Плоские нестационарные контактные задачи для упруго-пористых сред

Нгуен Нгок Хоа

Плоские нестационарные контактные задачи для упруго-пористых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Нгуен Нгок Хоа АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Плоские нестационарные контактные задачи для упруго-пористых сред»

Автореферат диссертации на тему "Плоские нестационарные контактные задачи для упруго-пористых сред"

На правах рукописи

НГУЕН НГОК ХОА

ПЛОСКИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГО-ПОРИСТЫХ СРЕД

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Москва-2012

005053796

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Тарлаковский Дмитрий Валентинович

Официальные оппоненты: Кузнецов Евгений Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)", профессор. Малашкин Анатолий Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент, Высшая школа экономики (национальный исследовательский университет), доцент. Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского (НИИ механики)

Защита состоится «09» ноября 2012 г. в 1530 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), по адресу: 125993, г.Москва, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

Автореферат разослан «08» октября 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета —--Г.В.Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время наиболее полно исследованными являются нестационарные контактные задачи для упругих однородных сред. При этом практически отсутствуют публикации по подобным задачам для насыщенных пористых сред, которые исследуются в диссертационной работе. При этом используется модель среды, состоящей из двух фаз с несовершенными связями - деформируемый скелет и сжимаемая жидкость (модель Био). Этот вариант среды описывает процессы во многих встречающихся в природе горных породах. Таким образом, тема диссертации актуальна не только с фундаментальной, но с практической точки зрения.

Цель работы заключается в постановке и аналитическом исследовании новых задач о действии нестационарной поверхностной нагрузки на упруго-пористую полуплоскость, движение которой описывается моделью Био, в том числе в построении соответствующих нестационарных поверхностных функций влияния.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- получены решения новых одно- и двумерных задач о нестационарных поверхностных функциях влияния для упруго-пористой полуплоскости;

- построено интегральное представление с ядрами в виде функций влияния решений задач о действии произвольных нестационарных поверхностных возмущений на упруго-пористую полуплоскость.

Практическое значение работы заключается в построении точных аналитических решений задач о распространении нестационарных возмущений в полуплоскости, заполненной упруго-пористой средой. Эти решения обеспечивают возможность исследования на современном уровне проблемы приземления различных аппаратов авиационной и ракетно-космической техники, других вопросов, связанных с объектами новой техники, а также могут быть использованы для оценки точности приближенных и численных решений.

Достоверность и обоснованность научных положений и получетшх результатов подтверждается тем, что все они получены аналитическим путем с

использованием строгих математических методов, а так же тем, что в частных случаях они согласуются с известными аналитическими решениями, построенных другими авторами.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на

- на семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (Москва, 2010-2012г.),

- на XVI, XVII и XVIII Международных симпозиумах "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. (Москва, 2010,2011 и 2012 г.г.),

- на Международной конференции «Математические проблемы механики неоднородных структур» (Украина, Львов, 2010 г.),

- на Всероссийской конференции "Механика наноструктурированных материалов и систем", 13-15 декабря 2011 г., Москва,

- на Московской молодежной научно-практической конференции "Инновации в авиации и космонавтике - 2012". 17-20 апреля 2012 года. Москва.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 96 страниц. Список используемой литературы включает 100 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.

В первой главе дан аналитический обзор современных научных исследований, связанных с темой диссертации. Указано, что вопросы действия нестационарной поверхностной нагрузки на упруго-пористые тела, а также нестационарного взаимодействия деформируемых тел с упруго-пористой и вязкоупру-гой средами изложены в работах Артикова Т.У, Алешкевича В.А., Басниева К.С., Белова A.A., Бреховского Л.М., Галиева Ш.У., Гафурбаева С.М., Гомилко A.M., Горбунова А.Т., Горшкова А.Г., Деденко Л.Г., Егорова А.Г., Зотова Г.А.,

Караваева В.Л., Карелина КС., Костсрина A.B., Кудратова О., Игумнова Л.А., Ильюшина A.A., Ляхова Г. М., Наримова Ш„ Николаевского В.Н., Саатова Я.У., Савицкого O.A., Сагомоняна А.Я., Скворцова Э.В., Трофнмчука А.Н. и др. Обшир1гую библиографию по этому вопросу можно найти в обзорных статьях Городецкой Н.С., Соболя Т.В. и Зубаревой Л.П., Вестяка A.B., Горшкова А.Г. и Тарлаковского Д.В., Губайдуллина A.A. и Болдыревой О.Ю., Егорова А.Г. и Костерина A.B., Масликовой Т.И. и Поленова B.C., Liu Ying, Liu Kaixin и Li Rong, Nakoryakov V.E., Kuznetsov V.V. и Dontsov V. E„ Philippacopoulos A. J„ Van der Grinten Jos G. M., Van Dongen Marinus E. H. и Van der Kogel Hans.

Здесь же приведены основные соотношения модели Био для упруго-пористой среды, насыщенной жидкостью. Уравнения пространственного движения такой среды в векторной форме без учета диссипации и при отсутствии массовых сил имеют следующий вид:

А^Аи + (Л + jV)grad divu + Ograd divU = p — + p —

dt2 H'2 dt2 '

6graddivu + tfgraddivU = p„ —+ p ^

12 dt2 dt2 '

где u и U - векторы смещения скелета и жидкости соответственно; t - время; А и N - упругие постоянные скелета среды; R - давление, которое должно быть приложено к жидкости, для того чтобы заполнить пористый объем (при этом общий объем остается неизменным); Q - вбличина сцепления между твердыми и жидкими компонентами. р„, р22 - эффективные массы компонент при их относительном движении; р12 - коэффициент динамической связи между твёрдыми и жидкими компонентами; Д - оператор Лапласа.

Для плоских задач движение среды описывается уравнениями относительно скалярных потенциалов tpt(x,z,z), <p2(x,z,z) и ненулевой компоненты \|/(x,z,t) векторного потенциала перемещений (Oxz - прямоугольная декартова система координат; т - безразмерное время; точки обозначают производные по z' YpY2>Y2 - безразмерные параметры, обратные скоростям распространения волн):

АФ»=У*Ф* (£ = 1,2),Лу = у3>, А = _ + _.. (2)

ох дг

Тангенциальные и и С/, а также нормальные и IV перемещения скелета и

жидкости в порах связаны с потенциалами следующими соотношениями:

д(ср + ф2) дц1 9(ф,+ф2) 5«/

и, — и — ;--—,и}=к= к ' 21 +~,и2=0,

дх дг дг дх

^ - и _ +М,) Рзду э и = т=а(Р,Ф. + ), > и = 0;

<5х & 3 & дх ' 1

Кинематические и физические соотношения для такой среды записываются так (е. и в.. - Компоненты тензоров деформаций в скелете и жидкости; ст. и сг

- компоненты тензора напряжений в скелете и напряжения в жидкости): ди 1 (ди 5иЛ дм

еп = еп = Н--1--> еи = —> е„ - е-п = =0,

11 сЬс 11 2^сЬ дх) 33 & 12 22 23

(4)

sc/ lfat/ аил dw

= = 21 + = е'2 = Е22 = =0;

°И =2П,еи +ст22,ст,2 = а23 = 0, <т„ = 2г|,е|3,

а22 = Чге + Лзе. стзз = 2г1,езз + ^ = Лзе +

Здесь и далее использованы безразмерные величины

Л, = N/H, л2 = Л/Н, л, = ß/Я, л4 = R/H,H = P + 2Q + R. В момент времени т = 0 возмущения отсутствуют:

ф*и=уи=Ф*и=Со=° (*=1>2)- (6)

Кроме того, считаем, что компоненты напряженно-деформированного состояния ограничены.

В рамках плоской задачи рассматривается полуплоскость z>0, на границе которой задан один из видов поверхностных возмущений:

- первый тип (кинематические возмущения)

«L = «о М, 4«=WL=wo М; (7)

- второй тип (силовые возмущения)

anLo=^M> a33L (8)

- третий тип (касательные кинематические и нормальные силовые возмущения)

»и="оМ> Ы-оЧ^ЭоИМЧ^ММ; (9)

- четвертый тип (касательные силовые и нормальные кинематические возмущения)

Ч^и^оМ- (Ю)

Для решения задач (2)-(6) с граничными условиями (7), или (8), или (9), или (10) используются поверхностные функциями влияния, под которыми понимаются ограниченные решения

Г^ = «, Г^ = 1% = и. Г" = IV, Г" = аы {к,1 = 1,3), Г« «ст (11) с граничными условиями с номером их типа у, в которых правые части определяются значением индекса а : при а = 1 касательная составляющая (ии или Ц) равна дельта-функции Дирака 8(х,т), нормальная составляющая (и>0 или Р3) нулевая, а при а = 2, наоборот, касательная составляющая нулевая, а нормальная составляющая есть дельта-функция Дирака.

Тогда решения задач с граничными условиями (7), (8), (9) или (10) могут быть записаны в интегральном виде. Для краткости здесь приведем их в качестве примера только для первого варианта (звездочки соответствуют сверткам): и (х, г, т) = Г^, (х, 2, т) * *иа (х, т) + Г« (х, г, т) * *и>0 (х, т), Цх,г,т) = г£> (х,г,х)**щ (х,т) + Г« (х.г.т) * *м>0 (х,т), и(х,г,т) = Г« (х,г,т) * *и0 (х,х) + Г« (х,г,х)**щ (х,х),

аы(х,г,т) = Г« (х,2,т)**и0(х,х) + Г« (х,г,т)**и>0(х,т), а(х,г,т) = Г« (х,г,т) * *щ (х,т) + Г« (х,2,х) * *>у0(х,т);

При использовании функций влияния на поверхности полуплоскости используются следующие обозначения:

ГМ| =рМ ГМ| =р(;) Г(Л| =рЫ Г(Л I _-(,) Гш

В второй главе рассматриваются одномерные варианты поставленных в главе 1 задач, когда искомые функции зависят только от координаты г. При этом формулы (3) и (5) приобретают следующий вид (штрихами обозначены производные по г):

XV= ф; 4 ф'2, IV = р,ф; + р2ф', и = и = 0; (14)

ст33 = 2Ti.fr' + ста, о,3 3 0, а„ = а22 = лУ + т),1Г, а = + т]АЖ'. (15) При этом из четырех типов граничных условий возможными являются только два типа - первый и второй. Они так же, как и соответствующие интегральные представления упрощаются (здесь приводим их только для первого типа условий):

н>(г,т) = I® (*,т) * (X), IVх) = Г<;> (2,х) * и>0(т), °зз М = г«2 (г,т) * (т), а(2,х) = Г^ (г,х) * ^(т); Функции >у = 2, IV - , а33 = Г^2 и а = Г^! в соответствии с их определением должны удовлетворять граничным условиям

Для определения этих функций используется преобразование Лапласа по времени (индекс «£» указывает на изображение; - параметр преобразования). В результате приходим к следующим изображениям перемещений и напряжений:

^ = ¿У'- + ^ = + й0>

Здесь (Р, и р2 - дополнительные безразмерные физические постоянные среды)

= Л2 + (л3 + 2Л, )Р,. = Лз + (Лз + 2Л, )Р;. Ъ = Лз + Л4Р.Л* = Лз + Л4р2• Оригиналы этих функций находятся с использованием свойств преобразования Лапласа:

(21) (22)

№ = Г!!г М = ^(т - у,*) + а1'>8(т - у2г),

^ = Г« = 4]5(т - у,.) + «О» 5(х - у2г);

В работе приведены примеры расчетов для граничных условий первого и второго типов. Например, в первом случае рассмотрены возмущения вида ио (т) = т+ • Соответствующие результаты имеют следующий вид:

= (т - у,г)+ + (т - у2г,

°зз т) = (т - у,*) + - Ъг),

<*М = - у,2) + ^4а«Я(т - у2г).

На рис. 1 - 4 приведены результаты расчетов для полупространства, заполненного песчаником, поры которого насыщены керосином, со следующими физическими характеристиками:

А = 0,4026-Ю4 МПа,ЛГ = 0,2493 103 МПа,Я = 0,672-Ю4 МПа,£ = 0,295-104 МПа,

р„= 0,6087.10~3 кг/м3, р22 = 0,2159.10"3 кг/м3, р]2 =-0,19.10"5 кг/м3, которым соответствуют безразмерные параметры (Р0 - пористость среды)

р0 = 0,3;Р, = 0,8757; р2 = -10,3287; р3 = -р12/р22 = 0,0088;

у, = 1;у2= 2,1612; у3 = 1,963; г], = 0,055099; т]2 = 0,889802; Лз = 0,651991; ц4 = 1,485214.

(23)

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

____ \

..о**"" \

\ ч.

\ \

\ \ \

0.1 0.2 0.3 0.4

Рис.1

П' 0.5

0.3

0.2

0.1

0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 2

а.

-0.1 -0.2-0.3 --0.4 --0 5 ■

-0.2-0.4 --0.6 -

0.1

0.2

0.3

Рис.3

0.1 0.2

0.3

Рис. 4

Сплошные кривые построены при г = 0,15, штрихпунктирные - при г =0,3, а пунктирные - при г = 0,45. Отметим, что изломы на трафиках перемещений и разрывы первого рода на графиках напряжений имеют место в точках |х| = г/ук (к = 1,2), определяющих фронты волн в скелете и жидкости.

В третьей главе для решения двумерной задачи применяется к соотношениям (2), (3) и (5) с учетом (6) интегральные преобразования Фурье по координате х и Лапласа по времени т (индекс « Р » указывает на изображения по Фурье; д - параметр этого преобразования). В результате найдены изображения всех указанных выше поверхностных функций влияния. Например, для функций влияния второй типа при а = 2 они имеют следующий вид:

7=1 3

Г " (24)

№ 2

<т

_ -

Здесь

■ II ,чР„ «AM

s R22[q ,s J

w, = -,

« r n} =2 iq

*<(?V)

2?2

K{q2x)

AfcVMgV) i P„*2(gV )

M?2-*2) + s2 P.fcV )./.(gV) | ß.^feV )'

R2a(q2,s2) + s2

где

= 2igrii

(ь')Ь-М'^

R2J{q2,s2) +

c-^-H)'^

s К1,г\Я 's )

(26)

(q,z,s) = kj (q,s) = jg + y)s ( j = 1,2,3), Re^ > O,

7?.

»0 (g, J) = (1 - P„K (q,s)~ & (q,s)k4 (q,s) + 4^,*, («7,.ї)*г (?>5)], 4 (g,s) = fí (?,-?) - qQ¿ (q,s),j0 (q,s) = kl(q,s)~ ф2 (q,s),

a (?,*) = 2ЛіР,9 + ft M = 2Л,М + №,ßn = -Й-.ç = Ф4-

5 Ç4Y2

На границе полуплоскости 2 = 0 соответствующие функции влияния записываются так:

"То=гГ=М, и^=гГ=ЕР,ы,

(27)

г-1

В этой же главе выполнен предельный переход к упругой среде. Показано, что результат с точностью до обозначений совпадает с известными решениями.

В четвертой главе изложен алгоритм построения оригиналов поверхностных функций влияния на примере , Г^, Г^ и Г^, Г^,

а также приведены примеры расчетов напряженно-деформированного

состояния полуплоскости для заданных поверхностных нагрузок.

Обращение преобразований Лапласа и Фурье для некоторых составляющих изображений проведено последовательным построением оригиналов этих преобразований. Например,

к^У)

= І! 71

тг 4 /+

Однако для других функций такой подход затруднителен. Для них использован алгоритм совместного обращения преобразования Фурье-Лапласа, основанный на использовании аналитического представления изображений. В результате, например, для Гч,'"', Г^, , Гполучен следующий результат:

(*,т) = ит (х,х)Я(х - у, \х\) + [С/Г(2) (х,т) - ит (х,х)]я(х - у3 |х|) +

4?И3)(х,х)-Г(2)(х,х)]я(х-у2|х|). Здесь (приведены только функции, входящие в первое из этих равеств)

пи

(1)

(*-г) = -РпТГ7 +

0+Ф

+2х

2х2 £<"(х,х)

у2х - 2х2

2х

в?>(х,г)

еГМ

_4 \

•2л,Ро

пи

Р)

(х,х) = -р„-\ +

(1 + д)1

2*2

к1х2 + к2х2+4р0г1,— ^й("(х,х) + у2х2е('>(х,х)

-чро4а(2)М+

2л,Р„т3

-^- + (2у?+у2)

7СС 4 '

к,х2+к2х2+4роЛ1^

+ 2л,Р0

ег (*. =+&0 м]2 + (^)Т,

й2) м=[а(2) (х, х)+&0 (х, х)]2+(х, х)]2, 13

0(1)/ ч

*'Ц1с>4Г2х ь -1

£<'> (х,т) = -4ч&уУк2 (-х2,х2)к3 (~х2,х2),

е™ {х, т) = 4т\&у\х2к, (х2,-х2 )къ (-т2,х2), е® (х,х) = А^^хЬщшк, (-х2,*2 )£3 (т2 ,-х2), &0 М = (уУ - 2х2 (^у2х2 - 2Л,т2) - ы [Ых2 - 2л,х2)]. е!" (х,т) = №,х), 0?> (х,т) = 0£> (х,т);

а0) (Х.Г.Т)=0) м+е40 М].

у2х2-2х2

у3х 2

3(х2,-х2)*2(-х2,х2)

у2х2 - 2х2

[е«(х,т) + а0(х,т)];

Уз д:2 - 2т2

На рис. 5 — 8 приведены рассчитанные по формулам (28) графики зависимостей функций и = Г«, IV = , и = Гя IV = Г(Д от координаты х при различных значения времени: синие сплошные кривые соответствуют т = 0,15, зелёные штрихпунктирные - т = 0,3, а красные пунктирные - т - 0,45. Графики построены только в правой полуплоскости, поскольку первые и третья функции нечетные, а две остальные - четные.

100 50

-50 -100

1 1

1 р—

100 50 0 -50 -100

0.2 0.3

Рис. 5

! 0.3

Рис. 6

0.4

50 0 -50 -100

----

Г -Й— л-------

0 0.1 0.2 0.3 0.4 Рис. 7

IV 100

50 0 -50 -100

в — - *

р 1 - ч 1

1 » 1 1 8 1

/ «V 1 1

¡1 л

0.1

0.4

0.2 0.3 Рис. 8В качестве примеров действия на полуплоскость нестационарных поверхностных нагрузок рассмотрены варианты задания кинематических и силовых условий. Например, во втором варианте полагается, что правые части в граничных условиях (8) имеют вид: ^(х,т) = 0, Р3(х,т) = 5(х)Я(т). При этом

согласно формулам (12), перемещения на границе полуплоскости определяются так:

к(х,0,т) = /Г Р) и>(х,0, т) = } Г И (х,г) А,

о о

и(х,г,т) = /Г^ (х,г)Л, IV(х,0,т) = (х,/)Л.

(29)

Результаты расчетов по этим формулам представлены на рис. 9-12. Кривые на них соответствуют указанным выше временам.

-60 -80 -100 -120 -140

/ /

! / /

| /

0.1 0.2 0.3 0.4 *

! 1

0.1 0.2

0.3 0.1

Рис. 9

Рис. 10

О 0.1 0.2 0.3 0.4 * 0 0.1 0.2 0.3 0.4 х

Рис.11 Рис.12

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Дана математическая постановка задач для нестационарных поверхностных функций влияния для полуплоскости, заполненной насыщенной жидкостью упруго-пористой средой.

2. Выделены четыре основных типа поверхностных функций влияния, соответствующие различным возможным граничным условиям на поверхности полуплоскости (кинематическим, силовым и смешанным).

3. С помощью преобразования Лапласа получены точные решения новых одномерных задач о нестационарных поверхностных функциях влияния для упруго-пористой полуплоскости.

4. С помощью преобразований Лапласа и Фурье получены решения новых двумерных задач о нестационарных поверхностных функциях влияния для упруго-пористой полуплоскости. Для определения оригиналов использован алгоритм совместного обращения преобразований.

5. Построено интегральное представление с ядрами в виде функций влияния решений задач о действии произвольных нестационарных поверхностных возмущений на упруго-пористую полуплоскость. Приведены примеры для различных возмущений.

6. Проведен предельный переход в решениях для двумерных задач к упругой

полуплоскости. Показано совпадение с известными результатами.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых научных изданиях и журналах:

1. Нгуен Нгок Хоа, 'Гарлаковский Д.В. Распространение нестационарных поверхностных кинематических возмущений в упруго-пористой полуплоскости // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011, Том 17, № 4. -С. 567-576.

2. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Нестационарные поверхностные функции влияния для упруго-пористой полуплоскости // Электронный журнал "Труды МАИ", 2012, № 53, www.mi.ru/science/trudy/.

В других научных изданиях и журналах:

1. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных одномерных волн от границы упруго-пористого полупространства // Материалы XVI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.2. - Чебоксары: ГУП "Чувашия", 2010. - С.76.

2. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных возмущений от границы упруго-пористого полуплоскости // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача HAH Украіни, 2010. - С. 445 - 447.

3. Нгуен ІІгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распрастранение нестационарных возмущений в упруго-пористой полуплоскости // Материалы XVII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.1. - М.: ООО "ТР-принт", 2011.-С. 47.

4. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Упруго-пористая полуплоскость под действием нестационарных поверхностных возмущений // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Механика наноструктурированных материалов и

систем", 13-15 декабря 2011 г., Москва. - М.: Альянстрансатом, 2011 - С. 95103.

5. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Действие нестационарной поверхностной нагрузки на упруго-пористую полуплоскость // Материалы XVIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.2. - М.: ООО "ТР-принт", 2012.-С. 54-55.

6. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных возмущений в полуплоскости, заполненной упруго-пористой средой // Сборник тезисов докладов Московской молодежной научно-прак тической конференции "Инновации в авиации и космонавтике - 2012". 17-20 апреля 2012 года. - М.: ООО «Принт-салон» 2012 - С. 279-280.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ отOZ.ÍO 2012. Г. Тиражно

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Нгуен Нгок Хоа

Оглавление.

Введение.

Глава 1 Постановка плоских нестационарных задач для упруго-пористого полупространства.

1.1. Современное состояние исследований.

1.2. Уравнения плоского движения упруго-пористой среды.

1.3. Постановка задач и представление решений для полуплоскости.

Глава 2 Распространение одномерных нестационарных возмущений от границы упруго-пористой полуплоскости.

2.1. Постановка задач и представление решений одномерных начально-краевых задач.

2.2. Функции влияния первого типа.

2.3. Функции влияния второго типа.

2.4. Примеры расчетов.

Глава 3 Поверхностные функции влияния для упруго-пористой полуплоскости в пространстве изображений.

3.1. Общее решение в пространстве преобразований Лапласа и Фурье

3.2. Изображение поверхностных функций влияния первого типа (а = 1).

3.3. Изображение поверхностных функций влияния первого типа (а = 2).

3.4. Изображения поверхностных функций влияния второго типа.

3.5. Изображения поверхностных функций влияния третьего типа (а = 1).

3.6. Изображения поверхностных функций влияния третьего типа (а = 2).

3.7. Предельный переход к упругой среде.

Глава 4 Распространение двумерных нестационарных возмущений от границы упруго-пористой полуплоскости.

4.1. Алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье.

4.2. Оригиналы поверхностных функций влияния второго типа.

4.3. Оригиналы поверхностных функций влияния первого типа.

4.4. Примеры расчетов функций влияния.

4.5. Примеры действия нестационарной поверхностной нагрузки на полуплоскость.

Введение диссертация по механике, на тему "Плоские нестационарные контактные задачи для упруго-пористых сред"

Задачи, связанные с исследованием нестационарных волн в упруго-пористых средах с деформируемым скелетом, привлекают физиков, математиков и механиков своей современностью, актуальностью, сложностью и многообразием явлений, связанных с различными механическими и физическими процессами.

Все встречающиеся в природе по характеру распространения в них упругих волн можно грубо разделить на идеально упругие и дифференциально упругие. Для последних вводится понятие скелета, под которым понимается твердая фаза без заполнителя, сохраняющая исходную структуру и объём. Свойства его определяются структурой и составом твердой фазы. Дифференциально упругие среды характеризуются различным сочетанием твердой и жидкой фаз. Зерна твердой фазы могут иметь разную степень связанности между собой, произвольную форму и размеры. Жидкие фазы заполняют поровое пространство между зернами твердой фазы. Простейшие модели дифференциально упругих сред являются двухфазными и трехфазными. Двухфазные среды могут состоять из твердой и жидкой фаз, из твердой и газообразной фаз, а также из двух различных твердых или жидких фаз. Типичная трехфазная среда состоит из твердой, жидкой и газообразной фаз.

Развитие современных отраслей машиностроения и строительства требуют точного знания напряженно-деформированного состояния конструкций при различного рода динамических воздействиях. При проектировании изделий и сооружений в различных областях новой техники, а также в связи с расчетами на сейсмостойкость возникает необходимость учитывать влияние среды, окружающей конструкцию и тела различной конфигурации.

Вопросы действия нестационарной поверхностной нагрузки на упруго-пористые тела, а также нестационарного взаимодействия деформируемых тел с упруго-пористой и вязко-упругой средами изложены в монографиях Артикова

Т.У. [3], Алешкевича В.А., Деденко JI. Г. и Караваева В. А. [2], Белова A.A., Игумнова Л.А. и Карелина И.С. [7], Бреховского JI.M. [12], Гафурбаева С.М., Наримова Ш. [15, 16], Галиева Ш. У. [14], Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В. [22], Горшкова А.Г., Григолюка Э. И. [24], Егорова А.Г., Костерина A.B. и Скворцова Э.В. [32], Ильюшина A.A. [34], Игумнова Л.А., Карелина И. С. [35], Ляхова Г. М. [46], Наримова Ш.Н. [52], Николаевского В.Н., Басниева К.С, Горбунова А.Т. и Зотова Г.А. [63], Саатова Я.У. [64], Саатова Я.У., Наримова Ш. и Кудратова О. [65, 66], Сагомоняна А.Я. [67], Трофимчука А. Н., Гомилко А. М. и Савицкого О. А. [74] и др. Обширную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорных статьях Городецкой Н.С. [18], Городецкой Н.С., Соболя Т.В., Зубаревой Л.П. [19], А.В.Вестяка, А.Г. Горшкова и Д.В.Тарлаковского [20, 22], Губайдуллина A.A. [26], Губайдуллина A.A., Болдыревой О.Ю. [27, 28], Егорова А.Г., Костерина A.B. [31], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [47, 48], Liu Ying, Liu Kaixin, Li Rong [89], Nakoryakov V.E., Kuznetsov V.V., Dontsov V.E. [91], Philippacopoulos A.J. [92, 93], Van der Grinten Jos G.M., Van Dongen Marinus E.H., Van der Kogel Hans [99], Van der Kogel H. [100].

К настоящему времени, несмотря на большие успехи, достигнутые в этой области, остаются нерешенными еще очень много проблем. Особенно мало изученными являются задачи о нестационарном взаимодействии деформируемых тел с грунтами, упругими и многокомпонентными средами. В связи со значительными математическими трудностями в данной области имеется сравнительно небольшое число аналитических решений относящихся, в основном, к областям канонической формы.

Одной из неклассических моделей сплошных сред является упруго-пористая среда, для которой часто используется модель Био. В имеющихся к настоящему времени публикациях рассмотрены различные нестационарные задачи для этой модели. В том числе построены изображения по Лапласу и Фурье поверхностных функций влияния для полупространства. Однако явный вид оригиналов не приводится. Подобные среды рассматриваются и в ряде других работ.

Актуальность темы исследования. В настоящее время наиболее полно исследованными являются нестационарные контактные задачи для упругих однородных сред. При этом практически отсутствуют публикации по подобным задачам для насыщенных пористых сред, которые исследуются в диссертационной работе. Используется модель среды, состоящей из двух фаз с несовершенными связями - деформируемый скелет и сжимаемая жидкость (модель Био). Это вариант среды описывает процессы во многих встречающихся в природе горных породах. Таким образом, тема диссертации актуальна не только с фундаментальной, но с практической точки зрения.

Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов подтверждается тем, что все они получены аналитическим путем с использованием строгих математических методов, а так же тем, что в частных случаях они согласуются с известными аналитическими решениями, полученными другими авторами.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

Практическая ценность работы заключается в построении точных аналитических решений задач о распространении нестационарных возмущений в полуплоскости, заполненной упруго-пористой средой. Эти решения могут 6 быть использованы для оценки точности приближенных и численных решений, а также в различных областях новой техники, в том числе при исследовании проблемы приземления различных аппаратов авиационной и ракетно-космической техники.

Настоящая работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы.

В первой главе дан обзор работ по динамике упруго-пористых сред, насыщенных жидкостью. Приведены основные соотношения для этих сред и уравнения их движения. Дана математическая формулировка нестационарных начально-краевых задач для упруго-пористой полуплоскости. Рассмотрены все возможные граничные условия на границе полуплоскости. На основании этого составлена классификация нестационарных поверхностных функций влияния для полуплоскости.

Во второй главе получены точные решения одномерных начально-краевых задач для упруго-пористой полуплоскости. Найдены изображения искомых функций в пространстве преобразования Лапласа для двух типов граничных условий. Получены оригиналы изображений перемещений и напряжений. Приведены примеров расчетов, результаты которых продемонстрированы в виде графиков.

Третья глава посвящена определению изображений искомых функций влияния в пространстве преобразований Лапласа-Фурье для двумерных начально-краевых задач. Построены изображения поверхностных функций влияния для двух типов граничных условий. Рассмотрен предельный переход к упругой среде.

В четвертой главе рассмотрены задачи о распространении возмущения от границы упруго-пористой полуплоскости. Изложен метод совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье, который применяется для аналитического построения оригиналов. С помощью этого метода найдены оригиналы изображений для перемещений и напряжений. Рассмотрены примеры расчетов поверхностных функций влияния и напряженно7 деформированного состояния в задаче о действии нестационарной поверхностной нагрузки на полуплоскость.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы обсуждались

- на семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (Москва, 20102012г.),

Они опубликованы в работах [54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61].

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты диссертационной работы следующие.

6. Проведен предельный переход в решениях для двумерных задач к упругой полуплоскости. Показано совпадение с известными результатами.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Нгуен Нгок Хоа, Москва

1. Абдуллаев С. А., Соатов А. С. Распространение упругих волн, вызванных движущейся нагрузкой, в изотропном упругом пористом полупространстве, насыщенном жидкостью // Изв. АН УзССР. Сер. техн. н. -1986, № 6. С. 64-67.

2. Алешкевич В. А., Деденко JI. Г., Караваев В. А. Механика сплошных сред. М. : МГУ, 1998. - 91 с.

3. Артиков Т.У. Волны в слоистых пористых средах. Ташкент: Изд-во "Фан" УзССР, 1987. - 268 с.

4. Артиков Т. У., Соатов А., Салиев А. А. О распространении волн в слоистых пористых средах, насыщенных вязкой жидкостью. ВИНИТИ, 1986, № 7772-В. Деп. -20 с.

5. Артиков Т. У., Хужаев А. Энергетический анализ волновых движений в задаче Лэмба для пористых сред // Изв. АН УзССР. Сер. техн. н. -1985, № 3. С. 28-33.

6. Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементный анализ динамики трехмерных пористо-упругих тел //15 Нижегородская сессия молодых ученых математические науки. - Н. Новгород, 2010. - С. 14.

7. Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С, Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010, № 40, www.mai.ru/science/trudy/.

8. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Механика. -1963, № 6. С. 103-134.

9. Бордаков Г.А., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. Отражение нестационарных низкочастотных волн в сжимаемой жидкости от пористой среды при нормальном падении // Вулканология и сейсмология. -2000, Т. 22, №1.-с. 72-76.

10. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. -343 с.

11. Галиев Ш. У. Динамика взаимодействие элементов конструкций с волной давления в жидкости. Киев: Наук, думка, 1977. - 172 с.

12. Гафурбаева С. М., Наримов Ш. Направленное сосредоточенное воздействие в насыщенных пористых средах. Ташк. политехи, ин-т., 1990. - 9 с. / Деп. в УзНИИНТИ 29.6.90, N 1279-Уз90.

13. Гафурбаева С. М., Наримов Ш. Автомодельные решения одной пространственной задачи теории насыщенных пористых сред. Ташк. хим.-технол. ин-т. Ташкент, 1992. - 12 е./Деп. в УзНИИНТИ 31.03.92, N 1597-Уз92.

14. Городецкая Н. С. Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница. // Акуст. вюн. 2005, Т. 8, № 1-2. - С. 28-41.

15. Городецкая Н. С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах // Акуст. вюн. 2007, Т.- 10, № 2. - С. 43-63.

16. Городецкая Н. С., Соболь Т. В., Зубарева JI. П. Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упрогого и жидкого полупространств // Акуст. в1сн. 2008, Т. 11, № 3. - С. 50-64.

17. Горшков А.Г., Медведский AJL, Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004. - 472 с.

18. Горшков А.Г., Салиев A.A., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных возмущений от сферической полости в упруго-пористой среде // ДАН УзССР 1987, №7.-С. 15-16.

19. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Физматлит, 1995. - 352 с.

20. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

21. Григолюк Э. И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. JL: Судостроение, 1976. - 200 с.

22. Губайдуллин A.A., Болдырева О.Ю. Волны на поверхности раздела насыщенной пористой среды и жидкости // Доклады Академии наук. -2006, Т. 409, № 3. С. 419-421.

23. Губайдуллин А. А., Болдырева О.Ю. Распространение волн вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости // Акуст. ж. 2006, Т. 52, № 2.-С. 201-211.

24. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.

25. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В., Роменский Е. И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва. 1993, № 1. - С. 100-111.

26. Егоров А.Г., Костерин A.B. О движении катка по поверхности насыщенного пористого полупространства // Докл. АН России. 1998, Т. 360, №6.-С. 762-764.

27. Егоров А.Г., Костерин A.B., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990.-102 с.

28. Золотарев П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом // Инженерный журнал. 1964. T. IV. -С. 111-120.

29. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. унта, 1978. - 287 с.

30. Игумнов JI. А., Карелин И. С., Моделирование поверхностных волн на границе пороупругого полупространства // Современные проблемы механики сплошной среды. Азов, 2010. - С. 39.

31. Ильясов Х.Х. Распространение поверхностных волн на свободной границе пористой флюидонасыщенной среды // ЖВММФ 2004, Т. 44, № 12. -С. 2268-2275.

32. Келбалиев Г. И. Математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах,квазиконтинуальными моделями // Теор. основы хим. технол.- 1985, Т. 19, № 2. -С. 199-206.

33. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ 1959, Т. XXIII, № 6. - С. 1115-1123.

34. Костерин A.B., Березинский Д.А. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред // Докл. АН России. 1998, Т. 358, № 3. - С. 343-345.

35. Крылов В. И., Скобля Н. С., Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974.-223 с.

36. Крутин В. И., Марков М. Г., Юматов А. Ю., Рассеяния продольной волны со сферической полости с жидкостью с упругой пористой насыщенной среде // Прикл. мат. и мех. 1984, Т. 48, № 3 - С. 333-336.

37. Кузнецов Д. С., Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. - 423 с.

38. Лоран Ж., Кеттье Л. Поведение пористых консолидированных сред в упругой области // Мех. горн, пород применительно к пробл. разведки и добычи нефти: Пер. с фр. и англ. М., 1994. - С. 249-256.

39. Ляхов Г. М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М.: Наука, 1982. - 286 с.

40. Масликова Т. И., Поленов В. С. Нестационарные упругие волны в пористых материалах // Изв. Инж.-технол. акад. Чуваш, респ. 1999 - С. 125130.

41. Масликова Т. И., Поленов В. С. О нестационарных упругих волнах в пористых материалах // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001, № 6. - С. 103-107.

42. Масликова Т. И., Поленов В. С. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005, № 1. - С. 104-108.

43. Мирошников В. В., Фатьянов А. Г. Численное моделирование волновых полей в пористой среде. // Модель Био Мат. моделирование в геофиз.- Новосибирск, 1989. С. 83-103.

44. Молотков JI. А. Об источниках, действующих на свободной границе пористой среды Био, и об отражении волн на этой границе // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2000. С. 217-23.

45. Наримов Ш.Н. Волновые процессы в насыщенных пористых средах. Ташкент: Мехнат, 1988. - 304 с.

46. Накоряков В. Е., Кузнецов В. В., Донцов В. Е. Волны давления в пористых средах // Пробл. нелинейн. акуст. Симп. IUPAP-IUTAM по нелинейн. акуст. Ч. 1. Новосибирск, 1987. - С. 108-112.

47. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распрастранениенестационарных возмущений в упруго-пористой полуплоскости // Материалы91

48. XVII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.1. -М.: ООО "ТР-принт", 2011. С. 47.

49. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных поверхностных кинематических возмущений в упруго-пористой полуплоскости // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011, Том 17, № 4. - С. 567-576.

50. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Действие нестационарной поверхностной нагрузки на упруго-пористую полуплоскость // Материалы

51. XVIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.2. -М.: ООО "ТР-принт", 2012. С. 54-55.

52. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Нестационарные поверхностные функции влияния для упруго-пористой полуплоскости // Электронный журнал "Труды МАИ", 2012, № 53, \¥\у\¥.та1 .щ/5с1епсе/йпс1у/.

53. Николаевский В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах // Инж. журн. 1963, Т. III, вып. 2.-С. 251-261.

54. Николаевский В.Н., Басниев К.С, Горбунов А.Т., Зотов Г.А.

55. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 335 с.92

56. Саатов Я. У. Плоские задачи механики упруго-пористых сред. -Ташкент: Фан, 1975.-251 с.

57. Саатов Я. У., Наримов Ш., Кудратов О. Действие сосредоточенных сил в бесконечном насыщенном пористом пространстве // Ташк. политехи, ин-т., 1986. 19 с. / Деп. в УзНИИНТИ N 434-Уз 5.3.86.

58. Саатов Я. У., Наримов Ш., Кудратов О. Стационарные поля смещений при действии сосредоточенной подвижной нагрузки движущейся вдоль линии с постоянной сверхзвуковой скоростью // Ташк. политехи, ин-т,1986. 11 с./ Деп. в УзНИИНТИ N 436-Уз 5.3.86.

59. Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд. МГУ, 1985.-416 с.

60. Салиев А. А. Взаимодействие нестационарных волн со сферическими границами раздела в упруго-пористой среде, насыщенной жидкостью. Ташкент 1989. -126 с.

61. Салиев А. А. Движение абсолютно твердого шара в упруго-пористой среде под действием нестационарных волн // Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур», Т. I. Львов,1987. С. 245.

62. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1972. - 251 с.

63. Трофимчук А. Н. Асимптотические решения нестационарных контактных задач для насыщенных жидкостью пористоупругих сред // Смеш. задачи мех. деформируем, тела: 4 Всес. конф., 26-29 сент., 1989: Тез. докл. Ч. 2. -Одесса, 1989.-С. 111.

64. Трофимчук А. Н. Численное моделирование динамического поведения пористоупругой насыщенной жидкостью среды // Доп. Нац. АН Укршни. 1998, № 11. - С. 44-48.

65. Трофимчук А. Н., Гомилко А. М., Савицкий О. А. Динамика пористо-упругих насыщенных жидкостью сред. К.: Наук, думка, 2003. - 230 с.

66. Хорошун JI. П., К теории насыщенных пористых сред // Прикл. мех. 1976, Т. 12, № 12. - С. 35-41.

67. Якубов С. X. Исследование импульсных возмущений в насыщенных пористых средах // Актуал. вопр. теплофиз. и физ. гидрогазодинам.: 4 Всес. конф. мол. исследователей, Новосибирск, 27-29 марта, 1991: Тез. докл. Новосибирск, 1991. - С. 82-83.

68. Якубов С. X Исследование импульсных возмущений в насыщенных пористых средах // Сиб. физ.-техн. ж. 1992, № 5. - С. 151-154.

69. Belyankova Т. I., Kalinchuk V. V. The features of the massive foundation dynamics on the surface of the fluid-saturated porous medium // Waves Saturated Porous Media, Poznan, Aug. 28-31, 1990: Summ. Poznan, 1990. - P. 17.

70. Boer R. de, Ehlers W. A historical review of the formulation of porous media theories // Acta mech. 1988, V. 74, № 1-4. - P. 1-8.

71. Carter J. P., Booker J. R. Analysis of pumping a compressible pore fluid from a saturated elastic half space // Comput. and Geotechn. 1987, V. 4, № 1. -P. 21-42.

72. Diebels S., Ehlers W. Dynamik poroser Medien. // Z. angew. Math, und Mech. 1995, B. 75, Suppl. nl. - S. 151-152.

73. Gajo A., Mongiovi L. An analytical solution for the transient response of saturated linear elastic porous media // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. -1995, V. 19, №6.-P. 399-433.

74. Halpern Marc R., Christiano Paul Response of poroelastic halfspace to steady-state harmonic surface tractions // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1986, V. 10, № 6. - P. 609-632.

75. Hosten В., Deschamps M., Tittmann В. R. Inhomogeneous wave generation and propagation in lossy anisotropic solids. Application to the characterization of viscoelastic composite materials // J. Acoust. Soc. Amer. 1987, V. 82, № 5. -P. 1763-1770.

76. Kaczmarek Mariusz, Kubik Jozef Wyznaczanie stalych materialowych dla fizycznych i kinematycznych skladnikow osrodka porowatego wypelnionego ciecza // Rozpr. inz. 1985, T. 33, № 4. C. 589-609.

77. Kumar R., Miglani A., Garg N. R. Axisymmetric deformation of an isotropic elastic liquid-saturated porous medium using an eigenvalue approach // Int. J. Appl. Mech. and Eng. 2007, V. 12, № 4. - P. 1009-1025.

78. Kumar Rajneesh, Miglani Aseem, Garg N. R. Plain strain problem of poroelasticity using eigenvalue approach // Proc. Indian Acad. Sei. Earth and Planet. Sei. 2000, V. 109, № 3. - P. 371-380.

79. Lamb H. On the propagation of tremors over the surface on an elastic solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A 1904, V. 203, № 359. - P. 1-44.

80. Liu Ying, Liu Kaixin, Li Rong Распространение волны напряжений в ортотропной пористой среде, насыщенной жидкостью // Jisuan lixue xu-ebao=Chin. J. Comput. Mech. 2003, V. 20, № 4. - P. 434-439.

81. Nakoryakov V. E., Kuznetsov V. V., Dontsov V. E. Pressure waves in saturated porous media // Int. J. Multiphase Flow. 1989, V. 15, № 6. - P. 857-875.

82. Philippacopoulos A. J. Waves in partially saturated medium due to surface loads//J. Eng. Mech.- 1988, V. 114,№ 10.-P. 1740-1759.

83. Philippacopoulos A. J. Lamb's problem for fluid-saturated, porous media // Bull., Seismol. Soc. Amer. 1988, V. 78, № 2. - P. 908-923.

84. Pride Steven R., Gangi Anthony F., Morgan F. Dale Deriving the equations of motion for porous isotropic media // J. Acoust. Soc. Amer. 1992, V. 92, № 6. - P. 3278-3290.

85. Santos J. E. Elastic wave propagation in fluid-saturated porous media. Part 1. The existence and uniqueness theorems // M2AN: Model, math, et anal, nu-mer. 1986, V. 20, № l.-P. 113-128.

86. Santos Juan E., Ravazzoli Claudia L., Geiser Juergen On the static and dynamic behavior of fluid saturated composite porous solids: A homogenization approach // Int. J. Solids and Struct. 2006, V. 43, № 5. - P. 1224-1238.

87. Sanyal Dulal Chandra Indentation of a semi-infinite porous elastic medium by a rigid cone // Indian J. Theor. Phys. 1983, V. 31, № 2. - P. 13-23.

88. Van der Grinten Jos G. M., Van Dongen Marinus E. H., Van der Kogel Hans Strain and pore pressure propagation in water-saturated porous medium // J. Appl. Phys. 1987, V. 62, № 12. - P. 4682-4687.

89. Van der Kogel H. Wave phenomena // Comput. and Geotechn. 1987, V. 3,№ l.-P. 21-28.