Панельный флаттер при низких сверхзвуковых скоростях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 533.6.013.42

005014486

Веденеев Василий Владимирович

ПАНЕЛЬНЫЙ ФЛАТТЕР ПРИ НИЗКИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук 1 5 мд? ¿012

Москва 2012 г.

005014486

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета и в лаборатории аэромеханики и волновой динамики НИИ механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И. А. Кийко

доктор физико-математических наук, профессор А. Т. Ильичёв

доктор технических наук В. И. Смыслов

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Защита состоится 30 марта 2012 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Автореферат разослан «¡¿9_» февраля 2012 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических наук

А. Н. Осипцов

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Эта задача возникает при изучении явления панельного флаттера — потери устойчивости и интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждающихся при их взаимодействии с потоком воздуха на больших скоростях полёта. Панельный флаттер или потенциальные проблемы, связанные с ним, имели место на ряде сверхзвуковых летательных аппаратов со времён Второй мировой войны до наших дней: на немецких ракетах V-2 в 1944 г., нескольких опытных американских самолётах в 1950-х гг., гиперзвуковом летательном аппарате North American Х-15, ракете «Сатурн V» американской лунной программы «Аполлон», самолётах Lockheed SR-71, F-117A, F-22. Из российских летательных аппаратов можно отметить проектирование гиперзвукового аппарата Х-2000, при котором рассматривались вопросы панельного флаттера как самого аппарата в гиперзвуковом потоке, так и пилона для стендовых испытаний, обтекаемого локально трансзвуковым потоком. Обычно панельный флаттер, даже в случае разрушения отдельных панелей, непосредственно не приводит к крушению, но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолёта, разрушению связанных с панелями гидравлических и других систем, а также к повышенному шумовому фону внутри самолёта.

В настоящее время явление панельного флаттера исследовано недостаточно, и его изучение остаётся актуальной задачей. Совершенствование характеристик летательных аппаратов требует уменьшения их массы, а следовательно, и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Проектируются и испытываются самолёты с гибкими крыльями, адаптирующимися к условиям полёта, имеющими тонкую обшивку. Разработка летательных аппаратов новых геометрических форм, внедрение новых материалов, в том числе композитов и полимеров, активное управление схемой обтекания и пограничным слоем — всё это меняет параметры течения воздуха около панелей и их физические свойства, что также может привести к возникновению флаттера.

Слабо изученным остаётся панельный флаттер при трансзвуковых и низких сверхзвуковых скоростях. В настоящее время применяемые на практике критерии флаттера основаны на «поршневой теории» — приближении для возмущения давления, вызванного колебанием панели, справедливом при Jli> 1. Часто эти критерии применяются без обоснования и при низких сверхзвуковых скоростях.

Цель работы. Теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, построение критериев устойчивости, выяснение механизмов возникновения растущих колебаний и влияния на них параметров задачи. Детальное исследование области низких сверхзвуковых скоростей (1 < М < 2), которая до сих пор остаётся малоизученной, поскольку подходы, традиционно использующиеся в сверхзвуковой аэропругости, в ней неприменимы.

Научная новизна:

• Показано, что безграничная упругая пластина, обтекаемая с одной стороны потоком газа при наличии с другой стороны покоящегося газа, всегда неустойчива. Проанализировано поведение возмущений с различными длинами волн и выяснен физический механизм их усиления.

• В двумерной постановке асимптотическими методами исследована устойчивость пластины, имеющей форму широкой полосы. Показано, что неустойчивость может быть двух видов: связанным и одномодовым флаттером. Первый является классическим и хорошо изученным типом флаттера. Потеря устойчивости при нём происходит из-за взаимодействия двух собственных колебаний пластины и возможна лишь при достаточно большой плотности или скорости газа. Одномодовый флаттер возникает при низких сверхзвуковых скоростях и до работ автора практически не исследовался. В этом случае потеря устойчивости происходит без взаимодействия между собственными модами и может иметь место при сколь угодно малой плотности потока. Получены критерии устойчивости обоих типов флаттера и частоты, при которых происходит наибольшее усиление колебаний. Выявлены физические механизмы усиления колебаний и исследовано влияние параметров задачи.

• Исследовано влияние пограничного слоя, образующегося на обтекаемой поверхности, на устойчивость безграничной и конечной пластин при больших числах Рейнольдса. Показано, что пограничный слой, в зависимости от его профиля и толщины, может как подавлять, так и усиливать флаттер.

• Асимптотическими методами исследована устойчивость пластины, имеющей форму прямоугольника больших размеров, по отношению к од-номодовому флаттеру. Получен критерий устойчивости, позволяющий для каждой собственной моды пластины определить, усиливается она в потоке или затухает. Исследованы возможные искажения растущих мод пластины в потоке по сравнению с собственными колебаниями в пустоте.

• В двумерной постановке численно исследована устойчивость пластины в потоке газа без дополнительных предположений о её размере. Построены границы устойчивости шарнирно опёртых и защемлённых пластин. Исследовано влияние параметров на границы разных видов неустойчивости.

• Аналитически исследовано развитие флаттерных колебаний в нелинейном приближении. Получены возможные виды установившихся колебаний и найдены их амплитуды. Показано, что при одних и тех же параметрах задачи могут существовать качественно различные установившиеся колебания — нерезонансные и с внутренним резонансом.

• Проведены экспериментальные исследования колебаний упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа. Впервые зафиксировано возбуждение одномодового панельного флаттера в реальной конструкции.

Достоверность результатов. Достоверность обеспечена использованием строгих аналитических методов исследования (методы глобальной неустойчивости, ВКБ, разложения по малому параметру, гармонического баланса), надёжных численных методов с контролем сходимости (методы Бубнова-Галёркина и контрольных объёмов), использованием многократно проверенных методов измерений в экспериментальном исследовании, частичным совпадением результатов, полученных аналитически и численно, совпадением теоретических и экспериментальных результатов, а также частичным совпадением полученных результатов с результатами других авторов.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы при проектировании самолётов, ракет и других летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью, а также других конструкций, взаимодействующих со сверхзвуковыми потоками газа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А. Г. Куликовского, профессора А. А. Бармина|, профессора В. П. Карликова и члена-корреспондента РАН О. Э. Мельника, совместном семинаре по аэрогидромеханике ЦАГИ -СПбГПУ - ИТПМ - НИИ механики МГУ, семинаре кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ под руководством профессора И. А. Кийко, семинаре отдела флаттера ЦАГИ, семинаре НИИ механики МГУ под руководством профессора С. Я. Герценштейна , XII школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Туапсе, 2004), 1-й и 4-й Европейской конференции по аэрокосмическим наукам EUCASS (Москва, 2005 и Санкт-Петербург, 2011), 6-й и 7-й Европейской конференции по механике твёрдого тела ESMC (Будапешт, 2006 и Лиссабон, 2009), коллоквиуме Euromech 483 «Геометрически нелинейные вибрации конструкций» (Порто,

2007), международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Москва, 2007), международной конференции «Авиация и космонавтика - 2008» (Москва,

2008), IX всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008), международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2009» (Москва, 2009), 9-й и 11-й международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2009 и 2011), всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2009), международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Звенигород, 2010), восьмой международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях NPNJ'2010 (Алушта, 2010), 7-м международном симпозиуме ASME по взаимодействию жидкости с конструкциями, взаимодействию потоков со звуком, вибрациям и шуму (Монреаль, 2010), двустороннем российско-тайваньском симпозиуме по современным проблемам механики (Москва, 2010), 8-й Европейской конференции по механике жидкости EFMC (Бад Райхенхаль, 2010), международном форуме по аэроупругости и динамике конструкций IFASD (Париж, 2011), XVI Байкальской

всероссийской конференции «Информационные и математические технологии» (Иркутск, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 41 работе, из них 14 — статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы из 180 наименований. Объём диссертации — 431 страница.

2. Содержание работы Введение

Во введении описано явление панельного флаттера, обоснована актуальность его исследования, описаны физические механизмы возбуждения флаттера. Дан обзор современного состояния литературы по панельному флаттеру Изложена структура диссертации и вопросы, рассматриваемые в ней.

Первая глава

Первая глава посвящена исследованию устойчивости безграничной по всем направлениям упругой изотропно растянутой пластины, обтекаемой с одной стороны однородным плоскопарралельным потоком газа. С другой стороны находится покоящийся газ, в общем случае отличный от движущегося (рис. 1).

В разделе 1.1 приведена постановка задачи. Толщина пластины h, плотность материала рт, растягивающее напряжение а и изгибная жёсткость £Vi3/12(l - v2) постоянны (Е иг/ — модуль Юнга и коэффициент Пуассона). Газы невязкие и совершенные с плотностями Pi, Р2 (индекс «1» соот-D , . ветствует движущемуся газу, «2» — по-

Рис. 1. Общии вид и система координат, коящемуся) и скоростями звука <ц и

.. «г; течение считается адиабатическим

Массовые силы отсутствуют. При этих условиях для исследования устойчивости достаточно рассматривать потенциальные возмущения обоих газов

Декартова система координат xyz выбирается так, что оси ж и у лежат в плоскости невозмущённой пластины, причём ось х направлена вдоль вектора скорости газа и, а ось z направлена в сторону движущегося газа (рис. 1).

Раздел 1.2 посвящён выводу уравнений движения, записанных относительно возмущений. Безразмерные параметры задачи определяются так:

М = — D --Е М - ^а!рт „ л Рг а2 , ч

а: 12(1 - i/2)afpm' М• ~ "^Г"' * = ^ = Х= £ (1)

Здесь М — число Маха движущегося газа, Б — безразмерная изгибная жёсткость пластины, Мт — параметр, характеризующий натяжение пластины, И2 — отношения плотностей газов к плотности материала пластины, х — отношение скорости звука покоящегося газа к скорости звука движущегося.

Обозначим потенциалы возмущения газов <р\ и прогиб пластины — т. Тогда замкнутая система уравнений в безразмерных переменных имеет вид:

+ & »о <2>

d2w fdipi „,<9^1 \ д<р2

+

,,, (d2w d2w\ ^ (d4w „ d4w д4ги\

z=0

Первые две строки в (2) — волновые уравнения для движущегося и покоящегося газов, третья — условия непротекания, две последние — уравнение движения пластины. Для выделения однозначного решения также ставятся условия достаточно быстрого затухания возмущений при x,y,z —► ±00 и гладкие начальные условия.

В разделе 1.3 доказано, что решение системы (2) с указанными граничными и начальными условиями существует и единственно. Доказано, что пластина устойчива тогда и только тогда, когда она устойчива в классе возмущений типа бегущих волн el(kxx+kyy-ut) ^ где ^ £ R. Получено дисперсионное уравнение — связь между волновым вектором {кх\ку} и частотой и>:

V(k,a,cj) = (Dk4 + М^к2 - ш2)-

(uj- Мк cos а)2 xw2 „ ,„,.

— /¿1—-========= — Ц2— — = 0. (3)

у/к2 - (ш — Мк cos а)2 у/х2к2 ' и2

Здесь к = + Щ и а = aiccos(kx/^jk2 + к2) — длина и угол волнового вектора с осью х. Первое слагаемое выражает вклад пластины, второе и третье — соответственно движущегося и покоящегося газов.

Таким образом, исследование устойчивости сводится к исследованию корней дисперсионного уравнения: система устойчива тогда и только тогда, когда для любых вещественных к, а величина lmw(k, а) ^ 0.

В разделах 1.4 — 1.6 исследуется устойчивость рассматриваемой системы, а также два частных случая: отсутствие пластины (тангенциальный разрыв между двумя слоями газа) и отсутствие покоящегося газа. В этих случаях дисперсионные уравнения получаются из (3) отбрасыванием соответственно первого и третьего слагаемого.

После перехода от а; к фазовой скорости с = и>/к и умножения дисперсионного уравнения на произведение входящих в него радикалов поведение его корней изучается с помощью принципа аргумента. Рассмотрим на комплексной плоскости с замкнутую кривую С, состоящую го отрезка вещественной оси и полуокружности бесконечно большого радиуса (рис. 2, а). Построим образ £ под действием левой части дисперсионного уравнения. Тогда число его корней с(к,а), лежащих внутри £ (а значит, во всей верхней полуплоскости), будет равно числу оборотов, совершаемых образом £ вокруг точки 0. Таким образом, для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы этот образ не совершал ни одного обхода.

части дисперсионного уравнения (б). Стрелкой показано направление обхода.

Пример построения образа £ показан на рис. 2, б в одном из возможных случаев. Видно, что он совершает 1 обход вокруг нуля, и система в этом случае неустойчива.

В разделе 1.4 изучается частный случай — устойчивость тангенциального разрыва. Эта задача, во-первых, представляет самостоятельный интерес, а во-вторых, является первым этапом исследования общего случая. Без ограничения общности считается, что х ^ 1- Введён безразмерный параметр х = ¡1-1/^2 = Р1/Р2, после чего в задаче остаются лишь три независимых параметра — М, х, х-

Результатом являются следующие достаточные условия устойчивости и неустойчивости:

• Условия неустойчивости: М < 1+\/2ууГ - х2х4 + при их ^ 1;

м ^ \/2х + 1 или

*Х2 > 1 ^_

• Условия устойчивости:

- х2х4 + 1/(хх) при юд ^ 1;

М > \/2х + \/2^х\/ - 1 + при хх2 > 1.

В случае хх2 > 1 в интервале \р1х

+1 < М < \[2х + л/2 может существовать 8

область устойчивости, не связанная с приведённой выше. При этом в трёхмерном пространстве параметров (М, х, х) вся область устойчивости односвязна.

При хх2 = 1 дисперсионное уравнение решается в явном виде и даёт классический критерий устойчивости М > (1+Х2/3)3/2, полученный Л. Д. Ландау.

Все приведённые выше результаты относятся к плоским возмущениям, параллельным потоку (а = 0). Учитывая, что при малых М тангенциальный разрыв неустойчив, а в дисперсионное уравнение М и а входят в комбинации Мcosa, получаем, что по отношению к произвольно ориентированным возмущениям разрыв неустойчив при любых параметрах задачи.

В разделе 1.5 изучается устойчивость в общем случае. Доказывается, что влияние первого слагаемого в (3) при малых к приводит к появлению обходов образа £ вокруг нуля, то есть длинноволновые возмущения всегда неустойчивы. Если М cos a - 1 < X) т0 коротковолновые возмущения устойчивы, если же М cos а — 1 > х> то и они являются растущими.

Рассмотрен случай малых (для реальных систем они имеют порядок Ю-4). В этом случае при не слишком большой длине волны можно отделить волны, порождённые пластиной, от волн, порождённых покоящимся и движущимся газами. Показано, что волны, порождённые пластиной, могут усиливаться, только если cq < М cosa - 1, где со — фазовая скорость волны, бегущей по пластине. Описан физический механизм усиления таких волн.

В разделе 1.6 рассматривается случай одностороннего обтекания. Критерий устойчивости — условие М < Mw, причём растущими являются длинные волны. Короткие волны всегда затухают. При pi <С 1 критерием усиления не слишком длинных волн является неравенство со < М cos a - Г, причём в случае неустойчивости растущими являются волны, порождённые пластиной.

В разделе 1.7 кратко сформулированы результаты главы 1.

Вторая глава

В этой главе в двумерной постановке проводится исследование устойчивости пластины, имеющей форму широкой полосы бесконечного размаха, обтекаемой с одной стороны сверхзвуковым потоком газа при постоянном давлении с другой (рис. 3). Для решения задачи на собственные значения применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости.

В разделе 2.1 приводится постановка задачи и уравнения для возмущений, аналогичные (2). Отличие состоит в том, что покоящийся газ отсутствует, рассматриваются плоские возмущения, размеры пластины ограничены, а вне неё поверхность z = 0 абсолютно жёсткая. В этой и следующей главах число Маха вычисляется для скорости, спроектированной на ось х: М = и cos в/ai. Кроме того, переобозначено ц ее /¿х. Параметры D, Mw совпадают с (1).

В разделе 2.2 описывается общий асимптотический метод, разработанный А. Г. Куликовским, с помощью которого решается задача на собственные значения. При достаточно больших размерах системы её собственные функции можно разбить на два типа. Первые, односторонние собственные функции, определяются граничными условиями, заданными на одной из кромок

пластины, и близки к собственным функциям полубесконечной в одном из направлений пластины.

Вторые, глобальные собственные функции, слабо зависят от граничных условий и определяются только свойствами системы внутри рассматриваемой области. Соответствующие собственные частоты на комплексной плоскости лежат в окрестности некоторой кривой П, тем ближе к ней и тем плотнее заполняя эту окрестность, чем больше протяжённость системы Ь. Кривая П определяется уравнением 1т к[(ш) = 1ткт(ш), где — ветви корней дисперсионного уравне-Рис. 3. Общий вид и система коор- ния безграничной системы Т>(к,и) = О, динат. отобранные определённым образом.

Таким образом, критерием устойчивости является следующее условие: кривая П и все частоты односторонних собственных функций должны лежать в нижней полуплоскости

В разделе 2.3 исследуются свойства дисперсионного уравнения. Доказано, что только четыре ветви его решений порождённые пластиной, являются физичными и должны использоваться при решении задачи на собственные значения.

В разделе 2.4 изучается глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений, когда » /л, \и\ » ц. Аналитически получено условие неустойчивости (флаттера): М > Мги+1. Построена часть кривой П, лежащая в высокочастотной области и найдена частота штах = (М -1) \/((М - I)2 - М£)/£>, которой соответствует наибольший рост возмущения. Для примера на рис. 4, б показана часть кривой О для параметров М = 1.5,

£> = 23.9, Мхи = 0, ц = 1.2-10~4, (4)

соответствующих стальной пластине в потоке воздуха на высоте 3 км.

Возбуждение высокочастотных собственных функций происходит так. Пусть, например, на передней кромке возникает возмущение в виде бегущей волны. При достижении ею задней кромки она отражается от неё и порождает две волны, бегущие в противоположную сторону. Однако, одна из них быстро затухает, и только вторая волна возвращается к передней кромке. При отражении от последней она превращается в исходную волну и затухающую волну, амплитуда которой при подходе к задней кромке становится пренебрежимо малой. Циклическое повторение этого процесса приводит к образованию собственной функции. Если усиление волны, бегущей по потоку, превысит затухание волны, бегущей против потока, то после каждого цикла отражений амплитуда волн будет увеличиваться, и вся собственная функция будет растущей. Усиление волны, бегущей по потоку, происходит при Со < М - 1, где Со — её фазовая скорость в отсутствии газа. В случае, когда со совпадает

0.0008 д ш<

а

б

1т ш

0.0004

0.0002 -

0

Яе ю

Ле (о

0.02

0.04

0.06

0

-0.0001-

0.002 0.006 £1 0.01

Рис. 4. Части кривой П, лежащие в области малых |о>| (а) и в области |ш| 3> Ц (б), для параметров (4), М = 1.5.

со скоростью распространения заднего фронта звукового возмущения в газе М — 1 (это происходит при частоте штах), возникает резонанс между волной в пластине и в газе, приводящий к наибольшему усилению волны и всей собственной функции, «составной частью» которой является эта волна.

В разделе 2.5 изучается глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений. Здесь также возможна неустойчивость (флаттер), но её тип отличен от высокочастотной. Получено условие неустойчивости и частота, соответствующая наибольшему усилению:

здесь А зависит от параметров задачи и меняется в диапазоне 0.433 < А < 0.595. Вид кривой О в низкочастотной области для случая неустойчивости показан на рис. 4, а.

В разделе 2.6 показано, что пластина, обтекаемая потоком газа, при используемых обычно граничных условиях защемления, шарнирного опирания и свободного края не имеет односторонних собственных функций.

В разделе 2.7 обсуждается физический смысл полученных результатов. Показано, что низкочастотный флаттер является флаттером связанного типа, при котором происходит взаимодействие двух собственных колебаний пластины (рис. 5, а). Он подробно исследован в литературе с помощью приближения поршневой теории. Указанное взаимодействие колебаний и переход к неустойчивости возможны лишь при достаточно большой плотности газа.

Высокочастотный флаттер имеет одномодовый характер: потеря устойчивости происходит без взаимодействия между собственными модами колебаний (рис. 5, б). Этот тип флаттера не может быть получен при использовании поршневой теории и практически не исследован. Характерной особенностью одномодового флаттера является то, что он может иметь место при сколь угодно малой плотности потока газа.

Объяснено известное в литературе отличие результатов исследования

Мш <

а

м 1т со

б

—п

11е со

о-Г

1

11е со

Рис. 5. Качественный вид траекторий движения собственных частот колебаний пластины при увеличении плотности газа и потеря устойчивости: при связанном типе флаттера (а), при одномодовом флаттере (б). Кружками показаны частоты в отсутствии газа, точками — в потоке.

устойчивости безграничных пластин и конечных пластин, имеющих большую протяжённость в направлении потока.

В разделе 2.8 обобщены и кратко сформулированы результаты главы 2.

Третья глава

В третьей главе оценивается применимость асимптотических результатов главы 2, касающихся одномодового флаттера, к пластинам конечной длины, (связанный тип флаттера не изучается, так как он подробно исследован в литературе). Рассмотрены четыре источника погрешности: неточность в определении давления, действующего на колеблющуюся пластину, использование метода глобальной неустойчивости при решении задачи на собственные значения, пренебрежение демпфированием колебаний пластины и наличием покоящегося газа со стороны пластины, противоположной обтекаемой.

В разделах 3.1 и 3.2 показано, что неточности при вычисления давления, действующего на колеблющуюся пластину, и при использования метода глобальной неустойчивости, вне окрестности частоты максимального усиления шшах пренебрежимо малы, если отношение ширины пластины к её толщине превышает несколько десятков. Практически все пластины, используемые в технике, удовлетворяют этому условию.

В разделе 3.3 исследовано влияние рассеяния энергии в материале пластины и конструкционного демпфирования на собственные функции и получено условие их роста при учёте демпфирования. Достаточно большое рассеяние в материале предотвращает флаттер пластин любой ширины, в то время как конструкционное демпфирование при достаточно большой ширине может быть сделано сколь угодно малым и не может подавить флаттер. Приведены примеры обтекания стальных, титановых и алюминиевых пластин, для которых показатель усиления колебаний при одномодовом флаттере в несколько раз больше, чем декремент затухания, вызванный рассеянием в материале.

В разделе 3.4 исследовано влияние покоящегося газа, находящегося со стороны пластины, противоположной потоку, и показано, что при М — 1 < х он не оказывает влияния на устойчивость, а при М — 1 > х он обладает демпфирующим действием и может частично или полностью подавить флаттер.

В разделе 3.5 кратко сформулированы результаты главы 3.

Четвёртая глава

В четвёртой главе в двумерной постановке изучается влияние пограничного слоя, образующегося на поверхности пластины, на её устойчивость (рис. 6).

Рис. 6. Течение около пластины.

В разделе 4.1 приведена постановка задачи. Уравнение движения пластины такое же, как в главах 1-3:

Ю

а4ю .,, д2ю д2ы

+ -7^Г+Р = О,

(5)

-М2 дх4 дх2 дР

отличие заключается в наличии пограничного слоя толщины 5, влияющего на возмущение давления р.

Раздел 4.2 посвящён выводу дисперсионного уравнения для безграничной пластины, находящейся в потоке газа с пограничным слоем. Считается, что возмущение имеет вид бегущей волны, ги(х, £) = ег(кх~"1). Профили скорости и температуры в пограничном слое считаются заданными. Течение плоскопараллельное (нарастание пограничного слоя не учитывается) и ламинарное (влияние турбулентности учитывается только в виде изменения профиля пограничного слоя), такая постановка традиционна в теории гидродинамической устойчивости. Возмущения описываются в невязком приближении, что можно обосновать следующим образом. При больших числах Рейнольдса, характерных для сверхзвуковых течений, влияние вязких решений системы уравнений для возмущений пограничного слоя (аналога уравнения Орра-Зоммерфельда в несжимаемой жидкости) существенно лишь при большой длине волны, когда критический слой находится близко к поверхности пластины. Поскольку длины волн, характерные для колебаний пластины, определяются её собственными модами и ограничены сверху, то при больших Г1е длинноволновые возмущения не могут реализоваться. В результате критический слой находится вдали от дна пограничного слоя, и решение имеет пятипалубную асимптотическую структуру, описываемую невязким уравнением — «сжимаемым уравнением Рэлея»

¿г

/ .йь с1и0

\

То - («о - с)2

Т0

к2(и0 - с)и = О,

(6)

где и0(г) и Т0{г) — безразмерные профили скорости и температуры, с = из/к — фазовая скорость волны, у(г) — возмущение вертикальной компоненты скорости газа.

Считая длину волны большой по сравнению с толщиной пограничного слоя и, соответственно, волновое число к — малым, можно пренебречь вторым слагаемым в (6), после чего это уравнение решается в явном виде. Удовлетворяя граничным условиям непротекания на поверхности колеблющейся пластины и склейки с решением волнового уравнения на внешней границе пограничного слоя, находим возмущение и затем — возмущение давления р на поверхности пластины. Подставляя его в (5), приходим к дисперсионному уравнению

7>(к,и) = (Бк4 + М$к2 - и2)-

(( (Мррк — и)2 У*..* (Г1 ТрЩу Л 1

^(Дт^ш^у + Ч/о ы^-1)) =0- {7)

При 5 0 оно в точности превращается в дисперсионное уравнение пластины в однородном потенциальном потоке (3) с а = дг = 0.

В разделе 4.3 исследуются решения дисперсионного уравнения для волн, которые В однородном потоке усиливаются (0 < С < Мое — 1). В случае, если профиль пограничного слоя обобщённо-выпуклый (то есть К/То)' < 0), то волна остаётся усиливающейся при любой его толщине 8, но скорость нарастания колебаний уменьшается. Если же профиль имеет обобщённую точку перегиба ((ид/2о)' = 0) в части пограничного слоя, сверхзвуковой относительно потока (то есть при щ < Мто — 1), то усиление волны больше, чем в однородном потоке при 0 < 6 < ¿1, и меньше, чем в однородном потоке при ¿1 < 5 < 6г; при 6 > ¿2 волна затухает.

В разделе 4.4 рассмотрены примеры автомодельных пограничных слоёв в сжимаемом газе и их действие на колебание пластины. Расчёты проведены при параметрах (4), Моо = 1.6. Пластина теплоизолирована, число Прандтля Рг = 1. Рассмотренные профили показаны на рис. 7, параметр автомодель-ности (3 определяется градиентом давления вдоль потока: течение ускоряется при (3 > 0 и замедляется при 0 < 0.

В разделе 4.5 исследована связь устойчивости пограничного слоя на упругой и на абсолютно жёсткой пластине. Построены примеры пограничных слоёв, устойчивых на недеформируемой пластине, приводящих к сколь угодно быстрому нарастанию колебаний упругой пластины.

В разделе 4.6 изучаются волны, которые в однородном потоке нейтрально устойчивы или затухают. Затухающие волны в пограничном слое остаются затухающими. Часть нейтральных волн остаётся нейтральной, часть — стабилизируется, часть — дестабилизируется. Последний случай аналогичен известной невязкой неустойчивости пограничного слоя Блазиуса в несжимаемой жидкости в случае упругой поверхности.

В разделе 4.7 методом глобальной неустойчивости исследуется устойчивость пластины конечной, но достаточно большой ширины, в потоке с пограничным слоем. Показано, что в случае обобщённо-выпуклого профиля сверхзвуковые (относительно потока) возмущения, растущие в однородном потоке, стабилизируются, но часть дозвуковых возмущений, нейтральных в однород-

для профилей 1-5 при к = 0.06 (б).

I 1ш шхЮ4 6

\ ы 6=0.5 j 1 \--6=0

v^C/ 5=2 к \

1 tOmax \ \ Re ш

0.02 0.04 0.06 \ 0.08 V \ '

■— ----—

Рис. 8. Кривые Я для профилей 1 (а) и 5 (б) рис. 7. Вертикальная штриховая линия соответствует переходу через скорость звука: с(ш) = Мж — 1.

ном потоке, становится растущей. В случае пограничного слоя с обобщённой точкой перегиба, расположенной в его дозвуковой части (именно так устроены автомодельные профили), дозвуковые возмущения, нейтральные в однородном потоке, становятся затухающими, а инкремент растущих сверхзвуковых возмущений увеличивается в тонком пограничном слое; в достаточно толстом пограничном слое сверхзвуковые возмущения становятся затухающими.

В разделе 4.8 рассмотрены примеры — профили 1 и 5 на рис. 7. Для них построены асимптотические кривые il (рис. 8). В первом случае при увеличе-

НИИ 6 происходит стабилизация сверхзвуковых возмущений и усиление дозвуковых. Во втором случае сверхзвуковые возмущения при достаточно тонком пограничном слое усиливаются быстрее, чем в однородном потоке, и затухают в толстом пограничном слое. Дозвуковые возмущения затухают.

Пятая глава

В пятой главе рассматривается задача об устойчивости прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, по отношению к одно-модовому флаттеру (рис. 9).

В разделе 5.1 приведена постановка задачи и система уравнений для возмущений. Она аналогична (2), за исключением того, что покоящийся газ заменён постоянным давлением, а вне пластины поверхность г = 0 абсолютно жёсткая. Безразмерные параметры М, Д Мш совпадают с (1), ц =

Рис. 9. Конфигурация рассматриваемой системы.

В разделе 5.2 получено условие усиления колебаний пластины в потоке. Пусть для рассматриваемой пластины справедлив динамический краевой эффект, то есть любое собственное колебание (имеющее вид стоячей волны) вне окрестности кромок записывается в виде

w(x,y,t) = cos^x+i^) cos(kyy+<py)e-iut

Представим его в виде суперпозиции четырёх бегущих волн:

= с1е^х+куУ-^+с2е*к*х~куУ-^+с3е1(--к*х~куУ-ш*) + с4е«-к*х+к«У-»»

(9)

Пронумеруем направления распространения волн соответственно номеру слагаемого в (9) (рис. 10). Тогда образование стоячей волны можно представить следующим образом. На одной из кромок возбуждается бегущая волна, движущаяся в направлении 1. Последовательно отражаясь от четырёх кромок пластины, она превращается в волны, движущиеся в направлениях 2, 3, 4. При последнем отражении она превращается в исходную волну, после чего процесс циклически повторяется. После нескольких циклов движение четырёх указанных волн приобретает установившийся характер, а их наложение приводит к образованию стоячей волны (8).

Пусть теперь пластина обтекается газом. Пренебрегая влиянием на него кромок пластины и зная его действие на бегущие волны, легко понять его действие и на собственное колебание в целом.

Рис. 10. Собственная форма колебаний пластины — стоячая волна (а) и её представление в виде суперпозиции четырёх бегущих волн (б). Цифрами обозначены направления распространения волн.

Действие газа на усиление волн согласно главам 1, 2 определяется фазовой скоростью волны в отсутствии потока с0 и углом а между направлением её движения и потоком. Вектор скорости газа можно разложить на две компоненты: лежащую в плоскости волны М cos а и перпендикулярную ей М sin а. i Тогда действие газа на бегущую по пластине волну определяется только первой компонентой: усиление волны происходит в том и только том случае, когда со < Мcosa — 1.

Рассмотрим теперь действие газа на собственное колебание. Для этого | представим движение волны как движение её отдельных участков (рис. 11). Траектории этих участков между кромками являются отрезками прямых линий, имеющих одно из четырёх направлений (рис. 10, б), а от кромок происходит зеркальное отражение. В зависимости от рассматриваемой формы колебаний траектории могут быть замкнутыми (рис. 12, а и б) и незамкнутыми i (рис. 12, в). Замкнутая траектория является замкнутой ломаной, а незамкну-I тая всюду плотна в прямоугольнике, очерчиваемом контуром пластины.

Будем называть циклом отражений участков волны период времени, за который их траектории вернутся в начальные точки (в случае замкнутой траектории) или близко к ним (в случае незамкнутой траектории). Вычисляя | вдоль каждой траектории изменение амплитуды за такой цикл, найдём изменение амплитуды и для волны в целом, поскольку траектории покрывают всю поверхность пластины. Изменение амплитуды за цикл отражений происходит, во-первых, при движении волны от одной кромки до другой из-за наличия мнимой части волнового числа (движение вдоль звеньев траектории),

а

6

в

Рис. 12. Траектории движения участков волны. Замкнутая траектория, симметричная относительно одной из осей координат (а), замкнутая траектория, несимметричная относительно осей координат (б), незамкнутая траектория (в).

и во-вторых, при отражениях от кромок пластины. Производя вычисления, получаем условие усиления колебания:

Ь 1т(А(к1) + Д(кз)) + к ЩА{к2) + Д(/с4)) < 0 (10)

Здесь 1\ и /2 — суммарные расстояния, проходимые траекторией в направлениях 1 и 2, Д(к) — приращение волнового числа, вызванное наличием газа и вычисляемое из дисперсионного уравнения.

Условие (10) позволяет определить наличие или отсутствие роста амплитуды для каждой траектории заданной формы колебаний. Если такой рост будет происходить на всех траекториях, то и само колебание будет усиливаться, если же на всех траекториях амплитуда уменьшается, то колебание затухает. Если на части траекторий амплитуда увеличивается, а на части — уменьшается, то суммарное поведение будет определяться дифракцией волн, которая рассматривается в разделе 5.5.

В разделе 5.3 рассмотрен случай, когда поток направлен перпендикулярно одной из кромок пластины. В этом случае условие (10) не зависит от траектории и определяется только рассматриваемым собственным колебанием, которое усиливается равномерно. Рассмотрено влияние параметров задачи на рост колебания. Показано, что существует такое Мтах(1), Мп1, р,), что при фиксированном М < Мтах и варьируемых размерах пластины быстрее всех будут расти собственные функции, имеющие одну полуволну в направлении, перпендикулярном потоку. При М > Мтах это, вообще говоря, не так.

В разделе 5.4 исследован случай произвольного направления потока и замкнутых симметричных траекторий. Искажения формы колебания в потоке при этом не происходит, критерий устойчивости — такой же, что в разделе 5.3.

Раздел 5.5 посвящён случаю замкнутых несимметричных траекторий. Форма колебаний в потоке по сравнению с пустотой изменяется: на разных 1 траекториях усиление колебаний различно, экстремумы соответствуют траекториям, соединяющим противоположные углы пластины. В этом случае необходимо учитывать «расплывание» возмущений в направлениях, перпендикулярных траекториям. Наиболее содержательным является случай, когда на части траекторий возмущение усиливается, а на части — затухает: «методом I траекторий» невозможно определить результирующее поведение возмущения. 1

Рис. 13. Собственная мода пластины в пустоте (а) и в потоке (б) при неодинаковом усилении возмущений на траекториях.

Для этого случая выведено уравнение движения пластины с учётом рас-плывания. Методом ВКБ показано, что в потоке газа, вместо одной собственной моды пластины в пустоте, образуется счётное число качественно других мод, сконцентрированных в узкой полосе около одной из экстремальных траекторий (рис. 13). Найдены их собственные частоты и критерий устойчивости. Растущими может быть лишь конечное число таких мод.

В случае незамкнутых траекторий искажение колебаний в потоке возможно, только если траектория близка к замкнутой несимметричной траектории.

В разделе 5.6 оценено влияние покоящегося газа. Он не влияет на усиление колебаний при М — 1 < х и может демпфировать их в противном случае.

Раздел 5.7 посвящен обобщению полученных результатов и формулировке алгоритма расчёта одномодового флаттера пластины.

Проведёны примеры расчёта панельного флаттера: дюралюминиевая панель обшивки летательного аппарата размером 220 х 750 х 1.5 мм и стальная пластина размером 300 х 540 х 1 мм, помещённая в аэродинамическую трубу А-7 НИИ механики МГУ. Результаты последнего расчёта используются при планировании эксперимента, описанного в главе 9.

В разделе 5.8 приведены основные результаты главы 5.

Шестая глава

В шестой главе в двумерной постановке численно исследуются границы устойчивости упругой пластины в сверхзвуковом потоке при использовании точной линеаризованной аэродинамики и без каких-либо ограничения на размер пластины. Покоящийся газ отсутствует.

В разделе 6.1 приводится постановка задачи. За основу берутся уравнения главы 1. Волновое уравнение с граничным условием непротекания на колеблющейся пластине решается с помощью преобразования Лапласа. Вычисление возмущения давления на поверхности пластины, колеблющейся по закону = \¥(х)е~шг, приводит к выражению р(х,<) = Р(х)е"ш, где

+

х

Его подстановка в уравнение движения пластины (5) даёт одно интегродиф-ферендиальное уравнение относительно прогиба У/(х), которое вместе с граничными условиями шарнирного опирания или защемления определяет задачу на собственные значения и.

Поршневая теория получается из (11) отбрасыванием интегрального слагаемого и сводит задачу к дифференциальной.

В разделе 6.2 описывается численный метод Бубнова-Галёркина и итерационная процедура вычисления собственных частот пластины в потоке. Частотное уравнение имеет вид с1е1 (К + Р(^) — Ьш21/2) = 0, где К — матрица жёсткости пластины, Р(ш) — матрица аэродинамических сил, I — единичная матрица, и решается численно. Исследуется сходимость метода и подбираются параметры расчёта, дающие решение с высокой точностью.

В разделе 6.3 переформулируются асимптотические результаты главы 2: область одномодового флаттера п-й моды имеет вид М* < М < М**, где

(12)

а шоп ~~ п-я собственная частота пластины в пустоте.

В разделе 6.4 рассматриваются результаты расчётов шарнирно-опёртой пластины. Расчёты проведены для параметров (4). Границы флаттера, полученные с помощью теории потенциального течения (11), показаны на рис. 14. Каждая мода имеет собственную область флаттера на плоскости М — Ь. С увеличением Ь границы флаттера М*(Ь), М**(Ь) уменьшаются и стремятся к асимптотическим значениям (12): М* —> 1, М** —> \/2 при £ —► оо. При некотором Ь (жирная штрихованная линия на рис. 14) происходит слияние 1-й и 2-й собственных частот и переход к флаттеру связанного типа. Это, однако, не влияет на 3-ю и последующие частоты, так что их границы устойчивости продолжаются в область более высоких Ь.

Для понимания природы одномодовой и связанной неустойчивости рассмотрим движение собственных частота на комплексной плоскости си, рассчитанное по теории потенциального течения. Для простоты будем следить за первыми тремя частотами, качественное поведение более высоких частот такое же. При Ь = 250, М = 1.6 все три частоты лежат в нижней полуплоскости (рис. 15, а), и соответствующие моды затухают. Сохраняя постоянным Ь, будем уменьшать М от 1.6 до 1.05. При М = М** (верхняя ветвь на рис. 14) п-я собственная частота пересекает вещественную ось иг и переходит в верхнюю полуплоскость, п-я мода становится неустойчивой. Важной особенностью этого перехода является то, что частоты не сближаются друг к другу, поэтому будем называть такой переход к неустойчивости одномодо-вым флаттером. При дальнейшем уменьшении М значения 1ти>„ достигают максимума и уменьшаются. При М = М* (нижняя ветвь на рис. 14) частоты снова пересекают вещественную ось; соответствующие моды снова становят-

-/¿=0.00006

---^=0.00012

/i=0.00024

Рис. 14. Границы устойчивости на плоскости М — Ь при £> = 23.9, Мт = 0, ц = 6 • Ю-5, 12 • Ю-5, 24 - Ю-5. Тонкие кривые: границы одномодового флаттера по модам 1-6, жирные кривые: границы связанного типа флаттера.

AlmcoxlO4

оМ= 1.6

• М= 1.05

• пустота

З^ІшсохЮ' 2

сої

О м= 1.6

А М=2.1 • пустота

Reco х103

Шз

Рис. 15. Траектории первых трёх собственных частот на комплексной плоскости и при D = 23.9, Mw = 0, ц = 12 • Ю-5, (а): L = 250, 1.05 < М < 1.6, (б): L = 300, 1.6 < М < 2.7. Сплошные и штриховые линии — результаты, полученные по теории потенциального течения и по поршневой теории, соответственно.

ся затухающими. Таким образом, п-я мода находится в области одномодового флаттера при М* < М < М**.

При расчётах по поршневой теории в диапазоне 1.05 < М < 1.6 (штриховые линии на рис. 15, а) перехода к одномодовой неустойчивости нет: все собственные значения лежат в нижней полуплоскости при всех М из этого диапазона. Следовательно, поршневая теория «не видит» одномодового флаттера и не может его предсказать.

Рассмотрим переход к флаттеру связанного типа. Возьмём L = 300 и будем увеличивать М. Изменяя М от 1.05 до 1.6, мы проходим через области одномодового флаттера первых шести мод, движение собственных частот качественно такое же, как на рис. 15, а. Траектории частот при дальнейшем увеличении М до 2.7 показаны на рис. 15, б. При М = 2.27 происходит слияние первых двух частот, первая частота пересекает вещественную ось при

М = 2.29, почти сразу после слияния. Показанные штриховыми линиями на рис. 15, б — траектории тех же частот, полученные в расчётах по поршневой теории. Видно, что они близки к тракториям, рассчитанным по теории потенциального течения. Флаттер связанного типа по поршневой теории возникает при М = 2.30, что близко к значению, рассчитанному по теории потенциального течения. При дальнейшем увеличении М разница частот, рассчитанных по двум теориям, практически исчезает, то есть поршневая теория очень хо-

Исследовано влияние параметров задачи — жёсткости D, натяжения Mw и безразмерной плотности потока ц. Существенная особенность асимптотических границ одномодового флаттера при L —> оо (12) — их независимость от ц; расчёты при нескольких значениях ц, показанные на рис. 14, подтверждают это свойство и при малых L. Для связанного типа флаттера, наоборот, это существенный параметр, поскольку связь двух мод пластины происходит через поток газа.

Рассчитаны линии уровня Im w = const. Фактически они являются границами устойчивости при наличии конструкционного демпфирования пластины.

На рис. 16 показано сравнение рассчитанных и асимптотических границ (12). Совпадение удовлетворительное при L > 150. Нижние ветви рассчитанных границ находятся несколько ниже асимптотических, в то время как верхние ветви коррелируют очень хорошо. Основным отличием рассчитанных границ от асимптотических является устойчивость пластины при малых L, в то время как асимптотические границы не исчезают при L —► 0.

В разделе 6.5 приведены аналогичные результаты расчётов для пластин, защемлённых по обеим кромкам.

В разделе 6.6 границы устойчивости сравниваются с другими работами.

В разделе 6.7 Сформулированы основные выводы главы 6.

Седьмая глава

В седьмой главе предлагается упрощённый метод построения границ одномодового флаттера, не требущий решения связанной аэроупругой задачи.

В разделе 7.1 описывается суть метода. Основная идея заключена в том, что при одномодовом флаттере собственные моды пластины в пустоте и в потоке близки. Пусть воображаемая пластина расположена на поверхности

рошо приближает точную при больших М.

М 1.6

1.4-1

1.2

1

АІ23456 Ml«*«« It и « и «•»•»*•

■*««««• н pL \ Г. . *, «• JV4

• і I'V- V» .^г-Ч^.., !'Ч |

\ч v-N^s^ \ \ *»>v "«is - -

-,---,—■—,---—

100 200 300 400 500 600

Рис. 16. Численные (сплошные) и асимптотические (штриховые) границы устойчивости первых шести мод при параметрах (4). Жирная линия — граница связанного типа флаттера.

расчётной области, в которой движется газ (рис. 17). Зададим движение поверхностных узлов сетки в виде собственного колебания пластины в пустоте

где IV (х, у) и и — собственная форма и частота, и будем рассчитывать нестационарное течение потока при таких колебаниях. Начальные и граничные

Рис. 17. Расчётная область.

условия соответствуют однородному потоку. Нестационарный газодинамический расчёт проводится в программе Апэуз СРХ методом контрольных объёмов. На каждом шаге происходит автоматическая деформация сетки (внутренних узлов) в соответствии с движением её поверхностных узлов. Колебания пластины (в терминах расчёта — движение границы области) приводят к возмущению давления газа. Расчёт продолжается до тех пор, пока отклик потока на гармоническое движение пластины не станет близким к гармоническому. После этого вычисляется работа, совершённая давлением газа на последнем периоде колебаний:

т

и = ! J р(х,у,г,Ь)-у(х,у,1)(18(И, (13)

о 5

здесь Т — 2тг/ш, 5 — поверхность пластины, р — давление, действующее на неё, V = {0; 0; дги/дЬ} — скорость движения точек пластины.

Знак Л является критерием флаттера. Если Г/ > 0, то поток энергии направлен от газа к пластине, колебания которой будут усиливаться. Если же I/ < 0, то энергия передаётся от пластины к газу и рассеивается в нём, колебания по этой моде затухают. Этот критерий должен быть проверен для каждой потенциально «флаттерной» моды. Если хотя бы для одной моды работа (13) положительна, то пластина неустойчива.

Расчёт описанным методом двумерной задачи (раздел 7.2) дал хорошее совпадение с результатами, полученными в главах 2 и 6. Сравнение расчётов

трёхмерной задачи (раздел 7.3) для прямоугольной пластины с асимптотическими результатами главы 5 показало хорошее совпадение для колебаний по форме (2,1) и сильное различие для форм (1,1) и (2,2) (первое число в скобках — число полуволн прогиба пластины в направлении потока, второе — в перпендикулярном направлении). Последнее объясняется влиянием конусов Маха, выпущенных из передних угловых точек пластины, в которых распределение возмущённого давления отлично от принятого в асимптотической теории и в двумерных расчётах главы 6.

В разделе 7.4 формулируются выводы седьмой главы.

Восьмая глава

Восьмая глава посвящена исследованию нелинейных колебаний пластины в потоке газа и амплитуд установившихся одномодовых флаттерных колебаний.

В разделе 8.1 приведена постановка задачи. Нелинейность задачи вызвана геометрической нелинейностью поведения пластины — наличием мембранных напряжений, возникающих при изгибе (модель больших прогибов Кармана). Возмущение давления газа, действующее на пластину, считается линейно зависящим от прогиба, так как аэродинамическая нелинейность существенно влияет на колебания пластины лишь при очень больших числах Маха (порядка 10) и в трансзвуковом диапазоне скоростей. Безразмерное уравнение движения пластины имеет вид

К — коэффициент нелинейности (для несмещающихся кромок К = 12D).

В разделе 8.2 приводятся результаты исследования линейной устойчивости, которые используются в разделе 8.4 для вычисления давления.

В разделе 8.3 методом Бубнова-Галёркина выводится система уравнений (вообще говоря, бесконечная) для амплитуд каждой собственной моды.

В разделе 8.4 выводится выражение для давления, полученное при следующих предположениях. Считается, что пластина находится в области параметров, где может возникать только одномодовый флаттер (нелинейный флаттер связанного типа детально исследован в литературе). При этом, поскольку собственные частоты пластины в потоке и в пустоте близки, действие потока сводится к аэродинамическому усилению (или демпфированию) колебаний. Система уравнений для амплитуд принимает вид

Ап(Ь) — амплитуда п-й моды, п = 1,2,..., коэффициенты а^ — скалярные произведения собственных форм. Влияние потока выражено во втором слагаемом (15). Коэффициент аэродинамического усиления рП2{ш) зависит от

d2w d2w „ .

= <14>

m,k,j=1

характерной частоты колебаний, причём имеется конечный диапазон частот и'п < и) < где его знак положителен (рис. 18), что соответствует одномо-довой неустойчивости в линейном приближении. Значения ш'п, и>п различны для разных мод и найдены явном виде как функции параметров задачи и, в частности, числа Маха.

В разделе 8.5 рассматривается случай, когда растущей в линейном приближении является одна (для определённости — первая) мода, остальные — затухают. Эта ситуация имеет место при небольшом углублении в область флаттера. Показано, что если амплитуда, колебаний не слишком большая, то в нелинейном приближении \Ап\ <С Ij4.iI, п > 1, и система (15) сводится к одному уравнению

^ - 2р12(ш)^- + А, + КаЪА\ = 0 (16)

Методом гармонического баланса доказано, что это уравнение имеет единственный предельный цикл. Доказана его устойчивость. Его частота ш = ш'^М) обеспечивает Р12 = 0, что эквивалентно отсутствию энергообмена между потоком газа и пластиной. Амплитуда колебания выражается через частоту также, как при свободных нелинейных колебаниях пластины в пустоте.

В частном случае шарнирного опирания амплитуда и частота зависят от М так (М - М* — граница флаттера):

А = \LsjM + М* - 2 • у/М - М*/(тг\/дК), и'1 = (М- 1)(тг/Ь)

В разделе 8.6 рассмотрен случай, когда растущими в линейном приближении являются две моды, внутренний резонанс отсутствует. Имеются три предельных цикла, в которых колебания происходят только по первой моде, только по второй, или по двум одновременно; частоты колебаний шп — ш'п-Такие предельные циклы названы простыми, в них каждая мода колеблется на той частоте, при которой отсутствует энергообмен между этой модой и потоком газа (так как рП2(а>„) = 0). Предельный цикл, в котором участвуют обе моды, возникает не сразу после потери устойчивости второй моды, а при больших скоростях. Найдены области устойчивости предельных циклов. Обсуждается распространение результатов этого раздела на случай неустойчивости по трём и более модам одновременно.

В разделе 8.7 исследуется случай дробного внутреннего резонанса между собственными модами пластины. В случае чётного резонанса, когда между 1-й и 2-й модами возникает соотношение частот 1:2, при малых ¡1 рождается предельный цикл, названный резонансным. Доказана его устойчивость. В отличие от «простых» предельных циклов, в резонансных циклах отсутствует энергообмен между пластиной в целом и потоком газа, но каждая мода по

зависимости рп

2

/у^з

/У і -7 і 1

' 1.07/1 1.14 1 1 1.34

V '/ --- 1 - •*-г- .....

отдельности может получать или отдавать энергию в поток. А именно, 1-я мода получает энергию из потока, передаёт её второй моде, которая, в свою очередь, передаёт её обратно в поток.

В случае нечётного резонанса 1:3 и малых ц доказано существование предельного цикла. Однако, область его существования устроена сложнее, чем при чётном резонансе: при незначительном увеличении скорости он может исчезнуть, затем появиться вновь.

Таким образом, возможно существование одновременно нескольких устойчивых предельных циклов — простых и резонансных. На рис. 19 показаны их амплитуды для защемлённой металлической пластины в потоке воздуха (£> = 23.9, Мю = 0,Ь = 300).

В разделе 8.8 рассматривается трёхмерная задача — нелинейные колебания прямоугольной пластины. При неустойчивости по одной моде результаты раздела 8.5 с незначительными изменениями переносятся на трёхмерный случай. В явном виде получена зависимость амплитуды предельного цикла от параметров задачи.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 М

Рис. 19. Амплитуда одночастот-ного цикла (1), резонансного цикла 1:2 (2), простого двухчастотно-го цикла (3). Линейные границы флаттера: М{ = 1.07, М2 = 1.13.

а

1 1.2 1.4 М 12 3 М

Рис. 20. Амплитуды колебаний стальной прямоугольной пластины в потоке воздуха на уровне моря, отнесённые к толщине. Одномодовый флаттер, Ьх = 146.67, Ьу = 500 (а). Связанный тип флаттера, Ьх/Ьу = 146.67/500, Мсг = 1-15, 2 и 3 (б).

В разделе 8.9 сравниваются амплитуды установившихся флаттерных колебаний при одномодовом флаттере и при флаттере связанного типа. На рис. 20 приведены рассчитанные амплитуды для конкретных пластин. Видно, что рост амплитуды при одномодовом флаттере происходит намного быстрее, чем при связанном: для достижения амплитуды порядка толщины пластины нужно превысить М за границу флаттера на ДМ ~ 0.1, в то время как для связанного типа флаттера — на ДМ ~ 1.

В разделе 8.10 приведены основные выводы главы 8.

Девятая глава

В девятой главе описывается постановка и результаты экспериментальных исследований флаттера. Цель эксперимента - подтверждение возникновения одномодового флаттера упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа.

В разделе 9.1 описана методика проведения эксперимента: конструкция модели, условия испытаний, использованная аппаратура, методика измерений и программа испытаний. На рис. 21 показана схема эксперимента: на стенку сверхзвуковой аэродинамической трубы А-7 НИИ механики МГУ устанавливается модель, включающая стальную прямоугольную пластину 300 х 540 х 1 мм, приваренную по периметру к раме модели. Пластина подобрана так, что в теоретическом анализе связанный тип флаттера возбуждаться не может, а одномодовый - может. Полость под пластиной перепускными каналами сообщается с областью течения, так что статический перепад давления на ней отсутствует.

Колебания пластины контролируются 12 тензодатчиками, наклеенными на ее поверхности, вибрации трубы - вибродатчиком, установленным на стенке рабочей части, высокочастотные перепады давления в потоке - датчиком пульсаций, установленным в рабочей части вблизи поверхности пластины.

При различных условиях течения в трубе, вообще говоря, возможно возникновение разных типов вибраций пластины - резонансов, вызванных воздействием трубы или потока, случайных вынужденных колебаний, флаттера связанного типа и одномодового флаттера. Для каждого типа вибраций сформулированы основные признаки, по которым его можно отличить при анализе спектральных и амплитудных характеристик измеренных данных.

В разделе 9.2 приводится методика обработки результатов. Она включает как спектральный анализ и определение типа колебания пластины, так и сравнение с расчётом по теории главы 5.

Раздел 9.3 посвящён исследованию собственных колебаний пластины. Приводятся результаты экспериментального определения собственных частот и форм, полученных методом ударного воздействия. Численными методами проанализировано влияние факторов, неконтролируемых в эксперименте -

стенки пластина трубы--

рама

пластина полость

\_у модель

' , Ч Ч Ч Ч

Рис. 21. Расположение модели в аэродинамической трубе, стрелкой показано направление потока воздуха (а). Фотография модели, установленной в трубу (б).

а

е-105

( а

0.8 0.9 1.1 1.2 1.3 А

А£=1.147 \ М=1.29 8 б

'Л 1 || |

о

0.02

,0 0.02

Рис. 22. Амплитуда динамических деформаций пластины как функция числа Маха. Кружками показаны экспериментальные точки, линия — интерполяция полученных значений (а). Процесс колебаний пластины при М = 1.147 (устойчивость) и М = 1.298 (флаттер) (б).

температурных напряжений пластины, воздуха в полости под пластиной (который работает как «аэродинамическая пружина» при симметричных колебательных модах), остаточных напряжений после сварки модели.

В разделе 9.4 приводятся и анализируются данные продувок. Анализом спектральных данных тензодатчиков, датчика вибраций и датчика пульсаций доказано, что в диапазоне 1.2 < М < 1.3 возбуждаются одномодовые флат-терные колебания пластины. При этом спектральные составляющие процесса колебаний при флаттере соответствуют собственным модам пластины, являющихся неустойчивыми в теории. На рис. 22 приведена амплитуда вибраций и процесс колебаний при разных числах Маха.

В разделе 9.5 приведены выводы девятой главы.

Заключение

В заключении подведены итоги работы и её основные результаты.

3. Основные результаты и выводы

Исследована устойчивость безграничной пластины, когда со стороны, противоположной обтекаемой, поддерживается постоянное давление. Получен критерий устойчивости и описан его физический смысл. Учёт покоящегося газа приводит к дестабилизации возмущений и неустойчивости системы при любых параметрах. Как предельный случай рассмотрена устойчивость тангенциального разрыва и найдены условия его устойчивости и неустойчивости.

Показано, что флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, может быть одним из двух типов: связанным и одномодовым. Первый является «классическим» флаттером пластины и подробно исследован в литературе в приближении поршневой теории. Второй тип флаттера возникает при более низких скоростях, не описывается с помощью поршневой теории и ранее

практически не исследовался. Выяснены физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, получены критерии устойчивости, найдены частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Рассмотрено влияние внутреннего трения в материале пластины и конструкционного демпфирования па границы флаттера и приведены примеры, когда они не могут подавить одномодовый флаттер.

Исследовано влияние пограничного слоя, образующегося в потоке на поверхности пластины, на границы одномодового флаттера. При обобщённо-выпуклом профиле пограничного слоя он демпфирует колебания и при достаточно большой толщине слоя может их подавить. В то же время, могут возбуждаться моды, устойчивые в однородном потоке. В случае профиля с обобщённой точкой перегиба пограничный слой усиливает растущие колебания при малой толщине, и приводит к затуханию при достаточно большой толщине слоя. Приведены примеры профилей пограничных слоёв, дающих сколько угодно быстрое усиление колебаний упругой пластины, но устойчивых на недеформируемой пластине в невязком приближении (при Re —► оо).

Для прямоугольной пластины больших размеров получен критерий, позволяющий для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она устойчивой по отношению к одномодовому флаттеру. Исследовано искажение колебаний при флаттере по сравнению с собственными колебаниями пластины в вакууме. Сформулирован алгоритм расчёта одномодового флаттера пластины и приведены примеры вычислений.

В двумерной постановке проведено численное исследование устойчивости шарнирно опёртой и защемлённой пластин в сверхзвуковом потоке. Построены границы устойчивости и показано, что они состоят из областей одномо-довой неустойчивости разных собственных мод и области связанной неустойчивости, при которой происходит взаимодействие 1-й и 2-й моды пластины. Исследовано влияние параметров задачи на границы разных видов флаттера. Построены линии уровня 1тш — const, которые являются границами устойчивости пластины с учётом конструкционного демпфирования пластины и могут непосредственно использоваться при проектировании летательных аппаратов.

Предложен упрощённый метод расчёта одномодового панельного флаттера, основанный на вычислении работы нестационарных сил давления на заданном собственном колебании пластины. Метод не требует решения связанной задачи аэроупругости и применим к оболочкам произвольной формы.

Исследованы нелинейные колебания пластины при одномодовом флаттере. Растущие колебания приводят к формированию предельного цикла, амплитуда которого найдена в явном виде. При неустойчивости по нескольким модам возникают разные предельные циклы, состоящие из разного количества собственных мод, в том числе циклы с внутренним резонансом. Показано, что при увеличении скорости потока амплитуда при одномодовом флаттере растёт существенно быстрее, чем при связанном.

Проведены экспериментальные исследования процесса колебаний пластины в сверхзвуковой аэродинамической трубе. Впервые зафиксировано возникновение одномодового панельного флаттера.

С точки зрения практических приложений, главная особенность одномо-дового флаттера — то, что он может возникать при более низких числах Маха и на более коротких пластинах, чем связанный тип флаттера. Типичные методы расчётов, использующиеся в сверхзвуковой аэроупругости, основаны на поршневой теории, которая неадекватно описывают аэродинамику при низких сверхзвуковых скоростях и не позволяет обнаружить и предсказать одно-модовый флаттер. Результаты настоящей работы могут использоваться при проектировании сверхзвуковых летательных аппаратов, что повысит их безопасность и срок службы.

Публикации по теме диссертации

Опубликована 41 работа по теме диссертации. Основные результаты изложены в публикациях, приведённых ниже. Все результаты получены автором самостоятельно, кроме главы 9, написанной по материалам работ [9,11-13,15]. В них автору принадлежит постановка и общее руководство экспериментами, проектирование модели, разработка программы испытаний, предварительные численные исследования, обработка и анализ результатов.

1. В. В. Веденеев. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Известия РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 19-27.

2. В. В. Веденеев. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

3. V. V. Vedeneev. Analytical investigation of píate flutter in supersonic gas flow// European conference for aerospace sciences (EUCASS). Moscow, 2005.

4. В. В. Веденеев. О высокочастотном флаттере пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 163-172.

5. Vasily V. Vedeneev. High-frequency flutter of rectangular plates// 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006.

6. В. В. Веденеев. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 173-181.

7. Vasily V. Vedeneev. Non-linear analysis of high-frequency panel flutter// Euromech Colloquium 483 «Geometrically non-linear vibrations of structures». Porto, 2007.

8. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины// Известия РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 197-208.

9. В. В. Веденеев, С. А. Рыжов. Определение динамических характеристик экспериментальной установки для исследования панельного флаттера и их корреляция с динамическими испытаниями// Труды международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2009». М.: РУДН, 2009. С. 90-96.

10. В. В. Веденеев. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории// Известия РАН. МЖГ. 2009. № 2. С. 169-178.

1. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Экспериментальное наблюдение одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа// Доклады РАН. 2009. Т. 427. № 6. С. 768-770.

. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, and Mikhail E. Kolotnikov. Experimental observation of single mode panel flutter in supersonic gas flow// 7th European solid mechanics conference (ESMC). Lisbon, 2009.

. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2010. № 2. С. 161-175.

. В. В. Веденеев. Исследование одномодового флаттера прямоугольной пластины в случае переменного усиления собственной моды вдоль пластины// Известия РАН. МЖГ. 2010. № 4. С. 163-174.

. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, Alexander F. Zubkov, Mikhail E. Kolotnikov. Experimental observation of single mode panel flutter in supersonic gas flow// Journal of fluids and structures. 2010. V. 26 (5). P. 764-779.

. Аксенов А. А., Веденеев В. В., Кузнецов К. В., Шишаева А. С. Моделирование сверхзвукового флаттера пластины посредством прямого сопряжения программных комплексов Abaqus и FlowVision HP С// Материалы 8-й Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010). М.: МАИ-Принт, 2010. С. 288-290.

. Vasily V. Vedeneev. Numerical analysis of single mode panel flutter in a viscous gas flow// Proceedings of the ASME 2010 3rd Joint US-European fluids engineering summer meeting. Montreal, 2010.

. Vasily Vedeneev. Study of single mode panel flutter at low supersonic speeds// Proceedings of International forum of aeroelasticity and structural dynamics (IFASD). Paris, 2011.

. Vasily Vedeneev. Flutter of aircraft panels at low supersonic flight speeds// Proceedings of 4th European conference for aerospace sciences (EUCASS). St. Petersburg, 2011.

. В. В. Веденеев. Флаттер пластины в потоке газа при низких сверхзвуковых скоростях// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (3). С. 680-682.

. Веденеев В. В., Колотников М. Е., Макаров П. В., Фирсанов В. В. Трёхмерное моделирование флаттера лопаток компрессоров современных ГТД// Вестник СГАУ. 2011. № 3 (27). С. 47-56.

. В. В. Веденеев. Одномодовый флаттер пластины с учётом пограничного слоя// Известия РАН. МЖГ. 2012 (принято к печати).

. Vasily V. Vedeneev. Panel flutter at low supersonic speeds// Journal of fluids and structures. 2012 (принято к печати).

Подписано в печать: 26.12.11

Объем: 1,9 усл.п.л. Тираж: 50 экз. Заказ № 7032 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Проспект Вернадского д.39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение

1. Явление панельного флаттера

2. Механизмы возбуждения флаттера.

3. Обзор литературы.

3.1. Исследования неограниченных пластин.

3.2. Исследования конечных пластин в точной аэродинамической постановке

3.3. Исследования конечных пластин с помощью поршневой теории.

3.4. Влияние пограничного слоя.

3.5. Нелинейные задачи.

3.6. Экспериментальные работы.

3.7. Новые направления в исследованиях панельного флаттера

4. Обзор диссертации.

1. Неустойчивость безграничной пластины

1.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

1.2. Вывод уравнений для возмущений.

1.2.1. Уравнение неразрывности.

1.2.2. Уравнение импульсов

1.2.3. Волновое уравнение.

1.2.4. Условие непротекания.

1.2.5. Уравнение движения пластины.

1.2.6. Замкнутая система уравнений

1.3. Решение уравнений движения. Бегущие волны.

1.3.1. Возмущения типа бегущих волн

1.3.2. Вывод дисперсионного уравнения

1.3.3. Преобразование Фурье-Лапласа и его свойства.

1.3.4. Решение для произвольного возмущения пластины

1.3.5. Дальнейшие вычисления.

1.3.6. Обоснование корректности вычислений.

1.3.7. Структура решения

1.3.8. Решение для произвольного возмущения пластины и газа

1.3.9. Переход к безразмерным переменным.

1.3.10. Частные случаи: тангенциальный разрыв и одностороннее обтекание.

1.4. Устойчивость тангенциального разрыва.

1.4.1. Метод исследования.

1.4.2. Случай

1.4.3. Случай

1.4.4. Частный случай: равные отношения теплоёмкостей

1.4.5. Поведение решений дисперсионного уравнения.

1.4.6. Возмущения с произвольно направленным волновым вектором.

1.4.7. Влияние поверхностного натяжения.

1.5. Исследование устойчивости в общем случае.

1.5.1. Неустойчивость длинных волн.

1.5.2. Поведение решений при изменении к.

1.5.3. Случай малых плотностей газов.

1.6. Устойчивость пластины при одностороннем обтекании.

1.6.1. Критерий устойчивости.

1.6.2. Случай малой плотности газа.

1.7. Выводы.

2. Неустойчивость пластины, имеющей форму полосы

2.1. Постановка задачи.

2.2. Неустойчивость одномерных систем.

2.2.1. Общее решение задачи с начальными и граничными условиями.

2.2.2. Глобальная и односторонняя неустойчивость.

2.2.3. Физический смысл односторонней неустойчивости

2.2.4. Физический смысл глобальной неустойчивости.

2.2.5. Слабая глобальная неустойчивость.

2.3. Свойства дисперсионного уравнения.

2.3.1. Разрезы и их асимптотические свойства.

2.3.2. Определение числа решений дисперсионного уравнения

2.3.3. Источник проблемы.

2.4. Глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений

2.4.1. Условие неустойчивости.

2.4.2. Физический механизм возникновения неустойчивости

2.4.3. Условие неустойчивости: продолжение.

2.4.4. Усиление возмущений вне окрестности максимального роста.

2.4.5. Усиление возмущений в окрестности максимального роста

2.4.6. Расположение собственных частот.

2.4.7. Влияние параметров задачи на высокочастотный спектр

2.5. Глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений

2.5.1. Поведение низкочастотного спектра при параметрах (2.3.6)

2.5.2. Упрощение дисперсионного уравнения.

2.5.3. Исследование устойчивости при отсутствии натяжения

2.5.4. Исследование устойчивости в общем случае.

2.6. Односторонняя неустойчивость.

2.6.1. Условие защемления.

2.6.2. Условие опирания

2.6.3. Свободный край

2.7. Обсуждение результатов.

2.8. Выводы.

3. Оценка точности решения задачи о флаттере пластины, имеющей форму полосы

3.1. Влияние ширины пластины на распределение давления

3.1.1. Источник погрешности.

3.1.2. Вывод уравнения движения пластины.

3.1.3. Решение уравнения и оценка погрешности.

3.2. Влияние ширины пластины на образование собственных функций

3.2.1. Оценка погрешности.

3.2.2. Примеры

3.3. Влияние демпфирования пластины на рост собственных функций

3.3.1. Вязкоупругое демпфирование.

3.3.2. Конструкционное демпфирование

3.3.3. Примеры

3.4. Влияние покоящегося газа.

3.5. Выводы.

4. Одномодовый флаттер пластины с учётом пограничного слоя

4.1. Постановка задачи.

4.2. Дисперсионное уравнение безграничной пластины в потоке газа

4.3. Влияние пограничного слоя на усиливающуюся волну.

4.4. Пример: профили ускоряющихся и замедляющихся течений

4.5. Связь дестабилизации пластины пограничным слоем и устойчивости самого слоя.

4.6. Влияние пограничного слоя на нейтральные и затухающие волны

4.7. Пластина больших, но конечных размеров

4.8. Примеры

4.9. Использованные ограничения.

4.10. Выводы.

5. Одномодовый флаттер прямоугольной пластины 204 5.1. Постановка задачи.

5.2. Условие усиления колебаний пластины

5.2.1. Динамический краевой эффект.

5.2.2. Переход от стоячей волны к бегущим волнам.

5.2.3. Действие газа на собственное колебание в целом

5.2.4. Построение собственной функции

5.3. Вектор скорости газа параллелен одной из сторон пластины

5.4. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины: равномерное усиление

5.5. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины: неравномерное усиление

5.5.1. Вывод основного уравнения.

5.5.2. Решение задачи на собственные значения.

5.5.3. Анализ решения

5.5.4. О пространственном росте собственных функций

5.5.5. Общий случай

5.6. Влияние покоящегося газа.

5.7. Примеры расчёта флаттера прямоугольной пластины.

5.7.1. Алгоритм расчёта

5.7.2. Флаттер обшивки летательного аппарата.

5.7.3. Флаттер пластины, испытываемой в аэродинамической трубе.

5.8. Выводы.

6. Численное исследование панельного флаттера

6.1. Постановка задачи.

6.2. Численный метод.

6.2.1. Описание метода решения.

6.2.2. Сходимость численного метода.

6.3. Асимптотические границы флаттера.

6.4. Результаты расчётов: шарнирно опёртая пластина.

6.4.1. Границы устойчивости-.

6.4.2. Влияние плотности потока

6.4.3. Влияние натяжения пластины на одномодовый флаттер

6.4.4. Влияние натяжения пластины на связанный флаттер

6.4.5. Влияние жёсткости пластины.

6.4.6. Инкременты усиления колебаний и сравнение с асимптотической теорией.

6.5. Результаты расчётов: защемлённая пластина.

6.6. Сравнение границ флаттера с другими работами.

6.6.1. Связанный тип флаттера.

6.6.2. Одномодовый флаттер.

6.7. Выводы.

7. Вычисление аэродинамического демпфирования

7.1. Численный метод.

7.2. Двумерная задача.

7.2.1. Сходимость.

7.2.2. Сравнение с расчётами методом Бубнова-Галёркина и асимптотическими результатами.

7.3. Трёхмерная задача.

7.3.1. Пластина в однородном потоке.

7.3.2. Влияние пограничного слоя.

7.4. Выводы.

8. Нелинейный одномодовый флаттер пластины

8.1. Постановка задачи.

8.2. Результаты исследования линейной устойчивости

8.3. Вывод уравнения для амплитуды.

8.4. Вычисление давления.

8.5. Простые одночастотные колебания.

8.5.1. Поведение мод, затухающих в линейном приближении

8.5.2. Поведение моды, растущей в линейном приближении

8.5.3. Пример

8.5.4. Поведение пластины при увеличении М.

8.6. Простые многочастотные колебания.

8.6.1. Предельные циклы.

8.6.2. Условия существования двучастотного предельного цикла

8.6.3. Устойчивость предельных циклов

8.7. Многочастотные колебания с внутренним резонансом.

8.7.1. Чётный дробный внутренний резонанс пластины в потоке

8.7.2. Нечётный дробный внутренний резонанс пластины в потоке

8.8. Колебания прямоугольных пластин

8.9. Сравнение амплитуд при одномодовом и связанном флаттере

8.10. Выводы.

9. Экспериментальное исследование панельного флаттера 360 9.1. Методика проведения эксперимента.

9.1.1. Схема эксперимента.

9.1.2. Описание модели.

9.1.3. Условия эксперимента.

9.1.4. Аппаратура и методика измерений.

9.1.5. Программа испытаний.

9.2. Методика обработки результатов.

9.3. Собственные колебания пластины.

9.3.1. Экспериментальное определение собственных частот и форм.

9.3.2. Факторы, не контролируемые в эксперименте.

9.3.3. Численное исследование неконтролируемых факторов

9.4. Анализ экспериментальных данных.

9.4.1. Трансзвуковые режимы работы трубы.

9.4.2. Режим М = 3.

9.5. Выводы.

1. Явление панельного флаттера

Настоящая работа посвящена изучению устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Эта задача возникает при изучении явления «панельного флаттера» — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха.

Выделим в обшивке крыла самолёта отдельную панель (рис. 1) и рассмотрим возмущение её состояния покоя. Такие возмущения неизбежно возникают а б и

Рис. 1. Рассматриваемая панель обшивки крыла. Вид крыла в плане (а), сечение крыла (б). при полёте, например, из-за перепадов давления воздуха и турбулентности. Чтобы ограничиться рассмотрением одной панели, будем считать, что она вмонтирована в жёсткую раму и обтекается с одной стороны потоком воздуха (рис. 2). Если скорость потока не очень велика, то энергия возникающих

Рис. 2. Колебание изолированной панели. возмущений рассеивается в потоке, и он обладает демпфирующим действием. Однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило, сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к панели, и возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком — положение панели становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают, что приводит к катастрофическому или усталостному разрушению панели.

Впервые панельный флаттер возник во время Второй мировой войны на немецких ракетах V-2 в 1944 г., в результате чего многие из них были подвержены разрушениям [1]. На самолётах этот вид флаттера, даже в случае разрушения отдельных панелей, обычно непосредственно не приводит к крушению, но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолёта и разрушению других систем. Так, в 1950-х гг. на одном из опытных американских истребителей в результате возникшего флаттера одной из панелей произошло разрушение трубопровода гидравлической системы, соединённого с этой панелью, что привело к крушению. На другой серии истребителей проблема повышенного шумового фона в кабине пилотов была решена после того, как было выяснено, что причиной является панельный флаттер обшивки [1]. Возникновение панельного флаттера зафиксировано на гиперзвуковом летательном аппарате North American Х-15. В 1960-е годы серьёзные проблемы с флаттером панелей имелись при разработке ракеты «Сатурн V» американской лунной программы «Аполлон» [1]. Панельный флаттер имел место на американском истребителе F-117A в 1980-х гг: после одного из испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [2]. Задача обеспечения устойчивости к флаттеру панелей решалась при проектировании самолёта-разведчика Lockheed SR-71 [3] и истребителя F-22 [4].

Необходимость предотвращение панельного флаттера возникала при проектировании перспективного гиперзвукового летательного аппарата Х-2000 (ЦИАМ) [5,6]. При этом рассчитывалась как модель самого аппарата, находящегося в гиперзвуковом потоке, так и пилона для стендовых испытаний, находящегося в локально трансзвуковом потоке.

В настоящее время явление панельного флаттера исследовано недостаточно, и его изучение остаётся актуальной задачей. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Активно обсуждаются и испытываются самолёты с гибкими крыльями, адаптирующимися к условиям полёта, что также требует уменьшения толщины обшивки. Разработка летательных аппаратов новых геометрических форм, внедрение новых материалов, в том числе композитов, меняет параметры обтекания панелей и их физические свойства, что также может привести к возникновению флаттера. Недостаточно хорошо изученным остаётся флаттер при трансзвуковых и низких сверхзвуковых скоростях.

9.5. Выводы

Проведены эксперименты по обнаружению одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке воздуха. Изготовлена пластина, которая,

Глава 9. Экспериментальное исследование панельного флаттера £■ 105 | ■-1-1-.-1-1-

О 10 20 30 40 50 60 70 80 г (в)

Рис. 9.34. Живой процесс колебаний пластины (вверху) и вибраций трубы (внизу) при третьем запуске. начиная с низких сверхзвуковых чисел Маха (М = 1.17) может быть подвержена одномодовому флаттеру, но связанный («классический») тип флаттер теоретически возникать не может. Колебания пластины контролируются 12 тензодатчиками, вибрации аэродинамической трубы — датчиком вибраций, пульсации статического давления в потоке — датчиком давления.

Проведены испытания в диапазоне 0.8<М<1.3и при М = 3. В резуль 106

АЛО* 3 il-ii * И f, ■■1 ' I. L' hi

111Ё1|1Ы1Ш™

III

ШЁшЛМёШШШш ki

M=3.0

1000 Q (Hz)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

П(Нг)

Рис. 9.35. Сверху: АЧХ колебаний пластины на режиме М = 3. Снизу: АЧХ вибраций трубы на режиме М = 3. тате сопоставления данных эксперимента с теоретическими предсказаниями определено, что при 1.2 < М < 1.3 пластина находится в области одномодо-вого флаттера. Основные аргументы:

• Резкий рост амплитуды колебаний, начиная с М = 1.2 (рис. 9.29), сильно превышающий рост вибраций трубы

• Значение М = 1.2 близко к теоретической границе устойчивости М = 1.17

• Выделение в спектре колебаний пиков, усиливающихся при увеличении М, соответствующих теоретически неустойчивым к одномодовому

Глава 9. Экспериментальное исследование панельного флаттера флаттеру модам

• Отсутствие сближения и слияния пиков, соответствующих неустойчивым к связанному флаттеру модам, при увеличении М.

При испытаниях на режиме М = 3 флаттера не обнаружено: амплитуда вибраций трубы больше, а амплитуда колебаний пластины — меньше, чем на трансзвуковых дофлаттерных режимах (М « 1.14 - 1.16). Это согласуется с теоретически ожидаемыми результатами: моды колебаний, на которых при М = 3 возможен флаттер, имеют слишком малые теоретические инкременты усиления колебаний, чтобы флаттер по этим модам мог реализоваться в действительности (то есть при наличии хотя бы минимальной диссипации).

Заключение

В работе исследована устойчивость пластины, обтекаемой с одной стороны потоком совершенного газа, в следующих постановках: безграничная пластина, пластина, имеющая форму полосы (двумерная постановка), и прямоугольная пластина. Во всех случаях с другой стороны от пластины поддерживается постоянное давление или находится покоящийся невязкий совершенный газ.

В случае безграничной пластины, когда со стороны, противоположной обтекаемой, поддерживается постоянное давление, получен критерий устойчивости и описан его физический смысл: рост амплитуды бегущей волны происходит тогда, когда газ «обгоняет» волну, а разница между фазовой скоростью волны и скоростью течения больше скорости звука в газе. Учёт покоящегося газа приводит к дестабилизации возмущений и неустойчивости системы при любых параметрах. Как предельный случай безграничной пластины рассмотрена устойчивость тангенциального разрыва и найдены достаточные условия его устойчивости и неустойчивости.

Для исследования устойчивости пластины, имеющей форму полосы, применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости. Получены два типа флаттера: связанный и одномодовый. Первый является «классическим» типом панельного флаттером и подробно исследован в литературе в приближении поршневой теории. Потеря устойчивости в этом случае происходит через слияние двух собственных частот колебаний пластины и возможна лишь при достаточно большой плотности потока газа. Второй тип флаттера не описывается с помощью поршневой теории и был впервые обнаружен асимптотическими методами. Потеря устойчивости происходит из-за отрицательного аэродинамического демпфирования одной из собственных форм колебаний; взаимодействия между формами при этом не происходит. Характерной особенностью одномодового флаттера является то, что он может иметь место при сколь угодно малой плотности потока газа. Выяснены физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, получены критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний.

Исследовано влияние различных факторов, неучтённых в асимптотическом анализе. Покоящийся газ не оказывает влияния на результаты при М — 1 < X и демпфирует колебания при М — 1 ^ % (М — число Маха, х — отношение скорости звука покоящегося газа к скорости звука движущегося). Рассмотрено влияние внутреннего трения в материале пластины и конструкционного демпфирования. Они по-разному действуют на пластину: достаточно большое рассеяние в материале подавляет флаттер пластин любых размеров, в то время как конструкционное демпфирование может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большой протяжённости пластины. Приведены примеры обтекания стальных, титановых и алюминиевых пластин, для которых показатель усиления колебаний при высокочастотном флаттере в несколько раз больше, чем трение в материале.

Объяснено известное в литературе отличие условий устойчивости безграничных и ограниченных пластин больших размеров. Устойчивость ограниченных пластин исследовалась с использованием поршневой теории, приводящей лишь к низкочастотному флаттеру. Но неустойчивость безграничных пластин, проявляющаяся в виде роста бегущих волн, связана с высокочастотным флаттером, а низкочастотный флаттер имеет другой механизм возбуждения и не связан с усилением бегущих волн.

Поскольку главный интерес представляет одномодовый флаттер, в случае прямоугольной пластины исследована неустойчивость именно такого типа. Получен критерий, позволяющий для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей. В случае, когда поток параллелен одной из сторон пластины, форма колебаний при флаттере не искажается по сравнению с колебанием пластины в вакууме. В случае потока, не параллельного кромкам, искажение возможно; выяснены его условия и причины. Найдены собственные моды и инкременты искажённых мод. Сформулирован алгоритм расчёта одномодового флаттера пластины и проведены конкретные вычисления. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. На этих примерах показано, что возможны ситуации, когда в пластине возникают одномодовые флаттерные колебания при отсутствии флаттера связанного типа. Влияние покоящегося газа аналогично двумерному случаю: он не влияет на колебания при небольших скоростях потока и демпфирует их в противном случае.

Изучено влияние пограничного слоя на одномодовый флаттер пластины при больших числах Рейнольдса в двумерной постановке. В случае безграничной пластины при обобщённо-выпуклом профиле скорости пограничный слой стабилизирует растущие волны, но дестабилизирует часть нейтрально устойчивых волн. Это поведение соответствует известным результатам о поведении пластины в несжимаемой и сжимаемой жидкости. В случае профиля с обобщённой точкой перегиба, исследованном впервые, влияние пограничного слоя обратно: при тонком погранслое часть растущих волн усиливается быстрее, чем в однородном потоке, при увеличении толщины усиление достигает максимума, при превышении определённой толщины слоя растущие волны полностью стабилизируются. За счёт подбора профиля и толщины пограничного слоя можно сделать усиление колебаний пластины сколь угодно быстрым. Поведение конечной пластины в форме широкой полосы аналогично безграничной пластине: в случае обобщённо-выпуклого профиля пограничного слоя растущие возмущения стабилизируются, а нейтрально устойчивые — дестабилизируются. В случае профиля с обобщённой точкой перегиба растущие возмущения усиливаются быстрее при тонком слое, и затухают при достаточно толстом. Нейтральные и затухающие волны полностью стабилизируются в пограничном слое большой толщины.

Методом Бубнова-Галёркина численно исследована устойчивость двумерной задачи при произвольных размерах пластины и широкого диапазона различных параметров (пограничный слой не учитывается). Построены границы устойчивости, в том числе для коротких пластин. Область одномодового флаттера значительно больше области флаттера связанного типа при низких М. При увеличении размеров пластины границы флаттера хорошо приближаются асимптотическими результатами. Показано, что влияние плотности потока на границы одномодового флаттера незначительно даже для коротких пластин. Другой интересный результат — границы флаттера связанного типа хорошо приближаются поршневой теорией специального вида даже при 1 < М < 2, хотя формально поршневая теория при таких низких скоростях неверна.

Предложен упрощённый метод исследования одномодового флаттера произвольных конструкций (пластины произвольной формы в плане, оболочки и т.д.), не требующий решения связанной задачи аэроупругости. Рассчитывается нестационарное обтекание конструкции, колеблющейся с постоянной амплитудой по собственной форме. На одном из периодов колебаний вычисляется работа сил давления, которая показывает направление передачи энергии между конструкцией и потоком и является критерием флаттера. Метод протестирован на двумерных и трёхмерных пластинах в однородном потоке и в потоке с пограничным слоем.

Решена задача о нелинейных одномодовых флаттерных колебаниях. Исследовались предельные циклы и зависимость их амплитуды от степени углубления в область флаттера. Доказано, что при некоторых условиях одновременно могут существовать несколько предельных циклов: «простой», при котором по каждой линейно неустойчивой моде происходят независимые колебания, и «резонансные», когда происходит передача энергии между различными модами.

Впервые проведены экспериментальные исследования одномодовых колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа. Анализируя сигналы тензодат-чиков, наклеенных на поверхность пластины, датчика пульсаций давления в потоке и датчика вибраций аэродинамической трубы, а также их спектров, установлено, что при 1.2 < М < 1.3 возбуждается одномодовый флаттер. Границы устойчивости и спекры колебаний находятся в удовлетворительном согласии с асимптотической теорией.

1. Garric 1.E., Reed W.H., III. Historical development of aircraft flutter// Journal of aircraft. 1981. V. 18. № 11. P. 897-912.

2. Zhou R.C., Lai Z., Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of nonlinear panel flutter with piezoelectric actuators using finite element method// AIAA journal. 1995. V. 33. № 6. P. 1098-1105.

3. E. Livne, T. A. Weisshaar. Aeroelasticity of nonconventional airplane configurations — past and future// Journal of aircraft. 2003. V. 40. № 6. P. 1047-1065.

4. D. S. Layton, W. D. Anderson, D. S. Piette. Consideration of Nonlinearities in the Aeroelastic Design and Testing of the F-22// Proceedings of International Forum of Aeroelasticity and Structural Dynamics (IFASD). 2009. Paper IFASD-2009-060. 12 p.

5. Dowell E.H. (ed.), Clark R, Cox D, Curtiss H.C, Edwards J.W, Hall K.C, Peters D.A., Scanlan R.H., Simiu E., Sisto F., Strganac T.W. A modern course in aeroelasticity. Kluwer Academic Pub., 2004. 752 p.

6. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

7. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory — new aerodynamic tool for the aeroelastician// Journal of the aeronautical sciences. 1956. V. 23. № 12. P. 1109-1118.

8. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек// Итоги науки. Механика. 1963. М.: ВИНИТИ, 1965. С. 34-90.

9. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек// Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 67-122.

10. Mei С., Abdel-Motagaly К., Chen R.R. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds// Applied mechanics reviews. 1999. V. 52. Issue 10. R 321-332.

11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

12. Dowell Е.Н. Aeroelasticity of plates and shells. Kluwer Academic Pub., 1974. 160 p.

13. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.

14. Takao Ishii. Aeroelastic instabilities of simply supported panels in subsonic flow// AIAA paper No. 65-772. 1965. 30p.

15. J. Dugundj, E. Dowell, B. Perkin. Subsonic flutter of panels on continuous elastic foundations// AIAA journal. 1963. V. 1. № 5. P. 1146-1154.

16. N. Peake. On the unsteady motion of a long fluid-loaded elastic plate with mean flow// Journal of fluid mechanics. 2004. V. 507. P. 335-366

17. N. Banichuk, J.Jeronen, P. Neittaanmaki, T. Tuovinen. Static instability analysis for travelling membranes and plates interacting with axially moving ideal fluid// Journal of fluids and structures. 2010. V. 26 (2). P. 274-291

18. L. Brevdo, A. Il'ichev. Multi-modal destabilization of a floating ice layer by wind stress// Cold region science and technology. 2001. V. 33 (1). P. 77-89.

19. P. W. Carpenter, C. Davies, A. D. Lucey. Hydrodynamics and compliant walls: Does the dolphin have a secret?// Current science. 2000. V. 79. № 6. P. 758-765.

20. Miles J.W. On the aerodynamic instability of thin plates// Journal of the aeronautical sciences. 1956. V. 23. № 8. p. 771-780.

21. Miles J.W. On panel flutter in the presence of a boundary layer// Journal of the aero/space sciences. 1959. V. 26. № 2. P. 81-93, 107. Перевод: О флаттере панелей с учётом пограничного слоя// Механика. Сборник переводов. 1959. № 4. С. 97-122.

22. Epstein R.J., Srinivasan R., Dowell Е.Н. Flutter of an infinitely long panel in a duct// AIAA journal. 1995. V. 33. № 1. P. 109-115.

23. Kornecki A. Aeroelastic and hydroelastic instabilities of infinitely long plates. II// Solid mechanics archives. 1979. V. 4. № 4. P. 241-346.

24. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA. 1946. Report № 846. 25 p.1

25. Дж. У. Майлс. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963. 272 с.

26. Кийко И.А., Показеев В.В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2009. № 1. С. 159-166.

27. Все цитируемые здесь отчёты NACA и NASA находятся в открытом доступе в интернете по адресамhttp://naca.laxc.nasa.gov, http://ntrs.nasa.gov, или http://trs.nis.nasa.gov.

28. Nelson Н.С., Cunnigham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.

29. Cunningham H.J. Flutter analysis of flat rectangular panels based on three dimensional supersonic potentional flow// AIAA journal. 1963. V. 1. № 8. P. 1795-1801.

30. D. R. Kobett. Research on panel flutter. NASA CR-80. 1964. 67 p.

31. E. F. E. Zeydel, D. R. Kobett. Flutter of flat plates with partially clamped edges in the low supersonic region// AIAA journal. 1965. V. 3 № 1. P. 17-22.

32. D. R. Kobett. Flutter of multiple-streamwise bay rectangulat panels at low supersonic Mach number. NASA CR-538. 1966. 30 p.

33. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of fluttering plate. II// AIAA journal. 1967. V. 5 № 10. P. 1856-1862. Перевод: Нелинейный флаттер пластины. II// Ракетная техника и космонавтика. 1967. Т. 5. № 10. С. 156-164.

34. Bendiksen 0.0., Davis G.A. Nonlinear traveling wave flutter of panels in transonic flow// AIAA paper 95-1486. 1995. 17 p.

35. Selvam R. P., Visbal M. R., Morton S. A. Computation of Nonlinear Viscous Panel Flutter Using a Fully-Implicit Aeroelastic Solver. AIAA paper 98-1844. 1998. 10 p.

36. Gordnier R. E., Visbal M. R. Computation of three-dimensional nonlinear panel flutter. AIAA paper 2001-0571. 2001. 17 p.

37. Bendiksen O.O., Seber G. Fluid-structure interactions with both structural and fluid nonlinearities. Journal of sound and vibration. 2008. V. 315 (3). P. 664-684.

38. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании// Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

39. Dong Min-de. Eigenvalue problem for integro-differential equation of supersonic panel flutter. Applied mathematics and mechanics. 1984. V. 5 (1). P 1029-1040.

40. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 211-222.

41. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

42. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 5. С. 700-706.

43. Микишев Г.Н. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в потоке// Известия АН СССР. OTH. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 154-157.

44. Махортых Ж.К. Устойчивость многопролётной панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 2. С. 174-177.

45. Bohon H.L. Flutter of flat rectangular orthotropic panels with biaxial loading and arbitrary flow direction. NACA TN D-1949. 1963. 33 p.

46. Метсавээр Я.А. О флаттере защемлённых пластин// Известия АН СССР. МТТ. 1969. № 4. С. 179-180.

47. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины// Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 4. С. 35-42.

48. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of fluttering plate// AIAA journal. 1966. V. 4 № 7. P. 1267-1275. Перевод: Нелинейный флаттер пластины// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 7. С. 149-159.

49. Dowell Е.Н. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous system// Journal of sound and vibration. 1982. V. 85 (3). P. 330-344.

50. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch., Roberts J.B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of a non-linear aeroelastic system// Nonlinear dynamics. 1998. V 15 (1). P. 63-81.

51. Лампер P.E. О применении некоторых аэродинамических теорий к расчёту флаттера панели// Прикладная механика и техническая физика. 1960. № 2. С. 147-149.

52. Новичков Ю.Н. О применении трёхмерной аэродинамической теории к задачам выпучивания и флаттера панелей// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. С. 138-141.

53. Минасян Д.М., Минасян М.М. Новое приближение в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа// Доклады НАН Армении. 2001. Т. 101. № 1. С. 49-54.

54. Минасян Д.М. Вычисление частот одномодных флаттерных колебаний конечной пластинки// Известия НАН Армении. Механика. 2001. Т. 54. № 4. С. 26-33.

55. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа// Учёные записки ЦАГИ. 1976. Т. VII. № 3. С. 8090.

56. Т. В. Benjamin. Effects of a flexible boundary on hydrodynamic stability// Journal of fluid mechanics. 1960. V. 9. P. 513-532.

57. M. T. Landahl. On the stability of a laminar incompressible boundary layer over a flexible surface// Journal of fluid mechanics. 1962. V. 13. P. 609-632.

58. А.И. Короткин. Устойчивость ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости на упругой поверхности// Известия АН СССР. МЖГ. 1966. № 3. С. 39-43.

59. Carpenter P.W., Garrad A.D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces: Part 1. Tollmien-Schlichting instabilities// Journal of fluid mechanics. 1985. V. 155. P. 465-510.

60. Carpenter P.W., Garrad A.D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces: Part 2. Flow-induced surface instabilities// Journal of fluid mechanics. 1986. V. 170. P. 199-232.

61. Савенков И.В. Подавление роста нелинейных волновых пакетов упругостью обтекаемой поверхности// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. № 1. С. 95-103.

62. В.В. Алексеев. О форме потери устойчивости пограничного слоя на гибкой поверхности при больших числах Рейнольдса// ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 811-823.

63. О. Wiplier, U. Ehrenstein. On the absolute instability in a boundary-layer flow with compliant coatings// European journal of mechanics B/Fluids. 2001. V. 20. № 1. p. 127-144.

64. Miles J. Stability of inviscid shear flow over a flexible boundary// Journal of fluid mechanics. V. 434. P. 371-378. 2001.

65. Dowell E.H. Generalized aerodynamic forces on a flexible plate undergoing transient motion in a shear flow with an application to panel flutter// AI A A journal. 1971. V. 9. № 5. P. 834-841.

66. Muhlstein L., Jr., Gaspers P. A., Jr., Riddle D. W. An experimental study of the influence of the turbulent boundary layer on panel flutter. NASA TN D-4486. 1968. 52 p.

67. Dowell E.H. Aerodynamic boundary layer effect on flutter and damping of plates// Journal of aircraft. 1973. V. 10. № 12. P. 734-738.

68. A. Hashimoto, T. Aoyama, Y. Nakamura. Effect of turbulent boundary layer on panel flutter// AIAA journal. 2009. V.47. № 12. P. 2785-2791.

69. Болотин B.B. Нелинейный флаттер пластин и оболочек// Инженерный сборник. 1960. Т. 28. С. 55-75.

70. Bein Т., Friedmann P., Zhong X., Nydick I. Hypersonic flutter of a curved shallow panel with aerodynamic heating// AIAA paper 93-1318. 1993. 15 p.

71. Gray Jr. C.E., Mei C. Large-amplitude finite element flutter analysis of composite panels in hypersonic flow// AIAA journal. 1993. V. 31 № 6. P. 1090-1099.

72. Resende H.B. Hypersonic panel flutter in a rarefied atmosphere. NASA CR-4514. 1993. 116 p.

73. A. R. Crowell, J. J. McNamara, В. A. Miller. Hypersonic aerothermoelastic response prediction of skin panels using computational fluid dynamic surrogates// Journal of aeroelasticity and structural dynamics. 2011. V. 2. № 2. P. 3-30.

74. A. H. Куликов. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом демпфировании в сверхзвуковом потоке газа// ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 271-281.

75. М.А. Sylvester, J.E. Baker. Some experimental studies of panel flutter at Mach number 1.3. NASA TN 3914. 1957. 25 p.

76. Shideler S. L., Dixon S. C., Shore C. P. Flutter at Mach 3 of thermally stressed panels and comparisons with theory for panels with edge rotational restraint. NASA TN D-3498. 1966. 23 p.

77. C.S. Ventres, Dowell E.H. Comparison of theory and experiment for nonlinear flutter of loaded plates// AIAA journal. 1970. V. 8. № 11. P. 20222030.

78. Gaspers P. A., Jr., Muhlstein L., Jr., Petroff D. N. Further results on the influence of the turbulent boundary layer on panel flutter. NASA TN D-5798. 1970. 45 p.

79. Маслов H.A., Шандаров JI.Г. Исследование области сверхзвукового флаттера плоских панелей// Колебания упругих конструкций с жидкостью (сборник статей). Новосибирск, 1976. С. 285-290.

80. Н. Taneda, М. Nagahata. A Study of supersonic flutter of composite panels// AIAA paper No. 95-3985. 1995. 12 p.

81. Panel flutter. NASA space vehicle design criteria (structures). NASA SP-8004. 1972. 53 p.

82. Laurenson R.M., McPherson J.I., Shore C.P. Design procedures for flutterfree surface panels// AIAA journal. 1979. V. 17 № 4. P. 398-399.

83. Lee I., Cho M.-H. Flutter analysis of composite panels in supersonic flow// AIAA paper 90-1180. 1990. 11 p.

84. Zhou R.C., Xue D.Y., Mei C. Finite element time domain-modal formulation for nonlinear flutter of composite panels// AIAA journal. 1994. V. 32 № 10. P. 2044-2052.

85. Abdel-Motaglay K., Chen R., Mei C. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements// AIAA journal. 1999. V. 37 № 9. P. 1025-1032.

86. В.И. Матяш. Флаттер упруго-вязкой пластинки// Механика полимеров. 1971. № 6. С. 1077-1083.

87. Г.С. Ларионов. Нелинейный флаттер упруговязкой пластинки// Известия АН СССР. МТТ. 1974. № 4. С. 95-100.

88. Кийко И.А. Флаттер вязкоупругой пластины// ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 172-175.

89. Б.А. Худаяров. Численное решение нелинейных задач о флаттере вяз-коупругих оболочек// Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7. № 3. С. 277-282.

90. Б.А. Худаяров. Алгоритмизация задачи о флаттере вязкоупругих трёхслойных оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа// Вычислительные технологии. 2005. Т. 10. № 4. С. 111-117.

91. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа// Доклады РАН. 2005. Т. 401. № 3. С. 342-344.

92. Craig G. Merrett, Harry H. Hilton. Elastic and viscoelastic panel flutter in incompressible, subsonic and supersonic flows// Journal of aeroelasticity and structural dynamics. 2010. V. 2. № 1. P. 53-80.

93. Duan В., Abdel-Motagaly K., Guo X., Mei C. Suppression of supersonic panel flutter and thermal deflection using shape memory alloy// AIAA paper 2003-1513. 2003. 10 p.

94. Ю. А. Степанянц, А. Л. Фабрикант. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях// Успехи физических наук. 1989. Т. 159. Вып. 1. С. 83-123.

95. А. М. Фридман. Модифицированный критерий Ландау стабилизации неустойчивости тангенциального разрыва скорости в сжимаемой среде// Успехи физических наук. 1990. Т. 160. Вып. 10. С. 179-183.

96. П. Ю. Георгиевский, В. А. Левин. Управление обтеканием различных тел с помощью локализованного подвода энергии в сверхзвуковой набегающий поток// Известия РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 154-167.

97. Vasily V. Vedeneev. Panel flutter at low supersonic speeds// Journal of fluids and structures. 2012 (принято к печати)

98. В. В. Веденеев. Одномодовый флаттер пластины с учётом пограничного слоя// Известия РАН. МЖГ. 2012 (принято к печати)

99. Веденеев В.В., Колотников М.Е., Макаров П.В., Фирсанов В.В. Трёхмерное моделирование флаттера лопаток компрессоров современных ГТД// Вестник СГАУ. 2011 (принято к печати)

100. В. В. Веденеев. Флаттер пластины в потоке газа при низких сверхзвуковых скоростях// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (3). С. 680-682.

101. Vasily Vedeneev. Flutter of aircraft panels at low supersonic flight speeds// Proceedings of 4th European conference for aerospace sciences (EUCASS). St. Petersburg, 2011.

102. Vasily Vedeneev. Study of single mode panel flutter at low supersonic speeds// Proceedings of International forum of aeroelasticity and structural dynamics (IFASD). Paris, 2011.

103. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, Alexander F. Zubkov. Studies of panel flutter phenomenon al low supersonic speeds// Proceedings of Taiwan-Russian bilateral symposium on problems in advanced mechanics. M.: Изд-bo МГУ, 2010. С. 244-250.

104. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, Alexander F. Zubkov, Mikhail E. Kolotnikov. Experimental observation of single mode panel flutter in supersonic gas flow// Journal of fluids and structures. 2010. V. 26 (5). P. 764779

105. В. В. Веденеев. Исследование одномодового флаттера прямоугольной пластины в случае переменного усиления собственной моды вдоль пластины// Известия РАН. МЖГ. 2010. № 4. С. 163-174.

106. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2010. № 2. С. 161-175.

107. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, and Mikhail E. Kolotnikov. Experimental observation of single mode panel flutter in supersonic gas flow// 7th European solid mechanics conference (ESMC). Lisbon, 2009.

108. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Экспериментальное наблюдение одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа// Доклады РАН. 2009. Т. 427. № 6. С. 768-770.

109. В. В. Веденеев. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории// Известия РАН. МЖГ. 2009. № 2. С. 169-178.

110. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины// Известия РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 197-208.

111. Vasily V. Vedeneev. Non-linear analysis of high-frequency panel flutter// EUROMECH Colloquium 483 «Geometrically non-linear vibrations of structures». Porto, 2007.

112. В. В. Веденеев. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 173-181.

113. Vasily V. Vedeneev. High-frequency flutter of rectangular plates// 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006.

114. В. В. Веденеев. О высокочастотном флаттере пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 163-172.

115. В. В. Веденеев. Прогнозирование дозвукового безотрывного флаттера лопаток осевых компрессоров газотурбинных двигателей// Международный сборник «Надёжность и долговечность машин и сооружений». Киев, 2006. № 26. С. 38-44.

116. В. В. Веденеев. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

117. V. V. Vedeneev. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow// European conference for aerospace sciences (EUCASS). Moscow, 2005.

118. Веденеев В. В. Прогнозирование флаттера лопаток компрессоров газотурбинных двигателей// Труды 3-й российской конференции «Методы и программное обеспечение расчётов на прочность». Туапсе, 2004. М.: ФГУП НИКИЭТ, 2005. С. 138-142.

119. В. В. Веденеев. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Известия РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 19-27.

120. В. В. Веденеев. Устойчивость упругой пластины в потоке газа при наличии на её поверхности пограничного слоя// Тезисы докладов 11-й международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики». М.: МЦНМО, 2011. С. 34.

121. V. Vedeneev. Numerical study of 3D single mode panel flutter// Abstract book of Euromech fluid mechanics conference (EFMC). Bad Reichenhall, Germany, 2010. P. S2-11.

122. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Наблюдение одномодового панельного флаттера в эксперименте// Тезисы всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред». Владивосток: Дальнаука, 2009. С. 28.

123. В. В. Веденеев. Численное исследование панельного флаттера с использованием точной аэродинамической теории// Тезисы докладов международной конференции «Авиация и космонавтика 2008». М.: МАИ-ПРИНТ, 2008. С. 71.1. Литература

124. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный флаттер пластин// Тезисы докладов всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Москва, 2007. С. 37-38.

125. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный панельный флаттер// Тезисы докладов международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов: Изд-во

126. Саратовского университета, 2007. С. 30-31.

127. В. В. Веденеев, А. Г. Куликовский. Неустойчивость плоской упругойпластины, обтекаемой потоком газа// Тезисы докладов XII школысеминара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004.

128. М.: Изд. МГУ, 2004. С. 22.

129. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1976. 576 с.

130. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T. I. М.: Наука, 1976. 536 с.

131. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

132. Miles J.W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet// Journal offluid mechanics. 1958. V. 4. P. 538-552.

133. Лаврентьев M.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексногопеременного. М.: Наука, 1973. 736 с.

134. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

135. Ландау Л.Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемойжидкости// Доклады АН СССР. 1944. Т. 44. № 4. С. 151-153.428

136. Сыроватский С.И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой среде// Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1954. Т. 27. Вып. 1 (7). С. 121-123.

137. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 432 с.

138. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний// Известия АН СССР. ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 148-153.

139. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

140. Hersh R. Boundary conditions for equations of evolutions// Archive for rational mechanics and analysis. 1964. V. 16. № 4. P. 243-264.

141. Минасян Д.М. Флаттер упругой пластинки при малых сверхзвуковых скоростях потока газа. Сравнительный анализ// Известия НАН Армении. Механика. 2001. Т. 54. № 3. С. 65-72.

142. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера// Известия РАН. МТТ. 1999. №. 1. С. 170-176.

143. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчёт самолёта на прочность. М.: Машиностроение, 1966. 520 с.

144. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

145. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. 231 с.

146. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

147. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек// Известия АН СССР. ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 5. С. 831-842.

148. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок// Инженерный сборник. 1961. Т. 31. С. 3-14.

149. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглогцающие свойства конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1971.

150. Lees L., Lin С.С. Investigation of the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid. NACA TN № 1115. 1946. 85 p.

151. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. M.: Изд-во иностранной литературы, 1958. 195 с.

152. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

153. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972. 320 с.

154. Lees L., Reshotko Е. Stability of the compressible laminar boundary layer// Journal of fluid mechanics. V. 12. P. 555-590. 1962.

155. Куликовский А.Г. О глобальной неустойчивости однородных течений в неодномерных областях// ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 2. С. 257-263.

156. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

157. Муравей Л.А. О корнях функции Ai'(z) — oK\{z)// Дифференциальные уравнения. 1975. T. XI. №. 6. С. 1054-1077.

158. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

159. Ribeiro P., Petyt М. Non-linear vibrations of beams with internal resonance by the hierarchical finite element method// Journal of sound and vibration. 1999. V. 224 (4). P. 591-624.

160. Han W., Petyt M. Geometrically nonlinear vibration analysis of thin, rectangular plates using the hierarchical finite element method. Part I: The fundamental mode of isotropic plates// Computers and structures. 1997. V. 63. № 2. P. 295-308.

161. H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955. 410 с.

162. Д. Стокер. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во иностранной литературы, 1952. 264 с.

163. Аэродинамические установки Института механики Московского университета. Под ред. Г.Г. Черного, А.И. Зубкова, Ю.А. Панова. Изд-во МГУ. 1985. 44 с.

164. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир. 1972. 381 с.