Краевые задачи для уравнений теории упругости с условиями типа неравенств на границе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Задача о равновесии трехмерного упругого тела, имеющего трещину.

1. Постановка задачи.

2. Существование решения.

3. Краевые условия на внутренней границе.

4. Гладкость решений.

ГЛАВА II. Равновесие трехмерного вязкоупругого тела с трещиной.

1. Разрешимость задачи равновесия.

2. Регулярность решений по временной переменной.

3. Краевые условия на внутренней границе.

4. Эквивалентная постановка задачи.

5. Задача оптимального управления.

6. Исследование гладкости решений.

ГЛАВА III. Контактные задачи для пластин с трещинами.

1. Задача о контакте двух вязкоупругих пластин, одна из которых имеет трещину.

1.1 Постановка задачи. Существование решения.

1.2 Существование производной по временной переменной.

1.3 Вывод полной системы краевых условий.:.

1.4 Дифференциальная постановка задачи.

1.5 Задача о минимизации объема трещины.

1.6 Исследование гладкости решений.

2. О равновесии упругой пластины с трещиной, контактирующей с жестким штампом.

2.1 Разрешимость задачи равновесия.

2.2 Гладкость решений.

3 АК Л Ю ЧЕНИЕ.

Краевые задачи - одна из тех областей математической науки, которые имеют наиболее тесную связь с реальными объектами. Моделирование природных процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент.

В данной диссертации изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами в приложении к теории упругости и, в частности, к проблемам теории трещин. При использовании математического аппарата в теории трещин краевая задача рассматривается в области, которую занимает тело. При этом граница этой области состоит из поверхности, которая ограничивает тело и поверхности, определяющей форму трещины. Считается, что трещина имеет два берега. Следовательно, задавать краевые условия необходимо не только на внешней границе (условия закрепления, опоры и т.д.), но и на части границы, соответствующей берегам трещины.

Классический подход к задачам о трещинах предполагает задание на ее берегах значений функции перемещений точек тела или компонент тензора напряжений [29, 46, 79-82, 93-100, 119-121]. Эти условия записываются в виде равенств аг]п] = /г на 3 или гч = д-г на 5, где щ - компоненты вектора перемещений; и^ - компоненты тензора напряжений; 51 - поверхность, задающая трещину, п - нормаль к поверхности 5; /¿, д{ - заданные функции.

Задачи теории трещин с краевыми условиями в виде равенств на берегах широко изучены в механике. Для их исследования и решения разработаны различные математические методы. К классическим подходам можно отнести применение аппарата теории функций комплексного переменного. Подробному изложению такого подхода посвящены труды Н.И.Мусхелишвили, Г.П.Черепанова, В.З.Партона и др. [43, 63, 81, 82, 100, 107, 119-121]. Исследования в этой области направлены на изучение концентрации напряжений в окрестности кончика трещины, получение критерия начала распространения трещины и вывод формулы для интенсивности напряжений [29].

Также интенсивно используются методы интегральных уравнений для широкого класса задач теории упругости. Интегральные уравнения и их применение к решению пространственных задач теории трещин описаны в работах [3, 33, 99, 130]. После сведения задач к интегральным уравнениям становится возможным использование численных методов решения.

Для решения некоторых интегральных уравнений Винер и Хопф предложили метод, основанный на идее факторизации. С техникой применения этого способа можно познакомиться, например, в [133].

Поскольку наличие трещины нарушает гладкость границы рассматриваемой области, то отсюда вытекают сложности моделирования задач теории упругости. Например, определение напряженно - деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек для нелинейных задач связано с существенными математическими трудностями. Дж.Райсом был предложен метод приближенного анализа физически нелинейных задач о концентрации напряжений вблизи нерегулярных точек, основанный на введении некоторого криволинейного интеграла, не зависящего от пути интегрирования и окружающего сингулярную точку [103, 132]. Впоследствии этот метод был усовершенствован и различные его модификации в приложениях к конкретным задачам описаны в работах [130, 150-152].

Теория потенциалов, используемая в теории упругости и изложенная в монографии В.Д.Купрадзе [66], также получила применение к задачам теории трещин [22, 46]. Метод потенциала для плоской задачи рассмотрен в [34].

Широкое распространение при решении задач о трещинах получил и метод конечных элементов. Применение этого метода подробно описано в работе [79].

Краевыми задачами для эллиптических операторов в областях с негладкими границами занимались С.А. Назаров, В.Г. Мазья, Б.А. Пла-меневский [2, 22, 25, 28, 54, 72, 73, 75, 76, 83, 86-90]. В этих работах получены результаты для областей коническими, угловыми точками, с ребрами и остриями. В статьях [41, 55 - 60, 123] изучено поведение обобщенных решений эллиптических уравнений вблизи границы и исследованы вопросы гладкости решений в окрестности сингулярных точек, исследования эллиптических задач проводились также в [1, 5, 6, 44, 64, 67, 91, 105, 125, 129, 135, 147]. Асимптотика решений вблизи вершины трещины для эллиптических уравнений исследованы в работах [72 - 74].

Таким образом, вышеуказанные методы широко используются для исследования краевых задач в классической постановке с граничными условиями в виде равенств на берегах трещины.

В теории упругости часто используются и вариационные принципы [16, 19, 24, 78, 104, 122]. В частности, задача равновесия упругого тела может быть поставлена как задача минимизации функционала потенциальной энергии. Таким образом, краевой задаче ставится в соответствие некоторая вариационная и обратно, любое гладкое решение вариационной задачи есть решение краевой. Отметим также вариационный подход к теории трещин для вязкоупругого случая в [80].

Кроме перечисленных, рассматривались и обратные задачи. Например, в [14] приведена задача об определении формы криволинейной трещины, близкой к прямой.

В последнее время развитие получили методы, приводящие задачи теории упругости к вариационным и квазивариационным неравенствам. Впервые в отечественной математике теорию вариационных неравенств к теории упрз-тости применил А.С.Кравчук. В его статье [65] приведен пример постановки контактных задач для нескольких тел как задач линейного программирования. Известно множество работ и других авторов, как отечественных, так и зарубежных, работавших в этом направлении [13, 31, 48, 85, 92, 112, 131]. Способы и формулировки задач в виде вариационных неравенств в каждом случае различны. В большинстве работ сведение к ним вызвано нелинейностью задачи. Нелинейность может быть связана с видом целевого функционала в задаче равновесия или нелинейными граничными условиями. Исследование дифференциальных свойств слабого решения вариационных неравенств - вопрос тонкий. Действительно, нельзя, например, ожидать гладкой стыковки решения на части границы, являющейся берегами трещины. Для таких задач характерны пороги гладкости. Таких общих результатов, как разрешимость и теоремы о регулярности решений для вариационных неравенств нет. Способы доказательств регулярности решений вариационных неравенств (в пределах, допустимых порогом гладкости) обусловлены конкретным видом ограничений. Гладкость решений вариационных неравенств изучалась в [9-13, 114-118, 128, 134, 136-141, 144-146, 148]. Вопрос выбора экстремальных форм разрезов в пластинах исследован в [116]. Задачи оптимального управления вариационными неравенствами рассматривались в [115, 117, 126]. Также разработаны специальные методы для численного исследования вариационных неравенств [32, 49-53, 142, 143].

Примеры вариационных задач, эквивалентных краевым, и их физическую интерпретацию можно найти, например, в [13, 40, 65, 151]. В частности, для задачи Синьорини в [13] найдена система краевых условий, представляющих собой совокупность уравнений и неравенств, а также доказана эквивалентность вариационного неравенства краевой задаче. Исследование этой задачи, необходимое и достаточное условие существования ее решения изучены также в [111].

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих пластин с трещинами, А.М.Хлудневым было предложено краевое условие, имеющее вид неравенства

Здесь И7, w - функции, задающие горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластины; квадратные скобки обозначают скачок функции на берегах трещины; Гс - кривая, определяющая форму трещины; v - нормаль к Гс; 2t - толщина пластины. Эти условия интерпретируются как взаимное непроникание берегов трещины для линейной модели упругой пластины. Постановка краевой задачи с граничными условиями такого вида является более точной, поскольку случай проникания берегов друг в друга исключается заранее. Наличие краевых условий типа неравенств приводит к использованию вариационного неравенства в качестве эквивалентной постановки. В работах [114-118, 137-141] рассмотрены задачи для упругих и неупругих тел, имеющих трещины, исследованы свойства регулярности решений, выведены полные системы краевых условий, выполняющихся на берегах трещины. В статьях [115, 117, 137] исследована сходимость при £ —» 0 и доказано, что задачи с краевым условием (1) сходятся при е —> 0 к решению задачи с условием вида

Условие (2) не учитывает толщину пластины и дает приближенное описание условия непроникания между берегами трещины по сравнению с (1).

Численные исследования вариационных неравенств для задач с условиями непроникания приведены в [49-53, 142-143]. .

1)

1Г],х >0 на Гс

2)

В настоящей работе рассматриваются краевые задачи с условиями непроникания для трехмерных тел, имеющих трещины, а также контактные задачи для пластин с трещинами.

Предполагается, что рассматриваемое линейное трехмерное тело занимает ограниченную область Г2 С Л3 и имеет трещину, которая представляет собой некоторую регулярную поверхность Гс. Граница Г области О считается гладкой и может пересекать Гс. Задача равновесия рассматривается в области 0,с = ^ \ Гс для упругого тела и в цилиндре (5е = а х для вязкоупругого. Граница области 0,с состоит из Г и двух берегов Г+ и Г~ трещины, т.е. задача ставится в области с негладкой границей.

Условия непроникания, задаваемые на Гс, имеют вид где и(х) = (гг1, гг-2, ггз) - вектор функций, задающих малые перемещения точек тела, и - нормаль к поверхности Гс. На внешней границе Г задаются условия закрепления

Решение задачи равновесия ищется в классе функций, интегрируемых с квадратом в и имеющих интегрируемые с квадратом в 0С производные первого порядка.

В первой главе рассматривается трехмерное тело с трещиной, подчиняющееся закону Гука. В этом случае задачу можно поставить в виде вариационной задачи о минимизации функционала энергии. Благодаря дифференцируемости этого функционала постановка эквивалентна вариационному неравенству и Е К '■ ац(и) £1]{'и ~ и) > ¡(у — и) с/0с, \/у Е К. (4)

Здесь через К обозначено множество допустимых перемещений, е^ -компоненты тензора деформаций, / - функция, задающая внешние нагрузки, действующие на тело.

Для удобства записи в некоторых интегралах будем опускать дифференциал от переменной интегрирования.

Существование решения задачи равновесия доказывается исследованием свойств коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу и]и >0 на Г,

С1

3) и = 0 на Г. функционала энергии. Доказательство основано на справедливости первого неравенства Корна в области Qc. Обоснование неравенства Корна для областей с различными границами можно найти в [40, 59, 61-62, 84, 111]. Единственность решения задачи (4) доказывается подстановкой соответствующих пробных функции.

Условие непроникания (3) не является единственным краевым условием. С помощью вариационного неравенства (4) молено вывести урав--нения равновесия, справедливые в области Г2С, а так лее вид полной системы краевых условий на внутренней границе Гс. Эта система выглядит следующим образом: as = 0, gv > 0 на Гг,

К] = 0 на Гс, , [и]и > 0 на Гс, [0) a\v а у — 0 на Гс.

Здесь as и ии - касательная и нормальная составляющие вектора {сгijVj] соответственно. Вид краевых условий получен в предположении дополнительной гладкости решений и(х). При этом предпололее-нии молено таклее показать эквивалентность двух постановок: в виде вариационного неравенства (4) и в виде уравнений равновесия вместе с граничными условиями (5).

Далее, в рассматривается вопрос о регулярности решений и(х) задачи равновесия (4), и доказано, что нулевое раскрытие трещины и бесконечная дифференцируемость функций внешних нагрузок обеспечивает существование производных любого порядка функции и{х). Это означает, чТо равенство нулю скачков [t¿] приводит к задаче Дирихле для эллиптического оператора в области Ü с гладкой границей Г.

Во второй главе исследуется задача о равновесии трехмерного вяз-коупругого тела, имеющего трещину. Задача рассматривается в цилиндре Qc = ücx (0,Т), на боковой поверхности которого заданы условия закрепления. Условия непроникания (3) задаются на Гс х (0,Т). Вводятся обозначения i u*{t,x) = u(t,x) + j u{T,x)dr (6) o и в дальнейшем предполагается, что функции a.¡j и s¡j могут зависеть от //'(/.гт.е. содерлеать временную переменную. Такая модель соответствует реологии вязкоупругого материала, а интегралы в (6) называются интегралами "наследственного" типа [99, 100]. Другие задачи для вязкоупругих тел можно найти в [30, 45].

Для доказательства разрешимости задачи равновесия приводится формулировка в виде вариационного неравенства, доказано существование решения этого неравенства.и в пункте 4 второй главы с использованием полученных в первом пункте свойств решений u(t,x) обоснована эквивалентность вариационного неравенства краевой задаче.

Вариационное неравенство, выписанное в имеет вид т т xdt>j J f(v-u)dxdt, Vv G К, (7)

0 Пс ' 0 где К - множество допустимых перемещений, в его определение входит условие непроникания, закрепление по границе и выбор функционального пространства, в котором ищется решение.

Предполагается, что функция u{t,x) является суммируемой с квадратом на (0,Т) по переменной t. Поэтому определить след u(t°,x) на сечении цилиндра Qc при фиксированном t = вообще говоря, невозможно. Однако, результаты, полученные в пункте 2 второй главы показывают, что регулярность решения по временной переменной выше по сравнению с исходной: существует первая производная по t функции u(t,x). Это позволяет рассматривать задачу равновесия, т.е. вариационное неравенство (7), при фиксированном значении переменной t. Тогда в (7) молено избавиться от интегрирования по t. Однако, функции ffij зависят от ит, т.е. интегралы "наследственного" типа как в неравенстве, так и в полученных краевых условиях, сохранятся.

Далее, в пункте 3 выведена система краевых условий, выполняющихся на Гс х (0,Г). Она аналогична системе (5), но функции в этом случае зависят от uT(t,x). С помощью этих краевых условий и в предположении достаточной гладкости решений получена эквивалентная постановка задачи. Кроме того, исследована задача оптимального управления внешними нагрузками и исследована регулярность решений и(х) при условии нулевого раскрытия трещины в окрестности выбранной точки х° G Гс.

Третья глава посвящена изучению контактных задач для пластин с трещинами.

Первая задача поставлена для двух контактирующих вязкоупругих и

G К : [ J <Jij{u*)£ij(v-u)d пластин, одна из которых содержит трещину. Неизвестным в задаче является вектор перемещений точек срединной плоскостей пластин. Для пластины, имеющей трещину, вводится ограничение на ее берегах вида (1). По внешнему краю обе пластины жестко защемлены. Поскольку модель вязкоупругая, то задача рассматривается в цилиндре — х (О,Г), где 0,с = Г2 \ Гс. Ввиду воздействия внешних нагрузок пластины могут контактировать друг с другом, но область' контакта считается заранее не заданной. Для того, чтобы исключить проникание пластин друг в друга в (ЛС задается условие ш > и — 6 в где ги;и - прогиб верхней и нижней пластин соответственно, 6 > 0 -расстояние между пластинами в недеформированном состоянии.

Используя методы вариационных неравенств и монотонных операторов, доказывается разрешимость задачи равновесия. Также исследуется регулярность решения по переменной ¿, в частности, доказано существование производной первого порядка. Найден вид краевых условий на Гс х (0, Т). Кроме того, доказана теорема об оптимальном управлении и исследована регулярность решений по х.

Во второй части главы 3 исследована задача о контакте упругой пластины, имеющей трещину с жестким штампом. В качестве условий непроникания используется (2). Более того, на решение х = (И^ м) накладывается условие непроникания точек пластины и штампа, в котором участвует только прогиб пластины ик

Для поставленной задачи равновесия доказано существование реше-< ния и исследована регулярность решений. Показано, что для бесконечной дифференцируемости функции горизонтальных перемещений ]¥(х) достаточно бесконечной гладкости функции внешних нагрузок и нулевого раскрытия трещины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты. Наличие условий типа неравенств на части границы области приводит к постановке задачи равновесия в виде вариационного неравенства. Можно показать, что при определенной гладкости решений эта постановка эквивалентна краевой задаче, где условие непроникания является одним из граничных условий. При этом с помощью вариационного неравенства определяются и уравнения равновесия, и все краевые условия, и функциональные пространства, в которых ищется решение. Таким образом, свойства решений задач о равновесии можно получить, исследуя соответствующие вариационные неравенства.

1. Для задачи о равновесии упругого тела с трещиной задача ставится в виде вариационной задачи о минимизации функционала потенциальной энергии. Этот функционал обладает свойствами коэр-цитивности и слабой полунепрерывности. Поэтому решение задачи существует. Благодаря дифференцируемости функционала по Гато, ее можно переписать в виде вариационного неравенства. Из вариационного неравенства можно получить полную систему краевых условий, выполняющихся на берегах трещины. Краевая задача (уравнения равновесия вместе с выведенными краевыми условиями) в некотором смысле эквивалентна вариационному неравенству. Если раскрытие трещины равно нулю, то бесконечная дифференцируемость функций внешних нагрузок обеспечивает принадлежность решений задачи равновесия классу С°°.

2. Эквивалентную постановку задачи о равновесии вязкоупругого тела с трещиной не удается получить минимизацией какого-либо дифференцируемого функционала энергии. Здесь вводится вариационное неравенство специального вида и в дальнейшем доказывается его эквивалентность краевой задаче. Для постановки задачи в виде краевой необходимо вывести краевые условия на внутренней границе. Тогда в предположении дополнительной гладкости решений можно доказать эквивалентность двух постановок. При нулевом раскрытии трещины и бесконечной гладкости функции внешних нагрузок решение также бесконечно дифференцируемо.

3. Постановка задач о контакте двух пластин подразумевает задание двух видов условий непроникания: первое - для берегов трещины в одной из пластин и второе - непроникание между контактирующими пластинами. Оба этих условия имеют вид неравенств. В случае, когда обе пластины вязкоупругие, задача равновесия также может быть поставлена в виде вариационного неравенства. Она однозначно разрешима. Решение х) имеет производную по Таким образом, рассматривая задачу в некотором цилиндре, можно исследовать свойства вариационного неравенства на каждом сечении. В частности, краевые условия, выведенные на сечении внутренней границы, выполняются на всей Гс х (0,Т). В этой главе показано, что если в некоторой точке отсутствует контакт между пластинами, то в некоторой окрестности этой точки выполняются уравнения равновесия и краевые условия, а задача в виде вариационного неравенства эквивалентна краевой.

Рассматривая задачу для упругой пластины с трещиной, можно ставить задачу в виде задачи о минимизации функционала энергии. Для пластины, контактирующей со штампом, вводится дополнительное условие непроникания между пластиной и штампом. В этом условии участвуют только функция т, задающая прогиб пластины и функция, определяющая форму штампа. Функционал энергии пластины обладает свойством дифференцируемости, поэтому задача на минимум функционала эквивалентна решению вариационного неравенства. Это вариационное неравенство однозначно разрешимо.

Предположим, что в некоторой точке Е Гс раскрытие трещины нулевое: ту] = и = о.

Тогда в обеих задачах из условия бесконечной гладкости в О функций внешних нагрузок следует включение IV Е С°°(0), т.е. наличие трещины в этой точке не влияет на регулярность функции горизонтальных перемещений. Однако в случае второй контактной задачи гладкость т не удается повысить ни при каких условиях на функции внешних нагрузок. В то же время в первой задаче доказывается включение ги Е при бесконечно дифференцируемой функции нагрузок и отсутствии контакта между пластинами в точке х°.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.:Изд-во иностранной литературы, 1962.- 205с.

2. Алдошина И.А., Назаров С.А. Асимптотически точные условия сопряжения на стыке пластин с сильно различающимися характеристиками // ПММ. 1998. т.62. вып.2. с.272-282.

3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978. 462с.

4. Александров С.Е., Гольдштейн Р.В. О разрушении упругого цилиндра вследствие возникновения трещины конечной площади // Известия РАН. МТТ. 1998. N3. с. 189-196.

5. Алхутов Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Математический сборник. 1998. т.189. N1. с. 3-20.

6. Алхутов Ю.А., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области // Дифференциальные уравнения. 1992. т.28. N5. с.806-818.

7. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наукова думка, 1982. 345с.

8. Анциферов B.C., Желтов Ю.П. О деформации упругого полупространства с тонкой щелью при смешанных условиях на ее границе // ПММ. 1990. т.54. N6. с.1031-1035.

9. Архипова A.A. О гладкости решения одной системы вариационных неравенств // Вестник ЛГУ. 1982. N7. с.48-52.

10. Архипова A.A. О предельной гладкости решения задачи с двусторонним препятствием // Вестник ЛГУ. 1984. N7. с.5-9.

11. Архипова A.A. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы математического анализа. Л.:Издательство ЛГУ. - 1983. вып.9. с.149-156.

12. Архипова A.A. О регулярности решения задачи с препятствием, выходящим на границу для сильно эллиптических операторов // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1988. с.З-20.

13. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988. 448с.

14. Баничук Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра // МТТ. N2. 1970. с.130.

15. Баничук Н.В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины, стесненной ограничениями // Инженерный журнал. МТТ. 1967. N4. с.

16. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448с.

17. Бережницкий J1.T., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка, 1979. -331с.

18. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова думка, 1983. 288с.

19. Бородачев А.Н. Об одном методе построения весовых функций для круговой трещины // ПММ. 1990. т.54. N6. с.1022-1030.

20. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа, 1980. 360с.

21. Бураго Ю., Мазья В.Г. Некоторые вопросы теории потенциала и теории функций для областей с нерегулярными границами. JL: Наука, 1967. с.

22. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 416с.

23. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542с.

24. Вержбинский Г.М.,Мазья В.Г. О замыкании в Ьр оператора задачи Дирихле в области с коническими точками // Известия ВУЗов. Сер.математическая. 1974. т.145. N6. с.8-19.

25. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432с.

26. Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. 392с.

27. Гадылыпин Р.П., Ильин A.M. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью // Математический сборник. 1998. т.189. N4. с.25-48.

28. Галин Л.А.,Фридман , Черепанов Г.П., Морозов Е.М., Партон В.З. Об условии в конце трещины // ДАН СССР. 1969. т.187. N4. с.754-757.

29. Галин J1.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. М.: Наука, 1980. 303с.

30. Главачек И.,Гаслингер Я.,Нечас И.,Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. 270с.

31. Гловински Р.,Лионе Ж.-Л.,Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 574с.

32. Гольдштейн Р.В.,Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 223с.

33. Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле // Известия РАН. МТТ. 1970. N3. с.69-82.

34. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. 296с.

35. Гузь А.П. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Вища школа, 1986. 512с.

36. Гузь А.Н. Точное решение плоской задачи о разрушении материала при сжатии вдоль трещин, лежащих в одной плоскости // ДАН СССР. 1990. т.310. N3. с.563-566.

37. Дудучава Р.В. Краевые задачи математической теории трещин // Труды, ин-та прикл. мат-ки. Тбилисский гос.университет. 1990. N39. с.68-84.

38. Дудучава Р.В., Натрошвили . О непрерывности обобщенных решений краевых задач математической теории трещин // Сообщ. АН ГССР. 1989. т.135. N3. с.497-500.

39. Дюво Г.,Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384с.

40. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А.,Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Математический сборник. 1998. т.189. N3. с.45-68.

41. Зазашвили Ш.П. Жесткий штамп, прижатый к обводу кругового отверстия анизотропной плоскости // Труды ин-та прикл.мат-ки. Тбилисский гос.университет. 1990. N39. с.

42. Иваньшин H.A., Широкова Е.А. Решение задачи теории упругости для плоскости с двоякосимметричным вырезом, имеющим два нулевых угла // ПММ. 1995. т.59. вып.З. с.524-528.

43. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения II порядка в области с узкой щелью.1.Двумерный случай // Математический сборник. 1976. т.99. N4. с.514-537.

44. Каминский A.A. Механика разрушения вязкоупругих тел. Киев: Наукова думка, 1980. 160с.

45. Карпов Г.Н., Курносов Н.В., Партон В.З. О применении метода потенциала к двумерным задачам упругого равновесия области с нерегулярной границей // Проблемы прочности. 1982. N7. с.3-5.

46. Картвелишвили В.М. Численное решение двух контактных задач для упругих пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. N6.C.68-72

47. Киндерлерер Д.,Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256с.

48. Ковтуненко В.А. Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафов // Журнал выч.математики и мат.физики. 1993. т.ЗЗ. N9. с.1409-1415.

49. Ковтуненко В.А. Метод численного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием // ПМТФ. 1994. т.35. N5. с.142-146.

50. Ковтуненко В.А. Решение задачи о балке с разрезом // ПМТФ. 1996. т.37. N4. с.160.

51. Ковтуненко В.А. Сходимость решений вариационных неравенств в задаче контакта пластины с негладким штампом // Дифференциальные уравнения. 1994. т.30. N3. с.488-492.

52. Ковтуненко В.А. Численное решение задачи о контакте упруго-пластической балки для модели Тимошенко // МТТ. 1996. N5. с.79-84.

53. Колтон Л.Г.,Назаров С.А. Вариация формы ребра плоской локально неравновесной трещины нормального отрыва // Изв. РАН. МТТ. 1997. N3. с.125-133.

54. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / / Труды Московского математического общества. 1967. т. 16. с.209-292.

55. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра // Дифференциальные уравнения. 1970. т.6. с.1831-1843.

56. Кондратьев В.А.,Копачек И.,Олейник O.A. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений II порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1982. вып.8. с.135-152.

57. Кондратьев В.А.,Копачек И.,Олейник O.A. О характере непрерывности на границе негладкой области обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Математический сборник. 1990. т.181. N4. с.564-575.

58. Кондратьев В.А.,Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. 1988. т.43. N5. с.55-98.

59. Кондратьев В.А.,Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. 1983. т.38. N2. с.3-77.

60. Кондратьев В.А.,Олейник O.A. О зависимости констант в неравенстве Корна от параметра, характеризующего геометрию области // УМН. 1989. т.44. N6. с.157-158.

61. Кондратьев В.А.,Олейник O.A. О неравенствах Харди и Корна для некоторого класса неограниченных областей и их приложениях в теории упругости // ДАН СССР. 1990. т.312. N6. с.1299-1303.

62. Корзан Я.А. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларуси. Сер.ф1з.-мат.наук. 1997. N1. т.141. с.61-67.

63. Кошелев А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986. 238с.

64. Кравчук A.C. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // ДАН СССР. 1976. т.230. N2.

65. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. 472с.

66. Ладыженская О.А.,Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 538с.

67. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. -408с.

68. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587с.

69. Ложкин В.Н. Предельное равновесие плоскости с круговым вырезом // Укр.мат.журнал. 1993. т.45. N7. с.980-981.

70. Мазурак Л.П.,Бережницкий Л.Т. Изгиб трансверсально изотропных пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка. 1990. 245с.

71. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решений задачи Дирихле для бигармонического оператора // ДАН СССР. 1977. т.235. N6. с.1263-1266.

72. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1985. 415с.

73. Мазья В.Г.,Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек // Труды московского математического общества. 1987. N50. с.79-129.

74. Мазья В.Г.,Пламеневский Б.А. Lp-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Труды московского математического общества. 1978. т.37. с.49-93.

75. Мазья В.Г.,Соловьев A.A. Об интегральном уравнении задачи Дирихле в плоской области с остриями на границе / / Математический сборник. 1989. т.180. N9. с.1211-1233.

76. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424с.

77. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512с.

78. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. 254с.

79. Морозов Е.М.,Сапунов В.Т. Применение вариационного принципа к решению задач теории трещин в упруговязких средах // Прикладная механика. 1972. т.8. N6. с.33-38.

80. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255с.

81. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

82. Назаров С.А. Асимптотика решения краевой задачи в тонком цилиндре с негладкой боковой поверхностью // Изв. РАН.Сер. математика. 1993. т.57. N1. с.202-239.

83. Назаров С.А. Весовые неравенства Корна на параболоидальных областях // Математические заметки. 1997. т.62. вып.5. с.751-765.

84. Назаров С.А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения трещины отрыва // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. т.24. N2. с.152-160.

85. Назаров С.А. Задача Синьорини с трением для тонких упругих тел // Труды московского математического общества. 1995. N56. с.262-302.

86. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел.Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // ПММ. 1998. т.62. вып.З. с.489-502.

87. Назаров С.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. 336с.

88. Назаров С.А. Эллиптические задачи с условиями излучения на ребрах границы // Математический сборник. 1992. т.183. N10. с.13-44.

89. Олейник О.А.,Тронель Ж.,Чиоранеску Д. О неравенствах Корна для структур типа решеток и соединений с точными оценками для постоянных // УМН. 1994. т.49. N4. с. 139.

90. Пальцев Б.В. О смешанной задаче с неоднородными граничными условиями для эллиптических с параметром уравнений второго порядка в липшицевых областях // Математический сборник. 1996. т.187. N4. с.59-116.

91. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989. 492с.

92. Панасюк В.В.,Андрейкив А.Е.,Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1988. 487с.

93. Панасюк В.В.,Андрейкив А.Е.,Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико химическая механика материалов. 1979. N4. с.39-55. N5. с.45-65. N6. с.17-26.

94. Панасюк В.В.,Саврук М.П.,Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещины в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 445с.

95. Панасюк В.В.,Стадник М.М.,Силованюк В.П. Концентрация напряжений в трехмерных телах с тонкими включениями. Киев: Наукова думка, 1986. 214с.

96. Партон В.З.,Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 239с.

97. Партон В.3.,Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 502с.

98. Партон В.З.,Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312с.

99. Партон В.3.,Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688с.

100. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ИЛ., 1963. -311с.

101. Проблемы современной механики разрушения. Л.: Издательство ЛГУ, 1990. 202с.

102. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение. Т.П. М.: Мир, 1975. 764с.

103. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 589с.

104. Ройтберг Б.Я.,Ройтберг Я.А. Эллиптические граничные задачи в негладких областях в полных шкалах банаховых пространств // ДАН. 1996. т.346. N4. с.448-451.

105. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 324с.

106. Сильвестров B.B. Краевые задачи теории упругости для плоскости со счетным множеством разрезов // Известия ВУЗов. Математика. 1992. N4. с.61-69.

107. Трехмерные задачи математической упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 664с.

108. Успенский С.В.,Демиденко Г.В.,Перепелкин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука. Сиб.отд., 1984. 223с.

109. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.; Л., 1963. 368с.

110. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159с.

111. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 535с.

112. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. -364с.

113. Хлуднев A.M. Задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сибирский математический журнал. 1996. т.37. N2. с.452-463.

114. Хлуднев A.M. Контактная задача для пологой оболочки с трещиной // ПММ. 1995. т.59. вып.2. с.318-326.

115. Хлуднев A.M. Об экстремальных формах разрезов в пластине // Изв. РАН. МТТ. 1992. N1. с.170-176.

116. Хлуднев A.M. О контакте двух пластин, одна из которых содержит трещину // ПММ. 1997. т.61. вып.5. с.882-894.

117. Хлуднев A.M. Экстремальные формы разрезов в пластине, контактирующей с жестким штампом // Краевые задачи для неклассических уравнений мат.физики. Новосибирск, 1989. с.60-67.

118. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296с.

119. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. 1967. т.31. N3. с.476-488

120. Черепанов Г.П.,Ершов J1.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224с.

121. Черноусько Ф.Л.,Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и у правления. Численные методы. М.: Наука, 1973. 238с.

122. Шемякин Е.И. О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми точками (плоская деформация) // ДАН. 1996. т.347. N3. с.342-345.

123. Экланд И.,Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399с.

124. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232с.

125. Barbu V. Optimal control of variational inequalities. Boston: Pitman, 1984.

126. Boieri P.,Gastaldi F.,Kinderlehrer D. Existence,uniqueness, and regularity results for the two-body contact problem // Applied mathematicals and optimization. 1987. v.15. N3. p.251-277.

127. Brezis H.,Kinderlehrer D. The smoothness of solutions to nonlinear variational inequalities // Indiana Univ.Math.J. 1974. v.23. p.831-844.

128. Brown R. The mixed problem for Laplace's equation in a class of Lipschitz domains // Communications in partial differential equations. 1994. v.19. N7-8. p.1217-1233.

129. Cotterell В.,Rice J.R. Slightly curved or kinked cracks // Int.J.Fracture. 1980. N16. p.155-169.

130. Duduchava R.,Wendland W. The Winer-Hopf method for systems of pseudodifferential equations with application to crack problem // Integral.Equation.Oper. 23. 1995. p.295-334.

131. Frehse J. On the regularity of the solution of a second order variational inequality // Boll.Unione Mat.Ital. 1972. v.6. N4. p.312-315.

132. Grisvard P. Elliptic problems in non-smooth domains. Pitman. Boston. 1985.

133. Jensen R. Boundary regularity for variational inequalities // Indiana Univ.Math. 1980. v.29. p.495-504.

134. Khludnev A.M. Contact problem for a plate having a crack of minimal opening // Control and Cybernetics. 1996. v.25. N3. p.605-620.

135. Khludnev A.M. Existence of extreme unilateral cracks in a plate // Control and Cybernetics. 1994. v.23. N3. p.453-460.

136. Khludnev A.M. On contact problem for a plate having a crack // Control and Cybernetics. 1995. v.24. N3. p.349-361.

137. Khludnev A.M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. 1996. v.25. N5. p.1015-1029.

138. Khludnev A.M.,Sokolowsky J. Modelling and Control in Solid Mechanics. Birkhauser. Basel,Boston,Berlin. 1997. 382p.

139. Kovtunenko V. Iterative approximations of penalty operators // Numerical.Funct.Anal.Optimization. 1997. v. 18. N3-4. p. 383-387.

140. Kovtunenko V. Iterative penalty method for plate with a crack // Adv.Math.Sci.Appl. 1997. v.7. N2. p.667-674.

141. Lewy H.,Stampacchia G. On the regularity of the solution of variational inequality // Communications Pure and Applied Math. 1969. v.22. p.153-188.

142. Lewy H.,Stampacchia G. On the smoothness of superharmonics which solve a minimum problem // J.Anal.Math. 1970. v.23. p.224-236.

143. Lewy H.,Stampacchia G. On existence and smoothness of solutions of some noncoercive variational inequality // Arch.Ration.Mech.Anal. 1971. v.41. p.241-253.

144. Mosco U.,Troianiello G.M. On the smoothness of solutions of unilateral Dirichlet problems // Boll.U.Mat.Ital. 1973. v.4. N8. p.57-67.

145. Necas J. On regularity of solutions to nonlinear variational inequalities for second-order elliptic systems // Rend.Math. 1975. v.6. N8. p.481-498.

146. Necas J.,Hlavacek I. Mathematical theory of elastic and elasto-plastic bodies. An introduction. Elsevier. Amsterdam-Oxford-NY, 1981.

147. Ohtsuka K. Mathematical analysis of three-dimensional fracture phenomenon by Griffith's energy balance theory under increasing loads // Theoretical and Applied Mechanics. 1996. v.45. p.99-103.

148. Ohtsuka K. Mathematics of Brittle Fracture. In: Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan. Hiroshima, 1998. p.99-172.

149. Huber H.,Nickel J.,Kuhn G. On the decomposition of the J-integral for the three-dimensional crack problems // Int.J.Fracture. 1993. v.64. p.339-348.

150. Попова T.C. Контактная задача для пластины с трещиной. Материалы XXXIV международной научной студ. конференции "Студент и НТП". Новосибирск, 1996, с.70-71.

151. Попова Т.С. О регулярности решения задачи равновесия для пластины с трещиной. // Математические заметки ЯГУ. 1996. т.З. вып.2. с.124-132.

152. Попова Т.С. Задача о равновесии линейного упругого тела с трещиной. II международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск, 1997. с.48.

153. Попова Т.С. Задача о равновесии трехмерного тела с трещиной при условии ползучести. Сибирская школа-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред". Тезисы докладов. Новосибирск, 1997. с.111.

154. Popova T.S. The Equilibrium Problem for a Linear Elastic Body with a Crack. // Математические заметки ЯГУ. 1998. т.5. вып.1. с.113-127.

155. Popova T.S. The Equilibrium Problem for a Linear Viscoelastic Body with a Crack.// Математические заметки ЯГУ. 1998. т.5. вып.2. с.118-134.