Задачи формообразования пространственных трехслойных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г Г Л '1

( I О и О

/ с |::!Л .;

на правах рукописи

Щевелева Ольга Николаевна

Задачи формообразования пространственных трехслойных

оболочек.

01.02.04механика деформируемого твердого тела.

(тореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-

математических наук.

ВОРОНЕЖ 1998.

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Спорыхин доктор технических наук профессор С.С. Одинг

Кандидат физико-математаческих наук, доцент Шашкин А.И.

Ведущая организация:

ВНИИ АСПК

Защита состоится

//

иссал

/л

на заседании

диссертационного совета К.063.48.13 при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан & т^^/) ?.

Ученый секретарь диссертационного совета

1АУ4

А.В. Ковалев

в

Общая характеристика работы

Настоящая работа посвящена исследованию деформирования ространственных трехслойных панелей посредством прокатки и последующей авивки на форму, постановке и решению задач формообразования оболочек, а 1к же точности формообразования оболочек и соответственно расчету формы гтампа для изготовления оболочек заданной формы.

Актуальность темы обусловлена необходимостью разработки атематических моделей, аналитических и численных методов и программного беспечения для ПВЭМ расчета нетрадиционных методов изготовления эехслойных пространственных оболочек для отдельных конструкций в зиакосмической отрасли. Изготовление методом прокатки и последующей авивки на форму пространственных трехслойных оболочек существенно прощает технологический процесс и улучшает прочностные, эродинамические, теплофизические, шумопоглощающие и др. свойства, ажным вопросом при такой технологии становиться точность ормообразования оболочек и соответственно - точность изготовления наперед ^считанной формы (штампа). Развитие исследований в этой области связанно ) многими именами. Фундаментальные основы неупругого поведения атерила при их пластическом и упругопластическом поведении в знструкциях в виде пластин и оболочек были разработаны: Биргером И.А., ыковцевым Г.И., Ивлевым Д.Д., Ильюшиным A.A., Качаловым Л.М., емировским Ю.В., Ржаницыным A.A., Розенблюмом В.И., и др. сновополагающие идеи, постановки и решения задач упругого сформирования пластин и оболочек представлены в работах: Амбарцумяна .А., Гольденвейзера А.Л., Колкунова М.В., Новожилова В.В., Пикуля В.В., леха Б.Л., Погорелова A.B., Тимошенко С.П., Черных К.Ф., Шульгин H.A. и ). Исследования в области трехслойных пластин и оболочек, многослойных жструкций, в том числе и анизотропных, представлены в работах: лександрова А.Я., Григолюка Э.И., Прусакова А.П., Фильштинского Л.А. и

др.. Вопросы разработки программного управления формообразованиел-оболочек из листовых материалов рассматривались Одингом С.С., Делем Г.Д. i др.. Анализ нелинейного характера сухого трения в динамических i статических задачах деформируемых тел проводилась Никитиным Л.В. Чигинадзе A.B., Джонсоном К. и др.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механик* Воронежского государственного университета в рамках темы "Разработкг фундаментальных математических моделей и эффективных численных методо! решения статических и динамических задач механики течения у деформирования сред сложной структуры" (Код по ГАСНИТИ 50.53/08). Цель работы заключается в:

¡.Выборе и обосновании математических моделей отдельных этано! технологического процесса формообразования оболочек.

2.Постановке задач, выборе аналитических и численных алгоритмов i проведении численных расчетов технологических операций процессг формообразования.

3.Расчетах и анализе конкретных примеров прогибов трехслойной балки лежащей на упругом основании, криволинейным штампом.

4. Оценке точности изготовления и погрешности формообразование трехслойной пространственной оболочки.

Научная новизна диссертационной работы состоит:

1.В использовании билинейной теории упругости для расчета нагрузки i разгрузки трехслойных пластин в области пластического упрочнения и i оценке погрешности математической модели формообразование пространственных трехслойных оболочек.

2. В построении кусочно-непрерывных решений в задачах с разрывным1 коэффициентами и разрывной правой частью уравнений npornöoi трехслойной панели. Это имеет место в случае выпучивания балки на;

упругим основанием и в точке отхода прогнутой балки от криволинейного штампа.

3. В постановке задачи определения погрешности формообразования трехслойных оболочек и ее решения итерационным методом.

4. В расчете влияния трения на определение зон: прилипания оболочки к форме, скольжения оболочки по форме с трением и скольжения оболочки по форме без учета трения.

Практическое значение работы состоит в использовании ее результатов для качественного проектирования и расчетов оборудования для формообразования трехслойных оболочек методом прокатки и последующей навивки. Аналитическую ценность представляет кусочно-гладкое решение о прогибах трехслойной балки, лежащей на упругом основании, при разрывных условиях в точках контакта балки с основанием и штампом.

Достоверность результатов обусловлена правильностью постановок модельных математических задач, использованием в решении задач строгих математических выкладок и обоснований, их воспроизводимостью, а также совпадением с известными решениями и результатами при предельном переходе к таким задачам.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Математическая постановка задачи о прогибах трехслойной балки, лежащей на упругом основании, при условии освобождаемых связей и задании кусочно-гладких внешней нагрузки и прогибах части балки. Формулировка условий совместности в точках разрыва:

а) внешних нагрузок на балку; б) условий ее контакта с основанием.

2. Построение кусочно-гладкого решения для прогибов балки на упругом основании и определение ширины зон:

а) выпучивания балки над основанием; б) прилегания к упругому основанию; в) прилегания к штампу заданной формы.

3. Решение задачи о пружинении трехслойной оболочки малой кривизны после ее изгиба по заданной форме, путем разработки численного алгоритма и проведения вычислительного эксперимента по расчету пружинения.

4. Асимптотический анализ влияния сухого трения (между нижним слоем трехслойной оболочки и криволинейным штампом) на деформирование трехслойной оболочки с учетом выделения зон:

а) прилипания оболочки к штампу; б) скольжения оболочки по штампу без учета трения.

Апробация результатов проводилась на:

1.Городских научных семинарах по механике деформируемого твердого тела г. Воронеж 1993-98 гг.

2.Семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского госуниверситета в 1995-98 гг.

3.Научном семинаре кафедры сопротивления материалов Воронежского технического госуниверситета в 1998г.

4.Всероссийских научных конференциях по математическому моделированию Воронеж 1993 , 1995 1998 гг.

5.Всероссийской научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики" Воронеж 1998.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав (15 параграфов), заключения и списка литературы, насчитывающего 193 наименования.

Работа содержит 99 листа машинописного текста, включая 17 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении дан краткий обзор периодической литературы по теме диссертации за последние 10-15 лет и обзор монографий за последние 30 лет,

касающихся темы диссертации, обоснована актуальность темы рассматриваемой работы и изложено краткое содержание. Теория расчета пластин и оболочек имеет давнюю историю и в настоящее время происходит ее существенное уточнение, использование нелинейных теорий и новых подходов. Исследуемый в диссертации вопрос пружннения и упругой разгрузки оболочек в литературе развит недостаточно.

Глава первая состоит из пяти параграфов, носит постановочный характер и в ней приведены уравнения равновесия трехслойных оболочек малой кривизны под действием нормальной нагрузки, в рамках допущений линейной теории пологих оболочек, ставшие уже классическими.

Здесь: х ,у - координаты в плоскости; Мл, Му - изгибающие моменты; Н -

крутящий момент; А^ , Л^ , Т - усилия в срединной поверхности; q -

поперечная нагрузка; ()х, <2у - перерезывающие силы; - главные

радиусы кривизны оболочки. Реологические (физические) уравнения деформирования трехслойных пластин и оболочек малой кривизны (2), которые строятся исходя из предположения, что усилия и моменты для трехслойной оболочки слагаются из усилий и моментов в трех слоях.

Ы = + + Щ ; (? = а + а+а ; Т=т1+т2+тз ; (1.2)

М = М, + М2 + А/3 ; Я = #! + Я2 + Я3.

Обозначим через и1(2), УХ(1) горизонтальное перемещение верхнего (нижнего) слоев, а = = IV, т.е. прогиб одинаков для верхнего и нижнего слоев. Полагаем, что заполнитель не сопротивляется изгибу, растяжению вдоль осей х, у ведет себя жестко при деформировании вдоль направления оси г сопротивляетс

лишь сдвигу в нормальном сечении к оболочке. Соотношение между усилия: деформациями имеют вид:

= 2ВЧ2) *

^у\(2) = 2В1(2) *

ги

1(2)

дх

дУ,

1(2)

ду

+ Л(2) *

+ У1(2) *

4> • я,

сих(1) цг_ ■2

К2)

IV

ах

п ~ У1(2) * ^

1 У

Туг) ~ 281(2) *

/

1 2 J \

дУ\(2) Я1\(2)

дх

ду

м

хЦ2) - *

гдЧУ

д2\¥

л.- Х(2> л

ду J к

-2

*В1(2,*

(да

42)

дх

-v,

1(2)

^1(2,} ду J

Муи2)=-Щ{2)

д21У

дх

-2

И +

'1(2)

*В1(2>*

- У

¿и 1(2) ^

ду М1)' дх

д2\У

Н\<2>= ~Щ(2) 0 - У1(2, )* -Х^Г - I1 - У1(2>)

дх ду

И +

'1(21

*В1(2)*

дх

(2x1(2) =~2С3

(дУ1Г) ¿и +

1(2)

и +

'1(2)

ЗУ дх

■ длж ~ 1(21 ~ах— 1(2> М1)

(1.3)

Гд2иХ(2) 1 - у1(2) дгЦ1(2) 1 + у1(2) д%2) ^ - 1 + ■■■ * . + ———-* — ■ ■

А" 2

ч

Оу1(2) =-2С3

V

1(2)

\ 5 и + •

1(2)

ш

'д%2) 1-у,П) д2У,„, 1 + у,,,,

'1(2)

1(2)

су ) /1(2)

дхду

<Ш _

*-и1(2) д, °1(2)°1(2)

2

ду \

1(2)

ду2

дхг

дхду

ч

В,, - жесткость растяжения верхнего (1) или нижнего (2) слоев,

Е

1(2)

модуль упругости верхнего (1) или нижнего (2) слоев, у

К2)

коэффициент Пуассона изотропного материала верхнего (1) или нижнего (2) ^1(2) * (^!(2) ^

слоев, О,,,, =—т—т-г-^г - изгибная жесткость верхнего (1) или нижнего

12(1

(2) слоев С3 - модуль сдвига заполнителя, 2Ь - толщина заполнителя. Система уравнений равновесия (1.1-1.3) и уравнений, определяющих упругое деформирование оболочки (1.3) представляет собой замкнутую систему уравнений и может быть сведена к пяти уравнениям в перемещениях

2В,

гдгих д2У1 1 ЗУ У, ЗУ -- + 1/,

+ 2 Д,

¿г

гдги,

1 дхду Я, си /?2 <5с

¿г

+ У-,

д2У, 1 ЗУ V, ЗУЛ

Зпду /?, ск /?2 Зс

+ 25,*^-*

д2Ух д2Цх 8х.ду ду2

+ 2В2 *

1-к,

¿-у, д-и.

скду (?у2

= 0;

2В,

д-Ц| 1 ЗУ у| ¿^ " Д2 4; Л, 4

• + у

+ 2 Я,

" + V-

+ 25, *

ду> 1-^

скду Я2 ду

(' дгУх д2и,

(Эс2

+ 2Я,

¿?2К., а2и,

: 0;

(1.5)

¿&/г| г?/, ¿У/, „ _ _

"1Г + ~1Г + + -¿Г = '+ + ^;

¿Зг й я д

(1.6)

ш

у 1

^

+ -^- + -^ = 0^+0,2+0,3',

(1.7)

¿о.

- Н---1---(-

Ю

VI

Уг

+ ——+

<3с дх. ск ду ду ду

+ + N л) +Мм у1 + Му2)+д = 0; «1 К2

(1.8)

Уравнения (1.6-1.8) не представлены в перемещениях из-за громоздкости. Полученная система уравнений (1.4)-(1.8) представляет собой замкнутую систему уравнений для пяти перемещений (/, , К,, 1Л, И7 . Анализ системы уравнений в частных производных для перемещений показал, что система уравнений упрощается в случае одинаковых верхних и нижних слоев и она сводится к уравнениям для осредненных перемещений II, V к уравнению для прогибов.

Здесь: ¡у =г0.

В5

I 5\ \ТЛ \В2И8

Ч=В

д2\¥

ас

У~+К 2.Я21

4>2

-С, +

-ЯЛ

к

12 ,3с2

ИВ15

2'

с,

к

12 Л-4 ОС

+ 2Я

_1_ 2у

Д2 + Л|Л2 + Л22

Эти уравнения используются в расчете пружинения трехслойных оболочек с одинаковыми верхним и нижним слоями. При этом на этапе нагружения упругие модули Е существенно меньше упругих модулей разгрузки Е (Ё«Ё).

Глава вторая посвящена постановке и решению задачи о прокатке штампом упругой балки, лежащей на упругом основании. Выполнение законов сохранения на линиях или точках разрыва односторонних условий контакта оболочки с упругим основанием позволило получить замкнутую систему уравнении и граничных условий и определения прогибов и размеров зон контакта и зон выпучивания оболочки над основанием. Приближенные выражения для размеров зон контакта и выпучивания правильно отражают механику процесса деформирования.

Рис. 1 Схематическое изображение штампа, упругой балки и упругого

основания.

Рассмотрим плоскую задачу прокатки трехслойной панели разъемным штампом, что соответствует прокатыванию плоского штампа по трехслойной балке, лежащей на упругом основании. Упругое основание моделируется Винклеровским основанием как системой распределенных пружин с модулем упругости С. На рис.1 представлена схема симметричной прокатки штампом панели на упругом основании. Часть панели х е [0, ) и , /] не контактирует

с основанием, она свободна. Участки — <5,) ^ (<д0 + 52, с2 ] вдавлены в

упругое основание. Часть панели х е [£0 - ¿>,, + ] полностью соприкасается со штампом. Исходя из принятых допущений, задача имеет

кусочно-непрерывный характер с неизвестными границами точек контакта и

Дифференциальное уравнение для прогиба IV (х) срединной поверхности трехслойной балки примем в виде:

2П\У'Ш - (лдь + 5) IV" - СШ = (]{х) (2.1)

Здесь 0 = ls - изгибная жесткость верхней и нижней пластин

/12(1 - V )

трехслойной панели. 5 - толщина нижнего и верхнего слоев, Е - модуль упругости материала слоя, О - модуль сдвига срединного слоя, у - коэффициент Пуассона, А - толщина срединного слоя, Б - натяжение трехслойной балки, С0 - коэффициент упругости основания, ц{х) - распределенная нагрузка на панель.

В безразмерном виде уравнение (2.1) представим следующим образом: У с12у ,

—7 - 2к-—у- г'у-ц (2.2)

ш р х и г- ™ + % 2 С14 _ g(Z)l.

где: у= —, с = —,2к = 1 -,г =-,а =-

/ / й 2В 4 Ю

Связь, наложенная, на панель со стороны нижнего упругого основания носит

неудерживающий характер, так что

Здесь <?(/) - единичная тета-функция

Задача (2) определения прогибов панели, лежащей на упругом основании, под воздействием жесткого штампа, описываются дифференциальным уравнением

с разрывными коэффициентами (С) и неизвестными границами , - , + 5г, . Граничные условия симметрии и максимума кривизны изогнутой панели при £ = 0 и жесткого закрепления на границе £ = 1 имеет вид:

1) с = 0: у'=0; У"(0) = 0;

, (2.3)

2)^ = 1: >> = 0; У =0;

Четырех условий для определения шестнадцати констант решения уравнения (2.2) в разных областях и четырех неизвестных границ , , , -недостаточно. Дополнительными условиями являются:

3) Условия совпадения границы полупространства и точки начала выпучивания панели:

Х6) = 0;Ж2) = 0; (2.4)

4) Гладкость решения в точках £ = , £ = :

/(£> 0; (2.5)

5) Совпадение перемещений панели с перемещениями штампа в точках £ = ~ и £ = + :

- «У.) = /(<?о - ¿1) А?о +5г)= Л4о + ) (2-6)

6) Непрерывность решения в точках схода панели со штампа в точках £ = <?0 - 3\ " £ = <?0 + д2

у'{£<,-*.)=/' - >. у'& + ) = /'+ * (2.7)

7) Условия в точках - 5,, + , налагаемые уравнением (2.2) для прогибов V/ на разрывы производных определенного порядка. Разрывы производных от прогиба V/ вызваны разрывностью коэффициентов и нагрузки q в уравнении (2.1) условия для разрывов первых и третьих производных от прогиба V/ в точках разрыва коэффициентов уравнения (2.2) будут иметь вид: [г!{-=2к[у'\. (2.8)

где: <Г ; Г ; ? = &; Г = <?0 + <?2;

Построенные 20 условий (2.4-2.8) дают систему уравнений для определения постоянных интегрирования на участках непрерывного решения у = у(%) уравнения (2.2) и границ областей. Прогибы трехслойной панели на упругом основании под воздействием заданной формы у = /(.г) позволяют найти усилия, обеспечивающие заданное внедрение штампа.

Приведем точное решение задачи прогибах панели на различных участках. На участке £е[0,£,] нет контакта упругого основания и панели, так что г=0 и решение представимо так: У = с\ + C\shj2kg + C\ch42k¿¡ при k>0

При ¿e&.fo-*,):

у = C{shÁ¿ + C¡clú¿ + C\ sin Я24 + Cl eos л2£ (2.9)

I-p==T /2

где: Ла2) = ±4k ± VP + r2; r * 0; к = —(4Oh +S)

8D

Система уравнений для определения произвольных постоянных интегрирования С/ {i,j —1,2,3...rí) и границ областей Sl, + S2 в соответствии с условиями (2.3-2.8) при использовании в явном виде условия симметрии прогиба не только в области хе[0,£,], но и при упрощается:

С\ = 0; С] = 0; С,2 = 0; С32 = 0.

С\ + C\chjík^ =0; C¡chy¡2k*«* +С42 cos4lk"^=0; C]VIkshjlk^ =C¡42k\shj2k*£¡ -C¡Jlk" sin J2k"£¡;

Cl2k'j2k'shj2k'$l+Cl2k"jik"sm42k''zl -

— 2k{C.\42k'shj2k'^l —C^y/lk" sin V2(2.10) ClchJlk'i^ -Sx) + Cl eosV2P*(#o -5,) = F{-Sl)-

(2.10)

C¡ -Jlk'sh-Jlk' (£0 - <5,) - C¡ л/2к" sin y¡2k" (£0 - ¿>,) = F" (-<5,); C\W-Jlk"sh-Jlk"(<f0-5X) + C¡2k"Лк" sm42k"{£0 - 2i(C22 V2Á:*sAVzfc' (£„ - ) - C42 <Л*" sin 4lk"(£0 - 8X)) = = F"'(-Sl)-2kF'(-S¡);

Сложность построения алгоритма решения нелинейной системы состоит в том, что может иметь место случай отсутствия решения системы, когда не существует значений ц, (или £<,) допускающих наличие зон "1" или "4". В случае симметричной задачи прокатки ширина зоны выпучивания 2gt

удовлетворяет нелинейному уравнению А/ЛЯ,^, = tgÁ2^, где А =

Л, л; -2 к Я, л1 + 2к

_ _ _ я->¡20

для малых с, =--—. Зона прилегания панели к штампу определяется для

малых дх как St

4/' 2-ÍD

Таким образом, ширина зоны выпучивания

/лИб/Г+З

балки над упругим основанием пропорциональна жесткости слоев балки , а ширина зоны прилегания панели к штампу определяется отношением жесткости крайних слоев к срединному слою.

V4Gh+S

Рис.2 Зависимость длины зоны прилегания панели к упругому основанию от

натяжения 51.

и

Глава третья состоит из пяти параграфов и в ней приведены решения двумерных задач пружинения трехслойных оболочек после их разгрузки и учет сил трения при деформировании трехслойной оболочки на поверхности штампа. Построенная итерационная конечно-разностная схема представляется оптимальной по времени расчета на ПЭВМ и обладает свойством устойчивости и сходимости. Численные расчеты модельных примеров показали работоспособность алгоритма и программы, а результаты расчетов пружинения правильно отражают закономерности пружинения.

Рис.3 Схема штампа и "отпружиненной" оболочки. Математическая модель пружинения оболочки после снятия нагру: сводится к модели упругого деформирования оболочки, ее использования , нахождения напряжения и нагрузок по заданным перемещениям и модели упру: разгрузки для определения перемещений пружинения по заданным нагрузкам.

Аналогично задаче о прогибе при нагружении может быть получена замкнутая система уравнений для Ц[ ,и'2. К,", К2", IV' отличающаяся

неоднородной правой частью и коэффициентами разгрузки Е в уравнениях. Повторяя рассуждения задачи об упругом прогибе и выполняя аналогичные преобразования, придем к замкнутой системе уравнений для IV',

... (их+и2) ... (Ух+Уг)

и = ———— и V = в случае одинаковых физических и

геометрических параметров верхних и нижних слоев. В рамках упругой нагрузки и разгрузки, при прямом деформировании оболочки до формы штампа

определяется нагрузка, которую надо приложить к сдеформированной оболочке, чтобы при разгрузке Е определить пружинение.

+ + (3.1)

ас ¿л ду Су

где: = 1

С3

о,

к„м

АЫ¥' =д(!Г') |

(3.2)

где:

12 А2

2„\

а:

¥

ду

Зу

Зу\

сх

+ 83-

скду

ИВ18

ск ду

дх

21

ссду

О-,

К

д*\У 12 ¿с"

+ (к21+к12)

2,2 +К2.

- (1 + ДЛ ¡У

г +

Сравнение (3.2) имеет вид близкий к уравнению прогибов мембраны и [редставляет уравнение в частных производных 4-го порядка близкое к ¡игармоническому, правая часть которого зависит от самого решения и формы

штампа 8(х,у). Как следует из (3.2) прогибы IV пружинения пропорциональны отношению упругих модулей нагрузки и разгрузки, так что

IV' ~ ¡у- и для материала близкого к пластическому, с малым упрочнением Е / Ь

и с жесткой разгрузкой Ё , ^^ - мало и IV' - мало.

Трение играет важную роль при деформировании оболочки, натянутой на штамп. Прилипание оболочки по нижнему слою к штампу приводит к перераспределению усилий и моментов в оболочке и вызывает необходимость учета трения определяемого законом Амонтона-Кулона Рт = -]Р11х1%пи , где

и_

Ц-

виде:

Ху.у + г, = -fPnsign(V');

3 и у

(3.3)

signU = —. Уравнения равновесия оболочки на штампе IV = g(x,y) примем в

МУУ+Н, = -(1г + ~)/Рп5^(у-у

К = £?*, + <2У.У + + + </; N = +N~ ;Т = Т+ +Т~ ;М = М+ + М~ ;Н = Я" + Я".

Последнее уравнение равновесия при задании нормальных перемещений оболочки IV = х,у) можно рассматривать как уравнение для определения

силы Рп нормального взаимодействия трущихся поверхностей. Реологические уравнения, связывающие усилия и перемещения, для трехслойной оболочки при условии, что срединный слой не сопротивляется растяжению и сдвигу, а сопротивляется только изгибу, при деформировании оболочки по заданной форме имеют вид (1.3) и позволяют уравнения равновесия

представить в перемещениях 11±,У±.

Для случая прилипания нижней поверхности оболочки в точке М (х,у) к пресс-форме, дальнейшее перемещение нижнего слоя при останавливается на достигнутом уровне, т.е. и~ =1)~(х',у'= У~(х*,у*) и устанавливается достигнутое к моменту остановки скольжения напряженное состояние в усилиях и моментах нижнего соля ,Т~" .

После исключения из уравнения усилий и моментов с помощью соотношений (1.3) получим систему четырех уравнений в частных производных для перемещений слоев оболочки и±,У±, которая является существенно нелинейной.

п П и++1Г В случае одинаковых внешних слоев для среднего перемещения и =---

~ и++и~

и среднего сдвига у =- слоев оболочки получим систему двух

2(И + д)

обыкновенных дифференциальных уравнений:

из 0///+а12и"+ап0/=с1; \агъи'7/ + а21и" + аг$' + а20О + Ь22у'"

Коэффициент трения { содержится в коэффициентах а13,аи,а23,а21, при этом

коэффициент сг13 стоит перед О'', а^ стоит перед С/'", так что при отсутствии

трения в системе уравнений (3.4) члены со старшими производными пропадают и тем самым решение упрощенной системы не может удовлетворять граничным условиям, поставленным в задаче при наличия трения, то есть для малого трения Г система обыкновенных дифференциальных уравнений (3.4) вырождается с понижением порядка т.к. а13 —>0 ,ап -» О.д^ —> 0 ,а2Х -> 0 при

/->0. Решение для и, у при /—»0 называете»внешним разложением:

~м п /(И + З) С(И + 8)-0 8 , ,, ^

-- + —-'-г- я +-- [ - (3.5)

' 2 В В(1г + 8)1 2 (И + 5)21

° ¡¡0с1£с!х + С}х+С4.

2 В(И + 8)2

Здесь:С|,С2,С3,С4 - постоянные интегрирования.В области вблизи границы прилипания необходимо сохранять старшие производные в уравнениях . В области скольжения с трением имеет место решение типа погранслойного. Для

х

его построения введем новую переменную £ = —, £ = / и при переходе в (3.4) к

£

новой переменной ¿г при £ —> 0 получим уравнение для £/:

^ + ^ = • (3.6)

£ _

где: ¿7,°3 = а°2 =2.

Решение (3.6) имеет вид:

О = С,0 + С$4 + Сз° ехр(яйи ¿7;. (3.7)

о

Постоянные СрСз.С, можно найти из задания среднего перемещения £/° и среднего усилия №, среднего изгибающего момента М0 в точке прилипания оболочки к форме при £ = £0 = 0, так что задавая С/0 = 0, £/0^ , 1/0:ХХ найдем С°, С",С" и решение ¿У будет иметь вид:

0 = (и1+Ц-и0^)х + (^)ги%(ехр-Аяпи)-1) . (3.8)

8 4 8/

Сдвиг у определяется из второго уравнения (3.4).

Из вида среднего перемещения оболочки следует, что усилие N ~ и х и момент М ~ иа ведут себя как на рис.4

Рис.4 Схематическое поведение растягивающего усилия N и изгибающего момента М в пограничном слое вблизи точки прилипания оболочки к форме.

При приложении растягивающего усилия М» вдали от точки прилипания оболочки к форме само растяжение М( х) экспоненциально возрастает от N0 до Nх , а изгибающий момент М0 убывает до 0 при х —> °о > что соответствует принципу Сен-Венана о не влиянии вида граничного закрепления на расстояниях порядка Ь от границы. При изгибе панели среднее перемещение

С/ панели не зависит от формы кривой т.е. для малых расстояний К , отсчитываемых от точки прилипания оболочки к форме, дуга кривой соответствует отрезку прямой линии. Постоянные интегрирования С3,С4

можно найти из задания начальных условий при х — 0;у° = 0;/°.х = 0 так что

И + 5

С3 = + /и0// - иа/ ; с4 = Д70/.

~ гП 1 П f + 5 АС 1

у = -Я/ , +-и + ——^---)-

- \Оск--—-\\Udxdx +

3 ВЯ(И + 3)П (3.9)

2обхз с

ЪВ8 12ДЛ, В8 ■

а = е"(0).

Из решения для среднего сдвига у следует его неограниченное возрастание по х что, приводит при некотором конечном х=Ь к потере устойчивости трехслойной пластины за счет сдвига и к схлопыванию двух слоев. Задание физически неизвестных условий при х=0 может быть удовлетворенно заданием усилий N00 и момента М=о при некотором х = хсо и нахождении неизвестных граничных условий при х=0 за счет сращивания внутренних, погранслойных разложений при £ —> со с внешним решением при .х —> 0.

Таким образом, для малых сил трения проведено асимптотическое разложение, полученные аналитические решения для внешнего и погранслойного разложений полностью согласуются с общими гипотезами и представлениями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Применение модели упругого тела с упругими модулями упрочнения Е при нагрузке и с упругими модулями Е при разгрузке (Е «Ё) для описания деформирования нагретых пластин допустимо.

2. Необходимо учитывать выпучивание трехслойной пластины (балки) над упругим основанием при нагружении пластины штампом заданной формы. При этом длина зоны выпучивания пропорциональна жесткости панели О и обратно пропорциональна квадрату длины пластины V, а длины зоны прилегания панели к штампу обратно пропорциональна натяжению пластины.

3. Величина пружинения оболочки после ее разгрузки пропорциональна отношению упругих модулей нагружения и разгрузки (Ё » Ё).

4. Трение оболочки о криволинейную форму существенно влияет на формообразование оболочки. При этом переходнная зона от прилипания к скольжению с трением пропорциональна коэффициенту трения {, так что при малом трении (Г - мало) допустимо рассматривать 3 зоны контакта оболочки и формы: прилипание оболочки к форме, скольжение с трением и скольжение оболочки по форме без трения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАННО В

РАБОТАХ:

1. Максимйнков В.И., Щевелева О.Н. Пружинеиие трехслойной балки после изгиба по заданной форме. // Тезисы доклада на всесоюзной конференции "Информационные технологии и системы. Технологические задачи МСС" Воронеж 1992г.

2. Вервейко Н.Д., Максименков В.И., Щевелева О Н. Изгиб жестким штампом трехслойной оболочки на упругом основании. // Тезисы доклада на всесоюзной конференции "Информационные технологии и системы. Технологические задачи МСС" Воронеж 1992 г.

3. Спорыхин А.Н., Щевелева О.Н. Погрешность приближенного расчета формообразования нагретых трехслойных оболочек. // Тезисы доклада на региональном межвузовском семинаре "Процессы теплообмена в энергомашиностроении" Воронеж 1996 г.

4. Щевелева О.Н. Формообразование пространственных оболочек из трехслойных панелей. // Сборник научных работ студентов и аспирантов ф-та ПММ Выпуск 1. Воронеж. Ун.-т - Воронеж 1997.

!. Вервейко Н.Д., Щевелева О.Н. "Математическое моделирование пружинения и оценки погрешности формообразования трехслойных пространственных оболочек"//Журнал "Информационные технологии и системы" №2 1998.

¡. Щевелева О.Н. "Прокатка 3-х слойной панели, лежащей на упругом основании, симметричным штампом заданной формы". // Сборник научных работ студентов и аспирантов ф-та ПММ. Выпуск 2. Воронеж. Ун-т -Воронеж 1998.

Заказ № 4от 1&. (О 5",_9Н г. Тир. 1&0 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.