Применение асимптотического метода к анализу панельного флаттера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Р Г Б

I н ,

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ОД

На правах рукописи

ДУБОВСКИХ ЮРИП АНДРЕЕВИЧ

ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К АНАЛИЗУ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА

Специальность 01.02.06 - динамика, прочнооть машин,

приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации не соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Институте машиноведения

им. Л.А. Благонравова РАН

Научный руководитель - академик РАН,

профессор В.В. БОЛОТИН

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А.Г. Горшков

доктор технических наук, профессор Е.П. Кудрявцев

Ведущая организация - МГГУ им. Баумана (г.Москва)

Защита состоится "п 1В9Ь г. в/^час.

на заседании диссертационного совета К 063.16.12 в Московском внергетическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., дом 17, ауд. Б-114

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 1П2Б0, Москва, Красноказарменная ул., дом 14, Ученый Совет МЭИ (ТУ).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан " $щ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

--

А.В. Петровский

Актуальность проблема.

Задачи флаттера полелей п оболочек в оверхавуковом потоке ¡порше бит поотавлэпы в конце БО-х - начало 50-х годов в связи ! развитием авиационной я посгачэской тошш. В течение ряда дат уш ревепня о тих вадач пргзлшшгоь клаосическиэ прябливешше ко-■оды прикладной теории упругости п теории колэбашЛ. В пооледние десятилетия пирокоо применение получали метода вычислительной ке-: блики. Эти ко года повиолявт пейтп числэшше рэпэаия задач в поо-•аповке. |;акгат::злы10 прзблпгянной к уолоЕЗЯМ рэа.шной работа коя-¡трукцЕй. Однако, полученше тгас-д путем данные, моазо рассматра-1ать только как результаты вычислительного вкмгарпггзпта (дает при достаточно сироком пэркгэтрзческоя анализе). Остается необходимость построения опалитичосхих рееокла, повеоляе-дх боло о глубоко ¡ропикнуть в физическую оуцпость явлений при сохранении попрершз-гай связи ко яду пеходтпя деншеа п результатам решения задачи. 1рода такт кетодоз видное гесто о оптант асгсотготяческие 1.*9тодц, •о есть такие аналитические г;этоди, которые позволяют получить [риблигэпное репоние, которое при определенных условиях мало отли-[аетоя от точного репзння.

Цель диссертации.

Применение асЕШТотаческого «этода Болотина для определения раннц панельного флаттера и амплитуд уотаноиивЕихоя колебаний !лл широкого класса упругих плоских панелей, прямоугольных в пла-ю.

Цетод исследования.

Для анализа панельного флаттера использован аспшгготнческия ютод, предлогепный В.В.Болотшшм для анализа собстсешшх колеба-кй упругих тел (1960 г.) и распространенный далее кшоггога авто-кия! па сироклй класс задач колебаний и устойчивости. Ослогнлщгз* шторой при применении в то го »го то до к задачам панельного флатте-1а является присутствие породдап^его репения типа бегущей еолнн. >пределенные сложности вносит такте и учет начальных усилий, ¡ействующих в срединной поверхности.

Основные задачи:

Исследовать влияние начального натягения в срединной поверх-юсти на условия уотойчивости панелей при различных способах их

зацвмлешя по контуру.

Изучать форш потерн уотойчшюогп при поиэльши фяаттеро, оодерззцво составлявши тепа бегудей волны.

Оцепить шаппкэ начального натязонш в сродиппо2 поверхности на форш колэбаппй панели к частоту колебаний на грешщв флаттера.

Оценить погресность асимптотического кэтода как по относительной нввягкв при удовлетворенна граничным условиям, тыс в сравнэнлем с результатам, предоставляемыми другие! методами.

С использованном полученных при помощи асимптотического ие-тода форы и чветот определить амплитуда установившегося панельного флаттора вблизи границ устойчивости.

Оценить влияние начального шгяхзнпл и граничных условия на аншштуда уотаношвапхея колебаний.

Научная новизна диссертационной работы.

1. Построены асиглгготичо01010 ресения для задач устойчивости упругих прямоугольных в плане предварительно растяпу тих пластш. Изучены условия нэЕироздагшя дшагдгееских краевах оффоктов.

2. Получены числашше значения критических парезатроз поток! соответотвукцах форма-.! потери устойчивости типа флаттера, в вави-сихоотя от растягивавши. усилий, дайотвуиги в среданно2 плоскости пластина. Задача реевна для различных случаев соотпосоная размеров сторон, внешнего в внутреннего декп&зровашт и способов закрепления кроиок пластшш.

3. Построены форш аероупругих колебании пластшш на границе устойчивости для разных случаев соотногэння разборов сторон, внекаего и внутреннего демпфирования и способов закрепления кромок.

4. Рэсена задача о нелинейных гакритичеекпх колебаниях прямоугольной предварительно растянутой пластшш. Ресэние построено в виде суперпозиции распространяющихся по потоку волн, подправляемой у задней кромки волной краевого эффекта.

Б. Построены амплитуда предельных циклов и поправки к критическим частотам флаттера в аонаоимоотн от относительного превышения критической скорости флаттера.

Практическая цэннооть работы. Результаты работы в виде качественных и количественных выводов, I

такго в форш олгорзтоов и прогрс.гд, гзогут быть псдалыюваны пра расчета конструкция, тзаш^годзйствупт.пс оо опорхапукопхсл потоком.

Апробация работа.

Розультаты дтооертвцисшюа работа долозэш на Коллогск?у?.*э Евреях 241 "Нэлинэйпыэ волпы в актнвянх средах" (Талпгп, 1388 г.), Научно - технической коп^зрэпцся "Аарогпдроупрутооть элэкэнтов иагян а сооругэппЗ" (Ооваотополь, 1990), XII Конференции иолодах учо:шх ШШ] АН СССР (Носнва, 1589).

Объо;з робота.

Даосартяция состоят пз четырех глав, сводал результатов п перечня нспольэуо;юй литературы. Работа пзлогэпа па 130 стр. :.?а-ишюписпого токстп, содэргат 80 ряо, 7 таблиц. Список литератур« вклэтаэт 1СЮ нагазноввниЗ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой глава кратко oiraoono разЕпткв тоорпа аэроупругоста и ее роль в совремонпоЗ техника, дсн обоор литература по проблеме панельного флаттера. В обворэ раоскотроиы вадачп устойчивости упругих панелей в сворхвзуковш потоке газа, а такгэ вадачп нелинейного фдаттора пластин. Подчэрзшутэ актуальность проблем панельного флаттера для современной авиация п космонавтики. Отмечены существенные достагэтшя в этой области кок отечоствэтшх (В.В. Болотип, A.C. Волыяр, А.Г. Гортсов, Н.И Еингэр, P.E. Лкшэр, A.A. 1'овчая, D.H. Ноелчксв, ), так и зарубешых (АвЫеу Н., Свп-ntngfiaa H.J., Do-all E.H., Fung Т.П., Milee J.tf., Helaon H.C.) исследователей. Сформулировали цель н содерзапио диссертации.

Во второй главе прпконен астаптотпчаский метод В.В.Болотина к задачам об устойчивости упругих пластин в сверхзвуковом потока газа. Проведен параметрический анализ задачи о флаттере пластины Результаты сопоставлены с результатами, полученшкя по методу Бубнова - Галэрйина.

Критические параметры флаттера определены из решения соответствующей линейной задачи. В этом случае уравнение возмущенного дкшвиия имеет колебательные реиания о вкспоненциально нарао-

тапцэй во времени амплитудой.

Рассмотрим прямоугольную в плане упругую изотропную плаоти-иу со оторопшв! а( и а2 (рис I). Стороны пластины, распологюнпао вдоль потока, сарнирно оперты. Пластина с одной стороны обтек&эт-

ся сверхзвуковым потоком газа о нэвозиуцэшюЯ скоростью и в противоположном оси х, направлении. Продпологгм, что давление на нешюй поверхности пластшш рашо доалешэ в вовоаиуцешои потоке газа. Избыточное аэродпнеш^чэскоэ давление на колебллцувоя пластину вычисляем по лилейному прзбятганпт) поргневой теорш. Првдпо-логз31, что справедлива теороыа Ляпунова об уотойчшзоота по первому ПрабЛЕЕЗШЗО даш упругих систем.

Линеаризованное уравнение колебаний упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа сдает следущпЯ вид1):

Он Л? 1 ^я „ОЪ 01,]

(I)

Си О^п

+ ер »1 — + р П — - О,

° вг ° охг

где ^Д) - функция прогиба, Ъ, р0Ь. - цилиндрически вест-кость и поверхностная плотность пластины, рю, сю - плотность и скорость звука в невозыущэнноа потоке газа, Л - оператор Лапласа, е - коэффициент внешнего демпфирования, т) - параметр внутреннего

I) Болотин В.В. Неконоервативные задачи упругой устойчивости. и.: Физматтаз. 1961. 339 о.

ч

1 + Т] —] ААи + р в

ог! 00

демпфирования по модэла СсЛиа, Н0 - начальное рвотягнваг=«эе усилие в срединной повсртпостя плоотееи.

На кроссах плаотппы елкшютгол гршшчняо уавокзя

вТ7 О2*

тт - — - О. I - О.в,; я - —=• - О, х_ - 0,а_. (2)

лс, 1 1 ^ ^

б2^ Л

я - - О, х - 0,а ; V - ■ 0, х, - 0,а, . (3)

Запптзм линейпсе урагаэппо авроупругпх колебаний пластали п граничные условия в СезрасмэрпоЯ фор.»

[1 + т) —]дд» I 0х\

Л?

0-«

ОН

+ V + вт2

(4)

0*

— - О, х, - ОД ; V

Лс. 1

?1

Ч

О, х2 - 0,1

(б)

— О бт^

0,\

0,1,

(6)

где 0 - параметр скорости потока, ? - параметр дегспффования (7 -*> е0 + е), v0 - парвкэтр начального натягепия А. - параметр отношения размеров (X - &^/аг).

Применим к краевой задаче, стсиваш.тай уравненшгш (I) -(6), астттотачэскнй «этод, прэдлогэншЗ В.В. Болотншм?' для ре-пения задач о колебаниях упругих тел. Слэдул идее этого метода, отроим пороядмг'во рввеше в Езде суперпозиции двух волн, распространяющихся в направлении потока:

2) Болотин В.В. Краевой еффэкт прт колебаниях упругих оболочек // 1ШМ. 1960. Т. 24. Вып. Б. О. 831 -842.

3) Зингер Н.И. Дшшические краевые (эффекты при аороупругих колебаниях пластин // Кзп. АН СССР. ШТ. 1984. Л 5. С. 17Б-180.

!Т

Я

я

- а -

ч0(х1,хг,1) - Не^01в1рЧ(к'1)х1 - ол)1 +

+ Огвхр11(к1(а)х1 - оя)}}]01111^X2, (7)

где к|1> и к^2комплексные волновые числа по перешпной х?, удовлетворяйте условшш 1п к'3)> о. Не к{ ^} < О (3=1,2), - ш-цественное волновое число по пэрвкэнной т^ (в этой главо пришла-ли^-тс), С, л 0г - произвольные поотояшшэ. Построэкпое уравно шш удовлетворяет уравнению (4) в той случае, если

(1 - 10к<*> -

- 1ты - Ш2 = О, з -1.2. (8)

В окрестности каздой на кромок пороцдаюзоэ реаэние корректируем рвсепияка тина динаглачеокого краевого вф$екта

и(х1Рх2,а) - Я,(х1)ехр(-1ыч)о1пкхг. (9)

После подстановки шрагэния (9) в уравнение (4) получеэы уравнение, чаотшвш рэиэшшд! которого являются ехр (г^х 1), гдэ г^ и -« 1,2,3,4) - корпи харантористнчеокого уравнения

[1 - 1ттш}г4 - [гк2 - 1т)ш] + у^г2 - рг + - 1тр] -

- - О. (10)

В силу (8) это уравнение шгает два корня г1 - 1к{1' и гг -- 1к{гЭти корни соответствуют пороадвзсцеыу реаэшго. Корни г3 и гд расположены в разных полуплоскостях, так как по предпологешш мнимые части К.{15 и к{2' имеют один и ют 58 знак. Для корня т4, располокэиного в правой полуплоскости, справедливо соотноиенне Ие тл = |Яе г3| + 1ш к{1 > + 1п к|г). Этот корень определяет дана шчесхий краевой вффвкт на передней по потоку краже. Оба дсттгагл ческнх краевых эфХекта экспоненциально затухают при удалении от кромок.

Репения, удовлетворягцив уравнению и граничным условиям,

страх а корректировкой пороздзгцэго рэпонил дапа'ячэскп:гл краесы-в$фэктаги. Удовлетворяв грснпчшгл условиям п выразив копстапты Сг и 0Д через С1, получаем рввэалл у подпой п породней по потоку

1фОМКЛ

Г Г1 _

,(х,1М « ОЛехрСг,!,) + -- охр((г, - г,,)* + г2х, 1 +

(. Г4 - Р2

«Ф1Г/Х, - X) + г,м|. (II)

г - г + 2 '

Г* - Г2

{ Г1 - гз (X, |0)=с1 ^ехр(г1х1) + —-- ехрСг^)

I гз " гг

Г„ - Г,

2 ехр(Г3х1)|. (12)

г - г

з 1г

В работе рассмотрены пластшш о отношением размеров И 2. Для подобных пластан дейстЕнтельпая часть корпя г3, соответствующая д!шшг1ческому краевого аффекту у задней кроияи, бывает близкой к действительной частя одного из корней, соответствупцях по-роздпсзеод рввенка. В этом случае погреЕПОоть стшопш становится значительной; поэтому рэсеппе (12) в окрестности передней кронхз подправляем соотсетствугзцп дгпжэтескпм кроекш еффектом. Удовлетворив граничным условия:! на передней кройке, получаем однородную систему линейных уравнений относительно констант. Уравнение стыковки получаем из условия существования нетривиального ревения ситемы

[гз - гг)[г4 - г1) - (гз - г,)[г< - г2)е*Р[<гг - г, + [г4 - г3](гг - г,)ехр[(г3 - г,)Х]-0. (13)

Для пластины с пэрнирно опертыми поперечными кромкета условия стыковки получаем аналогичным образе»«

[4 - 4Ш - г?) - н - - г1]ехр[<г2 - г, >*]+

+ (1* - - 1*)ехр[(г3 - ^ )Х1-0. (13)

Критические пврамэтры флаттера определяем кшегашацпвй целевой функции о посаговшд чнашшш репэншы урагаэшш (10). Поле вуп функцет прэдетавляеи шдулэм .взвой часта ургшпаппВ (13) не (14) в зоваизлэста от способа закрепления поперечных кроион.

На ряс. 2 п 3 показаны границу устойчивости по частоте с паршэтру окороотп в завпссшотп от начального натягэнпя дяя разного значения внутреннего декпЗцроваызя. Увеличение снугрэнпого

О 10 го 30 40 50

Рис. 2

й. Х-2 7-0.05

0.05^

1Т-0.005

"о

Рко. 3

демпфирования приводит к росту критического параметра скорости вне зависимости от начального натягения. Для частоты существуют определенные значения начального катягзпия, начиная о которого увеличение внутреннего демпфирования приводит к уыэньоенш» критического параметра окороотн. Величина порогового значения начального натяжения уиеньпается с увеличением отношения размеров пластины.

Во второе главе оценена пэ вязка репенпя, полученного по асимптотическому методу, которая определялась как отнозениэ прогиба пластины при х, > & к мксспмалъпому прогибу пластины.

Невязка ш прогибу пэ прэвызает IX, а по проивводной прогиба пе более 33. Уведгчапне отнопонил равмэров плаотшш приводит тс укэньсвютв невязка.

Проведано сравнение результатов, получентх по асимптотическому методу Болотина, о рэвультатгаги, полученшдга по кэтоду Бубнова - Галэркяпа. Реаэнпэ, полученное по вариационному ьютоду, тгпо считать практически точным, если в разлоги гаш по ооботвен-шм формам удормшо восемь членов ряда. Расхождение ресенпЗ по прогибу составляет пе более 1%.

Значения критических парсгэтров флаттера, получепше по асимптотическому методу, таксе хорошо согласуются со Бпачеппсс!, полученными по вариационному методу. В большинство случаев рас-хоядение га яду результатами находится в пределах 15.

Третья глава посвгщэна реавнив задачи об уотойчпвооти упругих пластин о EscTKO вадэлашшня продольными кромками, в сверхзвуковом потоке газа. Построено регшше типа дапкпческого краевого и$фокта в поперечном потоку направленна. Проведан анализ устойчивости плаотш в ввепсззостп от отноз9вия разтзэров сторон для различии значений начального натя=энил в срединной плоскости. Сопоставлены границы флаттера для пластин о различным типом закрепления крогхж. Поотроопы фора аэроупругях колебаний на границе устойчивости.

рассмотрим прямоугольную в плшэ упругую изотропную пластину, находящуюся в сверхзвуковой потоке газа (pao. I). Кромки плаотшш, распологеппые вдоль потока, пэотко заделали. Для них записан слэдуг^пе граничные уоловия

От

w---О, х_ - 0,1 . (16)

Реиенпе уравнения (4) в окрестности кромок плаотшш, параллельных направлению потока, ицем в виде

wd^Xg.D - W2(x2)expli(k1(;,)x1 - m)J, J = 1.2. (16) •

Пооле подстановки выражения (16) в уравнение (4) получаем уравне-

низ частшага решениями которого являются ), где (Д -

- 1,2,3,4) - корни характеристического уравнения

[ч2 - (к}3')2]2- [(к,'3']^ О. 3 - 1.2 . (17)

где - волновое число порождаксуэго ревэния в направлении осп х^.

Чисто шише корни я2 соответствует пороздапзаму росеппю (7). Корни чд легат в разных полуплоскостях когшлэксного та-решнного, а соответствующие ем росения являютоя ре-зния^п типа динамического краевого Еф$экта. Так как к}*1, 3 » 1,2 комплексные, то краевые вффекты будут осциллируизоак

В окрестности кромки х2 « О скорректированное ресениэ принимает вид

н(х1,х2|0,х) - и0(ж1,х2,х)|в1п(кг(х2 - |2)1 +

+ ^■В1[ехр(-9)1х2)сов(0г1х2) + ехр(-912хг)сов(е22хг)}|, (18)

где 0 - |Не Ч3^ 1. в2;) - |1ш ч3;)|, 3 - 1.2, £2 - фаза пороцдав-■цэго репения в направлении оси х2. После удовлетворения граничны» условиям были определены функция тангеноа фазовой постоянной и константа Б,

Подобным образом строим решение тг(Э(х1 ^11,т), удовле творя-идее граничным условиям на кромке х2 = 1 и стремящееся к породда-ицему решению при удалении от кромки во внутрь области. Уравнение стыковки в направлении оси х2 имеет вид

- агс^ Р21 + агс1# ?22 + п^х , п>2 - 1,2,3,... (20)

Критические параметр« флаттера соответствуют минимуму целевой функции, в качеотве которой взято абсолютное значение левой

часта уравнения (13) или (14). На коддом йоге ьишг^изации итерационным г» то дои рэавоц ототеыу урагзюпий, оостопцуг из характеристического уравнения (10) п уравнения стыковки (20), Кз систена уравнений определяем волаосао числа. Затем Еипииизацнэй целевой функции определяем виачепля и р,.

На рзо. 4 п б показали границы устойчивости по частоте и параметру скорости в ваЕяоз,х>отп от отнозеная рзв^эроа плаотлш для различных олучеэв начального ватягэння в срединной плоскости. Плаотипа гэотко аадолапа по воеиу контуру.

Устойчивость плаотпш в осорхзвукопга потоке геоа суцеотвен-пыч образе?« зависят от способа зскрэплэкпя ее кротгок, что проиллюстрировано на рзо. 6 а 7. Наиболее устойчивой к явлении типа флаттера является геото оахреплзппая по всему контуру пластина (крлгне I ), пе~::эеэо уотойчпзой - плаотипа, все кре-гз которой ввряирцо оперты (крлгне 4). Крутая 2 соответствуют случав соотко-го закрепления поперечных кро!лок и шарнирному оппршпго продольных, кривые 3 ольтернатинпону способу закрепления. При отпозепня размеров Л < 1.4 значения критических ппрЕ;,-отров флаттера для второго типа закрепления кромок шзе ооотиетсвукда значений для третьего типа пвяреплэния. Дальнейшее уселпчвИЕв А. приводит к проттаопологаоиу сСфэкту. При другх впачешях этих параметров X, 7, т) качестпзптй характер раопологэния кривых устойчивости пе таняетоя.

Исследован характер колэбанпа плоспгш при значениях частота и парсяэтра скорости, ооответствус^ях границе области устойчивости. Репеппэ на границе устойчивости гз^еет пид

вг^.х^т) - Ие^, (х, )ехр(-1ш,т)]пг(з2). (21)

На рио. 8 представлены форггы авроупругах колобапий пластины зскопленной по коптуру. Авроупругие колебания плаотин на границе устойчивости содержат влеиенты Оегупей волны. Наксямаль-пое значение прогиба достигается в области задней по потоку кромки.

Четвертая глава посвязэна ренегата задачи о нелинейном флаттере упругой изотропной прямоугольной пластины.

Для панели обаивкн летательного аппарата превшение критической скорооти флаттера необязательно означает немедленное раз-

ISOO

0 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Рис. 4

Рис. 5

3200

2400

О' 1

РИС. 6

Рис. 7

Рис.

8

руление панели. В закрптической области начинает сказываться фок-тор геоиэтрпчоокоа нелинейности. В средшноО поверхности шшэлз воледотшэ необлюапня закрепленных кроток возникают дополнительные раотягнваЕцзе усилия. Эта усолил ограничивают нараотвшзэ амплитуда н пртодят к возникновению устсновпвпшхоя колэбательных циклов. Разрушение плаотпны нооят усталостный характер. Для оценки ресурса пластины необходиш определять характеристика предельных циклов - амплитуду и частоту, которые могут быть определена ка решения нелинейной задачи.

Запкзем в безразмерной форде уравнение нелинейных колебаний

пластины

(<9 } дп , чЗггс в2»? дш

1 + ^Г* - ^ - + "НЙ? - + + 0г«

+ —5 - 0. (22) 0т2

Безразмерные выражения для растягивагцих устий, возникащах в срединной плоскости в результате несблиЕэния кромок, возьмем в пртблпгзпноы виде

\1 А,)

6 ГГгОн "|г 6 ГГГОи 1г

00 оо

Граничные условия соответствуют условиям (б) и (6).

Решение нелинейной задачи стропы в виде суперпозиции двух распространявшихся по потоку волн, экспоненциально модулированных по пространственной переменной. В окрестности ааднеС кромки эту суперпозицию подправляем волной краевого аффекта, распространяющейся в противоположном направлении.

При решении нелинейной задача волновые числа и показатели вкспонент принимаем равными пх значениям при критических параметрах флаттера, в амплитуду и частоту вычисляем с учетом нелинейного взаимодействия.

Репание нелинейного уравнения представляем в виде

а(х1,хг,1) = 1»(11,х)в1пта2>

17(х^г) - и, (г^т) + Я,*!,.!),

где П1(х1,х) - комплексная, Т?( л) - ксжплексно сопрягенная форг.ы репэння, I?(зс^ ,■;) - репенне в действительной форме. На границе областп флаттера решение (23) имеет вид

Н(х,,х) = £ е1р(1о)ах)е1р(га11), а = ±1,±2,±3. (24)

Отрицательные индексы а соответствует комплексно сопрягонпым величинам, т.е. все г^- ?а, - -иа.

В области флаттера, достаточно близкой к грачице, моено принять, что

Жх, ,т) = £ А (х)ехр(г х ), а = it.i2.i3, (25)

а

где А_а= Аа- Из граничных условна (Б) следует, что с точностью до кевязки асимптотического метода все тшлитуды Аа могло выразить через А1 и А_1 следующим образом:

Аа = саА?' (26>

где 0,-1, С2—(Гд-Г, )/(г3-г2), С3-(г2-г, )/(г3-г2), С_а-Са. Кроме

того, введены обозначения А® = А, при а > 0 и А® =■= А1 при а < 0.

Подставим (26) с учетом (26) в уравнение (22). Получаем нелинейное дифференциальное уравнение относительно комплексных амплитуд

I {[■ * ъ] И - 'К - - & ? V«]«

* ^ I - 'V? * *

) - О, а-±1,±2,±3. (27)

Под Бд^ и поннмаютоя следундиэ выражения:

Зсф - + У^1 - ф ■ 1Ь±2.±3-

^ = гГ+°Гр [е1рЦГа + ГР)М " Ф а,Р = 11'±2'±3-

Для определения параметров предельного цикла применим метод Пуанкаре - Ляпунова - Линстедта. В результате были получены амплитуда и поправка к частоте предельного цикла

_ р. (гтоп - гвст)

а2 = п -В_1_ , (28)

° 6 «А-«А»

гтЬр - г Ьт

р . р 12-5-1 , (29)

СА " снЬ1

где введены следущиэ обозначения

(30)

+

7 ♦ ч*?-

сн ♦ Юх.

Знак дроби в (28) характеризует поведение системы на границе флаттера. Боли дробь имеет положительное значение, то будет иметь место "мягкое" возбуждение флаттера с медленным увеличением амплитуд в закритической области. В случае отрицательного значения дроби возбуждение флаттера будет "яестквм" (с резким возрастанием амплитуды) при скоростях воздушного потока мэньшх критической скорости флаттера.

В дальнейшем принимаем, что знаменатель в (28), (29) не ра-

вен пул». Частота, ооответотвукдая продельному циклу, определяется по следующего вцрахвняя

М-Ч-^(ГА"ГНЬ11 • <31>

Численное ревэние задачи сводилось к построению воЕисЕностей е'яиитуда предельного цгхла и поправки к частоте от отсосите льно-го прекгаания критической скорости флаттера. Относительное превы-севне критической скорости флаттера вычислялось для заданного вначепия начального натлгэпия при поотоянных значениях пяеспвго и внутреннего дестфяроваяия по оледуЕ^й формуле

с} - 100(Р - (32)

Вычисления проводились для уиэрешшх зЕкритических чисел Паха. Для воех приведенных прг^аров характерно "мягкое" оообуадоние флаттера о медленным возрастанием ешлитуда колебаний, что согласуется с результатами, получэшшш Болотншш по [дзтоду Пуанкаре 1}

На рис. 9 и 10 показано влияние отношения размеров пластины на тшлитуду предельного цикла и поправку к чаототе а ваваогаооти от относительного прекгэнпя критической скорости флаттера. Поперечные крошга пластины сеотко заделаны.

Рис. 9 Рис. 10

СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Разработан алгоритм, позволяющий на основе асимптотического метода Болотина решать задачи панельного флаттера упругих изотропных прямоугольных пластин.

2. Проведено исследование устойчивости панелей в сверхзвуковом потоке газа для различных случаев натяхения в срединной поверхности , соотношения размеров пластины и различных значений внешнего внутреннего демпфирования.

3. Изучено влияние споообов закрепления панели на ее устойчивость по отношению к флаттеру.

4. Показана высокая вффектнвнооть асимптотического N8тода Болотина путем оценки невязки решений, а также сравнения с вариационным методом Бубнова - Галеркина.

6. Исследовано влияние граничных условий, начального натяжения, демпфирования и соотношения размеров пластины на амплитуда в частоты установившегося панельного флаттера.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Болотин В.В., Дубовских Б.А., Жинжер Н.И. Волновое движение удлиненных упругих тел при нелинейном флаттере // Нелинейные волны в активных средах / Под ред. Б. Энгельбрехта.- Берлин, 1989.- С. 84-91. (на англ.)

2. Дубовских Б.А. Моделирование нелинейного флаттера удлиненных пластин методом конечных разностей //XII конференция молодых ученых КЫАШ АН СССР: Тез. докл.- 13., 1989,- С. 46.

3. Дубовских С.А. Моделирование волнового движения в удлиненной упругой пластине, подверженной нелинейному флаттеру // Труды ин-та / Иоск. Энерг. ин-т.- 1990.- Вып. 637.- С. 64-65.

4. Дубовских Ч.к., Жинжер Н.И. Численное моделирование нелинейных аэроупругих колебаний в потоке газа // Научно-технической конференции "Аероупрутость элементов манил и сооружений": Тез. докл.- Севастополь, 1990.- С. 38.

Подписано к печати Л—

Типография МЭИ, Красноказарменная, 13.