Колебания и устойчивость упругой и вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

004612364

На правах рукописи

Лунёв Андрей Вячеславович

Колебания и устойчивость упругой и вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

Тула 2010

004612364

Диссертация выполнена в Московском государственном техническом университете «МШИ».

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор Показеев Валерий Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических

наук, профессор

Лавит Игорь Михайлович

доктор физико-математических, профессор

Молодцов Игорь Николаевич

Ведущая организация:

НИИ механики МГУ, г. Москва

«0О

часов на

Защита состоится в А-

заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «^ й » октября 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета ' Л Л.А. Толоконников

Общая характеристика работы Актуальность токи.

В диссертационной работе исследуются колебания и устойчивость пластин, взаимодействующих с потоком газа. Численными методами решается основная задача — установление области значений параметров, при которых колебания упругой или вязкоупругой полосы или пластины будут устойчивыми. При заданной геометрии и механических свойствах колеблющегося элемента конструкции речь идет об определении скорости потока, по достижении которой колебания становятся неустойчивыми. В настоящее время задача исследования панельного флаттера остается весьма актуальной: совершенствование характеристик современных летательных аппаратов неизбежно требует уменьшения их массы и жесткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения флаттера, поэтому требуется более строгая постановка задачи и исследование флаттера пластин из новых конструкционных материалов. Цель работы.

Постановка новых задач о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала, а также исследование этих задач и обнаружение новых, представляющих интерес механических эффектов.

Научная ноокзна работы.

Впервые в рамках точной линеаризованной теории сверхзвукового обтекания были получены оценки критической скорости флаттера упругой полосы и пластины в случае обтекания, близкого к поперечному, а также обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы и пластины. Была

предложена уточненная постановка задачи сверхзвукового обтекания вязкоупругой пластины и получены оценки критической скорости флаттера для вязкоупругой пластины и полосы при поперечном и близком к поперечному обтекании.

Достоверность основных результатов и выводов диссертации обоснована строгими математическими формулировками задач, совпадением численных результатов расчётов с некоторыми, полученными ранее аналитически и проверкой полученных результатов обратной подстановкой в исходную задачу.

Практическая значимость работы.

Разработанная в рамках диссертации методика, ориентированная на некоторые теоретические задачи и практические приложения, может быть непосредственно использована специалистами промышленных предприятий и НИИ при проектировании и расчёте оперения и несущих поверхностей новых летательных аппаратов.

Апробация работы.

Результаты работы обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2008 года, 16-24 апреля 2009 года, 16-24 апреля 2010 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 19-23 ноября 2009 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 17-21 ноября 2008 года

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит б рисунков и 24 таблицы общим объёмом 78 страниц. Список литературы состоит из 66 наименований.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор текущего состояния рассматриваемых вопросов, сформулированы цели работы.

Первая глава посвящена вопросам постановки задач в рамках точной линеаризованной теории сверхзвукового обтекания пластин, выводу формулы для давления для аэродинамического взаимодействия согласно этой теории и получению уравнения колебаний упругой полосы и пластины. Для определения давления аэродинамического взаимодействия Ар используется уравнение для потенциала возмущения Аф:

= + 2 Л/,

а\ д!2 а0 д1дх

д1в> ■ г Э>

^ +2А/,---+

+М;

«о д1дУ

*д2(Р+м2д2(р

1 дх2

при этом предполагается, что потенциал Аф ограничен бесконечности и удовлетворяет условию непроницания на

поверхности полосы: —

дф 1дг

г=0

давление

&Ра=-Ро

потоке

дн> дю дм -— + и— + и„ — 3/ 1 £дх у £ду

определяется

дф их дф оу дф д1 £ дх £ ду

Далее,

Избыточное

выражением

используя

г=0

представления для прогиба потенциала ф и давления в виде

Ар0(х,у,() = Ар.е^ау

Получаем систему для определения избыточного давления, в которой затем производим преобразование Лапласа. После решения преобразованной системы производим обратное преобразование Лапласа окончательно получаем выражение для давления аэродинамического взаимодействия:

И х

+2 (О - 1аМу )Мх-\нй(х-т)\У{т)<1т + (1х 0

ах 0

Далее, после перехода в классическом уравнении колебаний полосы

к безразмерным координатам и времени, подстановки в качестве прогиба функции 'ау и выбора

указанном выше виде получим уравнение колебаний упругой полосы в линеаризованной теории обтекания:

А . ,,

ч2 х

+ ^-¡П-1аМу + Мх—\ -¡Н0(х-т)1Г(т)с1т = 0 уА/^ — 1ч <&) о

Также, с помощью дифференцирования интегралов с переменной верхней границей было получено уравнение колебаний упругой полосы с выделенной «квазипоршневой»

частью, которое в предельном случае обращается в уравнение колебаний в поршневой теории

(х) - 2 а21¥"(х) + а^(х) + А£1г\¥{х) +

() 'А у М2х-\,

+ (1.30)

у1М2х-1

(мгх+2)(П-1аМу)2 а2Мх 2лЩ)(п-1аМу)

"2(^-1)' 1=~ (Л/М)2

А/

Я2 =--=-.

2(М>-1)2

Для получения уравнения колебаний упругой пластины для прогиба выбираем представление вида

= , и, возвращаясь к формуле давления

аэродинамического взаимодействия, заменяем, по аналогии с поршневым случаем, произведение ЧаЖ на производную При этом, в аргументах функций внутри интегралов, с учетом малости угла в, полагаем, что параметр

волнообразования а = 0. Др = -

+ (1.32)

Теперь, используя это выражение, можно записать уравнение колебаний пластины

А 2Ж + А2П2Иг(х,у)+-тЛ

1

П2 + 2П| М —+М„—^ 'ах Уду

+1 — +

'дх Уду)

Здесь

К0(х,у) = 0 (1-33)

х

К0 = |яо (х-т)иг(т,у)(1т, Н0 (*) = е**10 (агх), о

м,о. „ П

а, = —-г—, аг = •—г— . 1 М]-\ 1 М]-1

С помощью представленных в первой главе уравнений колебаний упругой полосы и пластины в линеаризованной теории сверхзвукового обтекания, во второй главе приводится постановка задач при различных условиях закрепления кромок. В разделах 2.1, 2.2, 2.4 исследуются колебания и устойчивость упругой полосы в случае шарнирного закрепления кромок полосы и жесткой заделки в рамках уточненной поршневой теории. В п.2.5 проведен анализ устойчивости упругой пластины при обтекании, бликом к поперечному в модифицированной поршневой теории.

В разделе 2.3 проводится численное исследование задачи в случае шарнирного закрепления кромок полосы при

поперечном и близком к поперечному обтекании, а также

{

исследуется поведение безразмерной частоты колебаний в зависимости от текущего числа Маха. В п.2.б аналогичное решение и анализ устойчивости проведён для шарнирно закрепленной пластины в линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания. Одним из результатов

расчётов в точной потенциальной теории является обнаруженная зависимость(рис.1) действительной части частоты колебаний (ЯеП) от критической скорости флаттера(Л/ } в случае поперечного обтекания при относительной толщине ¿/А=250. На графике видна особая область неустойчивости вблизи единицы, впервые обнаруженная в работах В.В.Веденеева и А.Г.Куликовского. На рис.2 показано движение действительной части корня в случае близкого к поперечному обтекания упругой полосы. Здесь также видна особая область неустойчивости. Для обтекания, отличного от поперечного такой результат в представляемой работе получен впервые.

ом

о.ю

005

0.00

ЯеО

М'

1.5

2.0

3.0

Рис.2

Показано, что с изменением геометрии полосы (пластины) - увеличением отношения НИ происходит сужение области устойчивости.

Третья глава посвящена исследованию колебаний и устойчивости вязкоупругой полосы и пластины. Предполагается, что материал полосы линейный

вязкоупругий, напряжение связано с деформацией равенством

<

■Еп

= Е0(1-Г)е(0 ,

/

а ядро релаксации Г содержит только экспоненциальные слагаемые вида Г(<) = £к ехр(—@к() . В этих условиях уравнение колебаний упругой полосы в модифицированной поршневой теории принимает вид:

М.

(1-Г)Д н'М

4Й1-\

„ъ* м]-г.-дуЛ м,—+—.—— +

' дх и\-\ Уду)

^Эг2 1 (М2-1)3/2 Э/

Структура уравнения колебаний вязкоупругой полосы повторяет соответствующую структуру уравнения колебаний упругой полосы, за исключением того, что задача рассматривается как начально-краевая. Задание начальных условий определяет структуру приближенного решения. При этом в качестве граничных условий выступают условия жесткой заделки или шарнирного опирания кромок полосы. В численных расчётах используется преобразование Лапласа и стандартная проекционная процедура Бубнова-Галеркина. Было показано, что вязкостные свойства материала практически не оказывают влияния на значение критической скорости флаттера (в отличие от дивергенции, где вязкость материала играет существенную роль). Для примера в таблице (1) приведено сравнение значений критической

скорости флаттера вязкоупругой полосы(Л/*) и критической скорости, рассчитанной по мгновенному модулю (М0) при поперечном и близком к поперечному обтекании в случае заделки её кромок.

Таблица 1

в (градусы) Мй м,

0 4.0139 4.0138

1 4.0145 4.0144

2 4.0164 4.0162

3 3.1976 3.2391

4 2.3223 2.3573

5 1.8319 1.8664

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Впервые численно исследованы задачи колебаний и устойчивости упругой полосы и пластины в рамках линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания в достаточно широком диапазоне изменения направления вектора скорости потока. Получены оценки критической скорости флаттера упругих пластины и полосы для различных способов закрепления кромок. В рамках линеаризованной потенциальной теории подтверждено наличие особого вида неустойчивости, обнаруженного в работах В.В.Веденеева и А.Г.Куликовского при поперечном обтекании, а при близком к поперечному обтекании такой эффект исследован здесь впервые как для упругой полосы, так и для пластины.

2. Проведен сравнительный анализ результатов расчётов критической скорости флаттера упругой полосы и пластины в линеаризованной потенциальной теории и в модифицированной поршневой теории при различной относительной толщине полосы и пластины и при различных углах отклонения вектора скорости потока от поперечного направления. Показано, что интегральные слагаемые в уравнении колебаний упругой полосы и пластины влияют на значение критической скорости флаттера довольно слабо и при решении задач ими можно пренебречь, когда речь идёт о традиционной форме флаттера.

3. Проведены расчёты критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в уточненной поршневой теории при граничных условиях шарнирного

олирания кромок и заделки кромок. Было показано, что вязкость (вязкостные свойства) материала практически не влияет на значения критической скорости флаттера.

Публикации по теме диссертации:

Кийко И.А., Лунёв A.B., Показеев В.В. Флаттер вязкоупругой полосы // Тезисы докл. науч. конф. «Ломоносовские чтения». - М., Изд-во Московского Университета, 2008, с. 37.

Лунёв A.B. Колебания и устойчивость упругой полосы в потоке газа // Материалы международной научн. конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики, посвященной 85-летию со дня рождения Л.А.Толоконникова", Тула, ТулГУ, 17-21 ноября 2008, С. 253.

Кийко И.А., Лунёв A.B., Показеев В.В. Флаттер вязкоупругой полосы // Тезисы докл. науч. конф. «Ломоносовские чтения». - М., Изд-во Московского Университета, 2009, с.45

Кийко И.А., Лунёв A.B., Показеев В.В. Численное исследование колебаний упругой полосы в рамках линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания// Тезисы докл. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула, ТулГУ, 23-27 ноября 2009. с.187

Кийко И.А., Лунёв А.В, Показеев В.В., Флаттер упругой пластины // Тез. докл. науч. конф. «Ломоносовские чтения». - М., Изд-во Московского Университета, 2010, с.38

6. Кийко И.А., Лунёв A.B. Флаттер вязкоупругой полосы // Вестн. Моск. Ук-та. Сер.1, Математика. Механика. 2010. №5. с.68-69

7. Лунёв A.B. Колебания и устойчивость упругой пластины в рамках линеаризованной теории сверхзвукового обтекания // Проблемы машиностроения и автоматизации №2. 2010. с.101-103

8. Кийко И.А., Лунёв A.B., Показеев В. В. Колебания и устойчивость упругой полосы в рамках линеаризованной теории сверхзвукового обтекания // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула, 2010. Вып.З. с. 94-97

Изд. лиц. ЛР №020300 от 12.02.97. Подписано в печать £ (О. /# Форм« бумаги 60*84 1/16. Бумага офсета«. ' . Уся-печ. а 1,1. Уг-иад. л. 1,0. Тира* 100 эп. Заказ 0¿lí Тульский государственный университет. 300600, г. Туда, проса Лешша, 92 Отпечатано в Издательств ТулГУ. 300600, г. Тупа, ул. Боадинь, 151

Список основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Общая постановка задачи флаттера пластины на основе линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания

1.1. Давление аэродинамического взаимодействия.

1.2. Вывод уравнения колебаний полосы.

1.3. Вывод уравнения колебаний пластины.

Глава 2. Колебания и устойчивость упругой полосы и пластины.

2.1. Исследование флаттера упругой полосы при поперечном обтекании без учета интегральных слагаемых.

2.2. Исследование флаттера упругой полосы при обтекании, близком к поперечному, без учета интегральных слагаемых.

2.3. Исследование колебаний упругой полосы в рамках линеаризованной потенциальной теории сверхзвукового обтекания.

2.4. Случай заделки кромок полосы без учета интегральных слагаемых.

2.5. Колебания и устойчивость упругой пластины без учёта интегральных слагаемых.

2.6. Колебания и устойчивость упругой пластины в рамках линеаризованной теории сверхзвукового обтекания.

Глава 3. Вязкоупругая полоса и пластина

3.1. Случай шарнирного закрепления кромок полосы.

3.2. Случай заделки кромок полосы.

3.3. Исследование флаттера вязкоупругой шарнирно закрепленной пластины.б б

В диссертационной работе исследуются колебания и устойчивость пластин, взаимодействующих с потоком газа. Численными методами решается основная задача — установление области значений параметров, при которых колебания упругой или вязкоупругой полосы или пластины будут устойчивыми. При заданной геометрии и механических свойствах колеблющегося элемента конструкции речь идет об определении скорости потока, по достижении которой колебания становятся неустойчивыми. Когда скорость потока превышает некоторое критическое значение, взаимодействие деформируемой поверхности с потоком приводит или к резкому возрастанию деформации обтекаемой поверхности в квазистатическом режиме, или к возникновению колебаний с нарастающей амплитудой. Оба эти явления представляют собой потерю устойчивости. То, что происходит в первом случае, называется дивергенцией, во втором — флаттером (от английского "flutter" — вибрировать, трепетать).

В 194 6 году была опубликована работа [64] (Garric I.E., Rubinow S.E.), в которой впервые было получено уравнение движения пластины в сверхзвуковом потоке газа. Через 10 лет, в 1956 году в работе [65](Nelson Н.С., Cunningham H.J.) впервые исследовалась устойчивость такой пластинки; в 1958 году Дун Мин-Дэ [2 6] свёл задачу исследования устойчивости к некоторому алгебраическому уравнению относительно частоты колебаний, в результате получилось достаточно сложное уравнение, которое исследовалось с помощью рекуррентных соотношений.

Прогресс в развитии теории колебаний и устойчивости пластин был обусловлен открытием закона плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей, в рамках которого связанная, вообще говоря, задача аэроупругости «развязывалась» с помощью формулы «поршневой теории».

Закон плоских сечений был открыт в 1947 г. А.А.Ильюшиным и проблема панельного флаттера пластин получила на тот момент законченную математическую формулировку, приведшую к эффективным аналитическим методам исследования.

Первые постановки задач в рамках поршневой теории и строгие аналитические результаты принадлежат

А.А.Мовчану с группой сотрудников [53-5 6]. Была рассмотрена задача о флаттере прямоугольной пластины в простейшем случае, когда вектор скорости потока параллелен плоскости пластины и также параллелен одной из её сторон. Если изучать асимптотическую устойчивость(а именно так поступали и поступают до сих пор практически все), то дело сводится к задаче о поведении спектра несамосопряженного оператора четвертого порядка (основная часть - бигармонический оператор) в зависимости от скорости потока. Как видно, даже в этой простейшей постановке задача оказывается далеко не тривиальной, тем не менее A.A. Мовчану с сотрудниками удалось получить результаты, благодаря которым во многом выявились принципиальные моменты проблемы, которые долгое время оставались эталонными.

Работы, которые последовали за этими (теперь уже ставшие классическими) публикациями, в той или иной степени использовали постановку A.A. Мовчана; большое число конкретных результатов (и соответственно публикаций) обусловлено разнообразием методов решений -численных, приближенных, типа Бубнова-Галёркина и др.; различной геометрией и строенем пластин, наличием электромагнитных полей и т.д. Итоги этих исследований подведены в известных монографиях и обзорах Н.В.Баничука[10], С.М.Белоцерковского, Ю.А.Кочеткова и

A.A.Красовского [11], А.С.Вольмира [24], Дауэлла [25], Р.Е.Лампера [48], П.М.Огибалова и М.А.Колтунова[58], Г.Фершинга[61], Р.Л.Бисплинхоффа и Н.Эшли[63] и др.

Ситуация изменилась в середине 90-х годов XX в., когда были сформулированы новые постановки задач панельного флаттера (А.А.Ильюшин, И.А.Кийко) [31] , установлены некоторые общие свойства спектра бигармонического оператора, разработан численно-аналитический метод для его исследования[1-8], решены классы новых задач и обнаружены новые механические эффекты (И.А.Кийко, С.Д.Алгазин)[9].

Впоследствии были получены некоторые частные результаты по флаттеру пластин переменной толщины или жесткости[33-34], а также в частной постановке - задача оптимизации (В.И.Исаев, А.А.Кадыров) [35], [37] .

Отдельное направление в исследовании вязкоупругой полосы и пластины было сформировано в основополагающих работах А.А.Ильюшина и И.А.Кийко и продолжено в работах

B.И.Матяша [52] и Г.С.Ларионова [4 9-50]. Первоначально работы по исследованию флаттера вязкоупругих пластин проводились с использованием так называемого метода усреднения и тогда же был обнаружен парадокс, согласно которому малая вязкость материала пластины приводила к почти двукратному уменьшению критической скорости флаттера. В последующем этот парадокс был разрешен в работах И.А.Кийко и В.В.Показеева[41], [59], [60] .

Новый интерес к исследованию панельного флаттера возникает в связи с новейшими (начиная с 2000г.) результатами исследований, в которых используется выражение для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющее известную формулу поршневой теории слагаемыми, имеющими качественно новый механический смысл.

Первые результаты в этом направлении в условиях поперечного обтекания полосы были получены в уже упомянутых работах [64], [65]. Так, в 1946 г. в работе [64] в двумерной постановке было получено интегро-дифференциальное уравнение движения конечной пластины, обтекаемой однородным сверхзвуковым потоком. В 195 6 г. Нельсон и Каннингхем [65] рассмотрели задачу об устойчивости такой пластины. Были проведены конкретные вычисления с помощью метода Бубнова-Галёркина в двух- и четырехчленном приближении и получены границы устойчивости. Их сравнение с экспериментальными результатами показало очень хорошее совпадение.

В 1958 г. Дун Мин-Дэ[26] аналитически нашел общее решение интегро-дифференциального уравнения движения пластины и получил частотное уравнение. Эта работа сводит решение задачи о флаттере в точной постановке к решению алгебраического частотного уравнения.

В работах А.Г.Куликовского и В.В.Веденеева [17]-[23] исследуются задачи устойчивости безграничной упругой пластины, конечной упругой прямоугольной пластины, обтекаемой с одной стороны потоком газа, при наличии с другой стороны покоящегося газа. В указанных статьях была получена система уравнений и граничных условий и показано, что устойчивость пластин определяется поведением корней дисперсионного определителя системы. При этом для нахождения спектра собственных частот применялся асимптотический метод глобальной неустойчивости. В результате были обнаружены два типа неустойчивости: низкочастотный и высокочастотный флаттер. Первый является флаттером связанного типа, этот тип неустойчивости хорошо описывается с помощью поршневой теории и подробно исследован в литературе. Второй является флаттером с одной степенью свободы и не может быть получен в приближении поршневой теории. В.В.Веденеевым были описаны физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Была проведена оценка точности и показано, что используемый асимптотический метод даёт очень хорошие результаты для пластин. Помимо этого в указанных работах было рассмотрено влияние конструкционного демпфирования и рассеяния энергии в материале пластины на высокочастотный флаттер. Показано, что возможно сочетание параметров, при которых демпфирование не сможет подавить флаттер. В трёхмерной постановке решена задача о высокочастотном флаттере прямоугольной пластины. Для собственных форм колебаний пластин получено условие усиления их в потоке газа и описан простой физический механизм возбуждения. Исследованы возможности искажения флаттерных форм колебаний по сравнению с колебаниями в вакууме. Сформулирован алгоритм расчёта флаттера и проведены конкретные вычисления. Показано, что возможны ситуации, когда пластина совершает высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера.

В 200 6 г. была опубликована работа И.А.Кийко и С. Д. Алгазина [9] , в 200 9 - работа И.А.Кийко и В. В. Показеева[40] , где было получено выражение для давления аэродинамического взаимодействия на основе линеаризованного уравнения потенциала возмущения потока. В этих работах предполагается, что полоса и пластина обтекаются с одной стороны потоком газа, который направлен, в общем случае, под углом к её кромкам. Было показано, что выражение для давления аэродинамического взаимодействия и соответствующее уравнение колебаний полосы имеет существенно различную структуру в тех случаях, когда вектор скорости потока немного отклоняется от поперечного направления(«почти поперечное» обтекание) и когда вектор скорости потока направлен вдоль полосы параллельно её кромкам, в предположении задания однородных граничных условий (шарнирное опирание или заделка).

В случае обтекания, близкого к поперечному, было получено точное выражение для избыточного давления, которое принципиально отличается от формул поршневой теории, что приводит к новым малоизученным задачам на собственные значения. Предложена новая приближенная постановка задачи флаттера прямоугольной пластины, удлиненной поперек потока.

В случае обтекания, близкого к продольному, было получено точное выражение для потенциала, а при продольном обтекании - и для избыточного давления. Показано, что при чисто продольном обтекании, при условии М 1, критическая скорость флаттера совпадает с фазовой скоростью распространения возмущений по полосе, что совпадает со следствием поршневой теории.

Несмотря на большое количество исследований, многие из существенных сторон явления флаттера изучены недостаточно. В настоящее время задача исследования панельного флаттера остается весьма актуальной: совершенствование характеристик современных летательных аппаратов неизбежно требует уменьшения их массы и жесткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения флаттера, поэтому требуется более строгая постановка задачи и исследование флаттера пластин из новых конструкционных материалов.

Целями диссертационной работы являются:

1. Постановка новых задач о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала.

2. Исследование этих задач и обнаружение новых, представляющих интерес механических эффектов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

1. Обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы при близком к поперечному обтекании.

2. Обнаружен одномодовый флаттер упругой пластины при близком к поперечному обтекании.

3. Получены оценки критической скорости флаттера для вязкоупругой полосы и пластины при поперечном и близком к поперечному обтекании в уточненной поршневой теории.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты работы обсуждались на следующих научных конференциях: научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2008 года, 16-24 апреля 2009 года, 16-24 апреля 2010 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 19-2 3 ноября 200 9 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 17-21 ноября 2008 года

ПУБЛИКАЦИИ

Всего теме диссертационного исследования посвящено 8 опубликованных работ автора. Основные научные результаты отражены в [44,51].

СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

3.4. ВЫВОДЫ

Проведены расчёты критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в уточненной поршневой теории при граничных условиях шарнирного опирания и заделки кромок. Расчёты по уточненной поршневой теории показывают, что значения критической скорости флаттера уменьшаются на 10-15% по сравнению с аналогичными расчётами в поршневой теории. При этом показано, что вязкость материала практически не влияет на значения критической скорости флаттера. Характер изменения критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в целом повторяет картину, наблюдаемую в упругом случае: при отклонении вектора скорости потока от поперечного направления критическая скорость слабо возрастает до некоторого значения, а затем, с ростом угла отклонения происходит её резкое снижение.

Заключение.

1. Предложена новая постановка задачи о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала.

2. Обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы при обтекании, отличном от поперечного.

3. Обнаружен одномодовый флаттер упругой пластины при поперечном и отличном от поперечного обтекании.

4. Впервые исследован флаттер вязкоупругой полосы и пластины при граничных условиях заделки кромок.

5. Получены оценки значений критической скорости флаттера упругой и вязкоупругой полосы и пластины при поперечном и отличном от поперечного обтекании в уточненной поршневой теории.

1. Алгазин С. Д. Численно-аналитическое исследование флаттера пластин и пологих оболочек: Авторефер. дис. . д-ра физ.-мат. наук М. 1999. 28 с.

2. Алгазин С. Д. Численно-аналитическое исследование флаттера пластин и пологих оболочек: Дис. . д-ра физ.-мат. наук М. 1999. 28 с.

3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно-аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // Прикл. математика и механика. 1997. Т.60. вып.1. С.171-174.

4. Алгазин С.Д., Кийко И. А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера / / Изв. РАН. МТТ. 1999. №1.С.170-176.

5. Алгазин С.Д., Кийко И. А. Вычислительный эксперимент в задаче о флаттере пластины произвольной формы в плане // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1999. №6.С.62-64.

6. Алгазин С.Д. г Кийко И. А. Численные алгоритмы классической матфизики. III. Флаттер пластины произвольной формы в плане // М. 2001. 27с. (Препр. ИПМмех РАН, №684).

7. Алгазин С.Д., Кийко И. А. О флаттере пластины // Докл. РАН. 2002. Т.3 8 3.№3. С.343-345

8. Алгазин С.Д. г Кийко И. А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ЖПМТФ. 2003. Т.44.№4. С.35-42.

9. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек // М., Наука. 2006. 247 с.

10. Баничук Н.В. Устойчивость азро- и гидроупругих систем. В кн.: Машиностроение. Энциклопедия в сорока томах. Раздел I. Инженерные методы расчётов. Том 1-3. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. М., Машиностроение, 1994.

11. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроупругость // М.Наука. 1980. 340 с.

12. Болотин В.В. О критических скоростях в нелинейной теории аэроупругости // Машиностроение и приборостроение. 1958. №3.

13. Болотин В.В. К вопросу об устойчивости пластины в потоке сжимаемого газа // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.1959.

14. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек // Инж.сб. i960. Т.28. С.55-75.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. // М.: Физматгиз, 1961. 399 с.

16. Болотин В.В. Нестационарный флаттер пластин и пологих оболочек в потоке газа // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. №1.С.159-162. физ.-мат. наук. 01.02.04. М., 1995. 96с.

17. Веденеев В.В., Куликовский А.Г. Неустойчивость плоской упругой пластины, обтекаемой потоком газа // Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004. М.: Издательство МГУ. С.22.

18. Веденеев В. В. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа // Известия РАН. МЖГ. 2004. №4. С.19-27.

19. Vedeneev V.V. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow // European conference for aerospace sciences(EUCASS). Moscow, 2005. CD paper.

20. Веденеев В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. МЖГ. 2005. №5. С.155-169.

21. Веденеев В. В. О высокочастотном флаттере пластины // Известия РАН. МЖГ. 2006. №2. С.163-172.

22. Vedeneev V.V. High-frequency flutter of rectangular plates // 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006. CD paper.

23. Веденеев В.В. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины // Известия РАН. МЖГ. 2006. №4. С. 173-181.

24. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа // М.Наука. 1976. 416 с.

25. Дауэлл Панельный флаттер. Обзор исследований аэроупругой устойчивости пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика. №3. 1970. с.3-24.

26. Дун Мин~Дэ Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

27. Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20. вып.6. С.733-755.

28. Ильюшин А.А., Кийко И. А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа //

29. Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. №4. С.40-44.

30. Ильюшин A.A. Динамика // Вестник МГУ сер.1. Математика, механика. 1994. №3, с.79-87

31. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике и проблема панельного флаттера // Изв. РАН. МТТ. 1995. №6. С.138-142.

32. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки. // ПММ, 1994. Т.58, вып. 3. С. 167-171.

33. Ильюшин A.A., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. // Докл. АН СССР. 19 69. Т. 188. № 1. С. 49-52.

34. Исаев В. П. Флаттер ортотропной полосы постоянной толщины // Моск. гос. техн. ун-т «МАМИ». М. 2002. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 01.02.2002. №204-В2002.

35. Исаев В.П., Кийко И. А. Флаттер анизотропной полосы // Моск. гос. техн. ун-т «МАМИ». М. 2002. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 01.02.2002. №202-В2002.

36. Исаев В.П., Кийко И. А. Аэроупругие колебания и устойчивость ортотропной полосы переменной толщины / / Моск. гос. техн. ун-т «МАМИ». М. 2 0 02. Деп. В ВИНИТИ 01.02.2002. №203-В2002.

37. Исаулова Т.Н., Лавит И.М. Аэродинамическая устойчивость консольно защемленной косоугольной пластинки. // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2 009. Вып. 2. С.90-104.

38. Кадыров A.K., Кийко И. А. Флаттер упругой полосы переменной толщины // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информ. 2005. Т.Н. вып. 2.

39. Кийко И. А. Флаттер вязкоупругой пластины // Прикл. матем., механика. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 172-175.

40. Кийко И. А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. // Пр. матем. мех., 1999, т. 63, вып. 2. С.305-312

41. Кийко И. А., Кудрявцев Б.Ю. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины. // Вестн. МГУ. Сер.1, Матем., мех. 2005. №1. С.68-71

42. Кийко И. А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. Т. 401. №3. С. 342-344.

43. Кийко И.А., Показеев В.В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. МЖГ. 2009. №1. С. 159-166.

44. Кийко И. А., Показеев В.В., Кадыров А. К постановке задач об аэроупругих колебаниях пластины // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2007. Т. 13. Вып. 2. С.91-97.

45. Кийко И. А., Лунёв A.B. Флаттер вязкоупругой полосы // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2010. №5. С.68-69.

46. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере в нелинейной постановке. Изв. ТулГУ, 2006, с.61-68.

47. Кудрявцев Б.Ю. Колебания и устойчивость упругой полосы в сверхзвуковом потоке газа. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. 01.02.04. М., 1995. 96с.

48. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2005. Т. 11. Вып.З. С. 99102.

49. Лампер P.E. Введение в теорию флаттера // М., Машиностроение. 1990. 144 с.

50. Ларионов Г. С. Устойчивость колебаний вязкоупругой пластинки при больших сверхзвуковых скоростях. // В сб. Вопр. Вычисл. и прикл. мат. Ташкент. 1970. Вып. 3. С. 156-163.

51. Ларионов Г. С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины. // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №4. С.95-100.

52. Лунёв A.B. Колебания и устойчивость упругой пластины в рамках линеаризованной теории сверхзвукового обтекания / / Проблемы машиностроения и автоматизации №2. 2010. С. 101-103.

53. Матяш В.И. Флаттер вязкоупругой пластинки. // Механика полимеров. 1971. № 6. С. 1077-1083

54. Мовчан A.A. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе.// Тр. Ин-та мех. АН СССР, Изд. АН СССР, 1955. С.36.

55. Мовчан A.A. О колебаниях пластинки, движущейся в газе.// Прикл. матем., механика. 1956. Т.XX. С.221-222.

56. Мовчан A.A. Устойчивость лопатки, движущейся в газе.// Прикл. матем., механика. 1957. Т.XXI. С. 700706.

57. Мовчан A.A. Об устойчивости панели, движущейся в газе.// Прикл. матем., механика. 1957. Т.XXI. С.231-243.

58. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек. // Механика деформируемого твердого тела. М., 1978. С. 67122. (Итоги науки и техники, ВИНИТИ; т.11).

59. Огибалов П.М. , Колтунов М.А. Оболочки и пластины // М. Моск. Ун-т. 1969. 419 с.

60. Показеев В. В. Флаттер вязкоупругой прямоугольной пластины //

61. Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2005. Т. 11. Вып.3. С. 132-138.

62. Показеев В. В. Флаттер упругой и вязкоупругой консольно закрепленной полосы.// Прикл. матем. механика. 2008. Т. 72, вып.4. С. 625-632.

63. Фершинг Г. Основы аэроупругости // М., Машиностроение. 1984. 600 с.

64. Основы газовой динамики. Сб. статей под ред. Г. Эммонса // Пер. с англ. М.: Издво иностр.лит., 1963. 702 с.

65. Bisplinghoff R.L., Ashley Н. Principles of aeroelasticity // New-York: Dower. 1975. 527 p.

66. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow // NACA. 1946. Report № 846. 25 p.

67. Nelson H.C., Cunningham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow // NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.