Обобщенные решения модели Маргерра-Власова при шарнирном закреплении края оболочки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Колпакова Евгения Владимировна

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА ПРИ ШАРНИРНОМ ЗАКРЕПЛЕНИИ КРАЯ ОБОЛОЧКИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону

2010 1 О ИЮН 2010

004603804

Диссертационная работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Седенко Василий Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 15 июня 2010 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д. 212.208.29 в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « » мая 2010 г.

доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович

Ученый секретарь диссертационного совета Д. 212. 208.29

В .Д. Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Цели и задачи исследования. Целью данной работы является исследование вопросов разрешимости начально-краевой задачи модели Мар-герра-Власова для оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки на любом промежутке времени, формирование условий существования и единственности обобщенных решений модели, анализ единственности при некоторых модификациях исходной начально-краевой задачи.

Актуальность. Рассматриваемые в работе модели предложены К. Маргерром и В.З. Власовым. В своих основополагающих работах И.И. Ворович дал определение обобщенного решения начально-краевой задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек при жестком закреплении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Определение обобщенного решения эволюционной модели механики сплошной среды И.И. Ворович предложил первым сразу после Э. Хопфа (1951) и доказал теорему существования этих решений на произвольном отрезке времени в рамках абстрактной схемы на базе метода Бубнова-Галеркина для нелинейных волновых процессов общего характера. Теорема же единственности обобщенных решений в рассматриваемой ситуации, доказанная И.И. Воровичем (1957), носит условный характер, поскольку требует от обобщенных решений большей гладкости, чем предоставляет теорема существования обобщенных решений. Теорема единственности, использующая дифференциальные свойства решений, определенные в теореме существования, была доказана позже В.И. Седенко (1991) с помощью предложенного им метода использования операторов сглаживания для компенсации недостаточной гладкости обобщенных решений. В дальнейшем этот метод (или его несущественные вариации) был использован для доказательства теорем единственности обобщенных решений, глобальных по времени, для некоторых моделей механики сплошной среды. Прежде всего отметим здесь теорему единственности обобщенных решений уравнений фон Кармана, доказанную Э. Монвелом и И.Д. Чуешовым (1998), теорема существования для которых была доказана намного раньше в работах Н.Ф. Морозова (1967). Далее, в работах О.В. Ладыженской (1997) была изложена теорема единственности обобщенных решений двумерных задач динамики водных полимеров, теорема существования которых при-

ведена в статьях А.П. Осколкова (1994), Метод В.И. Седенко использовали И. Ласиеска (1998) при доказательстве единственности обобщенных решений для уравнений фон Кармана с нелинейными краевыми условиями, Дж. Кегнол, К. Либедзик и Р. Марченд (2006) - для доказательства единственности обобщенных решений модели Койтера колебаний оболочек.

В настоящей работе впервые получили обоснования в смысле разрешимости в целом по времени существование и единственность обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Теоремы единственности обобщенных решений доказываются с помощью некоторого развития описанного выше метода использования свойств операторов сглаживания.

Разрешимость начально-краевой задачи модели на любом промежутке времени в значительной мере определяет возможность использования модели для численного анализа и прикладных расчетов. Таким образом, актуальным аспектом является возможность применения полученных результатов в некоторых разделах математики, прикладной математики и механики.

Методы исследования. В диссертационном исследовании используются методы математического и функционального анализа, метод Бубнова-Галеркина, стандартная техника оценок норм функций с помощью теорем вложения Соболева и Гальярдо-Ниренберга, оригинальная техника использования операторов сглаживания, предложенная В.И. Седенко.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. В рамках реализации схемы, предложенной И.И. Воровичем, введены гильбертовы функциональные пространства Н1(С1,/л) и описаны их свойства.

2. На основе метода Бубнова-Галеркина доказаны теоремы существования глобальных по времени обобщенных решений начально-краевой задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек, проектирующихся на ограниченную область, при шарнирном закреплении края оболочки.

3. Установлены равномерные оценки приближений Бубнова-Галеркина.

Исследованы дифференциальные свойства приближений.

4. Установлены дифференциальные свойства обобщенных решений модели. Получены глобальные по времени оценки обобщенных решений.

5. Доказаны теоремы единственности обобщенных решений данной модели в условиях теорем существования.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые методы могут применяться в научных и прикладных исследованиях в теории упругости, численном анализе, при решении задач механики, математической физики.

Полученные результаты могут быть использованы научными коллективами Южного федерального университета, Воронежского государственного университета, Кубанского государственного университета, а также другими научными коллективами, ведущими исследования в теории дифференциальных уравнений в частных производных и других областях науки, примыкающих к основным направлениям диссертации.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены соискателем.

Апробация работы. Диссертационная работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук.

Отдельные части диссертации докладывались на следующих конференциях: на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1998 и 2008), Международном российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2004), на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2009), научно-практической конференции «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания» (Ростов-на-Дону, 2007 и 2008), межгосударственной научно-практической конференции «Проблемы проектирования и управления экономическими системами: инвестиционный проект» (Ростов-на-Дону, 1998), 17-ой международной конференции «Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии-2009» (Новороссийск, 2009), Всероссий-

ской научно-технической конференции "Инновации и актуальные проблемы техники и технологий" (Саратов, 2009).

Результаты диссертации также докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, кафедры геометрии и методики преподавания математики Педагогического института Южного федерального университета, кафедры фундаментальной и прикладной математики Ростовского государственного экономического университета «РИНХ», на семинарах кафедры общей математики Кубанского государственного технологического университета и кафедры общеинженерных дисциплин Новороссийского политехнического института.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [116]. В работах [1-3], [5-11], [14] В.И. Седенко принадлежат постановка задачи и выбор методов, автору - их реализация. В статье [1] С.А. Батыговой принадлежат лемма 4 и 5, теорема 1; в работе [2] С.А. Батыговой принадлежат леммы б и 7, в работе [8] - лемма 4, в работе [9] -лемма 1. В работе [3] Д.Б. Давтян принадлежит теорема 1.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 16 параграфов, приложения, заключения и библиографического списка из 58 наименований, включающего в себя список использованных источников и работ соискателя. Объем диссертационной работы составляет 146 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, дана краткая предыстория вопроса корректности нелинейных моделей теории колебаний пологих оболочек. Отмечено, что основное развитие теории разрешимости в целом по времени начально-краевых задач для моделей фон Кармана и Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края оболочки осуществляется под руководством профессора В.И. Седенко.

Первая глава посвящена построению приближений Бубнова-Галеркина. Первые два параграфа содержат информацию об используемом далее традиционном инструментарии. Так, в §1 приведена информация о стандартных

функциональных пространствах. В §2 изложены классические результаты и оценки (классические неравенства, неравенства теорем вложения и коэрци-тивности). В третьем параграфе изложена следующая начально-краевая задача, работа над которой ведется в диссертации. Пусть оболочка проектируется на плоскую ограниченную область с границей Ге С1. Рассмотрим систему уравнений с краевыми и начальными условиями

рк м>и - /Ам>„ + 1)Д2м> + ЗА2\у, = 2 + + (л^и^ ) +

N. = Ек{\-ц2У{ех +Ие2), Ы2 = Ек{\~ р2)'\е2 1 2

- Лу - {г^Л = ТГ^^^х, + + +

\ + ца _ 2

1-М "1 \+р1 +■ "'»л1"*. ]+ + + У >

~ ИХ ~

т=и|г=^г=0»

__ Лг2 ' " / и(л-,0) = >у0(х), и;(х,0) = м',(х), хе Г2, где IV - поперечные перемещения точек срединной поверхности оболочки, и и V - продольные перемещения, в - их< + г^ , п - вектор внешней нормали к кривой Г, х - кривизна Г, р — массовая плотность оболочки, к - толщина оболочки, П - изгибная жесткость оболочки, ¡л - коэффициент Пуассона. Величина при 5 > О описывает внутреннее трение в оболочке, У&Щ, при у > О - инерцию поворота оболочки. N2, Л^п - продольные усилия в оболочке, еи е2, £и - характеристики деформации срединной поверхности оболочки, к\, к-2 - кривизны оболочки, X, У, 2 - составляющие внешних сил, действующих на оболочку. В уравнениях начально-краевой

задачи учтено предположении о малой инерции продольных перемещений точек срединной поверхности оболочки.

В §4 в рамках реализации начального этапа абстрактной схемы, предложенной И.И. Воровичем, вводится функциональное пространство

#2(0,//), как пополнение множества всех функций м> из С3(о) с ограниченными производными четвертого порядка, удовлетворяющих однородным условиям шарнирного закрепления, по норме

I ^ = > и изучены некоторые его свойства. Так дока-

зано, что пространство Я2 ограничено вложено в Н^О). Изменены граничные условия, так для функций м> из Я2 (Г1,/и) на границе области О. имеет место равенство

ап\г

Показана симметричность и положительная определенность бигармониче-ского оператора А2, для которого в §5 рассмотрена следующая краевая задача на собственные значения:

(Лг

с!п ап

= 0.

л г

В результате в §5 доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть граница области С2 Г е С3 и имеет ограниченные четвертые производные. Тогда существует дискретный спектр краевой задачи для бигармонического оператора с однородными краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки Л, < Л2 < Л3 <... < Хт <... из счетного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений, каждому из которых соответствует конечное число линейно независимых собственных функций образующих ортонормированную систему в Ь2(С1) и полную ортогональную систему в Я22(0,/^). Теорема 2. В условиях теоремы 1

Я22(С!^)П 1 = 1,2,...

Затем, в §6, на произвольном конечном интервале времени [0, определяются приближения Бубнова-Галеркина основной начально-краевой задачи в виде

где функции времени а"'(г) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, составленной из условий ортогональности собственных функций в Я2 (О,//), причем выполняется Теорема 3. Пусть С([0,Г/],£/)(Г2)) для некоторогор> 1. Тогда

найдется /0 > 0 такое, что на отрезке [О, г0] существуют решения С2([0,?0]) следующей системы дифференциальных уравнений

о; - +м2<+-г+л^,++

+(«+лгх • 1(о)+(^Х + Вд. ^ Ц,= 0

с начальными данными

^'(оМ^Ц), ¿;(оМ»„*Д 2(пГ

Затем каждой функции поставлены в соответствие функции к"' и Vя, как обобщенные решения соответствующей стационарной краевой задачи для продольных перемещений. Изучены дифференциальные свойства этих функций на ограниченном промежутке времени [0, /0]. Теорема 4. В условиях теоремы 3 приближения Бубнова-Галеркина имеют следующие дифференциальные свойства:

и-"' 6 С2([О,*0],я2(о,/0)п С2([О,Г0], я24(о) ),

е б|[0,Г0],н12{а) Jn ¿.([О,], я;(п)), I < < 2.

Теорема 5. Пусть Х,Уе С'([0,^],ХД^)) для р>\. Тогда в условиях теоремы 3 функции ит, Vяе С' [0,?0],Я'(а)\

V /

Отметим, что теоремы 4, 5 выполняются лишь в ограниченном промежутке времени [0, ?0].

Вторая глава посвящена доказательству теорем существования глобальных по времени обобщенных решений. В §1 второй главы выведено энергетическое соотношение для приближений Бубнова-Галеркина, из которого показана возможность продолжения приближений на любой интервал времени. В §§2, 3 доказана следующая теорема об априорных оценках

приближений Бубнова-Галеркина, обеспечивающих в дальнейшем соответствующие дифференциальные свойства обобщенных решений: Теорема 6. В условиях теоремы 5 для всех те //и te [0,/^] имеют место следующие оценки:

1И >')1и+И (И -С^-НИ

»ои+И

ИЯ^(П) II 4 '«Я,'(£})_ для любого <7<2, где константа <т, зависит от ||%||.. II им

>0Ж,(П>' '0)|£,(П)' М^ГМО,^])' II ^ Ц1, №*[<>./, ]>' 121/,(Пх[0,(/])'

от Q, от р > 1 и от ^ и не зависит от т и е [0,?у].

В четвертом параграфе с помощью предельного перехода на основе обычных соображений слабой компактности получены теоремы существования обобщенных решений на произвольном отрезке времени:

Теорема 7. Пусть w0£ Н12(П), X, Уе ¿°,[\(С2х [0,^]),

Х{ ,0), У( ,0)е Ьр(0.) при р> 1, 12(ш[0,^]). Тогда в условиях

теоремы 5 существуют обобщенные решения и, V, исходной начально-краевой задачи, удовлетворяющие следующим условиям

для всех г > 1 и при 1 < р < 2

( ° А

И.У6 4 ад.я^п) гик,(вд,я;(о)),

ч

при р> 2

¿^[О.Г^.Я^ПА.ССО./^.Я^П)),

для всех д < 2. При этом выполняются оценки:

угашай ,0||МП) + К >')1и(ад + 1Н >01;.(П,)^2>

,/)||„,(П)+|К Ди^)<а2,КР<2, угштах(|ы( ,г)Ц + ||у( ,01 1(П)^ог2, р>2,

для любого д < 2, где константа <т2 такого же типа, как сг,.

Теоремы 6 и 7 верны для всех у >0 и 6 >0. В случае, когда ^ > 0 или (У > 0, оценки обобщенных решений выполнены при более широких предположениях на вертикальную компоненту 2 массовых сил. Теорема 8. Пусть в условиях теоремы 5 при / > 0 2 = 20 + 2ц + 22хг, где 20 е Ьа 2(Пх [0, (у ]) при д > 1, 2Х,22& ¿2(£1х [0,/^]). Тогда верны все результаты теоремы 7 и, кроме того,

™е ^¿(ах[0,г/]),уга/тах||Уи',( <<т3,

где константа <т3 зависит от р > 1, <у > 1, от и //•. Теорема 9. Пусть в условиях теоремы 5 при £ > 0

г = 20 + 2Ц + 22Х2 + Д223, где 20 е Ь12(Пх [0,^]), 2, е 1„>2(Пх [О.гД 22е 1ь 2(Пх[0,/7]) при д,,д2 >1, 23е I,([0,СД Я22(С1 и)). Тогда верны все результаты теоремы 7 и, кроме того,

где константа сг4 зависит от р > 1, д,, д2 > 1, от и /у-.

Особое место в диссертации отведено третьей главе, где изложены теоремы единственности обобщенных решений и их доказательства. Вначале сделано предположение о существовании двух обобщенных решений и1, V1 , V и м2, V2 с одинаковыми исходными данными. В §1 третьей главы выведены интегральные соотношения для разностей решений и0 = и1 - и2, V0 = V1 -V2, = и'1 - м,2,а в §2 из этих соотношений путем классификации нелинейных слагаемых для норм разностей решений при всех ге [0,^ ] получено следующее интегральное неравенство:

1

где константа С| не зависит от времени I,

+<5/И

4(0 ™

слагаемые АЛ г) имеют вид:

4(0= Е \ ЦИ

¡,М о V о

4(0= Е -о

<Л о

оь

Л,(п)

Л

4(0= I

оч о < /"

йЬ

Л2(п)

1 *,К( >ГК( ^

о\ о ' ( *

еЬ

Л2(а)

'¿¡(П)

4(0= X

0\ О < /

Лг(П)

4(0= X

А

Л2(п)

+

4(0= I

.о

^ О

Гкд 'гХ( >*■)*•,<(

о\о

Л2(П)

!.]*}=1 \

о У о )ь1(п)

0\0 Л2(П)

4(0= I

I,/,Г ,1,1)1,11=]

и(Л)

В §3 с помощью стандартной техники при 8 > 0 и у > 0 величины Л|(г), A3(t), AM), As(t) оценены интегральным выражением, зависящем от a(t). В §§4-7 этой главы осуществлены оценки остальных величин Ak(t), которые меняются в зависимости от S и у. Так в §4 при 5 > 0 эти величины оценены с помощью доказанного в работе неравенства:

11 Ч(£1) " У(п) " МАП*) верного при всех /е [0,?^], где константа С2 не зависит от времени X. В результате оценок всех величин A^(t) и интегрального неравенства при

5 > 0 получено неравенство Гронуола вида

1

a(t)< С, ja(r)dr,

о

из которого по определению a(t) и следует невозможность существования разных обобщенных решений с одинаковыми данными. Таким образом, доказана следующая

Теорема 10. В условиях теоремы б при S >0 обобщенные решения u,v,w исходной начально-краевой задачи единственны.

В §5 оценки величин A2{t),A6(t),A1(t) и As(t) выполнены при условии у > 0, в частности, оценка А7 (t) получена с помощью оригинальной техники, предложенной в работах В.И. Седенко. Она основана на применении операторов сглаживания и их свойств, позволяющих обойти отсутствие вложения H\(fl) в L^JCl). Согласно этой методике при у > 0 выражение A1(t) оценено сверху одновременно как с помощью растущих, так и с помощью убывающих по параметру сглаживания N членов. В итоге при у > 0 и всех ie [0,tf] получено неравенство

t i a(t) < С4 In N |a{r)dT + CSN 2,

0

где C4, C5 не зависят от t. Применение оценки решения неравенства Гронуола вместе с последующим устремлением параметра к бесконечности приводит к равенству нулю норм разностей обобщенных решений с одинаковыми данными. А значит, имеет место теорема единственности. Теорема 11. В условиях теоремы 6 при у > 0 обобщенные решения u,v, w исходной начально-краевой задачи единственны.

В более сложном случае <5=0 и у = 0 изменена форма оценок разностей решений для краевой задачи продольных перемещений. Для этого в начале §6 для всех [0,<у] иЛ'е Z+> Ы> 2 получена следующая оценка

V /

С помощью этого результата и свойств операторов сглаживания величины

Л2(?),Л6(() и Л3(7) удалось оценить сверху выражением, составляющие элементы которого пропорциональны произведению оцениваемой величины на логарифм вышеуказанного параметра или отрицательной степени параметра. Для оценки оставшейся величины А1 (() обобщенные решения краевой задачи для продольных перемещений представлены в виде:

~ и{ +и;2, у7 = V/ } = 1,2. При этом слагаемые «/, V/ и и{,у>'2 попарно удовлетворяют соответствующим однородным краевым задачам, полученным из исходной краевой задачи для продольных перемещений разложением нелинейных слагаемых в правых частях уравнений в суммы

<*,< = + ' '> ¿> А>/ = 1, 2' с помощью операторов сглаживания Ту и К^. Доказано, что решения этих задач существуют и при всех ?е [0, Г^] удовлетворяют неравенствам:

а/ 10| , + Ь/

2 ИсЫо^/1)+ II ^ ¡¿'¿"„(^[О.'/]) ~ С*М 2' 7 = 2'

где константы С7 и С$ не зависят от времени /. С помощью этих неравенств величина Ау({) оценена сверху более сложным, чем в случае у > 0 выражением, но таким же образом зависящем от параметра сглаживания. Доказанный результат приводит к получению неравенства

( ' ' Л --

а(?)<С91пДг |а(т)Л +С]0Ы 2,

1о о У

которое позволяет получить совпадение решений. Так доказана Теорема 12. В условиях теоремы 6 при 8 = 0 и у - 0 обобщенные решения V/ исходной начально-краевой задачи единственны.

В приложении намечена возможность продолжения исследования по

данной тематике, а именно поставлена начально-краевая задача модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирно закрепленным краем при условии, что оболочка проектируется на плоскую неограниченную область.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. В рамках реализации схемы, предложенной И.И. Воровичем, введены гильбертовы функциональные пространства //22(0,//) и описаны их свойства, используемые при доказательстве теорем существования и единственности обобщенных решений.

2. Определены приближения Бубнова-Галеркина. Приведена локальная по времени теорема существования решений для системы приближений Бубнова-Галеркина. После установления энергетического соотношения получена глобальная по времени теорема существования для системы приближений Бубнова-Галеркина.

3. Исследованы дифференциальные свойства приближений Бубнова-Галеркина.

4. Установлены равномерные оценки приближений Бубнова-Галеркина.

5. Доказаны теоремы существования обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки в случае, когда оболочка проектируется на ограниченную область.

6. Установлены дифференциальные свойства обобщенных решений.

7. Доказаны теоремы единственности обобщенных решений.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Василию Игоревичу Седенко за постановку задачи, помощь и руководство при выполнении настоящей работы.

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК МО РФ.

1. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. Теоремы существования и единственности обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений с шарнирным закреплением края. 1. Теорема существования И Известия

ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. № 1. С. 28-31.-ISSN 0321-3005.

2. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. Теоремы существования и единственности обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений с шарнирным закреплением края. 2. Теорема единственности // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. № 2. С. 9-13.-ISSN 0321-3005.

3. Колпакова Е.В., Давтян Д.Б., Седенко В.И. Задача на собственные значения дня бигармонического оператора с краевыми условиями смешанного закрепления края оболочки // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2008. № 3. С.13-14. -ISSN 0321-3005.

4. Колпакова Е.В. Существование обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края в неограниченной области // Вестник ИжГТУ. 2010. № 1(45). С.144-146. -ISSN-1813-7903.

Публикации по теме диссертации в других изданиях

5. Седенко В.И., Сердюкова Е.В. О существовании обобщенных решений для уравнений Фон Кармана колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края II Проблемы проектирования и управления экономическими системами: инвестиционный проект: Тезисы межгосударственной научно-практической конференции. Ч.1./ РГЭА. - Ростов-на-Дону, 1998. - С. 114-115. -ISBN 5-7972-0073-2.

6. Седенко В.И, Сердюкова Е.В. О существовании обобщенных решений для уравнений Фон Кармана колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края // Проблемы проектирования и управления экономическими системами: инвестиционный проект: Материалы межгосударственной научно-практической конференции / РГЭА. - Ростов-на-Дону, 1998. -С. 126-128. - ISBN 5-7972-0111-9.

7. Седенко В.И., Сердюкова Е.В. Теорема существования и единственности обобщенных решений уравнений Фон Кармана колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.Ф. Ефимова. Абрау-Дюрсо,1998 г.-С. 165-167.

8. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. Теорема существования обобщенных решений модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с защемлением края типа «неподвижный шарнир» // Материалы IX межвузовских научных чтений « Математические и статистические методы в экономике и естествознании. 4.1. Математические методы в экономике и естествознании». РГЭА «РИНХ». - Ростов-на-Дону, 2003.-С. 49-54.

9. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. Теорема существования обобщенных решений модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с защемлением края типа «неподвижный шарнир» // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2004. -С. 277-281.

Ю.Колпакова Е.В., Седенко В.И. Существование обобщенных решений начально-краевых задач моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края // Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава (30 октября 2007 г., г. Ростов-на-Дону) / РГЭА «РИНХ»,- Ростов н /Д, 2008. С. 13-17.

11.Седенко В.И., Колпакова Е.В. Существование и единственность обобщенных решений начально-краевых задач моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.Ф.Ефимова. Абрау-Дюрсо, 2008 г.- С. 245-247.

12.Колпакова Е.В. Теорема единственности обобщенных решений // Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава (29 ноября 2008 г., г. Ростов-на-Дону) / РГЭА «РИНХ»,- Ростов-на-Дону, 2009.- С. 95118.

13.Колпакова Е.В. О единственности в моделях Маргерра - Власова для оболочек с внутренним трением // Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии - 2009: труды XVII Междун. конференции. - Новороссийск, 2009. - С. 102-104.

14.Седенко В.И., Колпакова Е.В. Единственность обобщенных решений для задачи колебаний пологих оболочек // Лазерно-информационные

технологии в медицине, биологии и геоэкологии - 2009: труды XVII Междун. конференции. - Новороссийск, 2009. - С. 104-105.

15.Колпакова Е.В. Колебания пологих оболочек из материалов с внутренним трением. Единственность обобщенных решений моделей Маргер-ра-Власова // Сборник докладов «Лазеры. Информация. Измерения» 2009. Санкт-Петербург. Т. 3- С. 204-215. Изд. СПб-ГПУ.

16.Колпакова Е.В. Существование и единственность обобщенных решений начально-краевой задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края из материалов с внутренним трением // X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. 2009 г.; С. 668-669. Москва. Редакция журнала «ОПиПМ».

Отпечатано в типографии "Визарт" 353907, г. Новороссийск, ул. Козлова, 74 А, тел.: (8617) 21-30-94, e-mail: 702624@bk.ru Заказ № 052-05-2010. Тир. 100 экз. Печ. листов 1

Введение.

1°. Общая характеристика проблематики. Актуальность темы.

2°. История вопроса.

3°. Содержание диссертации.

Глава 1. Приближения Бубнова-Галеркина.

§ 1. Функциональные пространства

1°. Банаховы пространства Lp (<2) и С(<2).Ю

2°. Банаховы пространства Н!р(Q) и С1 (Q).Ю

3°. Банаховы пространства Hlp (Q).

4°. Банаховы пространства LrpSq(Г2х[0,^]).

5°. Пространства Ск ([0,^], G), Lp{[0,tf], G).!

§ 2. Классические неравенства.

1°. Неравенство Юнга.

2°. Неравенство Гель дера.

3°. Неравенство Фридрихса.

4°. Неравенство коэрцитивности Бернштейна-Ладыженской.

5°. Неравенства теорем вложения.

6°. Мультипликативные неравенства вложения

Гальярдо-Ниренберга.

7°. Оценка решения неравенства Гронуола.

8°. Неравенство коэрцитивности для бигармонического оператора.

§3. Начально-краевая задача для уравнений Маргерра-Власова колебаний пологой оболочки с шарнирно закрепленным краем.

§4. Функциональное пространство Н\ (П, jLl).

1 Определение Н\ (П, //).

2°. Видоизменение граничного условия (1.4.2).

3°. Симметричность билинейной формы a2W,v)/2^ На A(Q,/j).

4 . Вложение пространства Н1 (Q,jLi) в Я22(П).

§5. Собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для бигармонического оператора при шарнирном закреплении края.

1°. Положительная определенность бигармонического оператора.

2°. Задача на собственные значения.

§6. Приближения Бубнова-Галеркина решений начально-краевой задачи (1.3.1) -(1.3.7).

1°. Обобщенные решения стационарной краевой задач для продольных перемещений.

2°. Приближения Бубнова-Галеркина.

Глава 2. Существование обобщенных решений.

§1. Энергетическое соотношение.

§2. Равномерная ограниченность функционала энергии на любом конечном промежутке времени.

§3. Равномерные энергетические оценки.

§4. Теоремы существования обобщенных решений для случая ограниченной области с гладкой границей.

1°. Гильбертовы пространства М.

2°. Вывод интегрального соотношения для обобщенного решения.

3°. Определение обобщенного решения.

4°. Сходимость приближений Бубнова-Галеркина.

5°. Предел приближений Бубнова-Галеркина - обобщенное решение.

6°. Теоремы существования обобщенного решения начальнокраевой задачи (1.3.1)-( 1.3.7) в смысле (2.4.9)-(2.4.10).

Глава 3. Теорема единственности обобщенных решений.

§ 1. Разность двух решений.

1°. Соотношения для разностей двух решений.

2°. Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения по собственным функциям краевой задачи (1.5.1)—(1.5.2).

§2. Интегральное неравенство для норм разности решений.

1°. Интегральное соотношение.

2°. Интегральное неравенство для норм разности решений.

§3. Оценка величин А} (?), А3 (?), А4(7), A5(t).

1°. Оценка^, (0.

2°. Вспомогательные оценки.

3°. Оценка A3(t).ВО

4°. Оценка A4(t).

5°. Оценка As(t).

§4. Теорема единственности в случае д >0.

1°. Оценка А2 (t).

2°. Оценка A6(t).

3°. Оценка A7(t).

4°. Оценка A8(t).

5°. Теорема единственности обобщенных решений.

§5. Теорема единственности в случае у > 0.

1°. Оценка Л2 (?).

2°. Оценка А6 (/).

3°. Сглаживающие операторы.

4°. Оценка А7 (/).

5°. Оценка As(t).

6°. Теорема единственности обобщенных решений.

§6. Теорема единственности обобщенных решений в случае, когда <5 = 0 и у = 0.

1°. Оценка и°( ,t), v°( ,/) в ^(П).Ю

2°.Оценка A2(t).

3°. Оценка A6(t).

4°. Представление uJ, vJ, j = 1,2.

5°. Оценка J7(t).

6°. Оценка A8(t).

7°. Теорема единственности обобщенных решений.

1°. Общая характеристика проблематики. Актуальность темы.

Математические модели механики сплошной среды определяют довольно четко очерченную систему классов краевых и начально-краевых задач. Решения этих задач описывают состояние или развитие соответствующей механической системы. Одним из разделов теории дифференциальных уравнений математической физики является качественное исследование решений математических моделей механики сплошной среды, который распадается, естественно, на части, посвященные исследованию конкретных фундаментальных моделей.

Одной из основополагающих проблем для каждой из таких моделей является вопрос о разрешимости начально-краевой задачи модели на любом промежутке времени, который в значительной мере определяет возможность использования модели для численного анализа и прикладных расчетов. Под разрешимостью в данном случае подразумеваются теоремы существования и единственности обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова нелинейных колебаний пологих оболочек с шарнирно закрепленным краем при отсутствии инерции продольных перемещений для оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Известно, что сравнение результатов численного анализа с экспериментальными данными показывают, что для пологих оболочек из ряда материалов модели Маргерра-Власова дают хорошие приближения колебательных движений таких оболочек.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется возможностью приложения полученных результатов к некоторым разделам математики, прикладной математики и механики.

2°. История вопроса.

Рассматриваемые в работе модели были предложены К. Маргерром в [1] и В.З. Власовым в [2], [3]. В своих основополагающих работах [4]-[7] И.И. Ворович дал определение обобщенного решения начально-краевой .задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при жестком защемлении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Определение обобщенного решения эволюционной модели механики сплошной среды И.И. Ворович предложил первым сразу после Хопфа [8] и, по-видимому, независимо от него. Там же им была доказана теорема существования этих решений на произвольном отрезке времени в рамках абстрактной схемы на базе метода Бубнова-Галеркина для нелинейных волновых процессов общего характера. Теорема же единственности обобщенных решений в рассматриваемой ситуации, доказанная И.И. Воровичем в [5], носит условный характер, поскольку требует от обобщенных решений большей гладкости, чем предоставляет теорема существования обобщенных решений. Безусловная теорема единственности, то есть теорема, использующая дифференциальные свойства решений, определенные в теореме существования, была доказана В.И. Седенко в [9] и [10] с помощью предложенного им метода использования операторов сглаживания для компенсации недостаточной гладкости обобщенных решений и, в частности, для компенсации отсутствия ограниченного вложения //^(q) в В дальнейшем, этот метод (или его несущественные вариации) был использован для доказательства теорем единственности обобщенных решений, глобальных по времени, для некоторых моделей механики сплошной среды. Прежде всего отметим здесь теорему единственности обобщенных решений уравнений Кармана, доказанную в [11], теорема существования для которых была доказана намного раньше в [12], [13]. Далее, в [14] была изложена теорема единственности обобщенных решений двумерных задач динамики водных полимеров, теорема существования которых приведена в [15]. Метод В.И Седенко был использован в [16] для доказательства единственности обобщенных решений для уравнений фон Кармана с нелинейными краевыми условиями и в [17] для доказательства единственности обобщенных решений модели Койтера колебаний оболочек. В настоящей работе теоремы единственности обобщенных решений доказываются с помощью некоторого развития схемы и метода, опубликованного в [18].

Следует отметить, что основное развитие теории разрешимости в целом по времени начально-краевых задач для моделей Кармана и Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек с шарнирным защемлением края оболочки осуществляется под руководством профессора В.И.Седенко.

3°. Содержание диссертации.

Первая глава посвящена построению приближений Бубнова-Галеркина. Первые два параграфа содержат информацию об используемом далее традиционном инструментарии. Именно, в §1 приведена информация о стандартных общеупотребляемых функциональных пространствах. В §2 изложены классические неравенства и оценки. В третьем параграфе изложена начально-краевая задача, работа над которой, собственно, и ведется в диссертации. В §4 в рамках реализации начального этапа абстрактной схемы, предложенной И.И. Воровичем в [5], вводится функциональное пространство

Н\{0.,/л) и изучаются его свойства. На основе полученных результатов в пятом параграфе делаются выводы о существования дискретного положительного спектра краевой задачи для бигармонического оператора с краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки. Затем, в §6, определяются приближения Бубнова-Галеркина основной начально-краевой задачи и изучаются их свойства.

Вторая глава посвящена доказательству теорем существования глобальных по времени обобщенных решений. В первом параграфе второй главы выводится энергетическое соотношение для приближений Бубнова — Галеркина, из которого обычным образом следует возможность продолжения приближений на любой интервал времени, что и доказывается в §§2, 3 одновременно с выводом оценок, обеспечивающих в дальнейшем соответствующие дифференциальные свойства обобщенных решений. В четвертом параграфе с помощью предельного перехода на основе обычных соображений слабой компактности доказывается существование обобщенных решений. В третьей главе изложены теоремы единственности обобщенных решений. Делается предположение о существовании двух обобщенных решений с одинаковыми данными. В § 1 третьей главы выводится соотношение для разности решений, а в §2 - интегральное неравенство для норм разности решений, правая часть которого состоит из восьми слагаемых. В третьем параграфе осуществляются оценки четырех из них с помощью стандартной техники. В трех остальных параграфах этой главы оцениваются четыре оставшиеся слагаемые. Так, в §4, в случае, когда оболочка состоит из материалов с внутренним трением, в результате оценивания мы приходим к неравенству типа однородного неравенства Гронуолла от нормы разности решений, что позволяет сделать заключение о невозможности существования двух разных обобщенных решений с одинаковыми данными. В пятом и шестом параграфах такие оценки делаются с использованием техники, предложенной В.И. Седенко в [9], [10], [18], [19], использующей операторы сглаживания. В результате получаются неравенства от норм разности обобщенных решений, таким образом зависящие от произвольного параметра (сглаживания), что применение оценки решения неравенства Гронуолла вместе с последующим устремлением параметра к бесконечности приводит к равенству нулю норм разности обобщенных решений с одинаковыми данными. В приложении приведены теоремы существования и единственности внешней начально-краевой задачи. В заключении сделаны основные выводы и приведены полученные в работе результаты.

10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в данной работе получены следующие новые результаты:

1. В рамках реализации схемы, предложенной И.И. Воровичем, введены гильбертовы функциональные пространства и описаны их свойства, используемые при доказательстве теорем существования и единственности обобщенных решений.

2. Определены приближения Бубнова-Галеркина. Приведена локальная по времени теорема существования решений для системы приближений Бубнова-Галеркина. После установления энергетического соотношения получена глобальная по времени теорема существования для системы приближений Бубнова-Галеркина.

3. Исследованы дифференциальные свойства приближений Бубнова-Галеркина.

4. Установлены равномерные оценки приближений Бубнова-Галеркина.

5. Доказаны теоремы существования обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки в случае, когда оболочка проектируется на ограниченную область.

6. Установлены дифференциальные свойства обобщенных решений.

7. Доказаны теоремы единственности обобщенных решений.

1. Marquerre К. Zur Theorie der gekriimmten Platte grosser Formanderrung // Proc. 5th Intemat. Congress Appl, Mech. Cambridge, Mass., 1938. N.Y., J. Willey and Sons, 1939. P. 93-101.

2. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ. -1994. Т. 8, вып. 2. - С. 109-140.

3. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 789 с.

4. Ворович И.И. О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // ДАН СССР. 1956. - Т. 110, № 5. - С. 723-726.

5. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Известия АН СССР. Сер. мат. 1957. - Т. 21, №6.-С. 747-484.

6. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1979.-С. 121-133.

7. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. -М.: Наука, 1989. 376 с. - ISBN 5-02-014003-1.

8. Hopf Е. LJber die Anfangswertaufgabe flir die hydrodynamischen Grundgleichungen // Math. Nachrichten, 1950-51. №4. P. 213-231.

9. Седенко В.И. Единственность обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 316., № 6. - С. 1319-1322.

10. Седенко В.-И. Теорема единственности обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений // Известия АН СССР. Мех. тв. тела. 1991.-№6.-С. 729-737.

11. Monvel A.B., Chueshov I.D. Unigueness theorem for weak solutions of von Karman evolution equations // Jour, of mathematical analysis and applications. 1998. T. 221. P. 419-429.

12. Морозов Н.Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения // ДАН СССР. 1967. -Т. 176, № 3. - С. 523-525.

13. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. JI.: Изд. ЛГУ, 1978.- 182 с.

14. Ладыженская О.В. О глобальной однозначной разрешимости двумерных задач для водных растворов полимеров // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28. Зап. науч. сем. ПОМИ, 1997.-Т. 243.-С. 138-153.

15. Осколков А.П. Начально-краевые задачи с краевым условием проскальзывания для модифицированных уравнений Навье-Стокса // Зап. науч. семин. ПОМИ, 1994. Т. 213. - С. 93-115.

16. Lasiecka I. Uniform stabilizability of a full von Karman system with nonlinear boundary feelback. SIAM J. Control Optim. 36: 1376-1422, 1998.

17. Sedenko V.I. On the Unigueness Theorem for Generalized Solutions of Initial-Boundary Problems for the Marguerre Vlasov Vibrations of Shallow Shells with Clamped Boundary Conditions. Applied Mathematics and Optimization. V. 39. 1999.

18. Седенко В.И. Разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для уравнений Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек: Автореферат диссертации доктора физ.- мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.-24 с.

19. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-520 с.

20. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.-431с.

21. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Дифференциальные уравнения, вариационное исчисление и геометрия. М.: Изд. АН СССР. 1960. - Т. 3. -440 с.

22. Бернштейн С.Н. О некоторых априорных оценках в обобщенной задаче Дирихле // ДАН СССР. 1959. - Т. 122.

23. Ладыженская О.А. О замыкании эллиптического оператора // ДАН СССР. 1951.-Т. 79.

24. Ладыженская О.А. Простое доказательство разрешимости основных краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений // Вестник ЛГУ. 1955. - № 11.

25. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

26. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд. ЛГУ, 1950. - 440 с.

27. Gagliardo Е. Ulterori propetieta di alcune classi di fnnzioni in piu variabili. Ricerche di Mat. 1959. P. 24-51.

28. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann. ScuolaNorm. Sup. Di Pisa. 1959. ser. III. 13. Fasc. II P.l 15-162.

29. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

30. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы для решений эллиптических уравнений в частных производных, удовлетворяющих общим граничным условиям. -М.: Мир, 1965.

31. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971.

32. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М.: Наука, 1968. -128 с.

33. Седенко В.И. Разрешимость в H2p(fl) краевой задачи для продольныхперемещений срединной поверхности оболочки в модели Маргерра-Власова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008. - Т. 2. - С. 21-24.

34. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.

35. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения / Перевод с англ. А.Ф. Жукова / Под ред. С.И. Похожаева. М.: Наука, 1988. - 304 с.

36. Колпакова Е.В. Колебания пологих оболочек из материалов с внутренним трением. Единственность обобщенных решений моделей Маргерра-Власова // Лазеры. Информация. Измерения. 2009. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2009. - Т. 3. - С. 204-215.

37. Колпакова Е.В. О единственности в моделях Маргерра Власова для оболочек с внутренним трением // Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии - 2009: труды XVII Международной конференции. - Новороссийск, 2009. - С. 102-104.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 344 с.

39. Седенко В.И., Колпакова Е.В. Единственность обобщенных решений для задачи колебаний пологих оболочек // Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии 2009: труды XVII Международной конференции. - Новороссийск, 2009. - С. 104-105.

40. Седенко В.И. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Известия АН СССР. -1996. Т. 60, № 5. - С. 157-190.

41. Седенко В.И. Разрешимость в нЦр) краевой задачи для продольных перемещений срединной поверхности оболочки в модели Маргерра-Власова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2006. — Т. 3. - С. 37-40.

42. Колпакова Е.В. Существование обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края в неограниченной области // Вестник ИжГТУ. 2010. -№ 1(45).-С. 144-146. -ISSN-1813-7903.

43. Колпакова Е.В. О разрешимости модели Маргерра-Власова в неограниченной области // Казанская наука. 2010. Казань: Изд-во Казанский Издательский Дом, 2010. - № 2. - С. 6-11. - ISBN-978-5-9902017-1-2.