Статическая устойчивость и собственные колебания плоских и криволиненых упругих панелей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Комитет по высшей школе МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА К ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОШЩ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЮНИКИДЗЕ

На правах-рукописи Сильченко Леонид Георгиевич

УДК 539.3

СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКИХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ ПАНЕЛЕЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва Издательство МАИ 1992

1 ' *

Г..' ;

' V N

Работа выполнена в Московском авиационном институте Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент

Рыбаков Л.С.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Шалашилин В.И.,

- кандидат технических наук, старший научный сотрудн: Багдасарян В.В.

Ведущая организация - ШО "Молния" г. Москва

Защита состоится "_"_ 199 г. в_час. на

заседании специализированного Совета Д 053.18.07 в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

Просим принять участие в обсуждении диссертации или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ. Адрес ин-та: 125871, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4, МАИ.

Автореферат разослан "_"_ 199 г.

Учёный секретарь специализированного Совета кандидат технических наук, доцент

В.Н. Зайцев

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Подкреплённые стрингерами панели широко применяются в различных отраслях техники и, прежде всего, в авиаракетостроении. Анализ деформирования, устойчивости и колебаний подобных конструкций составляет предмет теории ребристых пластин и оболочек - раздела механики деформируемого твёрдого тела, сформировавшегося в 1950-90 гг. Центральное место в этой теории занимает проблема моделирования ребристых пластин и оболочек, в решении которой наметились два основных направления.

Первое направление базируется на концепции "размазывания" и объединяет в себе разнообразные конструктивно-анизотропные модели. Известный вклад в развитие этого направления внесли С.А.Ам-барцумян, И.А.Биргер, В.В.Васильев, В.З.Власов, В.И.Королёв, С.Г.Лехницкий, Е.И.Михайловский, В.В.Новожилов, П.Ф.Папкович, С.П.Тимошенко, К.Ф.Черных и многие другие исследователи.

В основании другого направления лежит дискретно-континуальный подход. Большинство последователей этого направления (И.Я. Амиро,.В.З.Власов, Е.С.Гребень, А.Н.Данилин, П.А.Килин, В.А.За-руцкий, И.С.Малютин, Б.К.Михайлов, Е.И.Михайловский, В.В.Новожилов, И.Ф.Образцов, Г.Г.Онанов, К.Ф.Черных и многие другие) придерживались концепции сингулярно-неоднородного тела, проявившейся в сведении задач к дифференциальным уравнениям с коэффициентами (переменными жесткостяш), зависящими от <5" -функции и её производных. Значительно реяе при реализации дискретно-континуального подхода применяется метод "склейки" (Л.И.Балабух, A.B. . Кармишин, А.В.Лясковец, В.И.Мяченнов, А.А.Назаров, П.Ф.Папкович, Л.С.Рыбаков, Р.Д.Степанов, А.П.Филиппов, А.Н.Фролов и др.), широкие возможности которого, в том числе и при решении изучаемых в настоящей работе проблем, не получили должного развития.

В существующей литературе мало изучены также методы моделирования ребристых пластин и оболочек, сочетающие в себе концепцию "размазывания" с идеями дискретно-континуального подхода.

Цель работы. Применение метода "склейки" для строгой и достаточно общей постановки за~ач о статической устойчивости при равномерном сжатии и собственных колебаниях плоских и цилиндрических стрингерных панелей с конструктивно-ортотропной обшивкой, разработка надёжных точных з; приближённых алгоритмов решения

этих задач, реализация алгоритмов в виде фортран-программы для ЭВМ и проведение с её помощью параметрических исследований.

Методика выполнения работы состоит в использовании:

1) метода "склейки" и концепции "размазывания" для формулировки изучаемых проблем в виде дифференциально-разностной задачи на собственные значения;

2) метода одинарного тригонометрического ряда и метода начальных параметров для сведения дифференциально-разностной задачи на собственные значения к разностной;

3) дшлфетного метода начальных параметров для сведения разностной задачи на собственные значения к алгебраической;

4) безразмерной формы изложения.

Научную новизну работы составляют:

I) построенные с помощью метода "склейки" механико-математические упругие модели плоской и цилиндрической стрингерных панелей, представленные для проблем статической устойчивости и собственных колебаний в виде дифференциально-разностной задачи на собственные значения;

$ точное решение дифференциально-разностной задачи на собственные значения путём сведения её с помощью метода одинарного тригонометрического ряда и метода начальных параметров к алгебраической проблеме на собственные значения;

3) реализованные в виде фортран-программы для ЭВМ точные и приближённые алгоритмы решения алгебраической задачи на собственные значения;

4) многочисленные результаты параметрических исследований критических нагрузок, собственных частот и форм выпучивания и колебаний панелей.

Достоверность проведённых исследований обосновывается достоверностью исходных научных посылок, строгостью рассуждений и подтверждается удовлетворительным совпадением отдельных результатов настоящей работы с соответствующими теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Практическую ценность работы составляют эффективные методики, позволяющие получать достоверные данные о критических нагрузках, собственных частотах и формах выпучивания и колебаний плоских и цилиндрических панелей, а также отдельные выводы по результатам параметрических исследований, указывающие на непредсказуемость

поведения некоторых панелей, трудности толкования экспериментальных данных о них и повышение в связи с этим роли теоретических исследований.

Апробация. Основные положения и результаты работы доложены на семинаре "Прикладные методы в задачах прочности" (Москва, МАИ, 13.03.92 г.; 19.06.92 г.), руководимом И.Ф.Образцовым, Б.В. Нерубайло, А.А.Мовчаном, Ю.С.Матшевым, и на семинаре "Проблемы., механики деформируемого твёрдого тела и динамика машин" (Москва, МАИ, 2Г.09.92 г.), руководимом А.Г.Горшковым, А.И.Станкевичем, Д. В. Тарлаковским.

Публикация результатов исследований. По теме диссертации имеется три публикации.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературных источников из 112 наименований. Диссертация содержит Г82 страницы машинописного текста, включая 41 страницу рисунков и таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор методов постановки различных задач о деформировании ребристых пластин и оболочек. Особое внимание уделено обсуждению достоинств, недостатков и области применения концепции "размазывания" и дискретно-континуального подхода. Сопоставлены два пути реализации последнего. Один из них основан на концепции сингулярно-неоднородного тела и позволяет сводить задачу к проблеме решения дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от ¿"-функции и её производных. Другой путь предполагает использование общей версии метода склейки, сводящей задачу к решению дифференциально-разностных уравнений.

Первая глава посвящена статической упругой устойчивости плоских прямоугольных панелей, представляющих собой конструктивно-ор-тотропную (ортотропную) пластину (обшивку) постоянной толщины, дискретно подкреплённую нерегулярным однонаправленным набором стрингеров, параллельных одной из её кромок. Рассматривается двухстороннее равномерное сжатие панели различными поверхностными силами , ра (рис.1). Механико-математическая модель панели строится с помощью общей версии метода склейки: панель расчленяется на изолированные элементы - приведённые стрингеры

(стрингеры с присоединённой находящейся под ними: обшивкой; рис.2; форма сечения стрингера показана условно) и расположенные между стрингерами участки пластины; проводится упругий анализ изолированных элементов панели, опирающийся при моделировании работы стрингеров и обшивки на использование соответственно теории стержней и теории конструктивно-ортотропных пластин; формулируются геометрические условия сопряжения (условия склейки) элементов панели.

Я

Рис.1 Рис.2

При докритическом анализе панели предполагалось, что в её изолированных элементах реализуется однородное поле напряжений. Все рассуждения ведутся в безразмерных величинах; правила обезразме-ривания из-за ограниченности объёма здесь не приводятся.

Критическое состояние изолированного участка I обшивки описывается в его локальных координатах Х„Хг,Х3 (рис.Г) уравнениями (всюду в дальнейшем о£,р = 1,2 ; индекс после запятой указывает на дифференцирование по соответствующей координате; по повторяющемуся индексу предполагается суммирование)

б

в которых ы'^ - прогиб, в. А - толщина пластинки С ; -

функция Эйри; Ц, , 0гг , д^ , Вн , В^ , В0 , Ул , ^ - параметры конструктивной ортотропии обшивки; 71 - целое положительное число, задаваемое в зависимости от числа элементов панели (рис.1).

Упругий анализ критического состояния изолированного стрингера I (в его локальных координатах; рис.1), испытывающего в общем случае растяжение-сжатие, кручение и изгиб в плоскостях Х(Хг, Х123 приводит к уравнениям

Здесь чф^) и - значения смещения вдоль оси ^ ($=1,1,1)

и утла закручивания в произвольной точке упругой линии стрингера I ; и - жёсткости этой линии на растяжение- .

сжатие, кручение и изгиб в плоскостях <2^ , Х,Х3 ; жёсткость обусловлена^несовпадением осей Х^ , Х3 с главными центральными осями , Х3 (рис.2) поперечного сечения стрингера I ; рШ(Х,)и

- результирующие погонная сила в проекции на ось 1,3,5)

и погонный момент относительно той же оси, с которыми воздействуют на рассматриваемый стрингер соседние пластинки. Силы р^- и моменты <5у очевидным образом выражаются сначала через внутренние погонные силы и изгибалдае моменты пластинок, а затем - через функции Ъй(° и (р<с).

Из геометрических условий сопряжения смежных элементов панели, устанавливающих связь смещений и угла закручивания упругих линий стрингеров со смещениями примыкающих к ним пластинок, вытекают условия совместности смещений соседних пластинок через разделяющий их стрингер

„(О • „V

где <?2 - ширина сечения стрингера и (рис.2).

С учётом сказанного равенства (1)-(3) образуют совокупную систему дифференциально-разностных уравнений, описывающих оптическое состояние панели. Вместе с краевыми условиями на кромках - 0,(рис.1; граничные условия на подкреплённых краях панели содержатся в уравнениях (2) при 1=0,Т1) они представляют дифференциально-разностную задачу на собственные значения относительно искомых иа>и ц>а> , решением которой определяются критические значения параметров внешней нагрузки ри , ргг и формы выпучивали панели.

Из всех возможных краевых условий на кромках ОС^О,^ выделены условия свободного опирания, для которых реализуем метод одинарного тригонометрического ряда, требующий для искомых и (р<1)ви,

хм = К3* , ^ = («=1>г>3>-)

С помощью выражений (4) система дифференциально-разностных уравнений СО - (3) сведена точным образом к разностной задаче на собственные значения восьмого порядка с переменными коэффициентами са)„(Ь л-о^а-о \ ¿к = Ьк ¿к

с(о)гу(о) л „(пЫп-оЛп-О (5)

= и > 4 =0

Здесь 7,к - искомый вектор-столбец восьмого порядка, первые четыре компоненты которого связаны с деформированием пластинки в своей плоскости, а последующие четыре компоненты - с деформиро ванием пластинки из её плоскости'; - матрица 8*8 с элементами зависящими от параметров внешней нагрузки и упруго-геометрически характеристик внутреннего стрингера С ; - матрица 8*8 блочно диагонального строения с диагональными блоками 4*4, целиком опре деляемыми фундаментальными решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые переходят уравнения (I) после подстанов ки в них выражений (4); - матрицы 4*8 с элемента™, за-

висящими от параметров внешней нагрузки и упруто-геометрических характеристик соответствующих крайних стрингеров.

Специальный пункт посвящён обсуждению путей решения задачи (5

Особое внимание уделено двум точным алгоритмам. Один из них (рекурсивный алгоритм) основан на использовании рекуррентного характера системы разрешающих уравнений (5) и позволяет выбирать в качестве. основного (определяемого в первую очередь) любой из векторов 7,у . Этод подход, названный методом плавающего начального вектора, сводит дифференциально-разностную задачу (5) к алгебраической задаче на собственные значения для однородной системы восьми линейных алгебраических уравнений. Второй алгоритм нерекурсивный и заключается в замене дифференциально-разностной системы (5) соответствующей алгебраической системой, где в качестве искомого вектора выступает вектор-столбец, составленный из всех векторов 7.к . Обсуждаются также приближённые подходы, основанные на методе периодических решений системы (5) и методе усечения -искусственного сокращения числа стрингеров и пластинок панели в её средней части. Точное аналитическое решение получено для регулярной панели с симметричным относительно срединной плоскости обшивки подкреплением.

Отмеченные алгоритмы реализованы в виде фортран-программы дал ЭВМ, с помощью которой были проведены многочисленные параметрические исследования. Их иллюстрирует рис.3, где показаны границы области устойчивости панели с девятью внутренними стрингерами регулярной (кривые I) и оптимальной (кривые 2) структур.

12

6

1 1 1 lililí

тПг 7#Г

А . , , lililí f

4 У К = 1

2

\ \ \

о 6 12 рн'/05

Рис.3

Оптимальная структура отличается от эталонной (регулярной) только переменным шагом подкрепления и отыскивается среди симметричных относительно среднего стрингера структур из условия наибольшей критической нагрузки ри при рг2 = 0 . Оказалось, что в средней части оптимальной панели шаг стрингеров приблизительно постоянный и почти в 2 раза меньше эталонного, в то время как ширина крайних пролётов превосходит эталонный в несколько раз.

Во второй главе исследуются малые собственные упругие колебания тех же плоских прямоугольных панелей. В математическом отношении эта проблема идентична задаче устойчивости. Поэтому в рамках предположений и методологии главы I здесь внесены необходимые коррективы, касающиеся исключения из уравнений устойчивости до-критического напряжённого состояния и введения соответствующих инерционных членов. Кроме того с целью учёта-сил инерции пластинок в их срединной плоскости при описании плоского напряжённого состояния этих пластинок использована постановка задачи в смещениях (уравнения Ламе).

Совокупная система уравнений колебаний панели в амплитудных значениях переменных слагается из уравнений колебаний изолированных пластинок

- * ФФо »

уравнений колебаний изолированных стрингеров

а/У"* {'д'Щ'-р','-'

(Ыо^^п)

и условий (3) . Здесь Ц^ (хихг) - смещение вдоль оси точек срединной плоскости пластинки I ; ^ - её поверхностная масса; д и Зи>- погонные масса и массовый момент инерции (относительно оси жёсткости) стрингера С ; О) - частота.

(7)

Как. и в предыдущей главе, дифференциально-разностная задача (б) ,(7),(3) сведена с помощью метода одинарного тригонометрического ряда к разностной задаче на собственные значения вида (5) (но с собственным параметром со) , что позволило при проведении параметрических исследований воспользоваться алгоритмами и реализующей их фортран-программой главы I. В частности для упомянутой выше эталонной панели (рис.3) была поставлена и решена задача о частичной оптимизации её структуры: среди панелей с неравномерным, но симметричным расположением одинаковых стрингеров относительно среднего найти панель с наибольшей первой частотой. Эффект оптимизации (превышение низшей частотой оптимальной панели первой частоты эталонной) для свободно опёртых и защемлённых кромок, параллельных стрингерам, составляет соответственно 7,25$ и 11,855?. Расположение стрингеров в оптимальной панели здесь оказалось таким же как и в задаче устойчивости. Более того, практически совпали и соответствующие формы колебаний и выпучивания сопоставляемых, оптимальных в разных смыслах, панелей.

В третьей главе изучается.задача о статической упругой устойчивости цилиндрической панели, представляющей собой незамкнутую цилиндрическую конструктивно-ортотропнузо оболочку, подкреплённую вдоль образующих нерегулярным набором стрингеров. Рассматривается только случай равномерного сжатия такой панели вдоль стрингерного (рис.4); условное поперечное сечение приведённого стрингера показано на рис.5. По-прежнему предполагается, что в докритическом состоянии в элементах панели реализуется однородное поле напряжений.

В отличии от плоской панели здесь при моделировании деформирования обшивки используется теория пологой конструктивно-орто-тропной цилиндрической оболочки, в силу чего критическое состояние участка I обшивки описывается теперь уравнением

+ РМАрч + =О (8)

(¿=0,1,2,-, П.-1; ¿лу,б=4,г)

где - кривизна, а - радиус кривизны обшивки.

Сами уравнения (2) остаются без изменений. Однако в сопутствующем им выражении душ Ри) следует положить /^=0. Меняется также и содержание величин р^ , . Геометрические условия сопряжения смежных участков обшивки цилиндрической панели имеют вид (рис.5)

Ъ5%0)9л4д-

и, как и следовало ожидать, при $а)= О они переходят в условия (3 Дифференциально-разностная задача на собственные значения (8), (2) , (9) с помощью метода одинарного тригонометрического ряда сведена к разностной задаче на собственные значения знакомого вида (5), что позволило при проведении конкретных вычислений вновь воспользоваться итогами алгоритмических исследований главы I. Результаты параметрических исследований иллюстрирует рис.в, где показана зависимость от кривизны 3? первых двух собственных значений (оС- 1, ') двухстрингерной панели, которыми определяется её критическая нагрузка. Там же в характерных точках показан качественно вид формы выпучивания панели поперёк набора (вдоль набора реализуется шесть полуволн: К= 6).

Четвёртая глава посвящена собственным колебаниям цилиндрических панелей. Трансформация задачи устойчивости в задачу о собственных колебаниях цилиндрической панели осуществлена также, как и в случае плоской панели, причём ввиду малости влияния (по результатам главы 2) тангенциальные силы инерции в расчёт не прини-

мались. Совокупную систему уравнений собственных колебаний цилиндрической панели в амплитудных значениях переменных образуют уравнения колебаний участков обшивки

уравнения колебаний стрингеров (7) и условия (9). И здесь с помощью метода одинарного тригонометрического ряда.дифференциально-разностная задача на собственные значения (ГО) , (7),(9) сведена к к разносной задаче типа (5) , при решении которой используются алгоритмы, обсуждавшиеся в главе I. Результаты многочисленных вычислений частот и форм собственных колебаний различных проиллюстрированы на рис.7, где линиями показано влияние кривизны % двухстрингерной панели на три первых частоты СО^ = 1,2,3) , где верхний символ "п" указывает на то, что нумерация частот по / взята для плоской (а? = 0) панели. Там же в характерных точках показано качественно поведение форм колебаний панели поперёк набора (к= /).

Основные результаты и выводы

1. С помощью метода "склейки" для плоской панели с однонаправленной системой стрингеров построена достаточно общая механико-математическая модель, позволяющая учитывать различные особенности реальной структуры панели.

2. В рамках этой модели проблемы статической устойчивости и собственных колебаний плоской панели сведены к родственным дифференциально-разностным задачам на собственные значения.

3. Посредством метода одинарного тригонометрического ряда построено точное решение дифференциально-разностной задачи путём сведения её к разностной, а затем и к алгебраической проблеме

на собственные значения.

4. Для решения алгебраической проблемы на собственные значения предложены эффективные точные и приближённые алгоритмы, реализованные в виде фортран-программы для ЭВМ.

5. Перечисленные выше результаты" обобщешГна цилиндрические панели, подкреплённые стрингерами вдоль образующих обшивки.

в. Ряд конкретных вычислений убеждает в неочевидности и в непредсказуемости не только влияния отдельных параметров панели на её поведение, но и интерпретации самих результатов вычислений. Всё это затрудняет правильное толкование отдельных экспериментальных данных и повышает роль теоретических исследований.

7. Достоверность полученных в диссертационной работе теоретических результатов обосновывается достоверностью исходных научных посылок и подтверждена удовлетворительным совпадением отдельных результатов вычислений данной работы с аналогичными исследованиями других авторов.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Рыбаков Л.С., Сильченко Л.Г. Статическая упругая устойчивость прямоугольной подкреплённой ортотропной панели // Прикладные методы исследования прочности ЛА. - ГЛ.: Изд-во МАИ, 1992. -С. 64-71.

2. Рыбаков Л.С., Сильченко Л.Г. Собственные поперечные колебания прямоугольной подкреплённой ортотропной панели // Проблемы механики конструкций ЛА. - М.: Изд-во МАИ, 1992. - С. 69-75.

3. Сильченко Л.Г. Устойчивость и собственные колебания плоской прямоугольной дискретно подкреплённой панели. - М., 1992. -28 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.05.92, № 1&12-В92.