Теоремы единственности решений краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р V Б Ой

, , V

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.В.ЛОМОНОСОВА

Механико - математический факультет

На правах рукописи УЖ 517.95

МАТЕВОСЯН ОВИК АМАЯКОЕИЧ

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета- ж. И.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев . Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Л.Р.Волевич,

кандидат фкзико-катеьтатических наук, доцент А.А.Коньков Ведущая организация - Институт проблегл геханики РАН

Защита•диссертации состоится Й-&- 1994г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Л.053.05.04 при Московском государственной университете

В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы,. Г.ТУ, кеханико-глатегатический вакультет, аудитория 16-24.

С диссертацией гетто ознакомиться в библиотеке кеханшео-глтзматического факультета МГУ (-Главное здание, 14 эта«) .

Автореферат разослан " кЛА-Скл^С-- 1994г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05,04 при МГУ, доктор йпзико-матеыатических

наук, профессор - - Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Одним из основных вопросов, изучаемых в математической теории упругости, являются вопросы существования, единственности и устойчивости решений краевых задач. Одной из первых работ, положивших начало систематическому изучению этих проблем, была классическая работа Фредгольма Cl 3 , в которой первая краевая задача для линейной системы теории упругости в случае однородных изотропных тел изучалась методом интегральных уравнений.

Вторую краевую задачу для системы теории упругости исследовал Корн £23 . В этой работе применяются интегральные уравнения и в первый раз .появляются неравенства, которые сейчас известны под названием неравенства Корна. Вслед за работой Корна появилось много работ, в которых доказывались различные модификации неравенств Корна и предлагались их приложения к ис-

\

следованию различных вопросов теории упругости. В связи с этим 'отметим работу.К.Фридрихса [3] , в которой автором доказаны неравенства Корна и вариационным методом исследованы первая и вторая краевые задачи теории упругости. Отметим также работу

С il. ^ce^CAcôru J~. ^o&otù&vu d}UM> pwßßz+n.

4o ^clot^^^rtcbi- oU- Ыьсо^ис cV éùistCcUtt. Jvk. Mai. Jshtv^. , 2. Л S (d9P€). 12]. Коъп- J. ^otu-tCQ i'V (bZAnJ&bCt'iß' pitfff'ßzvnc

(Jue^iiiilC d<Mbi ^¿v 'Iwv^c cl'eûuti. c-tée' cia^ ùi, с&л où e-ffovû S-Q+vir d&wezs à-^tw/cw. ЛЫА.. Sfac. Sei, llwiv. ÎO(d90S),

Frieclricß.s И.О. üv ¿Ле, ^çuMofaty vaPut- f>td~ of Ил, ïiioty e>/ еРалЬсиЬу olv\cI Horums, iwLfyMtMiy' Л**"' JUaiL, Ab (¿44?).

Г.Фикеры [4j , в которой с использованием неравенств Корна и функциональных методов изучаются различные краевые задачи для системы теории упругости. Новым этапом в исследовании краевых задач для системы теории упругости, в частности, в изучении вопросов единственности, устойчивости и существования решений в неограниченных областях, являются работы В.А.Кондратьева и O.A.Олейник [б] - [вЗ. В этих работах для широкого класса неограниченных областей устаноЕленн неравенства Корна и Харди, я с их помощью исследованы краевые задачи для системы теории уп~ [4J. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости.-М.: Пир, 1974.

[öj. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна.// УМН.-1988.Т.43, f5.-С.55-98. [б]. Кондратьев В.А., Олейник O.A. О неравенствах Корна и единственности решений классических краевых задач в неограниченных областях для системы теории упругости.// Современные проблемы математической физики.-1987.-ТД.-Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та.-С.35-63.

И. ItobJraUev VA,0<foö*+k O.J. T&ircty's

Cb^ot Kor-hS*. type. L-n^^cc^^ii^ сил et i&iör-afi/bü СЛ ilOHA.// kesu?U OpHsti de Jlla-ie-mti£iceb,}

s&rce, VJf) V 10, Romtv. ¿990,-& Ш-S<SG. L&3. K-Dudraltev V'JО&шь 0.j\. 0 Wr /С£>лиЛ aAl ,//С, R" /Icftci. Sei. Фа V. зс>&ъ

S&riz T (i9$9), P. 4&3-4S7.

ругости.

Известно, что изучение краевых задач в неограниченных областях требует того или иного "условия на бесконечности". Таким условием в настоящей работе является ограниченность интеграла энергии с весом:

< оо

Б работах , изучены вопросы единственности обобщенных решений краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областях, в случае, когда (Х- - О . В диссертации получены разные теоремы единственности решений краевых задач в зависимости от значения Ееса "Q,". Доказательства теорем единственности основаны на неравенствах Корка и. Харди для неограниченных областей, которые доказаны в работах [5j - . В работе изучены такие вопросы единственности обобщенного- решения- задачи Дирихле для бигармонического уравнения в неограниченных областях. В случае, когда CL - О , эти вопросы подробно изучены в работе A.A. Конькова .

Цель работы. Исследование вопросов существования и единственности обобщенных решений краевых задач для системы теории упругости и бигармонического уравнения в неограниченных областях с конечным интегралом энергии с весом.

[9]. Коньков A.A. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных областях.// Мат. сборник.-1993. Т.184, $12.-С.23-52.

Научная новизна. В диссертации получены точные формулы для определения размерности пространства решений основных краевых задач для системы теория упругости и бигармонического уравнения с конечным интегралом энергии с весом во внешности компакта и в полупространстве.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методы исследования. В диссертации используются функциональные и вариационные методы исследования краевых задач, а такке методы теории пространств С Д.Соболева.

Приложения. Результаты диссертации являются продвижением в области теории краевых задач для эллиптических систем в неограниченных областях. Они могут найти применение в математической теории упругости и в задачах механики.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ по уравнениям с частными производными под руководством академик РАН, проф. О.А.Олейник, под руководством проф. Б.А.Кондратьева и проф. Е.М.Ландиса, а также на Международной конференции им. И.Г.Петровского в 1994г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, ДЕух глав, разбитых на 4 параграфов, и списка литературы, содер жащег© 25 наименований. Общий объем диссертации 95 стр.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность работы, проводится обзор ранее полученных результатов по этой теме, дается их краткий анализ, формулируется основные результаты диссертации.

В диссертации исследуется существование и единственность обобщенных решений краевых задач для система теории упругости и Ангармонического уравнения в неограниченных областях, обладающих конечным интегралом энергии с весом, вычисляется размерность ядра оператора.

В главе 1 рассматривается система теории упругости

в области Х2с ОСЫ?,2) , Х =

Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до Ц.. Предполагается, что коэффициенты постоянные, и выполнены условия:

(з) акк~ = ,

где ^ - любая симметрическая матрица ] ^ ^ ^ ~ J ^

2- 1>к. ^а - положительные постоянные. Для системы(2) рассматриваются следующие граничные условия:

(7) и\ ) - о,

IГ:I 1П

где

$ - (У,, ~ единичный вектор внешней нормали к

Вводится понятие обобщенного решения краевых задач для системы (2_) с граничными условиями (б) , (б) , (7^ .соответственно;

Изучается вопросы единственности обобщенных решений краевых задач, для которых выполняется условие (1) .

Обозначим через ¡^1^(1)- пространство обобщенных решений краевых задач для системы (2) с граничными условиями {б), (б), и (7), соответственно, для которых выполнено условие , а через ()\лио-

над)

размерность этого пространства.

§ 1 главы 1 посвящена исследованию основных краевых задач для системы теории упругости в неограниченной области ,

/ЯЛ\ От с границей , где От - ограни-

ченная односвкзная область ^или объединение конечного числа таких областей]) в Ц^Л

Е частности, для внешней задачи Дирихле (_ смешанной задачи) доказаны:

ТЕОРЕМА. 1. Если 0,<У1~1) , то

О*

ТЕОРЕМА 2. Если Ц-2^ (X < У1 , то

си^ЪЛ-а, (¿, ) = .

ТЕ0РЕ1;1А 3. Если VI £ СЬ < } П-, то с1ипьИеъа(1.)=: О.

ТЕОРЕМА 4. Задача Дирихле^,смешанная задача) для системы (2^ с граничным условием (б) (соответственно С7))11 с условием (_1) имеет КСг, к) линеино независимых решении при

где , //-рИ,-! л \

КСг, и-)' ^ [ С-ъм-! +) >

причем 'Х О, К (С, И-) = ^ ) С - число сочетаний от по $ у С- <9 > если Б

Для внешней задачи Неймана доказаны:

ТЕОРЕМА 5. Если — П- * схО ? И- 7> 2 , то

ТЕОРЕМ 6. Задача Неймана для системы (2} с граничным условием^) и с условием (Ч) имеет КС^/И,) линейно независимых решений при -«2г- и. < сг <-л1*-Л, и.т'/Х где КС^и-)определено выше.

§ 2 главы 1 посвящена исследованию задач Дирихле и Неймана для системы линейной теории упругости в полупространстве, т.е.

В частности, для задачи Дирихле в полупространстве доказаны:

ТЕОРЕМА 7. Если ^ СЬ ^ , то

с1СтКМ-л Ш = (9.

ТЕОРЕМА 8. Задача Дирихле для системы С2) с граничным условием <%(у) I - 0 и с условием £1) имеет )<(Т, и,) линейно 'ХК=1

независимых решений при — -3-%— ,

где ,,, V . г /^И-1 \

о

причем К С0) И,) ~ О ) С х. - число сочетают

от 1 по б С\ — О • если 5 />Ъ ,

Для задачи Неймана в полупространстве доказаны: ТЕОРЕМА 9. Если , то

"-(»'О .

ТЕОРЕМА 10. Задача Неймана для системы (2) 0 граничным условием = (? и с условием имеет К (1, и-) линейно /Х к-!

независимых решений при —¿Ъ—^-а^ 2.1 —и.-сЛ> К?,.с т.е.

ск^НЫл (О-

^ -

причем 17 О, ]<-(0, Иг) - И- С ^ _ число сочетаний от ^ по 5 ; С^ ' ^ • если $? 1- »

Глава 2 диссертации посвящена, в основном, задаче Дирихле и соответствующим числам линейно независимых решений .бигармо—. нического уравнения.

§ 3 главы 2 посвящена исследованию задачи Дирихле для би-гардтонического уравнения б неограниченной области С//^1^ - ^ \ 0- с границей ^(П £ С ^ , где Сг -ограниченная односвязная область в ( VI ?■/ 2.) ,

В § 4 главы 2 исследуется задача Дирихле для битарионического уравнения в полупространстве, т.е. в ~ { * '•

Здесь так-се исследуется единственность обобщенного решения задачи Дирихле для бигарконического уравнения, вычисляется размерность ядра оператора в зависимости от значения веса

В заключении автор Еыражает глубокую благодарность своему научному руководители, доктору физико-математических наук, профессору В.А.Кондратьеву за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Матевосян O.A. О единственности решения первой краевой задачи теории упругости для неограниченных областей// УМН. -

1993. Т.48, т.-С. 159-160.

2. Матевосян O.A. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для системы теории упругости в неограниченных областях. // Рукопись деп. ВИНИТИ РАН 29.10.93, М185-В94, 34с.

3. Матевосян O.A. О единственности решения второй краевой задачи системы теории упрутостн для неограниченных областей. // Вестник МГУ,сер. 1, мат .мех., 1994. М.

4. Матевосян O.A. О единственности решения смешанной задачи системы теории упругости в неограниченных областях.// УМН.-

1994. Т.49, й4.

5. Матевосян O.A. О единственности решений краевых задач для системы теории упругости в полупространстве.// УМН.-1994. Т.49, J&5.