Развитие дискретного подхода для моделирования высокоскоростной деформации материала

Чертов, Максим Андреевич

Развитие дискретного подхода для моделирования высокоскоростной деформации материала тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Чертов, Максим Андреевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Развитие дискретного подхода для моделирования высокоскоростной деформации материала»

Автореферат диссертации на тему "Развитие дискретного подхода для моделирования высокоскоростной деформации материала"

На правах рукописи

Чертов Максим Андреевич

РАЗВИТИЕ ДИСКРЕТНОГО ПОДХОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛА

Специальность 01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2005

Работа выполнена в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Псахье С.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Скрипняк В.А.

доктор физико-математических наук, ст. н.с. I Радченко А.В.

Ведущая организация:

Научно-исследовательский физико-технический институт, г. Красноярск

Защита состоится «01 » июля 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.038.01 в Институте физики прочности и материаловедения (ИФПМ) СО РАН по адресу: 634021, г. Томск, пр. Академический, 2/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФПМ СО РАН.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый,секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

О.В. Сизова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Методы численного моделирования, использующие аппроксимацию на сетке, широко применяются и развиваются уже более 50 лет. На их основе создано большое количество коммерческих программ, которые используются не только для исследовательских, но и для инженерных расчетов. Дискретные и бессеточные методы начали интенсивно развиваться и применяться для моделирования сплошных сред сравнительно недавно — с начала 90-х годов. Благодаря отсутствию сетки эти методы имеют преимущество при описании больших деформаций и перемешивания масс.

Для полного описания таких сложных процессов, как высокоскоростное деформирование и разрушение твердых тел, необходимо привлекать практически все разделы механики сплошных сред и многие разделы физики твердого тела. В общем случае требуется учитывать упругость и пластичность, плавление и затвердевание, кинетику фазовых переходов и процессов накопления дефектов различных типов, приводящих к макроразрушению, а также обратное влияние указанных явлений на структуру материала и его физические свойства. Достаточно общие и универсальные физико-математические модели такого рода в настоящее время отсутствуют. Это обуславливает одновременное сосуществование большого количества частных моделей и численных методов со своими характерными особенностями и преимуществами. В рамках континуального подхода механики сплошных сред одной из наиболее сложных задач является описание процессов разрушения. Проблема возникает при описании взаимодействия отдельных фрагментов, сопровождаемого перемешиванием масс, после разрушения. Процесс разрушения крайне сложен и многообразен, многие его аспекты недостаточно изучены даже качественно.

В этой связи особый интерес представляет интенсивно развиваемый в последние годы метод подвижных клеточных автоматов (Movable Cellular Automata - MCA). Метод развивает подход классических клеточных автоматов, предоставляющий большие возможности для реализации самых разнообразных моделей твердого тела, учитывающих практически любые физические процессы, сопровождающие высокоскоростную деформацию материала. Подвижность клеточных автоматов и возможность динамического переключения соседей позволяют моделировать механику деформируемого тела вплоть до разрушения. Таким образом, метод подвижных клеточных автоматов представляет широкие возможности для реализации смешанных физико-механических моделей твердого тела в рамках компьютерного эксперимента. В силу своей дискретной природы метод МСА особенно удобен для описания интенсивных разрушений, характеризующихся образованием большого количества границ раздела и перемешиванием масс. Достоинства данного метода позволили получить ряд новых научных результатов в различных областях, в том числе при моделировании геологических сред, нано-материалов, сыпучих сред, керамик, при расчете прочности каркасных конструкций, и др.

Перечисленные результаты были получены на основе версии метода МСА, разработанной для сравнительно небольших напряжений (порядка единиц пре-

дела текучести материала) и небольших скоростей нагружения. Возможность решения задач, предполагающих интенсивные динамические нагрузки, существенно повышает прикладную и научную ценность данного метода численного моделирования и открывает новые перспективы при исследовании процессов, связанных с высокоскоростными деформациями материалов и конструкций.

Целью диссертационной работы является развитие дискретного численного метода подвижных клеточных автоматов для описания высокоскоростного нагружения материалов и конструкций, а также исследование на его основе некоторых частных задач ударного взаимодействия твердых тел. В соответствии с общей целью в диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

1. Провести сравнительный анализ метода подвижных клеточных автоматов с распространенными сеточными методами и исследовать возможность построения на его основе комбинированного дискретно-континуального подхода.

2. Разработать физические основы описания больших величин и скоростей деформаций на основе введения нелинейной функции отклика.

3. Провести численное исследование взаимодействия деформируемого ударника с преградами различной толщины с использованием метода МСА.

4. Исследовать влияние поверхностных волн на соударение группы частиц с преградой.

5. Исследовать особенности моделирования теста Тейлора (соударение деформируемого цилиндра с жесткой преградой) в рамках метода частиц.

Научная новизна:

1. На основе теоретического анализа показано, что уравнения метода подвижных клеточных автоматов физически эквивалентны соотношениям механики сплошной среды в упругой области в пределе бесконечно малого размера автоматов. На этой основе впервые построен комбинированный дискретно-континуальный подход. Его реализация позволила объединить конечно-разностный сеточный метод и метод частиц (метод подвижных клеточных автоматов) для решения динамических задач физики конденсированного состояния.

2. Впервые предложена нелинейная функция отклика клеточного автомата, зависящая от объемной деформации, позволяющая учитывать нелинейную сжимаемость твердых тел.

3. На основе модели однородно-деформируемой среды, полученной в рамках калибровочной теории дефектов, предложена функция отклика клеточного автомата с зависимым от скорости деформации пределом текучести.

4. Показана роль поверхностных волн как переносчиков взаимодействия, реализующих коллективные эффекты при обработке поверхности потоком налетающих частиц. Влияние поверхностных волн может быть важным фактором, способствующим возникновению сверхглубокого проникания.

5. Показано, что при моделировании высокоскоростной пластической деформации методом подвижных клеточных автоматов необходим явный учет фор-

моизменения клеточного автомата. Предложены возможные подходы к решению данной проблемы.

Научная и практическая ценность. В диссертационной работе развиты физико-математические модели, позволяющие использовать метод подвижных клеточных автоматов для моделирования поведения материалов и конструкций при динамических нагрузках и больших величинах деформаций. Это позволило существенно (на 1-2 порядка) расширить диапазон доступных к исследованию с помощью данного метода давлений и скоростей нагружения (амплитуд давлений до ~10 ГПа и скоростей нагружения до ~106 с"1). Разработанные физико-математические модели, алгоритмы и программы могут быть использованы при анализе поведения и разрушения конструкций при интенсивных динамических нагрузках, исследовании влияния различных модификаций конструкций с целью оптимизации их характеристик, а также проведения расчетов при конструировании новых материалов.

Внесен вклад в теоретическое и практическое обоснование применимости метода МСА к моделированию задач физики твердого тела на макро и мезо-уровне. Показано, что в предельном случае бесконечно малого размера автоматов уравнения метода МСА эквивалентны соотношениям механики сплошной среды в упругой области, поэтому можно считать строго доказанным корректность метода для описания упругих задач и задач хрупкого разрушения.

Разработаны физико-математические основы и реализован комбинированный дискретно--континуальный подход, совмещающий достоинства метода частиц, связанные с возможностью моделирования интенсивного разрушения и перемешивания масс, с достоинствами сеточного метода: более высокой точностью при малых деформациях и большей скоростью счета. Это имеет практическую ценность при полноразмерном моделировании задач, где одновременно совмещаются области больших и малых деформаций, особенно при моделировании пар трения, процессов пробития, контактных границ.

Описанный эффект влияния поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала может иметь важное прикладное значение, способствуя лучшему пониманию процессов, протекающих, в частности, при холодном газодинамическом напылении. Более детальное исследование позволит сформулировать практические рекомендации по оптимальному выбору условий обработки.

Положения, выносимые на защиту:

1. Научные основы и методика совмещения метода частиц (метода МСА) и континуального подходов.

2. Нелинейная функция отклика для описания высокоскоростных деформаций, позволяющая расширить область применения метода подвижных клеточных автоматов.

3. Физическое обоснование и способ реализации зависящей от скорости деформирования функции отклика, основанной на модели однородно-деформируемой дефектной среды, построенной в рамках калибровочной теории дефектов.

4. Механизм реализации коллективных эффектов при взаимодействии потока частиц с поверхностью материала, связанный с влиянием поверхностных волн на соударение отдельных частиц с преградой.

5. Результаты расчетов, показывающие необходимость учета формоизменения клеточного автомата при моделировании высокоскоростной пластической деформации и возможные способы его реализации. •

расчетов и выводов,

сформулированных в диссертации, обеспечивается аналитическими исследованиями, сходимостью численных решений при тестовых расчетах, согласием полученных результатов с опубликованными результатами других авторов и данными физических экспериментов.

Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях различного уровня. Международные конференции: «Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies» - CADAMT (Томск, 2001, 2003); «Physical mesomechanics» (Томск, 2003, 2004; Патрас, Греция 2004); «Advanced Problems in Mechanics» - АРМ (Санкт-Петербург, 2003); «International Congress on Fracture» - ICF (Москва, 2003; Турин, Италия 2005). Всероссийские конференции: Школа-семинар «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003). Региональные конференции: Школа-семинар молодых ученых «Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития» (Томск, 2003,2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах. Перечень их наименований приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 160. Объем диссертации составляет 190 страниц, 49 рисунков, 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, перечислены полученные новые результаты, рассмотрена их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту.

диссертационной работы приведен обзор и сравнительный анализ существующих подходов к численному моделированию задач механики и физики твердого тела. Глава разбита на четыре части.

В первом параграфе рассмотрены методы, основанные на прямом моделировании динамики ансамбля частиц. Сюда в первую очередь относится метод молекулярной динамики, имеющий ясное физическое обоснование, но применимый только в области микроскопических пространственных и временных масштабов. Также рассматривается метод Монте-Карло, который позволяет несколько расширить временные рамки моделирования. Отдельно рассматривается класс методов, использующих динамику частиц для моделирования процессов на макроуровне (Distinct element method Кундалла и др.). При этом используются эмпирические парные законы взаимодействия частиц, а наиболее ус-

пешной областью применения таких методов является описание гранулированных и сыпучих сред.

Далее рассматриваются сеточные методы, основанные на дискретизации уравнений механики сплошной среды. При этом можно выделить три различных подхода к дискретизации дифференциальных уравнений: метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод контрольного объема. Обсуждаются особенности численных методов решения гиперболических уравнений. Кратко излагается история развития этих методов, описываются особенности схем типа Годунова, гибридных схем, схем с коррекцией и ограничением потоков, ТУО-схем. Обсуждаются особенности применения рассмотренных методов, связанные с численным решением задач физики и механики твердого тела

Приведен обзор группы методов, которые можно условно назвать методами псевдо-частиц, так как в них концепция частиц используется для дискретизации континуальных уравнений. Сюда включены методы частиц в ячейке, метод индивидуальных частиц, а также метод гладких частиц (8РИ) и метод обобщенных частиц (вРЛ).

В отдельный подраздел выделено рассмотрение основ метода клеточных автоматов, который можно выделить в самостоятельный подход к моделированию физических явлений. Это связано с тем, что в методе клеточных автоматов первично задание поведения моделируемой системы через определение законов взаимодействия ее элементов. Такой подход является более универсальным, чем описание объекта системой дифференциальных уравнений, однако иногда могут возникать затруднения в строгом доказательстве адекватности клеточно-автоматной модели реальному объекту. Обсуждаются области применения классических клеточных автоматов в физике, а также связь с методом подвижных клеточных автоматов.

посвящена изложению теоретических основ квазистатической версии метода подвижных клеточных автоматов и комбинированного дискретно-континуального подхода. Обсуждается эквивалентность описания упругой среды с помощью дискретного подхода метода МСА и с помощью континуального описания, рассматривается реализация и тестирование совмещения дискретного метода подвижных клеточных автоматов и конечно-разностного метода.

Движение центров автоматов в методе МСА описываются классическими уравнениями движения для частиц конечного радиуса с учетом поворотных степеней свободы. Особенностью является то, что силы взаимодействия являются не парными, а многочастичными. Выражение для них получено по аналогии с моделью Винера-Розенблюта для клеточных автоматов, где эволюция параметра состояния клеточного автомата определяется функцией его собственного параметра состояния и переносом параметров состояния от соседей. В данном случае полная сила Еу определяется парной составляющей, которая выражается через параметр перекрытия пары автоматов; Ъг и модуль Юнга Е, плюс переносом взаимодействия от соседних частиц.

К = ES4-+if ^Cdi.tkMa^F^ ^СУЛМ^К'Л (1)

где коэффициенты С имеют смысл параметров переноса взаимодействия, v/ -ориентационные множители, учитывающие взаимное расположение автоматов. Значения коэффициентов были подобраны при проведении тестовых расчетов. Известно, что закон взаимодействия (1) позволяет перейти от поведения ансамбля частиц подобного набору точечных масс к поведению, которое позволяет моделировать сплошную среду.

Один из важных результатов проведенной работы заключается в том, что теоретически показана эквивалентность описания упругой среды в рамках метода МСА и континуального описания при устремлении размера автомата к нулю. Рассмотрены случаи регулярной квадратной и плотной упаковки в предположении, что частицы испытывают только малые смещения от положений равновесия. При выполнении в (1) предельного перехода к нулевому размеру частицы в случае плотной упаковки важным моментом является аккуратный переход от сил, ориентированных по направлению центров, к напряжениям, ориентированным вдоль ортогональных декартовых осей. Учитывая, что tijdjte^,

F^/S , после преобразований, можно от (1) перейти к

<т„-2 СГоп=Ееа (2)

в случае квадратной упаковки и к

-4sin аСуо^ = Ееа (2')

в случае плотной, где sinaравен 60°. Выражения (2) и (2') эквивалентны закону Гука при определенных значениях коэффициента С (С=1/2 иС = 1/2л/з соответственно). Ньютоновские уравнения движения частиц можно получить из уравнений движения механики сплошной среды в частных производных с помощью интегрирования. Таким образом, смысл коэффициента С заключается в нормировке вкладов от соседей, учитывающей геометрию упаковки. Отметим, что проведенная аналитическая проверка позволяет найти точные значения коэффициентов переноса взаимодействия, которые ранее определялись в ходе тестовых расчетов. При неправильном значении коэффициента, в частности при С=0, что соответствует парному взаимодействию, не удается корректно описывать сплошную среду, поскольку эквивалентность (2), (2') закону Гука нарушается.

В ходе разработки и реализации совмещения метода подвижных клеточных автоматов с сеточным методом, эквивалентность описания упругой среды методом МСА и континуального описания подтверждается практически. Для полноты описания кратко изложены соотношения лагранжева конечно-разностного численного метода, используемого для совмещения. Затем подробно рассматриваются условия стыковки дискретного и конечно-разностного методов на границе раздела. При этом используется ряд ограничений: граница совмещения предполагается линейной, она должна быть задана заранее.

Центры частиц, лежащих на границе совмещения, жестко связаны с граничными ребрами сетки, они не могут отрываться от границы и новые частицы не могут входить в контакт с сеткой. Возможны ситуации, когда диаметр клеточного автомата равен шагу сетки, и когда он меньше его (рис. 1). Основная процедура совмещенного расчета выглядит следующим образом. Сначала вычисляются силы, действующие на каждый из узлов сетки. При этом, для узлов, лежащих на границе сопряжения, слагаемые от недостающих ячеек заменяются силами, действующими на пограничные автоматы со стороны МСА области. Затем рассчитывается перемещение узлов сетки. Далее, при перемещении пограничных автоматов, неразрывно связанных с ребрами сетки, соответствующее воздействие из области сетки передается во внутреннюю область МСА. Таким образом, со стороны сетки воздействие дискретной области представляет собой меняющиеся силовые граничные условия. При расчете временного шага в области дискретного метода перемещения сеточной области определяют граничные условия в скоростях.

Отдельный подраздел посвящен тестированию совмещенного дискретно-континуального подхода. Для этого была рассмотрена задача о распространении упругих волн различных типов, возбуждаемых импульсным точечным воздействием, в среде со свободной поверхностью. Одна часть моделируемой среды рассматривалась как сплошная, другая — как дискретная. При этом их механические характеристики полагались одинаковыми. Были рассмотрены случаи различного расположения источника нагрузки относительно линии сопряжения, случай квадратной и плотной упаковки автоматов в дискретной области. Проведен анализ распространения продольной, поперечной и Рэлеевской волн. Во всех рассмотренных случаях результаты расчетов не показали существенного искажения волновых фронтов на границе сопряжения (рис. 2), что говорит о корректности разработанной процедуры совмещения.

изложена модификация метода МСА для описания высокоскоростных нагружений. Прежде всего, обоснована необходимость и способ реализации нелинейной функции отклика клеточного автомата, которая по своей роли аналогична нелинейному уравнению состояния материала в механике сплошной среды. При выборе способа задания этой функции учитывались 3 критерия. Преемственность, простота с точки зрения реализации и вычислений, универсализм, позволяющий описывать различные материалы, не внося больших изменений в расчетный алгоритм. С учетом первых двух требований нелинейное взаимодействие вводится через изменение объемного упругого модуля, который домножается на зависящий от объемной деформации коэффициент, переходящий в единицу при нулевой объемной деформации. Введенные соот-

Рис. 1 Сопряжение континуальной и дискретной расчетных областей. Размер подвижных автоматов меньше шага сетки

ношения обеспечивают выполнение феноменологического закона, связывающего скорость волны Б и скорость материальных частиц V:

1У=Со+Ъи (3)

Не смотря на то, что зависимость (3) имеет простой вид, она обеспечивает достаточно хорошее согласие с экспериментальными данными. Используя соотношения Гюгонио, выражающие закон сохранения импульса и массы

&=-и/В, (4)

Р=рОи, (5)

можно получить соответствующее выражение для объемного упругого модуля через объемную деформацию В и коэффициент Ь:

к<=ар = к {1~ьв)

(6)

На начальном этапе тестирование введенной нелинейности проводилось в одномерном случае. Проводилось сжатие цепочки автоматов с постоянной скоростью, которая варьировалась в разных расчетах. Использовался линейно-упругий материал. Было получено, что введенная нелинейность действительно позволяет учесть ряд характерных эффектов, которые отсутствуют в случае линейной функции отклика Например, наблюдается рост скорости звука в сжатой среде, обострение фронта волны сжатия. На следующем этапе проводились расчеты в двумерной постановке. Для этого потребовалось специально реализовать расчет в приближении плоско-деформированного состояния. Моделировалось сжатие однородных стержней из различных материалов с постоянной скоростью. Проводилось сопоставление расчетных и экспериментальных D-U диаграмм Первоначально расчетные кривые имели систематически за-

ниженныи наклон, точную причину которого установить не удалось. Этот недостаток устраняется с помощью введения поправочного коэффициента, единого для различных материалов. На рис. 3 представлен соответствующии расчет для железа с учетом поправок в сравнении с экспериментальными данными. Спад расчетной D-U диаграммы при малых скоростях нагружения обусловлен тем, что при малых скоростях регистрировалась скорость упругого предвестника, которая превышает скорость распространения пластической волны. Отметим, что введенная нелинейная функция отклика не учитывает некоторые физические процессы, в частности, полиморфные превращения материалов. Тем не менее, она позволяет достичь достаточно хорошего согласия с экспериментальными данными в области давлений, где отсутствуют перестройки структуры материала.

Далее обсуждаются возможные способы учета в методе МСА влияния скорости деформирования на отклик среды. Приведен краткий обзор существующих теоретических подходов к учету динамических эффектов при деформировании. Известно большое количество моделей динамического поведения упруго-пластических сред: релаксационные и упруго-пластические модели, полностью феноменологические модели и подходы, явно учитывающие эволюцию внутренней структуры материала, в частности, дислокационную кинетику. В данной работе было решено использовать результаты модели, построенной в рамках калибровочной теории дефектов, которая учитывает физические механизмы пластической деформации и построена на основе строгого математического формализма. При построении модели учитывается самодействие поля дефектов, вводится вязкость, связанная с движением носителей пластической деформации. Используется приближение однородного (хаотичного) распределения дефектов, которое наблюдается экспериментально вблизи предела текучести. Основное уравнение модели в безразмерных переменных связывает скорость пластической деформации v и внешнее приложенное напряжение, 5":

сЫ

у + 5.

(7)

Рассматривается одномерная задача одноосного нагружение материала с постоянной скоростью полной деформации Ь, которая выступает в качестве внешне-

го управляющего параметра. При этом в (7) \ = Ь-£, где е- упругая деформация. Результат анализа уравнения (7) показывает, что по мере роста скорости деформирования Ъ одного и того же материала изменяется качественный характер его поведения: сначала наблюдается диаграмма с площадкой текучести, затем диаграмма с зубом текучести, последнюю зависимость можно интерпретировать как хрупкое поведение (рис.4). В случае диаграммы для идеально-пластического материала (крайний левый график на рис. 4) получено аналитическое выражение, связывающее предел текучести со скоростью деформации:

Г-^-тА (8)

где константа теории В характеризует инерционные свойства ансамбля дефектов, а Т] — вязкие. Далее это выражение используется для построения зависящей от скорости деформирования функции отклика клеточного автомата.

Рис. 4. Расчетные as диаграммы при различных скоростях деформации Ъ.

Для моделирования упруго-пластического поведения в методе МСА в настоящее время используется теория малых упруго-пластических деформаций. Напряжения разбиваются на шаровую часть, которая определяется объемной деформацией, и сдвиговую часть, которая пропорциональна сдвиговым деформациям с некоторым коэффициентом Щ в упругой области равному модулю сдвига. Пластическое поведение определяется кривой Oj-£j в интенсивностях, которая предполагается одинаковой для различных видов нагружения. Используется модель билинейного упрочнения, т.е. коэффициент yf имеет три участка постоянных значений. При переходе между участками его значение меняется скачком. Чтобы ввести зависимость напряжения от скорости деформации, в предложенной модели уменьшение модуля от максимального значения на упругом участке до значения на первом участке линейного упрочнения происходит по закону:

Выбранный вид зависимости (9) приводит к тому же параболическому закону для предела текучести, что и полученный в калибровочной модели. На рис. 5 представлены рассчитанные с учетом реализованных изменений диаграммы при различных скоростях. Отметим, что рост скорости деформирования приводит к сокращению участка упрочения, который исчезает совсем, когда предел

-текучести увеличивается до

___'-""^--''.ДЦ л ^з^ предела разрушения. Таким

образом, в построенной численной модели, так же как и в калибровочной модели, с ростом скорости нагружения наблюдается переход к хрупкому поведению материала.

Четвертая глава посвящена численному исследованию на основе метода МСА различных процессов, связанных с интенсивным динамическим нагружением. Первая из поставленных задач заключается в исследовании влияния поверхностных волн на взаимодействие группы налетающих частиц с поверхностью преграды. Актуальность этой проблемы обусловлена, в частности, тем, что соударение потока частиц с преградой лежит в основе различных технологий обработки поверхности, например, холодного газодинамического и детонационного напыления. В отличие от других методов исследования, компьютерное моделирование позволяет детально проследить динамику процесса соударения, нюансы генерации поверхностных волн при соударениях. Основное внимание уделялось тому, какое влияние оказывает присутствие поверхностной волны на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью. Рассматривался простейший случай соударения двух частиц. Первая частица налетала на невозмущенную поверхность, что приводило к возбуждению поверхностной волны. Вторая частица налетала с той же скоростью уже в присутствии волны, при этом варьировалось положение точки соударения относительно положения волны.

Рис. 6 Распределение повреждений (сплошная линия) и работы пластической деформации (штрих-пунктир) в зависимости от положения точки удара относительно поверхностной волны. Стрелкой отмечено первое соударение, генерирующее волну, значения на оси абсцисс соответствуют положению второго соударения.

Расчеты показали, что присутствие поверхностной волны приводит как к усилению, так и ослаблению взаимодействия частиц с преградой в зависимости от точки соударения, что можно рассматривать как динамическое перераспределение механического отклика системы пластина-частица. При этом, как видно из рис. 6, параметры, характеризующие величину необратимых изменений в результате столкновения, достаточно хорошо коррелируют с конфигурацией поверхностной волны. Максимум повреждений и пластической деформации расположен вблизи вихревой структуры в поле скоростей. Таким образом, присутствие волновых возбуждений существенно меняет характер взаимодействия частиц и поверхности, что на практике может проявляться в локальном изменении таких свойств поверхности, как прочность, адгезионная способность, и т.д.

На следующем этапе работы выполнено численное исследование пробития преград конечной толщины удлиненным деформируемым ударником, проведенное с помощью модифицированного метода МСА и совмещенного дискретно-континуального подхода. Процесс пробития сопровождается интенсивным разрушением и перемешиванием масс вблизи канала пробития, поэтому моделирование такой задачи является важным тестом возможностей метода. Параметры задачи, скорость соударения, и т. д. были взяты из работы «Высокоскоростное взаимодействие тел», В.М. Фомин, А.И. Гулидов, Г.А. Сапожников и др. Толщина пластин варьировалась. Результаты моделирования представлены на рис. 7. Слева представлен результат расчета на основе метода МСА. Можно наблюдать формирование характерного наплыва на входе канала, а также грибообразное расплющивание налетающего стержня, что качественно соответствует экспериментальной картине деформирования и разрушения ударника и преграды. На рис. 7 справа представлен расчет, проведенный с использованием комбинированного дискретно-континуального подхода с такими же начальными параметрами и геометрией как в предыдущем случае. Центральная область,

Рис. 7 Моделирование пробития преград конечной толщины методом МСА (слева) и комбинированным дискретно-континуальным подходом (справа).

где имеют место наиболее интенсивные деформации и разрушения, моделировалась частицами, края пластины — сеткой. Было получено, что в этом случае потери массы и скорости стержня за счет его срабатывания оказываются незначительно, но систематически завышенными. Наблюдаемые различия в общей картине деформирования более существенны. Наиболее вероятная причина раз-

линии связана с тем, что совмещение двух методов в случае выхода за пределы упругой области не является полностью корректным.

Следующий подраздел посвящен моделированию теста Тейлора. Если в случае пробития преград наиболее характерны процессы интенсивного разрушения, здесь наиболее ярко проявляются пластические деформации. Моделирование теста Тейлора является классическим тестом для проверки точности расчетов при высокоскоростном соударении. Поскольку в ходе этого теста скорости и величины деформации сильно варьируются в различных областях, то используемые математические модели одновременно проверяются в широком диапазоне условий. Для решения поставленной задачи был реализован осесим-метричный расчет. Чтобы проверить правильность расчета в цилиндрических координатах, проведено моделирование теста Тейлора без разрушения. Сравнение с экспериментальными данными и расчетами из статьи Джонсона показало, что отклонение результатов, полученных методом МСА, не превышает 8% (табл. 1,рис. 8).

Таблица 1. Сравнение параметров цилиндра после соударения, рассчитанных методом МСА, с данными из *.

V, м/с L/Lo D/D0

Эксперимент 252 0.842 -

HEMP 252 0.842 -

EPIC-2 252 0.853 1.49

ЕР1С-2 с вращ 252 0.848 1.50

МСА 252 0.837 1.45

Эксперимент 402 0.635 -

HEMP 402 0.667 -

ЕР1С-2 402 0.684 2.15

EPIC-2 с вращ 402 0.675 2.17

МСА 402 0.684 2.0

* - Johnson G.R. Dynamic response ofaxisymmetric solids subjected to impact and spin

Основной интерес представляет моделирование теста Тейлора с учетом разрушения, когда одновременно присутствуют как большие пластические деформации, так и образование трещин и фрагментация материала. В ходе моделирования теста Тейлора с учетом разрушения был обнаружен ряд проблем, которые не позволяли получить даже качественного согласия с эталонным расчетом. Ниже перечислены наиболее важные шаги, которые были предприняты для решения этих проблем. В расчете с помощью исходной версии метода МСА имели место чрезмерно интенсивные разрушения. Чтобы избежать их, были испробованы различные критерии разрыва межавтоматных связей: по интенсив-

ности напряжения, по предельной деформации. Была реализована широко используемая в сеточных методах процедура приведения к кругу текучести. Потребовалось модифицировать алгоритм расчета объемной деформации, поскольку используемый ранее расчет в линейном приближении приводил к наложениям частиц. При проведении расчетов с разрушением потребовалось уменьшить величину численных неустойчивостей, возникающих при перелин-ковке автоматов. Для этого введено пространственное сглаживание скоростей, аналогичное используемому в методе гладких частиц. Варьировались и другие параметры расчета: вязкость, критерии перелинковки.

В результате проделанных модификаций метода МСА удалось достичь достаточно хорошего согласия результатов моделирования с профилем деформированного стержня Тейлора в эталонном расчете, однако не удалось полностью избежать развития численных неустойчивостей, которые приводят к досрочному завершению расчета. Причина этого в том, что при образовании новых связей между клеточными автоматами (перелинковке) происходит скачок скоростей и напряжений. Это, в свою очередь, связано с тем, что критерий входа в контакт новой пары автоматов использует исходный радиус частиц до деформации. В связи с этим, был сделан вывод, что для адекватного описания больших пластических деформаций необходимо явно учесть формоизменение подвижных клеточных автоматов.

Учет формоизменения является достаточно сложной самостоятельной проблемой, в работе намечены два возможных подхода к ее решению. В первом из них предлагается аппроксимировать границу частицы с помощью эллипса, что требует минимальное количество дополнительно вводимых параметров: достаточно знать длину и ориентацию большой полуоси эллипса. Параметры эллипса предполагается определять через радиус-векторы, соединяющие центр автомата с текущими точками контакта до соседей.

Другой способ учета формоизменения основан на расчете динамики репера, то есть полного набора векторов, связывающих центр клеточного автомата с точками контакта с соседями. При разрыве какой-либо из связей последнее положение точки контакта запоминается в качестве одного из свободных реперов, динамика которого в дальнейшем определяется исходя из равенства нулю напряжения на границе. В произвольном направлении границу автомата через опорные точки предложено задавать несколькими способами. Первый способ предполагает задание границы отрезками прямых, проведенными через концы реперных векторов, перпендикулярно к ним. При этом возникает необходимость пересчитывать точки пересечения соседних линий. Во втором случае граница задается в каждом из секторов независимо бикубическим сплайном.

ВЫВОДЫ

1. Теоретически показана эквивалентность описания упругой среды в рамках дискретного подхода метода подвижных автоматов и на основе уравнений континуальной механики при устремлении размера частиц к нулю. Выявлен смысл коэффициента переноса взаимодействия в методе МСА, проведена его оценка.

2. Сформулирован комбинированный подход к моделированию твердых тел, основанный на совместном использовании дискретного и континуального подходов. Впервые разработан и реализован алгоритм, объединяющий в рамках единой схемы метод подвижных клеточных автоматов с конечно-разностными методами механики сплошной среды.

3. Впервые введен новый тип нелинейной функции отклика клеточного автомата, позволяющий учесть нелинейное нарастание давления при больших степенях сжатия. Это позволяет значительно расширить доступный при моделировании методом МСА диапазон напряжений и скоростей нагружения.

4. В рамках подхода калибровочной теории дефектов исследована физическая модель упругопластической среды, включающая диссипацию и самодействие поля дефектов, которая позволяет анализировать влияние скорости деформирования на а-е диаграммы. Полученная в модели зависимость предела текучести от скорости деформации использована при построении функции отклика клеточного автомата, зависящей от скорости нагружения.

5. На основе результатов численного моделирования предложен новый механизм реализации коллективных эффектов при соударении потока частиц с преградой, обусловленный влиянием поверхностных волн, генерируемых отдельными столкновениями, на взаимодействие потока с поверхностью. Данный механизм может быть использован при построении физико-механической модели феномена сверхглубокого проникания.

6. Показана применимость метода МСА, в том числе в рамках комбинированного дискретно-континуального подхода, к моделированию процессов высокоскоростной деформации для случая пробития преград конечной толщины удлиненным деформируемым ударником.

7. На основе численного моделирования теста Тейлора методом МСА показано, что для более точного описания пластического поведения в условиях высокоскоростной деформации необходим явный учет формоизменения частиц. Определены возможные способы его реализации.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ.' мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 3. - С. 93-96.

2. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. - 2003.- Т. 6, № 6.- С. 11-21.

3. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Чертов М.А. Моделирование поведения сложных сред на основе совместного использования дискретного и континуального подходов // Письма в ЖТФ. 2004. Т.ЗО. В.17. С.7-13.

4. Чертов М.А., Сонг И., Чен К., Хуанг Д., Смолин А.Ю., Шилько Е.В., Псахье. СТ. Использование метода подвижных клеточных автоматов для описания больших объемных деформаций и высокоскоростного нагружения. // Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития: Сб. ст. молодых ученых. -Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2003. - 168 с. - С 52-54.

5. М.А. Chertov, A.Yu. Smolin, E.V. Shilko ,S.G. Psakhie , Ke Chen, Dewu Huan Simulation of complex plane targets penetration by long rod using MCA method // Proceedings of the Sixth Int. Conf. for Mesomechanics - Multiscaling and Applied Science, Patras, Greece, 2004, G.C. Sih, Th. Kermanidis & Sp. Pantelakis (Eds.), pp. 307-311.

6. Гриняев Ю.И., Чертова Н.В., Чертов М.А. Анализ влияния скорости деформирования на характер диаграмм о-е//ПМТФ, 2002, т.43, №4 с 150-154.

7. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Псахье С.Г. Особенности взаимодействия группы налетающих частиц с поверхностью. Влияние поверхностных волн. // Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития: Сб.статей молодых ученых.-Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2004.-200c.-C 61-63.

8. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Сапожников Г.А., Псахье СТ. Влияние поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала// Письма в ЖТФ. 2004. Т.ЗО. В.23. С.77-84.

9. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Е.В. Шилько, СТ. Псахье. О тонкой структуре возмущений, генерируемых в условиях локальных импульсных воздействий в упругих пластинах // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 2. - С. 65-69.

10.Chertov M.A., Smolin A.Yu., Stefanov Yu.P., Psakhie S.G., Dewu Huan Computer simulation of target penetration on the basis of a combined discrete-continual approach // Материалы международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов, г.Томск, Россия, 2004, с. 309-312.

Подписано к печати 25.05.2004г.

Тираж 50 экз. Заказ № 37. Бумага офсетная.

Формат 60X84/16. Объем 1,2 пл

Печать Ю80. Отпечатано в типографии ООО «РауШ мбХ»

Лицензия Серия ПД № 12-0092 от 03.05.2001 г.

634034, г. Томск, ул. Усова 7, ком. 052. тел. (3822) 56-44-54

fi.

. \

- '/'

1613

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Чертов, Максим Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ.

1.1 Методы прямого моделирования ансамбля частиц.

4 1.2 Сеточные методы.

1.3 Современные методы псевдо-частиц: SPH, GPA. Свободно-лагранжевы методы.

1.4 Метод клеточных автоматов.

ГЛАВА 2. МЕТОД ПОДВИЖНЫХ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ (МСА). СОВМЕЩЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО И КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДОВ.

2.1 Основные положения метода подвижных клеточных автоматов.

2.2 Эквивалентность описания упругой среды методом МСА и континуального описания в пределе малого размера частиц.

2.3 Совмещение метода подвижных клеточных автоматов с конечно-разностным сеточным методом.

2.3.1 Основные положения конечно-разностного сеточного метода.

2.3.2 Алгоритм совмещения сеточного метода и метода МСА.

2.3.3 Решение задачи прохождения упругих волн через границу раздела.

ГЛАВА 3. РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОДВИЖНЫХ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ.

3.1 Нелинейная функция отклика.

3.1.1 Обоснование и основные положение нелинейной модели.

3.1.2 Верификация модели на основе численных расчетов.

3.2 Учет влияния скорости деформирования на отклик материала.

3.2.1 Модели деформирования твердых тел, учитывающие влияние скорости деформации.

3.2.2 Динамическая модель однородно-дсформируемого материала, построенная в рамках калибровочной теории дефектов.

3.2.3 Физическое обоснование и способ реализации функции отклика клеточных автоматов, зависящей от скорости деформации.

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОДВИЖНЫХ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ.

4.1 Соударение группы частиц с поверхностью материала. Анализ влияния поверхностных волн.

4.2 Пробитие преград деформируемым ударником. Сравнение с расчетами на основе комбинированного дискретно-континуального подхода.

4.3 Тест Тейлора.

Введение диссертация по физике, на тему "Развитие дискретного подхода для моделирования высокоскоростной деформации материала"

Объект исследования и актуальность темы. Компьютерное моделирование занимает особое положение в системе научного знания, между теоретическими и экспериментальными исследованиями. По сравнению с теоретическим подходом, компьютерное моделирование позволяет оперировать большим количеством степеней свободы, и в свою очередь в сравнении с реальным экспериментом, оно дает существенно большую свободу в выборе условий испытаний. При достаточном качестве физической модели численное моделирование позволяет уменьшить количество натурных испытаний и тем самым уменьшить полную стоимость исследований. Одно из немаловажных преимуществ компьютерного эксперимента заключается в возможности анализа динамики процессов с произвольным временным разрешением, в произвольном ракурсе и сечении, то есть в буквальном смысле заглянуть внутрь моделируемого процесса, тогда как в натурном эксперименте возможно изучение лишь его внешних проявлений. Это позволяет глубже понять физические механизмы многих явлений, а иногда и предсказать новые нелинейные динамические эффекты.

Численное моделирование динамических процессов имеет, с одной стороны, высокую прикладную и научную ценность, а с другой, - является достаточно сложной задачей. В первую очередь это связано с большим количеством принципиально различных взаимовлияющих факторов и физических процессов, которые вовлечены в высокоскоростное деформирование. Так, данный процесс имеет выраженный волновой характер с комплексным взаимодействием ударных волн и волн разгрузки. Динамические воздействия приводят к разогреву материала, который может приводить к изменению его механических свойств, характерными являются фазовые переходы, возможны эффекты локального плавления и даже испарения вещества. При сверхвысоких давлениях необходимо учитывать излучение и ионизацию. Общепринятым приемом в механике сплошной среды, который используется и при построении численных методов, является раздельное вычисление объемной и сдвиговой части напряжений, поскольку это необходимо для описания предельного случая отсутствия сдвиговой жесткости (течение жидкости). Описание отклика среды на объемное сжатие требует построения адекватных широкодиапазонных уравнений состояния. Не менее важно иметь надежные модели поведения среды при сдвиговых деформациях. Причем модели пластического поведения должны быть работоспособны при различных значениях скоростей деформации, обеспечивая плавный переход от малых скоростей, когда девиаторная часть напряжений доминирует над объемной, до больших, когда ситуация обратная. Кроме того, возможно механическое разрушение и фрагментация материала на отдельные осколки под действием растягивающих или сдвиговых напряжений. Особо сложной задачей является описание взаимодействия отдельных фрагментов, сопровождаемое перемешиванием масс, после разрушения. Процесс разрушения твердого тела крайне сложен и многообразен, он включает различные аспекты, многие из которых недостаточно изучены к настоящему времени даже качественно.

Таким образом, для полного описания такого сложного процесса, как высокоскоростное деформирование и разрушение твердых тел, необходимо привлекать практически все разделы механики сплошных сред и многие разделы физики твердого тела. Достаточно общие и универсальные физико-математические модели такого рода на настоящий момент отсутствуют. Это обуславливает одновременное сосуществование большого количества частных теорий и численных методов со своими характерными особенностями и преимуществами. Полная теория должна учитывать упругость и пластичность, плавление и затвердевание, кинетику фазовых переходов и процессов накопления дефектов различных типов, приводящих к макроразрушению, а также обратное влияние указанных явлений на структуру материала и его физические свойства. В связи с этим, проблема количественного описания процессов высокоскоростного деформирования осложняется, с одной стороны, необходимостью знать реальные свойства конструкционных материалов в широком диапазоне изменения параметров для различных агрегатных состояний вещества, а с другой, -необходимостью иметь модельные представления для их адекватной математической формулировки.

В этой связи особый интерес представляет интенсивно развиваемый в последние годы метод подвижных клеточных автоматов. Этот метод примечателен своими достоинствами при решении ряда задач, которые во многих случаях являются уникальными. В силу своей дискретной природы метод МСА особенно удобен для описания интенсивных разрушений, сопровождаемых образованием большого количества границ раздела, моделирования гетерогенных материалов, моделирования нагружения за пределами разрушения, которое сопровождается перемешиванием масс. Достоинства данного метода позволили получить ряд новых научных результатов в различных областях, в том числе при моделировании геологических сред, нано-материалов, сыпучих сред, керамик, при расчете прочности каркасных конструкций, и др. Универсализм подхода клеточных автоматов, в котором единственным ограничением при выборе взаимодействия между автоматами является критерий лучшего соответствия модели эксперименту, является очень удобной основой для реализации широкого класса моделей, описывающих очень разнообразные по природе физические явления.

Существенным ограничением, которое, тем не менее, не помешало получать новые научные результаты, являлось то, что использование метода МСА ограничивалось рамками сравнительно небольших напряжений (порядка единиц предела текучести материала) и небольших скоростей нагружения. Возможность рассматривать задачи, предусматривающие интенсивные динамические нагрузки существенно повышает прикладную и научную ценность данного метода численного моделирования и открывает новые возможности в применении методов численного моделирования для решения задач, связанных с высокоскоростными деформациями материалов и конструкций.

Поэтому, целью диссертационной работы является развитие дискретного численного метода подвижных клеточных автоматов для описания высокоскоростного нагружения материалов и конструкций, а также исследование на его основе некоторых частных задач ударного взаимодействия твердых тел.

В соответствии с общей целью в диссертационной работе были поставлены следующие конкретные задачи:

4. Исследовать влияние поверхностных волн на соударение группы частиц с преградой.

Научная новизна.

5. Показано, что при моделировании высокоскоростной пластической деформации методом подвижных клеточных автоматов необходим явный учет формоизменения клеточного автомата. Предложены возможные подходы к решению данной проблемы.

Научная и практическая ценность. В диссертационной работе развиты физико-математические модели, позволяющие использовать метод подвижных клеточных автоматов для моделирования поведения материалов и конструкций при динамических нагрузках и больших величинах деформаций. Это позволило существенно (на 1-2 порядка) расширить диапазон доступных к исследованию с помощью данного метода давлений и скоростей нагружения (амплитуд давлений до ~10ГПа и скоростей нагружения до ~106 с"1). Разработанные физико-математические модели, алгоритмы и программы могут быть использованы при анализе поведения и разрушения конструкций при интенсивных динамических нагрузках, исследовании влияния различных модификаций конструкций с целью оптимизации их характеристик, а также проведения расчетов при конструировании новых материалов.

Внесен вклад в теоретическое и практическое обоснование применимости метода МСА к моделированию задач физики твердого тела на макро и мезоуровне.

Показано, что в предельном случае бесконечно малого размера автоматов уравнения метода МСА эквивалентны соотношениям механики сплошной среды в упругой области, поэтому можно считать строго доказанным корректность метода для описания упругих задач и задач хрупкого разрушения.

Разработаны физико-математические основы и реализован комбинированный дискретно-континуальный подход, совмещающий достоинства метода частиц, связанные с возможностью моделирования интенсивного разрушения и перемешивания масс, с достоинствами сеточного метода: более высокой точностью при малых деформациях и большей скоростью счета. Это имеет практическую ценность при полноразмерном моделировании задач, где одновременно совмещаются области больших и малых деформаций, особенно при моделировании пар трения, процессов пробития, контактных границ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Научные основы и методика совмещения метода частиц (метода МСА) и континуального подходов.

-104. Механизм реализации коллективных эффектов при взаимодействии потока частиц с поверхностью материала, связанный с влиянием поверхностных волн на соударение отдельных частиц с преградой.

Обоснованность и достоверность расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается аналитическими исследованиями, сходимостью численных решений при тестовых расчетах, согласием полученных результатов с опубликованными результатами других авторов и данными физических экспериментов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. На международных конференциях «Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies» - С AD AMT (Томск, 2001, 2003).

2. На международных конференциях по физической мезомеханике (Томск, 2003, 2004; Патрас, Греция 2004).

3. На международной конференции «Advanced Problems in Mechanics» - АРМ (Санкт-Петербург, 2003).

4. На международной конференции «International Congress on Fracture» - ICF (Москва, 2003; Турин, Италия 2005).

5. На региональной школе-семинаре молодых ученых «Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития» (Томск, 2003, 2004).

6. На всероссийской школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах. Перечень их наименований представлен в списке цитируемой литературы [92-94, 110, 115, 138, 151, 152, 157, 158].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 190 страниц, 49 рисунков, 3 таблицы. Список литературы содержит 160 наименований.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты и выводы, полученные в данной работе, заключаются в следующем:

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Чертов, Максим Андреевич, Томск

1. Tsai D.H., MacDonald R.A. Shock wave profile in a crystalline solid // 1.id. - 1978. -V.ll, N.10. - P. L365-L371.

2. Batteh J.H., Powell J.D. Shock propagation in the one dimensional lattice at a nonzero initial temperature // J.Appl.Phys. 1978. - V.49, N.7. P. 3933-3940.

3. Клименко В.Ю., Дремин A.H. Структура фронта ударной волны в твердом теле // Докл. АН СССР 1980. Т.251, № 6. С. - 1379-1381.

4. Коростелев С.Ю., Псахье С.Г., Панин В.Е. Молекулярно-динамическое исследование атомной структуры материала при распространении ударной волны // ФГВ. 1988. Т.24, № 6. - С. 124-127.

5. Псахье С.Г., Зольников К.П., Костин И.А. О нелинейном механизме переноса энергии фронтом возмущения при локальном высоко-энергетическом нагружении // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. В.2. С.30-36.

6. Могилевский М.А., Мынкин И.О. Роль флуктуаций в зарождении сдвигов при одномерном сжатии решетки // ФГВ. 1985. Т.21, № 3. - С. 113-120.

7. Ющенко B.C., Щукин Е.Д. Молекулярно-динамическое исследование элементарных процессов разрушения под действием постоянной нагрузки // Докл. АН СССР 1978. Т.242, № 3. С. - 653-656.

8. Псахье С.Г., Дмитриев А.К. О влиянии точечных дефектов в проблеме устойчивости двумерных атомных решеток // Письма в ЖТФ. 1994. Т.20. В.7. С.83-87.

9. Зольников К.П., Уваров Т.Ю., Псахье С.Г. Об анизотропии процессов пластической деформации и разрушения при динамическом нагружении //Письмав ЖТФ. 2001. Т.27. В.7. С. 1-7.

10. Псахье С.Г., Зольников К.П. Об аномально высокой скорости перемещения границ зерен при высокоскоростном сдвиговом нагружении // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. В.14. С.43-48.

11. П.Псахье С.Г., Зольников К.П., Сараев Д.Ю. Об изменении структурного состояния границ зерен при высокоскоростном механическом нагружении // ФГВ. 1999. Т.35. N6. С.153-155.

12. Псахье С.Г., Уваров Т.Ю., Зольников К.П. О новом механизме генерации дефектов на границах раздела. Молекулярно-динамическое моделирование // Физ. мезомех. 2000. Т.З. N3. С.69-71.

13. Krivtsov A.M. Simulating Perforation of Thin Plates Using Molecular Dynamics Approach // Proceedings of International Conference "Shock waves in Condensed Matter", St.-Petersburg, Russia, 2000, P. 158-160.

14. Кривцов A.M., Волковец И.Б., Ткачев П.В., Цаплин В.А. Применение метода динамики частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Труды всероссийской конференции «Математика, Механика и Информатика 2002», в честь 10-летия РФФИ.

15. Krivtsov, A.M. Relation between spall strength and mesoparticle velocity dispersion // Int. J. Impact Eng. 23 (1999) 477^87.

16. Verlet L. Computer "experiments" on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules//Phys. Rev. 1967.-V. 159, N.l. P. 98-103.

17. Welch D.O., Dienes G.J., Paskin A. A molecular dynamical study of the equation of state of solids at high temperature and pressure // J.Phys.Chem.Sol. 1978. - V.39, N.6. P. 589-603.

18. Потгер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. - 218 с.

19. Powell J.D., Batteh J.H. Effects of solitary waves upon the shock profile in a three-dimensional lattice // Ibid 1980. - V.51, N.7. P. 2050-2058.

20. Головнев И.Ф., Калинина А.П. Применение оператора эволюции в методе классических траекторий // Моделирование в механике. 1992. - Т.6, № 2. - С. 13-24.

21. Головнев И.Ф., Калинина А.П Применение оператора эволюции для описания динамики гамильтоновых систем. Новосибирск. 1993. - 27 с. (Препринт СО РАН, ИТПМ; № 6-93)

22. Кривцов A.M. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. 2002. -Т.З, №2. - С. 254-276.

23. Кацнельсон А.А., Ястребов Л.И. Псевдопотенциальная теория кристаллических структур. -М.: Изд-во МГУ. 1981. - 192 с.

24. Kuznetsov V., Tsai К., Turkebaev Т. Calculation of thermodynamic properties of the Ni-Al alloys in normal conditions and under pressure. // J. Phys.: Condens. Matter. -1998. V.10, N 10.-P. 8957-8971.

25. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems // Phys. Rev. В 37, 6991-7000 (1988)

26. Tersoff J. Modeling solid-state chemistry: Interatomic potentials for multicomponent systems // Phys. Rev. В 39, 5566-5568 (1989)

27. Штойер P. Многокритериальная оптимизация, Теория. Расчет и приложения. -М.: Радио и связь, 1992.

28. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

29. Cundall Р.А. A computer model for simulating progressive, large scale movement in blocky rocksystem // In: Symposium of ISRM, Nansy, France, Proceedings. 1971. -V. 2.-P. 129-136.

30. Rothenbury L. Bathurst R.J. Influence of particle eccentricity on micromechanical behavior of granular materials // Mechanics of Materials. 1993. N. 16. - P. 141-152.

31. Hong D.C., McLennan J.A. Molecular dynamic simulations of hard sphere granular particles //Physica A.- 1992. -V. 187.-P. 159-171.

32. Herrmann H.J. Simulation of granular media // Physica A. 1992. - V. 191. - P. 263276.

33. Ristow G.H. Simulating granular flow with molecular dynamics // Journal de Physique I France. 1992. - V. 2. - P. 649-662.

34. Ng T.-T., Dobry R. Numerical simulations of monotonic and cyclic loading of granular soil // Jornal of Geotechnical Engineering. 1994. - V.120, N. 2. - P. 388403.

35. Cundall P.A. Computer simulations of dense sphere assemblies // In: Micromechanics of Granular Materials, edited by M. Satake and J.T Jenkins. Elsever Sci. Publ., Amsterdam, 1988.-P. 113-123.

36. Bardet J.P., Proubet J. Numerical simulation of localization in granular materials // In: Proc. of the Conf. Mechanics Computing in 1990's and beyond. 1991. - V. 2. - P. 1269-1273.

37. Bathurst R.J. Rothenburg L. Micromechanical aspects of isotropic granular assemblies with linear contact interactions // Journal of Applied Mechanics. 1988. -V. 55, N. 3. - P. 17-23.

38. Chang C.S., Liao C.L. Constitutive relation for a particulate medium with the effect of particle rotation // International Journal of Solids and Structures. 1990. - V. 26, N. 4.-P. 437-453.

39. Cundall P.A., Strack O.D.L. Modeling of microscopic mechanisms in granular material // In: Mechanics of Granular Materials: New Models and Constitutive Relations. Edited by M.Satake and J.T.Jenkins Elsever Sci. Publ., Amsterdam, 1983.-P. 137-149.

40. Bardet J.P. Numerical simulations of the incremental responses of idealized granular materials // International Journal of Plasticity. 1994. - V. 10, N. 8. - P. 879-908.

41. Ross~J.W., Miller W.A., Weatherly G.C. Computer simulation of sintering in powder compacts // Acta Metallurgica. 1982. - V. 30, N. 1. - P. 203-212.

42. Bouvard D., Ouedrogo E. Modeling of hot isostatic pressing: a new formulation using random variables // Acta Metallurgica. 1988. - V. 36, N. 8. - P. 1977-1987.

43. Куликовский А.Г., Погорелов H.B., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.-608с.

44. Годунов С. К., Рябенький В. С Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1973.-400 с.

45. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 400с.

46. B.M.-J.B.D. Walker A Survey of Finite Volume Numerical Approaches for Conservation Laws in Atmospheric Modelling, UGAMP report, 2002.

47. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики // Труды Матем. Ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР 74, Ч. 1, 107-137.

48. Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference methods for initial-value problems // Interscience, New York. Рус. пер.: Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач, 1972, Мир, Москва.

49. Головизин В.М. Об одном способе введения искусственной диссипации в вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, 22, № 1, 144-150.

50. Wilkins M.L Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculation // J. Comput. Phys., 1980,36, N. 3, 281-303.

51. Roe R.L. Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. Comput. Phys., 1981, 43, N. 2, 357-372.

52. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure Appl. Math, 1952, 5, N. 3, 243-255.

53. Холодов A.C. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем и матем. физики, 1978,18, № 6, 1476-1492.

54. J.P.Boris and D.L.Book, Flux-Corrected Transport. I. SHASTA, a Fluid Transport Algorithm that Works // Journal of Computational Physics 1972, 11, pp 397-431.

55. Коларов Д., Балтов А., Бончева H. Механика сплошных сред, Мир, Москва, 1979.

56. Кондауров В.И. О законах сохранения и симметризации уравнений нелинейной теории термоупругости // Докл. АН СССР 1981. Т.256, № 4. С. - 819-823

57. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // В. сб. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 316-342.

58. Агурейкин В.А., Крюков Б.П. Метод индивидуальных частиц для расчета течений многокомпонентных сред с большими деформациями // Численные методы МСС. 1985. С. 17-31.

59. Randies P.W., Libersky L.D. Smoothed Particle Hydrodynamics: Some recent improvements and applications // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 139, 1996, 375-408.

60. Johnson G.R., Beissel S.R., Stryk R.A. A generalized particle algorithm for high velocity impact computations // Computational Mechanics 25, 2000, 245-256.

61. Анучина H.H., Бабенко К.И., Годунов C.K. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979.

62. Libersky L.D., Petscheck A.G., Carney Т.С., Hipp J.R., Allahdadi F.A. High strain Lagrangian hydrodynamics // J. Comput. Phys., 109, 1993, 67-75.

63. Иванов М.Ф., Гальбурт B.A. Численное моделирование динамики газов и плазмы методами частиц: учеб. Пособие. -М.: МФТИ, 2000. 168 с.

64. Lucy L.B. A numerical approach to the testing of fission hypothesis // Astron. J., 82, 1977, 1013.

65. Libersky L.D. and Petscheck A.G Smoothed particle hydrodynamics with strength of materials // in: H. Trease, J. Fritts and W. Crowley eds., Proceedings, The Next Free Lagrange Conf., Springer-Verlag, NY, 395, 1991, 248-257.

66. Herrmann W. Constitutive equations for large dynamic deformations // Proceedings, Third Int. Conf on Constitutive Laws for Eng. Materials, Tuscon, AZ, 1991,45-52.

67. Johnson G.R., Stryk R.A., Beissel S.R. SPH for high velocity impact computations // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 139, 1996, 347-373.

68. Johnson G.R. Artificial viscosity effects for SPH impact computations // Int. J. Impact Eng. 18, 1996,477-488.

69. Бондаренко Ю.А., Башуров B.B., Янилкин Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы / Препринт, Саров: РФЯЦ -ВНИИЭФ ,2003, 53 с.

70. Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, V. 139, 1996.

71. Минский M. Вычисления и автоматы. M.: Мир, 1971.

72. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1971, 344 с.

73. Haken Н. Synergetics. Berlin / N.Y.: Springer, 1978. Рус. пер.: Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

74. Gardner М. The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game of life. // Scientific American. (Mathematical games Apr. 1970), V. 223, P. 120-123.

75. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 528 с.

76. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание / Авт. Предисл. А.А. Самарский. М.: Наука, 1988. - 192 с.

77. Salem J., Wolfram S. Theory and applications of cellular automata: World Scientific edited by Wolfram S., 1986

78. Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин И.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. вузов. Физика. -1995.-Вып. 38. -№ 11.-С. 58-69.

79. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физ. мезомех.- 1998.-Т. l.-№ 1.-С. 95-108.

80. Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретнойвычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физ. мезомех. -2000. -Т. 3. -№ 2. -С. 5-15.

81. Дмитриев А.И., Коростелев С.Ю., Остермайер Г.П., Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Шилько Е.В. Метод подвижных клеточных автоматов, как инструмент для моделирования на мезоуровне // Известия РАН. Мех. твердого тела. 1999. - № 6. - С. 87-94.

82. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. 2000. - Т. 3. - № 3. - С. 93-96.

83. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. -2003.-Т. 6, №6.-С. 11-21.

84. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Чертов М.А. Моделирование поведения сложных сред на основе совместного использования дискретного и континуального подходов // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. В. 17. С.7-13.

85. НохВ.Ф. СЭЛ— совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир, 1967, С. 128-184.

86. Johnson G.R. Dynamic response of axisymmetric solids subjected to impact and spin// AIAA Journal. 1979.-V. 17.-No. 9.-P. 975-979.

87. Корнеев A.H., Николаев А.П., Шиповский И.Е. Приложение метода конечных элементов к задачам соударения твердых деформируемых тел // Численныеметоды решения задач теории упругости и пластичности: Матер. VII Всес. конф. Новосибирск. - 1982. - С. 122-129.

88. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. и др. Об особенностях установления стационарного режима деформирования твердых тел // Журнал технической физики. 1997. - Т. 67, В. 9. - С. 34-37.

89. Псахье С.Г., Ружич В.В., Смекалин О.П., Шилько Е.В. Режимы отклика геологических сред при динамических воздействиях // Физ. мезомех. 2001. -Т.4. - № 1.-С. 67-71.

90. Гольдин С.В., Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Юшин В.И. Переупаковка структуры и возникновение подъемной силы при динамическом нагружении сыпучих грунтов // Физ. мезомех.- 2001. Т.4. - № 3. - С. 97-103.

91. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. 1995. - Т. 36. - № 11. С. 96-105.

92. Стефанов Ю.П. Численное исследование поведения упруго-идеально-пластических тел, содержащих неподвижную и распространяющуюся трещины, под действием квазистатических и динамических растягивающих нагрузок // Физ. мезомех. 1998. - № 2. - С. 81-93.

93. Stefanov Yu.P. Wave dynamics of cracks and multiple contact surface interaction // Theor. and Appl. Frac. Mech. 2000. - V. 34/2. - P. 101-108.

94. Свенсон К. Физика высоких давлений. М.: ИЛ, 1963.

95. Банди Ф.П., Стронг Г.М. Поведение металлов при высоких температурах и давлениях. М.: Изд. Металлургия, 1965, - 60с.

96. Bancroft D., Peterson E.L., Minshall S. Polymorphism of Iron at High Pressure // J.Appl.Phys. 1956. - V.27, N.3. P. 291-299.

97. Физические величины. Справочник под ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М. Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

98. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988.

99. LASL Shock Hugoniot Data / Ed. S.P. Marsh. Berkeley (Calif): Univ. California Press, 1980.

100. Уилкинс M.JI. Расчет упруго-пластических течений// Вычислительные методы в гидродинамике/ Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир, 1967. С. 212-263.

101. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных сред //Известия ВУЗов. Физика. 1992. N4. С.42-58.

102. Kelly J.M., Gillis P.P. Continuum descriptions of dislocations under stress reversals.//J.Appl. Phys. 1974. Vol.45. N3. P.1091-1096.

103. Жукова T.B., Макаров П.В., Платова T.M. и др. Исследование вязких и релаксационных свойств металлов в ударных волнах методами математического моделирования. //ФГВ. 1987. N1. С.29-34.

104. Коларов Д., БалтовА., БончеваН. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 304 с.

105. Гилман Дж. Дж. Динамика дислокаций и поведение материалов при ударном воздействии//Механика. 1970. №2(120). С. 96-134.

106. Альтшулер J1.B., Чекин Б.С. Релаксационные параметры металлов за фронтом ударных волн. //Детонация. Критические явления. Физико-химические превращения в ударных волнах. Черноголовка: ОИХФ. 1978. С.87-90.

107. Гилман Дж.Д. Микродинамическая теория пластичности. //Микропластичность. М.: Металлургия, 1972. Р. 18-37.

108. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978. 304с.- 188127. Фридель Ж. Дислокации. М.: Мир, 1975. 644с.

109. Батьков Ю.В., Глушак Б.Д., Новиков С.А. Сопротивление материалов пластической деформации при высокоскоростном деформировании в ударных волнах. (Обзор). М.: ЦНИИатоминформ. 1990.

110. Предводителев A.A. Возможность моделирования процессов, связанных с движением и размножением дислокаций в кристаллах / Динамика дислокаций: под ред. Старцева В.И., Бенгус В.З. Киев: Наукова Думка, 1975. С. 178-190.

111. Макаров П.В. Упругопластическое деформирование металлов волнами напряжений и эволюция дефектной структуры //ФГВ. 1987. №1. С. 22-28.

112. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Макаров П.В., и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. / Под. ред. Панина В.Е. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. Т.1. 298 с.

113. Панин В.Е., Макаров П.В., Псахье С.Г. и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. / Под. ред. Панина В.Е. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. Т.2. 320 с.

114. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 229 с.

115. Конева H.A., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Известия ВУЗов. Физика. 1990. N2. С.89-106.

116. Makarov P.V. Romanova V.A., Balokhonov R.R. Plastic deformation behavior of mild steel subjected to ultrasonic treatment //Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 1997. Vol. 28. Issue 2. P. 141-146.

117. Гриняев Ю.И., Чертова Н.В., Чертов М.А. Анализ влияния скорости деформирования на характер диаграмм a-sll ПМТФ, 2002, т.43, №4 с 150-154.

118. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 168 с.

119. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Теорема живых сил в упругом континууме с дефектами. // ЖТФ. 1998. - Т. 68, - № 3 - С. 82-83.

120. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Механические свойства материалов и предмет описания калибровочной теории. // ЖТФ. 1998. - Т. 68, - № 7 - С. 70-74.

121. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов // Физическая мезомеханика. 2000. Т.З, №.5. С.19-32,

122. Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Полевая теория дефектов на мезоуровне // Докл.РАН. 1997. Т.353, №1. С.37-39.

123. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Мир, 1972.

124. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

125. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

126. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1988.

127. Рыбин В.В. Структурно кинетические аспекты физики развитой пластической деформации // Изв. вузов. Физика. 1991. №3. С.7-21.

128. Фридман Л.Б. Механические свойства металлов. М: Оборонгиз, 1952.

129. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. -М. Высшая школа, 1990.

130. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Псахье С.Г. Особенности взаимодействия группы налетающих частиц с поверхностью. Влияние поверхностных волн. //

131. Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития: Сб. статей молодых ученых. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2004. - 200 с. - С 61-63.

132. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Сапожников Г.А., ПсахьеС.Г. Влияние поверхностных волн на взаимодействие налетающих частиц с поверхностью материала // Письма в ЖТФ. 2004. Т.ЗО. В.23. С.77-84.

133. Козорезов К.И., Максименко В.Н., Ушеренко С.М. // Избранные проблемы современной механики, Ч 1., 1981, № 9, С. 115.

134. Солоненко О.П., Алхимов А.П., Марусин В.В. и др. Высокоэнергетические процессы обработки материалов. // Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 2000. 425 с.

135. Kiselev S.P., Kiselev V.P. // International Journal of Impact Engineering 27 (2002), 135-152.

136. Рахимов A.E. // Вестник M. У-та, Математика. Механика, № 5, 1994, С. 7274.

137. Чертов М.А., Смолин А.Ю., Е.В. Шилько, С.Г. Псахье. О тонкой структуре возмущений, генерируемых в условиях локальных импульсных воздействий в упругих пластинах // Физ. мезомех. 2004. - Т. 7. - № 2. - С. 65-69.

138. Johnson G.R., Stryk R.A., Holmquist T.R., et al. // Int. J. Impact Eng. 10 (1990), pp. 281.

139. Allen D.J., Rule W.K., Jones S.E. Optimizing material strength constants numerically extracted from Taylor impact data // Experimental Mechanics, Vol. 37, No. 3,pp. 333-338,(1997)