Исследование особенностей нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем на основе метода поверхностных функций влияния тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

4844224

Ч^м

МЕДВЕДСКИЙ АЛЕКСАНДР ЛЕОНИДОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД И СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОВЕРХНОСТНЫХ ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов - 2011

2 1 АПР

4844224

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Андрейченко Дмитрий Константинович

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения

Российской академии наук, г. Санкт-Петербург

Защита состоится «17» мая 2011 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайте www.sstu.ru.

Автореферат диссертации размещен на сайте ВАК РФ «21» марта 2011г

Автореферат разослан Оии^г^Д 2011 г.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор_

Горшков Анатолий Герасимович

доктор физико-математических наук, доцент

Данилин Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Паймушин Виталий Николаевич

/1

Ученый секретарь диссертационного совета

Попов В.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время весьма актуальными являются задачи нестационарной динамики деформируемых сплошных сред, обладающих различными видами структурной неоднородности. К таким задачам относятся, в частности, задачи о дифракции нестационарных волн на криволинейных деформируемых преградах, материал которых обладает различными видами неоднородности физико-механических свойств. Необходимо отметить, что в настоящее время остаются малоисследованными и задачи о нестационарном взаимодействии для классических сред (упругие, акустические) и тонкостенных конструкций сложной геометрии, решение которых прямыми численными методами крайне затруднено из-за большой размерности задачи после конечномерной аппроксимации задачи. Одной из актуальных проблем современной механики является решение нового класса задач с подвижными граничными условиями, к которому относятся нестационарные контактные задачи.

Исследования в данной области носят как фундаментальное, так и прикладное значение. Для решения таких задач необходимы новые подходы, связанные со снижением размерности задачи за счет использования интегральных соотношений на границе взаимодействующих тел.

В диссертационной работе исследованы особенности решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем на основе аппарата поверхностных функций влияния, а именно: задачи дифракции акустических волн на незакрепленных упругих и деформируемых конструкциях, нестационарные задачи дифракции упругих и акустических волн на неоднородных трансверсально изотропных включениях сферической формы, а также ряд нестационарных контактных задач для гладких ударников и полупространства.

Целью работы является решение класса новых задач о нестационарном взаимодействии структурно-неоднородных сред и систем с использованием аппарата поверхностных функций влияния:

- задачи пространственного движения абсолютно твердого тела в акустической среде при действии плоских и сферических волн в рамках гипотезы тонкого слоя;

- задачи о дифракции нестационарных акустических волн на незакрепленных структурно-неоднородных упругих тонкостенных конструкциях в рамках гипотезы тонкого слоя;

- задачи о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородных трансверсально изотропных включениях сферической формы, обладающих криволинейными видами анизотропии упругих свойств;

- исследование динамики упругого шара и цилиндра на сверхзвуковом этапе ударного взаимодействия с жестким полупространством;

- нестационарные контактные задачи для упругой полуплоскости и гладкого абсолютно жесткого ударника при различных условиях на контакт. ч

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. Решение новых задач о пространственном возмущенном движении абсолютно твердого тела в акустической среде в рамках гипотезы тонкого слоя на основе интегральной формулировки задачи.

2. Решение новых задач нестационарной гидроупругости незакрепленных тонкостенных структурно-неоднородных конструкций в рамках гипотезы тонкого слоя.

3. Решение новых внешних и внутренних нестационарных задач о дифракции упругих й акустических волн на неоднородных трансверсально изотропных включениях сферической формы.

4. Решение новых контактных задач для упругого полупространства и абсолютно твердого ударника, а также для упругого шара и цилиндра.

5. Развитие и обобщение метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, основанного на методе поверхностных функций влияния.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в решении на основе единого подхода следующих классов задач:

1. Задачи пространственного движения и определения напряженно-деформированного состояния подводных аппаратов при действии нестационарных акустических волн в жидкости.

2. Задачи о нестационарной динамике конструкций из перспективных структурно-неоднородных трансверсально изотропных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.

3. Задачи определения кинематических параметров и напряженно-деформированного состояния ударников и преград различных типов при нестационарном взаимодействии.

Методы исследования. В основу работы положен аппарат поверхностных функций влияния для нестационарных операторов, описывающих динамику сплошных сред в рамках линейных моделей. Указанный подход позволяет получить интегральные соотношения на граничных поверхностях и тем самым снизить «размерность» задачи. Для решения полученных интегральных уравнений, а также начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями интегрального вида используются проекционные методы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически строгой и физически корректной постановкой задач, применением апробированных математических методов, классических постановок задач теорий упругости, тонкостенных оболочек и механики жидкости. Полученные результаты в частных случаях полностью совпадают с известными результатами других авторов и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на: I научной конференции «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (Николаев, 1994); Международной научной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев, 1995); Международной конференции «Modeling and investigation of system stability. Mechanical systems» (Kiev, 1997); Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте» (Гомель, 1997);

Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития транспортных систем» (Гомель, 1998); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002); EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies» (Москва, 2002); Международной конференции «Полимерные композиты» (Гомель, 2003); V Международной научной школы-семинара «Импульсные процессы в механике сплошных сред», (Николаев, 2003); Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова (Тула, 2003); 3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика - 2004» (Москва, 2004); Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики» (Москва, 2005); XXI и XXII Международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт Петербург, 2005, 2007); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006); 5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» (Москва, 2006); I-XIV Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 1995-2008); на научных семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (государственного технического университета); на научном семинаре кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета; на научном семинаре Института прикладной механики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 38 работ, в том числе 13 научных статей в изданиях, рекомендуемых ВАК Минобрнауки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций, а также 1 монография.

Результаты диссертационной работы вошли в цикл работ «Динамические контактные задачи», за которые автору в составе коллектива присуждена Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники за 2001 год.

На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ (коды проектов № 93-01- 16508-а, № 96-01-01083-а, № 99-01-00255-а, № 00-01-81198-Бел, № 02-01-00374-а, № 03-01-00422-а, № 03-01-96658-р, № 05-01-00042-а, № 05-08-01214-а, № 05-08-01497-а, № 06-01-00525-а, № 06-08-00436-а, № 07-01-12066-офи, № 07-01-13520-офи_ц, № 07-01-96417-р_центр_а).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Развитие метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

2. Решение в линеаризованной постановке в рамках гипотезы тонкого слоя задач о пространственном движении в акустической среде абсолютно твердого тела, ограниченного поверхностью вращения при действии плоских и сферических волн.

3. Решение задач нестационарной гидроупругости незакрепленных структурно-неоднородных оболочечных конструкций сложной геометрии в акустической среде в рамках гипотезы тонкого слоя при действии плоской косой волны давления.

4. Решение задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической формы, жесткостные параметры материала которого зависят от радиальной координаты, при различных условиях на контактирующих поверхностях.

5. Исследование динамики упругого шара и цилиндра при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

6. Исследование на сверхзвуковом этапе динамики абсолютно твердого тела, ограниченного гладкой поверхностью, при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и многосвязности области контакта (плоская задача).

7. Решение контактных задач для цилиндрического ударника, сечение которого представляет собой эллипс с малыми возмущениями, и упругого полупространства (плоская задача) на дозвуковом этапе взаимодействия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 295 наименований и приложения. Общий объем диссертации составляет 272 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы основные цели, задачи и научная новизна, а также представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации представлен анализ основных результатов в области нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем.

Различные аспекты постановки и решения задач о нестационарном взаимодействии сред и систем изложены в работах Григолюка Э.И., Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В., Поручикова В.Б., Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабешко В.А., Замышляева Б.В., Яковлева Ю.С., Слепяна Л.И., Сагомоня-на А.Я., Перцева А.К., Мнева E.H., Векслера Н.Д., Толоконникова JI.A., Сеймова В.М., Джонсона К., Александрова В.М., Галина Л.И., Бураго Н.Г., Баженова В.Г., Кондаурова В.И., Robinson A.R, Thompson J.C., Stradter J.T., Kukuchi N., Oden J.T., Felippa C.A., Mindlin R.D., Bleeich H.H., Haywood J.H., Belytschko T.

В главе приводится операторная постановка задач нестационарного взаимодействия сплошных сред.

Рассматривается движение системы материальных тел Ga, занимающих геометрические области Gac:R3(a = l,2).B частном случае область G, может быть полуограниченной, при этом G2 с G,.

Здесь \у(а) - вектор перемещения точек тела Са, \у.',а1 - вектор перемещения точек тела 6а как абсолютно твердого, и(0) - вектор пере-

В начальный момент времени I = 0 тела Сц контактируют друг с другом, по крайней мере, в одной точке (рис. 1.1), Ограничимся рассмотрением линейных задач:

Ь<а)(и(а)) = 0, Ь?> «') = (),

(1.1)

Рис. 1.1

мещения за счет деформации сплошной среды, Ь'" - операторы, описывающее движение среды, как абсолютно твердого тела, а операторы Ь<а> зависят от модели среды.

Операторы определяются уравнением движения центра масс и вращением тела вокруг центра масс. Для рассматриваемых в работе моделей сплошных сред Ь(а) являются линейными дифференциальными операторами относительно вектора и1"' (параметр а опущен)

Здесь ^ - криволинейные координаты, связанные с телом, а количество неизвестных т и определяющее порядок дифференциальных операторов число п зависят от модели.

Контакт осуществляется как по всей поверхности одного из тел С2, погруженного в сплошную среду С, (задачи дифракции), так и по части границ тел ЭС, пЭС, (контактные задачи). В рамках линейного приближения граничные условия задачи формулируются на недеформируемых граничных поверхностях тел ПаТ с векторами внешней нормали у(а).

К первому классу, в частности, относятся задачи о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на теле С,, в этом случае П,, = П„. = Пт. В работе рассматриваются два типа краевых условий, реализуемых на границе П,.

1) свободное проскальзывание:

(1.2)

2) абсолютно жесткое сцепление

w<» =w(i) , a<" = o<v2> , = <" • (1.4)

In, lnT v lnT v lnT v lnT v lnT

Во втором классе задач граница области контакта определяется условием геометрического пересечения недеформируемых, но подвижных поверхностей ПаТ, при этом контактирующие поверхности могут воспринимать только сжимающие напряжения, а граничные условия ставятся на поверхности П., граница которой определяется так:

ЭП.: U^+r^U^ + r«», УМеП.а<а)<0. (1.5)

Рассматриваются два типа граничных условий в области контакта: свободное проскальзывание и абсолютно жесткое сцепление.

На неконтактирующих поверхностях Па = ПоТ \ Па, граничных поверхностей тел Ga заданы либо кинематические связи, либо внешние поверхностные нагрузки:

W«|ft.=WaO. Р«|П.=Я«0- (1-6)

В результате постановка начально-краевой задачи взаимодействия материальных тел имеет следующий вид (для краткости номер среды а опущен): L(u)=f, M(%J)e G, i >0, (1.7)

Эи M(^)eG, (1.8)

t=0

Э/

|a¡=0 "S

В случае полуограниченности области Ga к граничным условиям (1.9) необходимо добавить условия ограниченности решения на бесконечности:

и'' = 0(1), г-»«, г=|г|, i = íiñ. (1.10)

Поверхностные фундаментальные решения G'n (х,сДд) определяются из решения следующих задач:

ЭС Эг

где компоненты вектора h, определяются так /гу = 5l,5(¡c(x-q,f-T), 8k¡ -символы Кронекера, 5эс(г) - дельта-функция Дирака, сосредоточенная на

ас.

Компоненты тензора напряжения

= (1.12)

являются поверхностными функциями влияния первого рода для упругого тела Ga, если на границе тела Па выполняются следующие краевые условия:

L(G'H' G'U=°'f1 =0' B(GVh"

Г=0

=5^')5(^)5(х). (1.13)

Поверхностными функциями влияния второго рода являются компоненты вектора перемещения на поверхности Па

и„

1П„

= (1.14)

удовлетворяющие краевым условиям:

0^=5,5(^)5(^)5(1), (1.15)

Далее показано, что введение поверхностных функций влияния для упругого тела , а также функций С'^) для акустической

среды позволяет сформулировать начально-краевую задачу только для тела ¿р а ^ Р со специальным типом краевых условий, содержащих интегральный оператор типа свертки и тем самым понизить размерность решаемой задачи нестационарного взаимодействия.

Случай несмешанных краевых условий. К данному классу относятся задачи дифракции, в которых влияние массовых сил мало, в начальный момент времени среды находятся в невозмущенном состоянии. Взаимодействие сред описывается следующей начально-краевой задачей:

^ =0, в(1,(и,1,)|п=[в(2,(и(2)) + в(2,(и12>)]| (1.16) /=0 П

В работе получены варианты начально-краевых задач для тела <7, с

использованием поверхностных функций влияния для тела С2.

1) Жесткое сцепление упругих сред. Начально-краевая задача для тела С, имеет вид

Эиш

L<c°(u(a,)=0, u(a,|_ =0,

э t

L(1)(uU)) = 0, u("Lo = 0,

= 0,

(1.17)

«Í & 0|n = + G™ * * * [tf'&O ■.

2) Свободное проскальзывание упругих сред. Граничные условия в задаче преобразуются к виду:

о^|п=0, 7 = 1,2 (1.18)

3) Абсолютно твердое тело G,, помещенное в акустическую среду С2. Задача Коши для тела G,:

^1,0^0, V-U=V0, co"-U=«0, ««'L = «0.

f,"(t) = -j{/>(r<",'c)n(l,<w, M,l)(x) = -{Jp(r(1,,t)[r<1)>n(1,]¿5, (1.20)

17 П

p&t)|n = PJ&t)\n + Pn&t)|n + pM)|n ,

pa%t) |n =-Gp^t)***vl2{\,t)\n, риЙ,г)|п =G,M***V3<n|n.

Здесь p¡2 соответствует давлению отражения от неподвижного абсолютно твердого тела G,, а р22 - давление излучения, связанное с движением тела G,.

4) Оболочечная конструкция С,, помещенная в акустическую среду С2. Начально-краевая задача, описывающая динамику тела С2: Э2\У . . „, ч „,, „, Э\У

Эг

э е

- + LW = Р(р), W|(=<j = W0,

= V0,

(1.22)

Э г

(1.23)

Случай смешанных краевых условий. К данному классу относятся задачи контактного взаимодействия двух тел и 62. В работе получены системы функциональных уравнений, описывающие упругое поведение тела С,.

1) Жесткое сцепление контактирующих тел. Система функциональных уравнений для тела С, имеет вид:

- уравнения движения

Ь0)(и(,))=0. а(,') = Г(1ЧК(1\М(1)), (1.24)

- начальные условия

=0,

,0)

Э t

(1.25)

U

(1)| _¥Т(1)

/<1> _v<"

Jo '

а(1) = а<п, (2),

- граничные условия на контактной поверхности П;, '(f):

**<&&t)=)dz JJ G™(1-26)

» п;,31(о

- фаничные условия на поверхности П2 \ П"'(г), имеющие кинематический или силовой вид (1.6);

- кинематические соотношения

«4 = W +х№рТ-■-£/«»pi?>-х<пХ2). «- = 1.2,3; (1.27)

- связь векторов равнодействующей R"' и момента М0), действующих на абсолютно твердое тело G,:

R(" = JJ" 0?v;vs, М(" = JJ ofV^fr^JdS, (1.28)

а также кинематических соотношений (1.5), определяющих контактную поверхность П!2)(?).

Динамика тела G, при этом описывается уравнениями движения абсолютно твердого тела и соответствующими начальными условиями:

^'(и"',^!2',«'21,^2 ) = f(2)(R<2),M<2)), (1.29)

ul2,L = C. v«»l =v

7(2)

О)

(2)

= tOn

а<2) =ai2)

!r=o

R(2) = -Ra>, M<2) = -M<;).

о ■ (1.30) (1.31)

Таким образом, отпадает необходимость в решении начально-

краевой задачи для оператора Ь(2) (и<2)) = 0.

2) Свободное проскальзывание контаюпирующго: тел. Интегральное представление (1.26) примет вид

Д (1-32)

о п!г'(1)

а в (1.27) надо положить ¿ = 3. При этом, так же как и в случае жесткого сцепления, необходимость в решении задачи для оператора Ь<2)(и<2)) = 0 отпадает.

Далее рассмотрены частные случаи взаимодействия контактирующих

тел.

А) Контактная задача для абсолютно твердого тела С, (и"1 = 0) и упругого неподвижного тела С2 (и'с2) =0).

Б) Удар упругим телом С, по неподвижной абсолютно твердой преграде 62 (и'2)гО,и<2)нО).

Таким образом, использование граничных функций влияния для тела ба в нестационарных контактных задачах избавляет от необходимости решать начально-краевую задачу для оператора Ь<а)(и(о0) = 0 и тем самым

снижает размерность решаемой задачи.

Во второй главе рассмотрена задача о пространственном движении абсолютно твердого тела, помещенного в неограниченную акустическую среду, в рамках гипотезы тонкого слоя (рис. 2.1). Решение задачи строится с помощью метода поверхностных функций влияния.

Динамика абсолютно твердого тела описывается задачей Коши для линеаризованных уравнений движения и соответствующими кинематическими

соотношениями (2.1), (2.2): Рис. 2.1

m\c=F, Л-ш = М, У(0) = 0, со(0) = 0, (2.1)

ис=Су(а0)Ус, а = Сщ(ап)ш, ис(0)=Ц0, «(())=«„, а;1=(%,ви,ун)т. (2.2) Движение акустической среды описывается начально-краевой задачей относительно давления р:

1Р

Э?2 '

■ Ар, V = -«гас! р;

(2.3)

р\1=0 = Р10=0, Р(т,г) = 0( 1), Г = (2.4)

На границе твердого тела ставятся условия непротекания акустической среды, имеющие вид

4 + (2.5)

где V - нормальная составляющая вектора скорости точек поверхности тела П , г.п - нормальная составляющая вектора скорости точек в падающей волне, уп - нормальная составляющая вектора скорости точек в отраженной от неподвижного тела волне.

Главный вектор Р и главный момент М, приведенные к центру масс тела, вычисляются следующим образом:

= М(т) = -Др(г,т)[г,п]^. (2.6)

п п

Р = Р* + Р\ + /?2> (2-7)

где р, - давление в падающей волне, р{ - давление в отраженной волне, р2 - давление в излученной волне.

Составляющие давления р1 и р2 в рамках гипотезы тонкого слоя определяются, в свою очередь, с помощью поверхностной функции влияния для акустической среды г,х):

х х

/7,(г,т)=-|у,,(г,г)С(г,х-0Л, р2{г,х) = ¡У„{г,1)д{г,х-1)Л, (2.8)

°С(г,х) = Я(т)/г;,(г(г,т)), г(г)°=т^(г), (2.9)

где к (г) - средняя кривизна смоченной поверхности.

Выражения для составляющих давления и рг (2.8) позволяют в следующем виде представить решение задачи Коши (2.1):

XXX

УДт)+/пч= (2.10)

ООО

ю(т) +1 • }с;' (т - г) ■ V, (О А -1 • /в? (т - о ■ <0(ОЛ = -I • }[М. (0 - М, (т,/)]Ж,

ООО

где

Мг(т,г)= Лу.я(г,0С(г,т-0[г,п]^, {[С(г,т)(п®п)«И,

п п

р(гд)(п®[г,п])йК, Дс(г,т)([г,п]®п)^,

п п (2.11) Дс(гд)([г,п]®[г,п])^, С(г,т) = С(гд)-1. п

Здесь и далее знаком ® обозначено прямое произведение тензоров.

Введением неизвестных векторов обобщенных скоростей \7(т) и перемещений Щт)

V = (ад2,Ус3,со„со2,сОз)Т, и = (ис]Мс2, исЪ, V, в, у)Т (2.12)

система уравнений (2.10), (2.2) сводится к системе интегральных уравнений Вольтерра II рода с соответствующими начальными условиями:

I х

У(т)+(А(т-г)-У(*)А = Х(т), и(х) = и(0) + С(а0)|У(ОЛ, (2.13)

о

где

А(х) = Дв(г)С(г,х№, В(г) =

п

Х(т)=-|г(г)-¥(т,г)]Л.

о

Х(т)=-|Р(*)-¥(т,г)]Ж, ¥(х,г) = |{у.„(г,0С(г,х-0д(г)^, (2.15)

т~'(п ®п) -т '(п®[г,п]) 1-([г,п]®п) -1-([г,п]®[г,п])

, (2.14)

Р(Т) =

/и-ТДх) 1-М.(х)

т 'п 1-[г,п]

В главе получены выражения для интегральных операторов (2.14), (2.15) в случае, когда абсолютно твердое тело ограничено поверхностью вращения П.

Для решения системы интегральных уравнений вида (2.13) разработана явная конечно-разностная схема первого порядка точности:

к-1

к = \,М,

(2.16)

и«> = иа-1,+^С(а0)(У(" + У(Ы>), и<0) =и(0).

С использованием конечно-разностной схемы решена задача о поступательном движении абсолютно твердого шара в акустической среде под действием плоской волны давления, которая имеет аналитическое решение. Отмечается практически полное совпадение результатов аналитического решения и подхода, основанного на гипотезе тонкого слоя.

В главе решены задачи о динамике абсолютно твердых тел вращения в акустической среде под действием плоских и сферических волн. В частности, исследованы задачи для эллипсоида вращения с различными отношениями полуосей при действии сферических и плоских волн.

Рассмотрена динамика для тела цилиндрической формы с полусферическими законцовками под действием сферической волны давления (меридиональное сечение тела представлено на рис. 2.2).

Ш')

-I/2-R -II2

/Д')

О

Рис. 2.2

иг

111 + R

Результаты расчета кинематических параметров твердого тела представлены на рис. 2.3 -2.6. Рассматривалось тело радиуса к = 1 с удлинением цилиндрической части А, = 4. Координаты источника сфериче-

ской волны равны: хш = -1, х20 = 1, хт = —1,5. Кривые зависимостей компонентов векторов поступательной УДт) и угловой со(т) скоростей центра масс тела вращения от времени т показаны на рис. 2.3 (кривые 1-3) и 2.4 (кривые 1,2); аналогичные кривые для линейного УДт) и углового со(х) ускорения приведены на рис. 2.5, 2.6.

Рис. 2.3. Компоненты вектора УДт) Рис. 2.4. Компоненты вектора со(т)

Рис. 2.5. Компоненты вектора Уг(т) Рис. 2.6. Компоненты вектора ю(т)

В третьей главе с использованием поверхностных функций влияния рассматриваются прикладные вопросы использования поверхностных фундаментальных решений для акустической среды в рамках гипотезы тонкого слоя применительно к нестационарным задачам гидроупругости тонкостенных конструкций (рис. 3.1).

Уравнение движения упругой тонкостенной конструкции в операторном виде имеет вид

,Э2и . . , „ Эи

М

Эг

+ Au = f, u|t=fl=0,

дх

= 0,М(^)еС,т>0, (3.1)

где и = (н,,...,и4)г - вектор-столбец обобщенных перемещений точек упругой системы, { = (/р...,/,.)1 - вектор-столбец внешних сил, М - матричный инерционный оператор, А - упругий оператор.

Уравнение (3.1) включает не только дифференциальные уравнения, но и граничные условия, которые входят в (3.1) через область определения оператора. Для описания элементов тонкостенной конструкции используется система гипотез теории оболочек — типа Тимошенко или Кирхгофа-Лява. Динамика акустической среды описывается начально-краевой задачей (2.3)-(2.5).

Для решения поставленной задачи гидроупругости (3.1), (2.3)-(2.5) используется метод разложения решения по собственным формам колебаний

«СуХОЙ» КОНСТРУКЦИИ, При ЭТОМ ГИДрО- 01_

динамическая нагрузка £ определяется .г, / с учетом гипотезы тонкого слоя и *

соответствующей функции влияния С(х,х).

Рис. 3.1

и(х,т) = £д.(т)<р,.(х),

и

\

У.„(х,т) + ]Ъ(х,х -/)г.„(х,Г)<Л

о т

(3.2)

(3.3)

(3.4)

С использованием проекционного метода Галеркина получена система интегродифференциальных уравнений движения упругой конструкции относительно коэффициентов разложения <;Дх) (3.2) и соответствующие начальные условия (сок - собственные частоты колебаний упругой конструкции)

«1=1 п=1 о (-'•-7

ь(0) = 0, ^С0) = 0. кеП.

где

К(X) = //№ + (X) + т), /Дх) = ) =-]}р.(х,х) V• (3.6)

п

/; (х) = (£, <р к) = - (х, х) V ■ (рк ¿Б. п

т

В?№ = -Я^ • (V® у)• ^2,(х) = ■-¡Л//С(х,т-г)V. • (у ® у) ■

а„к = Яф- 1 (* ® • Ф*^ • (т) = ||С(х,т)ф„ ■ (V ® V) ■

п п

Для решения задачи (3.5) разработана явная конечно-разностная схема второго порядка точности, имеющая следующий вид:

U*=Q

"2Ж

н

h2

U'=0, U2 = U(/i) =-^-F(0),

k=3,M\ (3.7)

где

Q = 2E + 3/iA + 2/i2(A + Gj), D* = 2/j2G*, j = Ъ,к-Ъ,

(3.8)

Di4=2A2Gi_,-4(E+AA), Dj_2 =2/i2G*_2+2Е+ЛА, Pl =lh2V{tk).

Интегральные операторы (3.6) для оболочки, граничащей с акустической средой, аппроксимировались с использованием 6- и 8-узловых изо-параметрических конечных элементов:

/и W = - Йр^NvT®tNVFdO,, si" (т) = ■- Jfv,vTv^,N^/Q;,

О/ л,

= - Jdt JJG(x, t - t)\'Sx<t>kN^cinn (3.9)

о n,

«ы = ffNT<D>Tv<D,N^Q;, ¥„,Дт) = jjG(x,t)NT®>Tv®(N^£2i. a, n,

Для вычисления интегралов в (3.9) применялись квадратурные формулы Гаусса на квадрате и треугольнике. Расчет собственных форм <pt и соответствующих собственных частот (0^ производился с помощью программного комплекса MSC PATRAN/NASTARN 2004.

В главе представлены результаты решения задачи гидроупругости для составной оболочечной конструкции, представляющей собой цилиндрическую оболочку с двумя сферически-

I

I

1

7 'j 7 ! *

Г

У

Рис. 3.2

R

ми законцовками (рис. 3.2). Длина цилиндрической части составляет / = 8л/, радиус Я = 0,5м. Внутренний объём оболочки разделен перегородками по длине на 5 отсеков. Расстояние между соседними перегородками 11 = 2м, а расстояние от крайних перегородок до вершин полусфер -1г=\,5м.

Материал оболочки соответствует стали с модулем упругости 2-10" МПа, коэффициентом Пуассона V = 0,3 и плотностью 7800 кг/м3. Толщина оболочки, граничащей с акустической средой, составляет 0,01 „м, а толщина перегородок 0,02 ль Упругая конструкция помещена в воду (плотность р = 1000 лгг/.и3, скорость звука с = 1500 м/с). На оболочечную конструкцию падает плоская косая волна постоянной амплитуды

р,п = 0.1 МП а, фронт которой в начальный момент времени т = 0 равнона-клонен к осям глобальной системы координат.

Оболочечная конструкция моделировалась четырехугольными вось-миузловыми конечными элементами с использованием гипотез Кирхгофа-Лява. ^'

Для расчета собственных форм и частот оболочки использовался программный ^fv ^Шг комплекс MSC. PATRAN/NASTRAN 2004 ^ (23578 конечных элементов типа QUAD 8),

при расчете удерживалось 28 ненулевых ' рис 3 ^

частот конструкции. Конечно-элементная | ' модель конструкции представлена на рис. 3.3. Задача о дифракции нестационарной

волны давления решалась с использованием разработанной методики на отрезке времени [0,tJ (xt = 8,7 • 10~3 с - момент времени охвата падающей волной всей конструкции). На рис. 3.4 представлено деформированное состояние конструкции в указанные моменты времени. Распределение эквивалентных напряжений по Мизесу азка изображено на рис. 3.5.

f = 2,5-1СГ3с / =8,5-10 с

Рис. 3.5. Распределение эквивалентных напряжений Ожа

г = 2,5-10"3с г =8,5-Ю"3 с

Рис. 3.4. Деформированное состояние конструкции

Мах: 5.347е7 кЮ7

Mi.Pi

В четвертой главе получены решения нестационарных задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической формы. Решение задачи строится с использованием общего метода применения поверхностных функций влияния в задачах дифракции, изложенного в главе 1.

Исследуется дифракция упругих (акустических) волн на упругой неоднородной трансверсально изотропной толстостенной сфере с внутренним радиусом гг и внешним /]=/?, окруженной и заполненной упругими однородными изотропными средами с разными характеристиками. Задача решается в осесимметричной поста-Рис.4.1 новке в сферической системе

координат (г,6,Ф), начало которой совпадает с центром сферы О. Внешняя среда характеризуется параметрами Ламе и плотностью р,, а внутренняя - Х2,|12 и р2. В акустическом случае среды характеризуются соответствующими плотностями р, и скоростями звука с. Материал рассматриваемой толстостенной сферы является неоднородным и функционально-градиентным. Предполагается, что упругие характеристики материала сферы зависят от радиальной координаты г.

На внешней и внутренней поверхностях контакта двух сред заданы граничные условия сопряжения. В начальный момент времени вся система находится в невозмущенном состоянии. Фронт волны, распространяющейся во внешней среде, в начальный момент времени ¿ = 0 касается точки сферы А. Рассматриваются внешние и внутренние задачи о дифракции нестационарных сферических или плоских волн (рис. 4.1).

Задача решается в безразмерной постановке методом разложения решений в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра. Постановка задачи относительно коэффициентов рядов дается следующими соотношениями: - неоднородная трансверсально изотропная среда

д2и,п . . ди,.п , (о) .рЭЧп

при п = 0: ап + д,, + а™«,,

дг2 " Э г

а

при п е □ :

ЭЧ,

12 дг2

Эг

дг дч,

(4.1)

д2иП1

ЭЧ

(4.2)

Э/ + ЙЛ=Р"Эг

22 дг2 21 дг ^

- уравнения движения внешней и внутренней однородных изотропных упругих сред

-У»0-*эу

дхг ■

дг2

- + — г

дг

- = сп-

дг~ г дг г' ' йт~ - граничные условия относительно коэффициентов разложений:

(4.3)

(4.4)

т,а:

.(О

+ с

= а..

"'АЦ + СТЛ,|Г=Г1 = +4! —«Он)

— начальные условия для уравнений (4.1)-(4.3) являются однородными:

= 0, (¿=1,2), (4.5)

= 0.

% Эх

=0, VI

' ' " I .V Л

ы> Эх

Эи„

"™|^ = «0,1Ц=О' Эт

I—о

Эх

- условия ограниченности решения:

ф1°(г,т) = 0(1), 1|/<|)(г,т) = 0(1), г-*™,

(4.6)

ф12)(;-,х) = 0(1), 1к12)(г,х) = 0(1), г-»0.

Аналогично по структуре уравнения движения получаются в случае акустических сред.

Построенные в работе поверхностные функции влияния для однородной изотропной упругой (акустической) среды в сферической системе координат позволяют свести задачу о дифракции на неоднородном сферическом включении к интегрированию начально-краевой задачи для системы уравнений в частных производных первого порядка с граничными условиями интегрального типа:

-уравнения движения неоднородной среды

^ + + М„(г)и„=0, (4.7)

ОТ ог

- начальные условия

и„|1=|1=0, пе{0}иМ. (4.8)

- граничные условия (/ = 1,2)

м,{ т)

А,(#„М+£С.....(,;)и„(,;,у;:)) + В„(^х)^и„(/;,х) = Р„(,-,х). (4.9)

»1=1

Здесь В„(/;,х) - матрица, содержащая граничные функции влияния для внешней и внутренней сред; символом * обозначена покомпонентная свертка функций по времени. Конкретный вид матриц А„(/;), Ви(/;,т), С„„,(/;■) и вектора Р„(/;,х) определяется типом граничных условий задачи.

Для решения начально-краевой задачи (4.7) - (4.9) разработана конечно-разностная схема типа Куранта - Изаксона - Риса (номер члена ряда п далее опущен).

- ^ + КЛ7(\У+1/2 - \У;Ч/2) + ьру, =0, ] = 2,М-\,

"1+1/2 ~ _ V

где

Л, = л(дг,), ^(х,),

(4.10)

ВДМ(г)-

эад

Эг

ЗД. (4.11)

Здесь - матрица, составленная из правых собственных векторов

матрицы 1*(7), а (г) (к = 1,...,3/г) соответствующие собственные значения матрицы.

Для определения граничных значений векторов (т = \,М) на к + \ слое по времени получена система линейных алгебраических уравнений:

Н =¥к

Н =

Р,' =ЁУ.-КА^ (4.12)

= + КАМ (уукм - ) - йД, .

Построенная конечно-разностная схема (4.10) с аппроксимацией граничных условий (4.12) имеет первый порядок аппроксимации по пространственной и временной координатам 0(1гх + /¡т) при условии, что для вычисления интегралов используют квадратурные формулы Ньютона - Коте-са порядка I > 1.

Исследование устойчивости схемы методом спектрального анализа приводит к условиям вида

С= щах |с;(г)|<1 С1(г) = /Гц4(г), к=й. (4.13)

¿=1,(1 ' ' /те [а, ,а,]

где щ (г) - собственные значения матрицы И (г).

В качестве тестовой рассматривалась задача о радиальных колебаниях неоднородной сферы с внутренним радиусом гг и внешним г, = Л = 1, находящейся в неограниченной акустической среде с параметрами рл и са и нагруженной внутренним давлением . При степенном типе неоднородности методами интегральных преобразований Лапласа по времени построено аналитическое решение задачи при малых временах взаимодействия. Эта же задача при произвольных временах т решается численным методом, разработанным в данной главе.

С использованием разработанного алгоритма решен новый класс задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородном сферическом препятствии при различных законах изменения жесткостных параметров

включения по радиальной координате. В частности, рассмотрена задача для неоднородной трансверсально изотропной сферы, заполненной упругой средой с параметрами р2Д2,щ. Содержащая сферу среда также является однородной изотропной упругой с параметрами р,, Л,,, (X,. Предполагается, что на границах раздела упругих сред г = г (/ = 1,2) реализуются условия жесткого сцепления. В качестве внешнего воздействия рассматривалась плоская волна напряжения амплитуды р,. В табл. 4.1 приведены безразмерные физико-механические характеристики материалов исследуемой системы. Параметры внешней среды соответствуют алюминию, а внутренней - свинцу. Свойства материала неоднородной сферы близки к физико-механическим характеристикам вольфрама. Неоднородность свойств материала сферы принималась в виде

Е1{г) = Е(г) = С]{г) = гк, {квЯ). (4.14) ___Таблица 4.1

Внешняя с реда Внутренняя среда Неоднородная сс iepa

X, к, Р. h к2 Pi Е V V, с, Р

0,25 0,12 0,14 0,58 0,46 0,62 i 0,5 0,25 0,28 0,2 1

Расчет проводился на конечно-разностной сетке с шагом по пространству А = 0,005 и числом Куранта С = 0,95. Для вычисления интегральных операторов использовались квадратуры метода трапеции. Результаты расчетов задачи о дифракции плоской волны (р, = 1, параметр неоднородности к =-3/2) приведены на рис. 4.2, 4.3. В расчетах удерживалось 15 членов рядов по полиномам Лежандра. На рис. 4.2, 4.3 представлены пространственные распределения интенсивности напряжений ¡^(гДт). На графиках четко прослеживается волновой характер процесса распространения возмущений по неоднородной сфере. Максимальный уровень интенсивности достигается в сечении сферы, соответствующем полюсу (8 = 0°) при х=2, что соответствует моменту охвата внешней волны сферического включения. Наличие осцилляции в решении в сечении 8 = 0° связано со значительным ухудшением сходимости рядов по полиномам Лежандра на границе отрезка [0,тс].

Х'П X

А ■

\

9W

мш

L

м............Мах: 1.566 I

1.15 0.98 0.82 0.66 0,49 0 33 0.16 ( 1.48 1.31 1.15 0.98 0.82 0.66 0.49 0.33 0.16

Рис. 4.2. Интенсивность напряжений ¡5 Рис. 4.3. Интенсивность напряжений ¡'5 (т = 0,5) (т = 1)

С использованием разработанного численно-аналитического метода рассмотрена также задача о дифракции плоской акустической волны давления на неоднородной полой сфере. Предполагается, что неоднородная

полая сфера с внутренним радиусом г = г2 =0,5 помещена в неограниченную акустическую среду с параметрами р, и с,. На границе контакта при г = г, = 1 реализуются условия непротекания, а внутренняя поверхность сферы свободна от нагрузки:

nW

I + /> =

\г=1 1г=1

„W

rrlr=l '

W" -

r=1 lr=l

3«r de

=0, (/=1,2), (4.15)

Внешнее воздействие моделировалось плоской акустической волной давления единичной амплитуды р, = 1. Параметры материала сферы приведены в табл. 4.1, а в качестве акустической среды использовалась вода (pt = 1000 кг/м3, с, = 1500л//с). Расчеты проводились на конечно-временной сетке с пространственным шагом /г = 0,005 с числом Куранта С = 0,8.

Отсутствие внутренней среды приводит к качественному перераспределению компонент тензора напряжений в сечениях сферы. На рис. 4.4 и 4.5 представлены пространственные зависимости нормального напряжения огг при 0 = 0° и 0 = л/2 в указанные на рисунках моменты времени.

Рис. 4.4. Распределение напряжений агг по радиусу сферы при 6 = 0

Рис. 4.5. Распределение напряжений агг по радиусу сферы при 6 = л/2 С использованием разработанного подхода решены также внутренние задачи о дифракции сферических волн на неоднородной сфере. Рассмотрена неоднородная трансверсально-изотропная сфера с внутренним радиусом г2, заполненная однородной изотропной средой с параметрами Х2,ц.2, и р2. Внешняя р 4 поверхность г = 1 сферы свободна от нагрузки, а на внутренней (г = г2) реализуются условия жесткого сцепления упругих сред. В качестве внешнего воздействия рассматривается источник сферических волн, лежащий на расстоянии < г2 на оси симметрии Ох1 (рис. 4.7). В начальный момент времени т = 0 фронт сферической вол-

х2, К М-2> Рг

гУУ/\

х\

Х/^Т \JvjE{r\Eir\ G,(r),

ны касается внутренней поверхности сферы в точке А. Давление на фронте волны в момент касания равно р,. Физико-механические характеристики внутренней среды соответствуют свинцу (см. табл. 4.1). В результате решения задачи проанализировано влияние степенного параметра к неоднородности материала вида (4.4) ке [-5/2,5/2]. Источник возмущения располагается на расстоянии ¿/ = 0,3. При расчетах удерживалось 20 членов ряда по полиномам Лежандра, шаг конечно-разностной сетки к = 0,005, число Куранта С = 0,93.

Результаты расчетов показывают, что максимальный уровень интенсивности напряжений для рассмотренных времен взаимодействия локали-

В 2.87 2 46 2.05 1.64 1.23 0.82 0.41 0

Рис. 4.7. Интенсивность напряжений Рис. 4.8. Интенсивность напряжений /,(т = 0,1;*=-2,5) I, (т = 0,1; Л = 0)

зуется в окрестности точки А, причем в отличие от дифракции плоской волны максимальный уровень г5 достигается в начальные моменты времени. На рис. 4.7, 4.8 показано распределение пиковых значений при параметрах неоднородности Л =-5/2, & = 0 (к = 0 соответствует однородному материалу).

Пятая глава диссертации посвящена нестационарным контактным задачам для линейно упругих сред и абсолютно жестких ударников (преград), решения которых получены на основе метода поверхностных функций влияния. " "

Вначале рассмотрен класс задач об ударе упругим однородным изотропным шаром (цилиндром) по абсолютно жесткому полупространству. В начальный момент времени т = 0 упругий шар радиуса /?0 = 1, материал которого характеризуется плотностью р и параметрами Ламе X и ц, касается абсолютно жесткого полупространства л, > 0 в точке О прямоугольной декартовой

Рис. 5.

системы координат Ох,х2х} (рис. 5.1). До начала взаимодействия все точки шара имеют начальную скорость v = V0e,. В процессе внедрения на упругий шар действует внешняя нагрузка Re = Reel и результирующая контактных напряжений R = Riel.

Динамика ударника как абсолютно твердого тела описывается задачей Коши относительно глубины погружения:

mh = Re + R, h(0) = 0, h(0) = Vo. (5.1)

Задача для шара решается в осесимметричной постановке в сферической системе координат, связанной с центром шара. Выражение для результирующей контактных напряжений определяется так:

9.«

R(x) = 2n J (orrcose-cresin6)|r ismQdQ, (5.2)

о

При этом область контакта в первом приближении определяется из геометрических условий: Q(x) = {(a,9)eR2|ae(-7t,Ji], бе [О,0.(т)]}; h{x) = l-cos9.(x). (5.3)

Упругое деформирование шара описывается следующей начально-краевой задачей относительно потенциалов <р и у в сферической системе координат:

■Ii т__=

2 ' т 1 . 2 л I -> 1

Эх г sin 9 Эх

q>L = 0, Ф|1=г, = ^orcos0, (5.5)

при этом рассматриваются два типа смешанных граничных условий.

Задача 1 (свободное проскальзывание):

а„|г=]=0, (бе [0,9.]), =и0(в,т), (96 [0,9.]),

0f9|r=1=O, (9е [0,тс]), (5.6)

ф(г,х)=0(1), у(г,т) = 0(1), г->0.

Задача 2 (жесткое сцепление):

«rL=«o(e.x), "в L=v0(9,t), (9е [0,9.]),

orrLi (е«£ [O.e.]). (5.7)

ф(г,т) = 0(1), vj/(r,x) = O(l), г-> 0.

В случае задачи об ударе упругим цилиндром (плоская задача) изменения коснутся уравнений движения (5.4), которые записываются в цилиндрической системе координат, связанной с центром цилиндра:

Э2ф Л 2 Э2ш

Второй класс задач связан с нестационарными контактными задачами для гладких абсолютно твердых ударников и упругого изотропного однородного полупространства (плоская задача) (рис. 5.2).

«Фл V ^ош ....

ДФ = ^, AV = Y(5-8)

Движение ударника описывается системой безразмерных уравнений плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела с соответствующими начальными условиями:

т\с = Ке + К, Ло=Ме + М, и£=Ус, е = ю, (5.9)

иц = и0, УЦ = У0, е|г=0 = е0, 4=й=со0, (5.ю)

где ис и 6 - вектор перемещения центра масс и угол поворота ударника вокруг центра масс; Ме, и К, М - соответственно погонные внешние и контактные силы и моменты, действующие на тело.

Движение упругой полуплоскости описывается начально-краевой задачей относительно потенциалов ср и у

Э> Э2у _

Эф Эф .. UVi) U ш 2— - + трг = ф, + =

дх? дх2 т Djc,2 Эх2

(5.11)

(5.12)

Фи=фЦ=И-о=Со=0-

причем рассматриваются два типа краевых условий: Задача 1 (свободное проскальзывание):

щ{х1,х2,т)\х^=ща(х2л), (x,eQ(x)),

(5.13)

Задача 2 (жесткое сцетение):

"vU'ML (^eQ(x)),

(5.14)

(^Ü(T)), 0 = 1,2). Ha бесконечности среда находится в

Puf S 9

невозмущенном состоянии:

ф(лт) = у(г,т) = 6>(1), r-> r2 = x¡xr (5.15)

Вследствие линейности задачи граничные условия сносятся на невозмущенную поверхность полупространства П,0, причем граница области контакта 9í2(x) определяется из геометрического пересечения двух неде-формированных поверхностей: неподвижной П10 и подвижной ПТ=П2|. В общем случае область контакта является многосвязной.

Q(x) = ¿Q,(x), Q;(x) = [¿;(т),^(х)],

Щ (х) = {b) (х) eOx2\g (0 ,b) (х),х) = 0, j = 1,2}. Связь uj0(x2,x) с кинематическими параметрами ударника имеет вид M10(A:2,x) = t/d(x) + x1©cos8(x)-x2(^sin8(x), M20(jc2,x) = í/2(x) + x,(^)sine(x) + x2(^)cose(x)-^.

(5.16)

(5.17)

Замыкает задачу связь результирующих реакций полупространства К и М с контактными напряжениями о]0(х2,х):

¿=1 ¡=1 КМ (5.18)

М(т) = (ие1К>е3) + М0(х), (у = 1,2),

Для ударников, ограниченных гладкими поверхностями, вводится сверхзвуковой этап взаимодействия, при котором скорость расширения границы области контакта больше максимальной скорости распространения возмущений с, в упругой среде. В этом случае граничные условия контактных задач (5.6), (5.7), (5.13) и (5.14) носят несмешанный характер. В частности, для упругого шара в задаче 2 они имеют вид

<4=.=" о(0'т)' »»и, =4.(0^), (ее [о,е.]),

"ги ="е1=| =°. (вй [0,0.]), (5.19)

ф(г,т) = 0(1), \|/(г,т) = 0(1), г-> 0.

Решение задачи (5.4), (5.5), (5.19) строится методом неполного разделения переменных по угловой координате 0, причем для контактной силы Д(т) (5.2) справедливо:

4тг I

Я(т) = тК1 + 2аге,)[=1. (5.20)

Здесь агг1,аге1 - коэффициенты разложений соответствующих компонент тензора напряжений в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра при и = 1.

Контактные напряжения а^)(т) = а<Г1':)(1.х) (к - номер задачи, номер члена ряда опущен) с помощью функций влияния С"1 (т) и Р-к\х) представляются в следующем виде (/, у'е {г,0}):

о^Ч-Е) = ит{х) * + у01(х) *(%\х) + (5.21)

О*) = «01(т)* С»Ч-с) + У01(т) *С«>(т) +У0^11)(х)

Для малых времен взаимодействия получены следующие асимптотические разложения функций влиянияС^'СО и ^"'(т) (5.21):

ш+1 р<"'1 т /•(*>

СГ(Т)=^5'(х)+4»6(Х)+Я(Х)Х7^Х'-\^ЧХ)=Я(Х)^7^Х'-2. (5.22)

/=2(1—¿У- 1}!

26

В итоге задача динамики упругого шара сведена к нелинейному ин-тегро-дифференциапьному уравнению с соответствующими начальными условиями

т-/)Л=-рВД+У0г(т), /г(0)=0, ¿(0) = УВ, (5.23)

для решения которой разработан численный алгоритм, основанный на методе сеток.

Решение задачи для упругого цилиндра строится с использованием аналогичного подхода путем разложения решения для упругой части задачи в комплексные ряды Фурье. В итоге получено интегродифференциаль-ное уравнение, описывающее динамику цилиндра, по структуре совпадающее с выражением (5.23).

С использованием разработанного метода решен ряд новых задач об ударе упругим шаром (цилиндром) по абсолютно жесткому полупространству. На рис. 5.3, 5.4 приведены результаты решения контактной задачи для стального шара (у = 1,87; к = 0,428) при начальной скорости внедрения У„=0,05 и значению внешней силы Яе= 0 (сплошная линия - свободное проскальзывание, штриховая - жесткое сцепление).

На рис. 5.3 представлена зависимость скорости изменения границы области контакта 6.(х), которая подтверждает наличие сверхзвукового участка в контактной задаче (0,(т) >1). Как следует из рис. 5.3, учет жесткого сцепления приводит к уменьшению длительности сверхзвукового этапа взаимодействия.

и.

4

3

]

о

На рис. 5.4 изображена глубина погружения шара /г(т). Как следует из графика, на сверхзвуковом участке взаимодействия шар внедряется практически равномерно.

В задаче об ударе гладким абсолютно жестким ударником по упругой полуплоскости также выделяется сверхзвуковой этап, соответствующий временам взаимодействия, для которых ¿|п!п(х) = шт|Ь^(х)|>с, (рис. 5.2).

Для данного этапа взаимодействия в случае жесткого сцепления контактирующих тел показано, что кинематические параметры ударника опреде-

27

ляются без предварительного нахождения контактных напряжений из решения задачи Коши для системы квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

--А(а) а(0)-ао,

S = (í/1,V1,í/2,V2,e,fi))1, A(S) = (A,,..A6)T,

X^V^m-1^ +caStj ~{<аисг +Vci)s],X3=V2,'k4=nfl[Rel +f'(coC/d-Vc2)s],

X5= аз, X6= Г1 [M, -axf^+i 2Uc2(ü+ Vcl) - [Uc2 {^Uc2+V,) + ГЧ, (ш Uct - Vc2)) s], где S,S и J - площадь, статический момент и момент инерции области контакта Q(x) относительно оси Охъ.

С использованием указанного подхода рассмотрен сверхзвуковой этап внедрения ударника, радиус-вектор направляющей L которого представляется в следующем виде:

r(q)=r0© + 5©n, (5.25)

где г0, II - радиус-вектор и единичная нормаль к базисной кривой, 5(1;) -возмущения базисной кривой, учитывающие в первом приближении неровность (шероховатость) ударника.

Для параметризации кривой (5.25) и вычисления массово-геометрических характеристик ударника использовалась аппроксимация кривой L В-сплайнами.

Рис. 5.5

0 1 2 3 4 5 Рис. 5.6

В качестве примера рассмотрен ударник с базовой направляющей в виде эллипса с эксцентриситетом е и возмущением в виде периодической функции 5(i;) = 50 sin иЕ,.

На рис. 5.5, 5.6 изображен ударник (е = О,99;50 =0,01; п = 20) в момент касания поверхности полупространства (у =1,871), а также временная зависимость области контакта, которая является двусвязной. Расчеты проводились при следующих начальных условиях

Ую =0,005; У,0 = ю0 =0;в0 =0°и значениях внешней нагрузки /ге1=0,1;/?е2=Ме=0.

В главе также рассмотрены задачи о наклонном внедрении ударника при различных значениях эксцентриситета е и возмущениях базовой кривой 8(с,). Показано, что существенное влияние на кинематику ударника оказывает эксцентриситет е. Уменьшение последнего приводит к тому, что скорость изменения как продольной У2 (штриховая линия на рис. 5.7), так и поперечной скорости V, (сплошная линия на рис. 5.7) снижается, при

Рис. 5.7 Рис. 5.8

На дозвуковом участке внедрения ударника контактная задача сведена к системе функциональных уравнений (СФУ), содержащей сингулярный интегральный оператор ядром которого являются поверхностные функции влияния для упругой полуплоскости /^.(х,,т).

1^;>Ф= Л^Ос-^-с-гЖ^,')^'. /, у = 1,2; (5.26)

о

где \\>. - компоненты вектора перемещений точек поверхности полупространства под ударником, - контактные напряжения, О - пространственно-временная многосвязная область контакта.

Для решения СФУ используется численный метод, основанный на конечномерной аппроксимации пространственно-временной области контакта О, модифицированный для решения задач с многосвязной областью контакта. В итоге получена явная разностная схема первого порядка точности по пространственной и временной координатам:

и;1 = иг1+и\г', в" = и;+с:т", \г"'=иг + с"Уш - х",

ХГ = - Г1 УГ", V," = V,"-' + АМ(т; + Т").

Здесь 15", V," - вектор положения и скоростей центра масс ударника на и -м шаге по времени, В" - вектор границ области контакта, W"", - вектор

перемещений точек полупространства под ударником, Е'"" - вектор контактных напряжений.

С использованием разработанной конечно-разностной схемы решена задача о скользящем внедрении (90 = 0°;У10 = У20 = 0,001; ю = 0; /?е1 = Ие2 =0,01; Ме =0) в стальное полупространство (у= 1,871) абсолютно твердого ударника с базовой направляющей в виде эллипса (е = 0,99; 50 =0,005; п = 10). На рис. 5.9 изображена многосвязная пространственно-временная область контакта О, а на рис. 5.10 - временная зависимость минимальной скорости расширения границы области контакта /;,„;„.

0.05 0

-0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25

«сг-*-""

_

с

СГ

т-5 ' ; т4 0

О,

А

-Д,

- А

Ь Ш, 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0 0.1

0.4

0.1 0.2 0.3

Рис. 5.10

0.4

0.2 0.3 Рис. 5.9

Рис. 5.11, 5.12 отражают кинематику движения ударника (сплошные линии - жесткое сцепление, штриховые - свободное проскальзывание). Учет жесткого сцепления приводит к снижению абсолютных значений компонент вектора скорости, причем наибольшее влияние оказывается на движение ударника, нормальное к поверхности полупространства, к.к -.-.-.-о 'Ю4

0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002

0.1 0.2 0.3

Рис. 5.11

0.1 0.2 0.3

Рис. 5.12

Распределение нормальных и касательных напряжений под ударником для подобласти В, представлено на рис. 5.13, 5.14. Анализ результатов решения показывает, что в условиях жесткого сцепления происходит существенный рост касательных напряжений в окрестности границы областей контакта Ь"'. Аналогичный эффект наблюдается и для нормальных напряжений для об-

ластей контакта Л,,...,£>6, образующихся в процессе взаимодействия ударника и полупространства.

Основные выводы и результаты

1. Развит метод решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанный на использовании поверхностных функций влияния. Сформулированы начально-краевые задачи взаимодействия сплошных сред с граничными условиями интегрального типа на поверхностях раздела. Доказана эффективность применяемого подхода в динамических задачах механики деформируемого твердого тела за счет существенного снижения размерности решаемых задач.

2. В линеаризованной постановке в рамках гипотезы тонкого слоя решена задача о пространственном движении абсолютно твердого тела в акустической среде. С использованием поверхностных функций влияния задача сведена к системе интегральных уравнений движения тела типа Воль-терра II рода. На основе конечно-разностного подхода построена конечномерная аппроксимация задачи. Решены задачи о движении в акустической среде твердых тел, ограниченных поверхностью вращения: эллипсоида, а также составного тела вращения при действии как плоских, так и сферических акустических волн.

3. Решен новый класс задач нестационарной гидроупругости незакрепленных структурно-неоднородных оболочечных конструкций в акустической среде в рамках гипотезы тонкого слоя. С использованием поверхностных функций влияния для акустической среды и метода разложения по собственным формам колебаний конструкции получена бесконечная система интегро-дифференциальных уравнений движения упругой оболочеч-ной конструкции. Построены численные алгоритмы решения полученной системы интегро-дифференциальных уравнений, основанные на методе сеток. Для аппроксимации решения по пространственным координатам использован конечно-элементный подход. Решены задачи нестационарной гидроупругости для незакрепленной структурно-неоднородной оболочеч-ной конструкции сложной геометрии при действии плоской косой волны давления в акустической среде.

4. Решен новый класс задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях. С использованием поверхностных функций влияния для неод-

нородного упругого включения получена начально-краевая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка с краевым условием интегрального типа. Разработана конечно-разностная схема сквозного счета для решения задач указанного класса, содержащего граничный интегральный оператор по времени. Решены новые внешние и внутренние задачи о дифракции упругих и акустических волн на неоднородном включении сферической формы, жесткостные параметры материала которого зависят от радиальной координаты. Приведены решения задачи о дифракции плоской упругой волны на сферическом включении, заполненном упругой средой. Также решена внутренняя задача дифракции упругой сферической волны на неоднородной сфере, помещенной в акустическую среду. Исследована зависимость интенсивности напряжений в неоднородном включении от параметра неоднородности материала, как для внутренних, так и для внешних задач дифракции.

5. Исследована динамика упругого шара и цилиндра при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия. На основе метода поверхностных функций влияния получена начальная задача для нелинейного интегродифференциального уравнения относительно глубины погружения и построена конечно-разностная процедура его решения. С использованием разработанного алгоритма решен ряд новых задач об ударе упругим шаром и цилиндром по абсолютно жесткой полуплоскости в условиях как свободного проскальзывания, так и жесткого сцепления. Проанализировано влияние типа граничных условий на параметры движения упругого шара и цилиндра.

6. На сверхзвуковом этапе взаимодействия исследована динамика абсолютно твердого тела, ограниченного гладкой поверхностью, при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и многосвязности области контакта (плоская задача). Решены задачи динамики для ударников, направляющая которых имеет немонотонную кривизну и аппроксимируется В-сплайнами.

7. С использованием поверхностных функций влияния получена система функциональных уравнений (СФУ) плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта. С учетом условий многосвязности, возникающей в процессе решения контактной задачи, модифицирован численный метод решения СФУ. С помощью разработанного метода решена задача об ударе по поверхности полупространства ударника, направляющая которого имеет немонотонную кривизну и параметризуется В-сплайнами. Решена контактная задача для цилиндрического ударника, сечение которого представляет собой эллипс с малыми возмущениями. Получены распределения контактных напряжений в многосвязной области контакта, а также временные зависимости кинематических параметров при различных типах контактных граничных условий.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Медведский АЛ. Влияние граничных условий на параметры нестационарной контактной задачи / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Д.В. Тар-лаковский // Изв. РАН. МТТ. - 1993. -№3. - С. 133-143.

2. Медведский А.Л. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Д.В. Тар-лаковский // Изв. РАН. МТТ. -1994. -№ 1. - С. 27-37.

3. Медведский А.Л. Нестационарные контактные задачи с подвижными границами для деформируемого тела и полупространства / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Д.В. Тарлаковский, Г.В. Федотенков II Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2000. - №3. - С. 41- 45.

4. Медведский А.Л. Плоская задача дифракции акустической волны давления на криволинейном препятствии / А.Г. Горшков, О.В. Егорова, С.И. Жаворонок, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский // Изв. РАН. МТТ. -

2003.-№3,-С. 148-154.

5. Медведский А.Л. Плоская задача дифракции акустической волны давления на тонкой ортотропной панели, помещенной в жесткий экран / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский // Изв. РАН. МТТ. -

2004. -№1.- С. 209-220.

6. Medvedsky A.L. A non-steady problem of cylindrical pressure Wave's diffraction on thin elliptical shel 1/ A.G. Gorshkov, A.L. Medvedsky, L.N. Rab-insky, S.I. Zhavoronok // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2005. - Vol. 1. Issue 2. - Pp. 423-435.

7. Медведский А.Л. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде под действием нестационарной сферической волны давления / А.Г. Горшков, С.И. Жаворонок, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский // Изв. РАН. МТТ. - 2006. - №1. - С. 173-186.

8. Медведский А.Л. Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Механика композиционных материалов и конструкций. -2006. - Т. 12, №4. - С. 530-540.

9. Медведский А.Л. Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2007. - Т. 13. №1. - С. 119-130.

10. Медведский А.Л. Задача о дифракции нестационарных упругих волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере / А.Л. Медведский II Механика композиционных материалов и конструкций. - 2008. - Т. 14, №3. - С, 473-489.

11. Медведский А.Л. Сверхзвуковой этап взаимодействия упругого однородного изотропного шара и абсолютно жесткой преграды / А.Л. Медведский П Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - Т. 38, №2. Вып. 1 - С. 38-49.

12. Медведский А.Л. Гидродинамика тонкостенных конструкций в рамках гипотезы тонкого слоя для акустической среды / А.Л. Медведский // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15, №2. -С. 153-167.

13.Медведский А.Л. Динамика неоднородной трансверсально-изотропной сферы в акустической среде / А.Л. Медведский Н Вестник МАИ. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. - Т. 17, № 1. - С. 181-186.

Монографии

М.Медведский A.JI. Метод поверхностных функций влияния в нестационарных задачах дифракции / A.J1. Медведский, JI.H. Рабинский. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 256 с.

Основные публикации в других изданиях

15.Медведский А.Л. Алгоритм интегрирования системы функциональных уравнений плоской нестационарной контактной задачи / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Д.В. Тарлаковский // Статика и динамика структурно неоднородных конструкций - М.: МГАТУ, 1994. - С. 26-33.

16.Медведский А.Л. Наклонный удар цилиндрическим телом по упругому полупространству в условиях жесткого сцепления / А.Л. Медведский II Импульсные процессы в механике сплошных сред: тезисы докладов I научной школы. - Николаев, 1994. - С.59.

17.Медведский А.Л. Взаимодействие ударника и упругой полуплоскости в условиях жесткого сцепления / А.Л. Медведский // Моделирование и исследование устойчивости систем (прикладная механика): тезисы докладов конференции. - Киев, 1995. - С. 41.

18.Медведский A.JI. Определение кинематических параметров упругого цилиндра на начальном этапе взаимодействия с абсолютно жесткой преградой / A.B. Вестяк, А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Д.В. Тарлаковский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: тезисы докладов III Международного симпозиума. - М.: «Латмэс» МГАТУ, 1997. - С. 33-34.

19.Медведский А.Л. Определение кинематических параметров упругой сферы при ударе о жесткую преграду / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Д.В. Тарлаковский // Modeling and investigation of system stability. Mechanical system. International Conference. Kiev, May 19-23, 1997. Thesis of conference report. - Kiev, 1997. - P. 43.

20.Medvedsky A.L. The non-stationary contact problems for deformable strikers and half-space / A.G. Gorshkov, A.L. Medvedsky, D.V. Tarlakovsky, G.V. Fedotenkov // Contact Mechanics of Coated Bodies. EUROMECH Colloquium 434. - M.: ИПМ PAH, 2002. - P. 30.

21.Медведский А.Л. Одномерная нестационарная задача теории упругости для неоднородной сферы / А.Г. Горшков, Т.Е. Бригадирова, A.JI. Медведский // Современные проблемы математики, механики, информатики: Международная научная конференция, посвященная 80-летию Л.А. Толоконникова. - Тула, 2003. - С. 86-87.

22.Медведский А.Л. Динамическое поведение упругой трансверсально-изотропной толстостенной сферы под действием внутреннего и внешнего давления / А.Г. Горшков, Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы X Международного симпозиума. - М.:Изд-во МАИ, 2004. - Т.2. - С. 38-47.

23.Медведский А.Л. Осесимметричная задача динамики для неоднородной трансверсально-изотропной сферы / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Динамические и технологические проблемы механики кон-

струкций и сплошных сред. Материалы XI Международного симпозиума. - М.: Изд-во МАИ, 2005. - Т.2. - С. 8-16.

24.Медведский А.Л. Динамика абсолютно твердого эллипсоида вращения под действием нестационарной сферической волны давления / А.Г. Горшков, С.И. Жаворонок, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Материалы XI Международного симпозиума. - М.: Изд-во МАИ, 2005. - Т. 2,- С. 51-63.

25.Медведский А.Л. Использование гипотезы тонкого слоя для определения кинематических параметров движения абсолютно твердого аппарата в акустической среде / А.Г. Горшков, С.И. Жаворонок, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский // Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики: труды XXIX академических чтений по космонавтике. Москва, январь 2005. - М.: Война и мир, 2005. - С. 423-425.

26.Медведский А.Л. Теоремы взаимности в задачах акустики / А.Л. Медведский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XI Международного симпозиума. - М.: Изд-во МАИ, 2005. - Т.2. - С.138-151.

27. Медведский А.Л. Решение операторных уравнений проекционным методом. Математическое моделирование в механике сплошных сред / С.И. Жаворонок, А.Л. Медведский // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: труды XXI Международной конференции 4-7 октября 2005 г. - СПб.: ВВМ,2005.-С. 213-218.

28.Медведский А.Л. Дифракция упругих волн на неоднородном сферическом включении / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: труды XXI Международной конференции, 4-7 октября 2005 г. - СПб.: ВВМ, 2005. - С. 119-129.

29.Медведский А.Л. Гипотеза тонкого слоя в задачах гидродинамики акустической жидкости У А.Л. Медведский // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: труды XXI Международной конференции, 4-7 октября 2005 г. -СПб.: ВВМ, 2005. - С. 334-342.

30.Медведский А.Л. Дифракция плоской нестационарной акустической волны давления на неоднородном трансверсально-изотропном шаре / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский II Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XII Международного симпозиума: избранные доклады. - М.: Изд-во МАИ, 2006. - С. 24-34.

31.Медведский А.Л. Динамика неоднородной изотропной сферы в случае радиальной симметрии / А.Г. Горшков, Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XII Международного симпозиума: избранные доклады. - М.: Изд-во МАИ, 2006. - С. 42-51.

32.Медведский А.Л. Использование интегральных операторов в нестационарных задачах механики деформируемого твердого тела /А.Л. Медведский ИIX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной ме-

ханике: аннотации докладов. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006. -Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2006. Т. III. - С. 144.

33.Медведский А.Л. Дифракция нестационарных упругих волн на неоднородном сферическом включении / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XIII Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова: избранные доклады. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - С. 58-76.

34.Медведский А.Л. Динамика тонкостенных оболочечных конструкций при подводном взрыве / A.A. Дергачев, A.C. Курбатов, А.Л. Медведский Н Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XIII Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова: избранные доклады. - М.: Изд-во МАИ, 2007. -С. 106-119.

35.Медведский А.Л. Динамика тонкостенных конструкций при действии нестационарных акустических волн / А.Н. Астапов, A.C. Курбатов, А.Л. Медведский, A.B. Пузиков // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: труды XXII Международной конференции. - СПб.: ООО «НИЦ МО-РИНТЕХ», 2007. - С. 243-249.

36.Медведский А.Л. Гидродинамика тонкостенных оболочек в рамках гипотезы тонкого слоя / А.Л. Медведский, A.C. Курбатов, A.B. Пузиков // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: труды XXII Международной конференции. - СПб.: ООО «НИЦ МОРИНТЕХ», 2007. - С. 403-404.

37.Медведский А.Л. Использование гипотезы тонкого слоя в задачах гидродинамики тонкостенных конструкций / А.Л. Медведский, A.C. Курбатов // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XIII Международного симпозиума: тезисы докладов. - М.: МАИ, 2007. - С. 157.

ЗБ.Медведский А.Л. Движение неоднородной трансверсально изотропной полой сферы в акустической среде / Т.Е. Бригадирова, А.Л. Медведский // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XIV Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова. - М.: Изд-во МАИ, 2008. - Т.1. - С. 49-50.

Подписано в печать 21.03.11 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 2,0 Уч.-нзд. л. 1,8

Тираж 100 экз. Заказ 43 Бесплатно Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ni