Динамика массивных тел, взаимодействующих с многослойными полуограниченными средами со сложными физико-механическими свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб од

На правах рукописи ПРЯХИНА ОЛЬГА ДОНАТОВНА

ДИНАМИКА МАССИВНЫХ ТЕЛ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С МНОГОСЛОЙНЫМИ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ СРЕДАМИ СО СЛОЖНЫМИ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов- на-Дону 1997

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Ростовского государственного университета. НАУЧНЫЕ КОНСУЛЬТАНТЫ: академик РАН, доктор физ.-мат.

наук, профессор Ворович И.И. академик РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор Бабешко В.А. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физ.-мат.наук:, профессор Александров В.М. доктор физ.-мат.наук, профессор Дунаев И.М. доктор физ.-мат.наук, профессор Селезнев М.Г. ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский государственный университет

им.М.Ломоносова

Защита диссертации состоится $3 6£icfеЗ^Р 1997 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 063.52.07 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге 5, РГУ, . механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул.Пушкинская, 148).

Автореферат разослан </ 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физ.-мат.наук, доцент JJt(sv>li Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований нестационарного взаимодействия массивных жестких и гибких тел с многослойными полуограниченными средами, обладающими сложными физико-механическими свойствами, определяется их широким приложением в различных областях механики, геофизики, вибросейсморазведки, фундаментостроении, акустоэлектро-ники, ультразвуковой дефектоскопии.

Потребности практики диктуют необходимость изучения динамических и резонансных свойств колеблющихся систем «сооружение - основание» при гармоническом нагружении с целью увеличения их сейсмостойкости и защиты от вредных воздействий динамических факторов различной природы, а также с целью теоретического объяснения наблюдаемых явлений при экспериментальных исследованиях.

В последнее время большое внимание исследователей привлекают связанные задачи, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. Постановка и решение связанных задач имеют важное научное и практическое значение. Учет взаимовлияния указанных полей позволяет точнее и полнее описать поведение материалов и элементов конструкций при электромагнитных, механических и тепловых воздействиях, выявить основные закономерности, которые могут оказаться полезными для практических приложений, и дать оценку границам применимости теорий, которые не учитывают связанности полей. На эффектах связанности полей основано функционирование ряда технических устройств и технологических процессов.

Для надежного функционирования таких устройств, повышения их эффективности и улучшения динамических качеств необходимо создание новых аналитических и численно-аналитических методов исследования

резонансных свойств и динамического поведения систем «массивное тело - деформируемая среда», подвергающихся гармоническим, нестационарным и импульсным электрическим, тепловым и механическим воздействиям.

Исследования по данным проблемам проводятся в НИИМ и ПМ РГУ и определены в ряде постановлений Правительства, поддержаны научными фондами (долгосрочные исследовательские гранты Международного научного Фонда, Российского фонда фундаментальных исследований, программа «Университеты России» и т.д.).

Целью работы является разработка аналитических и численно-аналитических методов исследования нестационарного взаимодействия массивных тел с полуограниченными средами сложной структуры; создание методов решения динамических смешанных задач с учетом связанности электрических, механических и тепловых полей; построение строгой математической теории возникновения и существования изолированных резонансов в упругих системах, находящихся под действием периодических сил; изучение влияния изолированных резонансов на нестационарные процессы в этих системах; на основе разработанных методов исследование резонансных свойств и динамического взаимодействия массивных жестких и гибких тел с многослойными основаниями, обладающими сложными физико-механическими свойствами (анизотропия, вязкость, элекгроупругость и пр.).

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Разработан новый комплекс методов исследования динамических смешанных задач, включающий в себя:

•универсальный аналитический метод построения матрицы-символа Грина для многослойных сред с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей;

•метод фиктивного поглощения решения некоторых классов интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими смешанными задачами;

•аналитические и численно-аналитические методы определения изолированных резонансов в упругих системах;

•эффективные методы решения стационарных и нестационарных задач о взаимодействии массивных жестких и гибких тел (штампов, электродов) с полуограниченными слоистыми основаниями, обладающими сложными физико-механическими свойствами; 2. На основе разработанных методов:

•детально исследованы особенности динамического поведения рассматриваемых систем в зависимости от массы контактирующих с поверхностью среды тел, их гибкости, условий в области контакта, вида нагру-жения, вязкости, слоистости среды, условий стыковки слоев;

•изучено влияние анизотропных, пьезо- и диэлектрических свойств слоев на динамику штампов-электродов;

•впервые исследованы резонансные свойства слоистых упругих полуограниченных сред, обусловленные учетом массы присоединенных к ним тел; выявлены условия существования изолированных резонансов, дана оценка их количества и изучена их зависимость от определяющих параметров для конкретных задач;

•для слоистого полупространства обнаружено новое механическое явление - существование критической жесткости системы, зависящей от массы штампа, начиная с которой в системе после снятия нагрузки имеют место осциллирующие и затухающие колебания.

Практическое значение диссертации состоит: •в определении закономерностей нестационарных процессов в упругих и электроупругих системах с целью интерпретации результатов численного эксперимента;

•разработанные методы решения динамических смешанных задач могут быть использованы при проектировании и расчете на прочность (сейсмостойкость) фундаментов турбоагрегатов АЭС, зданий и сооружений с учетом грунтового основания; при расчете и конструировании элементов различных электромеханических преобразователей, при создании пьезоактивных материалов с заранее заданными свойствами;

•изучение резонансного взаимодействия массивных объектов с деформируемыми основаниями находит непосредственное приложение в проблемах виброзащиты и сейсмостойкости сооружений, вибровоздействия на нефтяные месторождения с целью повышения нефтеотдачи.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на

II Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984); II, III, IV Всесоюзных научных конференциях «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Днепропетровск, 1981; Харьков, 1985; Одесса, 1989); I Всесоюзной конференции «Акустическая эмиссия материалов и конструкций» (Ростов-на-Дону, 1984); III Всесоюзном симпозиуме «Теоретические вопросы магнитоупрутости» (Ереван, 1984); Научно-технической конференции «Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений» (Нарва, 1985); VI, VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986; Москва, 1991); II Всесоюзной конференции по механике композитов (Запорожье, 1989); I Всесоюзной конференции «Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов» (Каменец-Подольский, 1982); I-IV Региональных конференциях «Динамические задачи механики сплошной среды» (Краснодар, 1986, 1988, 1990, 1992); XIV, XV Всесоюзных конференциях по теории пластин и оболочек (Кутаиси, 1987; Казань, 1990); II Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур»

(Львов, 1987); I-III Всесоюзных совещаниях по методам невзрывной сейсморазведки (Гомель, 1983, 1985, 1987); Всесоюзной конференции «Повышение надежности энергетических сооружений при динамических воздействиях. ДЭС-87» (Москва, 1987); Международной научно-технической конференции «Надежность машин и технологического оборудования (Ростов-на-Дону, 1994); I, II Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1995, 1996);

на ряде республиканских и других конференций, на совещаниях и сессиях, семинарах отдела волновых процессов НИИМ и ПМ и кафедры теории упругости РГУ, кафедры математического моделирования Куб.ГУ.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 56 публикациях, из которых 23 опубликованы в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, списка литературы из 233 наименований и приложения, включающего 86 рисунков. Общий объем диссертации 314 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается важность и актуальность темы диссертации, определяется цель работы и приводится краткое изложение ее содержания. Дается также обзор работ, относящихся к теме диссертации.

Отмечено, что значительный вклад в исследование динамики сооружений с деформируемым основанием и решение динамических (стационарных и нестационарных, в том числе связанных) задач в средах сложной структуры внесли Александров В.М., Бабешко В .А., Бабич В.М., Белокэнь A.B., Бородачев Н.М., Бреховских Л.М., Ватульян А.О., Викто-

ров И.А., Ворович И.И., Гетман И.П., Глушковы Е.В. и Н.В., Головчан В.Г., Гринченко В.Т., Гузь А.Н., Евдокимов A.A., Жарий О.Ю., Ильичев В.А., Калинчук В.В., Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Коваленко Е.В., Космодамианский A.C., Кудрявцев Б.А., Лобысев В.Л., Мартыненко М.Д., Мелешко В.В., Молотков И.А., Морозов Н.Ф., Николаев A.B., Новацкий В., Партон В.З., Перлин П.И., Петрашень Г.И., Попов Г.Я., Поручиков В.Б., Свешников А.Г., Сеймов В.М., Селезнев М.Г., Слепян Л.И., Смирнова A.B., Сторожев В.И., Сумбатян М.А., Тихонов А.Н., Трофимчук А.Н., Угодчиков А.Г., Улитко А.Ф., Устинов Ю.А., Шехтер O.A., Шульга H.A., Яковлев Ю.С. и многие другие.

Б главе I приводятся основные уравнения, описывающие начально-краевые задачи динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо- и пироэлектрическими свойствами (п. 1.1), рассматриваются различные типы начальных и граничных условий (п. 1.2). Отмечается, что задачи теории упругости, электроупругости и термоупругости являются частными случаями общей задачи.

В п.2.1 главы 2 дается общая постановка динамических смешанных , задач о взаимодействии массивных тел с плоским основанием S с полуограниченной кусочно-однородной средой, представляющей собой пакет плоскопараллельных слоев или слоистое полупространство, каждый слой которой обладает сложными физико-механическими свойствами, рассмотренными в главе 1. Слои жестко соединены между собой и на линиях раздела слоев выполняются условия идеального механического, электрического и теплового контакта: равенство векторов смещений и векторов напряжений, потенциалов и нормальных составляющих вектора электрической индукции, температур и нормальных составляющих вектора теплового потока.. Для пакета слоев предполагается, что нижняя грань жестко защемлена, металлизирована и теплоизолирована. В случае слоистого полупространства требуется убывание перемещений, потенциала и

температуры на глубине. Граничные условия на поверхности среды г—О являются смешанными. Возмущение системы «многослойная среда - массивное тало» может осуществляться различными типами на1ружений (механические, электрические, тепловые), изменяющимися во времени по произвольному закону. В начальный момент времени система находится в покое.

В п.2.2 задача сводится к совместному решению дифференциальных уравнений движения массивного тела и интегральных уравнений I рода, порождаемых динамической смешанной задачей для полуограниченной среды. Система интегральных уравнений I рода рассматриваемой задачи имеет вид

кч = {[ к(х ^рШ^рЩйг; = ч(х,у,о,р) (1)

-СО-«о

Здесь а, р, р - параметры преобразования Фурье по х, у и Лапласа по времени I. В (1) расширенный вектор <7/, <73 Яз> ^3,8$ является неизвестным в области 5 и имеет своими компонентами: касательные Я¡,42 и нормальные дз напряжения, нормальные составляющие векторов электрической индукции (И3 и теплового потока Вне области вектор д=0. Смещения точек тела и0 = {и^, и® ,и1) определяются в виде и° = и + рхг; и1,112,113 - горизонтальные и вертикальная составляющие вектора смещения и={и],и2,и$ центра масс тела, ер—{^¡,^2,^3} - вектор углов поворота относительно центра масс, т={х,у,-$} - радиус-вектор точек плоского основания тела 5, $ - расстояние от положения центра масс до поверхности среды. Компоненты и], потенциал у и температура 9 образуют расширенный вектор w = {ц0, и°, и3°, у/, в).

Выводятся основные соотношения и уравнения, позволяющие определять характеристики взаимодействия; описывается общая схема построения решения; доказываются теоремы о симметрии матрицы системы алгебраических уравнений, к которой сводится поставленная задача, и об общем решении динамической смешанной задачи.

В п.2.3 рассматривается взаимодействие системы массивных тел с полуограниченной средой.

В главе 3 предлагается универсальный аналитический метод построения матрицы-символа Грина ядер системы интегральных уравнений (1) Кд = тт динамических задач для многослойных сред. Метод оказался применим для широкого класса связанных краевых и начально-краевых задач и основан на специальном представлении решения для одного слоя (п.3.1). Используя это представление, далее строится матрица-функция Грина для пакета слоев, жестко сцепленных с недеформируемым основанием (п.3.2) и для слоистого полупространства (п.3.3).

В результате матрица-функция Грина К(а,р,г,р) для пакета слоев, занимающего область -Н <г < О, -со <х,у < оо, Н=2(/1 ¡+... +Ьимеет вид

к (а,р,г,р) = (-1)Мв+(^) - В_(^)Р;'В+(-4)1 П^В^-Д)

1 = 1г-1

Р, = В_ {-Ьк) - В+ ) + В_ ), к=1,...,М-1

= В_(-2т^), хк = г + 2£ ь, + Ьк,

У=1

(Ьк -полутолщина к -то слоя, N - количество слоев в системе.)

Элементы матриц Ъ±(2^=Ъ±(а,^,2ьр) содержат физико-механические параметры только к -го слоя и для различных типов сред, рассмотренных в главе I, строятся в п.3.1. Так, для термоэлегароупругой

« ч.

среды элементы матриц В± размерности 5*5 содержат упругие, термо-, пьезо-, пиро- и диэлектрические модули к -го слоя.

Перемещения точек многослойной среды , потенциал Т и температура <9 будут определяться в преобразованиях Фурье-Лапласа выражением

= К (а,0,г,р)О(а,р,р)

^ГЩ, Щ, % в}, {0!, (?2, 03, А О} - расширенные вектора; О; - напряжения, О - нормальная составляющая вектора электрической индукции, ¿7 - нормальная составляющая вектора теплового потока в области контакта тела и среды.

Отметим, что для анизотропной среды матрица К имеет размерность 3*3, электроупругой и термоупругой - 4*4.

Преимуществом данного подхода перед другими методами является отсутствие в решении для многослойной среды растущих экспоненциальных составляющих, что позволяет исследовать среды с произвольным количеством слоев, учитывая при этом большой спектр физических явлений, протекающих в неоднородных телах с учетом связанности полей.

В п.3.4 устанавливаются некоторые асимптотические свойства элементов матриц Грина для слоистых сред, необходимые в дальнейшем при построении решений систем интегральных уравнений динамических смешанных задач методом фиктивного поглощения. Отмечается, что переход к гармонической задаче осуществляется заменой р=-ш (со - частота колебаний). В этом случае элементы матрицы К обладают свойствами, обеспечивающими осцилляцию ядер интегральных уравнений динамических задач.

Глава 4 посвящена разработке метода фиктивного поглощения применительно к некоторым классам инте1ральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических смешанных задач, ядра которых описываются соответствующими функциями Грина краевых и начально-краевых задач главы 3. Его суть состоит в следующем: интегральное уравнение подвергается некоторому преобразованию, после которого оно

оказывается по своим свойствам сходным с интегральным уравнением дом среды с сильным поглощением. Известно, что такие интегральные уравнения хорошо решаются приближенно. После этого для получения решения исходного уравнения динамической задачи решение уравнения для среды с поглощением служит базовым. Метод позволяет в качестве задач для среды с поглощением брать соответствующие статические задачи. Тем самым для решения динамических задач предлагаемый метод дает возможность использовать многочисленные решения и методы решения статических задач.

По сравнению с другими подходами метод позволяет строить решения с высокой точностью одновременно во всех точках области задания интегральных уравнений, включая границу, и применим для любых частот.

В п.4.1 дается общая схема метода фиктивного поглощения, основы которого заложены в работах В.А.Бабешко. Строятся функциональные представления решений интегральных уравнений и систем интегральных уравнений I рода, заданных в офаниченной выпуклой области 5'.

В соответствии с методом фиктивного поглощения система интегральных уравнений Кя = Г с помощью новой неизвестной векгор-функции д0, которая вводится соотношением я = яо + <ро, преобразуется к виду = Г - К<ро, где К - интегральный оператор с сильно осциллирующим и медленно убывающим разностным ядром. Векгор-функция <р0 при своем построении содержит некоторый произвол, устраняющийся после решения всей задачи. Вектор-функция яр строится таким образом, что допускается представление яо = Ы (Ь - некоторый линейный оператор). В результате приходим к системе

= 8 = КХ (2)

с неосциллирующим, экспоненциально убывающим с ростом аргумента матричным ядром.

Свойства этого ядра, обладающего сильным затуханием, таковы, что обратный оператор Б"1 сравнительно легко строится приближенными методами решения задач статики или для сред с поглощением. Поэтому описываемый метод назван В.А.Бабешко методом фиктивного поглощения, сокращенно МФП.

Решение уравнения (2) I = 8"'(Г -К<рс), содержит произвол, вносимый вектор-функцией <р0 . Для его устранения, из условия эквивалентности всех уравнений получается необходимая дополнительная система уравнений на некотором множестве

Здесь V- оператор преобразования Фурье. Из этой системы отыскиваются неизвестные составляющие вектор-функции <р0 , которые вносятся в представление для I , а затем в qo = И. После этого ц = д0 + <р0 дает решение всей задачи.

В настоящей работе дается модификация этого метода в части подбора базисных функций <р0, причем в качестве таковых используются системы дельта-функций, что облегчает вычисление ряда интегралов при построении решений указанных задач. В следующих параграфах строятся новые представления решений интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки с разностным ядром, обладающим весьма общими свойствами, и заданных в ограниченной области и системе таких областей.

В п.4.2 получены решения интегральных уравнений динамических смешанных задач для полуотраниченных сред и одной отличной от нуля компонентой расширенного вектора я в случае полосовой, круговой и прямоугольной области Я. В основе получения указанных представлений лежит МФП. Далее, в п.4.3 МФП разрабатывается применительно к различным типам систем интегральных уравнений, возникающих при изу-

чении динамических смешанных задач с учетом связанности полей и при различных условиях в области контакта.

Особенностью акустоалекгронных устройств является наличие большого числа электродов на поверхности пьезокристаллической среды, что приводит к необходимости решения уравнений свертки, заданных на системе отрезков. К этим же уравнениям приводят динамические контактные задачи о возбуждении среды системой полосовых штампов. В п.4.4 МФП развивается для решения такой системы.

Построенные в п.п.4.2, 4.3, 4.4 решения позволяют определять контактные напряжения, усилия и моменты, необходимые для исследования динамики поведения массивных тел, контактирующих с полуограниченными упругими основаниями, и изучать резонансные свойства в таких системах при гармоническом нагружении, а также определять индукцию, полный заряд, тепловой поток в связанных задачах теории электроупругости, термоупругости и других задачах.

Область применения полученных в настоящей главе формул, дающих приближенные решения динамических задач, определяется областью применения решений соответствующих вспомогательных задач для среды с сильным затуханием. Для решения последних использовались метод факторизации и асимптотические методы.

В главе 5 излагается общая теория существования изолированных резонансов в системе «массивное тело - упругая полуограниченная среда», находящейся под действием периодических сил, проводится аналитическое и численное исследование этой проблемы. Изучение резонансных свойств требует решения совместной задачи о колебаниях сплошной среды и присоединенных к ней массивных тел.

В п.5.1 рассматривается задача об установившихся колебаниях массивных твердых тел, взаимодействующих с упругой слоистой средой, жестко сцепленной с недеформируемым основанием, при произвольных ус-

ловиях в области контакта. Особенностью таких систем является наличие некоторой критической частоты ш ^ начиная с которой в системе появляются волны, уносящие энергию на бесконечность. Составляются уравнения малых колебаний тела (относительно смещений центра масс и углов поворота) в предположении полного контакта тела со средой. Коэффициентами этой системы являются некоторые функционалы, которые определяются из решения динамической контактной задачи для полуограниченной среды.

В п.5.2 исследуются свойства коэффициентов системы, образующих некоторую матрицу А. Доказывается, что матрица А является симметричной и действительной в области докритических частот со<ш,ф . Уравнение £>=с/егА= 0 является характеристическим уравнением шестой степени для «обобщенной» задачи о собственных значениях. Действительные корни уравнения 1%а)=0 , если они существуют, определяют изолированные ре-зонансы - В-резонансы системы. Формулируются и доказываются общие теоремы о существовании и количестве изолированных резонансов. Впервые существование этих резонансов было теоретически предсказано И.И.Воровичем. Установлено, что В-резонансы мо1уг существовать в области до!фитических частот о<св,ф при условии, что инерция системы (масса тела, моменты инерции) достигает некоторого критического значения. Их всегда конечное число. Амплитуда колебаний и энергия на частотах В-резонанса неограничена. Критической массой т^ системы называется такая масса колеблющегося на поверхности среды тела, что при т>т^ в системе появляется хотя бы один изолированный резонанс. Аналогично вводится понятие критического момента инерции.

В п.5.3 предлагается аналитический метод расчета изолированных резонансов, основанный на возможности разложения амплитуд контактных напряжений в ряд по степеням а>2, вводится понятие присоединенной массы упругого основания. На основе предлагаемого метода получе-

ны приближенные формулы для определения В-резонансов. Метод иллюстрируется на примере антиплоской задачи о колебаниях массивного штампа на поверхности упругого слоя, жестко сцепленного с недеформи-руемым основанием. Исследования, проведенные в настоящем параграфе, показали, что значение резонансной частоты мв с ростом массы т штампа уменьшается, а резонансная кривая 00=003(122) имеет пшерболиче-ский вид. Установлено, что в рассматриваемой задаче резонансы имеют

место при любой массе штампа, т.к. гпкр = = 0 ( - дина-

мическая жесткость основания, £0^=^/2 для слоя единичной толщины).

Предлагаемый подход эффективен в области малых частот, его реализация для пространственных задач связана с громоздкими вычислениями. В дальнейшем для определения В-резонансов используется МФП, который позволяет получать простые аналитические формулы для расчета необходимых функционалов - характеристик контактного взаимодействия (усилий и моментов) в области любых частот, что существенно упрощает поиск изолированных резонансов.

В п.5.4 на примере конкретных задач: плоской, осесимметричной и пространственной показано, что количество изолированных резонансов будет не больше числа существенных степеней свободы колеблющейся системы при достаточно больших массе и моментах инерции тела. (Число существенных степеней свободы есть число независимых переменных, определяющих данную задачу.) В этом же параграфе приводятся результаты численного анализа резонансных свойств систем в зависимости от определяющих параметров задач, при этом в качестве модели выбран слой, жестко сцепленный с недеформируемым основанием. Численное исследование показало, что значение резонансной частоты с ростом массы штампа уменьшается и зависит от геометрических параметров системы: размеров штампа и толщины слоя. Количество же резонансов в каж-

дой из рассмотренных задач зависит от массы штампа и его моментов инерции. Например, установлено, что в плоской задаче со сцеплением может существовать не более трех изолированных резонансов; в осесим-метричной задаче при отсутствии трения в области контакта не более одного; в пространственной задаче при нецентральном приложении силы и контакте без трения не более трех изолированных резонансов. Если же масса штампа и его моменты инерции не превышают критических значений, изолированные резонансы в таких системах отсутствуют.

Рис.1.

На рис.1 приведены резонансные кривые тв(от) для плоской задачи, когда штамп ширины 2а и массы т , взаимодействующий со слоем единичной толщины, совершает только вертикальные колебания (кривые 1,2,3 соответствуют а=1,3,5).

При решении многих практических задач необходимо учитывать упруго-инерционные свойства системы, через которую передается вибрация на фундамент. Изучение резонансных свойств таких систем проводится в п.5.5. Рассмотрена задача, когда на упругую полуограниченную среду действует без трения жесткий штамп массы т^ соединенный посредством упругой связи к с телом массы т1, и вся система подвергается вертикальному периодическому воздействию. В этом случае резонансные

частоты и их количество зависят от жесткости пружины к и от соотношения масс т1к т2 ■ При некоторых сочетаниях этих параметров в системе появляется дополнительный (второй) изолированный резонанс.

Рис.2.

На рис.2 кривая тг = Г(тх) = л2А.р + 1 - опреде-

ляет границы существования изолированных резонансов системы.

Здесь ткр = , = У 2 , <2о - реакция среды на

единичное смещение.

На рис.2 I - область, в которой отсутствуют резонансы, II - существует только один резонанс, III - область существования двух изолированных резонансов. При этом отрезки ОБ и ОА принадлежат области I, ось т1 правее точки В и ось т2 выше точки А принадлежат области II, включая точки А и В. Часть кривой, расположенная левее точки С принадлежит области II , а часть кривой, расположенная правее точки С - области III.

В п.5.6 проводится исследование условий возникновения изолированных резонансов и оценка их количества, когда с упругой полуограниченной средой контактируют без трения N массивных полосовых штам-

пов, нагруженных гармоническими силами рк{х)с ', под действием которых штампы совершают периодические колебания, состоящие из поступательного перемещения центров масс и поворотов вокруг центров тяжести. Установлено, что для среды, имеющей са^^О, в области (О,сощ) система может иметь не более 2N изолированных резонансов. В частности, для случая двух симметрично расположенных одинаковых штампов и симметрично нагруженных единичными силами существуют две критические массы т1крж т2кр , такие, что пока штампы обладают массой меньшей т1кр , в системе нет резонанса. При т1кр<т< т2кр в системе существует один резонанс. И наконец, при т> т2кр система имеет две резонансные частоты. При изменении количества и ширины штампов качественная картина поведения резонансных кривых сохраняется.

В п.5.7 изучаются резонансные свойства системы «массивное твердое тело - двухслойная среда, жестко сцепленная с недеформируемым основанием», вводятся понятия поверхностей критических масс, критических частот и изолированных резонансов, строятся эти поверхности и изучается зависимость В-резонансов от массы штампа, геометрических и упругих параметров задачи. Установлено, что область существования изолированных резонансов системы расположена ниже поверхности критических частот.

На рис.3 изображена поверхность В-резонансов системы ю=С2в(ц.,Л) при 111=10 (ц=ц2/ni - жесткость системы, h =h - полутолщина, ^ - модуль сдвига i- ого слоя). На рис.4 приведена зависимость В-резонансов от массы штампа при фиксированной толщине пакета H=4h=l для ¡i=0.5; 1; 1.5; 2 (кривые 1-4, сплошные линии). Пунктирные линии - верхняя граница существования резонансов.

•Рис.3.

Рис.4.

Для исследования влияния упругости штампа на резонансные свойства и динамические характеристики системы в главе 6 предложен эффективный аналитический метод решения' 'задач о колебаниях гибких плит, контактирующих с упругими полуограниченными средами. Метод позволяет сочетать характерные особенности ограниченных тел с харак-

терными особенностями колебаний полуограниченных тел, т.к. основан на использовании собственных форм колебаний упругого тела конечных размеров и методе фиктивного поглощения решения интегральных уравнений динамической смешанной задачи для полуограниченной среды.

Метод апробирован на плоской (п.6.1) и осесимметричной (п.6.2) задачах. На основе построенных решений для балочной и круглой плит, колеблющихся на упругом основании под действием произвольной поперечной нагрузки, для четырех типов условий закрепления краев (свободное и шарнирное опирание, скользящая и жесткая заделка) в п.6.3 проведен численный анализ характеристик контактного взаимодействия (прогибов и напряжений) в зависимости от условий закрепления краев плит, упругих и геометрических параметров задачи. При этом в качестве модели был выбран слой, жестко сцепленный с недеформируемым основанием. Уменьшение жесткости плиты, поперечных размеров (толщины плиты), а также увеличение ее продольных размеров (ширины, радиуса) ведет к росту осцилляции амплитуд контактных напряжений и прогибов. Чем равномернее нагрузка, тем равномернее происходит распределение этих амплитуд.

Исследование резонансных свойств системы «гибкая плита - упругий слой» показало, что изолированные резонансы в таких задачах также имеют место в области докритических частот, начиная с некоторого соотношения толщины плиты и слоя. Установлено, что в отличие от абсолютно жесткого штампа их количество зависит от условий закрепления краев, геометрических размеров плиты и параметра жесткости системы. Например, увеличение жесткости системы Мо (отношения модуля сдвига слоя к модулю Юнга плиты) при фиксированных геометрических размерах плиты ведет к увеличению числа В-резонансов.

1.6

0.8

Vх "7....... /

«a-ssttb^^. 4 1

Нл

2.5

Рис.5.

На рис.5 приведены зависимости сов от параметра Ho~h(/h (h0 -толщина плиты, h - толщина слоя) для балочной плиты при фиксированной жесткости системы М0=О.О35. Из рис.5 видно, что количество изолированных резонансов растет с увеличением ширины плиты 2а. Сплошными линиями даны резонансные кривые для а=5, штриховыми -для а=3. Видно также, что с ростом параметра Н0 количество изолированных резонансов уменьшается. При этом для свободно опертой плиты, начиная с некоторого достаточно большого значения Н0 остается одна кривая, соответствующая перемещению упругого тела как абсолютно жесткого. В случае шарнирной заделки краев плиты при достаточно больших значениях Н0 изолированных резонансов может не быть вообще, если геометрический параметр a/h не очень велик.

Исследование пределов применимости гипотезы Винклера в динамических задачах показало, что контактные напряжения пропорциональны прогибу плиты во всех точках области контакта, исключая границу, в области докритических частот, но коэффициент пропорциональности является в этом случае функцией частоты колебаний. В области частот, больших критической (ш>сакр), т.е. когда в системе появляются незату-

хающие колебания, использование гипотезы Винклера приводит к неверным результатам.

Изучение нестационарных задач усложняется по сравнению с решением задач об установившихся колебаниях необходимостью дополнительного интегрирования по параметру р. В главе 7 для исследования нестационарных задач о взаимодействии массивных тел со слоистыми полуограниченными средами с усложненными свойствами применяется подход, основанный на сочетании аналитических методов: метод фиктивного поглощения решения систем интегральных уравнений (гл.4), метод построения матрицы-символа Грина для многослойной среды (гл.3) и численного обращения преобразования Лапласа. Структура построенных в предыдущих главах решений задач в изображениях позволяет для построения оригиналов эффективно применять два подхода: сведение к интегралу Фурье с последующим численным интегрированием, а также теорию вычетов после определения особых точек (полюсов) изображения.

Метод апробирован на ряде конкретных задач теории упругости и электроупругости. Выявлены новые эффекты и определены основные закономерности поведения системы «массивное тело - деформируемое основание» в зависимости от определяющих параметров задач.

Отметим, что использование собственных форм колебаний тела конечных размеров (гл.6) в сочетании с предлагаемым подходом решения нестационарных задач для жестких тел позволяет изучать взаимодействие штампов-электродов со слоистыми основаниями с учетом их гибкости. Исследование нестационарных задач для системы массивных тел также вписывается в рамки этого подхода.

В п.7.1 устанавливаются общие свойства интегральных представлений решений нестационарных задач.

Решение l(t) нестационарной задачи может быть выражено в виде интеграла Фурье через решение l{-b)=L(fos) соответствующей гармонической задачи заменой р=-ко

2 2 "

7(0 = — Г Re¡X(-/íu) ] cos cútd(x> = — ÍIm[X(-/üi)]sin cotdco

7T 7Г

л О О

Для вычисления интегралов этого типа в работе применяется метод Филона. Так, вертикальные смещения штампа массы т, контактирующего без трения с поверхностью среды (2=0), вызванные действием на штамп произвольно изменяющейся во времени t нагрузки P(t), в изображениях Лапласа описываются выражением

Щр) = P(pW0(p), W0(p) = imp2 + Со)-1, <?0 = J]q(x,y)dxdy

s

q(x,y) - решение шггарального уравнения Kq=l, строится в аналитическом виде для плоских, осесимметричных и пространственных задач в главе 4 методом фиктивного поглощения. В этом случае Д-л») == P(-jú})W0(-ia>), l{t) = w(t)

В п.7.2 изучается трансформация вещественных В-резонансов системы «массивное твердое тело - упругое основание»в комплексную плоскость при переходе от слоя на жестком основании к слоистому полупространству. Для слоистого полупространства равна нулю, а уравнение для определения В-резонансов

meo2 - Q0(a>) = 0 (3)

может иметь только комплексные или чисто мнимые корни. Амплитуда колебаний на этих частотах имеет резкий ограниченный рост. Таким образом, можно говорить об "ограниченных" В-резонансах системы. Для вычисления комплексных корней уравнения (3) использовался принцип аргумента. Исследование движения корней уравнения с вещественной оси в комплексную плоскость проводилось в зависимости от изменения массы тела и жесткости системы. Под жесткостью системы понимается

отношение модуля сдвига полупространства к модулю сдвига слоя Установлено, что с уменьшением жесткости системы В-резонансы смещаются с вещественной оси в комплексную плоскость, при этом реальная часть корня уменьшается, а мнимая часть растет. При достижении жесткостью системы некоторого критического значения корни сливаются в двукратный мнимый, а затем при дальнейшем уменьшении жесткости разбегаются по мнимой оси в разные стороны (рис.6).

Рис.6.

Выявление резонансных частот важно для анализа нестационарных колебаний системы, вызванных кратковременной нагрузкой, так как в этом случае решение описывается выражением

Наличие изолированных резонансов (В-резонансов) в системе определяет характер поведения массивного тела при больших временах. Это объясняется тем, что реальная часть исследуемых корней отвечает за период свободных колебаний системы, а мнимая - за затухание процесса. Так, для слоя или пакета слоев, имеющих со^О, мнимая часть корня равна нулю, начиная с т^т^ и в системе будут иметь место осциллирующие и незатухающие колебания, а для полупространства реальная часть корня равна нулю, поэтому имеет место затухание без осцилляции.

1тсо

1 - т=10, Цкр=1.84

2 - т=40, ^=5.37

= 2Ые Р{-шв) 11е 5 \¥0(-1а>)е-1а}*<

В случае слоистого полупространства обнаружено новое механическое явление: существование критической жесткости системы ц^,, зависящей от массы тела т, начиная с которой в системе после снятия нагрузки имеют место осциллирующие и затухающие колебания. В противном случае движение тела носит затухающий характер и осцилляция вокруг положения равновесия отсутствует. С ростом массы тела критическая жесткость системы увеличивается и всегда больше единицы.

Иными словами, чем больше масса твердого тела, тем больше должна быть жесткость подстилающего полупространства по отношению к жесткости слоя для того, чтобы тело после снятия нагрузки совершало осциллирующие и затухающие колебания.

В п.7.3 на основе построенных решений исследуются особенности нестационарного взаимодействия массивных штампов с многослойными упругими средами, изучается влияние массы штампа, условий в области контакта, вида нагружения, вязкости среды, условий стыковки слоев, толщины слоев и соотношения их жесткостей на амплитуду и период колебаний системы.

Характерные случаи динамики системы отражены на рис.7-9.

Расчеты приведены для полосового штампа ширины 2а и массы т=1. Нагрузка Р(0=Н(1)-Н(1-0.01), Н(0 - функция Хевисайда.

На рис.7 приведены смещения штампа \¥(() при изменяющейся толщине и жесткости третьего нижнего слоя при фиксированных значениях упругих и геометрических параметров первого и второго слоя (ц^ -2й/)=(1; 0.4), ((х2; 2Ь£=(2; 0.6). Сплошные линии соответствуют изменяющейся толщине 2113=0.4; 0.8; 1.2 (кривые 1-3) при ц3=0.5, штриховые - изменяющейся величине ц.3=0.5; 1; 1.5 (кривые 2, 4, 5) при 211з=0.8. Видно, что смещения штампа при изменяющейся толщине нижнего слоя совпадают, пока не вернется волна, отраженная от жесткого основания в случае самого тонкого нижнего слоя. В случае увеличения жесткости

нижнего слоя (штриховые линии) при его фиксированной толщине уменьшается период собственных колебаний системы, и штамп раньше проходит положение равновесия.

На рис.8 приведены зависимости \vftj для пакета из одного, двух, трех и четырех слоев (кривые 1-4). Кривая 1 соответствует слою 2Ъ1=0.4 и Р4=1; кривая 2 соответствует двухслойной среде при 2Ь2=0.8 и кривая 3 - трехслойной среде при 2Ъ3=1.2 и ц3=0.5; кривая 4 - четырех-слойной среде при 2Ъ4=1.6 и ц4=0.25. Добавление слоев приводит к увеличению периода колебаний.

На рис.9 представлены вертикальные смещения штампа единичной массы (г=0) и точек среды под ним на глубинах 2=-0.6, -1.2, -1.9. Рассматривался пакет из двух равных по толщине слоев 2Ь1=2Ь2—1 и соотношением жесткостей ^у = 4. Видно, что используемая модель хоро-

/ №2

шо отражает физическую картину процесса распространения волн в среде. С ростом глубины амплитуда колебаний уменьшается и увеличивается время задержки (прихода волны), до которого среда находится в покое. Штриховые линии соответствуют случаю слоя толщины Н—2Ь¡—2.

Увеличение массы штампа ведет к увеличению периода колебаний и уменьшению затухания. Амплитуда в этом случае зависит от продолжительности действия нагрузки. Для вязкоупругих сред изменение величины затухания в среде не влияет на период колебаний штампа, при заметной разнице в амплитудных характеристиках.

Такое поведение системы обусловлено ее резонансными свойствами.

Основные выводы остаются справедливыми и для пространственных

задач.

Рис.7.

■vj-Ю1

Рис.8.

шю ■

В п.7.4 исследуется взаимодействие электродов со слоистой пьезок-ристаллической средой при нестационарном электромеханическом воздействии, изучается влияние анизотропных, пьезо- и диэлектрических свойств слоев на динамику штампов-электродов.

На основе решения характерной задачи для одиночного электрода изучено влияние связанности полей на переходные процессы в системе, т.к. качественную картину распределения механических и электрических полей удается получить уже на данном этапе. В качестве электроупругих материалов рассмотрены .¿березы пьезокристаллов класса бтт гексагональной сингонии и пьезокерамика, поляризованная по оси г.

Рис. 10-11 иллюстрируют влияние электроупругих свойств материалов на поведение свободного электрода (внешняя цепь отсутствует, ток 1(0=0), взаимодействующего с двухслойной средой толщины Н=2 №¡=112=0.5).

0.16 о. а

о

/ ^ Б /7\

\ У Ч

0 i 13 4

£

Рис.10.

Нижняя грань пакета защемлена и металлизирована. За основу использована поляризованная вдоль оси ^ пъезокерамика ЦТС-19. Варьировался пьезоэлектрический коэффициент еЦ^ в нижнем слое. На рис.10 представлены графики вертикальных смещений и^), а на рис.11 - потенциала при действии нагрузки вида Р(1)=Н(1)-Н(1-0.1). Кривые 1-5

соответствуют значениям е^' = 0, езз/т> е^ , 3/ , . Кривая 3 со-

0.0к

0.02,

-0.02

\

€ / / /■

г Ч

25

Рис.11.

ответствует однородному слою толщины Н=2. Увеличение значения параметра е33 нижнего слоя по отношению к верхнему приводит к уменьшению периода собственных колебаний системы после снятия нагрузки. Из рис.11 видно, что с увеличением значения е33 нижнего слоя амплитуда потенциала растет.

Исследования поведения массивного электрода, контактирующего без трения с пьезокерамическим слоем при импульсном электромеханическом нагр ужении показали, что увеличение пьезоэлектрической постоянной е33 увеличивает «жесткость» среды, а диэлектрической постоянной я33 уменьшает «жесткость» среды, поэтому амплитуда смещений и период колебаний уменьшается в первом случае и увеличивается во втором. С

другой стороны, пьезокерамика, используемая в электромеханических преобразователях, должна обладать высоким коэффициентом £у и низкой диэлектрической проницаемостью, что ведет к увеличению амплитуды потенциала.

На рисунках все величины приведены в безразмерном виде. При этом смещения отнесены к полуширине штампа (электрода) а, потенциал к а1 (1=1010 и имеет размерность электрического поля), нагрузка - к жесткости верхнего слоя с^, время - к а/V, (V- скорость распространения поперечных волн в верхнем слое),масса - к ра?, (р - плотность верхнего слоя), толщины слоев 1ц к а. Расчеты приведены для вязкоупругих сред. В этом случае со = /ре~'г, у - параметр вязкости среды, 0<2у<1 (упругие постоянные - комплексные величины вида сг;с7'г). На рисунках у-0.2.

Предполагается, что движение штампа (электрода) происходит без изменения области контакта со средой.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Разработан новый комплекс методов исследования динамических смешанных задач, включающий в себя:

1. универсальный аналитический метод построения матрицы-символа Грина ядер систем интегральных уравнений динамических задач для многослойных сред с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей;

2. метод фиктивного поглощения решения некоторых классов интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими смешанными задачами;

3. аналитические и численно-аналитические методы определения изолированных резонансов в упругих системах;

4. эффективные методы решения стационарных и нестационарных задач о взаимодействии массивных жестких и гибких тел (штампов, электродов) с полуограниченными слоистыми основаниями, обладающими сложными физико-механическими свойствами.

5. В ходе исследований изолированных резонансов

•впервые исследованы резонансные свойства слоистых упругих полуограниченных сред, обусловленные учетом массы присоединенных к ним тел; выявлены условия существования изолированных резонансов, дана оценка их количества и изучена их зависимость от определяющих параметров для конкретных задач;

•введены понятия и построены поверхности критических частот, критических масс и В-резонансов для слоистых сред;

•установлено, что количество изолированных резонансов зависит от условий закрепления тела на поверхности среды, а также от массы и моментов инерции тела, гибкости тела; будет не больше существенных степеней свободы колеблющейся системы при достаточно больших массе и моментах инерции твердого тела;

•изучена трансформация вещественных В-резонансов в комплексную плоскость при переходе от слоя на жестком основании к слоистому полупространству;

•для слоистого полупространства обнаружено новое механическое явление - существование критической жесткости системы, зависящей от массы тела, начиная с которой в системе после снятия нагрузки имеют место осциллирующие и затухающие колебания. В противном случае движение носит затухающий характер и осцилляция вокруг положения равновесия отсутствует. Установлено, что критическая жесткость системы с ростом массы тела увеличивается;

•изучена взаимосвязь между характером нестационарного поведения системы «массивное тело - упругое основание» и наличием изолирован-

ных резонансов в гармонической задаче, объяснены различия в характере нестационарных колебаний для различных моделей сред.

6. В ходе исследований динамических смешанных задач •проведен обширный численный анализ особенностей нестационарного взаимодействия массивных штампов с многослойными средами при различных типах воздействия на систему, выявлен ряд закономерностей, представляющих интерес с точки зрения приложений;

•изучено влияние массы тела, условий в области контакта, проскальзывания между слоями, толщины слоев и соотношения их жестко-стей на амплитуду и период колебаний штампа;

•сделаны выводы о возможности применения упрощенного решения при определенных сочетаниях упругих и геометрических параметров задачи;

•исследованы нестационарные процессы, происходящие в системе: «электрод - пьзокристаллическая среда» с учетом массы электрода и слоистости среды при электромеханическом нагружении системы;

•изучено влияние анизотропных, пьезо- и диэлектрических свойств слоев на динамику штампов-электродов;

•проведено исследование основных динамических характеристик системы «плита - слой» при гармоническом нагружении в зависимости от условий закрепления краев плиты и других параметров задачи.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликованы 56 работ, полный список которых приведен в диссертации. Основными из них являются следующие: 1. Бабешко В.А., Пряхнна О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // ПММ.- 1980.- Т.44.- Ьып.З,- С.477-484.

2. Пряхина ОД. Об одном подходе к решению контактных задач для клиновидного в плане штампа и полости // Исследования по механике твердого деформируемого тела,- Ереван: Изд-во АН Арм.ССР, 1981.-С. 217-221.

3. Бабешко В.А., Пряхина ОД. Об одном методе в теории динамических контактных задач для круглых штампов // Изв. АН СССР.- МТТ,-

1981,- № 2.- С. 22-28.

4. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления // ПММ.- 1981,- Т.45,- Вып.4.- С.725-733.

5. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Об одном методе в теории контактных задач для клиновидных областей // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.-

1982.- № 1.

6. Ворович Е.И., Пряхина ОД. Об особенностях возбуждения волн в электроупругой полосе // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.- 1985,- № 1,- С.25-28.

7. Воровнч Е.И., Пряхина О.Д., Гукодова О.М. Динамические свойства упругой полуограниченной среды, контактирующей с упругим инерционным элементом // ИзВ. АН СССР. МТТ,- 1986.- № 2,- С.128-133.

8. Ворович Б.И., Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Динамические свойства упругой полуограниченной среды при наличии двух массивных штампов // ПММ.- 1987,- Т.50.- Вып.1.- С.109-116.

9. Ворович Е.И., Пряхина О.Д. Аналитический метод определения В-резонансов // Изв. АН СССР. МТТ,- 1987,- № 3,- С.101-106.

10. Пряхина О.Д. Расчет оснований и фундаментов на упругом основании общего типа при динамическом нагружении // Тез. докл. региональной конф. "Динамические задачи механики сплошной среды". 4.1, Краснодар, 1988.- Краснодар, 1988.- С. 118.

11. Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Антиплоская динамическая контактная задача для алектроупругого слоя // ПММ,- 1988.- Т.52,- Вып.5.- С.844-849.

12. Пряхина ОД. Резонансные свойства системы массивный объект - упругое основание // Тез. докл. IV Всес. науч. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела "Л.1, Одесса, 1989.- Одесса, 1989.-С.70.

13. Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Метод изучения амплитудно-частотных характеристик в слоистом электроупругом полупространстве // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки,- 1989.- № 1.- С.50-54.

14. Ворович Е.И., Пряхина О.Д. Об одном эффективном методе решения задачи о колебании упругой балки на упруго^ слое // Изв. АНСССР. МТТ.- 1989.- № 4.- С.96-101.

15. ВоровичЕ.И., Пряхина ОД. Динамическая контактная задача для упругой системы балка-слой // Изв. АНСССР. МТТ,- 1989.- № 1.-С. 144-148.

16. Ворович И.И., Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Об алектроупругих в колебаниях слоя // Прикладная механика,- 1990.- Т.26,- № 1.- С.82-90.

17. Пряхина ОД., Тукодова О.М. Об одной плоской смешанной динамической задаче электроупругости // Изв. АН СССР.- МТТ.- 1990,- № 1.-С.80-85.

18. Пряхина ОД. Нестационарные колебания упругой балки на вязкоуп-рутом основании // Изв. АН СССР. МТТ,- 1992.- № 1,- С.164-169.

19. Пряхина О.Д., Сатарова В.В., Тукодова О.М. Расчет динамики гибкой круглой плиты на линейно-деформируемом осцовании // ПМТФ.-1993,- № 1.- С.121-126.

20. Дорохов И.В., Пряхина ОД., Фрейгейт М.Р. О действии нестационарной нагрузки на систему: массивный штамп - слоистое основание // ПММ.- 1992,- Г.56.- Вып.2.- С.306-312.

21. Пряхина О.Д., Фрейгейт М.Р. О методе расчета динамики массивного штампа на многослойном основании // ПММ.- 1993.- Т.57,- Вып.4,-С.114-122.

22. Пряхина О.Д., Фрсйкйт М.Р. Решение нестационарных контактных задач при наличии сил сцепления // ПММ.- 1994.- Т.58.- Вып.2.-С.152-161. v

23. Ворович И.И., Пряхина О.Д., Тукодова О.М., Фрейгейт М.Р. Об одном подходе к решению динамических задач для слоистых электроупругих и анизотропных сред // ПММ - 1995.- Т.59.- Вып.4.- С.652-661.

24. Ворович И.И., Ворович ЕЖ, Пряхина О.Д.. Изолированные резо-нансы при контактном взаимодействии // Изв. Вузов Сев.-Кав. региона. Естеств. науки. 1995. № 2. С. 23-27.

25. Пряхина О.Д. Эффективный метод решения связанных динамических контактных задач термоэлектроупругости // Труды II Международной конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: МП «Книга», 1996. Т.2. С. 134-137.

26. Пряхина ОД,, Фрейгейт М.Р. Некоторые динамические свойства слоистого полупространства, взаимодействующего с массивным штампом // Труды II Международной конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 1996,- Ростов-на-Дону: МП «Книга», 1996,- Т.2.- С.138-142.

27. Пряхина О.Д., Тукодова О.М., Фрейгейт М.Р. Построение решения динамической контактной задачи для слоистой термоупрутой среды // Изв. Вузов Сев.-Кав. региона. Естеств. науки.- 1996.- № 4.

28. Vomvich E.I., Vomvich I.I., Piyakhina O.D. The numerical-analytical method of V-resonance evaluation // Russian Journal of Computational Mechanics.- 1994,- V.I.- N 4,- P.71-84.

ЛР 020818 от 20.09.93. Подписано в печап. 14.05.97. Формат 60x84 Бумага белая. Ризограф Уч. - изд. л.2,0 . Тираж 120 экз. С141.

Релакиионно-издгтельский отдел Ростовского государственного строительного университета.

344022, Ростов н/Д. ул. Социалистическая, 162