Развитие метода подвижных клеточных автоматов для моделирования деформации и разрушения сред с учётом их структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□□3479874

На правах рукописи

Смолин Алексей Юрьевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОДВИЖНЫХ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ СРЕД С УЧЁТОМ ИХ СТРУКТУРЫ

01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

15 он;

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Томск - 2009

003479874

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте физики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН и Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Томском государственном университете.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Псахье Сергей Григорьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Белов Николай Николаевич;

доктор технических наук, доцент Панин Сергей Викторович;

доктор физико-математических наук Черепанов Олег Иванович.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт

механики сплошных сред Уральского отделения РАН, г. Пермь

Защита состоится « 30 » октября 2009 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.038.01 при ИФПМ СО РАН по адресу: 634021, Томск, пр. Академический, 2/4, факс (3822) 492-576.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФПМ СО РАН. Автореферат разослан «Л » сентября 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

О.В. Сизова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для численного моделирования механического поведения материалов и сред широко используются подходы континуальной механики. На их основе разработаны многочисленные пакеты прикладных программ. Однако в последнее время стали интенсивно развиваться методы, основанные на дискретном подходе. В первую очередь, это вызвано теми возможностями, которые эти методы дают при явном описании интенсивной деформации материалов и сред, процессов разрушения и перемешивания вещества. Тогда как учёт дискретности строения реальных материалов в континуальных моделях требует их существенного усложнения.

Классические методы дискретного моделирования можно условно разделить на два класса: 1) метод частиц, основанный на подходе Лагранжа, в котором рассматривается движение индивидуальных частиц в пространстве; 2) метод клеточных автоматов, основанный на Эйлеровом подходе, в котором изучается изменение во времени свойств элементов неподвижной пространственной сетки в зависимости от состояния окружающих элементов. Метод частиц широко применяется для моделирования материалов на микроуровне в виде метода молекулярной динамики. Для описания гранулированных сред используется метод дискретных элементов в различных вариантах. Клеточные автоматы позволяют достаточно эффективно изучать процессы самоорганизации в сложных активных средах.

Перспективным является объединение возможностей указанных подходов в рамках метода подвижных клеточных автоматов (в принятой английской аббревиатуре— МСА). Использование данного метода позволило получить ряд новых научных результатов в различных областях, в том числе при моделировании наноматериалов, керамик, высокопористых материалов, геологических сред и др. Однако использование метода МСА ограничивалось рамками сравнительно небольших напряжений (порядка предела текучести материала) и скоростей нагружения (до 100 м/с). Кроме того, для адекватного моделирования деформации и разрушения твёрдых тел необходимо описывать особенности этих процессов на разных масштабах с учётом их взаимного влияния, т.е. осуществлять иерархическое многоуровневое моделирование. В рамках такого подхода результатом моделирования на каждом уровне является определение ряда параметров, которые позволяют переходить на следующий уровень и, соответственно, переносить информацию о процессах, происходящих на предыдущем уровне, дальше по иерархической цепочке.

Таким образом, актуальность исследований, проведённых в настоящей работе, обусловлена необходимостью разработки дискретного подхода для моделирования механического поведения гетерогенных материалов и сред на раз-

личных масштабах. Развитие такого подхода представляет интерес как с теоретической, так и с прикладной точек зрения, поскольку дает возможность не только детально исследовать различные аспекты механического отклика гетерогенных материалов и сред, включая их разрушение, но и детально анализировать влияние особенностей структуры на эти процессы.

В связи с этим целью настоящей работы является развитие подхода, позволяющего в рамках дискретного описания осуществлять моделирование, в том числе многоуровневое, деформации и разрушения сложных гетерогенных материалов и структур в условиях внешних динамических воздействий.

Для достижения указанной цели в работе ставились следующие задачи.

1) Развить метод подвижных клеточных автоматов для моделирования механического поведения материалов с явным учётом нелинейной зависимости функции отклика от скорости нагружения.

2) Разработать подход дискретно-континуального моделирования на основе совмещённого использования метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуальной механики.

3) Исследовать закономерности изменения частотного спектра упругих волн, возникающих при трении скольжения, от параметров поверхностного слоя.

4) Исследовать закономерности взаимодействия потока налетающих частиц с упругими возмущениями в поверхности мишени.

5) На основе развития многоуровневого подхода к моделированию деформации и разрушения хрупких пористых сред методом подвижных клеточных автоматов изучить особенности процесса разрушения керамических материалов с регулярным и стохастическим типами поровой структуры при механическом нагружении.

6) Разработать подход к исследованию процессов развития повреждений при динамических воздействиях в сложных биомеханических системах на примере зоны контакта эндопротеза с суставом.

7) Развить метод подвижных клеточных автоматов для моделирования механического поведения материалов в трёхмерной постановке.

Объектом исследования настоящей работы является механическое поведение сложных гетерогенных материалов в различных условиях нагружения. Изучается влияние структуры в виде явного и неявного учёта неоднородностей, а также распространяющихся упругих волн на особенности напряжённо-деформированного состояния и разрушения материалов и структур при динамическом внешнем воздействии.

Использованный в работе метод исследования — компьютерное моделирование в рамках дискретного описания материалов на основе решения двумерных и трёхмерных задач динамического нагружения модельных образцов.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1) Реализована методика дискретно-континуального моделирования механического поведения материалов на основе совместного использования метода подвижных клеточных автоматов и методов численного решения уравнений механики сплошной среды.

2) Предложена нелинейная функция отклика подвижного клеточного автомата, зависящая от объёмной деформации и позволяющая учитывать нелинейный характер сжимаемости твёрдых тел.

3) В рамках метода подвижных клеточных автоматов предложен способ расчёта компонент тензора напряжений в точках контакта и центре автомата для изучения особенностей распределения напряжений в моделируемых средах.

4) Предложена новая векторная форма записи сил сдвигового взаимодействия подвижных клеточных автоматов, а также сил сопротивления их взаимному повороту, которая позволила реализовать метод подвижных клеточных автоматов для трёхмерных задач с учётом вращения элементов.

5) Обоснован способ расчёта пространственного вращения подвижных клеточных автоматов.

6) Анализ, основанный на вейвлет-преобразовании данных об упругих волнах в модельной паре трения, позволил выявить сложную структуру возникающих колебаний. В частности показано, что изменение профиля трущихся поверхностей приводит к частотной модуляции генерируемых упругих волн.

7) Показано, что использование параметрического способа учёта структуры гетерогенных сред, основанного на определении эффективной функции отклика клеточного автомата, позволяет осуществлять многоуровневое моделирование биомеханических конструкций.

Научная и практическая ценность.

Предложенный в методе подвижных клеточных автоматов учёт материального вращения через осреднённое движение соседей значительно расширяет возможности метода, в частности, позволяет описывать микрополярные среды с независимым поворотом.

Предложенный дискретно-континуальный подход позволяет объединить преимущества метода МСА и механики сплошных сред, что даёт принципиальную возможность полномасштабного моделирования многих процессов, таких как трение, пробитие, взаимодействие контактных границ и др.

Развитые нелинейные функции отклика существенно расширяют диапазон давлений (до -10 ГПа) и скоростей нагружения (до ~106 с"1), доступных исследованию с помощью метода МСА.

Выявленный в ходе расчётов эффект влияния поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала имеет важное прикладное значение, способствуя лучшему пониманию процессов, протекающих, в частности, при холодном газодинамическом напылении. Более детальное исследование позволит сформулировать практические рекомендации по оптимальному выбору условий обработки.

Предложенный подход к изучению влияния поровой структуры хрупких сред на развитие процесса их разрушения, а также разработанные компьютерные программы и методики проведения численных экспериментов успешно использовались при выполнении многих проектов, включая проект «Разработка научных принципов создания нанокристаллических керамик и основ технологий их получения на базе методов и средств компьютерного анализа эволюции внутренней структуры нанокерамики со структурным фазовым превращением и управляемой иерархической внутренней структурой» ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы», проект РФФИ 07-08-12179-офи, а в настоящее время используются при выполнении проектов программы фундаментальных исследований СО РАН на 2007-2009 гг.

Результаты анализа частотных спектров упругих волн, возникающих при моделировании процессов трения, могут лечь в основу экспериментальных методов получения информации об особенностях процессов деформации и разрушения, протекающих в зоне трения, непосредственно во время проведения триботехнических испытаний. Программы и подходы к исследованию процессов трения использовались при работе над проектами РФФИ 05-08-33530-а, 07-08-00192-а и 08-08-12055-офи, а также проектов 3.12.5 и 4.13.1 Программ 3.12 (2004-2006 гг) и 4.13 (2006-2008 гг) Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН.

Разработанные подходы могут быть полезны в дальнейших исследованиях в области компьютерного конструирования новых материалов, изучении напряжённо-деформированного состояния и прогноза разрушения частей реальных конструкций, в том числе биомеханических. Решение подобных задач имеет существенное значение для развития физики и механики деформируемого твёрдого тела, для углубленного понимания процессов, происходящих в реальных материалах и системах в условиях механического нагружения.

Полученные результаты используются в курсе «Дискретные методы моделирования в физике и механике твёрдого тела», читаемом профессором Пса-хье С.Г. на физико-техническом факультете Томского государственного университета, а разработанные программы и методики вычислений используются там же при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ студентами, обучающимися по направлению 150300 — «Прикладная механика».

Апробация работы. Материалы работы обсуждались на Российско-Американском семинаре «Shock Induced Chemical Processing» (Санкт-Петербург, 1996), Международной конференции «Material Instability under Mechanical Loading» (Санкт-Петербург, 1996), Международной конференции «Mathematical Methods in Physics, Mechanics and Mesomechanics of Fracture» (Томск, 1996), Международном семинаре «Movable Cellular Automata Method: Foundation and Applications» (Любляна, Словения, 1997), Международном семинаре «Movable Cellular Automata Method: Foundation and Applications» (Штутгарт, Германия, 1999), IX Международном семинаре «Computational Mechanics in Materials» (Берлин, Германия, 1999), Международных конференциях «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies» (Бай-кальск, 1997, Томск, 2003, 2004, 2006), на Международных конференциях по физической мезомеханике «Mesomechanics» и «Mesofracture» (Тель-Авив, Израиль, 1998, Томск, 2003, Патры, Греция, 2004), Международной конференции «Fracture at Multiple Dimensions» (Москва, 2003), Немецко-Российском семинаре «Development of Surface Topography in Friction Processes» (Берлин, Германия, 2004), Международном семинаре «Potential of New Tribological Concepts for Implants. Generation and Biological Impact of Micron- and Nanometer-sized Wear Particles» (Берлин, Германия, 2005), Немецко-Российском семинаре «Particle Methods: Theoretical Foundations, Numerical Implementation, Coupling with Finite Elements» (Берлин, Германия, 2005), Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам «ВМСППС» (Алушта, Украина, 2005, 2007, 2009), Немецко-Российском семинаре «Wear: Physical Background and Numerical Simulation» (Берлин, Германия, 2006), XX Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2007), 36 Международной летней школе «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008), Международной школе-семинаре «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения» (Томск, 2008), VI Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008).

На защиту выносятся следующие положения.

1) Развитие метода подвижных клеточных автоматов, которое заключается в разработке подхода к построению нелинейной функции отклика для описания высокоскоростных деформаций, а также в учёте многочастичности взаимодействий (трансляционных и ротационных).

2) Обоснование и алгоритм совмещения метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуального подхода.

3) Механизм реализации коллективных эффектов при взаимодействии потока частиц с поверхностью материала, обусловленный влиянием поверхностных

волн на соударение отдельных частиц с поверхностью.

4) Результаты моделирования контактных задач, обосновывающие принципиальную возможность изучения механизмов трения и изнашивания на основе анализа соответствующих акустических спектров.

5) Пороговый характер скорости накопления повреждений в керамике с регулярным пространственным распределением пор.

Достоверность научных результатов, обоснованность выводов обеспечены физической и математической корректностью постановок задач и использованных методов их решения, проведением тестовых расчётов и соответствием полученных решений результатам экспериментов и данным других авторов.

Личный вклад автора состоит в постановке целей и задач работы, разработке новых возможностей развитого метода моделирования, проведении большей части численных расчётов, интерпретации результатов, формулировании основных научных положений и выводов. Автор творчески участвовал в написании всех статей и докладов по теме диссертации.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка использованных источников из 219 наименований. Объём диссертации составляет 285 страниц, включая 132 рисунка и 7 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы и её задачи, перечислены полученные новые результаты, раскрыта их научная и практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

В первом разделе диссертации рассмотрены основные подходы дискретного моделирования, используемые в механике деформируемого твёрдого тела. Отмечается, что дискретный подход имеет давнюю историю, а основные уравнения континуальной механики были получены в результате предельного перехода системы взаимодействующих частиц при стремлении их количества к бесконечности и замене соответствующих сумм интегралами. Однако его развитие сдерживалось невозможностью решать большое количество уравнений численно. Поэтому прогресс в использовании дискретных методов связан с появлением доступной и достаточно мощной вычислительной техники.

Излагаются основные понятия метода частиц, применяемого для описания движения как атомов и молекул на микроуровне (молекулярная динамика), так и гранулированных сред на макромасштабе (метод дискретных элементов). Основными уравнениями движения здесь являются уравнения Ньютона, а деформационные свойства реального материала при таком подходе обусловливаются силами межчастичного взаимодействия.

dt1 ' d20,

(1)

В основе второго класса дискретных методов, базирующихся на идее клеточных автоматов, лежит представление материалов или сред как сети из элементов, меняющих свое состояние в дискретные моменты времени по определённым правилам в зависимости от того, каким было состояние самого элемента и его ближайших соседей в предыдущий момент времени. Набор возможных состояний автомата конечен и описывается дискретной величиной. Эволюция системы автоматов определяется правилами перехода между состояниями, а не дифференциальными уравнениями. Поэтому (по мнению одного из основателей метода С. Вольфрама) подход клеточных автоматов является альтернативным подходу описания процессов в виде дифференциальных или ин-тегро-дифференциальных уравнений.

Далее излагаются основы метода подвижных клеточных автоматов, который является т. развитием двух вышеупомянутых дискретных подходов. Основным отличием данного метода от классических клеточных автоматов является способность элементов к пространственному

перемещению и применение понятия состояния к относительному положению пары автоматов. В рамках модели возбудимых автоматов можно получить уравнения движения подвижных автоматов. Привлечение понятий и параметров метода частиц позволяет записать их как уравнения Ньютона-Эйлера с учётом многочастичности взаимодействия (1), где R,— радиус-вектор центра автомата /, <9,— вектор его поворота, от,- — масса, J,— момент инерции, q,, — расстояние от центра автомата / до точки его контакта с автоматом j, ntj = (Rt - R,)l(q,j + q ¡¡), сила F:J описывает парное взаимодействие, F"— объёмно-зависящая (многчастичная) сила. Силы, действующие между автоматами, вычисляются на основе функций отклика, которые можно интерпретировать как локальные диаграммы нагружения материала.

Для вычисления сил центрального взаимодействия вводится соответст- П, вующая деформация i„ = (qif -r:)/r ав- п° томата i при его взаимодействии с автоматом j, где г, — радиус автомата i. Тогда относительное изменение объёма автомата может быть определено через среднюю деформацию по всем N соседям автомата i и размерность задачи D по формуле (2). Заметим, что в методе МСА автомат не имеет определённой Рис. 1. Схема вычисления изменения формы и характеризуется одним раз- объёма автомата

2>,А к =0_

= D-

N

-De, (2)

мерным параметром. Эффективно понятие формы вводится для вычисления объёма, в этом случае автомат ассоциируется, например, с кубом для кубической упаковки, ромбододекаэдром для ГЦК упаковки и шестигранной призмой в случае плотной упаковки для плоских задач (рис. 1). Объёмно-зависящая сила, действующая на автомат / и обусловленная давлением соседних автоматов Pj, определится по формуле F? = -YjPjS,j"u > где pj=-kj(c1j - О" , a Sv — площадь контакта автоматов / и j. Удельная сила сопротивления формоизменению при центральном взаимодействии в линейном случае определится выражением p'j = -2G,(f:j -£,), где G,— модуль сдвига материала автомата ;'. Кроме потенциальных сил взаимодействия в методе МСА используются диссипатив-ные силы, которые определяются вязкостью материала tjy и относительной скоростью автоматов пары. В линейном приближении для вязкой силы центрального взаимодействия имеем

Л} /(<?,,

При определении сдвиговой деформации кроме тангенциальной составляющей трансляционного движения необходимо учитывать вращение автоматов. При движении пары автоматов без деформации как жёсткого тела справедлива формула Эйлера и j - ц = ¿¡>0 х r:j (рис. 2). Умножая её векторно слева на можно получить выражение для скоро-Рис. 2. Вращение автоматов Сти вращения пары как целого:

% = ("j - й,)А2 = "a V, )/ru ■ (3 )

Отсюда следует, что скорость сдвиговой деформации определится разностью скорости вращения пары и автомата:

&t = Yiha = Ч>ч"а/«V = ~Щ)х V (4) Сдвиговая деформация у,у находится интегрированием выражения (4), т.е. при расчётах она вычисляется через соответствующие приращения. Сила сопротивления сдвиговой деформации в линейном случае выражается формулой J; = -(С,/, + Gjfj,) х й9.

Из анализа выражения (4) следует, что эта сила не препятствует деформациям сопряжённого поворачивания («изгиба») и кручения автоматов в паре (рис. 3). В расчётах удобно рассматривать их не по отдельности, а вычислять суммарный момент сил сопротивления этим деформациям в виде

Kf^G^GjWj-S,).

Рис. 3. Деформации в паре автоматов, обусловленные их вращением

Тангенциальная сила вязкого трения определяется величиной суммарной скорости тангенциального смещения в точке контакта пары автоматов i и j ^ = <?,(¿>,j - (О,) X Л.. + <?(5>V-S)j)x ntj = (а,/и -сдд0 -)х п..

-о - w..

по формуле fu (IV..) = -щ -Ц-.

гч

Из изложенного видно, что взаимодействие в методе МСА описывается в терминах сил, действующих на площадках контакта между автоматами. Для сравнения тестовых расчётов методом МСА с результатами, получаемыми в рамках континуальной механики, полезно оценивать компоненты тензора напряжений в модельной среде. Кроме того, знание тензора напряжений позволяет применять в методе МСА критерии, например, пластического течения и разрушения, разработанные в механике сплошных сред. В данной работе был предложен новый способ расчёта тензора напряжений в среде подвижных клеточных автоматов. Для этого используется связь между компонентами удельной силы 7, действующей на площадке с нормалью Я, и компонентами тензора напряжений / = ст. • nj. В двумерном случае это соотношение даёт два уравнения для четырёх неизвестных a,j. Недостающие уравнения записываются для второй площадки, пересекающей первую в искомой точке. Указанным способом можно определить компоненты тензора напряжений в вершине автомата (точке пересечения площадей контакта данного автомата с двумя соседями). Усредняя по всем вершинам клеточного автомата, мы получим значения компонент тензора в его центре. Получаемые формулы совпадают с выражением для компонент тензора напряжений в центре дискретного элемента из работы1, однако предложенные нами выражения позволяют более точно рассчитывать компоненты тензора напряжений вблизи площадки контакта автоматов.

Рис. 4. Понятие межавтоматного перекрытия /г,у и переходы между состояниями пары, описывающие процессы разрушения и залечивания трещин

Применение формализма бистабильных автоматов к паре подвижных клеточных автоматов позволяет выделить два устойчивых состояния пар: связанные (когда соседние автоматы принадлежат одному телу) и несвязанные (когда автоматы пары принадлежат разным телам или фрагментам разрушенного материала). В простейшем случае в качестве критерия перехода пары из со-

1 D.O. Potyondy, P. A. Cundall И Int. J. of Rock Mech.& Mining Sci. - 2004.- V. 41P. 1329-1364.

стояния связанной к состоянию несвязанной (т.е. критерия разрушения в среде подвижных клеточных автоматов) может быть принято превышение параметром перекрытия и/или разворота некоторого порогового значения (рис. 4). В этом случае критерий разрушения принимает вид, аналогичный деформационному критерию в механике деформируемого твёрдого тела. Для сложных сред критерий перехода может определяться более сложными обобщёнными параметрами, в частности, на основе интенсивности напряжений.

При стремлении размера подвижных клеточных автоматов к нулю модельная среда будет описывать некий континуум. Анализ соответствующих соотношений показывает, что в случае линейных функций отклика этот континуум описывается законом Гука2. Это даёт основание для совместного использования метода МСА и численных методов континуальной механики. Такой комбинированный подход позволяет объединить преимущества каждого из методов для задач, в которых можно априори выделить области локализованных деформаций с перемешиванием вещества, описываемые методом МСА, а также протяжённые области малых упругих деформаций, где численно решаются уравнения континуума. Следует отметить, что основным недостатком метода частиц является повышенное требование к вычислительным ресурсам вследствие необходимости пересчёта окружающих элементов для каждой частицы.

жШМ

СZr*

дискретный метод

граница совмещения

континуальный метод

Рис. 5. Принцип совмещения метода МСА с континуальным методом

Сущность разработанного совмещённого дискретно-континуального подхода представлена на рис. 5. Центры автоматов, лежащих на границе совмещения, предполагаются жёстко связанными с граничными рёбрами сетки. В ходе расчёта со стороны сеточного метода (главной программы) в дискретный метод передаются скорости и положения узлов-автоматов, а возвращаются силы, действующие со стороны МСА-области на узлы сетки, лежащие на границе совмещения. Двумерная программа метода МСА объединялась с программой, реализующей метод конечных разностей (метод Уилкинса).

Во втором разделе изложены результаты моделирования методом подвижных клеточных автоматов, а также в рамках разработанного дискретно-

2 С.Г. Псахье, М.А. Чертов, Е.В. Шилько // Физическая мезомеханика.- 2000.- Т. 3, №3 - С. 93-96.

континуального подхода, ряда задач по динамическому нагружению твёрдых деформируемых тел, в которых важную роль играют упругие волны.

Рис. 6. Упругие волны в задаче Лэмба для совмещённой дискретно-континуальной среды. Слева — векторное поле скоростей при симметричном расположении источника (его положение показано стрелкой), справа — теневая картина поля скоростей при смещении источника относительно границы совмещения. Буквами обозначены различные типы волн Р — продольная, S — поперечная, С — коническая, R — Релея

В начале раздела излагаются основные сведения об упругих волнах, реализующихся в твёрдых телах, и их свойствах. Затем в подразделе 2.2 на основе задачи о распространении упругих волн в полупространстве от точечного источника на его поверхности (задача Лэмба) проведён анализ возможностей разработанного дискретно-континуального подхода (рис. 6). Одна часть среды описывалась дискретным методом (МСА), а другая — континуальным (GRID). Показана корректность разработанной методики и программ её реализации — упругие волны в областях, описываемых различными подходами, но обладаю-

Рис. 7. Распределение повреждений (сплошная линия) и работы пластической деформации (штрих-пунктир) в зависимости от положения точки удара относительно поверхностной волны. Стрелкой отмечено первое соударение, генерирующее волну, значения на оси абсцисс соответствуют положению второго соударения

щих одинаковыми физическими характеристиками, распространяются одинаково, а граница совмещения не вносит возмущения в волновую картину и не проявляется как граница раздела различных сред (рис. 6).

В подразделе 2.3 на основе метода подвижных клеточных автоматов исследовано влияние поверхностных упругих волн на процесс группового соударения частиц с поверхностью материала. Показано, что при соударении частицы с поверхностью важное значение имеет наличие в месте встречи упругой поверхностной волны и её фазы (рис. 7). Поверхностная волна приводит к динамическому перераспределению ряда свойств поверхности, таких как прочность, пластичность, адгезионная способность. Описанный механизм активации поверхности может играть важную роль в ряде технологических процессов, в частности ультразвуковой обработки материалов, газодинамического или детонационного напыления.

В подразделе 2.4 рассмотрены особенности частотного анализа упругих волн, реализующихся в материалах в результате различных динамических воздействий, при моделировании их методом подвижных клеточных автоматов. В частности, проанализированы Фурье-спектры сигналов, соответствующих ре-гистрациям таких величин, как компоненты скорости, давление и интенсивность напряжений в определённых точках тела при точечном воздействии на его свободной поверхности. Частотные спектры полученных регистрации сравнивались с характеристиками исходных воздействий, как импульсных, так и периодических во времени. Показано, что даже при многократном отражении упругих волн в конечных образцах основные частоты регистрируемых сигналов достаточно чётко отражают характеристики внешнего источника. Эти результаты говорят о возможности изучения сложных процессов, например, трения, в которых имеется множество распределённых источников волн, действующих непрерывно, на основе анализа рассмотренных сигналов, поскольку он позволяет выявлять основную частоту, соответствующую природе этих процессов.

В подразделе 2.5 исследованы закономерности генерации упругих волн в зоне модельного трибологического контакта. Моделирование пятна контакта при трении стальных образцов производилось на основе разработанного дискретно-континуального подхода. Структура расчётной области и используемая схема нагружения представлены на рис. 8. Здесь область I моделировалась методом МСА, а область II — сеточным методом. Для уменьшения вертикальных размеров рисунка показана только часть сетки. На внешних поверхностях областей задавалась горизонтальная скорость V, постепенно наращиваемая от 0 до 10 м/с. Одновременно на верхнюю поверхность действовало давление, наращиваемое до максимальной величины Р„,=127,5 МПа. Нижняя поверхность была зафиксирована по оси Y. На вертикальных границах областей в горизонтальном

направлении задавались периодические граничные условия. Диаметр автомата равен 2,5 нм, шаг сетки — 10 нм.

Частота, ГГц

а) б)

Рис. 8. Структура со схемой нагружения моделируемого пятна контакта при трении а) и спектры регистрации вертикальной составляющей скорости б) в точке, показанной чёрным кружком на рисунке а), при различных критериях переключения пар в состояние «связанные»

Ширина, нм

мкс

Рис. 9. Профили поверхностей верхнего и нижнего блоков для различных образцов а)-в) в различные моменты времени г

200280-

X

¡5 240-

о

о

со 200280-

Анализ частотного спектра регистрации компонент скорости (Ух, Уу), давления (Р) и интенсивности напряжений (/) в определённых точках дискретной области модели показал, что наиболее интенсивные пики соответствуют собственным частотам системы. Небольшой размытый пик на спектрах вертикальной составляющей скорости и интенсивности напряжений соответствовал

среднему времени существования связанных пар автоматов в «квазижидком» слое, разделяющем взаимодействующие поверхности. Положение этого пика изменяется при варьировании параметров, отвечающих за переход пар из состояние «несвязанные» в состояние «связанные» (рис. 8,6). Соответствующую этому пику частоту можно интерпретировать как характеристику колебательного движения на микроуровне в режиме «stick-slip».

J, Морле I J. «мексиканская шляпа» J.

2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70

Время, мкс

Рис. 10 Вейвлет-изображения регистрации упругих волн в модельной паре трения

Для идентификации остальных пиков был проведен анализ профиля поверхности, разделяющей «квазижидкий» слой и «твёрдую» часть образцов. Показано, что периодичность в профилях взаимодействующих поверхностей (рис. 9) проявляется в соответствующих частотах упругих волн, возникающих при их относительном перемещении и соответствующих неидентифицирован-ным ранее пикам на частотном спектре упругих волн в модельной системе. В то же время размытость пиков на спектрах, а также динамический характер взаимодействующих поверхностей побудили провести частотно-временной анализ соответствующих регистрации с помощью вейвлет-преобразований (рис. 10). В качестве вейвлетов использовались функции Морле и «мексиканская шляпа». Из рис. 10 следует, что упругие волны в модельной паре трения являются частотно- и амплитудно-модулированными. Было показано, что, несмотря на, казалось бы, случайный характер элементарных актов отделения «частиц износа» и их последующего «приваривания» в зоне трения, изменение профиля трущихся поверхностей приводит к изменению характерных размеров блоков и, следовательно, частотной модуляции возникающих упругих волн. Амплитудная модуляция регистрируемых сигналов может быть объяснена соответст-

вующими колебаниями силы взаимодействия верхнего и нижнего блоков (коэффициента трения). Из полученных результатов следует, что некоторые закономерности процесса изнашивания могут быть изучены на основе анализа соответствующих акустических спектров.

В третьем разделе рассматриваются вопросы развития метода подвижных клеточных автоматов для описания высокоскоростного нагружения. В подразделе 3.1 обсуждается необходимость и различные реализации нелинейной функции отклика клеточного автомата на изменение его объёма при всестороннем сжатии. При выборе способа задания этой функции учитывались три критерия: 1) преемственность; 2) простота с точки зрения реализации и вычислений; 3) универсальность, позволяющая описывать различные материалы не внося больших изменений в расчётный алгоритм. С учётом первых двух требований нелинейное взаимодействие вводится через изменение объёмного модуля упругости, который умножается на зависящий от объёмной деформации коэффициент. Тестирование различных предложенных функций показало, что наилучшим вариантом следует считать использование выражений, аналогичных нелинейному уравнению состояния материала в механике сплошной среды. Введённые соотношения обеспечивают выполнение феноменологического закона, связывающего скорость волны В и скорость материальных частиц V:

£> = Со+Ьи.

Несмотря на то что эта зависимость имеет простой вид, она обеспечивает достаточно хорошее согласие с экспериментальными данными. Используя соотношения Гюгонио, выражающие законы сохранения импульса и массы:

в=-ию, р--рои,

можно получить соответствующее выражение для объёмного упругого модуля через объёмную деформацию в и коэффициент Ь:

г=с1р = к {{~ьв)

<1в (1 + 6<9)3 '

На основании результатов всех тестовых расчётов с различными видами нелинейности можно сделать вывод, что даже простейший учёт нелинейности позволяет получать ряд существенных изменений в поведении модельной системы, которые качественно соответствуют поведению реальных материалов в условиях высокоскоростного деформирования. Так, в расчётах получено увеличение жёсткости и соответственно увеличение скорости звука в сжатой среде. За счёт более быстрого распространения возмущения по сжатой среде наблюдается эффект обострения фронта волны сжатия. Изменение функции отклика позволило также избежать нефизично больших локальных перекрытий автоматов. Сравнение с экспериментальными данными показало хорошее соответствие рассчитанных зависимостей скорости распространения волны сжатия

— ■—расчёт о эксперимент

К»

Рис. 11. Расчётная и экспериментальная3 £>-(/ диаграммы для железа

от скорости нагружения (рис. 11).

Хотя введение нелинейной функции отклика даёт значительное качественное улучшение в реалистичности поведения моделируемых методом МСА сред, для более точного описания материалов при высокоскоростном нагруже-нии необходимо дальнейшее развитие модели. Поэтому в подразделе 3.2 рассматриваются возможные способы учёта влияния скорости деформирования на отклик среды в методе МСА. После краткого обзора существующих теоретических подходов к учёту динамических эффектов при деформировании твёрдых тел рассматривается модификация функции отклика подвижного автомата, учитывающая зависимость предела текучести от скорости деформирования.

Для моделирования

___Л--Ч v I ----v=2 м/с

V-Зи/С УпРУго"пластического по" 1—-'. —v=4 м/с ведения в методе МСА

, : -------V=5 М/с

используется теория малых упруго-пластических деформаций. Напряжения разбиваются на шаровую часть, которая определяется объёмной деформацией, и сдвиговую часть, которая пропорциональна сдвиговым деформациям с некоторым коэффициентом цг. Пластическое поведение определяется обобщенной кривой в интенсивностях, которая считается единой для всех типов нагружения. Используется модель билинейного упрочнения, т.е. коэффициент у имеет три участка постоянных значений. Его переключение происходит скачком. Основная идея при введении зависимости от скорости деформирования заключалась в том, чтобы модуль ц/ переключался плавно.

В данной работе было решено использовать результаты модели, постро-

ИОО-

1200-

1000. С

Я С 8005 ic

О BOO-

400-

200-

0.00 0.01 ОШ 0.03 0 Ш 0.05 D.DB 0.07 0.08 0Л9 Е

Рис. 12. Диаграммы нагружения образца с различными скоростями

3 LASL Shock Hugoniot Data / Ed. S.P. Marsh. Berkeley (Calif): Univ. California Press, 1980

енной в рамках калибровочной теории дефектов4, базирующейся на достаточно строгой теоретической основе. Анализ этой модели показывает, что для предела текучести имеется аналитическая функция от скорости нагружения, которую предлагается использовать для построения функции отклика клеточного автомата. В результате такого подхода модуль у/ при переходе предела текучести убывал со временем по экспоненциальному закону. На рис. 12 представлены рассчитанные кривые нагружения прямоугольного образца на сжатие при различных скоростях с учётом реализованных изменений. Параметры функции отклика соответствовали железу. Размер образца составлял 15x15 мм, скорость деформации составляла примерно 65..330 с"'. Поскольку ставилась задача качественно проверить работоспособность реализованного подхода, а не моделировать реальный материал, то параметры, определяющие зависимость от скорости деформации, выбирались произвольно. Видно, что полученное в расчёте поведение образца полностью соответствует ожидаемому. Так, наблюдается увеличение предела текучести с ростом скорости деформирования, а также уменьшение предельной деформации и сокращение участка упрочения, как это и предсказывается калибровочной теорией.

В подразделе 3.3 представлены результаты моделирования соударения цилиндра с жёсткой преградой (тест Тэйлора). Эта задача занимает важное место в исследовании высокоскоростного деформирования материалов, на ней также проводится тестирование новых численных методов, разрабатываемых для решения соответствующих проблем. Результаты, полученные в ходе расчётов методом МСА, сравнивались с экспериментальными и расчётными данными, имеющимися в литературе. Получено хорошее качественное и количественное согласие (рис. 13).

В подразделе 3.4 рассмотрены результаты моделирования пробития преград конечной толщины деформируемым ударником, проведённого с помощью метода МСА и совмещённого дискретно-континуального подхода. Полученные данные сравнивались между собой и с литературными источниками.

На рис. 14 слева представлены результаты расчётов методом МСА по пробитию стальной пластины удлинённым вольфрамовым ударником. Моде-

4 Гриняев Ю.И., Чертова Н.В., Чертов М.А. II ПМТФ,- 2002,- т.43, №4,- С. 150-154.

5 Johnson G.R., Stryk R.A., Beissel S.R.. Holmquist T.J. // International Journal of Impact Engineering - 2002 - Vol. 27, № 10-P. 997-1013.

Рис. 13. Результат расчёта теста Тэйлора методом МСА и его сравнение с результатами, полученными методом EPIC-25

лирование проводилось в двумерной постановке в приближении плоско-деформированного состояния. Параметры задачи были взяты из работы6. Толщина пластин варьировалась от 15 до 40 мм с шагом в 5 мм, ширина пластин составляла 150 мм. Чтобы имитировать более протяжённые реальные образцы, к левому и правому краю пластины был применён специальный тип вязких граничных условий. Эти условия подразумевают демпфирование компонент скорости автоматов в приграничном слое с некоторым коэффициентом, который в нашем случае был выбран равным 0,1. Размеры ударника составляли 10х 100 мм, его начальная скорость, направленная по нормали к преграде, равнялась 1520 м/с. На рис. 14 можно видеть формирование характерного наплыва за счёт пластической деформации на входе канала а также характерное расплющивание налетающего стержня, что качественно соответствует экспериментальной картине деформирования и разрушения ударника и преграды. На рис. 14 справа представлен расчёт, проведённый с использованием комбинированного дискретно-континуального подхода с такими же начальными параметрами и геометрией как в предыдущем случае. Центральная область, где имеют место наиболее интенсивные деформации и разрушения, моделировалась автоматами, края пластины — сеткой. Было получено, что в этом случае потери массы и скорости стержня за счёт его срабатывания оказываются незначительно, но систематически завышенными. Наблюдаемые различия в общей картине деформирования более существенны. Наиболее вероятная причина различий связана с тем, что совмещение двух методов в случае выхода за пределы упругой области не является полностью корректным.

Рис. 14. Моделирование пробития преград конечной толщины методом МСА (слева) и комбинированным дискретно-континуальным подходом (справа)

В четвёртом разделе развиваемый подход использовался для исследования процессов деформации и разрушения различных гетерогенных материалов и структур. Изучено влияние структуры порового пространства на особенности деформации и разрушения хрупких пористых сред на примере керамики Zr02 с

6 Высокоскоростное взаимодействие тел / В.М. Фомин. А.И. Гулидов, Г.А. Сапожников и др. - Новосибирск: Изд. СО РАН, 1999.-600 с.

различной пористостью (от 5 до 25%). При этом рассматривались различные виды регулярной пористой структуры, а также структуры со стохастическим распределением пор по пространству. Проанализировано влияние морфологии и топологии пор, а также величины пористости на отклик структур при сдвиговом нагружении и сжатии. Выявлен пороговый характер скорости накопления повреждений в керамических материалах с регулярным пространственным распределением пор при сдвиговом деформировании (рис. 15). Это согласуется с экспериментальными данными о том, что после локального разрушения керамика продолжает деформироваться по прежнему закону, а области равномерного накопления деформации сдвига чередуются со скачкообразными участками, приводящими сначала к локальному, а затем к макроразрушению .

s, %

Рис. 15. Зависимость повреждённости Рис. 16. Зависимость повреждённости от деформации сдвига для образцов от деформации при сжатии образцов

с различной структурой пористости с различной структурой пористости

Очевидно, что для больших образцов моделировать пористость явно не представляется возможным, поэтому для таких задач следует применять многоуровневое моделирование. В подразделе 4.2 предложена иерархическая двухуровневая модель механического поведения керамики на основе Тг02 с размером пор, соизмеримым со средним размером зерна при сдвиговом нагружении и одноосном сжатии. На первом уровне модели проводятся расчёты для образцов с явным заданием пор, определяется представительный объём таких образцов (из анализа сходимости упругих и прочностных свойств с увеличением их размеров). На основе диаграмм нагружения представительных образцов строится эффективная функция отклика следующего масштабного уровня.

На втором уровне модели влияние пористости на упругие характеристики и уменьшение прочности учитывается неявно за счёт эффективной функции отклика, найденной на первом этапе. Однако такие образцы будут разрушаться с образованием симметричных магистральных трещин, то есть как сплошные.

7 Кульков С.Н., Буякова С.П., Панин C.B. // Физическая мезомеханика. - 2006. - T.9. Спец. выпуск, с. 83-86.

Для того чтобы имитировать реальный разброс прочностных свойств по объёму материала и его локальную анизотропию в рамках метода МСА, предложен алгоритм, основанный на изменении критерия прочности (от-15% до +30%) для одной, двух или трёх межавтоматных связей по разным направлениям для стохастически выбранных автоматов (рис. 17). Система макротрещин в образцах, получающаяся на втором уровне модели, представлена на рис. 18. Видно хорошее соответствие характеру разрушения реальных пористых образцов. Отметим, что такой способ учёта неоднородности открывает широкие перспективы для многоуровнего описания пористых сред с иерархической структурой порового пространства.

Развиваемый подход позволил рас- ' сматривать задачи, имеющие приложение к медицинскому материаловедению, в которых важную роль играют пористые материалы. Поскольку в травматологии и ортопедии многие металлические конструкции для остеосинтеза и эндопротезирова-ния имеют кальций-фотфатные покрытия, в подразделе 4.3 рассмотрены подходы к моделированию отклика пористых кальций-фосфатных покрытий в условиях сдвигового нагружения. При этом использованы разработанные в предыдущем подразделе средства многоуровневого моделирования. Показано, что гетерогенное пористое покрытие можно корректно моделировать однородным покрытием с соответствующими упругими и прочностными характеристиками. Определены характеристики параметрического учёта неоднородности прочностных свойств хрупких пористых покрытий, дающие наилучшее соответствие с данными моделирования с явным учётом пористого строения таких покрытий.

В подразделе 4.4 исследовалось механическое поведение системы «сус-тав-эндопротез-бедренная кость» при динамических нагрузках. Была построена двумерная МСА-модель тазобедренного сустава человека с искусственным эндопротезом (рис. 19). Исследованы отклик системы, а также динамика генерации и развития повреждений в её элементах (губчатая кость и костный цемент), имеющих пористую структуру. Рассмотрено влияние конструкционных

Рис. 17. Схема изменения прочностных свойств для двух связей автомата

Рис. 18. Картина макротрещин в хрупком модельном образце с неявным учётом пористости и стохастическим разбросом прочности для двух связей некоторых автоматов

изменений эндопротеза на механическое поведение системы (рис. 20).

Поршень (трубчатая кость).

Вертлужная впадина тазовой кости (губчатая кость). Полнопрофильная вертлужная чаша (сталь). Низкопрофильная вертлужная чаша (полиэтилен). Головка эндопротеза (сталь). Шейка эндопротеза (сталь). Ножка эндопротеза (сталь).

Костный цемент, обеспечивает крепление в канале бедренной кости (костный цемент). Бедренная кость (кортикальная кость). Пробка в канале трубчатой кости (полиэтилен). Неподвижная подложка (кортикальная кость).

Рис. 19. Структура МСА-модели тазобедренного сустава с эндопротезом

Показано, что модификацией Р" "^¡Г 1г -

структуры эндопротеза путём вве- |щ®§|| ^

дения демпфирующих включений "

или нанесения демпфирующего ¿гйЯ

слоя (покрытия) можно направлен- а) б) в)

но менять отклик системы «кость- Рис- 20. Способы конструкционных изме-

протез». В частности, значение пре- нений эндопротеза: а, б - различная ориентация демпфирующего включения в шей-дельнои деформации, соответст- _ ,

« м т ^ ч , ках эндопротезов; в— нанесение демпфи-

вующей максимуму сопротивления руЮщего слоя на ножку эндопротеза образца внешней нагрузке, возрастает на величину до 15% практически без уменьшения прочности сустава. При этом в случае использования демпфирующих включений в тазовой кости снижается скорость роста числа повреждений на стадии II, то есть до формирования первой макротрещины (рис. 21,а), а в случае использования демпфирую-

0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012

£ Е

а) б)

Рис. 21. Зависимости относительного количества повреждений т) в тазовой кости от относительной деформации е для базового образца и а) образцов с демпфирующими включениями в шейке эндопротеза; б) образца с демпфирующим слоем на ножке эндопротеза

В - Базовый образец ДС - Образец с демпфирующим слоем на ножке эндопротеза ,,, ^ Б

щего слоя значительно снижается скорость роста числа повреждений на стадии I, то есть на этапе зарождения и относительно медленного накопления повреждений (рис. 21,6). Таким образом, нанесение демпфирующего покрытия на ножку эндопротеза позволяет на 15% повысить предельную деформацию до начала разрушений в тазовой кости. В костном цементе рассмотренные способы модификации эндопротеза приводят к почти двукратному удлинению стадии I и, как следствие, к более позднему возникновению макротрещины в костном цементе. При этом изменение ориентации включения в шейке оказывает существенное влияние на продолжительность стадии I, увеличивая её на 7 %.

Известно, что бедренная кость человека имеет анатомические изгибы в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а также изменяющееся по длине поперечное сечение. Эти факторы во многом определяют её биомеханическое поведение при механических нагрузках. Кроме того, нагружение кости не является одноосным вследствие специфики строения проксимального отдела и влияния мышц и связок. В связи с этим в подразделе 4.5 проводилось исследование напряжённо-деформированного состояния бедренной кости человека с эндопротезом и без него при динамическом нагружении с учётом анатомических изгибов кости и силового воздействия на неё растяжек мышечно-сухожильного комплекса.

Построена модель, которая является более корректной по сравнению с

предыдущей. Во-первых, моделировалась вся кость, а не только её верхняя половина, как в предыдущем подразделе. Это позволило учесть специфику геометрии кости — изгибы и изменяющиеся вдоль сечения по фронтальной плоскости поперечные размеры кости (взяты из рентгенограмм). Таким образом, для двумерной модели были максимально возможно учтены геометрическая форма и пропорции кости. Во-вторых, к кости, помимо силы, действующей на неё со стороны туловища, прикладывалась постоянно действующая вертикальная сила, соответствующая натяжению мышечной растяжки. Таким образом, в модели качественно учтено влияние натяжения прочной фасции (й^сШб ШойЫаНэ) на механическое поведение кости при нагружении. Проведённое моделирование показало, что действие йасйш ШойЫаНБ уменьшает как особо опасные для кости

а) 6) в) г)

Рис. 22. Схема нагружения бедренной кости человека (а) и модельного образца (б); модельный образец с эндопротезом СТ.Р (в) и рентгенограмма сустав человека с эндопротезом С.Р.Р. (г)

напряжения всестороннего растяжения, так и сдвиговые напряжения по её внешней стороне при механическом нагружении. В случае кости с эндопроте-зом действие ^асШБ ШонЫаПз приводит к более равномерному распределению напряжений всестороннего растяжения и уменьшает зону этих напряжений по внешней стороне кости, а также снижает величину сдвиговых напряжений в области протеза и риск развития его нестабильности.

В пятом разделе рассмотрено развитие метода подвижных клеточных автоматов для решения трёхмерных задач. В подразделе 5.1 изложены особенности расчёта сил межавтоматного взаимодействия и параметров, зависящих от упаковки автоматов, в трёхмерной постановке.

Далее рассмотрены два способа описания вращения при моделировании методом частиц: первый — с явным учётом поворотов, который ведёт к увеличению размерности фазового пространства, а второй— опосредованный, то есть реализующийся как результат коллективного поведения элементов, составляющих модельную среду.

Для опосредованного учёта вращения достаточно в качестве скорости вращения автомата принять среднюю скорость вращения пар соседей, с которыми он связан. В двумерном случае это сделать достаточно просто, поскольку поворот описывается скалярной величиной. Средняя скорость вращения определится простым выражением

где о»/,- — скорость вращения пары автоматов ¿-], определяемая по формуле (3), аЫ— количество взаимодействующих соседей.

В трёхмерном случае повороты описываются ортогональными тензорами или псевдовекторами, имеющими три независимые компоненты. Задачу об определении среднего вращения можно сформулировать так. Имеется несколько точек]'=1..М, определяемых векторами гу, проведёнными из неподвижной точки /. Каждая точка ] движется относительно точки г с трансляционной скоростью Бу. С таким движением можно сопоставить вращение вокруг точки г некоторого твёрдого тела, образуемого /-ми точками. Реальное движение каждой точки у будет складываться из среднего движения как твёрдого тела и деформации этого тела. Нужно определить скорость вращения такого твёрдого тела. Его можно найти приравнивая кинетический момент системы точек

и кинетический момент твёрдого тела при его вращении вокруг оси, заданной единичным вектором пш, с угловой скоростью со

к==т)Р)а='

где р) = [я х й„| — расстояние от оси вращения до точки у. Учитывая, что массы

всех автоматов одинаковы, искомая средняя скорость вращения окружения автомата в трёхмерном случае запишется как

ЕЛ г. х о

ЫI « 9

<4 =—^-т> Г.. X и,

где 1 — единичный вектор направления искомого вращения.

Расчёты с таким учётом вращений показали, что в этом случае мы получаем точно такое же поведение, как и при явном расчёте поворотов в качестве самостоятельной степени свободы автоматов. По крайней мере, тесты на сжатие-растяжение, сдвиг, а также решение задачи Лэмба не выявили значительных количественных различий. Недостатком опосредованного способа является неоднозначность при пересчёте поворота как среднего в случае разрыва одной или нескольких связей или образования новой связи между частицами, которые могут происходить при интенсивных деформациях.

Поскольку в трёхмерных расчётах важное значение имеет оптимизация вычислительных ресурсов, в том числе за счёт экономии на вычислении несущественных параметров, то далее рассмотрен вопрос о важности учёта вращения при моделировании методом подвижных клеточных автоматов. Для этого проанализированы результаты по распространению упругих волн в задаче Лэмба, полученные с учётом вращения элементов и без него (рис. 23). В силу симметрии задачи рассматривалась расчётная область, представляющая собой 1/4 куба. На плоскостях Х=0 и 7=0 задавались условия симметрии, остальные грани куба считались свободными. Импульс прикладывался в точке начала координат в виде «купола» синусоиды для вертикальной составляющей скорости. Все результаты на рис. 23 представлены в плоскости У=0.

Проведённые расчёты показывают, что результаты, полученные без учёта вращения, зависят от используемой упаковки автоматов. Так, в случае кубической упаковки без учёта вращений волна Релея полностью отсутствует, а сдвиговая волна движется непосредственно за продольной с такой же скоростью, что является качественно неверным результатом (рис. 23,6). Заметим, что плотная упаковка обеспечивает качественно правильные результаты, но отличающееся количественно (рис. 23,а). Следовательно, учёт поворота либо как самостоятельной степени свободы автоматов, либо через вращение окружения обязателен для корректного описания классической сплошной среды на основе метода подвижных клеточных автоматов. Для того чтобы описывать более сложные среды, например, среду Коссера, нужно сохранить в методе оба способа учёта поворота, при этом самостоятельную степень свободы рассматривать как независимый поворот.

в) : .-)

Рис. 23. Поле скоростей подвижных клеточных автоматов при решении задачи Лэмба для различных вариантов модели и упаковок автоматов: а) ГЦК упаковка без учёта вращения, б) кубическая упаковка без учёта вращения, в) ГЦК упаковка с учётом вращения, г) кубическая упаковка с учётом вращения элементов

В подразделе 5.3 рассмотрено совместное использование трёхмерных реализаций метода подвижных клеточных автоматов и метода конечных элементов для решения уравнений континуальной механики. Совмещение с методом конечных элементов производится аналогично двумерному случаю, только в трёхмерной задаче общей границей является плоскость. Предполагается, что тетраэдральные конечные элементы, имеющие грани, принадлежащие этой плоскости, образуют регулярный порядок узлов, соответствующий кубической структуре. Тогда для кубической упаковки автоматов, имеющих размер, равный расстоянию между узлами сетки, все автоматы на плоскости совмещения жёстко связаны с сопряжёнными узлами сетки. В случае меньшего размера автоматов между двумя соседними узлами сетки, лежащими на границе, может располагаться несколько клеточных автоматов. Перемещение автоматов, располагающихся между соседними граничными узлами, может быть рассчитано с использованием интерполяции перемещений соответствующих узлов сетки.

В случае гранецентрированной кубической упаковки перемещение автомата, находящегося в центре грани, тоже рассчитывается с использованием интерполяции.

Для тестирования разработанной методики, как показал опыт использования двумерных программ, целесообразно проведение расчётов по распространению упругих волн в совмещённых средах. Волновая картина для задачи Лэмба в совмещённой среде представлена на рис. 24. Видно небольшое отличие в структуре поверхностных волн Релея для различных областей, которое объясняется влиянием упаковки автоматов и формой тетраэдральных конечных элементов вблизи свободной поверхности. В целом показана корректность предложенного совмещения дискретного метода клеточных автоматов и континуального метода конечных элементов в трёхмерной постановке.

В последнем подразделе исследованы особенности деформации и разрушения хрупких пористых образцов в трёхмерной постановке. Пористость задавалась удалением одиночных автоматов из исходной структуры автоматов, расположенных в ГЦК-упаковке. Генерировались образцы со значениями пористости от 0 до 50% с шагом 5%. Заметим, что максимальная пористость, которую можно получить удалением одиночных автоматов из двумерной плотной упаковки при условии изолированности пор, составляет 1/3=33,3%. При этом поры располагаются регулярно. Соответствующая максимальная пористость для ГЦК упаковки в трёхмерном случае равна 1/4=25% и соответствует другой регулярной структуре. При случайном удалении одиночных автоматов из плотной упаковки максимальное значение пористости, которое можно получить без «слияния» пор в кластеры, в двумерном случае составляет приблизительно 22,4%. В трёхмерном случае такое «слияние» наступает при пористости приблизительно 17,6%. Заметим, что предел перколяции в плотной упаковке на плоскости для задачи узлов составляет 69,62%, а в трёхмерной ГЦК структуре— 19,8%.

Таким образом, если ранее в случае Ю рассматривались образцы с несообщающейся пористостью, то в случае 30 большинство образцов содержали

Рис. 24. Трёхмерные упругие волны в совмещённой среде

кластеры сообщающихся пор, причём при величине более 25% пористость является проницаемой. Согласно результатам, полученным в разделе 4, структура пористого пространства может определять не только прочностные, но также и упругие характеристики образцов. Наличие кластеров сообщающихся пор представляет собой новый элемент структуры, дополнительно к одиночным порам. Следовательно, с увеличением пористости можно ожидать изменения зависимости упругих и прочностных свойств модельного материала от пористости при переходе предела перколяции.

-т |—I | i | I | i |

-3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50

ln(C) ln(C)

а) б)

Рис. 25. Зависимости в логарифмических координатах упругого модуля керамики от пористости: а) данные расчётов; б) экспериментальные данные

С-20% О 30% С=40%

Рис. 26. Трещины при разрушении хрупких образцов с различной пористостью С

Решение задач в трёхмерной постановке позволило установить, что пер-коляционный переход от изолированных пор к сообщающимся приводит к изменению зависимости упругих и прочностных свойств пористого материала от общей пористости (рис. 25).

Расчёты для представительных трёхмерных образцов показали, что их разрушение качественно соответствует результатам, полученным на двумерных задачах (рис. 26). Количественные различия в диаграммах нагружения в основном определяются тем, что пористость в двумерных расчётах фактически является проницаемой в направлении, перпендикулярном плоскости задачи.

В заключении диссертации приводятся основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1) Введение нелинейной функции отклика и её зависимости от скорости деформации позволило значительно расширить доступный для моделирования методом подвижных клеточных автоматов диапазон напряжений и скоростей, в том числе в область высокоскоростного нагружения материалов.

2) Разработан подход дискретно-континуального моделирования механического поведения материалов на основе совместного использования метода подвижных клеточных автоматов и методов численного решения уравнений механики сплошной среды.

3) Метод подвижных клеточных автоматов развит для моделирования механического поведения материалов в трёхмерной постановке. Предложена векторная форма записи сил сдвигового взаимодействия подвижных клеточных автоматов, а также сил сопротивления их взаимному повороту.

4) Исследованы закономерности изменения частотного спектра упругих волн, возникающих при трении скольжения, от параметров поверхностного слоя. Показана частотная и амплитудная модуляция возникающих при трении упругих волн, сделан вывод о том, что определённые закономерности процесса изнашивания могут быть изучены на основе анализа соответствующих акустических спектров.

5) Исследованы закономерности взаимодействия потока налетающих частиц с упругими возмущениями в приповерхностных слоях мишени. Показана роль поверхностных волн в реализации коллективных эффектов при обработке поверхности потоком частиц.

6) Разработана многоуровневая модель на основе метода подвижных клеточных автоматов для изучения особенностей процесса разрушения хрупких пористых материалов с различными типами поровой структуры. Установлена связь между типом пористой структуры керамики и режимом её разрушения от хрупкого (при регулярном распределение пор) до квазивязкого (при стохастическом распределении пор по пространству).

7) На основе трёхмерного моделирования методом подвижных клеточных автоматов показано изменение зависимости упругих и прочностных характеристик керамики от пористости при перколяционном переходе от изолированных пор к проницаемой пористой структуре.

8) Разработан подход к исследованию процессов развития разрушения при динамических воздействиях в сложных биомеханических системах. Для случаев эндопротеза тазобедренного сустава показана возможность направленного изменения динамики процесса разрушения в зонах контакта с костной тканью.

Основное содержание работы изложено в 54 публикациях, из которых

важнейшими являются следующие.

1. Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю.. Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев C.B. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Известия ВУЗов. Физика. - 1995.-№11.-С. 58-69.

2. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев C.B. Исследование установления стационарного режима деформирования твёрдых тел методом подвижных клеточных автоматов // Письма в ЖТФ,- 1995,- Т.21, №20,- С. 72-76.

3. Псахье С.Г., Шилько Е.В., Дмитриев А.И., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю. О вихревом характере упругой деформации материала вблизи поверхности // Письма в ЖТФ,- 1996,- Т.22, №2,- С. 90-93.

4. Псахье С.Г., Шилько Е.В., Дмитриев А.И., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю.. Коростелева E.H. Эффекты самоорганизации в процессе деформирования порошковых материалов // Письма в ЖТФ - 1996 - Т.22, №12 - С. 69-74.

5. Псахье С.Г., Смолин А.Ю.. Шилько Е.В., Коростелев С.Ю., Дмитриев А.И., Алексеев C.B. Об особенностях установления стационарного режима деформирования твёрдых тел // ЖТФ. - 1997. - Т.67, №9. - С. 34-37.

6. Psakhie S.G., Smolin A.Yu., Shilko E.V., Korostelev S.Yu., Dmitriev A.I., Alek-seev S.V. About features of transient to steady state deformation of solids // Journal of Materials Science & Technology. - 1997. - V.13. - P. 69-72.

7. Псахье С.Г., Моисеенко Д.Д., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дерюгин Е.Е., Кульков С.Н. О возможности компьютерного конструирования материалов с высокопористой и каркасной структурой на основе метода подвижных клеточных автоматов // Письма в ЖТФ,- 1998,- Т.24, №4,- С. 71-76.

8. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М., Алексеев C.B. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физическая мезомеханика. - 1998. - Т.1, № 1. - С. 95-108.

9. Psakhie S.G., Moiseyenko D.D., Smolin A.Yu., Shilko E.V., Dmitriev A.I., Korostelev S.Yu., Tatarintsev E.M. The features of fracture of heterogeneous materials and frame structures. Potentialities of MCA design // Computational Materials Science. - 1999. - V. 16, Nos. 1-4. - P. 333-343.

10. Дмитриев А.И., Псахье С.Г., Остермайер Г.П., Смолин А.Ю., Шилько Е.В., С.Ю. Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов, как инст-

румент для моделирования на мезоуровне. // Известия РАН. Механика твёрдого тела. - 1999. - №6. - С. 87-94.

11. Psakhie S.G., Zavshek S., Jezershek J., Shilko E.V., Dmitriev A.I., Smolin A.Yu.. Blatnik S. Computer-aided examination and forecast of strength properties of heterogeneous coal-beds // Computational Materials Science. -2000. - V. 19, No.1-4 - P. 69-76.

12. Psakhie S.G., Smolin A.Yu., Tatarintsev E.M. Discrete approach to study fracture energy absorption under dynamic loading // Computational Materials Science. - 2000. - V. 19, No. 1-4,-P. 179-182.

13. Псахье С.Г., Остермайер Г.П., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю.. Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физическая мезомеханика. - 2000. - Т.З, №2. - С. 5-13.

14. Psakhie S.G., Horie Y., Ostermeyer G.P., Korostelev S.Yu., Smolin A.Yu.. Shilko E.V., Dmitriev A.I., Blatnik S., Spegel M., Zavsek S. Movable Cellular Automata method for simulating materials with mesostructure // Theoretical and applied fracture mechanics. - 2001. - V.37, Nos. 1-3. - P. 311-334.

15. Псахье С.Г., Смолин А.Ю.. Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физическая мезомеханика - 2003 - Т. 6, № 6.- С. 11-21

16. Псахье С.Г., Смолин А.Ю.. Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Чертов М.А. Моделирование поведения сложных сред на основе совместного использования дискретного и континуального подходов // Письма в ЖТФ. - 2004. -Т.30., В. 17. С. 7-13.

17. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Сапожников Г.А., Псахье С.Г. Влияние поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т.30? В.23. - С. 77-84.

18. Chertov М.А., Smolin A.Yu., Shilko E.V., Psakhie S.G., Chen K., Huan D. Simulation of complex plane targets penetration by long rod using MCA method // Proceedings of the Sixth Int. Conf. for Mesomechanics - Multiscaling and Applied Science, Patras, Greece, 2004, G.C. Sih, Th. Kermanidis & Sp. Pantelakis (Eds.), P. 307-311.

19. Чертов M.A., Смолин А.Ю.. Шилько E.B., Псахье С.Г. О тонкой структуре возмущений, генерируемых в условиях локальных импульсных воздействий в упругих пластинах // Физическая мезомеханика. - 2004. -Т. 7, № 2. - С. 65-69.

20. Коноваленко Иг.С., Шилько Е.В., Псахье С.Г., Карлов А.В., Смолин А.Ю. Применение метода подвижных клеточных автоматов для оптимизации внутренней структуры эндопротеза тазобедренного сустава человека // Известия Томского политехнического университета- 2004. - Т.307, №6-С. 116-121.

21. Смолин А.Ю.. Стефанов Ю.П., Псахье С.Г. Совместное использование дис-

крстного и континуального методов для моделирования деформации и разрушения в области контактного взаимодействия // Физическая мезомехани-ка. - 2004. - Т. 7, Спец.выпуск ч. 1. - С. 70-73.

22. Chertov М.А., Smolin A.Yu., Stefanov Yu.P., Psakhie S.G., Huan D. Computer simulation of target penetration on the basis of a combined discrete-continual approach // Физическая мезомеханика. - 2004. - Т. 7, Спец.выпуск ч.1. -С. 309-312.

23. Чертов М.А., Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., Смолин А.Ю., Псахье С.Г. Динамическая функция отклика в методе подвижных клеточных автоматов, построенная на основе калибровочной модели однородно-деформируемого материала с дефектами // Физическая мезомеханика. - 2005. - Т. 8, № 4. -С. 59-67.

24. Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю.. Псахье С.Г. Особенности деформации и разрушения хрупких пористых сред с различной морфологией пор // Известия ВУЗов. Физика - 2005 - Т 48, №6 - С. 25-26.

25. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Коноваленко Иг.С. Моделирование процессов трения на основе совмещенного дискретно-континуального подхода // Физическая мезомеханика- 2005, Т 8, Спец. вып.-С. 9-12.

26. Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю.. Карлов A.B., Псахье С.Г. Исследование напряженно-деформированного состояния и разрушения бедренной кости человека с эндопротезом и оптимизация его внутренней структуры на основе метода подвижных клеточных автоматов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. XIX Всерос. конф., Бийск, 2831 августа 2005 г. / Под ред. В.М. Фомина - Новосибирск: «Параллель», 2005,- С. 133-138.

27. Смолин А.Ю., Коноваленко Иг.С., Кульков С.Н., Псахье С.Г. Моделирование разрушения хрупких пористых сред с различной внутренней структурой // Известия ВУЗов. Физика. - 2006. - Т. 49, № 3. - С. 70-71.

28. Смолин А.Ю.. Коноваленко Иг.С., Кульков С.Н., Псахье С.Г. О возможности квазивязкого разрушения хрупких сред со стохастическим распределением пор // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32, №17. С. 7-14.

29. Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю., Карлов A.B., Псахье С.Г. Исследование напряженно-деформированного состояния бедренной кости человека с эндопротезом на основе дискретного подхода // Известия Томского политехнического университета.- 2006. -Т.309, №3, - С. 138-143.

30. Коноваленко Иг.С., Князева А.Г., Смолин А.Ю.. Карлов A.B., Псахье С.Г. Моделирование механического поведения кальций-фосфатных покрытий с различным содержанием кальция в условиях сдвигового нагружения на основе метода подвижных клеточных автоматов // Физическая мезомеханика,- 2006 - Т 9, № 4. - С. 55-62.

31. Коноваленко Иг.С., Князева А.Г., Смолин А.Ю., Карлов A.B., Псахье С.Г. Моделирование деформации и разрушения пористых кальций-фосфатных

покрытий с градиентом механических свойств в условиях сдвигового нагружения // Физическая мезомеханика - 2006 - Т 9, спец. вып.- С. 17-20.

32. Смолин А.Ю.. Коноваленко Иг.С., Псахье С.Г. О возможности идентификации упругих волн, генерируемых в зоне контакта пары трения // Письма в ЖТФ,- 2007,- Т.ЗЗ, В. 14. С.34-41.

33. Дмитриев А.И., Смолин А.Ю., Псахье С.Г., Ёстерле В., Клосс X., Попов B.JI. Компьютерное моделирование локальных трибологичеких контактов на примере пары трения автомобильного тормоза // Физическая мезомеханика.- 2007,- Т. 10, № 2. - С. 15-28.

34. Дмитриев А.И., Смолин А.Ю.. Попов В.Л., Псахье С.Г. Многоуровневое моделирование процессов трения и износа на основе численных методов дискретной механики и феноменологической теории // Физическая мезомеханика.-2008.-Т. 11, №4,-С. 15-24.

35. Псахье С.Г., Смолин А.Ю.. Коростелев С.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Астафуров С.В. Метод подвижных клеточных автоматов и его применение при моделировании на разных масштабах //• Механика — от дискретного к сплошному / А.Н. Андреев и др; Отв. ред. В.М. Фомин; Рос. акад. наук, Сиб. отд-ние, Ин-т теоретической и прикладной механики им. С.А. Хри-стиановича. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. Гл. 2. - С. 88-128.

36. Konovalenko Ig.S., Smolin A.Yu. Deformation and fracture of ceramics with various pores structure under mechanical loading / Proceedings of the XXXVI Summer School "Advanced problems in mechanics (АРМ' 2008)", St. Petersburg July 6-10, 2008; Ed.: D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov - St. Petersburg: Institute for problems in mechanical engineering, 2008. - P. 352-360.

37. Smolin A.Yu.. Dobrynin S.A. Identification of elastic waves generated in friction zone. Computer simulation / Proceedings of the XXXVI Summer School "Advanced problems in mechanics (АРМ' 2008)", St. Petersburg July 6-10, 2008; Ed.: D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov - St. Petersburg: Institute for problems in mechanical engineering, 2008. - P. 614-620.

38. Кульков C.H., Буякова С.П., Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю.. Псахье С.Г. Особенности фрагментации частиц Zr02 при механической обработке // Письма в ЖТФ,- 2009 - Т. 35, Вып. 3. - С. 67-73.

39. Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю.. Коростелев С.Ю., Псахье С.Г. О зависимости макроскопических упругих свойств пористых сред от параметров стохастического пространственного распределения пор // Журнал технической физики.-2009.-Т. 79, Вып. 5.-С. 155-158.

40. Смолин А.Ю.. Роман Н.В., Добрынин С.А., Псахье С.Г. О вращательном движении в методе подвижных клеточных автоматов // Физическая мезомеханика,- 2009,- Т. 12, № 2. - С. 17-22.

41. Смолин А.Ю.. Добрынин С.А., Псахье С.Г. Факторы, определяющие генерацию упругих волн при трении. Моделирование на основе дискретно-континуального подхода // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 314, № 2. - С. 76-82.

Подписано в печать 01.09.2009 г. Формат 60x84/16. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Учреждении Российской академии наук Институте физики прочности и материаловедения СО РАН 634021, г. Томск, пр. Академический, 2/4

Введение.

1 Моделирование деформации и разрушения материалов на основе дискретного подхода.

1.1 Две концепции описания механического поведения материалов.

1.2 Основы моделирования сред на базе описания динамики ансамбля частиц.

1.3 Основы метода клеточных автоматов.

1.4 Метод подвижных клеточных автоматов.

1.5 Соотношение континуального подхода и метода подвижных клеточных автоматов.

1.6 Совместное использование метода подвижных клеточных автоматов и методов континуальной механики.

2 Моделирование распространения упругих возмущений в материалах при сложных динамических воздействиях.

2.1 Основные типы упругих волн в твёрдых телах.

2.2 Анализ возможностей предложенного дискретно-континуального подхода на примере задачи Лэмба.

2.3 Исследование соударения частиц с поверхностью материала. Анализ влияния поверхностных волн.

2.4 Особенности частотного анализа упругих волн при моделировании материала при различных динамических воздействиях.

2.5 Исследование закономерностей генерации и распространения упругих воли в условиях трибологического контакта.

3 Особенности моделирования материалов в условиях высокоскоростных деформаций методом подвижных клеточных автоматов.

3.1 Учёт нелинейности функции отклика при моделировании материалов в условиях высокоскоростной деформации.

3.2 Учёт влияния скорости деформирования в формализме метода подвижных клеточных автоматов.

3.3 Моделирование взаимодействия деформируемого ударника с абсолютно жёсткой преградой.

3.4 Изучение пробивания ударником преграды на основе метода подвижных клеточных автоматов.

4 Деформация и разрушение пористых материалов и структур

4.1 Моделирование керамических материалов с явным заданием их пористой структуры при сдвиге и сжатии.

4.2 Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов на основе метода подвижных клеточных автоматов.

4.3 Моделирование кальций-фосфатных покрытий с явным и неявным учётом пористости при сдвиге.

4.4 Исследование прочностных свойств системы «сустав — эндопротез — бедренная кость» при динамических нагрузках.

4.5 Влияние анатомических особенностей тазобедренного сустава на его прочностные характеристики.

5 Развитие метода подвижных клеточных автоматов для решения трёхмерных задач.

5.1 Особенности описания взаимодействия автоматов в трёхмерной постановке.

5.2 Учёт вращения при 3D моделировании методом подвижных клеточных автоматов.

5.3 Совместное использование метода подвижных клеточных автоматов и методов континуальной механики в 3D реализации.

5.4 Изучение разрушения хрупких пористых 3D образцов при сжатии

Для численного моделирования механического поведения материалов и сред широко используются подходы континуальной механики. На их основе разработаны многочисленные пакеты прикладных программ. Однако в последнее время стали интенсивно развиваться методы, основанные на дискретном подходе. В первую очередь это вызвано теми возможностями, которые они дают при явном описании интенсивной деформации материалов и сред, процессов разрушения и перемешивания вещества. Тогда как учёт дискретности строения реальных материалов в континуальных моделях требует существенного их усложнения.

Классические методы дискретного моделирования можно условно разделить на два класса: 1) метод частиц, основанный на подходе Лагранжа, в котором рассматривается движение индивидуальных частиц тела в пространстве; 2) метод клеточных автоматов, основанный на Эйлеровом подходе, в котором изучается изменение во времени свойств элементов неподвижной равномерной сетки в зависимости от состояния окружающих элементов. Метод частиц широко применяется для моделирования материалов на микроуровне в виде метода молекулярной динамики. Для описания гранулированных и порошковых сред используется метод дискретных элементов в различных вариантах. Клеточные автоматы позволяют достаточно эффективно изучать.про-цессы самоорганизации в сложных активных средах.

Перспективным является объединение возможностей указанных подходов в рамках метода подвижных клеточных автоматов (в принятой английской аббревиатуре — МСА). Использование данного метода позволило получить ряд новых научных результатов в различных областях, в том числе при моделировании наноматериалов, керамик, высокопористых материалов, геологических сред и др. Однако использование метода МСА ограничивалось рамками сравнительно небольших напряжений (порядка предела текучести материала) и скоростей нагружения (до 100 м/с).

Процессы деформации и разрушения материалов в значительной степени определяются их структурой. Большинство современных конструкционных и функциональных материалов являются композиционными и имеют сложную структуру, в которой явно выделяются несколько уровней, от микро- до макромасштаба. С позиций физической мезомеханики [1] любое нагруженное твёрдое тело представляет собой многоуровневую самоорганизующуюся систему, в которой пластическая деформация самосогласованно развивается как последовательная эволюция потери сдвиговой устойчивости на микро-, мезо- и макромасштабных уровнях.

Поэтому для адекватного моделирования процессов деформации и разрушения твёрдых тел необходимо уметь, во-первых, описывать особенности этих процессов на разных масштабах. Во-вторых, в связи с взаимовлиянием процессов на разных масштабах, необходимо проводить иерархическое многоуровневое моделирование деформации и разрушения. В рамках такого подхода результатом моделирования на каждом уровне является определение ряда параметров, которые позволяют переходить на следующий уровень и переносить информацию о процессах, происходящих на предыдущем уровне, дальше по иерархической цепочке.

Обычно для моделирования на разных масштабах используются свои специфические методы описания. Например, для определения макроскопических свойств нанокластеров с целью моделирования нанокомпозитов в рамках механики сплошной среды прибегают к расчётам процессов деформирования нанообъектов методами молекулярной динамики [2], для нахождения определяющих соотношений микрополярной среды с целью описания гранулированных материалов используют моделирование методом дискретных элементов [3]. Однако, когда характерные масштабы процессов не являются столь различными, предпочтительнее использовать модели в рамках одного подхода. С этой точки зрения наибольшие преимущества имеет дискретный подход к описанию материала [4].

Таким образом, актуальность исследований, проведённых в настоящей работе, связана с необходимостью разработки дискретного подхода моделирования механического поведения гетерогенных материалов и структур на различных масштабах. Развитие такого подхода представляет интерес как с теоретической, так и с прикладной точек зрения, поскольку дает возможность не только детально исследовать различные аспекты механического отклика гетерогенных материалов и сред, включая их разрушение, но и детально анализировать влияние особенностей структуры на эти процессы.

В связи с этим целью настоящей работы является развитие подхода, позволяющего в рамках дискретного описания осуществлять моделирование, в том числе многоуровневое, деформации и разрушения сложных гетерогенных материалов и структур в условиях внешних динамических воздействий. Для достижения указанной цели в работе ставились следующие задачи:

1) Развить метод подвижных клеточных автоматов для моделирования1 механического поведения материалов с явным учётом нелинейной зависимости функции отклика от скорости нагружения.

2) Разработать подход дискретно-континуального моделирования на основе совмещённого использования метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуальной механики.

3) Исследовать закономерности изменения частотного спектра упругих волн, возникающих при трении скольжения, от параметров поверхностного слоя.

4) Исследовать закономерности взаимодействия потока налетающих частиц с упругими возмущениями в поверхности мишени.

5) На основе развития многоуровневого подхода к моделированию деформации и разрушения хрупких пористых сред методом подвижных клеточных автоматов изучить особенности процесса разрушения хрупких пористых материалов с регулярным и стохастическим типами поровой структуры при механическом нагружении.

6) Разработать подход к исследованию процессов развития разрушения при динамических воздействиях в сложных биомеханических системах на примере зоны контакта эндопротеза с суставом.

7) Развить метод подвижных клеточных автоматов для моделирования механического поведения материалов в трёхмерной постановке.

Объектом исследования настоящей работы является механическое поведение сложных гетерогенных материалов в различных условиях нагру-жения. Изучается влияние структуры в виде явного и неявного учёта неод-нородностей, а также распространяющихся упругих волн на особенности напряжённо-деформированного состояния и разрушения материалов и структур при динамическом внешнем воздействии.

Использованный в работе метод исследования — компьютерное моделирование в рамках дискретного описания материалов на основе решения двумерных и трёхмерных задач динамического нагружения модельных образцов.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1) Реализована методика дискретно-континуального моделирования механического поведения материалов на основе совместного использования метода подвижных клеточных автоматов и методов численного решения уравнений механики сплошной среды.

2) Предложена нелинейная функция отклика подвижного клеточного автомата, зависящая от объёмной деформации и позволяющая учитывать нелинейный характер сжимаемости твёрдых тел.

3)В рамках метода подвижных клеточных автоматов предложен способ расчёта компонент тензора напряжений в точках контакта и центре автомата для изучения особенностей распределения напряжений в моделируемых средах.

4) Предложена новая векторная форма записи сил сдвигового взаимодействия подвижных клеточных автоматов, а также сил сопротивления их взаимному повороту, которая позволила реализовать метод подвижных клеточных автоматов для трёхмерных задач с учётом вращения элементов.

5) Обоснован способ расчёта пространственного вращения подвижных клеточных автоматов.

6) Анализ, основанный на вейвлет-преобразовании данных об упругих волнах в модельной паре трения, позволил выявить сложную структуру возникающих колебаний. В частности показано, что изменение профиля трущихся поверхностей приводит к частотной модуляции генерируемых упругих волн.

7) Показано, что использование параметрического способа учёта структуры гетерогенных сред, основанного на определении эффективной функции отклика клеточного автомата, позволяет осуществлять многоуровневое моделирование биомеханических конструкций.

Научная и практическая ценность.

Предложенный в методе подвижных клеточных автоматов учёт материального вращения через осреднённое движение соседей значительно расширяет возможности метода, в частности позволяет описывать микрополярные среды с независимым поворотом.

Предложенный дискретно-континуальный подход позволяет объединить преимущества метода МСА и механики сплошных сред, что даёт принципиальную,возможность полномасштабного моделирования многих процессов, таких как трение, пробитие, взаимодействие контактных границ и др.

Развитые нелинейные функции отклика существенно расширяют диапазон давлений (до ГПа) и скоростей нагружения (до ~106 с-1) доступных исследованию с помощью метода МСА.

Выявленный в ходе расчётов эффект влияния поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала может иметь важное прикладное значение, способствуя лучшему пониманию процессов, протекающих в частности при холодном газодинамическом напылении. Более детальное исследование позволит сформулировать практические рекомендации по оптимальному выбору условий обработки.

Предложенный подход к изучению влияния поровой структуры хрупких сред на развитие процесса их разрушения, а также разработанные компьютерные программы и методики проведения численных экспериментов успешно использовались при выполнении многих проектов, включая проект «Разработка научных принципов создания нанокристаллических керамик и основ технологий их получения на базе методов и средств компьютерного анализа эволюции внутренней структуры нанокерамики со структурным фазовым превращением и управляемой иерархической внутренней структурой» ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007—2012 годы», проект Российского фонда фундаментальных исследований № 07-08-12179-офи, а в настоящее время используются при выполнении проектов программы фундаментальных исследований СО РАН на 2007—2009 гг.

Результаты, полученные при анализе частотных спектров упругих волн, полученные при моделировании процессов трения, могут лечь в основу экспериментальных методов получения информации об особенностях процессов деформации и разрушения, протекающих в зоне трения непосредственно во время контактного взаимодействия. Программы и подходы к исследованию процессов трения использовались при работе над проектами Российского фонда фундаментальных исследований №№ 05-08-33530-а, 07-08-00192-а и 08-08-12055-офи, а также проектов №№ 3.12.5 и 4.13.1 Программ 3.12 (2004-2006 гг) и 4.13 (2006-2008 гг) Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН.

Разработанные подходы могут быть полезны в дальнейших исследованиях в области компьютерного конструирования новых материалов, изучении напряжённо-деформированного состояния и прогноза разрушения частей реальных конструкций, в том числе биомеханических. Решение подобных задач имеет существенное значение для развития физики и механики деформируемого твёрдого тела, для углубленного понимания процессов, происходящих в реальных материалах и системах в условиях механического нагружения.

Полученные результаты используются в курсе «Дискретные методы моделирования в физике и механике твёрдого тела», читаемом профессором Псахье С.Г. на физико-техническом факультете Томского государственного университета, а разработанные программы и методики вычислений используются там же при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ студентами, обучающимися по направлению 553300 — «Прикладная механика».

На защиту выносятся следующие положения.

1) Развитие метода подвижных клеточных автоматов, которое заключается в разработке подхода к построению нелинейной функции отклика для описания высокоскоростных деформаций, а также в учёте многоча-стичности взаимодействий (трансляционных и ротационных).

2) Обоснование и алгоритм совмещения метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуального подхода.

3) Механизм реализации коллективных эффектов при взаимодействии потока частиц с поверхностью материала, обусловленный влиянием поверхностных воли па соударение отдельных частиц с поверхностью.

4) Результаты моделирования контактных задач, обосновывающие принципиальную возможность изучения механизмов трения и изнашивания на основе анализа соответствующих акустических спектров.

5) Пороговый характер скорости накопления повреждений в керамике с регулярным пространственным распределением пор.

Апробация работы. Материалы работы обсуждались на Российско-американском семинаре «Shock Induced Chemical Processing» (Санкт-Петербург, 1996), Международной конференции «Material Instability under Mechanical Loading» (Санкт-Петербург, 1996), Международной конференции «Mathematical Methods in Physics, Mechanics and Mesomechanics of Fracture» (Томск, 1996), Международном семинаре «Movable Cellular Automata Method: Foundation and Applications» (Любляна, Словения, 1997), Международном семинаре «Movable Cellular Automata Method: Foundation and Applications» (Штутгарт, Германия, 1999), IX Международном семинаре «Computational Mechanics in Materials» (Берлин, Германия, 1999), Международных конференциях «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies» (Байкальск, 1997, Томск, 2003, 2004, 2006), на Международных конференциях по физической мезомеханике «Mesomechanics» и «Mesofracture» (Тель-Авив, Израиль, 1998, Томск, 2003, Патры, Греция, 2004), Международной конференции «Fracture at Multiple Dimensions» (Москва, 2003), Немецко-российском семинаре «Development of Surface Topography in Friction Processes» (Берлин, Германия, 2004), Международном семинаре «Potential of New Tribological Concepts for Implants. Generation and Biological Impact of Micron- and Nanometer-sized Wear Particles» (Берлин, Германия, 2005), Немецко-российском семинаре «Particle Methods: Theoretical Foundations, Numerical Implementation, Coupling with Finite Elements» (Берлин, Германия, 2005), Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам «ВМСППС» (Алушта, Украина, 2005, 2007, 2009), Немецко-российском семинаре «Wear: Physical Background and Numerical Simulation» (Берлин, Германия, 2006), XX Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2007), 36 Международной летней школе «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008), Международной школе-семинаре «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения» (Томск, 2008), VI Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008).

Основные результаты данной диссертации опубликованы в 54 работах, перечень их наименований частично представлен в списке цитируемой литературы.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка использованных источников. Объём диссертации составляет 285 страниц, включая 132 рисунка и 7 таблиц. Список использованных источников содержит 219 наименований.

Основные результаты и выводы, полученные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1. Введение нелинейной функции отклика и её зависимости от скорости деформации позволило значительно расширить доступный для моделирования методом подвижных клеточных автоматов диапазон напряжений и скоростей, в том числе в область высокоскоростного нагружения материалов.

2. Разработан подход дискретно-континуального моделирования механического поведения материалов на основе совместного использования метода подвижных клеточных автоматов и методов численного решения уравнений механики сплошной среды.

3. Метод подвижных клеточных автоматов развит для моделирования механического поведения материалов в трёхмерной постановке. Предложена векторная форма записи сил сдвигового взаимодействия подвижных клеточных автоматов, а также сил сопротивления их взаимному повороту.

4. Исследованы закономерности изменения частотного спектра упругих волн, возникающих при трении скольжения, от параметров поверхностного слоя. Показана частотная и амплитудная модуляция возникающих при трении упругих волн, сделан вывод о том, что определённые закономерности процесса изнашивания могут быть изучены на основе анализа соответствующих акустических спектров.

5. Исследованы закономерности взаимодействия потока налетающих частиц с упругими возмущениями в приповерхностных слоях мишени. Показана роль поверхностных волн в реализации коллективных эффектов при обработке поверхности потоком частиц.

6. Разработана многоуровневая модель на основе метода подвижных клеточных автоматов для изучения особенностей процесса разрушения хрупких пористых материалов с различными типами поровой структуры. Установлена связь между типом пористой структуры керамики и режимом её разрушения от хрупкого (при регулярном распределение пор) до квазивязкого (при стохастическом распределении пор по пространству).

7. На основе трёхмерного моделирования методом подвижных клеточных автоматов показано изменение зависимости упругих и прочностных характеристик керамики от пористости при перколяционном переходе от изолированных пор к проницаемой пористой структуре.

8. Разработан подход к исследованию процессов развития разрушения при динамических воздействиях в сложных биомеханических системах. Для случаев эндопротеза тазобедренного сустава показана возможность направленного изменения динамики процесса разрушения в зонах контакта с костной тканью.

Заключение

1. Панин, В.Е. Основы физической мезомеханики Текст./В.Е. Панин/Физическая мезомеханика. — 1998. — Т1, №1. — С. 5—22.

2. Киселев, С.П. Моделирование компактирования смеси нанопорошков медь — молибден методом молекулярной динамики Текст./С.П. Киселев/Прикладная механика и техническая физика. — 2008. —Т. 49, № 5. — С. 11-23.

3. Walsh, S.D.C. A thermomechanical approach to the development of micro-polar constitutive models of granular media Text./S.D.C. Walsh, A.A. To-rdesillas//Acta Mechanica. 2004. - Vol. 167, No 3-4- P. 145-169.

4. Франк, А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости Текст./А. М. Франк. — М.: Физматлит, 2001. 224 с.

5. Рит, М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нано-расчета Текст./М. Рит. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 160 с.

6. ЮХеерман, Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретическойфизике Текст./Д.В. Хеерман. — М: Наука, 1990. — 176 с.

7. Панин, В.Е. Новые материалы и технологии. Конструирование новых материалов и упрочняющих технологий Текст./В.Е. Панин, В.А. Климе-нов, С.Г. Псахье и др. — Новосибирск: Наука, 1993. — 151 с.

8. Cundall, Р.А. A computer model for simulating progressive, large scale movement in blocky rock system Text. / P.A. Cundall И In: Symposium of ISRM, Nansy, France, Proceedings. 1971. - Vol. 2. - P. 129-136.

9. Rothenburg, L. Influence of particle eccentricity on micromechanical behavior of granular materials Text. / L. Rothenburg, R.J. Bathurst II Mechanics of Materials. 1993. - No 16. - P. 141-152.

10. Hong, D.C. Molecular dynamic simulations of hard sphere granular particles Text. / D.C. Hong, J.A. McLennan // Physica A. 1992. -Vol. 187.-P. 159-171.

11. Herrmann, H.J. Simulation of granular media Text. / H.J. Herrmann/ Physica A. 1992.-Vol. 191. - P. 263-276.

12. Ristow, G.H. Simulating granular flow with molecular dynamics Text./ G.H. Ristow//Journal de Physique I France. 1992. - Vol. 2. - P. 649-662.

13. Ng T.-T. Numerical simulations of monotonic and cyclic loading of granular soil Text. / T.-T. Ng, R. Dobry / Jornal of Geotechnical Engineering. — 1994. Vol. 120, No 2. - P. 388-403.

14. Poschel, T. Granular material flowing down an inclined chute: molecular dynamics simulation Text./T. Poschel/Journal de Physique II France. — 1993.-Vol.3. -P. 27-40.

15. Cundall, P.A. Computer simulations of dense sphere assemblies Text./P.A. Cundall II In: Micromechanics of Granular Materials, edited by M. Satake and J.T.Jenkins. Elsever Sci. Publ., Amsterdam, 1988.-P. 113-123.

16. Bardet, J.P. Numerical simulation of localization in granular materials Text./J.P. Bardet, J. Proubet/In: Proc. of the Conf. Mechanics Computing in 1990's and beyond. 1991. - Vol. 2. - P. 1269-1273.

17. Babic, M. The stress tensor in granular shear flows of uniform, deformable disks at high solids concentrations Text./M. Babic, H.H. Shen, H.T. Shen/ Journal of Fluid Mechanics. 1990. - Vol. 219. - P. 81-118.

18. Iai, S. Consept of effective strain in constitutive modeling of granular materials Text. / S. Iai /Soils and Foundations. — 1993. — Vol. 33, No2. — P. 171-180

19. Bathurst, R.J. Micromechanical aspects of isotropic granular assemblies with linear contact interactions Text. / R.J. Bathurst, L. Rothenburg / Journal of Applied Mechanics 1988 - Vol. 55, No3. - P. 17-23.

20. Chang, C.S. Constitutive relation for a particulate medium with the effect of particle rotation Text./C.S. Chang, C.L. Liao,/International Journal of Solids and Structures. 1990. - Vol. 26, No 4. - P. 437-453.

21. Bardet, J.P. Numerical simulations of the incremental responcses ofidealized granular materials Text. / J.P. Bardet II International Journal of Plasticity. 1994.-Vol. 10, No 8. - P. 879-908.

22. Itasca: Engineering Consulting and Software electronic resource. — Режим доступа: http/www.itascacg.com/

23. Zubelewicz, A. Interface element modeling of fracture in aggregate composites Text. / A. Zubelewicz, Z.P. Bazant II Journal of Engineering Mechanics. 1987.-Vol. 113, No 11.-P. 1619-1630.

24. Potyondy, D.O. A bonded-particle model for rock Text./D.O. Potyondy, P.A. Cundall II International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences. 2004. - Vol. 41. - P. 1329-1364.

25. Кривцов, A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой Текст./А.М. Кривцов. — М: Физматлит, 2007. — 304 с.

26. Ross, J.W. Computer simulation of sintering in powder compacts Text./ J.W. Ross, W.A. Miller, G.C. Weatherly//Acta Metallurgica. 1982. -Vol. 30, No 1.-P. 203-212.

27. Bouvard, D. Modeling of hot isostatic pressing: a new formulation using random variables Text./D. Bouvard, E. Ouedrogo II Acta Metallurgica. — 1988. Vol. 36, No 8. - P. 1977-1987.

28. Leu, H.J. A computer simulation method for particle sintering Text./H.J. Leu, T. Hare, R.O. Scattergood//Acta Metallurgica. 1988. - Vol. 36, N08.-P. 1977-1987.

29. Jagota, A. Micromechanical modeling of powder compacts. I. Unit problems for sintering and traction unduced deformation Text./A. Jagota, P.R. Dawson//Acta Metallurgica. 1988. - Vol. 36, No 9. - P. 2551-2561.

30. Jagota, A. Micromechanical modeling of powder compacts. II. Truss formulation of discrete packings Text. / A. Jagota, P.R. Dawson II Acta Metallurgica. 1988. - Vol. 36, No 9. - P. 2563-2573.

31. Zavaliangos, A. Numerical simulation of anisotropy in sintering due to prior compaction Text. / A. Zavaliangos, D. Bouvard II Int. J. Powder Met. —2000.-Vol.36.-P. 58-64.

32. Martin, C.L. Study of particle rearrangement during powder compaction by the discrete element method Text./C.L. Martin, D. Bouvard, S. ShimaII J. Mech. Phys. Solids. 2003. - Vol. 51. - P. 667-693.

33. Wolfram, S. Theory and Application of Cellular Automata Text. / S. Wolfram. Singapore: World Scientific, 1986. — 151 p.

34. Лоскутов, А.Ю. Введение в синергетику Текст. / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. М: Наука, 1990. - 272 с.

35. Беркович, С.Я. Клеточные автоматы как модель реальности: поиски новых представлений физических и информационных процессов Текст. / С .Я. Беркович. М: Изд-во МГУ, 1993. - 112 с.

36. Тоффоли, Т. Машины клеточных автоматов Текст./Т. Тоффоли, Н. Мар-голус. М: Мир, 1991. - 280 с.

37. Wolfram S. A New Kind of Science Text. / S. Wolfram. — Champaign, Ilinois: Wolfram Media, Inc., 2002. 1197 p.

38. Hardy, J. Time evolution of two-dimensional model system. I. Invariant states and time correlation functions Text. / J. Hardy, Y. Pomeau, O. de Pazzis//J. Math. Phys. 1973. - V. 14. - P. 1746-1759.

39. Frisch, U. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation Text./U. Frisch, B. Hasslacher, Y. Pomeau//Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 56. -P. 1505-1508.

40. Chopard, B. A cellular automata model of large-scale moving objects Text. /В. Chopard//J. Phys. A: Math. Gen. 1990. - V. 23. - P. 1671-1687.

41. Шилько, E. В. Развитие подхода клеточных автоматов для описания процессов деформации и разрушения хрупких материалов и сред со сложной структурой Текст. : дис. .д-ра. физ.-мат. наук/Шилько Евгений Викторович.— Томск, 2006. — 301 с.

42. Горшков, А.Г. Теория упругости и пластичности Текст./А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, Д.В. Тарлаковский. — М.: Физматлит, 2002. — 416 с.

43. Foiles, S.M. Embeded-atom-method functions for the fee metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt and their alloys Text./S.M. Foiles, M.I. Baskes, M.S. Daw// Physical Review B. 1986. - Vol. 33, No 12. - P. 7983-7991.

44. Остермайер, Г.П. Метод мезоскопических частиц для описания термомеханических и фрикционных процессов Текст./Г.П. Остермайер/Физическая мезомеханика. — 1999. — Т. 2, №6. — С. 25—32.

45. Качанов, JI.M. Основы механики разрушения Текст./Л.М. Качанов. — М.: Наука, 1974.-312 с.бОНовацкий, В. Теория упругости Текст. / В. Новацкий. — М.: Мир, 1975.-872 с.

46. Эринген, А.К. Теория микрополярной упругости Текст./А.К. Эринген/ Разрушение. М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 646-751.

47. Псахье, С.Г. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики Текст./С.Г. Псахье, Я. Хори, С.Ю. Коростелев, А.Ю. Смолин, А.И. Дмитриев, Е.В.

48. Шилько, С.В. Алексеев/Известия вузов. Физика. — 1995. — Т.38, №11. С. 58-69.

49. Псахье, С.Г. Эффект аккумуляции упругой энергии и возможность управления процессом разрушения в сложных структурах Текст./С.Г. Псахье, А.Ю. Смолин, Е.М. Татаринцев, Е.А. Шваб/Письма вЖТФ. — 2000. Т. 26, Вып. 2. - С. 13-18.

50. Psakhie, S.G. Discrete approach to study fracture energy absorption under dynamic loading Text./S.G. Psakhie, A.Yu. Smolin, E.M. Tatarintsev II Computational Materials Science. 2000. - V. 19, No.1-4. - P. 179-182.

51. Дмитриев, A.M. Компьютерное моделирование локальных трибологиче-ких контактов на примере пары трения автомобильного тормоза Текст. / А.И. Дмитриев, А.Ю. Смолин, С.Г. Псахье, В. Ёстерле, X; Клосс,

52. B.JI. Попов/Физическая мезомеханика. — 2007. — Т. 10, №2. —С. 15—28.

53. Псахье, С.Г. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию Текст. /

54. C.Г. Псахье, М.А. Чертов, Е.В. Шилько/Физическая мезомеханика. — 2000. Т. 3, №3.- С. 93-96.

55. Псахье, С.Г. Моделирование поведения сложных сред па основе совместного использования дискретного и континуального подходов Текст./ С.Г. Псахье, А.Ю. Смолин, Ю.П. Стефанов, П.В. Макаров, М.А. Чертов/Письма в ЖТФ. — 2004. — Т. 30, В. 17.-С. 7-13.

56. Johnson, G.R. Dynamic response of axisymmetric solids subjected to impact and spin Text. / G.R. Johnson//AIAA Journal. 1979. - V. 17, No. 9. - P. 975-979.

57. Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах Текст. / Л.М. Брехов-ских. М.: Наука, 1973. - 343 с.

58. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия Текст./К. Джонсон. М: Мир, 1989.-510 с.

59. Псахье, С.Г. Об особенностях установления стационарного режима деформирования твердых тел Текст. / С.Г. Псахье, А.Ю. Смолин, Е.В. Шилько, С.Ю. Коростелев, А.И. Дмитриев, С.В. Алексеев И Журнал технической физики. — 1997. — Т. 67, Вып. 9. — С. 34—37.

60. Псахье, С.Г. О вихревом характере упругой деформации материала вблизи поверхности Текст. / С.Г. Псахье, Е.В. Шилько, А.И. Дмитриев, С.Ю. Коростелев, А.Ю. Смолин//Письма в ЖТФ. 1996. - Т. 22, Вып. 2. - С. 90-93.

61. Stefanov, Yu.P. Wave dynamics of cracks and multiple contact surface interaction Text. / Yu.P. Stefanov / Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2000. - V. 34/2. - P. 101-108.

62. Qian, L. Study on terminal effects of dense fragment cluster impact on armor plate. Part II: numerical simulations Text. / L. Qian, M. Qu / International Journal of Impact Engineering. — 2005. — V.31, Iss.6. — P. 769-780.

63. Зелепугин, C.A. Разрушение элементов конструкций при высокоскоростном взаимодействии с ударником и группой тел Текст. : автореф. дис. . д-ра. физ.-мат. наук / Зелепугин Сергей Алексеевич. — Томск, 2003.-40 с.

64. Козорезов, К.И. Исследование эффектов взаимодействия дискретных микрочастиц с твердым телом Текст./К.И. Козорезов, В.И. Максимен-ко, С.М. Ушеренко/Избранные вопросы современной механики. Ч. 1. — М: МГУ, 1981,-С. 115-119.

65. Солоненко, О.П. Высокоэнергетические процессы обработки материалов Текст./О.П. Солоненко, А.П. Алхимов, В.В. Марусин и др./Новосибирск: Наука, 2000. 425 с.

66. Kiselev, S.P. Superdeep penetration of particles into a metal target Text./ S.P. Kiselev, V.P. Kiselev/International Journal of Impact Engineering. — 2002. No 27. - P. 135-152.

67. Рахимов, A.E. Качественная модель сверхглубокого проникания Текст./ А.Е. Рахимов/Вестник Московского университета. Математика. Механика. 1994. - № 5. - С. 72-74.

68. Чертов, М.А. О тонкой структуре возмущений, генерируемых в условиях локальных импульсных воздействий в упругих пластинах Текст. / М.А.Чертов, А.Ю. Смолин, Е.В. Шилько, С.Г. Псахье/Физическая ме-зомеханика. 2004. - Т. 7, № 2. - С. 65-69.

69. Зельдович, Я.Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидроди-' намических явлений Текст./Я-Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. — М.: Наука, 1966.-686 с.

70. Немирович-Данченко, М.М. Численное моделирование трехмерных динамических задач сейсмологии Текст. / М.М. Немирович-Данченко / Физическая мезомеханика. — 2002. — Т. 5, №5. — С. 99—106.

71. ЮбРаботнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела Текст. / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

72. Уайт, Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн Текст./Дж. Э. Уайт : Пер. с англ. — М.: Недра, 1986. — 261 с.

73. НОКолубаев, E.A. Деформирование поверхностных слоев при трении и факторы, влияющие на трибологические свойства металлов Текст.:дисканд. физ.-мат. наук/Колубаев Евгений Александрович. — Томск,2005.- 139 с.

74. Попов, B.J1. Трибоспектроскопическое исследование пары сталь—сталь Текст./В.Л. Попов , Я. Старчевич//Письма в ЖТФ. 2005. - Т. 31, Вып. 7. - С. 85-90.

75. Крагельский И.В. Фрикционные автоколебания Текст./И.В. Крагель-ский, Н.В. Гиттис. М.: Наука, 1987 - 181 с.

76. Бородич, Ф.М. Фрикционные колебания, обусловленные деформированием шероховатостей контактирующих поверхностей Текст./Ф.М. Бородич, И.В. Крюкова/Письма в ЖТФ. 1997. - Т.23, Вып. 6. - С. 67-73.

77. Рубцов, В.Е. Пластическая деформация и квазипериодические колебания в трибологической системе Текст. /В.Е. Рубцов, А.В. Колубаев / Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, Вып. 11. — С. 63—69.

78. Chen, G.X. Effect of surface topography on formation of squeal under reciprocating sliding Text./Chen G.X., Zhou Z.R., P. Kapsa, L. Vincent/ Wear. 2002. - V. 253. - P. 411-423.

79. Jibiki, T. A basic study of friction noise caused by fretting Text./T. Jibiki, M. Shima, H. Akita, M. Tamura/Wear. 2001. - V. 251. - P. 1492-1503.

80. Колубаев, A.B. Генерация звука при трении скольжения Текст./А.В. Колубаев, Е.А. Колубаев, И.Н. Вагин, О.В. Сизова / Письма в ЖТФ. — 2005. Т. 31, Вып. 19. - С. 6-13.

81. Гриценко, Б.П. Роль акустических колебаний, генерируемых при трении, в разрушении материалов трибосистем Текст./Б. П. Гриценко/Трение иизнос. 2005. - Т. 26, №5. - С. 481-488.

82. Крагельский, И.В. Основы расчетов на трение и износ Текст. / И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, B.C. Комбалов. — М.: Машиностроение, 1987.-526 с.

83. Popov, V.L. A theory of the transition from static to kinetic friction in boundary lubrication layers Text. / V.L. Popov II Solid State Communications. 2000. - V. 115. - P. 369-373.

84. Смолин, А.Ю. О генерации и распространении упругих волн при трении. Компьютерное моделирование Текст./А.Ю. Смолин, Иг.С. Коновален-ко//Физическая мезомеханика. — 2006. — Т 9, спец. вып. — С. 45—48.

85. Смолин, А.Ю. О возможности идентификации упругих волн, генерируемых в зоне контакта пары трения Текст./А.Ю. Смолин, Иг.С. Конова-ленко, С.Г. Псахье/Письма в ЖТФ. 2007. - Т.ЗЗ, В. 14. - С. 34-41.

86. Мала, С. Вэйвлеты в обработке сигналов Текст./С. Мала: Пер. с англ. — М.:Мир, 2005.-671 с.

87. LastWave's Home Page electronic resource. — Режим доступа: http:Avww.cmap. polytechnique.fr/lastwave/

88. Мусалимов, В.М. Динамика фрикционного взаимодействия Текст./ В.М. Мусалимов, В.А. Валетов. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. - 191 с.

89. Свенсон, К. Физика высоких давлений Текст./К. Свенсон. — М.: ИЛ, 1963.-367 с.

90. Банди, Ф.П. Поведение металлов при высоких температурах и давлениях Текст./Ф.П. Банди, Г.М. Стронг. — М.: Изд. Металлургия, 1965. — 60 с.

91. Bancroft, D.Polymorphism of Iron at High Pressure/ Text./ D. Bancroft, E.L. Peterson, S. Minshall // J. Appl. Phys. 1956. - V.27, No3. -P. 291-299.

92. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С. Григорьева и Е.З. Мейлихова.—М.: Энергоатомиздат, 1991.— 1232 с.

93. Черный, Г.Г. Газовая динамика Текст. / Г.Г. Черный. — М.: Наука, — 1988.-424 с.

94. LASL Shock Hugoniot Data Text./Ed. S.P. Marsh. Berkeley (Calif): Univ. California Press, 1980. 658 p.

95. Фомин, B.M. Высокоскоростное взаимодействие тел Текст./В.M. Фомин, А.И. Гулидов, Г. А. Сапожников и др. — Новосибирск: Изд. СО РАН, 1999.-600 с.

96. Макаров, П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных сред Текст./П.В. Макаров/Известия вузов. Физика. 1992. - №4. - С.42-58.

97. Альтшулер, J1.B. Релаксационные параметры металлов за фронтом ударных волнТекст. / Л.В. Альтшулер, Б.С. Чекин И Детонация. Критические явления. Физико-химические превращения в ударных волнах. — Черноголовка: ОИХФ, 1978. С. 87-90.

98. Гилман, Дж. Дж. Микродинамическая теория пластичности Текст./ Дж.Дж. Гилман И Микропластичность. — М.: Металлургия, 1972. — Р. 18-37.

99. Предводителев, А.А. Возможность моделирования процессов, связанных с движением и размножением дислокаций в кристаллах Текст. / А.А. Предводителев И Динамика дислокаций: под ред. Старцева В.И., Бенгус В.З. — Киев: Наукова Думка, 1975. — С. 178—190.

100. Макаров, П.В. Упругопластическое деформирование металлов волнами напряжений и эволюция дефектной структуры сред Текст./П.В. Макаров/Физика горения и взрыва. — 1987. — №1. — С. 22—28.

101. Панин, В.Е. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. Текст./В.Е. Панин, В.Е. Егорушкин, П.В. Макаров и др./Под. ред. Панина В.Е. — Новосибирск: Наука, 1995. — Т.1. — 298 с.

102. Панин, В.Е. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. Текст./В.Е. Панин, В.Е. Егорушкин, П.В. Макаров и др./Под. ред. Папина В.Е. — Новосибирск: Наука, 1995. — Т.2. — 320 с.

103. Папин, В.Е. Структурные уровни деформации твёрдых тел Текст. / В.Е. Панин, В.А. Лихачев, Ю.В. Гриняев. — Новосибирск: Наука, 1985. — 229 с.

104. Балохонов P.P. Численное моделирование процесса деформации на ме-зоуровне и построение кривых течения поликристаллических материалов Текст.: дис. . канд. физ.-мат. наук/Балохонов Руслан Ревович. — Томск, 1999,- 147 с.

105. Макаров П.В. Математическая многоуровневая модель упругопла-стического деформирования структурно-неоднородных сред Текст. : дис. . д-ра. физ.-мат. наук / Макаров Павел Весильевич. — Томск, 1995.-248 с.

106. Гриняев, Ю.В. Полевая теория дефектов Текст. / Ю.В. Гриняев, Н.В. Чертова И Физическая мезомеханика. — 2000. — Т. 3, №5. — С. 19-32.167Косевич, A.M. Основы механики кристаллической решетки Текст./ A.M. Косевич. М.: Мир, 1972. - 280 с.

107. Дударев, Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов Текст./Е.Ф. Дударев. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. — 256 с.

108. Рыбин, В.В. Структурно кинетические аспекты физики развитой пластической деформации Текст./В.В. Рыбин/Известия вузов. Физика. — 1991.-№3.-С. 7-21.

109. Фридман, Я.Б. Механические свойства металлов Текст. / Я.Б. Фридман. — М: Оборонгиз, 1952. — 556 с.

110. Allen, D.J. Optimizing material strength constants numerically extracted from Taylor impact data Text. / D.J. Allen, W.K. Rule, S.E. Jones II Experimental Mechanics. 1997. - Vol. 37, No. 3. - P. 333-338.

111. Johnson, G.R. A generalized particle algorithm for high velocity impact computations Text. / G.R. Johnson, S.R. Beissel, R.A. Stryk II Computational Mechanics. 2000. - Vol. 25. - P. 245-256.

112. Скороход, В.В. Физико-механические свойства пористых материалов Текст./В.В. Скороход/Сб.: Порошковая металлургия—77. — Киев: На-укова думка, 1977.-С. 120-129.

113. Кульков, С.Н. Структура, фазовый состав и механические свойства керамик на основе диоксида циркония Текст./С.Н. Кульков, С.П. Буякова,

114. B.И Масловский/Вестник Томского государственного университета. — 2003.-№13.-С. 34-57.

115. Гогоци, Г.А. К вопросу о классификации малодеформируемых материалов по особенностям их поведения при нагружении Текст./Г.А. Гогоци/ Проблемы прочности. — 1977. — №1. — С.77—82.

116. Reuss, А.А. Berechnung der Fliesgrenze von Misch-Kristallen auf Grund der Plastizitats-Bedinnung fur Einkristalle Text./ A.A. Reuss/ Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 1929. - Bd. 9. - H. 1. -S. 49-58.

117. Кульков, С.Н. Формирование поверхностных структур при деформировании пористых непластичных сред Текст./С.Н. Кульков, С.П. Буякова,

118. C.В. Панин, П.С. Любутин/ Физическая мезомеханика. — 2006. — Т. 9, спец. выпуск. — С. 83—86.

119. Коноваленко, Иг.С. Особенности деформации и разрушения хрупких пористых сред с различной морфологией пор Текст./ Иг.С. Коноваленко, А.Ю. Смолин, С.Г. Псахье/Известия вузов. Физика. — 2005. — Т. 48, №6.-С. 25-26.

120. Смолин, А.Ю. О возможности квазивязкого разрушения хрупких сред со стохастическим распределением пор Текст./А.Ю. Смолин, Иг.С. Ко-новаленко, С.Н. Кульков, С.Г. Псахье/Письма в ЖТФ. — 2006. — Т. 32, № 17. — С. 7—14.

121. Смолин, А.Ю. Моделирование разрушения хрупких пористых сред с различной внутренней структурой Текст./А.Ю. Смолин, Иг.С. Конова-ленко, С.Н. Кульков, С.Г. Псахье/Известия вузов. Физика. — 2006. — Т. 49, №3.-С. 70-71.

122. Седов, J1. И. Механика сплошной среды Текст./JI.И. Седов: В 2-х т., Т.2. М.: Наука, 1973. - 536 с.

123. Карлов, А.В. Системы внешней фиксации и регуляторные механизмы оптимальной биомеханики Текст./А.В. Карлов, В.П. Шахов. — Томск: STT, 2001.-480 с.

124. John, F.K. Biological profile of calcium-phosphate coatings Text. /

125. F.K. John, D.C. Stephen/Hydroxilapatit coatings in orthopaedics surgery. — 1993.-P. 89-106.

126. Матвеева, А.И. Исследование биомеханики дентальных имплантатов сиспользованием методики трехмерного объемного математического моделирования Текст./А.И. Матвеева, Р.Ш. Гветадзе, В.Э. Логинов и др.// Стоматология. 1998. - Т. 77, №6. - С. 38-40.

127. Wintermantel Е. Biomaterials for Interbody Fusion Text. / E. Wintermantel, M. Mathey, J. Mayer/Swiss Priority Program on Materials Research. Project 4.2 B. 1995-1999 : (Final Report). P. 68-69.

128. Образцов, И.Ф. Проблемы прочности в биомеханике Текст./И.Ф. Образцов. — М.: Высш. шк., 1988. — 311 с.200Бегун, П.И. Биомеханика Текст./П.И. Бегун, Ю.А. Шукейло. — СПб.: Политехника, 2000. — 463 с.

129. Глазер, Р. Очерк основ биомеханики Текст. / Р. Глазер. — М.: Мир, 1988,- 128 с.

130. Александер, Р. Биомеханика Текст./Р. Александер. — М.: Мир, 1970. —140 с.

131. Коноваленко, Иг.С. Применение метода подвижных клеточных автоматов для оптимизации внутренней структуры эндопротеза тазобедренного сустава человека Текст./Иг.С. Коноваленко, Е.В. Шилько, С.Г. Псахье,

132. A.В. Карлов, А.Ю. Смолин/Известия Томского политехнического университета. 2004. - Т. 307, №6. - С. 116-121

133. B.М. Фомина. — Новосибирск: Параллель, 2005. — С. 133—138.

134. Коноваленко, Иг.С. Исследование напряженно-деформированного состояния бедренной кости человека с эндопротезом на основе дискретного подхода Текст. / Иг.С. Коноваленко, А.Ю. Смолин, А.В. Карлов,

135. C.Г. Псахье / Известия Томского политехнического университета. — 2006. Т. 309, №3. - С. 138-143.

136. Александров, А.В. Сопротивление материалов Текст./А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин : Учеб. для вузов. Изд. 2-е. — М.: Высшая школа, 2001. — 560 с.

137. Киттель, Ч. Введение в физику твёрдого тела Текст./Ч. Киттель.— М.: Наука, 1978- 792 с.

138. Келли, А. Кристаллография и дефекты в кристаллах Текст./ А. Келли, В. Гровс М.: Мир, 1974- 504 с.

139. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. I. Механика Текст./Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц М.: Наука, 1988 - 216 с.

140. Седов, Л. И. Механика сплошной среды Текст./Л.И. Седов: В 2-х т., T.l.-М.: Наука, 1976.-536 с.

141. Cosserat, Е. Theorie des Corps Deformables Text./E. Cosserat et F. Cos-serat. — Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils., 1909. — 230 p.

142. Ерофеев, В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой Текст./В.И. Ерофеев. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. 328 с.

143. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст./ О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 456 с.