Устойчивость и низкочастотные колебания цилиндрической панели со слабозакрепленным прямолинейным краем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД

2 3 И 0 ? На правах рукописи

Ершова Зинаида Георгиевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И НИЗКОЧАСТОТНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ СО СЛАБО ЗАКРЕПЛЕННЫМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ КРАЕМ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на кафедре теоретической и прикладной механики мате-матико-механического факультета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Товстик Петр Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико -математических наук,

профессор Вернигор Виктор Николаевич

кандидат физико-математических наук

Майборода Александр Леонидович

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится " ^ " ^ ^ 1998 г. в "_" часов

на заседании диссертационного ссзета К 063.57.13 но защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Селкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д. 2, математике-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан X 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

М.А.Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Области применения тонких оболочек чрезвычайно широки: машиностроение, авиация, ракетостроение, строительство, атомная энергетика, химические технологии, судостроение. Тонкостенные конструкции могут находиться в различных условиях, в частности, под воздействием динамических нагрузок. Поэтому актуальным является расчет частот и определение форм собственных колебаний оболочек, так как знание этих характеристик позволит избежать явления резонанса, который может привести к разрушению конструкций. Кроме того, одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочеч-ных конструкций в различных областях техники является расчет на устойчивость, поскольку потеря устойчивости конструкции также ведет к ее разрушению.

Общая теория оболочек была развита в работах А.Лява, Г.Кирхгофа, В.З.Власова, И.И.Воровича, А.Л.Гольденвейзера, А.И.Лурье, В.В.Новожилова, Э.Рейссн* ра, К.Ф.Черныхаи др. Первымн работами по устойчивости цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевого сжатия, были \ "боты В.Е.Лилли, А.Маллока, Р.Лоренца и С.П.Тимошенко, Н.А.Кильчевского. Общие вопросы устойчивости оболочек разработаны Н. А. Ал футовым, Д.Бушнеллом, А.С.Вольмиром, К.З.Галимовым, А.Л.Гольденвейзером, Л.Доннел-том, В.В.Кабановым, Т.Карманом и С.Пзяном, Х.М.Муштари, П.Е.Товстиком и др. Вопросы теории колебаний оболочек рассмотрены в работах А.С.Вольмира, А.Л.Гольденвейзера, М.А.Колтукс-ва, П.М.Огибалова, О.Д.Ониашвиль, А.П.Филина и др. Для задач статики, динамики и устойчивости оболочек А.Л.Гольденвейзером были разработаны методы асимптотического интегрирования, получившие дальнейшее развитие в работах А.Г.Асланяна, И.В.Андрианова, Ю.Д.Каплунова, Л.Ю.Коссовича, В.Б.Лидского, Е.В.Нольде, А.Л.Попова, П.Е.Товстика и др.

Цель работы.В настоящей работе рассматриваются свободные низкочастотные колебания и устойчивость при осевом сжатии тон-

кой прямоугольной в плане цилиндрической панели. Работа посвящена исследованию влияния условий закрепления как прямолинейных, так и криволинейных краев панели на критическую нагрузку и на низшие частоты свободных колебаний.

Заметим, что для получения численных результатов при конкретных значениях параметров сформулированные задачи не представляют трудностей — для некоторых вариантов граничных условий известны точные аналитические решения, а в остальных случаях применение методов конечных элементов дает удовлетворительные по точности результаты. Целью работы является получение асимптотических формул, базирующихся на малости относительной толщины оболочки и учитывающих влияние условий закрепления на критическую нагрузку и на частоты колебаний.

Основное внимание уделено случаям, когда один из прямолинейных краев оболочки является свободным или слабо закрепленным. Эти случаи характерны тем, что форма колебаний или потери устойчивости локализуется в окрестности этого края, экспоненциально затухая при удалении от него. Заметим, что локализация формы потери устойчивости в окрестности свободного края пластинки впервые была отмечена акад. А.Ю.Ишлинским в 1954 году.

Метод исследования. Основным методом исследования является метод асимптотического интегрирование линейной системы уравнений теории оболочек с малым параметром. Наряду с малым параметром —1 относительной толщиной оболочка к, — 11/II, задача содержит еще два существенных параметра — относительную длину оболочки I — Ь/Я и ширину панели ^о- Рассмотрен широкий диапазон изменения этих параметров. Как и следовало ожддать, для различных областей изменения этих параметров различными оказываются и асимптотические результаты.

Основным объектом исследования были т. наз. панели средней длины, для которых оба названных параметра имели порядок единицы (/ ~ 1, (ро ~ 1). При этом вдали от криволинейных краев НДС оболочки является полубезмоментным, собственная форма затухает при удалении от слабо закрепленного прямолинейного края и приближенно можно считать оболочку полубесконечной в окружном направлении, что позволяет существенно упростить конечные результаты. Подробно рассмотрены также узкие панели, для которых существенным является способ закрепления обоих прямолиней-

ных краев.

Основные результаты, выносимые на защиту, сводятся к следующему:

1. Исследовала зависимость критической нагрузки при осевом сжатии цилиндрической панели от граничных условий на всех ее краях и от размеров панели. Найдены условия применимости приближенных асимптотических формул для критической нагрузки, основанных на локализации формы потери устойчивости в окрестности слабо закрепленного прямолинейного края.

2. Исследован вопрос о подкреплении стержнем прямолинейного края цилиндрической панели. Найдены параметры стержня, при которых подкрепляемый край уже не является слабо закрепленным (форма потери устойчивости не локализуется вблизи него).

3. В случае слабого закрепления одного из прямолинейных краев цилиндрической панели для построения спектра низкочастотных колебаний получена двучленная асимптотическая формула. Эта формула учитывает влияние как главных, так и дополнительных граничных условий на криволинейных краях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались

— на 16 международной к лференции по теории оболочек и пластин в Нижнее Новгороде в 1993 году,

— на международном семинаре " Day on doffiaction'98'' в С.Петербурге в 1998 году,

на 16 международно? конференции ' Актуь-льные проблемы механики оболочек" (память проф. А.В.Саченкова) в Казани в 1998 году,

— на кафедре теоретической к прикладной механики С.Поюрбург-схого государственного университета в 1998 году.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-4]. В работах [2-4], написанных совместно с научным руководителем проф. П.Е.Товстиком, ему принадлежит постановка задачи и обсуждение результатов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Работа содержит 104 страницы, 30 рисунков и 16 таблиц. Список литературы включает 98 наименований. В первой главе рассмотрены задачи устойчивости панели. Во второй главе исследуется устойчивость панели, находящейся в контакте со

стержнем. И, наконец, в третьей главе с использованием метода и результатов первой главы рассмотрены свободные колебания панели.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по устойчивости и свободным колебаниям оболочек, содержится обоснование темы диссертации, приводятся результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена устойчивости цилиндрических панелей (рис. 1), находящихся под действием осевохо сжатия. Приведены известные уравнения равновесия круговых цилиндрических оболочек, полученные с использованием гипотез Кирхгофа-Лява, а также соотношения упругости, кинематические соотношения и граничные условия. Кроме того, выписаны уравнения устойчивости безмо-ментного напряженного состояния цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевого сжатия.

Рис. 1. Рис. 2.

В §1.2 описана потеря устойчивости полубесконечной в окружном направлении цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями и свободным или слабо закрепленным прямолинейным краем. Приведены семь вариантов слабого закрепления

прямолинейного края, при которых имеет место снижение критической нагрузки по сравнению с классическим значением

Т]0 =

Ек2

Яу/3(1-**У

(1)

а форма потери устойчивости локализуется в окрестности этого края. На рис. 2 показаны зависимости А(р), где Л < 1 — уменьшение критической нагрузки по сравнению со значением (1), а р —' параметр волнообразования в продольном направлении

Р =

7Г/Л

Г'

I

Я'

Б, И

/г2

12(1 -и2) В?"

При р. < 1 шесть вариантов слабого закрепления края у дающих снижение критической нагрузки, суть:

(2) = О,

т2 = 5 = <?2. = М2 = 0, (0000), А0 = 0,113; 1

т2 = 5 = 72 = о, (0001), А0 = 0.223; 2

т2 = и = д2* = Мг = 0, (0100), А0 = 0.223; 3

Т2 = и = 72 = 0, (0101), А0 = 0.419; 4

Т2 — 5 = IV = М2 = 0, (0010), А0 = 0.809; 5

V - = 5 = = <?2. = = Мг = 0, (1000), А0 = 0.809. 6

(3)

Здесь и в дальнейшем для граничных условий используются обозначения

при х = О, Ь при у = 0, ?/о

и

Т\

V

5

V1

Яи

71 Мг

(1) (0)

V

Т2

и 5

XV 02.

72

Мг

(1) (0)

(4)

Здесь уместно отметит",-, что 16 рассматриваемых вариантов граничных условий на криволинейных краях подразделяются на четыре группы: (1) группу заделки, (2) гргппу шарнирной опоры, (3) группу слабого закрепления и (4) группу свободного края

Условия на X Варианты полных гр. условий

1 X = X' = 0 1111, 1110, 1101, 1100, 1011,' 1б10

2 А' = X" = 0 0111, 0110, 0101, 0100, ООН, 0010 (5)

3 Л" = X'" = 0 1001, 1000

4 X" = X"' = 0 0001, 0000

где во втором столбце приведены условия на функцию Х(х), появляющуюся после разделения переменных ги(х,у) = Х(х)У (у).

В §1.3 исследована потеря устойчивости цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем, причем на криволинейных краях в отличие от §1.2 рассматриваются некоторые другие варианты граничных условий. Влияние закрепления второго прямолинейного края, как и в §1.2, не учитывается. Задача решается в нулевом приближении по отношению к малому параметру тонко-стенности оболочки ц. Здесь рассмотрены закрепления криволинейных краев, принадлежащие группам заделки (3) и шарнирной опоры (Ш). Интересно отметить, что в отличие от шарнирной опоры обоих криволинейных краев (ШШ) в рассматриваемом случае слабыми оказываются только четыре первых варианта, закрепления прямолинейного края из (3). В приведенной ниже таблице даны критические значения параметра Л для различных граничных условий, причем N — число координатных функций в продольном направлении.

Граничные усл. на прямолин. крае ШШ ШЗ 33

N = 1 ЛГ = 2 N = 1 N = 2

0000 0100, 0001 0101 0.113 0.223 0.419 0.141 0.279 0.524 0.129 0.277 0.541 0.188 0.372 0.6СЗ 0.161 0.330 0.651

В §1.4 исследуется влияние ширины панели на критическую нагрузку, а криволинейные края предполагаются шарнирно опертыми. На одном из прямолинейных краев рассматриваются шесть вариантов слабого закрепления, а на втором — остальные, не менее слабые, из оставшихся 16 граничных условий. Исследуется влияние как ширины панели, так и ее длины на снижение критической нагрузки. Для каждого из названных шести вариантов приведены графики значений параметра нагружения Л(р,з), где р = 7ги 5 = уо/^ — параметры, характеризующие длину и ширину панели. Рис. 3 соответствует;) = 0.1, свободному левому краю и 16 различным граничным условиям на правом краю.

Графики, приведенные в §1.4, показывают (см. рис. 3), что при з —У 0, т.е. с уменьшением ширины панели, кривые, соответствующие различным граничным условиям, сближаются, объединяясь в группы. Теоретическое объяснение этому дано в §1.5. В нем проведен

асимптотический анализ устойчивости находящейся под действием осевого сжатия узкой цилиндрической панели. Для различных вариантов граничных условий на прямолинейных краях получены разложения критических нагрузок и собственных функций по двум малым параметрам: тонкостенности // и ширины

Рис. 3.

В §1.6, наоборот, рассмотрена широкая панель. Для разных условий закрепления прямолинейных краев, один из которых слабо за-креп-ие^г, найдено, при какой ширине панели с заданной погрешностью 5% ее можно считать полубесконечной (т.е. пренебрегать граничными условиями на другом краю, см. также рис. 3). Расчеты показали, что при R/h = 400 с этой погрешностью граничные условия на правом краю не влияют на критическую нагрузку при s > 16.

Во второй главе рассмотрена потеря устойчивости цилиндрической панели, сопряженной со стержнем. Проведение этого исследования здесь связано с тем, что свободный прямолинейный край панели является причиной потери устойчивости (снижая критическую

нагрузку при осевом сжатии в 9 раз) и подкрепление его стержнем является естественным. Рассмотрена задача о потере устойчивости системы оболочка-стержень под действием осевого сжатия. При этом предполагается, что криволинейный край оболочки и стержень шарнирно оперты, причем стержень является столь тонким, что форма потери устойчивости локализуется в окрестности стержня.

В §2.1 приводятся известные уравнения Кирхгофа-Клебша, описывающие равновесие тонкого нагруженного стержня. Кинематические и силовые условия сопряжения стержня и оболочки дают уравнение для определения критической нагрузки.

В §2.2 проведен асимптотический анализ условий сопряжения в предположении, что как оболочка, так и стержень являются тонкими. Сравниваются критические нагрузки оболочки и стержня, рассматриваемых отдельно. Обнаружено, что в некоторых случаях, наоборот, оболочка подкрепляет стержень.

В §2.3 численно решается задача об определении параметров стержня, при которых форма потери устойчивости уже не локализуется в окрестности края, подкрепленного стержнем.

р г = 0.5 2 = 1 2 = 2

0.02 89.64 14.СЗ 8^.80

0.04 22.32 11.12 2,2.46

0.06 9.84 5.00 10.00

0.08 5.48 2.82 5.62

0.10 3.46 1.80 3.60

0.20 0.76 0.46 0.90

0.50 0.04 0.08 0.16

В таблице приведены результаты расчетов для случая П/К = 400 в предположении, что стержень прямоугольного сечения со сторонами а и Ь изготовлен из того же материала, что и оболочка. В первом столбце таблицы приведен параметр длины оболочки р, а в остальных трех столбцах — для трех значений г = Ь/а безразмерные значения площади поперечного сечения достаточно подкрепляющего стержня (т.е. такого стержня, что локализация формы колебаний в его окрестности уже не имеет места).

Результаты таблицы показывают, что стержень квадратного поперечного сечения (z = 1) для панелей средней длины (р 1) существенно выгоднее для подкрепления, чем стержень прямоугольного сечения. При этом для р >С 1 оба подкрепления г = 0.5 и г = 2 в равной мере эффективны. Этот результат является неожиданным, ибо известно, что при постановке ребер на оболочке (стрингеров и шпангоутов) определяющее значение имеет момент инерции их сечения относительно срединной плоскости. В случае z — 2 этот момент инерции в 4 раза больше, чем при г = 0.5.

Третья глава посвящена низкочастотным колебаниям цилиндрической панели, причем в §§3.1 и 3.2 рассмотрены задачи, аналогичные задачам, описанным в §§1.1 и 1.2 первой главы. В этих параграфах задача решается в нулевом приближении по отношению к малому параметру тонкостенности. Основные отличия от задачи устойчивости заключаются в следующем.

Для любых условий закрепления криволинейных краев в нулевом приближении оказывается возможным разделение переменных w(x, у) = X(x)Y(y). В результате для наинизшей частоты колебаний в случае слабого закрепления прямолинейного края получена явная формула „, >.

2«2Л0 : " , ч

. Л° = -р1' (6)

где Ло — параметр частоты, Ао — параметр из формул (3), зависящий от граничных условий на слабо закрепленном прямолинейном краю, а — собственное значение задачи о колебаниях балки X"" — а4Х = 0 с граничными условиями, выбираемыми в соответствии с формулами (5). Имеем (а1} = а}1)

а» = 4.71, ui2 = 3.93, Q22=3.14,

an = 2.37, аи = 1.S8, а2з = 1.57, . . ,, {7)

С 24 = «33 = «34 = »44 = 0,

где индексы у otJ, указывают на номера групп граничных условий на криволинейных краях. Следовательно, в нулевом приближении для граничных условий на криволинейных краях, принадлежащих одной группе, получаем одну и ту же формулу для частоты колебаний.

В случаях Oij = 0 происходит снижение порядка частоты. Эти случаи не рассматриваются.

В задаче свободных колебаний интерес может представлять не только наинизшая частота, но и несколько других низких частот. В связи с этим проводится рассмотрение форм несколькими волнами в продольном направлении. В окружном же направлении локализованной является только одна форма колебаний. Исключение составляет с луча!'! свободного прямолинейного края, когда таких форм две (А^ = 0.113, Л<2) = 0.973).

Собственные функции У(?7), соответствующие слабым закреплениям прямолинейного края и удовлетворяющие условию затухания У(г]) —> 0 при г} —> оо, показаны на рис. 4.

Г

Л'0=О.ПЗ ] Г 0001 я0-•

—._! ¿Г 10 -г] ' " 10

Начиная с §3.3 в качестве уравнений равновесия взяты более точные, чем в теории пологих оболочек, уравнения, что позволяет помимо второстепенных членов в уравнениях равновесия учесть влияние различных граничных условий на частоту колебаний в пределах одной группы.

В §3.4 проводится асимптотическое интегрирование системы уравнений. Построены нолубезмоментное (основное) решение и интегралы краевого эффекта в окрестности криволинейных краев. Па-

раметр частоты представлен в виде

Л = Л0 + е2А2 + Ля. £2 = Ц. (8)

В §3.5 путем решения краевой задачи в первом приближении получена формула для асимптотически главной поправки ,г2 Л2 к частоте колебаний полубесконечной цилиндрической панели. При этом на прямолинейном крае рассматриваются шесть вариантов граничных условий, допускающих локализацию формы колебаний вблизи этого края, сопровождаемую снижением частоты, а на криволинейных краях рассмотрены все шестнадцать вариантов граничных условий. Приведены численные значения коэффициентов, входящих в эту формулу.

В §3.6 рассмотрен частный случай шарнирного закрепления криволинейных краев панели. В этом случае возможно точное разделение переменных и существенно упрощается численное решение. Проведено сопоставление полученных асимптотических результатов с результатами численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. . ,

Гр. усл. 1111 1110 1101 1100 1011 1010

К =0.01

По 0.1235 0.'235 0.1235 0.1235 0.123.5 0,1235

0.1335 0.1328 0.1320 0.1320 0.1304 0:1250

^(мкэ) 0.1461 0.143и 0.1041 0.0901 0.1395 0.1363

И, = 0.002

«о 0.0552 0.0552 0.0552 0.0552' 0.0552 0.0552

0.0573 0.0571 0.0570 0.0570 0.0566 0.0555

^(мкэ) 0.0565 0.0548 0.0473 0.0454 0.0586 0.0534

К = 0.001

По 0.0391 0.0391 0.0391 0.0391 0.0391 0.0391

0.0401 0.0400 0.0399 0.0399 0.0398 0.0392

^(мкэ) 0.0383 0.0370 0.0354 0.0354 0.0380 0.0356

В §3.7 рассмотрен случай произвольного закрепления криволинейных краев. Для получения асимптотической формулы прихо-

дится проводить исключение интегралов краевого эффекта. Найденные в результате частоты сравниваются со значениями частот, полученными методом конечных элементов. В качестве примера рассмотрен случай, когда край у = 0 свободен, а на криволинейных краях заданы граничные условия из группы жесткой заделки. Пусть / = 1, а толщина оболочки принимает три значения h„ = h/R = 0.01, 0.002, 0.001. Результаты сравнения частот П0 (нулевое приближение по формуле (6)), Q^ (первое приближение по формуле (8)) и f^"*3) (найденной по методу конечных элементов) помещены в таблице.

В формуле (8) через Лд обозначен остаточный член. Показано, что Ля = 0(е3). Если же переменные разделяются (в случае шарнирно опертых криволинейных краев), то погрешность приближенной формулы (8) уменьшается: Лд = 0(е4). Учет эффектов сдвига и инерции вращения нормали (типа Тимошенко-Рейсснера) дает вклад в Лд порядка 0(е8).

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

список ^илихлций

1. Ершсва З.Г. Устойчивость цилиндрических панелей со слабо закрепленным прямолинейным краем // Вести. С.Петерб. унта. Сер. матем.,механ.,гхтроЕ. 1SS3. N3. С. 7S-S1.

2. Ершова З.Г., Товстик П.Е. Колебания и устойчивость цилиндрических панелей со слабо закреплешшк прямолинейным краем // Динамика и устойчивость механических систем. Прикл. мех. Вып. 9. СПб.: Изд-»о С. Пет-грб. ун-та. 1995. С. 215-222.

3. Ершова З.Г., Товстик П.Е. Низкочастотные колебания цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем // "Актуальные проблемы механики оболочек". Сб. трудов междун. конф., (памяти проф. А.В.Саченкова). Казань. 1998.

4. Ershova Z.G., Tovstik P.E. On the localized modes of thin cylindri-

cal panel vibrations // "Day on doffraction'98". Int.seminar.

St.Petersburg. Abstracts. P. 47-48.

¿Г/--/У- //^

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 539.3

Ершова Зинаида Георгиевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И НИЗКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ СО СЛАБО ЗАКРЕПЛЕННЫМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ КРАЕМ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Товстик П.Е.

Санкт-Петербург 1998

Содержание.

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ПАНЕЛЕЙ 16

1.1. Уравнения равновесия цилиндрических оболочек. Граничные условия 16

1.2. Влияние свободного и слабо закрепленного прямолинейного края 23

1.3. Устойчивость цилиндрических панелей для других вариантов закрепления криволинейных краев 26

1.4. Влияние закреплений второго прямолинейного края

и размеров оболочки 32

1.5. Случай узкой полоски 49

1.6. Случай широкой полоски 55

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПАНЕЛИ, СОПРЯЖЕННОЙ СО СТЕРЖНЕМ 58

2.1. Постановка задачи и определяющие уравнения 58

2.2. Качественный анализ граничных условий 63

2.3. Достаточно подкрепляющий стержень 67

Глава 3. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ 69

3.1. Кодебания цилиндрической панели со свободным

и слабо закрепленным прямолинейным краем 69

3.2. Влияние граничных условий на криволинейных краях 71

3.3. Уточненные уравнения колебаний 73

3.4. Асимптотическое интегрирование системы (3.3.1) 74

3.5. Решение краевой задачи в первом приближении 79

3.6. Шарнирно опертые криволинейные края 84

3.7. Случаи, когда переменные не разделяются 89

Заключение 95

Указатель литературы 96

ВВЕДЕНИЕ

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Железнодорожная цистерна, резервуары для жидкостей и газообразных продуктов, трубопроводы - можно очень долго перечислять конструктивные решения, в основу которых положены оболочки. Области их применения чрезвычайно широки: машиностроение, авиация, ракетостроение, строительство, атомная энергетика, химические технологии, судостроение. Обол очечные системы играют важную роль и в обеспечении жизнедеятельности живых организмов.

Такие конструкции могут находиться в различных условиях, в частности, под воздействием динамических нагрузок. Поэтому актуальным является расчет частот и определение форм собственных колебаний оболочек, так как знание этих характеристик позволит избежать явления резонанса, который может привести к разрушению конструкций.

Кроме того, одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники является расчет на устойчивость, поскольку потеря устойчивости конструкции также ведет к ее разрушению [79, 80].

Вопросам теории оболочек посвящено очень много научных трудов. Первыми работами, в которых описана потеря устойчивости цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевого сжатия, являются работы В.Е.Лилли [94] и А.Маллока [96], причем Лилли экспериментально изучал осесимметричную форму потери устойчивости, а Маллок - неосесимметричную.

Первые аналитические результаты по устойчивости цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевого сжатия, были получены в начале XX века Р.Лоренцем [95] и

С.П.Тимошенко [68]. В работах этих авторов изучались идеально упругие, геометрически совершенные цилиндры. Исходное состояние считалось безмоментным, то есть оболочка в этом случае должна была иметь возможность расширяться радиально до тех пор, пока нагрузка не достигнет критического значения. При этом рассматривалась осесимметричная форма потери устойчивости. Для определения критической нагрузки, так называемого классического критического усилия сжатияу применялся статический критерий Л.Эйлера [85]> согласно которому критическая нагрузка определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия оказывается статически возможной смежная, бесконечно близкая к ней форма равновесия.

С математической точки зрения в этом методе задача заключается в нахождении собственных чисел и соответствующих им собственных векторов линейных краевых задач. Собственные числа определяют критические нагрузки, а собственные векторы — формы потери устойчивости. Найденная при атом нагрузка определяет момент разветвления форм равновесия и. называется верхней критической нагрузкой.

Однако первые эксперименты, выполненные Робертсоном, Флюгге, Вильсоном и Ньюмарком, Лундкуистом, Доннеллом не подтвердили результатов классического- решения (см. обзоры [26, 27, 78, 87] и др.) . Наблюдаемые критические нагрузки были значительно ниже классических. Все дальнейшее развитие теории устойчивости было направлено на выявление причин этого расхождения.

ДониеЛ'л [29] впервые отметил важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях, а основы геометрически нелинейной теории были заложены в работе Маргерра [97]. В 1939-1941 гг. Т.Карман и С'.Цзян [92], используя его уравнения, рассмотрели задачу об устойчивости цилиндрической оболочки в нелинейной постановке. Это исследование позволило выявить явление снижения несущей способности оболочки с ростом за-критических деформаций- После, этой работы появилось много аналогичных исследований, отличающихся видом выражения, аппроксимирующего радиальный прогиб оболочки. Полученные при этом величины нижних критических нагрузок, определяемые уровнем средних напряжений в оболочке, ниже которого- не

могут существовать другие формы равновесия, приближались к экспериментальным данным, поэтому возникло предложение в качестве критерия устойчивости принимать- нижнюю критическую нагрузку.

Однако позднее [58] с помощью ЭВМ было обнаружено, что величина нижней критической нагрузки уменьшается при увеличении числа членов, удерживаемых в разложении прогибов, а в некоторых случаях даже принимает отрицательные значения. Поэтому возникает новое направление, в котором в качестве критерия устойчивости предлагалось принимать верхнюю критическую нагрузку, но учитывать при ее нахождении различные факторы: влияние граничных условий, моментности докри-тического состояния, начальных несовершенств оболочки. Так в работах Г.Фишера [82] и Б.Олмроса [59] путем численного интегрирования уравнений методом конечных разностей изучалось влияние граничных условий и моментности исходного состояния. В случае осевого- сжатия круговых цилиндрических оболочек с защемленными торцами получено, снижение критической нагрузки на 10%, в случае шарнирного закрепления оболочек снижение составляло 15-20%.

В работе Доннелла и Вана [28] была развита нелинейная теория несовершенных оболочек. Совокупность всех возмущений оценивалась-эквивалентным начальным прогибом, подоб-н-ым ожидаемой. форме потери, устойчивости..

Неоценимый вклад в развитие теории оболочек внесли ученые нашей страны. Фундаментальными в этой области являются монографии А.Л.Гольденвейзера [15], [16], В.В.Новожилова [53], В.3.Власова [8], А.И.Лурье [47], А.С.Вольмира [11], Х.М.Муш-тари. и КЗЛГалимова, [51}г ГЬЕЛовстика. [77].г К.Ф.Черныха [8.4] и. др. Развитию теории оболочек в нашей стране посвящены очерки В.В.Новожилова [54] к А. Л.Гольденвейзера [17].

Вопросы теории колебаний оболочек рассмотрены в- монографиях А.Л.Гольденвейзера, В-.Б.Лидского, П.Е.Товстика [18], П-М „Огибал ова и М „А „Кол ту нова [57} г 0„Д„0ни.аш.вили [60].-

Теория устойчивости изложена в работах Э.И.Григолюка, В.В.Кабанова [26], [27], П.Е.Товстика [77], А.С.Вольмира [12], А.Лява [48] и др.

Вопросам устойчивости тонкостенных упругих систем при статических нагрузках посвящена книга Н.А.Алфутова [1].

А.К.Перцев и Э.Г.Платонов [61] рассматривают задачи прочности, устойчивости, колебаний пластин и оболочек — элементов судовых конструкций при нестационарных динамических нагруз-

ксьх.

В" книге А.С.Вольмира [13] исследуются модели оболочек типа Тимошенко с применением гипотез Кирхгофа-Лява.

В работе А.П.Филина [81] изучаются колебания и устойчивость- оболочек на основе технической теории- тонких оболочек.

Расчету тонкостенных конструкций, используемых в строительстве, посвящены работы Н. В. Колку нова [40] и И.Е.Милей-ковского и С.И.Трушина [50]. В первой из них, помимо вывода основных уравнений теории упругих оболочек и изучения некоторых специальных вопросов, рассмотрены также методы конечных элементов и дискретной ортогонализацииг а во второй — численные методы.

В статье А.Л.Гольденвейзера [25] отмечено, что в общей теории пластин и оболочек сложились три направления исследований: два из них — усовершенствование теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснераг третье — асимптотический подход к той же проблеме. Первое направление характеризуется введением в теорию оболочек некоторых геометрических и физических гипотез, второе предполагает минимальное количество допущений и включает в себя обоснование исходных уравнений и анализ их применимости [8, 9, 15, 16, 20, 47, 53, 55].

Следует отметить, что в последнее время появилось много работ, посвященных оценке погрешности различных теорий тонких оболочек и пластин [7, 14, 22, 23, 25, 41]. В статье А.С.Гольденвейзера, Ю.Д.Каплунова, Е.В.Нольде [22] обсуждается. вопрос о. погрешности в задачах статики, и динамики линейных теорий типа Тимошенко-Рейсснера (см. также [18]), учитывающих деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Здесь же отмечается, что асимптотический метод построения дифференциальных уравнений общей теории- оболочек приводит при использовании физически очевидного, свойства напряженно-деформированного состояния (НДС), упругих оболочек — разделения общего НДС на внутреннее и краевое, к построению двух итерационных процессов интегрирования дифференциальных уравнений для случая узкой области интегрирования. Пер-

вый из этих процессов позволяет строить с заданной асимптотической точностью- внутренние, медленно- меняющиеся интегралы, второй — быстро меняющиеся краевые интегралы, локализованные вблизи линий искажения общего НДС.

Методы исследования, используемые для анализа колебаний и: устойчивости оболочек, можно, в свою очередь, разделить на численные и аналитические. Среди численных методов следует отметить методы ортогональной прогонки, используемые для осесимметрично и циклически симметрично нагруженных оболочек, и вариационные методы, особенно, метод конечных элементов, для случаев, не допускающих разделение переменных.

Система уравнений теории оболочек содержит естественный малый параметр, связанный с относительной толщиной оболочки, поэтому асимптотические методы позволяют проводить расчеты на устойчивость, колебания, дать качественный анализ этих явлений, существенно упростить построение приближенных численных решений. Основные асимптотические методы, используемые в задачах теории оболочек, изложены в работах А.Л.Гольденвейзера [15, 16].

Следует отметить однако, что при различных изменяемостях НДС [16,17, 18, 77] приходится использовать различные приближенные соотношения. Условия реализации НДС типа основное напряженное состояние, полубез-моментное, простой и обобщенный краевой эффект обсуждаются,- в работах [2Г 21.г 36г 37г 53] и ДР-

Дальнейшее развитие асимптотических методов в применении к задачам свободных колебаний оболочек содержится в работах А.Л.Гольденвейзера, В-.Б-.Лидского, П.Б.Товстика [18], ВЛэ.Лидского и Г1,Е.Товстикз, [46], П.Е/Говстика [73]. В работе [18] приведена полная классификация упрощенных краевых задач линейной динамики упругих тонких цилиндрических оболочек, полученная в результате асимптотического анализа. В работах [18, 46, 73] рассмотрены также сложные вопросы асимптотического анализа, связанные с наличием точек поворота и переходных линий на поверхности оболочки.

Асимптотический анализ нестационарных динамических задач, особенно в окрестностях фронтов волн, проведен в работах [35, 41, 42, 91]. Получены приближенные математические моде-

ли, пригодные для описания НДС в окрестностях фронтов волн в различных пространственно-временных интервалах.

Влиянию граничных условий на величину критической нагрузки в задачах устойчивости цилиндрических оболочек и панелей, находящихся под действием осевого сжатия, посвящено очень много работ, обзор которых дан, например, в книгах Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [26, 27]. Формула Лоренца-Тимошенко критического усилия сжатия круговой цилиндрической оболочки

ЕЙ? , .

Т? =--. 0.1}

1 Яу/Ъ{1 - V2) 1

получена для классических граничных условий шарнирного опи-рания

и; — М\ = у — Тг = 0. (0.2)

В 1942 году Н.А.Кильчевский [38] рассмотрел граничные условия, соответствующие свободным кромкам, и получил для критической нагрузки значение, составляющее 0.37 классического. В 1961 году Н.Охира [98] с помощью ЭВМ исследовал полубесконечную оболочку с незакрепленным в окружном направлении краем. Оказалось, что критическая нагрузка в этом случае будет вдвое меньше классической.

В дальнейшем влияние граничных условий на критическую нагрузку при осевом сжатии цилиндрической оболочки в предположении безмоментности исходного состояния подробно рассмотрено в работах В.И.Кожевникова [39], Альмрота [86] и др. Было изучено десять вариантов граничных условий [27] и подтверждены результаты Кильчевского и Охиры: снижение критического напряжения наблюдается при некоторых специальных граничных условиях, не реализующихся в чистом виде на практике.

В соответствии с работой [27] при осесимметричной форме потери устойчивости снижение критических напряжений за счет влияния изгиба в докритическом состоянии не наблюдается. Не-осесимметричной формой потери устойчивости с учетом момент-ности исходного состояния занимались Х.М.Муштари [51], Фишер [82], причем Фишер рассмотрел два варианта граничных условий — V = ии = М\ — От Тх^у^ио — ^{1 — Он широкий диапазон изменения параметров Ь/II.

Альмрот [86] рассмотрел уже десять вариантов граничных условий, меняя те же параметры. Оказалось, что только для двух вариантов граничных условий Т\ — 3 = ги: = М± = 0 и и = V = и) = ^ = 0 критическая нагрузка не снижалась. Максимальное же снижение нагрузки достигало двадцати процентов.

В дальнейшем [26, 27, 77, 87] при исследовании влияния граничных условий на потерю устойчивости цилиндрических панелей на каждом из краев традиционно рассматривают шестнадцать вариантов граничных условий, приравнивая в каждом случае нулю обобщенные перемещения или усилия.

В работах П.Е.Товстика [76, 77] рассмотрена потеря устойчивости начального безмоментного напряженного состояния тонкой цилиндрической оболочки^ обусловленная слабым закреплением одного из ее краев, при осевом сжатии. Построены формы потери устойчивости, локализованные в окрестности этого края. Следует отметить, что впервые о подобной локализации сказано в работе А.Ю.Ишлинского [45]. В случае слабо закрепленного криволинейного края (для замкнутой в окружном направлении оболочки или панели с шарнирно опертыми прямолинейными краями) найдено восемь вариантов граничных условий, допускающих подобную локализацию при одновременном снижении критической нагрузки. В случае слабо закрепленного прямолинейного края для полубесконечной в окружном направлении оболочки (криволинейные края при этом шарнирно оперты) выявлено семь подобных вариантов граничных условий.

Вопрос о влиянии слабого закрепления края на снижение частот колебаний рассмотрен в работах [5, 11, 18, 19, 51, 62, 65]. Граничные условия, допускающие изгибания срединной поверхности и дающие вследствие этого наибольшее снижение наинизшей частоты, рассматриваются в работах [18, 48].

В настоящей работе рассматриваются свободные низкочастотные колебания и устойчивость при осевом сжатии тонкой прямоугольной в плане цилиндрической панели. Работа посвящена исследованию влияния условий закрепления как прямолинейных, так и криволинейных краев панели на критическую нагрузку и на низшие частоты свободных колебаний.

Заметим, что для получения численных результатов при конкретных значениях параметров сформулированные задачи не представляют трудностей — для некоторых вариантов граничных условий известны точные аналитические решения, а в остальных случаях применение методов конечных элементов дает удовлетворительные по точности результаты. Целью работы является получение асимптотических формул, базирующихся на малости относительной толщины оболочки и учитывающих влияние условий закрепления на критическую нагрузку и на частоты колебаний.

Основное внимание уделено случаям, когда один из прямолинейных краев оболочки является слабо закрепленным. Эти случаи характерны тем, что форма колебаний или потери устойчивости локализуется в окрестности этого края, экспоненциально затухая при удалении от него.

Наряду с основным малым параметром — относительной толщиной оболочки = И/II, задача содержит еще два существенных параметра — относи�