Разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для уравнений Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Государственный комитет Российской федерации___

______________________________________образованию

Ростоьакая государетьеынал экономическая академия

ростовский гооударотаенный университет

5 ОД

На правасг рукописи

ЙДЕНКО ВАСИЛИЙ ИГОРЕВИЧ

РАЗРЕШИМОСТЬ В ШСМ НО ВРЕМЕНИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ уравнений штерра-эдассва нелинейной теории колебания пологих оболочек

01-02-04 - кехамшеа де'.юр.даруемого твёрдого тела

А»торефьрат диссертации на волокшие учёной степени доктора физико-матемытичесхиг наук

Роотов-на-Дону К95

Работа выпвлнвна на кафедре высшей иатвкатжхй Ростовской гоеу ввнн»2 экономической академии и на кафедр* вычислительной матема и математической физики мадакико-штеиатического факультета Рое7 государе таенного университета.

ШЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ - доктор физ.-мат.наук, профеосор В.И.Юиов«* ОФЙЩШЫШЕ ОППОНШЫ: д*ктер физ.- шт. наук, профессор

Л-М-Зубов

доктор физ. - мат. наук, првфесоор И.Б-Симоиенко

доктор физ. - мат. наук, професеор И-Д-Чуешсв

ЬдаЩАЯ ОНАЙШАЩЯ^ Санкт - петербургский государственный у жив«

Защита диссертации состоится 3 (

в — часов иг- злеед^клп Диссертационного Совета Д 063.52.0' ^зико-матеалатическим наукам а ]ростовоком государственном униве по адресу: 34<Ш0. г. Ростов-нь-Дону , ул. Зорге 5, ГО , механик цатичесиь факультет, ауд. 23Ь-

С диссертацией мскно ознакомиться а научной библиотеке РТУ /ул. Пушкинская, 143/

Автореферат разослан

Ъо aiufSujlsi

1995 г.

Учёный секретарь диссертационного Совета кандидат физ. - шт. наук

Н.В .Бое:

/и Л1.,;щ¡,1,0С'Гь исследокЦШ. . !!-«-|!:м,ч-ач ГССЖ-ДОШНИЮ кор-

октноотл 1(1 произвольном отрезке премии го.ннли Гаргерра-Власо-.1 ни/пли-.люй теории колебании' Пологих оболочек.

Математические модели г.'и/чКМЩ сцдотноЛ среди составляют до-олыю Ч':тко очерченный л до'Л'йточло широки^ класс краевых и на-алыю-краевых задач, решети Когорт омизнтст состояние или вашими соответствующей механической систем». Качественное исследование решений такой мата.ятическоп модели представляет со-ой раздел, являющийся важноЛ частью теории, основанной на этой одели, который применяется как для изучения самой модели, так при использовании её в теоретических и. прикладных исследавани-х. Основополагающая роль в такой тематике принадлежит вопросу о орректности рассматриваемой математической модели, определяю-ему строгость дальнейших продвижений, в математических и теоре-ических исследованиях. Как правило, результаты, подученное при оказательстве корректности модели, позволяют, после определён-их усилий, оценить точность численных методов, разработанных 1а оазе данной модели.

Как известно, уравнения Наьье-Отокса и ьйлера в гидродинамике, 'равнения фон Кармана, маргерра-Влаеова, Тимошенко в теории ко-гебаний пластин и оболочек и другие дежа® в основе наиболее глу-¡оких математических моделей ?.:еханики сплошной среди. Такие мо-,ели издавна привлекают внимание исследователей различных спеад-ишюстей, которые возлагают н;|дежды как на использование их в ¿едосредственных приложениях, так и для построения математических механизмов, описывающих некоторые экспериментальные физические эффекты. Однако подобные г.-атематические модели, возникшие на 5азе фундаментальных принципов, обладают/несмотря на, порой,

внешнюю Простоту/ вые окон степенью сложное гя и до оих пор с определённым трудом поддаются математическое исследованию. Например, до настоящего времени, для рада из них не

Решён вопрос о корректности этих моделей на произвольном

о трёзке-времени......

Целью работы является доказательство корректности на произвольном отрезке времени двух вариантов модели Маргер-ра-йласова нелинейной теории колебаний пологих оболочек. Первый из них описывает колебания пологой оболочки при предположении малости инерции продольных перемещений точек срединной поверхности оболочки. Частным случаем такой модели является модель фон Катмана колебаний пластины. Второй вариант описывает колебания пологой оболочки без дополнительных предположений с помощью полной системы уравнений Иаргерра-Влаоова. В приложении к диссертации изучен характер асимптотического4 поведения колебательных движений пологих. оболочек, описываемых вышеуказанными моделями с учётсм,

дополнительно, внутреннего трелил материалов.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

Для начально-краевой задачи для уравнений Маргерра-Власова с предположением малости инерции продольных перемещений точек срединной поверхности оболочки доказаны:

1. Теорема о глобальной по времени априорной оценке ренений

2. Теорема существования сильных и классических решений

3. Теорема гладкости решений

4- Теорема единственности обобщенных решений

-Для-начально-краевой задачи для полных уравнений Маргерра--&ласова доказаны;

Ь. Теорема о глобальной по времени априорной оценке решений 6. Теорема существования сильных и классических решений 7- Теорема единственности онльшх решений 8. Теорема гладкости решети;.

В приложении к диссертации для обеих моделей, учитывающих, Дополнительно, внутреннее трение материала оболочки, получены следующие результаты:

У. Сильные решения соответствующих начально-краевых задач определяют сильно непрерывную полугруппу эволюционных операторов

О- Полугруппа эволюционных операторов обладает аттрактором конечной хаусдорфово>1 размерности I. Всякая предельная точка к едой траектории соответствует положению равновесия оболочки, .ледует отметить, что вышеуказанные результата изложены для случая краевых условий жёсткого закрепления края оболочки.

Методика исследований. Б работе использован традиционный .л парит оценок: классические неравенства, неравенства теорем аложения и коэрцитивности. Кроме того, применяется никогда palee не использовавшаяся техника, основу которой составляют эператори сглаживания и связанные с ними оценки, а узкой целью галяется преодоление трудностей, связанных с отсутствием вло-кения Н (А) в (XI) в дъ;> верном случае.

2- оо

Практическое значение, диссертации. В работе дано строгое ¿основание возможности использования модели Маргерра-Власова ■ теоретических исследованиях. Оценки решений, полученные в

диссертации, дадут возможность оценить точность численных / ходов, основанных на этой модели. Для модели Маргерра-Влас< учитывающей внутреннее трение материала оболочки исследова: асимптотическое поведение колебательных движений оболочки.

Апробация •работа. Результата, изложенные в диэсертацт докладывались на семинарах кафедра вычислительной матетти: и математической физики, руководимой профессором В.И.Юдовгг кафедры геометрии, руководит которой профессор С .Б.Климент кафедры теории упп/гости, руководимой академиком РАН Й.И.В1 ровичем, механико-математического факультета Ростовского г сударствешого университета, а также на Всесоюзном ссвещан молодых ученых по дифференциальной геометрии/Абрау-Дюрсо, и на Всероссийской шкале-коллоквиуме по стохастическим мет д.ам геометрии и анализа/Абрау-¿¡юре о, 1994/.

Публикации. Основные результаты дизеертационной работы рахеш в публикациях 1-10 -

структура и обьём работы. Диссертация состоит из введе грёх частей, включающих, в себя семь глав, занимающих 249 с ниц машинописного текста и с!шска основной используемой ли ратуры, содержащего 77 наименований, а также приложения, з издающего 53 страницу.

СОДЕВШИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность теш диссертации, / краткий обзор литературы по вопросу корректности нелинейны? моделей теории колебаний полог®, оболочек. Отмечен знaчитeJ

аый вкладов рассматриваемую т<. матику Я .у. .воровича, Н.Ф.Морозова, Ц.Д.Чуешова, Дьюеда и Тхютка. Во введении также изло-¿.ено краткое содержание диссертации.

Часть I носит вводный харг^ктер. Она состоит из двух глав, главе I излагаются известные ^кты общего плана. § I отве-¿н для последуешх начально-краевцх задач. Мы приведём их 1есь. предположил, что ободочка проектируется на плоскую ог-ишчекную область с границей Г класса (т^О) .

юсмотрим систему уравнений с краевыми и начальными услови-ди

/ = е к (1 •* г'1 (£, ■- ^>, а/ = i к (1 ■у\гг^ ^\

г

где 8 - Их + , 11 ( 1Г _ продольные перемещения точ 1 г <срединной поверхности оболочки, ЬО - поперечное перемете точек срединной поверхности оболочки, - изгибная жёстк

оболочки, -высота оболочки, ^ - упругие пост

ные,

- продольные усилия в оболочке, ' ' ~ хаРактеРИСТ15КИ деформации срединной пав

ности оболочки, & , - кршизны оболочки, X , У , ^ - составляющие внешних сил, действующих на оболочку. Пред пол гается, что массовая плотность и линейные размера измеряются таких единицах, что имеют место соотношения

1де р - масоовая плотность оболочки. В уравнениях начально -краевой задачи I учтено предположение о малости инерции про дольных перемещений точек срединной поверхности оболочки. Со храняя смысл введённых выше обозначений, приведём здесь начально-краевую задачу для полных уравнений Маргерра-Власова:

с- ♦ ^ «- г <, ь.г= v + ^ >

У

^е а* - ^ ех = Ь + ч X ч +

-^хлЧ,- х, ^ Е Цо^-л* - ££ е,^ л. ^^

ш(х,0)= иг0(х), 1М(Х}0) = а0(х), и"(х,о) = и;сх),

= и^х^о\=и1Сх);1Гсх1о)-'и;Сх). (й)

1 & 2 приведены определения и обозначения используемых в работе функциональных пространств, а в § 3 изложены применяемые далее з тексте классические результаты/классические неравенства, неравенства теорем владения и коэрцитивное ти/. Глава 2 посвящена техническим результатам, которые приводятся с доказательствами. В § I определены оператора сглаживания и изложены связанные с

ними оценки. Операторы сглаживания будут использованы при выводе априорных оценок решений, далее будет сказано несколько слов

о схеме их применения.. Во втором параграфе устанавливается связь

мевду нормами ъ производных функции и её образов при

г-т Ч

действии соответствующих дробяых степеней оператора V . В § 3 приводятся сведения о линейном операторе /\ теории упругости. В пункте I излагаются неравенства коэрципюности для оператора /\ .в пункте 2 ус танавливается разрешимость одно-

родной первой краевой задачи для оператора 1\. . в третьем пункте излагается связь между нормами в производных

вектор-функции и её образов при применении дробных степеней оператора /\_ . в пункте 4 изложены оценки решений волнового уравнения, содержащего в качестве слагаемого значение оператора У\_ от решения, это второй дополнительный инструмент для получения априорной оценки решений полной модели Маргерра-йлао ша.

Часть 2 посвящена исследованию корректности в целей по времени модели Маргерра-Власава,. учитывающей малость инерции продольных перемещений точек срединной поверхности оболочки. В главе 3 доказывается теорема существования сильных и классических решений начально-краевой зздачи (1)на произвольном от-реаке времени. Базовым факта 1 для разрешимооти в целс»л по времени является наличие глобальной по времени априорной оценки решений. Выводу этой оценки посвящена большая часть третьей главы. В § I излагается формулировка теорема об априорных оценках решений. Это

Теорема I. пусть гра)шда 1 области п четырежды дифУере цируема с ограниченными четвёртыми производными. Пусть иТ~0 ,

^еНпус» К л^\п)Л .У .1*

^ С ' " Т0г0» ДУсть для самого решения на-

чально-краевой задачи (I) . V С (П * Г0; Ь^]) .

Тогда имеет место следующая оценка:

где .константа К зависит лишь от величин

от величин и ~Ь^ и от области _0_ Отметим, что на положительна ы величину не накладывает-

ся никаких ограничений. В § I приводятся также известные априорные оценки, подученные }!.и.Воровичем. В § 2 после дифференцирования по времени перього уравнения задачи (1) и умножения его на вторую производную по времени от нормального прогиба скадярно в возникает соотношение, в котором

требуется оценить в норме Л (.П.) целый ряд нелилейных слагаемых. Часть из них оцениаьается традиционными средствами. Эти оценки приведены в § 3. Другие слагаемые оцениваются в §§ 4-7 сверху одновременно как с помощью растущих, так и с псмощью убывающих по некоторому параметру членов. Более подробно: в Результате мы получаем для оцениваемой величины дифференциальное по времени неравенство, причём все остальные, кроме производной по времени от оцениваемой величины, составляющие элементы неравенства пропорциональны произведению оцениваемой величины; на логарифм вышеуказанного параметра, либо произведению степени оцениваемой величины на отрицательную степень параметра. Такая специфическая форма неравенства получена с по-

T¿

мощью техники, базирующейся на операторах сглаживания и с них сними оценках, которая позаоляет обойти отсутствие вл ния Нг(Х1) в L ж (П) ► Подходящим образом выбирая в § Параметр ш получаем нелинейное дифференциальное неравенс которое, тем не менее интегрируется на любом отрезке врем Uro интегрирование и даёт центральную априорную оценку, ч по существу, завершает доказательство теоремы об априорно оценке. § 9 посвящен доказательству собственно теоремы cyi ванкя решений. В пункте I привсдится формулировка Теоремы 2. Пусть граница | области А четырежды дифс Ренцируема с ограниченными четвёртыми производными, пусть Ь^к^СХп) .пусть иг„ 6 ;

Л ¿Д',* г £ L¿>00 (íl*lotb¿){\

Тоета существует решение U7(x,-b)» (^^fXl^Co, . начги —1фаевой задачи (i) , обладающее следующими дифференциала свойствами:

urt ит^СЩх и;

АпС (Lo;tfr н*(-а)пН12(-а)).

Еоди дополнительно предположить, что X t , У^ ^ Ée(C0,t¿l;¿Jjn.)) .то тогда

Если же

Приэтш предполагается, что выполняется условие согласования данных задачи в начальный момент времени иа границе р области .П. : V Ш"0(х)1р= (к*,^!. те О- - правая часть

р

первого уравнения (I).

В пунктах 2-4 излагаются результаты И-Игоревича о приближениях БУбнова-Галёркина и их сходимости к обобщенному решению, опираясь на которые при наличии сильной априорной оценки удаётся в пунктах 5»6 провести доказательство теоремы.

В главе 4 исследуется зависимость гладкости решений от гладкости данных начально-краевой задачи (х). В § I ггризодит-формулировка результата, это 2г-а

Теорема 3. Пусть для г 6 , & . ¡Цб Нг(1\}Г\ С ^.Г!) и граница Р области XV 2Т- + 2 раза дифференцируема, причём производные порядка + £ ограничены. Пусть иГ0 £

€ а ин^); ^^ а ) x, v € ¿^ (_а*Щ1)П

1. ЕСЛИ X, У* 2 € V) . то ъ, 4 0 2.

ЕСЛИ, дополнительно, X, У € СГ[оЛ]¿(Ц)) , то

2. пусть, кроме ТОГО, X ?У,2 6 П (Р- * V) • Тогда РПвг

Я- > ^

^М^п ¿^УлхСо/Ь-з) %>л

при к.^Ъ. о, а, гг.Ъ-. гл /

3. Пусть, кроме того,

при р+ с^ = г , £ & . Тозсда

ягч ®гц »г^ео^; и1'(щ

при 1 , ^

Предполагается, что выполняются соответствующие условия согласо вакия данных задачи щи ~Ь~ о на границе Г"1 . В ^ 2 излагаются вспомогательные оценки производных продольных и поперечного перемещений, опираясь на которые в § 3 удаётся пс лучить априорные оценки производных перемещений. При этом также приходится оценивать нелинейные величина. Наличие сильных априорных оценок, полученных в предыдущей главе, дозволяет теперь обойти оь при оценивании традиционными средствами. Наличие апр орных оценок производшх решений даёт возможность, после некотс рьи: усилий, завершить в §§ 4-6 доказательство теоремы гладкое тс решений-

В главе 5 доказывается теорема единственности обобщенных решений начально-краевой вадачи (I) в условиях теореш их сущее т. вования, доказанной И.ИЛ}оравичем. В § I излагается фощулироВ' ка

Теоремы 4. Пусть ИГ - обобщенное решение начально-краевой з дачи I /в смысле выполнения соответствующего интегрального то дестаа/» причём

их 4 (Л ;

при рё(1;2) . Тогда это решение единственно. а § I также начинается доказательство этой теоремы. Сделав предположение о. существовании двух решений е одинаковыми данными, ш формируем интегральное неравенство, оценивающее норму разности решений. Ряд нелинейных слагаемых в правой части неравенства нуждается в оценках, которые приходится проводить в 2-Ь с применением техники, использующей операторы сглаживания. Целенаправленные оценки приводят неравенство к такой форме, которая позволяет в § б доказать соыыдение решений.

Часть 3 посвящена исследованию корректности в целом по времени полной модели Маргерра-Власова. в гл.-1ве б доказаны теоремы о глобальной по времени апуаорной оценке решений, о существовании решений на любом отрезке времени и о единственности решений со свойствами гладкости, подученными в теореме существования решений. В § I излагаются результаты. И-ИЗоровича о приближена Бубнова-Галёрккна, их оценках, сходимости к обобщенному решению. В ^ 2 мы. приводим формулировку теоремы об априорной оценке решений. Это

Теорема 5. Пусть граница Г^ области четырежды диффереи

цируема с ограниченными четвёртыми производными. Пусть бС*(а). пусть иг0)иг^£*(п), СЪ(Щ,

X , У, Ъ 6 С2(п * [Р,^] ) . Крше того, пусть иУ)

V* ^¡0* 1Д,, Д^ Д V, ДV 6

Тогда имеет место следующая оценка:

где константа К зависит лишь от величин норм ЦГ0 в Н (П),

щ а . и, , о; в Н23(п). ч - Ч в М

X . У в А^*^])' в ¿«"¿(Л* ) ' - *

¿^(й*^^) » 01 велйчиньс и ^ и от области Л . Там'же мы начинаем доказательство этой теореш. Общий план дейоп вий. сходен с тем, которий ш провели в главе 3. Здесь использовг на использована часть оценок, полученных в этой главе. Тем не ме нее следует отметить, что наличиа волновьос уравнений для продол! них перемещений в начально-краевой задаче 2 резко усложняет ситуацию. Дроиоходта смещение акцентов в применении технических ресурсов: наряду с техникой, основанной на использовании операторов сглаживания, рааноцравнш технически» инструментом становятся оценки пункта 4 § 3 главы 2 решений, волновых уравнений. Проведя в §§ 2-5 оценки нелинейных величин, Ш получаем в § б нелинейное интегральное неравенство от оцениваемой величины, иа которого удаётся извлечь нужную априорную оценку. В § 7, используя полученную априорную оценку, доказывается сходным образом с теоремой 2 теорема существования сильных решений.Это Теорема 6. Пусть граница | области

П

четырежды дифференцируема о ограниченными четвёртыми произ&одвыми. Пусть ^^

6 е - £ Н* (Л)<10 £

6 С- * Со> л У» п ^ (Л - ,

2 € (Л * Со^з)П Со, V)- Тогда с^ес®Уют

решения иг(х^) . , . • началь-

но-краевой задачи (2) , обладающие следующими дифференциальными свойствами

иП £([0,^1; иГА4С(С0^3; ^(Щ]

; ¿2(л)); и.^, с (со; ¿г(л));

и^и^СО^М Н^ПН^Л));

¿сли дополнительно предположить, что

то тогда

и,и £ Н^)

условия согласования таковы: V

де Р : (р()Гг) ~ правде части уравнений для

продольных перемещений задачи (2^ .

В § Ь доказывается теорема единственности таких решений. Её форму л!фовка такова:

Теорема 7. Пусть выполняются предположения теорем 6. Тогда

существует единственная система решении

х , начально-1фаевой задачи 2 , для

которой выполняются следующие условия:

Р'Ч** '

Ъта теорема несколько усиливает теорему единственности, до казанную И.И.Воровичем.

В главе. 7 излагаются результат о связи между гладкостью данных начально-краевой задачи 2 и гладкостью её решений, которые' сфорьцулированы в г% 2

Теореме Ь. Пусть для ^ , к^ Н,,(П)ЛС(Л) и гра-

ница [ области

Л

+ 2. раза дифференцируема, причём производные порядка 2г 4-2. ограничены. Пусть иТое Н2(-0.)Л

ОчаО в о • 4 2. '

п Н^ (-0-) , Нг(Х1)Л Нг (Л), Нг(ЮЛ Н^Чл),

• 1 2Т+2. i О

<и1)'а1£ Иг(х1)'пИг (Л), X, У € и ;„ (л к [0, -у) л

г ^ п ^ > вд),

2., оо

ТО +д ° ^

СО, V; Н>)П Н*(л»;

i; с ли

то

1 -

Если

5сг

ТО

2. Если

LP2'Un«Co,t{3)

p+<v=x+1 '

Zt A LP'lln»ío.tfî),

4 f- ' >

ТО ft.

tué Г\

p+Q =г+5> 3. Если т

t

при р + с^ 1 , ^ > Л И

а"х алé н»^

,р

tóZeeCL^V'H^-m)

при p-vc^ - х> . Оц > Л . т0

при р+с^г+з , ср>у & и

а^ессо^н'дхч)

при = Х + 2 . Ь

Предполагается, что выполняются соответствующие условия согласования данных задачи на границе П при = О . С внешней стороны изложение имеет определённые параллели с доказательством теоремы 4 в главе 5. По существу же следует придать во внимание, что уравнения для продольных перемещений в начально-краевой вадаче (2) имеют другой тип, чем аналогичные уравнения в задаче (I) . Это обстоятельство определяет существенные и даже кардинальные изменения в технических действиях и результатах. Сильные априорные оценки решений, подученные ранее, позволяют обойтись при выводе априорных оценок высших производных продольных и поперечного перемещений без использования операторов сглаживания. Применение же оценок решений волнового уравнения представляется в этой ситуации неизбежным.

В приложении к дисоертации приведены результаты о стремлении колебательных движений пологих оболочек из материалов с внутренним трениал к конечномерному аттрактору в случае, когда массовые силы не зависят от времени. Изложение следует руслу, предетавлешюму И.Д. Чуешовым в его работах по аттракторам систему уравнений Кармана .В. § I приводятся формулировки основных результатов .рассматриваются начально-краевые задачи а и В. Задача а получается из задачи (I) видоизменением уравнения для поперечного перемещения с помощью добавления в левую часть слагаемого - , £ ^ 0 , отвечающего за

отвечающего за трение, задача В получается из задачи 7. с помощью такого же видоизменения и, креме того, добавлением в левые части уравнений для продольных перемещений слагаемых -'г.^&и^ и , Ъ-гУС), соответственно. Второй па-

раграф посвящён выведу оценок решений для произвольного момента времени из всей временной полупрямой. Эти оценки служат базой для дальнейших: результатов. В § 3 доказывается существование и конечномерность аттрактора, опираясь на схемы, приведённые ИД. ЧУешавнм. В четвёртом параграфе показано, что всякая предельная точка каждой траектории соответствует положению равновесия оболочки.

ОСНОВНЫЕ ШУОСЬТШ И вьшэды

для начально-краевой задачи для уравнений Маргерра-Влас ова с предположением малости инерции продольных горемещений точек срединной поверхности оболочки докаваны:

1. Теорема о глобальной по времени априорной оценке -пешений

2. Теорема существования сильных и классичеокихрзшений на любом дрдаежутке времени

3. Теорема гладкости решений

4. Теорема единственности обобщенных решений

Для начально-краевой задачи для полных уравнений Маргерра--Власова доказаны:

5. Теорема о глобальной по времени априорной оценке решений

6. Теорема существования сильных и классических решений на любом промежутке времени

7- Теорема, единственнооти сильных реше'гпй

Ь - Теорема гладкости решений.

В приложении к диссертации для обеих моделей, учитывающих, дополнительно, внутреннее трение материала оболочки, получены следующие результаты:

9. Сильные решения соответствующих начально-краевых задач от. ределяют сильно непрерывную полугруппу эволюционных опере торов

10. Долугтруппа эволюционных операторов обладает аттрактором конечной хаусдорфовой размерное ти

11. Всякая предельная точка каждой траектории соответствует положению равновесия оболочки.

Основные результаты диссертации представлены в следующих

публикациях:

I. Оеденко В.И. Единственность обобщенного решения начально-краевой задачи налинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений//П,еп. в ЪКНИТИ А 1073 - ВДО от 23.02-90.

2. Седенко ВЛ. Теорема единственности обобщенного решения ' начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений //Тезисы, докладов на всесоюзном совещании молодых учёных в Абрау-дюрс о/29439 .90 - 5.10 .90/- Рос тов-нэ-д. ону: Издательство ГО . 1991.

3. СеденкоВ.И. Единственность обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболо-чец/Д оклада АН СССР.1991.Т.316.* 6.

4. Седенко В-И. Теорема единственности обобщенного решения

начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений //Известия АН СССР.Мех.тв.тела.19916.

5. Седенко В-И. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений/Деп. в ВШШТИ

> 2541-В92.

6. Седенко В Л. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек

/Доклады РАН.1993.-Т.331.й 37. Седенко В.И- Теорема существования в целом по времени классических решений начально-краевой задачи для уравнений Мар-геррг1-ьласова нелинейной теории колебаний пологих оболочек ^Известия шсш.уч.заведений.С«веро-К;-вказский регион.Естественные науки.1994.№ 1-2. Ь. Седенко В.И. Единственность обобщенного решения начально-

краевой вадачи для уравнений Маргерра-Влас ова нелинейной теории колебаний пологих оболочек//Кзвестая высш.уч.заведений. Северо-Кавказский регион.Естественные науки. 1994. * 1-2-

У. Седенко ВЛ. Теорема классической разрешимости в целом по ъралени начально-краевой задачи для уравнений Мартер-

ра-власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек /Тезисы докладов на Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам геометрии и анализа/25.9.94 -- 2.10.94/-Москва: Научное издательство "ТШ". 1994. 10. Седенко ВЛ. Классическая разрешимость в целом по времени

начально-краевой задачи для уравнений Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек//)!,окл; ды

РАН.1994. Т.340- * 3.