Теоремы существования в нелинейной теории тонких упругих оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Тимергалиев Самат Низаметдинович

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность - 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань -2003

Г*

Работа выполнена на кафедре высшей математики Камского государственного политехнического института

Научный консультант: Заслуженный деятель науки и тех-

ники РФ и РТ,академик АН РТдок-тор физико- математических наук, профессор И.Г.Терегулов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.М.Карчевский

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Немировский

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Паймушин

Ведущая организация-Институт вычислительного моделирования СО РАН

Защита состоится уио-Я._2003 г. в ауд. Физ.2 на

заседании диссертационного совета Д.212 081.11 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете им. В.И.Ульянова-Ленина (420008,г. Казань,ул. Кремлевская,! 8).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ им. Н-ИЛобачевского

Автореферат разослан 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кавдидат физ.-мат. наук, доцент

А.А.Саченков

2.РОЗ-А 78^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория нелинейных краевых задач для тонких оболочек в настоящее время является бурно развивающимся разделом математической теории упругости. Это прежде всего связано с тем, что для полного описания процесса упругого деформирования оболочечных конструкций аппарат линейных дифференциальных уравнений оказывается недостаточным, поскольку наиболее интересные и характерные особенности этого процесса связаны с большими нелинейностями. Особенно интенсивное развитие нелинейной теории тонких оболочек началось тогда, когда выяснилось, что проблема устойчивости тонкостенных конструкций в полной мере может решаться лишь на базе нелинейных краевых задач. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных вопросам расчета оболочек с учетом геометрической и (или) физической нелинейности. Результаты фундаментального и прикладного характера изложены в работах И.Г.Бубнова, Н.В.Валишвили, А.С.Вольмира, И.И.Воровича, К.З.Галимова, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, М.С.Корнишина, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозова, Х.М.Муштари, Ю.В.Немировского, В.В .Новожилова, И.Г.Терегулова, С.П.Тимошенко, В.И.Феодосьева и многих других авторов. Нелинейные задачи в очень редких случаях решаются в замкнутой форме. По этой причине для их решения используется широкий комплекс приближенных методов с применением компьютеров. Это обстоятельство делает особо актуальным строгое математическое исследование нелинейных краевых задач.

Работ, посвященных строгому математическому обоснованию разрешимости нелинейных краевых задач, сравнительно немного. Начало этому направлению было положено в середине 50-х годов И.И.Воровичем, который исследовал уравнения равновесия Власова для пологих изотропных однородных оболочек с жестко заделанным краем. Для пластин впервые нелинейные краевые задачи были рассмотрены Н.Ф.Морозовым. В этих и последующих работах ими были получены основополагающие результаты в области нелинейных краевых задач для оболочек и пластин. Доказательству теорем разрешимости нелинейных краевых задач для оболочек и пластин также посвящены работы В.Ф.Власова, С.Н.Волошановской, Ю.А.Дубинского, М.М.Карчевского, Л.ПЛебедева, В.Н.Паймушина, ПРабье, Л.С.Срубщика, Ф.Сьярле, И.Г.Терегулова, Ш.М.Шлафмана, А.А.Юркевича, М.Вепагёои, М.Ве^ег, Р.К.ВЬа«асЬагууа, РЛЭезгиупёег, 1.Шауасек, ОЛоЬп, О.Н.Кг^Му, 1.Ыаитапп, Шесая, 1.Т.Ос1еп, Р.РлЫег, Б-БаЛет и других. Подробный обзор имеющихся результатов и обширную библиографию можно найти в монографии И.И.Воровича, обзорных статьях И.И.Воровича и Л.ПЛебедева, М.МКарчевского.

Анализ имеющихся работ показывает, что 1) наиболее полно и глубоко изучены геометрически нелинейные, физв е за-

дачи для пластин и пологих оболочек при достаточно общих смешанных условиях их закрепления. Основу исследований составили топологические и вариационные соображения. Граничные условия, несмотря на их достаточно общий характер, брались таким образом, чтобы можно было образовать соответствующее энергетическое пространство, в котором отыскивалось решение. В качестве пространств выступали пространства перемещений и усилий. Однако, для ряда естественных краевых условий, в частности, для оболочек со свободным, шарнирно-опертым краями, вопросы разрешимости задач остались открытыми и они вошли в список нерешенных проблем математической теории оболочек, приведенный в монографии ИЛВоровича; 2) срединная поверхность пологих оболочек, рассмотренных в этих задачах, предполагалась либо из класса С\ (что позволяло

вводить на ней изометрическую систему координат), либо из класса С2, но в этом случае обязательно развертывающейся. В случае непологах оболочек геометрически нелинейные, физически линейные задачи исследованы, когда их срединная поверхность представляет собой либо поверхность вращения, либо выпуклую развертывающуюся поверхность класса С3, при этом края оболочки предполагались жестко защемленными, а внешняя нагрузка - произвольной. Когда внешняя нагрузка достаточно мала, теоремы разрешимости доказаны и для более широкого класса непологих оболочек из пространства С" с жестко заделанными краями. В рамках геометрически и физически нелинейной модели теоремы существования установлены лишь для пластин и пологих развертывающихся оболочек с частично или полностью защемленными краями, при этом использовались вариационные соображения. Поэтому естественно исследовать разрешимость нелинейных задач при произвольной нагрузке для более широкого класса оболочек как в смысле их гладкости, так и в смысле их геометрии, например, для пологих (непологих) оболочек, срединная поверхность которых суть кусочно-гладкая поверхность класса С1 (соответственно С3 ) ( далее кусочно-гладкие оболочки (КТО ) класса С2 ( С3 )); 3) в большинстве работ задачи изучались в обобщенной постановке. В основе введения понятия обобщенного решения, как правило, лежало условие регулярности материала оболочки ( в терминологии академика И.И.Воровича ), означающее положительную определенность квадратичной формы, связанной с плотностью потенциальной энергии деформации. Такие оболочки в дальнейшем будем называть регулярными, -а в случае невыполнения условия регулярности материала - нерегулярными. Для последних изучение задач в энергетических пространствах не представляется возможным. Причиной этого является невозможность образования самих пространств. Это обстоятельство приводит к необходимости отыскания решений, удовлетворяющих непосредственно уравнениям равновесия и геометрическим, статическим граничным условиям. На этом пути использовались методы, основанные на применении рядов Фурье и функций Грина, с помощью кото-

рых получены теоремы существования для пологого сферического сегмента и пологих оболочек из изотропного материала, а также для анизотропных однородных пластин. В связи с этим актуальным является разработка новых методов, позволяющих исследовать нелинейные краевые задачи для широкого класса нерегулярных неоднородных оболочек из анизотропного материала.

Изучению этих проблем и посвящена данная диссертационная работа.

Целью работы является доказательство теорем разрешимости геометрически и физически нелинейных краевых задач для тонких упругих анизотропных регулярных и нерегулярных оболочек при общих условиях их закрепления.

Методика исследований. В работе теоремы разрешимости доказываются по следующей схеме. Сначала строятся функциональные пространства, изучаются свойства их элементов. Затем в них даются обобщенные постановки задач. Нахождение обобщенных решений сводится к решению нелинейного операторного уравнения (НОУ) или системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Для исследования разрешимости НОУ используется топологический и (или) вариационный метод, а к изучению системы интегральных уравнений привлекается принцип сжатых отображений. В исследованиях широко применяются методы нелинейного функционального анализа, вариационного исчисления в банаховых пространствах, теории нелинейных интегральных уравнений, теории соболевских пространств. Кроме того, существенно используется аппарат обобщенных аналитических функций.

Научная новизна:

-развиты топологический и вариационный методы исследования геометрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях для тонких упругих анизотропных пологих КТО класса С2, с помощью которых доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек при смешанных условиях их закрепления;

- предложен новый подход к изучению геометрически и физически нелинейных краевых задач, основанный на исследовании их разрешимости в пространстве условных деформаций, отличном от пространств перемещений и усилий. Разработаны топологический и вариационный методы исследования задач в условных деформациях и на их основе установлены теоремы существования для упругих анизотропных пологих КТО класса С2 со свободным и шарнирно-опертым краями;

-развит вариационный метод исследования нелинейных краевых задач в перемещениях и условных деформациях для тонких упругих анизотропных непологих КТО класса С3 ненулевой гауссовой кривизны и на его базе доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек'при смешанных граничных условиях, свободном и шарнирно-опертом краях;

- дано обоснование применимости методов Бубнова-Галеркина и Рит-ца для приближенного решения нелинейных задач в пространствах перемещений и условных деформаций;

-выведены условия, при которых существует единственное решение рассматриваемого класса нелинейных задач для тонких анизотропных оболочек;

-путем перехода к пространству условных деформаций исследована разрешимость нелинейных краевых задач для анизотропных нерегулярных неоднородных оболочек с жестко заделанным, свободным и шарнир-но-опертым краями.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, ее результаты и методы исследования могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелинейных краевых задач для тонких оболочек. Кроме того, приближенные методы, применимость которых обоснована в настоящей работе, могут быть востребованы в практических расчетах различных тонкостенных конструкций.

Основная часть работы выполнялась в рамках проектов № 93-0116747, № 96-01-00518 и № 99-01-00410 Российского фонда фундаментальных исследований, проекта по реализации Программы Республики Татарстан по развитию науки по приоритетным направлениям.

Достоверность основных результатов обеспечивается корректностью постановки задач механики, корректным применением для их решения методов, базирующихся на строго доказанных фактах нелинейного функционального анализа, теорий нелинейных интегральных уравнений, обобщенных аналитических функций, вариационного исчисления и сравнением с известными в научной литературе соответствующими результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации:

-развитие топологического, вариационного методов исследования геометрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях для упругих анизотропных пологих КТО класса С2 при смешанных условиях их закрепления;

- новый метод, основанный на исследовании разрешимости нелинейных краевых задач в пространстве условных деформаций;

-топологический и вариационный методы исследования задач в условных деформациях для упругих анизотропных пологих КТО класса С2 со свободным и шарнирно-опертым краями;

-развитие вариационного метода исследования разрешимости нелинейных задач в перемещениях и условных деформациях для упругих анизотропных непологих КТО класса С3 ненулевой гауссовой кривизны при смешанных граничных условиях, свободном и шарнирно-опертом краях;

-вывод условий существования единственного решения нелинейных краевых задач для тонких упругих анизотропных оболочек;

-доказательство теорем существования решений нелинейных задач для анизотропных нерегулярных оболочек с жестко заделанным, свободным и шарнирно-опертым краями.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации сообщались на Международных научно-технических конференциях « Механика машиностроения » ( Набережные Челны, 1995, 1997), на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), на VII Четаев-ской конференции « Аналитическая механика, устойчивость и управление движением » (Казань, 1997), на Международном симпозиуме « Будущее за композитами » (Набережные Челны, 1997), на Международных конференциях « Актуальные проблемы механики оболочек » (Казань, 1998, 2000 ), на Международной научно- технической конференции « Технико-экономические проблемы промышленного производства » (Набережные Челны, 2000 ), на межвузовских конференциях « Математическое моделирование и краевые задачи »(Самара, 2000, 2001 ),на V Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике » (Новосибирск, 2000), на Международной научной конференции « Актуальные проблемы математики » (Казань, 2000 ). В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на расширенном заседании Научно-технического совета Камского государственного политехнического института, на объединенном семинаре кафедр « Сопротивление материалов и основы теорий упругости и пластичности » КГ АСА и « Вычислительная математика » КГУ, на объединенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИ математики и механики Казанского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка, содержащего 125 наименований, и изложена на 340 страницах машинописного текста.

Диссертационная работа выполнена на кафедре высшей математики Камского государственного политехнического института.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту Заслуженному деятелю науки и техники РТ и РФ, академику АН РТ, доктору физико-математических наук, профессору Ильтизару Гизатовичу Терегулову за указание направления научных исследований, помощь в постановке задач, постоянное сотрудничество и внимание к работе.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение включает в себя обоснование актуальности темы диссертации, краткий исторический обзор по исследуемой теме, цель и краткое содержание диссертации, а также перечисление ее основных результатов.

В первой главе краевые задачи в перемещениях с граничными условиями, рассмотренными в монографии И.И.Воровича в рамках геометрически нелинейной, физически линейной упругой модели, изучаются для

пологих оболочек из физически нелинейного упругого материала с кусочно-гладкой срединной поверхностью класса С2.

В §1 дается постановка основных краевых задач нелинейной теории тонких оболочек.

В основе исследований лежат следующие соотношения теории тонких оболочек:

I) соотношения деформации- перемещения:

'í'^rv -Gjjwk-Bjjw3+ü}2j/2>i=ia'

2s12 -^12 =W1 a2 +w2a' ~2G12W* ~2B\2wI + taia}2' 4 = r\ =-mjaJ + G>tJ = l,2,

2^12 = rh = -®2я)

где а; — w^j +¡BjWk , s° и s'j - компоненты тангенциальной и изгиб-ной деформации срединной поверхности S0 оболочки, Bt¡ и В{ - ковари-антные и смешанные составляющие тензора кривизны S0, G* - символы Кристоффеля второго рода, wk и w3 - тангенциальные и нормальное перемещения точек а1, а2 - декартовы координаты на плоскости, изменяющиеся в некоторой плоской ограниченной области £2 с границей Г , гомеоморфной S0;l - параметр, равный нулю в случае пологих оболочек и единице в случае непологих оболочек;

II) определяющие соотношения:

= В^уЧ! - ai" = о» - < M,q < s,Л, /л, q, s = 1,2,

где ВХп' {а} ,аг ,аъ)- упругие характеристики оболочки, Тхц +а3/{и> г1" и сг»А'" - линейная и нелинейная часта напряжения сг^.

На протяжении всей работы будем считать, что на оболочку действуют массовые силы F(al,а2,а3), по граням оболочки приложены усилия F±(al,a2) и на границе оболочки действуют поверхностные силы F\S,a3).

Для задания граничных условий пусть имеются два разбиения гра-

4 8

ничного контура Г: Г- U Г„ = (J Гв, при этом Г, могут быть не-

а=1 >3=5 Н J

связными множествами, но всегда содержащими конечное число компонент. Первое разбиение используется для задания изгибных граничных условий, второе - тангенциальных граничных условий:

(1.1) (1.2) (1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

здесь Wj (j = 1,4), wT, wm - заданные функции, mk и тк - составляющие орта нормали m и орта касательной г к Г; kf ,к™ ,к™т ,k'Jp >0 -коэффициенты упругости опор, сами опоры Гг - Г4, Г6 - Гй характеризуются энергией иоп, которая накапливается при деформации.

В этом же параграфе приводятся основные соотношения для вариации потенциальной энергии деформации, элементарных работ внешних сил на возможных перемещениях в условиях гипотез Кирхгофа-Лява. Используя вариационный принцип Лагранжа, выводятся уравнения равновесия оболочки и статические граничные условия, которые вместе с геометрическими граничными условиями (1.1)-(1.6) описывают широкий класс краевых задач нелинейной теории тонких упругих оболочек. При их формулировке мы можем комбинировать любой вариант изгибных граничных условий и любой вариант тангенциальных граничных условий. В результате имеем 16 краевых задач. В соответствии с этим будем различать задачи aß, а -1,4, ß = 5,8. Например, задача 27 заключается в определении из уравнений равновесия вектор» перемещения

w = (w,, w2, w3 ) .удовлетворяющего геометрическим и статическим граничным условиям при обязательном требовании mes Г2 > 0, mes Г7 > 0 ;

W.

'4|Г,

оп I г

■w, , Ч- =w4, W4= —

w3> ««iri =4

¿r2 ¿гъ

— [k'J w,w\ ds; 2 J м ' JU.j-ъа '

* 2

= W1> W2|r. = W2Î

= , Wm = wkmk, иол |Гб = 1 J k^ w) ds, wt = wk rk ;

w,

r\r.

r7

ол\г

= — fk'J w.H'J ds;

2 J P 8

при этом остальные участки контура Г или некоторые из них могут и отсутствовать.

§2 носит вспомогательный характер. В нем приводятся известные факты и сведения из функционального анализа, теории обобщенных аналитических функций, теории соболевских пространств, теории нелинейных интегральных уравнений, вариационного исчисления в банаховых пространствах. Кроме того, доказываются некоторые новые утверждения, в частности, теорема о коэрцитивности для функционала, переменными которого являются линейные операторы. Все эти факты существенно используются на протяжении всей работы.

§3 посвящен исследованию краевых задач afi для пологих оболочек. С этой целью развивается топологический метод.

В течение всего параграфа предполагаются выполненными следующие условия:

1) квадратичная форма 2ПГ = BA№yXilyqs положительно определена во всем объеме, занятом оболочкой;

2) Sa - кусочно-гладкая поверхность класса С2 в случае пологих оболочек (/ = 0) и класса С3 в случае непологих оболочек (/ = 1);

3) Q - соболевская область, одновременно принадлежащая классам (2,1,2) и (2,2,2);

4) Г- КГК класса С1;

А

5) характеристики упругости (а3)к da3, к = 0,1,2 суть ограни-

-А

ченные функции в £2;

6) нелинейная часть с^ напряжения как функция компонент деформации удовлетворяет условию Липшица, т.е.

-у21,1,^ = 1,2, Ук=(гк1и>Гк,п>Гк,гг) при \у к | < г, (г, > 0 - некоторое число) почти для всех точек оболочки с постоянной Липшица а, (г.) -» 0 при г, —» 0;

7) коэффициенты упругости опор к^,к*,к",к™,к''р суть ограниченные функции соответственно на > F^, Г ^, Г^, Fj, ,при этом, следуя И.И.Воровичу, будем различать существенно упругие связи;

8) FeL2(Q)xL^-h,h], F± eL2(ti\- F° eL2(F)xlx[-h,h], где 2h = const - толщина оболочки;

9) граничные перемещения Wj (J = 1,4 ), wm,wT являются допустимыми , т.е. продолжимы внутрь Q как функции из соболевских пространств Ж20)(Й), Wj2\U).

В пункте 3.1 строятся функциональные пространства. Пусть

Dap{£l)- линейное пространство перемещений w-(w,,w2,w2) с ком-

понентами =(>с1,и'2)еС(П)) е С1 (О.), имеющими кусочно-непрерывные в О производные V/ ,, ъ>}а1а/,] = 1,2 и удовлетворяющими однородным граничным условиям (1.1) — (1.6) при обязательном условии /яе&Г0, тезГр > 0 и связи на Га(а* 1), (/9*5) являются существенно упругими. При этом остальные участки контура Г могут отсутствовать, при их наличии связи на них не обязательно существенно упругие. На />^(£2) задается скалярное произведение, для этого привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. Замыкание £>а/3 (О) в норме, порожденной скалярным произведением,

обозначается через Нар (О). Показывается, что Н^ (£2) суть гильбертовы пространства. Изучаются свойства элементов этих пространств, в частности, доказываются теоремы вложения, а также свойства некоторых операторов, действующих в Нар (С2).

В пункте 3.2 вводится понятие обобщенного решения задачи а.р в Нсф(С1). В нелинейных задачах переход к обобщенным решениям

можно совершить разнообразными приемами. "Следуя И.И.Воровичу, мы избрали обобщенные решения, непосредственно вытекающие из вариационного принципа Лагранжа. Опираясь на теорему Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве, отыскание обобщенного решения сводится к решению в Нар (□) нелинейного операторного уравнения (НОУ)

<?„(*) = О (ЗЛ)

относительно вектора перемещения у;.

Изучению свойств нелинейного оператора Сар посвящен пункт

3.3. Если в случае физически линейных задач С?^ суть вполне непрерывный оператор, то здесь О^ представляет собой ограниченный в Нар (П) оператор, что является одним из основных отличительных

моментов в исследовании физически нелинейных задач. Имеет место следующая

Лемма1 .Оператор Са/3 представим в виде = + о) + го1". где Соф,с- вполне непрерыв-

ный, Сгд^»- ограниченный нелинейные операторы в Н^ (Г2), зависящие от некоторого параметра принадлежащего промежутку [0,1).

Отметим, что в случае физически линейных задач /0 = 0, = 0.

В пункте 3.4 исследуется разрешимость НОУ (3.1) , для чего используется топологический метод. Основу этого метода, как известно, составляет вычисление вращения вполне непрерывного векторного поля, соответствующего изучаемому уравнению, с

последующим применением к нему принципа Лере-Шаудера. Однако, как следует из вышесказанного, уравнению (3.1) соответствует не вполне непрерывное векторное поле и это обстоятельство делает невозможным применение традиционного подхода к (3.1). В связи с этим к изучению уравнения (3.1) привлекаются известные результаты М.А.Красносельского, касающиеся уравнений с не вполне непрерывными операторами, в которых основная роль принадлежит резольвенте нелинейного оператора. Допуская существование параметра f0 е[0,1), при котором оператор G^, = Gaß, /(1 — f0) в достаточно большой части пространства //^(Q) имеет резольвенту Rap, , уравнение (3.1) приводится к эквивалентному уравнению с вполне непрерывным оператором:

w-Raß,Gaß^0) = 0. ^=G^>c/(l~f0). (3.2)

Показывается, что вращение вполне непрерывного векторного поля w - Raßt, G^ с (w; tü ) на эллипсоиде пространства Н^ (Q) с достаточно

большими полуосями равно +1. При этом используется идея гомотопности, которая опирается на априорную оценку функционала Ф^аО.А,v) = ((1 ~tü)w-HGaßc(w;t0)-fivGaß.(w;t0),a)aß, определенного на Н^(Q)x[0,1]x[0,1], где a = (2w,,2w2,w3); {-,-)ар означает скалярное произведение в Haß(Q). Для получения априорной оценки

здесь и в последующих главах диссертации нами используется схема, предложенная И.И.Воровичем для оценки подобных функционалов. Следуя ей, эллипсоид разбивается на три части, одна из которых не содержит слабого замыкания нуля. Затем на каждой части устанавливаются соответствующие неравенства снизу для <t>a^(w; ¡л, v) V//,ve[0,l].

В данной схеме особое место занимает доказательство существования лишь тривиального решения системы нелинейных уравнений

ja (3.3)

>V + W2al ~ 2в&к + °>\0>г = 0. Условия, при которых система (3.3) имеет только нулевое решение, в конечном счете определяют тот класс оболочек, который и рассматривается в краевых задачах. Ранее путем сложения первых двух уравнений в (3.3) и интегрирования полученного уравнения по области Q подобное утверждение было доказано для пологих оболочек класса Cl(Q) и развертывающихся оболочек, принадлежащих C2(fi). В данной работе к этой проблеме нами предлагается новый подход, основанный на обращении линейной части системы (3.3). При этом существенно используется аппарат обобщенных аналитических функций. Благодаря новому подходу в четвертой главе удалось

исследовать задачи для некоторого класса непологих оболочек. А здесь таким способом доказывается

Лемма 2. Пусть выполнено условие 2), уг = (-и^, *е3) е Н^ (О) .

удовлетворяет в О п. в. системе (3.3) и п. в. >е0 |г = О, Г1+Г1Ф 0.

Кроме того, пусть

?=*о(Д)||(/-р)-1ус1,1 +С]2-Ц02п +вЦс <1, (3.4)

где

Р/ = -Т{А/ + ВЛ, Т/ = -\/яЦт/(д-2)с1&т,, д = £ + щ

а

А(В) = 1/4[^2 - <?,', - (+)С7,22 - «2С]п + (-)С^ - (+)(?,21)],

I - тождественный оператор.

Тогда в О..

Вьшолнение условия (3.4) иллюстрируется на конкретных примерах. Основной результат §3 дается теоремой 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1)-9), упругие характеристики В**41 (а1 ,а2,а3) суть четные функции по переменной аг, существует

параметр t0 е[0,1), при котором оператор С?^, имеет резольвенту, Гх + Г2 * 0, связи на Г6,Г7,Гъ существенно упругие и выполняется условие (3.4). Тогда задача а.р для пологих оболочек разрешима, все ее обобщенные решения лежат внутри эллипсоида с достаточно большими полуосями.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач геометрически и физически нелинейной теории пологих оболочек с граничными условиями, отличными от рассмотренных в первой главе. Особенность этих граничных условий состоит в том, что для них не представляется возможным образование пространств перемещений типа Нар (О). В силу этого для изучения задач с такими граничными

условиями предлагается новый метод, суть которого заключается в доказательстве их разрешимости в пространстве условных деформаций е = (ех,ег,£ъ), отличном от пространств перемещений, усилий. Основу метода составляют интегральные представления для компонент перемещения через £ = (е},£2,£3).

Данная глава включает в себя три параграфа. Новым задачам посвящены §§5,б. В §4 новый метод применяется к исследованию задачи для пологих оболочек, жестко защемленных по всему краю, рассмотренной в первой главе.

В пункте 4.1 дается постановка задачи, вводится линейное пространство £>ДО) условных деформаций, выводятся интегральные представления для компонент перемещения, деформаций.

Пусть Д.(С2) - линейное пространство вектор-функций е = (е1, ег, £3) с компонентами вида

где = (-н>,, >»»2, и»3) е 0,5 (£2).

В случае линейных задач для пластин функции £J,j = l,Ъ

представляют собой линейные комбинации некоторых компонент деформации. Поэтому далее они будут называться условными деформациями.

Через функции , / = 1,3 компоненты вектора и>е £>15(£2) выражаются формулами

у, =^КеГ£0, у>2 = 1ьпТе0, = ~~ТТеъ

а для деформаций имеем, например,

4 =(1^0 -(-1)'£,)/2-Ке(вмТЕ0) + ЬдТЕ3 +

и т.д. Здесь а>Д£) = Ке[(-1/2У-1Г£з + 10^ео], £0 = £, + г'г2,

= (—1 / яг) — г)2 , где интеграл следует понимать в

п

смысле главного значения по Коши; оператор Т/ введен в лемме 2; Ёд,Ь^ -известные функции. Особенность этих соотношений

состоит в том, что в них зависимость от условных деформаций носит интегральный характер. В этом же пункте вариация потенциальной энергии деформации, элементарная работа внешних сил также выражаются через элементы пространства £>е(0).

Пункт 4.2 посвящен построению основного пространства £ь(£2). Для этой цели сначала на 0£ (П) задается скалярное произведение, после чего Е15 (П) определяется как замыкание Д, (О) в норме, порожденной этим скалярным произведением. Изучаются свойства элементов £]5(£2), в частности, доказывается

Лемма3.Пусть ееЕ15(0). Тогда'

где постоянные т0,М0>0 не зависят от £.

Достаточно много внимания уделяется изучению свойств некоторых операторов, действующих в Еи (£2).

Введению понятия обобщенного решения задачи 15 в условных деформациях посвящен пункт 4.3. Доказывается корректность определения обобщенного решения. Его нахождение сводится к решению эквивалентного НОУ с ограниченным оператором, разрешимость которого устанавливается в пункте 4.4. Для этого используется схема рассуждений пункта 3.4. Таким образом доказывается теорема существования по крайней мере одного обобщенного решения задачи 15 в условных деформациях внутри эллипсоида пространства Е15(С1) с достаточно большими полуосями.

В §5 метод §4 применяется к изучению разрешимости геометрически и физически нелинейных краевых задач для свободных анизотропных пологих оболочек, не подчиненных никаким геометрическим граничным условиям, подверженных действию самоуравновешенной внешней нагрузки.

В пункте 5.1 дается постановка задачи, вводится пространство £>(П) перемещений \<> = (-и>1,-и>2, ), компоненты которых имеют вид:

и\ = ^яете0 , м>2 =^1тг£0,

и>3 = )-Теъ = - г\П0)(1^т1 ,д = € + щ, (5-1)

2 7.Я п

где £ = (е1,£1,£3)еЬр(П), р>2- произвольная вектор-функция с действительными компонентами; /0 - характерный линейный размер срединной поверхности S0.

Лемма 4. Пространство 0(0.) не содержит жесткие перемещения, пологой оболочки как абсолютно твердого тела.

Выводятся соотношения для компонент деформаций, вариации потенциальной энергии деформации, элементарной работы внешних сил через функции ееЬр(П), р> 2, которые составляют основу исследований §5.

Построению основного пространства, в котором будет решаться задача, посвящен пункт 5.2. Здесь, как и выше, существенным моментом является определение скалярного произведения для функций е из Ьр(С1),р> 2. При проверке выполнения условий скалярного

произведения используется идея аналитического продолжения на всю плоскость, благодаря которой удалось применить обобщенную теорему Лиувилля для обобщенных аналитических функций. Основное пространство Е(П) получается как замыкание Ьр{0),р>2 в норме, заданной скалярным произведением. Изучаются свойства элементов В(О), а также операторов, действующих в Е(0.). В частности, показывается эквивалентность Е(С1) пространству Ьг (О).

В пункте 5.3 дается обобщенная постановка задачи, доказывается ее корректность. Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ с ограниченным в E(Q.) оператором:

Е - G(s) = 0. (5.2)

Оператор G(e) представляется в виде G(s) = Gc(s\tü) + G,(c;tü) + t0e, где Gc - вполне непрерывный, G, - ограниченный нелинейные операторы, зависящие от параметра t0 е [0,1). Для физически линейной задачи ro=0, G. s0.

Исследованию разрешимости уравнения (5.2) посвящен пункт 5.4. Для этого используется метод, рассмотренный в пункте 3.4: сначала уравнение (5.2) преобразуется в уравнение с вполне непрерывным оператором, затем вычисляется вращение соответствующего вполне непрерывного поля на эллипсоиде пространства Е{Q). При этом наибольшую трудность представляет вывод оценки снизу для функционала Ф(е; fi, 8) = ((1 -t0)e- pGe (s; /0 ) - fi9G, (e; tQ), a)E,

определенного на E(Q)x [0,1]x[0,1], а = (2el,le2,s3), которая получается в виде V/i(<9e[0,l]; R- достаточно большое число.

В процессе вывода этой оценки существенную роль играет следующая лемма, являющаяся аналогом леммы 2.

Лемма 5. Пусть выполнено условие 2) пункта 3.1, Г- гладкий контур класса С>а(0<а <1) и е = (е1,е2,е3)^Е(£1) есть решение системы уравнений

(Re&?0 - (-1У ) / 2 -Re(^r£0) + ^ и2(г3) = 0, у = 1,2,

ег~2 Ke(g12Ts0 ) + (г3 )а>2 (е3) = 0. Кроме того, пусть

q = p-K)-l\\jPo(Zic<l, (5.3)

где Кей = Re[(gn - g12)Теь] + 2iRs(gnT£0), р0(z) = Ф'Г(z) - T(g], +gn), = gjk={G)k-iG%)l2, M = 1,2.

¿ш pt — Z Тогда s = 0 в Q.

Приводятся примеры, когда условие (5.3) выполняется.

Имеет место

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)-3), 5), б), 8) §3, неравенство (5.3), Г- гладкий контур класса С„(0 < а < 1), ВХт'{а* ,а2,аг) суть четные функции по а3, существует параметр t0 € [ОД), при котором оператор G, = G, /(1 - /0 ) допускает резольвенту. Тогда задача равновесия пологих свободных оболочек разрешима в пространстве

Е(С2); все ее обобщенные решения лежат внутри эллипсоида с достаточно большими полуосями.

Указывается подпространство пространства Е(С1), в котором задача

разрешима без условия (5.3) и когда Г-КГК класса С1а.

§6 посвящен исследованию нелинейных задач для пологих оболочек с шарнирно опертыми краями.

В пункте 6.1 дается постановка задачи. Пусть срединная поверхность пологой оболочки гомеоморфна односвязной плоской области О с границей Г. Будем различать два варианта изгибных условий:

^3|г=й;з; (6.1)

и>4|г=Й;4 (6.2)

и четыре варианта тангенциальных условий закрепления оболочки:

(6.3)

(6.4)

п (6.5)

(6.6)

в которых (у = 1,4), , - заданные функции.

Предполагается, что выполнены условия 1)-3), 5), 6), 8) §3, Г- гладкий контур класса С1а(0<а< 1); щ еС\(Г), Я,(у = 1,2,4), еСа(Г).

При формулировке краевых задач мы можем комбинировать любой вариант тангенциальных и любой вариант изгибных граничных условий. В соответствии с этим будем различать задачи ру, р. = 1,2, V = 3,6. Итак, задача ¿IV заключается в нахождении решения задачи равновесия пологой оболочки при геометрических граничных условиях (6. р. ), (6. V ).

В пункте 6.2 приводятся некоторые сведения из теории краевых задач Римана-Гильберта для аналитических функций в односвязных областях.

Пункт 6.3 посвящен выводу основных соотношений. Центральным местом этого пункта является получение интегрального представления для перемещения, удовлетворяющего заданным граничным условиям. С этой целью рассматривается следующая вспомогательная задача.

Задача АМУ.Найти компоненты перемещения V/ = (и>,,м!2,ъ>3) класса

е > «v е 1р Р>2' '> 1= 1'2' удовлетворяющие

системе (4.1), в которой £](у = 1,3) 6Ьр(О),р>2 суть произвольные

функции, временно считавшиеся известными, и граничным условиям (6,ц), (6,у).

Задача Л решается с привлечением краевых задач Римана-Гильберта

для аналитических функций. В результате для прогиба м>3 получаем

единственное представление через еъ, однако, при этом должно выполняться

условие разрешимости вида

Ц^(ф3(г)с/а^а2 =0, (6.7)

п

где к0м (г) - известная функция.

Тангенциальные перемещения определяются безусловно, но неоднозначно; для однозначности их представлений через требуется, чтобы

удовлетворяли некоторым дополнительным условиям интегрального характера. Значительное место пункта 6.3 занимает изучение свойств операторов и функций, входящих в эти представления. Здесь же через условные деформации £J,j = l,3 выражаются компоненты деформации,

вариация потенциальной энергии, элементарная работа внешних сил.

Пункт 6.4 посвящен построению функциональных пространств. Пусть £>рДО) - линейное пространство вектор-функций

£ = (е1,е2,ег)е.Ьр(О), 2< р <2!{\- а), у которых третья компонента ег

удовлетворяет условию (6.7). На .Е^ДО) задается скалярное произведение,

при этом существенно используются некоторые факты из теории задач Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций. Замыкание в соответствующей норме обозначается через ЕМУ(0.). Изучаются

свойства элементов пространства Ец1,(0.), показывается его полнота.

Достаточно много внимания уделяется изучению операторов, действующих в

В пункте 6.5 дается обобщенная постановка задач ¡IV в ЕЦУ(С1),

доказывается ее корректность. Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ

(6.8)

где в^Де)- ограниченный оператор.

Исследованию разрешимости уравнения (6.8) посвящен пункт 6.6. Рассуждения, аналогичные примененным в §§ 4,5 приводят к тому, что при выполнении вышеуказанных условий и некоторых ограничений на геометрические параметры оболочки задача ¡IV разрешима в пространстве ЕМУ(£1), все ее обобщенные решения лежат внутри эллипсоида с достаточно большими полуосями. Указывается подпространство пространства £рДП), в котором задача ¡IV разрешима при более слабых ограничениях на исходные данные.

В третьей главе для исследования нелинейных краевых задач, рассмотренных в первых двух главах, используется вариационный метод. Хотя здесь основной результат снова теоремы разрешимости, полученные таким способом решения качественно отличаются от решений §§ 3,5,6, поскольку они характеризуют экстремальные состояния системы.

Третья глава включает в себя четыре пара1рафа. В §7 вариационный метод применяется к исследованию задач а.р в пространствах Нар (П). Исследования проводятся по следующей схеме. Сначала дается формула для функционала J ар полной энергии системы "оболочка-внешняя нагрузка". Затем изучаются некоторые свойства , а именно, доказывается

Теорема 3. Функционал (у*/) определен и дифференцируем в любой точке у» е Н^ (£2) и рсШ^ (м-) = м'-в^ (м>).

Следствие. Множество критических точек функционала JCф{yv) совпадает с множеством обобщенных решений задачи ар.

Дальнейшее исследование 3ар (уч) опирается на обобщенную теорему

Вейерштрасса, согласно которой если 1) функционал слабо полунепрерывен снизу и 2) является возрастающим в рефлексивном банаховом пространстве, то он имеет точку абсолютного минимума на этом пространстве. В связи с этим доказываются следующие утверждения.

Теорема 4. Пусть для любых двух векторов деформации 7к ~ (Ук,11 > У к,и > Т'к.гг ) е ¿2 (У)> к = 1,2 выполнено условие

ШИ^,)-^(Гг^Лм -Ггм)<*Г >0.

у

Тогда функционал J0ф (и*) слабо полунепрерывен снизу в Нар (О).

Пусть

р.\йЧоиг,0<Чо<1, (7.1)

где ит и и. - потенциальные энергии деформации при напряжениях и^ и а^ соответственно.

Теорема 5. Пусть выполнены условия 1)-9) §3, Гх+ Г0, суть четные функции по а3, неравенства (3.4), (7.1) и связи на Г6, Г-¡, -Г8 существенно упругие. Тогда Jap(м>) суть возрастающий функционал в

Из теорем 3,4,5 следует, что задача а/3 имеет по крайней мере одно обобщенное решение, доставляющее функционалу абсолютный минимум.

В заключительной части §7 обсуждается вопрос существования точек локального минимума JCф, являющихся также обобщенными решениями

задач ар.

§8 посвящен изучению задачи равновесия для свободных пологих оболочек в пространстве £(0), а в §9 вариационный подход применяется к задачам цу в ЕМУ(П). Исследования в этих параграфах проводятся по той

же схеме, что и в §7, и опираются на допущения и соотношения §§ 5,6. В результате доказываются утверждения теорем 3-5 для функционалов J0 и 3^ полной энергии в соответствующих пространствах Е(0) и £^„(£2).

Последний §10 третьей главы посвящен обоснованию применимости методов Бубнова-Галеркина (БГ) и Ритца к исследованию рассмотренных выше задач. Обоснование приближенных методов проводится по следующей схеме. Сначала устанавливается, что системы уравнений БГ и Ритца при каждом п имеют по крайней мере одно решение. Затем показывается, что 1) множество приближенных решений БГ сильно компактно в соответствующем пространстве и всякая предельная точка этого множества является обобщенным решением задачи; 2) из множества приближений Ритца можно выделить подпоследовательность, сильно сходящуюся к некоторой точке абсолютного минимума соответствующего функционала полной энергии.

В четвертой главе диссертации изучаются геометрически и физически нелинейные задачи для анизотропных непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны. Основу рассмотрений составляют вариационные соображения.

Данная глава состоит из трех параграфов. В §11 краевые задачи изучаются в перемещениях. В пункте 11.1 дается постановка задач. Пусть 6

Г=\^Гт есть разбиение граничного контура Г области П.

да-1

Рассматривается следующий вариант граничных условий:

(и.1)

^и = ™>> = ^31' иоп\г2 =\ I +*„33И'32)л, (11.2)

2 2 л

=^з2,«от|Гз =4 \(*}Ц2 +*Ц3Ч2)^ ; (11.3)

3 -¿Гз

* = 3,4, к»,! = щ , и-„| = 1 \kfcol (11.4)

¿г,

^л^.А^ЗА*^ =Я2 , 1/от|Гз =Д Ж; (11.5)

¿г,

гб

Здесь k'Jp,kl - коэффициенты упругости опор, сами опоры характеризуются энергией иоп ; wk(k = 1,4), w3J (j = 1,2) - заданные функции.

Будем различать задачи т, т = 1,6. Задача m заключается в нахождении из уравнений равновесия перемещения w = (Wj, w2, w3 ), удовлетворяющего (11.1)-(11.5) и статическим граничным условиям при обязательном требовании mes Гт> 0 , при этом остальные участки контура Г или некоторые из них могут и отсутствовать.

В этом же пункте выводятся соотношения для деформаций, вариации потенциальной энергии, элементарной работы, которые используются и в последующих параграфах четвертой главы. Эти соотношения характеризуются тем, что в них тангенциальные перемещения, следуя И.И.Воровичу, Л.П.Лебедеву и Ш.М.Шлафману, заменены на a>i,a>2- Значительное место пункта 11.1 занимает построение функциональных пространств. Пусть Dm (Q) -линейное пространство вектор-функций со = (а)\, й>2, w3 ) класса а>0 =(ffl„ffl2)sC(a), w3 eC'(fi), имеющих кусочно-непрерывные в Q производные а ^, w3a,aJ и удовлетворяющих однородным граничным условиям (11.1)-(11.5) при обязательном требовании тевГт >0, при этом связи на Гт (m Ф1) являются существенно упругими, остальные участки разбиения Г могут отсутствовать, а при их наличии связи на них не обязательно существенно упругие. Замыкание Dm (Q) в соответствующей норме, заданной скалярным произведением, обозначается через Нт(С1). Доказываются теоремы вложения для Hт (Q) , а также некоторые другие свойства этих пространств. Изучаются свойства операторов, действующих вЯя(П).

Введению понятия обобщенного решения задачи m в Нт(Q) и сведению его к НОУ посвящен пункт 11.2. Разрешимость НОУ рассматривается в пункте 11.3. Для этого используется вариационный подход. Показывается, что 1) функционал J„(со) полной энергии определен и дифференцируем в каждой точке пространства Hт (Q); 2) множество критических точек Jn (со) совпадает с множеством обобщенных решений задачи т; 3) Jт (со) - слабо полунепрерывный снизу и возрастающий в Нт (Q.) функционал. Основу вариационного подхода составляют априорные оценки для Jm, при выводе которых определяющее значение имеет получение условий существования лишь тривиального решения системы нелинейных уравнений

- bJWbaV + За* ~ 0' j = 1'2' (П 6)

- (Ьх + Ъ2 )w3a,al + gnW3ai + û), • Ф2 = 0,

являющейся аналогом системы (3.3).

Имеет место

Лемма 6. Пусть выполнено условие 2) (7 = 1) §3, вектор <» = (о,,,vv3) е Нт(Q) удовлетворяет в О п.в. системе (11.6) и w3 |г = w4 | = 0. Кроме того, пусть

Ч\ ~ Р\Г'¡^ ИсЧа(Й) < 1. q2 T(BU +522)ic+%|c]||(7-P2r4|J|(/-Pl)-,|jA х ^

x^^maxjlBiyi^^^l, 2dePJ = -T(Af + Af); P2f = -~(I-PlTinbTf); b = BjBM,

£ = (£,',_+С^й, +i(G* + G22 )b2, bj = 1 IBj. Тогда co = 0 e Q.

Выполнение условий (11.7) иллюстрируется на конкретном примере непологой оболочки.

В заключительном пункте 11.4 исследуется вопрос применимости метода Ритца для приближенного решения задач m.

Основной результат §11 дается следующей теоремой.

Теорема 6. Пусть выполнены условия 1)-6), 8) §3, коэффициенты упругости опор k''p,i,j = 1,2, k^,i,j = 3,4 суть ограниченные функции,

причем связи k'l,/, j = 3,4 на Г2,Г3,Г6 существенно упругие, ВХщ'-

четные функции по а3, а также имеют место условие теоремы 4, неравенства (7.1), (11.7). Тогда существует по крайней мере одно обобщенное решение задачи т, доставляющее функционалу Jт абсолютный минимум.

§12 посвящен изучению разрешимости нелинейных краевых задач для непологих свободных оболочек ненулевой гауссовой кривизны. Для этого предлагается метод, аналогичный примененному в §5.

В пункте 12.1 дается постановка задачи, вводится пространство Da(Ci) вектор-функций a = (a>l,tv2,w3), компоненты которых имеют вид (5.1), где s = (£j,e2,s3)e Lp(Q),p>2- произвольная вектор-функция. С

помощью этих интегральных представлений компоненты деформации, вариация потенциальной энергии, элементарная работа внешних сил выражаются через е. Основное пространство ЕС(П) определяется как замыкание Lp{Q),p>2 в соответствующей норме. Изучаются свойства элементов Ес (Q). Показывается, что при выполнении некоторого условия пространство перемещений, определенных при помощи £gEc{Q), не содержит жесткие смещения оболочки.

В пункте 12.2 вводится понятие обобщенного решения задачи и его нахождение сводится к НОУ.

Исследованию разрешимости НОУ в Ес(С1) посвящен пункт 12.3. При помощи рассуждений, аналогичных примененным в §11, показывается, что при выполнении условий 1)-3), 5), 6), 8) §3, /"-гладкий контур класса С[а(0<а<1), - четные функции по а3, а также

условий теоремы 4, неравенств (7.1) и типа (11.7), задача равновесия для свободных оболочек имеет по крайней мере одно обобщенное решение, придающее абсолютный минимум функционалу полной энергии. Указывается подпространство пространства Ес (£2), в котором задача разрешима при менее жестких ограничениях на исходные данные.

В §13 изучаются нелинейные задачи для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны с шарнирно опертыми краями. Эти граничные условия характеризуются тем, что для них не представляется возможным образование пространств типа Нт (О). В силу э того для их исследования предлагается метод, разработанный в §6, основу которого составляют интегральные представления для перемещения, полученные с помощью задачи Римана-Гильберта для аналитических функций.

В пункте 13.1 дается постановка задачи, выводятся основные соотношения, строятся функциональные пространства.

Пусть £2 - односвязная область с гладкой границей Ге.С\. Пусть компоненты перемещения удовлетворяют одному из следующих вариантов граничных условий:

31. (13Л)

м^г^зг, (13.2)

п3\г=щ, (В^т1 +В^2т2)\г=Яг-, (13.3)

г = +В1м>2тг)|г =»и, (13.4)

от

где еСха(Г), Яу,йзу(/ = 1,2),м;4,и;,.,Й>теСа(Г)~ известные функции.

Эта задача путем исключения тангенциальных перемещений сводится к эквивалентной задаче для вектора со = (¿э,,<я2,у/3), названной нами задачей п.

Для вывода интегральных представлений рассматривается следующая вспомогательная

Задача Ап. Требуется найти вектор-функцию со — {со1,а2,\е3) класса а>,, и>3а, е С(С1), со , и» <аУ е Ьр (О), р> 2, г,] = 1,2, удовлетворяющую п.в. системе

1 ~ 2 =Е\> (0, 2 + <2>„ I =£4, 1а1 2и 1 1а 2а' *'

^ , 1 +УС, 2 2 За'п Зйй -3

и граничному условию (13. п).

Здесь в О' = 1,3) е Ьр(С1), р> 2- произвольные функции.

Задача Ап решается сведением к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций в односвязной области. В результате получаем интегральные представления для функций а через е = (еи£2,е3), третья компонента £3 которых в случае граничных условий (13.3), (13.4) удовлетворяет условию вида

\\кйп(г)8г{2)с1а'с1а2 = 0, (13.5)

п

где к0п (г)- известные функции.

Пусть Д, (О) - линейные пространства вектор-функций Е = (ех,£г,съ)еЬр(О),2<р<2/(1-а), у которых третья компонента ег при и = 3,4 удовлетворяет условию (13.5). Замыкание Оп(П) в соответствующей норме обозначается через Еп (П). Устанавливаются некоторые свойства пространств Ел{0).

В пункте 13.2 дается обобщенная постановка задач п . Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ, разрешимость которого доказывается в пункте 13.3, для чего используется вариационный метод. Таким способом показывается, что задача п для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны при некоторых ограничениях на параметры оболочки имеет обобщенное решение в Еп (О), доставляющее функционалу полной энергии абсолютный минимум.

Характерная особенность глав 1-4 заключается в том, что доказанные в них теоремы разрешимости носят нелокальный характер, т.е. существование хотя бы одного решения устанавливается внутри эллипсоидов с достаточно большими полуосями без каких бы то ни было предположений о малости параметров внешней нагрузки. В то же время в теории нелинейных краевых задач для тонких оболочек важной проблемой является определение пределов изменения параметров внешней нагрузки, при которых задача имеет единственное решение. Этой проблеме посвящена пятая глава.

В пятой главе краевые задачи, рассмотренные в главах 1,П в случае пологих оболочек, изучаются для тонких непологих оболочек. Целью главы является вывод условий, при которых эти задачи имеют единственное решение.

Данная глава состоит из трех параграфов. В §14 рассматриваются задачи ар в перемещениях. §15 посвящен задаче для свободных тонких оболочек, а в §16 изучаются задачи /лу. Исходным пунктом в исследова-

ниях этих параграфов являются нелинейные операторные уравнения, к которым было сведено нахождение обобщенных решений задач. Существование единственного решения НОУ устанавливается по следующей схеме. Ограниченный оператор, входящий в НОУ, представляется в виде суммы линейного вполне непрерывного и ограниченного нелинейного операторов. Основным моментом в данной схеме является доказательство утверждения о том, что число 1 не есть собственное число линейного оператора. Для этой цели привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. В случае свободных оболочек и задач цу данное утверждение имеет место при некоторых ограничениях на геометрические параметры оболочки, которым, в частности, удовлетворяют непологие оболочки положительной гауссовой кривизны, произвольные пологие оболочки. После этого НОУ преобразуется к эквивалентному виду, к которому применяется принцип сжатых отображений. Таким путем доказывается, что при некоторых ограничениях на исходные данные в шаре соответствующего пространства задача имеет единственное обобщенное решение.

Заключительная шестая глава диссертации посвящена изучению геометрически и физически нелинейных краевых задач для тонких упругих анизотропных нерегулярных неоднородных оболочек. Для этой цели предлагается метод, разработанный в предыдущих главах, и основанный на решении задач в условных деформациях. Такой подход позволяет получить в качестве уравнений равновесия нелинейные сингулярные интегральные уравнения (СИУ) по ограниченной плоской области О относительно условных деформаций.

Шестая глава включает в себя три параграфа. В §17 изучаются нелинейные задачи для нерегулярных оболочек с жестко заделанным краем. В пункте 17.1 соотношения для перемещений, деформаций через функции £ = (£,,£2,£3), полученные в §4, представляются несколько в другом виде, удобном для дальнейших исследований. Здесь же строится основное пространство Ь2{€1) условных деформаций. Оно получается как замыкание линейного пространства £>С(П) (см. §4) в норме ¿2(0). Изучаются функциональные свойства элементов пространства £2(£1), а также свойства операторов, действующих в Ь2 (£2).

В пункте 17.2 с помощью вариационного принципа Лагранжа вводится понятие обобщенного решения задачи, доказывается корректность его определения. Нахождение обобщенного решения сводится к решению системы нелинейных СИУ по области О в пространстве Ь2(0). При этом используются некоторые сопряженные операторы, в связи с чем сначала изучаются их свойства.

Пункт 17.3 посвящен исследованию разрешимости СИУ. Для этой цели привлекается принцип сжатых отображений. Таким способом показывается, что при выполнении условий 2)-6), 8), 9) §3 и при некоторых ограничениях на физико-геометрические характеристики оболочек и на па-

раметры внешней нагрузки система в шаре малого радиуса имеет единственное решение. Выполнение условий разрешимости иллюстрируется на конкретных примерах.

§18 посвящен исследованию задачи равновесия для нерегулярных свободных оболочек. В заключительном §19 для нерегулярных оболочек изучаются задачи juv. Исследования этих параграфов ведутся по той же схеме, что и в §17. В качестве основных пространств, в которых ищутся решения, выступают Lp(Q),p>2 (§18) и Еру(П) (§19), образованое как замыкание линейного пространства DMV(Q) (см.§6) в норме L2(Cl). Основу рассмотрений составляют интегральные представления для перемещений, деформаций, полученные в §§5,6. Разрешимость СИУ устанавливается при помощи принципа сжатых отображений. В результате получается, что задачи в некотором шаре соответствующего пространства при некоторых ограничениях на параметры оболочек и внешней нагрузки имеют единственное решение.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

- развиты топологический и вариационный методы исследования reo- -метрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях для тонких упругих анизотропных пологих кусочно-гладких класса С2 оболочек. С помощью этих методов доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек при смешанных условиях их закрепления;

- предложен новый метод исследования нелинейных краевых задач, суть которого заключается в доказательстве их разрешимости в пространстве условных деформаций. Основу метода составляют инте1ральные представления для перемещений через условные деформации, полученные с использованием аппарата обобщенных аналитических функций, краевых задач Римана-Гильберта для аналитических функций;

- разработаны топологический и вариационный методы исследования задач в условных деформациях. На их основе установлены теоремы существования для упругих анизотропных пологих кусочно-гладких класса С2 оболочек со свободным и шарнирно-опертым краями;

- развит вариационный метод исследования нелинейных краевых задач в перемещениях и условных деформациях для тонких анизотропных упругих непологих кусочно-гладких класса С3 оболочек ненулевой гауссовой кривизны и на его базе получены условия существования решений задач для таких оболочек при смешанных граничных условиях, свободном и шарнирно-опертом краях;

- дано обоснование применимости методов Бубнова-Галеркина и Рит-ца для приближенного решения нелинейных задач в перемещениях и условных деформациях;

- получены условия, при выполнении которых существует единственное решение нелинейных задач для тонких упругих анизотропных оболочек;

- метод исследования задач в условных деформациях развит на случай тонких упругих анизотропных неоднородных нерегулярных оболочек. Доказаны теоремы существования единственного решения нелинейных задач для таких оболочек с жестко заделанным, свободным и шарнирно-опертым краями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. О разрешимости одной геометрически нелинейной задачи теории пологих оболочек//Изв. ву-зов.Математика.-1998.-№7.-С.53-61.

2. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. О существовании решения одной задачи нелинейной теории пологах оболочек//Изв. РАН. МТТ.-1998.-№3.-С.21-29.

3. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. К вопросу разрешимости физически нелинейной задачи теории пологих оболочек при конечных перемещениях//Изв. вузов.Математика.-1998.-№9.-С.70-80.

4. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н Исследование разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории тонких оболочек//Изв. РАН. МТТ.-2000.-№6.-С.116-128.

5. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. Метод Ритца приближенного решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек//Изв. РАН .МГТ.-2002.-№1 .-С. 154-164.

6. Тимергалиев С.Н. Доказательство разрешимости одной задачи нелинейной теории пологих оболочек//Изв. вузов.Математика,-1996.-№9.-С.60-70.

7. Тимергалиев С.Н. Об одном методе доказательства разрешимости задачи нелинейной теории пологих оболочек//Дифференциальные уравне-ния.-1998.-Т.34.-№ 10.-С. 1412-1419.

8. Тимергалиев С.Н. Исследование разрешимости вариационных задач нелинейной теории тонких оболочек//Изв. вузов.Математика.-2001.-№9.-С.66-74.

9. Тимергалиев С.Н. Вариационный метод в проблеме разрешимости краевых задач геометрически нелинейной теории тонких оболочек/Дифференциальные уравненш.-2002.-Т.38.-№4.-С.521-528.

10. Тимергалиев С.Н. Метод Бубнова-Галеркина приближенного решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек // Дифференциальные уравнения.-2002.-Т.38.-№12.-С.1680-1689.

11. Тимергалиев С.Н. Исследование разрешимости одной краевой задачи нелинейной теории пологих оболочек/ЛГруды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин.Т1.-Казань,1996.-С.133-138.

12. Тимергалиев С.Н. О разрешимости задач нелинейной теории пологих оболочек//Камский политехнический институт.- Наб.Челны, 1997.-19 с /Рукоп. депон. в ВИНИТИ 21.05.97,№1689-В97.

13. Тимергалиев С.Н. Об одном методе доказательства существования решения краевых задач нелинейной теории непологих оболочек/Яруды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек», посвящ. памяти засл. деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова, 911 сентября 1998 года.-Казань,1998.-С.210-216.

14. Тимергалиев С.Н. К вопросу о существовании и единственности решения краевых задач в нелинейной теории тонких оболочек/ЛГруды X межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи»(29-31 мая 2000 года).Часть1.-Самара,2000.-С.161-163.

15. Тимергалиев С.Н. Об одном методе исследования краевых задач нелинейной теории тонких оболочек/ЛГруды Математического центра им. Н.И.Лобачевского.Т5.-Казань,2000.-С .296-297.

16. Тимергалиев С.Н. К исследованию разрешимости нелинейных краевых задач теории непологих оболочек/ЛГруды XI межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2001 го-даЛасгь 1-Самара, 2001.-С.179-182.

17. Тимергалиев С.Н. Единственность решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек//Тезисы докл. уч. V междунар. конф. «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», 18-22 сентября 2000 года.-Новосибирск,2000.-С. 107.

18. Тимергалиев СЛ. О разрешимости геометрически и физически нелинейных задач теории пологих оболочек/ЛГезисы докл. участн. VII Чета-евской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», 10-13 июля 1997 года.-Казань,1997.-С.165.

19. Тимергалиев С.Н. К вопросу разрешимости одной задачи нелинейной теории пологих оболочек/ЛГезисы Международной конференции «Механика машиностроения» (28-30 марта 1995 года ) . -Наб.Челны: Кам-ПИ,1995.-С. 104-105.

20. Тимергалиев С.Н. Исследование разрешимости задачи о ндс нелинейной теории пологих композитных оболочек//Тезисы докл. участн. I международного симпозиума «Будущее за, композитами» (5-7 февраля 1997 года).-Наб.Челны:КамПИ,1997.-С.44-46.

21. Тимергалиев С.Н. О разрешимости геометрически и физически нелинейных задач теории тонких непологах оболочек/ЛГезисы докл. участн. международной научно-технической конференции «Механика машиностроения», 23-25 сентября 1997 года.-Наб.Челны:КамПИ,1997.-С.59.

22. Тимергалиев С.Н. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости краевых задач нелинейной теории тонких оболочек/ЛГезисы доклад, участн. международной научно-технической конференции «Тех-

нико-экономические проблемы промышленного производства»(29-31 марта 2000 года).-Наб.Челны,2000.-С.47.

23. Тимергалиев С.Н. Вариационный метод исследования краевых задач нелинейной теории тонких оболочек//Тезисы докл. уч. международной конф., посвящ. 100-летию проф. Х.М. Муштари, 90-летию проф. К.З. Га-лимова и 80-летию проф. М.С. Корнишина «Актуальные проблемы механики оболочек», 26-30 июня 2000 года.-Казань,2000.-С.232.

ЛРЫ 020342 от 7.02.97 г. ЛР№ 0137 от 2.10.98 г. Подписано в печать 28.03.03 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Уч.-издл 2,0 Усл.-печ.л. 2,0 Тираж 100 экз.

Заказ 1740/9/2. Издательско-полиграфический центр Камского государственного политехнического института

423810, г. Набережные Челны, Новый город, проспект Мира, 13

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТОНКИХ

ОБОЛОЧЕК В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Постановка основных краевых задач нелинейной теории тонких оболочек.

§ 2. Некоторые вспомогательные сведения.

§ 3. Топологический метод решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях.

3.1.Функциональные пространства

3.2.Введение понятия обобщенного решения задачи aß .Сведение задачи к операторному уравнению

3.3.Некоторые свойства оператора Gaß

3.4.Исследование разрешимости операторного уравнения (3.45).

ГЛАВА II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК В УСЛОВНЫХ

ДЕФОРМАЦИЯХ.

§ 4. Топологический метод решения нелинейных задач для пологих оболочек с жестко заделанным краем в условных деформациях

4.1. Постановка задачи. Вывод основных соотношений.

4.2. Построение основного пространства.

4.3. Введение понятия обобщенного решения задачи в условных деформациях Сведение задачи к операторному уравнению

4.4. Разрешимость операторного уравнения (4.36).

§ 5. Топологический метод решения нелинейных краевых задач для пологих свободных оболочек в условных деформациях

5.1. Постановка задачи. Основные соотношения

5.2. Функциональные пространства

5.3. Обобщенные решения задачи равновесия свободных оболочек. Сведение задачи к операторному уравнению.

5.4. Разрешимость операторного уравнения

§ 6. Топологический метод решения нелинейных краевых задач для пологих оболочек с шарнирно опертыми краями.

6.1. Постановка задачи

6.2. Некоторые вспомогательные сведения

6.3. Вывод основных соотношений

6.4. Функциональные пространства

6.5. Обощенные решения задачи цу. Сведение задачи /iv к операторному уравнению

6.6. Разрешимость краевых задач /лу

ГЛАВА III. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

§ 7. Вариационыый метод решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях

§ 8. Вариационный метод решения нелинейных краевых задач для пологих свободных оболочек в условных деформациях

§ 9. Вариационный метод решения нелинейных краевых задач для пологих оболочек с шарнирно опертыми краями.

§ Ю.Методы Бубнова-Галеркина (БГ) и Ритца приближенного решения нелинейных краевых задач для пологих оболочек

10.1. Методы БГ и Ритца приближенного решения задач af3.

10.2. Методы БГ и Ритца приближенного решения задач в условных деформациях

ГЛАВА IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

§11. Вариационный метод в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для непологих оболочек в перемещениях

11.1. Постановка задачи. Основные соотношения. Функциональные пространства

11.2. Введение понятия обобщенного решения задачи m. Сведение задачи m к операторному уравнению

11.3. Разрешимость задачи m

11.4. Метод Ритца приближенного решения задачи m

§ 12. Вариационный метод в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для непологих свободных оболочек.

12.1. Постановка задачи. Основные соотношения. Функциональные пространства

12.2. Введение понятия обобщенного решения задачи . Сведение задачи к нелинейному операторному уравнению

12.3. Разрешимость операторного уравнения (12.21)

12.4. Метод Ритца приближенного решения задачи

§ 13. Вариационный метод в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для непологих оболочек с шарнирно опертыми краями

13.1. Постановка задач. Основные соотношения. Функциональные пространства

13.2. Обобщенные решения задачи п. Сведение задачи п к операторному уравнению

13.3. Разрешимость операторного уравнения (13.47).

13.4. Метод Ритца приближенного решения задачи п

ГЛАВА V. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

§ 14. Единственность решения краевых задач afi в перемещениях для тонких оболочек.

§ 15. Единственность решения задачи для свободных тонких оболочек

§ 16. Единственность решения задач jjv для тонких оболочек

ГЛАВА VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОНКИХ

НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОБОЛОЧЕК

§ 17. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для тонких нерегулярных оболочек с жестко заделанным краем в условных деформациях

17.1. Основные соотношения. Функциональные пространства

17.2. Обобщенное решение задачи 15 для тонких нерегулярных оболочек. Вывод уравнений равновесия в условных деформациях

17.3. Исследование разрешимости системы (17.40).

§18. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для тонких нерегулярных свободных оболочек

§ 19. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости задач jliv для тонких нерегулярных оболочек.,

19.1 .Функциональные пространства. Обобщенные решения задач /л V. Сведение задачи к операторному уравнению

19.2.Исследование разрешимости операторного уравнения (19.21)

Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории упругих анизотропных тонких оболочек.

В настоящее время теория нелинейных краевых задач для тонких оболочек является бурно развивающимся разделом математической теории упругости. Это прежде всего связано с тем, что для полного описания процесса упругого деформирования оболочечных конструкций аппарат линейных дифференциальных уравнений оказывается недостаточным, поскольку наиболее интересные и характерные особенности этого процесса связаны с большими нелинейностями. Особенно интенсивное развитие этого раздела началось тогда, когда выяснилось, что проблема устойчивости тонкостенных конструкций в полной мере может решаться лишь на базе нелинейных краевых задач. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных вопросам расчета оболочек с учетом геометриI ческой и (или) физической нелинейности (см.[4, 6, 12, 30, 33, 34, 38, 39, 40, 50, 52, 58, 64, 65, 66, 98, 101] и цитированную в них литературу). Нелинейные задачи в очень редких случаях решаются в замкнутой форме. По этой причине для их решения используется широкий комплекс приближенных методов с применением компьютеров. Это обстоятельство делает особо актуальным строгое математическое исследование нелинейных краевых задач.

Работ, посвященных строгому математическому обоснованию разрешимости нелинейных краевых задач, сравнительно немного. Первые исследования в этой области принадлежат И.И. Воровичу [18, 19]. Им были рассмотрены уравнения равновесия в перемещениях Власова для пологих изотропных однородных оболочек с жестко заделанным краем. С помощью функций Грина плоской задачи теории упругости исходная задача была сведена к одному интегро-дифференциальному уравнению (ИДУ) относительно прогиба. Для исследования разрешимости этого уравнения был использован метод Бубнова- Галеркина. Была установлена разрешимость на каждом этапе системы п уравнений и обоснован предельный переход при п —> оо. Таким образом, была доказана и теорема разрешимости геометрически нелинейной краевой задачи. Вопросам погрешности приближенных решений, построенных в [19], посвящена работа И.И. Воровича [20], опубликованная в том же 1955 году.

Следующим шагом в исследовании геометрически нелинейных краевых задач для пологих изотропных оболочек явилась работа [21]. В этой работе И.И. Ворович к доказательству разрешимости ИДУ, полученного в [19], применил вариационный метод, основанный на исследовании задачи минимизации некоторого функционала. Доказано существование критических точек функционала, являющихся решениями ИДУ. Полученные здесь решения ИДУ качественно отличаются от решений работы [19], поскольку они характеризуют экстремальные состояния системы "оболочка-нагрузка". Кроме того, было проведено обоснование методов Бубнова- Галеркина, Ритца, метода разложения по степеням малого параметра в случае неособого и особого решений.

В работе [22], опубликованной в 1957 году, И.И. Ворович для исследования уравнений равновесия изотропных однородных пологих оболочек использовал топологический метод. Суть этого метода заключалась в сведении исходной задачи к эквивалентному нелинейному операторному уравнению (НОУ) с вполне непрерывным оператором и последующем вычислении вращения соответствующего вполне непрерывного векторного поля. После этого разрешимость НОУ непосредственно вытекала из принципа Лере- Шаудера о неподвижной точке оператора. Таким путем была доказана теорема существования по крайней мере одного нелокального решения задачи. Топологический метод, в отличие от примененных в [19, 21] методов, дает не только теорему разрешимости, но и позволяет в некоторых случаях анализировать число решений задачи. Впоследствии он был применен к широкому кругу задач, посвященных нелинейной устойчивости (см. [30] и цитированную там литературу). Здесь же была отмечена возможность применения прямых методов, обоснованию которых посвящена работа [23].

В том же 1957 году появилась работа Н.Ф. Морозова [60], в которой изучалась разрешимость уравнений Кармана с параметром для тонкой пластины при жесткой заделке и шарнирном опирании. С помощью бигар-монической функции Грина исходная задача сначала была сведена к системе двух ИДУ относительно функций прогиба и напряжения. Затем эта система была преобразована в систему шести интегральных уравнений относительно частных производных 2-го порядка функций прогиба и напряжения, разрешимость которой была установлена с использованием принципа Лере- Шаудера. Результаты этой работы получили дальнейшее развитие в [61]. Здесь для исследования уравнений Кармана с параметром Н.Ф. Морозов использовал модифицированный метод Ньютона, метод сжатых отображений и принцип Лере- Шаудера. Результатом этих исследований явилась теорема существования как локального, так и нелокального решений задач при некоторых значениях параметра. Затем эти результаты были обобщены на случай пластин переменной толщины и жесткости. Методом функции Грина краевые задачи для анизотропных однородных пластин исследованы в работе Н.Ф. Морозова [62].

Позже, в 1967 году Ю.А. Дубинский [41] для исследования разрешимости системы уравнений Кармана для пластин при жесткой заделке предложил другой подход, основанный на изучении задачи в обобщенной постановке. Для доказательства существования обобщенного решения, введенного при помощи интегральных тождеств, он использовал метод Бубнова- Галеркина. Была доказана сходимость приближенных решений к точному обобщенному решению. Эта же задача для пластин с жестко заделанным краем в аналогичной постановке была рассмотрена в работе М.Бергера [109]. В отличие от [41] здесь нахождение обобщенного решения задачи было сведено к решению НОУ в соболевском пространстве, разрешимость которого была установлена вариационным методом. Основу такого подхода составляли энергетические неравенства. Впоследствии аналогичный подход при изучении разрешимости краевых задач для уравнений Кармана при различных граничных условиях применяли Ф.Сьярле, П.Рабье [74], Hlavacek I., Naumann I. [114, 115], John O., Ñecas I. [117], Knightly G.H. [118], Knightly G.H., Sather D. [119], Naumann J. [121], Necas I., Naumann J. [122], Rabier P. [123].

Работа Волошановской C.H. и Карчевского М.М. [14] посвящена исследованию задачи о сильном изгибе тонкой изотропной пластины с жестко заделанным краем. Доказано, что при достаточно малых касательных составляющих внешней нагрузки существует обобщенное решение задачи в соболевском пространстве; если, кроме того, мала и нормальная составляющая, то это решение единственно. Для приближенного решения задачи построена и обоснована разностная схема.

Во всех приведенных выше работах, касающихся пластин, края пластины предполагались полностью или частично жестко защемленными, либо шарнирно опертыми, либо рассматривался смешанный вариант закрепления. Краевые задачи нелинейной теории анизотропных пластин при весьма общих условиях закрепления края изучались в работе Л.П. Лебедева [55]. Предполагалось, что пластина закреплена в трех точках, не лежащих на одной прямой (задача 1), и свободна от геометрических связей (задача 2). Методом работы [22] были доказаны теоремы разрешимости этих задач, причем в случае задачи 2 необходимым и достаточным условием существования обобщенного решения явилась самоуравновешенность внешней нагрузки.

Вернемся к обзору работ, касающихся геометрически нелинейных задач для оболочек. И.Г. Терегулов [75] исследовал вопросы существования решения системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, к которым приводит задача об изгибе пологого сферического сегмента. Представив искомое решение в виде рядов Фурье по синусам и косинусам, для определения их коэффициентов, зависящих от одной переменной, была получена система нелинейных алгебраических уравнений. Разрешимость системы была установлена сведением к эквивалентной системе нелинейных интегральных уравнений с последующим применением к ней метода последовательных приближений.

Л.С. Срубщик [73] исследовал разрешимость уравнений Рейсснера для изотропных непологих оболочек вращения, подчиненных некоторым ограничениям, исключающим сферический купол и круглую пластинку. Метод исследования заключался в сведении исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к НОУ и в исследовании его разрешимости с помощью принципа Лере- Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывных преобразований. При этом существенную роль сыграла разрешимость некоторой линейной задачи, доказанная автором в этой же работе.

Работа И.И. Воровича и Л.П. Лебедева [24] посвящена обобщению результатов [22] на случай ортотропных неоднородных пологих оболочек переменной толщины с более общими граничными условиями.

В работе [25], опубликованной в 1974 году, И.И. Ворович, Л.П. Лебедев и Ш.М. Шлафман исследовали задачу о равновесии непологой оболочки, срединная поверхность которой является частью поверхности вращения, при произвольной нагрузке и жестко закрепленном крае. Используя метод работы [22], задача была сведена к решению НОУ в некотором энергетическом пространстве, построенном авторами. Однако, здесь в отличие от [22] для доказательства его разрешимости был применен вариационный метод. Основу метода, как и в [22], составляли априорные оценки для некоторого функционала, получение которых является одним из существенных моментов доказательства. В основе их вывода лежит идея разбиения эллипсоида пространства на несколько частей, одна из которых не содержит слабого замыкания нуля. Таким путем было доказано существование обобщенного решения задачи, придающего абсолютный минимум функционалу полной энергии. В частном случае осесимметричной деформации вычислено вращение векторного поля.

В работах [25], [73] из рассмотрения исключались куполообразные оболочки. Исследованию задач для таких оболочек посвящена работа И.И. Воровича и Ш.М. Шлафмана [26]. Используя метод работы [22], было доказано существование обобщенного решения задачи о равновесии изотропного упругого непологого сферического купола с жестко заделанным краем, подверженного осесимметричной деформации. Здесь же эти результаты распространены на случай куполообразных симметрично загруженных оболочек вращения, коэффициенты первой квадратичной формы которых подчинены некоторым условиям.

Задача о равновесии упругих изотропных непологих оболочек с жестко заделанным краем, срединная поверхность которых является выпуклой развертывающейся поверхностью, рассмотрена в работе Ш.М. Шлафмана [104]. При помощи метода работы [25] доказано существование по меньшей мере одного обобщенного решения. Отмечается возможность распространения результатов на случай анизотропных оболочек.

Исследованию применимости метода конечных элементов (МКЭ) для решения задач о равновесии жестко заделанных по краям пологих оболочек, а также непологих оболочек, срединная поверхность которых является либо частью поверхности вращения, либо выпуклой развертывающейся, и замкнутой симметрично загруженной сферической оболочки, посвящены работы И.И. Воровича и Ш.М. Шлафмана [27], Ш.М. Шлафмана [105, 106]. Доказаны разрешимость алгебраических систем и сходимость их решений к обобщенному решению задач.

Позже появились работы Волошановской С.Н. и Карчевского М.М. [16,17 ], в которых изучались задачи о равновесии непологих цилиндрической [16] и незамкнутой сферической оболочек [17]. Для исследования задач был применен вариационный метод, основанный на неравенствах коэрцитивности для функционала полной энергии. Теоремы разрешимости получены при некоторых ограничениях на внешнюю нагрузку.

Работа И.И. Воровича и Л.П. Лебедева [28] посвящена изучению нелинейных краевых задач для пологих оболочек с общими граничными условиями. Предполагалось, что в трех точках области, не лежащих на одной прямой, известны значения нормального перемещения, а тангенциальные перемещения заданы на части границы ненулевой длины. Вариационным методом доказано, что при некоторых ограничениях на тангенциальные составляющие внешней нагрузки существует по меньшей мере одно обобщенное решение задачи. Рассмотрен случай, когда с тангенциальных перемещений сняты геометрические связи. Показано, что для разрешимости задачи в этом случае требуется самоуравновешенность тангенциальной нагрузки. Отмечено, что задача равновесия в перемещениях для совсем свободной от геометрических связей является некорректной.

В.Ф.Власов и А.А Юркевич [11] исследовали разрешимость нелинейных уравнений Григолюка-Чулкова, описывающих равновесие тонких упругих пологих трехслойных круговых цилиндрических оболочек. Существование обобщенного решения доказано как предел последовательности решений некоторых линейных задач в соболевском пространстве.

Работа Benardou М., Oden I. Tinsley [108] посвящена изучению нелинейной задачи равновесия пологой оболочки с жестко заделанным краем в произвольных криволинейных координатах. Исследования ведутся в соболевском пространстве перемещений. Нахождение обобщенного решения, введенного с помощью вариационного принципа Лагранжа, сведено к решению операторного уравнения. Разрешимость операторного уравнения установлена с помощью неравенства коэрцитивности для нелинейного оператора. В том же 1981 году вышла работа Destuynder Р. [113], в которой доказана теорема разрешимости задачи равновесия для пологой оболочки. Доказательству теорем существования и единственности решения задачи об изгибе пологой некруговой незамкнутой цилиндрической тонкой оболочки, защемленной по всему контуру, посвящена работа Bhattacharyya Р.К. [111]. Для этой цели использовался вариационный метод.

Изучению краевых задач нелинейной теории физически пологих и развертывающихся оболочек при достаточно общей формулировке граничных условий посвящена работа И.И. Воровича [29]. Исследования ведутся в произвольных криволинейных координатах. Оболочка предполагается либо из класса С%(П), либо из класса C2(Q), но в этом случае она должна быть развертывающейся. Нахождение обобщенных решений, введенных на основе вариационного принципа Лагранжа, сводится к решению эквивалентного НОУ с вполне непрерывным оператором, разрешимость которого устанавливается топологическим методом.

Монография И.И. Воровича [30] посвящена строгому математическому анализу краевых задач геометрически нелинейной теории пологих oGu-лочек. В ней краевые задачи при достаточно общей формулировке граничных условий (именно в такой формулировке граничные условия рассматриваются нами в главе 1) изучаются в произвольных криволинейных координатах как в перемещениях, так и с функцией усилий. Исследования ведутся в энергетических пространствах, построенных автором. В основе их построения лежит условие регулярности материала оболочки, выражающее положительную определенность некоторой квадратичной формы, связанной с плотностью потенциальной энергии деформации. Задачи изучаются в обобщенной постановке. Обобщенные решения задач вводятся на основе вариационных принципов Лагранжа и Алумяэ. Для доказательства теорем разрешимости краевых задач в перемещениях и с функцией усилий предлагаются топологический и вариационный методы, основу которых составляют априорные оценки для решения, функционала полной энергии. В этих исследованиях оболочка предполагается из тех же классов, что и в [29]. Кроме теорем разрешимости в монографии приведены условия единственности решений и условия неединственности; получили обоснование методы приближенного решения; большое внимание уделено нелинейной устойчивости. Отметим здесь, что в диссертации мы существенно будем использовать некоторые результаты этой фундаментальной монографии.

В 1995 году вышла работа М.М.Карчевского [48], в которой изучалась разрешимость краевых задач геометрически нелинейной теории для непологих оболочек с жестко защемленными краями, геометрические и упругие характеристики которых принадлежат классу С00. Для исследования был предложен подход, основанный на использовании теорем типа теоремы о неявной функции (теоремы Канторовича). Разрешимость задач доказана с помощью неравенств коэрцитивности для оператора линейной теории оболочек при достаточно малых компонентах внешней нагрузки, при этом существенную роль сыграла положительная определенность некоторых квадратичных форм.

Работа Л.П.Лебедева [56] посвящена исследованию разрешимости нелинейных задач о равновесии пологих оболочек, когда коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности имеют устранимые особенности.

Последней известной нам работой, посвященной проблеме разрешимости геометрически нелинейных задач, является работа И.И. Воровича и Л.П.Лебедева [31], в которой рассмотрена задача равновесия нелинейной пластины, подкрепленной ребрами жесткости. Вариационным методом, развитым в [30], доказано существование обобщенного решения задачи как критической точки функционала энергии. Дано обоснование сходимости метода Ритца.

Перейдем к обзору работ, посвященных исследованию разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории тонких оболочек и пластин.

Волошановская С.Н. [13] исследовала геометрически и физически нелинейную задачу для пластин в условиях, когда материал пластины однороден и несжимаем; компоненты напряжения выражены через функцию где интенсивность деформаций сдвига, а g- абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая некоторым условиям. Методом Галер-кина показано, что задача имеет по крайней мере одно обобщенное решение при ограничениях на касательные составляющие внешней нагрузки и на функцию g(¿;2); кроме того, если мала и нормальная составляющая, то это решение единственно.

В работе С.Н. Волошановской, М.М.Карчевского и А.Д. Ляшко [15] за счет замены интенсивности деформации на ее усреднение по толщине пластины теоремы разрешимости и единственности удалось доказать при более слабых ограничениях на внешнюю нагрузку и функцию g(^2).

Статья Ш.М.Шлафмана [107] посвящена изучению разрешимости статической задачи для тонких оболочек из несжимаемого нелинейно-упругого материала. Края оболочки жестко защемлены. Вариационным методом доказано существование единственного обобщенного решения задачи. Проведено обоснование метода Бубнова-Галеркина.

М.М.Карчевский [45] для исследования разрешимости нелинейных краевых задач для пологих оболочек применил метод, основанный на использовании обобщенной теоремы Вейерштрасса. Предполагалось, что плотность потенциальной энергии деформации является произвольной выпуклой функцией, имеющей степенной рост; часть границы оболочки жестко защемлена, остальная часть свободна; геометрия срединной поверхности оболочки отождествлялась с геометрией плоскости. Вариационным методом было доказано, что задача имеет хотя бы одно обобщенное решение в соболевском пространстве перемещений при достаточно малых касательных составляющих внешней нагрузки. Также было показано, что в случае жесткого защемления оболочки по всему краю задача имеет решение при любой внешней нагрузке.

Метод работы [45] позже использовался в [46], [49] для обоснования применимости различных вариантов МКЭ к исследованию нелинейных задач для пластин и пологих оболочек, а также в [47] для исследования вариационных задач теории трехслойных пологих оболочек. Подобные задачи для непологих оболочек, жестко заделанных по всему контуру, рассмотрены в работе Л.Ш.Заботиной и М.М.Карчевского [42]. В предположении существования решения задачи в вариационной постановке предложен способ его построения, суть которого состоит в замене исходной задачи регуляризованной, зависящей от параметра а. Методом работы [45] доказано существование решения (зависящего от а) регуляризованной задачи. Показано, что существует последовательность а-> 0, при которой решения регуляризованной задачи сходятся к решению исходной задачи.

Из приведенного обзора видно, что наиболее полно и глубоко исследованы геометрически нелинейные, физически линейные краевые задачи для пластин и пологих оболочек при достаточно общих смешанных условиях их закрепления. Граничные условия, несмотря на их достаточно общий характер, брались таким образом, чтобы можно было образовать соответствующее функциональное пространство, в котором отыскивалось решение задач. Срединная поверхность рассматриваемых пологих оболочек предполагалась либо из класса с\ (что позволяло вводить на ней изометрическую систему координат), либо из класса С2, но в этом случае обязательно развертывающейся. В случае непологих оболочек геометрически нелинейные краевые задачи изучены, когда их срединная поверхность представляет собой либо поверхность вращения, либо выпуклую развертывающуюся поверхность класса С°, при этом края оболочек предполагались жестко защемленными, а внешняя нагрузка — произвольной. Когда внешняя нагрузка достаточно мала, теоремы разрешимости получены и для более широкого класса непологих оболочек из с жестко заделанными краями. Большинство краевых задач изучались в обобщенной постановке. В основе введения понятия обобщенного решения лежало условие регулярности материала оболочки (в терминологии академика И.И. Воро-вича), означающее положительную определенность квадратичной формы, связанной с плотностью потенциальной энергии деформации. Такие оболочки в дальнейшем мы будем называть регулярными, а в случае невыполнения условия регулярности материала - нерегулярными. Для последних изучение задач в энергетических пространствах не представляется возможным. Причиной этого является невозможность образования самих пространств. Это обстоятельство приводит к необходимости отыскания решений, удовлетворяющих непосредственно уравнениям равновесия и геометрическим, статическим граничным условиям. На этом пути использовались методы, основанные на применении рядов Фурье и функций Грина. Таким способом получены теоремы существования для пологих изотропных оболочек и анизотропных однородных пластин. В рамках геометрически и физически нелинейной модели теоремы разрешимости доказаны лишь для пластин и пологих развертывающихся оболочек с частично или полностью защемленными краями. При этом использовался вариационный метод.

Целью диссертационной работы является доказательство теорем разрешимости геометрически и физически нелинейных краевых задач для более широкого класса тонких упругих оболочек с более общими граничными условиями. Здесь следует отметить, что необходимость изучения таких задач была отмечена И.И. Воровичем и они включены в список нерешенных проблем математической теории оболочек [30,с.349-350] (см. также [32]). В соответствии с поставленной целью в работе исследованы геометрически и физически нелинейные краевые задачи для пологих, и непологих оболочек, срединная поверхность которых суть кусочно-гладкая поверхность соответственно класса С2 и С3(кратко: кусочно-гладкие оболочки класса С2 и С3), а также для нерегулярных тонких оболочек. В качестве граничных условий рассматривались как ранее изучавшиеся, так и новые более широкого класса условия. Доказаны теоремы разрешимости и получены условия единственности решений рассматриваемых краевых задач. Дано обоснование применимости методов Бубнова-Галеркина, Ритца приближенного решения задач.

В работе теоремы разрешимости доказываются в основном по следующей схеме. Сначала строятся функциональные пространства, в которых затем даются обобщенные постановки задач. Нахождение обобщенных решений сводится к решению некоторого НОУ или системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Для исследования разрешимости НОУ используется топологический и (или) вариационный метод, а к изучению системы интегральных уравнений привлекается принцип сжатых отображений. В качестве функциональных пространств в работе выступают пространства перемещений и вспомогательных функций, названных нами условными деформациями. Переход к пространству условных деформаций, отличных от пространств перемещений, усилий, составляет отличительную особенность настоящей работы и вызван тем, что попытка расширить граничные условия в краевых задачах делает их изучение в традиционных пространствах невозможным. Причиной этого является невозможность построения данных пространств или при формальном подходе к их построению, как, например, в случае свободных оболочек (см. [28]), появление условий разрешимости, не имеющих никакого механического смысла. Благодаря новому подходу, основанному на решении задач и пространстве условных деформаций, в работе удалось исследовать краевые задачи с новыми, более общими граничными условиями и доказать для них теоремы разрешимости. Кроме того, этот метод позволил получить теоремы разрешимости для нерегулярных тонких оболочек при различных условиях их закрепления. Еще одна особенность работы состоит в том, что в ней широко используется аппарат обобщенных аналитических функций, разработанный академиком И.Н. Векуа [10]. Это обстоятельство дало возможность расширить класс оболочек как в смысле их гладкости, так и п смысле их геометрии, и в конечном счете доказать для них теоремы разрешимости. Ранее обобщенные аналитические функции использовались

И.Н. Векуа [10, гл.6] в линейной безмоментной теории оболочек положительной кривизны (см. также [36, гл.13, §8]).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация включает в себя 6 глав. Каждая глава состоит из параграфов, большинство которых разбито на пункты.

В первой главе краевые задачи в перемещениях с граничными условиями, рассмотренными в [30, глава 3] в рамках геометрически нелинейной , физически линейной модели, обобщаются на случай пологих оболочек из физически нелинейного упругого материала с кусочно-гладкой срединной поверхностью класса С2.

В § 1 дается постановка основных краевых задач ар(а = 1,4, /? = 5,8) нелинейной теории тонких оболочек. Приводятся основные соотношения для вариации потенциальной энергии деформации, элементарных работ внешних приложенных к оболочке сил на возможных перемещениях в условиях гипотез Кирхгофа -Лява. Используя вариационный принцип Лагранжа, выводятся уравнения равновесия оболочки и статические граничные условия.

§ 2 носит вспомогательный характер. В нем приводятся известные факты и сведения из функционального анализа, теории обобщенных аналитических функций, теории соболевских пространств, теории нелинейных интегральных уравнений, вариационного исчисления в банаховых пространствах. Кроме того, доказываются некоторые новые утверждения, в частности, теорема о коэрцитивности для функционала, переменными которого являются линейные операторы. Все эти факты существенно используются на протяжении всей работы.

§ 3 посвящен исследованию нелинейных краевых задач ар в перемещениях. В пункте 3.1 строятся пространства //(//Д^) перемещений. Для этого привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. Показывается, что НаР(0) суть гильбертовы пространства и для них доказываются теоремы вложения. Изучаются свойства элементов этих пространств, а также некоторых операторов, действующих в Haß(Q). В пункте 3.2 вводится понятие обобщенного решения задачи aß в Haß(Q). В нелинейных задачах переход к обобщенным решениям можно совершить разнообразными приемами. Следуя И.И. Воровичу, мы избрали обобщенные решения, непосредственно вытекающие из вариационного принципа Лагранжа. Отыскание обобщенного решения сводится к решению в НаРф) нелинейного операторного уравнения (НОУ) w-GaßM = 0 (0.1) относительно вектора перемещения w = (wj, w2, ). Изучению свойств нелинейного оператора Gaß посвящен пункт 3.3. Если для физически линейных задач Gaß суть вполне непрерывный оператор, то в нашем случае Gaß представляет собой ограниченный в Haß(Q.) оператор, что является одним из основных отличительных моментов в исследовании физически нелинейных задач. Основной результат этого пункта состоит в получении для Gaß(w) представления в виде суммы вполне непрерывного Gaß c(w,t0) и ограниченного Gaß*(w;t0) в Haß(Q) операторов, зависящих от некоторого параметра t0, принадлежащего промежутку [0,1). В пункте 3.4 исследуется разрешимость НОУ (0.1), для чего используется топологический метод. Основу этого метода, как известно, составляет вычисление вращения вполне непрерывного векторного поля, соответствующего изучаемому уравнению, с последующим применением к нему принципа Лере-Шаудера. Однако, в нашем случае операторное уравнение (0.1) определяет не вполне непрерывное векторное поле и это обстоятельство делает невозможным непосредственное применение принципа Лере- Шаудера к (0.1). В связи с этим к изучению уравнения (0.1) привлекаются известные результаты М.А. Красносельского, касающиеся уравнений с не вполне непрерывными операторами, в которых основная роль принадлежит резольвенте нелинейного оператора. Допуская существование параметра /0, при котором оператор С^.С^/о)^ 1-/0) имеет резольвенту, уравнение (0.1) приводится к эквивалентному уравнению с вполне непрерывным оператором. Для вычисления вращения соответствующего вполне непрерывного векторного поля на эллипсоиде с достаточно большими полуосями используется идея гомотопности, которая опирается на априорную оценку некоторого функционала. При получении априорной оценки здесь и в последующих главах диссертации нами используется схема, предложенная И.И. Воровичем для оценки подобных функционалов. Следуя ей, эллипсоид разбивается на три части, одна из которых не содержит слабого замыкания нуля. Затем на каждой части устанавливаются соответствующие неравенства снизу для функционала. В процессе их получения особое место занимает доказательство леммы 3.7 и ее аналогов в последующих главах, в которых речь идет о существовании лишь тривиального решения у некоторой системы нелинейных уравнений (в данном случае (3.77)). Условия, при которых удается доказать эту лемму и их аналогов,в конечном счете определяют класс оболочек, рассматриваемых в краевых задачах. Ранее подобное утверждение было доказано для пологих оболочек класса С2(Й) и развертывающихся оболочек, принадлежащих С2(Й) (см. [30, с. 126-127]). В данной работе к этой проблеме нами предлагается новый подход, основанный на обращении линейной части системы с использованием аппарата обобщенных аналитических функций. Такой подход позволил в пункте 3.4 доказать лемму 3.7, следовательно, и теорему разрешимости для пологих оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2 (О) при некоторых ограничениях на коэффициенты первой ее квадратичной формы. Более того, этот метод сыграл решающую роль в главе IV при исследовании разрешимости краевых задач для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач геометрически и физически нелинейной теории пологих оболочек с граничными условиями, отличными от рассмотренных в первой главе. Это отличие прежде всего состоит в том, что для них не представляется возможным образование пространств перемещений типа Нар(С1). В этой связи для изучения задач с такими граничными условиями предлагается новый метод, суть которого заключается в том, что разрешимость задач доказывается в пространстве условных деформаций, отличном от пространств перемещений, усилий. Основу метода составляют интегральные представления для компонент перемещения через условные деформации е = (£\,£2,е3).

Данная глава включает в себя три параграфа. Новым задачам посвящены §§ 5, 6. А в § 4 новый метод применяется к исследованию задачи для пологих оболочек с жестко заделанным краем, рассмотренной в первой главе. В пункте 4.1 дается постановка задачи, вводится линейное пространство йЕ(0) условных деформаций, выводятся интегральные представления для компонент перемещения, деформаций. Затем с помощью этих представлений вариация потенциальной энергии деформации, элементарная работа внешних сил также выражаются через элементы пространства В£(С1). Особенность этих соотношений состоит в том, что в них зависимость от условных деформаций носит интегральный характер. Пункт 4.2 посвящен построению основного пространства £15(П), которое определяется как замыкание линейного пространства 0£(0.) в норме, индуцированной скалярным произведением (4.21). При этом, как и в первой главе, существенно используется аппарат обобщенных аналитических функций. Показывается, что £15(0) суть гильбертово пространство, изучаются свойства его элементов. Достаточно много внимания уделяется изучению некоторых операторов, действующих в £15(0). Введению понятия обобщенного решения задачи в условных деформациях посвящен пункт 4.3. Доказывается корректность определения обобщенного решения. Его нахождение сводится к решению эквивалентного НОУ

-а0(*) = о, (0.2) где С0(е) - нелинейный ограниченный оператор в £]5(0), £ - элемент пространства £15(Г2).

Оператор С0(е) представляется в виде суммы вполне непрерывного и ограниченного операторов, зависящих от некоторого параметра / е [0,1). Благодаря этому факту, для исследования разрешимости НОУ (0.2) в пункте 4.4 удалось использовать схему рассуждений пункта 3.4, в которой значительная роль отводится лемме 4.7 - аналогу леммы 3.7. При обращении линейной части соответствующей системы нелинейных уравнений используется идея аналитического продолжения решения на всю плоскость, которая позволила применить обобщенную теорему Лиувилля для обобщенных аналитических функций. Результатом проведенных исследований является теорема существования по крайней мере одного обобщенного решения задачи в условных деформациях для пологих оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2 (О.) и жестко заделанным краем.

В § 5 второй главы метод § 4 применяется к изучению разрешимости геометрически и физически нелинейных краевых задач для свободных анизотропных пологих оболочек, не подчиненных никаким геометрическим граничным условиям. В пункте 5.1 этого параграфа дается постановка задачи, вводится пространство £>(Г2) перемещений, компоненты которых представлены интегралами, зависящими от условных деформаций е = (£1,е2,£з). В отличие от § 4 здесь условные деформации £ представляют собой произвольные функции пространства ¿р(И), р> 2. Показывается, что £(П) не содержит жесткие перемещения пологой оболочки как абсолютно твердого тела. В этом же пункте выводятся соотношения для компонент деформаций, вариации потенциальной энергии, элементарной работы через функции £еЬр(Г2), р> 2, которые составляют основу предложенных исследований. Построению основного пространства, в котором будет решаться задача, посвящен пункт 5.2. При этом, как и раньше, суще

22 ственным моментом является определение скалярного произведения для функций е = (£\,е2,¿з) из Ьр(0.), р>2. Проверка выполнения условий скалярного произведения осуществляется с привлечением обобщенных аналитических функций. Основное пространство £(П) получается как замыкание Ьрф.), р> 2 в норме, заданной скалярным произведением. Изучаются свойства элементов £(П), а также операторов, действующих в Е(0.). В пункте 5.3 дается обобщенная постановка задачи, доказывается ее корректность. Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ с ограниченным в Е(П) оператором. Разрешимость (пункт 5.4) операторного уравнения изучается методом, рассмотренным в пункте 3.4: сначала уравнение с ограниченным оператором преобразуется в уравнение с вполне непрерывным оператором, затем вычисляется вращение соответствующего вполне непрерывного векторного поля. Таким способом показывается, что для пологих свободных оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2(Й), удовлетворяющих условию (5.27), задача имеет по крайней мере одно обобщенное решение. Выполнение условия (5.27) иллюстрируется на конкретных оболочках. Указывается подпространство пространства Е(0), в котором задача разрешима без условия (5.27).

§ 6 посвящен исследованию нелинейных задач для пологих оболочек с шарнирно опертыми краями. В пункте 6.1 дается постановка задач /л', // = 1,2, V = 3,6. Предполагается, что срединная поверхность оболочки го-меоморфна односвязной области Л ( в предыдущих параграфах О. была как односвязной, так и многосвязной). В пункте 6.3 для построения интегральных представлений для компонент перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям, привлекается теория краевых задач Рима-на-Гильберта для аналитических функций в односвязных областях. В этой связи сначала (пункт 6.2) приводятся некоторые сведения, касающиеся таких задач. Значительное место пункта 6.3 занимает изучение свойств интегральных операторов и функций, входящих в представления для перемещений через условные деформации е = (£1,£2,£з) <= Ьр(С1), р> 2. Здесь же через условные деформации выражаются компоненты деформации, вариация потенциальной энергии, элементарная работа внешних сил. Все эти соотношения составляют фундамент предложенного метода исследования задач цу. Пункт 6.4 посвящен построению функциональных пространств. Сначала вводятся линейные пространства £>^(£2), ¡л = 1,2, V = 3,6, на которых затем задается скалярное произведение. При проверке условий скалярного произведения существенно используются некоторые факты из теории задач Римана- Гильберта для обобщенных аналитических функций (см. [ 10, гл.4]). Основное пространство получается как замыкание й^ф.) в соответствующей норме. Изучаются свойства пространств (О), а также операторов, действующих в Е^ДО). В пункте 6.5 дается обобщенная постановка задач /IV в Ер1Г{£1), доказывается ее корректность. Нахождение обобщенного решения сводится к решению НОУ с ограниченным в оператором. Для исследования разрешимости НОУ (пункт 6.6) используется метод, рассмотренный нами в предыдущих параграфах в случае подобных НОУ. Основной результат параграфа заключается в том, что при выполнении некоторых условий, среди которых выделяется условие (6.94), задача цу для пологих оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2 (О) имеет по крайней мере одно обобщенное решение. Указывается подпространство пространства £А„(П), в котором задача цу разрешима без условия (6.94).

В третьей главе для исследования нелинейных краевых задач, рассмотренных в первых двух главах, используется вариационный метод, основанный на отыскании точек минимума функционалов полной энергии системы «оболочка - внешние силы» в соответствующих пространствах. Хотя здесь основной результат снова теоремы разрешимости, полученные таким способом решения качественно отличаются от решений § 3, 5,6, поскольку они характеризуют экстремальные состояния системы. Кроме этого, в заключительном десятом параграфе главы проводится обоснование некоторых приближенных методов решения задач.

Третья глава включает в себя четыре параграфа. В § 7 вариационный метод применяется к исследованию задач ар в пространствах Нар(0). § 8 посвящен изучению задачи для свободных пологих оболочек в пространстве £(П), а в § 9 вариационный подход используется для изучения задач цу в Исследования этих трех параграфов проводятся по следующей схеме. Сначала даются формулы для функционалов полной энергии системы, при этом существенно используются соотношения, полученные в § 3, 5, 6. Затем доказывается, что они определены и дифференцируемы в каждой точке соответствующего пространства. Показывается, что множество критических точек функционалов совпадает с множеством обобщенных решений задач.

При исследовании функционалов на минимум используется обобщенная теорема Вейерштрасса (§2,теорема 2.23), согласно которой если 1) функционал слабо полунепрерывен снизу и 2) является возрастающим, то он имеет точку абсолютного минимума. Поэтому дальнейшие рассмотрения посвящены проверке выполнения условий этой теоремы. Доказывается, что исследуемый функционал полной энергии суть слабо полунепрерывный снизу функционал в соответствующем пространстве. При этом существенную роль играет монотонность градиента потенциальной энергии в пространстве деформаций. Наибольшую трудность представляет проверка второго условия теоремы, основу которой составляет получение неравенства коэрцитивности для функционала. Для этого используются рассуждения, аналогичные примененным в пункте 3.4 третьего параграфа. В результате получается, что функционал имеет точку абсолютного минимума, которая является обобщенным решением соответствующей задачи. Заключительная часть §§ 7, 8, 9 посвящена исследованию существования точек локального минимума функционалов, являющихся также обобщенными решениями задач.

Последний §10 третьей главы посвящен обоснованию применимости методов Бубнова-Галеркина (БГ) и Ритца к исследованию рассматриваемых выше задач. Здесь необходимо отметить, что эти методы используются нами не только как способ приближенного решения задач, но и как способ доказательства их разрешимости. Обоснование приближенных методов проводится по следующей схеме. Сначала устанавливается, что системы уравнений БГ и Ритца при каждом п имеют по крайней мере одно решение. Затем показывается, что множество приближенных решений БГ сильно компактно в соответствующем пространстве и всякая предельная точка этого множества является обобщенным решением задачи; из множества приближений Ритца можно выделить подпоследовательность, сильно сходящуюся к некоторой точке абсолютного минимума соответствующего функционала полной энергии; а если этот функционал имеет единственную точку абсолютного минимума, то приближения Ритца сходятся сильно к этой точке.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению геометрически и физически нелинейных краевых задач для анизотропных непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны, срединная поверхность которых представляет собой кусочно-гладкую поверхность класса С3. Для этой цели используется вариационный метод. Глава IV состоит из трех параграфов. В §11 краевые задачи изучаются в перемещениях. В пункте 11.1 дается постановка задач т, т = 1,6. Выводятся соотношения для деформаций, вариации потенциальной энергии, элементарной работы. Эти соотношения характеризуются тем, что в них тангенциальные перемещения заменены на другие функции. Значительное место в данном пункте занимает построение основных пространств Нт(С2), т = 1,6, которые получаются как замыкание линейных пространств От(&) в соответствующей норме, индуцированной скалярным произведением. При проверке условий скалярного произведения существенно используется аппарат обобщенных аналитических функций. Доказываются теоремы вложения для Яш(0), изучаются свойства операторов, действующих в /-/H,(Q). Введению понятия обобщенного решения задачи т в //,„(Q) и сведению его к НОУ посвящен пункт 11.2. Для исследования разрешимости НОУ в пространстве Нт{Q) (пункт 11.3) используется вариационный подход. Показывается, что функционал Jm(oS) полной энергии определен и дифференцируем в каждой точке пространства fí„,(ñ); множество критических точек функционала Jm{co) совпадает с множеством обобщенных решений задачи т . При исследовании Jm{a>) на минимум, как и в главе 3, используется обобщенная теорема Вейерштрасса. В связи с этим доказывается, что Jm{co) суть слабо полунепрерывный снизу и возрастающий в Нтф.) функционал. Основу этих вариационных соображений, как было отмечено выше, составляют априорные оценки для Jm(co), при выводе которых определяющее значение имеет лемма 11.4, являющаяся аналогом леммы 3.7. При помощи метода, предложенного нами для доказательства леммы 3.7, лемму 11.4 удалось доказать для произвольных непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны при некоторых ограничениях на их геометрические характеристики. Выполнение этих условий иллюстрируется на конкретном примере непологой оболочки. Заключительный пункт 11.4 настоящего параграфа посвящен обоснованию метода Ритца приближенного решения задач т.

Целью §12 является изучение разрешимости нелинейных краевых задач для непологих свободных оболочек. Для этого предлагается метод, аналогичный примененному в §5, основанный на решении задачи в пространстве функций£• = (£•,,В пункте 12.1 дается постановка задачи в перемещениях, которая затем, как и в §11, сводится к эквивалентной задаче для вектора о) = (о)х,о)г,щ). Вводится линейное пространство й^О) вектор-функций оз, представленных интегралами, зависящими от произвольных функций £ = {£Ь£2,£з)еЬр(£2), р>2. Эти интегральные представления составляют основу предложенного метода исследования. С их помощью компоненты деформации, вариация потенциальной энергии и элементарная работа также выражаются через функции е. Строится основное пространство ЕС(Ц) функций е, изучаются функциональные свойства его элементов. Выводится условие, при выполнении которого пространство перемещений не содержит жесткие смещения оболочки. Приводится пример непологой оболочки, для которой это условие имеет место. В пункте 12.2 вводится понятие обобщенного решения задачи и его нахождение сводится к НОУ. При помощи рассуждений, аналогичных примененным в §11, показывается (пункт 12.3), что при некоторых ограничениях на коэффициенты основных квадратичных форм срединной поверхности существует решение НОУ, придающее абсолютный минимум функционалу ./,„(£•) полной энергии системы «оболочка-нагрузка». Указывается подпространство пространства ЕС(П), в котором задача разрешима при более слабых ограничениях на параметры оболочки. Заключительный пункт 12.4 параграфа посвящен обоснованию метода Ритца приближенного решения задачи. Показывается , что система Ритца разрешима при любом п; из множества приближений Ритца можно выделить подпоследовательность, которая сильно сходится к некоторой точке абсолютного минимума функционала *>(£)•

Последний тринадцатый параграф главы 4 посвящен исследованию нелинейных краевых задач для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны с шарнирно опертыми краями. Эти граничные условия характеризуются тем, что для них не представляется возможным образование пространств типа Ят(0). В силу этого для изучения таких задач используется метод, аналогичный примененному в §6. В пункте 13.1 дается постановка задач в перемещениях, которые, как и в предыдущих параграфах этой главы, путем исключения тангенциальных перемещений сводятся к эквивалентным задачам л, п = 5,6,7,8 для вектора со = (о)1Усо2,м>ъ). Для получения интегральных представлений через произвольные функции е = {£\,£2,ез) е р>2 для вектор-функций о), удовлетворяющих заданным граничным условиям, используется краевая задача Римана-Гильберта для аналитических функций в односвязных областях. Изучаются свойства операторов, входящих в эти представления. В этом же пункте 13.1 строятся пространства Еп(П), для этого, как и раньше, привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. Устанавливаются некоторые функциональные свойства пространств Еп(0). В пункте 13.2 дается обобщенная постановка задач п . Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ, разрешимость которого доказывается в пункте 13.3, для чего используется вариационный метод. Рассуждая по той же схеме, что и в §§11, 12, показывается, что для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны при некоторых ограничениях на параметры оболочки задача п имеет обобщенное решение в Еп(П), доставляющее функционалу Jn(£) полной энергии абсолютный минимум. Указывается подпространство пространства Е„(П), в котором задача п разрешима при более слабых ограничениях на исходные данные. Заключительный пункт 13.4 посвящен обоснованию применимости метода Ритца для приближенного решения задачи п .

Характерная особенность глав 1-4 заключается в том, что доказанные в них теоремы разрешимости носят нелокальный характер, т.е. существование хотя бы одного решения задач устанавливается внутри эллипсоидов с достаточно большими полуосями без каких бы то ни было предположений о малости параметров внешней нагрузки. В то же время в теории оболочек важной проблемой является определение пределов изменения параметров внешней нагрузки, при которых оболочка имеет единственную форму равновесия. Этой проблеме посвящена пятая глава.

В пятой главе краевые задачи, рассмотренные в главах I, II в случае пологих оболочек, изучаются для тонких непологих оболочек. Целью главы является вывод условий, при которых эти задачи имеют единственное решение. Глава V состоит из трех параграфов. В §14 рассматриваются задачи ар в перемещениях. §15 посвящен задаче для свободных тонких оболочек, а в §16 изучаются задачи ¡лу . Исходным пунктом в исследованиях этих параграфов являются НОУ, к которым было сведено нахождение обобщенных решений задач в §§ 3, 5, 6. Существование единственного решения НОУ устанавливается по следующей схеме. Ограниченный оператор, входящий в НОУ, представляется в виде суммы линейного вполне непрерывного и ограниченного нелинейного операторов. Основным моментом в данной схеме является доказательство утверждения о том, что число 1 не есть собственное число линейного оператора. Для этого привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. В случае задач для свободных оболочек и ¡лу это утверждение имеет место при некоторых ограничениях на параметры оболочки, которым, в частности, удовлетворяют непологие оболочки положительной гауссовой кривизны, произвольные пологие оболочки. После этого НОУ преобразуется к эквивалентному виду, к которому применяется принцип сжатых отображений. Таким путем показывается, что при достаточно «малых» нагрузочных членах в некотором шаре соответствующего пространства задача имеет единственное обобщенное решение.

В основе исследований глав 1-5 лежало предположение (1.8) о положительной определенности некоторой квадратичной формы (такие оболочки выше мы назвали регулярными), которое позволяло строить обобщенные решения задач в различных энергетических пространствах. Заключительная шестая глава диссертации посвящена изучению геометрически и физически нелинейных краевых задач для тонких анизотропных оболочек, для которых условие (1.8) может и не иметь места. Для таких оболочек, названных нами нерегулярными, изучение задач в энергетических пространствах не представляется возможным. Это обстоятельство, как было отмечено выше, приводит к необходимости вывода уравнений равновесия и отыскания решений, удовлетворяющих непосредственно этим уравнениям. В перемещениях уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка относительно прогиба и третьего порядка относительно тангенциальных перемещений. Изучение разрешимости системы в таком виде, с одной стороны, представляет собой чрезвычайно сложную задачу, а с другой - сопряжено со значительными требованиями к исходным данным. Исходя из этого, для исследования задач для нерегулярных оболочек предлагается метод, разработанный в предыдущих главах, основанный на решении задач в пространстве условных деформаций. Этот метод позволяет получить в качестве уравнений равновесия нелинейные сингулярные интегральные уравнения по ограниченной плоской области О. относительно условных деформаций при минимальных условиях гладкости исходных данных.

Шестая глава включает в себя три параграфа. В § 17 изучаются краевые задачи для тонких нерегулярных оболочек с жестко заделанным краем. В пункте 17.1 соотношения для перемещений, деформаций, полученные в § 4, представляются несколько в другом виде, удобном для дальнейших исследований. Здесь же строится основное пространство Т2(0.) условных деформаций, которое получается как замыкание линейного пространства й£(О), введенного в § 4, в норме ¿2(0). Изучаются функциональные свойства ¿2(П), а также операторов, действующих в Т2(й). В пункте 17.2 с помощью вариационного принципа Лагранжа вводится понятие обобщенного решения задачи, доказывается корректность его определения. Затем нахождение обобщенного решения сводится к решению системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений по области О в пространстве Т2(0.)-При этом используются некоторые сопряженные операторы относительно гильбертовой метрики, в связи с чем сначала изучаются их свойства. Пункт 17.3 посвящен исследованию разрешимости системы интегральных уравнений. С помощью принципа сжатых отображений устанавливается, что система при некоторых ограничениях на физико- геометрические характеристики оболочек и на параметры внешней нагрузки в шаре некоторого радиуса имеет единственное решение. Выполнение условий разрешимости иллюстрируется на конкретных примерах.

§18 посвящен исследованию задачи для нерегулярных свободных оболочек. В заключительном §19 для нерегулярных оболочек рассматриваются задачи /лу. Исследования в этих параграфах ведутся по той же схеме, что и в §17. В качестве основных пространств, в которых ищутся решения, выступают Ьр(0.), /?>2(§18)и Еру(О) (§19), образованное как замыкание линейного пространства в норме Ь2(0.) (Ои„(й) введены в §6). При выводе уравнений равновесия используются интегральные представления для перемещений и деформаций, полученные в §5, 6. Разрешимость уравнений равновесия устанавливается при помощи принципа сжатых отображений.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

- развиты топологический и вариационный методы исследования геометрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях для тонких упругих анизотропных пологих кусочно-гладких класса С2 оболочек, с помощью которых доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек при смешанных условиях их закрепления;

- предложен новый метод исследования задач в условных деформациях, основанный на интегральных представлениях для перемещений;

-разработаны топологический и вариационный методы доказательства разрешимости нелинейных задач в условных деформациях для тонких анизотропных пологих кусочно-гладких класса С2оболочек со свободным и шарнирно-опертым краями. На их основе установлены соответствующие теоремы существования решений;

- развит вариационный метод исследования нелинейных краевых задач в перемещениях и условных деформациях для тонких анизотропных непологих кусочно-гладких класса С3 оболочек ненулевой гауссовой кривизны и на его основе доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек при смешанных граничных условиях, свободном и шарнирно-опертом краях;

- дано обоснование применимости методов Бубнова-Галеркина и Рит-ца для приближенного решения нелинейных задач в перемещениях и условных деформациях;

- выведены условия, при которых существует единственное решение нелинейных задач для тонких упругих анизотропных оболочек;

- методом исследования задач в условных деформациях доказаны теоремы существования единственного решения нелинейных краевых задач для анизотропных нерегулярных оболочек с жестко заделанным, свободным и шарнирно-опертым краями.

Основные результаты диссертации сообщались на Международных научно-технических конференциях «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1995, 1997), на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), на VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997), на Международном симпозиуме "Будущее за композита-ми"(Набережные Челны, 1997), на Международных конференциях «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998,2000), на Международной научно-технической конференции «Технико-экономические проблемы промышленного производства (Набережные Челны, 2000), на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000, 2001), на V Международной конференции « Лавренть-евские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2000), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики» (Казань, 2000). В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на расширенном заседании Научно-технического совета Камского государственного политехнического института, на объединенном семинаре кафедр «Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности» КГАСА и «Вычислительная математика» КГУ, на объединенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИ математики и механики КГУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [76 - 98].

Основная часть работы выполнялась в рамках проектов №93-0116747, №96-01-00518 и №99-01-00410 Российского фонда фундаментальных исследований, проекта по реализации Программы Республики Татарстан по развитию науки по приоритетным направлениям.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Камского государственного политехнического института.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту Заслуженному деятелю науки и техники РТ и РФ, академику АН РТ, доктору физико-математических наук, профессору Ильтизару Гизатовичу Терегулову за указание направления научных исследований, помощь в постановке задач, постоянное сотрудничество и внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

- развиты топологический и вариационный методы исследования геометрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях для тонких упругих анизотропных пологих кусочно-гладких класса С оболочек. С помощью этих методов доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек при смешанных условиях их закрепления;

- предложен новый метод исследования нелинейных краевых задач, суть которого заключается в доказательстве их разрешимости в пространстве условных деформаций, отличном от пространств перемещений, усилий. Основу метода составляют интегральные представления для перемещений через условные деформации, полученные с использованием аппарата обобщенных аналитических функций, краевых задач Римана-Гильберта для аналитических функций;

- разработаны топологический и вариационный методы исследования задач в условных деформациях. На их основе установлены теоремы существования для упругих анизотропных пологих кусочно-гладких класса С2 оболочек со свободным и шарнирно- опертым краями;

- развит вариационный метод исследования геометрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях и условных деформациях для тонких упругих анизотропных непологих кусочно-гладких класса С3 оболочек ненулевой гауссовой кривизны и на его базе получены условия существования решений задач для таких оболочек при смешанных граничных условиях, свободном и шарнирно-опертом краях;

- дано обоснование применимости методов Бубнова-Галеркина и Рит-ца приближенного решения нелинейных задач в перемещениях и условных деформациях;

- получены условия, при выполнении которых существует единственное решение нелинейных задач для тонких анизотропных оболочек;

- метод исследования задач в условных деформациях развит на случай тонких упругих анизотропных нерегулярных оболочек. Доказаны теоремы существования единственного решения нелинейных задач для таких оболочек с жестко заделанным, свободным и шарнирно-опертым краями.

1. Александров П.С. Комбинаторная топология.- М.; Л.: Гостехиздат, 1947.- 660 с.

2. Бесов О.В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения/ЛГруды МИАН СССР.- 1961 .-Т.60.-С.42-81.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М.: Наука, 1975.- 480 с.

4. Бубнов И.Г. Отзыв о работе проф. С.П.Тимошенко «Об устойчивости упругих систем»//Избранные труды.-Л.:Гос.изд-во судостроительной промышленности, 1956.-С. 136-139.

5. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений.-М:Наука, 1972.-416 с.

6. Вапишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.-М.: Машиностроение, 1976.-279 с.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.-М.:Мир, 1987.-542 с.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.- М.: ОГИЗ, 1948.-296 с.

9. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов.-М.: Наука, 1978.- 296 с.

10. Ю.Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции.-М.:Наука, 1988.-512с.

11. Власов В.Ф., Юркевич A.A. К вопросу о существовании и единственности решения уравнений Григолюка-Чулкова для цилиндрической обо-лочки//Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек.-М., 1981.-С.122-129.

12. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем.- М.:Наука, 1967.984 с.

13. Волошановская С.Н. О разрешимости геометрически и физически нелинейной задачи изгиба пластин/ЯТрименение ЭВМ к решению задач математической физики и АСУ.-Казань, 1977.-С.77-93.

14. М.Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Разностная схема для задачи о сильном изгибе тонких пластин//Журнал вычислительной математики и математической физики.-1977.-Т. 17.-№ 1 .-С. 181-195.

15. Волошановская С.Н., Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для некоторых задач физически и геометрически нелинейного изгиба пластин//Программирование и численные методы.-Казань, 1978.-С.6-18.

16. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Исследование разрешимости задачи о сильном изгибе цилиндрической оболочки//Исследования по прикладной математике.-Казань, 1985.-№13-С.75-85.

17. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. О разрешимости задачи о геометрически-нелинейном изгибе незамкнутой сферической оболочки// Исследования по прикладной математике.-Казань, 1988.- №15.- С.37-48.

18. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек// Тезисы докладов на совещании по теории упругости, пластичности и теоретическим вопросам строительной механики(22-25 декабря 1954г.).-М.;Л.; Изд-во АН СССР, 1954.-С.21-22.

19. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек// Изв. АН СССР. Серия математ.- 1955.-Т.19.-№4.-С.173-176.

20. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек// ДАН СССР.- 1955.-Т.105.-№1.-С.42-45.

21. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек// ПММ.- 1956.- Т.20,- Вып.4.-С.449-474.

22. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек//Доклады АН СССР.- 1957.-Т.117.- №2.-С.203-206.

23. Ворович И.И. Погрешность прямых методов в нелинейной теории оболочек// Доклады АН СССР.- 1958.- Т. 122.- №2.-С.196-199.

24. Ворович И.И., Лебедев Л.П. О существовании решений в нелинейной теории пологих оболочек//ПММ.- 1972.-Т.36.-Вып.4.-С.691-704.

25. Ворович И.И., Лебедев Л.П., Шлафман Ш.М. О некоторых прямых методах и существовании решений в нелинейной теории упругости непологих оболочек вращения// ПММ.- 1974.-Т.38.-Вып.2.-С.339-348.

26. Ворович И.И., Шлафман Ш.М. О разрешимости нелинейных уравнений для непологого симметрично загруженного сферического купола// ПММ.- 1974.- Т.38.-Вып.5.-С.944-946.

27. Ворович И.И., Шлафман Ш.М. О сходимости метода конечных элементов в нелинейной теории оболочек// X Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин.- Тбилиси, 1975.-Т.1.-С.552-561.

28. Ворович И.И., Лебедев Л.П. О разрешимости нелинейной задачи равновесия пологой оболочки // ПММ.- 1988.-Т.52.-Вып.5.-С.814-820.

29. Ворович И.И. Разрешимость краевых задач нелинейной теории физически пологих и развертывающихся оболочек// Доклады АН СССР.-1989.-Т.З 04.-№6.-С. 1329-1332.

30. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек.-М.: Наука, 1989.- 376 с.

31. ЗКВорович И.И., Лебедев Л.П. К задаче равновесия пластины, подкрепленной ребрами жесткости// ПММ.- 1999.- Т.63.- Вып.1.- С.87-92.

32. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Некоторые вопросы механики сплошной среды и математические проблемы теории тонкостенных конструкций // Прикладная механика.-2002.-Т.38.-№4.-С.З-20.

33. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки//Вестник инженеров. 1.-1915.-Т.19.-С.897-908.

34. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. Основания нелинейной теории оболочек.- Казань: Изд-во «ФЭН», 1996.- 216 с.

35. Галимов К.З. О формулировке геометрических граничных условий нелинейной теории оболочек в усилиях и моментах// Изв. КФАН СССР.Сер.физ.-мат. наук.-1958.-Т. 12.-С. 17-27.

36. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.-М.: Наука, 1976.-512с.

37. Гольденвейзер А.Л. О применении решений задачи Римана-Гильберта к расчету безмоментных оболочек // ПММ.- 1951 .-Т. 15.- Вып.2.-С. 23-31.

38. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела.-М.: Наука, 1988.- 232 с.

39. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ.- Киев: Вища шк., 1983.- 286 с.

40. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения(обзор)// Прикладная механика.- 1991.-Т.27.-№10.-С.3-23.

41. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-3-е изд., пере-раб.-М.: Наука, 1984.-752 с.

42. Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и их сеточные апроксимации// Изв.вузов. Математика.-1985.-№10.-С. 17-30.

43. Карчевский М.М. О разрешимости вариационных задач нелинейной теории пологих оболочек// Дифференциальные уравнения.-1991.-Т.27.-№7.-С. 1196-1203.

44. Карчевский М.М. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории пластин//Изв. вузов. Математика.- 1992.- №7.-С. 12-19.

45. Карчевский М.М., Паймушин В.Н. О вариационных задачах теории трехслойных пологих оболочек// Дифференциальные уравнения.- 1994.-Т.30.-№7.-С. 1217-1221.

46. Карчевский М.М. О разрешимости геометрически нелинейных задач теории тонких оболочек// Изв. вузов. Математика.- 1995.-№6.-С.30-36.

47. Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек// Журнал вычислит.математики и математической физики.-1998.-Т.38.-№2.-С.324-329.

48. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболо-чек.-Киев: Наук.думка,1987.- 208 с.51 .Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981.-544 с.

49. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения.-М.:Наука, 1964.-192 с.

50. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.-М.:Гостехиздат, 1956.-392 с.

51. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.-М.:Наука, 1973.-408 с.

52. Лебедев Л.П. О равновесии свободной нелинейной пластины// ПММ.-1980.-Т.44.-Вып. 1 .-С. 161-165.

53. Лебедев Л.П. К вопросу о разрешимости нелинейных задач статики упругих пологих оболочек//Доклады РАН.-1998.-Т.363.-№4.-С.486-488.

54. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения// УМН.-1946.-Т. 1 .-ЖЗ.-С.71 -95.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М.: Наука, 1980.- 512 с.

56. Михайловский Е.И., Черных К.Ф. О некоторых особенностях деформационного варианта граничных величин// Изв. АН СССР. МТТ.-1985.-№2.-С.155-162.

57. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин// ДАН СССР.-1957.-Т.114.-Вып.5.-С.968-971.

58. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких пластин// Вестник ленинградского университета.-195 8.-№ 19.-С. 100-124.

59. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин// Изв. вузов. Математика.-1960.-№6.-С. 170-173.

60. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.-511 с.

61. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек.-Казань: Таткнигоиздат, 1957.-431 с.

62. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций пз композитных материалов.- Новосибирск: Наука, 1986.-165 с.

63. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.- М.;Л.: Гостех-издат,1948.- 212 с.

64. Панов Д.Ю. О применении метода Б.Г.Галеркина для решения некоторых задач теории упругости//ПММ.-1939.-Т.З.-Вып.2.-С.139-142.

65. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля.Ч.П. -М.: Оборон-гиз, 1941.-960 с.

66. Садовничий В.А. Теория операторов.-2-е изд.-М.:Изд-во Московского университета,1986.-368 с.

67. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложения к краевым задачам в частных производных//Ученые зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И.Герцена.- 1958.-Т. 197.-С.54-112.

68. Смирнов В.И. Курс высшей математики.т.5.-М.:Физматгиз,1959.- 655 с.

69. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-М.: Наука, 1988.-333 с.

70. Срубщик Л.С. О разрешимости нелинейных уравнений Рейсснера для непологих симметрично загруженных оболочек вращения//ПММ.-1968.-Т.32.-Вып.2.-С.326-331.

71. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана.-М.:Мир, 1983.-172 с.

72. Терегулов И.Г. Сходимость метода последовательных приближений в одной задаче нелинейной теории оболочек//Изв. вузов.Математика.-1959.-№4.-С. 168-177.

73. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. О разрешимости одной геометрически нелинейной задачи теории пологих оболочек//Изв. ву-зо.Математика.-1998.-№7.-С.53-61.

74. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. О существовании решения одной задачи нелинейной теории пологих оболочек//Изв. РАН. МТТ.-1998.-№3.-С.21-29.

75. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. К вопросу разрешимости физически нелинейной задачи теории пологих оболочек при конечных перемеще-ниях//Изв. вузов.Математика.-1998.-№9.-С.70-80.

76. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. Исследования разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории тонких оболо-чек//Изв. РАН. МТТ.-2000.-№6.-С.116-128.

77. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. Метод Ритца приближенного решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек//Изв. РАН .МТТ.-2002.-№ 1 .-С. 154-164.

78. Тимергалиев С.Н. К вопросу разрешимости одной задачи нелинейной теории пологих оболочек//Тезисы Международной конференции «Механика машиностроения» (28-30 марта 1995 года ) . -Наб.Челны: Кам-ПИ, 1995 .-С. 104-105.

79. Тимергалиев С.Н. Исследование разрешимости одной краевой задачи нелинейной теории пологих оболочек//Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин.Т1.-Казань, 1996.-С. 133-138.

80. Тимергалиев С.Н. Доказательство разрешимости одной задачи нелинейной теории пологих оболочек//Изв. вузов.Математика.-1996.-№9.-С.60-70.

81. Тимергалиев С.Н. Исследование разрешимости задачи о ндс нелинейной теории пологих композитных оболочек/УТезисы докл. участн. I международного симпозиума «Будущее за композитами» (5-7 февраля 1997 года).-Наб.Челны:КамПИ, 1997.-С.44-46.

82. Тимергалиев С.Н. О разрешимости задач нелинейной теории пологих оболочек//Камский политехнический институт.- Наб.Челны, 1997.-19 с /Рукоп. депон. в ВИНИТИ 21.05.97,№1689-В97.

83. Тимергалиев С.Н. Об одном методе доказательства разрешимости задачи нелинейной теории пологих оболочек//Дифференциальные уравнения.- 1998.-Т.34.-№ 10.-С. 1412-1419.

84. Тимергалиев С.Н. Единственность решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек//Тезисы докл. уч. V междунар. конф. «Лаврен-тьевские чтения по математике, механике и физике», 18-22 сентября 2000 года.-Новосибирск,2000.-С. 107.

85. Тимергалиев С.Н. Об одном методе исследования краевых задач нелинейной теории тонких оболочек//Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского.Т5.-Казань,2000.-С.296-297.

86. Тимергалиев С.Н. Исследование разрешимости вариационных задач нелинейной теории тонких оболочек//Изв. вузов.Математика.-2001.-№9.-С.66-74.

87. Тимергалиев С.Н. К исследованию разрешимости нелинейных краевых задач теории непологих оболочек//Труды XI межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2001 го-да.Часть 1.-Самара, 2001.-С. 179-182.

88. Тимергалиев С.Н. Вариационный метод в проблеме разрешимости краевых задач геометрически нелинейной теории тонких оболочек/Дифференциальные уравнения.-2002.-Т.38.-№4.-С.521-528.

89. Тимергалиев С.Н. Метод Бубнова-Галеркина приближенного решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек // Дифференциальные уравнения.-2002.-Т.38.-№ 12.-С. 1680-1689.

90. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.- М.: Наука, 1971.- 808 с.

91. ЮО.Треногин В.А. Функциональный анализ.-М.¡Наука, 1982.-495 с.

92. Успенский C.B. О теоремах вложения для обобщенных классов Собо -лева//Сиб. матем. журнал.-1962.-№3.-С-418-445.

93. Ю2.Феодосьев В.И. Упругие элементы точного приборостроения.-М.: Оборонгиз, 1949.-343 с.

94. Черных К.Ф. О сопряженных задачах теории тонких оболочек // Док -лады АН СССР,-1957.-Т. 117.-№6.-С.949-951.

95. Шлафман Ш.М. О существовании решений в нелинейной теории не пологих оболочек//Изв. Сев.-Кавказ. научного центра высшей шко лы.Сер. естеств. н.-1974.-№4.-С.49-53.

96. Шлафман Ш.М. Разрешимость нелинейных уравнений равновесия для замкнутой симметрично загруженной сферической оболочки МКЭ //Неклассические задачи теории плит и оболочек.- Ростов на Дону, 1977.-С.31-42.

97. Юб.Шлафман Ш.М. О сходимости метода конечных элементов в нелиней ной теории непологих оболочек//Ростовский инж.-строит. институт.-Ростов на Дону, 1977.-24с./Рукоп. депон. в ВИНИТИ 23.08.77,№3386-77.

98. Ю7.Шлафман Ш.М. Об одном классе физически нелинейных задач теории оболочек//Исследования по расчету пластин и оболочек.- Ростов на Дону, 1986.-С. 124-129.

99. Benardou М., Oden I. Tinsley. An existence theorem for a class of nonlin ear shallow shell problems//J.Math. Pures et Appl.-1981.-V.60.- №3.-P.285-308.

100. Brouwer L.E.J. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten//Math. Ann.-1912.-V.71.- №2.-P. 158-184.

101. Destuynder Ph. Sur 1 existance du solutions stables pour un modele de соque en élasticité non linear//C.R. Acad. Sci.-1981.-Ser.l.-V.293.- №15.-P.7I3-716.

102. M.Hlavacek I., Naumann I. Inhomogencous boundary value problems for the von Karman equation.IV/Aplukace Mathematiky.-1974.-V.19.-P.253-269.

103. Hlavacek I., Naumann I. Inhomogene boundary value problems to the von Karman equations.II//Aplikace Mathematiky.-I975.-V.20.-P.280-297.1 lô.Hopf H. Vektorfelder in n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten//Math. Ann.-1926.-Bd.96.-S.225-250.

104. John O., Necas I. On the solvability of von Karman equations//Aplikace Mathematiky.-1975.-V.20.-P.48-62.

105. Knightly G.H. An existence theoreme for the von Karman equatioins//Arch. Rational Mech. Anal.-1967.-V.27.-P.233-242.

106. Knightly G.H., Sather D. On nonuniqueness of the solutions of the von Karman equatioins//Arch. Rational Mech. Anal.-1970.-V.36.-№2.-P.65-78.

107. Kroneker L. Uber die Characteristik von Funktionen Syste men//Monatsbericht. Acad. Wiss. Berlin.-1878.-S.97-121.

108. Naumann J. An existence theorem for the von Karman equations under the condition of free boundary//Aplikace Matematiky.-1974.-V.19.-P. 17-27.

109. Necas I., Naumann J. On a boundary value problem in nonlinear theory of thin elastic plates//Aplikace Matematiky.-1974.-V.19.-P.7-16.

110. Rabier P. Resultats d'existence dans les modeles nonlineaires de plaques//C.R. Acad. Sei, Paris, Ser.A.-1979.-V.2.-P.515-5I8.

111. Ritz W. Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der Mathematischen Physik//J.reine angew. Math.-1908.-V135.-P.l-61.

112. Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platten mit freien Randern//Ann. d.Phys.-1909.-Bd.28.- №4.-S.737-786.