Применение методов сингулярных возмущений к задачам механики разрушения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

§ I. Модели реальных трещин в линейной механике разрушения

§ 2. Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругой плоскости с тонким вырезом

§ 3. Определение разрушающей нагрузки в случае одноосного растяжения или сжатия

§ 4. Построение диаграмм разрушающих нагрузок для двухосного напряженного состояния

Глава I. ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, ОСЛАБЛЕННОЙ ТОНКИМ ВЫРЕЗОМ.

25 3$

Глава П. ХРУПКАЯ ПРОЧНОСТЬ УПРУГИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЛ,

СОДЕРЖАЩИХ ТОНКИЕ ПОЛОСТИ.

§ I. Напряженное состояние пространства, ослабленного тонкой дисковидной полостью

§ 2. Тонкая тороидальная полость в полубесконечном упругом теле

§ 3. Применение критерия В.В.Новожилова в пространственных задачах механики хрупкого разрушения

Глава Ш. {ШТРШШНО-ДЕШРЖРОВШОЕ СОСТОЯНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ "УПРУГИХ ТЕЛ С ТОНКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМ.

§ I. Пространство с абсолютно жестким тороидальным включением . . so

§ 2. Бесконечная матрица, содержащая тонкое жесткое волокно

§ 3. Структура напряженно-деформированного состояния и интегральные характеристики упругих тел с тонкими включениями

3 а к л ю ч е н и е . ^Ц

Л и т е р а т ур а. . U

Развитие техники и технологии, появление и широкое использование новых материалов, в частности, композиционных, требуют постоянного совершенствования методов расчета конструкций. В первую очередь это относится к механике разрушения, основная задача которой - оценка прочности конструкций - состоит в определении областей допустимого изменения геометрических и физических параметров материалов и диапазона рабочих нагрузок. Другим важнейшим и, в известном смысле, альтернативным вопросом является оптимальное проектирование и снижение веса элементов при сохранении надежности и заданных характеристик конструкции.

Аналитический расчет напряженно-деформированного состояния упругих тел сложной конфигурации сопряжен, как известно, с серьезными математическими трудностями. Непосредственная численная реализация задач механики деформируемого твердого тела (особенно трехмерных) при наличии концентраторов напряжений или тонких элементов связана всегда с большим объемом вычислений.

На практике, однако, часто достаточно использовать просто хорошее приближение к точному решению или, что то же самое, ввести упрощающие предположения, то есть принять за основу некоторую модель реальной конструкции. Примерами тому могут служить проверенные практикой двумерные теории пластин и оболочек, теории эффективных свойств композиционных материалов, представление трещин математическими разрезами. Вместе с тем любая модель имеет, естественно, свою, ограниченную область применения. Известно, что нельзя, например, в двумерной теории пластин, точно удовлетворить все краевые условия на торцах; в задачах механики трещин ребро разреза становится носителем особенности в компонентах тензора напряжений и т.д. Поэтому для анализа явлений, не описываемых в рамках теории "первого приближения", привлекаются уточненные модели, учитывающие Даевой эффект в пластинах и оболочках, теометрию трещин, взаимодействие включений и т.п.

В тесной связи с проблемой построения адекватных моделей в механике и физике находится вопрос об отыскании приближенных (асимптотически точных по некоторому параметру) решений краевых задач математической физики. Такие решения представляются в виде формальных рядов, содержащих малый параметр, причем, каждый следующий член разложения тлеет по сравнению с предыдущим более высокий порядок малости. Эти ряды не обязательно сходятся, но уже главные их члены близки к точному решению исходной задачи.

Ставшая уже классической теория регулярных возмущений краевых задач (см., например, монографии [51] Т.Като и [128J К.Сйжцрихса ) нашла многочисленные применения и в задачах механики деформируемого твердого тела. Б книге [114] О.М.Саркисяна метод малого параметра последовательно применяется к теории кручения стержней. Эти же идеи в монографии [46] Д.Д.Ивлева и Л.В.Ершова использованы для расчета конструкций в рамках теории упруго-пластического тела. В обзоре [57] В.Д.Кубенко, Ю.Н.Неми-ша, К.И.Шнеренко и Й.А.Шульги содержится обширная библиография по применению метода "возмущения формы границы" к задачам о концентрации напряжений в пластинах и оболочках, пространственным задачам теории упругости, плоским задачам в классической и моментной постановках и другим. В книге [98] В.В.Панасюка изучается напряженно-деформированное состояние упругого тела, содержащего плоскую в плане трещину-разрез, близкую по форме к эллиптической или кротовой. Регулярные возмущения приводят, как правило, к предельной задаче, правые части которой содержат малый параметр. Последовательное решение рекуррентной системы, получащейся расщеплением операторов задачи и краевых условий в ряды по степеням этого параметра дает равномерную асимптотику решения для всей области определения. Особенно эффективным метод м&иого параметра оказывается при изучении решений задач о малых возмущениях границы, совпадающей с канонической поверхностью и вариации внешних нагрузок вблизи известного напряженного состояния.

Асимптотики ряда важнейших задач механики деформируемого твердого тела не могут быть найдены в рамках классической теории возмущений. Это задачи в областях, одно или несколько измерений которых малы по сравнению с характерным геометрическим параметром; задачи, операторы которых содержат малый параметр при старших производных. Оператор предельной краевой задачи или поверхность, на которой поставлены краевые условия, имеют здесь размерности, меньшие по отношению к исходным. Нерегулярные возмущения возникают в теории осреднения композиционных материалов (в силу "быстрой осцилляции" упругих параметров), при сглаживании особенностей границы области и т.д. Обсуждение понятий сингулярное возмущение и предельная краевая задача можно найти в статьях [127] К.шридрихса, [в] В.М.Бабича и В.С.Булдырева и других работах (например, монографиях, указанных ниже в обзоре). Естественными малыми параметрами в конкретных ситуациях могут служить: относительная толщина пластинки или оболочки, отношение упругих постоянных, показатель моментности, размер ячейки, длина волны и т.п. Равномерные по параметру асимптотические разложения отыскиваются уже не в одном, а в нескольких итерационных процессах, так что коэффициенты этих рядов конструируются из решений нескольких предельных краевых задач.

Строгие математические исследования сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач начаты :/1.Й.Вишиком и Л.А.Люс-терником в работе [16], где описаны алгоритмы построения равномерных асимптотик задач для гладких областей, операторы при этом содержат малый параметр при старших производных. В обзоре [121] В.А.Треногина приведена обширная библиография по развитию и применению этого метода к задачам математической физики.

Большое распространение в приложениях получили методы составных и сращиваемых асимптотических разложений. Отметим здесь известные монографии [14] М.Ван-Дайка, [83] А.Х.Найфэ, [55] Дж.Коула, [97] Ф.Олвера и [142] В.Эксхауза. В значительной степени эта теория развита [31, 67, НО] A.M.Ильиным и его учениками.

Новый общий подход к исследованию сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач, синтезирующий методы составных и сращиваемых разложений, основанный на концепции "предельных краевых задач", предложен [89-91] С.А.Назаровым. Этот метод позволяет с единых позиций исследовать широкий класс задач в тонких областях, краевых задач с малым параметром при старших производных в областях с кусочно-гладкой границей, задач в областях с периодически изменяющимся сечением и многих других. В частности, в работе [9l] С.А.Назаровым изучена структура решений эллиптических по А.Дуглису - Л.Ниренбергу краевых задач в тонких областях, имеющая важное прикладное значение. Ранее математические вопросы исследования задач в тонких областях разрабатывались в статьях [29, 3D, 133] М.Г.Джавадова, М.Д.Махмудова и Р.С.Эфендиева.

Книга [64] В.Г.Мазьи, С.А.НазароЕа и Б.А.Пламеневского посвящена изучению равномерных асимптотик решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. В ней содержатся алгорифмы построения асимптотических разложений решений линейных и квазилинейных уравнений в областях с коническими точками, ребрами и малыми отверстиями.

Выделим важный класс краевых задач для внешности малых и тонких областей. Асимптотики их решений разными методами изучались в работах [156, 153-155] Дж,Келлера и Дж.Джира, [47-49] А.М.Ильина, [123-126J М.В.«здорюка, [65] В.Г.Мазьи, С.А.Назарова и Б.А.Пламеневского. Отметим еще в этой связи работы [160162]

Д.Хоментковши.

Метод осреднения дифференциальных уравнений с быстроосцил-лирующими коэффициентами [ю7 предложен Н.С.Бахваловым. Применению его к исследованию процессов в периодических упругих средах, композиционных и перфорированных материалах посвящены работы О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна, Г.П.Панасенко, В.В.Болоина, Ю.Н.Новичкова, Б.Е.Победри, а также А.Бансуссана, Г.Папаниколаи, Ж.-Л.Лионса и многих других советских и зарубежных авторов.

Сингулярные возмущения объективно возникают при постановке основных задач механики разрушения. Известно, что несущую способность конструкции существенно снижают трещины-полости, один или несколько линейных размеров которых малы в сравнении с параметром их длины. Резкое изменение кривизны контура в окрестности кромки вызывает значительную местную концентрацию напряжений и при достижении внешней нагрузкой некоторого предельно допустимого значения которое много ниже теоретического предела прочности материала приводит к дальнейшему распространению полости. Экспериментами установлено, что разрушение многих современных конструкционных материалов происходит хрупким или квазихрупким образом, при этом обнаружено, что развитие трещин начинается по площадкам, которые подвержены действию наибольших растягивающих напряжений. Вплотную к проблеме оценки прочности примыкает задача исследования напряженно-деформированного состояния композиционных материалов, конструируемых армированием упругой матрицы включениями различной геометрической формы. Большой интерес в теоретическом и прикладном отношениях представляет изучение тонких пространственных включений, размеры которых малы в сравнении с характерным параметром их длин, так что в пределе они вырождаются в некоторые одномерные множества. При построении приближенного решения возникают принципиальные трудности в постановке граничных условий предельной задачи, поскольку область испытывает нерегулярные возмущения. Важной и, пожалуй, наиболее сложной представляется ситуация, когда включение большой жесткости запрессовано в упругую матрицу: предельная задача здесь некорректна.

Все сказанное выше, несомненно, указывает на актуальность, теоретическую и практическую важность последовательного приложения. к теории упругости и механике разрушения современного аппарата исследования сингулярно возмущенных краевых задач математической физики.

Цель диссертационной работы - изучить напряженно-деформированное состояние и оценить величины разрушающих нагрузок упругих тел, ослабленных тонкими полостями (трещинами) , а также исследовать взаимодействие жестких нитевидных включений с упругой матрицей и найти важнейшие интегральные характеристики композиционного материала.

Математические вопросы механики разрушения упругих тел с разрезами'разработаны в трудах Г.И.Баренблатта, Р.В.Гольдштей-на, Е.М.Морозова, Н.Ш.Морозова, В.В.Новожилова, В.В.Панасюка, В.З.Партона, П.И.Перлина, Ю.Н.Работнова, Р.Л.Салганика, Л.И.Седова, Л.Й.Слепяна, Г.П.Черепанова, Я.С.Уфпянда и других советских ученых. Вклад в решение этих проблем зарубежными математиками и механиками связывается с именами Н.Вюкнера, М.Вильямса, А.Гриффитса, Г.Ирвина, М.Кассира, Г.Либовица, Дж.Райса, Г.Си, И.Снедцона и другими. Изучению напряженно-деформированного состояния упругих тел, содержащих включения, посвящено большое число работ. Укажем здесь на исследования В.Д.Купрадзе, В.М.Левина, А.И.Лурье, Я.С.Подстригача, Т.Д.Шермергора, а также Дж. Келлера, Е.Кренера, Р.Кристенсена, Р.Муки, Е.Стернберга и Дж. Эшелби.

Основные результаты главы опубликованы автором в совместных с С.А.Назаровым докладе [44] и статье [45]. а [45] диссертантом получена асимптотика дальнего поля смещений, найдено решение возникающей системы интегральных уравнений, вычислены характеристики задачи Робена, а в [44] - решена задача о тонком жестком стержне, заключенном в упругую матрицу, найдены интегральнце характеристики композита и исследована структура напряженно-деформированного состояния.

§ I. Пространство с абсолютно жестким тороидальным

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методы сингулярных возмущений являются мощным современным инструментом исследования важнейших задач деформируемого твердого тела и механики разрушения.

В диссертационной работе изучение вопросов хрупкого разрушения (как в плоских, так и в пространственных задачах) проводится на основе единой методики, включающей построение асимптотически точного упругого решения и применения затем в рамках теории нормального отрыва критерия В.В.Новожилова, которая дает конструктивный способ определения величин разрушающих нагрузок.

В диссертации на основе развитого в последнее время аппарата исследования решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области изучено напряженно-деформированное состояние пространственных упругих тел, содержащих тонкие включения высокой жесткости. Эти результаты позволили найти асимптотики важнейших интегральных характеристик композиционного материала -тензоров упругой и поляризационной емкостей, которые служат мерой потенциальной энергии упругой деформации и определяют силовые характеристики матрицы, армированной волокнообразными элементами.

1. Аталарян О.Б., Назаров С.А. Об изменении коэффициента интенсивности при запайке продольной трещины в призматическом стержне. - Докл. АН АрмССР, 1981. т.72, № I, с. 18-21.

2. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины. Прикл. мат. и мех., 1968, т.27, Р б, с. 10571074.

3. Аксентян O.K., Устинов Ю.А. Построение уточненных прикладных теорий для плиты на основе уравнений теории упругости. -Прикл. мат. и мех., 1972, т.36, № 2, с. 272-281.

4. Александров А.Я., Зиновьев б.М. Приближенный метод решений плоских и пространственных задач теории упругости с армирующими элементами и разрезами. В кн.: Мех. деформ. тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975, с. 15-25.

5. Александров А.Я., Соловьев Ю.й. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978. 462 с.

6. Андрейкив А.Е. Об определении прочности трехмерных твердых тел, ослабленных трещинами. Шиз.-хим. мех. матер., 1974, № I, с. 65-70.

7. Арутюнян Н.Х., Назаров С.А., Шойхет Б.А. Оценки и асимптотика напряженно-деформированного состояния трехмерного тела с трещиной в теории упругости и теории ползучести. Докл.

8. АН СССР, 1982, т.266, № 6, с. I36I-I366.

9. Бабич В.М., Вулдырев B.C. Искусство асимптотики. Вестник ЛГУ, 1977, № 13, с. 5-12.

10. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, об разующихся при хрупком разрушении. Ж. прикл. мех. и техн.физ., 1961, IP- 4, с. 3-53.

11. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с быст-роосциллирующими коэффициентами. Докл. АН СССР, 1975,т.221, № 3, с. 516-519.

12. Боган 10.А. Асимптотическое поведение краевых задач для упругого кольца, армированного очень жесткими волокнами. -Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1980, №6, с. II8-I22.

13. Боган Ю.А. Вторая краевая задача для сильно анизотропного упругого кольца. Мех. композита, матер., 1982, Р 3,с. 480-485.

14. Боган Ю.А. Некоторые плоские контактные задачи теории упругости для сильно анизотропных сред. Прикл. мат. и мех., 1983, т.47, № I, с. I47-I5I.

15. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости, М.: Мир, 1967. 310 с.

16. Виллис Дж.Р. Механизм отклонения трещины. В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975,с ЛОЗ-Ш.

17. Вишик М.й., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат. наук, 1957, т.12, Р 5,с. 3-122.

18. Ворович й.И., Малкина O.K. Напряженное состояние толстой плиты. Прикл. мат. и мех., т.31, Р 2, с. 230-241.

19. Гахов Ф.Д., Краевые задачи. М.: Шизматгиз, 1963. 639 с.

20. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. Прикл. мат. и мех., 1962, т.27, № 6,с. 1057-1074.

21. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. Прикл. мат. и мех., 1963, т.27, Р 4, с. о93-608.

22. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих оболочек. М.: Наука, 1965 448 с.

23. Гольденвейзер А.Л., Колос А.В. К построению двумерных уравнений упругих тонких пластин. Прикл. мат. и мех., 1965, т.29, № I, с. I4I-I6I.

24. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Вариационные оценки коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1975, № 3, с. 59-64.

25. Гольдштейн Р.В., Вазовский А.Ф. Численный метод решения пространственных задач теории упругости для тел с плоскими разрезами и уплощенными полостями. Йн-т пробл. мех. АН СССР. Препр., 1982, Н° 192. 45 с.

26. Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. M.s Наука, 1975, с. 156-17I.

27. Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационный метод исследования пространственных смешанных задач о плоском разрезе в бесконечной упругой среде при наличии проскальзывания и сцепления ее берегов. Прикл. мат. и мех., 1983, т.47,1. W 2, с. 276-285.

28. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.й. Оценки и приближенные формулы в задаче теории упругости о плоской трещине нормального отрыва. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1983, W I, с. 120-127.

29. Гольдштейн P.В., Шифрин Е.й. Некоторые энергетические методы построения оценок в пространственных задачах теории упругости о плоских трещинах произвольного разрыва. Изв.

30. АН СССР, Мех. тв. тела, X98I, № 4, с. 61-76.

31. Джавадов М.Г. Асимптотика решения краевых задач для эллиптического уравнения в тонких областях. Докл. АН СССР, 1965, т.163, № 3, с. 547-550.

32. Джавадов М.Г., Махмудов Л.Д. Асимптотика по малому параметру решения краевой задачи для эллиптических уравнений в тонких областях. Докл. АН СССР, 1976, т.227, № 4, с. 788791.

33. Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: изд-во АН СССР, 1980. 160 с.

34. Дудников В.А., Назаров С.А. Асимптотически точные уравнения пластин на основе теории Коссера. Докл АН СССР, 1982,т.262, № 2, с. 306-310.

35. Дудников'В.А., Назаров С.А. Одно соотношение между коэффициентами интенсивности для задач классической и моментной теории упругости. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1983, № 3, с. 185-187.

36. Елисеев В.В. Применение асимптотического метода в задаче о равновесии криволинейного стержня. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1977, № 3, с. 145-150.

37. Заданова Г.В. Рассеяние плоских продольных упругих волн тонкой полостью вращения. Случай осевой симметрии. Матем. сборник, 1983, т. 121, РЗ, с. 310-326.

38. Жданова Г.В. Рассеяние плоских упругих волн тонким телом со свободной границей. Докл. АН СССР, 1983, т.270, № 6,с. 1300-1305.

39. Зильберглейт А.С., Суслова Н.Б. Кручение упругого стержня круглого сечения, ослабленного произвольным числом радиальных трещин, выходящих на поверхность. Докл. АН СССР, 1983 т.272, ГР 2, с.319-323.

40. Зильберглейт А.С., Суслова Н.Б. Об одном методе решения задач кручения круглых стержней с радиальными трещинами. -Ш АН СССР, Препр. № 805, 1983. 44 с.

41. Зино К.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости. JI.: изд-во ЛГУ, 1978. 256 с.

42. Зорин И.С. О хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом. Вестник ЛГУ, Сер. мат., мех., астрон., 1982, IP 7, с. II-I6.

43. Зорин И.С., Морозов Н.§. О напряженном состоянии упругих сред в окрестности трещин и острых вырезов. В сб.: Республиканский симпозиум "Концентрация напряжений". Тезисы докладов, Донецк, 1983, с. 40.

44. Зорин И.С., Морозов Н.Ф., Назаров С.А. К вопросу о хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом. -В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела., Днепропетровск: изд-во ДГУ, 198I, с. 72.

45. Зорин И.С., Назаров С.А. Упругие емкость и поляризация тонних пространственных включений. В кн.: Механика неоднородных структур., Киев: Наукова думка, 1983, с. 89-90.

46. Зорин И.О., Назаров С.А. Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругого пространства с жестким тороидальным включением. Докл. АН СССР, 1983, т.272, № б,с. 1340-1343.

47. Ивлев Д.В., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго-гшастического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.

48. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи с малым параметром. Тр. семинара им. И.Г.Петровского, МГУ, 198I, Р б, с. 57-82.

49. Канаун С.К. Об интегральных уравнениях трехмерной задачи теории упругости для среды с трещиной. В сб.: Мех. стер-жнев. систем и динам, сплошн. сред. Ленинград, 1981, № 14, с. 47-55.

50. Като Т. Теория возмущений линейны:: операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

51. Колос А.В. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок. Прикл. мат. и мех., 1965, т.29, № 4, с. 771-781.

52. Колос А.В. Об уточнении классической теории изгиба круглых пластинок. Прикл. мат. и мех., 1964, т.28, 3, с. 582589.

53. Кондратьев З.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Тр. Моск. мат. о-ва, 1967, т.16, с. 209-292.

54. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с.

55. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982 334 с.

56. Кубенко В.Д., Немиш Ю.Н., Шнеренко К.И., Шульга й.А. Метод возмущений в краевых задачах механики деформируемых тел. -Приют, механика, 1982, т.18, № I, с.3-20.

57. Кунин PL А., Миренкова Г.Й., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная трещина и игла в анизотропной упругой среде. Прикл. мат. и мех., т.37, К? 3, с. 524-531.

58. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Шиз матгиз, 1963. 472 с.

59. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле. Прикл. механика, 1959, т.5, №4, с. 391401.

60. Линьков A.M. Замечание к вычислению предела прочности на сжатие. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1972, Р 4, с. 168170.

61. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

62. Мазья В.Г., Морозов Н.Ф., Пламеневский Б.А. 0 нелинейном изгибе пластины с трещиной. Дифф. и интегр. краев, задачи, Тбилиси, 1979, с. 145-163.

63. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: изд-во ТГУ, 198I. 206 с.-ю

64. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. -Hatl).^^. 1977»Ш7б> Н. 29-60.

65. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский В.А. Об изгибе близкой к многоугольной пластины со свободно опертым краем. -Изв. ВУЗов, математика, 1983, Р 8, с. 34-40.

66. Метод согласования асимптотических разложений в задачах с сингулярными возмущениями. Уфа: изд-во АН СССР, 1980. 150 с.

67. Миренкова Г.И., Соснина Э.Г. Жесткий эллипсоидальный диск и игла в анизотропной упругой среде. Прикл. мат. и мех., 198I, т.45, W I, с. 165-170.

68. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 575 с.

69. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике, м.: Наука, 1970, 512 с.

70. Морозов Е.М. Энергетическое условие роста трещин в упруго-пластических телах. Докл. АН УССР, 1969, т.187, № I,с. 57-60.

71. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. J1.: изд-во ЛГУ, 1978. 182 с.

72. Морозов Н.уЗ. Исследование разрушающей нагрузки для области, ослабленной вырезом в виде лунки. Докл. АН СССР, 1980,т.253, № 6, с. 1336-1338.

73. Морозов Н.Ф. К вопросу о разрушении упругой области, ослабленной луночным вырезом. Вестник ЛГУ, 1981, Р 19, с. 7074.

74. Морозов Н.§. Математические вопросы теории трещин и острыхвырезов. М., 1982, ШМ АН СССР, Препр. Р 193. 57 с.

75. Морозов Н.©. Об ограниченности области применения формул Снеддона. Докл. АН СССР, 198I, т.259, Р 5, с. I068-I07I.

76. Морозов Н.а., Назаров С.А. К вопросу о вычислении изменения энергии в задаче Гриффитса. В кн.: Лробл. мех. тв. тела, Л.: изд-во ЛГУ, 1982, с. 3-9.

77. Морозов Н.^., Назаров С.А. О напряженно-деформированном состоянии в окрестности трещины, упирающейся в зерно. -Pic сл. по упругости и пластичности, ЛГУ, 1981, 1 13,с. I4I-I48.

78. Морозов Н.Ш., Назаров С.А., Семенов Б.Н. Об изгибе тонких пластин, ослабленных надрезами. Тр. 12 Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, т.З, Ереван, 1980, с. 78-84.

79. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

80. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.-Л.: ГЙТТЛ, 1946. 448 с.

81. Мясников В.П., ©едорюк М.В. Излучение и рассеяние упругих волн тонкой осесимметричной полостью. Иссл. Земли новыми геофиз. методами. Новосибирск, 1980, с. 5-28.

82. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

83. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Л.: изд-во ЛГУ, 1983. 117 с.

84. Назаров С.А. Асимптотика прогиба пластины с трещиной на упругом основании. Вестник ЛГУ, 1979, № 7, с. III-II2.

85. Назаров С.А. Сверхстепенной пограничный слой в задаче об из гибе напряженной пластины. Вестник ЛГУ, 1980, Р I,с. 72-80.

86. Назаров С.А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях в коническими точками. I. Задача в конусе. Сиб. мат. журнал, 1981, т.22, Р 4, с. 142-163.

87. Назаров С.А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. П. Задача в ограниченной области. Сиб. мат. журнал, 198I, т.22, № 5, с. 132-152.

88. Назаров С.А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях. Вестник ЛГУ, 1982, № 7, с. 65-68.

89. Назаров С.А., Ромашев Ю.А. Изменение коэффициента интенсивности при разрушении перемычки между двумя коллинеарными трещинами. Изв. АН АрмССР, Механика, 1982, Р 4, с. 30-40.

90. Назаров С.А., Семенов Б.Н. Об асимптотике решений задач изгиба тонких пластин с разрывными нагрузками. Прикл. мехахника, ЛГУ, 198I, Р 5, с. 135-145.

91. Назаров С.А., Семенов Б.Н. О коэффициентах интенсивности в моментной теории упругости. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1979, № 2, с. 182-183.

92. Назаров С.А., Семенов Б.Н. О связи коэффициентов интенсивности для плоской задачи теории упругости в классической и моментной постановках. Исслед. по упругости и пластичности, ЛГУ, 1980, Р 13, с. 148-154.

93. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. Прикл. мат. и мех., 1969, т.33, вып.5,с. 797-812.

94. Олвер Ш. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 376 с.

95. Нанасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1968. 245 с.

96. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин. 4.1. Основные механические концепции и математические методы в пространственных задачах теории трещин. Шиз.-хим. механика материалов, 1979, т.15, № 4, с. 39-55.

97. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин. Ч.П. Упрзпгое и предельное равновесие твердых тел с трещинами при силовом нагружении. шз.-хим. механика материалов, 1979, т.15, W 5, с. 45-65.

98. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1979. 311 с.

99. Партон В.З., Перлин П.И. методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

100. Подстригач Я.С. Условие скачка напряжений и перемещений на тонкостенном упругом включении в сплошной среде. Докл. АН УССР, 1982, А, № 12, с. 30-32.

101. Подстригач Я.С., Коляно 10. М. Уравнения обобщенной термоупругости для тел с тонкими включениями. Докл. АН СССР, 1975, т.224, W 4, с. 794-797.

102. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976. 310 с.-425106. Полиа Г., Cere Г. Изопериметрические неравенства в математической физике, и.: Шизматгиз, 1962, 336 с.

103. Ионятовский В.и. Асимптотическая теория тонкого бруса. -Кссл. по упругости и пластичности, ЛГУ, 1973, № 9,с.81-93.108. ионятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок. -Прикл. мат. и мех., 1964, т.28, W 6, с. 1033-1039.

104. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений, т.: Наука, 1982, 342 с.

105. Применение метода согласования асимптотических разложений к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Свердловск, 1979, 112 с.

106. Работнов Ю.Н. механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, ©79 . 744 с.

107. Разрушение. Под ред. Г.Либовица, Т.2, ш. : Мир, 1975. 763 с.

108. Ромашев Ю.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в линейной моментной теории упругости. йсслед. по упругости и пластичности. Jl., 1980, Р 13, с. 154-165.

109. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. Ереван: изд-во ЕгУ, 1970. 443 с.

110. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.2, т.: Наука, 1976. 573 с.

111. Слуцкий А.С. Асимптотика прогиба тонкой всесторонне растянутой пластинки, частично лежащей на упругом основании.-йсслед. по упругости и пластичности, л., 1982, № 14, с.»-14.

112. Онеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.:-w1. Шизматгиз, 1961. 219 с.

113. Срубщик Л.С., Юдович В.И. Асимптотика уравнений большого прогиба круглой симметрично загруженной пластины. Докл. АН СССР, 1961, т.139, № 2, с. 341-344.

114. Срубщик Л.С., Юдович В.И. Асимптотика уравнений большого прогиба в круглой симметрично загруженной пластине. Сиб. мат. журнал, 1963, т.4, № 3, с. 657-672.

115. Сьярле w., Рабье П. Уравнения Кармана. Механика, т.31, М.: Мир, 1983. 172 с.

116. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика. Успехи мат. наук, т.25, вып.4,с. 123-156.

117. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Ы.-Л.: изд-во АН СССР, 1963. 367 с.123. йгедорюк М.В. Асимптотика решения эллиптических уравнений во внешности тонких тел вращения. Успехи мат. наук, 1981,т.36, № 4, с. 199.

118. Федорюк id.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения. Теория кубатурн. формул и ггрилож. функц. анализа к задачам мат. физики. Тр. семинара С.Л.Соболева. Новосибирск, 1980, № I, с. II3-I3I.

119. Фридрихе К. Асимптотические явления в математической физи42Sке. Математика, тЛ, !'5 2, с. 79-94.

120. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969. 232 с.

121. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

122. Черепанов Г.П. метод внешних и внутренних разложений в теории упругости. В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций, М.: Машиностроение, 1975, с. 502-507.

123. Черепанов Г.П. Распространение трещин в сплошной среде. -Прикл. мат. и мех., 1967, т.31, R5 3, с. 476-488.

124. Шойхет В.А. Одно энергетическое тождество в физически нелинейной теории упругости и оценка погрешности уравнений плит. Прикл. мат. и мех., 1976, т.40, вып.2, с. 317-326.

125. Эфендиев Р.С. Асимптотика по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения 2vY\ -го порядка в тонких областях. Докл. АН АзербССР, 1970, т.26, № 6,с. 9-14.

126. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.135. 6enikew Д Р.} \(oiier W, Т Q^wploi'c approximations ioproemsMeek FrWur-e, vod. 4/973, p. 43j4

127. Bwsd TR.}West warn \h/este Галя Го/- hpe stressfunction Sor а &ие шевльт p^o^^sЬи^. J? So&di andp.66S-677.

128. W. Bui Н.й hppPicdiovi oki po^tie& ef&siifyiAes oi des fosures p^Ws olt Sorwe ей icbdim.^132. 2мi H.D. An e$u<rtm$ method jor scfcfacj the рсъёw\ oi a p(W c.rac/ o$a^'^ar^ shotpe.-JMech,mo( Ptys •-12Q

129. SMs.Wl^iiS^l, p. 29-33. Ш CaiMrtc D. Sur> & ao^porizme^i о/'иие. ine^Ltsionтисе ok olr-mde Naidile dans un corps e@Qstco.ue —

130. Wo. D. Ле effect of a iMin of h'A riotdib си Ad*, Mu MM Мей. ftp*?. Sa.fmo, )J.2Jh/3)p.254-2 7D. 1

131. Cai&eNe D. weflusiou of kicjJi N^idil^ in ли elasticodu,r Qouhdaty <*W Ьм^еги . Lowers Со\л\т1- andtaw. НЛ -Ркк. BAIL rCcuS^Du/Ap.220-22S.

132. Ш Edmunds TH, Wi&is J.I?- Matched а^шрЫсе cy~pans!^ий'иер- fracture Ыеск<к\л1с%, Ш.Ь^-р&и* of аи e&sti'c perfect^ -pPastic suw1. Metric specimen.- a Heel. ямd Pbys,. So&'ds 4311 vo^.2S) H/G> p.423-4SS-.

133. Ш. Eftig i/ones D. Ъм{&енсе of &xdfr-ac^une &>a.d of center сгяс/ed sheets. сУйt.

134. Frodut*, Ш2, vo£ 20 ? ЫЦ } p. 267-2Z9. yfltf J.} Sutframenm IV^ie^owit? H. СгцаС &or-der

135. OmA disp&cewnt equations r-ezrc'sifee/. Eua. Fr-acture1. MeciL} A97l} p. W-Ho.

136. Ш. E№$ of., Sugr-*\MoniAn Л/.; Liegowii2 H. Ricutckf (load effect сг-вкЫ gor-oU?. e£&stiC sdzat'n екег^аиаи d si rain euteMu r-aie. Е\ла. Fr-acture Mec4i4977 , vot3, M> jU.

137. Ш Eshetfy У.О. Укс stresses 0И fruol СИ 01 {Jit to Cmxten-fi^c си « sketched e£oi$&c

138. Fracture HtoM^ 49 Я 2, Iл>е. Л, s/ss.

139. O. Evarsune Q.C. , Pip a A.C. В1.tfer- r-elk^oc-ceaf C7. App?. Mech 43734Si Р&гг/и J.M, Gxntitogker J.P. A K^W Mpfa лией^'ои ^ ли Omi&oiropCc еДщ&сp.(>74~6$2.

140. Frtectrtclx К ; Dressier R. А foyer- t&eoty

141. W e&stiс p^aics. C+vnm. Pur-e Appf. МШ. J96%15$. Geec^ 3.F- Uncfo^w asyiMpioh'c i-oo-ili^txjo-^«Wnsf'pnci^ potent^ fieJd <*Лои£ a sfeиdt*. Ши, . SI AM a Appe.MbU. 4974ive.26, Л/3, p.S39-SS3.

142. Geer- J.F ^he scatterc'na л sca£ar %га.тге йвос/и о$ г-еггоЪе&он . SIAM J Ы.

143. М ath.jAS-?*, vog. 34, W2, р.34$-3 70.

144. Qozp» ^ /г £&с£погиА£ие&с Scattering ёу <хu of r-evo£uiioiA Q-KLa&u. p fauitsiam C7./W. MM. шо^еы1. M, p. 93-402. ' . / • i

145. Ш. Qeer y.F. ^ KeMt- J. Q. Uncfor-^ kz^phdco

146. SoCutioHS the potenitb? f&u- а^о^и^/ aйы aiHoiedout a ifoin couo!ut6or. Si AM J.1. MM. .vot.M) Ы4> p-is-m.4S?. Qifflert R.P.,Scheto/er- M. А -foyertheory the or-tiboiropio. рЫе.- ^.аиаегг.

147. МкЩ. <W Mezb. , -/983, voe.Gl, ЛП^р 229237

148. QniSlUi A.fi. %e рЬеноыеиОч of P-upiurea^oi f^W Ы . Phi?,

149. Soc.} Lo«o/oh } y/320} sen A> юе.гг^рМзт.

150. Gnffitt A. A. She Ueoty oj Rupture У * \

151. Pnk of i^e 4^ . Сэилл. Appf. Mecht£tt> p. W- 63.kc D. Skcsea of oi scalerъгцтге ёч а восАч о$ г-етго^и^'ои t J. £иа. £ci\, 4323} p■ 63Г-"1. M.

152. Ho№ntco7yshi D. Uhi for и* OcQ^pioii'Qior* ivro- di\MZbgio\AoJ^ pote*{('aP fie^J protf-itil ioiHLKQ 0v\ Sur-fa.ce o{а foo(u-0\{, Еьа. &Л 4382 20

153. W. HofoeK&Coirsbc. /). U^ifor-ил (K$u\Mpioitz for- i&e potwiCoJl fiM acvuxo! а1. STAN 1 APPe. Mati.,

154. M. Mwfoi R.D. Fuerzcx pwtuad ей interior- o/e m S€me QpQcio. - Ъиу,- civ.1. CTSC j 497S26,h/3 , 263-292.

155. Ш Or-owй E.O. Tc-anS. ^Kfzf. fng. Slu'p}

156. Scoi&i/iol) roe 23, p. <46?

157. W. PW 6. ; Mi randy L. /L improved fracture crl-бгс-iou ior- б&гее. (div*enSio\Ao£ stress Szfe^g

158. Traus. ASMFj A9U> h3t, h/2, рМЗЧбЗ.

159. Aotcheg cu*d сrac/g.- XS. t\f>p(?. Meoli voe.3s> iv2} р.гчз-ш.41%. Rigo&t 4. Sur une the'orie as^pioiccfruz dzi ponires яУ ; <49 72, 1/4,p. 6 73-703.

160. М G.C^CU в.С. A tr-actru^e Qrt&rto*dlv^e^iiowoL^ craetf ^HQ

161. W U^i., 49 %3, !\/S }p.42^4l6.1. Ш £buddonz. iv. s

162. И : M^cii. Fmduc-e } beide* , 49 ТЗ^'.Ш-361.1. UM. 6trf^opie e&stibity . £o&d$ схи4

163. ЛгиC2f. vol 4V} A/4Q, ?'.4402>-J42Z

164. Ш. TuctE.O. y I4ei C.C OphzWоие РГ* hicr-etWer4 Codecs, ли ka^f^ Space.1. У. Sottas <W ,fib Weaver

165. Me (divncuSiQiAfr? СГ^ am^St'S.'f.32^330.