Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа

Арсентьев, Тимофей Петрович

Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Арсентьев, Тимофей Петрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа»

Автореферат диссертации на тему "Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АРСЕНТЬЕВ Тимофей Петрович

КОЛЕБАНИЯ КРЫЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

003461067

Работа выполнена на кафедре гидроаэромеханики матемагако-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БАРАНЦЕВ Рэм Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЕРШОВ Борис Александрович

кандидат физико-математических наук,

доктор технических наук,

доцент ПОЛЯКОВА Екатерина Владимировна

Ведущая организация: Московский Авиационный Институт

^ /

Защита состоится" tci.-iJf 20Q8 г. в ' 7 часов на заседании со-

вета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург. Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. iCJ>

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

г 9 Автореферат разослан" /f " Як&а/ъ-а_ 200Хг.

Ученый секретарь диссертационного совета, ! доктор физико-математических наук, профессор " ^ / 'С. А. Зегжда.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Некоторые типы колебаний крыльев самолета и рулевых поверхностей наблюдались с первых дней полета самолета. Для того чтобы описать физическое явление, рассмотрим свободнонесущее нестреловидное крыло без элерона, смонтированное под малым углом в аэродинамической трубе и жестко закрепленное у корня. Когда поток воздуха в аэродинамической трубе отсутствует и модель возбуждается, например, толчком с помощью тяги, то возникает колебание, которое потом постепенно затухает. При постепенном увеличении скорости потока в трубе скорость затухания колебания возбужденного профиля сначала увеличивается. Однако по мере дальнейшего увеличения скорости достигается такой момент, когда скорость затухания быстро уменьшается. При критической скорости флаттера колебание может продолжаться с постоянной амплитудой. При скоростях потока несколько превышающих критическую, небольшое случайное возмущение профиля может служить толчком к возникновению очень сильного колебания. Такие колебания даже если и не приведут к разрушению крыла и крушению самолета, то могут существенно ухудшить управляемость.

В ранние периоды развития авиации устойчивость конструкции относительно флаттера могла быть достигнута за счет незначительных изменений конструкции и за счет незначительного увеличения веса. Новая тенденция к оптимальной конструкции самолетов с высокими летными качествами создает совершенно иную картину. Обычно желают создать самолет с минимальным весом, должным образом соответствующий заданным проектным требованиям (нагрузка, геометрия и т. п.). Эти и другие проблемы, связанные с развитием авиации, остаются актуальными и по сегодняшний день. И дальнейшее развитие авиации влечет за собой дальнейшие исследования задач, связанных с флаттером.

Целью работы является постановка и решение задач, связанных с процессом колебания крыла в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. А именно, исследование аэродинамической задачи и применение полученных в аэродинамике результатов для нахождения асимптотического решения связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

Методы исследования. В работе применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины профиля крыла и малости амплитуды его колебаний, а также основанные на рассмотрении задачи при малых и больших частотах. Для решения задач используются метод Римана, общее решение для телеграфного уравнения, общее решение для однородного волнового уравнения и формула для решения неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях. Также используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Найдено аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа с помощью метода Римана

и общего решения телеграфного уравнения. Также найдено второе приближение стационарной части задачи. Получено асимптотическое решение аэроупругой задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа при малых и больших частотах на основе результатов, найденных при решении аэродинамической задачи.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением асимптотических методов, методов математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся проектированием летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Полученные аналитические решения могут быть использованы для расчета скорости и давления на профиле крыла, совершающего произвольной формы колебания. Найденные формулы также позволяют рассчитать скорость и давление в области между профилем крыла и характеристикой. Еще могут представлять интерес найденные частоты, при которых возникают колебания определенной формы.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной работе, были доложены на международных конференциях «Пятые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2006) и «Шестые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2008), на XXI Всероссийской конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006» (Санкт-Петербург, 2006), на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт- Петербург, 2008) и на 6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике «ENOC 2008» (Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-8]. Работа [5] опубликована в рецензируемом научном журнале «Вестник Санкт-Петербургского Университета», входящем в перечень ВАК.

В работах [3, 4] соавтору принадлежит постановка аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Также соавтором предложен метод Римана для решения задачи на профиле крыла. Диссертантом решена задача на профиле крыла методом, предложенным соавтором и произведен расчет амплитуды колебаний давления на профиле крыла при переходе через критическую частоту. Асимптотика найденного решения и асимптотика колебаний давления на профиле крыла принадлежит обоим авторам.

В работе [8] соавтором показана возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности, получено уравнение и граничные условия во втором приближении стационарной задачи. Диссертантом получено аналитическое решение стационарной задачи во втором приближении.

Вклад соавторов в подготовку докладов и материалов для конференций (см. [1,2,6]) такой же, как и в [3,4,8].

Структура работы. Работа состоит из двух частей, содержит введение, заключение и список литературы, состоящий из 94 наименований. Общий объем работы составляет 59 страниц текста и 10 иллюстраций.

Результаты, выносимые на защиту.

• Аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, полученное на профиле крыла методом Римана.

• Аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, найденное в области между профилем крыла и характеристикой с помощью общего решения телеграфного уравнения.

• Второе приближение стационарной задачи.

• Выражение для аэродинамического давления, возникающего при колебании крыла в сверхзвуковом потоке и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

• Асимптотическое решение связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая история исследований проблемы флаттера и приведен обзор литературы, посвященной аэродинамике колебаний крыла и связанным аэроупругим задачам о колебании крыла. Также во введении обосновывается актуальность и научная новизна диссертации. Формулируются цель работы, указывается практическая и теоретическая ценность её результатов. Приводится краткое содержание диссертации и результаты, выносимые на защиту.

В первой части работы исследуется аэродинамика колебаний крыла в сверхзвуковом потоке газа. Рассматривается крыло (см. рис. 1), испытывающее поперечные колебания, амплитуда которых мала по сравнению с его толщиной, так что профиль крыла можно представить в виде:

r\ «iЛ «i,

где е и в' - малые параметры, обеспечивающие выполнение указанных неравенств, а частота со произвольна.

Нестационарное сверхзвуковое течение идеального газа около тонкого крыла описывается известным уравнением для потенциала скоростей Ф(x,y,t) при соответствующих граничных условиях на профиле крыла и характеристиках, в которые вырождается ударная волна. Представление искомого потенциала Ф в соответствующей форме

Ф = х+<рй+<р'еш,\<р'\«\<р°\, позволяет расщепить решение задачи на два последовательных этапа: сначала найти <р°, а затем <р'. Упрощая уравнение для потенциала с помощью найденных порядков возмущенных величин, для стационарной задачи было получено

однородное волновое уравнение. Решение стационарной задачи известно и имеет вид

<р° =к-1{/°(0,е)-/°(х-ку,е)), где к2 = М2 -1, М -числоМаха.

Рисунок 1. Профиль крыла.

Был рассмотрен случай, когда

f(x,e)=sf(x), f'(x,s')=s2f'(x) Уравнение для <р' при этом сводится к виду:

<р\у - кг(р'„ - ИсоМг<р'х + тгМ г<р' = 0.

Условие на профиле, снесенное на ось у=О, и условие на ударной волне, снесенное на характеристику, принимают вид:

<p'y=fl+ieof' при у = О,

ср' = 0 при х = ку.

Решение данной задачи на профиле крыла найдено методом Римана

Р'М) = ■4'- + icofy^dx.

К о L к

И получена его асимптотика при малых и больших о

^'(*b»0)—rr/'(*o)»

Пользуясь интегралом Лагранжа и полученной асимптотикой, была найдена амплитуда колебаний давления на профиле крыла в следующем виде:

А = {

—/' со, <о = о\е~2)

[м v '

Следовательно, при малых а амплитуда колебаний в асимптотике пропорциональна наклону профиля и не зависит от частоты, при больших т амплитуда пропорциональна ординате профиля и частоте колебаний.

\ А

\ / 1

V __ /

\ 6 /а /

\ : V ^

—ь У

...........

....../, тг.

, —..

а б

Рисунок 2. Амплитуда колебаний давления на профиле крыла (М=2,/' (х,е')=й,\х(\-х)). На рисунке а кривая 1 соответствует значению «=0,5, кривая 2 - со= 1, кривая 3 - со=3, кривая 4 -со=5. Звездочками показана асимптотика при малых а. На рисунке б кривая 1 соответствует значению ю=3, кривая 2 - со=5, кривая 3 - ш=8, кривая 4 - со=11, кривая 5 - ю=15. Точками показана асимптотика при больших со (е>=15).

а б

Рисунок 3. Амплитуда колебаний давления на профиле крыла (М=2;/'(*,е')=0)1х(1-х); а -

а>=0,1; б - а)=1).

На рисунке 2 представлена амплитуда колебаний давления на профиле крыла для случая, когда крыло совершает колебания по закону /' (х,е')=0,1х(1-х). Также показана асимптотика при больших и малых со.

Для решения задачи в области между профилем крыла и характеристикой, уравнение для ср' с помощью замены сводилось к уравнению и^ = и. Решение

этого уравнения имеет вид

о о

где у/, (?) и (//2(/) - произвольные функции, которые бьши найдены из условий на профиле крыла и характеристике. В результате в области между профилем крыла и характеристикой получено решение

1 х-ку / .. ___\ т'^2 (т х)

<р'(х,у) = -\ | Л- + ку)" г^х - ку) - г) ](/; + ЮГ)х=т е Л.

о б

Рисунок 4. Амплитуда колебаний давления на профиле крыла (М=2;/' (х,е ")=(), 1л:(1-д:); а -

©=5; б - со=15).

На рисунках 3 и 4 представлена амплитуда колебаний давления в области между характеристикой и профилем крыла при различных а. Рисунки 2, 3 и 4 показывают, как меняется характер колебаний при переходе через критическую частоту порядка единицы.

В случае, когда потенциал скоростей имеет форму Ф = х + V (х, у) + £г(р\х, у)еш,

более высокие приближения (рй становятся сравнимыми с ср' и при этом естественно обе части задачи решать на одном уровне точности.

Подставляя выражение для Ф в известное уравнение для потенциала скоростей и допуская, что

для % получили волновое уравнение

" ,-к

2 „О

и уу " гохх ~ 0 >

для <р\ - неоднородное волновое уравнение

< - = М\{у + 1)<р°0У0а + 2$у0ху + (г-ЫУоуу) а для <р' - уравнение

<Р'уу ~ к2<р'хх ~ 2шМ2(р'х + о)гМгф = 0.

Подставляя разложения для Ф и / в условия на профиле, получили (после сноса на у = 0)

„0 г0

<Роу = Л .

«о „О f0 „0 /-о <P\y=<PüxJx -<Рйуу} .

Полагая

и подставляя в условия динамической совместности разложения для Фи/, получили

В результате после сноса условия для <р на характеристику х = ку имеем

vS(fy»y)=o,

<Р?(ку,У) = <pl(ky,y)^M4f?(0)y, 4k

<рХку,у) = 0.

Таким образом, показано, что расщепление стационарной и нестационарной задач сохраняется и на одинаковом уровне точности.

Первое приближение стационарной части задачи хорошо известно

Для <р' получили задачу, которая уже была рассмотрена ранее в этой работе. Решение задачи для $ искалось в виде суммы $ = 1р+<р, где <р - решение неоднородного волнового уравнения с нулевыми граничными условиями '<Р„-k2<p:a=M\{y + \)(pl<plxx Нг-Ы^уу)

р(*,0) = 0 Vy(x, 0) = 0

ф - решение однородного волнового уравнения с ненулевыми граничными условиями

?уу~к2ра=0

Ру(Х,0) = W>)/°(*)

т,У) = <Pl(ky,y)MA £±±fx\0)y-<p(ky,y) 4k

По известной формуле было найдено ср .

¡fx°(t-kT)f°(t-kT)dt

dt,

где 6 =

М\у+\) 2 к3 "

Решение для ¡р было получено с помощью общего решения однородного волнового уравнения. Складывая полученные для <р и <р решения и, используя результаты первого приближения, для ф\ имеем следующее выражение:

2 кг

М2/Д0) , . п

М4(у+1) 2 к3

х-ку 2к

М*{у +1) 2 к3

х+ку 2 к

х-ку

кг х+ку-кт

1т

- 1 />)/°(0-2 к1 *

йг-

4т-

{т к

Л +

х+к(у~т) х-к(у-т)

¿Т.

Во второй части работы исследуется форма колебаний гибкого профиля в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. Решается связанная задача аэроупругости. Для постановки задачи вводится модель несущей поверхности и используется модель потока, принятая в первой части.

В качестве модели крыла была рассмотрена тонкая пластина постоянной толщины. И мгновенное положение верхней и нижней поверхности колеблющегося профиля представлено в следующем виде

/в(х,1)=е+е2Г{х)е,м,

где е - малый параметр, определяющий толщину крыла-пластины. Функция, /'(*) определяет форму колебаний профиля крыла-пластины.

Уравнение поперечных колебаний пластины постоянной толщины имеет

вид

° а.4 Д -4Р(*.0.

их С1

где Л) = ¿'Л3 [12(1 — V2 - цилиндрическая жесткость, Е, V, р - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала пластины, А - толщина пластины,

- прогиб пластины, Ар(д:,/) - избыточное давление, возникающее вследствие колебаний профиля.

В наших обозначениях уравнение поперечных колебаний пластины примет следующий вид

А> ~ ра>гигеГ(х) = -РоуМ2^ +ш<р'н),

ох

Ее3

где Д, = —,----- Имея крыло со свободными концами, получим следующие

)

граничные условия

дх2 дх3

При малых ш

<РЛх,о)=^Г(Х)~Г(О).

Допустим, что /' = /о + ©/¡'+о(а>2). Тогда для /0' и /,' получим соответственно уравнения

з Ро?М2

где Ь = , -

АЛ

И граничные условия

= = о при * = 0, * = 1,

дх дх

Общее решение уравнения для /„' имеет вид

—х ГлЯ ^ /0' = С01е 2\m\^-Ьxj+C02e »'соя^й^+Сие* + См

Подставляя общее решение в граничные условия, получим

/о = 0)4

Дифференциальное уравнение для // в таком случае примет вид аналогичный уравнению для /0'. Решая его так же, как и уравнение для /0', получим

/;=с14.

В результате было получено следующее решение связанной задачи аэроупругости о колебании крыла в сверхзвуковом потоке сжимаемого газа на малых частотах

Г = С01+а>Сн. 11

При больших частотах

<р'н(х,0)=±Г(х).

Из уравнения колебаний пластины получим

Оп^^-рсо2и2^(х) = -РоуМ(/'х{х)+1фГ{х)). ох

Здесь ® = о(г~2). Функция /'(х) искалась в виде _ в первом при-

ближении из уравнения колебаний пластины получено следующее характеристическое уравнение

ри2Е

А,

Найдя корни которого, можно выписать общее решение

+ С3 (вт(</ о 4&х)+ яь(а? о С4 (эт^с/ 0 -1а>х)~ БЬ^ 0 -¿сох]},

где =:

Нг

-г-Н-г-

з:гг

дат

-:— 1—!—<......—>...

ъЫО) и

сь(с70->/®)

Из граничных условий в нуле находим, чтоС2 =С4 = 0. Из условий при х = 1

получим частотное уравнение cos(í/o*v/tí7)bh(£/oV®)= 1, определяющее частоты, при которых задача может иметь решение. На рисунке 5 точки, соответствующие пересечениям графиков cosido л/й>) и —/ * .—ч являются корнями частот-

ch[d0*J(o)

ного уравнения. Первые пять значений dü4(o, удовлетворяющих частотному уравнению, будут такими

d04a = 0; 4,730; 7,853; 10,996; 14,137. В следующем приближении из уравнения колебаний пластины получено

+4 Ú^m-dy Общее решение в этом случае имеет вид:

eos

V V г

c/¿Vfi> ,

+ ch

d04ax-i 3 ll—x d0-Jo)

+ С,

+с.

cosj da-fax-i ' x

d0Jú> )

\ /

í r sin

-ch

d04cox-i

d'Jco JJ

d04cox-i—¿

dl4á

+ Ct

sinf dü4o)x-i—~==: dQ%l(¡}

(

+sh

^ f -sh

dQ*Jax-i

dl-fa

d0-Ja)x-i /l—

d0ylG) )

где di =

YPqM 4 D. '

№ граничных условий при x = 0 получим C2 = C4 = 0. Из условий при jc = 1

уравнение eos

dü4co-i

dlü4wj

(

л ■ di

d^a)

= 1.

Так как рассматривается случай при больших а, то предыдущее уравнение можно записать следующим образом

г (

¡¡¡¡.■Ja

1 +

V u0

dx | d\ di-feo Idtcú

o VJJ

-tóoVa

j2 \

dl-Ja 2d%co/

f f Л2 A

L 2 d\m d¡4a)

ражении в:

dx~dl4m.

____¡____¿ ~7á>

2d\(o dlJco J ^

1--\—I-/—'

'4, Й7-ЮО.

В полученном вьфажении выделим вещественную и мнимую части

1-cos(</0 4со Jbh(c/0 4ю)

sin(d0 V© )sh(d0 4a)

, Ú)-> 00.

©-»•СО.

Первые три значения с1й-[а> показаны на рисунке 6.

й70Л/Й>=0; 2,36; 5,50. Соответствующие им значения с11 будут следующими:

¿,=0; 2,67с/ц; 5,47^.

Таким образом, при заданном параметре с/0 = можно определить часто-

V А»

ты, Гфи которых возникают колебания определенной формы. Кроме того, появляется условие для определения параметра сг, =——.

4Д,

Рисунок 6. Графики функций сов^л/ю^ч^-Д] и -вт^л/ю).

сЬЦ, V©/

Заключение. В работе рассмотрена задача о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. В первой части исследуется аэродинамика колебаний крыла.

Показано как методом Римана, не прибегая к общему решению, может быть найдено решение на профиле крыла, поскольку для решения связанной аэроупругой задачи будет достаточно этого решения. Внутри потока, между характеристикой и профилем решение найдено, используя общее решение телеграфного уравнения. Показана также возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности. Для стационарной задачи во втором приближении было получено неоднородное волновое уравнение с ненулевыми граничными условиями и найдено его аналитическое решение. С помощью интеграла Лагранжа найдено аэродинамическое давление и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

Во второй части работы рассмотрена связанная аэроупругая задача о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Для постановки задачи вводится модель несущей поверхности такая же как в и используется модель потока, принятая в первой части. Опираясь на результаты первой части работы, из системы уравнений связанной аэроупругой задачи получено интегродифференциальное уравнение и его асимптотическое решение на малых и больших частотах. Оказалось, что на малых частотах функция, характеризующая форму колебаний, не зависит от упругих свойств крыла. При больших частотах появились частотные уравнения, определяющие частоты, при которых существует ненулевое решение задачи.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Международн. конфер. «Пятые Окуневские чтения». 26-30 июня 2006 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов / БГТУ - СПб, 2006. с.36.

2. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа // XXI Всероссийская конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006». 5-10 июля 2006 г., Санкт-Петербург, Тезисы докладов с. 12.

3. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Дальневосточный Математический Журнал. Том 7. № 1-2. Владивосток Дальнаука 2007. с.30-34.

4. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Международн. конфер. «Пятые Окуневские Чтения». 26-30 июня 2006 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов Том II СПб.: БГТУ, 2007. с.26-31.

5. Арсентьев Т. П. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер 1, вып. 4,2007. с.100-107.

6. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Аэродинамика колебаний крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике, посвященный 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера. 5-7

февраля 2008 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов СПб.: Санкт-Петербургский Государственный Университет, 2008 с.96.

7. Арсентьев Т.П., Асимптотика колебаний упругого крыла в сверхзвуковом потоке на малых и больших частотах. // Международн. конфер. «Шестые Окуневские Чтения». 23-27 июня 2008 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов Том I СПб.: БГТУ, 2008. с.26-30.

8. Arsent'ev Т. P., Barantsev R. G. The account of second terms in steady solution of the wing oscillation problem in supersonic gas flow. // 6th European Nonlinear Dynamics Conference, june30-july4, 2008, Saint-Petersburg, Russia. http://lib.phvscon.ru/?item=l 534

Подписано в печать 26.12.2008 Объем: 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 152 Отпечатано в типографии ООО «КОПИ-Р» Санкт - Петербург, пер. Гривцова 1 Лицензия ПЛД № 69-338 от 12.02.99г

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Арсентьев, Тимофей Петрович

Введение.

1. Аэродинамика колебаний крыла.

1.1. Постановка аэродинамической задачи.

1.2. Асимптотическое упрощение задачи.

1.3. Аналитическое решение задачи.

1.3.1. Решение нестационарной задачи на профиле крыла.

1.3.2. Решение нестационарной задачи внутри потока.

1.3.3. Второе приближение стационарной части задачи.

1.4. Определение аэродинамического давления и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

2. Колебания упругого крыла.

2.1. Модель несущей поверхности.

2.2. Постановка связанной аэроупругой задачи.

2.3. Асимптотическое решение.

2.3.1. Решение при малых частотах.

2.3.2. Решение при больших частотах.

Введение диссертация по механике, на тему "Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа"

Настоящая работа посвящена изучению колебаний крыла, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Колебания инженерных сооружений, элементов летательных аппаратов (крылья, оперения), тонкостенных элементов конструкций, происходящие при их взаимодействии с потоком газа, принято обозначать единым термином «флаттер» (от английского «flutter» - трепетать) [1].

Некоторые типы колебаний крыльев самолета и рулевых поверхностей наблюдались с первых дней полета самолета. Для того чтобы описать физическое явление, рассмотрим свободнонесущее нестреловидное крыло без элерона, смонтированное под малым углом в аэродинамической трубе и жестко закрепленное у корня. Когда поток воздуха в аэродинамической трубе отсутствует и модель возбуждается, например, толчком с помощью тяги, то возникает колебание, которое потом постепенно затухает. При постепенном увеличении скорости потока в трубе скорость затухания колебания возбужденного профиля сначала увеличивается. Однако по мере дальнейшего увеличения скорости достигается такой момент, когда скорость затухания быстро уменьшается. При критической скорости флаттера колебание может продолжаться с постоянной амплитудой. При скоростях потока несколько превышающих критическую, небольшое случайное возмущение профиля может служить толчком к возникновению очень сильного колебания [2]. Такие колебания даже если и не приведут к разрушению крыла и крушению самолета, то могут существенно ухудшить управляемость.

В ранние периоды развития авиации устойчивость конструкции относительно флаттера могла быть достигнута за счет незначительных изменений конструкции и за счет незначительного увеличения веса [2]. Новая тенденция к оптимальной конструкции самолетов с высокими летными качествами создает совершенно иную картину. Обычно желают создать самолет с минимальным весом, должным образом соответствующий заданным проектным требованиям (нагрузка, геометрия и т. п.). Эти и другие проблемы, связанные 3 с развитием авиации, остаются актуальными и по сегодняшний день. И дальнейшее развитие авиации влечет за собой дальнейшие исследования задач, связанных с флаттером.

Самые первые исследования флаттера были, по-видимому, проведены Ланчестером [3], Бэрстоу и Фейджем в 1916 г. в связи с антисимметричным (кручением фюзеляжа и кручением руля высоты) флаттером на бомбардировщике Хэндли-Пейдж. Блазиус [4] в 1918 г. после поломки нижнего крыла биплана Альбатрос ЮЗ произвел некоторые расчеты. Однако настоящее развитие исследования флаттера должно было ожидать развитии нестационарной теории крыла, основание которой было заложено Кутта и Жуковским в период от 1902 до 1906 г. Первый численный расчет аэродинамической силы, действующей на гармонически колеблющуюся тонкую пластинку в двумерном потоке, был дан 20 лет позднее, в 1922 г., Бирнбаумом в его диссертации в Геттингене. Хорошо известно, что создание теории присоединенных вихрей Прандтля было завершено в 1918 г. и Аккерман применил ее к вычислению подъемной силы крыла при установившемся движении. По предложению Прандтля Бирнбаум обобщил метод Аккермана на неустановившееся движение крыльев [5, 6]. Он получил численные результаты вплоть до приведенной частоты к = 0,12 (к = ~, со - частота колебаний, / - характерный размер тела, С/ - скорость набегающего потока).

Приблизительно в то же время Вагнер [7] исследовал аэродинамические силы, действующие на тело, которое внезапно из положения покоя начинает двигаться с постоянной скоростью и. Был исследован также случай внезапного изменения угла атаки.

Следующий заметный шаг был сделан в 1929 г. В этом году Глауэрт опубликовал данные [8, 9] относительно силы и момента, действующих на произвольно движущееся цилиндрическое тело, и аэродинамических коэффициентов колеблющегося крыла вплоть до к = 0,5. Вычисление основывалось на методе Вагнера. В том же году Кюсснер [10] обобщил метод Бирнбаума для того, чтобы вычислить аэродинамические коэффициенты до к — 1,5.

В 1934 г. было опубликовано также точное решение Теодорсена [11] для гармонически колеблющегося крыла с закрылком; диапазон к при этом был неограничен. До 1934 г. было зарегистрировано несколько случаев флаттера. В то время флаттер имел место только на крыльях самолета. В большинстве из этих случаев основную роль играли массовая неуравновешенность элерона и малая жесткость крыла на кручение.

В 1929 г. Кюсснер разъяснил в теории флаттера много основных положений: исключение координаты времени, замена конфигурации крыла простой балкой, решение результирующей системы дифференциальных уравнений с помощью метода итераций, представление внутреннего демпфирования в виде запаздывания по фазе в упругой восстанавливающей силе и т. п. С другой стороны. Данкан и Фрейзер [12, 10] (1928 г.) измерили флаттерные производные в аэродинамической трубе и ввели понятие полужесткости и матричные методы. Простые правила предотвращения флаттера были выведены из статистических исследований в Германии (Кюсснер) и в Англии (Роксби, Кокс) [13].

С 1931 по 1937 г. благодаря гонке вооружений великих держав оживилось создание новых типов самолетов. Проблема двумерного флаттера крыла с двумя степенями свободы не представляла больше никакой трудности. Были созданы методы, позволяющие быстро получить решение задачи (например, практический метод Кюсснера и Фингадо [14]). Удовлетворительно исследовались двумерные задачи с тремя степенями свободы (крылья с закрылками). Для трехмерного крыла вместе с аэродинамической теорией «несущей полосы» был использован метод Галеркина. Кроме того, теория была подтверждена испытаниями флаттерных моделей в аэродинамических трубах, по крайней мере, для того диапазона скоростей, в котором воздух можно считать несжимаемым, и для крыльев умеренного удлинения.

В технике обычным делом стали испытания на колебания на земле. Были введены критерии жесткости, которые оказались удовлетворительными с точки зрения безопасности.

До 1938 г. предполагалось, что проблему флаттера можно разрешить с помощью летных испытаний. К сожалению, в феврале 1938 г. в процессе хорошо спланированного летного испытания четырехмоторный самолет Юнкере 1и 90 VI разрушился, и все исследователи, находившиеся на борту, погибли. Со времени этой катастрофы стало очевидным, что присущие летному испытанию трудности и риск довольно велики. Оно является только одним из многих средств исследования и оправдывается, если только характеристики флаттера исследуются перед опытом и приблизительно известны те опасные режимы, которые должны наблюдаться.

Это положение привело к усилению роли теоретического анализа. С развитием многомоторных самолетов, двойных килей, вспомогательных рулевых поверхностей и т. п. двумерный анализ должен был уступить место более сложному трехмерному анализу, а исследование флаттера становится все более и более специальной областью научного исследования. Динамика самолета, которая до сих пор считалась весьма отдаленно связанной с аэроуп-ругостъю, теперь оказалась тесно связанной с флаттером и другими задачами аэроупругости.

Аэроупругость изучает влияние аэродинамических сил на упругие тела. В большинстве важных задач аэроупругости аэродинамические силы очень сильно зависят от положения тела относительно потока. Упругая деформация играет важную роль в определении самой внешней нагрузки. Величина аэродинамической силы неизвестна до тех пор, пока не определена упругая деформация. Поэтому в общем случае внешняя нагрузка неизвестна до тех пор, пока не решена задача. В аэроупругости одновременно применяются методы, разработанные как в гидроаэромеханике, так и в механике деформируемого твердого тела.

Среди задач об аэроупругих колебаниях крыла встречаются такие, где в качестве модели крыла используется балка или пластина. В уравнения механики деформированного твердого тела, характеризующие колебания балок и пластин, обычно входит нагрузка, под воздействием которой происходят колебания. При аэроупругих колебаниях крыла для определения этих нагрузок используются аэродинамические силы, формулы для которых получаются в результате решения аэродинамических задач. В формулы для аэродинамических сил входят параметры, характеризующие колебание. Таким образом, через эти параметры связываются уравнения механики деформированного твердого тела и аэродинамики. И эти же параметры находятся в результате решения связанной аэроупругой задачи.

Исследованиям в области аэродинамики колебаний крыла посвящено много публикаций. Из монографий можно отметить книгу Д. У. Майлса [15], в которой приведен обзор применения методов теории потенциальных течений идеальной жидкости, для определения аэродинамических сил, действующих на тонкие крылья и удлиненные тела, совершающие нестационарное движение в однородном сверхзвуковом потоке. Ряд приводимых в [15] результатов принадлежит автору, однако последний стремился охватить всю литературу, доступную к моменту написания книги.

Следует отметить результаты Е. А Красильщиковой, развившей в 1947 году эффективный метод расчета сверхзвукового обтекания тонкого крыла произвольной формы в плане как при установившемся движении, так и при гармонических колебаниях [16, 17]. В дальнейшем ею было дано обобщение метода на случай более общей зависимости от времени [18].

Также можно отметить несколько работ [19-24], посвященных нестационарным движениям профиля в плоском потоке, в которых решаются, в основном, задачи, когда параметры, характеризующие движение крыла как твердого тела, считаются заданными функциями времени.

В современной работе [25] рассмотрено нестационарное колебательное движение крыла с конечными амплитудами. Предложено несколько моделей законов изменения гибкого крыла для обеспечения гладкого схода следа с задней кромки. Найдены выражения для циркуляции и сил и произведены численные расчеты для одной из моделей профиля крыла.

В работе [26] предложена модифицированная расчетная схема метода дискретных вихрей для решения задач нестационарного обтекания деформируемого крыла. Для реализации предложенной расчетной схемы составлена программа, позволяющая определять как распределенные, так и суммарные нестационарные аэродинамические характеристики несущей поверхности простой формы в плане при различных законах деформации. Численные эксперименты проведены для машущего крыла (когда безразмерная вертикальная координата точек крыла изменяется по гармоническому закону с амплитудой, пропорциональной квадрату их поперечной координаты) и машущего крыла с подкручиванием.

В области аэроупругости можно отметить книгу Фына [2], посвященную линейной теории колебаний различных элементов конструкции самолета, подверженных действию аэродинамических сил, в до и сверхзвуковом потоке. В монографии [27] рассмотрено поведение тонкостенных конструкций типа оболочек и пластинок при воздействии на них потока газа.

Нередко в литературе о связанных аэроупругих задачах встречаются задачи об изгибно-крутильных колебаниях крыла [28-33]. В таких задачах обычно пренебрегают деформацией крыла вдоль хорды. Однако имеется другой тип флаттера, в котором главную роль играет деформация вдоль хорды. Например, в монографии [34], посвященной проблемам, связанным с изучением и построением переходных процессов при движении гибкого профиля в несжимаемом и сжимаемом потоках, крыло моделируется бесконечной по размаху гибкой тонкой пластиной. И основное внимание в [34], таким образом, сосредоточено на исследовании деформации вдоль хорды крыла-пластины.

В 1956 г. появились работы [35] и [36], где для исследования флаттера пластин предлагалась «поршневая теория» — связь давления, действующего на колеблющуюся пластину, и прогиба в виде где р0, а0 и0 — невозмущенные плотность, скорость звука и скорость течения газа, р и "И> — возмущения давления и прогиба. Это выражение сводит уравнение движения пластины к уравнению в частных производных, которое легче для исследования, чем точное интегродифференциальное уравнение. Поршневая теория получена как предел точной связи давления и прогиба при больших числах Маха, однако исследования показывают, что она дает приемлемую точность уже при М> 1,7 [37].

В 50-х годах XX в. задача о флаттере пластины в поршневой постановке была в значительной степени исследована А. А. Мовчаном [38, 39]. Дальнейшее развитие задач о флаттере пластины нашло отражение в работах С. Д. Алгазина и И. А. Кийко [40-46]. Материалы этих работ составили основу одной из частей их совместной книги [1], в которой представлены аналитические и численные методы для исследования задач по панельному флаттеру пластин и пологих оболочек в рамках разработанных на сегодня математических моделей, рассмотрены новые постановки задач и приведены конкретные примеры.

В современной литературе встречается немало работ, в которых используется поршневая теория [47-60]. Среди работ, в которых обсуждается более строгий подход к определению давления аэродинамического взаимодействия следует, прежде всего, отметить статьи [61-65].

Из работ последнего времени по исследованию флаттера пластин в рамках непоршневой теории можно отметить монографию [1], в которой приведены новые постановки задач флаттера с использованием выражения для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющего формулу поршневой теории. Некоторые уточнения поршневой теории рассмотрены в работах [66], [67], [68] и [69].

Следует отметить упомянутую выше работу Б. А. Ершова [34] в которой находится потенциал возмущенных скоростей для случая произвольных прогибов профиля. При этом используется метод [70-74], отличающийся от метода Е. А. Красилыциковой. Найденный потенциал через интеграл Лагранжа-Коши определяет давление аэродинамического взаимодействия. И для определения прогиба профиля решается интегродифференциальное уравнение.

В работе [75] для давления аэродинамического взаимодействия используется модель, предложенная в [76] без учета интегральных слагаемых.

У В. В. Веденеева в [77] рассмотрен флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы в сверхзвуковом потоке газа. Собственные формы колебаний пластины строились в виде суперпозиции бегущих по безграничной пластине волн вида удовлетворяющей граничным условиям на кромках, а давление газа считалось суперпозицией давлений действующих на эти волны. Здесь к - волновое число, со - частота возмущетериала пластины. В работе [78] для оценки ширины пластин, к которым применимы результаты [77] используется интегро-дифференциальное уравнение движения пластины, обтекаемой потоком газа. Также следует отметить работу [79] в которую вошли результаты [77] и [78].

Целью настоящей работы является постановка и решение задач, связанных с процессом колебания крыла в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. А именно, исследование аэродинамической задачи и применение полученных в аэродинамике результатов для нахождения асимпто ния, М - число Маха, р, = р/ рт, где р - плотность газа, рт - плотность матического решения связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

Новизна работы. Найдено аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа с помощью метода Римана и общего решения телеграфного уравнения. Также найдено второе приближение стационарной части задачи. Получено асимптотическое решение аэроупругой задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа при малых и больших частотах на основе результатов, найденных при решении аэродинамической задачи.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [81-88]. Работа [85] опубликована в рецензируемом научном журнале «Вестник Санкт-Петербургского Университета», входящем в перечень ВАК.

В работах [83, 84] соавтору принадлежит постановка аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Также соавтором предложен метод Римана для решения задачи на профиле крыла. Диссертантом решена задача на профиле крыла методом, предложенным соавтором и произведен расчет амплитуды колебаний давления на профиле крыла при переходе через критическую частоту. Асимптотика, найденного решения и асимптотика колебаний давления на профиле крыла принадлежит обоим авторам.

В работе [88] соавтором показана возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности, получено уравнение и граничные условия во втором приближении стационарной задачи. Диссертантом получено аналитическое решение стационарной задачи во втором приближении.

Вклад соавторов в подготовку докладов и материалов для конференций (см. [81, 82, 86]) такой же, как и в [83, 84, 88].

Структура работы. Работа состоит из двух частей, содержит введение, заключение и список литературы, состоящий из 94 наименований. В первой части исследуется аэродинамика процесса колебаний крыла. Известное уравнение для потенциала упрощается на основе порядков возмущенных величин, найденных по методу порядковых уравнений. Найден потенциал скоростей на профиле крыла методом Римана. Для решения задачи внутри потока, между характеристикой и профилем крыла используется общее решение. Рассмотрено второе приближение стационарной задачи. Найдено аэродинамическое давление и его асимптотика при малых и больших частотах.

Во второй части рассмотрена связанная аэроупругая задача. Модель крыла, так же как и в [34], представлена гибкой пластиной бесконечной по размаху и постоянной толщины. При постановке связанной задачи для определения давления аэродинамического взаимодействия используются результаты, полученные в первой части диссертации. Асимптотическое упрощение интегродифференциального уравнения происходит за счет рассмотрения задачи на разных интервалах частот.

Общий объем работы составляет 59 страниц текста и 10 иллюстраций. Основные результаты, выносимые на защиту.

• Аналитическое решение на профиле крыла аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, полученное методом Римана.

• Аналитическое решение в области между профилем крыла и характеристикой аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, найденное с помощью общего решения телеграфного уравнения.

• Второе приближение стационарной задачи.

• Асимптотическое решение связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Заключение

В работе рассмотрена задача о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. В первой части исследуется аэродинамика колебаний крыла. Показано как методом Римана, не прибегая к общему решению, может быть найдено решение на профиле крыла, поскольку для решения связанной аэроупругой задачи будет достаточно этого решения. Внутри потока, между характеристикой и профилем решение найдено, используя общее решение телеграфного уравнения. Показана также возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности. Для стационарной задачи во втором приближении было получено неоднородное волновое уравнение с ненулевыми граничными условиями и найдено его аналитическое решение. С помощью интеграла Лагранжа найдено аэродинамическое давление и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

Во второй части работы рассмотрена связанная аэроупругая задача о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Для постановки задачи вводится модель несущей поверхности такая же как в [34] и используется модель потока, принятая в первой части. Опираясь на результаты первой части работы, из системы уравнений связанной аэроупругой задачи получено интегродиф-ференциальное уравнение и его асимптотическое решение на малых и больших частотах. Оказалось, что на малых частотах функция, характеризующая форму колебаний, не зависит от упругих свойств крыла. При больших частотах появились частотные уравнения, определяющие частоты, при которых существует ненулевое решение задачи.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Арсентьев, Тимофей Петрович, Санкт-Петербург

1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. - 348 е.: ил.

2. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 523 с.

3. Lanchester F. W., Torsional Vibration of the Tail of an Aeroplane, Aeronaut. Research Com. R. & M. 276, part i (July 1916).

4. Blasius H., Über Schwingungserscheinungen an Einholmigen Unterflügeln. Z. Flugtech. u. Motorluftschif 16, 39—42 (1925).

5. Birnbaum W., Die tragende Wirbelfläche als Hilfsmittel zur Behandlung des ebenen Problems der Tragflügeltheorie, Z. angew Math. u. Mech. 3, 290— 297 (1923).

6. Birnbaum W., Das ebene Problem des schlagenden Flügels, Z. angew. Math, u. Mech. 4, 277—292 (1924).

7. Wagner H., Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Traglügeln, Z. angew. Math, u Mech. 5,17—35 (1925).

8. Glauert H., The Accelerated Motion of a Cylindrical Body through a Fluid, Aeronaut. Research Com. R. & M. 1215 (1929).

9. Glauert H., The Force and Moment of an Oscillating Aerofoil, Aeronaut. Research Com. R. & M. 1242 (1929).

10. Küssner H. F., Scmingungen von Flugzeugflügeln, Luflfahrt-Forsch. 4, 2, 41-62 (1929).

11. Theodorsen, Th., General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism of Flutter, NACA Rept. 496 (1934).

12. Frazer R. A., Duncan W. J., A Brief Survey of Wing Flutter with an Abstract of Design Recommendations, Aeronaut. Research Com. R. & M. 1155 (1928).

13. Cox, Roxbee H., A Statistical Method of Investigating the Relations between the Elastic Stiffness of Aeroplane Wings and Wing-Aileron Flutter, Aeronaut. Research Com. R. &M. 1505 (1932).

14. Kassner R., Fingado H., The Two-Dimensional Problem of Wing Vibration J. Roy. Aeronaut. Soc. 41, 921—944 (1937). Перевод из Luftfahrt-Forsch. 13, 374—387 (1936).

15. Майлс Дж. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963, 272 с.

16. Красилыцикова Е. А. ДАН СССР, т. VI, № 6,1947

17. Красилыцикова Е. А. ДАН СССР, т. VIII, № 4, 5, 6, 1947

18. Красилыцикова Е. А. ДАН СССР, т. XXII, № 1, 1950

19. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. М., 1949. 480 с.

20. Келдыш М. В. Избранные труды. Механика. М., 1985. 567 с.

21. Красилыцикова Е. А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М., 1986. 286 с.

22. Некрасов А. И. Теория крыла в нестационарном потоке. М., 1947. 258 с.

23. Поляхов Н. Н. Избранные труды. Аэрогидродинамика. СПб. 1997. 379 с.

24. Седов JI. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М. 1980. 448 с.

25. Кабальнов Ю. С., Уразаева JI. Ю. Математическое моделирование колебательных движений крыла с гибким профилем // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета, 7 (2006), 2, 36-43

26. Ляскин А. С. Шахов В. Г. Метод расчета аэродинамических характеристик деформируемого крыла // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2000), 4 (зима), 15-17

27. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости), монография. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976.

28. Байрамов Ф. Д., Сафронов М. Ю. Устойчивость изгибно-крутильных колебаний упругого крыла с подвешенным к нему двигателем // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2001), 4 (зима), 2933

29. Байрамов Ф. Д., Сафронов М. Ю. Стабилизация изгибно-крутильных колебаний упругого крыла // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2002), 1 (весна), 20-23

30. Liu L., Dowell Е. Н. The secondary bifurcation of an aeroelastic airfoil motion: effect of high harmonics //Nonlinear Dyn. — 2004. 37, № 1. 31-49.

31. Thompson D. E., Strganac T. W. // Nonlinear Dyn. 2005. - 39, № 1-2. 159178.

32. Kwon O. J., Oh W. S., Jo K. W. Numerical simulation of fluid-structure interaction under two-dimensional BVI // J. Amer. Helicopt. Soc. 2004. 49, № 2. 212-217

33. Ершов Б. А. Переходные процессы в связанных задачах гидроаэроупру-гости. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. 164 с.

34. Ильюшин А. А., Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

35. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory — new aerodynamic tool for the aeroe-lastician // Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. V. 23. №. 12. P. 11091118.

36. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.; Физматгиз. 1961. 339 с.

37. Мовчан А. А. Устойчивость лопатки движущейся в газе // ПММ 1957. Т. 21, вып. 5. С. 700-706.

38. Мовчан А. А. Об устойчивости панели движущейся в газе // ПММ 1957. Т. 21, вып. 2. С. 231-243.

39. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численно-аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // прикл. математика и механика 1997. Т. 60, вып. 1. С. 171-174.

40. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера // Изв. РАН МТТ 1999. № 1. С. 170176.

41. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Вычислительный эксперимент в задаче о флаттере пластины произвольной формы в плане // Вест. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. 1999. № 6. С. 62-64.

42. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численные алгоритмы классической матфи-зики. П1. Флаттер пластины произвольной формы в плане М., 2001. 27 с. (Препр. ИПмех РАН, № 684).

43. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Новые постановки задач панельного флаттера // УП1 Всерос. Съезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 23-25 авг., 2001: Аннот. Докл Екатеринбург: Изд-во УрО РАН; Пермь: Ин-т механики сплош. сред УрО РАН 2001. С. 31.

44. Алгазин С. Д., Кийко И. А. О флаттере пластины // Докл. РАН. 2002. Т. 383, № 3. С. 343-345.

45. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ЖПМТФ. 2003. Т. 44, № 4. С. 35-42.

46. Cheng G., Mei С., Chen R. R. Methodology for supersonic panel flutter analysis of thermal protection system seals // J. Aircraft. 2001. - 38, № 6. -P. 1025-1031

47. Moon S. H., Kim S. J. Active and passive suppressions of nonlinear panel flutter using finite element method // AIAA Journal : American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2001. - 39, № 11. - P. 2042-2050.

48. Shiau Le-Chung, Wu Teng-Yuan Nonlinear flutter of laminated plates with in-plane force and transverse shear effects // Mech. Struct, and Mach. : An International Journal. 2001. - 29, № 1. - P. 121-142.

49. Udrescu R., Surace G. Enhanced aeroelastic analysis of panels under transitory hypersonic flow conditions I I AIAA Journal : American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2000. - 38, № 5. - P. 755-761.

50. Koo Kyo-Nam, Hwang Woo-Seok Effects of hysteretic and aerodynamic damping on supersonic panel flutter of composite plates // J. Sound and Vibr.- 2004. 273, № 3. - P. 569-583.

51. Худаяров Б. А. Расчет на флаттер вязкоупругих трехслойных пластин // Вычисл. технол. 2004. - 9, № 3. - С. 104-107.

52. Pourtakdoust S. Н., Fazelzadeh S. A. Chaotic analysis of nonlinear viscoelas-tic panel flutter in supersonic flow // Nonlinear Dyn. 2003. - 32, № 4. - P. 387-404.

53. Potapov V. D. Stability of elastic and viscoelastic plates in a gas flow taking into account shear strains // J. Sound and Vibr. 2004. - 276, № 3-5. - P. 615626.

54. Худаяров Б. А. Численное исследование нелинейного флаттера вязкоупругих пластин // Прикл. мех. : Международный научный журнал. 2005.- 41, № 5. С. 91-96.

55. Худаяров Б. А. Алгоритмизация задачи о флаттере вязкоупругих трехслойных оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа // Вычисл. технол. 2005. - 10, № 4. - С. 111-117.

56. Epureanu В. I., Tang L. S., Pai'doussis М. P. Coherent structures and their influence on the dynamics of aeroelastic panels // Int. J. Non-Linear Mech. -2004. 39, № 6. - P. 977-991.

57. Tadi M. Compensator design for a supersonic panel flutter // Comput. and Struct. : An International Journal. 2002. - 80, № 11. - P. 989-999.

58. Mortara S. A., Slater X, Beran P. Analysis of nonlinear aeroelastic panel response using proper orthogonal decomposition // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 2004. - 126, № 3. - P. 416-421.

59. Hirano Y., Todoroki A. Stacking-sequence optimization of composite delta wing to improve flutter limit using fractal branch and bound method // JSME Int. J. A. 2005. - 48, № 2. - P. 65-72.

60. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA. 1946. Report № 846. 251. P

61. Nelson H.C., Cunningham HJ. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. Report № 1280. 24p.

62. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании//Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

63. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек //Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 11. М. 1978. С. 67-122.

64. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. 2005. - 11, № 3. - С. 99-102.

65. Белубекян В. М., Минасян М. М. О нелинейном флаттере пластин в сверхзвуковом потоке газа // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1999. - 52, № 4. - С. 38-45.

66. Cheng Guangfeng, Mei Chuh Finite element modal formulation for hypersonic panel flutter analysis with thermal effects // AIAA Journal. 2004. - 42, № 4. - C. 687-695.

67. Epureanu Bogdan I., Yin Shih-Hsun, Derriso Mark M. Attractor-based damage detection in a plate subjected to supersonic flows // (3 Conference on

68. Health Monitoring and Smart Nondestructive Evaluation of Structural and Biological Systems, San Diego, Calif., 15-17 March, 2004) Proc. SPIE. -2004. 5394. - C. 340-350.

69. Ершов Б. А. Связанная задача о колебании гибкого крыла в сжимаемом потоке // Веста. Ленингр. Ун-та. 1984. № 7 С. 91-93.

70. Ершов Б. А. Движение гибкого крыла со сверхзвуковой скоростью при действии случайного порыва //Вестн. Ленингр. Ун-та. Сер. 1. 1985. № 1. С. 59-63.

71. Ершов Б. А. Неустановившееся движение гибкого крыла бесконечного размаха в сжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №9. С. 1646-1648.

72. Ершов Б. А. Неустановившееся движение крыла при действии вертикального порыва // Вестн. Ленингр. Ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 3. С. 100102.

73. Ершов Б. А. Движение механизированного крыла в сверхзвуковом потоке //Вестн. Ленингр. Ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 4. С. 14-16.

74. Показеев В. В. Флаттер упругой или вязкоупругой пластины в непоршневой теории колебаний // Проблемы машиностроения и автоматизации, № 1 2008. С. 77-80.

75. Кийко И. Л., Показеев В. В., Кадыров А. К постановке задач об аэроупругих колебаниях пластины // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 91-97.

76. Веденеев В. В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. МЖГ. 2005. №5. С. 155-169.

77. Веденеев В.В. О высокочастотном флаттере пластины//Известия РАН. МЖГ. 2006. №2. С. 163-172.

78. Веденеев В.В. Колебания и устойчивость упругих пластин в сверхзвуковом потоке газа: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. М: РГБ, 2006.

79. Еругин Н. П. Функционально-инвариантные решения уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. // Ученые записки ЛГУ, сер. матем., в. 16,1949.

80. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Международн. конфер. «Пятые Окуневские чтения». 26-30 июня 2006 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов / БГТУ СПб, 2006. с.36.

81. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа // XXI Всероссийская конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006». 5-10 июля 2006 г., Санкт-Петербург, Тезисы докладов с. 12.

82. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Дальневосточный Математический Журнал. Том 7. № 1-2. Владивосток Дальнаука 2007. с.30-34.

83. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Международн. конфер. «Пятые Окуневские Чтения». 26-30 июня 2006 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов Том II СПб.: БГТУ, 2007. с.26-31.

84. Арсентьев Т. П. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер 1, вып. 4, 2007. с. 100-107.

85. Арсентьев Т.П., Асимптотика колебаний упругого крыла в сверхзвуковом потоке на малых и больших частотах. // Международн. конфер. «Шестые Окуневские Чтения». 23-27 июня 2008 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов Том I СПб.: БГТУ, 2008. с.26-30.

86. Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич J1 И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Едиториал УРСС, 2004, 304 с.

87. Баранцев Р. Г. Влияние критических частот на постановку задачи о колебании тонкого крыла в потоке газа 11 Дальневосточный математический журнал, 2004, т. 5, № 1, с. 226-230.

88. Кошляков Н. С. Глинер Э. Б. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962, с. 45-55.

89. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962,1100 с.

90. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т. 2. Изд. 21, 655 с.

91. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд. ЛГУ, 1978, 296 с.V