Сверхзвуковой нелинейный флаттер прямоугольных пластинок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Нгуен Ван Чыонг

СВЕРХЗВУКОВОЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ ФЛАТТЕР ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

ПЛАСТИНОК

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

005566743

Тула-2015

005566743

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент

Лавит Игорь Михайлович

Официальные оппоненты: Алгазин Сергей Дмитриевич,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, ведущий научный сотрудник

Веденеев Василий Владимирович, доктор физико-математических наук, МГУ им. М.В. Ломоносова, доцент

Ведущая организация - ФГБОУ ВПО «Московский государственный

машиностроительный университет (МАМИ)».

Защита диссертации состоится « 13 » мая 2015 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, Тула, просп. Ленина, 92 (12105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» (http://tsu.tula.ru).

Автореферат разослан « 24 » марта 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Толоконников Лев Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

При математическом моделировании обтекания твердого тела газовым потоком, как правило, предполагается, что обтекаемая поверхность не деформируется. Если изгибная жесткость обтекаемого тела невелика, от этого предположения необходимо отказаться и рассмотреть совместные колебания тела и газового потока. Обычно колебания, инициированные некоторьм начальным импульсом, быстро затухают за счет так называемой аэродинамической вязкости, но возможен случай, когда амплитуда колебаний со временем резко возрастает. Это явление, называемое флаттером, может вызвать разрушение обтекаемых элементов конструкции летательного аппарата - несущих поверхностей или обшивки. Возможно также ухудшение управляемости. Флатгер явился причиной многих авиакатастроф. Поэтому его изучение представляет собой одно из приоритетных направлений исследований механики.

Среди задач математического моделирования флаттера выделяют обширный класс задач - задачи панельного флаттера, при формулировке которых обтекаемое тело можно рассматривать как пластинку или пологую оболочку. Дальнейшее разделение направлений исследований обусловлено свойствами обтекаемого потока: закономерности флаттера при дозвуковом и сверхзвуковом обтекании различны.

Сверхзвуковой флатгер характерен для элементов обшивки и несущих поверхностей малого удлинения. Его возникновение - переход от затухающих колебаний к колебаниям с возрастающей амплитудой - естественно трактовать как потерю устойчивости. Анализ устойчивости можно проводить как в линейной, так и в нелинейной постановке. В первом случае удается определить границу устойчивого режима обтекания - критическое значение скорости набегающего потока на бесконечности. Детальную картину закритического поведения системы поток - обтекаемое тело дает нелинейная постановка задачи. Аналитические методы решения в этом случае неприменимы, поэтому важное значение имеют выбор и обоснование численного метода анализа. В этом вопросе за последние пятьдесят лет, а это как раз время интенсивного изучения нелинейного флаттера, произошли качественные изменения, связанные с революционным развитием вычислительной техники. В начале этого периода к численным решениям задач нелинейного флаттера предъявлялись весьма умеренные требования - не противоречить здравому смыслу и экспериментальным данным. В настоящее же время, когда объем вычислений перестал быть лимитирующим фактором, можно требовать от численного решения быть сколь угодно точным. Выполнение условий сходимости численного решения к точному, в частности, условия полноты системы координатных функций, приобрело первостепенное значение. Новые методы позволяют уточнять решения ранее рассмотренных задач. Как показывает анализ информационных источников, применительно к задачам нелинейного панельного флаттера разработка

такого метода является актуальной задачей. Вариант ее решения представлен в

настоящей диссертации.

Есть и другой немаловажный аспект проблемы исследования нелинейного флаттера. В зависимости от геометрических, инерционных и жесткостных параметров обтекаемого тела, от плотности и скорости набегающего потока флаттер возникает по-разному. Обычно встречается то, что уместно называть нормальным флаттером. Он появляется в результате слияния первого и второго собственных значений оператора краевой задачи (при решении в линейной постановке). Образуется пара комплексно сопряженных собственных значений, которая при дальнейшем росте скорости набегающего потока выходит на параболу устойчивости. В отличие от нормального, аномальный флаттер возникает в результате слияния на первого и второго, а какой-либо другой пары собственных значений. При этом, как показывают расчеты, переход от нормального флаттера к аномальному при непрерывном изменении исходных данных задачи (например, отношения сторон обтекаемой пластинки) происходит скачком: критическая скорость аномального флаттера заметно меньше.

Колебания при флаттере относятся к типу автоколебаний. Для автоколебаний достаточно простых систем характерно образование предельного цикла - одночастотных колебаний с неизменной амплитудой. Этот предельный цикл является аттрактором: вне зависимости от начальных условий система рано или поздно выходит на предельный цикл. Исследования нелинейного флаттера показывают, что и для флатгерных колебаний наблюдается та же картина. Однако это утверждение можно отнести только к нормальному флаттеру. Аномальный флапер в нелинейной постановке ранее не исследовался. Изучение закритиче-ского поведения системы в случаях нормального и аномального флаттера представляет несомненный интерес. Цель работы

Целью диссертационного исследования является разработка метода решения задач о нелинейном сверхзвуковом флаттере прямоугольных пластинок и исследование этим методом флаттерных колебаний пластинок при различных условиях их закрепления.

Научная новизна работы

1. Разработан метод решения задачи о нелинейном сверхзвуковом флаттере прямоугольных пластинок.

2. Метод применен к решению ряда задач о нелинейном флаттере пластинок при различных условиях закрепления.

3. Исследованы различные режимы флаттерных колебаний; установлены основные закономерности этих режимов.

Практическая ценность

Разработанный метод позволяет проводить расчеты, результаты которых дают возможность оценить опасность флаттерных колебаний для прочности и управляемости летательного аппарата. Решения задач, представленные в диссертации, показывают, что режимы автоколебаний могут быть качественно

различны. Этот результат может представлять интерес для теории нелинейных колебаний.

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с решениями других исследователей и экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2014 г.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель -проф. A.A. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

На защиту выносятся следующие положения

1. Метод численного решения задачи о нелинейном сверхзвуковом флаттере прямоугольных пластинок.

2. Решения задач о нелинейных колебаниях пластинок в условиях флаттера.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в четырех публикациях, в том числе в трех статьях в журналах, входящих в Перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Объем работы - 102 страницы, включая 45 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Изложены основные положения работы по разделам. Обсуждаются достоверность, научная новизна и практическая значимость исследования.

В первом разделе приведен обзор исследований, близких к теме диссертации. Задача, решаемая в диссертации, формулируется в общем виде следующим образом. Рассматривается прямоугольная пластинка постоянной толщины. На контуре пластинки могут быть заданы различные граничные условия: защемление (заделка), шарнирное (свободное) опирание, свободный край, причем, в пределах каждой стороны прямоугольника граничные условия неизменны. Пластинка обтекается газовым потоком (по одной или двум поверхностям); на бесконечности поток однороден, и его скорость превышает скорость звука. Ставится задача исследования совместных нелинейных колебаний пластинки и набегающего потока.

В такой постановке задача о сверхзвуковом панельном флаттере рассматривалась в работах многих исследователей начиная с 50-х годов прошлого века. Большое количество исследований обусловлено сложностью задачи. При ее решении возникают проблемы выбора математических моделей течения набегающего потока и деформирования пластинки.

При моделировании обтекания используются два подхода. Первый из них основан на принятии ряда допущений, в результате чего получается довольно простая математическая модель, получившая название поршневой теории Ильюшина-Лайтхилла. Во втором подходе математическая модель течения представляет собой общие уравнения гидродинамики, которые, однако, приходится так или иначе упрощать. В результате получаются теории различной сложности. Самая простая из них при числе Маха набегающего потока, большем 1.5, дает отличия от поршневой теории, лежащие в пределах точности экспериментов. Именно эти две теории, как показывает анализ информационных источников, используются в математических моделях нелинейного флаттера пластинок1. Их согласование с экспериментом вполне приемлемо.

Во всех известных исследованиях нелинейного панельного флаттера для моделирования деформирования пластинки применяются уравнения Кармана. Их вывод основан на гипотезах Кирхгофа. Отличие от линейной теории состоит в том, что в выражениях деформаций в плоскости пластинки сохраняются нелинейные слагаемые, содержащие прогиб. Теория Кармана справедлива, пока прогиб соизмерим с толщиной пластинки.

Система уравнений задачи о флаттере пластинки нелинейна. В общем случае искомые величины - прогиб и перемещения нейтральной поверхности в плоскости пластинки — зависят от времени и двух пространственных переменных. Поэтому задачу удается решить только численными методами. Естественно использовать метод Галеркина. Коэффициенты при координатных функциях метода Галеркина рассматриваются при этом как неизвестные функции времени. Решение задачи сводится к решению системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно упомянутых коэффициентов. Такой подход к решению задачи применялся как в пионерских работах В.В. Болотина и Фунга (Y.C. Fung), так и во многих последующих исследованиях, в частности, работах Дауэлла (E.H. Dowell). Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая изменение во времени коэффициентов разложений по координатным функциям, решалась в них методом Рунге-Кутга. В качестве координатных функций выбирались формы свободных колебаний пластинки (в линейной постановке), если соответствующая задача о собственных колебаниях имеет аналитическое решение. В противном случае координатные функции представлялись в виде произведения форм свободных колебаний балки в направлениях осей абсцисс и ординат. Вопрос о полноте системы координатных функций, имеющий принципиальное значение для оценки сходимости численного решения к точному, ни в одной из этих работ не обсуждался.

Этот вопрос снимается, если вместо метода Галеркина применяется метод конечных элементов: известны элементы, как треугольные, так и прямоугольные, функции формы которых удовлетворяют всем требованиям полноты.

1 Речь не идет о пластинке, бесконечной в одном направлении (полосе).

Метод конечных элементов к задачам нелинейного флаттера пластинок применен в работах Мея (С. Mei), Хана (A.D. Han) и Лига (T.Y. Yang), Попеску (В. Popescu), Сингха (M.K. Singha) и Джанапати (М. Ganapathi), Сарма (B.S. Sarma) и Варадана (Т.К. Varadan), Ибрагима (H.H. Ibrahim) и др. В этих работах с помощью метода конечных элементов исходная система нелинейных уравнений в частных производных преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени относительно узловых перемещений. В отличие от подхода, основанном на методе Галеркина, в данном случае для получения приемлемой точности приходится интегрировать систему высокого порядка. С возникающими при этом трудностями удалось справиться только Попеску (В. Popescu). В остальных работах для получения результата использованы те или иные математически необоснованные допущения.

Ни в одной из опубликованных работ не применялся метод прямых. В нем вначале исходная система уравнений преобразуется методом конечных разностей, причем только по времени. Далее на каждом шаге по времени методом конечных элементов решается получившаяся система уравнений в частных производных по пространственным переменным; нелинейность учитывается методом последовательных приближений.

В методе прямых при использовании конечноэлементной дискретизации число неизвестных, конечно, должно быть велико. Но матрицы жесткости и масс при решении краевой задачи - ленточные. Учет этого свойства радикальным образом уменьшает объем вычислений и влияние вычислительных погрешностей на результат.

Конечно, и в том методе, который использовался в предшествующих исследованиях, эти матрицы обладают таким свойством, но использовать его там не удается.

Данное обстоятельство совместно с простотой вычислительного алгоритма определяют, на наш взгляд, преимущество метода прямых и обосновывают его применение к решению задач о нелинейном флаттере пластинок.

Второй раздел — основной раздел диссертации - содержит описание разработанного метода расчета. В излагаемом диссертационном исследовании, так же, как и в других работах, решаются уравнения Кармана; взаимодействие пластинки с газовым потоком описывается поршневой теорией.

Рассмотрим отнесенную к декартовым координатам хк, к — 1, 2, 3 прямоугольную пластинку, обтекаемую сверхзвуковым потоком газа (рис. 1), скорость которого на бесконечности равна V. Плоскость z = х3 = 0 является нейтральной плоскостью пластинки. Аппликата г е [—0.5/г, 0.5/г], где h - толщина пластинки. Внешние нагрузки в плоскости пластинки отсутствуют. Поперечная нагрузка складывается из двух составляющих: давления газа qa и нагрузки qe, обусловленной другими воздействиями. Стороны пластинки могут быть защемлены, оперты или свободны. Перемещения точки пластинки обо-

значаются щ, к = 1,2,3. Связь компонент тензора деформаций еи,е12,е22 с перемещениями определяется формулами_____—

1

Рис. 1. Расчетная схема обтекания пластинки.

(1)

где н(х1, х2) = и} - прогиб пластинки. Учет нелинейных членов в выражениях (1) при сохранении гипотез Кирхгофа определяет теорию Кармана. Перемещения и,,и2 выражаются в виде

щ =н10 -гд^, и2 =и20 -гд2м> С2)

где м10 0„ х2), и20 (*„ х2) - перемещения точек нейтральной плоскости. Подстановка формул (2) в выражения (1) дает

£„ = а,и10 ■-гд&лг ,е22 =д2и20,

2 (3)

Из компонент тензора напряжений отличны от нуля сги,ст12,ст22. Они определяются выражениями

где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.

Численное решение задачи строится на основе принципа возможных

перемещений

где П - объем пластинки, 5 - площадь ее поверхности, р„ - плотность материала пластинки, г - время, рк - внешняя нагрузка, 5 - символ вариации, совместимой с главными (кинематическими) граничными условиями. В данном случае р1 =0; р2 = 0; ръ =<? = <?„ + Ч,

Аэродинамическая нагрузка определяется, согласно поршневой теории, формулой Яа=-Р с(д,м + Уд2™) (7)

где р,с - плотность газа и скорость звука на бесконечности. Если пластинка обтекается по обеим лицевым плоскостям, величину (?„ нужно умножить на два. Силами инерции в плоскости пластинки пренебрегаем. Следовательно

д,д,икЪик =д,д,ч> 5м> (8)

В результате уравнение (5) преобразуется к виду

|(роа,9,М''5и'+атя8Ет,)^а = (9)

а *

Подставим соотношения (1-5) в уравнение (9) и проинтегрируем его левую часть по г от -й/2 до /г/2, то есть, по толщине пластинки /г. При этом

учтем, что сЮ.= <£> (к.

Перейдем далее к безразмерным переменным

В результате уравнение (9) принимает вид

+е2 (аЛо + аЛо + э,1»е2»)(а18«я + а28«10 + +(ад™+у32а2 и-) а.э.Зн-+(а2а2 •*>■+ узд**) з2з28и>+

+2(1-у)Э1а2и'а1а28и' + Г1(а,'и'+Ш2м')]8и'}£/5=|918и'£Й (П)

5

где М = У/с > 1 - число Маха на бесконечности,

12(1-У>^ 12(1-у>2 ^ ^ е2 = 6(1_у) (12)

Е ' Е

В уравнении (11) фигурируют только безразмерные величины со звездочками, определенные формулами (10). Производные и интегралы берутся тоже только по безразмерным переменным. Но звездочки, чтобы не загромождать чрезмерно формулы, опущены. Ниже везде все переменные величины - безразмерные, определенные формулами (10), но записанные без звездочек.

И перемещения, и их вариации должны удовлетворять главным (кинематическим) граничным условиям на тех сторонах пластинки, где эти

условия заданы. В данной работе предусмотрены только нулевые условия. Возможно задание следующих главных граничных условий. На сторонах АВ и С£> ( см. рис. 1): м/ = 0; 5,1-1' = 0; и10 = 0 - защемление (заделка);

_ о- „ = о - шарнирное закрепление; = 0 - свободное опирание.

На сторонах ВС и АО ( см. рис. 1):

\ч = 0; д2\и = 0; и20 = 0 - защемление (заделка);

уа = 0; и10 = 0 - шарнирное закрепление; м< = 0 - свободное опирание.

Для решения задачи необходимо также задать начальные условия - перемещения и скорости в начальный момент времени:

г = 0: ии = ¥*(*«); ™ = \|/з(*я); * = к,т = \,2 (13)

где точкой над символом обозначена частная производная по времени. Функции ук(хя); СДл-т); к = 1,2,3; т = 1,2, должны быть заданы.

Цель дальнейших преобразований - решить вариационное уравнение (11) при заданных граничных и начальных условиях2. Результатом решения являются зависимости Ц?,х„); ика((,хт); к,т = 1,2 и их производные по времени и пространственным координатам.

Решение получается методом прямых. Его первый этап - переход в уравнении (11) к конечноразностному представлению по времени. В данной работе использована широко применяемая неявная схема Кранка-Николсон.

где функция Ф не зависит от производных по времени. Пусть V- д,у> - скорость поперечных колебаний пластинки. Уравнение (14) эквивалентно при этом системе двух уравнений первого порядка по времени

Пусть, далее, А С - величина шага интегрирования по времени, п= 1, 2... - номер шага. Конечноразностное представление производной по времени на и-ом шаге имеет вид д,у«(у"-у"'')/ы, где у",/4 -значения у на границах

временного интеграла. Величины, не содержащие производных по времени, представляются на и-ом шаге интегрирования по времени в виде ■у я О.бГу +УМ). В соответствии с этим конечноразностное представление си-

стемы (15) имеет вид

2 При решении задачи координатные функции выбираются так, чтобы удовлетворялись главные граничные условия. При этом в результате решения вариационного уравнения

получается решение дифференциальных уравнений задачи, удовлетворяющее всем, в том

числе и естественным, граничным условиям.

Представим уравнение (11) в виде

(14)

(15)

- + №+) V+V+ф"4) к=о

ту"-■и*"4 1

Д/ 2

Величины с индексами л -1 известны из решения для предыдущего шага. Из системы (16) определяются величины с индексами п. Выразим из второго уравнения системы (16) величину у" и подставим в первое уравнение. Получим

V" = — -и/"1)-у"-1

лЛ /

-Ф"-1 }с1Б (17)

Из второго уравнения (17) определяется п>", затем из первого находится у". Решение нелинейного уравнения (17) (второго) получается методом последовательных приближений. На каждом шаге итерационного процесса нелинейные члены известны и рассматриваются как массовые силы. При этом уравнение (17) (второе) распадается на два, так как в линейном приближении плоское деформирование и изгиб пластинки независимы. Перенеся нелинейные слагаемые в правые части, получим уравнение для прогиба в виде

| + +v5292w")alЭI5w + (a2Э2w', + чд1ду)д1д1Ь\» +

+2 (1 - У) о,52уу"91925и' + г]А/321/5м'] = | -(3,9, и/'"' + + уд,ду-')д2д^-2(1-у).

ЛгКдг 2

.д2м"д28™ + е2 (З,?^ + д2и"0 + дуд2и>")(д2п'"д18и' + З^З^и-)} -

ду^д^+е,.

(18)

]+у|^з1<;1 +\{ду-1)

д2м>" 1д2дм> + е2.

.(3,г4ч + Э2<;' + 311с""1321с"~')(32г4'""1Э15м' + д^'З^го)} с® ++

я

а уравнение для перемещений в нейтральной плоскости — в виде

| [е1 (91"Го+у 32""о) з,з«10+с, (зХо +у01И" )а2з «20+е2(а,1/2л0+а2<0).

л-

•(3,3^0 + 525«10)]^=-|[е, (з,<+уах;')^+е, (дХо1+^К'1)-

АЧо + ЭХ0-,)(а15«20 + Э38и10)]^ - ^(э,*/")' + ).

■аМо + +^{дУ)7]д7Ъиы+е7д1к"ду(д1Ьи2а+д1Ъит)

"{[ 2 +~((ау-[)2 +у(51^-')2)а25 «20 +

+е2Э,1'/"1Э11у""1 (9[5И20 + а25и10)]^ (19)

Оба уравнения при известных правых частях представляют собой уравнения линейных задач: первое - для изгиба пластинки, второе - для плоской задачи. Оба решаются методом конечных элементов. Использованный вариант метода для решения первого уравнения описан в статьях Т.Н. Исауловой и И.М. Лавита, второго - в статье И.М. Лавита и Нгуен Вьет Чунга.

В третьем разделе излагаются результаты расчетов пластинок, закрепленных по всему контуру. Представлены результаты сопоставления расчетных данных с данными, полученными другими исследователями,и экспериментами.

С целью проверить достоверность моделирования разработанным методом нелинейного деформирования пластинок были проведены расчеты квазистатического деформирования защемленной по всему контуру квадратной пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой де. Результаты расчетов, согласующиеся с данными других исследователей, представлены на

И' 2 1.5 1

0.5 /

D 100 200 qfi <

Рис. 2. Прогиб центра пластинки в зависимости от величины нагрузки; 1 — решение разработанным методом; 2 - решение Бреббиа (С. Brebbia) и Коннора (J. Connor); 3 - решение Уэя (S. Way).

Далее была решена задача о свободных нелинейных колебаниях (в вакууме) свободно опертой квадратной пластинки. Результаты расчетов сопоставлены с данными В.Н. Тарасова и В.Ю. Андрюковой; отмечено их удовлетворительное согласование.

Следующая из решенных в третьем разделе задач - это задача о вынужденных нелинейных колебаниях (в вакууме) свободно опертой квадратной пластинки в области частот вынужденных колебаний, близких к резонансной частоте. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с данными экспериментов Амабили (М. АтаЬш).

Решения этих трех задач показывают, что разработанный метод позволяет адекватно моделировать нелинейное деформирование пластинок при различных законах нагружения.

Далее в третьем разделе рассмотрена задача о нелинейном флаттере квадратной пластинки, у которой стороны АО и ВС защемлены, а стороны АВ и СО свободно оперты. Результаты расчетов при двух различных значениях числа Маха потока на бесконечности изображены на рис. 3, 4.__

Рис. 3. Зависимость прогиба центра пластинки от времени при М = 1.65 < Мс.

О 2.4х104 4.8х104 7.2хЮ4 9.6х104 '

Рис. 4. Зависимость прогиба центра пластинки от времени при М -1.75 > Мс

Согласно экспериментам Г.Н. Микишева, критическое число Маха, при достижении которого начинается флаттер, Мс = 1.7. В первом случае (рис. 3) колебания, инициированные малым возмущением, под действием аэродинамической вязкости быстро затухают, а во втором случае (рис. 4) развиваются автоколебания, характеризующиеся предельным циклом - периодическими колебаниями, близкими к гармоническим. Эти результаты свидетельствуют о согласии теории с экспериментом.

Последняя задача из разд. 3 - это задача о влиянии постоянной равномерно распределенной поперечной нагрузки на критическое число Маха. Это влияние - чисто нелинейный эффект. Как показывают эксперименты Дауэлла (E.H. Dowell) с сотрудниками, с ростом поперечной нагрузки величина Мс возрастает. Результаты расчетов разработанным методом согласуются с этим экспериментальным фактом.

В четвертом разделе диссертации приведены решения задач для пластинок, защемленных по стороне AB. Остальные стороны свободны от нагрузки. Пластинки обтекаются потоком по обеим лицевым поверхностям.

Как показывает линейный анализ, в зависимости от относительной ширины пластинки ß = 6/a меняется механизм возникновения флаттера. При сравнительно малых значениях ß флаттер возникает вследствие слияния двух первых собственных значений линейного оператора задачи, образования из них комплексно сопряженной пары и выхода последней на параболу устойчивости. Такой механизм зарождения флаттера естественно называть нормальным. При сравнительно больших значениях ß флаттер возникает за счет слияния второго и третьего собственных значений. Такой механизм зарождения флаттера предлагается называть аномальным. Критическое число Маха аномального флаттера заметно меньше, чем нормального. Переход от одного типа флаттера к другому происходит скачком.

Разработанным методом исследовались нелинейные аэроупругие колебания при ß = l (нормальный флаттер) и при ß = 3.6 (аномальный флаттер). Результаты расчета в первом случае качественно совпадают с приведенными на рис. 3, 4: если число Маха меньше критического значения (последнее определялось из линейного анализа), то колебания затухают; в противном случае возникают автоколебания с предельным циклом, близким к гармоническим колебаниям. При аномальном флаттере возникает иная, значительно более сложная картина.

Интервалы изменения числа Маха

Номер интервала 1 2 3 4 5

М <2.99 (2.99,3.78) (3.78,4.31) (4.31,5.60) >5.60

Характер колебаний Затухающие флаттер затухающие флаттер флаттер

В табл. приведены результаты линейного анализа (Мс= 2.99). В интервале 2 комплексно сопряженную пару образуют второе и третье собственные значения; в интервале 3 все собственные значения вновь деистветельны; в интервале 4 комплексно сопряженную пару образуют уже третье и четвертое собственные значения; в интервале 5 к ним присоединяется комплексно сопряженная пара, образованная первым и вторым собственными значениями.

Как показывают расчеты, результаты нелинейного анализа согласуются с данными, приведенными в табл. Характер колебаний в интервале 1 такой же, как на рис. 3. Для интервала 2 получается предельный цикл, аналогичный изображенному на рис. 4. В интервале 3 колебания вновь затухают, как на рис. 3. Колебания в интервале 4 - это также автоколебания, но предельный цикл представляет собой ангармонические колебания.____

Рис. 5. Зависимость прогиба середины стороны СР от времени (интервал 5).-

Результаты расчета для интервала 5 представлены на рис. 5. Колебания носят нерегулярный характер, хотя это, безусловно, автоколебания: их максимальные амплитуды со временем не увеличиваются и не уменьшаются. Можно предположить, что эти колебания хаотические. Однако это не так. При хаотическом движении имеет место так называемое разбегание траектории: малое изменение начальных данных приводит, через некоторое время, к заметному расхождению траекторий в фазовом пространстве. Расчеты показывают, что в данном случае разбегание траекторий отсутствует.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы. В приложении показано, что вариационное уравнение, решаемое в диссертации, эквивалентно дифференциальным уравнениям задачи и естественным граничным условиям.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1 Проанализированы опубликованные методы расчета нелинейного флаттера пластинок. Показано, что метод, разработанный в данной диссертации, обладает научной новизной.

2. Для описания деформирования пластинки использована теория Кармана, для моделирования взаимодействия пластинки с обтекающим потоком -поршневая теория.

3. С использованием принципа возможных перемещений дана вариационная постановка задачи. Сформулированы граничные и начальные условия.

4. Для решения задачи применен метод прямых. Интегрирование по времени осуществляется методом конечных разностей с использованием неявной схемы Кранка-Николсон, интегрирование по площади пластинки - методом конечных элементов.

5. Решены различные задачи для пластинок, закрепленных по всему контуру. Проведено сопоставление результатов расчетов с данными других теоретических исследований и с экспериментами.

6. Рассмотрены задачи о флаттере консольно защемленных пластинок. Методом, разработанным в диссертации, проанализированы колебания, возникающие при нормальном и аномальном механизмах зарождения флаттера.

7. Результаты выполненных расчетов позволяют сделать вывод об адекватности математической модели и достоверности результатов, полученных разработанным методом. Решения задач, приведенные в диссертации, могут представлять научный и практический интерес.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Лавит, И.М. Сверхзвуковой нелинейной флаттер прямоугольных пластинок / И.М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг // Материалы международной конференции «Совр. пробл. математики, механики, информатики». Тула. 2014. С. 283-290.

2. Лавит, И.М. Автоколебания прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке газа / И.М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг II Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С.137-145.

3. Лавит, И.М. Сверхзвуковой нелинейный флаттер консольно защемленной прямоугольной пластинки / И.М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2014. № 4 (306). С. 8-13.

4. Нгуен Ван Чыонг. Влияние поперечной нагрузки на сверхзвуковой флаттер защемленной прямоугольной пластинки / Нгуен Ван Чыонг II Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 98-102.

Изд.лиц.ЛР Л° 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 11.03.2015 Формат бумаги 60x84 V16- Бумаги офсетная. Усл.печ.л. 0,9 Уч.изд.л 0,8 Тираж 100 экз. Заказ 014 Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.