно-деформированного состояния мягкой несущей системы // Известия АН СССР. Серия МТТ. 1991. - N 2. - С 140148.

86. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Рысев О.В., Семушин С.А. Исследование процессов нагружения и деформирования парашютов// Математическое моделирование. 1993. - Т. 5. - N 3. - С .97-109.

87. Дьяконов Е.Г. Об одной задаче теории сетчатых оболочек и ее разностном аналоге// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. - Т. 9.- N 2. С 350-361.

88. Дьяконов Е.Г., Николаев И.К. Оценки области разрешимости для системы уравнений безмоментной сетчатой цилиндрической оболочки в случае первой краевой задачи //Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3. - N 8. - С .1313-1324.

89. Дьяконов Е.Г., Николаев И.К. О решении некоторых задач теории сетчатых оболочек // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. -Т. 13. - N 4. - С .938-951.

90. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

91. Ентов В.М., Малахова Т.А., Панков В.Н., Панъко С.В. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти из слоисто-неоднородного пласта// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 1. - С. 113-123.

92. Ентов В.М., Панков В.Н., Панъко С.В. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1989. - 196 с.

93. Ентов В.М., Панъко С.В. К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти// Прикладная математика и механика. -1984. Т. 48. - N 6. - С. 966-972.

94. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Строй-издат, 1980. - 304 с.

95. Задворнов О.А. О стационарных задачах контакта мягкой оболочки с препятствием // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Четвертого Всероссийского семинара. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002. - С. 55-61.

96. Задворнов О.А. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием// Известия ВУЗов. Математика. 2003. - N 1. - С. 45-52.

97. Задворнов О.А. О сходимости итерационного метода решения квазивариационного неравенства // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Пятого Всероссийского семинара. Казань: Казанский государственный университет, 2004. - С. 71-75.

98. Задворнов О.А. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника// Известия ВУЗов. Математика. 2005. - N 1. - С. 58-63.

99. Задворнов О.А. О сходимости полуявного метода с расщеплением для решения вариационных неравенств второго рода // Известия ВУЗов. Математика. 2005. - N 6. - С. 61-70

100. Иваненко Д.Д., Соколов А.А. Классическая теория поля (новые проблемы). М.: Гостехиздат, 1951. - 480 с.

101. Игнатьева М.А., Лапин А.В. Решение задачи о препятствии методом декомпозиции области // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. 2005. - Т. 147. - Кн. 3. - С.112-126.

102. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. -М.: Физматлит, 2003. 304 с.

103. Ильинский И.В., Шешуков Е.Г. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной областью годографа скорости// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 10. - С. 34-40.

104. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

105. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ / Белоцерков-ский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. / Под ред. Бе-лоцерковского С.М. М.: Машиностроение, 1987. - 260 с.

106. Кадетт В.В. Методы математической физики в решении задач нефтегазового производства. М,- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 - 148с.

107. Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами// В сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - 1979. - Т. 10. - N 5. - С. 63-78.

108. Карчевский М.М., Лапин А.В. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. -1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

109. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

110. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Исследования нелинейных задач теории фильтрации// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - Вып.11. - С. 64-72.

111. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1976. -156 с.

112. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. - 256 с.

113. Конное И.В. Комбинированный релаксационный метод для обобщенных неравентсв // Известия ВУЗов. Математика. 2001. - N 12. - С. 45-54.

114. Конное И. В. Двойственный подход для одного класса смешанных вариационных неравенств// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. - Т. 42, - N 9. - С. 1324-1337.

115. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. - 166 с.

116. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. J1: изд-во Лениградского ун-та, 1977. - 208 с.

117. Котляр JI.M., Скворцов Э.В. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом. Казань: Изд-во Ка-занск. ун-та, 1978. - 144 с.

118. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

119. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. - 407 с.

120. Лапин А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. - Т. 19.- N 3. С. 689 -700.

121. Лапин А.В. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16.- N 7. С. 1245-1254.

122. Лапин А.В. Аппроксимация нелинейных стационарных вариационных неравенств // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. - Вып. 9. - С. 9-24.

123. Лапин А.В. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. 96 с.

124. Лапин А.В. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом// Вычислит, процессы и системы. -М.: Наука, 1987. Вып. 6. - С. 192-198.

125. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

126. Jlopan П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. -496 с.

127. Ляшко А.Д., Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами //Известия ВУЗов. Математика. 1978. - N И. - С. 63-69.

128. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации// Изв. ВУЗов. Математика. 1975. - N 6.- С. 73-81.

129. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации// Изв. ВУЗов. Математика. 1983.- N 7. С. 28-45.

130. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 122 с.

131. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации// Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. - N 7. - С. 1255-1264.

132. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

133. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

134. Магула В.Э. Обзор работ, выполненных в лаборатории мягких оболочек в 1959-1967 г.г.// Сообщ. Лаборатории мягких оболочек. Владивосток: ДВВИМУ, 1967. - Вып. 1. - С. 5-53.

135. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. - 263 с.

136. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

137. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1977. - 264 с.

138. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку: Азнефтиздат, 1966. - 409 с.

139. Мифтахов Р.Н. Исследование ткани желудка человека при одноосном растяжении// В сб. Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанского физико-технического института Казанского Филиала АН СССР, 1983. - С. 163-171.

140. Мифтахов Р.Н., Абдюшева Г.Р., Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Шагидуллин P.P. Математическое моделирование перистальтики кишечника// Вестник СПбГУ. Серия 4 (физика, химия). 1994. - N 1 -С. 147.

141. Мифтахутдинов Б.А., Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Некоторые вопросы плоской стационарной нелинейной фильтрации// В сб. Проблемы гидродинамики и рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1971. - С. 51-70.

142. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 430 с.

143. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29. - Вып. 3. - С. 468 - 492.

144. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред.- М.: Наука, 1981. 208 с.

145. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматлит, 1958. - 244 с.

146. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.- М.: Мир, 1980. 384 с.

147. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 516 с.

148. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

149. Отто Ф., Тростелъ Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.

150. Павлова М. Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации// Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 8. - С. 14361446.

151. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. - 496 с.

152. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. - 664 с.

153. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

154. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

155. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

156. Ридель В.В. К расчету каркасированных мягких оболочек// В сб. Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та Казанск. филиала АН СССР, 1983. - С. 133-145.

157. Ридель В.В. Математическое моделирование и расчет мягких каркасированных оболочек// Нестационарные задачи механики. Труды семинара. Вып. 22. Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та Казанск. филиала АН СССР, 1989. - С. 48-68.

158. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. - 206 с.

159. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 466 с.

160. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.- 552 с.

161. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

162. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

163. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. - 315 с.

164. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.- 432 с.

165. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

166. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. - 244 с.

167. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкостей.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 76 с.

168. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. - 448 с.

169. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. - 656 с.

170. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 512 с.

171. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. 512 с.

172. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981. 408 с.

173. Усюкин В. И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1976. - N 1. - С. 70-75.

174. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с чатными производными. М.: Мир, 1965. - 380 с.

175. Христианович С. А. Движение грунтовых вод, не следующих закону Дарси // Прикладная математика и механика. 1940. - Т. 4. - Вып. 1. - С. 33-52.

176. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостехиздат, 1963. - 396 с.

177. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтя-ных пластах. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1982. - 208 с.

178. Шагидуллип P.P. Тензорные аргументы для функционала полной энергии мягкой оболочки// Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всероссийского семинара. Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, 1998.- С. 79-81.

179. Шагидуллип P.P. Минимизация функционала полной энергии для мягкой оболочки // Известия ВУЗов. Математика. 1998. - N 3. -С. 65-73.

180. Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки // Известия ВУЗов. Математика. -1999. N 5. - С.73-80.

181. Шагидуллин P.P. Исследование положительных по кривизне решений системы уравнений равновесия мягкой замкнутой цилиндрической оболочки // Известия ВУЗов. Математика, 2000. N И. -С. 85-96.

182. Шагидуллин P.P. Проблемы математического моделирования мягких оболочек. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2001. - 235 с.

183. Шешуков Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной среде// В сб. Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - С. 183-194.

184. Шешуков Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной грунте// Труды семинара по краевым задача. Выпуск 12. Казань: Изд-во Казанского государственного ун-та, 1975. - С. 194-203.

185. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. - 400 с.

186. Эрроу К., Гурвиц, Удзава Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962. - 334 с.

187. Яковлев Г.Н. Граничные свойства класса Wpl) на областях с угловыми точками //ДАН СССР. -1961. Т. 140, N 1. - С.73-76.

188. Alber У., Ryazantseva I. Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type. Berlin: Springer, 2006. - 410 p.

189. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities// Numerical Funct. Anal, and Optimiz. 1989. - V. 10. - N 9-10. - P. 863874.

190. Browder F.E., Petryshin W. V. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces// Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - V. 72. - P. 571-575

191. Browder F.E., Petryshin W.V. Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces// J. Math. Anal. Appl. 1967. - V. 20. -P. 197-228

192. Edward W. A general theory of parachute opening// J. Aircraft. 1972.- V. 9. N 4. - P. 257-258

193. Gabay В., Mercier B. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation// Сотр. and Math, with Applications, Pergamon Press. 1976. - V. 2 . - P 17-40.

194. Konnov I. Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities.- Berlin: Springer, 2001. 181 p.

195. Lapin A.V. Geometric convergence of iterative methods for variational inequalities with M-matrices and diagonal multivaued operators. -//Computational Methods in Applied Mathematics. 2002. - Is. 2. -N. 1. - P. 26-40.

196. Kydoniefs A.D. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane Enclosing a Rigid Body// Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1969. - V. XXII. - Pt. 3. - P 319-331.

197. Kydoniefs А.В., Spenger A.J.M. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane // Int. Journ. Engng. Sci. -1967. V. 367. - N. 5. - P 87-95.

198. Lions P.L., Merscier B. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators//SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. - N 6. -P. 964-979.

199. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces// Proceedings of Amer. Mathem. Soc. 1977. - V. 63 (1). - P. 6973.

200. Numerov S.N. Nonlinear seepage in anisotropic media// 15th Congr. Int. Assoc. Hydraul. Res. V. 3. - Istanbul, 1973. - P. 39 - 46.

201. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 73. N 4. - P. 591-597

202. Raviart P.A. Sur l'approximation de certaines equations linearies et non linearies // J. Math. Pures et Appl. 1967. - V. 46. - P. 11-183.

203. Resolution num£riques de problfemes aux limites par des methodes de Lagrangien augmente /Eds M.Fortin, R.Glowinski. Paris: Dunod, 1983. - 320 p.

204. Rockafellar R. T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities// in Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografia Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P. 35-65.

205. Rockafellar R.T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming// SIAM J. Control and Optimization. 1974. -V. 12. - N 2. - P. 268-285.

206. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented Lagrangian Methods in Nonlinear Programming// Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3. - P. 1-25.

207. Tzeng P. Futher Applications of a Splitting Algorithm to Decomposition in Variational Inequalities and Convex Programming// Mathematical Programming. 1990. - V. 48. - P. 249-264.

208. Zhu D., Marcotte P. New classes of generalized monotonicity// Journal of Optimazation Theory and Applications. 1995. - V. 87. - N 2. - P. 457471.