Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей

Неустроева, Наталья Валериановна

Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Неустроева, Наталья Валериановна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Якутск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей"

004603771

На правах рукописи

НЕУСТРОЕВА Наталья Валериановна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ УПРУГИХ ТЕЛ РАЗНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

1 О К/он

Якутск - 2010

004603771

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Института математики и информатики ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хлуднев Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), доктор физико-математических наук, профессор Намм Роберт Викторович, Тихоокеанский государственный университет (г. Хабаровск)

Ведущая организация:

Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск

Защита состоится 18 июня 2010 года в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при Якутском государственном университете имени М.К. Аммосова по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Федоров В.Е.

I. Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена изучению нового класса задач о контакте упругих тел разных размерностей и проблемы жестких включений в контактных задачах.

Актуальность темы. С каждым годом наблюдается возрождение интереса к теории упругости, как в отношении физических основ, так и в отношении математической теории. Объектом исследования данной теории являются математические модели, описывающие многие реальные физические явления. С помощью таких моделей можно описать широкий класс процессов деформирования твердых тел. Моделирование процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент. Возникающие при этом математические задачи оказываются весьма интересными и актуальными.

Среди математических задач механики деформируемого твердого тела важное место занимают контактные задачи со свободной границей. В этом случае область контакта заранее неизвестна и определяется в процессе самого решения. Задачи с неизвестной областью контакта, как правило, нелинейные. Они привлекают в настоящее время все большее внимание математиков - как специалистов по уравнениям с частными производными, так и специалистов по вычислительной математике.

Значительное продвижение в исследовании контактных задач с неизвестной областью контакта произошло в связи со становлением и развитием теории вариационных неравенств. Вариационный подход оказался очень эффективным. Такая постановка задачи учитывает возможный отход пластины от жесткого или упругого тела. Впервые задача о равновесии упругого тела с односторонними ограничениями была рассмотрена в работе А. Синьорини (1933 г.). Исследованная им задача состоит в определении напряженно - деформированного состояния линейно упругого тела П, контактирующего с жесткой поверхностью, когда (при использовании вариационного подхода) на кинематически возможные состояния V накладывается дополнительное ограничение в форме неравенства

ы/ < 0 на Ш,

где - граница тела П, и - единичная внешняя нормаль к сЮ. Результаты А. Синьорини были обобщены в различных направлениях в ряде работ Ж.Л. Лионса, Ж. Дюво, Г. Фикеры, Г. Леви. Отметим, что свойства

решений этой задачи впервые исследованы в работе Г. Фикеры, стимулировавшей исследования широкого класса контактных задач с неизвестной областью контакта.

Впоследствии развитию теории и методов решения конкретных задач были посвящены работы многих исследователей, как зарубежных, так и отечественных. Среди них отметим работы A.C. Кравчука, L.A. Caffarelli, Г.И. Львова, A.M. Хлуднева, И. Главачека, В. Schild, G. Dal Maso, К. Бай-окки, П. Панагиотопулоса, А. Фридмана, В.М. Садовского, J. Sokolowski, В.А. Ковтуненко и др.

В данной диссертационной работе изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами, описывающие контакт двух упругих тел разных размерностей и проблему жестких включений. Это новый класс задач механики деформируемого твердого тела в приложении к теории упругости. Основная трудность в задачах определяется наличием ограничений типа неравенств, налагаемых на решения. Ограничения носят геометрический характер и являются условиями взаимного непроникания упругих тел. Следовательно, краевые условия на негладких компонентах границы будут иметь вид системы уравнений и неравенств. Учет включений при контакте упругих тел разных размерностей приводит к новым постановкам задач, существенно отличных от постановок классических контактных задач теории упругости. Несмотря на своеобразие указанных задач, они по своей физической природе и структуре описывающих их уравнений и краевых условий родственны классическим контактным задачам (задачам типа Синьорини).

В рамках работы мы исследуем однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала, которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния (и соответствуют линейной модели Кирхгофа-Лява). Равновесие таких пластин описывается эллиптическим уравнением четвертого порядка, которое выполнено в области с разрезом.

Цель диссертационной работы — постановка и строгое математическое обоснование разрешимости краевых задач о контакте упругих тел разных размерностей.

Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Работа носит теоретический характер. Выводы и теоремы, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Доказательства основаны на получении априорных оценок для вариационных неравенств с использованием пространств Соболева. Применяются

методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, выпуклого анализа, вариационного исчисления.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- установлена разрешимость задачи о контакте упругой пластины с тонкой упругой балкой; найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и их точная формулировка; обоснована смешанная формулировка рассматриваемой задачи;

- исследован предельный переход от упругого включения к жесткому в задаче об одностороннем контакте двух упругих пластин; показано, что предельные задачи в точности описывают контакт упругой пластины с жесткой балкой и задачу о равновесии упругой пластины с жестким включением; установлена разрешимость задач, найдены краевые условия, выполненные на возможном множестве контакта, и дано полное описание характера их выполнения;

- установлена разрешимость задач об одностороннем контакте упругих пластин с жесткими включениями; найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта, и соотношения, описывающие влияние внешних сил, действующих на жесткую часть пластины; доказана эквивалентность двух постановок; доказано, что задачи являются предельными для семейства задач с упругими включениями при стремлении параметра жесткости к бесконечности.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Область приложений полученных результатов - краевые задачи для уравнений математической физики. Полученные результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач механики деформируемого твердого тела. Результаты также могут быть использованы при дальнейшем аналитическом и численном анализе контактных задач с неизвестной областью контакта для тел разных размерностей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах: «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа», ИМ СО РАН (рук. проф. B.C. Белоносов и д.ф.-м.н. М.В. Фокин); «Математические проблемы механики сплошных сред», ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН П.И. Плотников); семинар отдела механики деформируемого твердого тела, ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин); «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики», ИМ СО РАН (рук. д.ф.-м.н. A.M. Блохин).

Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Научная конференция «Лаврентьевские чтения РС (Я)» (Якутск: 2005, 2008); ХЫН Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск: 2005); Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2009); XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМОНОСОВ» (Москва: 2010).

Исследования по теме диссертации выполнены при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (проект №0601-00209), гранта Президента Республики Саха (Якутия) молодым ученым и студентам на 2009 г., гранта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по мероприятию 1.3.2. «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (госконтракт №533 от 05 августа 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [1] - [9]. Из них 3 работы - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 86 страниц. Общее количество иллюстраций в работе 4. Список цитируемой литературы содержит 103 наименования.

II. Краткое изложение содержания диссертации

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы диссертации, проведен аналитический обзор литературы, в кратком виде приводится содержание работы.

В первой главе, содержащей три пункта, исследована задача об одностороннем контакте упругой пластины с тонкой упругой балкой. Балка интерпретируется как тонкое упругое препятствие. Центральной особенностью задачи является ограничение типа неравенств, налагаемое на вектор перемещений на внутренней границе. При этом ограничение на перемещение задано на множестве, размерность которого меньше размерности области решения. Основное внимание в работе уделено описанию краевых условий на зоне возможного контакта, обоснованию смешанной формулировки задачи, а также исследованию жесткого включения в задаче о контакте упругой пластины с тонкой упругой балкой.

В п.1.1 ставятся вариационная и дифференциальная постановки крае-

вой задачи. Решение ищется в ограниченной области Q пространства R2 с гладкой границей Г, 7 = (0,1) х {0} С (2 - кривая возможного контакта. Область П отвечает срединной поверхности пластины, а 7 - тонкому упругому препятствию (балке). Внешнюю нормаль к Г обозначим через п = (п1,пг). Введем пространства Соболева

#2(fi) = {«; е Я2(П) | ш = wn = 0 на Г},

H'oil) = {«€ Я2(7) | г/, = их = 0 на д7),

где H2(Q), Н2(7) - пространства функций Соболева, суммируемых с квадратом вместе со вторыми и первыми производными в П, 7 соответственно. Рассмотрим множество допустимых перемещений

К = {(и;,и) е #о(Г2) х Hl{7) | ?уу - и > 0 на 7}.

Множество К является замкнутым и выпуклым. Отсюда следует, что А" будет слабо замкнутым в #ц(Г2) х 7) множеством. Определим функционал энергии на Щ(0.) х Щ(-у)

П(и;, ы) = i J dijkiw,kiiu,ij - J fw + ~ J au2xx - J gu,

n и 7 7

где го,( = i = 1,2, (.ть.х2) = = xi; / e € L2( 7),a €

Loc(7) - заданные функции, a > > 0, Cq = const-, ¿цы € Lx(fl) - заданный тензор, удовлетворяющий условиям симметрии и положительной определенности. Всюду используем правило суммирования по повторяющимся индексам, индекс после запятой обозначает производную по соответствующей переменной. Функции, заданные только на 7, будем отождествлять с функциями одной переменной х.

Решаем задачу минимизации функционала энергии П(«;, и) на заданном множестве К

inf П(«;,И). (1)

Решение этой задачи существует, так как функционал коэрцитивный и слабополунепрерывный снизу. Используя дифференцируемость по Гато и выпуклость функционала энергии, можно показать эквивалентность задачи (1) и следующего вариационного неравенства

(w, и) е К, J dijkiWM{wjj - wtij) - J f(w - w)+

£««„(«,.. - ихх) - Jд(и — и) > 0 и) € А". (2)

7 7

Физический смысл функций, входящих в вариационное неравенство (2) следующий: ы - перемещение точек срединной поверхности пластины вдоль вертикали, и - перемещение точек тонкого упругого препятствия вдоль вертикали, /,д - заданные внешние нагрузки, <1{щ ~ тензор модулей упругости пластины, а - коэффициент упругости балки.

Выпишем дифференциальную постановку задачи (1), (2). Именно, требуется найти функции и;, и, заданные на П7 = П\7 и на 7, такие, что

Кд/'ШыХу = /, в (3)

= в П7, ¿о'= 1,2, (4)

■и; — шп = 0 на Г, (5)

■ш — и > 0, [и;] = [«;„] = 0, [т„] = 0 на 7, (6)

[*"(т)] > 0, [Г(т)](ы - и) = 0 на 7, (7)

[Г(т)] = ~(аитх)хх -1- д на 7, (8)

и = их = 0 на 07. (9)

Здесь [г>] = — а и* соответствует значениям V на Е^ согласно выбранному направлению нормали ь>, где Е - произвольная замкнутая кривая класса С1'1, содержащей 7. При этом (3) суть уравнение равновесия, (4) -уравнение состояния (соответствующие линейной модели Кирхгофа-Лява упругого деформирования пластины); т„, ¿"(т) - изгибающий момент и перерезывающая сила на границе соответственно, задаваемые формулами

т„ = -т^щ, г"{т) = -тц&щщ - з = («ь в2) = "О-

Соотношения (5), (9) обеспечивают защемление пластины на Г и балки на З7. Первое условие в (6) описывает взаимное непроникание пластины и балки. Второе условие в (6) - условие склейки. Условие (8) задает уравнение балки. Условия в (7) сопровождают условие взаимного непроникания пластины и балки. Краевые условия на зоне возможного контакта выполнены в обобщенном смысле: последнее условие из (6) выполнено в смысле

<КЫ1/2,Е = 0 У^€Я1/2(Е); первое условие из (7) вместе с условием (8) - в смысле неравенства

{[Г(т)], ¥>Ь/2,в + (('»'•••,••)" - 9, Ф)2П > 0 Чр, ф) € К: (10)

а второе условие из (7) - в смысле

<[«"н],®)з/2,е + ((<»'..-,},, - д,и)2г1 - 0, (11)

где скобки (■, обозначают двойственность между пространствами

#г/2(Е) и Н~'/2(Е), г = 1,3, соответственно. Система краевых условий (5) -(9) является полной, в частности, из (3) - (9) можно вывести вариационное неравенство (2). Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Задачи (1), (2) и (3) - (9) эквивалентны. Кроме того, существует единственное решение («;, и) задачи (1), которое является также и решением задач (2) и (3) - (9).

В п. 1.2 мы предлагаем другой подход к задаче - смешанную формулировку. Решение будет определяться в области с разрезом в более широком пространстве функций. Рассматривается дополнительная функция М = аиТХ — С, где б является решением краевой задачи Схх = д на 7, С — 0 на 07. Введем пространство функций

Я(П7) = {(гп,М) | тп = = 1,2, М; т,гщш € £2(П7),М € ¿2(7)}

с нормой

II(т>М)\\Ъ(П.,) - 11т11^(п,) + 1К,Ы1:ип7) + \\ЩЬЬУ

Краевое условие (8) перепишем в виде

[¿"(т)] = -Мхх, (М + в)^1 = ихх на 7. (12)

Введем множество допустимых моментов

К{П.) = {(т,М) | т = {т.И},1,з = 1,2\т,т1Ш е 1?(ПУ),М € Ь2{7);

К] = 0, [«"(т)] > 0, №)] = -Мхх на 7}, где краевые условия на 7 для т, М выполняются в смысле

(КЫуад = о ч<р е Н1'2{Е),

([«"Н],рЬде + (\1 > о е к.

Следует заметить, что если т, € £2(Г27), то скачки [771,,], [¿"(тп)] определены на Е как элементы Н~1/2{Е) и Н~3/'2(Е) соответственно. При этом множество ЙГ(П7) является замкнутым и выпуклым, следовательно, слабо замкнутым в пространстве Н(0.7). Таким образом, приходим к следующей

смешанной постановке вариационной задачи (1), (2): найти функции ю, т = {;»,,}, г,] — 1,2, М, такие, что

Если задача (13) - (15) решена, то функция и однозначно восстанавливается из (12) и (9) причем и € ЩЬ')- Следует отметить, что перемещения пластин и балки в этой постановке формально находятся из достаточно широких классов функций, поэтому никаких краевых условий для перемещений данная задача не содержит. Тем не менее, все краевые условия содержатся в предлагаемой формулировке задачи. Основным результатом п. 1.2 является доказательство следующих теорем:

Теорема 2. Существует единственное решение задачи (13) - (15).

Теорема 3. Смешанная формулировка (13) - (15) с условиями (9), (12) и вариационная формулировка (1), (2) задачи (3) - (9) эквивалентны.

Отметим, что существование решения задачи (13) - (15) доказывается независимо от вариационной задачи (2).

В п.1.3 рассматривается задача о равновесии упругой пластины, содержащей жесткое включение. Термин «жесткое включение» означает, что перемещение точек тела подобласти является элементом пространства аффинных непрерывных функций. При этом пластина контактирует с упругой балкой. На части границы между жестким включением и упругим телом расположена зона контакта. Пусть г2 с я2 - ограниченная область с гладкой границей Г, а П]. с П - подобласть с гладкой границей Е, такая что Е П Г = 0. Пусть Е состоит из двух частей 7 и Е\7, причем 7 = (0,1) х {0} с теав(Е\у) > 0. Обозначим через п — (гц.пч) внешнюю единичную нормаль к Г, а нормаль к 7 (направленную в сторону П\Пх) через г/ = (г^,^). При этом область соответствует жесткому включению. Кривая 7 - тонкое упругое препятствие (балка). Область Г2 - срединная поверхность пластины, а соответствует упругой части пластины.

иеЬ2(Ат), {т,М)еК{аг), -тцц = / в

(13)

(14)

(15)

Вводим пространство жестких перемещений в следующем виде

L(fli) = {I | l(x) = (iQ+aiXi+a,2X2, а, = const, i = 0,1,2; х = (xi,x'i) € fii}.

Задача ставится следующим образом. В области fi7 = Q\y и на ■у требуется найти функции и, w: ад^ € а в области Q\Î2i найти также функции

m = {m;j}, i,,j — 1,2, такие, что

(dijkiii>,ki),ij = / в Q\nb (16)

niij --- —dijkflojd в ft\Ûi, (17)

w = wn = 0 на Г, (18)

w — и > 0 на 7, (19)

м = их = 0 на 07, (20)

= /0 на f)b ln е ¿(ПО, (21)

j t»(m)ln - J m,J,а,, - J f l0 + J((au„),* - g)u = 0, (22)

E E iîi 7

- Jtv(m)- w + J mv-wv + J fw + J{{auxr)xx - д)й < 0 V(ti),«) G К.

S S fi, 7

(23)

Здесь «,,< = i = 1,2, (хьж2) S Г2; u* = f, .r = xx; / G €

L2(7), a 6 L°°(7) - заданные функции, a > cq > 0, c0 = const; dijki € LX(Q) - заданный тензор, удовлетворяющий условиям симметрии и положительной определенности. Уравнение (16) суть уравнение равновесия, (17) -уравнение состояния. Соотношения (18), (20) обеспечивают защемление пластины на Г и балки на d'y. Неравенство (19) описывает взаимное непроникание пластины и балки. Заметим, что внешняя сила приложена ко всем точкам пластины, то есть к его упругой и жесткой частям, несмотря на то, что в жесткой части уравнение равновесия не выполнено. Влияние внешних сил на жесткую часть пластины учитывается с помощью соотношения (22) и неравенства (23).

Рассмотрим вариационную постановку исходной задачи, из которой, в частности, следует существование и единственность решения. Введем пространство Соболева

= {w € H2{Q) I w = wn = 0 на Г; w|ni € L(Q 1)}.

Определим функционал энергии на #2,П1(0) х #0(7)

П(и;,м) = ^ У (/уи- J ¡ы + ^ J аи2хх - ^ ди.

П\П, «77

Рассмотрим множество допустимых перемещений

А: = {(и;,м) е х #¿(7) | «; - и > 0 на 7}.

Множество К является замкнутым и выпуклым. Отсюда следует, что К будет слабо замкнутым в х Щ(7) множеством. Решаем задачу

минимизации функционала энергии П(«;,м) на заданном множестве /Г

Ы ПК«). (24)

{т,и)еК

В силу коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу функционала П(ш, и) задача минимизации (24) имеет решение. Используя дифференци-руемость и выпуклость функционала энергии, можно показать эквивалентность задачи (24) и следующего вариационного неравенства

(ш, и) е К, У (%/ад,ы(№у - - J Я™ ~

л\п, п

£ «М:г.-(|':г.г — «га) — J д{й — и) > 0 У(й),й) € К. (25)

7 7

Можно также показать, что решение задачи (24), или, что то же, задачи (25) единственно.

Теорема 4. .Если вариационное решение задачи (25) является достаточно гладким, то оно удовлетворяет уравнениям (16), (17) с краевыми условиями (18) - (23). Каждое гладкое решение уравнений (16), (17) с краевыми условиями (18) - (23) является также вариационным решением.

В п.1.3 также доказывается, что контактная задача с жестким включением будет предельной для семейства контактных задач с упругими включениями. Оказывается, что предельная задача будет в точности совпадать с вариационным неравенством (25).

Во второй главе, состоящей из 4 пунктов, рассматриваются односторонние контактные задачи для двух упругих пластин, расположенных под заданным углом друг к другу. При этом нижняя пластина содержит жесткое включение. Центральной особенностью рассматриваемых задач

являются, кроме ограничений типа неравенств, соотношения, описывающие влияние внешних сил на жесткую часть пластины. Основное внимание уделено описанию краевых условий на зоне возможного контакта, а также предельным переходам по параметрам жесткости пластин.

В п.2.1 излагается постановка семейства задач, описывающих контакт двух упругих пластин, с упругими включениями. Семейство характеризуется параметром Л > 0, а предельный случай будет соответствовать Л = 0. Пусть О, С Я2 - ограниченная область с гладкой границей Г, вектор внешней нормали к которой обозначим через д = (71,72) • Область отвечает срединной плоскости верхней (горизонтальной) пластины. Срединную поверхность нижней пластины обозначим через <3, считая ее ограниченной областью в Я2 с гладкой границей дй. Через п = (111,71-2) обозначим единичный вектор внутренней нормали к дС. Пусть (?1 С С подобласть с границей 5С?1, такая, что дGl состоит из двух частей 7 и Д7. Полагаем, что 7 - связное множество (интервал) и 7 П Г ф 0. Угол между П и б обозначим через а, а € (0; §]. Будем считать, что П П С = 0, Г2 П 9(3 ф 0.

Обозначим 7о = (dG)\fl. В этом случае 0G = 7 U 70. Пусть и = z^) -

вектор нормали к 7, расположенный в области Í2, а 1/ = (Ц,^) - вектор нормали к dG\ расположенный в области G. Пусть Q-. = П\7.

В областях П7 и G будем решать следующую задачу. Требуется найти функции wx, их, тх = {тпу}, Мх = {m¿j}, i,j = 1,2, такие, что

~mij,ij = /. в fi7, (26)

= ~<l,j»wxu в Г>7, (27)

= в G, (28)

•Ч* = в G, (29)

и,л = = 0 на Г, (30)

их = их = 0 на 7о, (31)

wx - их cos ос > 0, Тп(Мл)(шА - их cos а) = 0 на 7, (32)

[«/] = Ю] = 0, [тх] = 0 на 7, (33)

Тп{Мх) > 0, Мх = 0, [t"(mA)]coso = -Т"(МА) на 7, (34)

где «V = & * = 1,2,(.хь.т2) е П; = Ц, * = 1,2, (гд, у2) € С; / € Х2(П),5 6 Ь2(С), йцы € - заданный тензор, удовлетворяю-

щий условиям симметрии и положительной определенности. Тензор Ьу-ы €

ЬЖ'(С) обладает такими же свойствами, что и тензор йуи. Здесь и далее [и] = г>+ — п~ - скачок функции V на 7, а знаки ± соответствуют значениям функции V на положительном и отрицательном берегах разреза 7± (по отношению к нормали р). Кроме того, = ип = тпи =

?(т) = + гпц^щ, з = («ь я2) = {-щ,

Величины М„, Тп(М) для нижней пластины определяются аналогично

Мп = м^щщ, Тп{М) = Мц,кгкТ]Щ + Мщщ, т = (Т1,Т2) = (-712лм)-

Функция № описывает перемещение точек срединной плоскости верхней пластины вдоль вертикали, функция и - перемещение точек срединной поверхности нижней пластины вдоль вертикали, /, д - заданные внешние нагрузки, <1^к1,Ьф1 - тензоры модулей упругости пластин. При этом (26), (28) суть уравнения равновесия, (27), (29) - уравнения состояния (соответствующие линейной модели Кирхгофа - Лява упругого деформирования пластины); 771„, Мп - изгибающие моменты, ¿"(тт?,), Т71 (М) - перерезывающие силы на границе. Соотношения (30), (31) обеспечивают жесткое защемление пластин на Г и 70- Первое условие в (32) описывает взаимное непроникание пластин. Краевые условия (32) - (34) имеют вид системы равенств и неравенств.

Задача (26) - (34) допускает вариационную формулировку. Рассмотрим в пространствах Соболева

Щ(П) = {«; 6 Я2(0) I VI = = 0 на Г},

Я2, (С) = {и £ Я2(С) I и = ип = 0 на 7о}

множество допустимых перемещений

К = {(и1, и) € Н$(П) х Я2 (б) | «; - и соя а > 0 на 7}.

Множество К выпукло и замкнуто и, следовательно, слабо замкнуто. Можно решить задачу минимизации функционала энергии

(«.\?)ел- 1 \ / ~ / + \ / ЬФ1иЛиМ - 10й | • (35)

I а ив в )

Задача (35) имеет решение, поскольку функционал обладает свойствами коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу. Эта задача равносильна нахождению решений («;Л, и*) £ К следующего вариационного неравенства

У - '«у) - J fЬъ ~ «;А)+

1- 4) - /-9(й - > О У(«>,б) е К. (36) а в

Следовательно, для любого фиксированного Л > 0 мы можем найти решение (иД?/Л) вариационного неравенства (36). Более того, можно показать, что оно единственно. Вывод краевых условий (32) - (34) можно осуществить с помощью подходящего выбора тестовых функций в (36). В этом случае краевые условия (32) - (34) будут выполнены в обобщенном смысле.

В п.2.2 исследуется предельный переход в (36) при стремлении параметра Л к нулю. В дальнейших рассуждениях (?1 будет соответствовать жесткому включению, то есть и\а1 € 1), а область 0\С?1 - упругой части срединной поверхности нижней пластины с гладкой границей 5((?\С?1) = (сЮД7) и 70 класса С1'1. В пределе функции и и будут принадлежать множеству допустимых перемещений

О = {(№,«) € х я2^ь'(6') I и> > 0 на 7}.

Через Я2;Сь7(С?) здесь обозначено пространство Соболева

Н^'ЧС) = {и € НЦО) I и = 0 на 7; и\Сп € ОД)}, где пространство жестких перемещений определяется в следующем виде 1(бч) = {I 11{у) = аг,+ат+а2У2, <4 = согЫ, г = 0,1,2; у = (1/1,2/2) € 61}.

Сформулируем предельные задачи. Найти

ш € Я(П), I у - «'«) - I /(-«' - > 0 V«) € О, (37)

п п

где

Г) = {«; € Щ(П)| «; > 0 на 7};

и 6 У Ь^ии.иг,: - I ди = 0 Уг € (38)

<?\<?1 с

Фактически предельная задача распалась на две независимые задачи. Результатом п.2.2 является доказательство следующей теоремы.

Теорема 5. Решение задачи (36) при А —» 0 сходится к решениям задач (37) и (38).

Предельное вариационное неравенство (37) и соотношение (38) в точности описывают контакт упругой пластины с жесткой балкой и задачу

о равновесии упругого тела с жестким включением. Также из вариационного неравенства (37) и соотношения (38) выводятся дифференциальные постановки задач, и выясняется, в каком смысле они выполнены.

Возможны различные варианты предельных задач в зависимости от выбора подобласти С?1. В п.2.3 предполагаем, что граница д(С\С1) является замкнутой кривой класса С1,1 и теая(70 П двС) > 0. Здесь получено, что предельные задачи в точности описывают контакт упругой пластины с жесткой балкой и задачу о равновесии упругой пластины с абсолютно жестким включением.

В п.2.4 рассматривается контактная задача с жестким включением. Решение ищется в ограниченных областях П, б С Я2 с гладкими границами Г, дй соответственно. Вектор внешней нормали к области Г2 обозначим через 17 = (г/1, <72). Область Г2 отвечает срединной плоскости верхней (горизонтальной) пластины. Срединную поверхность нижней пластины обозначим через О. Через п = (п^пг) обозначим единичный вектор внутренней нормали к дй. Пусть С б подобласть с границей дй^, такая, что состоит из двух частей 71 и «ЭСД71. Полагаем, что 7 - связное множество (интервал), 7 = 71 и ")\у1 и 7 П Г ф= 0. Угол между П и б обозначим через а, а € (0; 5]- Будем считать, что П П С? = 0, П П ф 0. Обозначим 7о = В этом, случае 9(7 = 7 и 7о- Пусть V = (щ, г/2) - вектор норма-

ли к 7, расположенный в плоскости П, а I/' = (^г^) ~ вектор нормали к дС 1, расположенный в плоскости (?. Область Сх соответствует жесткому включению. Множество 7 будет соответствовать зоне контакта, а область <3\(?1 — упругой части срединной поверхности нижней пластины с границей 9((3\С1) = 70 и (7\71) и (<9С?1 \7:). Пусть € ЬХ(П) - заданный тензор модулей упругости верхней пластины, удовлетворяющий условиям симметрии и положительной определенности. Тензор модулей упругости нижней пластины € Ь°°(С) обладает такими же свойствами, что и тензор Лцы-

Полная система уравнений и краевых условий, описывающих контакт упругих пластин с жестким включением, состоит в следующем. В области найти функции «;, т = 1,] = 1,2; в области б найти и, и\а1 6

Ь(С\), а в области СДб 1 также функцию М = {Му}, г, ] = 1,2, такие, что

тц = -<к}к№),ы в П7,

(39)

(40)

(41)

л/у - -ьтим в 6'\с;ь (42)

у> = = 0 на Г, (43)

и = ип = 0 на 7о, (44)

и = 1а на Сь /0 € ¿(^0, (45)

'ш — и сой а > 0 на 7, (46)

и = К] = 0, [ш„] = 0, [*"(т)] >0 на 7, (47)

Т"'(Л/)('ш — «сойо) = 0 на 7\7Ь (48)

Т17(Л/) < О, М„, = 0, [¿"(т)] соз а = -Т"'{М) на 7\71, (49)

1[е(т)}1сова+ У Т"'(Л/)/- J МЛ' = ^ Я V/€ ¿(61). (50) -и сюд-п аод71 с?1

Здесь = « = 1,2, (хих,) £ п- м,- = Ц, г = 1,2, (у^) € <3; / € Ь2{0), д € ¿2(С) - заданные внешние нагрузки; ад - перемещение точек срединной плоскости верхней пластины вдоль вертикали, и - перемещение точек срединной поверхности нижней пластины вдоль вертикали; т = {игу}, Л/ = {Л/у}, г,] = 1,2 - тензоры моментов. Кроме того, м>? = ип =

т„ = -пц^щ ¿"(т) = -поддон - т^щ, з = в2) = (-1*2, пограничные операторы для нижней пластины определяются аналогично Л/„ = -Мущщ, Тп{т) = -тц^к^гц - Щ^т, в = («1, вг) = (~п2, щ).

На границе области (3\С?1 векторы г/, п совпадают.

Задача имеет следующий физический смысл: ищется состояние равновесия для упругих пластин, подверженных действию внешних нагрузок, а также удовлетворяющих одностороннему ограничению (46). При этом нижняя пластина содержит жесткое включение. Влияние внешних сил на жесткую часть пластины описывается соотношением (50).

Контактная задача для упругих пластин с жестким включением формулируется как вариационная. Вводится пространство Соболева

Н^ (С) = {и е Н\0 I и = «„ = 0; «Ь, 6 ¿(СО на 7о} и множество допустимых перемещений

К = {(ш, ы) € #о(П) х | и; - и сов а > 0 на 7}.

В силу замкнутости и выпуклости, К будет слабо замкнутым в Яц(П) х Я2;6'1 (G) множеством. Решаем задачу минимизации

inf F(w,u), (51)

{w,u)eK

где F(w,u) - функционал энергии пластин, имеющий вид

F(w, и) = J У dijkiw,kiw,ij ~ J fw + ^ J hijkiUkiUij - J gu.

n n G'\Gi G

В силу коэрцитивности и слабой полунепрерьшности снизу этого функционала убеждаемся, что решение задачи (51) существует и удовлетворяет следующему вариационному неравенству

(то, и,) € К, J Ы№, ы(гйу - w у) - J f(w - w)+

п п

,i})-J9(й-и)> 0 V(w,ü)€/r. (52) G\Gi G

Основным результатом п.2.4 является

Теорема 6. Если вариационное решение задачи (52) является достаточно гладким, то оно удовлетворяет уравнениям (39) - (42) с краевыми условиями (43) - (49) и соотношением (50). Каждое гладкое решение уравнений (39) - (42) с краевыми условиями (43) ~ (49) и соотношением (50) является также вариационным решением.

В п.2.4 также доказывается, что контактная задача двух упругих пластин с жестким включением будет предельной для семейства контактных задач с упругими включениями. Предельная задача будет в точности совпадать с (52).

Благодарность. Автор искренне благодарит и выражает признательность научному руководителю профессору А.М. Хлудневу за постоянное внимание, ценные советы и поддержку.

III. Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Неустроева Н.В. Контактная задача для упругих тел разных размерностей / Н.В. Неустроева // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, Вып. 4. С. 6075.

[2] Неустроеиа H.B. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин / Н.В. Неустроева // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т. 12, №4(40). С. 92-105.

[3] Неустроева Н.В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением / Н.В. Неустроева // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, Вып. 4. С. 51-64.

[4] Неустроева Н.В. Метод фиктивных областей в краевой задаче с нелинейными условиями на границе / Н.В. Неустроева // «XI Лаврентьевские чтения» с участием молодых ученых и специалистов Дальневосточного федерального округа: Научная конференция студентов и молодых ученых (сборник статей). Т. 1. Якутск, 2005. С. 85-95.

[5| Неустроева Н.В. Метод фиктивных областей в краевой задаче с нелинейными условиями на границе / Н.В. Неустроева // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005. С. 40-41.

[6] Неустроева Н.В. Смешанная постановка контактной задачи для упругих тел разных размерностей / Н.В. Неустроева // Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка»: Тез. докл. Якутск, ООО «РИЦ Офсет», 2008. С. 59-60.

[7) Неустроева Н.В. Контактная задача для упругих тел с жестким включением / Н.В. Неустроева, // Материалы III Всероссийской научной конференции. «Информационные технологии в науке, образовании и экономике»: Тез.докл. Якутск, Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2008. С. 44.

[8] Неустроева Н.В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин / Н.В. Неустроева // Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации»: Тез. докл. Якутск, ООО «РИЦ Офсет», 2009. С. 63-64.

[9) Неустроева Н.В. Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей и проблема жестких включений / Н.В. Неустроева // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2010» / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев, A.B. Андриянов. [Электронный ресурс]. М.: МАКС Пресс, 2010.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ УПРУГИХ ТЕЛ РАЗНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

автореферат

НЕУСТРОЕВА Наталья Валериановна

Подписано в печать 06.05.2010 г. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 11.

Отпечатано в филиале издательства ЯГУ, Институт математики и информатики ЯГУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Неустроева, Наталья Валериановна

ВВЕДЕНИЕ

1. КОНТАКТ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ТОНКОЙ УПРУГОЙ БАЛКОЙ

1.1. Постановка задачи.

1.2. Смешанная формулировка задачи.

1.3. Жесткое включение в контактной задаче упругой пластины с тонкой упругой балкой.

1.3.1. Постановка контактной задачи с жестким включением

1.3.2. Предельный переход от упругого включения к жесткому

2. КОНТАКТ УПРУГИХ ПЛАСТИН РАСПОЛОЖЕННЫХ ПОД УГЛОМ ДРУГ К ДРУГУ

2.1. Постановка семейства контактных задач с упругим включением

2.2. Первая предельная задача.

2.2.1. Предельный переход от упругого включения к жесткому

2.2.2. Постановка задач.

2.3. Вторая предельная задачи.

2.3.1. Предельный переход от упругого включения к жесткому

2.3.2. Постановка задач.

2.4. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин

2.4.1. Постановка контактной задачи с жестким включением

2.4.2. Предельный переход от упругого включения к жесткому

Введение диссертация по математике, на тему "Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей"

С каждым годом наблюдается возрождение интереса к теории упругости, как в отношении физических основ, так и в отношении математической теории. Объектом исследования данной теории являются математические модели, описывающие многие реальные физические явления. С помощью таких моделей можно описать широкий класс процессов деформирования твердых тел. Моделирование процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент. Возникающие при этом математические задачи оказываются весьма интересными и актуальными.

Исследования в области контактных задач теории упругости начаты в классических работах Г. Герца. В 1882 г. Г. Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривленными поверхностями. Он располагал лишь формулами теории потенциала для одного эллипсоида, представляющими собой простейшие решения задач теории потенциала и теории интегральных уравнений. Основополагающими работами по контактным задачам считаются также работы Я. Буссинеска, С.А. Чаплыгина и др. Из-за отсутствия необходимой математической базы развитие контактных задач в последующие 40 — 50 лет заключалось, в основном, в экспериментальной проверке теории и развитии ее применений в инженерном деле (следует отметить работы А.Н. Динника, Н.М. Беляева и др.). Весьма эффективными оказались методы теории функций комплексного переменного, развитые Н.И. Мусхели-швили и его учениками начиная с 30-х годов прошлого века [47]. Эти методы решения задач теории упругости базирующиеся на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, построены в работах [7], [8], [11], [46], [47]. Следует также отметить математический аппарат, созданный академиком A.M. Ляпуновым и используемый для решения ряда контактных задач, в частности, в работе И.Я. Штаермана [80]. Применение методов теории функций комплексного переменного в плоских контактных задачах можно найти в [10], [16], [46] и др. Теория пространственных контактных задач была развита в [10], [41], [80] и др.

С середины XX века развитие механики контактных взаимодействий шло стремительными темпами. В 1976 г. вышла обзорная монография «Развитие контактных задач в СССР» под редакцией JI.A. Галина [60]. В этой монографии! собраны сведения и решения более чем из 1000 источников. В ней указаны такие направления развития теории контактных взаимодействий как статические и динамические, плоские и пространственные. Здесь приводятся сведения, относящиеся к смешанным задачам теории функций комплексной переменной, сингулярным интегральным уравнениям. Есть разделы, посвященные методу Винера - Хопфа, парным интегральным уравнениям, методу интегральных уравнений, а также асимптотическому методу. Вышеуказанные методы решения контактных задач широко используются для исследования краевых задач в классической постановке с граничными условиями в виде равенств на зоне контакта. Однако при рассмотрении многих практических задач точность решения, полученного в рамках таких моделей, является недостаточной. В 2001 г. вышла обзорная книга «Механика контактных взаимодействий», призванная подытожить полученные за прошедшие после выхода книги [60] годы многочисленные публикации. Эта область исследований получила дальнейшее развитие, а область ее практических приложений значительно расширилась. В книге приведено множество современных методов решения контактных задач. В частности, в рамках диссертации отметим статью [30], где дается краткий обзор исследований по вариационным методам решения задач о контакте деформируемых тел. Рассматривается задача о контакте линейно упругих тел, задача о контакте системы деформируемых тел, геометрически нелинейные контактные задачи.

Довольно большой круг контактных задач образуют задачи с неизвестной областью контакта. Значительное продвижение в исследовании контактных задач с неизвестной областью контакта произошло в связи со становлением и развитием теории вариационных неравенств. Вариационный подход (см. [6], [9], [45], [61], [69]), используемый для описания контактного взаимодействия упругих тел с неизвестной областью контакта, оказался очень эффективным. Такая постановка задачи учитывает возможный отход пластины от жесткого или упругого тела и позволяет исследовать вопросы существования и единственности. Большая часть работ по контактным задачам с неизвестной областью контакта посвящена взаимодействию тел, обладающих линейно -упругими, иногда нелинейно - упругими свойствами (см. [35], [69], [70], [74], [92] и др.).

Впервые задача о равновесии упругого тела с односторонними ограничениями была рассмотрена в работе А. Синьорини в 1933 году. Вторично и с большей полнотой А. Синьорини изложил свои результаты в 1959 году в работе [102]. Исследованная им задача состоит в определении напряженно - деформированного состояния линейно упругого тела £7, контактирующего с жесткой поверхностью, когда (при использовании вариационного подхода) на кинематически возможные состояния v накладывается дополнительное ограничение в форме неравенства

W < 0 на дП, (1) где dfl - граница тела О, и - единичная внешняя нормаль к д£1. Задача Синьорини сводится к минимизации функционала упругой энергии на выпуклом замкнутом множестве полей перемещений, удовлетворяющих геометрическому ограничению (1) в области возможного контакта. Результаты А. Синьорини были обобщены в различных направлениях в ряде работ Ж.-Л. Лионса, Ж. Дюво, Г. Фикеры, Г. Леви; обзор этих работ и результатов дан в книге Г. Фикеры (1974) [69]. Отметим, что свойства решений этой задачи впервые исследованы в работе Г. Фикеры (1964), стимулировавшей исследования широкого класса контактных задач с неизвестной областью контакта. Изучение задач со свободной границей, связанных с вариационными неравенствами, было начато в работе [97]. Наиболее весомый вклад в разработку метода вариационных неравенств как некоторой новой проблемы с позиций функционального анализа и теории уравнений с частными производными был внесен Г. Стампаккьей (см. [103], [18]). Весомые результаты получены также Ж.-Л. Лионсом и его учениками (см. [15], [37] - [40]). В вышеуказанных работах в основном рассматриваются традиционные задачи типа Синьорини. В тоже время в этих работах почти не нашли отражения вопросы, связанные с изучением новых классов физических и механических задач, например, задач о контакте деформируемых тел. С другой стороны, цикл упомянутых выше работ связан с анализом идеализированных моделей.

Впоследствии развитию теории и методов решения конкретных задач были посвящены работы многих исследователей, как зарубежных, так и отечественных. Среди них работы: А.С. Кравчука, L.A. Caffarelli, Г.И. Львова, A.M. Хлуднева, И. Главачека, В. Schild, G. Dal Maso, К. Байокки, П. Пана-гиотопулоса, А. Фридмана, В.М. Садовского, J. Sokolowski, В.А. Ковтуненко и др.(см. [1], [12], [27] - [35], [42], [58], [62], [70], [71], [73], [74], [83] - [85], [92], [101]). Численные методы решения многих задач, формулируемых с помощью вариационных неравенств, предложены Р. Гловински, Ж.-Л. Лион-сом, Р. Тремольером, Н.В. Ваничуком, В.А. Ковтуненко, П.Н. Вабищевичем,

А.С. Кравчуком и др.(см. [2], [3], [13], [19] - [22], [31], [33]).

Обобщающее изложение работ, посвященных анализу современных уточненных схем физико - математических процессов в деформируемых телах, выполнены, в основном, у нас в стране - А.С. Кравчуком, Г. Львовым, A.M. Хлудневым и др. Впервые в отечественной механике теория вариационных неравенств к теории упругости применено в работе [29], где рассматривается вариационная теория контакта жесткого штампа и нелинейно-упругого тела. Задачи о контакте линейного упругого тела с упругими и жесткими телами исследуются также в работах [42], [74], [92]. Отметим также работу [12], где рассматривается упрощенный контакт двух гладких упругих тел и изучается ее приближенное решение.

Сведение задачи к вариационной постановке обычно вызвано тем, что краевые условия являются нелинейными. Примеры вариационных задач, эквивалентных краевым, и их физическую интерпретацию можно найти, например, в [1], [15], [27], [69], [92], [100].

Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения (рассматривается так называемое обобщенное или слабое решение). Поскольку решение понимается в слабом смысле, встают проблемы регулярности, т.е. исследование гладкости такого решения. Стоить отметить при этом, что эти проблемы для вариационных неравенств отличаются от аналогичных проблем в теории граничных задач. Как известно, в линейной теории эллиптических задач имеет место следующая ситуация: чем более гладкими предполагаются данные задачи, тем более гладким является решение. В вариационных неравенствах гладкость решения зависит, кроме того, от характера выпуклых ограничений. Отметим работы [59], [67], [68], [70], [73], [74], [83], [84], [86], [90], [91], [97], где основной результат состоит в доказательстве регулярности решения и исследовании качественных свойств.

В данной диссертационной работе рассматривается модель Кирхгофа -Лява для пластин. Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к таким пластинам, является сведение уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. При этом координатную систему естественно связывать со срединной поверхностью пластины. Для модели пластины Кирхгофа-Лява неизвестной функцией является вертикальное перемещение (прогиб) точек срединной поверхности пластины. Будем считать, что мы исследуем однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния. Равновесие таких пластин описывается эллиптическим уравнением четвертого порядка, и которое выполнено в области с разрезом.

Односторонние задачи о контакте упругой пластины с жестким препятствием были проанализированы в работах L.A. Caffarelli, A.M. Хлуднева, G. Dal Maso, В. Schild (см. [73], [74], [83] - [85], [92], [101]). В частности, двусторонние ограничения рассмотрены в статье L.A. Caffarelli с соавторами [84], тонкое жесткое препятствие для пластин - в работе В. Schild [101]. Теория вариационных неравенств высокого порядка впервые рассмотрена в статье [83]'. В [83], [85] рассмотрен случай препятствия, заданного во всей области.

Задачи об одностороннем контакте двух упругих тел рассмотрены в [71], [74], [92]. А именно, исследованы как двумерные и трехмерные контактные задачи (задачи о контакте пластин и оболочек). Примеры, относящиеся к задачам о контакте пластин и оболочек, приведены в [14], где имеется также обширная библиография.

Задачи о контакте двух упругих пластин расположенных под заданным углом, впервые рассмотрены в работах [76], [94], [95]. В [76] исследованы две модели. В первой модели предполагается, что нижняя пластина деформируется в своей плоскости, а в задаче для второй модели считается, что она подвергается лишь изгибу. При этом уравнение равновесия верхней пластины задается в области с разрезом. Приводятся различные формулировки задач и доказывается их эквивалентность. Найдена совокупность краевых условий на возможном множестве контакта и описан характер их выполнения. Исследованы асимптотические свойства решений при стремлении параметров жесткости контактирующих тел к бесконечности. В работе [94] рассмотрены односторонние контактные задачи для перпендикулярных пластин. В работе [79] анализируется задача о контакте однородной изотропной упругой пластины и упругой балки, где балка играет роль тонкого упругого препятствия для пластины. Найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и их точная формулировка. Обоснована также смешанная формулировка и проанализированы предельные случаи, соответствующие возрастанию до бесконечности коэффициентов упругости контактирующих тел. Все эти задачи относятся классу задач о контакте упругих тел разных размерностей с неизвестной областью контакта.

Систематические исследования контактных задач для упругих тел с жестким включением, особенностью которых является полный набор краевых условий виде системы равенств и неравенств, выполняющихся на множестве возможного контакта, и соотношение, описывающее воздействие внешних сил на жесткую часть пластины, не проводились. Жесткое включение исследовано в работах [72], [96], а именно, в задаче о равновесии тонкой упругой пластины, содержащей трещину. Задачи о равновесии упругих и неупругих тел, содержащих трещины, также можно отнести к классу контактных задач, если на берегах трещины заданы краевые условия взаимного непроникания берегов в виде системы равенств и неравенств.

Краевые задачи, рассматриваемые в теории трещин, характеризуются наличием негладких границ. Как правило, трещина моделируется одномерным или двумерным разрезом, на берегах которого необходимо задавать краевые условия. Традиционный подход в теории трещин предполагает задание на берегах разреза линейных краевых условий в виде равенств, что приводит к линейным краевым задачам. Известно, что получаемые при этом решения соответствующих краевых задач могут приводить к физическим противоречиям. Именно, вектор перемещений при этом таков, что, лежащие на противоположных берегах трещины точки, проникают друг в друга. С точки зрения приложений более точным является подход, при котором на берегах разреза выполняются так называемые условия непроникания. Эти условия имеют вид неравенств, pi при их выполнении решение соответствующей краевой задачи не приводит к физическим противоречиям. Получаемые при этом краевые задачи становятся нелинейными. Математическая теория трещин, связанная с условиями непроникания берегов, берет свое начало в работах A.M. Хлуднева, исследовавшего с теоретической точки зрения краевые задачи с условиями в виде системы равенств и неравенств на негладких компонентах границы области. В монографии [93] представлены самые разные задачи о равновесии упругих и неупругих тел с трещинами с краевыми условиями взаимного непроникания берегов.

Таким образом, к необходимости анализа математических моделей в негладких областях приводят физические задачи с трещинами и разрезами. В контактных задачах, несмотря на то, что решение вариационной задачи находится в гладкой области, дифференциальная постановка задачи формулируется в негладкой области с разрезом.

Задачи о контакте упругих тел разных размерностей имеют некоторую аналогию с краевыми задачами теории трещин, а именно: уравнение равновесия для одного из тел формулируется в области с разрезом, а краевые условия на берегах разреза имеют вид системы равенств и неравенств. Обе задачи в целом относятся к классу задач со свободой границей. При формулировке задач этого класса, приходится иметь дело с негладкими областями, содержащими разрезы (трещины). Однако, характер и природа краевых условий в контактных задачах и краевых условий, рассматриваемых в теории трещин, различны.

Общие методы исследования линейных эллиптических краевых задач в негладких областях исследуются в монографиях [23], [48], [88], [89]. Вопросы гладкости обобщенного решения задачи Дирихле в граничных точках области изучались для бигармонического уравнения в работах [23] - [26].

Различные прикладные аспекты задач теории трещин и контактных задач с линейными краевыми условиями можно увидеть [27]. Выявление жестких включений или отверстий в упругом теле можно найти [98], [99].

Для исследования применяются фундаментальные результаты и методы теории дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, выпуклого анализа и вариационного исчисления. С пространствам!! Соболева и обобщенными функциями можно ознакомиться в книгах [1], [43], [63], [64], [88]. Теоремы о следах функций на границе имеются в [88]. По поводу вариационных задач и различных вопросов минимизации функционалов можно обратиться к монографиям [4], [5], [81]. Понятия рефлексивности функциональных пространств, слабой сходимости, слабой замкнутости подробно обсуждаются [17]. Обоснование формул Грина, используемых в теории упругости, имеются в монографиях [66], [89], [93].

Описание работы. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 86 страниц. Список цитируемой литературы включает 103 наименования. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях. Общее количество иллюстраций в работе 4. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер пункта, третье - номер формулы в пункте.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена изучению нового класса задач о контакте упругих тел разных размерностей и проблемы жестких включений в контактных задачах.

Под контактным в узком смысле этого слова подразумеваются задачи, в которых присутствуют ограничения в виде неравенств, порождаемых зависимостью области контакта от внешних воздействий и наличием заранее неизвестной области контакта. Задачи с неизвестной областью контакта, как правило, нелинейные. В рамках данной диссертации исследованы современные нелинейные модели, описывающие процесс в деформируемых телах. Основная область применения полученных результатов - краевые задачи для уравнений математической физики. Полученные результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач механики деформируемого твердого тела в приложении теории упругости. Результаты также могут быть использованы при дальнейшем аналитическом и численном анализе контактных задач с неизвестной областью контакта для тел разных размерностей

В диссертационной работе получены следующие результаты:

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Неустроева, Наталья Валериановна, Якутск

1. Байокки К, Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988. 448 с.

2. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 164 с.

3. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 156 с.

4. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 415 с.

5. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Наука, 1976. 432 с.

6. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

7. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 509 с.

8. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.

9. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М: Наука, 1983. 447 с.

10. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. М.: Наука, 1980. 304с.

11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

12. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. 270 с.

13. Гловински Р.,Лионе Ж.JI., Тремольер Р. Чиееленное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 573 с.

14. Григолюк Э.И., Толкачев В.В. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 416 с.

15. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

16. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости М.: Наука, 1973. 304 с.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

18. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

19. Ковтуненко В.А. Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. № 9. С. 14091415.

20. Ковтуненко В.А. Итерационный метод шрафа для задачи с ограничениями на внутренней границе // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37. № 3. С. 585-591.

21. Ковтуненко В.А. Метод чиссленного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием // ПМТФ. 1994. Т. 35. № 5. С. 142-146.

22. Ковтуненко В.А. Решение задачи о балке с разрезом // ПМТФ. 1996. Т.37. № 4. С. 160-166.

23. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. М.: Мир, 1966. 263 с.

24. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи мат. наук. 1983. Т.38. Вып. 2. С. 3-64.

25. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Точные показатели Гельдера для обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения, определяемые геометрией области // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40. № 4. С. 173-174.

26. Кондратьев В.А., Копачек И., Олейник О.А. О характере непрерывности на границе негладкой области обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Математический сборник. 1990. № 181. С. 564-575.

27. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во Московской государственной академии приборостроения и информатики, 1997. 339 с.

28. Кравчук А.С. Вариационный метод в контактных задачах. Состояние проблемы, направления развития // ПММ. 2009. Т. 79. Вып. 3. С. 492502.

29. Кравчук А.С. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // ДАН СССР. 1976. Т. 230. № 2. С. 308-310.

30. Кравчук А.С. Метод вариационных неравенств в контактных задачах. В кн.: Механика контактных взаимодействий. Под ред. И.И. Воровича, В.М.Александрова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 93-115.

31. Кравчук А.С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // ПММ. 1978. Т. 42. № 3. С. 466-474.

32. Кравчук А.С. Решение контактных задач с известной функцией Грина // ПММ. 1982. Т. 43. Вып. 2. С. 283-288.

33. Кравчук А.С. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач // ДАН СССР. 1981. Т. 259. Вып. 6. С. 1327-1329.

34. Кравчук А.С. О двойственности в контактных задачах. //ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 6. С. 887-892.

35. Кузьменко В.И. О вариационном подходе в теории контактных задач для нелинейно-упругих слоистых тел // ПММ. 1978. Т. 43. № 5. С. 893-901.

36. Лазарев Н.П. Метод гладких областей в задачах двумерной теории упругости для области с негладким разрезом // Сиб. журн. индустр. мат. 2003. Т. 6. № 3(15). С. 103-112.

37. Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1987. 597 с.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

39. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 587 с.

40. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

41. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 492 с.

42. Львов Г.И. Вариационная постановка контактной задачи для линейно-упругих и физических нелинейных пологих оболочек. // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 5. С. 841-846.

43. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 416 с.

44. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения с частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

45. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1970. 512 с.

46. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

47. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической терии упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. М.: Наука, 1966. 707 с.

48. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991. 336 с.

49. Неустроева Н.В. Контактная задача для упругих тел разных размерностей // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, Выпуск 4. С. 60-75.

50. Неустроева Н.В. Контактная задача для упругих тел с жестким включением // Материалы III Всероссийской научной конференции. Информационные технологии в науке, образовании и экономике. Якутск, 2008. С. 44.

51. Неустроева Н.В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, Вып. 4. С. 51-64.

52. Неустроева Н.В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. мат. 2009. Т. 12, №4(40). С. 92-105.

53. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. 494 с.

54. Попова Т.С. О регулярности решений задачи равновесия для пластины с трещиной // Математические заметки. 1996. С. 124-131.

55. Развитие теории контактных задач в СССР. Отв. ред. Галин JI.A. М.: Наука, 1976. 493 с.

56. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

57. Садовский В.М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Издательство СО РАН, 1998. 184 с.

58. Соболев C.JI. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обощенных функций. М.: Наука, 1989. 254 с.

59. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

60. Степанов В.Д., Хлуднев A.M. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 44. № 6. С. 1350-1364.

61. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.:Наука, 1991. 288 с.

62. Уральцева Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств // Успехи мат. наук. 1987. Т. 42. Вып. 6(258). С. 151-174.

63. Уральцева Н.Н. О сильных решениях обобщенной задачи Синьорини // Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19. № 5. С. 1204-1212.

64. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159 с.

65. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободным границами. М.: Наука, 1990. 535 с.

66. Хлуднев A.M. Задача о контакте двух упругих пластин // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 1. С. 140-146.

67. Хлуднев A.M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине. Новосибирск, 2009 (Препр. РАН Сиб. отд-ие. Ин-т гидродинамики. N 1-2009). 17 с.

68. Хлуднев A.M. Замечание о регулярности решения вариационного неравенства четвертого порядка // СО АН СССР Институт гидродинамики Упруго-пластические модели и задачи. 1982. Вып. 55. С. 107-112.

69. Хлуднев A.M. К проблеме контакта линейного упругого тела с упругими и жесткими телами (вариационный подход) // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 6. С. 999-1005.

70. Хлуднев A.M. Метод гладких областей в задаче о равновесии пластины с трещиной // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43. № 6. С. 1388-1400.

71. Хлуднев A.M. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу. ПМТФ. 2008. Т. 49. № 4. С. 42-58.

72. Хлуднев A.M. Регуляризация и существование решений в задаче равновесии упругопластической пластины // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 3. С. 670-682.

73. Хлуднев A.M. Теория трещин с возможным контактом берегов // Успехи механики. 2005. Т. 3. № 4. С. 41-82.

74. Хлуднев A.M., Хоффманн К.-Х., Боткин Н.Д. Вариационная задача о контакте упругих объектов разных размерностей // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47. № 3. С. 707-717.

75. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: 1949. 270 с.

76. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399 с.

77. Brezzi F., Fortin М. Mixed and Hybrid Finite Element Meyhods. Spinger-Vcrlag, 1991. 351 p.

78. Caffarelli L.A., Friedman A. The obstacle problem for the biharmonic operator. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, ser.IV, 1979, V. 6, N 1. P. 151184.

79. Caffarelli L.A., Friedman A., Torelli A. The two-obstacle problem for the biharmonic operator // Pacif. J. Math. 1982. V. 103. № 2. P. 325-335.

80. Dal Maso, Paderni G. Variational inequalities for the biharmonic operator with varying obstacles // Ann. Mat. Рига Appl. 1988. V. 153. P. 203-227.

81. Jensen R. Boundary regularity for fariational inequalities. Ind. Univ. Math. J., 1980. V. 29. № 4. P. 495-504.

82. Hoffmann K.-H., Khludnev A.M. Fictitious domain method for the Signorini problem in a linear elasticity // Adv. Math. Sci. Appl. 2004. V. 14. № 2. P. 465-481.i

83. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston-London-Melbourne: Pitman, 1985. 422 p.

84. Grisvard P. Singularities in Boundary Value Problems. Springer-Verlag, Masson.: Berlin-Heidelberg etc., 1992. 198 p.

85. Khludnev A.M. Contact problem for a plate having a crack of a minimal opening // Control a Cybernetics. 1996. V. 25. № 3. P. 605-620.

86. Khludnev A.M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. 1996. V. 25. № 5. P. 1015-1029.

87. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997. 384 p.

88. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids, WIT Press, Southampton -Boston, 2000. 408 p.

89. Khludnev A.M., Leugering G. Unilateral contact problems for two perpendicular elastic structures. Journal for Analysis and its Applications. 2008. V. 27, № 2. P. 157-177.

90. Khludnev A.M., Tani A. Unilateral contact problems for two inclined elastic bodies. European Journal of Mechanics, A/Solids. 2008. V. 27. № 3. P. 365377.

91. Khludnev A. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks. Preprint, Friedrich-Alexander-Univesity Erlangen-Nuremberg. 2009. № 327. P. 1-29

92. Lewy H., Stampacchia G. On the regularity of the solution of a variational inequality. Comm. Pure Appl.Math. 1969. V. 22. P. 155-188.

93. Morassi A., Rosset E. Detecting Rigid Inclusions, or Cavities, in an Elastic Body // Journal of Elasticity. 2004. P. 101-126.

94. Morassi A., Rosset E. Detection of a rigid inclusion in an elastic body: uniqueness and stability // 2006. P. 279-284.

95. Ohtsuka K. Mathematics of brittle fracture // Theoretical studies on fracture mechanics in Japan / Ed. K. Ohtsuka. Hiroshima Denki Institute of Technology. Hiroshuna. 1995. P. 99-172.

96. Schild B. On the coincidence set in biharmonic variational inequalities with thin obstacles. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl.Sci. 1986 IV. Ser. 13. N 4. P. 559-616.

97. Signorini A. Questini di elasticitanon linearizzata о semilinearizzat // Rend, di Matem. e delle sue appl. 1959. T. 18.

98. Stampacchia G. Su una disequazione variazionale legata al comportamento elastoplastico delle travi appggiate agli estremi // Boll. Unione Mat. Ital. 1975. V. 11. № 4. P. 444-454.