Колебания полуограниченных сред, содержащих вертикально ориентированные включения

Капустин, Михаил Сергеевич

Колебания полуограниченных сред, содержащих вертикально ориентированные включения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Капустин, Михаил Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Колебания полуограниченных сред, содержащих вертикально ориентированные включения»

Автореферат диссертации на тему "Колебания полуограниченных сред, содержащих вертикально ориентированные включения"

На правах рукописи

Капустин Михаил Сергеевич

КОЛЕБАНИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД, СОДЕРЖАЩИХ ВЕРТИКАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2008

003454063

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физ.-мат. наук, профессор Смирнова Алла Васильевна

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физ.-мат. наук, профессор Селезнев Михаил Георгиевич

кандидат физ.-мат. наук Сыромятников Павел Викторович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный технологический университет»

Защита состоится «11» декабря 2008 г. в \6 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 по физико-математическим наукам в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета.

Автореферат разослан « У' » ноября 2008 г.

Ученый секретарь ¿¡f

диссертационного совета q^sä^^VСмирнова A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность исследований обусловлена необходимостью создания мощных виброисточников для изучения строения Земли, поведения свайных фундаментов при сейсмическом воздействии, а также широким использованием в различных областях механики, геофизики, акустоэлектроники, дефектоскопии задач о колебаниях упругих сред, вызванных вибрирующими источниками, расположенными как на границе, так и внутри среды.

Целыо диссертационных исследований является построение математической модели виброисточника, анкерно сцепленного с грунтом, а также определение и анализ:

- количественных характеристик волновых полей, генерируемых поверхностным и внутренними источниками;

- контактных напряжений, возникающих в области контакта излучающей плиты и поверхности основания.

Методика исследований. Методом интегральных преобразований исходные краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых строятся в виде суперпозиции общего и частного решений. Для корректной постановки задач используется принцип предельного поглощения. Используя метод стационарной фазы, получены асимптотики объемных волн в упругом полупространстве. Замыкая контур интегрирования в интегральном представлении решения и используя теорему Коши о вычетах, построены аналитические выражения, определяющие амплитуды волны Релея в упругих полуограниченных средах типа полупространства и слоя Используя полученное интегральное представление решения, исходная краевая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно неизвестного напряжения в области контакта. Решение интегрального уравнения контактной задачи строится методом фиктивного поглощения. С помощью разработанных в среде Compaq Visual Fortran 6.1 пакетов прикладных программ, проведен численный анализ решений поставленных задач.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

- изучено влияние излучения системы вертикально ориентированных включений на общее волновое поле,

возникающее в упругом полупространстве и слое, жестко сцепленном с недеформируемым основанием;

- метод фиктивного поглощения развит применительно к решению интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой смешанной задаче теории упругости о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально (горизонтально) ориентированных включений;

- исследовано влияние внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом.

Практическая значимость работы определяется возможностью применения рассмотренных задач в таких областях современной науки, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других.

Работа поддерживалась различными научно-исследовательскими фондами (РФФИ (03-01-00694, 08-08-00144, 06-08-00671), РФФИ_р_юг (00-01-96007, 00-01-96008, 00-01-96024, 03-01-96537, 03-01-96645, 06-01-96600, 06-01-96639), грант Президента РФ (НШ-2107.2003.1, НШ-2298.2008.1)), что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.

Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором адекватных моделей, применением строгих математических методов и сравнением с результатами других авторов.

Апробации работы. Материалы диссертации докладывались на Международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии» в 2001 г., научно-практической конференции «Проблемы строительства в сейсмоопасных регионах» в 2002 г., 111 Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием в 2003 г., IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» в 2005 г., V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» в 2008 г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников (113 наименований) и приложения, в которое вынесены результаты численных расчетов. Общий объем диссертации

составляет 121 страницу, включая 9 рисунков в тексте и 60 рисунков приложения.

На защиту выносятся:

1 Результаты анализа влияния излучения системы вертикально ориентированных включений на общее волновое поле, возникающее в упругом полупространстве.

2 Результаты исследования распространения поверхностной волны Релея, излучаемой системой вертикально ориентированных включений, в упругом слое, жестко сцепленным с недеформируемым основанием.

3 Развитие метода фиктивного поглощения для решения интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой смешанной задаче теории упругости о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально (или горизонтально) ориентированных включений.

4 Результаты исследования распределения контактных напряжений под штампом с учетом влияния вертикально (или горизонтально) ориентированных включений

5 Разработанные пакеты прикладных программ, реализующие полученные решения на языке Fortran.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Достижения фундаментальных наук в области исследования сложных задач механики деформируемого твердого тела, а также возросшие возможности современной вычислительной техники позволяют в настоящее время поставить и решить проблему разработки новых эффективных аналитических и численно-аналитических методов исследования динамического поведения систем «массивное тело - деформируемая среда».

Моделирование волновых процессов в сплошных средах, взаимодействующих с поверхностными и заглубленными объектами, приводит к динамическим смешанным задачам. Большой интерес у современных исследователей вызывают задачи о колебаниях упругих сред, вызванных вибрирующими источниками, расположенными как на границе, так и внутри среды. Это обусловлено, широким использованием указанных задач в различных областях механики, геофизики, вибросейсморазведки, фундаментостроении, акустоэлектроники, дефектоскопии.

Основным средством изучения строения Земли, являются сейсмические волны, возбуждаемые виброисточниками. Использование виброисточников, анкерно сцепленных с грунтом,

позволяет увеличивать давления, прикладываемые к излучающей плите. Однако при работе такого источника важно знать характеристики волнового поля, создаваемого анкерными колоннами, заглубленными в грунт. Это поле, интерферируя с основным, генерируемым излучающей плитой, может либо усиливать его, либо, наоборот, ослаблять. Самостоятельный интерес представляет также задача определения контактных напряжений, возникающих в области контакта излучающей плиты и поверхности основания.

Для решения смешанных задач об установившихся колебаниях полуограниченных тел, таких как слой, полупространство, разработаны различные методы (В.М. Александров, В.А. Бабешко, Н.М. Бородочев, А.О. Ватульян И И. Ворович, Е.В. Глушков, Т.К Де, Ж.Ф. Зинченко, В.В. Калинчук, ОД. Пряхина, Е. Рейсснер, О.А.Савицкий, В М. Сеймов, М.Г. Селезнев, А.Н. Трофимчук и другие). В диссертационной работе за основу берутся краевые задачи, постановка которых полностью опирается на исследования, выполненные В.А. Бабешко и И.И. Воровичем. Эффективным методом решения интегрального уравнения, к которому сводится изучаемая в данной работе краевая задача теории упругости, является метод фиктивного поглощения, идея которого принадлежит В.А. Бабешко.

Асимптотическими методами получены аналитические представления для амплитуды объемных и поверхностных волн в дальней от источника зоне.

Исследование волновых полей, излучаемых источником, анкерно сцепленным со средой, выполнено Е.В. Глушковым, Н.В. Глушковой. Результаты расчетов волновых полей, возбуждаемых источником, и оценка влияния излучения колонн на общее излучение источника, использовались для сравнения с результатами, полученными в диссертационной работе.

Первый раздел посвящен постановке и решению задач о гармонических колебаниях в упругом полупространстве и слое с жестко защемленной нижней границей, возбуждаемых системой жестких вертикально ориентированных включений и поверхностной нагрузкой, распределенной в круге.

Рассматриваются колебания упругой среды

(полупространство, слой), свойства которой характеризуются плотностью р, скоростью продольных С| и поперечных с2 волн (для полупространства и слоя) и высотой И (для слоя). В круговой области радиуса а на поверхности среды (г <а, г = 0) , приложена гармоническая вертикальная осесимметричная нагрузка, закон изменения которой в зависимости от радиуса и времени

описывается заданной функцией р(г)е~т< (со - частота колебаний, I - время). Система вертикально ориентированных заглубленных источников, совершающих (в общем случае) вертикальные и горизонтальные колебания, образует цилиндрическую поверхность: г = 0 <г<-/?0.

Смещения точек среды характеризуются вектором перемещений и ={г/, ,м.} и описываются динамическими уравнениями Ламе в цилиндрической системе координат (общий

для всех характеристик множитель е

(Ь + 2ц)

дг

иг 1 диг 2 г дг

дг

ди.

д:

всюду опущен).

д.

д:1

-А', =р-

(Л + 2д)-

д-.1

- + ц

д1и, ^ 1 ди.

дг*

дг

+ (Л+ц)

д-.

диг

~1к

д!г

аI*

(1)

где А,,|д - константы Ламе.

Распределенная по глубине нагрузка (включения) моделируется компонентами локализованной объемной силы: Хг =/Дг)5(г-г0), X. = /_(г)5(г-л0) .

Граничные условия на поверхности среды

ди. ,

(Х.+ 2и)—— + А. &

при г = 0:

ди

——+ — иу дг г

| р(г), г < а; I 0,г>а,

ди. ди,.

(2)

= 0.

В случае полупространства смещения должны убывать при г ->-оо : иг (г, г), и. (г, г) —> 0 . (3)

Для слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием, смещения равны нулю

при иг (г, -И) = и. (г, -Л) = 0. (4)

В качестве условий излучения используется принцип предельного поглощения.

Методом интегральных преобразований исходные краевые задачи (1)-(3) (полупространство) и (1), (2), (4) (слой) для систем дифференциальных уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых строятся в виде суперпозиции общего и частного решений. Получены интегральные представления решений, описывающих смещения в среде и на поверхности.

Во втором разделе строится асимптотика волновых полей в дальней от источника зоне.

На основе полученных интегральных представлений решения задачи (1)43) методом стационарной фазы, построены асимптотики Р, Б-волн в упругом полупространстве

иг ,(ч#, Я) = - а 2(//0/;(а) - й/л (а,- А)),

ил (V, К) = асг, (1Юр (а) -й/л (а, -А))

а=К|51п(||/) Я

иг2(\Ч,К) = аст2(ас10/Да)- 0/2(а,-А))

а=К2 5111(41) Л

«г2(Ч». Л) = -а2(аа,Ор(а) - й/2 (а,-Л))

а=К25т(чО ^

Л -» да, — < \|/ < л . (5)

где мг|(\у,Л), г/.| (у, Я) - соответственно горизонтальная и вертикальная составляющие продольной волны, иг2 (ч'> й), и. 2(\|/,Л) - соответственно горизонтальная и вертикальная составляющие поперечной волны, сферические координаты (Л -полярный радиус, у - угол места, отсчитываемый от дневной поверхности полупространства по часовой стрелке), а -невырожденные стационарные точки, К] и К2 - волновые числа

продольной и поперечной волн, <зк = ^а2 - , Яе ак 2; 0, 1т ак < 0, к = 1,2 .

Используя интегральные представления решения задачи (1)-(3) на поверхности упругого полупространства (при : = 0), применяя процедуру замыкания контура интегрирования и используя теорему Коши о вычетах, определив особые точки у подынтегральной функции, построены аналитические выражения для вычисления амплитудно-частотных характеристик волны Релея.

V ' 2рс22Д'(0 ,-->оо, (6)

V ' 4рс22Д'(С)

где С - волновое число релеевской волны.

Аналогично построены аналитические выражения для вычисления амплитуды волн Релея на поверхности упругого слоя

3л1

Вг(г,0, =,£ ¡ЫОлЫ-ОггШ^у-« 1 +0{г~ъп\

,ы\ г 2рс|Л'(С*) —со, (7)

(г. о)=, £ +^' ^ х

где С— полюса, которые определяются из решения дисперсиднного уравнения А(а) = 0 .

Численные расчеты проводились по формулам (5), (6), (7) для вертикальных нагрузок. При этом усилия, приложенные к поверхности среды и к вертикально ориентированным включениям, считались равными по величине и противоположными по направлению. Поверхностная нагрузка р(г) считалась равномерно распределенной в круге радиуса а. Объемная сила в этом случае имеет вид X. - /. (г) 6(г - г0), где

а) Дгг) = к + Ь, (8)

, Ь{ 1-е,) 2

к --—, Ъ =-, г е

Ьо М1 + е|)

0. —А^ ^ при е, =0; 0,5; 1

6) f(z) = e2(Jb+z) + e-^-:K~ + -TL=, (9)

-¡z + hо

2 6(0,-Ль) для e2 =0; 0,5; 1. Функция (9), описывающая напряжения на жестком включении, определена A.A. Евдокимовым из решения интегрального уравнения контактной задачи о колебаниях вертикально ориентированного тонкого включения, заглубленного в однородное полупространство.

Полученные для полупространства результаты имеют хорошее совпадение с данными в работах В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Ж.Ф. Зинченко, О.М. Тукодовой, С.Е. Глушенко, А А. Евдокимова для всех значений параметров. В диссертационной работе показано, что вертикально ориентированные включения с ростом частоты оказывают существенное влияние на интерференционную картину общего волнового поля, изменяя количество частот «запирания» и их значения.

В третьем разделе формулируется и решается динамическая контактная задача о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему жестких вертикально ориентированных включений с заданными на их границе контактными напряжениями.

Рассматривается осесимметричная задача о колебаниях абсолютно жесткого невесомого круглого штампа на поверхности упругого слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием. На штамп радиуса а действует гармоническая

вертикальная нагрузка Р = {0, Ре~'ш) , приложенная в центре. В области контакта {г < а, z = 0} трение отсутствует. Функция распределения контактных напряжений qt (г) под штампом неизвестна. В слое толщины h по окружности радиуса г0 расположена система заглубленных вертикально ориентированных включений длины Лд, совершающих вертикальные колебания.

Распределенная по глубине нагрузка на включениях моделируется компонентами локализованной объемной силы и считается заданной (рисунок 1).

Постановка задачи позволяет использовать соотношения, полученные для вектора перемещений и задачи (1), (2), (4).

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно неизвестного напряжения в области контакта получено в виде

|£(г,т)^т)т</т = и_(г,0)-Л(>), 0 <г<а. (10)

Здесь к(г, т) = [ А'(а)./0(а/-)^о(ат)аа'а, о»

Л(>') = | 02 (а) ~~ трансформанта Бесселя от

перемещений, обусловленных наличием включений, а0 - контур интегрирования, определяемый в соответствии с принципом предельного поглощения.

Для решения интегрального уравнения (10) используется вспомогательное уравнение

\k{r,1)q(x,y\)xdx = J0(\\r), 0<т<а, (11)

решение которого получено методом фиктивного поглощения В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной.

Используя это решение, построенное для единичной правой части д; (г) = д(г,0) , получено выражение для напряжений под

штампом, создаваемых вкл юч е н и я м и

вертикально ориентированными

(12)

<72 (т) = - / Й>(аМт. °Уо (аг)ас/а . о

Решением исходной задачи (10), в силу линейности постановки, является сумма

чЛг) = Я[ М + ^О')-

Применяя процедуру разворота контура интегрирования в (12), учитывая свойства подынтегральной функции, используя лемму Жордана и теорему Коши о вычетах, приходим к выражению для вычисления контактных напряжений под штампом, создаваемых вертикально ориентированными включениями

</2 (г) = -71/£ к=1

д )

(13)

Численные расчеты проводились для единичной нагрузки на включениях. Функция распределения напряжений вдоль вертикально ориентированных включений вычислялась по формулам (8), (9).

Полученные результаты позволяют утверждать, что вертикально ориентированные включения, в зависимости от параметров, либо усиливают, либо ослабляют контактные напряжения под штампом (рисунок 2) и на низких частотах мало влияют на характер напряжений.

А = 20 м, V = 4.0 Гц;

<71 (г) ( а = 2 м); 2 - ('') ( = 10 м> 'о = 2 м, б2 З-д. (г) Рисунок 2

1.0);

Изменение характера распределения контактных напряжений под штампом зависит от совокупности параметров: частоты колебаний и размеров источников (рисунки 3, 4).

о-9 11 / / ..........1-

/ 1 / / ^ / ^ /

_----- _____4-

0 0.5 1

И = 20 м, V = 4.0 Гц, а = 2 м, А0 =10 м, е2 = 1.0 ; 1 /о=5 м; 2 - г0 -10 м; 3 - г0 - 15 м Рисунок 3

Ы92{г))Л О'9 ...........1 -3 А

к = 20 м, V = 4.0 Гц, а = 2 м, г0 = 2 м, Б] = 1.0 ;

1 - На = 5 м; 2 - /г0 = 10 м; 3 - Н0 = 15 м Рисунок 4

В четвертом разделе формулируется и решается динамическая контактная задача о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему жестких горизонтально ориентированных включений с заданными на их границе контактными напряжениями.

Постановка краевой задачи для включений, расположенных параллельно поверхности слоя, аналогична задаче (1), (2), (4), в которой компоненты вектора объемных сил имеют следующий вид: Хт = /,(г)5(2 + И0), X, = /,(г)5(г + Л0).

Выполняя соответствующие преобразования, задача сведена к интегральному уравнению (10), решение которого строилось методом, описанным в третьем разделе.

В результате получено аналитическое выражение для вычисления контактных напряжений под штампом, создаваемых горизонтально ориентированными включениями в случае их вертикальных колебаний ( Л', = /. (/-)5(г + А0))

( . л

</2<»:

111

к=1

Д'Кл)

]/:{г)гн4\^кг)с1г

Функция распределения напряжений определялась по формуле

/-(г) = кг + Ь,

А(Е,-1) , 2

где к =■

'о

{о,/о]

при Е] =0; 0,5; 1 .

г0(1 + £,)

Численный анализ показал, что характер распределения контактных напряжений под штампом зависит в большей степени от частоты колебаний и размеров источников (рисунки 5, б).

^ Л

- ----- ----

...........1 -3 V \ 1

0 0.5

Л = 20 м, V = 4.0 Гц, а = 2 м, г0 =2 м, е, = 1.0 ; 1-/^=5 м; 2 - ¿¡о = 10 м; 3 - Ад = 15 м Рисунок 5

h = 20 м, v = 4.0 Гц, а = 2 м, Л0 = 10 м, е, = 1.0 ;

1 - г0 =5 м; 2 - /*0 = 10 м; 3 - = 15 м Рисунок 6

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Построено решение краевых задач теории упругости о гармонических колебаниях упругого полупространства и слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием, возбуждаемых системой вертикально или горизонтально ориентированных включений и поверхностной нагрузкой, распределенной в круге.

2 Проведен асимптотический анализ решений в дальней зоне; изучено влияние излучения системы вертикально ориентированных включений на общее волновое поле, возникающее в упругом полупространстве и слое, жестко сцепленном с недеформируемым основанием.

3 Развит метод фиктивного поглощения для решения интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой смешанной задаче о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально (горизонтально) ориентированных включений.

4 Разработаны пакеты прикладных программ, реализующие полученные решения на языке Fortran, проведены численные расчеты волновых полей, возбуждаемых поверхностной нагрузкой и вертикально ориентированными включениями в пространстве и слое, а также контактных напряжений под штампом в задаче для слоя.

5 Исследовано влияние вертикально и горизонтально ориентированных включений в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Веревкин В В , Евдокимов А А, Капустин М С Влияние анкерных колонн на волновое поле поверхностного вибросейсмоисточника// Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках: Материалы II Всероссийской научной internet-конференции. Апрель-май 2001 г. -Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г.Р.Державина, 2001. - Вып.7 - С.36-39.

2 Евдокимов А А , Капустин М.С Колебания упругого слоя, возбуждаемые системой жестких включений// Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. - Ростов-на-Дону: Ростовский государственный университет, 2004.- С. 151-153.

3 Евдокимов А А , Капустин М С Расчет контактных напряжений в задаче о действии штампа на упругий слой с вертикально ориентированными включениями//Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2005, -Nil, - С.33-35.

4 Евдокимов А А, Капустин М.С Численный анализ решения контактной задачи о колебаниях круглого штампа на упругом слое с вертикально ориентированными включениями// Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды II Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов, Краснодар: Просвещение-Юг, 2005. Т.2. С. 95-96.

5 Капустин М С Расчет контактных напряжений в задаче о действии штампа на упругий слой с горизонтально ориентированными включениями// Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов, Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т.2. С. 115-116.

6 Пряхина ОД, Смирнова А В, Евдокимов А А , Капустин М С. Волновое поле анкерно закрепленного поверхностного вибросейсмоисточника// Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии: Тез.докл. VI межд.конф. 7-12 сентября 2001 г. — Редакционно-издательский отдел Кубанского государственного аграрного университета, 2001. - С.267.

7 ПряхииаОД, Смирнова А В , Евдокимов А А , Капустин М С, Рыбак А А Амплитудно-частотные характеристики волны Рэлея возбуждаемой анксрно закрепленным поверхностным вибросейсмоисточником// Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических пауках: Материалы III Всероссийской научной internet-конференции. Сентябрь-ноябрь

2001 г. - Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина, 2001. - Вып. 12 -С.7-9.

8 Пряхина ОД , Смирнова Л В , Евдокимов А А , Капустин MC О методе расчета динамики анкерно закрепленного массивного штампа// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VII Международной конференции памяти академика РАН И.И. Воровича, г. Ростов-на-Дону, 22-24 октября 2001 г. - Т. 1, - С. 199-203.

9 ПряхииаОД, Смирнова А В , Евдокимов А А., Капустин М С Анализ амплитудно-частотных характеристик волны Рэлея, возбуждаемой поверхностной нагрузкой и системой жестких включений в однородном полупространстве//Природа. Общество. Человек. Вестник Южно-Российского отделения международной академии наук высшей школы. Естественные науки.-2002,-№1 (14), - С.78-83.

10 Пряхина ОД, Смирнова А В, Евдокимов А А , Капустин MC Анкерно закрепленный массивный штамп как модель свайного фундамента// Проблемы строительства в сейсмоопасных регионах. Тез.докл.науч.-практ.конф. 15-18 мая

2002 г. - Ростов-на-Дону: Ростовский государственный строительный университет, 2002. - С.31-32

11 Пряхина ОД, Смирнова А В , Евдокимов А А , Капустин М С Колебания полупространства при наличии системы жестких включений//Докл. РАН. - 2003. - Т.389. - вып.1. - С.193-197.

КАПУСТИН Михаил Сергеевич

КОЛЕБАНИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД, СОДЕРЖАЩИХ ВЕРТИКАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

Автореферат

Подписано к печати 05 11 2008 Формат 60х84Ш(;. Уч. изд л. 1,04 Тираж 100 экз. Заказ № 8359.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика 350059, г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел /факс: 239-68-31.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Капустин, Михаил Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 Колебания упругих полуограниченных сред под действием поверхностных и вертикально ориентированных внутренних нагрузок.

1.1 Краевые задачи о колебаниях упругого полупространства и слоя при наличии поверхностной нагрузки и вертикально ориентированных включений.

1.2 Метод интегральных преобразований в решении краевых задач

1.3 Задача о совместном действии поверхностной нагрузки и системы вертикально ориентированных включений на упругое полупространство.

1.4 Задача о совместном действии поверхностной нагрузки и системы вертикально ориентированных включений на упругий слой, жестко сцепленный с недеформируемым основанием.

2 Волновые поля в полуограниченной упругой среде, возбуждаемые совместным действием поверхностных и внутренних источников.

2.1 Компоненты Р, S-волн в упругом полупространстве, определенные для внутренних и поверхностных нагрузок.

2.2 Волна Релея в упругом полупространстве при совместном и раздельном действии поверхностных и внутренних нагрузок.

2.3 Составляющие волны Релея для внутренних и поверхностных нагрузок, в случае упругого слоя.42

2.4 Амплитудно-частотные характеристики объемных и поверхностных волн.

3 Совместные колебания невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально ориентированных внутренних нагрузок.

3.1 Вывод интегрального уравнения динамической контактной задачи с учетом вертикально ориентированных включений.

3.2 Решение вспомогательного интегрального уравнения осесимметричной задачи.

3.3 Решение контактной задачи с учетом вертикально ориентированных включений.

3.4 Влияние внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом.

4 Совместные колебания невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему горизонтально ориентированных внутренних нагрузок.

4.1 Вывод интегрального уравнения динамической контактной задачи с учетом горизонтально ориентированных включений.

4.2 Решение контактной задачи с учетом горизонтально ориентированных включений.

4.3 Анализ влияния внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом.

Введение диссертация по механике, на тему "Колебания полуограниченных сред, содержащих вертикально ориентированные включения"

Основным средством изучения строения Земли, являются сейсмические волны, возбуждаемые виброисточниками. Использование виброисточников, анкерно сцепленных с грунтом, позволяет увеличивать давления, прикладываемые к излучающей плите. Однако при работе такого источника важно знать характеристики волнового поля, создаваемого анкерными колоннами, заглубленными в грунт. Поэтому актуальность этих исследований очевидна. Создаваемое анкерными колоннами волновое поле, интерферируя с основным, генерируемым излучающей плитой, может либо усиливать его, либо, наоборот, ослаблять. Самостоятельный интерес представляет также задача определения контактных напряжений, возникающих в области контакта излучающей плиты и поверхности основания.

Существенный вклад в развитие методов исследования задач динамики и статики теории упругости и вязкоупругости для слоистых сред внесли

В.М. Александров, Ю.А. Амензаде, В.А. Бабешко, В.М. Бабич, А.В. Белоконь, Н.М. Бородачев, И.Н. Векуа, И.И. Ворович, JI.A. Галин, В.Т. Гринченко,

A.И. Каландия, В.Д. Купрадзе, А.И. Лурье, • М.Д. Мартыненко,

B.И. Моссаковский, И.А. Молотков, Н.И. Мусхелишвили, Б.М. Нуллер, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, В.З. Партон, B.C. Проценко, Б.Л. Пелех, В.Л. Рвачев, Н.А. Ростовцев, В.М. Сеймов, Л.А. Толоконников, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я. С. Уфлянд, М.И. Чебаков, Д.И. Шерман, И .Я. Штаерман и многие другие исследователи. Обзор результатов, полученных в этой области, приведен в работах [1-14].

Динамические контактные задачи исследовались в работах В.М.Александрова [4, 15-18], В.Г. Буряка [15], А.С.Алексеева [19, 20], И.В. Ананьева [21], В.А. Бабешко, [2, 4, 5, 18, 21-32], А.О. Ватульяна [33], И.И. Воровича [4, 5, 23, 32], А.В. Белоконь [34, 35], Н.М. Бородачева [36-39], Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой [2, 24, 40-42], В.Т. Гринченко [6], В .Т. Головчана, А.Н. Гузя [43], А.А. Евдокимова [44], Ж.Ф. Зинченко [2, 25, 26], В.А.Ильичева [45-47], В.В. Калинчука [27, 48], И.А. Молоткова [49], Г.И. Петрашень [50], О.Д. Пряхиной [28-30, 32, 51-59], О.А.Савицкого [60], В.Л. Свекло [61], В.М. Сеймова [60, 62], М.Г.Селезнева [23, 63, 64], А.Н. Трофимчука [60], О.Я. Шехтер [65], С. Бозе [66], Т.К. Де [67], Е. Рейсснера [68], а также в работах [8, 11, 18, 69-77].

Исследование нестационарных задач проводилось в работах

A.В. Аникьева [45, 46], А.В. Белоконь [34, 35], А.С. Благовещенского [78, 79],

B.Д. Купрадзе [7, 80], А.И. Слепяна [81-83], А.В. Смирновой [25, 26, 31, 53, 84, 85], Ю.С. Яковлева [86] и других авторов [2, 20, 32, 52, 57, 59, 60, 62].

Начало исследованиям о колебаниях круглого штампа на упругом полупространстве было положено Е. Рейсснером [68]. Он изучал вертикальные гармонические колебания штампа при равномерном распределении контактных напряжений. В аналогичной постановке эта задача была рассмотрена О.Я. Шехтер [65]. В этих и других работах принимаются некоторые допущения о характере распределения контактных напряжений. Действительное распределение напряжений не находилось.

Задачи о гармонических колебаниях круглого штампа на упругом основании в строгой постановке решены Н.М. Бородачевым [36-39]. Парные интегральные уравнения им сведены к интегральному уравнению Фредгольма II рода, которое решалось либо способом последовательных приближений, либо путем замены его системой линейных алгебраических уравнений. Гармонические колебания штампа в общем случае рассмотрены С. Бозе [66]. Т.К. Де [67] решена осесимметричная задача о периодических колебаниях штампа путем сведения ее к интегральному уравнению Фредгольма II рода и применения аппроксимации ядра функциями Бесселя и Ханкеля.

Ю.С. Яковлев, B.JL Лобысев [86] исследовали нестационарное движение жесткого штампа и для равнодействующей контактных напряжений получили приближенное простое выражение. Построению импульсной переходной функции системы круглый штамп - полупространство в предположении статического закона распределения контактных напряжений и изучению колебаний штампа при прохождении упругих волн в полупространстве посвящены работы А.В. Аникьева, В.А. Ильичева [45-47].

В работе В.М. Сеймова [62] исследовались перемещения упругой полуплоскости при нестационарных и гармонических нагрузках, распределенных на участке ее границы; нестационарные и гармонические колебания жестких штампов, полосы конечной жесткости расположенных на упругой полуплоскости; вертикальные нестационарные колебания круглого штампа на упругом полупространстве. Задачи сводились к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений на основе разложения решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных многочленов. Установлено, что при колебаниях штампов эпюра контактных напряжений изменяется в зависимости от времени и может быть или равномерной, или параболической, или седлообразной, или промежуточной формы. Выявлено, что для системы «штамп - упругое полупространство», зависимость изменения частоты свободных колебаний от массы штампа немонотонна.

Решения смешанных задач об установившихся колебаниях полуограниченных тел, таких как слой, слоистое полупространство под действием пространственного в плане штампа, рассмотрены в работе В.А. Бабешко [22]. Постановка соответствующих краевых задач полностью опирается на исследования, выполненные И.И. Воровичем [4].

Вопросы существования и единственности решений динамических смешанных задач подробно освещены в работах И.И. Воровича и В.А. Бабешко [4, 5, 22].

Задачи, возникающие при изучении волновых полей, возбуждаемых в упругом полупространстве заданными поверхностными нагрузками, рассмотрены в работе В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Ж.Ф. Зинченко [2]. В ближней к источнику зоне определение смещений сводилось к расчету однократных контурных интегралов, а для дальней зоны строились асимптотические представления, описывающие распространение объемных, поверхностных и каналовых волн. При решении контактных задач о колебаниях штампов прямоугольной в плане формы на упругом слое, авторы использовали вариационно-разностный метод. Описаны результаты численных расчетов, показывающие влияние волноводных свойств упругого основания, а также размеров, массы, взаимного расположения штампов и частоты установившихся колебаний на распределение контактных напряжений, величину динамической контактной жесткости и резонансные свойства системы «штамп - слой».

Контактные напряжения при установившихся и неустановившихся вертикальных колебаниях штампа на вязкоупругом слое, лежащем на недеформируемом основании, исследованы в работе В.М. Сеймова, А.Н. Трофимчука, О.А. Савицкого [60]. Динамические контактные задачи в области изображений сведены к парным интегральным уравнениям, которые решаются методом ортогональных многочленов. Рассмотрены также вопросы волновых движений в упругих слоистых средах.

В работах И.И. Воровича, Е.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхиной, О.М. Тукодовой, М.Р. Фрейгейта [28-30, 32, 51, 52, 56-59] решен широкий класс динамических смешанных задач для полуограниченных сред. Интегральные уравнения, к которым сводятся соответствующие краевые задачи, решены методом фиктивного поглощения. Изучено влияние условий закрепления штампа, вида нагружения, жесткости и геометрических размеров штампа на распределение амплитуд прогибов и контактных давлений в зависимости от приведенной частоты. Исследованы основные динамические характеристики и резонансные свойства системы «массивное тело - слоистая среда». Установлено наличие у системы резонансных частот четырех типов.

Задачи о возбуждении и распространении волн, вызванных внутренними источниками в упругих средах, представлены в работах [2, 44, 87-96].

Волновые поля, возбуждаемые в упругом однородном полупространстве заглубленным бесконечно тонким источником конечных размеров, исследованы В.А. Бабешко, Е.В. Глушковым, Н.В. Глушковой, Ж.Ф. Зинченко, С.Е. Глушенко, А.А. Евдокимовым в работах [2, 44, 87, 88]. Асимптотическими методами получены аналитические представления для амплитуды объемных и поверхностных волн в дальней от источника зоне.

В диссертационной работе А.А. Евдокимова [44] получены вычислительные формулы для определения касательных напряжений, возникающих на образующей тонкого жесткого вертикально ориентированного включения конечной длины. Изучен характер распределения напряжений с учетом геометрических, частотных и физических факторов. Найден показатель особенности контактных напряжений на обоих концах включения, совершающего вертикальные смещения в упругой среде.

Исследование волновых полей излучаемых источником, анкерно сцепленным со средой выполнено Е.В. Глушковым, Н.В. Глушковой, О.М. Тукодовой [89]. Приведены результаты расчетов волновых полей,

10 возбуждаемых источником, и дана оценка влияния излучения колонн на общее излучение источника.

Можно выделить следующие основные методы, применяемые при решении интегральных уравнений динамических контактных задач: метод факторизации [4, 5, 22], фиктивного поглощения [2, 18, 22, 32], коллокаций [18], 7?-функций [11], асимптотические методы [4, 16, 18], вариационно-разностный метод [2], сведения к интегральному уравнению Фредгольма второго рода [36-39, 67], метод собственных функций [12], ортогональных полиномов [60, 62], граничных элементов [18, 33].

Эффективным методом решения интегрального уравнения, к которому сводится изучаемая в данной работе краевая задача теории упругости, является метод фиктивного поглощения, идея которого принадлежит В.А. Бабешко.

Целью диссертационных исследований является, построение математической модели виброисточника, анкерно сцепленного с грунтом, а также определение и анализ:

- количественных характеристик волновых полей, генерируемых поверхностным и внутренними источниками;

- контактных напряжений, возникающих в области контакта излучающей плиты и поверхности основания.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

- изучено влияние излучения системы вертикально ориентированных включений на общее волновое поле, возникающее в упругом полупространстве и слое, жестко сцепленного с недеформируемым основанием;

- развит метод фиктивного поглощения для решения интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой смешанной задаче теории упругости о совместных колебаниях невесомого штампа и упругого слоя, содержащего систему вертикально (горизонтально) ориентированных включений;

- исследовано влияние внутренних нагрузок в слое на контактные напряжения, возникающие под штампом.

Практическая значимость работы определяется возможностью практического применения рассмотренных задач в таких областях современной науки, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других.

Работа поддерживалась различными научно-исследовательскими фондами, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.

Изложим кратко содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников (113 наименований) и приложения, в которое вынесены результаты численных расчетов. Общий объем диссертации составляет 121 страницу, включая 9 рисунков в тексте и 60 рисунков приложения.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 Построено решение краевых задач теории упругости о гармонических колебаниях упругого полупространства и слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием, возбуждаемых системой вертикально и горизонтально ориентированных включений и поверхностной нагрузкой, распределенной в круге.

2 Проведен асимптотический анализ решений в дальней зоне; изучено влияние излучения системы вертикально ориентированных включений на общее волновое поле, возникающее в упругом полупространстве и слое, жестко сцепленным с недеформируемым основанием.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Капустин, Михаил Сергеевич, Краснодар

1. Амензаде, Ю.А. Теория упругости / Ю.А. Амензаде. М.: Высшая школа, 1976.-272 с.

2. Бабешко, В.А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Ж.Ф. Зинченко. М.: Наука, 1989. - 344 с.

3. Бабич, В.М. Математические методы в теории упругих волн / В.М.Бабич, И. А. Молотков // Итоги науки и техники. Т. 10. Сер. механика твердого деформируемого тела. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977. - С.5-62.

4. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. - 455 с.

5. Ворович, И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1979. -319с.

6. Гринченко, В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. Киев: Наукова думка, 1981. - 284 с.

7. Купрадзе, В.Д. О контактных задачах теории упругости / В.Д. Купрадзе // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16. - №2. - С.293-310.

8. Моссаковский, В.И. Некоторые пространственные контактные задачи теории упругости: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук / В.И. Моссаковский -М., 1955.- 15 с.

9. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

10. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир, 1975.872 с.

11. Рвачев, В.Л. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей / В.Л. Рвачев, B.C. Проценко. Киев: Наукова думка, 1977. - 235 с.

12. Улитко, А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости / А.Ф. Улитко. Киев: Наукова думка, 1979.-261 с.

13. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. Д., 1967. - 420 с.

14. Takeushi, Н. Seismic surface waves / Н. Takeushi, М. Saito // Methods of Computational Physics. N.Y.: Acad. Press, 1972.

15. Александров, B.M. О некоторых динамических смешанных задачах теории упругости / В.М.Александров, В.Г. Буряк // ПММ. 1978. - Т.42. -вып.1. - С.114-121.

16. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями / В.М. Александров, Е.В. Коваленко. М.: Наука, 1986. -336 с.

17. Александров, В.М. Смешанные задачи механики сплошных сред, связанные с интегральными преобразованиями Ханкеля и Миллера-Фока /

18. B.М. Александров, М.И. Чебаков // ПММ. 1972. - Т.36. - вып.З. - С.494-504.

19. Айзикович, С.М. Механика контактных взаимодействий /

20. C.М. Айзикович, В.М. Александров и др.; под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 672 с.

21. Алексеев, А.С. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства / А.С. Алексеев, Б.Г. Михайленко // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. - №12. - С. 11-25.

22. Алексеев, А.С. Расчет нестационарных волновых полей в неоднородных средах / А.С. Алексеев, Б.Г. Михайленко // В сб.: Вычислительные методы в геофизике. М., 1981. - С.6-21.

23. Ананьев, И.В. Динамические контактные задачи для штампов с относительно малым радиусом / И.В. Ананьев, В.А. Бабешко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. - №6. - С.64-70.

24. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости / В.А. Бабешко. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 256 с.

25. Бабешко, В.А. Вибрация штампа на двуслойном основании /

26. B.А. Бабешко, И.И. Ворович, М.Г. Селезнев // ПММ. 1977. - Т.41. - вып.1.1. C. 166-172.

27. Бабешко, В.А. К проблеме динамических контактных задач, в произвольных областях / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. - №3. - С.61-67.

28. Бабешко, В.А. Нестационарное взаимодействие штампа с упругой средой / В.А. Бабешко, Ж.Ф. Зинченко, А.В. Смирнова // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. - №4. - С. 139-140.

29. Бабешко, В.А. К задаче о набегании волн нормального давления на штамп / В.А. Бабешко, Ж.Ф. Зинченко, А.В. Смирнова // ЖПМ и ТФ. 1982. -№2. - С.143-146.

30. Бабешко, В.А. Об одном приближенном методе решения интегральных уравнений динамических контактных задач теории упругости / В.А. Бабешко, В.В. Калинчук // ПММ. 1978. - Т.24. - вып.1. - С.306-312.

31. Бабешко, В.А. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах / В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина II ПММ. 1980. - Т.44. -вып.З. - С.477-484.

32. Бабешко, В.А. Метод фиктивного поглощения в плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления / В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина // ПММ. 1981. - Т.45. - вып.4. - С.725-733.

33. Бабешко, В.А. Об одном методе в теории динамических контактных задач / В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1981. №2. - С.22-28.

34. Бабешко, В.А. О решении нестационарных задач теории упругости со смешанными условиями / В.А. Бабешко, А.В. Смирнова Ростов-на-Дону:

35. Ростовский государственный университет, 1982. Деп. в ВИНИТИ 09.07.82, № 3660.

36. Ворович, И.И. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах / И.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина. М.: Научный мир, 1999. - 246 с.

37. Ватульян, А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости / А.О. Ватульян // ПММ. 1996. - Т.60. - вып.2. - С.309-312.

38. Белоконь, А.В. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров / А.В. Белоконь // Докл. АН СССР. 1977. - Т.233. - №1. - С.56-59.

39. Белоконь, А.В. Давление параболического контура по поверхности тяжелой идеальной жидкости конечной глубины / А.В. Белоконь, Р.А. Грунфест // ПММ. 1971. - Т.35. - вып.З. - С.545-548.

40. Бородачев, Н.М. О решении динамической контактной задачи для полупространства в случае осевой симметрии / Н.М. Бородачев // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1960. - №4. - С.141-144.

41. Бородачев, Н.М. Об определении напряжений под колеблющимся фундаментом / Н.М. Бородачев // Основания, фундаменты и механика грунтов. — 1962. -№3. С. 4-7.

42. Бородачев, Н.М. Колебания штампа, лежащего на упругом полупространстве, под действием горизонтальной гармонической силы / Н.М. Бородачев // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1963. - №9. -С. 19-26.

43. Бородачев, Н.М. Определение динамических напряжений, возникающих в упругом полупространстве под штампом с плоским основанием / Н.М. Бородачев // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - №4. - С. 158-162.

44. Глушков, Е.В. Распределение энергии поверхностного источника в неоднородном полупространстве / Е.В. Глушков // ПММ. 1983. - Т.47. - вып.1. -С. 94—100.

45. Глушков, Е.В. Плоская задача о колебании штампа на слое / Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. -1979. -№1.- С. 23-25.

46. Евдокимов, А.А. Динамические задачи о жестких включениях в упругом полупространстве: дис. . канд. физ.-мат. наук: К 063.52.03 / Евдокимов Александр Александрович / Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону, 1986.-155с.

47. Аникьев, А.В. Нестационарные вращательные колебания твердого тела на упругом основании / А.В. Аникьев, В.А. Ильичёв // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. - №2. - С. 47-52.

48. Аникьев, А.В. Нестационарные горизонтальные колебания фундамента с учетом волнового взаимодействия с грунтовым основанием / А.В. Аникьев, В.А.Ильичёв // Основания, фундаменты и механика. 1980. -№4.-С. 21-24.

49. Ильичев, В.А. К построению импульсной переходной функции системы штамп полупространство / В.А. Ильичев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1973. - №1. - С. 107-119.

50. Калинчук, В.В. Об одной динамической задаче для бесконечного цилиндра / В.В. Калинчук // ПММ. 1975. - Т.39. - вып.З. - С. 555-559.

51. Молотков, И.А. Асимптотические методы в теории упругих поверхностных волн / И.А. Молотков // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1979. №41. - С. 65-70.

52. Петрашень, Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах / Г.И. Петрашень. JL: Судостроение, 1980. - 280 с.

53. Ворович, Е.И. Возбуждение волн массивным штампом на упругом слое / Е.И. Ворович, О.Д. Пряхина, О.М. Тукодова Ростов-на-Дону: Ростовский государственный университет, 1984. - Деп. в ВИНИТИ 03.12.84, №7641.

54. Дорохов, И.В. О действии нестационарной нагрузки на систему: массивный штамп слоистое основание / И.В. Дорохов, О.Д. Пряхина, М.Р. Фрейгейт // ПММ. - 1992. - Т.56. - вып.2. - С. 306-312.

55. Пряхина, О.Д. К расчету напряженно-деформировнного состояния упругой среды при нестационарном нагружении / О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова //Известия СКНЦВШ. 1983. -№1.

56. Пряхина, О.Д. О методе расчета динамики массивного штампа на многослойном основании / О.Д. Пряхина, М.Р. Фрейгейт // ПММ. 1993. - Т.57. -вып.4.-С. 114-122.

57. Пряхина, О.Д. Решение нестационарных контактных задач при наличии сил сцепления / О.Д. Пряхина, М.Р. Фрейгейт // ПММ. 1994. - Т.58. -вып.2.-С. 152-161.

58. Пряхина, О.Д. О динамических свойствах системы: массивное тело — полуограниченная среда / О.Д. Пряхина, М.Р. Фрейгейт //ДАН. 1998. - Т.358. -№1. - С. 48-50.

59. Пряхина, О.Д. О связи решений нестационарных контактных задач с резонансными свойствами исследуемых систем / О.Д. Пряхина, М.Р. Фрейгейт //ДАН.- 1998. -Т.360.-№3. С. 346-348.

60. Сеймов, В.М. Колебания и волны в слоистых средах / В.М. Сеймов, А.Н. Трофимчук, О.А. Савицкий. Киев: Наукова думка, 1990. - 224 с.

61. Свекло, B.JL К решению динамической задачи теории упругости для полуплоскости при смешанных граничных условиях / B.JI. Свекло // ПММ. -1959. Т.23. - вып.2. - С. 266-273.

62. Сеймов, В.М. Динамические контактные задачи / В.М. Сеймов. -Киев: Наукова думка, 1976. 284 с.

63. Селезнев М.Г. Возбуждение вибрирующим штампом волн в двуслойных средах / М.Г. Селезнев // Прикл. механика. 1976. - Т. 12. - №9. — С. 36-42.

64. Шехтер, О.Я. О решении осесимметричных задач для круговых плит на упругом основании / О.Я. Шехтер // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1966. - №5. - С. 1-5.

65. Bose, S.K. A generalised oscillatiory Reissner-Sagoci problem / S.K. Bose // Bull. Calcutta Math. Soc. 1971. - V.24. - №12.

66. De, Т.К. Dynamic contact problem of steady periodic vibrations on an elastic half-space / Т.К. De // Z. ange W. Math, and Mech. 1972. - V.52. - №11. -P. 549-551.

67. Reissner, E. Stationare, axialsymmetrische, durch eine schuttelnde Masse erregte Schwingungen eines homogenen elastischen Halbraumes / E. Reissner // Ing. Arch. 1936. - V.7. - №6. - P. 381-396.

68. Бабич, В.М. О распространении волн Рэлея по поверхности однородного упругого тела произвольной формы / В.М. Бабич // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 137. - №6. - С. 1263-1266.

69. Векуа, И.Н. О доказательстве некоторых теорем единственности в теории установившихся колебаний / И.Н. Векуа // Докл. АН СССР. 1951. -Т.80. - №3. - С. 341-344.

70. Мартыненко, М.Д. Об одном методе решения основного интегрального уравнения контактных задач теории упругости / М.Д. Мартыненко, B.C. Романчик // Весци АН БССР. Сер. физ.-мат. 1977. -№3. - С. 42-47.

71. Муравский, Г.Б. Гармонические колебания штампа на полупространстве при действии силы, приложенной к поверхности полупространства / Г.Б. Муравский // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1969.-№6.

72. Аргатов, И.И. Приближенное решение осесимметричной контактной задачи с учетом касательных смещений на поверхности контакта / И.И. Аргатов // ПМТФ. 2004. - Т. 45. - № 1.-С. 143-150.

73. Павлова, А.В. Об одном методе исследования динамики полуограниченных тел, содержащих внутренние плоские трещины /

74. A.В. Павлова, А.В. Смирнова, С.В. Телятников // Природа. Общество. Человек. Вестник Южно-Российского отделения международной академии наук высшей школы. Естественные науки. 2002. - №1 (14). - С. 75-77.

75. Благовещенский, А.С. Обратные задачи теории распространения упругих волн / А.С. Благовещенский // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. -№12.-С. 50-59.

76. Благовещенский, А.С. Об одном случае явного решения нестационарной обратной задачи / А.С. Благовещенский // ПММ. 1979. - Т.43. -вып.1.-С. 188-190.

77. Купрадзе, В.Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний /

78. B.Д. Купрадзе // Успехи математических наук. 1953. - Т.8. - №3.

79. Слепян, Л.И. Нестационарные упругие волны / Л.И. Слепян. Д.: Судостроение, 1972.-371 с.

80. Слепян, Л.И. Механика трещин / Л.И. Слепян. Л.: Судостроение, 1980.-344 с.

81. Слепян, Л.И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики / Л.И. Слепян, Ю.С. Яковлев Л.: Судостроение, 1980. -343 с.

82. Смирнова, А.В. К расчету контактных напряжений и перемещений при нестационарных колебаниях массивного штампа на упругом слое / А.В. Смирнова Ростов-на-Дону: Ростовский государственный университет, 1982. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.82, № 3803.

83. Смирнова, А.В. Контактные задачи о нестационарных колебаниях массивного штампа / А.В. Смирнова Ростов-на-Дону: Ростовский государственный университет, 1982. - Деп. в ВИНИТИ 13.07.82, № 3745.

84. Яковлев, Ю.С. О решении динамических задач теории упругости со смешанными граничными условиями / Ю.С. Яковлев, B.JI. Лобысев // Тр.Гидропроекта. М., 1971. - Т.20. - С. 65-80.

85. Бабешко, В.А. Внутренний источник конечных размеров в однородном полупространстве / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.А. Евдокимов // ЖПМ и ТФ. 1987. - №6. - С. 152-156.

86. Глушенко, С.Е. Анализ волновых полей, излучаемых внутренними источниками в упругом полупространстве / С.Е. Глушенко, Е.В. Глушков,

87. A.А. Евдокимов Краснодар: Кубанский государственный университет, 1984. -Деп. в ВИНИТИ 25.07.84, № 5407.

88. Глушков, Е.В. Расчет волнового поля, возбуждаемого виброисточником, анкерно сцепленным с грунтом / Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, О.М. Тукодова Краснодар: Кубанский государственный университет, 1983. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.83, № 2305.

89. Евдокимов, А.А. Анализ модовых составляющих собственных колебаний волновода в задаче неразрушающего контроля / А.А. Евдокимов, И.Г. Уройченко Краснодар, Кубанский государственный университет, 1992. -Деп. в ВИНИТИ 15.01.92, № 158-В-92.

90. Guzina, В.В. On the analysis of wave motions in a multi-layered solid /

91. B.B. Guzina, R.Y.S. Pak // Quarterly Jnl. of Mechanics & App. Maths. 2001. -V.54.-P. 13-37.

92. Haskell, N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media / N.A. Haskell // Bull. Seism. Soc. Amer. 1953. - V.43. - P. 17-34.

93. Heelan, P.A. Radiation from a cylindrical source of finite length / P.A. Heelan // Geophys. 1953. - V.18. - №3.

94. Мартыненко, М.А. Решение осесимметричной задачи для упругого тела с цилиндрической трещиной / М.А. Мартыненко, А.Ф. Улитко // Докл. АН УССР. 1982. - А. - №10. - С. 43-47.

95. Акопян, В.Н. Напряженное состояние упругой полуплоскости, содержащей тонкое жесткое включение / В.Н. Акопян, А.В. Саакян // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. - №6. - С. 76-88.

96. Евдокимов, А.А. Расчет контактных напряжений в задаче о действии штампа на упругий слой с вертикально ориентированными включениями / А.А. Евдокимов, М.С. Капустин //Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2005. - №1. - С. 33-35.

97. Пряхина, О.Д. Волновое поле анкерно закреплённого поверхностного вибросейсмоисточника / О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова, А.А. Евдокимов, М.С. Капустин // Экология и здоровье человека. Экологическое образование.

98. Математические модели и информационные технологии: Тез.докл. VI межд.конф. 7-12 сентября 2001 г. Редакционно-издательский отдел Кубанского государственного аграрного университета, 2001. - С. 267.

99. Пряхина, О.Д. Колебания полупространства при наличии системы жестких включений / О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова, А.А. Евдокимов, М.С. Капустин // Докл. РАН. 2003. - Т.389. - вып.1. - С. 193-197.

100. Свешников, А.Г. Принцип предельного поглощения для волноводов / А.Г. Свешников // Докл. АН СССР. 1951. - Т.80. - №3. - С. 345-348.

101. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. М.: Наука, 1974. - 544 с.

102. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1977. - 832 с.

103. Федорюк, М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М.В. Федорюк. М.: Наука, 1985. - 448 с.

104. Федорюк, М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. М.: Наука, 1977. - 368 с.

105. Свешников, А.Г. Теория функций комплексного переменного / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. -М.: Наука, 1967. 304 с.

106. Гутер, Р.С. Элементы теории функций / Р.С. Гутер, Л.Д. Кудрявцев, Б.М. Левитан. М.: Физматгиз, 1963. - 244 с.