Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости

Щербаков, Виктор Викторович

Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Щербаков, Виктор Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости»

Автореферат диссертации на тему "Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости"

На правах рукописи

Щербаков Виктор Викторович

Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 0 ¡¡АР 2014

Новосибирск - 2014

005546242

На правах рукописи

Щербаков Виктор Викторович

Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2014

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Хлуднев Александр Михайлович Официальные оппоненты:

Колпаков Александр Георгиевич, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики», профессор кафедры телекоммуникационных сетей и вычислительных средств

Назарова Лариса Алексеевна, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук, заведующая отделом

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита состоится 14 апреля 2014 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук (ИГиЛ СО РАН) по адресу. 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 15. Факс: (383) 333-16-12, e-mail: kurguzov@hydro.nsc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГиЛ СО РАН.

Автореферат разослан « ^ » . 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Российской академии наук.

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению задач оптимального управления формой и структурой в моделях механики деформируемого твердого тела, описывающих равновесие упругих тел с тонкими включениями и возможным отслоением. Речь идет о моделях, формулируемых в виде задач с неизвестной границей и содержащих нелинейные краевые условия (условия типа Синьорини), заданные на берегах трещины отслоения и исключающие взаимное проникание точек упругого тела и тонкого включения.

Актуальность темы исследования. Интерес к вопросам оптимального проектирования формы и внутренней структуры упругих конструкций, содержащих тонкие жесткие и упругие включения, обусловлен широким распространением композиционных материалов с тонкими волокнами. Подобные материалы применяются в строительной отрасли, машиностроении, авиации, космической технике, медицине. В процессе изготовления или эксплуатации материала включения могут частично или полностью отслаиваться от матрицы, образуя тем самым трещины. Классический подход к описанию трещин, имеющий почти вековую историю, оперирует краевыми условиями вида равенств: на противоположных берегах трещины задаются значения компонент вектора перемещений или вектора поверхностных сил. Неоднократно отмечалось, что в ряде ситуаций задачи линейной теории упругости с краевыми условиями вида равенств на берегах трещины допускают физически невозможные решения, описывающие взаимное проникание берегов трещины друг в друга.

Впервые задача о равновесии трехмерного упругого тела с трещиной при краевом условии непроникания, выражающемся в неотрицательности скачка нормальных перемещений на берегах, была рассмотрена Э. Санчес-Паленсией в связи с изучением вопросов усреднения. Условие непроникания дополнялось следующими требованиями на берегах трещины: равенство нулю касательных напряжений, равенство противоположных нормальных напряжений, которые

будут нулевыми в случае раскрытия трещины и неположительными в точках ее смыкания. Таким образом, полный набор краевых условий представляет собой модель трещины с возможным контактом берегов при нулевом трении. В целом такая задача равновесия является нелинейной, принадлежит к классу задач с неизвестными границами: точки контакта берегов заранее неизвестны и находятся в процессе решения задачи, а ее слабая формулировка может быть дана в виде вариационного неравенства на выпуклом множестве всех кинематически допустимых перемещений.

Последние десятилетия характеризуются интенсивным развитием теоретических и численных методов исследования вариационных задач равновесия для различных моделей теории упругости с жесткими и упругими включениями, а также трещинами при краевых условиях непроникания. Существенный вклад в изучение указанного класса задач внесли отчественные и зарубежные ученые: A.M. Хлуднев, В.А. Ковтуненко, Н.П. Лазарев, Е.М. Рудой, М. Hintermuller, К.-Н. Hoffmann, D. Hoemberg, D. Knees, К. Kunisch, G. Leugering, M. Negri,

K. Ohtsuka, J. Sokolowski, A. Tani.

В теоретическом плане рассматриваемые в диссертации задачи управления формой и структурой тонких включений интересны тем, что изучаются свойства решений для нелинейных моделей, описывающих процессы в сильно неоднородных деформируемых телах.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы заключается в исследовании проблем оптимального управления формой и структурой отслоившихся тонких включений в краевых задачах теории упругости с условиями непроникания и, в частности, в получении результатов об их разрешимости.

Основные результаты диссертации:

1. Доказано существование оптимального параметра жесткости для тонкого включения, расположенного в двумерном упругом теле с трещиной, при котором реализуется наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения

дальнейшего развития трещины.

2. Изучена задача оптимального управления для двумерного упругого тела с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыкающей к нему трещиной. Роль функции управления играет положение точки излома, разбивающей включение на два взаимодействующих тонких жестких включения. Функционал качества совпадает с производной функционала энергии по длине трещины. Установлено существование точки излома, обеспечивающей наиболее безопасную конфигурацию с точки зрения критерия разрушения Гриффитса.

3. Исследована задача о равновесии трехмерного упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой двумерной поверхностью. Показана непрерывная зависимость решения от формы жесткого включения. В частности, доказано существование экстремальной формы тонкого жесткого включения, минимизирующей среднеквадратичное интегральное отклонение вектора поверхностных сил от заданной на внешней границе вектор-функции.

4. Установлена разрешимость задачи оптимального управления для уравнений, описывающих равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отслоившимся тонким жестким включением. В качестве управления выбирается форма включения, а целевой функционал характеризует среднеквадратичное интегральное отклонение изгибающего момента от заданной на внешней границе функции.

Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно, их достоверность подкреплена строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут служить основой для дальнейшего теоретического и численного анализа задач оптимального управления формой и структурой тонких включений, а также быть использованы при исследовании обратных задач идентификации формы жестких включений

в деформируемых телах.

Методы исследования. Для доказательства существования решения задач оптимального управления применяются прямые методы, базирующиеся на априорных оценках решений задач равновесия. При этом существенно используются общие методы функционального анализа, вариационного исчисления, теории пространств Соболева, анализа чувствительности форм, а также свойства решений систем уравнений в частных производных эллиптического типа.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2012), IV, V Международных молодежных научных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2012, 2013), Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2013), Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения СЛ. Соболева (Новосибирск, 2013), Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета (Томск, 2013), Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященной 85-летию со дня рождения академика A.C. Алексеева (Новосибирск, 2013), семинаре "Краевые задачи в областях с негладкими границами" под руководством д.ф.-м.н. A.M. Хлуднева (ИГиЛ СО РАН), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела под руководством академика Б.Д. Аннина (ИГиЛ СО РАН).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [1-Ю], три из которых — статьи в рецензируемых научных журналах из Перечня ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

четырех глав и библиографии. Общий объем диссертации составляет 84 страницы, включая 2 рисунка. Библиография содержит 106 наименований на 13 страницах.

Содержание работы

Во введении приведен обзор литературы, близкой к теме данной работы, сформулирована цель и представлены выносимые на защиту научные положения, показана практическая значимость полученных результатов, а также дано краткое описание содержания работы по главам.

В первой главе рассматривается задача управления параметром жесткости тонкого включения, расположенного в двумерном упругом теле. Предполагается, что в теле имеется трещина, часть которой проходит вдоль включения. На берегах трещины задаются краевые условия, имеющие вид равенств и неравенств и описывающие взаимное непроникание берегов трещины. Пусть П С R2 — ограниченная область с липшицевой границей Г. Предположим, что кривая £ делит область П на две подобласти fij и Пг с липшицевыми границами д0.1 и Ш2, причем meas(r П дО,{) > 0, г = 1,2; а части 7, Г„ кривой £ на плоскости х = х2) таковы, что 7 = (-1,0) х {0}, 7ПГ5 = {(0, 0)}, 7ПГ = 0, Г8ПГ = 0. Обозначим через v = (щ, 1/2) вектор единичной нормали к Е, пусть также fi® = П \ (Г, U 7). В наших рассуждениях 7 соответствует тонкому включению с параметром жесткости Л £ [0, оо], аГ8 - трещине в упругом теле Щ. Предельные случаи Л = 0 и Л = оо отвечают трещине и тонкому полужесткому включению, а случай А 6 (0, оо) описывает тонкое упругое включение. Упругие свойства тела характеризуются симметричным, положительно определенным тензором модулей упругости А = {ауы}, г, j, к, 1 = 1,2, aijki = const.

В разделе 1.1 представлены формулировки задач равновесия для упругих тел с тремя видами включений. Рассмотрим случай, когда 7 определяет трещину. В области П® необходимо найти вектор перемещений и0 = (и®, w!j) и тензор

напряжений а0 — {ffy}, i,j = 1,2, такие, что

-di V<T° = / в Ц, (1)

(T0-A£(u0) = 0 В Щ, (2)

и° = 0 на Г, (3)

[и°]>0, <0, [<т°] = 0, <т° = 0, <г°-[«°]=0 на TSU7. (4)

Здесь / = (/i, /2) € СНП)2 — заданные внешние силы, е(и°) = {еу(ы0)} — тензор малых деформаций, etj(u°) = \(и^ + i,j = 1,2. Кроме того,

= а?-^, = Л - • f, = ((&,<£), = «V Н = v+- v~ -скачок вектора v на £, где v± соответствует значениям на положительном и отрицательном берегах кривой Е по отношению к выбранной нормали г/.

Уравнения (1) представляют собой уравнения равновесия, соотношения (2) — линейный закон Гука. Краевые условия (4) обеспечивают взаимное непроникание берегов трещины с нулевым трением.

Дифференциальная постановка задачи о равновесии двумерного упругого тела с трещиной Г5 и полужестким включением 7 состоит в следующем. В области П® требуется найти функции и = (ui,^), и~ = lo на 7, lo 6 Rs(l), и а = {сгц}, i,j = 1,2, такие, что

-diva = / в Щ, (5)

а — Ае(и) = 0 в Ц, (6)

ii = 0 на Г, (7)

Ы >0, <7+ ^ 0, <т± = 0, <х+- Ы = 0 на 7, (8)

[и„] > 0, сх„ ^ 0, [а„\ = 0, оу = 0, сг^ • [ы^] = 0 на Г8, (9) \а„}1 = 0 для всех leRs{l), (Ю)

где ЛД7) = {1{хi) I í(xi) = со + cin, жх е 7; со,6 К}. Условие (10) выражает равенство нулю главного вектора сил и главного момента, действующих на

Формулировка задачи равновесия в случае упругого включения будет та-

кой. Найти поле перемещений и = (их,щ), тензор напряжений а = {сгу},

г, = 1,2, и перемещения ю тонкого включения, определенные в П®, П®, 7 соответственно, такие, что

-сКу<7А = / в Щ, (11)

аА-Ле(иА) = 0 в Ц, (12)

Цш-кА] = 0 на 7, (13)

иА = О на Г, (14)

го^ = гиди = 0 при Ж! = -1,0, (15)

0, аА+г$0, аА± = 0, аА+• = 0 на 7, (16)

[иА]^0, аА<0, [стА] = 0, сга = 0, ст£-[иД=0 на Г,. (17)

Уравнение (13) представляет собой дифференциальное уравнение четвертого порядка для прогиба тонкого упругого включения, которое изгибается в направлении оси Ох2 в рамках приближенной гипотезы балок Бернулли — Эйлера. В соответствии с третьим условием в (16) вертикальные перемещения упругого тела на 7" совпадают с перемещениями тонкого включения.

Задачи (1)-(4), (5)—(10), (11)—(17) допускают вариационную постановку: каждая из них может быть сформулирована в виде минимизации функционала потенциальной энергии на выпуклом замкнутом множестве всех допустимых перемещений.

В разделе 1.2 для каждой из рассмотренных выше задач равновесия приведена формула производной функционала энергии по длине трещины Г„. Считаем, что кривая Г^ С Е задается графиком функции тр <= #3(0, ¿1), т. е. Г51 = {(х1, х2) | Х2 = ~ф(х1), 0 < XI < ¿1}, а трещина Г8 описывается частью

Г.,:

= { (11, Х2) | Х2 = 0 < «1 < й }, 0 < й < 51.

Обозначим через в гладкую срезающую функцию с носителем вблизи верши-

ны трещины (й, 1р{з)), равную единице в достаточно малой окрестности точки (я, ф(з)). Единую для всех А 6 [0, оо] формулу производной функционала энергии по длине криволинейной трещины Гг можно записать в виде

С(Л) = П'а(5)№2 + 1)-1/2,

где

П^) = ± |{сНУУ- £у(иЛ) - 2Яу(У;иА)}<гу(иА) -

т щ

п- п?

Здесь Ег]{и-,у) = + и^м) — трансформированный тензор дефор-

маций, и°° совпадает с решением задачи равновесия (5)-(10), дл = (0,вф"и\), У(х) = (в(х),ф'(х1)в(х)).

В разделе 1.3 изучается вопрос существования оптимального параметра жесткости Л тонкого включения 7, который позволяет указать наиболее безопасную трещину с точки зрения критерия Гриффитса. Из определения производной функционала энергии по длине трещины следует, что для любого А 6 [0, оо] справедливо неравенство (?(А) < 0. Согласно энергетическому критерию Гриффитса трещина Г3 начинает развиваться, если б(А) достигает критического значения х (заданного материального параметра). Задача нахождения оптимального параметра А формулируется следующим образом:

зир <3(Л). (18)

Ае[0,оо]

Теорема 1.1. Существует решение задачи оптимального управления (18).

Во второй главе рассматривается задача оптимального управления для двумерного упругого тела с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыкающей к нему трещиной. При этом предполагается, что тонкое включение разбивается точкой излома на два взаимодействующих тон-

ких жестких включения. Роль функции управления играет положение точки излома.

В разделе 2.1 описана геометрия задачи равновесия, которая в целом совпадает с геометрией задачи, рассмотренной в главе 1, также приведены две постановки задачи: дифференциальная и вариационная. Для малого а > 0 обозначим 7а = (—1 4- а, —а) х {0}. Считаем, что тонкое жесткое включение 7 имеет излом в точке xq 6 7„, то есть 7 = 71 U 72 U {яо}, причем 71 и 72 являются тонкими жесткими включениями. Это означает, что перемещения точек 7¡ суть элементы пространств R(7¡) инфинитезимальных жестких перемещений, которые определяются следующим образом:

ЯЫ = { Р = (Рь Р2) I Р(х) = Bix + Cuxe 7; },

где

( о гЛ

Bi = , Ci = (c¿1,c¡2); Ьисц,сг2 = const, г = 1,2.

\-b¿ оу

Дифференциальная постановка задачи о равновесии двумерного упругого тела с трещиной Г,, и тонкими жесткими включениями 71,72, которые отслаиваются на 7+, состоит в следующем. Найти поле перемещений и = (щ, иг), функции

рг0 £ Л(7,-), тензор напряжений о" = {оу}, г, э = 1, 2, такие, что

-<йуст = / в Г2*, (19)

сг — Ае(и) = 0 в П*, (20)

и = 0 на Г, (21)

и~ = Ро на 7,-, г = 1,2, (22)

[м]г/ ^0, сг„ < 0, [а„] = 0, ат = 0, ст„ ■ [и]г/ = 0 на Г8, (23)

[и]и ^ 0, <^0, <т+ = 0, сг+-[и]^ = 0 на 7, (24) |[а1/]р1+ [<л/]р2 = 0 для всех р{ € ЯЫ, рЧ^о) = р2(х0). (25)

71 72

Условия равновесия тонких жестких включений 71, 72 описываются интегральным соотношением (25). Сформулированная задача примыкает к классу задач

с неизвестными границами: точки контакта берегов, т. е. точки, в которых \и\и = 0 на Г5 и 7, заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи.

Задача (19)-(25) разрешима и допускает вариационную формулировку. Действительно, пусть Щ(Щ) = {у в | у = 0 на Г }, где — пространство Соболева функций, суммируемых с квадратом вместе с первыми производными в П*. Определим выпуклое замкнутое в Щ(Щ)2 множество допустимых перемещений

К = {у = (уи ы) € | {у}и ^ 0 на Г, и Г, 7Г € ВД, » = 1,2}.

Существует единственное решение задачи минимизации коэрцитивного, полунепрерывного снизу, строго выпуклого функционала потенциальной энергии П на множестве К, удовлетворяющее вариационному неравенству

и € К, <7у(и)£Гу(г/ - и) - | - щ) ^ 0 для всех у <= К. (26)

Постановки (19)-(25) и (26) эквивалентны на достаточно гладких решениях: любое гладкое решение краевой задачи (19)—(25) удовлетворяет (26), и обратно, все соотношения (19)-(25) можно получить из (26), предполагая дополнительную гладкость решения и выбирая подходящие пробные функции.

В разделе 2.2 выписана производная функционала энергии по длине криволинейной трещины Г3, вычисленная на решении задачи (19)-(25).

Раздел 2.3 посвящен формулировке и доказательству основного результата главы 2. Рассмотрим производную функционала энергии, обозначаемую через С, как функционал, зависящий от положения точки излома: (? = С(х0). Задача нахождения точки излома, которая обеспечивает наиболее безопасную конфигурацию с точки зрения критерия разрушения Гриффитса, заключается в следующем:

8ирС?(х). (27)

Я67„

Теорема 2.1. Существует решение задачи оптимального управления (27).

В третьей главе изучается задача о равновесии трехмерного упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой двумерной поверхностью.

В разделе 3.1 представлены дифференциальная и вариационная постановки задачи равновесия. Для решения вариационной задачи найдена точная интерпретация всех краевых условий на берегах трещины отслоения в подходящих функциональных пространствах. Пусть ПсК3- ограниченная область с границей Г класса С°°, а 7 С П — гладкая поверхность без самопересечений, 7 П Г = 0; fi7 = Í2 \ 7. Для заданных внешних нагрузок / = (/ь/2,/3) требуется найти поле перемещений и = (и1,и2,и3), функцию ро в Я{7), тензор напряжений а - {<7у}, г, 3 = 1, 2, 3, такие, что

—div а = f в (28)

а - Ае(и) = 0 в fi7, (29)

и = 0 на Г, (30)

и~ = ро на 7, (31)

[и]и ^ 0, а+^0, а+ = 0, ■ [и]и = 0 на 7, (32)

|[ст!/]р = 0 для всех р G Л(7)- (33)

Здесь Я(7) = {р = (рьр2,рз) | = Вх + С, х 6 7}, В - постоянная кососимметрическая матрица, С — постоянный вектор.

В разделе 3.2 рассматривается задача оптимального управления формой включения, расположенного в однородном изотропном упругом теле. Пусть п = (П1,П2,п3) — единичный вектор нормали к Г, ш С R2 — ограниченная область с липшицевой границей дш, а Ф С — непустое выпуклое замкну-

тое и ограниченное множество. Считаем, что каждая поверхность 7, задаваемая графиком функции ф € Ф, лежит в области Q, строго внутренней по отношению к П: 7 = { (xi, х2, х3) | х3 = ф(х1,х2), (х1: х2) € и)} С ñ <g П.

Задача оптимального управления формой тонкого жесткого включения 7 состоит в том, чтобы среди элементов множества допустимых управлений Ф выбрать такой, при котором отклонение вектора поверхностных сил ап от заданной вектор-функции р„ € £2(Г)3 будет наименьшим. Другими словами, требуется решить задачу

МИФ) (34)

с функционалом качества J(^ф) = \\а{ф)п — р.; ¿2(Г)3||.

Побудительным мотивом к исследованию проблемы (34) является обратная задача идентификации для модели (28)-(33), где наряду с полем перемещений и и тензором напряжений а, неизвестной является форма ф включения 7. При этом в качестве дополнительной информации о решении используется значение р, вектора поверхностных сил сгп на внешней границе. Г.

Основной результат третьей главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 3.1. Существует решение задачи оптимального управления (34).

Четвертая глава посвящена изучению задачи оптимального управления для уравнений, описывающих равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отслоившимся тонким жестким включением. Условие непроникания точек пластины и включения имеет более сложную структуру по сравнению с ситуациями, представленными ранее: его правая часть содержит первые производные от прогибов срединной поверхности, что осложняет исследование задачи управления формой включения.

В разделе 4.1 описана геометрия рассматриваемой задачи равновесия, приведены дифференциальная и вариационные постановки задачи. Пусть Г2 — ограниченная область в пространстве К2 с границей Г класса С00, 7 С П — гладкая кривая без самопересечений, 7 Л Г = 0. Обозначим через V = (^ь и п = (р,1,щ)Т единичные нормали к 7 и Г соответственно. Отождествим срединную поверхность пластины с областью П7, считая при этом, что кривая

7 соответствует тонкому жесткому включению. Для описания вертикальных перемещений точек 7 нам понадобится пространство непрерывных аффинных функций L(7) = {11 1{х) = а0 + a\Xi + а2х2, а; = const, i = 0,1,2; х е 7 }.

Постановка задачи о равновесии однородной изотропной пластины с тонким жестким включением 7, которое отслаивается на 7+, состоит в следующем. Найти горизонтальные и — («ь ui)T и вертикальные перемещения w, функции ро € R(7), k е L(7), такие, что

—div а = F, &2w = f в П7,

<9w

wj = «2 = u> = -7— = 0 на 1, an

[vT]v > |[(V«?)IV]| на 7, w~ = Po, = /0 на 7, |(<7i/)Tu] + [tvw] - |[ro„(V«;)ri/] = 0,

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

[{avfv] +

[iV] -

7 7

\T.

v(Vip)Tv] ^ 0 для всех (w, 6 K. (40)

Здесь F = (Fi,F2)t e C1^)2, / € Сг(П) — заданные внешние нагрузки;

К = {(v,tp) е Я1(П7)2 х > |[(V<p)ri/]l на7;

(«,¥>) |7- £%) xL(7)}

— множество допустимых перемещений пластины. Компоненты тензоров усилий а(и) = {ffy(u)} и деформаций e(u) = {ey(w)} связаны линейным законом Гука. Изгибающий момент и перерезывающая сила определяются по формулам

mv{w) = хДш + (1 - н)-^, f{v>) = ^ + i1 - *) >

х = const, О < х < i, г = (ть т2)т = (~^2>

Уравнения (35) суть уравнения равновесия, условия (36) соответствуют жесткому защемлению пластины на внешней границе Г. Нелокальные краевые условия

(39)-(40) выражают принцип виртуальных перемещений, который гласит: работа внутренних сил на допустимых перемещениях точек пластины не меньше, чем работа внешних сил, а на истинных перемещениях работа обращается в нуль. Точки контакта пластины и включения заранее неизвестны и подлежат определению. Таким образом, в условии непроникания (37) неизвестны точки, в которых реализуются равенство и строгое неравенство соответственно.

Введем билинейную симметричную по и, и 6 Яр(П7) форму

£>(«, у) = и,11^,11 4" и,22^,22 + >«1,11^,22 + ^,22^,11 + 2(1 - х)и 12«,12-Задача (35)-(40) эквивалентна задаче минимизации функционала энергии

на множестве К и может Сыть записана в виде вариационного неравенства:

В разделе 4.2 представлена задача оптимального управления формой тонкого жесткого включения и доказана теорема о ее разрешимости. Пусть Ф С Щ(0,1) — непустое выпуклое замкнутое и ограниченное множество. Предположим, что каждая кривая 7, задаваемая графиком функции ф € Ф, лежит в области П, строго внутренней по отношению к П:

Среди элементов множества допустимых управлений Ф необходимо определить тот, при котором изгибающий момент тп„(т(ф)) как можно меньше отличается от заданной на внешней границе функции р» е ¿2(Г). Иначе говоря, требуется найти решение задачи

7 = { (2:1,2:2) | х2 = ф(х 1), хх € (0,1) } С П т П.

с функционалом качества J(^ф) = |\тп(т(1р)) — р»; Ь2(Г)||.

Теорема 4.1. Существует решение задачи оптимального управления (41). Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Хлудневу Александру Михайловичу за постоянное внимание к работе и всестороннюю подаержку.

Список публикаций

1. Щербаков В. В. Управление жесткостью тонких включений в упругих те- • лах с криволинейными трещинами // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 135-149.

2. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журнал индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138-147.

3. Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журнал индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142-151.

4. Щербаков В. В. Управление параметром жесткости тонких включений в упругих телах с трещинами // Тезисы докладов XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2012. С. 58.

5. Щербаков В. В. Задача оптимального управления для упругого тела, содержащего прямолинейное тонкое жесткое включение и трещину // Тезисы докладов IV Международной молодежной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012. С. 124.

6. Щербаков В. В. Управление формой и структурой тонких включений в упругих телах при наличии трещин // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. Новосибирск: Издательство Института математики, 2013. С. 304.

7. Щербаков В. В. Оптимальное управление в задачах теории упругости с тонкими включениями // Тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль. М: МИАН, 2013. С. 244.

8. Щербаков В. В. К вопросу о существовании оптимальной формы тонких жестких включений в упругой пластине // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета. Томск: Издательство "Иван Федоров", 2013. С. 180.

9. Щербаков В. В. Задача идентификации формы тонкого жесткого включения в деформируемом теле // Тезисы докладов V Международной молодежной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", посвященной 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2013. С. 106.

10. Щербаков В. В. О разрешимости задачи идентификации формы тонкого жесткого включения в пластине Кирхгофа — Лява // Тезисы докладов Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященной 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2013. С. 101.

Подписано в печать 28.01.2014 г. Заказ 144

Формат бумаги 60 х 84 Объем 1 п.л.

Тираж 75 экз. Бесплатно

Отпечатано на полиграфическом участке ИГиЛ СО РАН 630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Щербаков, Виктор Викторович, Новосибирск

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

04201456904

Щербаков Виктор Викторович

Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

д. ф.-м. н., проф.

Хлуднев Александр Михайлович

Новосибирск - 2014

Содержание

Введение .................................... 3

Глава 1. Задача управления параметром жесткости тонкого включения в упругом теле с трещиной .................. 13

1.1. Задачи равновесия........................... 13

1.2. Производные функционалов энергии по длине трещины..... 18

1.3. Оптимальный параметр жесткости включения........... 23

Глава 2. О выборе оптимального положения точки излома ... 32

2.1. Краевая задача ........................................................32

2.2. Формула для производной функционала энергии ..................36

2.3. Задача оптимального управления....................................38

Глава 3. Об экстремальной форме тонкого жесткого включения в упругом теле............................... 45

3.1. Постановка задачи........................... 45

3.2. Экстремальная форма включения.................. 50

Глава 4. Существование оптимальной формы тонкого жесткого включения в пластине Кирхгофа — Лява............. 58

4.1. Формулировка задачи равновесия.................. 58

4.2. Управление формой включения................... 62

Литература................................... 72

Введение

Диссертация посвящена изучению задач оптимального управления формой и структурой в моделях механики деформируемого твердого тела, описывающих равновесие упругих тел с тонкими включениями и возможным отслоением. Речь идет о моделях, формулируемых в виде задач с неизвестной границей и содержащих нелинейные краевые условия (условия типа Си-ньорини), заданные на берегах трещины отслоения и исключающие взаимное проникание точек упругого тела и тонкого включения.

В диссертации изучаются проблемы оптимального управления для задач равновесия упругих тел, содержащих тонкие включения. Различаются три основных вида включений: упругие, жесткие и обладающие нулевой жесткостью (трещины или разрезы). Поверхности и кривые, на которых расположены тонкие включения, обычно называют внутренними концентраторами или дефектами. Их присутствие оказывает существенное влияние на прочность тел, поскольку они вызывают значительную концентрацию напряжений вблизи своих негладких участков границы. Таким образом, проблема отыскания напряжений в окрестности включения представляет собой важную задачу.

Упругое тело с тонкими жесткими или упругими включениями является одной из простых моделей композиционного материала. Изучению подобного рода моделей посвящено большое число работ. Впервые задача теории упругости о растяжении бесконечной пластинки с абсолютно жестким ядром эллиптической формы была рассмотрена Н. И. Мусхелишвили в [28]. Используя предельный переход в найденном им решении, можно получить результат и в случае тонкого жесткого включения. Задачи о прямолинейных тонких жестких включений, расположенных на линии раздела двух изотропных упругих сред и полностью сцепленных с ними, исследовались в работах [34, 66, 67, 73, 106].

В процессе изготовления или эксплуатации материала включения могут частично или полностью отслаиваться от матрицы, образуя тем самым трещи-

ны. Случай полного отслоения жесткого включения от упругой матрицы при отсутствии контакта рассматривался в [34, 68, 100]. Цикл работ [9, 27, 43] посвящен применению аппарата теории краевых задач на римановых поверхностях для определения напряженно-деформированного состояния кусочно-однородной упругой плоскости с одним или несколькими тонкими жесткими прямолинейными включениями на границе раздела. При этом предполагается, что одно из включений отслаивается и контактирует со средой подобно гладкому жесткому штампу. Отметим также монографию [3], в которой изучалось взаимовлияние жестких линейных включений и трещин. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, содержащей криволинейный тонкие жесткие включения и трещины проведен в [25].

Классический подход к описанию трещин, имеющий почти вековую историю, оперирует краевыми условиями вида равенств: на противоположных берегах трещины задаются значения компонент вектора перемещений или вектора поверхностных сил. Именно, пусть 7 — гладкая поверхность (или кривая), соответствующая трещине. Обозначим через V вектор единичной нормали к 7, определяющий положительный 7+ и отрицательный 7" берега трещины. Тогда

и7 = д* или очу, = /г^ на 7±,

где иг суть компоненты вектора перемещений, сгу — компоненты тензора напряжений, а д*, Ь^ — некоторые заданные функции. Основы классической теории изложены в работах [6, 7, 26, 31, 42, 53, 54, 103]. В математическом плане центральной особенностью краевых задач для тел с трещинами является постановка в негладкой области, содержащей разрез. Теория краевых задач для эллиптических операторов в областях с особенностями, в частности, с коническими точками, углами, ребрами и пиками развита в [14, 24, 29, 77, 78].

Неоднократно отмечалось, что в ряде ситуаций задачи линейной теории упругости с краевыми условиями вида равенств на берегах трещины допускают физически невозможные решения, описывающие взаимное проникание берегов

трещины друг в друга. Один из возможных способов устранения этого недостатка заключается в задании условия одностороннего ограничения (условия непроникания):

[щ]щ ^ 0 на 7. (1)

Здесь скобки [г;] = г>+ — у~ обозначают скачок функции V на 7. Впервые задача о равновесии трехмерного упругого (и вязкоупругого) тела с системой малых периодически расположенных трещин при краевых условиях вида (1) была рассмотрена Э. Санчес-Паленсией в связи с изучением вопросов усреднения [101]. Условие непроникания (1) на берегах трещины дополнялось следующими требованиями: равенство нулю касательных напряжений, равенство противоположных нормальных напряжений, которые будут нулевыми в случае раскрытия трещины и неположительными в точках смыкания трещины. Таким образом, полный набор краевых условий представляет собой модель трещины с возможным контактом берегов при нулевом трении. В целом такая задача равновесия является нелинейной, принадлежит к классу задач с неизвестными границами: точки контакта берегов заранее неизвестны и находятся в процессе решения задачи, а ее слабая формулировка может быть дана в виде вариационного неравенства на выпуклом множестве всех кинематически допустимых перемещений.

Интересно, что толчком к созданию теории вариационных неравенств послужила другая задача теории упругости с условием одностороннего ограничения на границе — задача А. Синьорини о контакте упругого тела с недеформиру-емой жесткой поверхностью, поставленная в 1933 году и изученная достаточно полно Г. Фикерой (см. [47, 74]). Сведения о современном состоянии различных обобщений задачи Синьорини, численных методах их решения, а также некоторые открытые вопросы доступны в обзоре [15].

Обращение к постановке в виде вариационного неравенства зачастую обусловлено нелинейностью рассматриваемой задачи. Теория абстрактных вари-

ационных неравенств развивалась в работах Г. Стампаккьи и Ж.-Л. Лионса [10, 20, 21, 99]. Приложения к конкретным квазистационарным и эволюционным задачам механики сплошных сред и физики можно найти в [4, 8, 48]. Важной особенностью вариационных неравенств является тот факт, что гладкость их решения существенно зависит не только от гладкости данных, определяющих абстрактный оператор, но и от характера выпуклых ограничений, которые могут быть заданы как при помощи тонкого препятствия (в случае задачи Си-ньорини и задач теории трещин), так и поточечно. Это, в свою очередь, приводит исследователей к необходимости использования своего собственного подхода для каждого конкретного вида ограничений. Результаты о регулярности решений вариационных неравенств отражены в [46, 48, 69, 75, 98].

Применение вариационного подхода позволяет единообразно изучать задачи о трещинах как в линейной, так и нелинейной постановках. Значительный вклад в развитие теории трещин с возможным контактом берегов внес А. М. Хлуднев с соавторами и учениками. Наряду с моделями линейно-упругого тела в их работах рассматриваются модели теории упругости высокого порядка: пластины и оболочки Кирхгофа — Лява и Тимошенко. В случае пластины Кирхгофа — Лява, содержащей сквозную вертикальную трещину, условие непроникания имеет вид [86]:

на 7. (2)

Здесь к ги — горизонтальные и вертикальные смещения точек срединной поверхности пластины соответственно, I — полутолщина пластины, а кривая 7 определяется пересечением поверхности трещины со срединной поверхностью. К настоящему моменту в рамках моделей, описывающих возможный контакт берегов трещины, получен целый ряд основополагающих теоретических результатов. Были исследованы вопросы существования, единственности и регулярности решений в пространствах Соболева задач равновесия с различными уравнениями состояния [86, 92], доказана разрешимость проблем оптимального управ-

Щи ^ I

дги ~дй

ления [5, 12, 17, 38, 87], разработаны методы фиктивных областей [18, 44, 81] и гладких областей [16, 50, 94]. С использованием вариационных свойств решений задач равновесия была доказана дифференцируемость функционалов потенциальной энергии по параметру возмущения формы области [19, 37, 39]. Более того, было показано, что найденные производные можно представить в виде инвариантных интегралов типа Черепанова — Райса по произвольному замкнутому контуру [13, 91, 93]. Разработке и анализу численных алгоритмов решения указанного класса задач посвящены работы [11, 79, 80, 96]. Среди работ других авторов отметим [95], где был получен ответ на вопрос о гладкости решения вблизи вершины трещины в терминах пространств Бесова для двумерной и трехмерной постановок задачи, а также [32], где была обоснована Ь2—сходимость решений задач равновесия с периодически расположенной системой трещин к решению усредненной задачи при условии, что размер периода стремится к нулю.

В недавних работах [51, 97] были предложены модели пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко, содержащих объемные жесткие включения с возможным отслоением. При этом для описания отслоения включения от матрицы использовались нелинейные краевые условия вида системы неравенств и равенств, исключающие взаимное проникание точек тела и включения. В частности, указанные модели описывают и более простые ситуации, например, равновесие двумерного упругого тела трещиной на границе жесткого включения. В случае тонкого жесткого включения можно обратиться к работам [85, 88]. Если проводить аналогию с задачами теории трещин, то последний класс задач содержит новое интегральное условие, которое дает равенство главного вектора сил и главного момента сил на противоположных берегах включения. В ходе анализа задач равновесия упругих тел с жесткими включениями и трещинами был изучен широкий круг вопросов: доказана дифференцируемость функционалов энергии по форме области [33, 40], найдены 3— и М—инвариантные интегралы [41, 82], исследована разрешимость контактных задач для упругих

пластин, расположенных под углом друг к другу и содержащих жесткие включения [30, 35, 36].

Сложным и интересным является вопрос влияния формы и структуры включений на возможное развитие трещин. Многие из таких содержательных проблем допускают формулировку в виде задач оптимального управления с функционалами качества, связанными с одним из критериев разрушения. Наиболее удобным в применении к задачам равновесия с нелинейными краевыми условиями является энергетический критерий Гриффитса [53, 76]. В соответствии с ним трещина начинает развиваться, если производная функционала

энергии по параметру возмущения трещины достигает некоторого критического значения (заданного материального параметра). В работах [83, 90] доказана разрешимость задач оптимального управления, где в качестве функции управления выбирается форма объемного жесткого включения. При этом разобраны ситуации как с отслоением включения, так и без отслоения. Целевой функционал совпадает с производной функционала энергии по длине трещины. Таким образом, показано существование наиболее безопасной формы включения с точки зрения критерия Гриффитса. В случае, когда функцией управления является параметр жесткости объемного включения, результат получен в [84].

Интерес к проблемам оптимизации формы конструкций вызван наличием актуальных приложений в автомобильной промышленности, авиа- и судостроении и других областях. Такие проблемы важны не только в прикладном, но и теоретическом плане. Попытки их решения порой наталкиваются на серьезные математические трудности, вызванные тем, что соответствующие задачи формулируются в виде проблем оптимального управления для краевых задач с неизвестными границами. Классические вопросы управления формой области обсуждаются в монографиях [2, 22, 45]. Применению теории оптимального управления системами, поведение которых описывается уравнениями в частных производных, к проблемам механики сплошных сред посвящены работы [1, 23]. Доказательства теорем существования оптимальных форм, представленные в

диссертации, опираются на общие идеи анализа чувствительности форм. Теоретические и вычислительные аспекты анализа чувствительности форм, в том числе для вариационных неравенств и задач с односторонними ограничениями, можно найти в [49, 71, 72, 102, 104, 105].

Основные результаты диссертации:

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [55-64], три из которых — статьи в рецензируемых научных журналах из Перечня ВАК РФ.

Представленная диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и библиографии. Общий объем диссертации 84 страницы, включая 2 рисунка. Библиография включает 106 наименований на 13 страницах. В работе принята нумерация формул двумя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, а второе — на номер формулы в главе.

В первой главе рассматривается задача оптимального управления для двумерного упругого тела с тонким включением и трещиной, часть которой расположена на границе меж�