Разработка дискретно-континуальных моделей деформирования и разрушения наноматериалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧЕНЦОВ АЛЕКСАНДР ВИКТОРОВИЧ

РАЗРАБОТКА ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ НАНОМАТЕРИАЛОВ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003169003

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Гольдштейн Роберт Вениаминович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Кривцов Антон Мирославович, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет,

доктор физико-математических наук, профессор Кукуджанов Владимир Николаевич, Институт проблем механики Российской академии наук

Ведущая организация

Кафедра теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Защита состоится 24 апреля 2008 г в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002 240 01 при Институте проблем механики Российской академии наук по адресу 119526, Москва, пр-т Вернадского, д 101, корп 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики Российской академии наук

Автореферат разослан 24 марта 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Л?/**-

Е Я Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы

Проблемы моделирования всегда были актуальны при изучении механических свойств материалов с учетом их структуры, поскольку решение этих проблем приводит к количественным зависимостям макроскопических характеристик деформирования, прочности и сопротивления разрушению материала от параметров структуры.

Располагая указанными зависимостями, можно выполнять параметрическую оптимизацию при проектировании новых материалов, конструкций, способов испытаний

В многообразии новых материалов особое место занимают материалы, имеющие наномасштабную структуру (наноматериалы) и материалы, наполненные наноструктурными частицами нано- и микромасштабов (нанокомпозиты) Этим материалам, как правило, присущи высокие значения характеристик деформирования, прочности и трещиностойкости, что обусловливает их перспективность для различных применений в промышленности

Среди распространенных наноматериалов выделяются углеродные наноматериалы, такие как углеродные нанотрубки Они могут выступать как в форме отдельных нанообъектов, так и в виде совокупностей или набора частиц, погруженных в матрицу другого материала

С момента своего первого получения, углеродные нанотрубки остаются объектом постоянных научных исследований От изотропных материалов их отличает особая регулярная атомная структура Нанотрубкам свойственно редкое сочетание линейных размеров, удельного веса, деформационных и прочностных характеристик, поэтому они находят применение в технике и медицине

В настоящее время, помимо углеродных, синтезированы нанотрубки и наностержни многих химических элементов (например, бора, висмута, кремния, германия), их нитратов и оксидов, однако именно углеродные нанотрубки отличаются простотой структуры и многообразием физических особенностей

Для реальных экспериментов на наноструктурных нано- и микромасштабных объектах требуется сложная, высокоточная и дорогостоящая аппаратура Схемы проведения экспериментов часто уникальны и инновационны в каждом конкретном случае Поэтому, хотя количество выполненных лабораторных экспериментов и велико, они еще не отличаются многообразием Отсутствуют стандартизованные схемы механических испытаний наноструктурных нано- и микромасштабных объектов Отсутствует метрологическое обеспечение таких испытаний

В этих условиях особую роль приобретает аналитико-численное моделирование механического поведения, в том числе механических испытаний, наноструктурных нано- и микромасштабных объектов

Теоретические разработки в области описания и методов моделирования механических свойств наноматериалов и нанокомпозитов разнообразны и активно ведутся отечественными и зарубежными группами ученых Цель указанных работ - создать базу для проведения численного моделирования процессов деформирования и разрушения наноматериалов и нанокомпозитов, что позволит устанавливать взаимосвязи между эффективными характеристиками деформирования, прочности и трещиностойкости на микро-и макроуровне и параметрами нано- и микроструктуры

Теоретическое и численное моделирование тогда становится важным инструментом при проектировании наноматериалов и нанокомпозитов, позволяющим в ряде случаев восполнить недостаточность экспериментальных данных

Актуальность диссертации обусловлена, в связи с этим, потребностью в новых эффективных моделях и методах моделирования деформирования, прочности и разрушения наноматериалов, нанокомпозитов и наномасштабных элементов конструкций

Цель диссертации

Цель диссертации состоит в разработке дискретно-континуальных моделей деформирования и разрушения наноматериалов, на примере углеродных наноматериалов, таких как нанотрубки, фрагменты графеновых плоскостей, системы нанотрубок, системы графеновых слоев, подобные графиту, а также в применении разработанных моделей для численного моделирования процессов деформирования и разрушения, указанных объектов

Методика исследования

Используемый в диссертации подход основан на возможности построения дискретно-континуальных моделей наноструктурных объектов

При построении указанных моделей используются данные о строении наноструктурного объекта как атомной системы с учетом совокупности межатомных взаимодействий, параметры и вид которых зависят от типа взаимодействующих атомов Дискретно-континуальная модель представляет собой стержневую модель, где параметры стержней подбираются из условия соответствия энергии деформации исходной атомной системы и эквивалентной ей стержневой системы

Дискретно-континуальный подход предложен в NASA GM. Odegard (2000г) и его коллегами применительно к углеродным наноматериалам и был реализован в предположении о линейно-упругом поведении элементов эквивалентной стержневой системы Ими была исследована деформация графита и нанотрубок, получены модули Юнга и сдвига Этой же группе авторов удалось сравнить свои результаты с моделированием методом молекулярной динамики и тем самым подтвердить справедливость своего подхода для малых деформаций элементов системы Деформации, полученные обоими методами, оказались близкими, а упругие модули - соответствующими известным экспериментальным данным

В диссертации развит дискретно-континуальный подход с учетом нелинейности парных взаимодействий атомов в материале, что позволяет моделировать процессы деформирования при значительных деформациях, присущих наноструктурным объектам, определять предельные характеристики деформирования и условия разрушения Учет нелинейностей позволяет также моделировать взаимодействие наноструктурного объекта с матрицей нанокомпозита, и наноструктурных объектов друг с другом

Рассмотренные в диссертации задачи относятся к активно развиваемой области механики деформируемого твердого тела - механике деформирования и разрушения наноматериалов и нанокомпозитов

Научную новизну составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту:

1 Развит дискретно-континуальный подход, учитывающий нелинейность парных взаимодействий атомов в материале, как новый эффективный метод численного исследования механического поведения наноструктурных объектов, наноматериалов и элементов конструкций из них, материалов, наполненных наномасштабными частицами и микромасштабными частицами с наноструктурой, позволяющий учитывать нано- и микромасштабную структуру материала

2 Разработаны новые дискретно-континуальные модели наноматериалов (модели углеродных нанотрубок, учитывающие нелинейные межатомные ковалентные и Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия, модели эффективного волокна для полимерного композита, наполненного нанотрубками, модели графеновой плоскости с дефектами структуры типа 5-7, модели систем графеновых слоев, учитывающие нелинейные межслойные взаимодействия)

3 В рамках дискретно-континуального подхода впервые поставлены, решены и детально исследованы задачи о деформировании и разрушении углеродных наноструктурных объектов

4 Установлены закономерности и определены характеристики деформирования ряда наноструктурных объектов (нанотрубок, графеновых слоев и их систем, нанотрубок, взаимодействующих с матрицей)

5 Установлена зависимость формы потери устойчивости одиночных углеродных нанотрубок при сжатии от соотношения диаметра нанотрубки к ее длине Определены предельные деформации нанотрубки при растяжении

6 Проанализировано изменение упругих свойств нанотрубок в полимерной матрице, обусловленное взаимодействием с матрицей Определено направление преимущественного образования новых дефектов типа 5-7 при растяжении графеновой плоскости

7 Выполнено моделирование новой схемы испытания углеродных нанотрубок на прочность, предусматривающей их растяжение до разрыва в условиях, при которых нагружение передается на нанотрубку через полимерную матрицу, определены параметры схемы испытаний

8 Разработана методика расчета деформирования пакета графеновых слоев в рамках дискретно-континуального подхода путем построения эквивалентной аналитической континуальной модели слоистой среды, параметры которой рассчитываются путем сопоставления с расчетами деформирования пакета слоев в рамках дискретно-континуального подхода Данная методика реализована в виде специализированной расчетной программы, с использованием метода конечных элементов (для трехточечных и шеститочечных элементов)

Практическая значимость

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и разработке наноструктурных материалов, композитов, наполненных наноструктурными частицами и элементов конструкций и изделий из них, при разработке и моделировании схем механических испытаний наноструктурных объектов

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плановой темы Института проблем механики Российской академии наук «Моделирование процессов формирования, взаимодействия, деформирования и разрушения упруговязкопластических тел под действием нагрузок и физических полей» (Гос per № 0120 0503826), проектов

1 «Разработка принципов, алгоритмов и программ моделирования прототипов устройств для проведения испытаний по контролю и аттестации механических свойств нано- и микромасштабных объектов», Проект ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы», Госконтракт № 02 513 11 3069 от 22 марта 2007 года,

2 «Взаимодействие нано-микро-мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении», Проект Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН, «Структурная механика материалов и элементов конструкций Взаимодействие нано-микро-мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении», 2003-2005гг

3 «Моделирование взаимодействия нано-микро-мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении, разработка принципов управления многомасштабной структуры материалов с целью повышения их прочностных свойств и сопротивления разрушению», Проект Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН, «Развитие механики многомасштабного (от нано- к макромасштабам) деформирования и разрушения как основы проектирования новых материалов с повышенными эксплуатационными характеристиками», 2006-2008гг

4 «Моделирование разрушения по границам соединения материалов при термомеханическом нагружении», Проект РФФИ 05-01-00191-а, 2005-2007 гг

а также в рамках грантов Президента Российской Федерации для государственной пЪдцержки ведущих научных школ России НШ-1849 2003 1 (2003-2005 гг.), НШ-4472 2006 1 (2006-2007 гг)

Достоверность

Полученные результаты модельных численных экспериментов по определению механических свойств углеродных наноматериалов с достаточной точностью согласуются с известными результатами реальных экспериментов других исследователей, некоторыми аналитическими оценками и результатами численных расчетов, выполненных другими методами Контроль точности результатов проводился посредством сравнения результатов аналогичных расчетов для моделей больших и малых размеров, с учетом погрешностей определения геометрических размеров для дискретных моделей нанообъектов

Апробация диссертации

Результаты диссертации были представлены на международных и всероссийских конференциях Нанокомпозиты исследования производство и применение (2004г), Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (2004г.), Int Conf "NENAMAT" NANO'05 (2005г), 14я Зимняя школа по механике сплошных сред (2005г), European conference of fracture ECF16 (2006r), DC Всероссийский Съезд по Теоретической и Прикладной Механике (2006г), 4th International Workshop on Nanocsiences and Nanotechnologies (2007г), XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды (2007г), XXX Гагаринские чтения (2004г), XXXI Гагаринские чтения (2005г.), XXXII Гагаринские чтения (2006г), XXXIII Гагаринские чтения (2007г)

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах

■ Семинар имени академика А Ю Ишлинского при Научном совете РАН по механике систем и Научном совете РАН по проблемам управления движением и навигации (руководители акад В Ф Журавлев, акад Д М Климов),

■ Семинар по механике сплошной среды им J1 А Галина (руководители проф В М Александров, проф В Н Кукуджанов, проф А В Манжиров) и Семинар по механике прочности и разрушения (руководитель проф Р В Гольдштейн) (Совместное заседание)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 20 научных работ Перечень публикаций приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы Полный объем диссертации составляет 120 страниц Из них 10 занимает список использованных источников, содержащий 150 наименований Общее количество иллюстраций - 50

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обсуждается тематика проведенных в диссертации исследований и обосновывается их актуальность Обосновывается актуальность проблемы моделирования механического поведения наноматериалов и нанокомпозитов При этом отмечается особое значение углеродных наноматериалов как в практическом применении, так и в формировании теоретических основ моделирования Приводятся общие сведения об их структуре и составе Отмечается практическая важность использования углеродных нанотрубок, как элементов материалов и элементов конструкций, так и элементов измерительных систем

Приводится обзор экспериментальных работ по измерению механических свойств углеродных наноматериалов Обзор известных моделей и методов численного моделирования механических свойств углеродных наноматериалов Обсуждается метод молекулярной динамики применительно к моделированию поведения атомных систем Связанный с этим методом, дискретно-континуальный подход, развит в последующих главах диссертации Отмечены преимущества использования дискретно-континуального подхода в разработке моделей деформирования и разрушения наноматериалов и нанокомпозитов

Первая глава содержит основные положения, принимаемые при моделировании наноматериалов и элементов нанокомпозитов как дискретных атомных систем Отмечаются предположения атомистических моделей относительно интерпретации межатомных взаимодействий в виде набора потенциалов Рассматриваются полуэмпирические и эмпирические межатомные потенциалы, связанные с решением задачи о движении системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц, которая хорошо известна в классической механике под названием задачи двух тел В том числе рассмотрен потенциал Леннард-Джонса, описывающий нековалентные Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия Отмечается необходимость параметризации потенциалов для различных материалов Приводятся также некоторые преобразованные формы потенциалов как упрощающие, так и обобщающие Указываются распространенные силовые поля - таблицы параметров для практически всех видов атомов, а также осуществлен выбор силового поля для дальнейшего исследования различных соединений углерода

Обсуждается подход многомасштабного моделирования наноматериалов через построение иерархических моделей, содержащих несколько масштабов моделирования На примере построения дискретно-континуальной модели деформирования наноматериалов в следующей главе рассмотрен один из

способов перехода от атомистических моделей к континуальным, позволяющий реализовывать многомасштабное моделирование.

Описан механизм образования дефектов Стоуна-Уэльса (Stone-Wales) в нанотрубках Указаны работы других исследователей, содержащие данные по энергетике дефектов и предпочтительным сценариям развития дефектов для нанотрубок и графитовых плоскостей В указанных работах моделирование велось методом молекулярной динамики

В заключении к первой главе отмечена важность метода молекулярной динамики в моделировании наноматериалов и напоминается, что стержневая система является дискретно-континуальным мезообъектом иерархической системы и упрощает исследование макроскопических тел, например, нанотрубок и нанокомпозитов В отличие от атомной модели, положение узлов стержневой системы не связано с тепловым колебательным движением, что также является преимуществом

Во второй главе описываются разработанные дискренто-континуальнык модели нанообъектов, учитывающие их атомную структуру Приведены принципы построения моделей отдельных нанообъектов и их систем

Для углеродных материалов формулируется дискретно-континуальный подход, основанный на возможности построения эквивалентной стержневой модели Так, пользуясь физическими принципами метода молекулярной динамики, принимается, что полная колебательная потенциальная энергия наноматериалов складывается из пяти сумм парных межатомных взаимодействий

E=EEP+ZEe+EEtor+EEW+SEVdW о)

связи связи связи связи связи

где Ер- энергия растяжения связи, Еб- энергия изменения угла между

EVdW " т-> tor

, - энергия нековалентных взаимодеиствии, Е -энергия выхода связей из плоскости, сопровождающегося их кручением, Еш-энергия изгиба плоскости, за счет изменения л -электронной плотности

Для моделирования нанотрубок в большинстве случаев существенными являются лишь первые две степени свободы Третья сумма (Е'ог), энергия кручения, мала, и ею можно пренебречь

Для того чтобы перейти от дискретной атомной модели к стержневой, нужно учесть все существенные парные взаимодействия в структуре и заменить их эквивалентными стержнями

Энергия растяжения ковалентной связи Ер равна энергии деформации стержня, соединяющего пару атомов

Ер =Кр(р-Р)2 (2)

Здесь Р - начальное, ар- деформированное межатомное расстояние Коэффициент Кр для выбранных атомов получают измерением изменения энергии системы из двух атомов, выведенной из равновесного состояния Величина Кр зависит от выбранного силового поля и формы расчетного потенциала

Энергия изменения угла между соседними связями атома Е является характеристикой атома - за счет валентности и гибридизации, и типов его двух соседей, поэтому зависит от изменения угла, с учетом взаимодействия соседей

Ее=Кв(б-0)2 (3)

Здесь © - начальное, а 9 - деформированное значение угла Для стержневой модели энергия деформации зависит только от деформаций самих стержней, но не от изменения углов между ними Однако зависимость Ее от угла можно преобразовать и получить выражение для полной энергии учитывающее первые две степени свободы в виде энергии деформации стержневой системы

Е = X К'(г;-И°)2+ £ ^(г„Ь-11ь)2 (4)

стержни «Ап стержни )

Вид этой системы линейно-упругих стержней двух типов приведен на рисунке 1

Л

Химические связи

Рисунок 1 Вид модели из стержней двух типов

Стержневая модель с точечными шарнирами

Таким образом, покрыв всю гексагональную плоскость двумя типами стержней, получим модель, которая будет деформироваться так же, как атомная система в модели молекулярной динамики Сформулированный в этом разделе подход к построению стержневых систем, эквивалентных атомным, используется в дальнейшем при моделировании конкретных наноструктурных объектов и материалов, наполненных наночастицами

Далее в диссертации предложен метод построения стержневой системы, путем добавления стержней третьего типа, моделирующих изменение энергии атомной системы гексагональной решетки углерода при изгибе графеновой плоскости Показано, что Ем- энергия изгиба плоскости, за счет изменения к-электронной плотности, может моделироваться линейно-упругими стержнями,

даже при значительном изгибе Для более точного учета этой энергии, предлагается использовать нелинейно-упругие стержни

Развиваемый подход далее расширен на стержневые системы с нелинейно-упругими элементами Это позволяет строить модели атомных систем, как с отдельными Ван-дер-Ваальсовыми нековалентными взаимодействиями, так и учитывать нелинейность ковалентных взаимодействий в ходе деформирования и разрушения модели Таким образом, появляется возможность моделировать молекулярные системы, такие как системы графеновых плоскостей, подобные графиту, системы углеродных нанотрубок, известные как лес нанотрубок, а также взаимодействия наночастиц с матрицей нанокомпозита

Отмечаются особенности построения молекулярных систем, связанные с принципами генерации стержневой системы, описывающей взаимодействия между молекулами потенциалом Леннард-Джонса

В программе, в которой реализовывалось численное моделирование, для расчетов выбраны конечные элементы стержневого типа Начальными данными для таких элементов являются характеристика материала - кривая напряжение-деформация, площадь поперечного сечения элемента и начальная деформация Зависимость для напряжения от деформации рассчитывалась предварительно на основе аналитической формулы потенциала взаимодействия

Слоистая атомная система строится на основе одной молекулы- плоского слоя - фрагмента гексагональной плоскости в виде системы линейно-упругих стержневых элементов двух типов Последующие слои создаются с учетом гексагональной симметрии кристаллической решетки графита Межслойные взаимодействия моделирует пространственная сеть нелинейно-упругих стержневых элементов между молекулами Построение множества стержней, описывающих нековалентные взаимодействия атомов отдельных молекул, проводится по специально разработанному алгоритму

Приводится пример построенной стержневой модели слоистой системы -фрагмента гексагонального графита На рисунке 2 показана расчетная модель системы атомных слоев Число слоев в системе - 10, межслойное расстояние 3 5 А, межатомное в слоях - 1 42 А, длина слоя 340 64 А, ширина слоя 17 04 А, толщина слоистои модели 31 5 А На рисунке 3 более крупно показан фрагмент этой слоистой системы

(5)

Рисунок 3. Фрагмент системы слоев

Приводится пример построенной стержневой модели системы нанотрубок. На рисунке 4 показана расчетная модель системы нанотрубок, соответствующая фрагменту аналогичного массива углеродных нанотрубок.

Рисунок 4. Расчетная модель системы нанотрубок

В ходе деформирования образцов, возможно достижение предельных состояний и разрушение. Критерий разрушения может быть выбран, исходя из природы этого явления. Основным критерием может служить достижение предельной деформации отдельным элементом дискретной модели. В случае

атомной модели - это разрыв одной межатомной связи - ковалентной, в случае разрыва отдельной молекулы, и Ван-Дер-Ваальсовой, в случае разрыва между молекулами Разрушение элемента, описывающего ковалентное взаимодействие двух атомов углерода, будет происходить при достижении элементом предельной деформации £^«19%, которая определяет

максимальные напряжения в элементе.

Механизм разрушения углеродных наноматериалов в рамках дискретно-континуального подхода анализируется в последующих главах на примере растяжения однослойной углеродной нанотрубки

В третьей главе описаны основные методы исследования разработанных моделей Ставятся задачи для дальнейшего численного моделирования деформирования и разрушения разработанных моделей Приводится алгоритм разработанной расчетной программы Описывается метод моделирования дефектов структуры в создаваемых моделях

Отмечается возможность описания некоторых углеродных наноматериалов как трансверсально-изотропных сред Примером такой задачи может служить использование нанотрубок в качестве упрочняющих волокон в композиционных материалах Приведены соотношения, позволяющие получить полный набор упругих модулей для трансверсально-изотропной среды путем проведения численного моделирования пяти различных нагружений исследуемого объекта Это позволяет заменить нанообъект континуальной анизотропной средой, сохраняя его характеристики деформирования, а также сравнить полученные значения упругих модулей с известными макропараметрами подобных сред Приводится набор граничных условий для численного моделирования нагружений исследуемого нанобъекта

Далее формулируются основные модельные задачи Среди них получение модулей упругости нанотрубок Определение зависимости модуля Юнга нанотрубок от хиральности (киральности) Серия численных экспериментов по определению упругих характеристик однослойной углеродной нанотрубки как трансверсально-изотропного волокна Исследование модуля Юнга гексагональной плоскости и его зависимости от хиральности (способа вырезки прямоугольного образца) энергетическим методом Исследование устойчивости трубок различной длины и диаметров при сжатии Изучение отдельных и парных дефектов типа 5-7 в гексагональной плоскости в зависимости от хиральности (способа вырезки), оценка направления преимущественного образования новых дефектов Оценка изменения жесткости фрагмента гексагональной плоскости при появлении одной пары дефектов Задачи изгиба углеродной нанотрубки и системы гексагональных слоев Разрушение однослойной нанотрубки при растяжении Деформирование нанотрубки, погруженной в полимерную матрицу

В четвертой главе приведены результаты численного моделирования сформулированных задач

Для оценки влияния на модуль Юнга способа вырезания фрагмента, исследовались, как два предельных случая, образцы с углом хиральности 0° и

30° В каждом эксперименте по энергии деформации вычислялся модуль Юнга Полученные значения 1086-1096 ГПа говорят о том, что модуль Юнга модели графеновой плоскости от хиральности зависит слабо, и приближенно равен экспериментальному для графита Для выяснения зависимости модуля Юнга нанотрубок от хиральности была проведена серия экспериментов с нанотрубками типа «зигзаг», «кресло» и промежуточной хиральности Здесь была также выявлена слабая зависимость от хиральности

Когда нанотрубки используются в качестве упрочняющего наполнителя в полимерах, большое количество атомов нанотрубок вступают в связь с атомами полимерной матрицы Эти взаимодействия могут быть как ковалентными, так и Ван-дер-ваальсовыми Построена стержневая модель, позволившая оценить влияние внешних связей на упругие свойства нанотрубки (нановолокна) Для простоты был выбран случай, когда все атомы связаны с матрицей Внешнее взаимодействие моделировали стержни третьего типа, восстановленные по нормали к поверхности трубки из каждого атома По результатам сравнения случаев взаимодействия с матрицей различной жесткости можно сделать вывод, что при нековалентном взаимодействии с участием всех атомов нанотрубки значительного переноса нагрузки на матрицу не происходит Лишь с введением ковалентных взаимодействий можно ожидать заметного улучшения упругих свойств наполнителя

При моделировании потери устойчивости нанотрубок при сжатии и сравнении результатов расчета потери устойчивости на основе стержневой модели нанотрубки с расчетами по теории оболочек следует, что с удлинением нанотрубки критическая нагрузка уменьшается Однако устойчивость повышается с уменьшением радиуса трубки Трубки исследованных диаметров ведут себя скорее как полые оболочки, нежели как сплошные стержни При сравнении форм потери устойчивости трубок с отношением длины к радиусу больше и меньше 10, выявлено, что для более тонких и длинных трубок форма потери устойчивости близка к классической для сжатия упругих стержней, а для коротких трубок большего радиуса - для сжатия оболочек (рисунки 5, 6)

Образование дефекта в гексагональной плоскости является энергетически выгодным для образцов (нанотрубок и графитовых плоскостей), содержащих ковалентные связи не параллельные оси растяжения Наиболее подвержены этому явлению нанотрубки типа «кресло», наименее - «зигзаг» То же относится и к гексагональным плоскостям, которые эти нанотрубки образуют

При заданном направлении растяжения имеются предпочтительные (с точки зрения минимума потенциальной энергии рассматриваемого элемента трубки) направления взаимного расположения пар дефектов Растяжение велось в направлении, нормальном вектору хиральности вырезанного прямоугольного фрагмента По результатам вычислений энергетически выгодных вариантов выявлено предпочтительное направление развития новых дефектов Для образцов с углом хиральности 30°, предпочтительное направление нормально оси растяжения Найдено, что наличие одной пары дефектов снижает жесткость незначительно (модуль Юнга, вычисляемый энергетическим методом, снижается ~ на 1 %)

Рисунок 5. Сжатие тонких трубок

Проведено моделирование изгиба нанотрубок в случае консольного закрепления и в случае четырехточечного изгиба. В случае четырехточечного изгиба модели однослойной углеродной нанотрубки зона изгиба находится в середине модели. Наличие дефектов в модели, любая асимметрия или хиральность нанотрубки приводит к несимметричной деформации. Потеря устойчивости при таком изгибе происходит с образованием несимметричной формы (рисунок 7).

Рисунок. 7. Четырехточечный изгиб нанотрубки с последующей потерей устойчивости

Для модели гексагонального графита - системы гексагональных слоев, проведены расчеты изгиба в случае закрепления на одной грани модели, перпендикулярной плоскости слоев силой, приложенной к противоположной грани, направленной по нормали к плоскости слоев модели. Расчетная модель изображена на рисунке 8. В ходе численного эксперимента по изгибу, реализовался механизм локальной потери устойчивости, при котором в направлении нормали к плоскости закрепления зона изгиба гексагональных плоскостей не превышала двух гексагональных ячеек решётки.

Рисунок. 8. Расчетная модель системы гексагональных слоев

Такая форма деформированной модели обусловлена сильным различием свойств составляющих материал слоев и сравнительной слабостью межслойных взаимодействий

Проведен расчет деформирования образца углеродной нанотрубки до достижения предельной деформации отдельного элемента Вид образца приведен на рисунке 9

Указанная выше предельная деформация отдельного элемента (19%) была достигнута при деформации образца 17% Таким образом, можно считать, что разрушение образца произойдет при деформации 17%, что меньше предельной деформации его наиболее жестких элементов Рассчитанное значение кореллирует с рассчитанными значениями для одиночных нанотрубок, полученными методом молекулярной динамики (Т Belytschko, S Р Xiao, G С Schatz, and R S Ruoff,Phys Rev В 2002 65,235430-1)

Заметим, что отличие полученного значения предельной деформации нанотрубки отличается от экспериментального ~10-13 %, найденного в работе MF Yu (М F Yu, О Loune, М J Dyer, К Moloni, Т F Kelly, R S Ruoff, Science 2000 287, 637 ), что может быть связано с наличием в испытанной накотрубке дефектов структуры С другой стороны, имеются свидетельства, что и при деформации 16% в нанотрубке при нагружении еще не наблюдались эффекты разрушения

В главе пять иллюстрируется применение дискретно-континуальных моделей для моделирования схем испытаний нанотрубок до разрушения

Приводится описание алгоритмов и программ расчета для разработанных схем и типов устройств для проведения механических испытаний по определению характеристик деформирования и прочности нанообъектов Учитывается многообразие взаимодействий в составе стержневой системы и нелинейность отклика материала элементов системы

При моделировании условий закрепления нано- или микромасштабного образца учитываются особенности силового взаимодействия концевых частей образца с элементами крепления испытательного устройства, а также особенности геометрии элементов крепления

Для расчета растяжения по традиционной схеме нагружения (осевое растяжение) вид модели и граничных условий приведен на рисунке 10 Механическое испытание моделируется с использованием метода конечных элементов в рамках дискретно-континуального подхода, для расчета процесса деформирования образца при заданных граничных условиях

схеме

Рассчитаны характерные случаи деформирования по традиционной схеме выдергивания волокна из матрицы В результате расчетов получены характеристики отклика испытываемых образцов для разработанных схем испытаний

Проведено моделирование работоспособности компьютерной модели прототипа системы электронной спекл-интерферометрии на основе сопоставления данных виртуальных измерений перемещений с данными расчета деформирования наноструктурного образца - нанотрубки при одноосном растяжении

Глава шесть посвящена применению дискретно-континуального подхода к задачам описания механического поведения слоистой среды с наноструктурой

Предложен иерархический набор моделей слоистой среды с наноструктурой, выделены три уровня моделей, соответствующих трем уровням усреднения 1 атомарная модель Образец моделируется системой упругих стержней в рамках дискретно-континуального подхода, 2 модель дискретных слоев Каждый атомный слой моделируется эквивалентным упругим континуумом, а межслойные более слабые связи более податливыми слоями Образец моделируется слоистой средой с чередующимися жесткими и податливыми слоями, 3 континуальная модель слоистой среды Вся пачка слоев рассматривается как единый континуум, параметры которого определяются из эквивалентности деформации либо энергии при заданном напряженном состоянии соответствующими величинам для дискретной модели

Предложенная в третьей главе дискретно-континуальная модель системы 1-рафеновых слоев составляет первый уровень иерархии. Методом реализации однородных напряженных состояний (продольного и поперечного сжатия, сдвига) по дискретно-континуальной модели определен набор эффективных модулей, с помощью которых данную пластину можно описать как сплошную среду Полученный набор модулей соответствует трансверсально изотропному телу

Модель дискретных слоев (второй уровень) может использоваться при явном задании материалов слоев и соотношений адгезии, а может учитываться неявно, например, в виде положения о трансверсальной изотропии материала образца со слоистой наноструктурой В настоящем примере этот уровень учитывается неявно

Для решения задачи в рамках континуального подхода (третий уровень) разработана исследовательская программа для расчетов деформирования континуальных моделей методом конечных элементов, реализующая различные варианты аналитических моделей слоистых сред, для которых дано краткое единообразное представление Расчет в программе ведется методом конечных элементов с применением трехточечных и шеститочечных элементов Показано, что при переходе к одной из континуальных моделей с дополнительной степенью свободы подбором одного параметра континуальной модели (изгибной жесткости) можно добиться соответствия между дискретно-континуальным и континуальным подходом Сделаны выводы об установлении соответствия между уровнями в многоуровневой системе моделирования (дискретного решения и решения в рамках сплошной слоистой среды) Выполнено сравнение результатов моделирования двумя методами

В заключении сформулированы наиболее существенные научные результаты, полученные в диссертации-

1 Развит дискретно-континуальный подход, учитывающий нелинейность парных взаимодействий атомов в материале, как новый эффективный метод численного исследования механического поведения наноструктурных объектов, наноматериалов и элементов конструкций из них, материалов, наполненных наномасштабными частицами и микромасштабными частицами с наноструктурой, позволяющий учитывать нано- и микромасштабную структуру материала

2 Разработана дискретно-континуальная модель углеродной нанотрубки и графеновой плоскости, учитывающая ковалентные и Ван-дер-ваальсовы взаимодействия При деформировании эта модель ведет себя так же, как и атомная В ходе расчетов параметры геометрии, потенциалы взаимодействий и их константы выбирались характерными для углеродных наноматериалов

3 Для реализации предложенного подхода создана компьютерная программа, с помощью которой построены решения ряда модельных задач о деформировании и прочности наноструктурных объектов

4 В ходе численных экспериментов исследованы упругие свойства прямоугольных фрагментов гексагональной плоскости, вырезанных

разными способами, нанотрубок типа «зигзаг», «кресло», и произвольной хиральности Для одного типа нанотрубок («зигзаг») получен полный набор упругих модулей Вычисленные значения упругих модулей находятся в соответствии с опубликованными результатами реальных экспериментов, теоретическими расчетами и моделированием методами молекулярной динамики

5 Построены дискретно-континуальные модели деформирования систем нанотрубок и плоскостей гексагональной структуры, использующие их представление в виде эквивалентной совокупности конечных элементов (система стержневых элементов) Элементы с нелинейной диаграммой деформирования описывают нековалентные атомные взаимодействия

6 На моделях отдельных однослойных трубок и систем слоев гексагональной структуры исследованы задачи изгиба и потери устойчивости при изгибе Обнаружено различие форм потери устойчивости для нанотрубок с различным отношением длины к радиусу, определены условия перехода от одной формы к другой Выполнены модельные расчеты деформирования указанных систем с учетом геометрической нелинейности

7 Выполнено моделирование влияния дефектов структуры нанотрубок и графеновых плоскостей на характеристики их деформирования Исследованы пары дефектов графеновой плоскости в зависимости от взаимного расположения Подтверждены данные о существовании предпочтительного направления развития новых дефектов. Для модельного фрагмента графеновой плоскости это направление перпендикулярно прикладываемой растягивающей нагрузке Данная модель позволяет ставить более сложные задачи деформации, задачи возникновения и взаимодействия дефектов Модель можно также использовать как часть иерархических расчетных моделей

8 Предложена и исследована модель нанотрубки в матрице полимера Модель основана на представлении взаимодействий нанотрубки и полимера в виде набора стержневых элементов, нормальных к поверхности трубки, восстановленных из узлов дискретной модели нанотрубки Проведена оценка влияния характера взаимодействия нанотрубки и матрицы на осевую жесткость нанотрубки

9 Разработанные модели применены для исследования некоторых задач, связанных с разработкой схем механических испытаний наноструктурных объектов с целью определения их деформационных и прочностных характеристик Разработаны алгоритмы и программы, позволяющие моделировать процесс деформирования образцов-нанотрубок вплоть до разрыва с учетом различных типов граничных условий, отвечающих схемам растяжения одиночной нанотрубки и системы нанотрубок, погруженных в полимерную матрицу

10 Выбраны схемы испытаний по определению кривой деформирования, предельных характеристик деформирования и прочности нанотрубок, а также характеристик адгезии на границе соединения нанотрубка -

полимерная матрица Выполнены расчеты реализующие выбранные схемы

11 Разработаны специальные алгоритмы создания трехмерных моделей испытываемых образцов нанотрубок в полимерной матрице, условий их нагружения и закрепления Учитывается нелинейность отклика материала элементов системы Для реализации указанных алгоритмов в среде программирования Borland Delphi разработано программное обеспечение, позволяющее формировать расчетные модели геометрии образцов и условий их закрепления и нагружения с учетом выбранной схемы испытаний Механическое испытание да нее моделируется с использованием метода конечных элементов для расчета процесса деформирования образца при заданных граничных условиях В результате расчетов получены характеристики отклика испытываемых образцов для выбранных схем испытаний

12 Выполнено моделирование и сопоставительный анализ деформирования системы графеновых слоев в рамках дискретной модели, предложенной в работе, и известных континуальных моделей слоистых сред Дано краткое единообразное представление существующих континуальных моделей слоистых сред

13 Разработана исследовательская программа для расчетов деформирования континуальных моделей методом конечных элементов, реализующей различные варианты аналитических моделей слоистых сред

14 Проведены расчеты модельной задачи об изгибе многослойной пластины графеновых слоев в рамках дискретно-континуальной модели Проведено сравнение результатов этих расчетов с расчетами, выполненными на основе разработанной программы для различных континуальных моделей и различных расчетных алгоритмов и с результатами конечноэлементного моделирования, явно учитывающего слоистую структуру

15 Показано, что при решении модельной задачи об изгибе многослойной пластины графеновых слоев при переходе к континуальной модели с дополнительной степенью свободы подбором одного параметра континуальной модели (изгибной жесткости) можно добиться соответствия между дискретно - континуальным подходом и континуальной моделью слоистой среды

16 Проведенное исследование подтверждает возможности построения в рамках предложенных в диссертации дискретно-континуальных моделей зависимостей нагрузка-смещение для наномасштабных объектов с учетом структуры объекта, установления взаимосвязи феноменологических характеристик деформирования и прочности объекта (образца) с параметрами структуры и силового взаимодействия ее отдельных элементов, моделирования механических испытаний наноструктурных образцов

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в статьях,

препринтах ИПМех РАН, отчетах, представлены на конференциях

1 Гольдштейн Р В, Ченцов А В Дискретно-континуальная модель деформирования нанотрубок Препринт № 739, М ИПМ РАН, 2003, 67с

2 Гольдштейн Р В, Ченцов А В Дискретно-континуальная модель нанотрубки в изучении свойств нанокомпозитов В сб тезисов конференции Нанокомпозиты исследования производство и применение // Под редакцией А А Берлина, И Г Ассовского.М ТОРУС ПРЕСС 2004, с 103-104

3 Ченцов А.В Дискретно-континуальная модель деформирования нанотрубки// XXX Гагаринские чтения Международная молодежная научная конференция, г Москва, 6-10 апреля 2004 г Тезисы докладов М «МАТИ»-РГТУ им К Э. Циолковского, 2004, с 57-58

4 Гольдштейн Р В, Ченцов А В Дискретно-континуальная модель нанортубки// Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов 2004 Томск

5 Гольдштейн Р В, Ченцов А В Дискретно-континуальная модель нанотрубки Известия РАН МТТ 2005, № 4, с 57-74

6 Chentsov А V Discrete - continuum modeling of carbon nanomatenals Proc Int Conf "NENAMA1" NANO'05 Brno, Chech Republic, 8-10 November, 2005, p 225-228

7 Chentsov A V Discrete - continuum modeling of carbon nanomatenals Int Conf "NENAMAT" NANO'05 Abstract booklet Brno, Chech Republic, 8-10 November, 2005 p 63

8 Гольдштейн P В, Ченцов А В Дискретно-континуальная модель системы нанотрубок 14я Зимняя школа по механике сплошных сред ИМСС УрО РАН, Пермь, 28 02-03 03 2005 Тезисы докладов 2005, с 90

9 Ченцов А В Нелинейные взаимодействия в дискретно-континуальной модели углеродных наноматериалов XXXI Гагаринские чтения Международная молодежная научная конференция, г. Москва, 5-9 апреля 2005 г Тезисы докладов М «МАТИ»-РГТУ им К Э Циолковского, 2005, с 53-54

10 Ченцов А В Дискретно-континуальная модель в задачах изгиба углеродных наноматериалов XXXII Гагаринские чтения Международная молодежная научная конференция г Москва, 4-7 апреля 2006 г Тезисы докладов М «МАТИ»-РГТУ им КЭ Циолковского, 2006, с 168-169

11 А V Chentsov, R V Goldstein Deformation and limit states of carbon nanotubes under complex loading Proc European conference of fracture ECF16 Alexandroupolis Greece July 3-7 2006 CD Publication ISBN 1-4020-4971-4 6p

12 Chentsov A V, Goldstein R V Deformation and limit states of carbon nanotubes under complex loading In "Fracture of nano and engineenng materials and structures" // Proc of the 16th European Conference of Fracture, July 3-7, 2006 Greece ISBN 1-4020-4972-2 P 51-52

13 Ченцов А В Дискретно-континуальный подход в моделировании слоистых наноматериалов // IX Всероссийский Съезд по Теоретической и Прикладной Механике Аннотации докладов Т 3 Н -Новгород 22-28 августа 2006г С 215

14 А В Ченцов Дискретно-континуальный подход в моделировании деформирования графеновых плоскостей, графита, углеродных нанотрубок и их систем Препринт ИПМех РАН № 822, Москва, 2006,48с

15 К Б Устинов, А В Ченцов О применении метода конечных элементов к решению задач о деформировании слоистых сред в континуальной постановке Препринт ИПМех РАН № 823, Москва, 2006,32с

16 К Б Устинов, А В Ченцов О деформировании нанопластин углерода дискретное и континуальное моделирование Препринт ИПМех РАН № 824, Москва, 2006, 32с

17 Ченцов А В О деформировании нанопластин углерода дискретное и континуальное моделирование Международная молодежная научная конференция «XXXII Гагаринские чтения» г Москва, 3-7 апреля 2007г Тезисы докладов М «МАТИ»-РГТУ им КЭ Циолковского, 2007, с 118

18 А V Chentsov Discrete-continuum modelling of nanomatenals deformation and fracture 4th International Workshop on Nanocsiences and Nanotechnologies, 1618 July, 2007, Thessalomki, Greece

19 Ченцов А В О континуальном описании деформирования слоистых структур, численная реализация Международная конференция «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды», 27 августа - 1 сентября 2007 г, г Саратов, Из-во Саратовского ун-та, Россия

20 Р В Гольдштейн, А В Ченцов, Р М Кадушников, Н А. Штуркин Методы и метрологическое обеспечение механических испытаний нано- и микромасштабных объектов, материалов и изделий нанотехнологий // Российские нанотехнологии 2008 ТЗ N 1-2 22с

РАЗРАБОТКА ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ НАНОМАТЕРИАЛОВ

Ченцов Александр Викторович

Подписано к печати 18 03 2008 Заказ № 9-2008 Тираж 80 экз Отпечатано на ризографе Института проблем механики Российской академии наук 119526, Москва, пр-т Вернадского 101, к 1

ВВЕДЕНИЕ.

0.1 Общие сведения об углеродных наноматериалах.

0.2 Практическое применение углеродных нанотрубок.

03 Исследование свойств наноматериалов.

0.4 Экспериментальные работы.

0.5 Моделирование свойств нанотрубок — известные модели и методы.

О'.б Существующие подходы в атомистическом моделировании'.

Глава 1. Основы моделированишнаноматериалов как дискретных атомных систем.

1.1. Введение.

1.2" Основные предположения атомистических моделей^.

1.3' Полуэмпирические и эмпирические межатомные потенциалы.

1.4 Преобразованные потенциалы.

1.5 Параметризация потенциалов.

1.6 Многомасштабное моделирование.

1.7 Образование дефектов в нанотрубках.

2.2 Стержневая модель длягуглеродных наноматериалов.29

2.3 Подход дискретно-континуального моделирования.33

2.4 Энергия изгиба, к -связи, стержни типа-с.34

2.5 Стержневые системы^с нелинейнымиматериалами.38

2.6 Моделирование молекулярных.систем.41

2.7 Построение слоистой атомной системы.42

2.8 Построение системы нанотрубок.43

2.9 Разрушение дискретных моделей наноматериалов.45

2.10 Заключение.:.47

Глава 3. Основные методы исследования разработанных моделей.48

3.1 Введение.48

3;2 Алгоритм расчетной программы.49

3.3 Вспомогательные программы.55

3.4 Алгоритм построения соединенийщля нековалентных связей8.55

3.5 Трансверсально-изотропные среды .58

3.6. Метод исследования. Граничные условия численных экспериментов.61 ■ >

3;7 Модельные задачи.62

3.8 Заключение;.1.63

Глава 4. Результаты расчетов сформулированных задач»,.64

4.1 Введение:.64

4:2 Гексагональная плоскость.;.;.64

4.3 Нанотрубка. Получение модулей упругости.65

4.4 Модель трубки в матрице. Влияние матрицы на свойства трубки.67

4.5 Наблюдение формы потери устойчивости;.69

4:6 Сравнение результатов расчета потершустойчивости на основе, стержневой модели нанотрубки с расчетами по теории оболочек.71

4.7 . Дефекты в гексагональных плоскостиях.72

4.8 Особенности изгиба трубок и слоистых систем1.75

4:9 Деформирование системы нанотрубок.77

4.10 Разрушение нанотрубки при«растяжении.80

4Ш' Заключение.;.81

Глава 5. Применение дискретно-континуальных моделей в прототипах-метрологических'систем:.82

5.1 Введение. Схемы испытаний, модели, теоретические основы.82

5.2 Описание алгоритмов и программ расчета для разработанных схем и типов устройств-для проведения механических испытаний по определению характеристик деформирования и прочности нанообъектов.84

5.3 Примеры расчетных моделей.86

5.4 Заключение.92

Глава 6. Применение метода конечных элементов для решения задач о деформировании слоистых сред в континуальной постановке.93

6.1 Введение.93

6.2 Континуальная модель слоистой среды.95

6.3 Безмоментная модель ортотропного тела. Модель 2.97

6.4 Трансверсально изотропные модели. Модель 3.97

6.5 Использование МКЭ. Описание расчетной программы.98

6.6 Трёхточечный симплекс элемент.99

6.7 Шеститочечный элемент.99

6.8 Трёхточечный элемент с квадратичной аппроксимацией.99

6.9 Пример расчета деформирования нанопластины с использованием первой и третьей моделей.100

6.10 Заключение.106

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.107

Список использованных источников.111

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы моделирования всегда были актуальны при изучении механических свойств материалов с учетом их структуры, поскольку решение этих проблем приводит к количественным зависимостям макроскопических характеристик деформирования, прочности и сопротивления разрушению материала от параметров структуры.

Располагая указанными зависимостями, можно выполнять параметрическую оптимизацию при проектировании новых материалов, конструкций, способов испытаний.

В многообразии новых материалов особое место занимают материалы, имеющие наномасштабную структуру (наноматериалы) и материалы, наполненные наноструктурными частицами нано- и микромасштабов (нанокомпозиты). Этим материалам, как правило, присущи высокие значения характеристик деформирования, прочности и трещиностойкости, что обусловливает их перспективность для различных применений в промышленности.

Среди распространенных наноматериалов выделяются углеродные наноматериалы, такие как углеродные нанотрубки. Они могут выступать как в форме отдельных нанообъектов, так и в виде совокупностей или набора частиц, погруженных в матрицу другого материала.

С момента своего первого получения, углеродные нанотрубки остаются объектом постоянных научных исследований. От изотропных материалов их отличает особая регулярная атомная структура. Нанотрубкам свойственно редкое сочетание линейных размеров, удельного веса, деформационных и прочностных характеристик, поэтому они находят применение в технике и медицине.

В настоящее время, помимо углеродных, синтезированы нанотрубки и наностержни многих химических элементов (например, бора, висмута, кремния, германия), их нитратов и оксидов, однако именно углеродные нанотрубки отличаются простотой структуры и многообразием физических особенностей.

Для реальных экспериментов на наноструктурных нано- и микромасштабных объектах требуется сложная, высокоточная и дорогостоящая аппаратура. Схемы проведения экспериментов часто уникальны и инновационны в каждом конкретном случае. Поэтому, хотя количество выполненных лабораторных экспериментов и велико, они еще не отличаются многообразием. Отсутствуют стандартизованные схемы механических испытаний наноструктурных нано- и микромасштабных объектов. Отсутствует метрологическое обеспечение таких испытаний.

В этих условиях особую роль приобретает аналитико-численное моделирование механического поведения, в том числе механических испытаний, наноструктурных нано- и микромасштабных объектов.

Теоретические разработки в области описания и методов моделирования механических свойств наноматериалов и нанокомпозитов разнообразны и активно ведутся отечественными и зарубежными группами ученых. Цель указанных работ — создать базу для проведения численного моделирования процессов деформирования и разрушения наноматериалов и нанокомпозитов, что позволит устанавливать взаимосвязи между эффективными характеристиками деформирования, прочности и трещиностойкости на микро- и макроуровне и параметрами нано- и микроструктуры.

Теоретическое и численное моделирование тогда становится важным инструментом при проектировании наноматериалов и нанокомпозитов, позволяющим в ряде случаев восполнить недостаточность экспериментальных данных.

0.1 Общие сведения об углеродных наноматериалах

В 1991 г. японский ученый Иджима [1] впервые обнаружил нанотрубки в электронный микроскоп. Это открытие положило начало новому направлению в исследованиях углерода. Нанотрубки образовывались на углеродных электродах при электродуговом разряде в среде гелия под высоким давлением и температуре 3000°С. Достижения в технологии синтеза позволяют получать достаточно^ однородные нанотрубки в граммовых количествах. При диаметре порядка нанометра длина получаемых нанотрубок достигает микрон и более. Эти же структуры описывались в работе JI.A. Чернозатонского [2]

Идеальная нанотрубка - это цилиндр, полученный при свертывании плоской гексагональной решетки графита (графеновой плоскости) без швов. Взаимная ориентация гексагональной решетки графита и продольной оси нанотрубки определяет очень важную структурную характеристику нанотрубки, которая получила название хиральности (киральности) [3,4]. Хиральность характеризуется двумя целыми числами (ш, п), которые указывают местонахождение того шестиугольника сетки, который в результате свертывания должен совпасть с шестиугольником, находящимся в начале координат. Сказанное иллюстрирует рис. 1, где показана часть гексагональной* графеновой сетки, свертывание которой в цилиндр приводит к образованию однослойных нанотрубок с различной хиральностыо. Хиральность нанотрубкил может быть также однозначно определена углом а, образованным направлением сворачивания нанотрубки и направлением, в котором соседние шестиугольники имеют общую- сторону. Два индекса хиральности, m и п, а также длина нанотрубки* (в единицах длины или межатомных расстояний) полностью определяют идеальную нанотрубку.

Хиральность может влиять на степень анизотропии физических и механических свойств нанотрубок.

Рис. Г.

В отличие от алмаза, трехмерная кристаллическая структура которого предполагает, что у каждого атома четыре соседних располагаются в форме тетраэдра, графит имеет форму двумерного листа углерода. В этом случае каждый атом графеновой плоскости имеет по три ковалентные связи и один свободный электрон, поэтому нанотрубки проявляют и электрические свойства. В» зависимости от хиральности нанотрубки могут обладать как металлической проводимостью, так и полупроводниковыми свойствами.

Каждый атом графеновой плоскости ковалентно связан с тремя соседними. Но так как атом углерода четырехвалентен, четвертый валентный электрон остается свободным. Таким образом, свободные электроны гексагональной плоскости создают ненулевую плотность электронных облаков с обеих сторон плоскости. Это п -электронная плотность.

В органической химии соединения, обладающие такими свойствами, выделены в отдельный класс - ароматические соединения. Характерным представителем ароматических углеводородов является бензол. В бензольном кольце атомы углерода находятся на расстоянии 0.142 нм. Это расстояние приблизительно среднее между длиной одинарной и двойной связи атомов углерода. За счет ненулевой л -электронной плотности бензольное кольцо составляет в пространстве плоский шестиугольник. Графеновая плоскость целиком составлена из бензольных колец. Такое строение гексагональной плоскости обуславливает один из механизмов сопротивления изгибу (связанный с плотностью п -электронов).

Многослойные нанотрубки состоят из концентрических графитовых цилиндров с закрытыми обоими концами. Концевые закругления содержат помимо шестиугольников, конечное число пятиугольников. Слои в такой нанотрубке, как и в графите, находятся на расстоянии 0.34 нм (для нанотрубок диаметром менее 10 нм это расстояние увеличивается до 0.39 нм для диаметра ~2 нм [5]).

Согласно проведенной оценке, из нанотрубки можно создать самый длинный кабель в мире, 42 ООО км - от космической станции- до Земли, не создавая большой нагрузки за счет собственного веса и длины.

0.2 Практическое применение углеродных нанотрубок

Уже началось практическое использование нанотрубок в различных областях науки, техники [6] и химии [7]. Нанотрубки применяются в электронике малых масштабов. Так как от деформации у нанотрубки изменяется электрическое сопротивление, их можно применять в качестве датчиков деформаций или вибраций [8].

Химическая активность нанотрубок позволяет использовать их в производстве электрических батарей [9]. В-элементах питания нанотрубками заменяют электроды. Имеются положительные примеры создания литиевых батарей, в которых нанотрубки обладают емкостью до 650 мА-ч/г.

Благодаря высокой химической активности нанотрубки способны втягивать в себя другие атомы. Например, они применяются в проектах по хранению водорода [10]. Адсорбция водорода нанотрубками обратима - при комнатной температуре способно высвободиться до 80% водорода. Исследования, при различных температурах, давлениях и катализаторах говорят о том, что нанотрубки имеют самую большую емкость хранения водорода среди^ всех углеродных материалов.

Ранние расчеты предполагали, что нанотрубки имеют сильные капиллярные свойства способные удержать внутри газы и жидкости [11]. Исследовалась возможность создания тончайших металлических проводов из нанотрубок, наполненных атомами металлов [12]. Ведутся разработки по созданию детекторов газов на основе нанотрубок (например, в NASA). Методом отжига.нанотрубок, наполненных оксидом-металла, были.получены провода, достигающие 1,2 нм в диаметре.

Нанотрубки находят применение и в вакуумной электронике. Полевая эмиссия является более привлекательным источником электронов по сравнению с термоэлектронной эмиссией. Материалы с полевой электронной эмиссией разрабатывались для таких технологических применений как плоскопанельные дисплеи, электронные пушки, электронные микроскопы, микроволновые усилители. Такие материалы должны обладать низким порогом эмиссии и стабильностью при больших плотностях тока. Плотности тока 1-10 мА/см2 нужны для дисплеев Л

13], и плотности более 500 мА/см требуются для микроволновых усилителей. Углеродные нанотрубки обладают как раз требуемыми характеристиками - порогом эмиссии 1-3 В/м"6 при плотности тока 10 мА/см и стабильны при плотностях тока 1 А/см". Такое применение нанотрубок было впервые продемонстрировано в 1995 г. [14]. В 1998 г. в Японии компания Ice Electronic Со. создала лампы с углеродными нанотрубками в качестве катодов [15], которые обладают вдвое большей интенсивностью свечения по сравнению с обычными термоионными катодно-лучевыми трубками при одинаковых условиях. В 1999 г. компания Samsung [16] создала прототип цветного дисплея на нанотрубках с полевой эмиссией. При этом использовались полоски композита из эпоксидной смолы с нанотрубками.

В исследованиях материалов атомным силовым микроскопом нанотрубки также могут быть полезными. Если к игле микроскопа присоединить нанотрубку, или вырастить ее сразу на игле, получится пробная игла диаметра нанотрубки. Такая игла помимо повышенной разрешающей способности обладает и повышенной надежностью. Высокая прочность нанотрубки1 и способность изгибаться предохраняют иглу от случайных микроударов [17]. Такие иглы применяются и в нанолитографии [18].

В химии и биологии применяются нанотрубки с присоединенными функциональными группами. С их помощью измеряют силы некоторых химических взаимодействий, получают картины химической активности материалов.

Было-показано, что при малых напряжениях (несколько вольт), приложенных к полоскам слоистых (с полимером) листов из нанотрубок с электролитом, листы сильно изгибаются подобно механизму работы мускулов [19].

Наиболее важным применением нанотрубок, основанным на их механических свойствах, является упрочнение композиционных материалов. Несмотря на то, что полимеры с нанотрубками в качестве наполнителя это очевидная область применения, не так много успешных экспериментов, отражающих преимущества использования нанотрубок в качестве наполнителя над обычным углеволокном. Главная проблема состоит в получении хорошего сцепления между нанотрубками и полимерной матрицей и достижении хорошей передачи нагрузки от матрицы нанотрубкам при нагружении. Во-первых, нанотрубки атомарно гладкие и имеют почти те же диаметры и отношения длина/диаметр, как и полимерные цепи. Во-вторых, нанотрубки почти всегда организованы в совокупности, воспринимающие нагрузку не как отдельные нанотрубки. Опубликованы противоречивые данные об адгезионной прочности нанотрубок с матрицей в нанокомпозитах [20,21,22,23,24,25].

Для максимального эффекта упрочнения нанокомпозита клубки нанотрубок нужно разбить, а нанотрубки распределить или переплести [26]. Упрочнение композита нанотрубками увеличивает прочность композита, поглощая энергию за счет своей гибкости и упругости. Увеличение прочности на разрыв на 25% наблюдалось у нанокомпозита с 5% нанотрубок по весу [27]. Низкая- плотность нанотрубок очевидно является преимуществом полимерных нанокомпозитов по сравнению с композитами, упрочненными коротким углеволокном. Нанотрубки также дают материалу повышение электропроводности, и улучшают поведение композита при сжимающих нагрузках по сравнению с обычным углеволокном за счет гибкости и меньшей склонности нанотрубок разрушаться при сжимающих нагрузках.

0.3 Исследование свойств наноматериалов

Для реальных экспериментов над нанотрубками требуется сложная и высокоточная аппаратура. Поэтому, хотя количество экспериментов, проведенных в лабораториях по всему миру и велико, они не отличаются многообразием. Это относится и к другим видам наноматериалов, так как эти эксперименты сложны и дороги, а схемы проведения экспериментов часто уникальны и инновационны в каждом конкретном случае.

Однако теоретические разработки в области описания механических свойств наноматериалов и методов их моделирования разнообразны и активно ведутся отечественными и зарубежными группами ученых. Эти работы составляют базу для проведения численного моделирования процессов деформирования наноматериалов, что позволяет ставить практически любые эксперименты на уровне атомов, то есть учитывать неоднородность материала на наномасштабе. Теоретическое и численное моделирование тогда становится альтернативным методом исследования, который позволяет решать новые задачи и проводить численные эксперименты, где-то опережая реальные эксперименты, а где-то восполняя пробелы в многообразии'возможных реальных экспериментов.

Актуальность диссертации обусловлена, в связи с этим, потребностью в новых эффективных моделях и методах моделирования наноматериалов и наномасштабных элементов конструкций.

Целью диссертации является разработка дискретно-континуальных моделей деформирования и разрушения наноматериалов, на примере углеродных наноматериалов, таких как нанотрубки, фрагменты графеновых плоскостей, системы нанотрубок, системы графеновых слоев, подобные графиту, а также в применении разработанных моделей для численного моделирования процессов деформирования и разрушения, указанных объектов

Многие характеристики наноматериалов еще недостаточно изучены (например, упругие свойства, прочность, влияние структуры на свойства) в силу трудностей в проведении экспериментов и из-за неприменимости общих аналитических подходов сплошной среды. Однако уже известно большое количество экспериментальных работ и развиты методы численного моделирования. Тем не менее, не все методы моделирования одинаково применимы ко всем видам наноматериалов.

0.4 Экспериментальные работы

Механические свойства нанотрубок являются пределом для всех углеродных волокон.

Традиционное углеволокно [28] примерно в 50 раз прочнее стали (по соотношению прочность/плотность) и широко используется в упрочнении композитов. Поэтому разработка еще более многообещающих композитов на основе нанотрубок, несомненно, востребована.

Ранние теоретические работы и недавние эксперименты на единичных нанотрубках подтвердили, что нанотрубки являются одним из наиболее жестких материалов[29,30,31,32,33]. Ковалентная связь углерод-углерод одна из самых сильных в природе, а регулярная структура из таких связей, располагающихся вдоль оси нанотрубки, должна быть чрезвычайно прочным материалом. Согласно теоретическим оценкам, модуль Юнга однослойных нанотрубок достигает 1 ТПа [30], что соответствует тому же для графита в направлении базовых плоскостей. Для многослойных нанотрубок на жесткость влияет относительное скольжение графеновых цилиндров. Для некоторых многослойных нанотрубок была получена оценка предела прочности

34]. Разрыву трубки соответствовало взаимное скольжение слоев и разрыв отдельных цилиндров.

Большинство экспериментов подтверждают теоретическое значение модуля Юнга — около 1 ТПа. Теоретическая прочность для однослойных нанотрубок составляет 300 ГПа. Наилучшие экспериментальные значения для многослойных нанотрубок — до 50 ГПа [34], что все еще на порядок больше прочности углеволокна.

Существует некоторое количество экспериментальных данных по углеродным нанотрубкам

35]. Например, Трейси [36] получил модули Юнга нанотрубок посредством наблюдения в электронный микроскоп тепловых колебаний многослойных нанотрубок. Были получены значения в широком диапазоне от 0.40 до 4.15 ТПа со средним значением 1.8 ТПа. Киршман [37] также использовал электронный микроскоп, наблюдая тепловую вибрацию однослойных нанотрубок при комнатной температуре, и получил модули Юнга в диапазоне от 0.90 до 1.70 ТПа, со средним значением 1.25 ТПа. Вонг [38], Сальвета [39] и Томблер [40] использовали иглы атомных силовых микроскопов в сканирующем электронном микроскопе. Диапазон полученных модулей Юнга составил от 0.27 до 0.95 ТПа. Мастлер [41] изучал нанотрубки на электродах при сжатии при помощи сканирующего силового микроскопа и получил модуль упругости многослойных нанотрубок до 1 ТПа, в то же время микроспектроскопия нанотрубок при сжатии, вызванном охлаждением, дало оценку от 2.8 до 3.6 ТПа для однослойных и от 1.7 до 2.4 ТПа для многослойных нанотрубок (Лурье и Ю [42]). В отличие от перечисленных применений микроскопов, Пан [43] напрямую измерил модуль Юнга углеродных нанотрубок в экспериментах по растяжению пучков очень длинных многослойных параллельных нанотрубок и сообщил о более низких модулях - от 0.22 до 0.8 ТПа.

Отметим, что определение модуля Юнга однослойных нанотрубок весьма условно в силу интерпретации однослойной атомной системы. Так в ходе эксперимента для эквивалентной континуальной модели нанотрубки одинаково могут использоваться как представление трубки в виде сплошного стержня, так и в виде полой цилиндрической оболочки.

0.5 Моделирование свойств нанотрубок - известные модели и методы

Существуют обширные работы по атомистическому изучению модуля Юнга нанотрубок.

Робертсон [44] использовал в своих исследованиях однослойных нанотрубок метод молекулярной динамики с потенциалом межатомного'взаимодействия.для углерода (Терсофф-[45] , Бреннер [46,47]) и функционал локальной плотности и получил модуль Юнга около 1.02 ТПа., Межатомный потенциал Терсоффа> и Бреннера использовался также и в других работах по молекулярной динамике. Результаты имеют широкий разброс. Например, 1.07 у Якобсона [30], 0.8 ТПа у Корнуэлла и Билля [48], 0.44-0.50 ТПа у Халичиоглу [49]. Есть также работы, в которых использовались другие потенциалы — потенциал Китинга, сумма парных гармонических потенциалов. Учет растяжения связей и изменения взаимного угла были взяты за основу в работе Оверни [50], Лу [51], и Прилютского [52] соответственно. Ими были получены модули Юнга 1.5 ТПа (Оверни), 0.97 ТПа (Лу), 1.1-1.2 ТПа '(Прилютский). Лу также получил немного больший модуль Юнга (0.97-1.11) для многослойной-нанотрубки. Попов [53] опрделил модуль Юнга нанотрубки равным 1 ТПа, используя преобразования Борна и Хуанга [54] для динамической модели решетки (Попов [55]). Методы закрепления с предварительным натяжением также дают разброс в значениях модуля Юнга однослойных нанотрубок от 0.67 ТПа (Молина [56]) до-1.26 ТПа (Эрнандес [57,58] , Гозе ' [59], Ваккарини [60]). Вычисления от первых принципов, основанные на псевдопотенциалах дают модуль Юнга от 0.95* до 1.19 ТПа, в то же время мультипликативный интегральный подход Ван Лиер [61] дает модули от 0.75 до 1.18 ТПа. Жоу [62] в своей работе по методу линейной комбинации атомных орбиталей и группе молекулярных орбиталей получил модуль Юнга 0.76 ТПа.

Есть, тем не менее, и небольшая группа континуальных исследований нанотрубок, так как считалось, что механика сплошных сред не применима к атомному или нанометровому масштабу.

В работе [68] проведены исследования применимости континуальной балочной теории к описанию деформирования углеродных нанотрубок. Выделены области геометрических параметров нанотрубок, в которых возможно их моделирование оболочками или стержнями.

В некоторых исследованиях углеродные нанотрубки моделируются либо как цилиндрическая оболочка (Якобсон [30], Ру [63,64,65]) , луч (Лиу [66]) или многостержневая система (Одегар [67]). Два критичных параметра модели оболочки, а именно модуль упругости и толщина оболочки, определялись подбором жесткости на изгиб и растяжение близкой к значениям, полученным в модели молекулярной динамики. Соответствующий режим деформации при сжатии, предсказываемый моделью линейно упругой оболочки практически соответствовал атомному моделированию нанотрубок. Подробнее об этом будет сказано далее.

Известны работы по моделированию прочностных свойств пограничных слоев системы углеродные частицы — полимер путем численного квантовомеханического моделирования [69], представляющие метод количественной оценки прочности межфазного (пограничного) слоя в гетерогенной композитной среде из первых принципов. Моделирование кластеров и полимеров как мезоскопических композитных систем [70].

Молекулярно-динамическое исследование деформирования наноструктур и расчет их термодинамических свойств проводилось в работах [71,72].

Работы по решению задач динамического деформирования и выпучивания наноструктур, основанные на решении нелинейных уравнений молекулярной механики, например [73].

0.6 Существующие подходы в атомистическом моделировании

Основным методом моделирования поведения атомных систем является метод молекулярной динамики [74]. В этом методе вычисление значений координат и скоростей проводится с помощью алгоритмов интегрирования уравнений движения с заданными условиями, основанных на схеме Верле [75]. Определяющими при этом являются набор потенциалов взаимодействия и их параметры, зависящие от типа взаимодействующих атомов.

Отдельное развитие получили квантовые^ методы молекулярной динамики, в которых вводятся различные эффективные потенциалы. К этим методам относятся:

- метод функционала плотности [76]

- метод и теория псевдопотенциала [77]

1 метод итерационной диагонализации [78]

- метод суперъячейки [79]

Эти методы служат для того, чтобы свести многочастичную заадачу движения всех атомных электронов в поле всех ионов к задаче движения валентного электрона в эффективном поле ионного остова и внутренних электронов. Хотя квантовые методы и позволяют исследовать электрические свойства нанообъектов, они достаточно ресурсоемки и сложны в реализации. Поэтому в диссертации предлагается развить дискретно-континуальный подход на основе метода молекулярной динамики и его набора потенциалов взаимодействий.

Действительно, гармонический потенциал соответствует потенциальной энергии деформации линейно упругого стержня, соединяющего пару взаимодействующих атомов. Тогда, как будет показано в Главе 2, для произвольной графеновой плоскости (нанотрубки или их систем) можно построить дискретную стержневую систему, эквивалентную атомной модели при одинаковых условиях нагружения. Применительно к структурам масштаба нанометра, этот подход предложен в NASA Г.М. Одегаром (2001г.) [67] и его коллегами применительно к углеродным наноматериалам и реализован в предположении о линейно-упругом поведении элементов эквивалентной стержневой системы. Ими исследована деформация' графита и нанотрубок, получены модули Юнга и сдвига. Этой же группе авторов удалось. сравнить свои результаты с моделированием методом молекулярной динамики и тем самым подтвердить справедливость своего подхода для малых деформаций элементов системы. Деформации, полученные обоими методами, оказались близкими, а упругие модули - соответствующими известным экспериментальным данным. Позднее этот подход пересматривался в работе А.У.Т. Леонга [80], где были получены аналогичные результаты для некоторых частных случаев механических испытаний указанных наноматериалов и введен параметр, определяемый по условиям задачи.

Дискретно-континуальный подход Г.М. Одегара [67] развивается в настоящей диссертации с учетом нелинейностей парных взаимодействий атомов в наноматериале.

В связи с этим отметим работы, в которых исследованы условия применимости континуального описания к системам, состоящим из небольшого количества атомных слоев. Механические характеристики наноразмерных объектов рассмотрены в работах А.М.Кривцова, Н.Ф.Моорзова [81,82] и подытожены в монографии А.М.Кривцова [83]. В указанных работах отмечено влияние масштабного фактора на механические свойства моделируемого материала, связанное со спецификой внутренней структуры материала и проявлением дискретности на нанометровом масштабном уровне. На модели двумерной монокристаллической полосы имеющей гексагональную плотноупакованную (треугольную) решетку показано, что переход от нано- к макромасштабу приводит к соответствию рассчитываемых характеристик для данного материала в макроскопическом объеме без привлечения промежуточных моделей. При увеличении числа атомных слоев модули Юнга дискретной системы убывают, стремясь к макроскопическим модулям.

Вывод о том, что при увеличении количества атомных слоев упругие модули весьма быстро стремятся к макроскопическим значениям получен и в ряде других работ, проанализированных в статье Л.Г.Жу и Х.Хуанг [84]. Авторы отмечают, что в зависимости от вида принятого потенциала взаимодействия возможно стремление модуля упругости дискретной системы к макроскопическому модулю упругости как сверху, так и снизу.

Разрушение и поведение при значительной деформации также имеют свои особенности. Моделирование однослойных нанотрубок показало интересное поведение при деформации -сильно деформированные нанотрубки обратимо переходили в разные морфологические формы с резким высвобождением энергии. Нанотрубки могут претерпевать деформации, приводящие к уплощению, кручению и изгибу, а также к изменению знака кривизны поверхности нанотрубки в отдельных зонах. Они выдерживают большие деформации растяжения, не проявляя признаков разрыва. Обратимость деформаций, таких как изгиб, с образованием вмятин, была отмечена непосредственно для многослойных нанотрубок наблюдениями в электронный микроскоп [85]. Изгибная жесткость многослойных нанотрубок зависит от количества слоев, трубки с более тонкими стенками легче заворачиваются и уплощаются. Эта жесткость связана с особенностями изгиба графенового листа и способностью атомов углерода к структурной перестройке ковалентных связей (sp2-sp3 регибридизации) в зависимости от напряжения. Напомним, что ковалентно связанные атомы углерода в случаях sp3 и sp2 гибридизации образуют вокруг атома тетраэдр и плоский треугольник соответственно.

Используемый в диссертации подход основан на возможности построения дискретно-континуальных моделей наноструктурных объектов.

При построении указанных моделей используются данные о строении наноструктурного объекта как атомной системы с учетом совокупности межатомных взаимодействий, параметры и вид которых зависят от типа взаимодействующих атомов. Дискретно-континуальная модель представляет собой- стержневую модель, где параметры стержней подбираются из условия соответствия энергии деформации исходной атомной системы и эквивалентной ей стержневой системы.

В диссертации, в отличие от упомянутой выше работы [67], развит дискретно-континуальный подход с учетом нелинейности парных взаимодействий атомов в материале, что позволяет моделировать процессы деформирования при значительных деформациях, присущих наноструктурным объектам, определять предельные характеристики деформирования и условия разрушения. Учет нелинейностей позволяет также моделировать взаимодействие наноструктурного объекта с матрицей нанокомпозита, и наноструктурных объектов друг- с другом.

Научную новизну диссертации составляют следующие положения, выносимые на защиту:

Развит дискретно-континуальный подход, учитывающий нелинейность парных взаимодействий атомов в материале, как новый эффективный метод численного исследования механического поведения наноструктурных объектов, наноматериалов и элементов конструкций из них, материалов, наполненных наномасштабными частицами и микромасштабными частицами с наноструктурой, позволяющий учитывать нано- и микромасштабную структуру материала.

Разработаны новые дискретно-континуальные модели наноматериалов (модели углеродных нанотрубок, учитывающие нелинейные межатомные ковалентные и Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия, модели эффективного волокна для полимерного композита, наполненного нанотрубками, модели графеновой плоскости с дефектами структуры типа 5-7, модели систем графеновых слоев, учитывающие нелинейные межслойные взаимодействия).

В рамках дискретно-континуального подхода впервые поставлены, решены и детально исследованы задачи о деформировании и разрушении углеродных наноструктурных объектов.

Установлены закономерности и определены характеристики деформирования ряда наноструктурных объектов (нанотрубок, графеновых слоев и их систем, нанотрубок, взаимодействующих с матрицей).

Установлена зависимость формы потери устойчивости одиночных углеродных нанотрубок при сжатии от соотношения диаметра нанотрубки к ее длине. Определены предельные деформации нанотрубки при растяжении.

Проанализировано изменение упругих свойств нанотрубок в полимерной матрице, обусловленное взаимодействием с матрицей. Определено направление преимущественного образования новых дефектов типа 5-7 при растяжении графеновой плоскости.

Выполнено моделирование новой схемы испытания углеродных нанотрубок на прочность, предусматривающей их растяжение до разрыва в условиях, при которых нагружение передается на нанотрубку через полимерную матрицу; определены параметры схемы испытаний.

Разработана методика расчета деформирования пакета графеновых слоев в рамках дискретно-континуального подхода путем построения эквивалентной аналитической континуальной модели слоистой среды, параметры которой рассчитываются путем сопоставления с расчетами деформирования пакета слоев в рамках дискретно-континуального подхода. Данная методика реализована в виде специализированной расчетной программы, с использованием метода конечных элементов (для.трехточечных и шеститочечных элементов).

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и разработке наноструктурных. материалов, композитов, наполненных наноструктурными частицами и элементов конструкций и изделий из них, при разработке и моделировании схем механических испытаний наноструктурных -объектов.

В Главе 1 содержатся основные положения, принимаемые при моделировании наноматериалов и элементов нанокомпозитов как дискретных атомных систем. Отмечаются предположения атомистических моделей относительно интерпретации межатомных взаимодействий в виде набора потенциалов. Обсуждается подход многомасштабного моделирования наноматериалов через построение иерархических моделей, содержащих несколько масштабов моделирования. Описан механизм образования дефектов Стоуна-Уэльса (Stone-Wales) в нанотрубках.

В Главе 2 описываются разработанные дискренто-континуальнык модели, напообъектов, учитывающие их атомную структуру. Приведены принципы построения, моделей отдельных нанообъектов и их систем.

Для углеродных материалов формулируется дискретно-континуальный подход, основанный на возможности построения-эквивалентной стержневой модели. Развиваемый подход далее расширен на стержневые системы с нелинейно-упругими элементами. Это позволяет строить модели атомных систем, как с отдельными Ван-дер-Ваальсовыми нековалентными взаимодействиями, так и учитывать нелинейность ковалентных взаимодействий в ходе деформирования и разрушения модели. Описывается подход моделирования разрушения углеродных наноматериалов.

В Главе 3 описаны основные: методы исследования разработанных моделей. Ставятся задачи для дальнейшего численного моделирования деформирования и разрушения разработанных моделей. Приводится алгоритм разработанной расчетной программы. Описывается метод моделирования дефектов структуры в создаваемых моделях.

Отмечается возможность описания; некоторых углеродных наноматериалов как трансверсально-изотропных сред. Примером такой задачи может служить использование нанотрубок в качестве упрочняющих волокон; в композиционных материалах. Приведены соотношения, позволяющие получить полный набор- упругих модулей для трансверсально-изотропной среды путем проведения численного моделирования пяти различных нагружений исследуемого объекта. Это позволяет заменить нанообъект континуальной анизотропной средой, сохраняя его характеристики деформирования, а также сравнить полученные значения упругих модулей с известными макропараметрами подобных сред. Приводится набор граничных условий для численпого моделирования нагружений исследуемого нанобъекта.

Далее формулируются основные модельные задачи. Среди них получение модулей-упругости нанотрубок. Определение зависимости модуля Юнга нанотрубок от хиральности (киральности). Серия численных экспериментов по определению упругих характеристик однослойной углеродной нанотрубки как трансверсально-изотропного волокна. Исследование модуля. Юнга , гексагональной плоскости и его зависимости от хиральности (способа вырезки: прямоугольного образца) энергетическим методом. Исследование устойчивости трубок различной длины и диаметров при сжатии. Изучение отдельных и парных дефектов типа 5-7 в гексагональной плоскости в зависимости от хиральности (способа вырезки), оценка направления преимущественного образования новых дефектов. Оценка* изменения жесткости фрагмента гексагональной плоскости при появлении одной* пары, дефектов. Задачи^ изгиба углеродной нанотрубки и системы, гексагональных слоев. Разрушение однослойной; нанотрубки. при растяжении. Деформирование нанотрубки^ погруженной в полимерную матрицу.

В Главе 4 приведены результаты численного моделирования: сформулированных задач. Дано подробное описание, и анализ полученных зависимостей механических характеристик от параметров структуры и геометрии модельных образцов:

В: Главе 5 иллюстрируется применение дискретно-континуальных моделей для моделирования схем испытаний нанотрубок- до разрушения. Приведенные результаты демонстрируют возможность сочетания дискретно-континуального и континуального моделирования с целью получения взаимосвязи характеристик нагружения в макромасштабе с характеристиками прочности исследуемого наноструктурного объекта, помещенного в полимерную матрицу.

Глава 6 посвящена применению дискретно-континуального подхода к задачам описания механического поведения слоистой среды с наноструктурой. Показывается, что при переходе к одной из континуальных моделей с дополнительной степенью свободы подбором одного параметра континуальной модели (изгибной жесткости) можно добиться соответствия между дискретно-континуальным и континуальным подходом. Сделаны выводы об установлении соответствия между уровнями в многоуровневой системе моделирования (дискретного решения и решения в рамках сплошной слоистой среды). Выполнено сравнение результатов моделирования двумя методами.

Результаты диссертации были представлены на международных и всероссийских конференциях: Нанокомпозиты: исследования производство и применение (2004г.); Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (2004г.); Int. Conf. "NENAMAT". NANO'05 (2005г.); 14я Зимняя школа по механике сплошных сред (2005г.); European conference of fracture ECF16 (2006г.); IX Всероссийский Съезд по Теоретической и Прикладной Механике (2006г.); 4th International Workshop on Nanocsiences and Nanotechnologies (2007г.); XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды (2007г.); XXX Гагаринские чтения (2004г.); XXXI Гагаринские чтения (2005г.); XXXII Гагаринские чтения (2006г.); XXXIII Гагаринские чтения (2007г.).

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах:

Семинар имени академика А.Ю. Ишлинского при Научном совете РАН по механике систем и Научном совете РАН по проблемам управления движением и навигации (руководители: акад. В.Ф.Журавлев, акад. Д.М.Климов);

Семинар по механике сплошной среды им. JI.A. Галина (руководители: проф. В.М.Александров, проф. В.Н. Кукуджанов, проф. А.В.Манжиров) и Семинар по механике прочности и разрушения (руководитель: проф. Р.В. Гольдштейн) (Совместное заседание).

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Роберту Вениаминовичу Гольдштейну, Валентину Александровичу Городцову за полезные советы и постоянную помощь в работе. Автор благодарит Константина Борисовича Устинова, предложившего провести сравнение результатов расчетов по разработанным дискретно-континуальным моделям слоистых сред с рядом континуальных моделей, и Николая Михайловича Осипенко, за предложения по схеме испытаний нанотрубки, погруженной в полимерную матрицу, на разрыв.

Результаты исследования серии фрагментов приведены в таблице 2:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблемы моделирования- всегда были актуальны при изучении механических свойств материалов с учетом их структуры, поскольку решение этих проблем приводит к количественным зависимостям макроскопических характеристик деформирования, прочности и сопротивления разрушению материала от параметров структуры.

Располагая указанными зависимостями, можно выполнять параметрическую оптимизацию при проектировании новых материалов, конструкций, способов испытаний.

В настоящее время все большее развитие получают нанотехнологии, целью которых является создание материалов с наноструктурой или материалов наполненных наномасштабными частицами, обладающих повышенными механическими характеристиками (деформирования, прочности и сопротивления разрушению). В связи с этим возникают проблемы моделирования механического поведения указанных материалов и- наноструктурных объектов. Использование механических моделей и их численной реализации-позволяет изучать процессы деформирования и разрушения наноструктурных объектов, устанавливать количественные зависимости между эффективными деформационными и прочностными»характеристиками и параметрами структуры изучаемых объектов. Механико-численное моделирование позволяет во многом избежать проведения сложных экспериментов над образцами наноматериалов.

Разработанный в диссертации дискретно-континуальный подход имеет преимущества перед распространенными атомистическими методами моделирования как по объему вычислений, так и по возможности моделирования механического поведения многомасштабных структур и перехода процессов деформирования с наномасштаба на макро- и мезомасштабы.

Трудность решения поставленных в диссертации задач заключалась в том, что существующие методы расчета атомных систем, такие как метод молекулярной динамики, достаточно ресурсоемки, и сложны для анализа широкого спектра задач. Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и разработке наноструктурных материалов, композитов, наполненных наноструктурными частицами и элементов конструкций и изделий из них, при разработке и моделировании схем механических испытаний наноструктурных объектов.

Наиболее существенные научные результаты, полученные в диссертации: 1. Развит дискретно-континуальный подход, учитывающий нелинейность парных взаимодействий атомов в материале, как новый эффективный метод численного исследования механического поведения наноструктурных объектов, наноматериалов и элементов конструкций из них, материалов, наполненных наномасштабными частицами и микромасштабными частицами с наноструктурой, позволяющий учитывать нано- и микромасштабную структуру материала.

2. Разработана дискретно-континуальная модель углеродной нанотрубки и графеновой плоскости, учитывающая ковалентпые и Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия. При деформировании эта модель ведет себя так же, как и атомная. В ходе расчетов параметры геометрии, потенциалы взаимодействий и их константы выбирались характерными для углеродных наноматериалов.

3. Для реализации предложенного подхода разработаны алгоритмы и создана компьютерная программа, с помощью которой построены решения ряда модельных задач о деформировании и прочности наноструктурных объектов.

4. В ходе численных экспериментов исследованы упругие свойства прямоугольных фрагментов гексагональной плоскости, вырезанных разными способами, нанотрубок типа «зигзаг», «кресло», и произвольной хиральности. Для одного типа нанотрубок («зигзаг») получен полный набор упругих модулей. Вычисленные значения упругих модулей находятся в соответствии с опубликованными результатами реальных экспериментов, теоретическими расчетами и моделированием методами молекулярной динамики.

5. Построены дискретно-континуальные модели деформирования систем нанотрубок и плоскостей гексагональной структуры, использующие их представление в виде эквивалентной совокупности конечных элементов (система стержневых элементов). Элементы с нелинейной диаграммой деформирования описывают нековалентные атомные взаимодействия.

6. На моделях отдельных однослойных трубок и систем слоев гексагональной структуры исследованы задачи изгиба и потери устойчивости при изгибе. Обнаружено различие форм потери устойчивости для нанотрубок с различным отношением длины к радиусу, определены условия перехода от одной формы к другой. Выполнены модельные расчеты деформирования указанных систем с учетом геометрической нелинейности.

7. Выполнено моделирование влияния дефектов структуры нанотрубок и графеновых плоскостей на характеристики их деформирования. Исследованы пары дефектов графеновой плоскости в зависимости от взаимного расположения. Подтверждены данные о существовании предпочтительного направления развития новых дефектов.

Для модельного фрагмента графеновой плоскости это направление перпендикулярно прикладываемой растягивающей нагрузке. Данная модель позволяет ставить более сложные задачи деформации, задачи возникновения и взаимодействия дефектов. Модель можно также использовать как часть иерархических расчетных моделей.

8. Предложена и исследована модель нанотрубки в матрице полимера. Модель основана на представлении взаимодействий нанотрубки и полимера в виде набора стержневых элементов, нормальных к поверхности трубки, восстановленных из узлов дискретной модели нанотрубки. Проведена оценка влияния характера взаимодействия нанотрубки и матрицы на осевую жесткость нанотрубки.

9. Разработанные модели применены для исследования некоторых задач, связанных с разработкой схем механических испытаний наноструктурных объектов с целью определения их деформационных и прочностных характеристик. Разработаны алгоритмы и программы, позволяющие моделировать процесс деформирования образцов-нанотрубок вплоть до разрыва с учетом различных типов - граничных условий, отвечающих схемам растяжения одиночной нанотрубки и системы нанотрубок, погруженных в полимерную матрицу.

10. Выбраны схемы испытаний по определению кривой деформирования; - предельных характеристик деформирования и прочности нанотрубок, а также характеристик адгезии на границе соединения нанотрубка - полимерная матрица. Выполнены расчеты реализующие выбранные схемы.

11. Разработаны специальные алгоритмы создания трехмерных моделей испытываемых образцов нанотрубок в полимерной матрице, условий их нагружения и закрепления. Учитывается нелинейность отклика материала элементов системы. Для реализации указанных алгоритмов в среде программирования Borland Delphi разработано программное обеспечение, позволяющее формировать расчетные модели геометрии образцов и условий их закрепления и нагружения с учетом выбранной схемы испытаний. Механическое испытание далее моделируется с использованием метода конечных элементов для расчета процесса деформирования образца при заданных граничных условиях. В- результате расчетов получены характеристики отклика испытываемых образцов для выбранных схем испытаний.

12. Выполнено моделирование и сопоставительный анализ деформирования системы графеновых слоев в рамках дискретной модели, предложенной в работе, и известных континуальных моделей слоистых сред. Дано краткое единообразное представление существующих континуальных моделей слоистых сред.

13. Разработана исследовательская программа для расчетов деформирования континуальных моделей методом конечных элементов, реализующей различные варианты аналитических моделей слоистых сред.

14. Проведены расчеты модельной задачи об изгибе многослойной пластины графеновых слоев в рамках дискретно-континуальной модели. Проведено сравнение результатов этих расчетов с расчетами, выполненными на основе разработанной программы для различных континуальных моделей и различных расчетных алгоритмов и с результатами конечноэлементного моделирования, явно учитывающего слоистую структуру.

15. Показано, что при решении модельной задачи об изгибе многослойной пластины графеновых слоев при переходе к континуальной модели с дополнительной степенью свободы подбором одного параметра континуальной модели (изгибной жесткости) можно добиться соответствия между дискретно - континуальным подходом и континуальной моделью слоистой среды.

16. Проведенное исследование подтверждает возможности построения в рамках предложенных в диссертации дискретно-континуальных моделей зависимостей нагрузка-смещение для наномасштабных объектов с учетом структуры объекта, установления взаимосвязи феноменологических характеристик деформирования и прочности объекта (образца) с параметрами структуры и силового взаимодействия её отдельных элементов, моделирования механических испытаний напоструктурных образцов.

1. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. London. 1991. No. 354. P. 56-58.

2. З.Я. Коссаковская, JI.A. Чернозатонский, Е.А.Федоров. Нановолоконная углеродная структура // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т.56. с.26-30.

3. А.В. Елецкий. Углеродные нанотрубки. Успехи Физических Наук. 1997. Т. 167. с.945-972.

4. И.В.Золотухин. Углеродные нанотрубки // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. №3. с. 111-115.

5. Kiang С.Н. et al. Size Effects in Carbon Nanotubes // Phys.Rev.Lett. V.81. P. 1869-1872.

6. AjayanP.M., ZhouO.Z. Applications of Carbon Nanotubes // Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Avouris Ph. (Eds.): Carbon Nanotubes. Topics Appl. Phys. 2001. N. 80. P. 391- 425.

7. Kang S., Pinault M., Pfefferle L.D., Elimelech M. Single-walled carbon nanotubes exhibit strong antimicrobial activity// Langmuir .2007. V.23. P.8670-8673.

8. Brenner D.W., Schall J.D., Mewkill J.P., Shenderova O.A., Sinnott S.B. Virtual Design and Analysis of Nanometer Scale Sensor and Device Components // Journal of the British Interplanetary Society. 1998. N. 51. P. 137.

9. Gao В., Kelinhammes A., Tang X.P., Bower C., Wu Y., Zhou O. // Chem. Phys. Lett. 1999. N. 307. P.153.

10. Dresselhaus M.S., Williams K.A., Eklund P.C. // MRS Bull. 1999. V. 24. (11). P. 45.

11. Pederson M.R., Broughton J.Q. // Phys. Rev. Lett. 1992. N. 69. P. 2689.

12. Tsang S.C., Chen Y.K., Harris P.J.F., Green M.L.H. // Nature. 1994. N.372. P. 159.

13. Castellano J.A. Handbook of Display Technology. San Diego: Academic Press. 1992.

14. Rinzler A.G., HafnerJ.H., Nikolaev P., Lou L., Kim S.G., Tomanek D., Colbert D., Smalley R.E. // Science. 1995. N. 269. P. 1550.

15. Saito Y., Uemura S., Hamaguchi K. // Jpn. J. Appl. Phys. 1998. N. 37. L346.

16. Choi W.B., Chung D.S., Kang J.H., Kim H.Y., Jin Y.W., Han I.T., Lee Y.H., Jung J.E., Lee N.S., Park G.S., Kim J.M. // Appl. Phys. Lett. 1999. N. 75. P. 20.

17. Kim P., Lieber C.M. // Science. 1999. N. 286. P. 2148.

18. WongS.S., Woolley A.T., Odom T.W., Huang J.L., Kim P., VezenovD., Lieber C. // Appl. Phys. Lett. 1998. N. 73. P. 3465.

19. Baughman R.H., Cui С., Zhakhidov A.A., Iqbal Z., Barisci J.N., Spinks G.M.,. Wallace G.G, Mazzoldi A., Rossi D.D., Rinzler A.G., Jaschinski O., Roth S., Kertesz M. // Science. 1999.N. 284. P. 1340.

20. Ajayan P.M., Stephan O., Colliex C., Trauth D. Aligned Carbon Nanotube Arrays Formed by Cutting a Polymer Resin-Nanotube Composite // Science 1994. No. 265. P. 1212.

21. Wagner H.D., Lourie O., Feldman Y., Tenne R. Stress-induced fragmentation of multiwall carbon nanotubes in a polymer matrix // Appl. Phys. Lett. 1998. No. 72. P. 188-190.

22. Jin L., Bower C., Zhou O. Alignment of carbon nanotubes in a polymer matrix by mechanical stretching // Appl. Phys. Lett. 1998. V. 73. P. 1197.

23. Schadler L.S., Giannaris S.C., Ajayan P.M. Load transfer in carbon nanotube epoxy composites//Appl. Phys. Lett. 1999. N. 73. P. 3842.

24. Bower C., Rosen R., Jin L., Han J., Zhou O. Deformation of Carbon Nanotubes in Nanotube-Polymer Composites // Appl. Phys. Lett. 1999. No. 74. P. 3317.

25. Calvert P. Nanotube composites: A recipe for strength // Nature. 1999. No. 399. P. 210.

26. Ajayan P.M., Schadler L.S., Giannaris C., Rubio A. Mechanical response of carbon nanotubes in polymer nanocomposites // Adv. Mater. 2000. No. 12. P. 750.

27. Chang S., Doremus R.H., Ajayan P.M., Siegel R.W. unpublished results. : '

28. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Sugihara K., Spain I.L., Goldberg H.A. Graphite Fibers and Filaments. Berlin: Springer, Heidelberg. 1988.

29. Overney G., Zhong W., Tomanek D.Z. // Phys. D 1993. N. 27, P. 93.

30. Yakobson B.I., Brabec C.J., Bernholc J. Nanomechanics of carbon tubes: Instabilities beyond linear response// Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. N. 14. P. 2511.

31. Treacy M.M.J., Ebbesen T.W., Gibson J.M. //Nature. 1996 N. 381, P. 678.

32. E.W. Wong, P.E. Sheehan, C.M. Lieber // Science 277, 1971 (1997)

33. Yakobson B.I., Avouris Ph. Mechanical properties of carbon nanotubes. In: Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Avouris Ph. (Eds.) // Topics Appl. Phys. Carbon Nanotubes. 2001. V. 80. P. 287-329.

34. Yu M., Lourie O., Dyer M.J., Moloni K., Kelly T.F., Ruoff R.S. Strength and breaking mechanism of multiwalled carbon nanotubes under tensile load. // Science. 2000. N. 287. P. 637-640.

35. Zhang P., Huang Y., Geubelle P.H., Klein P.A., Hwang K.C. The elastic modulus of single-wall carbon nanotubes: a continuum analysis incorporating interatomic potentials. // International Journal of Solids and Structures. 2002.

36. Treacy M.M.J., Ebbesen T.W., Gibson J.M. Exceptionally high' Young's modulus observed for individual carbon nanotubes. // Nature. 1996. N. 381. P. 678-680.

37. Krishnan A., Dujardin E., Ebbesen T.W., Yianilos P.N., Treacy M.M.J. Young's modulus of single-walled nanotubes. // Physical Review B. 1998. N. 58. P. 14013-14019.

38. Wong E.W., Sheehan P.E., Lieber C.M. Nanobeam mechanics: elasticity, strength, and toughness ofnanorods and nanotubes. // Science. 1997. N. 277. P. 1971-1975.

39. Salvetat J.P., Briggs G.A.D., Bonard J.M., Bacsa R.R., Kulik A.J., Stoockli Т., Burnham N.A., Forro L. Elastic and shear moduli of single-walled carbon nanotube ropes. // Phys. Rev.Lett. 1999. N. 82. P. 944-947.

40. Tombler T.W., Zhou C., Kong J., Dai H., Liu L., Jayanthi C.S., Tang M., Wu S.Y. Reversible electromechanical characteristics of carbon nanotubes under local-probe manipulation. //Nature. 2000. N.405, 769-772.

41. Muster J., Burghard M., Roth S., Duesberg G.S., Hernandez E., Rubio A. Scanning force microscopy characterization of individual carbon nanotubes on electrode arrays. // Journal of Vacuum Science and Technology B. 1998. N. 16. P. 2796-2801.

42. Lourie O., Wagner H.D. Evaluation of Young's modulus of carbon nanotubes by micro-Raman spectroscopy. // Journal of Materials Research. 1998. N. 13. P. 2418-2422.

43. Pan Z.W., Xie S.S., Lu L., Chang B.H., Sun L.F., Zhou W.Y., Wang G., Zhang D.L. Tensiletests of ropes of very long aligned multiwall carbon nanotubes. // Applied Physics Letters.1999. N. 74. P. 3152-3154.

44. Robertson D.H., Brenner D.W., Mintmire J.W. Energetics of nanoscale graphitic tubules. // Physical Review B. 1992. N. 45. P. 12592-12595.

45. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems // Phys. Rev. B. 1988. No. 37. P. 6991-7000.

46. Brenner D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulation the chemical vapor deposition of diamond films // Phys. Rev. Ser. B. 1990. No. 42. P. 9458-9471.

47. Sinnott S.B., Shenderova O.A., White C.T., Brenner D.W. Mechanical properties of nanotubule fibers and composities determined from theoretical calculations and simulations // Carbon. 1998. V. 36. N. 1-2. P. 1-9.

48. Cornwell C.F., Wille L.T. Elastic properties of single-walled carbon nanotubes in compression. // Solid State Communications. 1997. N. 101. P. 555-558.

49. Halicioglu T. Stress calculations for carbon nanotubes. // Thin Solid Films. 1998. N. 312. P. 11-14.

50. Ovemey G., Zhong W., Tomanek D. Structural rigidity and low-frequency vibrational modes of long carbon tubules. // Zeitschrift fur Physik D: Atoms, Molecues and Clusters. 1993. N. 27. P. 93-96.

51. Lu J.P. Elastic properties of carbon nanotubes and nanoropes. // Physical Review Letters. 1997. N. 79. P. 1297-1300.

52. Prylutskyy Y.I., Durov S.S., Ogloblya O.V., Buzaneva E.V., Schar. P. Molecular dynamics simulation of mechanical, vibrational and electronic properties of carbon nanotubes. // Computational Materials Science. 2000. N. 17. P. 352-355.

53. Popov V.N., Van Doren V.E., Balkanski M. Elastic properties of single-walled carbon nanotubes. // Physical Review B. 2000. N. 61. P. 3078-3084.

54. Bom M., Huang K. Dynamical theory of the crystal lattices. Oxford University Press, Oxford. 1954.

55. Popov V.N., Van Doren V.E., Balkanski M. Lattice dynamics of single-walled carbon nanotubes. // Physical Review B. 1999. N. 59. P. 8355-8358.

56. Molina J.M., Savinsky S.S., Khokhriakov N.V. A tight-binding model for calculations of structures and properties of graphitic nanotubes. // Journal of Chemical Physics 1996. N. 104. P. 4652-4656.

57. Hernandez E., Goze C., Bernier P., Rubio A. Elastic properties of С and BxCyNz composite nanotubes. //Physical Review Letters. 1998. N. 80. P. 4502-4505.i

58. Hernandez E., Goze C., Bernier P., Rubio A. Elastic properties of single-wall nanotubes. // Applied Physics A: Materials Science and Processing. 1999. N. 68. P. 287-292.

59. Goze C., Vaccarini L., Henrard L., Bernier P., Hernandez E., Rubio A. Elastic and mechanical properties of carbon nanotubes. // Synthetic Metals. 1999. N. 103. P. 25002501.

60. Vaccarini L., Goze C., Henrard L., Hernaandez E., Bernier P., Rubio A. Mechanical and electronic properties of carbon and boron-nitride nanotubes. // Carbon. 2000. N. 38. P. 1681-1690.

61. Van Lier G., Van Alsenoy C., Van Doren V., Geerlings P. Ab initio study of the elastic properties of single-walled carbon nanotubes and graphene. // Chemical Physics Letters. 2000. N. 326. P. 181-185.

62. Zhou G., Duan W., Gu B. First-principles study on morphology and mechanical properties of single-walled carbon nanotube. // Chemical Physics Letters. 2001. N. 333. P. 344—349.

63. Ru C.Q. Effective bending stiffness of carbon nanotubes. // Physical Review B. 2000. N. 62. P. 9973-9976.

64. Ru C.Q. Elastic buckling of single-walled carbon nanotube ropes under high pressure. Physical Review B. 2000. N. 62. P. 10405-10408.

65. Ru C.Q. Axially compressed buckling of a doublewalled carbon nanotube embedded in an elastic medium. // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2001. N. 49. P. 12651279.

66. Liu J.Z., Zheng Q., Jiang Q. Effect of a rippling mode on resonances of carbon nanotubes. // Physical Review Letters. 2001. N. 86. P. 4843^1846.

67. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., WiseK.E. Equivalent-Continuum Modeling With Application to Carbon Nanotubes // NASA Langley Research Center: Technical Memorandum NASA/TM-2002-211454. 2002.

68. Harik V.M. Ranges of Applicability for the Continuum-beam Model in the Constitutive Analysis of Carbon Nanotubes: Nanotubes or Nano-beams? // NASA Langley Research Center. N AS A/CR-2001-211013. ICASE Report No. 2001-16. 2001.

69. Яновский Ю.Г., Никитина Е.А., Карнет Ю.Н., Валиев Х.Х., Лущекина С.А. Молекулярное моделирование мезоскопических композитных систем. Структура и микромеханические свойства. Физическая мезомеханика, 2005, т.8, №5, с.61-75.

70. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Молекулярно-дииамическое исследование столкновения нанокластеров друг с другом и с подложкой // Физическая мезомеханика 2007 -Т10. -№2. - с.5-13.

71. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Расчет термодинамических свойств наноструктур методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика — 2007 -Т10. -№5. -с.71-76.

72. Аннин Б.Д., Коробейников С.Н., Бабичев А.В. Компьютерное моделирование выпучивания нанотрубки при кручении // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11 N.1. С.3-22.

73. Allen М.Р. Tildesley D.J. Computer simulation of liquids. Oxford: Clarendon Press, 1989.

74. Verlet L. Computer experiments on classical fluids. I. Thermodynamic properties of Lennard-Jones molecules. Phys. Rev. 1967. V.159. P.98-103.

75. Kohn W., Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. V. 140, No.4A. P. 1133-1138.

76. Phillips J. С. Energy-band interpolation scheme based on a pseudopotential // Phys. Rev. 1958. V. 112. P. 685-695.

77. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density functional theory// Phys. Rev. Lett. 1985. V.55, No. 22. P. 2471-2474.

78. Askcroft N. W., Mermin N.D. Solid state physics. Philadelphia, 1976. P. 113.

79. Leung A.Y.T., Guo X., He X.Q., Kitipomchai S. A continuum model for zigzag single-walled carbon nanotubes //Appl. Phys. Lett. 2005. V.86. 083110

80. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов //Докл. РАН. 2001. Т.381. N.3. С.825-827.

81. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов// ФТТ. 2002. Т.44. N.12. С.2158-2163.

82. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2007. 304с.

83. Zhou L. G.,Huang Н. Are surfaces elastically softer or stiffer? // Appl. Phys. Lett. 2004. . V.84. P. 1940-1942

84. Ajayan P.M. //.Chcm. Rev. 1999. N. 99. P. 1787.

85. Маделунг О. Теория твердого тела. М.: Наука, 1980. 416 с.

86. Маррел Дж., Кеттл С., Теддер Дж. Теория валентности. М.: Мир, 1968. 520 с.

87. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965. 334 с.

88. Mie G. Zur Kinetischen Theorie der einatomigen korper // Annalen der Physik. 1903. Bd. ll.N. 8. S. 657-697.

89. Слэтэр Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М.: Мир, 1969. 648 с.

90. Jones J.E. On the determination of molecular fields. — 1. From the variation of the viscosity of gas with temperature. // Proc. Roy. Soc. 1924. V. A 106. N. 738. P. 441-462.

91. Jones J.E. On the determination of molecular fields. — 2. From the equation of state of a gas. // Proc. Roy. Soc. P. 463-477.

92. Lennard Jones J.E. Cohesion. // Proc. Phys. Soc. 1931. V. 43. Part 5. N. 240. P. 461-482.

93. Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 782 с.

94. Born М., Mayer J.E. Zur Gittertheorie der. Ionen-kristalle. // Zs. f. Physik. 1932. Bd. 75. N. 1-2. S. 1-18.

95. Мелькер А.И. Моделирование на ЭВМ разрушения твердых тел: Дис. д-ра ф.-м. н.: 01.04.07. Л., 1987. 310 с.

96. Morse Ph.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. 2. Vibrational levels. // Phys. Rev. 1929. V. 34. N. 1. P. 57-64.

97. Morse Ph.M., Stuecckelberg C.G. Diatomic molecules according to the wave mechanics. 1. Electronic levels of the hydrogen molecular ion. // Phys. Rev. V.33. N.6. P. 932-939.

98. Ашкрофт H., Мермин H. Физика твердого тела. T.2. M.: Мир. 1979. 422 с.

99. Сб.: Квантовые кристаллы (переводы) / Под ред. Вонсовского С.В. М.: Мир. 1975.280 с.

100. Johnson R.A. Empirical potentials and their use in the calculation of energies of point defects in metals // J. Phys. F: Metal Physics. 1973. V.3. N. 2. P. 295-321.

101. Билер. Роль машинных экспериментов в исследовании материалов (переводы) / Под ред. Позднеева Д.Б. М.: Мир. 1974. С. 31-250.

102. Interatomic potentials and simulation of lattice defects. / Eds. Gehlen P.C., Beeler J.R. jr, Jaffe R.I. New York-London: Plenum Press. 1972. 682 p.

103. Girifalco L.A., Weizer V.G. Application of the Morse potential function to cubic metals. // Phys. Rev. 1959. V. 114. N 3. P. 687-690.

104. Cotterhill R.M., Doyama M. Energy and atomic configuration of complete and dissociated dislocations. 1. Edge dislocation in an F.C.C. metal. // Phys. Rev. 1966. V. 145. N. 2. P. 465-478.i

105. Крокстон К. Физика жидкого состояния. M.: Мир. 1978. 400 с. v

106. Beeler J.R. jr. Radiation effects computer experiments. Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland Publ. Co. 1983. 881 p. (Defects in crystalline solids, v. 13).

107. Tersoff J. New empirical model for the structural properties of silicon // Phys. Rev. Lett. 1986. No. 56. P. 632.

108. Tersoff J. //Phys. Rev. B. 1998. N. 37. P. 6991.

109. Robertson D.H., Brenner D.W., Mintmire J.W. Energetics of nanoscale graphitic tubules // Phys. Rev. B. 1992. No. 45. P. 12592.

110. Che J., Cagin Т., Goddard W.A. Generalized extended empirical bond-order dependent force felds including nonbond interactions // Theor. Chem. Acc. 1999. V. 102. P.346-354.

111. Che J., Cagin Т., Goddard W.A. Studies of fullerenes and carbon nanotubes by an extended bond order potential // Nanotechnology. 1999. No. 10. P. 263-268.

112. MacKerrell A.D. Jr., et al. All-Atom Empirical Potential for Molecular Modeling and Dynamics Studies of Proteins // J. Phys. Chem. B. 1998. No. 102. P. 3586-3616.

113. Foloppe N., MacKerell A.D. Jr. All-Atom Empirical.Force Field for Nucleic Acids: I. Parameter Optimization .Based on Small Molecule and Condensed Phase Macromolecular Target Data//J. Comput. Chem. 2000. No. 21. P. 86-104.

114. AllingerN.L. Conformational Analysis. 130. MM2. A Hydrocarbon Force Field Utilizing VI and V2 TorsionahTerms // J. Am. Chem. Soc. 1977. N. 99. P. 8127-8134.

115. Sprague J.T., Tai J.C., Yuh Y., Allinger N.L. The MMP2 Calculational Method // J. Comput. Chem. 1987. No. 8. P. 581-603.

116. AllingerN.L., KokR.A., Imam M.R. Hydrogen Bonding' in MM2 // J. Comput. Chem.' 1988. No. 9. P. 591-595.

117. Allinger N.L., Yuh Y.H., Lii J.-H. Molecular Mechanics. The MM3 Force Field for Hydrocarbons. 1 Hi. Am. Chem. Soc. 1989. No. 111. P. 8551-8566.

118. Allinger N. L., Li F., Yan L. Molecular Mechanics. The MM3 Force Field for Alkenes // J. Comput. Chem. 1990. No. 11. P. 848-867.

119. Lii J.-H., AllingerN.L. Directional Hydrogen Bonding in the MM3 Force Field. II//J. Comput. Chem. 1998. No. 19. P. 1001-1016.

120. Lii J.-H., Allinger N.L. The MM3 Force Field for Amides, Polypeptides and Proteins //J. Comput. Chem. 1991. N. 12. P. 186-199.

121. Maxwell D.S., Tirado-Rives J., Jorgensen W.L. A Comprehensive Study of the Rotational Energy Profiles of Organic Systems by Ab Initio MO Theory, Forming a Basis for Peptide Torsional Parameters // J. Comput. Chem. 1995. N. 16. P. 984-1010.

122. Jorgensen W.L., Severance D.L. Aromatic-Aromatic Interactions: Free Energy Profiles for the Benzene Dimer in Water, Chloroform, and Liquid Benzene // J. Am. Chem. Soc. 1990. N. 112. P. 4768-4774.

123. Jorgensen W.L., Maxwell D.S., Tirado-Rives J. Development and Testing of the OPLS All-Atom Force Field on Conformational Energetics and Properties of Organic Liquids // J. Am. Chem. Soc. 1996. N. 117. P. 11225-11236.

124. Yakobson B.I. Mechanical relaxation and "intramolecular plasticity" in "carbon nanotubes //Appl. Phys. Lett. 1998. No. 72. P. 918.

125. Stone A.J., Wales D.J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Lett. 1986. No. 128. P. 501.

126. Nardelli M.B., Fattebert J.-L., Orlikowski D., Roland C., Zhao Q., BernholcJ. Mechanical properties, defects and electronic behavior of carbon nanotubes. // Carbon. 2000. No. 38. P. 1703-1711.

127. Yakobson B.I., Gamsonidze G., Samsonidze G.G. Atomistic theory of mechanical relaxation in follerene nanotubes // Carbon. 2000. No. 38. P. 1675-1680.

128. Gamsonidze Ge.G., Gamsonidze G.G., Yakobson B.I. Energetics of Stone-Wales defects in deformations of monoatomic hexagonal layers // Сотр. Mat. Sci. 2002. No. 23. P. 62-72.

129. Гольдштейн P.В., Ченцов A.B. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. МТТ. 2005. N.4. С.57-74.

130. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модельsдеформирования нанотрубок // Препринт ИПМ РАН. 2003. N.739. 67с. „

131. Varghese O.K., Gong D., Paulose M., Grimes C.A. Crystallization and high-temperature structural stability of titanium oxide nanotube arrays // J. Mater. Res. 2003. V.18. N.l. P.156-165.

132. Pinault M., Pichot V., Khodja H., Launois P., Reynaud C.,Mayne-L'Hermite M. Evidence of Sequential Lift in Growth of Aligned Multiwalled Carbon Nanotube Multilayers//Nano Letters. 2005. V.5. N.12. p.2394-2398.

133. Brenner D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films // Phys. Rev. B. 1990. V.42. P.9458.

134. Chandra N., Namilae S., Shet C. Local elastic properties of carbon nanotubes in the presence of Stone-Wales defects // Phys. Rev. B. 2004. V.69. P.094101-094101-12.

135. Odegard G.M., Gates T.S., WiseK.E. Constitutive Modeling of Nanotube-Reinforced Polymer Composites // American Institute of Aeronautics and Astronautics. AIAA-2002-1427. 2002.

136. Sears A., Batra R.C. Buckling of multiwalled carbon nanotubes under axial compression I I Phys. Rev. B. 2006. V.73. P.085410.

137. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. M.: Наука, 1967. 984 с.

138. Belytschko Т., Xiao S.P., Schatz G.C., Ruoff R.S. Atomistic simulations of nanotube fracture // Phys. Rev. B. 2002. V.65. Р.235430/

139. Bozovic D., Bockrath M., HafherJ.H., Lieber C.M., Park H., Tinkham M. Plastic deformations in mechanically strained single-walled carbon nanotubes // Phys. Rev. B. 2003. V.67. p.033407.

140. TroyaD. et al. // Chem. Phys. Lett. 2003. V.382. P.133-141.

141. Lu Q., Bhattacharya B. Fracture resistance of single-walled carbon nanotubes through atomistic simulation. ICOSSAR 2005, G. Augusti, G.I. Schueller, M. Ciampoli (eds). Publ. Millpress, Rotterdam, ISBN 90-5966-040-4. p.3635-3640.

142. Гольдштейн P.B., Осипенко H.M. Балочное приближение в задачах отслоения тонких покрытий // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 5. С. 154-163.

143. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение. 1990. 296с.

144. Устинов К.Б. О континуальном моделировании деформирования слоистых сред; численная реализация // Препринт ИПМех РАН. 2004. N.761. 17с.

145. Устинов К.Б., Ченцов А.В. О применении метода конечных элементов к решению задач о деформировании слоистых сред в континуальной постановке // Препринт ИПМех РАН. 2006. N. 823. 27с.

146. Лифшиц Л.М., Розенцвейг Д.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // ЖЭТФ. 1946. T.16.N.11.

147. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975. 543с.