Гармонические колебания деформируемых и недеформируемых поверхностных объектов на упругом слое тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

£80 6 92

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063, 73.02 по физико - математическим наухпм

На правах рукописи

КИРИЛЛОВА ЕВГЕНИЯ ВАДИМОВНА

да 539.3

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ дионаирувмх И НЩШООШИРУВШХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ОБЪЕКТОВ НА УПРУГСМ СЛОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диоеертацня па соисханнб учеяоЗ отвпевв кандидата фнвюсо-матеыатнчесяих науп

Краснодар

1992

Работа выполнена в Кубанском филиале НИИ механики и прикладной математики Ростовского государственного унивэрси' при Кубанском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико - математических

наук Глушков Е.В.

- Официальные оппоненты - доктор технических наук

Красовский А.А.

кандидат физико- математических наук Батульян А.О. Ведущее предприятие - Краснодарский политехнический институт

Защита состоится "13 " и^С^Д 1992г.

на заседании специализированного совета К. 063. 73.02 по

физико-математическим наукам в Куб1У по адресу : 350640 г.Кр; нодар ул.Кярла Либкнвхта 14Э, ауд. £ 31

С диссертацией модно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан "ХР" сИОЛ^ 1992г.

Ученый секретарь ¿¿Г/?

специализированного совета А.А.Евдокимов

''"'''( ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Рассматриваются колебания упругого тела конзчных размеров, сцепленного со слоем. Исследуется динамическая контактная жесткость упругого слоя, волновав .поля и энергетические процессы в нём.

Актуальность теш. Исследование процессов возбуждения и распространения упругих волн обусловлено развитием сейсмологии, виброс9йтаорэзведки, методов н<э разрушающего контроля, акусто-злектроникн и ряда других областей науки и техчяки. В настоящее время накоплены обширные результаты по изучении волновых процессов в упругих средах, но без учета источника колебаний. Учет источника существенно усложняет задачу, но он необходим для определения общего количества энергии, отдаваемого в среду, направленности излучения, согласования поверхностных конструкций с упругим основанием.

Динамчйскиэ контактныэ задачи, возкикавдие при моделировании взаимодействия источника колебаний со средой, как правило, рассматриваются при ослабленных условиях гладкого или плёночного контакта. Такие задачи сводятся я скалярным интогральным уравнениям. В случае, когда сцеплением в области контакта пренебречь нельзя (клеевые, сварные соединения и т.п.), возникают векторные интегральные уравнения, решение которых ввиду трудоемкости приводится в сравнительно немногочисленных работах. В частности, открытым оставался вопрос о границах применимости результатов, полученных в условиях гладкого контакта, для описания динамической реакции тел, сцепленных с упругим основанием. •

Важный новый класс динамических задач теории упругости возникает при учёте деформируемости самого источника колебаний,

например, фундамента под мощной виброустановко?. или :5злучакхцей плиты вибросейсмоисточнпка. Аналогичные задачи возникают при ратании пройдам сейсмозондирования в горных районах и при ультразвуковой дефектоскопии конструкций.

Исследования по указанному кругу вопросов проводятся в Кубанском филиале НШмеханики и прикладном математики РГУ при КубГУ в рамках целевых комплексных программ Госкомитета по науке и технике я Академии наук. В частности, результаты настоящей диссертационной работы били получены в ходе выполнения следующих НИР:"Динамическая прочность композиционных материалов", "Разработать усовершенствованную методику расчёта сейсмических воздействий на промышленные и жилые объекты, расположенные в горных районах, разработать пакеты прикладных программ","Волно-водные свойства и динамическая реакция слоистых упругих материалов", "Разработать теоретические основы динамической прочности неоднородных деформируемых тел на основе обнаружения новых явлений высокочастотного резонанса".

Целью работы является:

1. Разработать и реализовать на ЭВМ методы решения задач о динамическом взаимодействии тел конечных размеров с упругим слоем при наличии сцепления в области контакта.

2. Изучить характеристики динамической реакции основания и возбуждаемых в слое упругих волн (закономерностей излучения энергии поверхностным источники! и её оттока на бесконечность). Исследовать тонкую структуру энергетических потоков в волноводе.'

3. Рассмотреть механизм локализации энергии при высокочастотном резонансе штампа на упругом слое.

Методика исследования основана на сведении задачи о колебании ооесяшетричного упругого тела конечных размеров, сцеплен-

ного с упругим слоем, к смешанной задаче для упругого тела и динамической контактной задаче для слоя. Первая сводится к граничным интегральным уравнениям, дискретизация которых проводится путём разложения неизвестных перемещений поверхности тела по системе координатных функций. Решение контактной задачи дои слоя строится на основе использования полкой информации о его дисперсионных свойствах и ой особенностях напряжений на границе области контакта.

Для исследования волновых и энергетических процессов получены точные представления в рядах. Численный анализ проводится с помощью пакета программ, реализующего разработанные методы на ЭВМ.

Научная новизна.

1. Развит подход к решению задачи о вибрации осесимметрачно-го упругого тела на поверхности упругого слоя при наличии сцепления в области контакта. Разработан численный метод решения систем ГОУ, основанный на разложении решения по системе координатных функций и использовании связи мааду контактными напряжениями и смещениями в области контакта.

2. Разработан новый высокоточный метод решения смешанной задачи для слоя. Проведен численный анализ дйне£Я ческой контактной меткости слоя при условии контакта со сцеплениеи. Проделан сравнительна!! анализ с рэзультагвкз, получэкншл для олучгя гладкого контакта, показакшй гранзцн применимости последних.

3. Разработан и реализован на ЭВМ эффективный метод поиска всех вещественных и комплексных ветвей дисперсионных криеых упругого волновода (нулей и полюсов символа ядра интегрального уравнения).

4. Детально изучены волновые и энергетические процессы,

- й -

протекающие в упругом слое. Впервые построены картины ланий тока энергии в ближней к источнику зоне и. под самим источником, показав процесс образования энергетических вихрей и разворота обратного потока энергии.

5. Показано, что высокочастотные неограниченные резонанса штампа на упругом слое связаны с возникновением энергетических вихрей, блокирующих отток энергии из ближней зоны г.а бесконечность.

Практическая значимость работы определяется широким кругом отмеченных выше практических приложений рассмотренных задач, наличием комплекса программ, реаллзущего разработанные методы и большим количеством численных результатов.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях:"Смешанные задачи механики деформируемого тела",Одесса, 1989г., "Механика неоднородных структур", Львов, 1991г., на республиканской научно-технической конференции "Эффек тивные численные метода решения краевых задач механики твердого деформируемого тела", Харьков, 1989г., на И - региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды,теоретически а и прикладные вопросы .вибрационного просвечивания земли' ГеленджикД990г., на семинарах Кубанского филиала НШ М и ПМ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в ? работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех гл; заключения, заниманцих146 страниц машинописного текста, списка цитируемой литературы, включающего 85 наименований работ и 50 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении очерчен круг проблем, рассматриваемых в диссер тацин, показана их актуальность. Дается краткий обзор работ по

исследованию распространения упругих волн и решению клаосичео-ких сметанных задач теории упругости.

Одним из наиболее эффективных методов решения' динамических контактных зэдчч для классических областей контакта (круг,полоса) являются методы Факторизации я фиктивного поглощения,развитие в работах В.Л.Бабешко, И.И.Вороаичз и их учеников. На их основе репганн задачи о гладком контакте полосового и круглого штампов с упругим слоем. Даяние мотоды при точной факторизации символа ядра интегрального уравнения дают точное решение. Однако, на практике используется приближённая факторизация путём аппроксимации его гладкой составляющей полиномом и искусственным введением радикала..Во многих случаях погрешность, вносимая точками ветачения, достаточно мала, но в некоторых ситуациях она становится недопустимо большой и главное неустранимой. Тем самым с использованием приближенной факторизации нельзя исследовать гонкие волновые рффекгн, присущие слоистым средам ¿локализация энергии вблизи источника, резонанса), так как нельзя во всех случаях гарантировать полную достоверность результатов.

Данное обстоятельство явилось одной из главных причин разработки методов решения-динамических контактных задач для упругого слоя, не имепцих принципиальных ограничений на достижимую точность результатов, осуществленной в настоящей диссертационной работе.

В большинстве работ, посвященных анализу колебаний поверхностных объектов на упругом основании, как правило, предполагаются так называемые ослабленные условия контакта: отсутствие касательных компонент напряжений при вертикальном смещении или нормальных при сдвиге. Ограниченность круга решенных задач со

сцеплением объясняется их сложностью: они сводятся ужа на к скалярным, а к векторным интегральным уравнениям (системам уравнений) и использование, например, метода факторизации приводит кфо&ламам факторизации матриц, которая в настоящее время в общем случао удовлетворительно не решена. Основной метод решения здесь - разложение неизвестных контактных напряжений по системе полиномов с весом, точно описыващим особенность на гра-ницэ области контакта (полиномы Чебышева или Якоби). Широко используются также методы граничных или конечных элементов.

. 3 настоящей работе асимптотически - точный метод, разработан ный для скалярных интегральных уравнений и-не требуюций сложных выкладок, связанных с факторизацией и аппроксимацией,обобщается на случай систем уравнений (задача со сцеплением). Более того, установив определенные соотношения между компонентами неизвестных векторов, реализация метода была сведена к процедурам не более трудоёмким, чем в скалярном случае. В отличие от описан4 ных вышэ подходов эффективность данного метода растет с увеличением размеров области контакта..

Динамические контактные задачи о колебании упругих тел конечных размеров в настоящее время всё ещё мало изучены и достаточно трудоёмки. Для канонических тел (шар, цилиндр) исполь гуются методы, основанные на разделении переменных,, а для тел. произвольной формы, как правило, методы граничных или конечных элементов.

В случае контакта деформируемого тела с упругим слоем, применение граничных или конечных элементов затрудняется неограниченностью среды. Этих трудностей можно избежать, если расцепить задачу на две: на контактную задачу для слоя и задачу для конечного упругого тела. Данный подход и используется в диссертации.

В парной глава, которая носит вводный характер, даётся математическая постановка задачи о гармонических колебаниях ограниченного упругого тела, сцепленного с упругим слоем в

= -1сЛ-1 е круговой области ^ радиуса СКрио.1)

Перемещения слоя О. выражаются через

Г-^Да х повзрхностные напряжения С|. с

_л____' помощью матрацы Грана упругого слоя :

Г? / / / УХ '' л/// у / /

опс.1

=¿1Д ШмЫл^^^,

(I)

К, 0 - ойр,'1зопш'.ля Зурьо но х.у. от соответственно,

:лютлтслг. е здчоь и дало о в силу линейности задачи опутан. Лги задлшалс смощониях ^в области контакта пролстлнл-жио (II л.пот спетому интегральных уравнений типа спертки относительно ноиэиое-тш/х контактных напряла кий Ц, .

(2)

В ососиг-лметричном случае при переходе к цилиндрическим координатам размерность системы снижается на единицу. Для паретецип?. н слое 0.(2,испольэуется точное представление б гаде ряда по вычетам п полюсах элементов матрицы К—? •

При 7.<а патучоно аналогичное представление в зиде ряда. Эта представления позволяют исследовать волновые и энергетические процессы как б дальней, так и в ближней зоне, в том числе и под источником.

Во второй главе описывается подход к решению смешанной задачи для ограниченного, упругого тела. Первый параграф посвят« выводу интегральных соотношений, определяющих гармонические коле бания осе симметричного упругого тела на сснозе фор?лулы Бетти.В; втором параграфе получены две системы IW относительно неизвестных смещений поверхности упругого тела. Первая система получается, если в представлении для смещений упругого тела й. (Д) чере: поверхностные смещения й. (JÇ) я напряжения р С^ ) :

□.сац=\\[^с| ,х-? (4]

взять х€. 5 , 5 - поверхность, ограничивающая упругое тело. Контактные напряжения выражаются через смещения в результате решения смешанной задачи для слоя: рС^гей *

*й-(х)|5;а,В представлении (4) ^-СХ) - матрица фундаментальных решений дая сосредоточенного гармонического источника в упругом однородном пространстве, где - оператор напряжени

Данная система является системой 1ИУ второго рода с сингулярным ядром.

Вторая система 1ИУ была получена на основе требования того что.преобразование Фурье переведений й.<х) должно быть целой функцией, как преобразование Фурье функции в ограниченной области (данный подход предложен В.А.Бабешко). В результате в осесимметричном случае получается система 1ИУ с гладкими

матрицами-ядрами

г ^ „ и^ивксЛемГ л

о

ПорЕый интеграл здесь соответствует области контакта,второй-поверхносте тела, выступающей над слоем, третий - относительно заданных поверхностных напряжений.

3 третьем параграфе описывается способ дискретизации полученных систем ГЛ7. В области контакта неизвестные смещения тгСр) раскладываются в ряд Дини-Еесселя, на остальной части поверхности упругого тела в ряд Фурье. Алгебраическая система для определения неизвестных коэффициентов разложения получается методом коллокации или методом Гэлёркнна.

Проведенные расчёты показали, что алгебраические системы, полученные для уравнения (5), в силу гладкости их ядер оказались численно неустойчивыми. Их использование требует дополнительной регуляризации.

Третья глава посвящена решению интегральных уравнений (2). Преобразование Фурье контактных напряжений 0-(рП определяется соотношением

преобразование Фурье смещений поверхности слоя вне

а-

^(1). В соответствии с представлением (3): «--I \ Ь3)К Ь^С^У ^

Алгебраическая система для определения неизвестных была

получена на осново требования аналитичности Щл) как преобразования Фурье функции, заданной в ограничзннсй области. Установлены определенные соотношения между компонентами неизвестных векторов "Е^—к , ^ , позволившие перейти к решению системы с одним набором неизвестных, как и в случае гладкого контакта:

с (5)

0-е. =[- <Л> т," ^ / X са V, - нули функции ДдС«*) (полюса К 0=0 ), С*, • -известные константы.

Способы регуляризации подобных систем рассматриваются во втором параграфе на примере решения задачи о гладком контакт» штампа со слоем. В случае контакта со сцэплешем регуляризация проводится на основа учёта асимптотического поведения неизвоетних

(-У +

здесь - константы, зависящие от показателя особенности

напряжений у кромки штампа, сцепленного со слоем, »' неизвестные коэффициенты интенсивности напряжений.Представление (7) позволяет перейти от бесконечной алгебраической системы (6) к асимптотически эквивалентной конечной системе.

В четвертом параграфе описан метод поиска полного счетного набора вещественных и комплексных нулей и полюсов

необходимых для реализации развитого метода решения смешанной задачи для слоя.

Заканчивается глава описанием численных результатов .Приводятся результаты сравнительного анализа динамической контактной жёсткости слоя в случае гладкого контакта (пунктирная линия) и в случае контакта со сцеплением (сплошная линия),позволяющего оценить границы применимости результатов, полученных для ослэйленных условий контакта. На рис. 2,3 приводятся результаты ..экого сравнения для =0,1 (рис.2) и V =0,3 (рис.3),

ч) - коэффициент Пуассона слоя, со - круговая частота колебаний штампа, 1^.1,9 - амплитуда и фаза контактной жёсткости слоя.

В четвертой главе проводится анализ энергетических и вол-

новых процессов, прэгекавдих в слое. Представление смещений частиц упругого слоя в радах (3) позволило рассмотреть лиши тока энергии, определяемые из решения задачи Коши.

^=ё(х)/|£(х)| (8)

' с1&

В соотношении (8) в-СЗСО - вектор плотности потока энерг:!-: (вектор Умова-Пойнтинга). Построены линии тока энергия,закачиваемой в слой для различных режимов работы слоя как волновода, приведены графики векторов напряжений и перемещений, волич::нч

»

плотности потока энергии в зависимости от глубины 2 ::" расстояния от источника^. Рис.4 иллюстрирует процесс образования энергетических замкнутых вихрей и разворот обратного потока

(до появления бегущих волн в слое) возможен неограниченный резонанс массивного штампа, колеблющегося на слое под действием постоянной осциллирующей нагрузки. Отток энергии бегущими волнами на бесконечность приводит к появлению демпфирующей составляющей динамической реакции упругого слоя, не-допускающей возникновения неограниченных резонансов. В работах Бабешко В.А., Воровича И.И., Образцова И.Ф. впервые было теоретически обнаружено явление высокочастотного неограниченного резонанса и установлено, что причиной резонансов является локализация вибрационного процесса в окрестности неоднородности.

В настоящей работе проанализированы особенности трансформации линий тока энергии при приближении размеров штампа к

- 15 -

резонансным. Из-рис. 5 ( "V =0,48,со =3, а. =6,67) видно,что отток, энергии на бесконечность блокируется двумя замкнутыми вихрями; слабый потек, проходящий между.этими вихрями,обходя по периметру верхний вихрь, поглощается зоной оттока энергии, ~ появившейся в области у края штампа. Чередование зон взлучения энергии и её оттока характеризуется графиком зависимости Эт. от 'г., т.к.эта величина определяет направление ё.(Х) .В хода увеличения радиуса а, при прохождении- резонансного размера вид зависимости С/тС^сг) меняется почти зеркально (рис.6) Такой характер изменения контактных напряжений наблюдается при прохождении всех рассмотренных резонансных размеров а и использовался как критерий поиска-резонансов на более высоких частотах, где возбуждается более одной бегущей волны и асимптотические формулы неприменимы.

В диссертационной работе

1. Рассмотрена задача об установившихся гармонических колебаниях осесимметричного упругого тела конечных размеров, сцепленного с упругим слоем в круговой области контакта, которая сводите к смешанной задаче для упругого тела и динамической контактной задаче для слоя.

2. Развиты численные методы решения систем ШУ, полученных методом простого сведения и на основе требования аналитичности преобразования Фурье.смещений в упругом теле.

3. Для решения векторной динамической смешанной задачи для слоя предложен новый сравнительно простой-в реализации метод, высокая эффективность и точность которого основана на использовании

уравнения и ка предварительном определении характера особенности напряжений в окрестности границы области контакта упругого тела со слоем.

4. Произведен сравнительный анализ динамической контактной жёсткости слоя з случае гладкого конгакта и контакта со сцеплением.

5. Изучена тонкая структура волновых полей и энергетических потоков в упругом слое. Представление решения для слоя в рядах позволило рассмотреть на только дальнюю, но и ближнюю к источнику зону, а в ней процесс возникновения циркуляции и разворот обратных потоков энергии.

6. Приведены результаты расчётов распределения плотности потока энергии и полей напряжения в зависимости от глубины и расстояния от источника.

7. Впервые детально изучен механизм локализации энергии при высокочастотном резонансе штампа на упругом слое.

Основные результаты диссертации опубликованы в следувдих работах.

1. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В.Линии тока энергии в упругом слое.-Деп.. в ВИНИТИ.07.04.89. Л2249-В89.40с.

2. Глушков Е.В..Глушкова П.В., Кириллова Е.В.Колебания тел конечных размеров на упругом слое./Дез.докл.17 Всес.конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Одесса.1989г.. С.82.

3. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Колебания тел конечных размеров на упругом слое./Дез.докл.ре сп.научн.-тетн. конференции "Эффективные численные метода решения краевых задач леханики твердого деформируемого" гела".Дарысов.1989г..с.70-71. I. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. О линиях тока акустической энергии 9 упругом елое.//Акуст.журн.1990г. т.36.

вып.З. С.405-409.

5. Глушков Е.В., Ллушкова Н.В., Кириллова В.В. Расчет диначи-ческой контактной жесткости для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем. Деп. в ВИНИТИ.20.12.91г. М726-В91.36.С.

6. Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Гармонические колебания упругого тела на деформируемом основании./Дез. докл.Ш Всес.конф. "Механика неоднородных структур". Львов. 1991г..с.74.

7. Кириллова Е.В. О решении данамической контактной задачи для штампа, сцепленного с упругим слоем./Дезяси Ш Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания земли" г.Краснодар,1990г.с.34.