Нестационарный контакт структурно-неоднородных упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи 0050467ии Ъ» '

ч\ к'

МЕДВЕДСКИИ АЛЕКСАНДР ЛЕОНИДОВИЧ

нестационарный контакт структурно-неоднородных упругих ТЕЛ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 ЗАВ Г 2012

Москва-2012

005046700

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» на факультете «Прикладная механика».

Научный консультант: Тарлаковский Дмитрий Валентинович,

доктор физико-математических наук, профессор.

Официальные оппоненты: Солдатенков Иван Алексеевич, доктор

физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН.

Димитриенко Юрий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Пшеничнов Сергей Геннадиевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Научно исследовательского института механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Ведущая организация: ФГБУН Институт машиноведения им.

A.A. Благонравова Российской академии наук (ИМАШ РАН).

Защита состоится «26» сентября 2012 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу: 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4, МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан «

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-M.rf —л\ Федотенков Г.В.

Общая характеристика работы

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам элементов конструкций, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к динамическим задачам теории упругости неоднородных тел.

При этом различают кусочно-однородные тела, у которых указанные функции являются кусочно-постоянными, и упругие тела с непрерывной неоднородностью. Задачи второго класса в настоящее время являются наименее исследованными, так как с математической точки зрения они сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) с переменными коэффициентами. Согласно установившейся терминологии, среды такого типа называют функционально - градиентными.

Другой тип неоднородности возникает в процессе нестационарного контактного взаимодействия деформируемых тел. Этот тип неоднородности связан с различием физико-механических характеристик взаимодействующих тел, зависимостью граничных условий от времени и, в общем случае, многосвязанно-стью области контакта.

В настоящей работе дана математическая постановка, разработаны и реализованы методы решения задач о нестационарном контакте неоднородных упругих тел для различных типов структурной неоднородности. Построены решения задач о дифракции акустических и упругих волн на препятствиях сферической и цилиндрической формы, материал которых является функционально-градиентным по радиальной координате, а также обладает трансверсально изотропным типом анизотропии. Для неоднородных тел указанной формы и абсолютно жесткого полупространства решены нестационарные контактные задачи при начальных временах взаимодействия. Также построены решения нестационарных контактных задач для абсолютно твердых ударников, неоднородность которых связана с наличием «несовершенств», и однородного изотропного полупространства.

Актуальность темы. Различные аспекты постановки и решения задач о нестационарном взаимодействии сред и систем изложены в работах Григолюка Э.И., Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В., Поручикова В.Б., Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаешко В.А., Замышляева Б.В., Яковлева Ю.С., Слепяна Л.И., Сагомо-няна А.Я., Перцева А.К., Мнева E.H., Векслера Н.Д., Толоконникова JI.A., Сеймова В.М., Джонсона К., Александрова В.М., Галина Л.И., Бураго Н.Г., Баженова В.Г., Кондаурова В.И., Robinson A.R, Thompson J.C., Stradter J.T., Kukuchi N., Oden J.T., Felippa C.A., Mindlin R.D., Bleeich H.H., Haywood J.H., Belytschko T.

Как показывают результаты проведенного анализа публикаций, в настоящее время наименее исследованными являются задачи нестационарной динамики деформируемых сплошных сред, обладающих различными видами структурной неоднородности.

Актуальность работы также связана с необходимостью разработки и развития новых подходов к численно-аналитическим методам решения задач о нестационарном взаимодействии упругих тел, связанных со снижением размерности задачи за счет использования интегральных соотношений на контактных границах. В практическом плане актуальность исследований определяется потребностями различных отраслей промышленности в создании методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.

Развитие средств вычислительной техники и специализированных программных комплексов компьютерной алгебры стимулирует создание новых методов решения нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и конструкций. Использование общей теории фундаментальных решений для линейных дифференциальных операторов, которыми описываются модели механики сплошной среды, позволяет построить ряд новых решений в соответствующем классе начально-краевых задач.

Разработка таких методов направлена на развитие, с одной стороны, фундаментальной науки, а с другой стороны стимулируется такими наукоемкими отраслями промышленности как авиационно - космическая, атомная, энергетика и др.

Целью работы является

1. Математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функционально-градиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими неоднородностя-ми, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.

2. Развитие метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

3. Решение нового класса задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на функционально-градиентном трансверсально изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях.

4. Решение новых внешних и внутренних задач о дифракции упругих и акустических волн на радиально-неоднородном включении со сферической и цилиндрической границей.

5. Исследование динамики неоднородного трансверсально изотропного упругого шара, а также однородного шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

6. Исследование динамики абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности (несовершенства), при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и многосвязности области контакта (плоская задача).

7. Построение на базе метода поверхностных функций влияния системы функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта на произвольном этапе взаимодействия. Решение с использованием этой системы задач об ударе по поверхности полупространства эллиптического ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. Развитие и обобщение метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных упругих тел, основанного на методе поверхностных функций влияния.

2. Решение на базе разработанного метода новых внешних и внутренних нестационарных задач о дифракции упругих и акустических волн на функционально-градиентных трансверсально изотропных включениях сферической и цилиндрической формы с радиальным типом неоднородности.

3. Решение новых нестационарных контактных задач для неоднородного трансверсально изотропного шара (цилиндра) и абсолютно жесткого полупространства при малых временах взаимодействия.

4. Разработка и реализация численно-аналитического метода решения плоских нестационарных контактных задач для абсолютно твердого ударника с геометрическими неоднородностями (несовершенствами) и однородного упругого изотропного полупространства, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

5. Построение на базе разработанного метода решений задач о нестационарном взаимодействии упругого полупространства и эллиптического ударника, а также ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты и разработанные алгоритмы могут быть использованы в различных отраслях промышленности с целью создания методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.

Методы исследования. В основу работы положен аппарат поверхностных функций влияния для нестационарных операторов, описывающих динамику сплошных сред в рамках линейных моделей. Указанный подход позволяет получить интегральные соотношения на граничных поверхностях и тем самым снизить «размерность» задачи. Для решения полученных интегральных уравнений, а также начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями интегрального вида используются проекционные методы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически строгой и физически корректной постановкой задач, применением апробированных математических методов, классических постановок задач теорий упругости и механики жидкости. Полученные результаты в частных случаях полно-

стью совпадают с известными результатами других авторов и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзной научной конференции «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (г. Николаев, 1994 г.); Всесоюзной научной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (г. Киев,1995 г.); Международной конференции «Modeling and investigation of system stability. Mechanical systems» (Kiev, 1997 г.); Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте» (г. Гомель, 1997); Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития транспортных систем» (г. Гомель, 1998 г.); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2002 г.); EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies» (г. Москва, 2002 г.); Международной конференции «Полимерные композиты» (г. Гомель, 2003 г.); V Международной научной школы-семинара «Импульсные процессы в механике сплошных сред», (г. Николаев, 2003); Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова, (г. Тула, 2003); 3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2004» (г. Москва, 2004 г.); Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики» (г. Москва, 2005); XXI Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт Петербург, 2005 г.); XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт Петербург, 2007 г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.); 5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» (г. Москва, 2006 г.); I- XVIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 1995 - 2012 г.г.); на научных семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (государственного технического университета); на научном семинаре кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета; на научном семинаре Института прикладной механики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, в том числе 10 научных статей в изданиях, рекомендуемых Перечнем ВАК при Министерстве образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций, а также 1 монография.

Результаты диссертационной работы вошли в цикл работ «Динамические контактные задачи», за которые автору в составе коллектива присуждена Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники за 2001 год.

На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ (коды проектов № 93-01-16508-а, № 96-01-01083-а, № 99-01-00255-а, № 00-01-81198-Бел,

№ 02-01 -00374-а, № 03-01-00422-а, № 03-01-96658-р, № 05-01-00042-а, № 05-08-01214-а, № 05-08-01497-а, №■ 06-01-00525-а, № 06-08-00436-а, № 07-01-12066-офи, № 07-01-13520-офи_ц, № 07-01 -96417-р_центр_а, №09-01-00731-а).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, включающего 298 наименований. Общий объем диссертации составляет 269 страниц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы основные цели, задачи и научная новизна, а также представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приводится операторная постановка задач нестационарного взаимодействия сплошных сред.

Рассматривается движение системы материальных тел Са, занимающих геометрические области (7а с К3 (а = 1,2). В частном случае область С, может быть полуограниченной, при этом й2 а (7,.

В начальный момент времени 1 = 0 тела С(1 контактируют друг с другом, по крайней мере, в одной точке (рис. 1.1). Ограничимся рассмотрением линейных задач: Ь(а)(и(а)) = 0, (<>) = <),

Здесь уу1а) - вектор перемещения точек тела Са, лу ' - вектор перемещения точек тела 0га как абсолютно твердого, и(а) - вектор перемещения за счет деформации сплошной среды, Ь'"1 - операторы, рис ] ]

описывающее движение среды, как абсолютно твердого тела, а

операторы Ь(а) зависят от модели среды.

Операторы определяются уравнением движения центра масс и вращением тела вокруг центра масс. Для рассматриваемых в работе моделей сплошных сред Ь'"' являются линейными дифференциальными операторами относительно вектора и<0° (параметр а опущен)

д2

д12

а = £ар(^)|г. м=«и.в(р,и, ар(ц')=(<Ш),

|РИ

(1.2)

Здесь ^ - криволинейные координаты, связанные с телом, а количество неизвестных т и определяющее порядок дифференциальных операторов число п зависят от модели.

Контакт осуществляется как по всей поверхности одного из тел С2, погруженного в сплошную среду ¿г, (задачи дифракции), так и по части границ тел бС, п дС2 (контактные задачи). В рамках линейного приближения граничные условия задачи формулируются на недеформируемых граничных поверхностях тел ПаТ с векторами внешней нормали у(а).

К первому классу, в частности, относятся задачи о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на теле (52, в этом случае П1Т =П2Т =ПТ. В работе рассматриваются два типа краевых условий, реализуемых, на границе Пт.

1) свободное проскальзывание:

ИПт>^)=ИП1'4 (1-з)

2) абсолютно жесткое сцепление

Пт=-Т> (1-4)

Во втором классе задач граница области контакта определяется условием геометрического пересечения недеформируемых, но подвижных поверхностей ПаТ, при этом контактирующие поверхности могут воспринимать только сжимающие напряжения, а граничные условия ставятся на поверхности П,, граница которой определяется так:

¿П.: Ц(с1) + г^=и'2)+г®, УМеП.ст<а,<0. (1.5)

Рассматривается два типа граничных условий в области контакта: свободное проскальзывание и абсолютно жесткое сцепление.

На не контактирующих поверхностях Па = ПаТ \ Па, граничных поверхностей тел С1а заданы либо кинематические связи, либо внешние поверхностные нагрузки:

Ра|„а=ЧаО- (1-6)

В результате постановка начально-краевой задачи взаимодействия материальных тел имеет следующий вид (для краткости номер среды а опущен):

= />0, (1.7)

Эй

2 (=0

да

(1-8)

В(и)|ас=8,,>0, 8 = 2X0^ *.(*') = (*№))..■ (1-9)

|а|=0 иЧ

В случае полуограниченности области Оа к граничным условиям (1.9) необходимо добавить условия ограниченности решения на бесконечности:

и'=0( 1), r-^oo, т- = |г|, i = \,m. (1.10)

Далее в работе рассмотрена трансверсально изотропная неоднородная упругая среда с криволинейным (сферическим или цилиндрическим) типом анизотропии. Причем предполагается, модули упругости материала зависят только от одной криволинейной координаты г, а коэффициенты Пуассона предполагаются постоянными:

Е = Е@), G = G(g), £,=£,(i;1),G1=G1(i;1), v = const, v, = const, v2 = const.

Здесь £,,G, - модуль упругости первого и второго родов в трансверсальном направлении, E,G - модуль упругости в направлении поверхности изотропии, v - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное обжатие в плоскости изотропии, при растяжении в этой плоскости, v,,v2 - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное обжатие при растяжении в трансверсальном направлении.

Уравнения движения неоднородной упругой среды относительно компонент вектора перемещений W в сферической системе координат для осесим-метричного случая имеют вид:

Я2\У / N Т

LW = p^, L = (L,)M, W = (Mr,«0)T, (1.12)

где

G, 8%

(1.13)

дг V г ) дг г\ г) г дв

т / ч „ д2ип Е 82и„ (САди„ 2 ( , СЛ

Аналогичные по структуре уравнения движения получены для случая цилиндрической анизотропии (плоская задача).

Для описания динамики однородной изотропной упругой среды используются волновые уравнения относительно потенциалов (р и V}/:

|£ = с? Дер, (1.14)

Здесь с,,с2 - скорости распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения соответственно, а оператор Д определяется выбором криволинейной системы координат.

Частным случаем упругой однородной изотропной среды является акустическая среда, также рассмотренная в работе. Уравнения ее движения также

представляются волновым уравнением относительно потенциала сра вектора скорости \а:

с2Д^>а=~г, р = -р%, Уа = 8гааФа; (1.15)

01 сл

где с - скорость распространения акустических волн в жидкости, р - давление.

Решение задач в сферической и цилиндрической системах координат строится с использованием метода неполного разделения переменных Фурье по полной системе функций (0) (&<={г,9}). Для этого искомые функции в сферической системе координат представляются в виде разложений по ортогональным полиномам Лежандра Рп (созО) и Гегенбауэра С^(созО), а в цилиндрической системе координат используется полная система экспоненциальных функций е'"°.

После отделения угловой координаты 0 уравнения движения трансвер-сально изотропной неоднородной упругой среды представляются в виде системы уравнения в частных производных первого порядка относительно векторов и„,иеКо={0}иМ:

+ Я + М (г)и =0, (1.16)

дт ' дг Л ' "

и0=("ю И30 М5о)Г> "20=М40="б0=°'

и„=(м,„ и2„ иЪп иАп и5п иЬп)Т, (и 6И),

<К (1-17)

дт '

Ы0п> Щп=-

(1.18)

ди0„ дигп би0

и,=——, и<„ =—и.=——, дт ОУ

ад'н'-гии. мдг)=(ч',)(г))<к6

Здесь ненулевые компоненты матриц К„('") и Мп(г) зависят от модулей упругости и коэффициентов Пуассона материала и их производных по пространственной координате г.

Уравнения движения однородной упругой изотропной среды после отделения переменной 0 будут иметь вид (тя = 0 - цилиндрическая система координат, т = 1 - сферическая система координат):

2^2ф„ . гд2у„ . . 82 т + \ д п(п + т) .. ...

В случае формулировки начально-краевой задачи относительно коэффициентов рядов в ортогональных системах собственных функций /ы (0) соответствующие начальные и граничные условия формулируются с использованием

коэффициентов разложений в соответствующие ряды начальных и краевых условий.

Для неоднородной трансверсально изотропной среды начальные условия формулируются для системы уравнений в частных производных первого порядка (1.16) в следующем виде

и„|^о = и(„0), иеМ0;

(1-20)

иг иеК.

Начальные условия для однородных упругих сред формулируются относительно потенциалов фя и ч/л:

<Р»Ц=Ф»Ю' ФлЦ = Ф"20> (1-21)

Ч/„и = У„20- О-22)

В случае акустической среды начальные условия сводятся к соотношениям (1.21) относительно потенциала вектора скорости.

Граничные условия для упругой однородной и неоднородной сред формулируются либо в кинематическом

г'ьЦ=^„о> (1-23)

либо в динамическом виде

О-24)

Для акустической среды на границе расчетной области г = Я0 задается или нормальная к границе компонента вектора скорости

О-25)

или давление

А,Ц=А,о- С1-26)

Коэффициенты разложений нагрузки Иш[к &{г,в\) определяются разложениями по ортогональным системам функций /¿,,(6) в сферической и цилиндрической системах координат:

'-та2'

В работе также используются линеаризованные уравнения плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела в плоскости Ох,х2, которые имеют вид:

тО^Ъ, (1.28)

где - масса и момент инерции тела относительно оси 0,у3 связанной системы координат 01у1у2у1, Пп - координаты центра масс Ох в неподвижной системе координат Ох{х2х}, /¡V и М - компоненты главного вектора и главного момента сил, действующих на тело.

Во второй главе развит метод использования поверхностных функций влияния операторов механики деформируемого твердого тела в задачах о нестационарном взаимодействии.

Поверхностные фундаментальные решения (х,/;£,т) определяются из решения следующих задач:

где компоненты вектора определяются так ку = 8;у8л; (х — т), Ък] - символы Кронекера, Ъх(г) - дельта-функция Дирака, сосредоточенная на ей. Компоненты тензора напряжения

о^ (2.2)

являются поверхностными функциями влияния первого рода для упругого тела С, если на границе тела Па выполняются следующие краевые условия:

=8,5(^)5(^)5(1). (2.3)

Поверхностными функциями влияния второго рода являются компоненты вектора перемещения на поверхности Па

СЙЙ'.^О^Й1.^3.(2-4)

удовлетворяющие краевым условиям:

<|п=5„8(^)5(^)5(т). (2.5)

Далее показано, что введение поверхностных функций влияния }, С?'"), для упругого тела, а также функций Сг"\ С'^ для акустической среды позволяет сформулировать начально-краевую задачу только для тела (а * р) со специальным типом краевых условий, содержащих интегральный оператор типа свертки, и тем самым понизить размерность решаемой задачи нестационарного взаимодействия.

Случай несмешанных краевых условий. К данному классу относятся задачи дифракции, в которых влияние массовых сил мало, а в начальный момент времени среды находятся в невозмущенном состоянии. Взаимодействие сред описывается следующей начально-краевой задачей:

Ь(а) (и(а)) = 0, и(а)|( о=0, ^ =0, В(1,(и<1,)|п = [В(2) (и(2)) + В(2) (и!2) )]|п .(2.6)

В работе получены варианты начально-краевых задач для тела (7, с использованием поверхностных функций влияния для тела <52.

1) Жесткое сцепление упругих сред. Начально-краевая задача для тела (5, имеет вид:

я м

Ь(,)(и(|,) = 0, и(,,[ о=0; ^

= 0,

(2.7)

д(

4(54, = + О?*/) * * * - •

2) Свободное проскальзывание упругих сред. Граничные условия в задаче (1.25) преобразуются к виду:

г№,1)\п =н12(%,1)|п о?у|(1 =0, у =1,2.(2.8)

3) Абсолютно твердое тело С,, помещенное в акустическую среду 02. Задача Коши для тела С,:

(и1",Ус(",ш(",а(") = ^ (К(,,,М(,)),

^и=со0, «^и=а0, (2'9)

(т) = -Цр(г(1), т) п(,) Ж, М(1) (т) = р(г(1),т) [г(1 >,п(1)]^, (2.10) п п

р(£,о\п=о|„+Рп&Аи+р^Аи» (211}

Рп(\,1)|п =-ср(Л,/)***у,\(Л,01, Р11&4п=ср&1)***ур\п.

Здесь рп соответствует давлению отражения от неподвижного абсолютно твердого тела б,, а рп - давление излучения, связанное с движением тела б,.

Случай смешанных краевых условий. К данному классу относятся задачи контактного взаимодействия двух тел С, и С2. В работе получены системы функциональных уравнений, описывающие упругое поведение тела С1,.

1) Жесткое сцепление контактирующих тел. Система функциональных уравнений для тела С, имеет вид:

- уравнения движения

Ь(1)(и(|)) = 0, Ь(;)(и1,),У(,),со(1),а<')) = Г("(Я<1,,М(1)), (2.12)

- начальные условия

5и(1)

= 0,

= 0, (2.13)

;=0

и(1)1 =и(1) УП)1 =У(|) гаш1 =ш(|) а(1)1 =а(1)

- граничные условия на контактной поверхности :

= Л (2.14)

о п^Чо

- граничные условия на поверхности П2 \П^2)(/), имеющие кинематический или силовой вид (1.6);

- кинематические соотношения

/ = 1.2,3; (2.15)

- связь векторов главного вектора Я(|) и момента М(1), действующих на абсолютно твердое тело <5,, с контактными напряжениями:

К<'>= {І э^, М<»= Ц (2.16)

пі2|(/) І1І2,(0

а также кинематических соотношений (1.5), определяющих контактную поверхность П,',2'^).

Динамика тела <32 при этом описывается уравнениями движения абсолютно твердого тела и соответствующими начальными условиями:

Ь(2) (и<2),У<2), со<2), а(2)) = Г[2) , М(2)), (2.17)

и'2,и=и'о' <о(210=Ч2), «ти=«1.2). (2-18)

К(2)=_К(1); М(2)=_М0)_ (2.19) Таким образом, отпадает необходимость в решении начально-краевой задачи для оператора ІІ2) (и<2)) = 0.

2) Свободное проскальзывание контактирующих тел. Интегральное представление (2.14) примет вид:

= Я (2-20)

о п(„2>(0

а в (2.15) надо положить / = 3. При этом, также как и в случае жесткого сцепления, необходимость в решении задачи для оператора ІІ2) (и'2') = 0 отпадает. Далее рассмотрены частные случаи взаимодействия контактирующих тел. А) Контактная задача для абсолютно твердого тела <5, (и(!) =0) и упругого неподвижного тела С2 (13'с21 =0).

Б) Удар упругим телом (7, по неподвижной абсолютно твердой преграде

<5 (и<2,=0,и<2)=0).

Таким образом, использование граничных функций влияния для тела <7Ц в нестационарных контактных задачах избавляет от необходимости решать начально-краевую задачу для оператора Ь<а)(и<а)) = 0 и тем самым снижает

размерность решаемой задачи.

В главе также с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени построены поверхностные функции влияния для упругого пространства с полостью и шара в сферической системе координат, а также для аналогичных задач в цилиндрической системе координат.

В третьей главе получены решения нестационарных задач о дифракции упругих (акустических) волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере (цилиндре). Решение задачи строится с использованием общего метода применения поверхностных функций влияния в задачах дифракции, изложенного в главе 2.

К Щ. Р1

'Е (г), Е^г), <?!(/•), V, V!, р

Рис. 3.1

Исследуется дифракция нестационарных волн на упругом неоднородном трансверсально изотропном включении сферической или цилиндрической формы с внутренним радиусом г2 и внешним г, = Я, окруженным и заполненным упругими однородными изотропными средами с разными характеристиками. Задача решается в осесимметричной постановке для сферического включения и в цилиндрической системе координат для цилиндра (плоская задача). Внешняя среда характеризуется параметрами Ламе и плотностью р,, а внутренняя -Х,,1л2 и р2. В акустическом случае среды характеризуются соответствующими плотностями р( и скоростями звука с. Материал рассматриваемого толстостенного препятствия является неоднородным и функционально-градиентным. Предполагается, что упругие характеристики материала зависят от радиальной координаты г.

В начальный момент времени вся система находится в невозмущенном состоянии. Фронт волны, распространяющейся во внешней среде, в начальный момент времени т = О касается точки сферы А. Рассматриваются внешние и внутренние задачи о дифракции нестационарных сферических или плоских волн (рис. 3.1).

Задача решается в безразмерной постановке методом разложения решений в ряды по угловой координате 0. Постановка задачи относительно коэффициентов рядов дается следующими соотношениями:

- уравнения движения неоднородного трансверсально изотропного препятствия

от дг

(3.1)

- уравнения движения внешней и внутренней однородных изотропных упругих сред (сферическое препятствие)

дг'

г дг

аУ;> 2 ду';' V;'

дг2 г' дг "' г2 ~'"2 дх2 ' ■ граничные условия относительно коэффициентов разложений:

дх '

ау>

(3.2)

7Я.и1'', +иЩ =и„

(3.3)

ш;а«„Ц+а<:»„Ц=а„„Ц, (/ = 1,2),

т>а{'«>" и+и=ст'0" ц=к> +_ )1=, •

• начальные условия для уравнений (3.1)-(3.2) являются однородными:

ф;

хог

1т=о дх

=0, уЦ

дх

= 0, (г = 1,2), (3.4)

_д»0„ , Эх

= 0.

- условия ограниченности решения:

ф11)(г,т) = 0(1), у11)(г,т) = 0(1), (3.5)

Ф(„2)(г,т) = 0(1), у(„2)('-Д) = 0(1), г —>0.

Аналогично по структуре уравнения движения получаются в случае акустических сред.

Поверхностные функции влияния для однородной изотропной упругой (акустической) среды в сферической и цилиндрической системах координат позволяют свести задачу о дифракции к следующей начально-краевой задаче с граничными условиями интегрального типа:

дх ' дг ' "

(3.6)

(3.7)

М,(х)

А,(г|)иДг„х)+ХС11Я(г|)и|1(г<>у!;)) + В(|(г|>т)*и,(г(,т) = Ря(г(>т). (3.8)

т-1

Здесь В„(/;.,т) - матрица, содержащая граничные функции влияния для внешней и внутренней сред; символом * обозначена покомпонентная свертка функций по времени. Конкретный вид матриц Ал(г), Вп (гпх), Стп(г) и вектора Рп(г,т) определяется типом граничных условий задачи.

Для решения начально-краевой задачи (3.6) - (3.8) разработана конечно-объемная схема типа Куранта - Изаксона - Риса (номер члена ряда п далее опущен).

- «г* + к\1 ( \У,.+1/2 - \У,_1/2) + КЪ^у) =0, ] = 2,М -1,

(3.9)

Пя(г). (3.10)

Здесь £1„(г) - матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы Я(г), а (г) (к = 1,...,3и) соответствующие собственные значения матрицы.

Для определения граничных значений векторов (т = 1, М) на к + \ слое по времени получена система линейных алгебраических уравнений:

н

н

чЕ

\ т

Р

V т /

Р* = - КА, (уу* - <) - (фу1г (3.11)

Рм=Ем< + ,

Построенная конечно-разностная схема (3.9) с аппроксимацией граничных условий (3.11) имеет первый порядок аппроксимации по пространственной и временной координатам 0(Их + Их) при условии, что для вычисления интегралов используют квадратурные формулы Ньютона-Котеса порядка I > 1.

Исследование устойчивости схемы методом спектрального анализа приводит к условиям вида

С= щах |сДг)|<1 Ск(г) = К\1к{г), к = \Я (3.12)

/М,п ге[а],а2]

где (/•) - собственные значения матрицы ГЦ'").

В качестве тестовой рассматривалась задача о радиальных колебаниях неоднородной сферы с внутренним радиусом гг ^

и

и внешним гх = Я = 1, находящейся в неограниченной акустической среде с параметрами ро и са и нагруженной внутренним давлением /л (т). При степенном типе неоднородности методами интегральных преобразований

0 06 0.04 0.02 О

ь "°02

-0.04 -0.00

: / А

1Г и А

■н 1 \ - \ \ \ \ ■ \..... Я \ 1 /

1 р у ........./ N«3 /у- 7 /

>

к 1

О 1 2 3 4 5 в

Рис. 3.2

Лапласа по времени построено аналитическое решение задачи при малых временах взаимодействия. Эта же задача при произвольных временах т решена численным методом с использованием конечно-объемной схемы (3.9) - (3.11).

На рисунке 3.2. показана зависимость радиального напряжения стгг(т,1) на поверхности контакта упругой (а = 0,5; V = 0,36; у2=0,1) и акустической (р, =0,22, с, =1,98) сред при действии скачка давления /;,(т)= Н(х) на внут-

ренней поверхности сферы г2 = 1/2 при удержании различного количества N членов ряда в асимптотическом разложении решения.

Сплошной линией показаны результаты расчета с помощью разработанной конечно-разностной схемы (С = 0,95 ) с удержанием 20 членов ряда. На рисунке четко прослеживается волновой характер нестационарного процесса. С течением времени напряжения затухают, что объясняется демпфирующими свойствами неограниченной акустической среды.

С использованием разработанного алгоритма решен новый класс задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородном сферическом или цилиндрическом препятствиях при различных законах изменения жесткостных параметров включения по радиальной координате. В частности, рассмотрена задача для неоднородной трансверсально изотропной сферы, заполненной упругой средой с параметрами р2, ц2. Содержащая сферу среда также является однородной изотропной упругой с параметрами рр X,, ц,. Предполагается, что на границах раздела упругих сред г = ^ (г = 1,2) реализуются условия жесткого сцепления. В качестве внешнего воздействия рассматривалась плоская волна напряжения амплитуды р,. В таблице 3.1 приведены безразмерные физико-механические характеристики материалов исследуемой системы. Параметры внешней среды соответствуют алюминию, а внутренней - свинцу. Свойства материала неоднородной сферы близки к физико-механическим характеристикам вольфрама. Неоднородность свойств материала сферы принималась в виде:

Ех{г) = Е(г) = 0,(г) = г\ (¿еЕ). (3.13)

Таблица 3.1

Внешняя среда Внутренняя с реда Неоднородная сфе ра

X, Р. %2 К2 Рз Е1 Е V vi G, Р

0,25 0,12 0,14 0,58 0,46 0,62 1 0,5 0,25 0,28 0,2 1

Расчет проводился на конечно-разностной сетке с шагом по пространству /г = 0,005 и числом Куранта С = 0,95. Для вычисления интегральных операторов использовались квадратуры метода трапеции. Результаты расчетов задачи о дифракции плоской волны (р.= 1, параметр неоднородности к = ~ 3/2) приведены на рисунках 3.3 - 3.4. В расчетах удерживалось 15 членов рядов по полиномам Лежандра. На рисунках 3.3 - 3.4 представлены пространственные распределения интенсивности напряжений is (г,9,т). На графиках четко прослеживается волновой характер процесса распространения возмущений по неоднородной сфере. Максимальный уровень интенсивности достигается в сечении сферы, соответствующему полюсу (о = 0°) при х = 2, что соответствует моменту охвата внешней волны сферического включения.

3 Мах: 1.566

1.15 0.98 0.82 0.66 0.49 0.33 0.16 0

1.48 1.31 1-15 0.98 0.82 0.66 0.49 0.33 0.16 0

хг К \h> Р2

*1 Vkr \L E{f),Elr\Glr), v,v,,p =1

Рис. 3.3. Интенсивность напряжений Рис. 3.4. Интенсивность напряжений 4 (т=о,5) /, (т = 1)

С использованием разработанного подхода решены также внутренние задачи о дифракции сферических волн на неоднородной сфере. Рассмотрена неоднородная трансверсально-

изотропная сфера с внутренним радиусом г2, заполненную однородной изотропной средой с параметрами Х2,|а,, и р2. Внешняя поверхность г = 1 сферы свободна от нагрузки, а на внутренней (г = г2) реализуются

условия жесткого сцепления упругих р 2 5

сред. В качестве внешнего воздействия рассматривается источник сферических волн, лежащий на расстоянии d <г2 на оси симметрии Охх (рис. 3.5). В начальный момент времени х = 0 фронт сферической волны касается внутренней поверхности сферы в точка А . Давление на фронте волны в момент касания равно р,. Физико-механические характеристики внутренней среды соответствуют свинцу (см. таблицу 3.1). В результате решения задачи проанализировано влияние степенного параметра к неоднородности материала вида (3.13) ä: е[—5/2,5/2]. Источник возмущения располагается на расстоянии с/ = 0,3. При расчетах удерживалось 20 членов ряда по полиномам Лежандра, шаг конечно-разностной сетки h = 0,005, число Куранта С = 0,93.

Результаты расчетов показывают, что максимальный уровень интенсивности напряжений при рассмотренных временах взаимодействия локализуется в окрестности точки А, причем в отличие от дифракции плоской волны максимальный уровень is достигается в начальные моменты времени. На рисунке 3.6 - 3.7 показано распределение пиковых значений is при параметрах неоднородности к =—5/2, к = 0 (к = 0 соответствует однородному материалу).

4.1 3.69 3.28 2.87 2.46 2.05 1.64 1.23 0.82 0.41 0

1.48 1.31 1.15 0.98 0.82 0.66 0.49 0.33 0.16 0

(7, (У) = ]\ р = соп8{:,

(3.14)

Рис. 3.6. Интенсивность Рис. 3.7. Интенсивность напря-напряжений ¿5 (т = 0,1; к = -2,5) жений (т = 0,1; к = 0)

На рисунках 3.8 - 3.11 представлены результаты решения задачи о дифракции упругих волн на трансверсально изотропном цилиндре, изготовленном из функционально-градиентного материала со следующим законом изменения жесткостных параметров:

к = 1,2; (4

На границах раздела упругих сред г=/?((г' = 1,2) реализованы условия жесткого сцепления. В качестве внешнего воздействия рассматривалась плоская волна напряжения амплитуды сг0 = 1, параметры неоднородности принимались равными <5, = 0,8; 52 = 0,6.

Параметры внешней среды соответствуют стали

(£' = 2,Ы0"Яа;у = 0,33;р = 7800кг/.м3), а внутренней - алюминию

(£' = 0,7-10"/7о;у = 0,34;р = 2700?сг/ж3). Свойства материала неоднородного цилиндра близки к физико-механическим характеристикам цинка, обладающего в общем случае гексагональной симметрией свойств (£, = 0,82-10"/7я; Е, =0,31-10"Па; С, = 0,18-10"Ла; V, =0,21; у = 0,27 р = 7800кг/л3). В таблице 3.2 приведены безразмерные параметры упругих сред.

Таблица 3.2

Внешняя с эеда В нут эенняя среда Неоднородный цилиндр

Р\ «г Рг р 10 V с10 Р

0,68 0,23 1,1 0,43 0,17 0,34 1 0,38 0,27 0,22 0,2 1

Расчет проводился для цилиндра с безразмерным внутренним радиусом Л, =0,2 на конечно-разностной сетке с шагом по пространству к = 0,001 и числом Куранта С = 0,94. В расчетах удерживалось 20 членов ряда по экспоненциальной системе функций. На рисунках 3.8 - 3.11 представлены пространственные распределения интенсивности напряжений \5(г,в,г) в моменты времени т = 0,5 (рис. 3.8), т = 1,5 (рис. 3.9), г = 2,5 (рис. 3.10) и г = 3,5 (рис. 3.11).

В отличие от неоднородной сферы при экспоненциальном законе изменения жесткостных параметров, максимальный уровень интенсивности напряжений не реализуется в сечении цилиндра, соответствующему полюсу (<9 = 0°).

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,45 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

Рис. 3.8. Интенсивность напря- Рис. 3.9. Интенсивность напряже-жений г? (т = 0,5) ний(т = 1,5)

0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

Рис. 3.10. Интенсивность напря- Рис. 3.11. Интенсивность напряжений г5 (т = 2,5) жений га (т = 3,5)

В четвертой главе диссертации рассмотрены задачи о вертикальном ударе упругим неоднородным (однородным) ударником в форме шара или цилиндра по абсолютно жесткому полупространству. Для упругого шара задача решается в осесим-метричной постановке, для цилиндрического ударника - в плоской постановке.

В начальный момент времени т = 0 упругий шар (цилиндр) радиуса Я0 = 1 касается абсолютно жесткого полупространст- '''' вах,>0 в точке О прямоугольной декартовой системы координатОх,х2х3 (рис. 4.1). Предполагается, что материал ударника яв- Рис. 4.1

ляется трансверсально изотропным и функционально-градиентным. В момент времени т = 0 все точки ударника имеют начальную скорость V = ^е,. В процессе внедрения на упругий ударник действует внешняя нагрузка = 7?(,е, и результирующая контактных напряжений Я = Л1е1.

Динамика ударника, как абсолютно твердого тела, описывается задачей Коши относительно глубины погружения:

mh = Re+R, h{ 0) = 0, h{ 0) = F0. (4.1)

Для сферического ударника задача решается в осесимметричной постановке в сферической системе координат, связанной с центром шара. Выражение для результирующей контактных напряжений определяется так: 0.(1)

R(т) = 2я J (arr cosO - ar0 sin 0)|^ sin Oí/O. (4.2)

о

При этом область контакта в первом приближении определяется из геометрических условий:

Q(t) = {(a,0)eR2|ae(-7t,7t], 0 е [О,0.(т)]}, A(t) = 1-cos0.(t). (4.3)

Упругое деформирование неоднородного ударника описывается в следующей начально-краевой задачей:

LW = P5' l = (l*)2,2> w = (m"mo)t' <4"4)

"г L = »«L=0> = i^.cose, Me|ti=0=-F0sine, (4.5)

при этом рассматриваются два типа смешанных граничных условий.

Задача 1 (свободное проскальзывание):

<^L=0, (ве[0,е.]), и,и=«о(0.т). (06 [0,9.]),

(ве [0,я]), (4.6)

мг(т,г,9) = 0(1), м0(т,г,е) = О(1), г —>0.

Задача 2 (жесткое ci¡emenue):

«,L=«o(0,"0, «oL=vo(0,x), (ве[0,в.]),

(0 ^ [0,0.]), (4.7)

1/г(т,г,9) = 0(1), и0(т,г,в) = О( 1), г —» 9.

В случае однородного изотропного ударника изменения коснуться уравнений упругой части задачи (4.4), которые заменяются на соотношения (1.14).

Для ударников, ограниченных гладкими поверхностями, вводится сверхзвуковой этап взаимодействия, при котором скорость расширения границы области контакта больше максимальной скорости распространения возмущений с, в упругой среды. В этом случае граничные условия контактных задач (4.6), (4.7), носят несмешанный характер. В частности, для упругого шара в задаче 2 они имеют вид:

и, = ио(0,г), = v0(0,t), (9 е [0,9.]),

«rL="oL,=°. (<М°А]), (4.8)

мг(т,г,0) = О(1), ио(т,/-,0) = 0(1), г ->0.

Решение задачи (4.4), (4.5), (4.8) строится методом неполного разделения переменных по угловой координате 0, причем для контактной силы Я(х) (4.2) справедливо:

= + (4.9)

Здесь аггГаг01 - коэффициенты разложений соответствующих компонент тензора напряжений в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра при п = 1.

Поэтому достаточно ограничиться следующей начально-краевой задачей для коэффициентов рядов, соответствующих п = 1.

дт К > дг W (4.10)

и = (и,, и2, иъ, «4, м5, и6 ,)Т;

= К, =«2Ц =«5Ц =»«и =0, (4.11)

Задача 1 (свободное проскальзывание):

А1и(г,1) = Р™(й.). Ви(г,0) = 0, А, =

Задача 2 (жесткое сцепление):

А2и(г,1) = р0<2)(&), ви(г,0) = 0,

А2 =«)«, Р£\в.)={р?\е.),р?\в.))\

(4.12)

(4.13)

Начальная задача Коши для неоднородного шара как абсолютно твердого тела имеет вид:

у = Р(т,у,11), у(0) = у0, (4.14)

где

У = у(-с) = (>',(т);>'2(т))т, у0 = (у10,у20 )Т,

г=и(у),/2(х,у,и)), (4Л5)

>>,( т) = А(т), у2( т) = А(т), у,0 = 0, у20=У0, /,(У) = у2. и) = ЗД + ^и(х,1).

Решение задачи (4.15) строиться с использованием модифицированной схемы Эйлера второго порядка с расчетом шагов «прогноз-коррекция» для упругой части задачи (4.10), (4.11), (4.12) или (4.13) по конечно-объемной схеме (3.9)-(3.11):

В процессе расчета проводится контроль скорости расширения границы области контакта 0,, которая вычисляется по следующей формуле:

0. = -7====== > с. = тах(сДг)). (4.16)

С использованием разработанного подхода был решен ряд задач об ударе неоднородным упругим шаром по абсолютно жесткому полупространству. На рисунках 4.2 и 4.3 приведены результаты расчета контактной задачи для шара,

свойства материала которого близка к цинку (см. Таблицу 3.2), а жесткостные параметры меняются по экспоненциальному закону (3.14) (5,=82=0,5). Начальная скорость шара равнялась У0 = 0,05 внешняя силовая нагрузка Яе = 0. На рисунках сплошная линия на рисунках соответствует случаю свободного проскальзывания, а штриховая - жесткому сцеплению контактирующих тел. Задача решалась с помощью разработанного численного метода решения с адаптивным шагом интегрирования по временной координате А, и числе Куранта С = 0,95. Решение оценивалось по норме сеточных функций до достижения погрешности 8=10":

\\ -АМ2| = 1пах|й; -й;/2|<е. (4.17)

На рисунке 4.2 и 4.3 представлены временные зависимости границы области контакта 0,(т) и скорости границы области контакта 9.(х). Расчеты показывают, что тип граничных условий задачи влияет на длительность сверхзвукового участка взаимодействия. В частности, в случае жесткого сцепления длительность сверхзвукового этапа сокращается, причем этот вывод справедлив и для других законов неоднородности материала: полиномиального, однородного ударника.

Рис. 4.2. Временная зависимость гра- Рис. 4.3. Временная зависимость ницы области контакта 0,(т) скорости границы области контак-

та 0.(т)

Для однородного изотропного ударника решение задачи строиться с использованием метода поверхностных функций влияния. В этом случае контактные напряжения ст^'(т) = а|''0,х) с помощью функций влияния С^Чх) и

/у'Чх) представляются в следующем виде (/,} е {/",0}):

(х) = «о, М * С,<,2)(т) + у01 (т) * С<2)(х) + (х), (4.18)

а<2>(х) = ит (т) * С%{х) + у01(т) * О»'(х) + К0^(2>(х).

В итоге задача динамики упругого шара сведена к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению с соответствующими начальными условиями

¿-/(^^-¿}у|(А(0)О,(т-Г)Л = -рД,(т) + К0г(т), А(0) = 0, й(0) = К0> (4.19)

,=1 о 471

для решения которой разработан численный алгоритм, основанный на методе сеток.

Решение задачи для упругого цилиндра строится с использованием аналогичного подхода, путем разложения решения для упругой части задачи в комплексные ряды Фурье. В итоге получено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее динамику цилиндра, по структуре совпадающее с выражением (4.19).

С использованием разработанного метода решен ряд новых задач об ударе однородным изотропным упругим шаром (цилиндром) по абсолютно жесткому полупространству. На рисунках 4.4 - 4.5 приведены результаты решения контактной задачи для стального шара ( у = 1,87; к = 0,428) при начальной скорости внедрения Уп = 0,05 и значению внешней силы /?е=0 (сплошная линия - свободное проскальзывание, штриховая - жесткое сцепление).

На рисунке 4.4 представлена зависимость скорости изменения границы области контакта 0,(т), которые подтверждает наличие сверхзвукового участка в контактной задаче (0,(т)>1). Как следует из рисунка 4.4, учет жесткого сцепления приводит к уменьшению длительности сверхзвукового этапа взаимодействия, а.

з

2

I

0

На рисунке 4.5 изображена глубина погружения шара И(т). Как следует из графика, на сверхзвуковом участке взаимодействия и шар внедряется практически равномерно.

Пятая глава диссертации посвящена нестационарным контактным задачам для упругого однородного изотропного полупространства и абсолютно твердого ударника, имеющего геометрические «несовершенства», в рамках плоской задачи теории упругости (рис. 5.1).

Движение ударника описывается системой уравнений плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела с соответствующими начальными условиями: тУс=Не+1*, Л» = Ме+М, ис=Ус, 0 = со,

(5.1)

ии=и„ у|^=у0> еЦ=е0, ®и=®о,

(5.2)

где 11с и 0 - вектор перемещения центра масс и угол поворота ударника вокруг центра масс;

Рис. 5.1

ЬЬ) х Ъ\{т)

Я , Ме, и И, М- соответственно погонные внешние и контактные силы и моменты, действующие на тело.

Движение упругой полуплоскости описывается начально-краевой задачей относительно потенциалов <р и \|/

<Э2ф 52ф .. д2\і> д\/ 2-ох, дх2 йх, дх2

фи=фи=ч=о=Со=0'

(5.3)

(5.4)

причем рассматриваются два типа краевых условии:

Задача 1 (свободное проскалъзование):

щ{х„х2,х)\х=а = и10(х2,т), (х2 бП(т)),

<т11(х1,лг2,т)|т1_0=0, (^гП(х)), ст]2(х,,х2,т)|^о=0, (х2еК).

Задача 2 (жесткое сцепление)'.

мДх„х2,т)[=о = и^(х2,х), (х2 еП(т)),

а,,(х„х2,т)Ц=0, (х2йО(т)), О'= 1,2).

На бесконечности среда находится в невозмущенном состоянии: ф(г,т) = \]/(г,т) = С(1), г ->оо, г2=х,х,..

Вследствие линейности задачи, граничные условия сносятся на невозмущенную поверхность полупространства П10, причем граница области контакта гЮ(т) определяется из геометрического пересечения двух недеформированных поверхностей: неподвижной П|0 и подвижной ПТ=П2Т. В общем случае область контакта является многосвязной.

О(т) = уЦ.(т), 0,.(т) = [6,4т),ОД],

да, (т) = {ь){х) е Ох2\8{о,Ь){х),х) = о,у = 1,2}.

Связь н/0(х2,т) с кинематическими параметрами ударника имеет вид

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

M10(x2,T) = {7(:1(x) + x1©cosO(x)-x2(Qsine(T), ^ ^ w20(x2,T) = C/2(T) + x,©sine(x) + x2©cose(t)-x2. Замыкает задачу связь результирующих реакций полупространства R и М с контактными напряжениями ct/0(.v2,t):

ЛД*).= И(Т)> M0(T) = ¿M¿(t),

М(х) (5-Ю)

л;(х)= J M(x) = (Uc,R,e3)+M0(x), (j = 1,2),

ОД

В задаче об ударе гладким абсолютно жестким ударником по упругой полуплоскости также выделяется сверхзвуковой этап, соответствующий временам взаимодействия, для которых ¿mm (х) = rainjz/ (x)j > с, (рис. 5.1). Для данного

этапа взаимодействия в случае жесткого сцепления контактирующих тел показано, что кинематические параметры ударника определяются без предварительного нахождения контактных напряжений из решения задачи Коши для системы квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

*.л(«)

S = (UitVltU2,V2,Q, cú)t, Л(Е) = (А.„..А6)Т,

\=V„X2= тх + со^ -(©t/c2 + Vcl Дз = V2 Д4 = т~х [Re2 + (со Ucl - Vc2 )s], к, = соД6 = Г1 [Ме - со/^ + (2Uc2(£> +Vcl)SX!-{Uc2{<s>Uc2 + Vl) + r'Uc,{aUci-Vc2))s],

где S, S и J - площадь, статический момент и момент инерции области контакта Q(x) относительно оси Ох3.

С использованием указанного подхода рассмотрен сверхзвуковой этап внедрения ударника, радиус-вектор направляющей L которого представляется в следующем виде:

r© = r0© + S(i;)n, (5.12)

где r0, п - радиус-вектор и единичная нормаль к базисной кривой, 5(с,) - возмущения базисной кривой, учитывающие в первом приближении «шероховатость» ударника.

Для параметризации кривой (5.12) и вычисления массово-геометрических характеристик ударника использовалась аппроксимация кривой L В-сплайнами.

о

-0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3

я

о

1

т-10

3 4 5 Рис. 5.3

В качестве примера рассмотрен ударник с базовой направляющей в виде эллипса с эксцентриситетом е и возмущением в виде периодической функции 5(Q = 50 sin пс,.

На рисунках 5.2 - 5.3. изображен ударник (е = 0,99;80 =0,01; и = 20) в момент касания поверхности полупространства (у = 1,871), а также временная зависимость области контакта, которая является двусвязной. Расчеты проводились при следующих начальных условиях Vw =0,005; V20 =со0 =0; 0О =0°и значениях внешней нагрузки II,t = 0,1; Re2 = Ме = 0.

В главе также рассмотрены задачи о наклонном внедрении ударника при различных значениях эксцентриситета е и возмущениях базовой кривой 5(£). Показано, что существенное влияние на кинематику ударника оказывает эксцентриситет е. Уменьшение последнего приводит к тому, что скорость изменения как продольной V2 (штриховая линия на рис. 5.4), так и поперечной скорости F¡ (сплошная линия на рис. 5.4) снижается, при этом растет угловая скорость вращения ю (рис. 5.5).

к-ю

^•10'.

со-10 -0.75 -1.50 -225 -3.0

е=0,8 ---е-0,!

: е*0

0 5 т-103

Рис. 5.5

На дозвуковом участке внедрения ударника контактная задача сведена к системе функциональных уравнений (СФУ), содержащий сингулярный инте-

гральный оператор Ь'*1, ядром которого являются поверхностные функции влияния для упругой полуплоскости /<*(х2,т).

Ь(«Ф =

о

(и = 12);

(5.13)

где и» - компоненты вектора перемещений точек поверхности полупространства под ударником, сту - контактные напряжения,

£) - пространственно-временная многосвязная область контакта.

Для решения СФУ используется численный метод, основанный на конечномерной аппроксимации пространственно-временной области контакта Б (рис. 5.6), модифицированный для решения задач с многосвязной областью контакта. В итоге получена явная разностная схема первого порядка точности по пространственной и временной координатам:

и^и^'+АУ,"-1, ^™ = и»<» + с»уп'"-Х™> (5.14)

V" = V"4 + АМ (т" + Т").

д: = Ь,(т) Рис. 5.6. Пространственно-временная область контакта £>,

Здесь и", V" - вектор положения и скоростей центра масс ударника на п -ом шаге по времени, В" - вектор границ области контакта, \У"" - вектор перемещений точек полупространства под ударником, - вектор контактных напряжений.

С использованием разработанной конечно-разностной схемы решена задача о скользящем внедрении (0о=О*; Ут = У211 =0,001; со = 0; Л,, = Ке2 =0,01; Ме= 0) в стальное полупространство (у = 1,871) абсолютно твердого ударника с базовой направляющей в виде эллипса (е = 0,99; 50 =0,005; п = 10). На рисунке 5.7 изображена многосвязная пространственно-временная область контакта £), а на рисунке 5.8 - временная зависимость минимальной скорости расширения границы области контакта ЬтЬ .

1Р

О 0.1

0.2 0.3 Рис. 5.7

А

¡т6

I 1£>

0.4

¿пап

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0.1 0.2 0.3

Рис. 5.8

0.4

Рисунки 5.9 - 5.10 отражают кинематику движения ударника (сплошные линии - жесткое сцепление, штриховые - свободное проскальзывание). Учет жесткого сцепления приводит к снижению абсолютных значений компонент вектора скорости, причем наибольшее влияние оказывается на движение ударника, нормальное к поверхности полупространства.

о о.1 о 2 о.: Рис. 5.9 Рис. 5.10

Распределение нормальных и касательных напряжений под ударником для подобласти £>, представлено на рисунках 5.11-5.12. Анализ результатов решения показывает, что в условиях жесткого сцепления происходит существенный рост касательных напряжений в окрестности границы областей контакта Ъ™. Аналогичный эффект наблюдается и для нормальных напряжений для областей контакта 02,...,0в, образующихся в процессе взаимодействия ударника и полупространства.

Основные выводы и результаты

1. Дана математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функционально-градиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими не-однородностями, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.

2. Развит и обобщен метод решения задач о нестационарном взаимодействии структурно-неоднородных упругих тел, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанный на использовании поверхностных функций влияния. Доказана эффективность применяемого подхода в динамических задачах механики деформируемого твердого тела за счет существенного снижения размерности решаемых задач.

3. На основе разработанного метода решен новый класс задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях. В том числе построены решения внешней задачи о дифракции плоской упругой волны на упругом шаре, внутренней задачи о дифракции упругой сферической волны на неоднородном шаре, помещенном в акустическую среду, а также внешней задачи о дифракции плоской упругой и акустической волн на неоднородном цилиндре.

4. На сверхзвуковом этапе взаимодействия исследована динамика однородного изотропного упругого шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству. На основе метода поверхностных функций влияния получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно смещения центра масс ударника как абсолютно твердого тела и построена конечно-разностная процедура решения уравнения.

5. Метод поверхностных функций влияния реализован в задаче определения кинематических параметров ударника на сверхзвуковом этапе взаимодействия абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности в виде несовершенств, при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и многосвязности области контакта.

6. На базе метода поверхностных функций влияния построена система функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта для упругой полуплоскости и абсолютно твердого ударника с несовершенствами на произвольном этапе взаимодействия. С использованием этой системы решены задачи об ударе по поверхности упругого полупространства эллиптического ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

7. Построено аналитическое решение задачи о радиальных колебаниях трансверсально изотропной радиально-неоднородной сферы с упругими константами, изменяющимися по полиномиальному закону, при малых временах взаимодействия.

8. Исследована динамика неоднородного трансверсально изотропного упругого шара при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

Основные публикации по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК

1. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Влияние граничных условий на параметры нестационарной контактной задачи // Изв. РАН. МТТ,- 1993,-№3,- С. 133-143.

2. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству // Изв. РАН. МТТ,-1994,- № 1,- С. 27-37.

3. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарные контактные задачи с подвижными границами для деформируемого тела и полупространства // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2000. - № 3. - С. 41-45.

4. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере// Механика композиционных материалов и конструкций. -2006. - Т. 12, №4. - С. 530540.

5. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере// Механика композиционных материалов и конструкций. - 2007. - Т. 13, №1. - С. 119-130.

6. Медведский А.Л. Задача о дифракции нестационарных упругих волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере// Механика композиционных материалов и конструкций. - 2008. - Т.14, №3. - С. 473 - 489.

7. Медведский А.Л. Сверхзвуковой этап взаимодействия упругого однородного изотропного шара и абсолютно жесткой преграды// Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - №2 (38), вып. 1,2009, С. 38-49.

8. Медведский А.Л. Динамика неоднородной трансверсально-изотропной сферы в акустической среде// Вестник МАИ. - 2010. - Т. 17, № 1. - С. 181 -186.

9. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Плоская нестационарная задача о взаимодействии твердого ударника с несовершенствами и упругого полупространства// Электронный журнал «Труды МАИ»,- 2011,- Вып. 48, www.mai.ru/science/trudy/.

10.Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарный контакт недефор-мируемого ударника с несовершенствами и упругой полуплоскости на сверхзвуковом участке внедрения// Вестник МАИ. - 2011.- Т. 18, № 6. - С. 125-132.

Монографии

11 .Медведский A.JI., Рабинский Л.Н. Метод поверхностных функций влияния в нестационарных задачах дифракции. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 256 е.: ил.

Публикации в других изданиях

12.Горшков А.Г., Коровайцев A.A., Медведский А.Л. Алгоритмизация решения динамической осесимметричной контактной задачи с подвижными границами// Материалы 5 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред»,— М.: Графросс, 1999. — С. 11-12.

13.Коровайцев A.A., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарное кинематическое возбуждение упругого полупространства с расширяющейся площадкой контакта// Тезисы докладов 2 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— Москва: 1996. — С. 67-68.

14.Медведский А.Л. Использование интегральных операторов в нестационарных задачах механики деформируемого твердого тела// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докла-дов.(Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006).— Т. 3. — Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2006. — С. 144.

15.Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция плоской нестационарной акустической волны давления на неоднородном трансверсально-изотропном шаре// Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Избранные доклады.— М.: МАИ, 2006.— С. 24-34.

16.Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция нестационарных упругих волн на неоднородном сферическом включении// Материалы XIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы

механики конструкций и сплошных сред им. А.Г. Горшкова». Избранные доклады.— М.: МАИ, 2007,— С. 58-76.

17.Бригадирова Т.Е., Медведский A.JI. Осесимметричная задача динамики для неоднородной трансверсально-изотропной сферы// Материалы XI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М. :Изд-во МАИ , 2005.— Т. 2.— С. 8-16.

18.Медведский А.Л. Движение неоднородной трансверсально изотропной полой сферы в акустической среде / А.Л. Медведский, Т.Е. Бригадирова // Материалы XIV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.— М.: Изд-во МАИ, 2008,— Т. 1С. 49-50.

19.Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция упругих волн на неоднородном сферическом включении// Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXI Международной конференции,— СПб.: ВВМ, 2005.— С. 119-129.

20.Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Влияние параметров неоднородности сферического включения на процесс распространения дифракционных волн// Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXII Международной конференции,— СПб.: ООО «НИЦ МОРИНТЕХ», 2007,— С. 394-395.

21 .Бригадирова Т.Е., Горшков А.Г., Медведский А., Л. Одномерная нестационарная задача теории упругости для неоднородной сферы// Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова. Тезисы докладов.— Тула: 2003. — С. 86-87.

22.Бригадирова Т.Е., Горшков А.Г., Медведский А.Л. Динамика неоднородной изотропной сферы в случае радиальной симметрии// Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Избранные доклады.— М.: МАИ, 2006,— С. 42-51.

23.Бригадирова Т.Е., Горшков А.Г., Медведский А.Л. Динамическое поведение упругой трансверсально-изотропной толстостенной сферы под действием внутреннего и внешнего давления// Материалы X Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.:Изд-во МАИ, 2004.— Т. 2.— С. 3847.

24.Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. О применимости различных моделей движения ударника на дозвуковом участке внедрения// Тезисы докладов Всероссийского симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: РИЦ МГАТУ, 1995. —С. 19-20.

25.Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Определение кинематических параметров упругой сферы при ударе о жесткую преграду// International. Conference. «Modeling and investigation of system stability. Me-

chanical systems». Kiev, May 19-23, 1997/ Thesis of conference reports.— Kiev: 1997,—P. 43.

26.Горшков А.Г., Медведский A.JI., Тарлаковский Д.В. Моделирование условий одностороннего контакта в элементах сопловых блоков ЖРД// Актуальные проблемы развития транспортных систем: Тезисы докладов Международной научно-технической конференции.— Гомель: БелГУТ, 1998. — С. 194.

21 .Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Распространение граничных и объемных возмущений в сплошных средах// Полимерные композиты - 2003: Тезисы докладов Международной конференции.— Гомель: ИММС НАНБ, 2003. — С. 145-146.

2$.Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Использование объемных функций влияния для решения нестационарных задач механики сплошной среды с неоднородными краевыми условиями// Импульсные процессы в механике сплошных сред: Материалы V Международной научной школы-семинара (август 2003).— Николаев: Аттол, 2003. — С. 37-39.

29.ЗаГщев В.Н., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Оценка напряженного состояния при нестационарном контактном взаимодействии элементов сооружений// Проблемы безопасности на транспорте. Тезисы докладов Международной научно-практической конференции.— Гомель: БелГУТ, 1997, —С. 112-113.

30.Вестяк A.B., Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Определение кинематических параметров упругого цилиндра на начальном этапе взаимодействия с абсолютно жесткой преградой// Тезисы докладов III Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: «Латмэс» МГА-ТУ, 1997, —С. 33-34.

31.Горшков А.Г., Коровайцев A.A., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Отклик упругого изотропного полупространства на нестационарное возбуждение осесимметричным давлением// Материалы 4 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: Графросс, 1998. — С. 88-95.

32.Вестяк A.B., Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Оценка компонент тензора напряжений в плоской нестационарной контактной задаче для упругого полупространства// Тезисы докладов II Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: «Латмэс» МГАТУ, 1996. — С. 3839.

ЗЪ-Gorshkov A.G., Fedotenkov G.V., Medvedskiy A.b., Tarlakovsky D.V. The non-stationary contact problems for deformable strikers and halfspace// EURO-MECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies».— M.: ИПМ PAH, 2002,— P. 30.

34.Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Динамика неоднородного трансвер-сально изотропного цилиндра на сверхзвуковом этапе взаимодействия с

абсолютно жесткой полуплоскостью// Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. - М.: ООО «ТР-принт», 2012. - С. 52 Ъ5.Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Дифракция плоских нестационарных упругих волн на неоднородном трансверсально изотропном цилиндре// Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. - М.: ООО «ТР-принт», 2012. - С.53 Ъб.Медведский А.Л. Метод поверхностных функций влияния в задачах нестационарного взаимодействия в механике деформируемого твердого тела// «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред». Материалы Всеросс. конф., приуроч. к 90-летию со дня рожд. акад. И.Ф. Образцова. Москва, 23 ноября - 25 ноября 2010 г. -М.: ИПРИМ РАН, 2010. - С. 67.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) Подписано к печати 26.06.2012 г. Бумага писчая. Заказ № 600/1. Тираж 120 экз. 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4

Введение

Глава 1 Постановка задач о нестационарном взаимодействии деформируемых тел.

1.1 Современное состояние проблемы . 17 '

1.2 Постановка начально-краевых задач взаимодействия деформируемых тел

1.3 Уравнения движения упругой неоднородной трансверсаль-но изотропной среды в сферической и цилиндрической системах координат.

1.4 Уравнения движения упругой однородной изотропной и акустической сред.

1.5 Представление решений в сферической и цилиндрической системах координат

1.6 Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела

Глава 2 Представление решений задач о нестационарном взаимодействии с помощью поверхностных функций влияния

2.1 Применение поверхностных функций влияния (случай несмешанных краевых условий).

2.2 Использование поверхностных функций влияния при смешанных краевых условиях

2.3 Поверхностные функции влияния для упругой однородной изотропной среды в сферической системе координат

2.4 Функции влияния для акустической среды в сферической системе координат.

2.5 Поверхностные функции влияния для упругой среды в цилиндрической системе координат.

2.6 Поверхностные функции влияния для акустической среды в цилиндрической системе координат

2.7 Функции влияния для упругого однородного изотропного шара и цилиндра для случая п = 1.

Глава 3 Дифракция упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической или цилиндрической формы.

3.1 Постановка задач

3.2 Сведение задачи дифракции для неоднородного сферического включения к начально-краевой задаче с граничным интегральным оператором типа свертки.

3.3 Конечно-объемная схема интегрирования начально-краевой задачи с интегральным граничным оператором.

3.4 Радиальные колебания неоднородной трансверсально изотропной сферы в акустической среде.

3.5 Внешние задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном трансверсально изотропной сфере

3.6 Внутренние задачи о дифракции для неоднородного включения сферической формы

3.7 Дифракция нестационарных упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном цилиндре

Глава 4 Вертикальный удар упругим неоднородным трансверсально изотропным шаром и цилиндром по абсолютно жесткому полупространству.

4.1 Постановка нестационарной контактной задачи для упругого неоднородного сферического и цилиндрического ударников и жесткого полупространства.

4.2 Динамика неоднородного трансверсально изотропного шара при вертикальном ударе о жесткое полупространство

4.3 Сверхзвуковой участок взаимодействия однородного упругого шара с абсолютно жестким полупространством

4.4 Особенности динамики упругого цилиндра на сверхзвуковом участке взаимодействия с абсолютно жестким полупространством

Глава 5 Нестационарные контактные задачи для упругой полуплоскости и абсолютно твердого ударника с несовершенствами.

5.1 Постановка нестационарной контактной задачи для твердого ударника с несовершенствами и упругой полуплоскости

5.2 Динамика абсолютно твердого ударника с несовершенствами на сверхзвуковом участке внедрения в упругое полупространство

5.3 Конечно-разностная схема интегрирования системы функциональных уравнений плоской контактной задачи

5.4 Плоская контактная задача для эллиптического ударника и упругой полуплоскости на дозвуковом участке взаимодействия

5.5 Скользящее внедрение твердого ударника с несовершенствами в упругую полуплоскость

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам элементов конструкций, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к динамическим задачам теории упругости неоднородных тел.

Неоднородность упругих свойств материала часто возникает на этапе формирования тела, например при кристаллизации материала вследствие различных температурных условий отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в разных областях отливки. Такого же типа естественная неоднородность имеет место в грунтах и горных породах [292, 293, 281]. Неоднородность свойств также имеет место благодаря особенностям технологических процессов получения соответствующих изделий и полуфабрикатов, в том числе, из-за различной упрочняющей технологии (термическая, химико-термическая и другие виды обработок).

В процессе эксплуатации элементов конструкции структурная неоднородность свойств может появиться под влиянием окружающей среды (воздействие активных жидкостей и газов, термическое влияние, радиационное облучение и т. п.). Необходимо отметить, что все реальные материалы обладают определенной структурной неоднородностью (дефекты и неправильности кристаллической решетки, поликристаллическая структура технических металлов и сплавов, молекулярная и надмолекулярная структура полимерных материалов и т. п.).

Однако при феноменологическом подходе к изучению механики сплошной среды [193, 116] используют модель макроскопически однородной среды. В дальнейшем рассматриваются линейно упругие тела с непрерывной неоднородностью, под которыми понимаются материалы, характеризуемые зависимостью от пространственной координаты определяющих свойства среды параметров, осредненных по области, большой по сравнению с размерами структурных областей. Линейная теория упругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором компоненты тензора упругих постоянных являются функциями координат точек тела [143, 142].

При этом различают кусочно-однородные тела, у которых указанные функции являются кусочно-постоянными, и упругие тела с непрерывной неоднородностью. Задачи второго класса в настоящее время являются наименее исследованными, так как с математической точки зрения они сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) с переменными коэффициентами. Согласно установившейся терминологии, среды такого типа называют функционально - градиентными [И].

В настоящее время достаточное большое количество работ посвящено решению статических задач неоднородной теории упругости [143, 142, 93, 94, 221]. Однако большинство процессов взаимодействия упругих сред носят динамический характер. Поэтому разработка методов решения нестационарных динамических задач неоднородной теории упругости, к которым относятся и задачи о дифракции акустических и упругих волн является актуальной.

Другой тип неоднородности возникает в процессе нестационарного контактного взаимодействия деформируемых тел. Этот тип неоднородности связан с различием физико-механических характеристик взаимодействующих тел, зависимостью граничных условий от времени и, в общем случае, многосвязанностью области контакта [161, 83, 81].

Развитие средств вычислительной техники и специализированных программных комплексов компьютерной алгебры стимулирует создание новых методов решения нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и конструкций. Использование общей теории фундаментальных решений для линейных дифференциальных операторов, которыми описываются модели механики сплошной среды, позволяет построить ряд новых решений в соответствующем классе начально-краевых задач.

Разработка таких решений направлена на развитие, с одной стороны, фундаментальной науки, а с другой стороны стимулируется такими наукоемкими отраслями промышленности как авиационно - космическая, атомная, энергетика и др.

В настоящее время различные расчетные методики, в основном, базируются на двух приближенных методах решения задач математической физики - методе конечного элемента (МКЭ) и методе конечных разностей (МКР). При всей универсальности этих методов, они обладают существенным недостатком - необходимостью разбиения всей области, занимаемой сплошной средой, на подобласти (конечно-элементную или конечно-разностную сетки). Для решения нестационарных задач, как правило, при этом используются либо прямые методы интегрирования по времени, либо метод разложения по собственным формам колебаний упругой конструкции [64, 16, 63].

Для решения линейных статических или стационарных задач для сплошных сред применяется альтернативный метод граничного элемента (МГЭ), являющийся приближенным способом решения соответствующих граничных интегральных уравнений (ГИУ) [30, 20, 215]. Ядрами этих уравнений являются фундаментальные решения дифференциальных операторов статических или стационарных задач. Решения нестационарных задач механики структурно-неоднородных систем при таком подходе строятся с использованием различных конечно-разностных схем по времени [20, 215]. При этом применение явных разностных схем при таком подходе накладывает жесткие ограничения на шаг по времени, что существенно снижает эффективность данного метода.

Другой подход к решению нестационарных задач механики связан с использованием соответствующих фундаментальных решений. Это приводит к гранично-временным интегральным уравнениям (ГВИУ) [215], в которых интегрирование осуществляется по пространственно-временной области. При этом ядрами ГВИУ являются объемные функции влияния для бесконечной среды. В настоящее время известны аналитические решения для таких функций в случаях упругой ортотропной, изотропной и акустической сред [170, 215, 180, 54]. Для нахождения функций влияния для других типов сред, в частности, вязкоупругих, ряд авторов использует численно-аналитические методы, примером которых являются численные методы определения оригиналов преобразования Лапласа по времени [86].

Дальнейшее развитие теории гранично-временных интегральных уравнений приводит к использованию в качестве ядер интегральных операторов функций Грина соответствующей нестационарной задачи, удовлетворяющей заданным краевым условиям (поверхностные функции влияния) [53, 54, 155, 153, 77, 78, 146].

Поверхностные функции влияния могут быть найдены в замкнутом виде только для тел канонической формы, граница которых является координатной поверхностью в одной из распространенных систем координат (полуплоскость, сфера) [54]. Для их нахождения, как правило, используются методы интегральных преобразований Фурье и Лапласа по времени и пространственным координатам.

Актуальность работы. Тема диссертационной работы является актуальной в теоретическом плане, поскольку, как следует из приведенного в первой главе литературного обзора, нестационарные задачи для структурно-неоднородных упругих тел в настоящее время практически не исследованы. Актуальность работы также связана с необходимостью разработки и развития новых подходов к численно-аналитическим методам решения задач о нестационарном взаимодействии упругих тел, связанных со снижением размерности задачи за счет использования интегральных соотношений на контактных границах. В практическом плане актуальность исследований определяется потребностями различных отраслей промышленности в создании методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы В настоящей работе дана математическая постановка, разработаны и реализованы методы решения задач о нестационарном контакте неоднородных упругих тел для различных типов структурной неоднородности. Построены решения задач о дифракции акустических и упругих волн на препятствиях сферической и цилиндрической формы, материал которых является функционально-градиентным по радиальной координате, а также обладает трансверсально изотропным типом анизотропии. Для неоднородных тел указанной формы и абсолютно жесткого полупространства решены нестационарные контактные задачи при начальных временах взаимодействия. Также построены решения нестационарных контактных задач для абсолютно твердых ударников, неоднородность которых связана с наличием «несовершенств», и однородного изотропного полупространства.

Целью работы является:

1. Математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функционально-градиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими неоднородностями, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.

2. Развитие метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

3. Решение нового класса задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на функционально-градиентном трансверсаль-но изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях.

4. Решение новых внешних и внутренних задач о дифракции упругих и акустических волн на радиально-неоднородном включении со сферической и цилиндрической границей.

5. Исследование динамики неоднородного трансверсально изотропного упругого шара, а также однородного шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

6. Исследование динамики абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности (несовершенства), при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и мно-госвязности области контакта (плоская задача).

7. Построение на базе метода поверхностных функций влияния системы функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта на произвольном этапе взаимодействия. Решение с использованием этой системы задач об ударе по поверхности полупространства эллиптического ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. Развитие и обобщение метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных упругих тел, основанного на методе поверхностных функций влияния.

2. Решение на базе разработанного метода новых внешних и внутренних нестационарных задач о дифракции упругих и акустических волн на функционально-градиентных трансверсально изотропных включениях сферической и цилиндрической формы с радиальным типом неоднородности.

3. Решение новых нестационарных контактных задач для неоднородного трансверсально изотропного шара (цилиндра) и абсолютно жесткого полупространства при малых временах взаимодействия.

4. Разработка и реализация численно-аналитического метода решения плоских нестационарных контактных задач для абсолютно твердого ударника с геометрическими неоднородностями (несовершенствами) и однородного упругого изотропного полупространства, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

5. Построение на базе разработанного метода задач о нестационарном взаимодействии упругого полупространства и эллиптического ударника, а также ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты и разработанные алгоритмы могут быть использованы в различных отраслях промышленности с целью создания методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.

Методы исследования. В основу работы положен аппарат поверхностных функций влияния для нестационарных операторов, описывающих динамику сплошных сред в рамках линейных моделей. Указанный подход позволяет получить интегральные соотношения на граничных поверхностях и тем самым снизить «размерность» задачи. Для решения полученных интегральных уравнений, а также начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями интегрального вида используются проекционные методы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически строгой и физически корректной постановкой задач, применением апробированных математических методов, классических постановок задач теорий упругости и механики жидкости. Полученные результаты в частных случаях полностью совпадают с известными результатами других авторов и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

Всесоюзной научной конференции «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (г. Николаев, 1994 г.);

Всесоюзной научной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (г. Киев, 1995 г.);

Международной конференции «Modeling and investigation of system stability. Mechanical systems» (Kiev, 1997 г.);

Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте» (г. Гомель, 1997);

Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития транспортных систем» (г. Гомель, 1998 г.);

Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2002 г.);

EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies» (г. Москва, 2002 г.);

Международной конференции «Полимерные композиты» (г. Гомель, 2003 г.);

V Международной научной школы-семинара «Импульсные процессы в механике сплошных сред», (г. Николаев, 2003);

Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 80-летию со дня рождения профессора JI.А.Толоконникова, (г. Тула, 2003);

3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2004» (г. Москва, 2004 г.);

Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики» (г. Москва, 2005).

XXI Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, 2005 г.);

XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.);

IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.);

5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» (г. Москва, 2006 г.);

I - XVIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 1995 - 2012 г.г.);

- на научных семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национального исследовательского университета);

- на научном семинаре кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета;

- на научном семинаре Института прикладной механики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, в том числе 10 научных статей в изданиях, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций, а также 1 монография.

Результаты диссертационной работы вошли в цикл работ «Динамические контактные задачи», за которые автору в составе коллектива присуждена Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники за 2001 год.

На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ:

- «Нестационарные контактные задачи механики сплошной среды» (код проекта № 93-01-16508-а).

- «Динамические контактные задачи» (код проекта № 96-01-01083-а).

- «Динамические контактные взаимодействия тел с деформируемыми средами» (код проекта № 99-01-00255-а).

- «Исследование динамических процессов в структурно неоднородных конструкциях и сооружениях при высокоинтенсивных термосиловых воздействиях различной физической природы» (код проекта № 00-01-81198-Бел).

- «Развитие численно-аналитических методов решения задач аэрогид-роупругости и аэроакустики» (код проекта № 02-01-00374-а).

- «Контактные взаимодействия в механике сплошных сред» (код проекта № 03-01-00422-а).

- «Динамика неоднородных элементов конструкций при локальных и импульсных воздействиях в терморадиационных полях» (код проекта № 03-01-96658-р).

- «Динамика оболочек вращения при нестационарном взаимодействии со сплошными средами» (код проекта №05-01-00042-а).

- «Численное моделирование термодинамических процессов в анизотропных средах и композитах, используемых в конструкциях летательных аппаратов» (код проекта №05-08-01214-а).

- «Динамика и прочность подводных объектов в виде протяженных тел (оболочек) вращения переменной кривизны при действии акустических ударных волн» (код проекта № 05-08-01497-а).

- «Нестационарные контактные взаимодействия упругих тел» (код проекта №06-01-00525-а).

- «Развитие математических моделей и создание программного комплекса по расчету на статическую и динамическую прочность сложных тонкостенных конструкций, применительно к вертолетам нового поколения» (код проекта №06-08-00436-а).

- «Разработка и создание экспериментальной установки для задач термопрочности многослойных оболочек с защитными покрытиями при высокотемпературном воздействии» (код проекта №07-01-12066-офи).

- «Численно-экспериментальные методы исследования динамического поведения многослойных композиционных оболочек при комплексных высокоинтенсивных воздействиях» (код проекта №07-01-13520-офиц).

- «Математическое моделирование вибрационного и акустического полей оболочечных конструкций при действии волн давления в жидкости» (код проекта №07-01-96417-рцентра)

- «Использование поверхностных функций влияния в нестационарных задачах взаимодействия сплошных сред и элементов конструкций» (код проекта №09-01-00731-а)

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения списка использованных источников, включающего 298 наименований. Общий объем диссертации составляет 269 страниц.

Основные результаты работы следующие.

1. Дана математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функционально-градиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими неоднородностями, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.

2. Развит и обобщен метод решения задач о нестационарном взаимодействии структурно-неоднородных упругих тел, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанный на использовании поверхностных функций влияния. Доказана эффективность применяемого подхода в динамических задачах механики деформируемого твердого тела за счет существенного снижения размерности решаемых задач.

3. На основе разработанного метода решен новый класс задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях. В том числе построены решения внешней задачи о дифракции плоской упругой волны на упругом шаре, внутренней задачи о дифракции упругой сферической волны на неоднородном шаре, помещенном в акустическую среду, а также внешней задачи о дифракции плоской упругой и акустической волн на неоднородном цилиндре.

4. На сверхзвуковом этапе взаимодействия исследована динамика однородного изотропного упругого шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству. На основе метода поверхностных функций влияния получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно смещения центра масс ударника как абсолютно твердого тела и построена конечно-разностная процедура решения уравнения.

5. Метод поверхностных функций влияния реализован в задаче определения кинематических параметров на сверхзвуковом этапе взаимодействия абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности в виде несовершенств, при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и много-связности области контакта.

6. На базе метода поверхностных функций влияния построена система функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта для упругой полуплоскости и абсолютно твердого ударника с несовершенствами на произвольном этапе взаимодействия. С использованием этой системы решены задачи об ударе по поверхности упругого полупространства эллиптического ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

7. Построено аналитическое решение задачи о радиальных колебаниях трансверсально изотропной радиально-неоднородной сферы с упругими константами, изменяющимися по полиномиальному закону, при малых временах взаимодействия.

8. Исследована динамика неоднородного трансверсально изотропного упругого шара при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

Заключение

1. Агошков В. И., Дубовский П. Б., Шутяев В. П. Методы решения задач математической физики/ Под ред. Г.И. Марчука: Учеб. пособие. М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

2. Айзикович С. М., Кренев Л. И., Трубчик И. С. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферического индентора в неоднородное по глубине полупространство // Изв. РАН. Мех.тверд.тела. — 2000. — № 5.- С. 107-117.

3. Айзикович С. М., Трубчик И. С. Контактная задача для упругого цилиндра, неоднородного по радиусу // Труды 7 Международной конференции памяти акад. РАН И.И. Воровича, Ростов-на-Дону, 2224 окт., 2001,. Т. 1. - Ростов н/Д: ЦВВР, 2002. - С. 9-13.

4. Аникеев И. И., Михайлова М. И., Сущенко Е. А. Динамика нагру-жения цилиндрических и сферических тел при взаимодействии с ударной волной // Прикл. мех. — 2004. — Т. 40, № 12, — С. 117-123.

5. Анисимов С. А., Вогульский И. О. Численное решение задач динамики упругих тел. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1990.- 384 с.

6. Афанасьев Е. Ф. Дифракция нестационарной волны на полуплоскости // Инж. ж. 1962. - Т. 2, № 4. - С. 337-340.

7. Афанасьев Е. Ф. Об одной задаче дифракции ударных волн // Инж. ж. 1965. - Т. 5, № 4. - С. 612-622.

8. Аэрогидроупругость конструкций / А. Г. Горшков, В. И. Морозов, А. Т. Пономарев, Ф. Н. Шклярчук,- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000,592 с.

9. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. — М.: Наука, 1989. — 343 с.

10. Бабич В. М., Булдырев В. С., Молотков И. А. Некоторые математические методы, применяемые в теории дифракции // 1-я Всес. школа-семинар по дифракции и распростр. волн. Тексты лекций. — Москва-Харьков: 1968,- С. 3-92.

11. Багдоев А. Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. — Ереван: АН Арм. ССР, 1961. — 276 с.

12. Багдоев А. Г. Определение параметров движения жидкости в задаче отражения ударной волны от пластинки в линейной и нелинейной постановке /•/ Изв. АН АрмССР. Механика. — 1974. — № 6. — С. 1832.

13. Баженов В. Г., Чекмарев Д. Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001. - № 5. - С. 156-173.

14. Бате К.; Вилсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элементов. — М: Стройиздат, 1982. — 448 с.

15. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3, перераб. и доп. изд. — М: Бином, 2003. — 632 с.

16. Белянкова Т. И., Анджикович И. Е., Калинчук В. В. О динамической жесткости неоднородного, заполненного идеальной жидкостью цилиндра // Экол. вестн. научн. центров ЧЭС.— 2007.— № 1,-С. 16-23.

17. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. — М: Мир, 1984. — 494 с.

18. Березина М. X., Ершов Л. В. О численном интегрировании уравнений плоской задачи динамики упругих тонкостенных цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. ~ 1969. № 3.

19. Беркович В. Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач динамики неоднородной клиновидной среды // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2005. — № 4. — С. 15-18.

20. Беспалова Е. И., Воротникова М. И., Кононеяко В. О. О дифракции ударной волны в воде на абсолютно жестком неподвижном цилиндре // Прикл. мех. — 1972. — Т. 8. — С. 3-8.

21. Билянский Ю. С., Жирное М. В. Осесимметричная задача гидроупругости для цилиндрических конструкций конечной длины // Прикл. мех. (Киев). 1995. - Т. 31, № 12. - С. 31-37.

22. Борисова Н. М., Остапенко В. В. О точности расчета нестационарных ударных волн в методах с выделением разрывов // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 2003. - Т. 43, № 10. - С. 1494-1516.

23. Бородачев Н. М. Контактные задачи теории упругости при динамическом нагружении // Контактные задачи и их инженерные приложения. (Доклады конференции). — М.: 1969. — С. 160-168.

24. Бородич Ф. М. Динамаческий контакт затупленного тела с анизотропной линейно упругой средой // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 310, № 1.- С. 38-42.

25. Бородин Ф. М. Пространственная задача об ударе затупленным телом по поверхности упругого анизотропного полупространства / / Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1990. - № 4,- С. 50-58.

26. Бреббия К., Телес Э., Вроубел Л. Методы граничных элементов. — М: Мир, 1987. 524 с.

27. Бригадирова Т. Е., Медведский А. Л. Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2006. — Т. 12, № 4. С. 530-540.

28. Бригадирова Т. Е., Медведский А. Л. Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. - Т. 13, № 1. — С. 119-130.

29. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН. МТТ.- 2005.- № 1,- С. 45-87.

30. Бурдун Е. Т. Действие акустической ударной волны на трехслойную цилиндрическую оболочку // Уч. зап. центр, аэрогидродинам. инта. 1977. - Т. 8, № 2. - С. 97-102.

31. Бухголъц Н. Н. Основы теоретической механики: в 2 ч. — М: Наука, 1972.

32. Васильев В. В. Композиционные материалы (справочник).— М: Машиностроение, 1990. — 512 с.

33. Векслер Н. Д. Взаимодействие акустического импульса с заполненной жидкостью упругой сферической оболочкой // IX Всес. акустп конф. Секц. А.- 1977,- С. 47-50.

34. Векслер Н. Д., Кутсер М. Э. Асимптотика поля давления в определенном скачке при дифракции плоской акустической волны на упругой цилиндрической оболочке // Прикл. мат. и мех. — 1976. — Т. 40, № 3. С. 509-519.

35. Вестяк А. В., Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Изд. ВИНИТИ, 1983. Т. 15.- С. 69-148.

36. Вильде М. В., Каплунов Ю. В., Ковалев В. А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. — 2002. — № 3,- С. 180-186.

37. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М: Наука, 1981.-512 с.

38. Волны в сплошных средах: Учеб. пособ.: Для вузов / А. Г. Горшков, А. Л. Медведский, Л. Н. Рабинский, Д. В. Тарлаковский. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 632 с.

39. Вольмир А. С. Поведение упругой цилиндрической панели под действием ударной волны в жидкости // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1969. - № 1. - С. 180-184.

40. Вольмир А. С., Герштейн М. С. Поведение упругих цилиндрических оболочек при действии плоской акустической волны // Инж. ж. 1965. - Т. 5, № 6. - С. 1127-1130.

41. Ворович И. И., Александров В. М., Вабешко В. Л. Некласические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

42. Вороненок Е. Я. Задачи дифракции акустической волны давления на бесконечном некруговом цилиндре // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 3. - С. 33-39.

43. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. М.: Наука, 1980. - 304 с.

44. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984.

45. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М: Добросвет, 2000. — 412 с.

46. Герасимов А. В., Кректулева Р. А. Модель деформирования и разрушения многокомпонентной пористой упругопластической среды с непрерывным изменением физико-механических характеристик // Проблемы прочности. — 1999. — № 2. — С. 139-150.

47. Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. — Казань: Изд-во «ДАС», 2001.- 301 с.

48. Голованов А. И., Тюленева О. Н., Шигабутдинов А. Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.

49. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 472 с.

50. Голубинский А. П., Коган М. Н. Об импульсе нестационарного давления, действующего на тела в жидкости или газе // Изв. АН СССР Мех. жидкости и газа. — 1970. — № 1. — С. 113-120.

51. Голъдштейн Р. В., Спектор А. Л. Вариационные методы решения и исследования пространственных контактных и смешанных задач с трением //В кн.: Механика деформируемого тела. — М.: Наука, 1986. С. 52-73.

52. Гоман О. Г. Об автомодельной задаче вдавливания плоского штампа в упругое полупространство // Прикл. мех. — 1983. — Т. 19, № 10. — С. 55-60.

53. Горшков А. Г. Взаимодействие плоских акустических ударных волн с жесткими и упругими оболочками // Инженерный ж. Мех. тверд, тела. — 1968.- № 1,- С. 157-158.

54. Горшков А. Г., Медведский А. Л., Тарлаковский Д. В. Влияние граничных условий на параметры нестационарной контактной задачи // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1993. - № 3,- С. 133-143.

55. Горшков А. Г., Медведский А. Л., Тарлаковский Д. В. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. — 1994,— № 1,— С. 27-37.

56. Горшков А. Г., Медведский А. Л., Тарлаковский Д. В. Распространение граничных и объемных возмущений в сплошных средах // Полимерные композиты 2003: Тезисы докладов Международной конференции. — Гомель: ИММС НАНБ, 2003. — С. 145-146.

57. Горшков А. Г., Рабинский Л. И., Тарлаковский Д. В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. — М: Наука, 2000. 214 с.

58. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи для деформируемого полупространства // Итоги науки и техники. Мех. тверд, тела,- Т. 21. М.: ВИНИТИ, 1990. — С. 76-131.

59. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Двумерные контактные задачи с подвижными границами. — М: Изд-во МАИ, 1990. — 48 с.

60. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Нестационарная аэрогидроупру-гость тел сферической формы, — М: Наука, 1990.— 264 с.

61. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. — М: Наука, 1995. — 352 с.

62. Гофман М. Н., Космодамианский А. С., Урбанский Р. Е. Установившиеся колебания неоднородной многослойной сферы // Докл. АН УССР. 1991. - № 4. - С. 37-41.

63. Градштпейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, — М: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1971. — 1108 с.

64. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Действие плоской волны давления на упругие конструкции с жесткими элементами // В кн.: Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. — Томск: Томский ун-т, 1972,- Рр. 62-72.

65. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Определение гидродинамических нагрузок при взаимодействии слабых нестационарных волн давления с упругими оболочками // В сб.: Колебания, излуч. и демпфирование упруг, структур. — М.: Наука, 1973.— Рр. 3-11.

66. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. — JI: Судостроение, 1974. — 208 с.

67. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. — Л.: Судостроение, 1976. — 200 с.

68. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие слабых ударных волн с упругими конструкциями // Науч. тр. / Ин-т механики Моск. ун-та. М., 1971. - № 13. - С. 180.

69. Григолюк Э. И., Кузнецов Е. Б. Поведение трехслойной цилиндрической оболочки, соединенной с жесткими массами, под действием акустической волны давления // Ж. прикл. мех. и техн. физ. — 1976. № 2. - С. 183-188.

70. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных оболочек // Прикл. мех. (Киев). — 1997.— Т. 33, № 11,— С. 3-37.

71. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Панкратова Н. Д. Задачи теории упругости неоднородного тела. — Киев: Наук, думка., 1989. — 216 с.

72. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевко М. А. Дифракция упругих волн. — Киев: Наукова думка, 1978. — 303 с.

73. Гузь А. Н., Кубенко В. Д. Теория нестационарной аэрогидроупру-гости оболочек. — Киев: Наук.думка, 1982. — 400 с.

74. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде под действием нестационарной сферической волны давления / А. Г. Горшков, С. И. Жаворонок, А. Л. Медведский, Л. Н. Рабинский // Изв. РАН. Мех. тверд, тела.- 2006. № 1,- С. 173-186.

75. Дегтярь И. Г., Пегое В. И. Методы математического моделирования гидродинамики ракет // Изв. РАРАН. — 2003.— № вып. 1,— С. 38-49.

76. Дегтярь И. Г., Пегое В. И. Гидродинамика баллистических ракет подводных лодок, — Миасс: ФГУП «ГРЦ «КБ им. ак. В.П. Макеева», 2004. 256 с.

77. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z преобразования. — М: Наука, 1971. — 288 с.

78. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия,— М: Мир, 1989. — С. 509.

79. Динамика абсолютно твердого эллипсоида вращения под действием нестационарной сферической волны давления / А. Г. Горшков,

80. С. И. Жаворонок, A. JI. Медведский, JI. Н. Рабинский // Материалы XI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», — М.: Изд-во МАИ, 2005. Т. 2. - С. 51-63.

81. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических сооружений / Б. И. Дидух, В. JI. Лобысев, В. М. Ляхтер, др. — М.: Энергия, 1976.- 391 с.

82. Дудко О. В., Потянихин Д. А. О косом ударе жестким телом, имеющим границу, по нелинейному упругому полупространству // Изв. Сарат. гос. ун-та. Н. С. Мат. Мех. Информат. — 2009. — Т. 9, № 4, ч. 2. С. 32-40.

83. Евсеев Е. Г., Семенов А. Ю. Метод для численного решения уравнений динамики тонкостенных оболочек, основанный на выделении сильноосциллирующих компонент // Докл. АН СССР.— 1990.— № 4. С. 785-788.

84. Евсеев Е. Г., Семенов А. Ю. Численный метод решения систем уравнений динамики тонкостенных оболочек // Препринт N 20, Ин-т общей физики АН СССР. — Москва, 1989.

85. Замышляев Б. В., Яковлев Ю. С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. — Л.: Судостроение, 1967. — 387 с.

86. Заппаров К. И., Кукуджанов В. Н. Решение нестационарных задач динамики упругопластической среды методом подвижных сеток / / Численные методы в механике деформируемого твердого тела. М. ВЦ АН СССР. 1984. - № 4. - С. 65-86.

87. Зеленцов В. Б. Об одном асимптотическом методе решения плоских и пространственных осесимметричных нестационарных динамических контактных задач // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. — 2000. — № 3. С. 20-33.

88. Зеленцов В. Б. Об одном асимптотическом методе решения нестационарных динамических контактных задач // Прикл. мат. и мех. — Москва, 1999,- Т. 63, № 2,- С. 303-311.

89. Зеленцов В. Б. О нестационарных динамических контактных задачах теории упругости с изменяющейся шириной зоны контакта // Прикл. мат. и мех. — Москва, 2004. — Т. 68, № 1. — С. 119-134.

90. Зеленцов В. Б. Асимптотические методы в нестационарных динамических контактных задачах // Механика контактных взаимодействий. — М.:Физматлит., 2001. — С. 30-54.

91. Иванов В. Л. Метод аппроксимации систем гиперболических уравнений, содержащих большие параметры в недифференциальных членах // Ж. вычислительной математики и математической физики. 1987. - № 9. - С. 1388-1394.

92. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды,— М: Изд-во МГУ, 1990.- 310 с.

93. Исраилов М. Ш. Дифракция акустической волны на пластине // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1975. - № 1,- С. 159-163.

94. Исраилов М. Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М: Изд-во МГУ, 1992. - 208 с.

95. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М: Глав. ред. физ.-мат. лит., 1971.— 576 с.

96. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. — М: Мир, 1978. — 518 с.

97. Ковалев В. А. Синтез акустического давления, рассеянного упругой цилиндрической оболочкой, основанный на сращивании асимптотических приближений // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. — 2003. — № 4. С. 215-224.

98. Коваленко Г. П. К задаче дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акустический журнал. — 1987. — Т. 33, № 6. С. 1060-1063.

99. Козлов В. Ф. Отражение звуковой волны от деформируемой плоскости // Науч. докл. высш. школы, физ.-мат. н.— 1958.— № 6.— С. 197-200.

100. Козлов В. Ф. Дифракция нестационарной звуковой волны на бесконечной пластинке // Вестн. Моск. ун-та. Мат., мех. — 1960.— № 3. С. 56-59.

101. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Соударение жесткого цилиндра со слоистой упругопластической преградой // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 6-й Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1980. - С. 84-90.

102. Кондауров В. И., Петров И. В., Холодов А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопла-стическую преграду // ПМТФ. 1984. - № 4. - С. 132-139.

103. Костров Б. В. Автомодельные динамические задачи о вдавливании плоского штампа в упругое полупространство // Изв. АН СССР. Мех. и машиностр. — 1964. — № 4. — С. 53-62.

104. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике, М: Изд-во МГАПИ, 1997.- 339 с.

105. Красильщикова Е. А. Дифракция акустической волны на движущейся и неподвижной пластинке // Докл. АН СССР. — 1972. — Т. 203, № 2,- С. 311-314.

106. Кубенко В. Д. О численном решении одного типа сингулярных интегральных уравнений, встречающихся в нестационарных задачах гидроупругости // Мат. физика. Респ. межвед. сб. — 1975.— № 18.- С. 95-103.

107. Кубенко В. Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость. — Киев: Наук, думка, 1981.— 160 с.

108. Кубенко В. Д., Панасюк Я. Н. Действие нестационарных волн на цилиндрические тела в сжимаемой жидкости // Прикл. мех. — 1973.-Т. 9, № 12,- С. 77-82.

109. Кубенко В. Д., Попов С. Н. Плоская задача удара жесткого затупленного тела о поверхность полупространства // Прикл. мех. — 1988. Т. 24, № 7. - С. 69-77.

110. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3 томах. — М: Высшая школа, 1989.

111. Куликовский А. Г., Погорелое Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

112. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М: Наука, 1973. — 736 с.

113. Ларин П. В. Дифракция сферических звуковых волн на неоднородной термоупругой сферической оболочке // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат.— 2003.— № 2, — С. 115-128.

114. Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном термоупругом сферическом слое // Оборонная техника. — 2001. — № 11-12. — С. 45-48.

115. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — 2 изд. — М: Наука, 1977. 416 с.

116. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел, — М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1976. 386 с.

117. Марченко В. А. Динамика неоднородных пологих сферических оболочек // Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук / Самар. гос. архит.-строит, акад. — Самара: 2000. — 19 с.

118. Марченко Т. А. Осесимметричная задача соударения упругих тел вращения // Докл. Нац. АН Украины. — 2005. — № 10. — С. 48-55.

119. Медведский А. Л. Задача о дифракции нестационарных упругих волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2008. — Т. 14, №3.-С. 473 489.

120. Медведский А. Л. Гидродинамика тонкостенных конструкций в акустической среде в рамках гипотезы тонкого слоя // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2009. — Т. 15, № 2. — С. 153-167.

121. Медведский А. Л. Сверхзвуковой этап взаимодействия упругого однородного изотропного шара и абсолютно жесткой преграды // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. - Т. 38, № 2, вып. 1. - С. 38-49.

122. Медведский А. Л. Динамика неоднородной трансверсально-изотропной сферы в акустической среде // Вестник МАИ. — М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010,- Т. 17, № 1.— С. 181=186.

123. Медведский А. Л. Теоремы взаимности в задачах акустики // Материалы XI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». — М.: МАИ, 2005. Т. 2. - С. 138-151.

124. Медведский А. Л., Рабинский Л. Н. Метод поверхностных функций влияния в нестационарных задачах дифракции. — М.: Изд-во МАИ, 2008.- 256 с.

125. Медведский А. Л., Тарлаковский Д. В. Плоская нестационарная задача о взаимодействии твердого ударника с несовершенствами и упругого полупространства // Электронный журнал Труды МАИ. — 2011.- Вып. 48, www.mai.ru/science/trudy/.

126. Медведский А. Л., Тарлаковский Д. В. Нестационарный контакт недеформируемого ударника с несовершенствами и упругой полуплоскости на сверхзвуковом участке внедрения // Вестник МАИ. — М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. — Т. 18, № 6.- С. 125-132.

127. Механика контактных взаимодействий/ Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 672 с.

128. Мнев Е. Н. Нестационарные упругие волны в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, соприкасающейся с акустической средой //В сб.: 2-й Всес. съезд по теор. и прикл. мех., 1964. Аннотации докл. — М.: 1964. — Р. 149.

129. Мнев Е. Н., Перцев А. К. Гидроупругость оболочек.— Л.: Судостроение, 1970. — 566 с.

130. Мнев Е. П., Перцев А. К. Воздействие движущейся нагрузки на цилиндрическую оболочку, соприкасающуюся с акустической средой //В сб.: Прочность и пластичность.— М.: Наука, 1971. — Рр. 303-307.

131. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2 томах. — М: Иностранная литература, 1958.

132. Нетребко В. П., Новотный С. В. Сравнение решений уравнений динамики цилиндрических оболочек по теориям тимошенко и кирхгофа-лява // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. — 1999.— № 3.— С. 140-149.

133. Новацкий В. Теория упругости. — М: Мир, 1975. — 872 с.

134. Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. — Л: Политехника, 1991. — 656 с.

135. Платонов 3. Г. Напряжения в упругих тонкостенных сферических и цилиндрических оболочках при воздействии на них акустической волны давления // Тр. VI Всес. конф. по теории оболочек и пластинок, 1966,- М.: Наука, 1966. Pp. 618-625.

136. Плоская задача дифракции акустической волны давления на тонкой ортотропной панели, помещенной в-жесткий экран / А. Г. Горшков, С. И. Жаворонок, A. JI. Медведский, JI. Н. Рабинский // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2004. — № 1. — С. 209-220.

137. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. — 2 изд. — М: Изд-во МГУ, 1995. — 366 с.

138. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. — М: Изд-во МГУ, 1990. — 384 с.

139. Поручиков В. Б. Дифракция сферической акустической волны на конусе // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. — 1968.— № 2,— С. 200-204.

140. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. — М: Наука, 1986. 328 с.

141. Постное В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. — Л: Судостроение, 1974. — 342 с.

142. Потянихин Д. А. О косом ударе жестким телом, имеющим границу, по нелинейному упругому полупространству // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прорессивные технологии в машиностроении. — 2009. — Т. 3, № 1. — С. 74-82.

143. Рабинский Л. Н. Дифракция акустической волны давления на жесткой сплошной сфере // Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики. Труды XXIX академических чтений по космонавтике Москва январь 2005 г. — М.: Война и мир: 2005. — Р. 492.

144. Рабинский Л. Н. Нестационарная задача дифракции плоской акустической волны давления на тонкой эллиптической оболочке // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005. - № 5. - С. 184-191.

145. Развитие теории контактных задач в СССР / Б. JI. Абрамян, В. М. Александров, Ю. А. Амензаде, др. — М.: Наука, 1976. — 496 с.

146. Русанов В. В. Решение задачи об отражении звуковых волн от жесткой плоскости, имеющей деформируемую часть // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1961. - № 2. - С. 267-279.

147. Сагомонян А. Я. Пространственные задачи по неустановившемуся движению сжимаемой жидкости. — М.: МГУ, 1962.

148. Сагомонян А. Я. Проникание (проникание твердых тел в сжимаемые сплошные среды). — М.: Изд-во МГУ, 1974. — 299 с.

149. Сагомонян А. Я. Удар и проникание тел в жидкость. — М.: Изд-во МГУ, 1986.- 172 с.

150. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. — М.: Наука, 1975.

151. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-т. — М: Наука, 1983, 1984.

152. Сеймов В. М. Динамические контактные задачи. — Киев: На-ук.думка, 1976. — 283 с.

153. Селезов И. Т., Яковлев В. В. Дифракция волн на симметричных неоднородностях. — Киев: Наукова думка, 1978. — 145 с.

154. Сеницкий Ю. Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки // Прикладная механика. — 1978. — Т. 14, № 5. — С. 9-15.

155. Сеницкий Ю. Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных цилиндра, сферы и стержня // Сопротивление материалов и теория сооружений. — Киев: Будивельник, 1984. — Вып. 45. С. 27-32.

156. Сеницкий Ю. Э. Нестационарная динамическая задача для неоднородных анизотропных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек // Прикл. пробл. прочн. и пластич. — 1991. — № 49. — С. 63-72.

157. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акустический журнал. 1995. - Т. 41, № 6. - С. 917-923.

158. Слепян Л. И. Исследование нестационарных деформаций с помощью рядов, определенных на переменном интервале // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 4. - С. 62-69.

159. Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. — Л.: Судостроение, 1972.- 351 с.

160. Слепян Л. И. Механика трещин, — Л.: Судостроение, 1981,— 296 с.

161. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. — Л: Судостроение, 1980. — 344 с.

162. Смирнов В. И., Соболев С. Л. Новый метод в плоской задаче упругих колебаний // Тр. Сейсмология, ин-та АН СССР.— 1932.— № 20. С. 1-37.

163. Снеддон И. Преобразования Фурье. — М: Иностранная литература, 1955.- 667 с.

164. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовица М., Стиган И. М: Наука, 1979. - 830 с.

165. Суркова Е. М. Решение некоторых частных пространственных задач дифракции и отражения обобщенным методом адамара // Сб. Ин:т мех. Мех мат: фак. Моск. ун-та. — 1973. — № 1. — С. 53-61.

166. Тарлаковский Д. В., Федотенков Г. В. Удар цилиндрической оболочки по упругому полупространству / / Материалы 4 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: Графросс, 1998. С. 130-134.

167. Толоконников Л. А., Устинова Е. А. Дифракция цилиндрических и сферических звуковых волн на неоднородной сфере // Прикл. мех. (Киев). 1987. - Т. 23, № 7. - С. 87-91.

168. Третьяков В. В. Новые аналитические решения волнового уравнения и задача дифракции // Прикл. мат. и мех. — 1975. — Т. 39, № 1,- С. 80-85.

169. Тривайло М. С. Действие внешней нестационарной акустической волны на систему вложенных цилиндрических оболочек // Мех. композиц. матер, и конструкций. — 2000.— Т. 6, № 4.— С. 510520.

170. Угодников А. Г., Хуторянский Н. М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. — Казань: Изд-во Казанского университета, 1986. — 295 с.

171. Филиппов И. Г., Егорычев О. А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических средах,— М.: Машиностроение, 1977. 304 с.

172. Харкевич А. А. Неустановившиеся волновые процессы. — М.: Госте-хиздат, 1950.

173. Хенл X., Мауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.- 73 с.

174. Хоскин Н., Лембурн Б. Расчет общих одномерных нестационарных задач с помощью метода характеристик // Численные методы в механике жидкостей. — М.: Мир, 1973. — Pp. 83-93.

175. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. — М.: Наука, 1988.- 90 с.

176. Чигарее А. В., Кравчук А. С., Смалюк А. Ф. ANSYS для инженеров. Справочное пособие. — М: Машиностроение-1, 2004. — 512 с.

177. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Г. С. К., 3. А. В., И. М. Я. и др. М.: Наука, 1976.

178. Шемякин Е. И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. — Новосибирск: НГУ, 1968. — 337 с.

179. Шульга И. А. Собственные колебания трансверсально-изотропный полой сферы // Прикл. механика. — 1980. — Т. 16, № 12. — С. 108— 111.

180. Abd-Aalla А. М., Abd-Alla A. N., Zeidan N. A. Transient thermal stresses in spherically orthotropic elastic medium with spherical cavity // J Appl Math and Comput. 1999. - Vol. 105. - Pp. 232-252.

181. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. — Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. 436 pp.

182. Akkas N., Yilmaz C. Dynamics of elastic structures in acoustic media using general purpose finite element programs // Wiss. Z. Hoehsch Arch, und Baoiw. — 1987. Vol. 25, no. 1. - Pp. 4-6.

183. Application of the integral equation method to acoustic wave diffraction from elastic bodies in a fluid layer / V. E. Belov, S. M. Gorsky, A. A. Zalezsky, A. Y. Zinovyev //J. Acoust. Soc. Amer. — 1998. — Vol. 103, no. 3,- Pp. 1288-1295.

184. Baron M. L. A further study of the resiponse of an elastic cylindrical shell о a transverse shock wave // 2nd USA Nat. Cong. Appl Mech.— N.Y.: ASME, 1976. Pp. 201-212.

185. Bedding R. J., Willis J. R. The dynamic indentation of an elastic halfspace //J. Elast. 1973. - Vol. 3, no. 4. - Pp. 289-309.

186. Bedding R. J., Willis J. R. High speed indentation of an elastic halfspace by conical or wedge-shaped indentors // J. Elast. — 1976. — Vol. 6, no. 2. Pp. 195-207.

187. Belytschko T., Kennedy J. M. Finite element study of pressure wave abtenuation by reactor fuel subaesemblies // Trans. ASME.— 1975. — no. 3. Pp. 172-177.

188. Belytschko T., Mullen R. Mesh partitions of explicit-implicit integrations in transient analysis // Theor. and Appl. Mech. 14h IUTAM Con-gr., Delft, 1976. Amsterdam e. a.: Abstrs, 1976,- P. 95.

189. Berg er B. S. Dynamic response of an infinite cylindrical shell in an acoustic medium // Trans. ASME.- 1969,- Vol. E36, no. 3. -Pp. 342-345.

190. Berg er B. S. The dynamic response of an elastic shell of revolution submeerged in an acoustical medium // Trans. ASME. — 1976. — Vol. E43, no. 3. Pp. 514-515.

191. Berg er B. S., Klein D. Application of the cesaro mean to the transient interaction of a spherical acoustic wave and a spherical elastic shell // Trans. ASME. 1972. - Vol. E39, no. 2. - Pp. 623-625.

192. Berg er B. S., Schur W. Vibrations of an infinite cylindrical shell in an acoustic medium // CANCAM 75. Proc. 5th Can. Congr. Appl Mech., Fredericton, N.B. 1975. — Fredericton: 1975.— Pp. 349-350.

193. Berglund J. W. Transient interaction of a flexible ring-reinforced shell and a fluid medium // AIAA Journal.— 1972,— Vol. 10, no. 11.— Pp. 1540-1542.

194. Berglund J. W., Klosner J. M. Interaction of a ring-reinforced shell and a fluid medium // Trans. ASME. 1968. - Vol. E35, no. 1. - Pp. 139147.

195. Bjerne L. The diffraction of an under-water shock wave by a semiinfinite plane // Rept. Dan. Center Appl. Math, and Mech. — 1971. — no. 13,- P. 17.

196. Brock L. M. Symmetrical frictionless indentation over a uniformly expending contact region, basic analysis // Int. Eng. Sci. — 1976.— Vol. 14, no. 2.-Pp. 191-199.

197. Brock L. M. Sliding and indentation by a rigid half-wedg with friction and displacement coupling effects // Int. J. Eng. Sci. — 1981. — Vol. 19, no. 1,- Pp. 31-40.

198. COMSOL Multiphysics User's Guide. Finland: COMSOLAB, 1994 -2006. - 534 pp.

199. Crocker M. L. Response of panels to oscillating and to moving shock waves // J.Sound and Vibr. 1967. — Vol. 6, no. 1. — Pp. 38-58.

200. Ding H. J., Wang H. M., Chen W. Q. Free vibration of a fluid-filled hollowsphere of a functionally graded material with spherical isotropy // J Acoust Soc Am. 1999. - Vol. 106. - Pp. 2588-2594.

201. Ding H. J., Wang H. M., Chen W. Q. Analytical thermo-elasodynamic solutions for a nonhomogeneous transversely isotropic hollow sphere // Archive of Applied Mechanics. — 2002. — Vol. 72. — Pp. 545-553.

202. Felippa C., Park K. C., Farhat C. Partitioned Analysis of Coupled Mechanical Systems. — Comput. Meth. Appl. Engng, 2001.— Vol. 190. — 3247-3270 pp.

203. Fischer-Cripps Anthony C. Introduction to Contact Mechanics. 2nd ed. Springer, 2007. - 226 pp.

204. Forrestal M. J. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse, acoustic pulse // Trans. ASME.— 1968. Vol. E35, no. 3, — Pp. 614616.

205. Friedlander F. G. Diffraction of puses by a circular cylinder // Comm Pure and Appl. Math. 1954. - Vol. 7, no. 4. - Pp. 705-732.

206. Friedlander F. G. Sound pulses // Cambridge, Univ. Press. — 1958.

207. Friedman M. B., Shaw K. Diffraction of pulses by cylindrical obstacles of arbitrary cross section // Trans. ASME. — 1962. — Vol. E29, no. 1. — Pp. 40-46.

208. Geers T. L. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse acoustic shock wave in a light fluid medium // J. Acoust .Soc. Amer. — 1970. Vol. 48, no. 3, part 2. - Pp. 692-701.

209. Geers T. L. Resudual potential and approximate methods for three-dimensional fluid-structure interaction problems // J. Acoust .Soc. Amer. 1971. - Vol. 49, no. 5, part2. - Pp. 1505-1510.

210. Ghosh A. K., Agrawal M. K. Radial vibrations of spheres //J. Sound and Vibr.- 1994. — Vol. 171, no. 3,- Pp. 315-322.

211. Glocker C. Formulation of spatial contact situations in rigid multibody system // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. — 1999. — Vol. 177, no. 3-4. Pp. 199-214.

212. Guruswamy Guru P. A review of numerical fluids/structures interface methods for computations using high-fidelity equations // Comput. and Struct. 2002. - Vol. 80, no. 1. - Pp. 31-41.

213. Hamdan Fadi H. Modelling of unbounded media for fluid-structure interaction applications // A review Strain. — 1998. — Vol. 34, no. 2. — Pp. 51-58.

214. Haywood J. H. Response of an elastic cylindrical shell to a pressure pulse // Quart. J. Mech. and Appl. Math. — 1958.— Vol. 77, part 2, no. 2,- Pp. 129-141.

215. Herman H., Ktosner M. Transient response of a perioidically sypported cylindrical shell immersed in a fluid medium / / Trans. AS ME. — 1965. — Vol. E32, no. 3. Pp. 562-568.

216. Hori Y., Hori K. Two-dimensional coupling vibration analysis of fluid and structure using an fem displacement method. 2nd report, extraction method of spurious modes nippon kagaku kaishi // J. Chem. Soc. Jap. — 1998,- no. 3,- Pp. 381-385.

217. Huang H. An exact analysis of the transient interaction of acoustic plane waves with a cylindrical elastic shell // Trans. ASME. — 1970. — Vol. E37, no. 4,- Pp. 1091-1099.

218. Hunt D. A. A general principle in dynamic response of fluid-structure interaction // Trans. ASME. 1976. - Vol. E43, no. 4. - Pp. 697-698.

219. Kikuchi N., Oden J. T. Contact Problem in Elasticity: A study of variational inequalities and finite element methods. — CSIAM Studies in Appl. Math., 1988. Vol. 8. - 495 pp.

220. Mann-Nachbar P. The interaction of an acoustic wave and an elastic spherical shell // Quart. Appl. Math. — 1957. — Vol. 15, no. 1. — Pp. 8393.

221. Maple 9 Introductory Programming Guide / M. B. Monagan, K. 0. Ged-des, K. M. Heal, etc. USA: Maplesoft, 2003.

222. Mindlin R. D., Bleich H. H. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse step shock wave // J. Appl. Mech. — 1953. — Vol. 20, no. 2. — Pp. 189-195.

223. MSC/Nastran for Windows. Reference Manual.— The MacNeal -Schwendler Corporation, 2000. — 782 pp.

224. Mukhopadhyay J. Radial vibration of an inhomogeneous spherical shell of aelotropic material with variable density // Rev. roum. sci. techn. Ser. mec. appl. 1986. - Vol. 31, no. 1. - Pp. 71-75.

225. Nath B. Dynamics of structure-fluid sysems // Adv. Hydrosci.— Vol. 9. New York-London: 1973. - Pp. 85-118.

226. The non-stationary contact problems for deformable strikers and halfspace / G. Gorshkov, A., V. Fedotenkov, G., L. Medvedskiy, A., V. Tar-lakovsky, D. // EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies». M.: HnM PAH, 2002. - P. 30.

227. Papadopoulos V. M. Diffraction and refraction by a transparent wedge // Appl. Sci. Res. 1963. - Vol. B9, no. 9,- Pp. 431-443.

228. Payton R. G. Transient interaction of an acoustic wave with a circular cylindrical elastic shell // J. Acoust. Soc. Amer. — 1960. — Vol. 32, no. 6. Pp. 722-729.

229. Pekau O. A., Symal P. K., Batta V. Time domain boundary element analysis of two-dimensional elasto-dynamic foundation problems // Comp. and Struct. 1988.- Vol. 30, no. 1-2,- Pp. 289-296.

230. Peralta L. A., Carrier G. F., Mow C. C. An approximate procedure for the solution of a class of transieent-wave diffraction problems // Trans ASME 1966. 1966. - Vol. E33, no. 1. - Pp. 168-172.

231. Peralta L. A., Raynor S. Initial response of a fluid-filled elastic, circular, cylindrical shell to a shock wave in acoustic medium // J. Acoust Soc Amer. 1964. - Vol. 36, no. 3. - Pp. 476-488.

232. Reismann H. Response of a cylindrical shell to an inclined, moving pressure discontinuity (shock wave) // J. Sound and Vibr. — 1968. — Vol. 8, no. 2. Pp. 240-255.

233. Robinson A. R., Thompson J. C. Transient stresses in an elastic halfspace resulting from the frictionless indetation of a rigid wedge shaped die // Z. angew. Math, und Meek — 1974, — Vol. 54, no. 3, — Pp. 139144.

234. Ruger A. P-wave reflection coefficients for transversely isotropic models with vertical and horizontal axis of symmetry // Geophysics. — 1997. —1. Vol. 62,- Pp. 713-722.

235. Russell J. E., Hermann G. A. A modified cylindrical wave approximation // Trans. ASME. 1968. - Vol. E35, no. 4. - Pp. 819-882.

236. Rvachev V. L., Sheiko T. I. R-functions in boundary value problems in mechanics // AMR. 1995. - Vol. 48, no. 4. - Pp. 151-188.

237. Sasadhar D. Dynamic vibrations and stresses in a circular annulus of non-isotropic elastic material // Pure and Appl. Geophus. — 1972. — Vol. 93, no. 1.- Pp. 68-72.

238. Sette W. Pressure produced on a nonyielding cylinder by a steppulse. — Washington, Catholic Univ: America Press, 1951.

239. Shaw R. P. Retarded potential approach to the scattering of elastic pulses by rigid oibstacles of arbitrary shape //J. Acoust, iSoc. Amer. — 1968. Vol. 44, no. 3. - Pp. 745-748.

240. Singh B., Jain A. K. Hydrodynamic pressures generated during earthquakes on structures surrounded by water //J. Inst. Eng. (India) Civ. Eng. Div. 1966. - Vol. 47, no. 1-3, parts 1-2. - Pp. 5-22.

241. Skalak R., Friedman M. B. Reflection of an lacoustic step wave from anelastic cylinder // J. Appl. Mech. — 1958. — Vol. 25, no. 1. — Pp. 103108.

242. Slepyan L. I., Sorokin S. V. Analysis of structural-acoustic coupling problems by a two-level boundary integral method, pt 1. a general formulation and test problems //J. Sound and Vibr. — 1995. — Vol. 184, no. 2.-Pp. 195-211.

243. Stradter J. Т., Weiss R. 0. Analysis of contact through finite element gaps // Computers and Structures. — 1979. — Vol. 10. — Pp. 867-873.

244. Thomas J. Mineral physics and crystallography: a handbook of physical constants. — Florida: American Geophysical Union, 1995. — 357 pp.

245. Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. — 1987. — Vol. 51.- Pp. 1954-1966.

246. Thomsen L. Seismic anisotropy // Geophysics.— 2001.— Vol. 66.— Pp. 40-41.

247. Transient waves in a functionally graded cylinder / X. Han, R. Liu, G., C. Xi, Z., Y. Lam, К. // International Journal of Solids and Structures. 2001. - Vol. 38. - Pp. 3021-3037.

248. Wagner M. Hybride randelementmethode in der akustik und- zur struktur-fluid-interaktion // Ber. Inst. A Mech. — 2000.— no. 4.— Pp. 1-182.

249. Yang J., Komvopoulos K. Impact of a rigid sphere on anelastic homogeneous half-space // Trans. ASME.J. Tribol. 2005. - Vol. 127, no. 2. -Pp. 325-330.

250. Yue D. K. P., Chen H. S., Мег С. С. A hybrid element method for diffraction of water waves by three-dimensional bodies // Int. J. Num. -Meth. Eng. 1978. - Vol. 12, no. 2. - Pp. 245-266.

251. Zhong Z.-H., Mackerle J. Static contact problems, a review // Eng. Сотр.- 1992,- Vol. 9, no. 1.