Метод расчета напряженно-деформированного состояния анизотропных упругих и стареющих вязкоупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

4-

Ермоленко Георгий Юрьевич I I

МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ И СТАРЕЮЩИХ ВЯЗКОУПРУГИХ ГЕЛ

01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Орел - 2006

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете и Самарской государственной академии путей сообщения.

Научный консультант - доктор технических наук, профессор Мулюкин Олег Петрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кадашевич Юлий Исакович; доктор физико-математических наук, профессор Желтков Владимир Иванович; доктор технических наук, профессор Юрьев Александр Гаврилович.

Ведущая организация - Самарский государственный аэрокосмический университет

Защита состоится « 27 » апреля 2006 г. в 14-00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.182.03 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного технического университета.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие железнодорожного, авиационного, морского и других видов транспорта сопровождается ростом энерговооруженности силовых установок, скоростей движения подвижного состава и повышением его грузоподъемности. Повышение эксплуатационных требований к транспортным средствам при минимизации массогабаритных характеристик их систем и агрегатов обуславливает необходимость совершенствования методов расчета деформированного состояния и работоспособности несущих конструкций в условиях варьирования внешних нагрузок.

Для решения возникающих при этом задач статической и динамической теории упругости и вязкоупругости динамически нагруженных элементов пользуются методами отечественных учёных: Г.И. Петрашеня, В.М. Бабича и B.C. Булдырева, В.А. Гордона, Б.В. Кострова, Л.И. Слепяна, В.И. Желгкова, В.Б. Поручикова, В.А. Свекло, B.C. Будаева, И.Г. Филипова, В.А. Сарай кипа, А.Ф. Федечева, Б.В. Кострова, В.Л. Березина, Л.Ю. Косовича, В.М. Александрова, Д.А. Пожарского, В.Т. Гринченко, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, B.C. Шоркина, Л.И. Фридмана, И.А. Притыкина, A.A. Рогового, С. В. Рудаченко, Т.В. Рудаченко, С.А. Калоерова, Е.С. Горянской, Ю.Б. Шаповаловой, Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б., В.В. Москвитина, Б.Е. Победри, Л.Е. Мальцева, А.И. Крекнина, Г.Н. Савина, ЯЛ. Рущицкого, А.И. Станкевича, Т.В. Кадьгрбекова, В.В. Колоксшьчикова, Л.А. Галина, H.A. Труфанова, A.A. Шматковой И.Г. Филиппова, H.A. Филипповой, O.A. Егорычева, Ю.Э. Сеницкого а также зарубежных учёных Чао С.К., Юнга C.B., Микловитца Дж., A.W. Maue, J.R. Willis, Y.H. Pao, A.W. Ewing, R. Skalak, C. Atkinson и других.

В последнее время дальнейшее развитие получили классические методы решения задач теории упругости, такие как метод Винера - Хопфа, метод Виллиса, асимптотические методы, метод интегральных уравнений, метод функций Грина, метод представления решения статических задач упругости с помощью функций Папковича - Нейбера, метод функционально -инвариантных решений, лучевой метод. В последние годы большое внимание отечественными учеными уделяется разработке метода интегральных преобразований для комплексного решения задач по указанной проблеме. Причем расширение возможностей методов решения статических задач идёт по двум направлениям. Первое - развитие самих методов решения статических задач. Например, благодаря развитию метода Винера— Хопфа удалось решить задачи о дифракции упругих волн на подвижной трещине, о дифракции на границе раздела жидкости и твёрдого тела и т.д. Благодаря дальнейшему развитию метода Папковича - Нейбера удалось построить полные решения стационарных задач для конечных тел канонической формы. За счёт развития метода Колосова - Мусхелишвшш удалось решить задачу об изгибе бесконечной пластины с шестиугольным вырезом, в явном виде получить

общее решение задачи антиплоского деформирования упругого пространства с несколькими цилиндрическими включениями. Метод конечных интегральных преобразований разрабатывается Ю.Э. Сеницким.

Второе направление, расширяющее возможности методов решения динамических задач - это разработка и применение комплексных методов, включающих в себя несколько уже известных и вновь разрабатываемых методов. Так, совместное применение метода интегральных преобразований и представления решений в форме Смирнова - Соболева, позволило решать пространственные задачи дифракции. Комбинированный метод интегральных преобразований и выделения особенностей, разработанный В.Б. Порутчиковым дал возможность решить пространственные динамические задачи теории упругости для клиновидных областей со смешанными статическими условиями.

Методы решения динамических и статических задач теории упругости представляют ценность не только для теории упругости, но и для других разделов механики деформируемого твёрдого тела. Например, к краевым задачам статической теории упругости с использованием принципов соответствия сводится достаточно большой класс статических задач теории вязкоупругости для неоднородно стареющего анизотропного материала, подвергаемого медленным процессам деформирования.

Каждый из методов существенным образом опирается на форму деформируемого тела, свойства его материала и позволяет решить начально-краевую задачу только для достаточно узкого класса деформируемых тел, причем к настоящему времени не построены методы, позволяющие получать решение начально-краевой задачи в виде оператора, воздействующего на начальные и краевые условия краевой задачи для тел произвольной формы.

Возможность получения точных решений практических задач механики анизотропных тел имеется лишь для ограниченного числа частных видов анизотропии и формы деформируемых тел. Не решены, в частности, задачи расчета напряженно-деформированного состояния толстостенных труб с механическими характеристиками, произвольным образом изменяющимися вдоль радиуса. Такого рода объекты являются расчетными моделями стволов артиллерийского и стрелкового вооружения, корпусов и защитных устройств ядерных энергетических установок, сосудов высокого давления в химическом и энергетическом машиностроении, трубопроводов и запорных клапанных устройств различного назначения. Современные численные методы, такие как метод конечных элементов, в основном, решают проблему проверочных расчетов. На стадии же предварительного проектирования предпочтительнее использование аналитических методов. Таким образом, широкое распространение технических объектов сложной формы, выполненных из анизотропного материала с одной стороны, и несовершенство инженерных методов расчета их деформированного состояния с другой стороны, делают задачу совершенствования аналитических методов расчета и исследования указанных объектов важной и актуальной, представляющей значительный практический интерес для предприятий отечественной промышленности.

Работа выполнялась по договору № 9-1-00 от 20.06.00 г. «О научно-техническом и педагогическом сотрудничестве Орловского государственного технического университета (ОрелГТУ) и Самарской государственной академии путей сообщения (СамГАПС) на 2000-2005 гг. в рамках отраслевой Программы энергосбережения на железнодородном транспорте в 1998-2000, 2005 годах (Постановление Правительства Российской Федерации от 04.07.98 г. № 262 пру; Указание МПС Российской Федерации от 09.10.98 г. № Б-1166у).

Целью работы является разработка методов решения статических и динамических задач теории упругости и вязкоупругости для анизотропных-упругих и стареющих вязкоупругих материалов, позволяющих выразить решение задачи для тел произвольной формы в виде квадратуры, воздействующей на начальные и краевые условия, а также методов эффективного точного и приближенного аналитического и численного вычисления этих квадратур с помощью предложенного и развитого в работе метода опорных функций для решения широкого класса прикладных задач в механике деформируемых тел.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработать метод сведения задач статической и динамической теории вязкоупругости для анизотропного стареющего материала к соответствующим задачам теории упругости.

2. Объединив методы преобразования Лапласа и Фурье с методом потенциала, получить квадратуры решений трех основных задач статической и динамической теории упругости для анизотропного материала.

3. Разработать метод опорных функций, использующий метод интегральных преобразований и метод функций Грина, для эффективного аналитического и численного вычисления полученных квадратур.

Научная новизна.

1. Создан эффективный метод расчета деформированного состояния однородных анизотропных конструкций произвольной формы в случае их статического и динамического нагружения.

2. Разработаны принципы соответствия, позволяющие расчет деформированного состояния стареющих анизотропных вязкоупругих конструкций сводить к расчету деформированного состояния упругих конструкций.

3. Получены соотношения, определяющие класс вязкоупругих материалов, расчет напряженно-деформированного состояния которых сводится к расчету деформированного состояния упругих материалов.

4. Впервые решены инженерные задачи:

-о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной квадратично нелинейной вязкоупругой полосы;

-о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы;

-о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала;

-об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки;

-о деформированном состоянии ортотропной пластины со смещенным круглым вырезом;

-о деформированном состоянии ортотропной пластины в виде части квадрата;

-об ортотропной пластине в виде креста;

-о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поликарбонатного ортотропного материала.

Особенностью решенных задач является возможность учета влияния истории нагружения и вида напряженно-деформированного состояния на несущую способность изделия.

К новым результатам, имеющим важное значение для механики деформируемого твердого тела можно отнести следующие:

- разработан метод решения статических и динамических задач линейной теории' упругости для однородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и методе потенциала;

- получены квадратуры решений первой, второй и третьей статических и динамических задач анизотропной теории упругости для однородного тела произвольной формы. Доказано, что эти квадратуры удовлетворяют исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задач;

- разработаны принципы соответствия между квазистатическими и динамическими задачами нелинейной анизотропной теории вязкоупругости для неоднородного стареющего материала и статическими и динамическими задачами теории нелинейной упругости;

- получены квадратуры решений статических и динамических задач теории вязкоупругости для неоднородного стареющего материала со смешанными краевыми условиями;

- создан метод опорных функций для эффективного численного и аналитического вычисления полученных квадратур.

Научная и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты в рамках единого подхода систематизируют и дополняют набор соотношений по расчету несущей способности пространственных конструкций произвольной формы, изготовленных из однородных и неоднородных упругих анизотропных и стареющих вязкоупругих материалов, находящихся в условиях сложного нагружения. Это позволяет рассчитывать деформированное состояние несущих конструкций средств транспорта, а также мостов и сооружений как при статических так и динамических внешних воздействиях. Внедрение результатов диссертации в инженерную практику расширяет возможности математического аппарата проектировщика, повышает научно-технический уровень проектирования, увеличивает точность и надежность расчетов, сокращает сроки и стоимость проектных и экспериментальных работ. Решение данной задачи особенно актуально для криогенного клапанного агрегатостроения в связи с переходом транспортных средств на новые, более перспективные криогенные топлива (сжиженный природный газ, жидкий водород и др.)

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановки задач и корректностью проводимых математических преобразований, ■ проверкой полученных в работе квадратур прямой подстановкой их в уравнения, начальные и краевые условия исходных статических и динамических задач, а также решением разработанными методами известных тестовых задач с хорошим качественным и количественным соответствием.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Всесоюзной школе и конференции молодых ученых. Куйбышев, 1978 г.; Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение долговечности и надёжности машин и приборов". Куйбышев, 1981г.; V Всесоюзной конференции по композиционным материалам. Москва,1981г.; научном семинаре Н.Х. Арутюняна по вязкоупругости неоднородно стареющих тел. Москва. ИПМ. 1983 г.; Второй всесоюзной конференций "Ползучесть в конструкциях". Новосибирск, 1984г.; международной математической конференции. Секция уравнений мат. физики. Саранск, 1994 г.; международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 1996г.; международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина. Самара, 1997 г.; международной конференции " Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара, 1998 г.; 3-ем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Секция «Выч.методы.и т.д.». Новосибирск. ИМСОРАН, 1998г.; международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". Санкт-Петербург, 1999 г.; научном семинаре кафедры механики композитов МГУ. Москва, 2001г.; международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2002 г.; научном семинаре И.П.Машиностроения. Санкт-Петербург, 2003г.; научном семинаре кафедры вычислительной математики и механики Пермского Технического Университета. Пермь, 2003г.; научном семинаре Института механики сплошной среды УОРАН. Пермь, 2004 г.; выездной сессии Головного Совета по Машиностроению. Саратов, 2005.

На защиту выносятся.

1. Эффективный метод расчета напряженно-деформированного состояния однородных анизотропных конструкций произвольной формы в случае их сложного статического и динамического нагружения.

2. Принципы соответствия, позволяющие расчет деформированного состояния стареющих анизотропных вязкоупругих конструкций сводить к расчету деформированного состояния упругих конструкций.

3. Аналитические соотношения, определяющие класс вязкоупругих материалов, расчет деформированного состояния которых сводится к расчету деформированного состояния упругих материалов.

4. Решение инженерных задач:

— о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной квадратично нелинейной вязкоупругой полосы;

- о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы;

- о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала;

- об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки;

- о деформированном состоянии ортотропной пластины со смещенным круглым вырезом;

-о деформированном состоянии ортотропной пластины в виде части квадрата;

-об ортотропной пластине в виде креста;

-о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поли карбонатного ортотропной материала.

5. Квадратуры решений статических и динамических задач теории вязкоупругости со смешанными краевыми условиями.

6. Метод опорных функций для эффективного численного и аналитического вычисления полученных квадратур.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ общим объемом 26 пл., включая 2 монографии и 3 авторских свидетельства.

Личный вклад автора. Представленная диссертация содержит итог тридцатилетней работы автора в области механики деформируемого твердого тела и уравнений математической физики. Все приведенные в диссертации результаты получены либо самим автором, либо в рамках сотрудничества, в котором он играл основную роль в постановке задач, разработке методов их решения, а также в численной реализации всех представленных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, выводов, списка литературы и приложения. Объём работы - 190 страниц, включая 170 страниц текста и список литературы из 193 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражено современное состояние вопросов исследования, обоснована актуальность научного исследования, сформулироващл цель работы, её научная новизна, применение и практическая ценность. Изложены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена разработке математического аппарата, используемого для решения общих и конкретных задач, поставленных и решаемых в работе, при этом:

- определён класс функций, используемый в работе, введено преобразование Фурье для функций этого класса и доказано, что эти функции восстанавливаются по своему образу Фурье;

-введены свёртки по конечному объёму Г(х)= |г,(х-у)Сг(у)ау и по

конечной поверхности Г(х)='—у.^Су^йв, причем для них доказаны теоремы, аналогичные классической теореме о свёртке;

- получено фундаментальное решение анизотропного оператора Ламе

кшп(х-У)=-1з |((д'тп(к))-1 -е^'ак; (2я)

- обосновано представление решения статической задачи линейной теории упругости объёмным потенциалом и(х) = |К(х,у) • Рги(У ^

-построен интегральный образ фундаментального решения динамического уравнения теории упругости

Кт„(х-У,р) = —^з |((В)*пш(к,р))"1 -е'к*(к"у)ёк. (2п)

Во второй и третьей главах диссертации проводится расчёт деформированного состояния упругих конечных тел произвольной формы, получена квадратура:

выражающая решение первой краевой задачи статической теории упругости для изотропного материала

«зи(х) = Р,(х); е0(х) = 1{и^(х) + и^(х)},

ега(х) = ГвРЧ -ер<1(х); и,(х)|8 = иш(х). Деформируемое тело считалось конечным и имеющим произвольную форму. Для полученной квадратуры доказано, что она удовлетворяет исходной системе уравнений и краевым условиям;

- получены квадратуры

и(х) = -1- |К(х - у) • { /К(к). Р" (к) • е-|к-^к}ау,

(21Х) У„ и \

о(х) = рС(х - у). | |Я(к). Р" (к) ■ е-1к'уак|с!у,

решения второй краевой задачи линейной изотропной теории упругости: ®<ыОО = ец(х) = 1{и^(х)+

ой(х) = -би(х); ау(х)-п!(х)|з = РДХз).

Доказано, что они удовлетворяют системе уравнений исходной задачи, а также её краевым условиям.

- решена статическая задача линейной теории упругости со смешанными условиями, когда на части поверхности деформируемого тела 5а заданы перемещения и!0(хд), а на остальной части Б,, - поверхностные силы Р1 (х5):

ст1Дх) = ^рчЕи(Х);

и,(х)|3ц =ию(х3); сти(х)п1(х)|^

Получена квадратура

"¡(х)= /К1п1(х-у)—^ |е4к"уЯпЛ(к){[К\^(к)-К*ыи(к)1Р^(к) + V. <2«) я»

+ 1(о)\1Я" (к) - (о)'* и (к)](ип) V 00>с1к(1у

с доказательством того, что она удовлетворяет исходной системе уравнений и краевым условиям задачи.

В-четвертой главе решены динамические задачи теории упругости для изотропного материала:

- с помощью разработанного в диссертации метода, построена квадратура

, ос+Ьо

+ {^(х-у.р)-^ |е'к*у[Яег2пш(к,р)[ит0"(к,р)-у, (2л) к»

-Я!тр*(к,р)|е |Ц*Х [-Р*р(у,р) + рир0(у) + ир1(удау№у}сф

V

решения первой динамической задачи теории упругости:

^„ОМ^СхдЬриСхд); е.(х,г)=|{и1о(х,1)+и;4(х,1)},

Ои»(*»0 = ГШ1Чс(Ч(х>0; и,(х,,1) = и10(х5,1); ц(хД=0)=цо(х); н(х,1=0)=ц,(х).

Доказано, что эта квадратура является решением исходной задачи, т.е. что она удовлетворяет исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задачи;

- решена вторая динамическая задача теории упругости:

а(х,0=г:,Еи(хд); стц(х5,1)пХх,)=1>(хаД);

и,(х,1=0) = и.10(х); ц(хд=0)=ип(х). Для решения, полученного в виде

IV

■т а+КО I

и,(х,1)=— /е"'] |к(п(х-у,р)Ф'„(у,р)с1у+ У, р)>

Уг

1(2^ («^^РН^Р^Мк.

доказано, что оно также удовлетворяет исходной системе уравнений, начальным и краевым условиям задачи;

-решена динамическая задача со смешанными краевыми условиями:

аш(х,1)+Щх,1)=ри,(хД); е,(хД)=|{иц(хД)+и;ДхД)}; сти(хД>=Цр^Е^СхД); и,(хД=0) = иш(х); й1(х,1=0)=и„(х).

Как и ранее, для полученной квадратуры

' а а+1оо л

2т Л V, (2я)3 яз

х {[К V (к,р) - К V (к, р)]Р*; (к, р) + [(с) V (к,р) --(а)\ми(к,р)](ип)\и(к,р)}ёк + + (у, р) - рию(у) - и п(у)]]с1у}с1р доказано, что она удовлетворяет исходной системе уравнений, начальным и . краевым условиям задачи.

В пятой главе на базе результатов главы 4 получены решения первой, второй и третьей динамических задач теории упругости для анизотропного материала в виде квадратур, воздействующих на начальные и краевые условия: -для первой динамической задачи:

-I а+1оо

иДх, 0 = — Гер' { (Я,п (х - у,р)[—Р*п (у, р) + рип0 (у) + и п1 (у)]с1у +

2тС,а-!« V

+ ^,п(х-у,р)—^ |е'к,у[е'к,у[Яег^т(к,р)[ит0**(к,р) —

Уг (2я) к3

-Я^р*(к,р) |е~'к*х [-Р'р(у,р) + рир0(у) + ир, (у)ЦуЦкс1у.

V

-для второй динамической задачи:

иДх,1) = — {ер']{к,(1(х-у)р)Ф,„(у,р)ау+ >„ (х - у, р) х

тЛт 1е'к-уНгчч(к,р)Мч(к,р)с1к^к2с1к3

(2л) К"

- для третьей динамическои задачи:

л a+rco f л

U;(x,t) = -4 Jepij jK*m(x-y,p)——-3- Je-'^RWk.pKfK V(k,P)-a-ioc К (2я) ¿1

-KV (k,p)]P*j(k,P)+t(CT)*bj4"(k,p) - (a)*hjqu (k,p)]x x (un)*jqu (k,p)}dkdy}dp.

Доказано, что полученные решения удовлетворяют системам уравнений а также начальным и краевым условиям исходных задач.

В шестой главе предлагаемый метод решения распространен на решение статических задач анизотропной теории упругости для неоднородного материала. Показано, что при определенных условиях метод может быть применим и к решению задач для неоднородного материала. Этот случай

соответствует тензору Грина Gyix.y) = Rezu(y)—j u ' ^x'^clk'ydy

(2it) R3 a(k)

статической задачи со смешанными краевыми условиями, когда на части поверхности деформируемого тела Su заданы перемещения uis(xs), а на остальной части S^.- поверхностные силы P,(xs):

<*«.](*)=F.(х); =¿(м*)+ui.i (*)}>

oij(x) = rijpq(x)-epq(x); u^x)^ =uis(xs); ст8(х)п,(х)|^ = Pj(xs).

- динамической задаче теории упругости, решение для которой получено в виде:

л a+iao

Uj(x.t) = ——7 Jep,[{Gij'(x.y,p)(-Fj'(y,p)-pujo(y)-uil(y))dy-

- Jujs'(ys.p)(CT)ijq(G'(x,ys,p))nq(ys)dS+jGij*(x,y,p)Pj'(ys>p)dS]dp.

Su S„

В главе 7 формулируются принципы соответствия между задачами теории вязкоупругости и упругости.

- предложен принцип соответствия между статическими задачами нелинейной вязкоупругости со старением:

tfijj (х, t) + F; (X, t) = 0; Sij (x, t) = и (X, t) + u ji (X, t)},

«о t t n

J...jR0i,(x,t,T,,T2...Tn) n eimjm(x,Tm)dTm;

Ио n 0 m~'

<1у(х,0п^=РДх,г), x e S0; ui(x,t) = ui0(x,t), x e Su,

и статическими задачами теории упругости. Определены условия, при выполнении которых данная краевая задача интегральными преобразованиями вида: f(t)= Jf*(p)Y,(p,t)dp сводится к краевой задаче теории нелинейной

упругости:

а'!ы(х,р) + Б'1(х,р) = 0; Е'»(х,р) = ^{и'и(х,р) + и"«(х,р)]; а'и (х, р) = £ Я",« (х, р)П к (х, р);

сг'а(х,р)п)(х) = Р';(х,р), хеБ.; 1п(х,р) = и\»(х,р), хеБц. Доказано, что для этого необходимо и достаточно, чтобы ядра интегральных операторов исходной задачи вязкоупругости представлялись в виде:

И(5)(х,1,т,,...т„)= |К<\,(х,р)У,1(р,ОП У\(р,т,)с1р.

о> V-!

-предложенный принцип соответствия между статическими задачами нелинейной вязкоупругости со старением и статическими задачами теории упругости распространен на динамические задачи теории вязкоупругости:

<г5(х,О = |])..../к0)(хД,т1,т2...тп) п е^1о(х,тт)с1тт;

л=10 п о

Сти(хд)^ =Р1(х,1), хе8а; иДхд) = и;о(х,г), хе^; и;(х,1 = 0) = и;(х,0); й,(хД = 0) = и;(х,0). -установлено, что для того же класса вязкоупругих материалов динамическая задача теории вязкоупругости в образах интегральных преобразований имеет вид:

о*и.}(х,р) + Р*|(х,р) = р(и;(х,0У/(р,1)|"-

+ СО

-и!(х,1)У'*((р,1)[" + |и;(х,0У"%(р,1)с11);

О

* 1 г * * °° * п •

е*у(х,р) = -{и*!о(х,р) + и*;л(х,р)} а*ц(х,р) = 2К-(*)(«(Х>Р)ПЕ*1^(Х'Р);

сг*у(х,р)пДх) = Р*Кх,р), Хб8„; и*1(х,р) = и*,о(х,р), хев,, т.е. совпадает с интегральным образом динамической задачи теории упругости.

Сформулированный принцип соответствия позволяет предложить следующий алгоритм решения динамической задачи теории вязкоупругости:

1. Устанавливается вид ядер оптимальных интегральных преобразований.

2. С их помощью осуществляется переход к краевой задаче для прообразов исходных величин. Поскольку полученная задача для прообразов одновременно является задачей для прообразов динамической задачи упругости, то, используя интегральные преобразования, находят эту задачу теории упругости.

3. Решают полученную задачу теории упругости.

4. Используя найденное решение задачи упругости, строят решение соответствующей ей задачи вязкоупругости.

В восьмой главе решена статическая задача теории вязкоупругости для однородного анизотропного стареющего материала:

a g ■ (х, t) + F¡ (х, t) = 0; e s (x, t) = | {u y (x, t) ■+ uj3 (x, t)},

t

Gi¿ (x, t) = jRljap (t,T)eap (x,T)dx;

o

®ij(x,t)nj =p¡(x,t), x e u¡(x,t) = ui0(x,t), xeSu. с ядрами релаксации в определяющем соотношении задачи представленными в виде:

R,jap(t,t)= jR(Vp(p)Vp,t)Y+,(p,T)dp.

Ир

Решение получено в виде квадратуры:

u¡(x,t) = fY<(p,t){ jK*¡m(x-y,p)[—jVik",R„j,(k,p){[К(k,p)-

«, V0 (¿I) R3

— К hju (k,p)]P j(k,P) + [(0) hjqa (k, p) - (a) hjqu (k,p)]x (un) jqu (k,p)}dk-F ¡(x,p]dy}dp.

- решена динамическая задача теории вязкоупругости для анизотропного однородного стареющего материала:

c,ij(x,t)+Fi(x,t) = püi(x,t); E,J(x,t)=i{u,j(x,t)+uJi(x,t)}>

t

CT,j(x,t)= jRijap(t,T)eap(x,T)dT;

o

=P,(x,t), xeS,; u,(x,t) = u,0(x,t), xeSu; и,(х,г=0)=ц(хр); ü¡(x,t=0)=új(x,0); с ядрами интегральных операторов представленных в форме:

* a-t-iro

Rijap(t,T)=— jR-^^jafl (p)Yf (p, t)epTdp.

2311 «Л.

Найденное решение имеет вид:

4 a+ioo j

"¡(x.t) = —г Jep,{ jK*¡m(x-y,p)[—i-rJe-i,"yR*mh(kIp)x Vo \¿7t) R3

{[K 'bja (k,p) - К *hju (k,p)]P *j(k,p) + [(a)*hjqa (k,p) -

-(CT)*hjqu(k,p)]("n)*j<lu(k,P)}dk + [-F*¡(y,p)-pu¡0(y)-u¡1(y)]]dy}dp. Девятая глава посвящена решению задач вязкоупругости и упругости для тел определенной формы и некоторых практических задач. При этом:

- решена задача о напряженно - деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы из стареющего вязкоупругого квадратично нелинейного материала, сжимаемой по двум ей поверхностям распределенными силами. Толщина полосы 2в, поверхностные распределения сил на её поверхностях известны.

сг^(х,1) = 0; еа(Х,1) =

е„ (X, I) = (1 + у)[(1 - Ь)а, (X,О/Е,] - У5, (I - Ь)(вП1т (х, I)/ Е,) +

Р(1-Ь)[стар (Х,1)сгар(х,1)51)/Е2]+2сгш, (х,1)аи(х,1)/Е2];

о,(х,0п]=Р1(х10; Р1(х5,,1) = Г1(у); Р((х5г ,1) = Г2(у).

Для решения задачи использован принцип соответствия, разработанный в седьмой главе, основной отличительной особенностью которого является применение к напряжениям и перемещениям разных интегральных преобразований. Соответствующая задача нелинейной упругости решается методом упругих решений с использованием функции напряжений Эри Ф(х,у). Найдено нулевое и первое приближения;

- методом опорных функций решена задача о сжатии бруса между двумя плитами. Размеры бруса - от 0 до 1 по оси х, от -Ь до Ь и от -а до а по осям у и г соответственно. Поверхностные силы, прикладываются к брусу на торцах -поверхностях Б! и 52. Боковая поверхность 83 свободна. Краевая задача представляется в виде:

(X) = 0; Ец (X) = |{и и (X) + и,, (х)},

3

стц (х) = Х5в £ еи (х) + 2це и (х); ст^ (х3 )п ] (х8 ) = Р( (х8 ).

к-1

Найденные перемещения имеют вид:

их (х) = -й-. X . у); и2(х) = -^г ■ у);

Ь Ь Е Ь

иу(Ю =-=-- ^(у-у^те^у-у^у^у,.

л -ь

- решена задача о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы (0 < х а, 0 2 у < Ь), выполненной из вязкоупругого стареющего линейного материала:

(*. 0 = (х, I); (х, 0 = ^ {и( и (х, I) + и(х, о},

1

о8(хД)= |я5ар(хД,т)еар(х,тЖ аЙ(х,1)пз=Р1(хд), у = 0;

о

и„(хД) = 0> иух (х,о + их у (х,г) = 0, х = 0,а;

их(х,0=иу(х,0 = 0, у = Ь; и((хд = 0) = и,(х,0); й;(хд = 0) = и;(х,0).

Предполагалось, что свойства материала определяются ядрами релаксации:

Rm(x,t,T)= jR(*,I„(x,p)Y/i(p,t)ri(p,Tï)dn RU2j[x,t,x)= jR,')1,2Îx,p)Y/](p,t)rifp,xv)dn

% %

R222/x,t,t)= jR(')222Îx,p)Y/|(p)t)Y*,(p,rï)dn R12ix,t,x)= jR(*\2iix,p)Y(](p,t)r<(PjTv)dp

Построены искомые перемещения - решения данной задачи:

Ul(x,t)Л J{]e--'[g,(y)ËBs(n,t)sin^) + |: №"n[;^'(?-'y)Sin^)3dt}Y;(p,t)dp; а4 о tS а ¿Д ||к]|2 а

u2(x,t) = J{}e-ne2(y)S7j-Ac(n,t)coS^) + |:-i- ^^Kos^mY^tW

шр 0 4=1 а i,n=li'io ||К|| a

- решена задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала. Бесконечный брус кругового сечения радиуса R, изготовленный из кубически нелинейного стареющего неоднородного вязкоупругого материала, закручивается моментом сил M(t), приложенным к торцу:

стщ (х, t) +F, (х, t) - pu, (x;t); e./x.t)=I (ц/х, t) +Uj, (x, t)}

t 111 CTij(x>t)= jRijap(x,t,T)eap(x,T)dT+j'|jRijapyS^X,t,T1,T2)eap(x,Tj)EY5(x;T2)^ 0 000 M=Mfct), xeST; Р;(ХД) = 0, X6S6;ui(x,t=0)=u,(xp); ù,(x,t=0)=ù,(x;0).

При решения задачи использован принцип соответствия между динамическими задачами упругости и вязкоупругости, согласно которому соответствующая задача теории упругости имеет вид:

Ст8j (x, t) + Fi (x, t)=pi); (x, t); e, (x,t)=^ {UiJ (x, t) + Uji (x, t)}

cru (x, t) = RijaP(x)saP(x) + Rii«p7Sm(x)£ap(x)cy5(x)Eliv(x);

M=M(x,t), XeST; Pi(x,t) = 0, xeS6;ui(x,t = 0)=ui(xi3); ùi(x,t=0)=ùi(x,0) Найденные решения задачи теории упругости и принцип соответствия позволили построить перемещения исходной динамической задачи вязкоупругости:

ur = ц2 = 0; u(„(r,z,t) = г ||]ертК(г - cr)dxj Y(p, tjdp ;

- решена задача об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки длиной 5 м, представляющей собой в сечении квадрат со стороной 60 см.

Балка изгибается противоположными моментами сил ±M(t), приложенными к ее торцам. Боковая поверхность свободна от нагрузок. Балка изготавливается за 10 дней, наращиваясь по оси х с постоянной скоростью.

О • * О

ВщСХ.О = /кз(1-х*(г),х-х'(г))^(х)<1х; ау(х,г)п, = РДх,1).

о

Согласно принципу соответствия, данная краевая задача интегральным преобразованием сводится к задаче нелинейной фиктивной упругости:

а„(Х. х') + Б; (X, г') = 0; В \ (X, т') = I {и*,., (х, х') + и',., (х, -и')}; е*«(х,х') = в,(х')+ К'2(т'- т'(г»8, (х')з.„ (х')з„„ (т'); е\(Х,х') = К;(т'-х-(г))а8(т'); а .(Х,т')п, = Р,(х,т'). На рисунках 1 и 2 представлены графики зависимостей ех).от х и у для различных моментов нагружения'и наблюдения в случае = М о » причем

кгс/см3. Функция КЕ(1-т*(г),т-т*(г)> ядро Н.Х. Арутюняна, равна

—{]/Е0{1 -ехр[-р(т-х'(г))1}+ {С, + Л, /[X- т (г)]} а -ехр[-т(1 -х)]}}. Постоянные для

бетона составляют: С,= 0,975 • 10 "5 (кгс/см 2)"', А, - 4,62 • 10 ~5 сут./( кгс/см 2), у = 0,03 сут."1, Е0 = 2,6 ■ 10 5 кгс/см 2, (3 = 0,206 сут."'

На рисунке 1 изображена зависимость деформации от координаты у для моментов загружения 20 и 50 суток для различных моментов наблюдения I.

Номер кривой Координата х (см.) Момент загружения (суток) Момент наблюдения (суток)

1 0 20 50

2 0 20 80

3 500 20 50

4 500 20 80

\х\ 4 20

20 10 20 30 40 2 з— 4 -Д

у.сга

Рисунок 1 - Зависимость деформации Б от координаты у для различных моментов

загружения и наблюдения На рисунке.2 изображены зависимости деформации ехх от координаты \ для тех же. моментов нагружения и наблюдения, причем при растяжении считается, что связь с - е линейна, а при сжатии - кубически нелинейна.

Коэффициент пропорциональности ядра кубически нелинейного и ядра линейного выбран равным 3 • 10 ~4.

/—ч

43 £ о

а К о. и о. OJ S о К Момент загружения i Момент наблюдения

1 20 50

2 20 80

3 20 110

4 20 140

4

5

6 7

12 3 4

5

-1 Х,СХТ1

Рисунок 2 - Зависимость деформации £иот координаты х дня различных моментов загружения и наблюдения - методом опорных функций решена задача о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями:

*вв=0; е„

г-—i+a„-CTc. й-

" дс

Е Е , ,

агт=--(Ет+^Ееа); -(Ееа+УЕ^); СТ„ =-Р; иг =и0.

{ —V 1 —V ^ <г=к.а

Здесь Е и V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно; и К2 внутренний и внешний радиусы трубы; Р и и0 заданное внутри давление и на поверхности перемещение.

Поскольку давления Р и перемещения ио не зависят от угла 0, краевая задача в перемещениях с использованием цилиндрических координат записывалась в виде:

Э ( сЫгЛ 1 _____; Л Е (да{т) , у , ч, _ ,

■ =Р, и(г)| =ц0.

1—v

а 1+7u(r)

При этом перемещение u(r) представлялось в форме:

u(r) = -jG(r,r')f(r')dv+ jr'G(r,r')Pds~ Jr'u0 gGfr'r') ds, v s„ s„ а

Здесь G(r,r) — функция Грина краевой задачи; V — объём, занимаемый трубой; S„ и Su внутренняя и внешняя поверхности.

Рассчет проводился средствами MathCad 2000. Внутренний радиус трубы считался равным 1 единице длинны, а внешний - 7 единицам. Модуль Юнга полагался равным единице, т.е. усилия задавались в долях модуля Юнга, коэффициент Пуассона считался равным Vi. Количество членов ряда Фурье задавалось равным 17, т.е. матрица G„p — матрица 17x17. Все интегралы считались численно. На рисунке 3 изображены графики известного точного

решения данной задачи (г + 1/г) (пунктир) и найденного решения (сплошная линия).

Рисунок 3 - График радиального перемещения Найденное решение отличается от точного, например, в точке г = 4 на 1,5%. Основное преимущество данного метода - поиск функции Грина без решения краевой задачи;

- методом опорных функций решена задача о деформированном состоянии ортотропной пластины со смещенным круглым вырезом.

Деформируемое тело - ортотропная квадратная пластина со стороной 40л; и круглым вырезом радиуса Юл, смещенным относительно центра пластины на величину 2,5л по оси х и на 8л по оси у. Массовые силы ^(х) и перемещения на границе ии(х) задаются соотношениями:

Ях (х) = 5,32 • 10 + 4,2 • 10~5 у 2 + 3,6 • 10 ~5 ху -3,6-10"5у. Ру(х) = 3,9 • 10~5 у 2 + 5,76 ■ 10~5 ху,

и*о(х)|х,-2о* = —20л — 2 • Ю-4 лу3 - Ю-3 у3 + 0,8 • 10"' л2 +10, их0(х)|^2011 = 20л + 2 • 10~4 лу3 — 10_5 у3 +0,8-10-'л2 +10, цх0(х)|у_20][ =х-8-10-гл3х+8-10-2л3 + 0,2-10~3х2 +10, ихо(х)|,„г01Г = х + 8-10-2л3х-8-10-2л3 +0,2-10"3х2 +10, иу°(х>и-2о„ =-2-10'4луэ +50, иуо(х)|^=2.Ю-4лу3 + 50, (х)и~2оя = ' Ю-2"1* + 50> иУо(х)|ув201[ = 8 • 10"2 я3х + 50, и*(х,у)|к = х + 10~3 ху3 — 10~5у3 + 0,2 • 10~3 х 2 +10, иу(х,у)|к = 10~5ху3 + 50.

Закон Гука имеет вид:

у)=(х,у)+у), стуу(х5у)=ЯэЕуу(х,у)+14Бкх(х,у),

=4Х5Елу(х,у), сху(х,у)=стДх,у). Упругие постояные: А, =133 \ =0,8 Х3 =0,96 ?.4 = 0,7 \ =0,3. В качестве опорных функций выбирались перемещения:

и1х(х,у) = х3у + у\ и1у(х,у) = бшСО, 01ху) и2х (х,у) = соэ(х /(у +1)), и2у (х, у) = х2у. На рисунке 4 приведены совпадающие графики — точное и полученное перемещения как функции координат х и у.

Пэдучвннов иточное решение. Пврчмвшвние па оси V

Рисунок 4 - Графики перемещений по осям х и у -методом опорных функций решена задача об ортотропной пластине в виде части квадрата, изображенная на рисунке 5, при этом закон Гука имеет вид:

°Хх(х.У)=^Е?а(х,у)+Л2Еуу(х,у), ая,(х,у)=^Еуу(х,у)+Х4ехх(х,у), ^(х,у)=^,£ху(х,у), сгху(х,у)=сгух(х,у). Упругие постояные: X, =1^3 \ =0,8 =0,96 >ч =0,7 X, =0,3. Массовые силы ^(х) и перемещения на границе и10(х) задаются соотношениями:

Р,(х) = 5,32 -Ю-4 + 4,2-10"5у2 + 3,6-10 "5 ху - 3,6 10 у, (х) = 3,9 -10 "5 у 2 + 5,76 -10 ~3 ху,

» — 10* -20 тс -10 ~4 лу3 - 10 у3 + 0,2- Ю-1 л2 +10,

х«10* = 20л + 10 "4 лу3 - 10 у3 +0,2-10 "'л2 +10,

Чхо(Х) у=20* = х + 8 -10 ~2 л3х - 8 • 10 ~2 л3 + 0,2- 10 "Зх2 +10,

х— Юл -10~4 лу3 +50, 10 ~4 лу3 +50,

и ,0 (х) у »21) я ~~ 8 -10 ~2 л3х + 50,

и * (х. у)|а = х + 10~3ху3 - 10 у3 + 0,2-10~3х2 +10, иу(х.У)|к = 10 ~5 ху 3 + 50.

В качестве опорных функций выбирались перемещения:

Шх (х,у) = х3у + у4, и1у (х,у) = $ш(0,01ху) и2, (х,у) = соэ(х/(у +1)), и2у(х,у) = х2у.

На*рисунке 6 приведены совпадающие графики — заданные точные и найденные контрольные перемещения как функции координат х и у.

иШу,и1Гу ишх,и1г.[

Рисунок 6 - Графики заданных точных и найденных контрольных перемещений, как функций координат х и у - методом опорных функций решена задача о деформированном состоянии ортотропной пластины в виде креста, изображенной на рисунке 7.

°ц(Х) = П)РЧ"Р4 V

2'

,ем(х); и((х)|5 =и!0(х). Упругие постояные: \ = 133 Я^ =0,8 =0,96 =0,7 Я, =03,

а закон Гука имеет вид:

сти.(х,у)=^еуу(х,у)+^4еХЛ(х,у), стху(х,у)=4Я5£ху(х,у), стху(х,у)=аух(х,у).

В качестве опорных функций выбирались перемещения:

и1х (х,у) = х3у + у4, и!у (х,у) = бш(0,01ху)

Ц2Х (х, у) = соб(х /(у +1)), и2у (х, у) = х2у-

Рисунок 7 - Форма пластины

На рисунке 8 приведены совпадающие графики — точные и полученные перемещения по осям х и у.

Рисунок 8 - Графики перемещений по осям х и у

-В качестве примера приведено решение методом опорных функций конкретной задачи о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поликарбонатного ортотропного материала (рисунок 9).

Клапанный дисковый уплотнитель завальцовывается в корпус клапана таким образом, что радиальное перемещение на окружности — границе уплотнителя оказывается постоянным и направленным к центру уплотнителя и его деформированное состояние описывается плоской задачей анизотропной теории упругости:

= рКХ); ец(х) = ^{иц(х) + ^.¡(х)},

= -ер£Г(х); Ц;(х)|8 =и;о(х).

Здесь ГуРЧ - компоненты тензора упругих постоянных. Граница тела 8 — окружность радиуса И, Х - радиус вектор точки пространства.

Закон Гука имеет вид:

а„(х,у)=Х3Еуу(х,у)+Я4Е„(х,у),

Упругие постояные: Я, =133 =0,8 \ = 0,96 Х4 =0,7 =03. В качестве опорных функций выбирались перемещения:

и1х(х,у) = х3у -ь у4, и1у(х,у) = 5ш(0,01ху) и2х (х, у) = соэ(х /(у + 1)), и2у (х, у) = х2у-Результаты расчета представлены на рисунке 10.

а 'б в

Рисунок 10 - Графики перемещений по осям х, у и г

а- перемещение по оси х, б-перемещение по оси у, в-радиальное перемещение

Решение данной задачи особенно актуально для криогенного клапанного агрегатостроения в связи с переходом транспортных средств на новые, более перспективные криогенные топлива (сжиженный природный газ, жидкий водород и др.).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе решена крупная научная проблема, имеющая важное хозяйственное значение и обладающая прикладным и фундаментальным аспектами. Результаты диссертации иллюстрирует широкие возможности разработанного метода опорных функций. В совокупности с найденными квадратурами и предложенным принципом соответствия между задачами упругости и вязкоупругосги стареющих материалов, его универсальность обеспечивает ему широкое применение при практических расчетах деформированного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях динамического нагружения.

Важное практическое значение проведенных исследований, направленных на повышение эффективности расчета деформированного состояния статически и динамически нагруженных несущих конструкций произвольной формы, выполненных из упругих анизотропных и стареющих вязкоупругих материалов сводится к следующему:

1. Создан эффективный метод расчета напряженно-деформированного состояния однородных анизотропных конструкций произвольной формы в случае их статического и динамического нагружения.

2. Разработаны принципы соответствия, позволяющие расчет напряженно-деформированного состояния стареющих анизотропных вязкоупругих конструкций сводить к расчету напряженно-деформированного состояния упругих конструкций.

3. Получены соотношения, определяющие класс вязкоупругих материалов, расчет напряженно-деформированного состояния которых сводится к расчету напряженно-деформированного состояния упругих материалов.

4. Решены задачи о сжатии бруса между двумя плитами, о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями.

5. Впервые решены инженерные задачи:

- о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной квадратично нелинейной вязкоупругой полосы;

- о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы;

- о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала;

- об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки;

- о деформированном состоянии ортотропной пластины со смещенным круглым вырезом;

- о деформированном состоянии ортотропной пластины в виде части квадрата;

- об ортотропной пластине в виде креста;

- о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поликарбонатного ортотропной материала.

К результатам, имеющим важное значение для механики деформируемого твердого тела можно отнести следующие.

1. Разработан метод решения статических и динамических задач линейной теории упругости для однородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и методе потенциала.

2. Получены квадратуры решений первой, второй и третьей статических и динамических задач анизотропной теории упругости для однородного тела произвольной формы. Доказано, что эти квадратуры удовлетворяют исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задач.

3. Разработаны принципы соответствия между квазистатическими и динамическими задачами нелинейной анизотропной теории вязкоупругости для неоднородного стареющего материала и статическими и динамическими задачами теории нелинейной упругости.

4. Полученьг квадратуры решений статических и динамических задач теории вязкоупругости со смешанными краевыми условиями.

5. Создан метод опорных функций для эффективного численного и аналитического вычисления полученных квадратур.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Одна из возможностей построения определяющего уравнения для скорости ползучести / Г.Ю. Ермоленко // Межвузовский сборник "Физика структуры и свойств твёрдых тел"! - Куйбышев: КГУ, 1976. - С. 49 - 54.

2. Динамика дислокаций и внутреннее трение / Г.Ю. Ермоленко // Механика деф. тв. тела. Тез. докл. Всесоюзной школы и конференции молодых ученых. - Куйбышев: КГУ, 1978. - С. 16.

3. Метод расчёта напряженно-деформированного состояния и долговечности стареющих материалов при нелинейном вязкоупругом поведении / Г.Ю. Ермоленко // Тез. докл. Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение долговечности и надёжности машин и приборов". -Куйбышев: КПТИ, 1981. - С. 23.

4. Представление краевых задач для нелинейных вязкоупругих композитов / Г.Ю. Ермоленко // Тез. докл. V Всесоюзной конференции по композиционным материалам. В. II. - М., 1981. - С. 11-13.

5.0 решении задач главной кубической теории вязкоупругости для неоднородно стареющих тел / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков // Журн. «ДАН Арм. ССР» № 4,1984. - С. 159-164 (доля личного участия 80 %).

6. Плоская задача деформирования кубически нелинейного вязкоупругого бруса со старением / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков // Тез. докл. второй всесоюзной конференции «Ползучесть в конструкциях». - Новосибирск: Институт гидродинамики СОАН, 1984. - С. 130.

7. A.c. 1159479 СССР МКИ 4 H01S 3/10. Устройство для юстировки лазерного зеркала / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков, A.B. Кислецов. //ДСП, 1985г.

8. A.c. 1336762 СССР МКИ 4 H01S 3/10. Устройство для автоматической юстировки лазерного зеркала / ПЮ. Ермоленко, В.В. Колокольчиков. //ДСП, 1987г.

9. A.c. 1559928 СССР МКИ 4 H01S 3/10. Устройство для управления ориентацией лазерного зеркала / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков. //ДСП, 1989г.

10. Способ решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа/ Г.Ю. Ермоленко // Тез. докл. международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Секция уравнений мат. физики. - Саранск: СГУ, 1994. - С. 65.

11. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения / Ермоленко Г.Ю. // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара: СПИ, 1996. - С 51.

12. Способ решения начально-краевых задач для оператора теплопроводности / Ермоленко Г.Ю. // Международная научная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина. - Самара: СПИ, 1997.-С. 26-27.

^у 13. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения / Ермоленко Г.Ю. // Аэрокосмическая техника. Вестник ПГТУ. № 2, - Пермь: ПГТУ, 1997. - С. 67.

14. Способ решения второй начально-краевой задачи теории упругости интегральными преобразованиями / Ермоленко Г.Ю // Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта конструкций". -Самара: СИСА, 1998. - С. 128.

15. Принцип соответствия краевых статических задач нелинейной вязкоупругости со старением краевым задачам теории упругости / Ермоленко Г.Ю. // «ПМТФ». Т. 39, № 4, 1998. - С.155 - 161.

16. Решение второй начально-краевой задачи линейной теории упругости для тел конечного объема из изотропного материала/ Ермоленко Г.Ю. //Тезисы докладов 3-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математики (ИНПРИМ — 98). Ч 2. Секция «Выч. методы и т.д.». - Новосибирск: ИМ СО РАН. 1998. -С. 97.

17. Способ решения первой начально-краевой задачи линейной теории упругости для изотропных тел / Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А. // Журн.

^ «ПММ». Т. 62. Вып. 4, 1998. - С. 715 - 718. (доля личного участия 80 %).

18. Напряженно - деформированное состояние квадратично нелинейной вязкоупругой полосы / Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А // Тезисы докладов IV Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". - С-П.: СПУПС, 1999. -С.115 - 117.(доля личного участия 80 %).

19. Методы расчёта деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях / Ермоленко Г.Ю. // Деп. ВИНИТИ № 860-13-2001. - 179 с.

Л 20. Деформированное состояние упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях / Ермоленко Г.Ю.//Издательство Самар. Гос. Аэрокосм. Ун-т. Самара: СГАУ, 2001.-149 с.

21. Принцип соответствия краевых динамических задач нелинейной вязкоупругости со старением динамическим задачам теории упругости/ Ермоленко Г.Ю. // Журн. «Обозрение прикладной и промышленной математики». Т. 8. В. 1. 2001. -С.167- 169. ^у 22. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала / Ермоленко Г.Ю. // Журн. «ПММ». Т. 66. В. И. 2002.-С. 317-321.

23. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала / Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А. // Межвузовский сборник научных трудов с международным участием. Исследования и разработки ресурсосберегающих технологий на железнодорожном транспорте. Самара: СамГАПС, 2002. -С. 463- 464 (доля личного участия 80 %).

24. Решение динамической задачи анизотропной теории упругости со смешанными краевыми условиями / Ермоленко Г.Ю. // Вестник СамГТУ. Вып. 19. Сер. «Физ. - мат. науки». - Самара: СГГУ, 2003. - С. 86-88.

25. Метод опорных функций. Математическое моделирование и краевые задачи / Ермоленко Г.Ю. // Труды тринадцатой межвузовской конференции. - Самара: СГТУ, 2003. - С. 57-60.

26. Метод проб для решения статических и динамических задач линейной анизотропной теории упругости / Ермоленко Г.Ю. // Журн. «Известия вузов. Машиностроение». № 2. - М.: 2003. -С. 3-7.

¿с/ 27. Метод опорных функций.для решения задач математики и механики / Ермоленко Г.Ю. // Вестник СамГТУ Сер. "Физ.-мат. науки". В. 26. - Самара: 2004. -С. 126-127.

Ермоленко Георгий Юрьевич

МЕТОД РАСЧЕТА 11АПРЯЖЕ1ПЮ-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ И СТАРЕЮЩИХ ВЯЗКО УПРУГИХ ТЕЛ

01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела

Подписано в печать 1.03.06. Формат 60x90 1/16 Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 16.

Отпечатано в Самарской государственной академии путей сообщения 443022, г. Самара, Заводское шоссе, 18

Принятые обозначения

Введение

1 Краткий обзор имеющихся результатов.

2 Постановка задачи и содержание диссертации.

Глава 1 Необходимый математический аппарат.

1.1. Используемые функции и их преобразование Фу- 16 рье.

1.2. Свертка функций по конечной области и ее преоб- 19 разование Фурье.

1.3. Свертка функций по поверхности и ее преобразова- 21 ние Фурье.

1.4. Фундаментальное решение уравнения, содержащего 24 оператор Ламе.

1.5. Представление решения краевой задачи теории уп- 26 ругости объемным потенциалом.

1.6. Интегральный образ фундаментального решения 29 динамического уравнения теории упругости.

Глава 2 Функции Грина краевых задач статической изо- 32 тропной теории упругости.

2.1. Функция Грина первой краевой задачи.

2.2. Функция Грина второй краевой задачи.

2.3. Статическая задача линейной теории упругости со 41 смешанными краевыми условиями.

Глава 3 Функции Грина краевых задач статической анизо- 46 тропной теории упругости.

3.1. Функция Грина первой краевой задачи теории упругости.

3.2. Функция Грина второй краевой задачи.

3.3. Задача со смешанными краевыми условиями.

Глава 4 Решения начально-краевых задач теории упругости для изотропного материала.

4.1. Решение первой начально-краевой задачи.

4.2. Вторая начально-краевая задача.

4.3. Динамическая задача со смешанными краевыми 73 условиями.

Глава 5 Решения начально-краевых задач теории упругости 80 для анизотропного материала.

5.1. Первая начально-краевая задача.

5.2. Вторая начально-краевая задача.

5.3. Решение динамической задачи со смешанными 92 краевыми условиями.

Глава 6 Решение краевых задач анизотропной теории упру- 99 гости для неоднородного материала.

6.1. Статическая задача со смешанными краевыми уело- 99 виями.

6.2. Динамическая задача упругости со смешанными 101 краевыми условиями.

Глава 7 Принципы соответствия краевых задач вязкоупру- 105 гости краевым задачам теории упругости.

7.1. Принцип соответствия краевых статических задач 105 нелинейной вязкоупругости со старением статическим задачам теории упругости.

7.2. Принцип соответствия краевых динамических задач нелинейной вязкоупругости со старением динамическим задачам теории упругости.

Глава 8 Статические и динамические задачи вязкоупругости

8.1. Решение статических задач теории вязкоупругости 122 для однородного анизотропного стареющего материала.

8.2. Решение динамических задач теории вязкоупруго- 123 сти для однородного анизотропного стареющего материала.

8.3. Решение статических задач теории вязкоупругости 125 для анизотропного неоднородного стареющего материала.

8.4. Решение динамических задач теории вязкоупруго- 126 сти для анизотропного неоднородного стареющего материала.

Глава 9 Иллюстрация применения развитого формализма к 129 решению задач вязкоупругости и упругости.

9.1. Напряжённо - деформированное состояние беско- 129 нечной полосы, выполненной из вязкоупругого квадратично нелинейного материала.

9.2. Задача о сжатии бруса между двумя плитами

9.3. Напряженно-деформированное состояние вязкоуп- 140 ругой пластины.

9.4. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного 142 стареющего вязкоупругого материала

9.5 Изгиб кубически нелинейной неоднородно старею- 144 щей балки.

9.6 Задача о трубе с заданными внутри давлениями и на 149 поверхности трубы перемещениями.

9.7 Задача об анизотропной пластине со смещенным 152 круглым вырезом.

9.8 Задача об анизотропной пластине в виде части 158 квадрата.

9.9 Задача об анизотропной пластине в виде креста

9.10 Задача о деформированном состоянии клапанного 167 дискового уплотнителя.

1. Краткий обзор имеющихся результатов

Многие актуальные научные и технические проблемы связаны с исследованием напряженно - деформированного состояния твердых тел при статических и динамических нагружениях. Для решения возникающих при этом начально-краевых задач пользуются интенсивно развивающимися в последнее время методами статической и динамической теории упругости и вязкоупругости, изложению которых посвящен ряд монографий, вышедших как у нас в стране [1], [81], [87], [84], [118], [156], [160] так и за рубежом [163], [176], [181].

Наряду с классическими методами, получившими в последнее время дальнейшее развитие, (такими как метод Винера - Хопфа [98], метод Виллиса [118], асимптотическими методами, которым посвящена монография В.М. Бабича и B.C. Булдырева [14], методом интегральных уравнений [91], методом функций Грина [89], методом источников [123-128], методом геометрического погружения [160], методом представления решения краевых задач упругости с помощью функций Папковича - Нейбера [99], методом функционально - инвариантных решений [120], лучевым методом), достаточно большое внимание в публикациях последних лет уделено разработке метода интегральных преобразований [145], который подвергся существенному дополнению и расширению. Впервые метод интегральных преобразований при решении динамических начально-краевых задач теории упругости применён Лембом в 1904 г. Однако, интенсивное использование этого метода началось с пятидесятых годов. В нашей стране заслуги в развитии метода интегральных преобразований принадлежат, прежде всего школе Г.И. Петрашеня и его учеников [110], [111], [112], относящиеся к пятидесятым годам. Чуть позже это направление начало развиваться в работах школы Н.В. Зволинского [69] - [74]. Не менее интенсивно метод интегральных преобразований в это время развивается и зарубежными учёными, результаты которых нашли отражение в работах A.W. Ewing

177], A.W. Maue [182], R. Skalak [192], C. Atkinson [165]. Методы интегральных преобразований в решении динамических задач теории упругости получили дальнейшее развитие в работах J.R. Willis [193], Y.H. Pao [187], Б.В. Кострова [83], Л.И. Слепян [146], В.Б. Поручикова [118], школы Ю.Э. Сеницкого и его учеников [135] - [145].

Большое внимание уделяется динамическим задачам анизотропной теории упругости. В нашей стране исследования этих задач проводились В.А. Свекло [131] - [133]. В его работах метод Смирнова - Соболева распространяется на случай анизотропной среды в условиях плоской деформации. Исследования нестационарных задач для анизотропных сред проводились также B.C. Будаевым [20], [22], И.Г. Филиповым [155], В.А. Са-райкиным и Л.И. Слепяном [130]. Методом конечных интегральных преобразований краевые задачи динамической теории упругости для анизотропного материала решались Сеницким Ю.Э. [137] - [139], Федечевым А.Ф. [151].

Расширение возможностей методов решения краевых задач идёт в основном в двух направлениях. Первое из них - это дальнейшее развитие самих методов решения краевых задач, например развитию метода Винера - Хопфа посвящены работы Кострова Б.В. [83], Микловитца Дж. [184], A.W. Майе [182]. Именно благодаря развитию указанных методов удалось решить задачи о дифракции упругих волн на подвижной трещине, о дифракции на границе раздела жидкости и твёрдого тела, и т.д. Развитие асимптотических методов осуществляется в работах Березина В.Л. и Косо-вича Л.Ю. [17], Александрова В.М., Пожарского Д.А., [2], [3]. Дальнейшему развитию метода Папковича - Нейбера посвящены работы Гринчен-ко В.Т. и Мелешко В.В.[37], Фридмана Л.И. [157], которому удалось построить полные решения стационарных задач для конечных тел канонической формы. Метод Колосова - Мусхелишвили развивается в работах При-тыкина И.А., Рудаченко С. В., Рудаченко Т.В. [119], Калоерова С.А., Го-рянской Е.С., Шаповаловой Ю.Б. [75], Чао С.К., Юнга C.B. [171]. Авторам указанных работ удалось решить задачу об изгибе бесконечной пластины с шестиугольным вырезом, в явном виде получить общее решение задачи антиплоского деформирования упругого пространства с несколькими цилиндрическими включениями. Метод конечных интегральных преобразований особенно интенсивно разрабатывается Ю.Э. Сеницким и его учениками применительно к задачам динамики упругих тел. Здесь следует отметить введенное недавно биортогональное векторное конечное интегральное преобразование, позволившее разработать методику решения краевых задач для дифференциальных операторов, не являющихся самосопряженными [143], [144]. Истории развития этого метода, его современному состоянию и перспективам развития посвящена работа [145].

Другое направление, расширяющее возможности методов решения начально-краевых задач - это разработка и применение комплексных методов, включающих в себя несколько уже известных и вновь разрабатываемых методов. Так совместное применение метода интегральных преобразований и представления решений в форме Смирнова - Соболева, позволило решать пространственные задачи дифракции. Комбинированный метод интегральных преобразований и выделения особенностей, разработанный В.Б. Поручиковым дал возможность решить пространственные динамические задачи теории упругости для клиновидных областей со смешанными краевыми условиями. В работе [118] этим методом решена задача о дифракции сферической упругой волны на гладком твёрдом клине и задача о дифракции на клине плоской упругой волны.

Методы решения начально-краевых задачи теории упругости представляют ценность не только для теории упругости, но и для других разделов механики деформируемого твёрдого тела и математики в целом. Например, к краевым задачам статической теории упругости с использованием принципов соответствия сводится достаточно большой класс краевых задач теории вязкоупругости для неоднородно стареющего анизотропного материала, подвергаемого медленным процессам деформирования. В монографии Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б. [4] проведён подробный анализ приёмов сведения статических задач линейной теории вязкоупруго-сти к задачам линейной теории упругости. i Проблемой распространения принципа Вольтерра на нелинейные нестабильные материалы занимались многие авторы. Приёмы решения задач нелинейной вязкоупругости предлагались Москвитиным В.В. [99], Побед-рей Б.Е. [116], Мальцевым JI.E., Крекниным А.И. [91], Савиным Г.Н., Ру-щицким Я.Я. [129]. Нелинейные вязкоупругие задачи решались многими авторами, например Победрей Б.Е. [115], Кадырбековым Т.В. [74]. Наиболее распространенным методом решения задач нелинейной вязкоупругости является метод упругих решений Победри Б.Е., предложенный им в работах [114], [116]. Если связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений задаётся в виде операторного ряда Фреше, то путём аппроксимации ядра интегральных операторов кусочно-вырожденными ядрами, задачу нелинейной вязкоупругости к задаче нелинейной упругости можно г« свести методом, предложенным В.В. Колокольчиковым [78-80].

Исследование напряжённо - деформированного состояния вязкоуп-ругих тел при динамических воздействиях приводит к начально-краевым задачам большей сложности, чем задачи теории упругости. В этой области механики деформируемого твердого тела получены более скромные результаты, чем в динамической теории упругости. Здесь следует отметить результаты, полученные Галиным J1.A. и Шматковой A.A. [30], Филипповым И.Г., Филипповой H.A., Егорычевым O.A. [154 - 156].

Приведённый обзор публикаций позволяет сделать вывод о том, что обилие методов решения начально-краевых задач обусловлено их ограниченностью. Каждый из них существенным образом опирается на форму • деформируемого тела, свойства его материала и позволяет решить начально-краевую задачу только для достаточно узкого класса деформируемых тел. Не построены методы, позволяющие получать решение начально-краевой задачи в виде оператора, воздействующего на начальные и краевые условия краевой задачи для тел произвольной формы. Поэтому исследования в этой области являются актуальными.

Основные результаты и выводы

В работе решена крупная научная проблема, имеющая важное хозяйственное значение и обладающая прикладным и фундаментальным аспектами. Результаты диссертации иллюстрируют широкие возможности разработанного метода опорных функций. В совокупности с найденными квадратурами и предложенным принципом соответствия между задачами упругости и вязкоупругости стареющих материалов, его универсальность обеспечивает ему широкое применение при практических расчетах деформированного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях динамического нагружения.

Важное практическое значение проведенных исследований, направленных на повышение эффективности расчета деформированного состояния статически и динамически нагруженных несущих конструкций произвольной формы, выполненных из упругих анизотропных и стареющих вязкоупругих материалов сводится к следующему.

1. Создан эффективный метод расчета деформированного состояния однородных анизотропных конструкций произвольной формы в случае их статического и динамического нагружения.

2. Разработаны принципы соответствия, позволяющие расчет деформированного состояния стареющих анизотропных вязкоупругих конструкций сводить к расчету деформированного состояния упругих конструкций.

3. Получены соотношения, определяющие класс вязкоупругих материалов, расчет деформированного состояния которых сводится к расчету деформированного состояния упругих материалов.

4. Решены задачи о сжатии бруса между двумя плитами, о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями.

5. Впервые решены инженерные задачи:

- о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной квадратично нелинейной вязкоупругой полосы;

- о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы;

- о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала;

- об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки;

- о деформированном состоянии ортотропной пластины со смещенным круглым вырезом;

- о деформированном состоянии ортотропной пластины в виде части квадрата;

- об ортотропной пластине в виде креста;

- о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поликарбонатного ортотропной материала.

К результатам, имеющим важное значение для механики деформируемого твердого тела можно отнести следующие.

1. Разработан метод решения статических и динамических задач линейной теории упругости для однородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и методе потенциала.

2. Получены квадратуры решений первой, второй и третьей статических и динамических задач анизотропной теории упругости для однородного тела произвольной формы. Доказано, что эти квадратуры удовлетворяют исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задач.

3. Разработаны принципы соответствия между квазистатическими и динамическими задачами нелинейной анизотропной теории вязкоупруго-сти для неоднородного стареющего материала и статическими и динамическими задачами теории нелинейной упругости.

4. Получены квадратуры решений статических и динамических задач теории вязкоупругости со смешанными краевыми условиями.

5. Создан метод опорных функций для эффективного численного и аналитического вычисления полученных квадратур.

1. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург. 2003. 412 с.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Об одном асимптотическом методе в контактных задачах.// ПММ. 1999. Т. 63. № 2. С. 295 302.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. К контактным задачам для конечного цилиндра и круглой пластины.// Изв. вузов Сев. Кавк. региона. Естеств. н. 1999. № 1.С. 33 - 36.

4. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука. 1983.336 с.

5. Афанасьев В.А. Дифракция плоской волны на жесткой полуплоскости, скреплённой с поверхностью упругого полупространства.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. № 1. С. 38 47.

6. Афанасьев Е.Ф. Дифракция нестационарной волны давления на подвижной пластине.//ПММ. 1962. Т. 26. В. 1. С. 190 195.

7. Афанасьев Е.Ф. К задаче дифракции нестационарной волны относительно щели.// Инж. журн. 1963. Т. 3. В. 4. С. 638 644.

8. Афанасьев Е.Ф. Действие на препятствие слабой ударной волны.// Инж. журн. 1964. Т. 4. В. III. С. 452 460.

9. Афанасьев Е.Ф. Удар тела о тонкую пластинку, лежащую на поверхности сжимаемой жидкости.// ПММ. 1964 Т. 28. В. V. С. 868 879.

10. Афанасьев Е.Ф. Об одной задаче дифракции ударных волн.// Инж. журн. 1965. Т. 5. В. IV. С. 612-622.

11. Афанасьев Е.Ф. Некоторые однородные решения динамической теории упругости. Механика сплошной Среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука. 1972. С. 31-39.

12. Афанасьев Е.Ф. Класс автомодельных задач динамической теории упругости для щели. // ДАН СССР. 1973. Т. 210. № 3. С. 555 558.

13. Афанасьев Е.Ф., Черепанов Г,П. Некоторые динамические проблемы теории упругости.// ПММ. 1973. Т. 37. В. IV. С. 613 639.

14. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972. С. 456.

15. Багдаев А.Т. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван: Изд во АН Арм. ССР. 1961. С. 276.

16. Багдаев А.Т., Мартиросян А.И. Задача соударения стержней при смешанных граничных условиях. // ДАН СССР. 1976. Т. 226. № 3. С. 537 540.

17. Березин B.JL, Косович Л.Ю. Исследование перегрузки тонкого кольца при его динамическом нагружении.// Пробл. прчн. матер, и констр. на трансп. Сб. научн. докл. 3-ей Междунар. конф. Санкт-Петербург. 1999. С. 133 -139.

18. Бричкин JI.A., Бутковский А.Г., Пустыльников JT.M. Применение конечных интегральных преобразований к задачам оптимального управления.// Автоматика и телемеханика. 1973. № 7. С. 13 24.

19. Бодунов А.К. О колебаниях круглой пластины. // Механика. Краткое содержание докладов 38-й научной конференции ЛИСИ. 1969. С. 43 45.

20. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамики упругих анизотропных сред. Динамика сплошной среды. В. 14. Новосибирск. СОАН СССР. 1973. С. 22 29.

21. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамической теории упругости анизотропных сред.// ПМТФ. 1974. № 3 С. 121 125.

22. Будаев B.C. Упругие волны в кристаллах металлов.// Прикладная механика. 1975. Т. 11. №5. С. 93 -98.

23. Будаев B.C., Филиппов И.Г. К задаче о точечном источнике в анизотропной упругой среде. Прикладная математика и программирование. Кишинев. Штиинца. 1975. С. 26-31.

24. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М. Наука. 1979. 224 с.

25. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел. // Изв. РАН. Мех. тв. тела. 1999. № 2. С. 78 84.

26. Векуа И.Н. К вопросу распространения упругих волн в бесконечном слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями.// Тр. Тбилисского гео-физ. ин та. 1937. Т. 2. С. 23 - 49.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971. 512 с.

28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука. 1979.318 с.

29. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1979. 319 с.

30. Галин Л.А., Шматкова A.A. Движение жёсткого штампа по границе вязко-упругой полуплоскости.// ПММ. 1968. Т. 32. В. III. С. 445 450.

31. Гершунов Е.М. Расчет круглых и кольцевых пластин на действие произвольной динамической нагрузки.// Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 6. С. 89 95.

32. Гольдштейн Р.В. Волны Релея и резонансные явления в упругих телах. ПММ. 1965. Т. 29. В. III. С. 516 525.

33. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М. Наука. 1979. 384 с.

34. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек. Итоги науки и техники. Сер. Механика твёрдых деформируемых тел. Т. 5. М.: ВИНИТИ. 1973. 272 с.

35. Григорян Э.Х., Аветикян В.Е. Контактная задача для упругого клина.// Изв. нац. АН Армении. Мех. 1997. 50. № 1. С. 12 26.

36. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М. Изд-во АНСССР. 1948. 727 с.

37. Гринченко В.Т. Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка. 1972. 254 с.

38. Гузь А.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наукова думка. 1978. 307 с.

39. Дыхта В.В. Метод интегральных преобразований в волновых задачах гидроакустики. Киев.: Наукова думка. 1981. 285 с. 1.

40. Егорычев O.A. Вынужденнык колебания вязкоупругого прямоугольного штампа и вязкоупругого основания.// Всесоюзная конференция по механике сплошных сред. Ташкент. 1979. С. 112 113.

41. Ермоленко Г.Ю. Одна из возможностей построения определяющего уравнения для скорости ползучести. // Межвузовский сборник "Физика структуры и свойств твёрдых тел". Куйбышев. 1976. С. 49 54.

42. Ермоленко Г.Ю. Динамика дислокаций и внутреннее трение. // Механика деф. тв. тела. Всесоюзная школа и конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Куйбышев. 1978. С. 16.

43. Ермоленко Г.Ю. Представление краевых задач для нелинейных вязкоупру-гих композитов. // Тезисы докладов V Всесоюзной конференции по композиционным материалам. В. II. Москва. 1981. С. 11-13.

44. Ермоленко Г.Ю., Колокольчиков В.В. О решении задач главной кубической теории вязкоупругости для неоднородно стареющих тел. // ДАН Арм. ССР. 1984. № 4. С. 159-164. Доля личного участия 80 %.

45. Ермоленко Г.Ю., Колокольчиков В.В. Плоская задача деформирования кубически нелинейного вязкоупругого бруса со старением.// Вторая всесоюзная конференция «ползучесть в конструкциях». Тезисы докладов. Новосибирск. 1984. С. 130.

46. Ермоленко Г.Ю. Модифицированное преобразование Фурье и решение линейных интегро-дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математическим методам в физике. Тольятти. 1993. С. 12.

47. Ермоленко Г.Ю. Способ решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. // Тезисы докладов международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Секция уравнений мат. физики. Саранск. 1994. С. 65.

48. Ермоленко Г.Ю. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения. // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара. 1996. С 51.

49. Ермоленко Г.Ю. Способ решения начально-краевых задач для оператора теплопроводности. // Международная научная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина. Самара. 1997. С. 26 -27.

50. Ермоленко Г.Ю. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения. // Аэрокосмическая техника. Вестник ПГТУ. № 2. 1997. С. 67.

51. Ермоленко Г.Ю Способ решения второй начально-краевой задачи теории упругости интегральными преобразованиями. // Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара. 1998. С. 128.

52. Ермоленко Г.Ю. Принцип соответствия краевых статических задач нелинейной вязкоупругости со старением краевым задачам теории упругости. // ПМТФ. Т. 39. № 4. 1998. С. 155 -161.

53. Ермоленко Г.Ю. Деформированное состояние упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагру-жениях. Издательство Самар. Гос. Аэрокосм. Ун-т. Самара. 2001. 149 стр.

54. Ермоленко Г.Ю. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала. // ПММ. Т. 66. В. II. 2002. С. 317-321.

55. Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А. Способ решения первой начально-краевой задачи линейной теории упругости для изотропных тел // ПММ. Т. 62 Вып. 4, 1998. С. 715 718. Доля личного участия 90 %.

56. Ермоленко Г.Ю. Методы расчёта деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях. / Деп. ВИНИТИ № 860-13-2001. 179 с.

57. Ермоленко Г.Ю. Принцип соответствия краевых динамических задач нелинейной вязкоупругости со старением динамическим задачам теории упругости. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8. В. 1. 2001. С.167- 169.

58. Ермоленко Г.Ю. Решение динамической задачи анизотропной теории упругости со смешанными краевыми условиями // Вестник СамГТУ. Вып. 19. Сер. «Физ. мат. науки». 2003. С. 86-88.

59. Ермоленко Г.Ю. Метод опорных функций. Математическое моделирование и краевые задачи. // Труды тринадцатой межвузовской конференции. Самара. 2003. С. 57-60.

60. Ермоленко Г.Ю. Метод проб для решения статических и динамических задач линейной анизотропной теории упругости. // Известия вузов. Машиностроение. № 2. 2003. С. 3 7.

61. Ермоленко Г.Ю. Метод опорных функций для решения задач математики и механики. // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". В. 26. Самара. 2004. С. 126- 127.

62. Зайцев Л.И., Зволинский Н.В. Исследование осесимметричной головной волны на плоской границе раздела упругих сред. // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1951. №5. С. 40-50.

63. Зайцев Л.И.,Флитман Л.М. Упругие волны, порождённые трещиной касательного разрыва на границе раздела упругих сред.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. №11. С. 13-19.

64. Зволинский H.B. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской границе раздела двух упругих сред. I.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1957. №10. С. 1201-1218.

65. Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской границе раздела двух упругих сред. II.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. № I.e. 3-9.

66. Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской границе раздела двух упругих сред. III.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. №2. С. 165 174.

67. Зволинский Н.В. Волновые задачи в теории упругости непрерывной среды.// Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 1. С. 109 123.

68. Зволинский Н.В., Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Динамика деформируемых тел. Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М.: Наука. 1972. С 291 323.

69. Кадырбеков Т.В. Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Сейсмостойкость подземных сооружений и натурное исследование зданий. Ташкент: Фан. 1976. С. 159- 167.

70. Калоеров С.А., Горянская Е.С., Шаповалова Ю.Б. Двумерное напряженное состояние анизотропного тела с отверстиями, упругими включениями и трещинами. // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1999. № 29. С. 63 70.

71. Колесникова Н.В., Матвеенко В.П., Юрлова Н.А, Численное моделирование собственных затухающих колебаний кусочно-однородных вязкоупругих тел. Приложение к задаче о колебаниях двухслойного цилиндра. Расчеты на прочность. М. 1989. В.ЗО. С. 166-172.

72. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981. 543 с.

73. Колокольчиков В.В. О сходимости метода последовательных приближений с интегральными преобразованиями для задач нелинейной вязкоу пру гости. // ДАН СССР. 1979. Т.245. № 2. С. 325 329.

74. Колокольчиков В.В. Метод последовательных приближений для нелинейной вязкоупругости, основанный на нелинейном принципе соответствия и методе аппроксимаций.// Механика полимеров. № 3. 1978. С. 417 424.

75. Колокольчиков В.В. Решение задач о коническом стержне, плоском клине, пористой трубе для нелинейных вязкоупругих материалов при помощи обобщенного принципа соответствия. //Механика полимеров. 1978. № 6. С. 1071 1078.

76. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа. 1976. 277 с.

77. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. М.: Высшая школа. 1983. 352 с.

78. Костров Б.В. Автомодельные смешанные динамические задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство. // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш. 1964. № 4. С. 54 62.

79. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука. 1974. 223 с.

80. Кузнецов Г.Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. М.:Наука. 1979.112 с.

81. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз. 1963.472 с.

82. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука. 1976. 662 с.

83. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ. 1976. 367с.

84. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 939 с.

85. Лурье А.И.Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука. 1955. 491 с.

86. Мальцев JI.E., Крекнин А.И. Метод непосредственного решения задач вяз-коупругости. Механика полимеров. 1977. № 4. С. 606 613.

87. Мартыненко H.A., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М. Наука. 1986. 393 с.

88. Матвеенко Б.П. О методе решения задачи сопряжения двух вязкоупругих тел в виде ряда по степеням оператора Вольтерра. Краевые задачи упругих и неупругих систем. Свердловск. 1985. С.7-13.

89. Матвеенко В.П. Численный анализ вынужденных установившихся колебаний несжимаемых или слабо сжимаемых вязкоупругих тел. Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоуп-ругости. Свердловск. 1986. С.83-86.

90. Матвеенко В.П., Трояновский И.Е., Цаплина Г.С. Построение решений задач теории упругости в виде рядов по степеням упругих постоянных и их приложения к вязкоупругости. // ПММ.1996. Т.60. B.IV. С.651-659.

91. Матвеенко В.П. Метод численного анализа сингулярности напряжений в угловых точках трехмерных тел.// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. № 5. С.71-77.

92. Матвеенко В.П., Борзенков С.М. Полуаналитические сингулярные элементы для плоских и пространственных задач теории упругости.// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. № 6. С.48-61.

93. Москвитин В.В. Об одном методе решения задач нелинейной термо-вязко-упругости. Упругость и неупругость. В. II. М.: МГУ. 1971. С. 167 175.

94. ЮО.Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. Гостехтеорет-издат. 1954. С. 352.

95. Немиш Ю.Н. Об одном обобщении метода возмущения формы границы в механике деформируемого твердого тела.// Прикладная механика. 1989. №1. С. 5-12.

96. Немиш Ю.Н. К решению пространственных задач для слоистых некруговых цилиндров.// Прикладная механика. 1993. №9. С.69-76.

97. ЮЗ.Немиш Ю.Н. Об одном обобщении метода возмущения формы границы в механике деформируемого твердого тела. // Прикладная механика. 1989. №1. С. 5-12.

98. Юб.Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с. 107.Нортон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977.312 с.

99. Ю8.Партон В.З., Перлин И.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981.686 с.

100. Перлин П.И. Применение принципа Робена к решению пространственных задач теории упругости. // ПММ. 1988. Т.52. В.Н. С.337-341.

101. Ю.Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто изотропныхсредах, разделённых параллельными плоскостями.// УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1952. № 162. В. 26. 188 с.

102. ЬПетрашень Г.И. О рациональномметоде решения задач динамической теории упругости в случае слоисто изотропных областей с плоско - паралдельными границами раздела. // УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1956. № 208. В. 30. С. 5-59.

103. Петращень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лемба в случае полупространства.// УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1950. № 35. В. 21. С. 71 118.

104. Победря Б.Е., Шешенин C.B., Холматов Е. Задача в напряжениях. Ташкент: ФАН. 1988.200 с.

105. М.Победря Б.Е. О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязко-упругости.// ДАН СССР. 1970. Т. 195. № 2. С. 307 310.

106. Победря Б.Е. Симметричная деформация цилиндрической оболочки из нелинейного вязкоупругого материала. Теория пластин и оболочек. М.: Наука. 1971. С. 227-231.

107. Победря Б.Е. Метод последовательных приближений в нелинейной теории вязкоупругости. Механика полимеров. 1969. № 2.

108. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев: Н. Думка. 1979.240 с.

109. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука. 1986. 328 с.

110. Притыкин И.А., Рудаченко С. В., Рудаченко Т.В. Плоская задача теории упругости для пластины с вырезом при чистом изгибе. // Сб. трудов Балт. гос. акад. рыбопромыслового флота. 1998. № 27. С. 54 59.

111. Проценко B.C., Кошавец П.Т. Гибридные интегральные преобразования Фурье- Ганкеля и некоторые задачи кручения кусочно-однородных тел. // Сб. Динамика систем, несущих подвижную распределенную нагрузку. 1978. В. 1.С. 120- 124.

112. Проценко B.C., Соловьев А.И. Некоторые гибридные интегральные преоб-/ разования и их приложение в теории упругости неоднородных сред.// Прикладная механика. 1982. Т. 18. № 1. С. 62 67

113. Рвачев В.JI., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. Киев. Наукова думка. 1976. 287 с.

114. Роговой A.A. Некоторые свойства интегральных уравнений метода источников для основных задач теории упругости. Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. Уральский научный центр АН СССР. Свердловск. 1981. С. 3- 15.

115. Роговой A.A. Некоторые свойства решения уравнения Ляме, полученного методом источников. Прикладные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти Уральский научный центр АН СССР. Свердловск. 1976. С. 3 -15.

116. Роговой A.A. О решении интегральных уравнений метода источников. Вопросы теории упругости и вязкоупругости Уральский научный центр АН СССР. Свердловск. 1978. С. 3 18.

117. Роговой A.A. О решении плоской задачи теории упругости методом источников. Методы решения задач теории упругости и вязкоупругости Уральский научный центр АН СССР. Свердловск. 1974. С. 3 14. *

118. Роговой A.A. О решении осе симметричных задач теории упругости методом источников. Методы решения задач теории упругости и вязкоупругости. Уральский научный центр АН СССР. Свердловск. 1974. С. 15 25.

119. Роговой A.A. Точные решения некоторых задач упругости методом источников. Напряженно деформированное состояние конструкций из упругих и вязкоупругих материалов. Уральский научный центр АН СССР. Свердловск. 1977. С. 3 -13.

120. Савин Г.Н., Рущицкий Я.Я. О применимости принципа Вольтерра. В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение. 1979. С. 431 -436.

121. Сарайкин В.А., Слепян Л.И. Плоская задача о динамике трещины в упругом теле. // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. с. 54 73.

122. Свекл о В. А. Задача Лемба при смешанных граничных условиях. // ДАН СССР. 1954. Т. 95. № 4. С. 737 740.

123. Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела. // ПММ. 1961. Т.25. № 5. С. 885 896.

124. Свекло В.А. Смешанная задача для упругой анизотропной полуплоскости. // ПММ. 1962. Т. 26. № 5. С. 896 905.

125. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. Т. 2. 1984. 560 с.

126. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов. Изд-во Саратов, ун-та. 1985. 176 с.

127. Сеницкий Ю.Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки. // Прикладная механика. 1978. Т. 14. № 5. С. 9 15.

128. Сеницкий Ю.Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных цилиндра, сферы и стержня. Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. Буд1вельник. 1984. В. 45. С. 27 32.

129. Сеницкий Ю.Э. Динамическое кручение конечного анизотропного цилиндрического слоя. // Прикладная механика. 1985. Т. 21. № 6. С. 11 17.

130. Сеницкий Ю.Э. О решении динамической задачи для упругой анизотропной прямоугольной области. // Расчёт пространственных строительных конструкций. Межвузовский сб. науч. ст. / Куйбышевский госуниверситет. 1981. С. 3- 13.

131. МО.Сеницкий Ю.Э., Савельев О.Л. Свободные колебания прямоугольной пластины, несущей сосредоточенную массу. // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1982. № 3. С. 45 52.

132. Сеницкий Ю.Э., Марченко В.А. Динамика двойной упругосвязанной балки. // Известия вузов. Строительство. 1996. Т.1. С. 18-24.

133. Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики. // Известия вузов. Математика. 1996. № 8. С 474 477.

134. Сеницкий Ю.Э. Обобщенные биортогональные конечные интегральные преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики. // ДАН России. 1995. Т. 341. № 4. С. 474 477.

135. Сеницкий Ю.Э. Метод конечных интегральных преобразований и его перспективы в решении краевых задач прикладной теории упругости. // Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара. 1998.

136. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л. Судостроение. 1980. 344 с.

137. Трантер К.Д. Интегральные преобразования в математической физике. М. Гостехтеоретиздат. 1956. 204 с.

138. Труфанов Н.А, Пространственная задача вязкоупругости для конструкции из термонестабильного материала с объемной релаксацией. Механика и прикладная математика. Тула. 1988. С.57-61.

139. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.-Л. Изд-во АН СССР. 1963. 367 с.

140. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев. Наукова думка. 1979. 264 с.

141. Федечев А.Ф. Динамическая задача термоупругости для анизотропного сферического слоя. //1 Сб. Расчет простран. строит, конструкций. Куйбышев 1981. В. 9. С. 21-27.

142. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М. Мир. 1974. 159 с.

143. Филиппов И.Г. О некоторых математических методах решения динамических задач линейной теории упругости. // МТТ. 1978. № 5. С. 206.

144. Филиппов И .Г., 1. Филиппова H.A. Обобщение метода Вольтерра для решения динамических задач в термовязких средах. // ПМ. 1979. Т. 43. В. 1. С. 83 90.

145. Филиппов И.Г. Приближённый метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред. // ПММ. 1979. Т.43. В. 1. С. 132 137.

146. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983. 272 с.

147. Фридман Л.И. Построение полных решений граничных статических задач теории упругости на основе общих решений. // Труды международной конф. "Численные и аналит. методы расч. констр.". Самара 1998. С. 50 57.

148. Хан X, Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. М.: Мир. 1988. 344с.

149. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М. Стройиздат. 1934. 334 с.

150. Шардаков И.Н., Труфанов H.A., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости. Екатеринбург. 1999. 299 с.

151. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: North -Holland Publ. Co. 1973.427 p.

152. Achenbach J. D., Brock L.M. Rapid extension of a crack.//J. Elastisity. 1971. Vol. 1. № 1.Р. 51 -53.

153. Achenbach J. D. Vibrations of viscoelastic body. AIAA. 1967. 5. 1213 p.

154. Atkinson C. Propagation of a brittle crack in an.// Int. j. Engng. Sei. 1965. Vol. 3. № l.P. 77-91.

155. Atkinson C. On axially symmetric expanding boundary value problems in classical elastisity.// Engng. Sci. 1968. Vol. 6. № 1. P. 27 35.

156. Bedding R. J., Willis J.R. The dynamic indentation of an elastic half space. //J. Elastisity. 1973. Vol. 3. № 4. P. 289 - 309.

157. Brock L.M. Non symmetric extension of a small flaw into a plane crack at a constant rate under polynomial - form loadings.// Int. J. Engng. Sci.,m 1976. Vol. 14. №2. P. 181 -190.

158. Burridge R. The singularity on the plane lids of the wave surface of elastic media with cubic symmetry. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1967. Vol. 20. № 1. P. 41 -56.

159. Burridge R The general two dimensional self similar crack in an anisotropic elastic medium. 1968.

160. Burridge R, Willis J.R. The self similar problem of the expanding elliptical crack in an anisotropic solid.// Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. Vol. 66. № 2. P. 443 -468.

161. Chao C.K., Young C.W. On the general treatment of multiple inclusion in antiplane elastostatics. // Int. J. Solids and Struet. 1998. 35. № 26 27. P. 3573 -3593.

162. Craggs J.W. On two dimensional waves in an elastic half - space. // Proc. Camb. Phil. Soc. 1960. Vol. 56. № 3. P. 269 - 285.

163. Craggs J.W. The growth of a disc shaped crack. // Int. J. Engng. Sci. 1966. Vol. 4. №2. P. 113-124.

164. Dravinski M., Thau S.A. Multiple diffraction of elastic waves by a rigid restangular foundation. // Trans. ASME, ser. E, Appl. Mech. 1976. Vol. 43. № 2. P. 291 -299.

165. Duff G.F.D. The Cauchy problem for elastic waves in an anisotropic medium. // Phil. Trans. Roy. Soc., London, ser. A. 1960. Vol. 252. № 1010. P. 249 273.

166. Eringen C., Suhubi E.S. Elastodynamics. Vol. II. Linear theory. New York: Academic Press. 1975. 660 p.

167. Ewing W.M., JardetzkyW.S., Press F. Elastic waves in layered media. N. Y. etc.: McGraw-Hill. 1957. 380p.

168. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to general loading. II. Non uniform rate of extension. // J. Mech. and Phys. Solids. 1972. Vol. 20. № 3. P. 141-152.

169. Henry Jr. D.P., Baneijee P.K. A new BEM formulation for two-and three dimensional elastoplasticity using particular integrals. // Int. J. Numer. Meth, Eng. 1988. Vol.26. № 9. P. 2079-2096.

170. Henry Jr. D.P., Baneijee P.K. A new boundary element formulation for two- and three-dimensional thermoelasticity using particular integrals. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. Vol.26. № 9. P. 2061-2077.

171. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Columbus: Ohio State Univ. 1975. 649 p.

172. Maue A.W. Die Beugung elastischerWellen an der Halbebene. Z. Angew. // Math, und Mech. 1953. Bd. 33. H 1/2, S. 1-10.

173. Miyakawa Takeyuki, Hasegawa Hisao. Tension of a dissimilar elastic solid with aspherical cavity. Nihon kikai gakkai ronbunshu. // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A, 1999. 65. № 629. P. 21 -25.

174. Miklowitz J. The theory of elastic wave and waveguides. Amsterdam: North -Holland Publ. Co. 1978. 618 p.

175. Moshev V. V., Kozhevnikova L.L. Highly predictive structural cell forparticulate polymeric composites. // J. Adhesion. 1997. Vol. 62. P. 169-186.

176. Norwood F.R. Similarity solutions in plane elastodynamics. // Int. J. Solids and Structures. 1973. Vol. 9. № 7. P. 789 803.

177. Pao Y.H. Elastic waves in solids. Trans. ASME //J. Appl. Mech. 1983. December. Vol. 50. № 4. P. 1152 1162.

178. Pao Y.H., Mow C.C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentration. N.Y.: Crane Russak. 1973. 685 p.

179. Payton R.G. Wave front singularities for two - dimentional anisotropic elastic waves. // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1972. Vol. 72. № 1. P. 105 -116.

180. Poullikkas A., Karageorghis A., Georgion G. Comput. Mech. 1998. 22. № 1. P. 100- 107.

181. Rieder G. Konjugierte Gradienten und die Randelementmethode in Potential und Elastizitatstheorie. Z. Angew. // Math. Und Mech. 1990. V.70. № 6. P.712-713.

182. Skalak R. Longitudinal impact of a semi infinite circular elastic bar. // J. Appl.

183. Mech. 1967. Vol. 24. № 1. P. 59 64. 193. Willis J.R. Self - similar problems in elastodynamics. // Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A. 1973. Vol. 274. № 1240. P. 435 - 491.