Вариационные задачи о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ротанова Татьяна Александровна

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ УПРУГИХ ТЕЛ, СОДЕРЖАЩИХ ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2012

государственная

Б И Ы1И ОТЕКА 2012

На правах рукописи

Ротанова Татьяна Александровна

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ УПРУГИХ ТЕЛ, СОДЕРЖАЩИХ ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2012

#Т.-ТТ<-7—" — ——— — —— —

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении иауки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Хлуднев Александр Михайлович.

Официальные оппоненты:

Алехин Владимир Витальевич, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник;

Намм Роберт Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет», зав. кафедрой ПОВТ и АС.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Защита состоится 25 сентября 2012 года в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, ауд. 317а главного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Автореферат разослан 22 августа 2012 г.

Старовойтов В.Н.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач о равновесии контактирующих друг с другом упругих тел, содержащих жесткие включения, в негладких областях. Предполагается, что область контакта заранее неизвестна, так что рассматриваемые задачи относятся к классу проблем с неизвестной границей. На допустимые функции накладывается ограничение типа неравенства, отражающее физическое требование непроникания. Таким образом, краевые условия имеют вид равенств и неравенств.

Актуальность темы. Механика контактных взаимодействий твердых деформируемых тел представляет в настоящее время большую и активно развивающуюся область механики сплошных сред. Широкий интерес к данной тематике обусловлен тем, что все механизмы и конструкции состоят из взаимодействующих деталей, физические процессы в которых описываются задачами контактного взаимодействия. Текущее развитие науки и техники создает необходимость в математических постановках новых задач о контакте упругих и неупругих тел и их изучении.

Большое число физических и инженерных задач с неизвестной границей могут быть сформулированы как вариационные, в частности, задачи о контакте упругих и неупругих тел. Вариационная постановка статических задач контактного взаимодействия подразумевает, что допустимые функции удовлетворяют дополнительному ограничению, имеющему форму неравенства (так называемые односторонние контактные задачи). Это ограничение-неравенство отражает физическое требование непроникания, и с точки зрения приложений эта модель предпочтительнее классических линейных моделей с граничными условиями вида равенств для контактных задач.

Теория вариационных неравенств как новый раздел теории уравнений с частными производными сформировалась во второй половине XX века. Источником для создания этой теории послужила практическая задача из теории упругости (задача Синьорини, A. Signorini 1933), впервые полностью изученная в работе G. Fichera, где были заложены основы теории вариационных неравенств. Затем исследования вариационных неравенств продолжались в теоретических работах G. Duvaut, H. Lewy, J.-L. Lions, G. Stampacchia и др.

Дальнейшее развитие теория и методы решений конкретных задач получили в работах A.C. Кравчука, Г.И. Львова, В.М. Садовского, A.M. Хлуднева, С. Baiocchi, L.A. Caffarelli, G. Dal Maso, A. Friedman, J. Haslinger, I. Hlavácek, P. Panagiotopoulos, J. Sokolowski и др.

В настоящее время в связи с активным изучением композитных материалов представляет интерес исследование нового класса задач о контакте с неизвестной границей, а именно, задач о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения. Под жестким включением понимается подобласть пластины, характеризующаяся нулевыми деформациями. Однако перемещения точек данной области имеют заданную структуру и не всегда нулевые, в отличие от абсолютно жестких недеформируемых тел. Известно, что уравнение равновесия упругого тела не выполняется в области жесткого включения. Математическая постановка данного класса задач требует принципиально нового подхода. В ряде недавних работ A.M. Хлуднева, Г.В. Алексеева, G. Leugering, Е.М. Рудого, A.A. Novotny, J. Sokolowski, A. Zochowski, H.B. Неустроевой, посвященных описанию и анализу двумерных задач о контакте упругих тел, содержащих трещины и жесткие включения, был предложен метод, позволяющий выписать полную систему краевых условий на границе жесткого включения.

В диссертационной работе рассматриваются однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала, которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния в рамках модели Кирхгофа-Лява. Односторонним контактным задачам для упругих пластин с неизвестной областью контакта были посвящены работы таких исследователей, как Н.Д. Боткин, A.M. Хлуднев, К.-X. Хоффманн, L.A. Caffarelli, Dal Maso, A. Friedman, G. Leugering,

G. Paderni, B. Schild, A. Tani. В данной работе предполагается, что пластины содержат жесткие включения. Задачи о контакте пластин, одна из которых содержит жесткое включение, исследовались

H.В. Неустроевой, однако в этих работах учитываются только вертикальные перемещения пластин. Существенным продвижением в данном направлении исследований является то, что в диссертационной работе рассматриваются задачи, описывающие контакт жестких подобластей друг с другом.

Цель работы. Целью диссертационной работы является доказательство разрешимости и вывод дифференциальных постановок для вариационных задач о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения.

Методы исследования. В диссертации используются фундаментальные результаты и методы теории дифференциальных уравнений, функциональных пространств Соболева, вариационного исчисления, выпуклого анализа.

Основные результаты диссертации. Результаты были получены для двух различных задач:

1. Задача о контакте упругой пластины с тонкой балкой:

Доказаны существование и единственность решения задачи. Найдена полная система краевых условий на множестве возможного контакта для различных случаев расположения балки относительно пластины. Доказана возможность предельного перехода по параметру жесткости балки при стремлении параметра к бесконечности. Рассмотрено жесткое включение в пластине. В предположении достаточной гладкости решения найдена полная система краевых условий на множестве возможного контакта.

2. Задача о контакте двух пластин, расположенных под заданным углом:

Доказаны существование и единственность решения задачи. Рассмотрены задачи с одним жестким включением в верхней или нижней пластинах, а также задачи с двумя жесткими включениями в пластинах, выходящими на множество возможного контакта. При этом исследованы случаи с различным расположением жестких включений. В предположении достаточной гладкости решения найдена полная система краевых условий на линии контакта для различных случаев расположения жестких включений в пластинах. Показано, что задачи с жесткими включениями могут быть получены как предельные для семейства задач теории упругости с параметром.

Научная новизна. Все основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми, их достоверность основана на строгих математических доказательствах.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть

использованы для дальнейшего исследования задач контактного взаимодействия упругих тел с жесткими включениями, проведения расчетов и численного анализа. Кроме того, полученные системы дифференциальных уравнений могут послужить основой для постановки новых задач вариационного исчисления и механики деформируемого твердого тела.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинаре «Математические проблемы механики сплошной среды» под руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова в ИГиЛ СО РАН, семинаре «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» под руководством проф. A.M. Блохина в ИМ СО РАН, «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством проф. B.C. Белоносова и проф. М.В. Фокина в ИМ СО РАН, «Избранные вопросы математического анализа» под руководством проф. Г. В. Демиденко в ИМ СО РАН.

Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на XLVI Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2008), на конкурсе работ молодых ученых ИГиЛ СО РАН (в 2008, 2009, 2010 гг.), на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (гг. Ростов-на-Дону, Азов, 2010), на II Молодежной международной научной школе-конференции памяти академика М.М. Лаврентьева «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (г. Новосибирск, 2010), на Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (г. Томск, 2010), на XXXIX Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (г. Санкт-Петербург, 2011), на IX Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (г. Новосибирск, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [10]. Из них 4 работы - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы. Объем работы 104 страниц, включая 16 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность и история исследуемых задач, излагаются основные результаты диссертации и применяемые методы исследования.

В первой главе рассматривается задача об одностороннем контакте неоднородной анизотропной упругой пластины с тонким упругим препятствием (балкой). Пусть срединная плоскость пластины занимает ограниченную область С М2 с границей Г класса С1,1, а линия 7 С П соответствует тонкому препятствию, таким образом, 7 — область возможного контакта пластины и балки. Функции ги(х1,х2), и(х) описывают вертикальные перемещения точек пластины и тонкого упругого препятствия соответственно. Пластина является жестко закрепленной на внешней границе области Г, а балка — в концевых точках линии 7. Для описания свойств пластины вводится симметричный, положительно определенный тензор модулей упругости А = {а.у/;/}, а^ы е 1/°°(Г2). Свойства балки характеризуются коэффициентом упругости Ь £ Ь°°{7). На пластину и балку действуют заданные внешние силы — функции д 6 / £ £2(7) соответ-

ственно.

В пункте 1.1. представлены три эквивалентные формулировки задачи, а также с помощью вариационного подхода доказывается существование и единственность ее решения. Задача формулируется как поиск минимума функционала энергии на множестве К = {(и>, и) € Я"о(0) х #о(7)| ш ~ и > 0 на 7}, обеспечивающем условие непроникания точек пластины и балки. Таким образом, на множестве возможного контакта, имеющем меньшую размерность, чем область, в которой ищется решение, ставится условие, имеющее вид неравенства. Задача минимизации эквивалентна вариационному неравенству

Jg(w-w) + ! Ъихх(й-и)хх- ! ${и-и)> 0 ,и) е К, (2)

(1)

п

7

7

где ги^

= 11,1 = 1,2, (хих2) € П; и

В этом пункте предполагаем, что 7 П Г = 0. Из вариационного неравенства с использованием обобщенной формулы Грина получены все необходимые краевые условия для дифференциальной постановки задачи. Найти функции и>, и, определенные в и 7 соответственно, такие, что:

—УУт = д в О \ 7, (3)

тп + АУУш = 0 в П, (4)

т = шп = 0 на Г, (5)

ги - и > 0, [го] = [ги„] - 0, [т„] = 0 на 7, (6)

[¿"(т)]>0, [4"(тп)](ш-и) =0 на 7, (7)

[£"(т)] = -(Ьихх)хх + / на 7, (8)

и = их = 0 на З7. (9)

Здесь п к V — нормали к Г и 7 соответственно, {т— тензор моментов, ¿п — перерезывающая (поперечная) сила, при этом

ти = -гпц^щ, Ь"(т) = -гщ^кВ^Щ—тц^и £ = (въ 5г) = (-^2,^1)-

Кроме того, гип = = [го] = ги+ - ги~, а значения ш± соот-

ветствуют значениям т на 7^.

Утверждается, что имеет место следующий результат:

Теорема 1 Пусть возможно продолжение 7 до замкнутой кривой Е класса С1,1. Решение вариационного неравенства (1), (2) удовлетворяет системе (3)—(9). Гладкое решение краевой задачи (3)—(9) является решением вариационного неравенства (1), (2).

Особое внимание в первом пункте уделяется точной интерпретации краевых условий. Последнее из условий (6) выполнено в смысле Н~1/2(Е), первое из условий (7) выполнено в смысле ([^(т)}, </>)з/2,е > 0 для всех ф е и ф > 0 на 7. Здесь скобки

( > )з/2,£ обозначают двойственность между пространствами Д"3/2(Е) и #_3/'2(Е), где Я-3/2(Е) — пространство, сопряженное к #3/2(Е). В указанных формулах Е является произвольной замкнутой кривой

класса С1-1 с заданными свойствами, содержащей 7. Отметим, что набор краевых условий представляет собой совокупность равенств и неравенств.

В пункте 1.2. рассматривается выход области возможного контакта 7 на границу области, отвечающей срединной плоскости пластины, обозначаемой в этом пункте как Oi. Данная особенность не влияет на результаты, касающиеся существования и единственности решения. Однако продолжение 7 до гладкой кривой Е, лежащей в ûi, невозможно, поэтому не удается применить обобщенную формулу Грина. Предполагая достаточную гладкость решения, выписать дифференциальную постановку можно, однако точную интерпретацию краевым условиям в этом случае дать не получается. Для преодоления этой трудности используется метод фиктивных областей. В рассмотрение вводится фиктивная область 0,2 и задача ставится уже в расширенной области П, объединяющей и П2, при этом в возможно продолжение 7 до замкнутой кривой. В расширенной области строится семейство вспомогательных задач с параметром:

f aïjkl(x) - aijkl/e, X G ft2, 0 < £ < £0;

1 al3kAx) = аФ1, хео.1.

Основным результатом пункта является теорема о сходимости решения этих задач к решению исходной при стремлении параметра к нулю. При этом для краевых условий в каждой из задач с параметром может быть дана точная формулировка.

В пункте 1.3. с помощью вариационного подхода исследуется неограниченное возрастание параметра жесткости балки b в одной из ее частей. Вводится семейство задач с параметром, характеризующим рост параметра жесткости балки:

Ъ£(х) = Ъ, ж G 71'. Ъе(х)=£~1Ъ, х G 72,£ > О,

и рассматривается предельный переход, соответствующий переходу балки от упругого состояния к жесткому на 72- Предельная задача описывает контакт пластины с балкой, часть которой является абсолютно жесткой:

w - и|71 > 0, w\-f2 > 0, w G Я02(П), и G Я02Ы, (Ю)

I aijkiwtki(w - w)tij - J g(w - w) + J buxx{u - u)xx -J f(u~u) > 0,

fi П 71 71

(И)

выполняющееся для всех пробных функций (w,u) таких, что

(W - й)|71 > 0, w\12 > 0, w е #02(fi),. й 6 Я02Ы- (12)

В пункте 1.4. предполагаем, что пластина содержит жесткое включение — подобласть fij с П с границей Е класса С1,1, ЕПГ = 0. При этом П2 = 0\П1 соответствует упругой подобласти пластины. Пусть Е состоит из 7 и S \ 7, причем на части 7 границы между жестким включением и упругой пластиной осуществляется возможный контакт между пластиной и балкой.

Перемещения точек жесткого включения fii принадлежат пространству аффинных непрерывных функций

L(fii) = {/ | 1{х) — ao+aiXi+a2X2, ao, 01,03 = const, х = (х\,х?) £ fii}-Определим функционал энергии на Hq(£1) х #0(7):

П(ш,-и) = ^ J aijkiwMwtlJ - J gw + ^ J Ьи2хх - J fu.

Q. П 7 7

Заметим, что внешняя сила д приложена ко всем точкам пластины, и к упругой, и к жесткой подобластям, несмотря на то, что в жесткой подобласти уравнение равновесия не выполняется. Допустимыми перемещениями будут являться элементы множества, задающего перемещение точек fii и условие непроникания пластины и балки:

АЪ, = {(ш,щ) G tf02(ft) х Я02(т)| w - и > 0 на 7;ад|П1 6 L(iix)}.

Решение задачи минимизации функционала П(ги,и) на множестве Кп1 существует. Действительно, исходное пространство функций х 7) рефлексивно; функционал П(ги,г4) является слабо полунепрерывным снизу и коэрцитивным; множество Kiit слабо замкнуто. Таким образом, решение задачи минимизации существует по обобщенной теореме Вейерштрасса.

Запишем задачу в виде вариационного неравенства, эквивалентного задаче минимизации:

(т, и) е Кп!, J ау иги^г (-ш - ги) ^ -П2

(13)

- J д(ги-ги) + ^ Ьихх(й-и)хх - ^ ¡(й-и) > 0 У(гВ,й) е К^- (14)

П 7 7

Нетрудно показать, что решение вариационной задачи (13), (14) единственно. Из вариационного неравенства получена дифференциальная постановка задачи. Найти функции и>, и, определенные в П, 7 соответственно, такие, что:

-ЧЧт = дъП2, (15)

т + ЛУУш = 0 в П2, (16)

ги — иип = 0 на Г, (17)

ю — и > 0, [ш] = [ши] = 0 на 7, (18)

и = их = 0 на З7, (19)

го|П1 = г0) где ¿о 6 Ьфх), (20)

/ < 0 на 7, (21)

({Ьихх)хх - /)(ги - и) = 0 на 7, (22)

I Г(т)1 - У тХ ~ 191 + I({Ъихх)хх - 1)1 = 0 VI € ад). (23)

Е Е П1 7

Отметим, что уравнение равновесия и состояния пластины (15), (16) выполняются в области упругости пластины. Условие равновесия жесткой подобласти Пх описывается интегральным соотношением (23), имеющим место для всех функций из пространства, задающего структуру жестких перемещений. Справедлива следующая теорема:

Теорема 2 Если решение вариационного неравенства (13), (Ц) достаточно гладкое, то оно удовлетворяет системе (15) — (23). Гладкое решение краевой задачи (15) —(23) является решением вариационного неравенства (13), (Ц)-

Таким образом, существует единственное решение краевой задачи (15)—(23).

Во второй и третьей главах рассматривается задача об одностороннем контакте двух упругих пластин, располох<енных под заданным углом а друг к другу и в естественном состоянии контактирующих по линии 7. Нижнюю пластину можно интерпретировать как тонкое упругое препятствие для верхней пластины. Центральной особенностью задачи является наличие одного или двух жестких включений в пластинах.

В пункте 2.1. описана геометрия данной задачи. Пусть ограниченные области Г2, С С К2 отвечают срединным плоскостям верхней и нижней пластин соответственно, при этом Г — граница области П, кривая класса С1,1, а дЄ — граница области С, кривая класса С0'1. Пусть 7 С дЄ, 7 П Г = 0, и дЄ — 7 и 70. Нижняя пластина перемещается в своей плоскости, а верхняя подвержена изгибу, функции ги(у) и и(х) = (■и1(х),и2(х)), у = {уі,у2) Є х = (іі,х2) Є Є описывают перемещения точек верхней и нижней пластин соответственно. Обозначим q = (91,92) — вектор внешней нормали к границе Г, и = (^1,^2) — вектор нормали к 7, расположенный в плоскости П, п = (пі,пг) — вектор нормали к 7, расположенный в плоскости Бз'дем рассматривать пространство функций Н^0(С) х Дд(ГЇ), где

Я;(С) = {иЄ[Я1(С)]2|и = Она7о}.

Кроме того, на нижнюю и верхнюю пластины действуют внешние силы g = (51,52), 9і Є г = 1,2; / Є Ь2(П) соответственно.

Для описания верхней пластины вводится билинейная форма

аа(ги,у) = J(w!nvlu+w¡22Vl22+ae(w,llVl22+w,22V¡n)+2(l-эг)wll2V,l2), п

где аз — коэффициент Пуассона, изгибающий момент т(ь)) = ээД,ш + (1 — и перерезывающая сила

д д^іи

= + (! - Э2)^2")' Я = (3Ь ^ = (-^2, щ)-

Нижняя пластина характеризуется симметричным, положительно

определенным тензором модулей упругости В = {Ьцы}, Ьцкі Є

L°°(G), тензорами деформаций e(u) = {е^(и)} и напряжений <т =

Wij}-

an - (aijnj,a2jnJ), ¡^(u) = ^{u^ + ujit),ij = 1,2. Функционал энергии на #^0(G) х Яд(Г2) имеет следующий вид:

w) = \ J - J gu + ^ОДК го) - J fw.

G G n

Далее во второй главе рассматривается одно жесткое включение в нижней или верхней пластинах, выходящее на область возможного контакта пластин 7.

В пункте 2.2. предполагаем, что нижняя пластина G содержит жесткое включение — подобласть и С G. При этом G \ш соответствует упругой части пластины, в которой выполняется закон Гуна с = i?£(u). Разобьем линию возможного контакта на три части: 7 = 7i U 72 U73, тогда границу подобласти ш обозначим ди = 72 U £о. где So является кривой класса С'0,1.

Перемещения точек жесткого включения ш принадлежат пространству инфинитезимальных жестких перемещений

ЛИ = {р= (рир2)\р{х) — Сх + -D, х £ ш},

где

С = ^ °с р ^ ,D = (d},d2), где с, d1 ,d2 = const.

Допустимыми перемещениями будут являться элементы следующего множества, задающего условие взаимного непроникания пластин и структуру перемещений точек ш:

Кш = {{u,w) е H]q(G) х tf02(ft)I unsin a + w> 0 на 7; и|ш G Я(ш)}.

Решение задачи минимизации функционала -Е(и, w) на множестве Кы существует по обобщенной теореме Вейерштрасса. Задача может быть записана в эквивалентном виде:

(и,ы)еКы, J сг(и)е(й - и) - У g(u - и)+ (24)

G\m G

+an{w,w-w) - I f(w-w) > O V(ü,w) G Кш. (25) h

Решение данной вариационной задачи единственно. Из вариационного неравенства получена дифференциальная постановка задачи. Найти функции u, w, определенные в G и О соответственно, такие, что:

-div(Be(u)) = g в G\w, (26)

Д2ш = / в íí7, (27)

и = 0 на 7о, (28)

w = wq = 0 на Г, (29)

= />о, где ро € R(tu), (30)

un sin а + w > 0 на 7, (31)

Н = [wu] = 0, [m{w)} = 0, [tu{w)\ > 0, [f(w)](unsina+iu) = 0 на 7,

(32)

[i"(w)]risina = —сгп на 71 U 73, (33)

J coi -р + J[t"(w)]pnsma + J gp = 0 Vp € R(ui). (34)

So 72 w

Отметим, что уравнение равновесия нижней пластины (26) выполнено в подобласти упругости, уравнение верхней пластины (27) — в области с разрезом. Условия (28), (29) обеспечивают жесткое защемление пластин на внешних границах. Условие равновесия жесткой подобласти и описывается интегральным соотношением (34), имеющим место для всех функций из пространства, задающего структуру жестких перемещений. Имеет место следующая теорема:

Теорема 3 Пусть возможно продолжение 7 до замкнутой кривой класса С'1,1. Если решение вариационного неравенства (24), (25) является достаточно гладким, то оно удовлетворяет системе (26) — (34)- Гладкое решение краевой задачи (26)—(34) является решением вариационного неравенства (24), (25).

Таким образом, существует единственное решение краевой задачи

Пункт 2.3. посвящен анализу других возможных расположений жесткого включения в нижней пластине. Если и полностью выходит на 7 или кроме области возможного контакта пластин дополнительно выходит на часть границы нижней пластины, не контактирующую с верхней, то перемещения точек ш нулевые. Имеем задачу о контакте верхней пластины с абсолютно жестким препятствием и задачу о равновесии нижней пластины с абсолютно жестким включением, функции IV и и находятся независимо. Если же происходит односторонний выход жесткого включения иа границу области возможного контакта пластин в точке го, то мы получаем условие на жестком включении, выполненное для особого класса функций. А именно, условие на жестком включении выполнено не для всех р 6 Д(ш), а для таких, которые принимают нулевое значение в точке хо-

В пункте 2.4. показано, что исследуемая задача с жестким включением в нижней пластине может быть получена как предельная для семейства задач с параметром Л > 0, описывающих односторонний контакт двух упругих пластин, расположенных под углом а друг к

Другу:

В задачах из указанного семейства при каждом Л > 0 подобласть и соответствует упругому включению в пластине, а при Л = 0 точка х G и> будет иметь перемещение ро(х) G R(u).

В пункте 2.5. рассматривается выход 7 на границу верхней пластины Г. Область возможного контакта пластин разбивается на четыре части, при этом 71 U 72 является частью границы Г, а 73 U 74 лежит внутри области П. Предполагаем, что жесткое включение в нижней пластине выходит на 72 U 73. Таким образом, на каждом из четырех участков 7 выполняются различные краевые условия. Краевые условия выписаны в предположении, что формула Грина может быть применена к областям с кусочно-гладкими границами, а также в предположении достаточной гладкости решения. При этом с помощью метода фиктивных областей построено семейство задач в расширенной области и показано, что решения этих задач сходятся

(26)—(34).

btjki, х Є LJ, 0 < А < Ао; bijki, xeG\u.

к решению исходной.

В пункте 2.6. предполагаем, что нижняя пластина не содержит жестких включений, а подобласть ш\ С с границей 72 и Ех (где Е1 кривая класса С1,1) — жесткое включение в верхней пластине. Обозначим = (т,Ц2) — внутренняя нормаль к Еь Перемещения точек жесткого включения представляют собой элементы пространства аффинных непрерывных функций Ь(ш 1). Множество допустимых перемещений задает условие непроникания и структуру перемещений точек шх:

КШ1 = {(и,го) е Щ0(С) х Яо(Г2)| ипэта + го > 0 на7;го|Ш1 е Ь{ш{)}.

Задача минимизации функционала £(и,го) на множестве КШ1 эквивалентна следующему вариационному неравенству:

(и,ш) I а{и)е(й-и)- (35)

в

~ ! - и) + аП\,-1^,й>-т)- J/(гй —го) > 0 \/(й, ъй) € КШ1. (36) с п

Отметим, что выполнены все условия обобщенной теоремы Вейер-штрасса, и вариационная задача имеет единственное решение.

Из вариационного неравенства (35), (36) получена дифференциальная постановка задачи. Найти функции и, и>, определенные в(?и

Г2 соответственно, такие, что:

-div{Be{u)) = g в G, (37)

Д2го = / в íí\ (¿i] U 7), (38)

и = 0 на 7о, w = wg = 0 на Г, (39)

= lo, где l0 е L(wx), (40)

un sin а + w > 0, [го] = \wv\ = 0 на 7, (41)

fn < 0, <гт = 0, a„(unsina + го) = 0 на 7, (42)

[?и(г«)] = 0, [í"(u>)]nsina = —<тп на 71 U73, (43)

бш а

1

/

аа1+ / / т(ш)+г,

/

/

/

т{ги)-11Х- / /7 = О

/

72

72

72

V/ е Ь(ьл).

(44)

Здесь сгп = сгуП^Пг, о> = сгп — <гпп, о> = (ст^ст2). Уравнение равновесия верхней пластины (38) выполнено в подобласти упругости с разрезом. Условие равновесия жесткой подобласти шх описывается интегральным соотношением (44), верным для всех функций из пространства, задающего структуру жестких перемещений. В работе доказано следующее утверждение:

Теорема 4 Пусть возможно продолжение 7 до замкнутой кривой класса С1,1. Если решение вариационного неравенства (35), (36) является достаточно гладким, то оно удовлетворяет системе (37) — (44)- Гладкое решение краевой задачи (37) —(44) является решением вариационного неравенства (35), (36).

Отсюда заключаем, что решение краевой задачи (37)—(44) существует и единственно.

В третьей главе предполагаем, что и верхняя, и нижняя пластины содержат жесткие включения. Влияние внешних сил на жесткие части пластин описывается с помощью уравнения и неравенства в соответствии с принципом виртуальных перемещений, смысл которого состоит в следующем: работа внутренних сил на допустимых перемещениях точек тела не меньше, чем работа внешних сил, а на истинных перемещениях работа обращается в нуль. Оказывается, что принцип виртуальных перемещений в точности эквивалентен вариационному принципу.

В пункте 3.1. жесткие включения в верхней и нижней пластинах — подобласть ш\ с границей дш\ — 72 и £1 (где £1 кривая класса С1,1) и подобласть и>2 С С? с границей ди>2 = 72 и £о (где £о кривая класса С0,1) — контактируют по участку 72, при этом линия возможного контакта пластин разбивается на три части: 7 = 71 и 72 и 73. Предполагаем в этом пункте, что дш\ ПГ = 0. Перемещения точек обладают структурой аффинных непрерывных функций Ь(ш\), перемещения точек и>2 принадлежат пространству инфинитезимальных

жестких перемещений Рассматривается множество допусти-

мых перемещений

кшиш2 = {(и,ги) 6 х #о(П)| ипэта + гу > 0 на 7;

ги|Ш1 € -¿/(с^х), и|Ш2 е

Задача ставится следующим образом. Требуется найти функции и, ги, определенные в <3 и соответственно, такие, что:

-сМ£б(и)) = 6вС\ш2, (45)

Д2ги — / в П \ (й>1 и 7), (46)

и = 0 на 70, V) — и}д = 0 на Г, (47)

и|Ш2 = Ро, где ро е Я(ш2), (48)

гоЦ = 1о, где 10 6 (49)

ипБша + ш > 0, [ш] = [ги^] = 0 на 7, (50) [т(ю)} = 0, [¿»]>0, [Г(го)]пзта = -ип, [Г(ш)](ипзта + и;) = 0 на 7^73, (51)

-j ап ■■ф+ I ^(и>) + 1р - J т(ги)+</^ - J #1(ги)~(р + J m(w)~^ptl-

Е0 72 72 Е1 £1

- У еФ-//У>- I Г(го)](^п8та + ^) € (52)

Ш2 Ы] 71и73

~ I ап-р0+ I 1 т{и>) + {10)и-^ + J т(ш)"(г0)м-

¿0 72 72 Е1 Е]

- I ёР0 - I //о = 0. (53)

Уравнение равновесия нижней пластины (45) справедливо в подобласти упругости, уравнение равновесия верхней пластины (46) выполнено в подобласти упругости с разрезом. В области выполняется

закон Гука а = Ве(\1). Условия (47) обеспечивают жесткое защемление пластин. Условия (52) и (53) представляют собой реализацию принципа виртуальных перемещений. Здесь го|Ш1 = /о и и|ы, = р0, где 10 € Ь{ш{), ро € Щш2).

Вариационная постановка задачи имеет следующий вид:

(и,го) 6 Кшишг, ! ст(и)е(й — и)— (54)

~ I §(й- и) + а^Дго,™ - го) - J/(го - го) > 0 У(й,го) 6 КШиШ2. в п

(55)

Отметим, что решение задачи (54), (55) существует (по обобщенной теореме Вейерштрасса) и единственно. Имеет место следующий результат:

Теорема 5 Пусть возможно продолжение 7 до замкнутой кривой класса С1,1. Если решение вариационного неравенства (54), (55) является достаточно гладким, то оно удовлетворяет системе (45) — (53). Гладкое решение краевой задачи (45) —(53) является также решением вариационного неравенства (54), (55).

Таким образом, решение краевой задачи (45)—(53) существует и единственно.

В пункте 3.2. рассматривается случай, в котором жесткое включение в верхней пластине выходит на всю линию контакта. В предположении гладкости решения получена дифференциальная постановка задачи, эквивалентная вариационной.

Пункт 3.3. посвящен выходу на линию контакта жесткого включения нижней пластины. Эту задачу можно сформулировать в виде вариационного неравенства:

го € КЫ1 = {го е го > О на7;го|и,1 € Ц^)}, (56)

а-п\й,1 (ш, го - го) - У /(го - ги) > 0 \/ш£ КШ1, (57)

описывающего контакт упругой пластины, содержащей жесткое включение, с абсолютно жестким препятствием, и уравнения Эйлера для задачи о равновесии тела с абсолютно жестким включением:

Задача распадается на две подзадачи, для каждой из которых решение единственно и находится независимо от решения другой. Для каждой из подзадач в предположении гладкости решения найдена дифференциальная постановка, эквивалентная вариационной.

В этом же пункте анализируется предельный случай, соответствующий возрастанию параметра жесткости нижней пластины до бесконечности. Для этого вместо закона Гука а — Ве(и) в (45) рассматривается семейство законов, характеризующихся параметром /3:

Предельная задача описывается в точности вариационным неравенством (56)-(57).

В пункте 3.4. предполагаем, что жесткое включение в верхней пластине выходит на границу Г области fl, где пластина является жестко защемленной. Таким образом, мы получаем задачу о контакте двух пластин, верхняя из которых содержит абсолютно жесткое включение, а нижняя — жесткое включение, перемещения точек которого принадлежат пространству инфинитезимальных жестких перемещений. Решение данной задачи существует и единственно. В предположении достаточной гладкости решения выписана дифференциальная постановка задачи,эквивалентная вариационной.

Также в этом пункте анализируется предельная задача, возникающая при неограниченном возрастании параметра жесткости верхней пластины.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору A.M. Хлудневу за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

и Є Кшг = {и Є #4(G)| и|Ы2 =-0}

G\Q 2

G\W2

Работы автора по теме диссертации

1. Стекина Т.А. Вариационная задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой// Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т.9, №1. С. 46- 56.

2. Ротанова Т.А. Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т.11, №1. С. 87-98.

3. Ротанова Т.А. Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу // Вестник Томск, гос. ун-та. Серия: Математика и механика. 2011. Т.15, №3. С. 99-107.

4. Ротанова Т.А. О постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журнал индустриальной математики. 2012. Т.15, №2. С. 107-118.

5. Стекина Т.А. Вариационная задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой /7 Материалы XLVI МНСК. Новосибирск: НГУ. 2008.

6. Ротанова Т.А. Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение // XIV Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды»: Тез.докл. Ростов н/Д, Изд-во ЮФУ. 2010. С. 75.

7. Ротанова Т.А. Задача о контакте двух пластин, каждая из которых содержит жесткое включение // Материалы Всероссийской молодежной научной конференции Томского государственного университета. Томск: Изд-во Том. ун-та. 2010. С. 183-186.

8. Ротанова Т. А. Задачи о контакте упругих пластин с жесткими включениями // VI Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, В.И. Васильева. Якутск: ОАО. Медиа-холдинг Якутия. 2011. С. 208-209.

9. Ротанова Т.А. Односторонний контакт упругих пластин с жесткими включениями // «Математическое моделирование и краевые задачи» : Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара: СамГТУ. 2011. С. 187-190.

10. Rotanova T. Contact Problem for two Plates Containing Rigicl Inclusions // Book of Abstracts of XXXIX International Summer School-Conference «Advanced Problème in Mechanics». St.-Petersburg: Institute for Problems in Mechanical Engineering. 2011. P. 78.

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ УПРУГИХ ТЕЛ, СОДЕРЖАЩИХ ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

автореферат РОТАНОВА Татьяна Александровна

Подписано в печать 20.08.2012 г. Заказ №110

Формат бумаги 60x84 Объем 1 п.л.

Тираж 100 экз. Бесплатно

Ротапринт ИГиЛ СО РАН 630090 Новосибирск, просп.акад. Лаврентьева 15

1 2" 1 8 7 5 5

2012092197

2012092197

Введение

1 Задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой

1.1 Постановка задачи.

1.2 Препятствие, выходящее на границу области

1.3 Предельный случай.

1.4 Жесткое включение в пластине . . .'.

2 Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение

2.1 Геометрия задачи о контакте двух упругих пластин

2.2 Жесткое включение в нижней пластине.

2.3 Другие случаи расположения жесткого включения.

2.4 Предельный переход от упругого включения к жесткому

2.5 Выход области контакта на внешнюю границу.

2.6 Жесткое включение в верхней пластине.

3 Задача об одностороннем контакте двух пластин, каждая из которых содержит жесткое включение

3.1 Жесткое включение в двух пластинах.

3.2 Первый вариант расположения жесткого включения.

3.3 Второй вариант расположения жесткого включения.

3.4 Выход жесткого включения на границу верхней пластины.

Механика контактных взаимодействий твердых деформируемых тел представляет в настоящее время большую и активно развивающуюся область механики сплошных сред. Широкий интерес к данной тематике обусловлен тем, что все механизмы и конструкции состоят из взаимодействующих деталей, физические процессы в которых описываются задачами контактного взаимодействия. Текущее развитие науки и техники создает необходимость в математических постановках новых задач о контакте упругих и неупругих тел и их изучении. Кроме того, внутренняя логика развития этого современного раздела механики сплошной среды в свою очередь является сильнейшим стимулом развития соответствующих фундаментальных разделов математики.

В данной диссертационной работе рассматриваются краевые задачи о равновесии контактирующих друг с другом упругих тел, содержащих жесткие включения, в негладких областях. Под жестким включением понимается подобласть пластины, характеризующаяся нулевыми деформациями. Однако перемещения точек данной области имеют заданную структуру и не всегда нулевые, в отличие от абсолютно жестких недеформируемых тел. Краевые условия на негладких компонентах границы имеют вид системы равенств и неравенств.

Задача о контакте двух упругих тел была впервые поставлена и решена в конце XIX века Герцем при значительных ограничительных допущениях, в частности, предполагалось, что площадка соприкасания тел весьма мала, а уравнения недеформируемых поверхностей вблизи области контакта могут быть представлены в упрощенном виде. В дальнейшем при более общих предположениях эта задача рассматривалась в работах И.Я. Штаермана [87], [88]. A.B. Бицадзе приводит эту задачу к сингулярному интегральному уравнению, решение которого находится сразу, см. [5]. Основополагающими работами в области контактных задач считаются также работы Я. Бусси-неска, С.А. Чаплыгина, А.Н. Динника, Н.М. Беляева.

Многие контактные задачи могут быть приведены к граничной задаче теории функций комплексного переменного, методы которой, развивавшиеся с 30-х годов XX века Н.И. Мусхелишвили и его учениками, оказались весьма эффективными, см. [46]. Применение методов теории функций комплексного переменного в плоских контактных задачах можно найти, например, в [17], [45]. Теория пространственны* контактных задач была развита в [41], [88]. Отметим также более позднюю работу Л.А. Галина [11].

Начало бурного развития теории контактных задач совпало с годами Второй мировой войны. Такая задержка в математическом развитии теории контактного взаимодействия объясняется недостаточностью математических средств, применявшихся в прошлом для ее исследования. К настоящему времени для исследования контактных задач теории упругости применяются разнообразные математические модели и методы. Сведение задач к интегральным уравнениям и последующее их изучение описаны, например, в [52]. Отметим также метод Винера-Хопфа для решения интегральных уравнений, основанный на идее факторизации. Метод потенциала в теории упругости ([31]) также нашел применение к контактным задачам. Широкое использование при исследовании контактных задач получили методы сведения к бесконечным алгебраическим системам (асимптотический метод), методы ортогональных многочленов и парных интегральных уравнений. Эти подходы, ставшие классическими, применяются в задачах о контакте упругих и неупругих тел с краевыми условиями на множестве контакта вида равенств. Отметим обзорную монографию [55], в которой изложены математические методы, разработанные к 1976 году для исследования контактных задач с условиями вида равенств. Прикладные аспекты контактных задач с линейными краевыми условиями можно найти в [1], [14]. Однако при рассмотрении многих практических задач точность решения, полученного в рамках таких моделей, является недостаточной.

Все краевые задачи, рассматриваемые в данной работе, относятся к классу задач с неизвестной границей. Задачи о контакте упругих тел с неизвестной границей занимают важное место среди математических задач механики твердого тела. В задачах этого класса конкретное краевое условие на границе определяется лишь после решения задачи в целом. Такие ситуации характерны для многих проблем физики и механики. Задачи с неизвестной границей оказываются, как правило, нелинейными.

Большое число физических и инженерных задач с неизвестной границей могут быть сформулированы как вариационные, в частности, задачи о контакте упругих и неупругих тел, см. [4], [8], [44], [56]. Вариационный подход к решению контактных задач основан на формулировке граничных условий контактного взаимодействия в виде вариационных или квазивариационных неравенств с односторонними ограничениями. Связь вариационных неравенств и краевых задач, их эквивалентность для конкретных задач механики и физики изложена в [3], [16], [100]. Сведение задачи к вариационной постановке обычно вызвано тем, что краевые условия являются нелинейными. Кроме того, вариационная постановка статических контактных задач подразумевает, что допустимые функции удовлетворяют дополнительному ограничению, имеющему форму неравенства (так называемые односторонние контактные задачи). Это ограничение-неравенство отражает физическое требование непроникания, и с точки зрения приложений эта модель предпочтительнее классических линейных моделей с граничными условиями вида равенств для контактных задач. Условие непроникания выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество, и статические вариационные неравенства приводят к задачам минимизации потенциальной энергии системы, что позволяет исследовать вопросы существования и единственности решения, а также асимптотического поведения решения. Именно с применением и развитием вариационного подхода связано значительное продвижение в исследовании контактных задач со свободными границами в последние годы.

Теория вариационных неравенств как новый раздел теории уравнений с частными производными сформировалась во второй половине XX века. Источником для создания этой теории послужила практическая задача из теории упругости (задача А. Синьорини, 1933, см.[111]), впервые полностью изученная в работе Г. Фикеры [75], где были заложены основы теории вариационных неравенств. А. Синьорини исследовал задачу о контакте упругого тела с недеформируемой жесткой поверхностью, поставив ограничение для кинематически допустимых функций в форме неравенства (на границе упругого тела), описывающего непроникание точек тела внутрь поверхности. Затем исследования вариационных неравенств продолжались в теоретических работах Ж.-Л. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников ([16], [37], [38], [19], [113]). В частности, ими рассматривалась абстрактная постановка задач, приводящих к таким неравенствам. В отмеченных работах в основном рассматриваются традиционные задачи типа Синьорини. Впервые в отечественной механике теорию вариационных неравенств к задачам теории упругости применил A.C. Кравчук. В его работе [28] приведен пример постановки контактной задачи для нескольких тел как задачи линейного программирования.

Дальнейшее развитие теория и методы решений конкретных задач получили в работах A.C. Кравчука, Г.И. Львова, A.M. Хлуднева, К. Бай-окки, П. Панагиотопулоса, В.М. Садовского, L.A. Caffarelli, A. Friedman, J. Haslinger, I. Hlavácek, G. Dal Maso, J. Sokolowski и др. (см., в частности, [3], [12], [27], [29], [30] [42], [51], [66], [81], [91]-[93], [94], [100]).

Решение вариационной задачи понимается в обобщенном смысле, поэтому важным направлением исследований является изучение гладкости решения. Гладкость решения вариационной задачи зависит от гладкости данных задачи и от характера выпуклых ограничений. Методы исследований гладкости могут сильно отличаться в зависимости от конкретной задачи в силу нелинейности вариационных задач. Результаты о гладкости решений вариационных задач можно найти, например, в [54], [73], [74], [76], [80], [81], [91], [92], [99], [106].

В обзорной монографии 2001 года ([55]) приведено множество современных методов для решения контактных задач. Примеры, относящиеся к задачам о контакте пластин и оболочек, а также анализ приближенных моделей, положенных в основу при решении таких задач, можно найти в [15], [27]. При построении приближенных решений теории упругости удобно применение вариационных методов, которые дают возможность избежать зачастую непреодолимые трудности отыскания решений краевых задач. Результаты о численных методах, применяемых для вариационных неравенств, можно найти в [13], [20], [22], [86].

К близким математическим проблемам приводят краевые задачи теории трещин, также принадлежащие классу задач с неизвестной границей. Классическая теория трещин характеризуется линейными краевыми условиями для функций перемещений или компонент тензора напряжений на берегах разреза, моделирующего трещину. Получаемые при этом математические т модели являются линейными (см., например, [53], [85], [98]). Недостаток подобных моделей с точки зрения приложений состоит в том, что противоположные берега трещины могут проникать друг в друга. С физической точки зрения, краевые условия типа неравенств имеют более точную интерпретацию по сравнению с классическими условиями вида равенств. В связи с этим возникает необходимость в изучении задач с ограничениями вида неравенств. Получаемые таким образом краевые задачи становятся нелинейными краевыми задачами с возможным контактом берегов.

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих оболочек (пластин) с трещинами, A.M. Хлудневым было предложено краевое условие, имеющее вид неравенства, при котором исключается проникание берегов трещины друг в друга (условие непроникания), см. [83], [84]. В монографии [99] представлен широкий класс задач о равновесии упругих и неупругих тел с трещинами. В настоящее время имеется ряд работ как отечественных, так и зарубежных, в которых рассмотрены краевые задачи с условиями на трещинах вида неравенств, см. например работы В.А. Ковтуненко, Н.П. Лазарева, Е.М. Рудого, A.M. Хлуднева, М. Bach, К. Ohtsuka, J. Sokolowski [21], [32], [64], [90], [101], [109].

Задачи о равновесии упругих и неупругих тел с трещинами можно отнести к классу контактных за'дач, если на берегах трещины заданы краевые условия взаимного непроникания вида неравенства. Задачи этого класса формулируются в негладких областях, содержащих разрезы (трещины). В контактных задачах, несмотря на то, что решение вариационной задачи находится в гладкой области, уравнение равновесия оказывается выполнено в области с разрезом. Однако методы теории трещин не применимы к контактным задачам, так как краевые условия в этих задачах имеют другой характер.

В настоящей работе рассматривается модель Кирхгофа-Лява ([10]) для пластин. Предполагаем, что пластина в естественном состоянии занимает область вида Ох (—где fiel2 - заданная область, h — малый параметр, отвечающий за толщину пластины. В рамках модели Кирхгофа - Лява искомыми величинами считаются перемещения точек серединной плоскости пластины Q х 0. Горизонтальные перемещения точек пластины линейно зависят от расстояния до срединной плоскости, а вертикальные перемещения остаются неизменными. Задачи о .равновесии упругих тел с краевыми условиями вида неравенств в рамках другой модели можно найти в работах Н.П. Лазарева [33]-[36], где рассматриваются упругие изотропные пластины Тимошенко с трещинами. Будем считать, что мы исследуем однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала, которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния. Будут рассмотрены постановки новых краевых задач о контакте пластины с упругой балкой и о контакте двух пластин,' расположенных под углом друг к другу. При этом пластины могут содержать жесткие включения.

Односторонние контактные задачи для пластин с неизвестной областью контакта анализировались в большом количестве исследований. В частности, в работе В. Schild [112] анализируется тонкое абсолютно жесткое препятствие для пластины. Случай препятствия, заданного во всей области, был рассмотрен в работах L.A. Caffarelli, A. Friedman, Dal Maso, G. Paderni ([91],[93]). Отметим также статью [92], в которой изучена задача с двусторонними ограничениями. Большой набор контактных задач для пластин и оболочек можно найти в монографии [100].

В [77] A.M. Хлудневым с соавторами исследована задача о контакте однородной изотропной упругой пластины с балкой. Балку можно рассматривать как тонкое упругое препятствие для пластины. Задача описывается вариационным неравенством для оператора четвертого порядка. В работе найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта, и их точная формулировка. Обоснована также смешанная формулировка рассматриваемой задачи. Для неоднородной анизотропной пластины соответствующие результаты получены H.B. Hey строевой в [48].

В работах A.M. Хлуднева, G. Leugering, A. Tani [82], [104], [105] впервые рассмотрена задача о контакте вдоль линии двух упругих пластин, в естественном состоянии расположенных под заданным углом друг к другу, и дано полное описание краевых условий, выполненных на множестве контакта. Приводятся различные формулировки задачи. В [82] рассмотрены две модели, в одной из них обе пластины подвержены изгибу, а в другой одна из пластин (нижняя) деформируется в своей плоскости. В обеих моделях нижнюю пластину можно интерпретировать как тонкое упругое препятствие для верхней пластины. Также в работе исследованы асимптотические свойства решений при стремлении параметров жесткости контактирующих тел к бесконечности.

В настоящее время в связи с активным изучением композитных материалов представляет огромный интерес исследование нового класса контактных задач с неизвестной границей, а именно, задач о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения. Известно, что уравнение равновесия упругого тела не выполняется в области жесткого включения. Математическая постановка данного класса задач требует принципиально нового подхода. В ряде недавних работ A.M. Хлуднева, Г.В. Алексеева, G. Leugering, Е.М. Рудого, см. [2], [40], [65], [78], [102], посвященных описанию и анализу двумерных задач о контакте упругих тел, содержащих трещины и жесткие включения, был предложен метод, позволяющий выписать полную систему краевых условий на границе жесткого включения. Трехмерный случай рассмотрен в совместной работе A.M. Хлуднева, A.A. Novotny, J. Sokolowski, A. Zochowski [103]. Отметим также статьи A. Morrassi, Е. Rosset [107],[108], посвященные выявлению жестких включений и отверстий в упругом теле без учета внешних нагрузок. Задачи о контакте пластин, одна из которых содержит жесткое включение, исследовались Н.В. Неустроевой в [49], [50], однако в этих работах учитываются только вертикальные перемещения пластин. Существенным продвижением в данном направлении исследований является то, что в диссертационной работе рассматриваются задачи, описывающие контакт жестких подобластей друг с другом.

В диссертации используются фундаментальные результаты и методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, вариационного исчисления, выпуклого анализа.

Теория эллиптических задач в областях с гладкими границами изложена, в книге Ж.-Л. Лионса, Э. Мадженеса [39]. С фундаментального исследования В.А. Кондратьева ([23]) берет свое начало теория общих эллиптических задач в негладких областях, см. [47], [95], [96]. Вопросы гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в граничных точках области можно найти в работах В.А. Кондратьева с соавторами [23]-[26]. В книгах [72], [96], [99] дается обоснование формул Грина, используемых в теории упругости.

Пространства Соболева, обобщенные функции и теоремы вложения можно найти в [3], [9], [43], [67], [68], [95]. В книге Л.В. Канторовича [18] подробно изложены понятия рефлексивности функциональных пространств, слабой замкнутости, слабой сходимости.

Вариационные задачи и различные вопросы минимизации функционалов можно найти в монографиях [7], [89].

Представленная диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Теоремы и формулы в каждой главе нумеруются двумя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — на номер теоремы или формулы соответственно. В работе имеются иллюстрации; штриховкой на рисунках обозначены жесткие включения, а цветом выделены те включения в пластинах, которые являются неподвижными.