Устойчивость консольно защемленной неоднородной пластинки в сверхзвуковом потоке газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Исаулова Татьяна Николаевна

устойчивость коисольно защемленной неоднородной пластинки в сверхзвуковом потоке газа

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула - 2009

1 о ДЕК 2009

003487510

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государств енный университет».

Научный руководитель-доктор физико-математических наук, доцент

Лавит Игорь Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кийко Игорь Анатольевич

Ведущая организация: Орловский государственны¡1 технический университет

Защита диссертации состоится (¿/_» декабря 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, Тула, просп. Ленина, 92 (12303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « -/У» ноября 2009 г.

доктор технических наук, профессор

Дунаев Валерий Александрович

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

общая характеристика работы

Актуальность темы

При проектировании самолетов и ракет -задачи аэродинамики решаются обычно в предположении, что поверхность, обтекаемая воздушным потоком, является поверхностью абсолютно твердого тела. Это предположение, однако, не всегда приемлемо. Такие части конструкции, как элементы обшивки, крылья и т.п., обладают подчас сравнительно малой жесткостью и могут, при определенных условиях, заметно деформироваться под воздействием потока. Опыт показывает, что при скорости обтекания, меньшей некоторой критической величины, деформации обтекаемой поверхности пренебрежимо малы и практически не влияют на аэродинамические и прочностные характеристики летательного аппарата. При достижении критической скорости взаимодействие деформируемой обтекаемой поверхности с потоком приводит или к резкому возрастанию деформации обтекаемой поверхности в квазистатическом режиме, или к возникновению колебаний с нарастающей амплитудой. Оба эти явления представляют собой потерю устойчивости. То, что происходит в первом случае, называется дивергенцией, во втором -флаттером. И дивергенция, и флаттер встречались в практике авиа- и ракетостроения. Их последствия - разрушение или резкое снижение управляемости - послужили причинами ряда катастроф. Поэтому, начиная с конца 20-х годов прошлого столетия, ведется интенсивное теоретическое изучение дивергенции и флаттера. Эти явления стали предметом исследования аэроупругости - раздела механики сплошной среды, возникшей на стыке механики жидкости и газа и механики деформируемого твердого тела.

Задачу об устойчивости можно рассматривать как в линейной, так и в нелинейной постановке. При этом используются как статический, позволяющий найти только критическую скорость дивергенции, так и динамический подходы к решению задачи. При динамическом подходе в линейной постановке, использованном, в частности, и в настоящей диссертации, исследуется динамическая реакция системы на бесконечно малое возмущение - колебания с бесконечно малой амплитудой. Если при этом амплитуда колебаний будет со временем возрастать (в линейной постановке - до бесконечности), то имеет место неустойчивый режим колебаний. Критическая скорость набегающего потока определяется как скорость, при достижении которой появляется возможность неустойчивого режима. Дивергенция в данном подходе формально рассматривается как частный случай флаттера, соответствующий колебаниям с нулевой частотой.

В расчетах на флаттер крыло часто рассматривается как стержень, совершающий изгибные п крутильные колебания. Такая расчетная схема уместна при анализе крыла большого удлинения. Однако для расчета крыльев малого удлинения естественно рассматривать крыло как консольно

защемленную пластинку-. При этом задача резко усложняется. Ее решение было предметом ряда исследований, в том числе и настоящей диссертации.

На незащемленной части контура пластинки, моделирующей крыло, выполняются граничные условия свободного края - отсутствие моментов и перерезывающих сил. Эти условия весьма сложны, поэтому аналитическое решение задачи (для получения аналитического решения используется метод разделения переменных) найти не удается. Чтобы получить решение методом Галеркина, необходимо построить систему координатных функций, которые удовлетворяют всем граничным условиям, в том числе и на свободной части контура. Отметим, что эта система должна быть полной. Примеры построения такой системы (у контура пластинки, схематизирующей крыло, три свободных участка) неизвестны.

Задачу удается решить благодаря предложенному С.Г. Михлиным видоизменению метода Галеркина для естественных ( динамических) граничных условий. Видоизмененный метод Галеркина формально не отличается от метода Ригца или его разновидности - метода конечных элементов. Ограничения на координатные функции в методе Рнтца менее жесткие, чем в методе Галеркина: достаточно, чтобы они удовлетворяли лишь существенным (кинематическим) граничным условиям. Применительно к консольно защемленной пластинке это означает, что координатные функции должны удовлетворять лишь условиям защемления. Полную систему таких координатных функций легко построить.

Этим методом рядом исследователей решены различные задачи об устойчивости консольно защемленных пластинок в потоке газа. Но, как это обычно бываег для сложных численных методов, видоизмененный метод Галеркина может использоваться в различных формах. Различия в данном случае обусловлены выбором координатных функций. Среди предшествующих исследований можно встретить и неполную систему координатных функций, и несогласованные конечные элементы, что ставит под сомнение достоверность полученных результатов. Но даже корректно проведенные исследования дают возможность рассчитывать критическую скорость лишь для пластинок постоянной толщины, защемленных по всей корневой хорде. Теоретических исследований устойчивости неоднородных пластинок, защемленных по части длины корневой хорды, до настоящего времени не проводилось. Однако крылья и стабилизаторы, чьей моделью является в данном случае пластинка, как правило, неоднородны. Кроме того, часто встречаются конструкции, в которых крыло или стабилизатор прикреплены к фюзеляжу не по всей длине корневой хорды. Проблему их устойчивости приходится решать исключительно экспериментально. Поэтому разработка теоретического метода исследования устойчивости таких пластинок, чему посвящена настоящая диссертация, представляется актуальной задачей. Актуальность темы диссертации также и в том, что изучение влияния неполного защемления и неоднородности пластинки

на ее устойчивость в потоке газа представляет несомненный научный интерес, так как вносит вклад в понимание закономерностей исследуемого процесса.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», грант №2010101032.

Цель работы

Целью настоящего исследования является разработка численного метода решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа и решение этим методом новых задач.

Научная иовиша работы

1. Разработан новый конечноэлементный метод решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

2. Исследовано влияние параметров подобия задачи на критическую скорость потока.

3. Проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными.

4. Получены решения новых задач - задач об устойчивости пластинок переменной толщины и защемленных не всей стороне.

Практическая ценность

Разработанный метод позволяет вычислить скорость потока, при достижении которой происходит потеря устойчивости процесса обтекания -возникает флаттер или дивергенция. Он может быть использован в инженерной практике и как метод поверочного расчета крыльев и стабилизаторов летательных аппаратов на устойчивость, и как метод, позволяющий определить диапазон безопасных режимов полета.

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с решениями других исследователей и экспериментальными данными.

Лпробаиия работы

Результаты исследования обсуждались на Международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2004, 2005, 2008 гг.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель - проф. A.A. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состав а ТулГУ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод численного решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

2. Решения новых задач об устойчивости пластинок в сверхзвуковом газовом потоке.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в пяти публикациях, в том числе в статье из журнала, входящего в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и заключения. Объем работы - 124 страницы, включая 27 рисунков и 14 таблиц. Списки литературы содержат 118 наименований.

Автор благодарит A.M. Белкина, указавшего на актуальность для инженерной практики задачи о флаттере частично защемленной пластинки, и Б.Ю. Кудрявцева, обратившего его внимание на исследования Г.А. Марченко и А.П. Филиппова.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирсвша цель работы. Изложены основные положения работы по разделам. Обсуждаются достоверность, научная новизна и практическая значимость исследования.

В первом разделе приведен обзор исследований, близких к теме диссертации. Задача, которз'ю нужно решить, формулируется следующим образом. На рис. 1 изображена расчетная схема пластинки, деформирование которой происходит в соответствии с теорией тонких пластинок. Деформирование пластинки описывается в декартовой системе координат хк,к = 1,2,3. Оси абсцисс и ординат лежат в плоскости пластинки (рис. 1). Геометрические характеристики пластинки в плоскости х} = 0 определяются заданием полуразмаха а, длины корневой хорды b и углов стреловидности

а,,а2. Нагрузки в плоскости пластинки равны нулю. На граничных участках контура пластинки ВС, СО и ОЛ, а также участках АЕ, ПЗ отсутствуют внешние силы и моменты (свободный край). Вдоль участка ЕР' граничного контура АВ пластинка защемлена. Поперечные усилия, приводящие к изгибу и закручиванию пластинки, представляют собой сумму инерционных нагрузок и нагрузок, обусловленных воздействием воздушного потока, обтекающего пластинку по обеим плоскостям (верхней и нижней). Скорость потока на бесконечности равна постоянной величине V и направлена вдоль оси ординат (рис. 1). Скорость V предполагается сверхзвуковой. Особенностью рассматриваемой задачи является зависимость аэродинамической нагрузки, действующей на пластинку, от величины прогиба последней. Вследствие этого режим колебаний пластинки может претерпевать не только количественные, но и качественные изменения в зависимости от значения скорости набегающего потока V. Возможен режим колебаний с нарастающей амплитудой - флаттер пластинки, являющийся результатом динамической потери устойчивости. Частным случаем рассматриваемого процесса является возрастание прогиба со временем при отсутствии колебаний (то есть случай нулевой частоты колебаний) - дивергенция пластинки. Задачей настоящего исследования является определение критической скорости набегающего воздушного потока, при превышении которой начинается флаттер или дивергенция.___

Рис. 1. Схема обтекания пластинки

Задача математического моделирования потери устойчивости пластинки в потоке газа предполагает совместное использование методов теории упругости и аэродинамики. Поэтому исследования, посвященные этой теме, удобно разделить на две группы. К первой группе относятся работы, научная новизна которых лежит в области аэродинамики. Вторая группа - работы, направленные

на совершенствование математического описания деформирования обтекаемого тела.

Задачи аэродинамики, возникающие при исследовании обтекания крыльев, очень сложны. Поток должен рассматриваться в общем случае как нестационарный и трехмерный. Влияние на его характеристики оказывают скачки уплотнения, пограничный слой и возможность его отрыва, зоны турбулентности. Поэтому вполне естественно стремление исследователей выделить наиболее существенные факторы формирования избыточного давления на обтекаемую поверхность. Наиболее простая теория, дающая приближенное описание воздействия сверхзвукового потока на обтекаемую поверхность, создана независимо A.A. Ильюшиным и Лайтхиллом. Она называется поршневой теорией, так как основана на аналогии поперечного течения газа, вызванного негоризонтальностью поверхности деформированной пластинки, и течения газа в трубе при перемещении поршня. Поршневая теория, благодаря своей простоте и ясным физическим основаниям, является основной математической моделью обтекания газовым потоком колеблющейся пластинки. В разд. 1 анализируются и другие методы, претендующие на более точное описание процесса обтекания, но все они, во-первых, значительно сложнее поршневой теории, и, во-вторых, также основаны на тех или иных специальных упрощающих предположениях. Поэтому в диссертации использована поршневая теория. Применение других, более сложных математических моделей обтекания также возможно без принципиальных изменений изложенного в диссертации метода.

Большинство исследований устойчивости пластинки при сверхзвуковом обтекании посвящено проблеме панельного флаттера - флаттера элементов обшивки летательных аппаратов. В немногочисленных работах, в которых изучалась устойчивость консольно защемленных пластинок, в частности, в исследованиях В.Г. Бунькова, Г.А. Марченко и А.П. Филиппова, В.П. Кандидова и С.С. Чеснокова, Rosettos и Tong, Sriniivasan и Babu, пластинки переменной толщины и пластинки, защемленные не по всей длине корневой хорды, не рассматривались. В некоторых работах имеются не вполне математически обоснованные выводы, что снижает достоверность полученных в них результатов. В разд. 1 обсуждается тайке предложенное С.Г. Михлиным видоизменение процесса Бубнова-Гаперкина для случая естественных краевых условий, представляющее собой, по существу, расширение возможности применения метода Ритца на задачи с несимметричным дифференциальным оператором, к классу которых относится и задача, решенная в настоящей диссертации.

Второй раздел - основной раздел диссертации - содержит описание разработанного метода расчета. Исходным соотношением математической модели является вариационное уравнение Гамильтона для деформируемого твердого тела при малых деформациях

\л \{Рйд1икЪд1ик-ъ„погйт)с1П+ \pfiu.dS =0 (1)

/, 1.« л

где г - время; - произвольные моменты времени; ик — вектор

перемещений (Л = 1,2,3); р0 - плотность материала пластинки; 3, = 3/дс -оператор дифференцирования по времени; ам, - тензор напряжений; Ет -тензор деформаций; П - объем тела; 5 - поверхность тела; рк - вектор поверхностной нагрузки; 5 - символ вариации. Выполним в первом слагаемом выражения (1) интегрирование по частям (по времени) и учтем, что в моменты времени 11г ¡2 вариации Ьик равны нулю. С использованием гипотез Кирхгофа уравнение (1) преобразуется к виду

|<Л + £>[(д1д11е + 92521у)(5,Э15и' + д2дг8н>) -

я

-(1 - у)(3131к'Э2Э26п' + д2дг^д[д^ - 2Э1Э2и'д|325и')] - dS = 0; (2)

А/2 Л/2

о= | -23; «= ¡р0сЫ3

-Л/2 1 У -Л/2

где и' = щ - прогиб пластинки, дк = д/8хк — оператор дифференцирования по координате хк; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; О -цилиндрическая жесткость пластинки; т - интенсивность массы пластинки (масса, приходящаяся на единицу площади), р}- поверхностная нагрузка.

Аэродинамическая нагрузка д, действующая на пластинку, определяется, согласно поршневой теории, следующим выражением

«7 = + уд2м>) = -2р с(д,н> + 1/Э2и') (3)

где р, р, с - соответственно давление, плотность воздуха и скорость звука на бесконечности, у - показатель адиабаты. Множитель 2 учитывает, что пластинка обтекается по обеим поверхностям. С учетом выражения (3) уравнение (2) принимает вид

'г

¡Ж ¡{(тд1д,п+2рсд,\1>)8п+ 0[(д1д1м + дгд1п)(д1д1Ьп + дгд,&у)-

,, л " (4)

-(1 - у)(51а,и'32а251с + ЭДм'ЗДбм' - 23,д,У1>Э,Э25)с)] + 2рсКЭ2и<5и'} <£ = 0

Математическое описание колебательного режима получается путем разделения переменных

м = Н/(х1,х2)ехр(яс1/а) (5)

где 5 - безразмерная постоянная, определяемая в процессе решения задачи. Подстановка выражения (5) в уравнение (4) дает

Г(/И52 + + ¿>[(5,3, И' + д2д21Г)(д1д161У + д-д2ЫГ)~

-(1 - у)(др,ШдгдгЫУ + о2 3^3,3,5 И'- 2д,д2И^д281Г)] - 2рсУд2!¥5№} ¿5 = 0

Уравнение (6) представляет собой вариационное уравнение, решением которого является функция IV = И/(х,,х2). Она разыскивается в классе функций, удовлетворяющих условиям заделки - существенным граничным условиям - на участке ЕГ

IV = 0; 3,И' = 0 (7)

Дифференциальное уравнение Эйлера для вариационного уравнения (6) однородно; однородны также граничные условия. Значения 5 - собственные значения задачи - находятся из условия существования нетривиальных решений. Если Кел < 0, то амплитуда колебаний будет уменьшаться со временем (случай затухающих колебаний), если наоборот, 11е5 > 0, то амплитуда со временем будет возрастать (случай потери устойчивости). Требуется определить критическую скорость К., при достижении которой теряется устойчивость.

Краевая задача решается методом конечных элементов. Конечные элементы в данном случае - прямоугольники с четырьмя узлами (элементы Богнера-Фокса-Шмита). Так как они не являются изопараметрическими, необходимо, чтобы область интегрирования была прямоугольной. Непосредственной проверкой легко убедиться, что отображение

«Я,

+ 2^2+^1 +

Р + ^-с.)

(8)

Р =--Ь/а; с, = 1£а,; с2 = 1§а2 переводит квадрат е[-1; 1], который и разбиваемся на конечные элементы, в косоугольный четырехугольник Л ВС О (рис. 1). Приходим к выражению

Ж

"У тОу

дг\у

ад,-

2[Р с,+(с;-с,)д-2/а]-

[р + ^-с,)*,/«.]2 ' Ф" Р + (с2-с1)*1/в'

Фи Т|И - г . . -,3 • Гга - Ут ~ ч 7^2

(9)

Все остальные компоненты утпк равны нулю. Величины (ртк, являются, с учетом равенств (8), функциями переменных 4* и не зависят от а. Подставим соотношения (8), (9) в вариационное уравнение (6). Получим

ли

81Г 38IV

* Ъ

+ Л

81У д281У

' ад

+ А„

д21У 881-У

'ад ^ '

+ 2кЪ„ + ('и-^2 + 2цз)1Уд1УрУЫЪ = О

3% ад V 1 ; ' 2

где введены следующие обозначения Ли = [Уц*Уш + ЧтЧш + ЧУиЛз/ + УжУш) + 20 ~ ^)У,2ЬУ12/ ] Д; 4м = [Уц^ш +У22^м + ЛЧшУпи + УмУиЛ + ЗО - у)г1Ич/1М] Д; ^гшч = | Ч,1Ц/Ч,п/| щУпи + Ч,22^Н'|1/| ) + 2(1-у)ч/1Л(]Д;

(10)

(И)

J =

1,

Р + -(С1-С1)(1 + д

(л = тас7аг I Д;

х\ = рс~а11к = т\М\ М = К/с; Д = Д/Д; т,=т/т0 Постоянные //?„, Д - некоторые характерные значения интенсивности массы и цилиндрической жесткости пластинки; А/ - число Маха на бесконечности, т], ц - параметры подобия задачи.

В локальных координатах каждый конечный элемент представляет собой квадрат (рис. 2). Глобальные координаты внутренних точек элемента определяются формулами

г^Н-у. + 2 (12)

Величины с верхними индексами - это глобальные координаты узлов; их значения известны.

Так как в уравнение (10) входят вторые производные по координатам, необходимо обеспечить межэлементную непрерывность не только функции IV но и ее первых производных по координатам и Кроме того, на границах элементов должна оставаться непрерывной также вторая смешанная производная. Это необходимо, чтобы получить правильное значение однородной деформации при уменьшении размеров элементов. Поэтому узловыми неизвестными являются IV„, К = 1...4, где IV', - значение IV в Ы-ом узле, IV,2, = 811'/8^; IV,] = д}У/а^1; IV,* = д71У/о^8с,2 - значения производных от IV в и - ом узле. Выражение функции IV внутри элемента записывается в виде

Ф Я,(г)-(2-37 + г3)/4; (13)

Я2 (г) = (2 + 3z - z')/4; G, (z) = (l- г - z2 + z3)/4; G2 (z) = (-1 - z + z2 + z3)/4 где определяются формулами (12). Подставим соотношения (13) в вариационное уравнение (10). Слагаемое в левой части уравнения (10), представляющее собой вклад одного элемента, выразится следующим образом

№ + + + )КЬК (14)

где обозначено

в™ =bb , Аш 5ФУЭ2Ф£ | Аш д'Ф^дФ^ |

иш " MJlAA bkb,b, dzk ьркь, dzkdz, &,

(15)

ЬМЬ, ¿"A'j J -1-,

-i-i -i-i Эти интегралы легко находятся численно. Переходя к одномерной глобальной нумерации узловых неизвестных и суммируя по всем элементам выражения (14) с учетом того, что один и тот же узел может входить в несколько элементов, получим

(С,„„ + кС2,„„ + Ц52С3(1,„ + 2^С41т)итЬи„ = 0 (16)

Здесь Um — узлрвые неизвестные (в глобальной нумерации), индексы т, п изменяются в пределах от 1 до 4N, где N - общее число узлов. Так как вариации узловых неизвестных произвольны, уравнение (16) эквивалентно однородной системе 4М линейных алгебраических уравнений

(cI + KCj + Mi2C1 + 2riiC4)u=0 (17)

Существенные граничные условия учитываются! следующим образом: исключаются строки и столбцы, соответствующие узловым параметрам, которые, согласно граничным условиям, должны быть равны нулю. Отметим, что матрицы С,,С3,С4 симметричны, а матрица С2 - несимметрична. Получившаяся система уравнений однородна. Ее нетривиальные решения существуют, как известно, когда определитель матрицы ее коэффициентов обращается в нуль. Из условия равенства нулю определителя получаются значения s и, далее, из решения системы уравнений (17) - ее собственные векторы, определяющие формы колебаний. При неизменных геометрических характеристиках пластинки и параметрах подобия ц, г] величина s будет функцией только параметра подобия к, называемого далее параметром

устойчивости, и, следовательно, функцией только скорости набегающего потока на бесконечности V. ■

12

11

-1

22

'21

Рис. 2. Конечный элемент в локальных координатах — квадрат. Узлы имеют двойную нумерацию: первый индекс определяет положение узла по оси абсцисс, второй - по оси ординат._

Поэтому при указанных ограничениях задача представляет собой, по существу, задачу решения трансцендентного уравнения: найти такое значение V, при достижении которого величина Reí меняет знак с отрицательного на положительный.

В третьем разделе излагаются результаты расчетов пластинок постоянной толщины, защемленных по всей стороне. Представлены результаты сопоставления расчетных данных с данными, полученными другими исследователями, и экспериментом.

Для однородных пластинок Д = 1; /и. = 1; С4 = С,. При этом задача нахождения нетривиальных решений системы уравнений (17) преобразуется к стандартной алгебраической задаче о собственных значениях:

DU = HJ; D = Cj (С, + кС2); X = -(pí2 +2tis) (18)

где D - так же, как и С2, несимметричная матрица, X - собственное значение. Метод решения стандартной алгебраической задачи о собственных значениях в данной диссертации заимствован из работы Уилкинсона и Райнша: используется 0Я-алгоритм с предварительным приведением матрицы D к форме Хессенберга. Так как матрица D несимметрична, ее собственные значения в общем случае комплексны. Пусть Х = ХК+ Л,, где 1, и 1, -действительные числа, i - мнимая единица. Можно показать, что для обеспечения устойчивости необходимо выполнение неравенства

Res<0 => (19)

H

Как следует из выражения (19), в координатах XR, область устойчивости ограничена параболой, называемой параболой устойчивости (A.A. Мовчан).

Известно, что пренебрежение аэродинамической вязкостью - первым слагаемым в выражении (3) - приводит к существенным упрощениям решения за счет того, что из всех последующих выражений выпадает слагаемое, содержащее s в первой степени. Парабола устойчивости вырождается в луч, представляющий собой положительную часть оси абсцисс. При этом для обеспечения устойчивости необходимо выполнение системы неравенств

ГХ„ >0

Res<0 => ^ R (20)

Нарушение первого неравенства приводит к дивергенции, нарушение второго -к флаттеру. Аргументы, от которых зависит критическое значение параметра устойчивости к, за исключением малоизменяющегося коэффициента Пуассона, геометрические

Kc=TiMr = /(a„a2,ß,v) (21)

Как показал A.A. Мовчан, пренебрежение аэродинамической вязкостью приводит, в общем случае, к значительным погрешностям. Однако существует область изменения параметров подобия, в которой пренебрежение аэродинамической вязкостью допустимо. Эта область определяется некоторым значением параметра

pVV

Ал р W

Dnmn

если а>Ь ß<l

(22)

если а<Ь <=> ß > 1

названного в диссертации параметром аэродинамической вязкости (для однородных пластинок Ц, = О; т0 = т). То, что этот параметр может служить мерой влияния аэродинамической вязкости на устойчивость, продемонстрировано на ряде примеров. При этом оказывается, что достаточно определить его критическое значение при Р = 1.

Далее в разд. 3 исследована сходимость решения при увеличении числа конечных элементов с одновременным уменьшением их размеров. Отмечено, что практическая сходимость достигается при сравнительно небольшом количестве элементов. Проведено сопоставление результатов расчетов с результатами других исследователей, в частности, Бптуаэап и ВаЬи, Г.А. Марченко и А.П. Филиппова. В основном, результаты практически совпадают. Однако в ряде случаев, в которых требуется повышенная точность расчетов, в

частности, в окрестности границы дивергентного и флаттерного режимов потери устойчивости, имеет место резкое различие в результатах.

Результаты расчетов сопоставлены также с экспериментальными данными. Можно отметить качественное согласование теории и эксперимента. Количественное расхождение лежит в пределах 15-20%. Его можно объяснить как несовершенством теории, так как аэродинамическая составляющая теории описывается как наиболее простой и употребительной - теорией поршня, так и сложностью экспериментального моделирования консольного защемления пластинок малого удлинения. Типичные теоретическая и экспериментальная зависимости представлены на рис. 3.___

Рис. 3. Зависимости £ = 6,со2^7/с = f(Mc) для пластинки с а,=62°;а2 = 0°;Р = 2.8. 1 - расчет; 2 - эксперимент Hanson и Levey, b, -половина длины хорды, отстоящей от корневой хорды на расстоянии За/4, со2 - вторая собственная круговая частота колебаний пластинки (в вакууме), ц. -отношение массы пластинки к массе воздуха, заключенной в усеченном конусе с основаниями, параллельными набегающему потоку, и с диаметрами, равными

корневой и концевой хордам.___

Далее в разд. 3 представлены рассчитанные зависимости критического значения параметра устойчивости от геометрических характеристик пластинки. Им присущи, в некоторых случаях, немонотонность и даже скачки, обусловленные качественными изменениями процесса потери устойчивости.

Наличие таких эффектов предъявляет повышенный требования к точности расчетов.

В четвертом разделе диссертации приведены решения новых задач -задач для пластинок переменной толщины и (или) защемленных не по всей стороне. Если можно пренебречь аэродинамической вязкостью, уравнение (17) принимает вид

(С1+кС2+^2С3)и = 0 (23)

При этом преобразование (18), сводящее задачу к стандартной алгебраической задаче о собственных значениях, становится возможным и для неоднородных пластинок. Решения задач, приведенные в разд. 4, получены при условии справедливости уравнении (23).____

Рис. 4. Зависимости критического значения параметра устойчивости к от длины защемленного участка; I - а,=0, толщина пластинки постоянна; 2 -

а, = 0, толщина пластинки переменна; 3 - а; = 30", толщина пластинки

постоянна; 4 - а, = 30', толщина пластинки переменна.

Результаты расчетов показывают, что и неоднородность пластинки, и различные условия ее частичного защемления могут приводить к неожиданным эффектам, и том числе к резкому уменьшению параметра устойчивости. В качестве типичного примера рассмотрим неоднородную пластинку, защемленную по части корневой хорды (рис. 1) при у = 0.3;Р = 1;аг =0.

Неоднородность пластинки обусловлена переменной толщиной. Профили, получаемые в результате сечения пластинки плоскостями, параллельными оси аппликат и корневой хорде, подобны. Толщина профиля изменяется по закону параболы, а его максимальная толщина км пропорциональна длине его хорды. Результаты расчетов представлены на рис. 4. Они вполне ожидаемы за иаслючением аномального поведения кривой 2 при //¿ = 0.6. Анализ показывает, что в этом случае флаттер наступает в результате слияния четвертого и пятого собственных значений в отличие от всех остальных расчетных случаев', в которых соединяются два первых собственных значения. Почему это так, объясняет расчет частот свободных колебаний пластинки (в вакууме). Оказывается, что при //6 = 0.6 четвертая и пятая частоты свободных колебаний отличаются менее, чем на 0.5%. Эта особенность и является причиной аномально низкого значения кс в данном случае.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

основные результаты и выводы

1. Сформулирована постановка задачи об устойчивости консольно защемленной неоднородной пластинки в сверхзвуковом потоке газа. Пластинка в плане имеет форму трапеции. В общем случае она защемлена не по всей корневой хорде.

2. Проанализировано современное состояние теории устойчивости пластинок в сверхзвуковом потоке. Показано, что задачи, рассмотрению которых посвящена диссертация, до настоящего времени не решены.

3. Математическая модель, разработанная в диссертации, основана на теории тонких пластинок Кирхгофа и поршневой теории Ильюшина-Лайтхилла. Критическая скорость потока, при достижении которой происходит потеря устойчивости - флаттер или дивергенция, определяется из решения задачи о собственных значениях.

4. Решение краевой задачи получается методом конечных элементов. Используется прямоугольный элемент Богнера-Фокса-Шмита, удовлетворяющий всем требованиям сходимости решения к точному с увеличением числа элементов. Для его применения область, ограниченная контуром пластинки (трапеция), предварительно отображается на квадрат, который и разбивается на конечные элементы.

5. Решение задачи сводится к поиску нетривиальных решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. В случае однородной пластинки задача приводится к стандартной задаче о собственных значениях.

1 На рис. 4 они отмечены кружками.

6. Установлен параметр подобия, определяющий возможность пренебречь аэродинамической вязкостью. В этом случае задача для неоднородной пластинки также сводится к стандартной задаче о собственных значениях.

7. Приведено сопоставление результатов расчетов с данными предшествующих исследователей. Наряду с удовлетворительным согласованием в большинстве расчетных случаев, имеются и резкие различия: в результатах.

8. Выполнено сравнение теории с экспериментом. Расхождение между ними лежит в пределах 20 %, что можно считать приемлемым.

9. Проанализировано влияние параметров пластинки, таких как удлинение, углы стреловидности, переменная толщина, длина участков защемления, на устойчивость пластинки в потоке газа.

10.Таким образом, в диссертации разработан и обоснован метод решения задач устойчивости консольно защемленных пластинок в сверхзвуковом потоке газа; решены новые задачи, имеющие значение как для аэроупругости, так и для инженерной практики.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Исаулова Т.Н.. Лавит И.М. О сверхзвуковом флаттере стреловидных крыльев малого удлинения // Межд. научи, конф. «Совр. пробл. математики, механики, информатики». Тула. 2004. С. 87.

2. Исаулова Т.Н.. Лавит ИМ. Исследование сверхзвукового флаттера стреловидных крыльев малого удлинения // Межд. научн. конф. «Совр. пробл. математики, механики, информатики». Тула. 2005. С. 104.

3. Исаулова Т.Н. Исследование аэродинамической устойчивости косоугольных пластинок переменной толщины И Межд. научн. конф. «Совр. пробл. математики, механики, информатики». Тула. 2008. С. 87.

4. Исаулова Т.Н. Аэродинамическая устойчивость пластинки, защемленной на нескольких участках контура, при сверхзвуковой скорости обтекания // Вестник'ГулГУ. Сер. мат., мех., информ. 2008. Т. 14. Вып. 2. С. 84-93 .

5. Исаулова Т.Н., Лавит И.М. Аэродинамическая устойчивость консольно защемленной косоугольной пластникн И Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 90-104.

Подписано в печать 16.11.2009 Формат бумаги 60х80'/]б. Бумага офсетная. Усл. печ.л.1,4. Уч.-изд.л.1,0. Тираж 100 экз. Заказ 032 Тульский государственный университет. 300600, г.Тула, просп. Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве Тульского государственного университета. 300600, г.Тула, просп. Ленина, 95.

Введение.

1. Обзор теоретических исследований устойчивости пластинок в сверхзвуковом потоке газа.

1.1. Вводные замечания.

1.2. Моделирование течения газа.

1.3. Моделирование движения пластинки.

1.4. Выводы.

Актуальность темы диссертации

При проектировании самолетов и ракет задачи аэродинамики решаются обычно в предположении, что поверхность, обтекаемая воздушным потоком, является поверхностью абсолютно твердого тела. Это предположение, однако, не всегда приемлемо. Такие части конструкции, как элементы обшивки, крылья и т.п., обладают подчас сравнительно малой жесткостью и могут, при определенных условиях, заметно деформироваться под воздействием потока. Опыт показывает, что при скорости обтекания, меньшей некоторой критической величины, деформации обтекаемой поверхности пренебрежимо малы и практически не влияют на аэродинамические и прочностные характеристики летательного аппарата. При достижении критической скорости взаимодействие деформируемой обтекаемой поверхности с потоком приводит или к резкому возрастанию деформации обтекаемой поверхности в квазистатическом режиме, или к возникновению колебаний с нарастающей амплитудой. Оба эти явления представляют собой потерю устойчивости. То, что происходит в первом случае, называется дивергенцией, во втором - флаттером [1]. И дивергенция, и флаттер встречались в практике авиа- и ракетостроения. Их последствия -разрушение или резкое снижение управляемости — послужили причинами ряда катастроф. Поэтому, начиная с конца 20-х годов прошлого столетия, ведется интенсивное теоретическое изучение дивергенции и флаттера [1]. Эти явления стали предметом исследования аэроупругости — раздела механики сплошной среды, возникшей на стыке механики жидкости и газа и механики деформируемого твердого тела.

Задача определения критической скорости, при которой наступает дивергенция или флаттер, формулируется как задача о потере устойчивости процесса обтекания газа (по умолчанию — воздуха) поверхности тела [2].

Тело предполагается упруго деформируемым, причем, его деформация способна влиять на характеристики потока. Исходное обтекание (при отсутствии деформаций обтекаемого тела) считается стационарным.

Для решения задачи об устойчивости процесса обтекания обычно используются два подхода. Суть первого из них заключается в разыскании условий стационарного обтекания, при котором деформации обтекаемого тела отличны от нуля; характеристики потока при этом также будут отличаться от исходных. Потеря устойчивости в данном случае — дивергенция, то есть переход от одного стационарного режима обтекания к другому, также стационарному. Режим дивергенции характерен, в основном, для крыльев большого удлинения при сравнительно малых скоростях набегающего потока.

Такая постановка задачи, называемая статической, потому что поверхность, обтекаемая стационарным потоком, неподвижна, позволяет найти критическую скорость дивергенции, но она непригодна для нахождения критической скорости флаттера. Здесь приходится рассматривать более сложную, динамическую постановку задачи об устойчивости. При этом предполагается, что обтекаемое тело колеблется совместно с обтекающим потоком. При достижении критической скорости амплитуда колебаний начинает возрастать. Динамический подход позволяет определить не только критическую скорость флаттера, но и критическую скорость дивергенции. В силу его универсальности и того, что потеря устойчивости происходит, как правило, в режиме флаттера, в большинстве исследований, в том числе и в настоящем, используется динамический подход.

Задачу об устойчивости можно рассматривать как в линейной, так и в нелинейной постановке. При динамическом подходе в линейной постановке исследуется динамическая реакция системы на бесконечно малое возмущение — колебания с бесконечно малой амплитудой. Если при этом амплитуда колебаний будет со временем возрастать (в линейной постановке

- до бесконечности), то имеет место неустойчивый режим колебаний. Критическая скорость набегающего потока определяется как скорость, при достижении которой появляется возможность неустойчивого режима.

При анализе устойчивости крыло часто рассматривается как стержень, совершающий изгибные и крутильные колебания [1]. Такая расчетная схема уместна при анализе крыла большого удлинения. Однако для расчета крыльев малого удлинения естественно рассматривать крыло как консольно защемленную пластинку [1]. При этом задача резко усложняется. Ее решение было предметом ряда исследований, в том числе и настоящей диссертации.

Расчетная схема, в которой обтекаемое тело рассматривается как пластинка, нашла применение при анализе устойчивости обтекания элементов обшивки

- в так называемых задачах о панельном флаттере. Ряд таких задач имеет аналитическое решение, решения других достаточно легко находятся методом Галеркина [2, 3]. Представляется очевидным, что можно найти аналогичные решения и для консольно защемленной пластинки. Однако это не так. Дело в том, что на незащемленной части контура пластинки, моделирующей крыло, обязательно задаются граничные условия свободного края - отсутствие моментов и перерезывающих сил. Эти условия весьма сложны, поэтому аналитическое решение задачи (для получения аналитического решения используется метод разделения переменных) найти не удается. Чтобы получить решение методом Галеркина, необходимо построить систему координатных функций, которые удовлетворяют всем граничным условиям, в том числе и на свободной части контура [4]. Отметим, что эта система должна быть полной [5]. Примеры построения такой системы (у контура пластинки, схематизирующей крыло, три свободных участка) неизвестны.

Возможность получения решения видится в использовании метода Ритца или его разновидности - метода конечных элементов1. Ограничения на координатные функции в методе Ритца менее жесткие, чем в методе Галеркина: достаточно, чтобы они удовлетворяли лишь существенным (кинематическим) граничным условиям [4]. Применительно к консольно защемленной пластинке это означает, что координатные функции должны удовлетворять лишь условиям защемления. Полную систему таких координатных функций легко построить, поэтому, казалось бы, что применение метода Ритца к решению задачи о флаттере пластинки вполне законно. Но корректность применения метода Ритца доказана только для задач, которые можно сформулировать как задачи о минимуме некоторого функционала [4]. Дифференциальный оператор задачи о флаттере несимметричен, поэтому эта задача не может быть поставлена как задача о минимуме функционала [4]. Таким образом, получается, что метод Галеркина непригоден из-за невозможности подобрать координатные функции, удовлетворяющие всем граничным условиям, а метод Ритца неприменим из-за несимметричности дифференциального оператора задачи о флаттере.

Противоречия удается устранить благодаря предложенному в работе [4] видоизменению метода Галеркина для естественных (динамических) граничных условий. В видоизмененном методе координатные функции должны удовлетворять, как и в методе Ритца, только существенным граничным условиям, а постановка задачи после интегрирования по частям совпадает с ее вариационной постановкой, к которой можно прийти, используя принцип Гамильтона или принцип возможных перемещений.

1 Отличие метода конечных элементов от классического метода Ритца заключается в выборе координатных функций: в методе конечных элементов используются функции с ограниченным носителем [6].

Таким образом, видоизмененный метод Галеркина формально не отличается от метода Ритца.

Этим методом рядом исследователей решены различные задачи об устойчивости консольно защемленных пластинок в потоке газа. Но, как это обычно бывает для сложных численных методов, видоизмененный метод Галеркина может использоваться в различных формах. Различия в данном случае обусловлены выбором координатных функций. Среди предшествующих исследований можно встретить и неполную систему координатных функций, и несогласованные конечные элементы, что ставит под сомнение достоверность полученных результатов. Но даже корректно проведенные исследования дают возможность рассчитывать критическую скорость лишь для пластинок постоянной толщины, защемленных по всей стороне. Теоретических исследований устойчивости неоднородных пластинок, защемленных не по всей стороне, до настоящего времени не проводилось. Однако крылья и стабилизаторы, чьей моделью является в данном случае пластинка, как правило, неоднородны. Кроме того, встречаются конструкции, в которых крыло или стабилизатор прикреплены к фюзеляжу не по всей длине корневой хорды. Проблему их устойчивости приходится решать исключительно экспериментально. Поэтому разработка теоретического метода исследования устойчивости таких пластинок, чему посвящена настоящая диссертация, представляется актуальной задачей. Актуальность темы диссертации также и в том, что изучение влияния неполного защемления и неоднородности пластинки на ее устойчивость в потоке газа представляет несомненный научный интерес, так как вносит вклад в понимание закономерностей исследуемого процесса.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», грант №2010101032.

Цель работы

Целью настоящего исследования является разработка математически корректного метода численного решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа и решение этим методом новых задач.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод численного решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

2. Решения новых задач об устойчивости пластинок в сверхзвуковом газовом потоке.

Научная новизна работы

1. Разработан новый конечноэлементныш метод решения; задачи? об . , устойчивости неоднородной консольно, защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа. 2. Исследовано влияние; параметров; подобия задачи на критическую скорость потока;

3. Проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментальными .данными. ; ■ .

4. Получены решения новых задач - задач; об устойчивости пластинок , переменной толщины и защемленных не всей стороне. .

Практическая ценность исследования

Разработанный метод позволяет вычислить скорость потока^ при достижении которой происходит потеря устойчивости процесса, обтекания — возникает флаттер или дивергенция. Он может быть использован в инженерной практике и как метод поверочного расчета крыльев и стабилизаторов летательных аппаратов на устойчивость, и как метод, позволяющий определить диапазон безопасных режимов полета.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с решениями других исследователей и экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2004, 2005, 2008 гг.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель - проф. A.A. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в пяти публикациях [7-11], в том числе в статье [11] из журнала, входящего в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и заключения. Объем работы - 124 страницы, включая 27 рисунков и 14 таблиц. Списки литературы содержат 118 наименований.

1.4. Выводы

1. Среди математических моделей движения газа в задачах аэроупругости невозможно выделить ту, которая не была бы основана на тех или иных специальных упрощающих предположениях. Использование поршневой теории Ильюшина-Лайтхилла, как наиболее простой и апробированной, вполне допустимо.

2. Специфика расчетной схемы консольно защемленной пластинки предполагает применение исключительно численных методов исследования. Известны работы, в которых задача решалась методом

Ритца и методом конечных элементов. Правомерность применения этих методов имеет теоретическое подтверждение.

3. Большинство исследований устойчивости пластинки при сверхзвуковом обтекании посвящено проблеме панельного флаттера -флаттера элементов обшивки летательных аппаратов. В немногочисленных работах, в которых изучалась устойчивость консольно защемленных пластинок, пластинки переменной толщины и пластинки, защемленной не по всей длине корневой хорды, не рассматривались. В некоторых работах имеются не вполне математически обоснованные выводы, что снижает достоверность полученных в них результатов.

Таким образом, данная диссертация посвящена решению новых, ранее не исследовавшихся, задач. Для их решения потребовалась разработка также нового, более общего и математически корректного численного метода.

1. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 384 с.

2. Волъмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

3. Волъмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.

4. Волъмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. 416 с.

5. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла. Методы и алгоритмы проектирования несущих поверхностей. М.: Машиностроение, 1987. 136 с.

6. Красилъщикова Е.А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М.: Наука, 1978.223 с.

7. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке. М.: Наука, 1971. 767 с.

8. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 6. С. 733-755.

9. Lighthill M.J. Oscillating airfield at high Mach number // J. Aeronaut. Sei. 1953. Vol. 20, N 6. P. 402-406. Пер.: Лайтхил M. Колебание профилей при больших числах М // Механика: Сб. иностр. пер., 1954. № 5. С. 134140.

10. Бисплингофф Р.Л., ЭшлиХ., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. М.: Иниздат, 1958. 799 с.

11. GarrickI.E., Rubinov S.I. Flutter and oscillating air-force calculations for an air-foil in two-dimensional supersonic flow // NACA. Rep 846. 1946.

12. Stewartson K. On the linearised potential theory of unsteady supersonic motion // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1950. V. 3. Part 2. P. 182-199.1 б.Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.

13. Kariappa, Somashekar B.R., Shah C.G. Discrete element approach to flutter of skew panes with in-plane forces under yawed supersonic flow // AIAA Journal. 1970. V. 8. № 11. P. 2017-2022.

14. Olson M.D. Finite elements applied to panel flutter // AIAA Journal. 1967.

15. Rosettos J.N., Tong P. Finite-element analysis of vibration and flutter of cantilever anisotropic plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1974. Dec. P. 1075-1080.

16. Nelson H.C., Cunningham H.J. Theoretical investigation of flutter two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow // NACA. Rep. 1956. N. 1280. P. 251-264.

17. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // ДАН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.2 6.Yang T.Y. Flutter of flat finite element panels in supersonic potential flow //

18. AIAA J. 1975. V. 13. № 11. P. 1502-1507. 21.Новичков Ю.Н. О применении трёхмерной аэродинамической теории к задачам выпучивания и флаттера панелей // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. С. 138-141.

19. Майлс Дж.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963. 272 с.

20. Cunningham H.J. Flutter analysis of flat rectangular panels based on three-dimensional supersonic unsteady potential flow // NASA. TR R-256. 1967.

21. Dowell E.H., Voss H.M. Theoretical and experimental panel flutter studies in Mach-number range 1.0 to 5.0 // AIAA J. 1965. V. 3. P. 2292-2304.

22. ЪХ.Белоцерковский C.M., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. 384 с.

23. ЪЪ.Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки //ПММ. 1994. Т.58. Вып. 3. С. 167-171.

24. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. №4. С. 40-44.

25. Минасян Д.М., Минасян М.М. Новое приближение в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Докл. НАН Армении. 2001. №1. С. 49-54.

26. A Modern Course in Aeroelasticity / E. H. Dowell (ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. 776 p.

27. Основы газовой динамики / Под ред. Г. Эмманс. М.:Иниздат, 1963. 702с.

28. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory a new aerodynamic tool for the aeroelastician // J. Aeronaut. Sci. 1956. Vol. 23, N 12. P. 1109-1118.

29. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635с.

30. ЪЪ.Огибалов П.М. Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

31. Yates С., Bennett R.M. Use of aerodynamic parameters from nonlinear theory in modified-strip-analysis flutter calculations for finite-span wings at supersonic speeds //NASA. TN D-1824. 1963.

32. Yates С. Subsonic and Supersonic Flutter Analysis of a Highly Tapered Swept-Wing Platform, Including Effects of Density Variation and Finite Wing Thickness, and Comparison with Experiments // NASA. TN D-4230. 1967.

33. Yates E. Modified strip analysis method for predicting wing flutter at subsonic to hypersonic speeds //NASA. LAR-10199. 1994.

34. Ветров В.В., Денеэюкин Д.Г., Редъко А.А. Устойчивость пластин в потоке газа//Изв. ТулГУ. Сер. физ. 1999. № 2. С. 154-157.

35. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 2. С. 231-243.

36. Bolotin V.V., Grishko А.А., Kounadis A.N., Gantes C.H., Roberts J.В. Influence of Initial Conditions on the Postcritical Behavior of a Nonlinear Aeroelastic System//Nonlinear Dynamics. 1998. V. 15. N. 1. p. 63-81.

37. Молодожникова P.H. Устойчивость профиля переменной толщины в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 5. С. 176-180.

38. Мовчан А.А. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе // Тр. Ин-та механики АН СССР. 1955. Вып. 1. С. 2-35.

39. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

40. Hedgepeth J.M. Flutter of rectangular simply supported panels at high supersonic speeds // J. Aeronaut. Sci. 1957. № 8. P. 563-573, 586.

41. Eisley J.G. The flutter of simply supported rectangular plates in a supersonic flow // GALCIT. Rep. № OSR-TN-55-236. 1955. July.

42. Luke Y.L., St. John A.D., Gross B. Panel flutter at supersonic speeds // Midwest Research Inst, reports to WADC. Third Quately Progress Report. 1956. March.

43. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541с.

44. Zienkiewicz О.С., Taylor R.L. The finite element method. Oxford: Buttenworth, Heinemann, 2000.

45. А. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ПМТФ. 2003. Т. 44, № 4. С. 35-42.

46. Кадыров А.К., Кийко И.А. Флаттер упругой полосы переменной толщины // Изв. ТулГУ. Сер. мат., мех., информ. 2005. Т. 11. Вып. 2.

47. Кадыров А.К. Флаттер пластины переменной жесткости // Вестник ТулГУ. Сер. мат., мех., информ. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 76-81.

48. Сейранян А.П. Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 5. С. 141-147.1..Pierson B.L. Discrete variable approximation to minimum weight panels with fixed flutter speed // AIAA J. 1972. V. 10. № 9.

49. Pierson B.L. Aeroelastic panel optimization with aerodynamic damping // AIAA J. 1975. V. 13. №4.

50. ЦАГИ основные этапы научной деятельности, 1993-2003. М.: Физматлит, 2003. 576 с.

51. ЪЪ.Мшлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.512 с.

52. Вулих Б.3. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.8Ъ.Лавит, И.М. Устойчивость консольно защемленной прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке // Проблемы нелинейной механики. Тула: Изд-во ТулГУ. 2003. С. 210-217.

53. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовща и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 779 с.

54. Ю.Марченко Г.А. Метод Ритца в неконсервативных задачах теории упругой устойчивости // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1966. № 3. С. 62-68.

55. Марченко Г.А. Исследование колебаний несимметричных пластин в потоке газа // Динамика и прочность машин: Респ. межвед. науч.-техн. сб. 1967. Вып. 6. С. 37-41.

56. Марченко Г.А., Филиппов А.П. О колебаниях пластины в потоке газа // Прикл. механика. 1966. Т. 2. Вып. 11. С. 133-137.

57. Филиппов А.П. Колебания деформируемых: систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.91 .Мовчаи A.A. О влиянии аэродинамического демпфирования на сверхзвуковой флаттер обшивки // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 1. С. 175-177.

58. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.9Ъ.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

59. Suleman A. Adaptive composites modelling and application in panel flutter and noise suppression // Computers and Structures. 2000. V. 76. N. 2. p. 365-378.

60. Popescu B. Deteriorated Geometrical Stiffness for Higher Order Finite Elements with Application to Panel Flutter // Nonlinear Dynamics. 1999. V. 18. N. l.p. 89-103.

61. Кандидов В.П., Чесноков С.С. Расчет устойчивости прямоугольных пластин в потоке воздуха методом конечных элементов // Вестн. МГУ. Физика, астрономия. 1972. Т. 13, № 5. С. 495-502.

62. Pian Т.Н., Tong P. Finite-element methods in continuum mechanics // Advances in Applied Mechanics. 1972. V. 12. P. 1-58.

63. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ КОНСОЛЬНО ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ В ПОТОКЕ ГАЗА21. Основные соотношения

64. Рис. 1. Схема обтекания пластинки. Пластинка обтекается воздушным потоком, скорость которого на бесконечности равна V и направлена вдоль оси ординат. На участке ЕР пластинка защемлена.

65. Исходным соотношением математической модели является вариационное уравнение Гамильтона для деформируемого твердого тела при малых деформациях 5.

66. Юнга; v коэффициент Пуассона; С^Е/^2(1+ у). - модуль сдвига.

67. После подстановки соотношений (3) в вариационное уравнение (2) и интегрирования по х3 в пределах от — h/2 до hl2 уравнение (2)преобразуется к виду <2

68. При этом для пластинок переменной толщины Dum зависят от координат Xj и х2.

69. С учетом выражения (7) уравнение (4) принимает виднтЭДм> + 2рсЭ,м>)5и>+Э2Э2т^)(Э1Э15>у+ Э2Э26^) и 5- (1 V) (ЭД^Э^З-и;+Э2Э2>уЭ1Э15м> - 2Э1д2-и>Э1Э28и>). + (9)2рсГЭ2™8>у}£й' = О

70. Уравнение (11) представляет собой вариационное уравнение, решением которого является функция Ж = Ж(х1,х2). Она разыскивается в классе функций, удовлетворяющих условиям заделки существенным граничнымусловиям 7.2 на участке ЕР1. Ж = 0; д1Ж = 0 ' (12)

71. Дифференциальное уравнение Эйлера для вариационного уравнения (11) получается в результате интегрирования по частям в уравнении (11) и преобразования поверхностных интегралов в контурные по формулам 8.п

72. В работе 7. используется другой термин: существенные граничные условия называются главными.; |э2фй?5 = ^Фс1х113)Л