Дискретно-континуальный анализ регуляторных упругих систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ-АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) " _Г! - - Л я_

УДК 539.3

На правах

РЫБАКОВ Леонид Сергеевич

ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995 г.

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (техническом университете)

Официальные оппоненеты:

доктор физико-математических наук, профессор ШАЛАШИЛИН В. И.

доктор физико-математических наук, профессор ШЕШЕНИН С. В.

доктор технических наук, профессор БУНАКОВ В. А.

Ведущая организация — Московский государственный технический

университет

Защита состоится «

/г?» Ок,т* 1995 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 053.18.07 Московского государственного авиационного института (технического университета).

Приглашаем принять участие в обсуждении диссертации или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Адрес института: 125871, Москва, Волоколамское шоссе, дом 4.

Автореферат разослан «_»_ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

В. Н. Зайцев

--------------ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ_________

Актуальнось работы. Большинство конструкций, применяемых в различных областях техники, в промышленном и гражданском строительстве, представляют собой образования из взаимодействующих между собой несоставных деформируемых тел — элементов конструкций. Наиболее широкое распространение среди них получили стержневые конструкции, составленные из прямолинейных и (или) криволинейных стержней, и ребристые пластины и оболочки.

Типичные примеры стержневых конструкций дают силовые каркасы летательных аппаратов, зданий, мостов, буровых вышек, подъемно-транспортных механизмов, антенных устройств различного назначения и другие сооружения. В последние годы интерес к стержневым конструкциям заметно возрос в связи с широким применением в строительстве и технике решетчатых (сетчатых) конструкций. Примеры их перспективного применения дают крупногабаритные космические стержневые конструкции, доставляемые на орбиту в сложенном состоянии или собираемые из стандартных фрагментов непосредственно в космосе.

Традиционным применением ребристых пластин и оболочек по-прежнему являются фюзеляжи (корпуса), крылья и оперения летательных аппаратов, а также конструкции корпусов кораблей.

Первостепенное место при упругом анализе конструкции отводится построению ее модели деформирования — упругой системы, адекватно описывающей желаемые деформативные свойства конструкции, математической постановке задачи и разработке эффективных методов ее решения. Всем этим вопросам посвящена обширнейшая литература, анализ которой позволяет выделить два основных подхода прп изучении механического поведения упругих систем — континуальный и дискретно-континуальный.

Любая упругая система представляет собой дискретно-континуальный геометрический объект. Континуальность в ней проявляется на уровне элементов системы, а дискретность — на межэлементном уровне.

Континуальный подход предполагает сведение упругой системы к соответствующему анизотропному несоставному телу. Этот подход объединяет в себе физические и формально-математические методы континуали-зашш, область применимости которых ограничивается, главным образом, регулярными упругими системами. Физические методы континуализации, опирающиеся на концепцию «размазывания», подкупают своей простотой и не требуют предварительного анализа напряженно-деформированнного

состояния упругой системы. Они позволяют избавиться от дискретного ее качества ценою игнорирования, например, взаимодействия элементов системы и других факторов. Формально-математические методы конти-нуализации более строги, но требуют самого математического объекта континуализации, в роли которого выступают, как правило, определяющие соотношения или разрешающие уравнения задачи. При выводе их неизбежно применение идей дискретно-континуального подхода.

Дискретно-континуальный подход позволяет учитывать структурные особенности упругой системы в полной мере. К нему относятся, прежде всего, известные в строительной механике метод сил, метод перемещений и смешанный метод, а также различные версии метода склейки, предполагающие членение системы на элементы, поэлементный изолированный упругий анализ и сопряжение элементов по обобщенным смещениям в местах их контакта. Область применимости дискретно-континуального подхода не ограничена практически ничем.

Несмотря на обилие публикаций по всем этим направлениям, число которых постоянно растет, о методологическом становлении механики упругих систем говорить пока преждевременно. Другими подтверждениями актуальности избранной тематики исследований являются широкое применение различных упругих систем в гражданском строительстве и в технике, а также необходимость создания строгих и совершенных методов упругого анализа деформируемых систем, потребность в которых остро ощущается в последнее время в связи с повышением требований к точности и детальности такого анализа, например, крупногабаритных космических конструкций.

Цель данной работы состоит в разработке новых строгих методов линейного упругого анализа самых разнообразных, преимущественно структурно регулярных, деформируемых систем. В основу исследований положен дискретно-континуальный подход, а точнее, метод склейки в версии, предполагающей членение упругой системы на наименьшие элементы и названной общей версией метода склейки. Основная идея, проводимая на протяжении всей работы, состоит в разделении дискретного и континуального анализов путем осуществления точного или приближенного поэлементного континуального анализа в аналитическом виде с последующим сведением всей проблемы к строгой, присущей конкретной структуре, замкнутой дискретной теорией упругости.

Научну1о_^11Изну"представляемо1"ГработьГсоставляют:

1. Единая, основанная на обшей версии метода склепки, методология сведения строгого линейного упругого анализа разнообразных структурно регулярных деформируемых систем к замкнутым дискретным линейным структурным теориям упругости.

2. Обоснованные с позиций вариационных принципов строгие замкнутые линейные структурные теории ряда упругих систем, альтернативные, в рамках каждой теории, постановки задач и их различные обобщения на области термоупругости и динамики с учетом структурных неодно-родностей систем, упругого взаимодействия и повреждений их элементов, технологических несовершенств и других эффектов.

3. Точные аналитические решения типовых дискретных краевых задач, построенные с привлечением методов теории функций матриц, преобразований Лорана и Тейлора и аппарата краевых задач Римана-Гильберта.

Достоверность проведенных исследований можно обосновать достоверностью исходных механико-математических посылок, строгостью рассуждений и совпадением отдельных результатов данной работы с результатами исследований других авторов.

Практическая ценность работы. Представленная в работе методология позволяет строить как строгие замкнутые, так и прикладные (приближенные) теории различных структурно регулярных упругих систем, допускающие обобщения на задачи термостатики и динамики с учетом структурных неоднородностей. упругого взаимодействия и повреждений элементов систем, технологических несовершенств и других эффектов.

Построенные в работе структурные теории и сопутствующие им математические исследования открывают новые возможности для нахождения точных, в том числе и аналитических, решений ряда практически важных задач.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались

на семинаре «Прикладные методы в задачах прочности», руководимом И. Ф. Образцовым, Б. В. Нерубайло, А. А. Мовчаном, Ю. С. Матюше-вым (Москва, МАИ, 20.05.83 г., 03.04.92 г., 19.10.92 г.);

на секции «Проблемы прочности конструкций ЛА» XIII (1983 г.) и XIV (1984 г.) Гагаринских чтений (Москва, Институт проблем механики АН СССР);

на секции «Динамика и прочность конструкций» Всероссийского симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций

и сплошных сред» (Москва, МАИ, Ассоциация «Механика и технология», 14-17.02.95 г.);

на семинаре «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамика машин», руководимом А. Г. Горшковым, А. И. Станкевичем, Д. В. Тарлаковским (Москва, МАИ, 05.06.95 г.);

на семинаре кафедры композиционных материалов МГУ, руководимом Б. Е. Победрей (Москва, МГУ, 26.06.95 г.).

Публикация результатов исследований. По теме диссертации опубликованы 21 работа.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех частей, содержащих 13 глав, заключения и списка литературных источников из 317 наименований, изложенных на 327 страницах формата А4, включающих 240 страниц основного текста, 74 страницы рисунков и 13 страниц списка литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор методов анализа механического поведения упругих систем, обоснована актуальность работы, сформулированы ее основная цель и новизна и кратко изложено поглавное содержание работы.

Первая часть, посвященная методу склейки, содержит три главы.

В первой главе изложены основные идеи метода склейки и особенности применения его к различным упругим системам. В зависимости от способа членения упругой системы и математического описания проблемы выделены три версии метода склейки, названные общей версией, методом разрывных решений и концепцией сингулярно-неоднородного тела. Для них дан сравнительный анализ, указана область их применимости, а также очерчен круг математических проблем, возникающих при использовании той или иной версии.

Во второй главе освещаются некоторые вопросы математического аппарата метода склейки. Здесь следует, прежде всего, упомянуть введение специальных разностных операторов, позволивших сделать математическое описание деформирования упругих систем обозримым и компактным. Однако, основное внимание в главе сосредоточено на изучении типовых разностных краевых задач для функций одного дискретного аргумента, к решению которых сведен впоследствии анализ ряда упругих систем.

____В случае нерегулярных упругих систем разностные уравнения краевых

*адач содержат переменные коэффициенты. Для решения систем таких сравнении нормального вида предложены как рекурсивные, так и нерекурсивные алгоритмы.

В случае регулярных упругих систем краевые задачи описываются разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Отличительная эсобенность этих уравнений состоит в том, что их характеристические уравнения возвратного типа: множество корней образуется из пар взаим-ао обратных чисел. Такие разностные уравнения (краевые задачи) названы поэтому возвратными. Здесь построены точные общие аналитические решения в полиномах Чебышева произвольного разностного уравнения возвратного типа и системы разностных уравнений нормального вида с конечной областью их определения. В последнем случае применен аппарат теории функций матриц, позволивший представить дискретную переменность решения в скалярном виде.

Из других оригинальных результатов данной главы следует выделить точные аналитические решения названных уравнений для бесконечной и полубесконечной областей их определения. Эти решения построены с помощью преобразований Лорана и Тейлора, причем для полубесконечных уравнений — путем сведения их к краевой задаче Римана-Гильберта. Попутно выявлен новый класс систем краевых задач Римана-Гильберта (матричный коэффициент — функция матрицы), разрешимых в замкнутом виде, и указан эффективный метод построения их обшего аналитического решения. Суть этого метода заключается в использовании теории функций матриц для сведения решаемой системы краевых задач к соответствующим скалярным краевым задачам Римана-Гильберта.

Третья глава иллюстрирует применение метода склейки к проблемам статики на примере простейших упругих систем, каковыми являются стержни на дискретно-континуальном основании Винклера. Для сжато-растянутого стержня сопоставлены все три версии метода склейки. В рамках общей версии приведены точные аналитические решения задачи для стержня конечной, бесконечной и полубесконечной протяженности, представлены результаты отдельных вычислений, а также указаны некоторые обобщения задач на случаи дискретной неоднородности упругой системы, термоупругости и динамики. Для балки на дискретно-континуальном основании Винклера продемонстрировано применение общей версии метода склейки. Предпочтение отдано ей и во всех последующих главах работы.

Вторая часть включает в себя главы 4-8 и целиком посвящена применению общей версии метода склейки к анализу механического поведения различных регулярных дискретно-двумерных и дискретно-трехмерных стержневых упругих систем. Несомненным достоинством всех таких систем является наличие возможности представления результатов точного поэлементного упругого анализа в аналитическом виде. Благодаря этому для каждой из рассмотренных упругих систем удалось построить свою строгую замкнутую структурную теорию, определяющие соотношения которой слагаются из геометрических, физических и статических уравнений в частных разностях. В любой из этих теорий усматривается дискретная аналогия с соответствующими континуальными моделями теории упругости.

В четвертой главе построены структурные теории для плоских ферм пяти видов, среди которых три имеют ортогональную структуру (их элементарные ячейки показаны на рис. 1 а,б,в; диагональные стержни в последней ячейке между собой не взаимодействуют), а две — циклически симметричную (их фрагменты изображены на рис. 1 г,д). В этих теориях обнаруживается своеобразная дискретная аналогия с плоской задачей теории упругости. Подобно последней для каждой структурной теории даны альтернативные постановки задач в узловых смещениях и в начальных усилиях стержней. При постановке задачи в усилиях число искомых сведено до минимума путем введения силовых функций — дискретных аналогов функции Эри. Дополнительное подтверждение построенных структурных теорий дано с позиций вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно. Теоретические исследования завершают обобщения структурных теорий на задачи термостатики, динамики и на случаи учета дискретной неоднородности структуры, упругого взаимодействия ее элементов, повреждения отдельных стержней, технологических несовершенств и других эффектов. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы несколькими примерами, для которых построены точные аналитические решения и приведены некоторые числовые результаты.

Проиллюстрируем сказанное на примере первой фермы (рис. 1 а), состоящей из (М + 1)(АГ + 1) узлов, где М, N — заданные положительные целые числа, и трех семейств соединяющих их однородных стержней: горизонтальных, вертикальных и наклонных— соответственно 11 — , 22— и 12—стержней. Условимся, что текущие, с номером (т,п), эти стержни соединяют соответственно узлы (т, п)-(т-М, п), (т, п)-(т, п+1) и (ш, п)-(т + 1, п + 1). Тогда для узлов т = 0,1,2,..., М, п = 0,1,2,..., ЛГ; для

Рис.1

QQ—стержней m = 0,1,2,..., М+а-2, тг = 0,1,2.....N-a + 1 (а, в = 1.2;

а ^ 3): для 12—стержней m = 0.1. 2.....Л/ — 1, п = 0,1, 2,.... А' — 1.

Геометрические и упругие свойства фермы целиком определяются длинами laß и жесткостями gaj на растяжение-сжатие aß— стержней. Пусть х 6 [0,1] — безразмерная, отнесенная к 1ад, продольная координата на оси aß—стержня; uaß(x), naß{x) iipaß(x) — осевые отнесенное к laß смещение, внутреннее усилие и погонная нагрузка в произвольной точке упругой оси того же стержня, a Ua и Ра — отнесенное к 1аа смещение узла и действую-

щая на него внешняя сила в направлении а а—стержней. Все переменные величины являются, кроме того, функциями дискретных аргументов т, п.

Ниже применяются операторы частных разностей V^, Aj, А^, смысл которых поясняют равенства (а = 1,2; f[m,n] — отвлеченная функция дискретных целочисленных аргументов т,тг; к — целое число; здесь и далее суммирование по повторяющимся индексам не предполагается)

Vf V = f[m ± к, п], Äff = ±f[m ±1, n] т /К я], Vfkf = f[m, n ± к], Äff = ±f[m, n ± 1] T f[m, n], Alf = f[m + 1, n] - 2f[m, n] + f[m - 1, n], Alf = f[m, n + 1] - 2f[m, n] + f[m, n - 1], V± = 1±A±, V+V" = l, A*=AfV±, AI = A+A; = A+-A; = V+-2 + V-, A20k = (Al)k (*>o). Использование этих операторов дает возможность, записывать все соотношения в переменных с несмещенными значениями дискретных аргументов, отказываясь, ради краткости, там, где это не ведет к недоразумению, от явного указания этих аргументов при символе переменной. Условимся также, что если в формулах или уравнениях попадается переменная, фактические значения дискретных аргументов которой указывают явно или неявно (после раскрытия действующих на нее разностных операторов) на несуществующий элемент системы, то соответствующее значение этой переменной следует считать равным нулю.

Принимая во внимание два первых геометрических условия сопряжения узлов и aß—стержней iw(0) = Ua> щ2(0) = Afl/i + Л\U2,

иаа{1) = Ъ+иа, u12(l) = V+Vi(A^1 + Al^2), Лe=W*i2. (1) из упругого анализа изолированного aß—стержня находим формулы иаа(х) = Ua + xg~lNaa + u* а(х), Ui2(z) = № + + xg^Nn + ulj(®), nQß(x) = Naß + n*aß(x), Naß = naß(0),

. Г (2)

U*aß(x) = -l*ß9a0 / (x - т)рар(т) dr, J 0

n*aß(x) = -l<*ß Paß{r)d.T.

J 0

_С их.помощью из вторых двух условий (]) выводим соотношения

Naß = даз{Еар - E^ß), E~ß - u'aß(l), (3)

з которых фигурируют полные удлинения а в—стержней Еаа ~ ^оа(О) — ^Ü^'öi

Е12 = U12(l) - u12(0) = (V+V+ - 1)(А5г7г + Л\Un). (4)

Уравнения равновесия узлов в проекциях на аа—стержни имеют вид

A;JvaQ + A4i-vrvj)Ar12 + p* = 0, (5)

PI = Ра- V-n-tt(l) - AQVrV2-n*2(l).

Из формул (2) видно, что напряженно-деформированное состояние фермы определено с точностью до 2(М + 1)(JV + 1) — 3 смещений Ua узлов (без трех смещений фермы как жесткого целого) и 3МN + М + N начальных усилий Кав- Следовательно, общее число неизвестных равно 5МК + 3(М + N) — 1. Для нахождения их уже получены уравнения (3), (4). (5). играющие для изучаемой структурной теории роль соответственно физических, геометрических и статических соотношений. Поскольку число статических искомых Naß превосходит число 2(М + 1)(Л' + 1) — 3 независимых уравнений равновесия (5) (без трех уравнений предполагаемого глобального равновесия фермы) на (М — 1)(Л' — 1), то рассматриваемая задача статически неопределима столько же раз. Недостающее уравнение совместности деформаций, без труда устанавливаемое путем исключения смещений узлов из соотношений (4). записывается следующим образом

Л 1(А22 + + + А Г = Л]"Д7£12 (6)

(т=1.2.....М-1: п = 1,2,. -.Аг-1),

п. как можно показать, оно выражает равенство нулю суммы изменений прямых углов, образуемых на пересечении qq —стержней, в каждом внутреннем узле.

Заметим, что уравнения (5), отвечающие граничным узлам, представляют статические краевые условия. Благодаря соглашению об исключении несуществующих величин их удалось совместить по форме записи с

уравнениями равновесия внутренних узлов. Если на граничные узлы наложены геометрические связи, то статические краевые условия заменяются геометрическими

Ua = U* (т=0,М и (или) n=0,N), (7)

где £/* — смещения узлов, предписанные наложенными на них связями.

Уравнения (3)-(6) образуют полную систему определяющих соотношений изучаемой структурной теории. В математическом отношении они представляют собой систему уравнений в частных разностях и, всесторонне описывая деформирование рассматриваемой ферменной структуры в неизвестных Ua, Eaß, Naß, отражают смешанную постановку задачи.

Постановка задачи в узловых смещениях Ua, для этого нужно выразить через них начальные усилия с помощью формул (3), (4) и подставить их в уравнения равновесия (5), приводит к системе двух уравнений в частных разностях

дао&1иа + АаЫД+ + Д2")(ЛГ + А? )(№ + Ä) + Fa = О,

Fa= Р*- 9аа&~Е*аа - Aail2(l - VJV^E^

четвертого порядка. В ней сконцентрированы разрешающие уравнения задачи (им отвечают т ф О, М и п ф О, Лг), являющиеся дискретным аналогом уравнений Ламе плоской задачи теории упругости, и статические граничные условия в смещениях (т = О, М или (и) п = О,N), которые исключаются из рассмотрения при наличии геометрических граничных условий (7).

Пусть теперь роль основных (определяемых в первую очередь) неизвестных отведена усилиям Na)j. Для их определения следует воспользоваться уравнениями равновесия (5) и уравнением совместности деформаций (6), которое после подстановки в него зависимостей, обратных соотношениям (3), принимает вид

2

эгааА zH&l-a + А; AüJWaa - ««Д^Аг ^12 = Е' (8)

а=1

(т=1,2.....М-1; n = l,2,...,JV-l),

_______________________0е«а — ^,9aai-----œ12------------

2

E" = дг д2 E;2 - £ a* (aL„ + л; Дз-a)E;a

a=l

[ является в данной теории дискретным аналогом уравнения Леви из плос-:ой задачи теории упругости.

Покажем, что система уравнений (5), (8) путем введения специальной эункции усилий (р = ¥>[miп] (дискретного аналога функции Эри) сводится ; одному уравнению в частных разностях 4-го порядка.

Обозначим через какое-либо частное решение уравнений (5). Что-)ы найти его, достаточно дополнить эти уравнения любыми (М — 1)(ЛГ— 1) ^противоречащими им независимыми соотношениями между Л'*^, для tero можно воспользоваться эвристическими соображениями или какой-[ибудь основной системой метода сил. Нетрудно убедится в том, что об-цее решение уравнений (5) дается формулами

Naa = Лс(Д5_а + AÍ¿4)9 + Ка' л'12 = -AfAi<p + Л'Г2- ' (9)

Подставляя их в равенство (8), приходим к искомому уравненню

[(Д+ + ДП(АГ + Д^ХагцД; + эе22Д?) + эе12Д?Д^ = / (10)

(m = l,2,...,¿/-l; п = 1,2,...,Лг-1). о

/ = АГ Д2 (£Г, + ээ12Л"2) - ¿(A;U + А Г ДГ)(А= + a^A"1^).

а = 1

Анализ уравнений равновесия граничных узлов с учетом представлений 9) и смысла величин показывает, что функция <р должна удовлетворять краевым условиям

<£> = О (т--1,0,М.М + 1 и(или) п = -1,0,Д*,Д'+1), (11)

i, следовательно, она может иметь нетривиальные значения лишь во внутренних узлах структуры, что согласуется с количеством линейных алгебраических уравнений, содержащихся в равенстве (6).

С целью иллюстрации последней постановки задачи рассмотрим ферму : одним рядом внутренних узлов (N = 2, рис. 2), считая внешние воз-1ействия на нее пока произвольными. Согласно краевым условиям (11)

Рис.2

функция усилий = у>[т] = ¡р[т, 1], и, как нетрудно видеть, она является решением краевой задачи (см. (10))

-2т] + ^)^[т] = -2г]/,[т] (ш=1,2,..,м-1), р[0] = <р[М] = 0, (12)

Т) =

2аг

2эг — Загц

Л ["г] =

4аг

эе - аец + ге22 + эе12,

при этом усилия ЛГа(з находятся по ней из выражений (см. (9), 5тп — символ Кронекера)

An = Ai[<5noV+ - г„1(1 + V+) + гп2]^Н + Лп>

Ли = Л2[5„О(А? - <5mAiV+) - 5„i(A" + гт0^)Мпг] + N22, (13)

Аг12 = (S„1 - 5no)Af ip[m] + N*12.

Само решение задачи (12) имеет вид: при 2эе ф Зэгц

1р\т} = - 1,5»[т] (т=о,1,2,....м), (14)

им-1

т — 1

<рт[т] = 2

к = 1

где ит = ит{л) ~ многочлен Чебышева 2-го рода степени т, и 1р[т] — /»[т] при 2ае = Зэзц.

Покажем, как с помощью результата (14) можно построить решение той же задачи для фермы с поврежденным, например, 11—стержнем с номером

i;0)-(j-=-0rlT2,:.-.-,A/-2)7" Чтобы найти отвечающие этому случаю 'ункции <р, Naß, необходимо заменить jm, 0] на [т, 0] + d6mj , где — искусственно введенная для поврежденного стержня несовместность, ¡ыкладки показывают, что

771] = <р{т] + ff^(/im_i_2Wm_j_2 - "м 3 2Hm-lV ¿аэ \ им— 1 '

¿dsvM-1 10, к < 0.

Предполагая теперь, что выделенный 11—стержень поврежден в его на-але (при pn\j, 0] = 0 эта оговорка не нужна), после нахождения d из авенства Л^ц [j, 0] = 0 приходим к зависимости

Щт] = р[т] + ^NnVMhm-j-"1*-1"™4-* - — )■ (15)

4 UjUM-j-2 Uj /

Для нахождения Naß необходимо обратиться к формулам (13) и заме-ить в их правой части ip на р.

В случае бесконечной ферменной структуры с одним рядом внутренних

злов первое уравнение (12) имеет место при m = 0,±1,±2..... Можно

оказать, что его решение дается формулами

^Н = -7=== Е ^-''/-W (m = 0,±l.±2,..), (16)

VT - 1 к=-со

¡J = (|?j| + vV ~ 1) sign 7? > 1,

ричем усилия Naß находятся по формулам (13), в которых опушены сла-аемые с 5то и 5тд/.

Наконец, для полубесконечной структуры с одним рядом внутренних 'злов первое уравнение (4.76) справедливо при т = 1,2,..., и ему со-[утствует условие ¡¿[0] = 0. Решение этой задачи имеет вид

I j сю оо

р[т] =(-0,1,2,...), (17)

vV -1 L*=1 t=i

i усилия Naß находятся по нему из формул (13), в которых следует опус-

гить слагаемое с ¡тм.

Как видно, это решение, описывающее дискретный краевой эффект у края структуры т = 0, при m —> оо стремится к решению (16), отвечающему бесконечной структуре.

В качестве конкретного примера рассмотрим нагружение конечной фермы, показанное на рис. 2, т. е.

Paß = U*aß = "а/3 = Eaß = ^2 = 0, Pl[m, Tl] = Sn0(5mM ~ ¿mo)-В этом случае можно принять

Результаты вычислений при М — 10, дц = 322 = Я12, 'п = '22 приведены в табл. 1 и 2 для неповрежденной и поврежденной по 11—стержню с номером (4,0) ферм; N12[т, 1] = -/^[т, 0], Л^О, 1] = 0, Л^т, 1] = -АГ22[т- 1,0] (т= 1,2,..., 10).

Частное решение (18) позволяет получить для бесконечной фермы результаты

реализующиеся в средней части конечной фермы, а для полубесконечной фермы — формулы

(18)

Nil = i(55„0 + 2<5ni - ¿„2), No2 = 0, (19)

- m - ¿то)], А = Ai/Лг,

шсывающие дискретный краевой эффект у края т — 0 фермы и перехожие при т — ос в результаты (19).

ТАБЛИЦА 1. Значения Л'а/з в неповрежденной ферме

т Мп[т,0) АгпК1] Л'п[т,2] А'12[т,0] ЛТ22 [т, 0]

0 0,900 0,100 0,000 0,141 -0,100

1 0,860 0,240 -0,100 0,056 -0,040

2 0,844 0,296 -0,140 0,022 -0,016

3 0,838 0,317 -0,156 0,008 -0,006

4 0,837 0,325 -0,162 0,002 -0,002

5 0,838 0,325 -0,163 -0,002 0,002

6 0,844 0,317 -0,162 -0,008 0,006

7 0,860 0,296 -0,156 -0,022 0,016

8 0,900 0,240 -0,140 -0,056 0,040

9 1,000 0,100 -0,100 -0,141 0,100

10 0,000

Таблица 2. Значения Л'а/з в поврежденной ферме

т Л'ц[т, 0] Ли[ггг, 1] Л;п[т,2] Лг12[т,0] ЛГ22[т,0]

0 0,882 0.118 0,000 0,167 -0,118

1 0,808 0,310 -0.118 0,105 -0,074

2 0,711 0,481 -0,192 0,137 -0,097

3 0.504 0,785 -0.289 0,293 -0,207

4 1,496 -0.496 0,713 -0,504

5 -1,255 3,255 -1,000 1,775 -1,255

6 0,010 3,245 -2,255 -1,790 1,265

7 0,534 1,456 -0,990 -0,740 0,524

8 0,788 0,679 -0,466 -0,359 0,254

9 1,000 0,212 -0,212 -0, 300 0,212

10 0,000

В пятой главе подобные рассуждения проведены для плоской прямо-гольной тонкостенной стержневой системы, представляющей собой со-окупность двух ортогональных семейств сжато-растянутых стержней,

взаимодействующих между собой в точках пересечения их упругих линий и с тонкой пластиной, работающей только на сдвиг.

Шестая глава посвящена упругому анализу пространственно деформируемой плоской ортогональной решетки. В рамках предположения о компланарности упругих линий составляющих ее пространственно деформируемых стержней, одна из главных осей поперечных сечений которых принадлежит плоскости компланарности упругих линий, выделены две независимые задачи, связанные с деформированием решетки в плоскости и из плоскости. Для каждой из задач построены строгие структурные теории, являющиеся дискретными аналогами соответственно теории плоского напряженного состояния и теории изгиба пластины, вытекающих из моментной (микрополярной) теории упругости.

В седьмой главе исследованы три пространственные стержневые системы. Две из них, а именно, призматический и цилиндрический каркасы (по предположению, образующие их стержни пространственно деформируемы) дают примеры дискретно-двумерных пространственных стержневых систем, а третья — пространственная ферма ортогональной структуры — пример дискретно трехмерной стержневой упругой системы. Для каждой из названных систем получены определяющие соотношения соответствующих структурных теорий и представлены общие решения статических уравнений через силовые функции. Примечательно, что в определяющих соотношениях структурной теории пространственной фермы отслеживается четкая дискретная аналогия с уравнениями классической пространственной теории упругости в декартовых координатах.

Заключительная восьмая глава части 2 содержит оригинальные исследования, связанные с построением приближенных структурных теорий составных стержней и пластин ферменного строения. Эти построения реализованы в рамках конкретной строгой структурной теории путем введения дополнительных предположений, напоминающих (в дискретном смысле) хорошо известные гипотезы из обычных континуальных теорий стержней и пластин. Благодаря таким предположениям снижается дискретная размерность задачи и упрощается упругий анализ составных стержней и пластин.

Дискретно-одномерная приближенная теория плоского составного стержня, выведенная из строгой дискретно-двумерной структурной теории плоской фермы вида 1 (см. рис. 1 а), представлена двумя модельными вариантами — своеобразными дискретными аналогами стержней Бернулли и Тимошенко. Дискретно-одномерная теория пространственного состав-

ого_стержня ферменного-строения и^дпскретно^двумерная теория фер-[енной пластины извлечены из дискретно-трехмерной структурной тео-ии пространственной фермы, построенной в конце предыдущей главы.

Следует подчеркнуть, что изложенная в данной главе методология отрывает широкие возможности для создания самых разнообразных при-ладных структурных теорий не только составных стержней и пластин, о и оболочек.

Третья часть состоит из девятой и десятой глав и посвящена при-

ожению обшей версии метода склейки к теории ребристых пластин и болочек. Здесь рассматриваются лишь пластины и оболочки с однона-равленным набором подкрепляющих ребер, причем предполагается, что лементы ребристых пластин и оболочек взаимодействуют между собой онтинуально по поверхности их контакта. Основная трудность исследо-ания таких упругих систем (любыми методами) сопряжена с присутстви-м в них двумерных элементов в виде пластин и оболочек, возможности очного упругого анализа которых в аналитическом виде весьма скромны, [одобный анализ, однако, можно осуществить приближенно. Простей-1ей иллюстрацией тому может служить пятая глава, где, по существу, ассмотрена ребристая пластина с перекрестными, работающими только а растяжение-сжатие, ребрами и пластинчатыми элементами, допускаю-шмп лишь однородные напряженно-деформированные состояния чистого двига.

В девятой главе при достаточно общих предположениях дана поста-овка задачи о напряженно-деформированном состоянии прямоугольной ластнны, подкрепленной ребрами в одном направлении параллельно одой из ее кромок. Для условий шарнирного опирания на кромках, пер-ендпкулярных ребрам, эта задача с помощью метода одинарны:: триго-ометрнческих рядов сведена к одномерной дискретной краевой задаче, зученной в главе 2. Рассмотрены также задача о статической упругой стойчивости панели при равномерном сжатии ее в двух направлениях азличными силами и задача о собственных колебаниях панели. При тех се условиях на кромках, перпендикулярных ребрам, обе эти задачи сведе-ы к однотипным одномерным дискретным задачам на собственные зна-ения, о решении которых шла речь опять же в главе 2. В конце данной лавы приведены результаты некоторых численных и параметрических сследований последних задач.

Десятая глава посвящена упругому анализу ребристой круговой ци-индрической оболочки.

Отдельно рассмотрены стрингерная оболочка и оболочка, подкрепленная шпангоутами.

Для стрингерной оболочки дана общая постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии, а детальному обследованию подвергнуты задача о статической упругой устойчивости цилиндрической панели при равномерном осевом ее сжатии и задача о собственных колебаниях такой же панели. С помощью метода одинарных тригонометрических рядов две последние задачи сведены к однотипным дискретным задачам на собственные значения, подобных тем, что были получены в предыдущей главе для ребристой пластины. В примерах численного решения этих задач показано влияние кривизны панели на ее критические сжимающие нагрузки, частоты и формы собственных колебаний.

Для замкнутой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, дана постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии и отмечена возможность сведения ее к дискретной краевой задаче того же типа, что и в случае плоской панели. Подробно это показано для осесим-метричного нагружения оболочки. Точные аналитические решения приведены для конечной, бесконечной и полубесконечной оболочек, подкрепленных регулярной системой шпангоутов. С их помощью проведены отдельные параметрические исследования.

В заключительной четвертой части, объединяющей три последние главы, общая версия метода склейки применена к анализу некоторых плоских задач о дискретном взаимодействии пластин и стержней, с которыми приходится сталкиваться при расчете клепаных конструкций. Специфика этих задач обусловлена, прежде всего, необходимостью упругого анализа неделимых пластин с жесткими круглыми включениями (заклепками), требующего, вообще говоря, решения плоской задачи теории упругости для многосвязанной области. Малость радиуса включений по сравнению с их шагом и другими геометрическими параметрами позволила воспользоваться асимптотическим принципом суперпозиции, в соответствии с которым результирующее напряженно-деформированное состояние в пластине, описываемое формулами и потенциалами Колосова-Мусхелишвили, слагается из состояния пластины без включений, порожденного ее собственными нагрузками, и состояний бесконечных пластин с каждым одним включением, к центру которого приложена реактивная сила взаимодействия пластины с другими элементами упругой системы. Правомерность использования такого принципа показана в дальнейшем на некоторых задачах, где взаимодействие включений учитывалось точно.

В одиннадцатой главе детально исследована плоская панель с одним, работающим только на растяжение-сжатие, конечным, бесконечным или полубесконечным стрингером. Для конечного стрингера задача сведена к решению системы линейных алгебраических уравненнй, для бесконечного стрингера — к дискретному уравнению типа свертки с бесконечной областью определения, точное решение которого в квадратурах получено с помощью преобразования Лорана, а для полубесконечного стрингера — к дискретному аналогу уравнения типа Винера-Хопфа. Точное решение последнего в квадратурах построено с помощью преобразования Тейлора путем сведения к краевой задаче Римана-Гильберта. Все эти задачи и их решения обобщены на случаи учета упругой податливости заклепок, повреждений стрингера и (или) заклепок, а также некоторых технологических несовершенств. В конце главы представлены графически результаты численных и параметрических исследований, дающие возможность судить о влиянии параметров панели на ее напряженно-деформированное состояние.

В двенадцатой главе изучены некоторые плоские задачи о дискретном взаимодействии пластин. Среди множества, вообще говоря, дискретно-двумерных задач такого рода выделены лишь периодические вдоль рядов заклепок дискретно-одномерные задачи о равномерном растяжении пакетов из двух н трех пластин. С помощью теоремы Миттаг-Леффлера для каждой пластины пакета построены потенциалы Колосова-Мусхелишви-ли, учитывающие взаимное влияние заклепок в пределах одного ряда точным образом. Однако, взаимное влияние заклепок из разных рядов по-прежнему носит асимптотический характер. Обе задачи сведены к системе линейных алгебраических уравнений, численное решение которой проиллюстрировано на отдельных примерах.

Завершающая работу тринадцатая глава посвящена упругому анализу панелей с несколькими параллельными стрингерами. Цель проведенных здесь исследований состояла в оценке роли взаимного влияния стрингеров на раздачу сил по заклепкам в пределах одного стрингера.

Сначала были рассмотрены панели с периодической системой конечных, бесконечных и полубесконечных стрингеров и периодическими внешними силами. Достоинство таких задач, во-первых, в точном учете взаимного влияния стрингеров, а во-вторых, в дискретной одномерности. Итоговые уравнения, описывающие эти задачи, и их решения по виду ничем не отличаются от соответствующих уравнений и решений однострингерной панели. Как показали вычисления, взаимное влияние стрингеров в пане-

лях с периодической структурой практически не сказывается на значениях реактивных сил, передаваемых через заклепки.

Непериодические задачи для панелей с конечным, бесконечным и полубесконечным набором стрингеров одинаковой протяженности (конечной, бесконечной или полубесконечной) выглядят намного сложнее. Они становятся дискретно-двумерными и предоставляют весьма ограниченные возможности для построения точных аналитических решений. Для всех названных непериодических задач здесь получены разрешающие уравнения, точное решение которых реализовано для панелей с двумя стрингерами. Конкретные вычисления показали, что и в этом случае взаимное влияние стрингеров можно не учитывать.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена единая, основанная на общей версии метода склейки, методология сведения строгого линейного упругого анализа разнообразных деформируемых систем к замкнутым линейным дискретным теориям упругости.

2. Для ряда плоских и пространственных дискретно-двумерных и дискретно-трехмерных упругих систем построены новые замкнутые структурные теории, обоснованные с позиций вариационных принципов Лагран-жа и Кастильяно. В рамках каждой такой теории даны альтернативные постановки задач и указаны их обобщения на области термоупругости и динамики с учетом структурных неоднородностей систем, упругого взаимодействия и повреждений их элементов, технологических несовершенств и других эффектов.

3. Разработана методология, позволяющая путем введения в строгих структурных теориях дополнительных предположений строить прикладные структурные теории составных стержней, пластин и оболочек различного строения.

4. Выявлен класс одномерных дискретных краевых задач так называемого возвратного типа, к решению которых сводится упругий анализ ряда рассмотренных в работе упругих систем. Для всех таких задач с помощью методов теории функций матриц, преобразований Лорана и Тейлора и аппарата краевых задач Римана-Гильберта построены точные общие решения в аналитическом виде.

5. Выделен новый класс краевых задач Римана-Гильберта для п пар функций (с матричным коэффициентом в виде функции матрицы), разрешимых в замкнутом аналитическом виде, и предложен метод отыска-

шя их точного общего аналитического решения, основанный на сведении : помощью теории функций матриц исходной системы краевых задач к .оответствующим скалярным, безусловно разрешимым, краевым задачам -'имана-Гильберта.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Рыбаков JI. С., Черепанов Г. П. Дискретное взаимодействие пластины с полубесконечным стрингером. //ПММ. 1977. Т. 41. N 2. С, 322-328.

2. Черепанов Г. П., Рыбаков JI. С. К расчету клепаных панелей. //Прикл. мех-ка. 1977. Т. 13. N 8. С. 3-8.

3. ЛукашинаН. В.. Образцов И. Ф., Рыбаков Л. С. Дискретное

взаимодействие бесконечной пластины и полубесконечной балки. // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. N 4. С. 170-177.

4. Образцов И. Ф., Рыбаков Л. С., Лукашина Н. В. О дискретном взаимодействии пластины и стержня. //Прикл. мех-ка. 1979. Т. 15. N 11. С. 82-87.

5. Рыбаков Л. С. О дискретном взаимодействии пластины и поврежденного стрингера. //ПММ. 1981. Т. 45. N 1. С. 171-179.

6. Рыбаков Л. С. О дискретном взаимодействии пластины и сжато-растянутого стержня. //Прикл. мех-ка. 1982. Т. 18. N 11. С. 80-85.

7. Рыбаков Л. С. Дискретное взаимодействие пластины с поврежденным стержнем. В кн. «Современные проблемы механики и авиации». М.: Машиностроение, 1982. С. 273-280.

8. Рыбаков Л. С. Контактные задачи о дискретном взаимодействии пластины и стержня. //Изв. АН СССР. МТТ. 1983. N 2. С. 160-171.

9. Рыбаков Л. С.. Лукашина Н. В. Дискретное упругое взаимодействие неограниченной пластины и стержня (тезис докл.). //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд-во Горьковского ун-та. 1983. вып. 25. С. 163.

10. Рыбаков Л. С., Лукашина Н. В. Некоторые периодические задачи о дискретном взаимодействии пластин и стержней. В кн. «Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. 1983,1984 гг. (тезисы докладов)». М.: Наука, 1985. С. 195.

11. Рыбаков Л. С., Лукашина Н. В. Дискретное взаимодействие пластины с системой параллельных стрингеров. В кн. «Гагарин-

ские научные чтения по космонавтике и авиации. 1983, 1984 гг. (тезисы докладов)». М.: Наука, 1985. С. 195.

12. Рыбаков JI. С. Упругий изгиб подкрепленной прямоугольной пластины. В сб. «Прикладные методы расчета авиационных конструкций». М.: Изд-во МАИ, 1986. С. 46-50.

13. Рыбаков JI. С. Растяжение-сжатие стержня, покоящегося на дискретно-континуальном основании Винклера. В сб. «Численные и экспериментальные методы исследования прочности конструкций ДА». М.: Изд-во МАИ, 1989. С. 52-56.

14. Рыбаков JI. С. Осесимметричное упругое деформирование подкрепленной шпангоутами круговой цилиндрической оболочки. // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. N 3. С. 132-140.

15. Рыбаков JI. С. Круговая цилиндрическая оболочка, нерегулярно подкрепленная шпангоутами. В сб. «Проблемы строительной механики и прочности ДА». М.: Изд-во МАИ, 1990. С. 58-63.

16. Рыбаков JI. С. Упругий изгиб балки на дискретно-континуальном основании Винклера. В сб. «Численные методы строительной механики». М.: Изд-во МАИ, 1990. С. 64-69.

17. Рыбаков JI. С., Сильченко Л. Г. Собственные поперечные колебания прямоугольной подкрепленной ортотропной панели. В сб. «Проблемы механики конструкций ДА». М.: Изд-во МАИ, 1992. С. 69-75.

18. Рыбаков Л. С., Сильченко Л. Г. Статическая упругая устойчивость прямоугольной подкрепленной ортотропной панели. В кн. «Прикладные методы исследования прочности ДА». М.: Изд-во МАИ, 1992. С. 64-71.

19. Рыбаков Л. С., Сильченко Л. Г. Статическая упругая устойчивость дискретно подкрепленной прямоугольной панели при различном двухстороннем равномерном сжатии. //Изв. РАН. МТТ. 1994. N 6. С. 128-140.

20. Рыбаков JI. С. Осесимметричное упругое деформирование регулярно подкрепленной шпаногоутами неограниченной круговой цилиндрической оболочки. //Изв. РАН. МТТ. 1994. N 4. С. 162-173.

21. Рыбаков Л. С. О структурных теориях механики стержневых упругих систем. В кн. «Тезисы докладов Всероссийского симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: РИЦ МГАТУ, 1995. С. 42-43.