Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов

Роман, Никита Витальевич

Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Роман, Никита Витальевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов»

Автореферат диссертации на тему "Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов"

005057221

На правах рукописи

У'Г

Роман Никита Витальевич

МНОГОУРОВНЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ ХРУПКИХ ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДОМ ПОДВИЖНЫХ КЛЕТОЧНЫХ

АВТОМАТОВ

01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 3 ДЕК 2012

Томск-2012

005057221

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образован ия«Национальный исследовательский Томский государственный университет» и федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте физики прочности и материаловедения Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент,

Смолин Алексей Юрьевич

Научный консультант: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Псахье Сергей Григорьевич

Официальные оппоненты:

Герасимов Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образован ия«Национальный исследовательский Томский государственный университет», «Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики», отдел 20, заведующий отделом

Зайцев Алексей Вячеславович, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», кафедра механики композиционных материалов и конструкций, доцент

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Защита состоится «25» декабря 2012 г. в _10_ ч. .30. мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13,созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан « » ноября 2012 Учёный секретарь диссертационного совета

доктор технических наук Христенко Юрий Федорович

Введение

Многоуровневое моделирование деформации и разрушения пористых материалов, несомненно, является актуальной задачей современной механики. С одной стороны это вызвало тем, что большинство современных конструкционных и функциональных материалов являются композиционными и имеют сложную структуру, в которой явно выделяются несколько уровней, от микро- до макромаспгтаба. С другой стороны, согласно физической мезомеханике любое нагруженное твёрдое тело представляет собой многоуровневую самоорганизующуюся систему, в которой деформация самосогласованно развивается как последовательная эволюция потери сдвиговой устойчивости на микро-, мезо- и макромасштабпых уровнях. Поэтому для адекватного моделирования процессов деформации и разрушения твёрдых тел необходимо, во-первых, уметь описывать особенности и механизмы этих процессов на каждом из масштабных уровней, а во-вторых, выявлять взаимные связи между элементарными процессами на разных уровнях и учитывать их в общей модели.

Одним из факторов, обусловливающих иерархический характер строения, а, следовательно, процессов деформации современных керамических материалов, является их поровая структура. И если при описании деформирования такие тела можно рассматривать как сплошную среду, то процесс разрушения материалов с иерархической поровой структурой описывать с позиций механики континуума достаточно сложно. Имеющихся при этом трудностей можно избежать, встав на позиции дискретного подхода и используя, например, метод частиц.

Следует отметить, что интенсивные деформации обычно происходят в локализованных областях материала, а остальная его часть деформируется незначительно. В связи с этим для эффективного многоуровневого моделирования деформации и разрушения пористых материалов представляется целесообразным развивать совмещенный дискретно-континуальный подход, используя частицы в областях интенсивного деформирования.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является развитие трехмерного подхода метода подвижных клеточных автоматов, позволяющего в рамках дискретного описания осуществлять моделирование, в том числе многоуровневое, деформации и разрушения хрупких материалов в условиях внешних динамических воздействий.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие задачи.

1. Разработать подход дискретно-континуального моделирования на основе совмещённого использования метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуальной механики в трехмерной постановке.

2. Разработать методику многоуровневого моделирования деформации и разрушения хрупких пористых материалов в трехмерной постановке.

3. На основе метода подвижных клеточных автоматов изучить особенности процессов деформации и разрушения хрупких пористых материалов с явным учётом поровой структуры при одноосном сжатии.

4. Используя многоуровневый подход, численно исследовать закономерности механического поведения хрупких пористых материалов на основе диоксида циркония.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

1. Анализ зависимостей от пористости упругих и прочностных свойств диоксида циркония позволил выявить их явпое изменение при перколяционном переходе от изолированных пор к сообщающимся.

2. Создана методика многоуровневого моделирования деформации и разрушения хрупких материалов в трехмерной постановке в рамках метода подвижных клеточных автоматов.

3. На основе трехмерного многоуровневого моделирования показана зависимость упругих и прочностных характеристик, а также характера разрушения хрупких пористых материалов от формы и пространственного распределения пор

4. В трехмерной постановке разработан совместный дискретно-континуальный подход на основе метода подвижных клеточных автоматов и метода конечных элементов.

Научная и практическая ценность. Построенная в рамках метода подвижных клеточных автоматов трехмерная иерархическая многоуровневая модель дает возможность изучать особенности механического отклика пористых материалов со сложной конфигурацией поровых структур.

Разработанные методики многоуровневого моделирования хрупких пористых материалов могут быть полезны при изучении и прогнозировании процессов деформирования и разрушения нанокристаллических керамик.

Полученные результаты мотуг быть использованы при дальнейшем экспериментальном изучении хрупких пористых материалов.

Разработанный подход совмещения дискретного (МСА) и континуального (FEM) методов моделирования в трехмерной постановке значительно расширяет области применения обоих методов. В частности, он открывает возможности для эффективного моделирования таких локализованных процессов как большие пластические деформации, перемешивание масс, эффекты проникания, возникновение и накопление повреждений. При этом эффективно расходуются вычислительные ресурсы, и становится возможным описывать большие объемы материала.

Личный вклад автора заключается в личном написании литературного обзора по теме диссертации и отдельных блоков компьютерных программ, совместной с научным руководителем постановке целей и задач исследований, обработке полученных результатов, формулировке выводов и положений, выносимых на защиту, написании статей по теме диссертации. Все работы, опубликованные в соавторстве, выполнены при личном участии автора.

Положения, выносимые на защиту:

1. Трехмерная модель, позволяющая описывать поведение многоуровневых систем с поровой структурой различных масштабов при их деформации и разрушении.

2. Нелинейное влияние перколяционного перехода в пористой структуре хрупких образцов на их упругие и прочностные характеристики.

3. Результаты многоуровневого моделирования, показывающие особенности влияния пористых структур хрупких образцов на характер их деформации и разрушения.

4. Схема совмещения дискретного (МСА) и континуального (FEM) методов моделирования деформации и разрушения материалов, позволяющая повысить эффективность обобщенного дискретно-континуального подхода в трехмерной постановке.

тестовых расчетов; непротиворечивостью полученных результатов и их соответствием в предельных случаях теоретическим результатам, известным из литературы, а также имеющимся экспериментальным фактам.

Апробаиия работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. На Всероссийских конференциях молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (г. Томск, 2008,2009).

2. На Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летшо НИИ прикладной математики и механики (г. Томск, 2008).

3. На Международных научпо-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2008, 2009).

4. На Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам «ВМСППС» (г. Алушта, Украина, 2009).

5. На Всероссийской конференции «Наука. Технологии. Инновации» (г. Новосибирск, 2009).

6. На Международных летних школах «Advanced Problemsin Mechanics» (г. Санкт-Петербург, 2008, 2009. 2010).

7. На Международных конференциях по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (г. Томск, 2008, 2009, 2010,2011).

8. На 19 Европейской конференции по разрушению «Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety»(r. Казань, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 печатных работах: 4 в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК; 9 в статьях материалов и трудов паучных конференций различного уровня; 8 в тезисах конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованных источников из 109 наименований. Объем диссертации составляет 120 страниц, в том числе 41 рисунок и 1 таблица.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследуемой в диссертации проблемы, сформулированы цель и задачи работы, перечислены полученные новые результаты, их научно-практическая ценность, приведены положения, выносимые на защиту, а также обоснованность и достоверность расчетов и выводов, дана краткая характеристика разделов диссертации.

Первый раздел диссертационной работы носит обзорный характер и посвящен описанию используемых в настоящее время методов моделирования деформации и разрушения твердых тел, основанных на дискретном подходе. Подчеркивается, что наиболее удачным было создание на базе классических клеточных автоматов и дискретных элементов нового метода подвижных клеточных автоматов (МСА). Поскольку это метод был выбран в качестве основного для проведения расчетов, то его положения рассмотрены более подробно.

В МСА моделируемый материал рассматривается как ансамбль дискретных элементов (клеточных автоматов), взаимодействующих между собой по определенным правилам. Следует отметить, что метод подвижных клеточных автоматов наследует все

свойства классического метода клеточных автоматов (СА), именно в рамках СА моделируются такие процессы, как теплопроводность, фазовые переходы и т.д. Однако, в отличие от классических клеточных автоматов, подвижные автоматы, кроме переключения своих состояний могут также перемещаться в пространстве. Другим важным отличием от классического метода СА является применение понятия состояний к паре автоматов. Таким образом, происходит переход от концепции регулярной и однородной сетки СА к концепции соседей, т.е. окружения, способного изменяться в ходе эволюции.

Механическая эволюция ансамбля клеточных автоматов определяется решением системы уравнений движения, записанных с учётом многочасгичности взаимодействия:

' Л2 ' у " ей У *

где г -координата ¡'-го автомата,/«, -его массаЛ - момент инерции, вектор поворота /-го автомата,^- парная сила взаимодействия 1-го и /-го автоматов, К,у = qv(Я,у хРи), <?,у- расстояние от центра г-го автомата до точки его контакта с у'-м автоматом, единичный вектор ^определяется как Я# = (Я, - г, у г.., гу- расстояние между центрами автоматов, — объёмно-зависящая сила, действующая на автомат г и обусловленная взаимодействием его соседей с другими автоматами. Силы, действующие между автоматами, вычисляются на основе функций отклика, которые имеют тот же смысл, что и потенциалу межатомного взаимодействия в молекулярной динамике. Так линейно упругое тело описывается линейной функцией отклика. Нелинейность функции отклика позволяет описывать пластичность, деградацию свойств реального материала и т.д.

Второй раздел посвящен многоуровневому моделированию хрупких пористых материалов с помощью метода подвижных клеточных автоматов.

Для трёхмерного моделирования механического поведения пористых керамических образцов при одноосном сжатии использовалась функция отклика автоматов, соответствующая керамике 2г02 со средним размером пор, соизмеримым с размером зерна. Размер автоматов, в соответствии с диаграммой распределения пор по размерам, составлял 1 мкм. Рассматривались образцы в форме параллелепипеда с квадратным основанием со стороной 10, 15, 20 30 и 40~мкм и высотой в два раза больше стороны основания. Нагрузка прикладывалась путём задания определённой скорости в вертикальном направлении верхнему слою автоматов при жёстком закреплении автоматов нижнего слоя образца

а) б) в)

Рисунок 1 - Разброс в эффективном модуле упругости в зависимости от размеров

образца: а) - пористость 10%, б) - пористость 25%, в) - пористость 50% При увеличении размеров образца анализировалась сходимость эффективного упругого модуля модельного образца Еея(определялся по наклону расчетной диаграммы нагружения) к соответствующему упругому модулю клеточного автомата Е0(параметр функции отклика). Результатом анализа являлся размер образца (представительного объёма), начиная с которого отклонение Еей-от Е0не превосходит 3%.

Расчёты показали, что для пористости менее 15% представительными (разброс в эффективном модуле упругости не более 3% для различных вариантов размещения пор)являются образцы с основанием 20 мкм (рис. 1,а). Для пористости в интервале от 15 до 35% — образцы с размером основания 30 мкм (рис. 1,6). Для пористости от 35 до 50% образцы с размером основания 40 мкм (рис. 1,в) давали максимальные отклонения модуля 6%и были выбраны представительными.

Рассмотрим зависимость эффективного упругого модуля исследуемого материала от его общей пористости. На рис. 2,а квадратами нанесены средние величины по пяти представительным образцам с различными вариантами размещения пор, рассчитанные методом МСА в трёхмерной постановке. На этой зависимости явно можно выделить два характерных участка, связанных со структурой пористого пространства: первый соответствует одиночным порам (5-20%), второй— кластерам сообщающихся пор (2050%). На рис. 2,6 для сравнения представлены экспериментальные данные, взятые из работы С.П. Буяковой'. Видно, что рассчитанные данные хорошо соответствуют экспериментальным.

а) б)

Рисунок 2 - Зависимости в логарифмических координатах упругого модуля керамики

от пористости: а) данные расчётов; б) экспериментальные данные Наклоны аппроксимирующих прямых, показывающие степень влияния пористости на упругие характеристики материала на характерных участках, несколько отличаются от экспериментальных. Это можно объяснить тем, что стохастический выбор элементов при генерации пор в образце, а, следовательно, и ориентации кластеров сообщающихся пор, нивелирует влияние пористой структуры на механические свойства среды. Кроме того перколяционные переходы в керамике ХгОг вызывают изменение микроструктуры, в частности при непрерывной пористой структуре напряжения, инициируемые в керамике, ограничивают рост кристаллитов, что не учитывалось в модели.

'БуяковаС.П. Свойства, структура, фазовый состав и закономерности формирования пористых наносистсм на основе гЮ2: дис. д-ра.тех. наук

Исследование прочностных свойств пористой керамики показало, что перколяционный переход в пористом материале приводит также к изменению зависимости его прочностных свойств от общей пористости. Как видно из рис. 3 полученные результаты хорошо согласуются с данными экспериментов из вышеназванной работы.

7.50-« »

■2.50 -2.00 -1.50

ад "

-2.00 Лша -1.00 .0.50 МС)

а) б)

Рисунок 3 - Зависимости в двойных логарифмических координатах предела прочности керамики от пористости: а) данные расчётов; б) экспериментальные данные Далее на основе построенных в рамках метода подвижных клеточных автоматов многоуровневых моделей хрупких пористых материалов было исследовано влияние формы, размеров пор и их пространственной ориентации в керамике на ее отклик при одноосном сжатии.

Сущность многоуровневого моделирования хрупких пористых материалов, которая предлагается в данной работе, основана на подходах, используемых в работе ПсахьеС.Г. с соавторами, и заключается в следующем. Вначале нужно определиться с тремя основными вопросами: 1) каковы характерные элементы структуры каждого уровня; 2) какой способ нагружения позволит определить степень влияния параметров структурных элементов на механические свойства представительного объема каждого уровня; 3) какие параметры функции отклика будут определяться из расчетов по нагружению представительных образцов с явным учетом элементов структуры, и как. Для хрупких пористых материалов наиболее важными элементами структуры в данной работе считаются поры, при этом учитывается их размер и форма. Поэтому при проведении расчетов на каждом масштабной уровне поры этого уровня учитываются явно. В качестве способа нагружения выбрано одноосное сжатие образцов в форме параллелепипеда. Из расчетной диаграммы на одноосное сжатие можно определить такие эффективные характеристики, как модуль сжатия (по наклону линейного участка диаграммы) и предел прочности (по максимуму диаграммы). Очевидно, что для различных образцов, содержащих небольшое число структурных элементов, эти характеристики в общем случае будут различными. Поэтому на каждом уровне проводится серия расчетов на образцах разного размера с различными вариантами распределения структурных элементов по объему. По данным этих расчетов определяется размер представительного образца данного уровня (из анатиза сходимости модуля сжатия и предела прочности с увеличением размера образцов).Модуль сжатия и предел прочности представительного образца данного уровня дают возможность определить основные параметры функции отклика подвижного

2ПсахьеС.Г, ШилькоЕ.В., Смолин А.Ю. и др. Развитие подхода к моделированию деформирования и разрушенияиерархически организованных гетерогенных, в том числе контрастных, сред Физ мезомех 2011 г., В. 14, С 27-54

клеточного автомата для линейно-упругого хрупкого материала: модуль Юнга и критическое значение интенсивности напряжений, при достижении которого пара автоматов переключается в состояние «несвязанной». Имея функцию отклика для автоматов, являющих собой представительные объемы рассматриваемого уровня, можно переходить к моделированию на следующем, более высоком структурном уровне.

В качестве объекта многоуровневого моделирования была выбрана нанокристаллическая керамика 2г02(У203) с бимодальным распределением пор по размерам. Исследования проводились на мезомасштабном уровне модели, где можно явным образом учитывать поры второго максимума на гистограмме распределения пор по размерам.Поры первого максимума (микромасштабный уровень модели) характеризуются сферической формой и практически одинаковым размером. Данные о поровой структуре и свойствах материала на микромасштабном уровне учитывались в модели через параметры функции отклика подвижного клеточного автомата, полученные ранее.

а б в г

Рисунок 4 -Фрагменты начальной структуры модельных образцов с различной формой, размером и ориентацией пор

Генерировались трехмерные модельные пористые образцы в форме куба. Рассматривались два типа пор - поры-стержни (рис. 4 - а, б) и поры-пластины (рис. 4-в, г). Для изучения влияния размеров пор на механические характеристики для каждого их типа рассматривались по два характерных размера У пор-стержней это длина стержня Ь (Ы=480 мкм и Ь2=800 мкм), а у квадратных пор-пластин - длина стороны Н (Н1=386 мкм, Н2=480 мкм). Диаметр стержней и толщина пластин были одинаковые и составляли 160 мкм. Размер автоматов, в соответствии с размером представительного объема на микромасштабном уровне и геометрическими размерами пор на мезомасштабном уровне составлял 160 мкм. Для исследования влияния пространственной ориентации пор в образце по отношению к направлению нагружения (вдоль оси X) генерировались образцы с тремя ориентациями пор ХУ, XX и (XVОй).

Пористость образцов варьировалась от 10 до 50% с шагом 10%. Для каждого значения пористости генерировалось по 10 образцов с одинаковыми формой, размером и ориентацией пор по отношению к направлению нагружения, но различным пространственным расположением в образце.

Для каждой величины пористости был определен представительный объем рассматриваемого модельного материала Его определение осуществлялось на основе анализа сходимости упругих и прочностных свойств образцов с увеличением их размеров при постоянном размере автоматов.

Расчеты показали, что при величинах пористости 10, 20 и 30% представительными (отклонение упругого модуля от среднего по группе из 10 образцов не превышало 5%, а предела прочности- 12%) являются образцы с размером основания 3.2 мм. Для величин пористости 40 и 50% - образцы с размером основания 4.8 мм. Для всех описанных групп

образцов проводился численный эксперимент по одноосному сжатию, изучался характер их деформации и разрушения, строились зависимости эффективного модуля упругости (Е) и предела прочности (Э) от величины пористости (по средним значениям параметров для группы из 10 образцов).

Анализ результатов моделирования показал, что деформация и разрушение модельных образцов, диаграммы их нагружения, а также вид зависимости Е и 8 от объема порового пространства соответствуют экспериментально, наблюдаемым для исследуемой керамики.

Итак, варьируя параметры синтеза мезо- и макро-объемов материала можно значительно увеличить вязкость разрушения пористого каркаса. Например, изменив тип используемого порообразователя (заменив парафин на конский волос), и тем самым определив необходимую форму пор в керамике, можно при прочих равных условиях получить увеличение в и Е на величину до 37.7% и 19.2%, соответственно (рис. 5).

Пора-стержень Пора-пластина

О 10 20 30 40 S0 С, %

1200 1000

-•— Пора-стержень ♦ — Пора-пласт»»«

—• — Пора-стержень —♦— Пора-птастима

Д.

XY-XZ

- Пора-егерям Н&,

- Пора-ппастина

XY-XZ - Пора-стержеж. Пора-пластика

Рисунок. 5 - Зависимости предела прочности о и эффективного модуля упругости Е от пористости модельных образцов с различной формой, размером и ориентацией пор.

Для того чтобы понять насколько достоверны построенные модели и насколько справедливы сделанные выводы, следует сравнить результаты расчетов с экспериментальными данными. Получить в реальной нанокристаллической керамике поры-стержни довольно затруднительно, поэтому сравнивались результаты моделирования пор-пластин (рис. 6).

а б

Рисунок 6 - Поры-пластины в реальном (а) и модельном (б) образцах На рисунке 7 представлены зависимости величины отклонения прочностных свойств модельных образцов от соответствующих экспериментальных данных, аппроксимируемых зависимостью о=1200*е"5С. Видно, что для всех рассмотренных модельных образцов прослеживается четкая тенденция - наибольшие относительные отклонения наблюдаются в интервале пористости от 10 до 30%. При больших значениях пористости величина отклонения незначительная. Это может быть связано с погрешностями генерации поровой структуры в модели, в частности - отсутствием дисперсии распределения пор по размеру и пространственной ориентации.

Рисунок 7 - Зависимости относительного отклонения прочностных свойств модельных образцов от соответствующих экспериментальных данных. Норовая структура образца соответствует приведённой на рис. 6.

В третьем разделе изучены возможности совместного использования метода подвижных клеточных автоматов и методов континуальной механики в 3D реализации в целях многоуровневого моделирования.

В настоящее время в ИФПМ СО РАН уже созданы и используются компьютерные программы, реализующие совмещённый дискретно-континуальный подход для решения плоских задач. При этом в качестве дискретного метода используется метод подвижных клеточных автоматов, а континуального — конечно разностный метод решения динамических задач МДТТ известный как метод Уилкинса. В данной работе для совмещения трехмерной версии метода МСА с континуальным методом в качестве

последнего был выбран метод конечных элементов (FEM). В частности, использовалась программа, реализующая модифицированный Г. Джонсоном метод конечных элементов.3

Система уравнений, описывающая нестационарные адиабатические упругие

движения сжимаемой среды состоит из уравнений неразрывности, сохранения импульса, энергии:

pdv,/df=o-w

4>/<ft+div(/n>)=0 dE/ät=Q/p)trfy

где р— плотность; v,— компоненты вектора скорости; Е— удельная внутренняя энергия; а= -(P+Q)öij+Sij— компоненты тензора напряжений; %— компоненты тензора скоростей деформаций. Эти уравнения дополняются соответствующими определяющими соотношениями гиперупругости и линейным уравнением состояния.

Из детального рассмотрения численных схемметодов МСА и FEM видно, что в обоих уравнения движения могут быть записаны для некоторых масс через действующие на них силы. Эти особенности дают основания полагать, что совмещение данных методов может быть осуществлено достаточно корректно. Для этого в настоящей работе моделируемая среда рассматривается состоящей из континуальной и дискретной областей, между которыми определяется некоторая граница сопряжения и полагается, что она принадлежит обеим областям. При этом каждому узлу расчетной сетки, лежащему на границе, ставится в соответствие некоторый автомат (рис. 8).

Рисунок 8 - Расположение узлов сетки и автоматов (ГЦК упаковка) на границе совмещения Схематически алгоритм совместного расчета выглядит следующим образом: 1. В континуальной области решается соответствующая система уравнений, осуществляется расчёт напряженно-деформированного состояния, рассчитываются скорости и координаты.

3ГорельскийВ.А., ЗелепугинС.А., Смолин А.Ю. Исследование влияния дискретизации при расчеге методом конечных элементов трехмерных задач высокоскоростного удара // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1997. Т. 37, № 6. С. 742-750.

2. Перед расчётом скоростей узлов, лежащих на границе совмещения, осуществляется вызов подпрограммы, реализующей метод МСА, В неё передаются координаты и скорости совмещённых узлов-автоматов с предыдущего шага, а также шаг интегрирования.

3. Пользуясь полученными данными, осуществляется шаг интегрирования метода МСА. В результате рассчитываются новые положения и скорости всех автоматов, в том числе и силы, действующие на автоматы, совмещённые с узлами сетки.

4. Новые данные о граничных автоматах-узлах возвращаются в FEM. После этого в нём осуществляется расчёт согласованного движения граничных узлов-автоматов, определяются их новые координаты.

5. Осуществляется согласование величины нового шага интегрирования по времени.

Для тестирования процедуры совмещения рассматривались задачи о распространении

упругих волн в комбинированных средах. Начальный импульс прикладывали к границе как континуальной области (моделируется FEM), так и дискретной (моделируется МСА). Вначале было протестировано распространение плоских волн сжатия и сдвига. Расчёты подтвердили корректность программы- волны проходили границу совмещения без искажения и генерации вторичных волн. Затем проводился расчёт но распространению всех типов упругих волн, от точечного источника на поверхности (рис.9). Начальный импульс прикладывается к автомату, лежащему на границе совмещения. Результаты расчетов не выявили существенной разницы волновых картин, что доказывает корректность предложенного совмещения дискретного метода клеточных автоматов и континуального метода конечных элементов в трёхмерной постановке.

Рисунок9 - Распространение упругих волн от точечного источника в совмещенной дискретно-континуальной среде

В заключительной части раздела разработанный дискретно-континуальный подход применен для моделирования деформации и разрушения материалов при индентировании. Рассматривалось наноиндентирование многокомпонентного биоактивного наноструктурного покрытия (TiCCaPON) на титановой подложке. Физико-механические свойства покрытия: р= 7807 кг/м3, G= 76 Ilia, К= 167 ГПа, as= 1,82 ГПа. Свойства наноструктурированного титана: р = 4500 кг/м3, G = 41 ГПа, К= 100 Гпа, os = 1,00 ГПа. В расчётах явно задавался переходный слой между подложкой и покрытием. Данные материала переходного слоя: р= 6258 кг/м3, G = 61 ГПа, К= 133 Гпа, as= 4,00 ГПа. Алмазный индентор характеризовался следующими данными: р = 33362 кг/м3, G = 410 ГПа, К= 600 Гпа. Модель состоит из пяти блоков: основание, подложка, переходный слой, покрытие и индентор (рис. 10). Индентор, покрытие, переходный слой и подложка моделировались методом МСА, основание (основная часть подложки) — тетраэдральными конечными элементами. Процесс нагружения имитировался заданием постоянной

скорости в направлении противоположном направлению оси 2 всем автоматам индентора. С целью исключения динамических эффектов скорость плавно нарастала от 0 до -1 м/с после чего оставалась постоянной до заданного времени погружения. Затем скорость плавно менялась на противоположную (+1 м/с) и индентор с постоянной скоростью двигался в положительном направлении оси 7,. Для того чтобы предотвратить смещение нагружаемого материала как целого при его контакте с индентором, нижний слой узлов сетки основания задавался жестко закрепленным.

Рисунок 10 — Дискретно-континуальная модель нагружения образца коническиминдентором

В работе исследовалось влияние пористости и её локализации в покрытии на отклик системы «покрытие-подложка». На рис. 11 приведена начальная структура различных модельных образцов покрытия. На рис. 11,а изображено беспористое покрытие; на рис. 11,6 - покрытие с распределенными по всему блоку порами; на рис. 11,в - покрытие с порами, локализованными в области нагружения индентора.

в г

Рисунок 11 — фрагменты начальной структуры модельных образцов: а- пористость 0%; б- распределенная пористость 5%; в- локализованная пористость 5%; г- сечение плоскостью Уобразца в

Построенные по результатам моделирования кривые нагружения для процесса наноиндентирования представлены на рис. 12. Видно, что наличие пор оказывает существенное влияние на жесткость системы. Так при силе вдавливания 1 мН глубина проникновения индентора в беспористый образец составляет 26нм, а в образец с

локализованной пористостью — 44 нм. Кроме того при наличия локализованных пор в покрытии существенно уменьшается пластическая деформация подложки, о чем говорит изменение конечной точки Р-Ь диаграммы.

Рисунок 12 — Р-Ь диаграмма трех модельных образцов: а—пористость 0%;Ь—распределенная пористость 5%;с—локализованная пористость 5%

Также в работе исследовалась эффективность предложенного подхода для решения данного класса задач. Для этого за основу были взяты результаты из работыПсахьеС.Г., Смолина А.Ю. где расчеты по наноиндентированию модельного покрытия с титановой подложкой проводилосьисключительно методом подвижных клеточных автоматов. Результаты сравнения приведены в таблице 1

_______Таблица 1

МСА MCA+FEM

Количество автоматов 448835 199460

Количество узлов сетки 0 66780

Время шага интегрирования (секунды) 2,36 1,16

Из таблицы видно, что скорость расчета для задач по наноиндентированию возрастает на 103% по сравнению с МСА. При этом почти в два раза уменьшается использование RAM. Таким образом, можно говорить о четырехкратной эффективности использования вычислительных ресурсов.

На основе проведенных расчетов можно сделать вывод, что разработанный дискретно-континуальный подход позволяет численно исследовать особенности поведения материалов при наноиндентировании. При этом программа, реализующая совмещенный подход, является более эффективной с точки зрения использования вычислительных ресурсов.

"PsakhieS.G.,SmolinA. Yu., ShilkoE.V., et al. Modeling nanoindentation of TiCCaPON coating on Ti substrate using movable cellular automaton method. Computational Materials Science - 2012 (в печати)

Основные результаты н выводы:

1. На основе метода подвижных клеточных автоматов разработана многоуровневая модель для изучения особенностей процесса деформирования и разрушения хрупких пористых материалов с иерархической пористой структурой.

2. Используя разработанный многоуровневый подход, численно исследованы закономерности поведения хрупких пористых материалов с различными типами поровой структуры-Выявлено влияние морфологии и размера пор на упругие и прочностные харакгеристикипористых образцов.

3. С помощью метода подвижных клеточных автоматов показано, что зависимость от пористости модуля упругости и предела прочностипористых образцов меняется при переходе от изолированной к проницаемой пористой структуре. Полученный результат подтверждается данными экспериментов других авторов.

4. Разработан и реализован подход дискретно-континуального моделирования механического поведения материалов на основе совместного использования метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуальной механики в трехмерной постановке. Показано, что этот подход позволяетэффективно моделировать процессы деформации и разрушения, когда априори известны области локализации деформации.

Основные публикации по теме диссертации

В журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий

1. Смолин А.Ю., Роман Н.В., Добрынин С.А., Псахье С.Г. О вращательном движении в методе подвижных клеточных автоматов // Физическая мезомеханика. — 2009. - Т. 12, № 2. - С. 17-22. - 0.72/0.28 пл.

2. Кульков С.Н, Буякова С.П., Смолин А.Ю., Роман Н.В. Перколяционные переходы в поровой структуре керамики и ее физико-механические свойства // Письма в ЖТФ. - 2011. - Т. 37, вып. 8 - С. 34-40. - 0.84/0.24 пл.

3. Смолин А.Ю., Роман Н.В. Моделирование деформации и разрушения материалов на основе совмещенного дискретно-континуального подхода И Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (2). - С. 535-537. - 0.32/0.15 пл.

4. SmolinA.Y., Roman N.V., ZolnikovK.P., PsakhieS.G., KedrinskiiV.K. Simulation of structural transformations in copper nanoparticles under collision // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2011. - Vol. 2, № 2 - P. 98-101. - 0.42/0.09 п.л.

В других научных изданиях

5. СмолинА.Ю., РоманН.В., ДобрынинСА. Описание вращений в методе подвижных клеточных автоматов // ВМСППС'2009 : материалы XVI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, 25-31 мая 2009 г., Алушта, Украина. - М. : Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. -С. 656-658-0.28/0.12п.л.

6. Коноваленко Иг.С., Роман Н.В., Смолин А.Ю., Канаки А.В, Буякова С.П., Псахье С.Г. Перколяционный переход в пористых керамиках на основе нанокристаллических оксидов, их прочностные и упругие свойства: компьютерное трехмерное моделирование на основе метода подвижных клеточных автоматов [Электронный ресурс] // Механика микронеоднородных материалов и разрушение : материалы VI Российской научно-технической конференции. - Екатеринбург : ИМАШУрО РАН, 2010. - 1 CD-ROM. -0.45/0.08пл.

7. Smolin A.Yu„ Roman N.V., Psakhie S.G. Description of rotation in the movable cellular automaton method // Discrete Element Method. Simulation of Discontinua: Theory and Applications : Proceedings of the Fifth International Conference on Discrete Element Method. -London : Queen Mary, University of London, 2010. - P. 63-68 - 0.26/0.12п.л.

8. Roman N.V., Smolin A.Yu., Konovalenko I.S., Psakhie S.G. Influence of porosity percolation on strength and elastic properties of ceramic materials. 3D simulation using movable cellular automata method // Advanced problems in mechanics (АРМ' 2010) : proceedings of the XXXVII Summer School, St. Petersburg (Repino) 01-05 July, 2010 / ed. D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov. - St Petersburg : Institute for problems in mechanical engineering, 2010. - P. 575-580. -0.32/0.08П.Л.

9. Роман H.B., Смолин А.Ю., Логинова Д.С., Коноваленко И.С., Псахье С.Г. Трёхмерное моделирование разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов [Электронный ресурс] // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика / Международная конференция, посвященная 90-летню со дня рождения академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г., Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2011, № гос. регистрации - 0321101160, Режим доступа: http://conf.nsc.ru/files/confermces/nilaiik-90/fulltext/39081/42772/Roman_N_V.pdf, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 12.07.2012). - 0.31/0.08 п.л.

10. Коноваленко И.С., Смолин А.Ю., Роман Н.В., ПсахьеС.Г. Численное исследование особенностей деформации и разрушепие хрупких пористых сред на основе метода подвижных клеточных автоматов // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика [Электронный ресурс] / Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г., Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2011, № гос. регистрации - 0321101160, Режим доступа: http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/38614/47717/KonovaIenko_Ig_S_2.pd£ свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 12.07.2012) - 0.28/0.07 п.л.

11. Роман Н.В., Смолин А.Ю., Псахье С.Г. Трёхмерное моделирование разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов // Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов, Томск, 5-9 сентября 2011 г. - Томск : Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, 2011. - С. 129-130. -0.1/0.04 п.л.

12. Smolin A.Yu., Roman N.V., Loginova D.S., Konovalenko I.S., Psakhie S.G. Influence of porosity percolation on mechanical properties of ceramic materials. 3D simulation using movable cellular automata [Electronic resource] // Particle-based methods П. Fundamentals and Applications. Barcelona, Spain, 26-28 October 2011 / eds. E. Onate and D.R.J. Owen; CIMNE. -Barcelona, 2011. - 1 CD-ROM. - 0.33/0.08п.л.

13. Smolin A., Roman N., Psakhie S. Influence of pore structure on mechanical properties of ceramic materials. 3D simulation using movable cellular automata [Electronic resource] // Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety : 19th European Conference on Fracture, Kazan, Russia, 26-31 August, 2012 /ESIS.- Kazan 2012. - 1 CD-ROM.

Подписано в печать 23.11.2012 г. Формат А4/2. Ризография . л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 26/11-12 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Роман, Никита Витальевич

Введение.

1 Методы моделирования деформации и разрушения материалов, основанные на дискретном подходе.

1.1 Метод молекулярной динамики и метод мезочастиц.

1.2 Метод дискретных элементов.

1.3 Метод гладких частиц.

1.4 Конечно-элементный метод частиц.

1.5 Метод подвижных клеточных автоматов.

2 Изучение разрушения хрупких пористых 30 образцов.

2.1 Возможности методов частиц для многоуровневого моделирования хрупких пористых сред.

2.2 Обоснование модели для пористой керамики 2Ю2.

2.3 Изучение разрушения хрупких пористых ЗЭ образцов в широком диапазоне значений пористости.

2.4 Исследование влияния поровой структуры керамики на ее отклик с использованием многоуровневого подхода.

3 Совместное использование метода подвижных клеточных автоматов и методов континуальной механики в ЗО реализации.

3.1 Совмещение дискретного и континуального методов, как подход многоуровневого моделирования.

3.2 Метод конечных элементов.

3.3 Схема совмещения дискретного и континуального методов.

3.4 Тестирование разработанной методики совмещения.

3.5 Наноиндентирование пористого покрытия на титановой подложке. 101 Заключение.

Введение диссертация по механике, на тему "Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов"

Объект исследования и актуальность темы.

Многоуровневое моделирование деформации и разрушения материалов, несомненно, является актуальной задачей современной механики. С одной стороны это вызвано тем, что большинство современных конструкционных и функциональных материалов являются композиционными и имеют сложную структуру, в которой явно выделяются несколько уровней, от микро- до макромасштаба. С другой стороны, согласно физической мезомеханике [1], любое нагруженное твёрдое тело представляет собой многоуровневую самоорганизующуюся систему, в которой деформация самосогласованно развивается как последовательная эволюция потери сдвиговой устойчивости на микро-, мезо- и макромасштабных уровнях. Следует отметить, что этот подход в последние годы находит многочисленные подтверждения не только в материаловедении, но также и в геофизике и науках о биологических тканях.

Поэтому для адекватного моделирования процессов деформации и разрушения твёрдых тел необходимо уметь, во-первых, описывать особенности и механизмы этих процессов на каждом из масштабных уровней. Во-вторых, необходимо выявлять взаимные связи между элементарными процессами на разных уровнях и учитывать их в общей модели. В этом состоит сущность иерархического многоуровневого подхода в изучении деформации и разрушения. В рамках такого подхода результатом моделирования на каждом уровне является определение ряда параметров, которые позволяют переходить на следующий уровень и переносить информацию о процессах, происходящих на предыдущем уровне, дальше по иерархической цепочке [2].

Одним из факторов, обусловливающих иерархический характер строения, а, следовательно, процессов деформации современных керамических материалов, является их поровая структура. При этом, например, крупные поры могут иметь сложную морфологию, что составляет мезоскопический уровень, требующий явного учета таких пор, а мелкие поры определяют характер деформирования каркаса на этом уровне и могут быть учтены неявно. В свою очередь морфология мелких пор и их пространственное расположение определяет функциональную зависимость их неявного учета на мезоуровне и требует детального рассмотрения на «микроуровне».

Пористые материалы по определению имеют несплошности. И если при описании их деформирования поры более низкого масштаба могут быть учтены неявно и такое тело можно рассматривать как сплошную среду, то процесс разрушения хрупких пористых материалов описывать с позиций механики континуума достаточно сложно. Здесь следует отметить, что в высокопористых керамических материалах процесс разрушения может проходить крайне локализовано и изделия из таких материалов даже при значительном повреждении могут выполнять свою функциональную нагрузку. Кроме того, в современных нанокристалических керамиках толщины стенок пор составляют несколько зерен, поэтому их поведение во многом обусловлено дискретным строением материала. В данных обстоятельствах моделирование пористых нанокристаллических керамик в рамках континуального подхода сталкивается с рядом принципиальных трудностей, которые можно избежать встав на позиции дискретного подхода.

Дискретное описание материалов насчитывает столь же долгую историю, что и континуальное, но его применение на практике долгое время ограничивалось невозможностью проведения большого количества требуемых вычислений, а также анализа огромного набора числовых данных.

Классические методы дискретного моделирования можно условно разделить на два класса: 1) метод частиц, в котором рассматривается движение индивидуальных частиц тела в пространстве; 2) метод клеточных автоматов, в котором изучается изменение во времени свойств элементов в основном неподвижной равномерной сетки в зависимости от состояния окружающих элементов. Метод частиц широко применяется для моделирования материалов на микроуровне (молекулярная динамика) и гранулированных сред на макромасштабе. Клеточные автоматы позволяют достаточно эффективно изучать процессы самоорганизации в сложных активных средах. Тем не менее, попытки описывать в рамках метода частиц (фактически, вариаций молекулярной динамики) твёрдое тело на макроуровне нельзя было считать удачными, поскольку они отражали реальные деформации лишь качественно. Попытки описывать движение твёрдого тела в рамках метода клеточных автоматов также нельзя назвать плодотворными, поскольку они приводили к дополнительным сложностям даже для двумерных задач. Наиболее удачным, на наш взгляд, было создание на базе двух классов дискретных подходов метода подвижных клеточных автоматов (МСА). Достоинства данного метода позволили получить ряд новых научных результатов в различных областях, в том числе при моделировании геологических сред, наноматериалов, сыпучих сред, керамик, высокопористых каркасных материалов, и др.

К настоящему времени большинство расчетов методом МСА проводятся в двумерном приближении. Для более полного использования возможностей данного метода необходимо развивать его трехмерную постановку, поскольку двумерные расчеты не позволяют полноценно решать весьма широкий класс востребованных задач.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является развитие трехмерного подхода метода подвижных клеточных автоматов, позволяющего в рамках дискретного описания осуществлять моделирование, в том числе многоуровневое, деформации и разрушения хрупких пористых материалов в условиях внешних динамических воздействий.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие задачи.

1. Разработать методику многоуровневого моделировния деформации и разрушения хрупких пористых материалов в трехмерной постановке.

2. На основе метода подвижных клеточных автоматов изучить особенности процессов деформации и разрушения хрупких пористых материалах с явным учётом поровой структуры при одноосном сжатии.

3. Используя многоуровневый подход, численно исследовать закономерности поведения упруго-прочностных характеристик хрупких пористых материалов на основе диоксида циркония.

4. Разработать подход дискретно-континуального моделирования на основе совмещённого использования метода подвижных клеточных автоматов и численных методов континуальной механики в трехмерной постановке.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

1. Анализ зависимостей от пористости упругих и прочностных свойств диоксида циркония позволил выявить их явное изменение при перколяционном переходе от изолированных пор к сообщающимся.

Научная и практическая ценность.

Построенная в рамках метода подвижных клеточных автоматов трехмерная иерархическая многоуровневая модель дает возможность изучать особенности механического отклика пористых материалов со сложной конфигурацией поровых структур.

Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем экспериментальном изучении хрупких пористых материалов.

Положения, выносимые на защиту:

Обоснованность и достоверность расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается корректностью постановки решаемых задач, их физической обоснованностью, выбором подходящего метода численного решения и проведением тестовых расчетов; непротиворечивостью полученных результатов и их соответствием в предельных случаях теоретическим результатам, известным из литературы, а также имеющимся экспериментальным фактам.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

2. На Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ прикладной математики и механики (г. Томск, 2008).

3. На Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2008, 2009).

5. На Всероссийской конференции «НГТУ» (г. Новосибирск, 2009).

6. На Международных летних школах «Advanced Problems in Mechanics» (г. Санкт-Петербург, 2008, 2009. 2010).

8. На 19 Европейской конференции по разрушению «Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety» (г. Казань, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 печатной работе: 4 в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК; 9 в статьях материалов и трудов научных конференций различного уровня; 8 в тезисах конференций. Перечень их наименований представлен в списке цитируемой литературы [9, 44-46, 67, 73-79, 89, 102-109].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованных источников из 109

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы, полученные в настоящей работе, заключаются в следующем:

2. Используя разработанный многоуровневый подход, численно исследованы закономерности поведения хрупких пористых материалов с различными типами поровой структуры. Выявлено влияние морфологии и размера пор на упругие и прочностные характеристикипористых образцов.

3. С помощью метода подвижных клеточных автоматов показано, что зависимость от пористости модуля упругости и предела прочности пористых образцов меняется при переходе от изолированной к проницаемой пористой структуре. Полученный результат подтверждает данные экспериментов других авторов.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Роман, Никита Витальевич, Томск

1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Макаров П.В. и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / — Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. Т. 1. -298 е., Т. 2.-320 с.

2. Псахье С.Г., Шилько Е.Г, Смолин А.Ю. и др. Развитие подхода к моделированию деформирования и разрушения иерархически организованных, в том числе контрастных, сред. Физическая мезомеханика 2011. Т. 14, №3. - С. 27-54

3. Горельский В.А., Зелепугин С.А., Смолин А.Ю.Исследование влияния дискретизации при расчете методом конечных элементов трехмерных задач высокоскоростного удара // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1997. Т. 37, № 6. С. 742-750.

4. Буякова С.П. Свойства, структура, фазовый состав и закономерности формирования пористых наносистем на основе Zr02: дис. д-ра.тех. наук. Томск, 2008. — 309 с.

5. Кульков С.Н., Буякова С.П., Масловский В.И. Структура, фазовый состав и механические свойства керамик на основе диоксида циркония // Вестник Томского государственного университета. № 13, 2003, — С. 3457.

6. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике-М: Наука, 1990 176 с.

7. Кинеловский С.А., Громилов С.А. Образование фаз при соударении кумулятивного потока частиц с титановой мишенью // Физика горения и взрыва. 2002. 38, № 1. С. 129-134.

8. Кинеловский С.А., Громилов С.А. Ренгенографическое исследование карбидов вольфрама, полученных в условиях кумулятивного взрыва // Журнал структурной химии. 2003. Т. 44, №3. С. 486-493.

9. LAMMPS Molecular Dynamics Simulator URL: http://lammps.sandia.gov/ (дата обращения: 09.02.2012)

10. Берч A.B., Липницкий А.Г., Чулков Е.В. Поверхностная энергия и многослойная релаксация поверхности ГЦК-переходных металлов // Поверхность. 1994. №6. С. 23-31

11. Русина Г.Г., Берч А.В., Скляднева И.Ю., Еремеев С.В., Липницкий А.Г., Чулков Е.В. Колебательные состояния на винициальных поверхностях алюминия, серебра и меди // Физика твердого тела. 1996. Т.38, №4. С. 1120-1141.

12. Eremeev S.V., Lipnitskii A.G. Potekaev A.I., Chulkov E.V. Diffusion activation energy of point defects at the surffces of FCC metals // Physics of Low-Dimensional Structures. 1997. №3/4. P. 127-133.

13. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин B.M. Молекулярно-динамическое исследование столкновения нанокластеров друг с другом и с подложкой // Физическаямезомеханика. 2007. Т. 10, №2. С. 5-13.

14. Кривцов A.M. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. 2002. - Т.З, №2. - С. 254-276

15. Ristow G. Н. Granular dynamics: A review about recent molecular dynamics simulations of granular materials // Annual Reviews of Computational Physics. — World Scientific, 1994.

16. Campbell C. S. Shear Flows of Granular Materials: Ph.D. thesis / California Institute of Technology. — 1982. http://resolver.caltech.edu/CaltechETD-.etd-11242003-104837.

17. Alam M., Luding S. Rheology of bidisperse granular mixtures via event driven simulations // J. Fluid Mech. 2003. — Vol. 476. Pp. 69-103.

18. Cundall P.A. A computer model for simulating progressive, large scale movement in blocky rocksystem // In: Symposium of ISRM, Nansy, France,

19. Proceedings. 1971.-V. 2.-P. 129-136.;

20. Cundall P.A. Computer simulations of dense sphere assemblies // In: Micromechanics of Granular Materials, edited by M. Satake and J.T .Jenkins. -Elsever Sci. Publ., Amsterdam. 1988.-P. 113-123.

21. Rothenbury L. Bathurst R.J. Influence of particle eccentricity on micromechanical behavior of granular materials // Mechanics of Materials. -1993. N. 16.-P. 141-152.

22. Williams, J.R. and Pentland, A.P., "Superquadric and Modal Dynamics for Discrete Elements in Concurrent Design" National Science Foundation Sponsored 1st U.S. Conference of Discrete Element Methods, Golden, CO, October 19-20, 1989.

23. Williams, J.R. and O'Connor, R., Discrete Element Simulation and the Contact Problem, Archives of Computational Methods in Engineering, Vol. 6, 4,279—304, 1999

24. Mustoe G. G. W., Miyata M., Nakagawa M. Discrete element method for mechanical analysis of systems of general shaped bodies // Proc. 5th Int. Conf. Comput. Structures Technol. — Leuven, Belgium: 2000. — P. 6.

25. Matuttis H.-G., Luding S., Herrmann H. Discrete element simulations of dense packings and heaps made of spherical and non-spherical particles // Powder Technology. — 2000.—Vol. 109. Pp. 278-292.

26. Попов А.Ю. VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, тезисы докладов, 27-29 ноября 2007 года, Новосибирск

27. Monaghan J.J. An introduction to SPH. // Computer Physics Communications. 1988, v.48, p.89-96.

28. Monaghan J.J. On the Problem of Penetration in Particle Methods. J. ofCoTp. Physics, 1989, v.82, p.1-15

29. Stellingwerf R.F., Wingate C.A. Impact modeling with smooth particle hydrodynamics. // Int. I. Impact Engng, 1993, v. 14, p.707-718

30. Alam M., Arakeri V.H., Nott P.R., Goddard J.D., Herrmann H.J., Instabilityinduced ordering, universal unfolding and the role of gravity in granular Couette flow, J. Fluid Mech.,2005, v.523, p.277-306

31. Liu G.R., Liu M.B., Smoothed Particle Hydrodynamics, World Scientific Publishing, Singapore, 2003

32. Lobovsky L., Application of SPH in fluid mechanics, Diploma Thesis, Department of Physics, University of West Bohemia in Pilsen, 2003.

33. Monaghan J.J., Simulating free surface flows with SPH, J. Сотр. Phys. 110-1994-P. 399-406.

34. Monaghan J J., Gingold R.A., Shock simulation by the particle method SPH, J. Сотр. Phys. 52 -1983-P. 374-389.

35. Герасимов A.B., Черепанов P.O. Разработка алгоритма расчета условий на свободной и контактной границах для моделирования деформирования материалов методом SPH // Физ. мезомех. 2010. - Т. 13. -№2. - С. 69-75

36. Блажевич Ю.В., Иванов В.Д., Петров И.Б., Петвиашвили И.В. Моделирование высокоскоростного соударения методом гладких частиц// Математическое моделирование. 1999. - Т. 11, №1. - С. 88-100

37. Idelsohn S.R., Onate Е, Calvo N, Del Pin F. The meshless finite element method. Int. J. Num. Meth. Engng. 2003. -P. 893-912

38. Onate E. A stabilized finite element method for incompressible viscous flows using a finite increment calculus formulation. Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. 2000. - P. 355-370

39. Onate E. Derivation of stabilized equations for advectivediffusive transport and fluid flow problems. Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg. -1998 P. 233-267

40. Onate E. A stabilized finite element method for incompressible viscous flows using a finite increment calculus formulation. Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. -2000 P. 355-370.

41. Idelsohn S.R., Onate E., and Del Pin F., The particle finite element method: a powerful tool to solve incompressible flows with freesurfaces and breakingwaves. Int. J. for Numerical Methods in Engineering, Vol 61, Issue 7. -2004)- P. 964-989

42. Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Шилько E.B., Смолин А.Ю., Коростелев СЛО.Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание.// Физическая мезомеханика, Т.З, № 2, 2000,— С. 5-15.

43. Ландау JT. Д. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т.1. Механика. М.: Наука , 1988.— 216 с.

44. Смолин А.Ю., Роман Н.В., Добрынин С.А., Псахье С.Г. О вращательном движении в методе подвижных клеточных автоматов // Физическая мезомеханика.- 2009.- Т. 12, № 2. С. 17-22.

45. Псахье С.Г, Шилько E.B., Смолин A.IO. и др. Развитие подхода к моделированию деформирования и разрушения иерархически организованных гетерогенных, в том числе контрастных, сред. Физ. мезомех. 2011 г., В. 14, С 27-54

46. Kofstad P. Nonstoichiometry diffusion and electrical conductivity in binary metaloxides / H.Y. Wiley. 1972. P. 379 .

47. Янагида X. Тонкая техническая керамика // М.: "Металлургия". -1986.278. с.

48. Морохов И.Д., Трусов Л.И., Лаповок В.Н. Физические явления вультрадисперсных металлических средах. М.: Энергоатомиздат, 1984.

49. Андриевский Р.А. получение и свойства нанокристаллических тугоплавких соединений // Успехи химии. 1994. Т. 63. № 5. с. 431-448.

50. Verweij Н. Nanocristalline and nanoporous ceramics // Advanced Materials. 1998. V. 10. № 17. P. 1483-1486.

51. Гусев А.И., Ремпель А. А. Нанокристаллические материалы. M.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 224 с.

52. Odnik Н.М., McMurdie H.F. Phase Diagrams for Zirconium and Zirconium system. Phase Diagram Data Center, Maryland 20899.

53. Иванов Ю.Ф., Пауль A.B., Конева H.A., Дедов Н.В., Козлов Э.В. Электронно-микроскопический анализ нанокристаллических материалов // Физика металлов и металловедение. 1991. № 7. с. 206-208.

54. Котов Ю.А. Нанопорошки, получаемые с использованием импульсных методов нагрева мишеней // Перспективные материалы. 2003. № 4. с.79-81.

55. Кабанова М. И., Дубок В. А., Ночевкин С. А. и др. Микроструктура и пористость прессовок порошков диоксида циркония, полученных при давлениях до 6 ГПа // Порошковая металлургия. 1991. N 9. - С. 69 - 74.

56. Goberman D., Sohn Y.H., Shaw L. Microstructure development of A1203 plasma sprayed coating derived from nanocristalline powders //Acta. Material. 2002. V.50. P. 1141-1151

57. Zhang S.C., Messing G.L. Synthesis of solid, spherial zirconia particles by spreypyrolisis // J. Amer. Ceram. Soc. 1990. V. 73. № 1. P. 61-67.

58. Dubois В., Ruffier D., Odier Ph. Preparanion of fine, spherical yttria-stabilized zirconia by sprey-pyrolisis // J. Amer. Ceram. Soc. 1989. V. 72. № 4. P. 713715

59. Rathner M.J. Industrial productionof multicomponent ceramic powders (metal oxides) by means of the spray roasting technigue // Ceramic powder / Ed. By. P. Vinzenzini. — Amsterdam: Elsevier, 1983. P. 515-531.

60. Du Y. and Jin Z.P., CALPHAD: Comput. Coumpling Phase Diagrams

61. Thermochem., 15 1., 1991, pp. 59-68.

62. Стрекаловский B.H., Полежаев Ю.П., Пальгуев С.Ф. Оксиды с примесной разупорядоченностью: состав, структура, свойства / Москва: «Наука». 1987. 189 с.

63. Скрипняк Е.Г., Скрипняк В.А., Пасько Е.Г., Скрипняк В.В., Коробенков М.В. Моделирование процесса развития повреждений в наноструктурной керамике при интенсивных импульсных воздействиях // Известия высших учебных заведений. Физика, №7/1. 8с.

64. Becher P.F. Toughening behaviour in ceramics associated with the deformation of tetragonal zirconia // Acta met.- 1986.- Vol. 34.- N 10.- P. 1885-1891.

65. Клеман М., Лаврентович О.Д. Основы физики частично упорядоченных сред.— М.: Физматлит, 2007.— 680с.

66. Смолин А.Ю., Коноваленко Иг.С., Кульков С.Н., Псахье С.Г. О возможности квазивязкого разрушения хрупких сред со стохастическим распределением пор // Письма в ЖТФ. — Т. 32., №17, 2006. — С. 7-14.

67. Коноваленко Иг. С. Теоретическое исследование деформации и разрушения пористых материалов медицинского назначения и биомеханических конструкций: дис. канд. физ.-мат. наук. Томск, 2007,- 174 с.

68. Буякова С.П. Свойства, структура, фазовый состав и закономерности формирования пористых наносистем на основе Zr02: дис. д-ра. тех. наук. Томск, 2008. — 309 с.

69. Кульков С.Н, Буякова С.П., Смолин А.Ю., Роман Н.В. Перколяционные переходы в поровой структуре керамики и ее физико-механические свойства // Письма в ЖТФ. 2011. - Т. 37, вып. 8 - С. 34^0.

70. Альтшулер JT.B. Применение ударных волн в физике высоких давлений // Успехи физ. наук. — 1965. Т. 85. №2. С. 197-258

71. Gust W.H. High impact deformation of metal cylinders at elevate temperatures // J. Appl. Phys. — 1982. V. 53. № 5. P. 3566-3575.

72. Ионов B.H., Огибалов П.М. Основы механики сплошной среды. М.: Высш. Школа, 1979.— 580с.

73. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошной среды. М.: Мир, 1976.—367 с.

74. Горельский В.А., Зелепугин С.А. Численное моделирование компактирования порошков при осесимметричном ударе // Порошковая металлургия. — 1992. №4. С. 11-16.

75. Горельский В.А., Хореев И.Е., Югов Н.Т. Динамика трехмерного процесса несимметричного взаимодействия деформируемых тел с жесткой стенкой // Прикл. матем. и техн. физ. — 1985. №4. С. 94-98.

76. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В.Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию//Физическая мезомеханика. Т.З, №3.2000,— С. 93-96.

77. Смолин АЛО., Роман Н.В. Моделирование деформации и разрушения материалов на основе совмещенного дискретно-континуального подхода // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского — 2011.- № 4 (2).- С. 535-537.

78. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1. М.: Наука, 1970.— 478с.

79. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.:1. Физматлит, 2010. — 380с.

80. Головин Ю.И. Введениевнанотехнику. Машиностроение. М. 2007. -496 с.

81. Burnham N.A. Nanomechanics: Methods, Models, and Materials // NanoScience and Technology Series, Springer Verlag. 2000 - P. 398

82. Syed Asif S.A., Wahl K.J., Colton R.J. Nanoindentation and Contact Stiffness Measurement Using Force Modulation with a Capacitive Load-Displacement Transducer //Review of Scientific Instruments. 1999. V. 70. № 5. P. 24082413.

83. Tadmor E.B., Miller R., Phillips R. Nanoindentation and Incipient Plasticity //J. Mater. Res. 1999. V. 14. № 6. P. 2233-2250.

84. Gogotsi Yu.G., Domnich V., Dub S.N., Kailer A., Nickel K.G. Cyclic Nanoindentation and Raman Microspectroscopy Study of Phase Transformations in Semiconductors //J. Mater. Res. 2000. V. 15. №4. P. 871879.

85. Oliver W.C., Pharr G.M., An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments, J. Mater. Res., 7 (1992) 1564-1583.

86. Shugurov A.R., Panin A.V., Oskomov K.V. Specific features of the determination of the mechanical characteristics of thin films by the nanoindentation technique, Physics of the Solid State, 50(6) (2008) 10501055.

87. Psakhie S.G., Smolin A.Yu., Shilko E.V., at al. Modeling nanoindentation of TiCCaPON coating on Ti substrate using movable cellular automaton method // Computational Materials Science 2012 (в печати)

88. Venkatesh Т.A., Van Vliet K.J, Giannakopoulos A.E., Suresh S. Determination of elasto-plastic properties by instrumented sharp indentation: guidelines for property extraction, ScriptaMaterialia. 42(9) (2000) 833-839.

89. Sreeranganathan A., Gokhale A., Tamirisakandala S. Determination of local constitutive properties of titanium alloy matrix in boron-modified titaniumalloys using spherical indentation, ScriptaMaterialia, 58,2 (2008) 114-117.

90. Роман Н.В. Об описании вращений в методе частиц // XV Международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии» СТТ 2009 Томский политехнический университет 4 мая 8 мая 2009. - С. 233- 236.