Динамика ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

С ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

1.1. Поле перемещений и деформаций для слоистой ортотропной пластины

1.2. Уравнения динамики слоистых ортотропных пластин.

1.3. Основные соотношения уточненной теории ортотропных пластин.

1.4. Уравнения движения о^гр^ррпных пластин

1.5. Формулировка основных задач динамики пластин с присоединенными элементами

ГЛАВА 2. КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН С

ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.

2.1. Разрешающие уравнения для вязкрупругих пластин.

2.2. Решение уравнений при учете вязкоупругих свойств по наследственной теории

2.3. Решение уравнений при учете вязкоупругих свойств по теории комплексных модулей

2.4. Численные результаты

ГЛАВА 3. КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С

ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.

3.1. Колебания круговой ортотропной пластины с присоединенными массами

3.2. Вынужденные колебания круговой пластины при точечном креплении стержнями к подвижному основанию

3.3. Колебания прямоугольной пластины с присоединенными осцилляторами

В последние годы в технике находят широкое применение в качестве конструкций ортотропные упругие и вязкоупругие пластины и оболочки, которые несут нагрузки в виде различных присоединенных элементов.

Реальные конструкции, находящиеся под действием динамических нагрузок, как правило, представляют сложные объекты, поэтому исследование вопросов взаимодействия этих объектов с системами присоединенных элементов представляют собой актуальную проблему.

Для практики эти задачи, будучи связаны с передачей нагрузок, часто встречаются в современной технике и их развитие стимулируется возрастающими потребностями инженерных исследований.

По своеь^у виду присоединенные элементы, нашедшие применение в различных конструкциях, можно разбить на следующие группы:

1. Ребра жесткости.

2. Накладки и подкрепляющие элементы.

3. Присоединенные массы (точечные или конечных размеров).

4. Осцилляторы с одной или несколькими степенями свободы.

5. Распределенные элементы, присоединенные к основной конструкции.

Оболочки, подкрепленные редко расставленными ребрами, трактуются как оболочки с дискретными элементами. Распространенным подходом является метод расчленения, при котором производится отделение ребер от оболочки с введением по линии контакта соответствующих усилий и моментов - метод динамических податливостей. Составляются уравнения движения для оболочки и ребер и формируются условия их сопряжения. При расчете ребристых оболочек обычно используются уравнения Кирхгофа-Клебша. Если оболочка и ребра жесткости изготовлены из композитных материалов, то учитываются деформации поперечных сдвигов как собственно в оболочке, так и в присоединенном элементе. Для вывода уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние ребер, используются соотношения классической теории изгиба и кручения. При учете сил взаимодействия между оболочкой и ребрами учитываются эксцентрицитет ребер, изгиб в плоскости ребра, V/ плоскости и кручение. Систему уравнений, описывающую напряженно-деформированное состояние оболочки с присоединенными ребрами, часто решают энергетическими методами. При составлении уравнений равновесия оболочки, подкрепленной ребрами, влияние подкреплений может учитываться в уравнениях при помощи дельта-функций Дирака.

Если оболочка подкреплена большим числом ребер жесткости, конструкцию можно свести к ортотропной оболочке, применяя тот или иной метод континуализации, в том числе по энергии [ 5,22, 52].

В практике создания конструкций жестко присоединенные массы могут быть размещены по линиям или площадкам [31,45,1091. Для вывода разрешающих уравнений движения оболочки с присоединенными массами используются вариационные принципы, в которых кинетическая энергия оболочки дополняется кинетической энергией присоединенных масс, которая в зависимости от присоединенной массы подсчитывается как с учетом поступательного, так, возможно, и вращательного движения.

Накладки по своему назначению могут играть различную роль. Однако самая важная - обеспечение жесткости конструкции. По форме они могут быть прямоугольными, кольцевыми, цилиндрическими или сферическими. При учете в накладках изгиба и кручения для них используются расчетные схемы теории тонких оболочек. Учитывая взаимодействие распределенных элементов с оболочкой посредством поверхностных усилий, определяется разрешающая система уравнений. Для большинства случаев система уравнений приводится к интегральным уравнениям [2].

Осцилляторы представляют собой присоединенные элементы, имеющие, как правило, одну степень свободы. Они крепятся в соответствующих точках к несущей конструкции при помощи пружин и демпферов. Исходными уравнениями являются уравнения движения оболочки и динамические уравнения осцилляторов, которые замыкаются соответствующими условиями сопряжения оболочки с осцилляторами [47,83,107,155-158]. Распределенные элементы бывают в виде стержней, пластинок, пологих оболочек, твердых тел и т.д. Связь распределенного элемента с оболочкой может осуществляться с помощью упругих или абсолютно жестких стержней, пластин, контакт которых с оболочкой происходит по некоторой малой площадке или тонкой полоске конечной длины [ 20,127,145].

Движение распределенного элемента, опоры и оболочки рассматривается отдельно, а их взаимное влияние заменяется действием сил и моментов в областях присоединения. Для получения непротиворечивых условий контакта, а также разрешающих уравнений движения системы оболочка-опора-распределенный элемент наиболее эффективными методами являются энергетические.

Нагрузки, действующие на конструкционные элементы, по характеру взаимодействия могут быть силовыми, кинематическими или одновременно носить смешанный характер.

Результаты исследований действия динамических нагрузок на оболочки, а также методы их расчетов опубликованы в многочисленных работах. В меньшей мере освещены вопросы вынужденных колебаний ортотропных пластин и оболочек, несущих присоединенные элементы.

Значительный вклад в развитие теории динамики пластин и оболочек внесли советские ученые В.В.Болотин [ 19,25], А.Л.Гольденвейзер [36,37], Н.А.Кильчевский [ 56], Я.С.Подстригач [ 117119] и др.

Анализ работ по отдельным направлениям развития теории пластин и оболочек, находящихся под действием динамических нагрузок, с характеристикой различных подходов и полученных на их основе решений конкретных вопросов, дан в обзорных статьях Н.А.Кильчевского [56] и У.К.Нигула [ 96,97].

В периодике не уменьшается поток работ данного направления. Это, с одной стороны, объясняется тем, что вводятся в рассмотрение объекты более сложной формы или же усложняющие факторы, а с другой - тем, что идет интенсивное усовершенствование расчетных методов.

Много фактического материала по собственным колебаниям пластин и оболочек систематизировано в справочниках [25,35]. В работах[11,15,21,32,64,65,70,75,103,152] исследуются собствен^ ные колебания круглых, прямоугольных пластин и пологих оболочек со смешанными граничными условиями, определены формы колебаний.

Вопрос учета вязкоупругих свойств при динамическом деформировании пластин и оболочек является в настоящее время одним из актуальных в механике деформируемых тел. Об этом свидетельствуют, в частности, работы [ 11,16,26,53,54,55,60,90,114,131]. Сейчас уже разработаны общие теоретические основы и методы решения задач определения напряженно-деформируемого состояния и анализа динамических свойств несущих конструкций с учетом особенностей реологического поведения их материала.

Вынужденные колебания в различных изделиях изучаются в монографиях и статьях [9,II,12,21,33,34,52,61,68,71,137].

Фундаментальным исследованиям теории анизотропных пластин и оболочек, различным вариантам их более точного описания посвящены труды С.А.Амбарцумяна [ 3,4], И.Н.Векуа [ 24], В.В.Болотина 117,19], Ю.Н.Новичкова [98-100,103], Э.И.Григолюка, Н.П.Чулко-ва [ 38,39], Я.М.Григоренко[40-42], Н.А.Кильчевского [ 56], С.Т.Лехницкого [731, Б,П.Пелеха [ III-II3], Я.С.Подстригача 517-119], А.С.Рассказова [122-1241, Г.Н.Савина [ 125], Л.П.Хоро-шуна [ I40-141] и других авторов. Детальный анализ состояния теории многослойных пластин и оболочек дан в обзорной статье Э.И.Григолюка и В.А.Когана [38].

Решению конкретных задач теории слоистых пластин и оболочек посвящены работы [7,11,19,26,33,42,70,98-100,114,132,134, 135,140,141,144]. В [124] описаны результаты экспериментальных исследований статики и динамики многослойных пластин.

Применимость классической механики к конкретным задачам динамики требует строгого обоснования, отсутствие которого приводит в рассматриваемых случаях к сомнительным результатам [36, 96,97] . Положение улучшается, если отказаться от гипотез классической теории тонких оболочек и принять гипотезы одной из уточненных теорий, например, С.П.Тимошенко.

Задача приведения трехмерной теории упругости к двумерной может быть осуществлена различными способами:

1. Приведение путем разложения всех величин в степенные ряды по координате г* .

2. Приведение путем задания нескольких компонент тензора напряжений или деформаций известными функциями f(Z) ("полуобратный" метод). Сюда относятся методы приведения Кирхгофа-Лява,С.П.Тимошенко, Э.Рейсснера, А.С.Амбарцумяна и др.

3. Приведение путем разложения компонент тензора напряжений или деформаций в ряды по специальным функциям.

4. Асимптотические методы приведения[14, 36,144] .

Каждый метод обладает своими преимуществами и недостатками. Наиболее широкое применение нашли "полуобратные" методы приведения. Кроме метода приведения Кирхгофа-Лява (классическая теория) все остальные методы носят название "уточненных" теорий оболочек.

Построению уточненных теорий пластин и оболочек посвящены многочисленные исследования 17,14,17,19,24,37,44,70,74,79,102, 112,ИЗ,116,117,122-125,132,134,135,140,141,144].

В работах [24, 74,112,116] система уравнений равновесия находится из уравнений среды путем усреднения их по толщине с помощью полиномов Лежандра, а в [ 94 ] многочлены по Z в формулах для перемещений отличаются от первых четырех многочленов Лежандра только множителями.

Применение уточненного "полуобратного" метода С.А.Амбар-цумяна для получения уравнений движения пологих слоистых пластин и оболочек приводится в работах [122,123,132].

Учет поперечных сдвигов и обжатий при построении уточненных теорий слоистых оболочек дается в [122,123,132,134,135] .

Современная инженерная практика ставит повышенные требования к анализу напряженно-деформированного состояния и определения собственных частот упругих пластин и оболочек, несущих присоединенные элементы. Этим вопросам посвящены труды И.Я.Амиро, В.Г.Паламарчука, A.M.Носаченко [ 6,104-109] , В.М.Даревского, И.П.Шаринова [45] , Б.Г.Коренева [651, В.А.Крысько [ 691 , Л.И.Лиходеда, А.А.Малинина [76-78, 80-85] , Ю.Н.Новичкова, В.М.Юдина [101], И.И.Федика [13б] и других.

Важный вклад в исследования колебаний упругих систем, в частности, пластин с присоединенными дискретными массами, сделал С.А.Гершгорин [30,3ll.

Вопрос о колебаниях упругих систем с присоединенными массами изучается в работах [б, 8-10,30,31,45,48,52,142]. Здесь решаются задачи о колебаниях замкнутых, свободно опертых по краям цилиндрических оболочек, несущих распределенные или сосредоточенные массы. Колебания оболочек и движение присоединенной массы рассматривается отдельно с последующим выполнением условия сопряжения. Получены частотные уравнения для оболочек с присоединенной по прямоугольному элементу массой, а также для оболочек, несущих одну или несколько сосредоточенных масс.

В результате исследований установлено:

1. Между частотами колебаний оболочки без присоединенной массы и частотами системы, состоящей из оболочки с жестко прикрепленной массой, существует взаимнооднозначное соответствие. Добавление присоединенной массы не вводит новых частот, а лишь понижает некоторые частоты колебаний системы по сравнению с частотами оболочки без масс.

2. Добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение основной формы колебаний.

В [78] исследуются нелинейные колебания ортотропных оболочек вращения с включениями типа сосредоточенных масс. Задача рассматривается в геометрически нелинейной постановке. Для получения уравнений движения используется вариационный принцип Лагранжа в сочетании с методом Ритца. В качестве базисных функций для задачи о вынужденных колебаниях используются, как правило, собственные функции соответствующей линейной задачи.

В качестве примера рассматривалось движение гладкой цилиндрической оболочки с шарнирно подвижными краями и оболочки с сосредоточенной массой, находящихся под действием осевой сжимающей силы, меняющейся во времени.

В результате подсчетов получено:

1. Изменение нормального прогиба в зависимости от величины сжимающей силы.

2. Зависимости силы от скорости нагружения для гладкой оболочки и оболочки с массой.

На основании соображений подобия и размерности, а также анализа числовых результатов в [77] найдены приближенные формулы для определения собственных частот колебаний цилиндрических оболочек, гладких и с сосредоточенными включениями.

В статье [82] рассматривается случай оболочки как свободной, так и несущей сосредоточенные массы. Проводится исследование динамических характеристик тороидальной оболочки при изменении кривизны ее осевой линии. Для получения решения задачи использован метод Ритца.

Здесь приведены значения:

1. Двух низших частот колебаний оболочки для трех вариантов крепления массы.

2. Показано, что наибольшее понижение частоты наблюдается у оболочки с массой в узле ), наименьшее - у оболочки с массой в узле < L /2 ft , о ).

Зависимость параметра частоты от числа волн по кольцу для круговой и эллептической оболочек при колебаниях, симметричных относительно вертикальной плоскости, представлена в [271 .

Колебания шарнирно опертой цилиндрической оболочки рассматривается в работе [ 81]. Оболочка содержит сосредоточенные и распределенные упругие связи и массы. Упругие связи могут быть распределены как по отдельным линиям координатной сетки, так и по всей поверхности оболочки.

Работа С 801 посвящена получению зависимостей собственных частот для шарнирно опертой цилиндрической ортотропной оболочки с дискретными включениями при действиях на нее растягивающих сил, внутреннего и наружного давления.

В статьяхL84,85] показано, что при определении собственных частот и форм колебаний оболочек вращения с грузами необходимо учитывать инерцию поворота грузов, так как это оказывает большое влияние на изменение спектра низших частот колебаний. Колебания подкрепленных оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами рассмотрены в работе С 7б].

Статьи [5,6, 87,104-109] посвящены изучению свободных колебаний системы, состоящей из ребристой цилиндрической оболочки и абсолютно твердого тела. Связь тела с оболочкой осуществляется разными способами. В одном случае тело с оболочкой связывается при помощи абсолютно жестких невесомых радиальных стержней, жестко скрепленных с телом и шарнирно связанных с оболочкой. В другом случае - с помощью промежуточных опор или же жесткого присоединения абсолютно твердого тела к оболочке. Движение тела рассматривается отдельно, а его влияние на оболочку заменено действием сил и моментов в точках присоединения тела к оболочке. Инерционными силами оболочки в тангенциальном направлении пренебрегают. Задачи решаются энергетическими методами.

Исследуются свободные колебания оболочки с балкой, а также присоединенной массой.

Изучены свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединенной на пружинах.

Основные результаты работ [б, 104-109] следующие:

1. Установлены зависимости минимальной собственной частоты оболочки с присоединенным телом от величины угла между нормалью в точке крепления тела и координатной диаметральной плоскостью. Анализ кривых показывает, что с увеличением расстояния между точками крепления тела, минимальная собственная частота снижается [106].

2. Исследовано влияние расстояния между опорами и точками крепления тела на первую собственную частоту колебаний системы [108].

3.а) Приведены зависимости собственной частоты колебаний оболочки без присоединенной массы от числа волн в окружном направлении. б) Приведенные кривые, отражающие зависимость минимальной собственной частоты от величины присоединенной массы и относительной жесткости. в) Установлено, что влияние присоединенной массы на минимальную собственную частоту колебаний оболочки весьма существенно. С увеличением жесткостей связей между массой и оболочкой это влияние увеличивается [104].

4.а) Показано, что увеличение массы и соответствующих моментов инерции присоединенного к оболочке тела, влияние его угловых колебаний на собственную частоту колебаний системы может быть существенным. б) С увеличением моментов инерции тела при неизменной его массе собственная частота колебаний уменьшается ГбЪ

В работе [ 1271 приводятся количественные данные о влиянии консольно присоединенного тела и дискретного размещения ребер на минимальную собственную частоту. Рассматриваются собственные колебания замкнутой шарнирно опертой по краям оболочки с перекрестной системой ребер несущей тело, присоединенное с помощью консоли, ось которой нормальна к срединной поверхности оболочки. Предполагается, что консоль является абсолютно жестким стержнем, контакт консоли с оболочкой осуществляется по некоторой малой площадке.

1. Построены кривые, представляющие зависимости наименьшей собственной частоты от числа членов в окружном и осевом направлениях.

2. Приведены зависимости наименьшей собственной частоты от массы присоединенного тела.

В статьях [57-59] разработаны вариационный метод определения собственных частот оболочки с распределенными присоединенными грузами, позволяющий, в отличие от традиционных: методов, давать двухсторонние оценки собственных частот и полностью ответить на вопрос об изменении их значений и кратности в зависимости от поведения определителя возмущения; построена модификация метода для случая сосредоточенных масс. Показана зависимость низшей собственной частоты от величины одной присоединенной массы.

В работе RAMACHANDRAN [l54^ изучаются свободные колебания при больших амплитудах пологих сферических оболочек с сосредоточенной в вершине массой. Исследование выполнено в рамках уравнений Маргерра методом Бубнова-Галеркина при использовании в качестве базисных функций Бесселя. В случае одночленного приближения выписано дифференциальное уравнение второго порядка для условий жесткого защемления на подвижном и неподвижном в радиальном направлении контуре опирания.

Б статье [l3] на основании классической теории рассматриваются свободные колебания жестко защемленной круглой изотропной пластины. Воздействие массы на пластину заменяется силой, направленной перпендикулярно срединной плоскости. Сосредоточенная сила раскладывается в ряд по функциям Бесселя. Из условия сопряжения определен определитель, равенство нулю которого определяет характеристическое уравнение. Получены значения двух низших частот для пластины без масс, масса в центре, а также на расстоянии, равном половине радиуса. Аналогичные задачи решаются в [48,69,1151.

Методом Ритца в сочетании с методом неопределенных множителей Лагранжа в [136] решаются вариационные задачи об определении динамических свойств, частот и форм собственных колебаний изотропных пластин с идеальными точечными связями. Характерной особенностью разработанных алгоритмов является то, что основаны они на использовании форм собственных колебаний тех же конструкций, но без точечных связей.

Колебания двухслойных пластин и трехслойных балок с сосредоточенными массами рассмотрены в [33,101].

Для обработки виброметрических данных методами статистической динамики в t147] строится решение задачи об искажениях случайного поля перемещений в тонких пластинах и оболочках вследствие внесения сосредоточенных масс.

Экспериментальному объяснению такого специфического явления, как удвоение спектра собственных частот замкнутой оболочки с присоединенной массой вследствие ее динамической асимметрии по сравнению с ненагруженной оболочкой приведено в [2б1.

Изучению распространения изгибных волн в бесконечной пластине, в отдельных точках которой расположены сосредоточенные массы, посвящена статья [67].

Анализу колебаний трансверсально-изотропной плиты с системой сосредоточенных масс посвящена работа [69].

Примером использования математического аппарата обобщенных функций при исследовании оболочек с присоединенными массами являются работы [9,61-63,137-1391 и др.

В случае малых присоединенных масс в [29] используется метод теории аналитических возмущений.

В монографии [ 72 ] методом сплайн-преобразований с использованием обобщенных функций решаются задачи продольных и поперечных колебаний стержней переменной жесткости.

Нелинейные свободные колебания двух упруго-соединенных балок с сосредоточенными массами рассмотрены в статье [4б].

Известно, что присоединенные элементы могут быть использованы как динамические гасители. Однако в ряде случаев присоединение элементов может оказать дестабилизирующее влияние. Именно такой случай и обнаружен в работах [18,20].

Анализ литературных источников показывает, что результаты исследований собственных колебаний оболочек с присоединенными элементами по классической теории, а также методы их расчетов хорошо освещены во многих трудах по механике.

В меньшей мере в литературе освещены вопросы собственных и вынужденных колебаний трансверсально-изотропных, ортотропных, вязкоупругих оболочек с конечной сдвиговой жесткостью, несущих присоединенные элементы. Количество решенных задач данного класса по уточненным теориям пока незначительно. В конструкциях с дополнительными закреплениями в конечном числе дискретных или локальных областей исследования становятся сложными. Это объясняется тем, что граничные условия принадлежат смешанному типу -когда в разных областях задаются разные условия, а именно, конструкция свободна или нагружена по некоторой осевой части и закреплена в точках опирания.

Влияние механических нагрузок на конструкции с присоединенными элементами необходимо учитывать на этапах проектирования, конструирования, испытания и эксплуатации. В некоторых областях современной техники центральным конструктивным элементом являются одно- и многослойные пластины, несущие различные навесные элементы. Пластина наиболее чувствительна к динамическим нагрузкам и поэтому заданное обеспечение ее надежности должно быть первостепенным. Кроме того, пластины, несущие присоединенные элементы, широко используются при разработке адаптивных систем, где важно определить пространственные профили поверхностей конструкционных элементов при работе силовых приводов и одновременном действии внешних возмущений, а также спектры частот и формы собственных колебаний.

Настоящая работа направлена на разработку методов решений ряда задач динамики ортотропных пластин с присоединенными элементами при разных условиях их закрепления к несущецу основанию, наиболее часто встречающихся в современной технике. Изучению вынужденных колебаний ортотропных пластин и оболочек с присоединенными массами посвящены работы [49-51,91-93,I48TI5l].

Цель работы состоит в разработке уточненной математической модели описания динамики однослойных и многослойных ортотропных упругих пластин, несущих присоединенные элементы; создание методики исследования свободных и вынужденных колебаний на основе аналитических решений задач динамики круговых и прямоугольных ортотропных упругих пластин с сосредоточенными массами; анализ амплитудно-частотных характеристик с целью изучения зависимостей их от вида закрепления, характера нагружения, геометрии и свойств материала несущего тела, жесткости крепления и координат присоединенных элементов.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

- впервые для изучения динамических процессов в ортотроп-ных упругих и вязкоупругих пластинах с присоединенными элементами применен метод, основанный на аппроксимации поля перемещений по толщине кубическими сплайнами;

- на основе полученных аналитических решений, численного параметрического исследования и сопоставления результатов подходов создана методика расчета на динамику прямоугольных и круговых ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами на силовое и кинематическое возбуждение; методика основана на принятии гипотез С.П.Тимошенко для тонкостенного несущего тела;

- изучены основные закономерности поведения ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами различных типов при изменении параметров, характеризующих свойства и особенности крепления присоединенных элементов, их расположения и характеристик самих элементов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.

В первой главе строится математическая модель многослойных оболочек, состоящих из ортотропных упругих слоев. Положенные в основу теории гипотезы позволяют учесть кроме основных деформаций классической теории, также деформации поперечного сдвига и обжатия. Поле перемещений по толщине пакета аппроксимируется с помощью кубического сплайна. Использован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, на основании которого получена разрешающая система уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями. Частным случаем полученных соотношений являются классическая теория многослойных оболочек, построенная

-гона основании гипотезы недеформируемых нормалей, и теория слоистых пластин, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко.

Вторая глава посвящена решению задач по уточненной теории, основанной на сплайн-аппроксимации по толщине,шарнирно закрепленных упругих и вязкоупругих пластин, несущих присоединенные массы, при пульсирующем перемещении контура. Получены аналитические решения для определения напряженно-деформируемого состояния и амплитудно-частотных характеристик. Исследовано влияние толщины слоев несущей конструкции, величины,координат и размещения присоединенных масс, параметров упругости и вязкоупругос-ти материала пластины на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.

Приведены сравнительные результаты полученных решений с теориями Кирхгофа-Лява и С.П.Тимошенко.

В третьей главе излагается методика решения задачи для круглой пластины с цилиндрической ортотропией, несущей сосредоточенные массы при пульсирующем перемещении контура. Для решения задачи применен метод возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств.

Учитывая, что уравнения движения в перемещениях для транс-версально-изотропной пластины допускают точное решение в полярных координатах, то из обобщенного закона Гука выделена та часть, которая соответствует соотношениям упругости для транс-версально-изотропного тела. Введен малый параметр, который определяется через параметры упругости. Задача решается методом последовательных приближений. Используется обобщенное условие ортогональности. Из условия непрерывности поля нормальных перемещений в точках приложения сосредоточенных масс, а также граничных условий, определены собственные значения и собственные функции. После разделения переменных получена система дифференциальных уравнений вынужденных колебаний пластины в обобщенных координатах относительно временного аргумента. Исследовано влияние координат и веса сосредоточенных масс, геометрии пластины, параметров упругости на поле нормальных перемещений и собственные частоты.

На примере ортотропной круглой пластины, несущей сосредоточенные массы и прикрепленной стержнями к подвижному основанию, исследуются вынужденные колебания. Задача решается методом возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств. Получены аналитические решения. Определено влияние координат размещения стержней и масс, геометрии пластины, параметров ортотропии, жесткости стержней на напряженно-деформированное состояние пластины.

Решена задача для шарнирно закрепленной ортотропной пластины, находящейся под действием нормальных усилий, приложенных в соответствующих точках, и несущей сосредоточенные массы, имеющие шесть степеней свободы. Исследовано влияние толщины пластины, величины массы, моментов инерции, жесткости, параметров упругости на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.

В заключении изложены основные результаты и общие выводы диссертационной работы, даны соответствующие рекомендации по применению результатов при проектировании и прогнозировании свойств пластин, несущих присоединенные элементы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались: на Всесоюзных научно-технических конференциях "Испытания и защита РЭА" (Москва, 1981 г) и "Автоматизация конструкторского проектирования РЭА и ЭВА" (Пенза, 1983 г.); на Республиканских научно-технических конференциях "Контроль качества приборостроительной продукции" (Киев, I98I-I982 гг.) и "Обеспечение метрологической надежности и ремонтопригодности радиоэлектронной аппаратуры" (Львов, 1983-1984 гг.); на конференциях профессорско-преподавательского состава Львовского политехнического института (1980-1984 гг.); на кафедрах теорической механики и конструирования и производства радиоаппаратуры Львовского политехнического института (1980-1985 гг.); на семинаре "Строительная механика конструкций" (Москва, 1984 г.); полностью работа докладывалась на кафедре строительной механики Московского гидромелиоративного института (1985 г.) и на специализированном семинаре по механике деформируемого твердого тела ИППММ (Львов, 1985 г.).

Результаты выполненных исследований опубликованы в 10 статьях.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ю.Н.Новичкову за постоянное внимание и поддержку в работе.

Результаты работы внедрены на ПО им. В.И.Ленина (г.Львов) с экономическим эффектом 18,6 тыс. рублей и могут быть использованы на предприятиях Минередмаша, Министерства радиопромышленности, Министерства промышленности средств связи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Разработана уточненная методика определения напряженно-деформированного состояния слоистых ортотропных упругих и вяз-коупругих пластин, пригодная как для статических, так и для динамических задач. Методика основана на применении кубической сплайн-аппроксимации перемещений по толщине пластины. Кроме основных компонент тензора деформаций, методика учитывает деформацию поперечного сдвига и трансверсальную деформацию. Особое внимание уделено однослойным ортотропным пластинам. В частном случае соотношения предлагаемой уточненной методики переходят в соотношения уточненной теории С.П.Тимошенко. Соотношения классической теории, основанные на гипотезе Кирхгофа-Лява, также следуют как частный случай из данной методики.

2. Разработаны методы исследования собственных и вынужденных колебаний ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами типа сосредоточенных масс и осцилляторов. Они основаны на разделении переменных методом Бубнова-Га-леркина с последующим применением метода малого параметра, метода вариации произвольных постоянных, метода усреднения и последовательного приближения. Методика предусматривает два способа учета вязкоупругих свойств материала пластин, один из которых основан на использовании наследственной теории (трехпара-метрическое ядро М.А.Колтунова), второй - на теории комплексных модулей. Методика может быть применена для решения краевых задач динамики ортотропных пластин как для силового, так и для кинематического возбуждения.

3. На основе исследования динамики однослойных ортотропных упругих пластин проведено сравнение подходов: а) уточненного с использованием сплайн-аппроксимации; б) основанного на гипотезе С.П.Тимошенко; в) основанного на гипотезе Кирхгофа-Лява.

Показано, что при малых относительных толщинах для колебаний по формам с малым показателем изменяемости (низшая часть частотного спектра: Оси) 6 0,15) все три подхода дают один и тот же результат и в этой области рекомендуется применение классической теории. В средней, достаточно продолжительной части спектра, для форм с характерными размерами, сопоставимыми с толщиной пластины, расхождение между классической и уточненными теориями оказывается существенным. В то же время, уточненная теория, основанная на сплайн-аппроксимации и теория С.П.Тимошенко дают близкие результаты. Различие сказывается лишь для достаточно толстых пластин или для форм, характеризующихся короткими волнами. Поэтоцу для достаточно широкой области частотного диапазона может быть использована теория С.П.Тимошенко.

4. На основе теории С.П.Тимошенко для описания динамического поведения ортотропных пластин проведены исследования с получением аналитических решений, построением алгоритмов вычислений и созданием программного комплекса для ЭВМ с целью исследования собственных и вынужденных колебаний прямоугольных и круговых пластин с сосредоточенными массами и прямоугольных пластин с присоединенными осцилляторами.

5. Исследовано влияние вида закрепления, характера нагру-жения, геометрии и свойств материала несущего тела, жесткости крепления и координат присоединенных элементов на амплитудно-частотные характеристики ортотропных пластин.

На основе проведенных исследований даны рекомендации по прогнозированию динамических свойств пластин различных конструкций, по оптимизации режимов работы пластин с присоединениими элементами, по проектированию пластинчатых элементов конструкций, работающих в изделиях, находящихся в условиях динамического нагружения.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолиз Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. - 480 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. - 266 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. - 446 с.

5. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков Л.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

6. Амиро И.Я., Паламарчук В.Г., Носаченко A.M. Свободные колебания ребристой цилиндрической оболочки с жестко присоединенным абсолютно твердым телом. Пробл. прочности, 1978, № 2, с.37-42.

7. Андреев А.Н., Немировский KLB. К теории многослойных анизотропных оболочек. ШТ, 1977, № 5, с.87-96.

8. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Колебания цилиндрических оболочек переменной толщины, несущих систему дискретных амортизированных масс. Гидроэромеханика и теория упругости, Днепропетровск, 1973, вып.25, с.104-108.

9. Андреев Л.В., Дубовик О.М., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Устойчивость цилиндрической оболочки, несущей систему линейно распределенных масс при импульсном нагружении. Прикл. механика, 1980, 116, № I, с.19-25.

10. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Оценки основной частоты колебаний пластинок и оболочек, несущих амортизированную массу. Изд-во вузов СССР. Авиационная техника, 1980, № 2, с.83-93.

11. Антяшенко В.М., Подлипенец В.И., Шульга Н.А. Затухание напряжений в слоистых вязкоупругих композитах при равномерной гармонической нагрузке. Проблемы прочности, 1983, № б,с.31-40.

12. Бабин А.И., Люкшин Б.А. Динамика оболочки вращения с присоединенной массой при действии осевой импульсной нагрузки. -Теория упругости и пластичности, Томск, 1978, с.18-22.

13. Бабич Д.В., Борисенко В.И., Шпакова С.Г. Свободные колебания пластинки с сосредоточенными массами. Прикладная ме-ника, 1969, т.У, № 5, с.71-75.

14. Базаренко Н.А. Построение уточненных прикладных теория для оболочки произвольной формы. ПММ, 1980, т.44, № 4,с.727-236.

15. Барг А.Я. Деяк1 задач1 ст1йкост1 I коливань прямокутних пластин. Прикладная механика, 1962, т.УШ, № 4, с.446-452.

16. Богданович А.Е., Фельдмане Э.Г. Нелинейные параметрические колебания вязкоупругих ортотропных цилиндрических оболочек.- Прикладная механика, 1980, т.ХУ1, № 4, с.49-55.

17. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящего из большого числа слоев. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964,1. I, с.61-66.

18. Болотин В.В., Симонов Б.П. Устойчивость упругих панелей с присоединенными элементами в сверхзвуковом потоке газа.- МТТ, 1978, № 2, с.129-135.

19. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

20. Болотин В.В., Симонов Б.П. Влияние упруго подвешенных масс на устойчивость упругих панелей в сверхзвуковом потоке.- МТТ, 1983, № 3, с.149-156.

21. Буслов Е.П. Динамическое сжатие цилиндрической оболочки с присоединений© массой. Прикладная механика, 1984, т.XX, № 2, с.36-41.

22. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Д. Устойчивость оболочек из армированных материалов. Киев: Наукова думка, 1978, - 212 с.

23. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек. Докл. АН СССР, 1955, 105, № I, с.42-45.

24. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 285 с.

25. Витт Д.В, Колебания сферической оболочки с вибродемпфирую-щим слоистым покрытием. МТТ, 1980, № 3, с.134-142.

26. Выломов В.Н., Малинин А.А. Собственные колебания некруговых оболочек с сосредоточенными включениями. МТТ, 1975, № 4, с.126-130.

27. Галака П.И., Ковальчук П.С., Менделуца В.М., Носаченко A.M. О динамической неустойчивости стеклопластиковых оболочек, несущих сосредоточенных массы. Прикладная механика, 1980, 16, № 8, с.42-47.

28. Голченко Л.А. Влияние сосредоточенной массы на частоты и формы собственных колебаний пологой оболочки двоякой кривизны. Сб. тр. Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1971, № 68, с.176-179.

29. Гершгорин С.А. 0 влиянии наложения дополнительных масс на колебания материальной системы. Прикладная математика и механика, 1933, I, № I, с.13-36.

30. Гершгорин С.А. Колебания пластинок, загруженных сосредоточенными массами. Прикладная математика и механика, 1933, I , № I, с.37-41.

31. Гликман Б.Т. Свободные колебания круглой пластинки со смешанными граничными условиями. МТТ, 1972, № I, с.135-140.

32. Голоскоков Е.Г., Ольшанский В.П. Упругий удар по трехслойной плите при наличии сосредоточенных масс и нелинейных опор. МТТ, 1972, № 3, C.III-II6.

33. Голоскоков Е.Г., Филиппов А.П. Нестационарные колебаний деформируемых систем. Киев: Наукова думка, 1977. - 336 с.

34. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек.- Киев: Наукова думка, 1973. 228 с.

35. Гольденвейзер А.Л. Методы обоснования и уточнения теории оболочек. ПММ, 1968, т.32, № 4, с.684-695.

36. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Гостехиздат, 1953.

37. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикладная механика, 1972, т.УШ, № 6; с.3-18.

38. Григолюк Э.И., Чулков Н.П. Устойчивость и колебания трехслойных пластин. М.: Машиностроение, 1973. - 173 с.

39. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973,- 228 с.

40. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Об учете неоднородности деформаций поперечного сдвига по толщине в слоистых оболочках.- Прикладная механика, 1977, т.ХШ, № 10, с.36-42.

41. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Высшая школа, 1979. - 279 с.

42. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Вища школа, 1982. - 350 с.

43. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приближение к решению инженерных задач.- Львов: Вища школа, 1978. 187 с.

44. Даревский В.М., Шаринов И.Л. Свободные колебания цилиндрической оболочки с сосредоточенной массой. М.: Наука, 1966, Труды У1 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Баку, 1966, с.350-355.

45. Дзыра Б.И., Дидковский B.C., Павловский М.А. 0 нелинейных собственных колебаниях двух упругоеоединенных балок, несущих сосредоточенные массы. Прикладная механика, 1964,т.XX, № 4, с.125-128.

46. Дышко А.Л. Колебания оболочек вращения, несущих систему дискретных амортизированных масс. Динамика и прочность тяжелых машин, Днепропетровск, 1980, № 5, с.163-166.

47. Жигалко Ю.П., Шалабанов А.К. К вопросу о колебаниях тонких пластин и оболочек, несущих сосредоточенные массы. Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Казанск. ун-т, 1970, вып. 67, с.511-530.

48. Зарецкий В.И., Когут В.М., Шулипа С.В. Определение и прогнозирование динамических свойств печатных плат. Деп. в УкрНЙИНГИ, 1985, № 569Ук-85Деп., с.10.

49. Зарецкий В.И., Шулипа С.В. Вынужденные колебания круглой пластины с сосредоточенными массами при точечном креплении к подвижному основанию. Деп. в УкрНИИНТИ, 1985,566Ук-85Деп., с.8.

50. Зарецкий В.И., Шулипа С.В. Об одном варианте неклассической теории многослойных ортотропных пластин. Деп. в УкрНИШШ, 1985, № 570Ук-85Деп., с. 13.

51. Заруцкий В.А. Вынужденные колебания продольно подкрепленной цилиндрической оболочки, несущей локально присоединенную массу. Прикладная механика, 1982, т.ХУШ, № I, с.50-56.

52. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термоупругости. М.: Мзд-во Моск. ун-та, 1971. - 280 с.

53. Карнаухов В.Г. Приближенный метод решения задач о распространении волн в вязкоупругих материалах. Прикладная механика, 1972, т.УШ, № 9, с.91-96.

54. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Приближенная теория поведения нелинейных вязкоупругих тел при гармоническом возбуждении. МТТ, № I, с.127-132.

55. Кильчевский Н.А. Теория нестационарных динамических процессов в оболочках. Прикладная механика, 1968, тЛУ, № 8, с.1-18.

56. Ковальчук П.С., Козлов С.В., Носаченко A.M. К вопросу о динамической неустойчивости цилиндрической оболочки с присоединенной массой. Докл. АН УССР, Сер. А ,1980, № I,с.43-47.

57. Козлов С.В. Об областях параметрической неустойчивости ортотропной цилиндрической оболочки с присоединенными массами. Докл. АН УССР, Сер. А, 1981, № 2, с.45-48.

58. Козлов С.В. К вопросу об определении собственных частот и форм малых колебаний ортотропной цилиндрической оболочки с присоединенными массами. Прикладная механика, 1981, т.ХУП, № 2, с.46-51.

59. Колтунов М.А., МаЙборода В.П., Зубчаников В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение, 1983. 139 с.

60. Кондрашев Н.С. Колебания тонкостенных оболочек с сосредоточенной массой при воздействии случайных пульсаций. Тр. Куйбышев, авиац. ин-та, 1974, вып.67, с.131-139.

61. Кондрашев Н.С. Собственные частоты совместных колебаний замкнутой цилиндрической оболочки с грузами. Тр. Куйбышев, авиац. ин-та, 1975, вып.2, с.46-50.

62. Кондрашев Н.С. 0 взаимодействии цилиндрической оболочки с движущейся по ее внутренней поверхности сосредоточенной массой. Прикладная механика, т.XX, № 6, с.47-51.

63. Корбут Б.А., Ильина A.M. Собственные колебания цилиндрической панели, связанной с упругим основанием. Прикладная механика, 1968, тЛУ, № 5, с.85-92.

64. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в Бесселевых функциях. М.: Физ.-мат. лит., I960. - 458 с.

65. Космодамианский А.С., Татаринов О.П. Свободные колебания цилиндрических оболочек, подкрепленных упругих кольцом.- Прикладная механика, 1981, т.ХУП, № 5, с.66-69.

66. Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. Влияние точечных неоднородностей на колебания тонких пластин. МТТ, 1975, № 6, с Л17-123.

67. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках.- Киев: Наукова думка, 1980. 228 с.

68. Крысько В.А., Червоткин Б.В. Трехмерная задача о колебаниях трансверсально-изотропной плиты с присоединенными массами.- Теория и методы нелинейных пластин и оболочек, Саратов, 1981, с.63-65.

69. Кузнецов Н.Д., Карташев Г.Г., Рассказов А.О., Шульга М.А., Собственные колебания слоистых анизотропных пластин и пологих оболочек. Прикладная механика, т.ХУЛ, № 4, с.31-37,

70. Кухта К.Я., Кравченко В.П. Нестационарные задачи с непрерывно-дискретными параметрами. Киев: Наукова думка, 1978. - 217 с.

71. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. - 190 с.

72. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины. М.: Гостехиздат, 1957. - 463 с.

73. Либреску Л. К уточненной теории упругих анизотропных оболочек. Механика полимеров, 1976, № I, с.100-109.

74. Лизарев А.Д., Каянов В.И., Ростанина М.Б. Свободные колебания кольцевых пластин с цилиндрической анизотропией. Прикладная механика, 1977, т.ХШ, № 7, с.76-82.

75. Лиходед А.И., Малинин А.А. Колебания подкрепленных оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами. -МТТ, 1971, № 6, с.42-46.

76. Лиходед А.И., Малинин А.А. 0 приближенных зависимостях для частот колебаний цилиндрических оболочек, гладких и с сосредоточенными включениями. Прикладная механика, 1978,2, с.25-31.

77. Лиходед А.И. Нелинейные колебания оболочек вращения с сосредоточенными массами. МТТ, 1976, № I, с.141-146.

78. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир, 1983. - 542 с.

79. Малинин А.А. Колебания и устойчивость оболочек вращения с дискретными включениями и отверстиями. Прикладная механика, 1973, т.IX, № 10, с.29-34.

80. Малинин А.А. Колебания оболочек вращения с сосредоточенными и распределенными связями и массами. МТТ, № 4,с.154-157.

81. Малинин А.А., Выловов В.И. Колебания незамкнутой тороидальной оболочки с сосредоточенными включениями. Прикладная механика, 1978, Т.Х1У, № 4, с.50-55.

82. Малинин А.А. Колебания оболочек вращения с присоединенными массами и внутренними упругими связями. Прикладная механика, 1975, т.XI, № 2, с.29-34.

83. Малинин А.А. Идентификация колебаний при расчете тонкостенных конструкций с упругоприсоединенными грузами. Прикладная механика, 1982, т.ХУШ, № 8, с.90-94.

84. Малинин.Исследование динамических характеристик тонкостенных конструкций с присоединенными грузами. Прикладная механика, 1083, т.XIX, № 2, с.64-67.

85. Марчук Г.И. Методы вычислительной: математики. М.: Наука; 1977. - 454 с.

86. Методы расчета оболочек. Т.2. Теория ребристых оболочек / Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Киев: Наукова думка, 1980.- 368 с.

87. Митропольский А.А. Метод усреднения в нелинейной механике.- Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

88. Москаленко В.Н., Новичков Ю.Н. Изгиб толстых многослойных плит. МТТ, 1968, № 3, с.149-153.

89. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. -М.: Наука, 1972. 328 с.

90. Мотыка И.И., Шулипа С.В. Алгоритм моделирования вибраций печатных плат. Тезисы 10-й научно-технической конференции "Автоматизация конструкторского проектирования РЭА и ЭВА", Пенза, 27-28 октября, 1983 г.

91. Мукоед А.П. Об одном варианте уточненной теории оболочек.- Прикладная механика, 1979, т.ХУ, № 12, с.43-50.

92. Мяченков В.И., Репин А.А. Влияние граничных условий на собственные частоты колебаний цилиндрических оболочек.- Прикладная механика, 1971, т.УП, № б, с.31-36.

93. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин.- Труды УП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1970, М.: Наука, 1970.

94. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям. ПММ, 1969, т.33, № 2,с.956-967.

95. Новичков Ю.Н. Распространение плоских волн в слоистых упругих средах регулярной структуры. МТТ, 1971, № 6,с.65-73.

96. Новичков Ю.Н. Распространение волн в слоистых цилиндрических оболочках. МТТ, 1973, № 2, с.51-60.

97. Новичков Ю.Н., Петровский А.В. Устойчивость многослойных упругих оболочек. МТТ, 1973, № 5, с.54-61.

98. Новичков Ю.Н., Юдин В.М. Определение собственных частот и форм двухслойных оболочек с присоединенными элементами.- Труды Моск. энерг. ин-та, 1978, № 353, с.7-11.

99. Новичков Ю.Н. О различных моделях описания деформирования многослойных конструкций. Труды Моск. энерг. ин-т, 1980, № 453, с.40-47.

100. Новичков Ю.Н., Самарин Н.В. Собственные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутом. Прикладная механика, 1983, т.XIX, № б, с.52-57.

101. Паламарчук В.Г., Носаченко A.M. Свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединенной на пружинах. Прикладная механика, 1980, т.ХУТ, № I, с.40-41.

102. Паламарчук В.Г. Свободные колебания системы, состоящей из ребристой цилиндрической оболочки, и абсолютно твердого тела. Прикладная механика, 1978, т.Х1У, № 4, с.56-62.

103. Паламарчук В.Г. К вопросу о свободных колебаниях ребристой цилиндрической оболочки с абсолютно твердым телом. Прикладная механика, 1979, т.ХУ, № 9, с.37-41.

104. Паламарчук В.Г. Динамическая неустойчивость ребристой цилиндрической оболочки с массой, присоединенной на пружи-ных. Прикладная механика, 1980, т.ХУ1, № I, с.40-46.

105. Паламарчук В.Г. Свободные колебания ребристой цилиндрической оболочки с промежуточными опорами и абсолютно твердым телом. Прикладная механика, 1983, т.XIX, № 2, с.28-32.

106. Паламарчук В.Г. Свободные колебания ребристой цилиндрической оболочки-с балкой. Прикладная механика, 1980, т.ХУ1, № 5, с.45-49.

107. НО. Пайцушин В.Н., Фельдмане Э.Г. Нелинейные параметрические колебания вязко-упругих ортотропных цилиндрических оболочек. Прикладная механика, 1980, т.ХУ1, № 4, с.49-55.

108. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова думка, 1964. - 28? с.

109. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев.: Наукова думка, 1982. - 295 с.

110. Пелех Б.Л. Некоторые вопросы развития теории и методов расчета анизотропных оболочек и пластин с конечной сдвиговой жесткостью. Механика полимеров, 1975, № 2,с.263-284.

111. Пелех Б.Л., Дивеев Б.М., Бутитер И.Б. Некоторые динамические задачи вязкоупругих слоистых анизотропных оболочек и пластин. Механика композитных материалов, 1983, № 2,с.256-263.

112. Петренко М.П. Колебания круглых пластин с сосредоточенными включениями. Прикладная механика, 1972, т.УШ, № 3,с.123-126.

113. Пискунов В.Г. Об одном варианте неклассической теории многослойных пологих оболочек и пластин. Прикладная механика, 1979, т.ХУ, № II, с.76-81.

114. П1дстригач Я.С., Столяров В.О. Матрично-операторний метод в теорП пружност1. ДАМ УРСР, 1973, № II, с.1021-1024.

115. Подстригач Я.С., Пелех Б.Л., Ганулич В.К. Расчет податливых на сдвиг ортотропных оболочек с остаточными напряжениями. Прикладная механика, 1973, т.IX, № 6, с.22-30.

116. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек.- Киев: Наукова думка, 1978. 343 с.

117. Положий Г.Н., Бублик Б.И. Определение собственных частот прямоугольных пластин со смешанными краевыми условиями.- Прикладная механика, 1957, т.Ill, № I, с.92-96.

118. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 343 с.

119. Рассказов А.О. К теории колебаний многослойных ортотроп-ных оболочек. Прикладная механика, 1977, т.ХШ, № 8,с.23-29.

120. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек. Прикладная механика, 1976, т.ХП, № II,с.50-56.

121. Рассказов А.О., Соколовская И.И. Экспериментальные исследО' вания статики и динамики многослойных пластин. Прикладная механика, 1981, т.ХУП, № 2, с.65-70.

122. Савин Г.Н., Хома И.Ю. К теории анизотропных оболочек свободных от кинематической гипотезы нормального элемента.- Прикладная механика, 1971, т.УП, № 3, с.9-15.

123. Саркисян B.C., Шекян Л.А. К определению частоты колебания неортотропных цилиндрических оболочек с сосредоточенными грузами. Учен. зап. Ереванск. гос. ун-та, Естеств. науки, 1976, № I (131), с.30-38.

124. Скосаренко Ю.В. Собственные колебания ребристой оболочки нулевой гауссовой кривизны с консольно присоединенной массой. Прикладная механика, 1984, т.XX, № 2, с.36-41.

125. Слепян Л.И. Теорема Бетти и соотношения ортогональности для собственных функций. МТТ, 1979, № I, с.83-87.

126. Смирнов М.М. Колебания системы масс, соединенных с цилиндрической оболочкой. Исследования по упругости и пластичности. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1964, вып.З, с.114-123.

127. Соболева О.Н. Колебания круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами жесткости с учетом сосредоточенных масс. Труды Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1975, вып.476, с.112-117.

128. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Гостехиздат, I960. - 170 с.

129. Соколовская И.И. Развитие подхода Рейсснера при построении прикладной теории многослойных ортотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Прикладная механика, 1980, Т.ХУ1, № 3, с.38-44.

130. Стечкин С.Б., Суботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

131. Ульяшина А.Н. Напряженно-деформированное состояние ортотропных слоистых пластин. МТТ, 1979, № I, с.145-154.

132. Ульяшина А.Н. Напряженно-деформированное состояние ортотропных многослойных оболочек. МТТ, 1983, № I, с.155-166.

133. Федик И.И., Муравин Е.Л., Жарков Л.С. Свободные колебания и статическая деформация упругих элементов конструкций с идеальными точечными связями. Проблемы прочности, 1984, № 8, с.103-106.

134. Хомченко Л.И. Нелинейные колебания ортотропной оболочки постоянного кручения с сосредоточенной массой. Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек, Саратов, 1981, с.3-5.

135. Хомченко А.И. 0 собственных колебаниях асимгополоида, несущего локально присоединенную массу. Труды Николав. ко-раблестроит. ин-та, 1971, вып. 46, с.130-136.

136. Хомченко А.И., Христенко А.С. К вопросу о колебаниях оболочек вращения с сосредоточенной массой. Прикладная механика, 1972, 8, № I, с.22-26.

137. Хорошун Л.П. Зависимости между напряжениями и деформациями в слоистых средах. Прикладная механика, 1966, т.П, № 2, с.14-19.

138. Хорошун JI.П. 0 построении уравнений слоистых пластин и оболочек. Прикладная механика, 1978, Т.Х1У, № 10,с.3-21.

139. Христенко А.С. Колебания непологих цилиндрических оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами. МТТ, 1972, № 4, с.114-122.

140. Цыбин Е.И., Ярошенко В.А. Свободные колебания цилиндрической оболочки с присоединенными массами в случае упругой заделки ее краев. Труды Николаев, кораблестроит. ин-та, 1979, вып. 155, с.107-113.

141. Чепига В.Е. К уточненной теории многослойных анизотропных оболочек с заданной условной точностью порядка. МТТ, 1977, № 7, с.ПЗ-120.

142. Чеповский A.M. Устойчивость упругой панели с присоединенными элементами в сверхзвуковом потоке газа. Труды МФТИ, Сер. Аэрофиз. и прикл. мат., Долгопрудный, 1979,с.112.

143. Чжень. Колебания цилиндрической панели, несущей сосредоточенную массу. Прикладная механика, 1970, № 3. - М.: Мир, 1970, с.300-301.

144. Чирков В.П. Случайные колебания тонкостенных конструкций, несущих сосредоточенные массы. МТТ, 1975, № 3,с.159-164.

145. Шулипа С.В. К уточненной теории ортотропных оболочек. Деп. в УкрНИИНТИ, 1985, № 567Ук-85Деп., с.13.

146. Шулипа С.В. Колебания круглой ортотропной пластины с присоединенными массами при креплении стержнями к несущему элементу. Деп. в УкрНИИНТИ, № 571Ук-85Деп., с.23.

147. Шулипа С.В. Вынужденные колебания ортотропной прямоугольной пластины, несущей сосредоточенные массы с учетом инерции вращения. Деп. в УкрНИИНТИ, 1985, № 572Ук-85Деп.,с.20.

148. Шулипа С.В. Построение частного решения в задачах колебаний пластин с конечной сдвиговой жесткостью. Деп. в УкрНИИНТИ, 1985, № 568Ук-85Деп., с.8.

149. Шульга Н.А. Собственные частоты осесимметричных колебаний пологого цилиндра и композитного материала. Механика композитных материалов, 1980, № 3, с.485-488.

150. Ярошенко В.А. Колебания ортотропной бочкообразной оболочки, несущей сосредоточенные массы. Труды Николаев, кора-блестроит. ин-та, 1978, вып. 141, с.73-78.

151. Ramachandran J. Large amplitude vibrations of shallow spherical shell with concentrated mass.- Trans. ASME, 1976, E43, No. 2, p. 363-365.

152. Cunningham W.J. Introduction to nonlinear analysis, McGraw-Hill, New York, 1958, p. 168.

153. Eisley J.G., "Nonlinear vibrations of beams and rectangular plates'1, Zeitschrift fur angewandte mathema-tik und physik, Vol. 15, Mar. 1964, p.p. 167-168.

154. Hildebrand P.B. Advanced calculus for applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964, p.p. 150-152.

155. McNitt R.P., "Free vibrations of a damped elliptical plate", Journal of the Aerospace Sciences, Vol. 29, Sept. 1962, p.p. II24-II25.