Определение параметров разрушения анизотропных пластин с упругими линейными подкреплениями методом сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗОРИН Сергей Анатольевич

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАЗРУШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УПРУГИМИ ЛИНЕЙНЫМИ ПОДКРЕПЛЕНИЯМИ МЕТОДОМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□озоевБтт

Новосибирск - 2007

003066577

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Максименко Вениамин Николаевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, Колпаков Александр Георгиевич

доктор физико-математических наук, Кургузов Владимир Дмитриевич

Ведущая организация

Сибирский государственный университет путей сообщения, г Новосибирск

Защита состоится «22 » октября 2007 г в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 003 054 02 в Институте гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр-т академика Лаврентьева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им МА Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан « » сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

дтн

Леган М А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Материалы, используемые в практической деятельности, неоднородны по своей структуре и включают в себя множество дефектов типа трещин, пустот, инородных включений Эти дефекты являются концентраторами напряжений и вблизи них, как правило, начинается разрушение Исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) тел с концентраторами напряжений такого рода является важной проблемой как с теоретической, так и с практической точки зрения

В связи с бурным развитием технологии создания новых композиционных материалов, имеющих сложную структуру и обладающих рядом преимуществ перед традиционными сплавами, приобретают особую актуальность задачи по расчету НДС и параметров разрушения тел с упругими включениями При построении методик расчета композиционных материалов возникает необходимость в изучении взаимодействия матрицы заполнителя и армирующих волокон, возможности разрыва или отслоения упругого волокна, взаиморасположения волокон и т д Задачи для тел с включениями возникают также при проектировании тонкостенных конструкций, в практике сварных и клеевых соединений, при подкреплении вырезов различной формы тонкими упругими кольцами Поэтому разработка эффективных расчетных методов определения НДС сложных элементов конструкций из изотропных и анизотропных материалов - весьма актуальная проблема

Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования. Исследования НДС в упругих телах с трещинами составляют основу механики хрупкого разрушения. Существенный вклад в развитие этого направления внесли Н И Мусхелишвили, А Ю Ишлинский, Ю Н Работнов, Л.И Седов, РА Христианович Важную роль сыграли работы А Я Александрова, Г И Баренблатта, В В Болотина, РВ Гольдштейна, F Erdogan, GR Irwin, М Isida, МЛ Леонова, AM Линькова, В Н Максименко, Н А Махутова, В И Моссаковского, В В Панасюка, PG Paris, ГН Савина, МП Саврука, GC Sih, Л А Филыптинского, Г П. Черепанова и др

Методам расчета пластин с непрерывно присоединенными ребрами жесткости (стрингерами), включениями, подкреплениями посвящены работы В М Александрова, Л.Т Бережницкого, Э И Григолюка, А.И Каландия, ВН Максименко, Г.Я. Попова, Г Н Савина, В М Толкачева, В.И Тульчия

Практически отсутствуют работы, посвященные анализу НДС анизотропных пластин с упругими включениями и трещинами Большинство исследований ограничено изотропным материалом пластины Представляется актуальным создание механико-математических моделей, расчетных методик оценки НДС анизотропных пластин с отверстиями, с тонкими упругими включениями и трещинами

В машиностроении и в ряде других важных областей возникает необходимость уточненного расчета на прочность тонкостенных конструкций с отверстиями различной формы, подкрепленными по контуру упругими коль-

цами и накладками Такие задачи представляют большой интерес для практики Обзор литературы показывает, что разработанные методики расчета подкрепленных отверстий основываются на методе конформного отображения, методе конечных элементов и некоторых других Весьма точный и экономичный метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ), как метод расчета задач с подкрепленными отверстиями практически не применялся Поэтому представляется важным разработать с помощью аппарата СИУ методики расчета анизотропных пластин с вырезом, подкрепленным по контуру тонким упругим кольцом

Целью работы является разработка на базе метода сингулярных интегральных уравнений методики расчетной оценки напряженно-деформированного состояния и параметров разрушения 1) анизотропных пласшн с эллиптическим отверстием, содержащих тонкие упругие включения и трещины, 2) анизотропных пластин с подкрепленным эллиптическим отверстием и трещинами, а также исследование влияния различных факторов (геометрических, жестко стных) на несущую способность анизотропных пластин с эллиптическим отверстием, упругими включениями и трещинами

Научная новизна. Предлагается уточненная модель тонкого упругого включения, построенная из условий скачка напряжений и производных от перемещений при переходе через линию контакта и позволяющая учитывать изгибную жесткость включения Предложенная модель упругого включения позволяет решать задачи упругости для анизотропных пластин, содержащих абсолютно жесткие включения и трещины

Построены системы сингулярных интегральных уравнений, разработаны эффективные алгоритмы численного решения- 1) для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей тонкие упругие включения и трещины, 2) для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с подкрепленным эллиптическим отверстием и трещинами

Достоверность полученных результатов подтверждается путем сопоставления с известными решениями, приведенными в литературе, а также с результатами специально проведенного эксперимента, выполненного с использованием метода фотоупругости

Практическая значимость. Предложенные методики дают возможность проводить анализ НДС и параметров разрушения конструктивных элементов с отверстиями, тонкими упругими включениями и трещинами, выполненных из изотропных и анизотропных материалов

Личное участие автора в получении научных результатов заключается в выводе разрешающих систем сингулярных интегральных уравнений и разработке и реализации эффективных алгоритмов численного решения задач плоской теории упругости анизотропных пластин с отверстиями, тонкими упругими включениями и трещинами

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы

строительной механики и прочности летательных аппаратов», (Казань, 1988), на Научно-технической конференции «Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций», (Нижний Новгород, 1991), на Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций», (Новосибирск, 2006), на Первом Международном Симпозиуме по Стратегическим Технологиям "IFOST 2006" (Ulsan, Republic of Korea, 2006)

Диссертационная работа обсуждалась на расширенном заседании кафедры прочности летательных аппаратов Новосибирского государственного технического университета

Публикации. Основные результаты работы изложены в 15 научных публикациях, в том числе в журналах из перечня ВАК для обязательного опубликования результатов диссертации

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы Объем диссертации составляет 115 страниц, включая 6 таблиц и 32 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности работы и ее научной новизны Дан обзор работ по плоской задаче теории упругости анизотропных пластин с подкрепленным или свободным эллиптическим отверстием, с тонкими упругими включениями и трещинами Поставлена цель исследования и изложено краткое содержание диссертации

Первая глава содержит некоторые основные соотношения математической теории упругости анизотропного тела, дается представление комплексных потенциалов С Г Лехницкого для решения плоской задачи теории упругости в случае многосвязной области

Формулируется задача по определению напряженно-деформированного состояния бесконечной анизотропной пластины с тонким прямолинейным упругим включением

Рассматривается бесконечная прямолинейно-анизотропная упругая пластина толщины h с прямолинейным тонким упругим включением длиной 2/ , шириной 2с и толщиной h (рис. 1) В пластине вводится прямолинейная

система координат хОу с началом в центре включения, а ось Ох направлена вдоль включения Индексами "+" и обозначены граничные значения функций при у —* +0 и у —> -О соответственно Индекс "0" приписывается величинам, относящимся к включению. Пластина нагружена на бесконечности равномерными усилиями ег" , сг" , г™ Предполагается, что пластина

находится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а на берегах включений реализуется идеальный механический контакт с материалом пластины

Условия контакта включений и пластины имеют вид

(о-{0)-гг(0))| =(сг -1т )|

У ху ' У =±С У -ЧУ У =±«

(«' + "01,^. - га0'

(0) "(О)-'1 ^ -■,

где <»0 - поворот включения как жесткого целого

, <у ™

со

г

Рис. 1 Анизотропная пластана с прямолинейным тонким упругим включением

Включение рассматривается как ортотропная пластина с главными осями анизотропии направленными вдоль осей Ох,Оу НДС упругого включения описывается двумя аналитическими функциями Ф^^) (гу=х + ¡лу0у )

Предполагается, что ширина включения намного меньше длины (с « / ) С использованием разложения комплексных потенциалов Ф 0(г ) в

ряд Тейлора по степеням с в окрестности точки г действительной оси Ох, предельные значения напряжений и производных от смещений представимы в виде

("'(0) > и('о)) = '

где Ог0(гу)= Фу0^)±с/лу0Ф'у^), г е Ь Величины высших порядков малости по сравнению с параметром с отбрасываются

Комплексные потенциалы Фу(гу), описывающие напряженно-

деформированное состояние основной бесконечной анизотропной пластины разыскиваются в виде

Ф О )=— —--—Й?т +Ф (2)

2т > т -г "

Ь V V

Здесь комплексные постоянные Ф* определяются усилиями, приложенными к пластине на бесконечности, а ¿оДг), /¿Дт) — неизвестные комплексные функции на Ь , связанные соотношениями

а0й)1(О + Ь0®,(О+©2(О = 0, <61 (3)

На берегах включения должны выполняться краевые условия

Аофг(*) + + ~ (4)

С использованием соотношений (2), (3) и формулы Сохоцкого-Племеля из краевых условий (4) получена система сингулярных интегральных уравнений (СИУ) задачи

¡{К^а^о^т) + К*п{1,т)^т) + к[3 (/,г>,(г) + К*и = /*(1),

I

(5)

£

Из условий равновесия упругого включения и однозначности смещений при обходе вокруг Ь следуют дополнительные условия

£ £

Rejf^-T^W-^^^W^^O, tsL (6)

Система СИУ (5) совместно с дополнительными условиями (6) дает решение поставленной задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с тонким упругим прямолинейным включением

После проведения параметризации контура L, полученная система СИУ сводится к каноническому виду С учетом того, что функции плотности имеют в окрестности вершин включения известную асимптотику, строится алгоритм численной реализации разрешающей системы СИУ с помощью квадратурных формул Гаусса-Чебышева Задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно

приближенных значений искомых функций плотностей в чебышевских узлах

С использованием асимптотических представлений для комплексных потенциалов Фу(гк/) вычисляются напряжения в охфестности вершин включения и коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) отрыва А^и поперечного сдвига Кг, а также контактные касательные и нормальные напряжения на берегах включения

На рис 2 представлены примеры расчетов КИН в вершинах упругого включения при одноосном растяжении анизотропной пласшны от величины параметра и0 = Е0/Е1, (Е0- модуль Юнга изотропного материала включения), с!1 = 0,01 Рассматривались следующие материалы пластины

1) изотропный материал (Е= 71 ГПа, у = 0,33),

2) стеклопластик (Е^ 53,84 ГПа, Еу !Ег =3, вп = 8,63 ГПа, к, = 0,25),

3) боропластик (Е^ 276,1 ГПа, Ех!Ег= 10, вп= 10,35 ГПа, ух = 0,25)

Рис 2 Зависимости КИН в вершинах включения от величины параметра жесткости

Сплошные кривые на рис 2 соответствуют углу анизотропии <р = 0, а пунктирные - <р = я/2 При и0 —» 0 упругое включение вырождается в прямолинейный разрез вдоль линии [-/ ,1 ] Как видно из рис 2 при и —» 0 для всех трех материалов пластины, что соот-

ветствует аналитическому решению При м0 —> » упругое включение становится абсолютно жестким прямолинейным включением

В табл 1 представлены результаты расчетов КИН Кх(±1)1 р4Я для различного числа узлов коллокаций И, м0=Ю_3, <р = 0 Как видно из табл 1 уже при N = 40 относительная погрешность К/^Т)! р4п1 (по сравнению с КИН, вычисленными при N -160) не превышает 0,5 %

_Таблица 1

N к^о/р^

Е,/Е2 =1 Е,/Е2 =3 Е/Е3 =10

10 0,876592 0,740784 0,493443

20 0,878516 0,744999 0,503224

40 0,878989 0,746028 0,505568

80 0,879107 0,746284 0,506145

160 0,879136 0,746348 0,506290

Во второй главе разрабатывается методика расчета НДС анизотропных пластин с системой тонких упругих включений

В бесконечной прямолинейно-анизотропной пластине толщины Ь имеется М прямолинейных тонких упругих включений Длина и ширина 7-го включения обозначается через 2/ и 2 с] соответственно В пластине вводится общая

прямолинейная система координат хОу Для у-го включения вводится локальная система координат гДе - геометрический центр включения, ось направлена вдоль у-го включения (рис 3) Считается, что

пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а на берегах включений осуществляется идеальный механический контакт с материалом пластины

Условия контакта для каждого упругого включения имеют вид (1) Предполагается, что каждое включение тонкое по ширине, и для комплексных потенциалов, описывающих НДС включения, справедливо разложение в ряд Тейлора по малому параметру ширины включения

Комплексные потенциалы ФДг^), описывающие НДС основной анизотропной пластины, разыскиваются в виде

^ 2та/ т -г у " V

Ь V V J-l

где комплексные постоянные Ф* определяются через усилия, приложенные к пластине на бесконечности, «и, (г), /гДт) - неизвестные комплексные функции (®]/(г),//у(г)) = {(®1?(г),>«1г(т-))|ге^ с:Х}

Рис 3 Пластина с системой прямолинейных тонких упругих включений

С использованием метода сведения задачи к системе СИУ для одного включения, получена разрешающая система СИУ с дополнительными условиями для задачи определения НДС в анизотропной пластине с набором тонких упругих включений

\[сох{т)К*и{1, г) + ^{тук'^.т) + = /*

ь

¡[^{т)К*21{ит) + (А г) + ^(т)К*23({,т) + + П*= /*

£

ь ь

__] м

¡(Т1-Т2А-т2В)Ц1(ТЩ = 0 £ } 7=1

На рис 4 представлены результаты расчетов для пластины из стеклопластика (материал (2), Ех!Ег =3) В пластине имеется одно горизонтальное (/ = 1) и два вертикальных (/ = 2,3) упругих включения равной длины 21 и ширины 2с (с// = 0,01) Материал включений — изотропный Кривые на

рис 4 иллюстрируют зависимость КИН Кг(±1)/р-4тй в вершинах горизонтального включения от величины относительного расстояния А/1 между включениями для различных значений параметра и = 10"* , 0,01, 0,1, 10® и постоянных значений параметров «2 =«3=0,5 Значение 10"8 соответствует прямолинейному разрезу, а значение и = 108 - абсолютно жесткому включению Расчеты проводились при <р = 0 (сплошные кривые) и <р = я/2 (пунктирные кривые) (<р - угол анизотропии материала пластины)

р р-1тй

I * I + I I I I 0,75

0,5

У\

21 21

О X

1. 2/ .

А

0,25

0

У / / у ' /-' У М!=10-8

\

\ 0,001

'/ / / /'" 1 // //

ч 0,01

/ ю8 л

0

1

АЛ

Р

Рис 4 Три упругих включения в пластине из стеклопластика при одноосном растяжении

Представленная методика решения задачи определения НДС анизотропной пластины с тонкими упругими включениями развивается для случая анизотропной пластины с эллиптическим отверстием (рис 5)

Рис 5 Пластина с эллиптическим отверстием и системой прямолинейных упругих включений

Рассматривается бесконечная прямолинейно-анизотропную пластина толщины И с эллиптическим отверстием Ьд = {{х!а)2 + (у/Ь)2 = 1} и системой

М прямолинейных тонких упругих включений (см рис 5) Длина и ширина у-го включения обозначается через 21 ^ и 2с} соответственно Пластина загружена усилиями сг" , сг" , т^ на бесконечности Считается, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а на берегах включений осуществляется идеальный механический контакт с материалом пластины

Ниже представлены результаты расчетов д ля пластины с круговым (а = Ъ) отверстием Ь0= {(*/а)2 + (у1Ь)2 =1} из изотропного материала (Ех1Ег=\) В пластине имеются два (М = 2) прямолинейных упругих включения На бесконечности пластина подвержена одноосному растяжению усилиями <т™ = р (рис 6)

На рис 6 показано распределение тангенциальных напряжений р на контуре кругового отверстия при Д^/а = 0,2, 1}!а = 5,0,

Н* = I /Ехаък = 0,0,02,0,09,0,4,1,9 (кривые 1-5 соответственно), и* -Еуак1 Е^Р^ =0,05 - модуль Юнга, площадь и момент инер-

ции поперечного сечения 7-го включения соответственно (7 = 1,2)) Относительная изгибная жесткость включений Я* существенно влияет на распределение тангенциальных напряжений на контуре отверстия

Рис 6 Распределение тангенциальных напряжений р на контуре кругового отверстия при одноосном растяжении пластины

У

Р

О

х

Проведено сравнение полученных результатов для пластины из изотропного материала в случае трех разрезов одинаковой длины (и* —> °о, 1}1а-1,0, Ь = 0) В табл.2 приведено сравнение результатов вычислений КИН Кх / р-^ла в вершинах разрезов Ь^ для различных значений параметра 2а!к} и N^ =10(у=1,2) (NJ - количество точек разбиения контуров Ь ) с

данными М ¡экЗа Как видно из табл 2 относительное расхождение не превышает 0,15 %

Таблица 2

2а/А j 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Данные M Isida 0,99500 0,98198 0,96299 0,94010 0,91535 0,89080 0,86851 0,85052

Данные автора 0,99538 0,98231 0,96283 0,93959 0,91505 0,89113 0,86900 0,84922

В третьей главе решается задача определения НДС анизотропной плоскости, ослабленной трещинами и эллиптическим отверстием, подкрепленным замкнутым тонким кольцом переменной жесткости Подкрепляющий элемент рассматривается как криволинейный стержень, упругое равновесие которого описывается уравнениями теории малых деформаций криволинейных стержней, а пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии

Бесконечная прямолинейно-анизотропная пластина толщины h ослаблена эллиптическим отверстием LQ = {(х/а)1 + (у! Ь)2 = 1} и системой гладких криволинейных разрезов Lj (j = \,k) Контур Lg отверстия подкреплен

непрерывно присоединенным тонким упругим кольцом переменной жесткости (рис 7). Пластина подвержена на бесконечности равномерному растяжению и сдвигу усилиями а™ , сг" , г°° , а берега разрезов ненагружены

х у ху

Считается, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а одна из главных осей инерции поперечного сечения кольца лежит в срединной плоскости хОу пластины.

Нормальные и касательные контактные усилия, возникающие вдоль контура Lg обозначены через p(t), q(t), t е LQ (положительное направление

для p(t) (q(t)) - вдоль п (т) (рис 7). Решение о действии сосредоточенной силы в анизотропной бесконечной пластине с эллиптическим отверстием позволяет представить комплексные потенциалы в виде

7=0

Здесь функции Ф®(-„) - решение для бесконечной пластины, ослабленной

эллиптическим отверстием, свободным от внешних усилий и подверженной на бесконечности равномерному растяжению сг" , <у ™ и сдвигу г™ ,

ф1 (- — решение для бесконечной пластины, ослабленной эллип-

тическим отверстием и загруженной по контуру отверстия нормальными (касательными) усилиями р(г)(<?(0)> функции Ф ^(г ) описывают возмущенное напряженное состояние, возникающее из-за наличия криволинейных разрезов

криволинейных разрезов

Из условий совместности деформаций пластины и подкрепляющего кольца, а также граничных условий на контурах разрезов получена система СИУ задачи

Система СИУ существенно упрощается, если изгибной жесткостью подкрепляющего кольца пренебречь и считать, что кольцо работает только на растяжение-сжатие С использованием квадратурных формул Гаусса-Чебышева система СИУ сводится к СЛАУ относительно приближенных значений искомых функций 0.(т),{т = т(/3), -1 </?<!, =

д(т),{т = асо5в + 1Ь8тв, 0<в<2лг,теЬ0} в узлах рз = -Х)п !2Щ,

вт = (2т - \)я НИ (5 = 1,^, т = 1,2М) соответственно.

На рис 8 показаны зависимости КИН отрыва к1=К11 а4тй, где

К = Ьгг) с (х)^2л(А-1-х), в ближайшей к подкрепленному круговому -/ у

отверстию вершине трещины от параметра 7] = I / (А-Ь), при А/Ь =2,

170 = Е0Е0/Ерк = 0,2, 0,1, 0,05, 0 (кривые 1-4 соответственно), ср =0, я7 2 (сплошные и штриховые линии соответственно)

Рис 8 Зависимости КИН в ближайшей к подкрепленному отверстию вершине трещины от параметра 77

Для проверки достоверности разработанной расчетной методики были проведены с использованием метода фотоупругости экспериментальные исследования на прозрачных моделях из органического стекла СОЭ-2 и эпоксидного компаунда ЭД-16МА Геометрия моделей представлена на рис 9 Размеры пластин и подкрепляющих колец, а также механические характеристики материалов, из которых они изготовлены, приведены в табл 3

Таблица 3

Номер образца Пластина Подкрепление

Е, мм В, мм Ц, мм Н, мм Материал £,ГПа мм НК, мм Ь^ мм Материал

1 250 190 10,0 2,9 ЭД-16МА 3,0 10 3,0 1,0 СтЗ

2 250 192 10,5 5,1 СОЭ-2 2,8 10,5 7,5 2,0 СтЗ

3 250 198 10,2 2,0 ЭД-16МА 3,0 10,2 2,0 1,0 Д-16Т

В табл 4 приведены КИН, вычисленные по экспериментальным данным (К^) Здесь же приведены поправочные КИН, полученные из экспериментальных ( к^ ) и расчетных данных ( к* )

I 1 I I I I I

I в

т-

I I

I_

I

Рис 9 Геометрические параметры образцов _Таблица 4

Образец

№1 №2 №3

К*, Н/ммш к';, Н/ммзй К К Н/мм3'2 К Ч

10 11,4 1,06 0,99 6,2 1,02 0,98 15,6 1,04 1,0

15 13,7 1,04 0,98 7,6 1,02 0,98 19,2 1,05 1,0

20 16,2 1,06 0,98 8,7 1,01 0,97 22,4 1,06 1,0

25 16,3 0,96 0,95 8,1 0,84 0,94 24,1 1,02 1,0

27,5 15,7 0,88 0,88 7,3 0,73 0,89 26,3 1,05 0,98

Как видно из табл 4, расхождение теоретических и экспериментальных величин в большинстве случаев не превышает 5 %. Исключение составляет образец № 2 с трещиной вблизи отверстия (длина трещины от 20 до 27,5 мм) Здесь расхождение достигает 18% Это, вероятно, объясняется тем, что в расчете не учитывалась изгибная жесткость кольца, а она в этом случае была наибольшей

выводы

Основные научные результаты диссертационной работы заключаются в следующем-

1 Развит подход, позволяющий моделировать тонкое упругое включение в анизотропной пластине из условий скачка напряжений и производных от перемещений при переходе через линию контакта Предложенная модель упругого включения позволяет решать задачи упругости для анизотропных пластин, содержащих абсолютно жесткие включения и трещины

2 Построена система сингулярных интегральных уравнений и разработан эффективный алгоритм численного решения для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей тонкие упругие включения и трещины

3 На основе метода СИУ разработан метод решения задачи теории упругости для прямолинейно-анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, подкрепленной по контуру тонким упругим кольцом переменной жесткости и ослабленной системой криволинейных разрезов

4 Даны оценки влияния взаимного расположения упругих включений и трещин, жесткости упругих включений, анизотропии материала пластины на концентрацию напряжений и величину коэффициентов интенсивности напряжений.

5 Исследована эффективность подкрепления контура отверстия Установлено, что соответствующим подбором жесткостных параметров подкрепляющего кольца можно добиться значительного понижения концентрации напряжений в пластине

Основные положения диссертационной работы опубликованы в следующих работах

1 Зорин С А Концентрация напряжения около подкрепленного отверстия в анизотропной пластине / С А Зорин, В Н Максименко // Вопросы прочности тонкостей авиац конструкций - Казань Изд-во КАИ, 1987 - С 25-30.

2 Максименко В.Н Развитие трещин около выреза в оребренной панели / В Н Максименко, С А Зорин // III Всесоюз. конф. "Совр пробл строит механ и прочн летат аппаратов" - (Казань, 1988) Тез докл. — Казань: КАИ, 1988 -С 92

3 Максименко В Н Торможение трещины вблизи, окантованного выреза /ВН. Максименко, С А Зорин // Вопросы авиац науки и техники, сер Аэродинамика и прочность летательных аппаратов - Новосибирск Сиб-НИА, 1988 -Вып 1 -С 82-96

4 Зорин С А Расчет и экспериментальная оценка коэффициента интенсивности напряжений для трещины около окантованного отверстия в пластине / С А Зорин, Л А. Краснов, В Н Максименко, В П Тырин // Напряжения и деформации в железнодорожных конструкциях - Новосибирск НИИЖТ, 1988 -С.67-74

5 Зорин С А Анизотропная пластина, ослабленная отверстием и трещинами / С А Зорин, В Н Максименко // Физико-химическая механика материалов -1988 — №2 -С 28-33

6 Максименко В Н Расчет остаточной прочности и долговечности подкрепленных пластин из анизотропных и изотропных материалов методом интегральных уравнений / ВН Максименко, И А Загорский, CA Зорин, В Н. Павшок, С В. Плаксин, Ю Н Хан // Юбилейный сборник научных трудов СибНИА им акад С А Чаплыгина (Основные этапы научной деятельности 1941-1991) Ч 1.-Новосибирск СибНИА, 1991 -С 103-116

7 Максименко В Н Приложение метода интегральных уравнений для анализа НДС анизотропных пластин с подкрепленными отверстиями / В Н Максименко, С.А Зорин, А В Куроедов // НТК "Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций" - (Нижний Новгород, 1991) -Тез докл.-НижнийНовгород ННПИ, 1991 -С 28

8 Максименко В Н Напряженное состояние анизотропной пластины, ослабленной подкрепленным отверстием и системой трещин /ВН Максименко, С.А Зорин // Прикл. механ (Киев) - 1993 - Т 29, №7-С 60-67

9 Зорин CA Оценка прочности композитных пластин с повреждениями типа трещин около подкрепленных отверстий /СА Зорин, В Н Максименко // Вопросы авиац науки и техники, сер Аэродинамика и прочность летательных аппаратов - Новосибирск СибНИА, 1995 -Вып 1 -С 115-127

10 Зорин С А Прогнозирование усталостной долговечности плоских шарнирных соединений / С.А Зорин, В Н Максименко // Вопросы авиац науки и техники, сер Аэродинамика и прочность летательных аппаратов. -Новосибирск СибНИА, 1995 -Вып 1 -С 145-152

11 Максименко В Н Напряженное состояние анизотропной пластины с системой тонких упругих включений / В Н Максименко, С А Зорин // Научный вестник НГТУ.-2005.-№ 3(21) -С 113-120

12 Зорин С А Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с подкрепленным отверстием и трещинами / С А Зорин // Сб научн трудов НГТУ -2005 -№3(41)-С 139-144

13 Максименко В Н Предельное равновесие анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, тонкими упругими включениями и трещинами / В Н Максименко, С А Зорин // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций тез. докл Всеросс. конф - Новосибирск Изд-воНГТУ,2006 -С 81

14 Maksimenko V N Stress analysis of an anisotropic plate with embedded thin elastic inclusions / V N Maksimenko, S A Zorrn // "IFOST 2006" The 1st International Forum on Strategic Technology "e - Vehicle Technology" Umv of Ulsan, Republic ofKorea -Ulsan, Oct 18-20,2006 -P 167-169

15. Максименко В H Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими жесткими включениями / В Н Максименко, С А Зорин//Прикл механика и техн физика -2007 - Т 48, № 4 - С 173-180

Подписано в печать О$0$ 07 г Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная Тираж 100 экз Печ л 1,0 Заказ № т

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ

ПЛАСТИНЫ С ТОНКИМ УПРУГИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ.

1.1. Основные сведения из математической теории упругости анизотропного тела.

1.1.1. Некоторые основные соотношения.

1.1.2. Граничные условия.

1.1.3. Вид комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого для некоторых частных случаев.

1.2. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с тонким прямолинейным упругим включением.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Условия скачка напряжений и производных от перемещений на берегах тонкого включения.

1.2.3. Получение системы сингулярных интегральных уравнений задачи.

1.2.4. Алгоритм численного решения.

1.2.5. Асимптотическое распределение напряжений в окрестности вершин включений.

1.2.6. Вычисление контактных напряжений на берегах упругого включения.

1.2.7. Примеры расчетов.

ГЛАВА 2. УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ

ПЛАСТИНЫ С СИСТЕМОЙ ТОНКИХ УПРУГИХ ВКЛЮЧЕНИЙ.

2.1. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений.

2.1.1. Получение системы уравнений задачи.

2.1.2. Численная реализация и примеры расчета.

2.2. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой тонких прямолинейных упругих включений.

2.2.1. Постановка задачи и вывод системы СИУ.

2.2.2. НДС анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими абсолютно жесткими включениями.

2.2.3. НДС анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими упругими включениями.

2.3. НДС анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими криволинейными упругими включениями.

ГЛАВА 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ПОДКРЕПЛЕННЫМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ И СИСТЕМОЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ РАЗРЕЗОВ.

3.1. Концентрация напряжений около подкрепленного отверстия в анизотропной пластине.

3.1.1. Формулировка задачи.

3.1.2. Численное решение интегрального уравнения задачи.

3.1.3. Некоторые результаты расчетов.

3.2. Расчет НДС бесконечной анизотропной пластины с подкрепленным отверстием и системой разрезов.

3.3. Экспериментальная оценка коэффициента интенсивности напряжений для трещины возле подкрепленного отверстия в пластине.

Развитие современного общества ставит все возрастающие требования прочности, надежности и работоспособности к конструктивным материалам и сооружениям в целом, используемых в практической деятельности. Существенную роль в обеспечение этих требований играет разработка все более точных методов расчета конструкций на прочность и долговечность. Реальные конструкционные материалы неоднородны по своей структуре и включают в себя множество дефектов типа трещин, пустот, инородных включений и т. д. Возле таких дефектов, вследствие повышенной концентрации напряжений, возникают очаговые трещины, приводящие к разрушению материала при развитии этих трещин в процессе эксплуатации. Одними из наиболее опасных в смысле зарождения и развития трещин в упругих телах являются тонкие остроугольные упругие включения (в предельном случае - абсолютно жесткие включения).

Задачи по расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) тел с упругими включениями приобретают особую актуальность в связи с бурным развитием технологии создания новых композиционных материалов, обладающих рядом преимуществ перед традиционными сплавами. При построении методов расчета конструктивных элементов из композитов возникает необходимость в изучении взаимодействия матрицы заполнителя и армирующих волокон, возможности разрыва или отслоения упругого волокна, взаиморасположения волокон и т. д. Задачи для тел с включениями возникают также при проектировании тонкостенных конструкций, в практике сварных и клеевых соединений, при подкреплении вырезов различной формы тонкими упругими кольцами. Поэтому разработка эффективных методов определения НДС конструкций с концентраторами напряжений такого рода является важной проблемой как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Одной из важнейших составляющих механики хрупкого разрушения упругих тел является математическая теория трещин. Эта теория хорошо разработана и ее основы и этапы развития достаточно полно изложены в следующих монографиях и обзорах: [4, 8, 14, 34, 58-60, 63, 64, 72, 75, 93, 94]. Физическим аспектам возникновения и распространения трещин посвящены работы: [9, 64, 69, 74, 92-94].

При решении задач теории упругости анизотропного тела с упругими включениями и трещинами может быть применен метод сведения краевых задач к системам сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Большую роль в становлении и развитии этого метода для случая изотропного тела сыграли работы [22, 60, 61, 63, 72]. Задачи для анизотропного тела более сложны, и здесь полученные результаты не так многочисленны, как в случае изотропного тела. Отметим работы в области теории упругости анизотропного тела: [7, 28, 51, 70, 86-88, 101, 102].

Метод СИУ может быть эффективно применен при решении задач упругости, если известно фундаментальное решение (функция Грина) для соответствующей области. Авторы работ [24, 87, 89, 90] построили фундаментальные решения для задач изгиба и растяжения полуплоскости. Д.В. Грилицкий [12] получил функцию Грина при решении задачи о действии сосредоточенной силы в бесконечной анизотропной пластине с эллиптическим отверстием.

В работах В.Н. Максименко и его учеников [35-41, 49-50, 52-56] эффективно применен метод СИУ к широкому спектру задач теории упругости анизотропного тела. Получены и численно решены системы СИУ для задач подкрепления анизотропных пластин с вырезами тонкими упругими ребрами жесткости (стрингерами) (присоединенных непрерывно или с помощью клея и(или) заклепок), а также широкими накладками.

При решении задачи теории упругости для тела с упругими включениями необходимо найти решения для областей, занятых включением и основным ма-териалом(матрицей), и после этого сопрягать полученные решения по поверхности (линии) контакта этих областей. При аналитическом подходе к решению этой задачи для сложных форм упругого включения возникают непреодолимые математические трудности. Однако, если учесть тонкостенность упругого включения, то задача существенно упрощается и появляется возможность ее разрешения.

При моделировании упругого включения предполагается, что при переходе через поверхность (линию) контакта терпят скачок вектора напряжений и перемещений вследствие механических свойств включения. Условие скачка вектора напряжений и перемещений выбирается в зависимости от степени упрощения в выбранной модели упругого включения и зависит от конкретной решаемой задачи.

В 1965 г. Р. Грейфом и Д. Сандерсом [108] исследовано (с использованием метода теории функций комплексного переменного ) влияние тонкого упругого непрерывно присоединенного ребра жесткости на коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины в изотропной пластине. В работе [98] решена задача об упругом равновесии плоскости с бесконечным прямолинейным тонким включением в предположении одноосности напряженного состояния включения.

В монографии [3], используя асимптотический метод, решены задачи контактного взаимодействия как прямолинейных, так и кольцеобразных упругих тонких включений (покрытий), лишенных изгибной жесткости. Здесь упругое включение моделировалось линией, при переходе через которую терпят скачок касательные напряжения, а нормальные напряжения и перемещения изменяются непрерывно.

А.Я. Александров и Б.М. Зиновьев [2], используя метод интегральных уравнений, предложили иной подход при моделировании упругого включения: разрыв вектора перемещений и непрерывность вектора напряжений на линии включения. Предполагалось также, что напряженное состояние в тонком упругом включении одноосно. При аналогичных допущениях решены задачи теории упругости для плоскости с заполненной трещиной [31], для упругого включения различной формы [77, 95-97].

А.И. Каландия [22] была построена система сингулярных интегральных уравнений задачи для пластины с трещиной и упругим ребром. Здесь, как и в работах [65, 67, 73, 76] при решении задач теории упругости для тел с однородными или кусочно-однородными прослойками использовалось условие одноос-ности напряженного состояния включения. Также, используя модель включения как одномерный континуум, в работах [80, 85] исследованы задачи упругости для включений вдоль линии раздела материала.

Метод интегральных уравнений был применен в работах [104-106] при решении задачи определения НДС вблизи тонкого упругого включения на линии раздела (или параллельно ей) в составной плоскости. Упругое включение (в пределе - абсолютно жесткое) не обладало изгибной жесткостью. Получены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах включения от длины включения и удаленности последнего от границы раздела материалов пластины. Этим же методом в работе [116] решалась задача взаимодействия между двумя параллельными упругими прямоугольными включениями (волокнами) в бесконечной упругой пластине при различных условиях нагру-жения нормальными и касательными напряжениями на бесконечности. Приведены в табличном виде результаты численного расчета коэффициентов интенсивности напряжений на концах прямоугольных включений в пластине при продольном растяжении, поперечном растяжении и сдвиге.

В работе [66] из решения пространственной задачи теории упругости получены условия скачка перемещений и напряжений на контуре упругого включения переменной толщины. Дальнейшим развитием подхода из [66] стали публикации [79, 91].

Используя разложение искомых функций в асимптотический ряд по малому параметру автор работ [25-27] сводит задачу об упругих включениях к системе псевдодифференциальных уравнений.

В серии работ [81-84] получены системы сингулярных интегральных уравнений для плоскости и полуплоскости из изотропного материала с упругими включениями малой ширины, а также асимптотическое распределение напряжений и перемещений вблизи вершин включений.

В работах [13,15] упругое включение в изотропной пластине моделируется пластиной, один из размеров которой (ширина) намного меньше другого. Учитывая малость ширины пластины, комплексные потенциалы (описывающие напряженно-деформированное состояние пластины-включения), раскладываются в ряд Тейлора по оси включения с удержанием членов первого порядка малости. На линиях контакта удовлетворяются условия полного механического сцепления и выводятся условия скачка перемещений и напряжений.

Задачи определения напряженно-деформированного состояния пластин с упругими криволинейными включениями канонической формы рассмотрены в работе [94]. В работе [111] для решения задач упругости в разнородных телах, содержащих многие взаимодействующие включения, пустоты и трещины введен метод объемных интегральных уравнений. Работы [23, 33, 109, 115, 118120] посвящены исследованию НДС упругих тел с включениями, вырезами и трещинами.

Проблеме исследования взаимодействия остроконечных жестких включений и трещин в упругих изотропных пластинах посвящена монография [8]. В работе проводится анализ особенностей сингулярных решений и вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах взаимодействующих жестких включений и трещин. В работах [49-50] с использованием метода сингулярных интегральных уравнений решены задачи взаимодействия криволинейных жестких включений и трещин в анизотропных пластинах. В публикации [103] изложена формулировка метода интегральных уравнений для решения задачи о взаимодействии трещины с жестким прямолинейным включением в изотропной матрице.

Т.о., из приведенного обзора литературы следует, что исследования для анизотропного тела с тонкими упругими включениями практически отсутствуют. Поэтому представляется актуальной задача по разработке механико-математических моделей и созданию расчетных методик (с применением аппарата СИУ) по оценке НДС анизотропных пластин с тонкими упругими включениями.

В машиностроении и в ряде других важных областей возникает необходимость уточненного расчета на прочность тонкостенных конструкций с вырезами и отверстиями различной формы, подкрепленными по контуру упругими кольцами и накладками. Такие задачи представляют большой интерес для практики.

Задачей подкрепления занимались многие авторы. Достаточно полный обзор методов расчета пластин с непрерывно присоединенными ребрами жесткости можно найти в работах: [3, 11, 71, 73, 100, 113, 1 14]. При этом подкрепляющий элемент моделировался различными способами. Это, либо, упругий прямолинейный (или криволинейный) стержень, работающий только на растяжение-сжатие, либо, стержень, обладающий жесткостями на изгиб и растяжение-сжатие. В работе [71] подкрепляющее кольцо описывалось уравнениями двумерной теории упругости. При помощи модели подкрепления, основанной на использовании теории малой деформации тонкого криволинейного стержня были проведены исследования в работах [57, 71, 99, 100, 113]. Оптимальному проектированию как широких, так и узких колец были посвящены работы [29, 30,68, 113].

Во многих работах задачи сведены с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

В работе [99] исследована задача подкрепления кругового отверстия в изотропной пластине как замкнутым, так и двумя разомкнутыми, симметрично расположенными ребрами малой постоянной толщины. Ребро трактуется как тонкая упругая нить, работающая только на растяжение-сжатие. Задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению с помощью многочленов Чебы-шева приводится к бесконечной системе алгебраических уравнений.

В работе [3] рассматривается такая же задача, как и в [99], но здесь учитываются нормальные контактные напряжения на линии спая. Приведен численный пример для случая, когда жесткость подкрепления на изгиб пренебрежимо мала.

Обзор литературы показывает, что разработанные методики расчета подкрепленных отверстий основываются на методе конформного отображения [110], МКЭ и некоторых других. Метод интегральных уравнений, как метод расчета задач с подкрепленными отверстиями, хотя и указан в работах М.П.Шереметьева [100] и других авторов, но практически не применялся. Лишь в работах [3, 62, 99] этот метод был положен в основу расчета задачи подкрепления кругового отверстия в изотропной пластине, а в работе [117] метод интегральных уравнений применен для задач плоской деформации упругих тел с граничными подкреплениями. Поэтому представляется важным разработать с помощью аппарата СИУ методики расчета анизотропных пластин с вырезом, подкрепленным по контуру тонким упругим кольцом. Метод интегральных уравнений выбран ввиду его экономичности и повышенной точности по сравнению с другими методами в задачах о концентрации напряжений.

Цель работы - разработка на базе метода сингулярных интегральных уравнений методики расчетной оценки напряженно-деформированного состояния и параметров разрушения: анизотропных пластин с эллиптическим отверстием, содержащих тонкие упругие включения и трещины; анизотропных пластин с подкрепленным эллиптическим отверстием и трещинами. Исследование влияния различных факторов (геометрических, жесткостных) на несущую способность рассматриваемых конструкций.

Методика исследований. Задачи определения напряженно-деформированного состояния и параметров разрушения анизотропных пластин решаются на основе соотношений плоской задачи теории упругости для прямолинейно - анизотропных тел методом функций комплексного переменного с использованием теории интегралов типа Коши, метода сингулярных интегральных уравнений и численных способов их решения.

Достоверность полученных результатов подтверждается путем сопоставления с известными решениями, приведенными в литературе, а также с результатами специально проведенного эксперимента, выполненного методом фотоупругости.

Научная новизна и теоретическая значимость:

• Предлагается уточненная модель тонкого упругого включения, построенная из условий скачка напряжений и производных от перемещений при переходе через линию контакта и позволяющая учитывать изгибную жесткость включения. Предложенная модель упругого включения позволяет решать задачи упругости для анизотропных пластин, содержащих абсолютно жесткие включения и трещины.

• Построены системы интегральных уравнений, разработаны алгоритмы численного решения и созданы компьютерные программы: 1) для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей тонкие криволинейные упругие включения и трещины; 2) для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с подкрепленным эллиптическим отверстием и трещинами.

Практическая значимость. Предложенные методики дают возможность проводить анализ НДС и параметров разрушения конструктивных элементов с отверстиями, тонкими упругими включениями и трещинами, выполненных из изотропных и анизотропных материалов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов», (Казань, 1988), на Научно-технической конференции «Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций», (Нижний Новгород, 1991), на Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций», (Новосибирск, 2006), на Первом Международном Симпозиуме по Стратегическим Технологиям "IFOST 2006" (Ulsan, Republic of Korea, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 15 научных публикациях [16-21, 41-48,112].

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 115 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 120 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе метода сингулярных интегральных уравнений построено решение задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, содержащей систему тонких упругих включений. Предлагается уточненная модель соединения: включение рассматривается как упругая пластина, один из линейных размеров (ширина) которой существенно меньше другого. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений и решается с помощью эффективного численного алгоритма. Исследуется влияние жесткостных и геометрических параметров упругих включений на распределение и величину контактных напряжений вдоль линий соединения включений и пластины. Построено асимптотическое распределение напряжений в пластине вблизи вершин включений и определяются коэффициенты интенсивности напряжений.

2. Решается задача определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей систему тонких упругих включений. Контактное соединение моделируется упругой пластинкой. Решение задачи строится в виде комплексных потенциалов, автоматически удовлетворяющих краевым условиям на контуре эллиптического отверстия и на бесконечности. Проводится исследование влияния жесткостных и геометрических параметров упругих включений на концентрацию напряжений на контуре отверстия и величину коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах включений. Отмечается, что учет изгибной жесткости упругих включений приводит к перераспределению напряжений по контуру отверстия.

3. Развивается методика расчета напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин, ослабленных трещинами и эллиптическим отверстием, подкрепленным по контуру тонким кольцом переменной жесткости. Подкрепляющий элемент рассматривается как криволинейный стержень, упругое равновесие которого описывается теорией малых деформаций криволинейных стержней, а пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений и дается алгоритм ее численного решения. Исследуется влияние анизотропии материала пластины, жесткостных и геометрических характеристик подкрепляющего кольца на концентрацию напряжений в пластине и величину коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин. Достоверность предложенной методики подтверждается результатами специально проведенного эксперимента по методу фотоупругости.

4. Все решенные задачи доведены до программных комплексов, позволяющих быстро и эффективно проводить параметрические исследования НДС и параметров разрушения анизотропных пластин с эллиптическим отверстием, трещинами и тонкими упругими включениями. Подбором жескостных параметров подкрепляющего контур отверстия кольца можно добиться существенного снижения концентрации напряжений в пластине.

1. Александров А.Я., Ахметзянов М.Х. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого тела. М.: Наука, 1973. - 576 с.

2. Александров А.Я., Зиновьев Б.М. Приближенный метод решения плоских и пространственных задач теории упругости для тел с армирующими элементами и разрезами. // В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - С. 15-25.

3. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

4. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наукова думка, 1982.-346 с.

5. Ахметзянов М.Х., Тырин В.П. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для внутренней поперечной трещины в головке рельса // Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений: Меж-вуз. сб. науч. тр.- Новосибирск, 1986. С. 5-12.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. 256 с.

7. Бережницкий Л.Т., Денисюк И.Т. Оценка локального напряженно-деформируемого состояния вблизи остроконечных упругих включений в анизотропной пластинке // Докл. АН УССР. Сер. А, 1983. - № 3. - С. 2832.

8. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова думка, 1983 .-288 с.

9. БроекД. Основы механики разрушения- М.: Высшая школа, 1980. -368 с.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. 582 с.

11. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.

12. Грилицкий Д.В. Влияние точки приложения силы и момента на распределение напряжений в бесконечной анизотропной пластине с эллиптическим отверстием // Прикл. механика. 1956. Т. 2, № 2, с. 159-166.

13. Грилицкий Д.В., Драган М.С., Опанасович В.К. Изгиб плиты с прямолинейным тонкостенным включением // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - № 3. -С. 83-88.

14. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 295 с.

15. Драган М.С., Опанасович В.К. Напряженное состояние полосы (балки) с прямолинейным тонкостенным включением // Прикл. матем. и механ. -1979. Т. 43, № 2. - С. 342-348.

16. Зорин С.А. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с подкрепленным отверстием и трещинами // Сб. научн. трудов НГТУ. 2005. - № 3(41). - С. 139-144.

17. Зорин С.А., Максименко В.Н. Концентрация напряжения около подкрепленного отверстия в анизотропной пластине // Вопросы прочности тонкостей. авиац. конструкций. Казань: Изд-во КАИ, 1987. - С. 25-30.

18. Зорин С.А., Максименко В.Н. Анизотропная пластина, ослабленная отверстием и трещинами // Физико-химическая механика материалов. 1988. -№2. -С. 28-33.

19. Зорин С.А., Максименко В.Н. Прогнозирование усталостной долговечности плоских шарнирных соединений // Вопросы авиац. науки и техники, сер. Аэродинамика и прочность летательных аппаратов. Новосибирск: Сиб-НИА, 1995.-Вып. 1.-С. 145-152.

20. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973.-304 с.

21. Калоеров С.А., Вакуленко С.В. Об общих представлениях комплексных потенциалов для изотропных пластинок с отверстиями, трещинами и включениями // Теор. и прикл. мех. (Киев). 2001. - № 32. - С. 79-93.

22. Калоеров С.А., Космодамианский А.С. Действие сосредоточенной силы в анизотропной полуплоскости с эллиптическим отверстием // Теор. и прикл. механика. 1970. - вып. 1. - С. 28-34.

23. Канаун С.К. Тонкий дефект в однородной упругой среде. В кн: Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. Ленинград: ЛИСИ, 1983.-С. 75-84.

24. Канаун С.К. О сингулярных моделях тонкого включения в однородной упругой среде // Прикл. матем. и механ. 1984. - Т. 48, № 1. - С. 81 -91.

25. Канаун С.К. Тонкий дефект в однородной упругой среде // Изв. АН СССР, МТТ. 1984. - № 3. - С. 74-83.

26. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. Донецк, Киев: Вища школа, 1976. - 200 с.

27. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. Эквивалентное подкрепление отверстия в пластинке // Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975.

28. Куршин Л.М., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - № 6.

29. Куршин Л.М., Суздальницкий И.Д. Напряжения в плоскости с заполненной щелью // Прикл. механ. 1973. - Т. 9, № 10. - С. 62-68.

30. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: ГИТТЛ, 1957. ~ 464 с.

31. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. - 382 с.

32. Максименко В.Н. Передача усилия от стрингера к полубесконечной анизотропной пластине // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных монолитных авиац. конструкций. Казань: Изд-во КАИ, 1980. - С. 52-58.

33. Максименко В.Н. К контактной задаче для анизотропной пластины, подкрепленной ребром жесткости // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. - № 1. -С. 159-165.

34. Максименко В.Н. Задача об анизотропной пластине, ослабленной криволинейными трещинами и усиленной ребрами жесткости // Журнал прикл. механ. и техн. физ. 1982. - № 2. - С. 163-169.

35. Максименко В.Н. Влияние подкрепляющих элементов на развитие трещин у отверстия в пластине // Прикл. механ. 1988. - Т. 24, № 11. - С. 91-98.

36. Максименко В.Н. Задача о трещине в анизотропной полуплоскости, подкрепленной упругими накладками // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 99. С. 4146.

37. Максименко В.Н., Загорский И.А., Зорин С.А., Павшок В.Н., Плаксин

38. Максименко В.Н., Зорин С.А. Развитие трещин около выреза в оребренной панели // III Всесоюз. конф. "Совр. пробл. строит, механ. и прочн. летат. аппаратов" (Казань, 1988): Тез. докл. - Казань: КАИ, 1988. - С. 92.

39. Максименко В.Н., Зорин С.А. Торможение трещины вблизи окантованного выреза // Вопросы авиац. науки и техники, сер. Аэродинамика и прочность летательных аппаратов. Новосибирск: СибНИА, 1988. - Вып. 1. С. 82-96.

40. Максименко В.Н., Зорин С.А. Напряженное состояние анизотропной пластины, ослабленной подкрепленным отверстием и системой трещин // Прикл. механ. (Киев). 1993. - Т. 29, № 7. - С. 60-67.

41. Максименко В.Н., Зорин С.А. Напряженное состояние анизотропной пластины с системой тонких упругих включений // Научный вестник НГТУ.2005.-№3(21).-С. 113-120.

42. Максименко В.Н., Зорин С.А. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими жесткими включениями // Журнал прикл. механ. и техн. физ. 2007. - Т. 48, №4.-С. 173-180.

43. Максименко В.Н., Недогибченко Г.В. Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения // Журнал прикл. механ. и техн. физ. 2000. -Т. 41, №3.-С. 213-219.

44. Максименко В.Н., Недогибченко Г.В. Напряженно-деформированное состояние составной анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения // Журнал прикл. механ. и техн. физ. 2001. - Т. 42, № 5. - С. 209-216.

45. Максименко В.Н., Олегин И.П. Теоретические основы методов расчета прочности элементов конструкций из композитов: учебник. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. - 240 с.

46. Максименко В.Н., Павшок В.Н. Влияние приклеенных ребер жесткости на характеристики остаточной прочности панелей из анизотропных и изотропных материалов // Учен, записки ЦАГИ. 1987. - Т. 18, № 2. - С. 84-92.

47. Максименко В.Н., Павшок В.Н. Влияние приклеенных накладок на интенсивность напряжений в вершинах трещин в анизотропной пластине // Прикл. механ. 1989. - Т. 25, № 5. - С. 69-75.

48. Максименко В.Н., Павшок В.Н. К расчету анизотропной пластины с трещинами, усиленной клееклепаными ребрами // Журнал прикл. механ. и техн. физ.- 1992.-№ 1.-С. 133-140.

49. Максименко В.Н., Тягний А.В. Расчет напряженного состояния клеекле-паных слоистых пластин с трещиной // Ученые записки ЦАГИ. 1990. -Т. 21, №5.-С. 92-101.

50. Максименко В.Н., Хан Ю.Н. Влияние ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние около отверстия или трещины в анизотропной пластине // Учен, записки ЦАГИ. 1982. - Т. 13, № 3. - С. 99-107.

51. Мартынович Т.Л., Зварич М.К., Щукин B.C. О напряженном состоянии анизотропной пластинки, в криволинейное отверстие которой впрессован замкнутый стержень // Механика полимеров. 1976. - №2.

52. Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие: В 4 т. / Под общей редакцией Панасюка В.В. Киев: Наукова думка, 1988.

53. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. -255 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

55. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физмат-гиз, 1968.-512 с.

56. Мхитарян С.М., Торосян Ф.С. О некоторых задачах контактного взаимодействия упругой бесконечной плоскости с круговым отверстием и кольцеобразных накладок // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1983, 36, - № 1.- С. 316.

57. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. -444 с.

58. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука, 1985.-502 с.

59. Перлин П.И. К решению плоских задач теории упругости для тел с тонкостенными включениями // Известия АН СССР.МТТ. 1973. - № 5. - С. 140143.

60. Подстригач Я.С. Условия скачка напряжений и перемещений на тонкостенном включении в сплошной среде // Докл. АН УССР. Сер. А, 1982. -№ 12.-С. 29-31.

61. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. - 344 с.

62. Пустовой Н.В., Расторгуев Г.И. Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергии деформаций. -Новосибирск: Изд. НГТУ 2002. 317с.

63. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. - 80 с.

64. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968.-888 с.

65. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругими накладками. Киев: Наукова думка, 1971. - 268 с.

66. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. -Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.

67. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1983. - 260 с.

68. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита Т. Вычислительная механика разрушения. М.: Мир, 1986. - 334 с.

69. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. - 295 с.

70. Солодовник М.Д. Задача для нагруженной однородной упругой пластины с тонким упругим включением. В кн: Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. докл. Всесоюз. конф. Ростов-на Дону, 1977, ч. 2, с. 110.

71. Соткилава О.В., Черепанов Г.П. Некоторые задачи неоднородной теории упругости // Прикл. матем. и механ. 1974. - Т. 38, Вып. 3. - С. 539-550.

72. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х т. / Под ред. Ю. Мураками. М.: Мир, 1990. Т. 1. 448 с.

73. Стадник М.М. Интегродифференциальные уравнения трехмерной задачи теории упругости для тела с системой тонких включений // Физико-химическая механика материалов. 1984. - 20, № 1. - С. 15-21.

74. Сулим Г.Т. Концентрация напряжений на тонкостенном включении в кусочно-однородной плоскости. Вестн. Львов, ун-та. Сер. мех.-мат., 1974, вып. 9, С. 74-80.

75. Сулим Г.Т. Термоупругие условия взаимодействия среды с тонкостенным включением //Вестн. Львов, ун-та. Сер. мех.-мат., 1979, вып. 15, С. 85-92.

76. Сулим Г.Т. Система линейных включений в изотропной среде // Докл. АН УССР. Сер. А, 1980. - № 7. - С. 64-68.

77. Сулим Г.Т. Концентрация напряжений возле тонкостенных линейных включений // Прикл. механика. -1981. Т. 17, № 11, с. 82-89.

78. Сулим Г.Т. Упругое равновесие полуплоскости с системой линейных включений // Прикл. механика. 1983. - Т. 19, № 2, с. 96-100.

79. Сулим Г.Т., Грилицкий Д.В. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с тонкостенным упругим включением конечной длины // Прикл. механика. 1972.-Т. 8,№ 11, с. 58-65.

80. Сулим Г.Т., Шевчук С.П. Плоская задача для кусочно-неоднородного анизотропного тела с упругими ленточными включениями // Oi3.-xiM. мех. матер. 1999. - 35, № 6. - С. 7-16.

81. Фильштинский JI.A. Упругое равновесие плоской анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде // Известия АН СССР.МТТ. 1976. - № 5. - С. 9197.

82. Фильштинский JI.A. Краевые задачи теории упругости для анизотропной полуплоскости, ослабленной отверстием или разрезом // Известия АН СССР. МТТ. 1980. - № 6. - С. 72-79.

83. Фильштинский JI.A. Об особенности поля напряжений в упругой анизотропной полуплоскости с выходящим на границу ребром // Прикл. механика.-1981.-Т. 17,№ 10.-С. 107-111.

84. Фильштинский Л.А., Любчак В.А. Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами // Прикл. механика. -1982.-Т. 18, № 10, С. 63-67.

85. ХайМ.В. Интегральные уравнения задачи об определении напряжений в теле с тонким инородным включением // Докл. АН УССР. Сер. А, 1984. -№3.- С. 44-47.

86. Хеллан К. Введение в механику разрушения. -М: Мир, 1988.-364 с.

87. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. -640 с.

88. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 983.-296 с.

89. Черепанов Г.П. Метод внешних и внутренних разложений в теории упругости. // В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975.-С. 502-507.

90. Черепанов Г.П., Кочеров Р.С., Соткилава О.В. Параболическое включение в упругой плоскости. // Труды Моск. горн, ин-та, 1975. С. 36-46.

91. Черепанов Г.П., Кочеров Р.С., Соткилава О.В. Об одном трещиновидном дефекте в упругой плоскости // Прикл. механ. 1977. - Т. 13, № 2. - С. 48-52.

92. Чобанян К. С., Хачикян А. С. Плоское деформируемое состояние упругого тела с тонкостенным гибким включением // Изв. АН Арм. ССР. Механика.-1967,20,-№6.-С. 19-29.

93. Шагинян С.С. Некоторые контактные задачи для плоскости с круговым отверстием, усиленной на своей границе упругими накладками// Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1974, 27, -№ 1.

94. Шереметьев М.П. Пластинки с подкрепленным краем. Львов: Изд-во Львовск. ун-та, 1960.

95. Ю1.Шерман Д.И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды // Прикл. матем. и механ. 1942. - Т. 6, Вып. 6. - С. 509-514.

96. Berger J.R., Tewary V.K. Boundary integral equation formulation for interface cracks in anisotropic materials // Comput. Mech. 1997.-20, № 3. - P. 261-266.

97. Dong C.Y., Lo S.H., Cheng Y.K. Interaction between cracks and rigid-line inclusions by an integral equation approach // Comput. Mech. 2003 -V. 31, № 3-4.-P. 238-252.

98. Erdogan F., Gupta G.D. The stress analysis of multilayered composites with a flaw//Int. J. Solids and Struct. 1971. - V. 7, № 1. - P. 39-61.

99. Erdogan F., Gupta G.D. Layered composites with an interface flaw I I Int. J. Solids and Struct. 1971. - V. 7, № 9. - P. 1089-1107.

100. Erdogan F., Gupta G.D. Stresses near a flat inclusion in bonded dissimilar materials // Int. J. Solids and Struct. 1972. - V. 8, № 4. - P. 533-547.

101. Erdogan F., Gupta G.D., Cook N.S. The numerical solutions of singular integral equations // Mechanics of Fracture. Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1973. V. 1. P. 368-425.

102. Greif R., Sanders J. L. The effect of a stringer on the stress in a cracked sheet // Trans. ASME, ser.E. 1965. - V. 32, № 1. - P. 59-66.

103. Jiang Cui-xiang, Zhao Yao, Liu Tu-guang. Effect of a local reinforcement on the stress intensity factor of a cracked plate // J. Ship Mech. 2004. - V. 8, № 3. - P. 85-94.

104. Mansfield E.N. Neutral holes in plane sheet: reinforced holes which are elasti-cally equivalent to the Uncut sheet // The Quart. Journal of Mech. and Applied Math., 1953.-V. 6, part. 3.

105. Muki R., Sternberg E. On the stress analysis of overlapping bonded elastic sheets // J. Solids and Struct. 1968. - V. 4, № 1. - P. 75-94.

106. Noda N.A., Genkai Т., Wang Q. Intensity of singular stress fields at the end of a cylindrical inclusion // Trans. ASME J. Appl. Mech. 2003. - V. 70, № 4. -P. 487-495.

107. Noda Nao-Aki, Wang Qing, Uemura Yoshitaka, Kawashima Yuuji. Singular integral equation methods in the analysis of interaction between rectangular inclusions // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1997. - V. 63, № 612. - P. 16631668.

108. Schiavone P., Ru C.Q. Integral equation methods in plane-strain elasticity with boundary reinforcement // Proc. Roy. Soc. London A 1998. - 454, № 1976. -P. 2223-2242.

109. Tao Fang-ming, Tang Ren-ji. The crack- inclusion interaction and the analysis of singularity for the horizontal contact // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. -2001.-V. 22, № 5. P. 547-556.

110. Wang Yin-bang. Boundary element analysis of interaction between an elasticIrectangular inclusion and a crack // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 2004. -V. 25, №2.-P. 152-157.

111. Xiao Z.M., Chen B.J. Stress analysis for a Zener-Stroh crack integrating with a coated inclusion // Int. J. Solids and Struct. 2001. - V. 38, № 28-29. - P. 50075018.