Колебания и устойчивость упругих пластин в сверхзвуковом потоке газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ПЛАСТИН В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На праовах рукописи УДК 533.6.013.42

Веденеев Василий Владимирович

Москва 2006 г.

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Научный консультант: Официальные оппоненты:

академик РАН, профессор А.Г. Куликовский

доктор технических наук М.Е. Колотников

доктор физико-математических наук, профессор И.А. Кийко

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник С.В. Гувернюк

Ведущая организация:

ЦАГИ им. профессора Н.Е. Жуковского

Защита состоится 27 октября 2006 г. в 16 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьёвы горы, главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ (Москва, Ломоносовский проспект, 27).

Автореферат разослан «_» сентября 2006 г.

Учёный секретарь г -

диссертационного совета Д.501.001.89, ( ¿Гу^

доктор физико-математических наук ^—- А.Н. Осипцов

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача об устойчивости упругой пластины, обтекаемой потоком газа, представляет собой математическое описание условий возникновения панельного флаттера — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха. Если скорость движения летательного аппарата не очень велика, то энергия возникающих малых колебаний панелей рассеивается в потоке, однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило, сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к обшивке, возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком, и положение панелей становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают и достигают значений, приводящих к катастрофическому или усталостному разрушению обшивки.

Следствием этих разрушений является снижение характеристик летательного аппарата и частичная или полная потеря управляемости. Известны случаи крушений самолётов и ракет, происходивших из-за возникновения панельного флаттера и разрушения обшивки.

Таким образом, в настоящее время тема панельного флаттера весьма актуальна, а в будущем её актуальность, по-видимому, будет только увеличиваться. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости обшивки, что повышает возможность возникновения этого явления. Активно обсуждаются концепции создания самолётов с изменяемой формой, что также неизбежно приводит к уменьшению толщины обшивки. Наконец, использование новых материалов и, в частности, композитов меняет физические свойства панелей и также может привести к возникновению панельного флаттера.

Цель работы. Теоретическое исследование линейной устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, определение критериев устойчивости, выяснение механизмов возникновения растущих колебаний и влияния на них параметров задачи.

Научная новизна:

• Показано, что безграничная упругая пластина, обтекаемая с одной стороны потоком газа при наличии с другой стороны покоящегося газа, всегда неустойчива. Проанализировано поведение возмущений с различными длинами волн и выяснен физический механизм их усиления.

• В двумерной постановке исследована устойчивость пластины, имеющей форму полосы. Обнаружены два типа неустойчивости: низкочастотный и высокочастотный флаттер. Первый является классическим и хорошо изученным типом флаттера. Потеря устойчивости при нём происходит из-за взаимодействия двух собственных колебаний пластины и возможна лишь при достаточно большой плотности обтекающего газа. Второй тип флаттера обнаружен впервые. В этом случае потеря устойчивости происходит без взаимодействия между собственными формами колебаний и может иметь место при сколь угодно малой плотности потока. Получены критерии устойчивости обоих типов флаттера и частбты, при которых происходит наибольшее усиление колебаний. Выявлены физические механизмы усиления колебаний и исследовано влияние параметров задачи.

• Исследована устойчивость пластины, имеющей форму прямоугольника, по отношению к высокочастотным возмущениям. Получен критерий устойчивости, позволяющий для каждой собственной формы колебаний пластины определить, усиливается она в потоке или затухает. Исследованы возможные искажения флаттерных форм колебаний по сравнению с собственными колебаниями в вакууме. Проведены конкретные расчёты и показано, что при определённых условиях критическое число Маха для высокочастотного флаттера может быть существенно меньше критического числа Маха для низкочастотного флаттера.

• Рассмотрено влияние демпфирования пластины на высокочастотный флаттер. Показано, что в определённом диапазоне чи-

сел Маха инкремент усиления колебаний под действием, потока существенно превосходит декремент затухания, вызванного рассеянием энергии в материале пластины. Конструкционное демпфирование может быть сделано сколь угодно малым выбором пластины подходящих размеров или её надёжным закреплением, тале что в результате высокочастотные флаттер-ные колебания будут происходить и при учёте демпфирования пластины.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы при проектировании обшивок самолётов, ракет и других летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью, а также конструкций, взаимодействующих со сверхзвуковыми потоками газа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, профессора A.A. Бармина и профессора В.П. Карликова, на семинаре Института механики МГУ под руководством профессора С.Я. Герценштейна, на XII школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Туапсе, 2004 г.), на 1-й Европейской конференции по аэрокосмическим наукам (Москва, 2005 г.), на 6-й Европейской конференции по механике твёрдого тела (Будапешт, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 84 наименований. Работа содержит 210 страниц, включая 38 рисунков и 2 таблицы.

2. Содержание работы

Введение и обзор литературы

Во введении описано явление панельного флаттера, обоснована актуальность его исследования и показано место этого явления среди

других видов аэроупругой неустойчивости. Приведён краткий обзор литературы, изложена структура диссертации и основные вопросы, рассматриваемые в ней.

Первая глава

Первая глава посвящена исследованию устойчивости безграничной по всем направлениям упругой изотропно растянутой пластины, обтекаемой с одной стороны однородным плоскопарралельным потоком газа, с другой стороны от которой находится покоящийся газ, в общем случае отличный от движущегося.

В разделе 1.1 приведена постановка задачи и показано, что возмущения обоих газов для исследования устойчивости достаточно считать потенциальными.

Общий вид рассматриваемой системы показан на рис. 1.

Толщина пластины Л, плотность материала рт, растягивающее напряжение а и изгибная жёсткость Ек3/12(1 — и2) (Е и и — модуль Юнга и коэффициент Пуассона) считаются постоянными. Газы считаются невязкими и совершенными с плотностями р\, р2 (индекс «1» соответствует движущемуся газу, «2» — покоящемуся) и скоростями звука ах и аг; течение считается адиабатическим. Массовые силы отсутствуют.

Декартова система координат хуг выбирается так, что оси х и у

лежат в плоскости невозмущённой пластины, причём ось х направлена вдоль вектора скорости газа и, а ось г перпендикулярна пластине и направлена в сторону движущегося газа (рис. 1).

Раздел 1.2 посвящён выводу уравнений движения, записанных относительно возмущений. Обозначим потенциалы возмущения газов и <р2, а прогиб пластины — 'ш. Тогда замкнутая система уравнений в безразмерных переменных имеет вид:

-Ш2 дМ д2<р1_

_ 2^Р2 _ 2^Р2 _ 2<&Р2 _ 0 0

Л Л я. .2 л до — г и

дГ2 * дх2 А ду2 Л <9.г2

а« а

дц>2 ди)

, гдъи дги

(1)

о

дг дЬ '

д2,ш (дфх д<р2

Безразмерные параметры, входящие в (1), определяются следующим образом:

п п Е Vе7/Рт М = —, £> = —---, Мш = *

ах' 12(1 — и2)а\рт' ах '

Р1 Р2 а2

М = —, М2 = —, X = — Рт Рт

Здесь М — число Маха движущегося газа, П — безразмерная изгиб-ная жёсткость пластины, Мш — параметр, характеризующий натяжение пластины, щ, ¡12 — отношения плотностей газов к плотности материала пластины, х — отношение скорости звука покоящегося газа к скорости звука движущегося.

Первые два уравнения в (1) представляют собой волновые уравнения для движущегося и покоящегося газов, третье и четвёртое —

условия непротекания, пятое — уравнение движения пластины. Для выделения однозначно определённого решения эта система должна быть дополнена условиями достаточно быстрого затухания возмущений при x,y,z —у ±оо и гладкими начальными условиями.

В разделе 1.3 доказано, что решение системы (1) с указанными граничными и начальными условиями существует и единственно. В рассматриваемом классе возмущений (включающим в себя локализованные возмущения) пластина устойчива тогда и только тогда, когда она устойчива в классе возмущений типа бегущих волн. Последние имеют вид ei(kxX+kvV~wt\ где кх,ку G R. Подставляя их в систему уравнений, получаем дисперсионное уравнение — связь между волновым вектором {кх; ку} и частотой колебаний и>. После перехода от

кх, ку к к = + к2 иа = arccos {kx/yjk2 + Щ) (к — длина волнового вектора, а — угол между ним и осью х) оно принимает вид

V(k,a,cj) = {Dk4 + M2k2-u2)-

{w — Мк cos a)2 _ п

— Hi— — Ц2— = = 0 (3)

у/к2 — {и — Мк cos a)2 y/x2k2 — iv2

Первое слагаемое выражает вклад пластины, второе и третье — соответственно движущегося и покоящегося газов.

Таким образом, исследование устойчивости сводится к исследованию корней дисперсионного уравнения: система устойчива тогда и только тогда, когда для любых вещественных к, а. величина Imu>(A;, а) ^ 0.

Для дальнейшего анализа удобно вместо частоты и> использовать фазовую скорость с = ш/к. Дисперсионное уравнение тогда запишется в виде

. _ о . 9. (с - М cos а)2 ус2 „ ...

k(Dk2 + Ml- с2) - mi / . А, ==р? - №-т4= = 0 (4)

у/1 — (с — М cos а)г vx — с

Очевидно, что критерий устойчивости для с такой же, как; и для ш.

В разделах 1.4 — 1.6 исследуется устойчивость рассматриваемой системы, а также два частных случая: отсутствие пластины (тангенциальный разрыв между двумя слоями газа) и отсутствие

покоящегося газа. В этих случаях дисперсионные уравнения получаются из (3) и (4) отбрасыванием соответственно первого и третьего слагаемых.

После умножения дисперсионного уравнения на произведение входящих в него радикалов поведение его корней изучается с помощью принципа аргумента. Рассмотрим на комплексной плоскости с замкнутую кривую £, состоящую из отрезка вещественной оси и полуокружности бесконечно большого радиуса (рис. 2, а). Построим образ £ под действием левой части дисперсионного уравнения. Тогда число его корней с(к,а), лежащих внутри £ (а значит, во всей верхней полуплоскости), будет равно числу оборотов, совершаемых образом £ вокруг точки 0. Таким образом, для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы этот образ не совершал ни одного обхода.

действием левой части (4) (б). Линией со стрелкой показано направление обхода.

Образ £ строится следующим способом. Для получения образа полуокружности достаточно выделить в дисперсионном уравнении старший член, после чего будет видно, что образ не лежит в окрестности точки 0 и оборачивается вокруг неё на угол пк/2, где п —

показатель степени старшего члена.

Для получения образа отрезка вещественной оси отметим на нём точки 1-4, соответствующие точкам ветвления левой части (4): с = ±Х, с = М сое с* ± 1 (рис. 2, а). Тогда на каждом из пяти интервалов, на которые разбивается вещественная ось этими точками, значения радикалов, а значит, и каждого слагаемого в дисперсионном уравнении, вещественные или чисто мнимые. Качественное расположение образа на каждом интервале легко получить, пользуясь последовательно правилами преобразования комплексной плоскости при арифметических действиях и возведении в степень, комбинируя которые, можно получить отображение под действием всей левой части дисперсионного уравнения.

Пример построения образа £ показан на рис. 2, 6 в одном из возможных случаев. Видно, что он совершает 1 обход вокруг нуля, и система в этом случае неустойчива.

В разделе 1.4 изучается частный случай — устойчивость тангенциального разрыва. Эта задача, во-первых, представляет самостоятельный интерес, а во-вторых, является первым этапом исследования общего случая. Исследование проведено в предположении X ^ 1, что не ограничивает общности (в противном случае нужно перейти в систему координат, в которой движущийся газ покоится и заново провести обезразмеривание). Кроме того, введён безразмерный параметр

х= — = — А*2 РЪ

после чего в задаче остаются лишь три независимых параметра — М, х, х-

Результатом исследования являются следующие достаточные условия устойчивости и неустойчивости:

• Условия неустойчивости:

М < 1 + -, хХ < 1

\/2х + \/2 ^ М < х + ^л/^2*4 - 1 + *Х2 > 1

М < V2x + 1, юд > 1

• Условия устойчивости:

^ ^vVi-^V + i

М > V2 + V2+-1--, хХ2 ^ 1 (5)

М > л/2х + \fb<X\jV^X4 - 1 + XX2, XX2 > 1 (6)

При хх2 > 1 в интервале л/2х+1 < М < л/2х+ \/2 может существовать область устойчивости, не связанная с областью (6). При этом в трёхмерном пространстве параметров (М, х> х) обе эти области связаны с областью устойчивости (5), то есть вся область устойчивости односвязна.

В случае >íX2 — 1 дисперсионное уравнение решается в явном виде и приводит к классическому критерию устойчивости М > (1 + Х2/3)3/2, полученному Л.Д. Ландау.

Все приведённые выше результаты относятся к плоским возмущениям, параллельным потоку (а = 0). Учитывая, что при малых М тангенциальный разрыв неустойчив, а в дисперсионное уравнение М и а входят в комбинации Мcosa, получаем, что по отношению к произвольно ориентированным возмущениям разрыв неустойчив при любых параметрах задачи.

В разделе 1.5 изучается устойчивость в общем случае. Доказывается, что влияние первого слагаемого в (4) при малых к приводит к появлению обходов образа С. вокруг нуля, то есть длинноволновые возмущения всегда неустойчивы. Если М cos а — 1 < х> то коротковолновые возмущения устойчивы, если же М cos а — 1 > х> то и они являются растущими.

Рассмотрен случай малых ¡ij (для реальных систем они имеют порядок Ю-4). В этом случае при не слишком большой длине волны можно отделить волны, порождённые пластиной, от волн, порождённых покоящимся и движущимся газами. Показано, что волны, порождённые пластиной, могут усиливаться только если со < Мcosa — 1, где cq — фазовая скорость волны, бегущей по пластине. Описан физический механизм усиления таких волн.

В разделе 1.6 рассматривается случай одностороннего обтекания. Критерием устойчивости является условие М < Mw, причём растущими являются длинные волны. Короткие волны всегда затухают. При (11 «С 1 критерием усиления не слишком длинных волн является неравенство cq < М cos а — 1, причём в случае неустойчивости растущими являются волны, порождённые пластиной.

В разделе 1.7 кратко сформулированы результаты главы 1.

Вторая глава

В этой главе в двумерной постановке проводится исследование устойчивости пластины, имеющей форму широкой полосы бесконечного размаха, обтекаемой с одной стороны сверхзвуковым потоком газа при постоянном давлении с другой (рис. 3). Для решения задачи на собственные значения применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости.

В разделе 2.1 приводится постановка задачи и уравнения для возмущений, аналогичные (1). Отличие состоит в том, что покоящийся газ отсутствует, рассматриваются плоские возмущения, размеры пластины ограничены, а вне неё поверхность z — 0 считается абсолютно жёсткой. В этой и следующей главах число Маха вычисляется для скорости, спроектированной на ось х: М = ucosQ/а\. Кроме того, переобозначено /х = /ij. Параметры D, Mw совпадают с (2).

В разделе 2.2 описывается общий асимптотический метод, развитый А.Г. Куликовским, с помощью которого решается задача на собственные значения. При достаточно больших размерах системы её собственные функции можно разбить на два типа.

Первые, односторонние собственные функции, определяются граничными условиями, заданными на одной из кромок пластины, и близки к собственным функциям полубесконечной в одном из направлений системы.

Вторые, глобальные собственные функции, слабо зависят от граничных условий и определяются только свойствами системы внутри рассматриваемой области. Соответствующие собственные частоты на комплексной плоскости лежат в окрестности некоторой кривой fi, тем ближе к ней и тем плотнее заполняя эту окрестность, чем

Рис. 3. Общий вид и система координат.

больше протяжённость системы. Эта кривая определяется следующим образом. Рассмотрим дисперсионное уравнение безграничной системы Т>(к,и>) = 0. При больших 1т и его решения ^(ш) можно разбить на две группы: 1т Щ > 0 и 1т Щ < 0. При уменьшении 1т ш в определённый момент мнимая часть одного из решений, лежащего в первой группе, совпадёт с мнимой частью одного из решений, лежащего во второй группе. Такие ш и составляют кривую П. Физический механизм возбуждения глобальных собственных функций состоит в циклических отражениях и взаимных превращениях двух бегущих в противоположные стороны волн.

Таким образом, критерием устойчивости является следующее условие: во-первых, все частоты односторонних собственных функций должны лежать в нижней полуплоскости, а во-вторых, кривая П должна также целиком лежать в нижней полуплоскости.

В разделе 2.3 исследуются свойства дисперсионного уравнения. Доказано, что только четыре ветви его решений А^-(ы), порождённые пластиной, являются физичными, и только они должны использоваться при построении решений задачи на собственные значения.

В разделе 2.4 изучается глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений, когда |/с| д, |а;| » (л. Аналитически полу-

чено условие неустойчивости (флаттера): М > МУ) + 1. Построена часть кривой лежащая в высокочастотной области и найдена частота штах — (М — 1 )\/((М — I)2 — М2)/Б, которой соответствует наибольший рост возмущения. Для примера на рис. 4 показана часть кривой П для параметров

М = 1.5, Мш = О, £> = 23.9, /х = 1.2 - Ю-4, (7)

соответствующих обтеканию стальной пластины потоком воздуха при нормальных условиях.

Рис. 4. Часть кривой Г2, лежащая в области \и>\ [1, рассчитанная для параметров (7)

Возбуждение высокочастотных собственных функций происходит следующим образом. Пусть, например, на передней кромке возникает возмущение в виде бегущей волны. При достижении ею задней кромки она отражается от неё и порождает две волны, бегущие в противоположную сторону. Однако, одна из них быстро затухает, и только вторая волна возвращается к передней кромке. При отражении от последней она превращается в исходную волну и затухающую волну, амплитуда которой при подходе к задней кромке становится пренебрежимо малой. Циклическое повторение описанного процесса приводит к образованию собственной функции. Если усиление волны, бегущей по потоку, превысит затухание волны, бегущей против

потока, то после каждого цикла отражений амплитуда волн будет увеличиваться, и вся собственная функция будет растущей. Усиление волны, бегущей по потоку, происходит при с0 < М — 1, где со — её фазовая скорость в отсутствии газа. В случае, когда со совпадает со скоростью распространения заднего фронта звукового возмущения в газе М — 1 (это происходит при частоте ытах), возникает «резонанс» между волной в пластине и в газе, приводящий к наибольшему усилению волны и всей собственной функции, «составной частью» которой является эта волна.

0.0008 Im w

0.0004

0

<о

а

Reco

—j->-

0.002

0.006 а 0.01

Рис. 5. Часть кривой П, лежащая в области малых рассчитанная для параметров (7)

В разделе 2.5 изучается глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений. В этой области частот дисперсионное уравнение можно упростить, благодаря чему исследование также удаётся провести аналитически. Здесь также возможна неустойчивость (флаттер), но её тип отличен от высокочастотной. Получено условие неустойчивости и частота, соответствующая наибольшему усилению:

здесь А зависит от параметров задачи и меняется в диапазоне 0.433 ^

А < 0.595. Вид кривой П в низкочастотной области для случая неустойчивости показан на рис. 5.

В разделе 2.6 показано, что пластина, обтекаемая потоком газа, при используемых обычно граничных условиях защемления, шарнирного опирания и свободного края не имеет односторонних собственных функций.

В разделе 2.7 обсуждается физический смысл полученных результатов. Показано, что низкочастотный флаттер является флаттером связанного типа, при котором происходит взаимодействие двух собственных колебаний пластины (рис. 6, а). Он подробно исследован в литературе с помощью приближения поршневой теории. Указанное взаимодействие колебаний и переход к неустойчивости возможны лишь при достаточно большой плотности газа.

При высокочастотном флаттере потеря устойчивости происходит без взаимодействия между собственными формами колебаний (рис. 6, б). Этот тип флаттера обнаружен впервые и не может быть получен при использовании поршневой теории. Характерной особенностью высокочастотного флаттера является то, что он может иметь место при сколь угодно малой плотности обтекающего газа.

^ 1т со

ТИТ

Яе со

д 1тш

11е <а

111

Рис. 6. Качественный вид траекторий движения собственных частот колебаний пластины при увеличении плотности газа и потеря устойчивости: при низкочастотном флаттере (а), при высокочастотном флаттере (б). Кружками показаны частоты в отсутствии газа, точками — при флаттере.

_ Объяснено известное в литературе отличие результатов исследования устойчивости безграничных пластин и конечных пластин, имеющих большую протяжённость в направлении потока.

В разделе 2.8 обобщены и кратко сформулированы результаты главы 2.

Третья глава

В третьей главе оценивается точность результатов главы 2, касающихся высокочастотного флаттера (низкочастотный флаттер не изучается, тале как он подробно исследован в литературе). Рассмотрены четыре источника погрешности: неточность в определении давления, действующего на колеблющуюся пластину, использование метода глобальной неустойчивости при решении задачи на собственные значения, пренебрежение демпфированием колебаний пластины и наличием покоящегося газа со стороны пластины, противоположной обтекаемой.

В разделе 3.1 показано, что неточность в определении давления, действующего на колеблющуюся пластину, пренебрежимо мала и не накладывает ограничений на её ширину.

В разделе 3.2 получена оценка ширины пластины, при которой для исследования задачи на собственные значения можно применять теорию глобальной неустойчивости. Ей удовлетворяют практически все пластины, используемые в технике: минимальное отношение ширины пластины к её толщине имеет порядок нескольких десятков.

В разделе 3.3 исследовано влияние рассеяния энергии в материале пластины и конструкционного демпфирования на собственные функции и получено условие их роста при учёте демпфирования. Достаточно большое рассеяние в материале предотвращает флаттер пластин любой ширины, в то время как конструкционное демпфирование при достаточно большой ширине может быть сделано сколь угодно малым и не может подавить флаттер. Приведены примеры обтекания стальных, титановых и алюминиевых пластин, для которых показатель усиления колебаний при высокочастотном флаттере в несколько раз больше, чем декремент затухания, вызванного рассеянием в материале.

В разделе 3.4 исследовано влияние покоящегося газа, находящегося около поверхности пластины, противоположной обтекаемой, и показано, что при М — 1 < х он не оказывает влияния на рост собственных функций, а при М — 1 > х он обладает демпфирующим действием и может частично или полностью подавить флаттер.

В разделе 3.5 кратко сформулированы результаты главы 3.

Четвёртая глава

В четвёртой главе рассматривается задача об устойчивости прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, по отношению к высокочастотным возмущениям (рис. 7).

В разделе 4.1 приведена постановка задачи и система уравнений для возмущений. Она аналогична (1), за исключением того, что покоящийся газ заменён постоянным давлением, а вне пластины поверхность г = 0 абсолютно жёсткая. Безразмерные параметры М, В, Мш совпадают с (2), ц = дь

I к

<У

и X

>

Рис. 7. Конфигурация рассматриваемой системы.

В разделе 4.2 получено условие усиления колебаний пластины в потоке. Пусть для рассматриваемой пластины справедлив динамический краевой эффект, то есть любое собственное колебание (имеющее

вид стоячей волны) вне окрестности кромок записывается в виде

и>(х, у, г) = соз(кхх + <рх) соз(куу + <ру)е~гш* (8)

Представим его в виде суперпозиции четырёх бегущих волн:

_ о еЦкхХ+куу-иЛ) С2еИкх*•■-куу-ш*)^

+ Сзе{(-~кхХ~куУ~ш^ + (9)

Пронумеруем направления распространения волн соответственно номеру слагаемого в (9) (рис. 8). Тогда образование стоячей волны можно представить следующим образом. На одной из кромок возбуждается бегущая волна, движущаяся, например, в направлении 1. Последовательно отражаясь от четырёх кромок пластины, она превращается в волны, движущиеся в направлениях 2, 3, 4. При последнем отражении она превращается в исходную волну, после чего процесс циклически повторяется. После нескольких таких циклов движение четырёх указанных волн приобретает установившийся характер, а их наложение приводит к образованию стоячей волны (8).

Рис. 8. Собственная форма колебаний пластины — стоячая волна (а) и её представление в виде суперпозиции четырёх бегущих волн (б). Цифрами обозначены направления распространения волн.

Пусть теперь пластина обтекается газом. Пренебрегая влиянием на него кромок пластины и зная его действие на бегущие волны, легко понять его действие и на собственное колебание в делом.

Действие газа на усиление волн исследовалось в главах 1, 2. Оно определяется фазовой скоростью волны в отсутствии потока со и углом а между направлением её движения и направлением потока. Вектор скорости газа можно разложить на две компоненты: лежащую в плоскости волны М cos а и перпендикулярную ей М sin а. Тогда действие газа на бегущую по пластине волну определяется только первой компонентой: усиление волны происходит в том и только том случае, когда со < М cos а — 1.

Рис. 9. Представление движения волны как движение её отдельных участков (а), начальные траектории движения этих участков (б).

Рассмотрим теперь действие газа на собственное колебание. Для этого удобно представлять движение волны как движение её отдельных участков (рис. 9). Траектории этих участков между кромками являются отрезками прямых линий, имеющих одно из четырёх направлений (рис. 8, б), а от кромок происходит зеркальное отражение. В зависимости от рассматриваемой формы колебаний траектории могут быть замкнутыми (рис. 10, а и б) и незамкнутыми (рис. 10, в). Замкнутая траектория является замкнутой ломаной, а незамкнутая траектория всюду плотна в прямоугольнике, очерчиваемом контуром пластины.

Будем называть циклом отражений участков волны период вре-

\

б

а

б

в

Рис. 10. Траектории движения участков волны. Замкнутая траектория, симметричная относительно одной из осей координат (а), замкнутая траектория, несимметричная относительно осей координат (б), незамкнутая траектория (в).

мени, за который их траектории вернутся в начальные точки (в случае замкнутой траектории) или близко к ним (в случае незамкнутой траектории). Вычисляя вдоль каждой траектории изменение амплитуды за такой цикл, мы найдем изменение амплитуды и для волны в целом, поскольку траектории покрывают всю поверхность пластины. Изменение амплитуды за цикл отражений происходит, во-первых, при движении волны от одной кромки до другой из-за наличия мнимой части волнового числа (движение вдоль звеньев траектории), и во-вторых, при отражениях на кромках пластины. Производя вычисления, получаем условие усиления колебания:

1ш(Д(А:1) + А(к3)) + г21т(Д(Ла) + Д(М) < 0 (10)

Здесь 1\ и ¿2 — суммарные расстояния, проходимые траекторией в направлениях 1 и 2, Д(&) — приращение волнового числа, вызванное наличием газа и вычисляемое из дисперсионного уравнения.

Таким образом, условие (10) позволяет определить наличие или отсутствие роста амплитуды для каждой траектории заданной формы колебаний. Если такой рост будет происходить на всех траекториях, то и само колебание будет усиливаться, если же на всех траекториях амплитуда будет уменьшаться, то колебание будет затухать.

Если на части траекторий амплитуда увеличивается, а на части — уменьшается, то суммарное поведение будет определяться дифракцией волн, которой будем пренебрегать.

В разделе 4.3 рассмотрен случай, когда поток направлен перпендикулярно одной из кромок пластины. В этом случае условие (10) не зависит от траектории и определяется только рассматриваемым собственным колебанием. Усиление колебания происходит равномерно по пластине, и оно под действием потока не искажается. Рассмотрено влияние параметров задачи на рост колебания. В частности, показано, что существует такое Мтах(£), Мш, д), что при фиксированном М < Мтах и варьируемых размерах пластины быстрее всех будут расти собственные функции, имеющие одну полуволну в направлении, перпендикулярном потоку. При М > Мтах это, вообще говоря, не так.

В разделе 4.4 исследован случай произвольного направления потока. Траектории различных собственных колебаний можно разделить на три группы — замкнутые траектории, симметричные относительно оси х или у, замкнутые траектории, несимметричные относительно осей х и у (в этом случае они симметричны относительно центра пластины), и незамкнутые траектории (рис. 10).

Показано, что в случае замкнутых симметричных траекторий искажения формы колебания не происходит, а в случае замкнутых несимметричных траекторий она изменяется. В случае незамкнутых траекторий искажение возможно только если траектория близка к замкнутой несимметричной, причём оно тем слабее, чем незамкнутая траектория больше отличается от замкнутой несимметричной.

В разделе 4.5 оценено влияние покоящегося газа. Он не оказывает влияния на усиление колебаний при М < х + 1 и может демпфировать их в противном случае.

Раздел 4.6 посвящён обобщению полученных результатов и формулировке алгоритма расчёта высокочастотного флаттера пластины.

Проведён расчёт флаттера дюралюминиевой панели обшивки летательного аппарата размером 220 х 750 х 1.5 мм, расположенной широкой стороной поперёк потока. Выделены 15 потенциально опасных форм колебаний, которые должны быть подробно исследованы с

учётом экспериментально определённых демпфирующих свойств реальной конструкции. Высокочастотный флаттер по низшей форме возможен при 1.18 < М < 1.47, в то время как расчёт низкочастотного флаттера по известному в литературе критерию даёт нижнюю оценку критического числа Маха М ^ 6.54.

Исследован флаттер пластины размером 300X 540X1 мм, изготовленной из стали и помещённой в аэродинамическую трубу широкой стороной поперёк потока. Параметры течения соответствуют трубе А-8 Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова. Показано, что возбуждение низкочастотного флаттера в этом случае невозможно. Получены формы колебаний, по которым следует ожидать высокочастотного флаттера при М = 1.78 и М = 2.25 (режимы работы трубы).

В разделе 4.7 приведены основные результаты главы 4. Заключение

В заключении подведены итоги работы и сформулированы её основные результаты.

3. Основные результаты и выводы

Исследована устойчивость пластины, обтекаемой с одной стороны сверхзвуковым потоком газа, в следующих постановках: безграничная пластина, пластина, имеющая форму полосы и пластина, имеющая форму прямоугольника. Во всех случаях с другой стороны от пластины поддерживается постоянное давление или находится покоящийся невязкий совершенный газ.

В случае безграничной пластины, когда со стороны, противоположной обтекаемой, поддерживается постоянное давление, получен критерий устойчивости и описан его физический смысл. Учёт покоящегося газа приводит к дестабилизации возмущений и неустойчивости системы при любых параметрах. Как предельный случай рассмотрена устойчивость тангенциального разрыва и найдены условия его устойчивости и неустойчивости.

Показано, что флаттер пластины, имеющей форму полосы, может быть одним из двух типов: низкочастотным и высокочастотным. Первый является «классическим» флаттером пластины и подробно исследован в литературе в приближении поршневой теории. Второй тип флаттера не описывается с помощью поршневой теории и был теоретически обнаружен впервые. Выяснены физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, получены критерии устойчивости и частбты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Исследована точность полученных результатов и показано, что они могут применяться к реальным пластинам, используемым в технике. Рассмотрено влияние внутреннего трения в материале пластины и конструкционного демпфирования и приведены примеры, когда они не могут подавить ни высокочастотный, ни низкочастотный флаттер.

Для прямоугольной пластины получен критерий, позволяющий для каждой высокочастотной формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей. Исследовано искажение колебаний при флаттере по сравнению с собственными колебаниями пластины в вакууме. Сформулирован алгоритм расчёта высокочастотного флаттера пластины и проведены конкретные вычисления. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. Показано, что возможно возникновение высокочастотного флаттера при отсутствии низкочастотного.

Публикации по теме диссертации

1. Веденеев В.В., Куликовский А.Г. Неустойчивость плоской упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004. М.: Издательство МГУ. С. 22.

2. Веденеев В.В. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Известия РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 19-27.

3. Vedeneev V.V. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow// European conference for aerospace sciences (EUCASS). Moscow, 2005. CD paper.

4. Веденеев B.B. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

5. Веденеев В.В. О высокочастотном флаттере пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 163-172.

6. Vedeneev V.V. High-frequency flutter of rectangular plates// 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006. CD paper.

7. Веденеев B.B. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 173-181.

Подписано в печать 6.07.2006 Формат 60x88 1/16. Объем 1.75 п.л. Тираж ЮОэкз. Заказ № 522 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к.102

Введение и обзор литературы

1. Введение.

2. Место панельного флаттера среди других видов аэроупругой неустойчивости.

3. Механизмы возбуждения флаттера.

4. Обзор литературы по панельному флаттеру

4.1. Исследования неограниченных пластин.

4.2. Исследования конечных пластин в точной постановке

4.3. Исследования конечных пластин с помощью поршневой теории.

4.4. Современные исследования панельного флаттера

5. Обзор диссертации.

1. Неустойчивость безграничной пластины

1.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

1.2. Вывод уравнений для возмущений.

1.2.1. Уравнение неразрывности.

1.2.2. Уравнение импульсов

1.2.3. Волновое уравнение.

1.2.4. Условие непротекания.

1.2.5. Уравнение движения пластины.

1.2.6. Замкнутая система уравнений

1.3. Решение уравнений движения. Бегущие волны.

1.3.1. Возмущения типа бегущих волн.

1.3.2. Вывод дисперсионного уравнения

1.3.3. Преобразование Фурье-Лапласа и его свойства.

1.3.4. Решение для произвольного возмущения пластины

1.3.5. Дальнейшие вычисления.

1.3.6. Обоснование корректности вычислений.

1.3.7. Структура решения.

1.3.8. Решение для произвольного возмущения пластины и газа

1.3.9. Переход к безразмерным переменным.

1.3.10. Частные случаи: тангенциальный разрыв и одностороннее обтекание.

1.4. Устойчивость тангенциального разрыва.

1.4.1. Метод исследования.

1.4.2. Случай

1.4.3. Случай

1.4.4. Частный случай: равные отношения теплоёмкостей

1.4.5. Поведение решений дисперсионного уравнения.

1.4.6. Возмущения с произвольно направленным волновым вектором.

1.4.7. Влияние поверхностного натяжения.

1.5. Исследование устойчивости в общем случае.

1.5.1. Неустойчивость длинных волн.

1.5.2. Поведение решений при изменении к.

1.5.3. Случай малых плотностей газов.

1.6. Устойчивость пластины при одностороннем обтекании.

1.6.1. Критерий устойчивости.

1.6.2. Случай малой плотности газа.

1.7. Выводы.

2. Неустойчивость пластины, имеющей форму полосы

2.1. Постановка задачи.

2.2. Неустойчивость одномерных систем.

2.2.1. Общее решение задачи с начальными и граничными условиями.

2.2.2. Глобальная и односторонняя неустойчивость.

2.2.3. Физический смысл односторонней неустойчивости

2.2.4. Физический смысл глобальной неустойчивости.

2.2.5. Слабая глобальная неустойчивость.

2.3. Свойства дисперсионного уравнения.

2.3.1. Разрезы и их асимптотические свойства.

2.3.2. Определение числа решений дисперсионного уравнения

2.3.3. Источник проблемы.

2.4. Глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений

2.4.1. Условие неустойчивости.

2.4.2. Физический механизм возникновения неустойчивости

2.4.3. Условие неустойчивости: продолжение.

2.4.4. Усиление возмущений вне окрестности максимального роста.

2.4.5. Усиление возмущений в окрестности максимального роста

2.4.6. Расположение собственных частот.

2.4.7. Влияние параметров задачи на высокочастотный спектр

2.5. Глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений

2.5.1. Поведение низкочастотного спектра при параметрах (2.3.6).

2.5.2. Упрощение дисперсионного уравнения.

2.5.3. Исследование устойчивости при отсутствии натяжения

2.5.4. Исследование устойчивости в общем случае.

2.6. Односторонняя неустойчивость.

2.6.1. Условие защемления.

2.6.2. Условие опирания

2.6.3. Свободный край.

2.7. Обсуждение результатов.

2.8. Выводы.

3. Оценка точности решения задачи о флаттере пластины, имеющей форму полосы

3.1. Влияние ширины пластины на распределение давления

3.1.1. Источник погрешности.

3.1.2. Вывод уравнения движения пластины.

3.1.3. Решение уравнения и оценка погрешности.

3.2. Влияние ширины пластины на образование собственных функций

3.2.1. Оценка погрешности.

3.2.2. Примеры

3.3. Влияние демпфирования пластины на рост собственных функций

3.3.1. Вязкоупругое демпфирование.

3.3.2. Конструкционное демпфирование.

3.3.3. Примеры

3.4. Влияние наличия сжимаемого газа по другую сторону от пластины

3.5. Выводы.

4. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины

4.1. Постановка задачи.

4.2. Условие усиления колебаний пластины

4.2.1. Динамический краевой эффект.

4.2.2. Переход от стоячей волны к бегущим волнам.

4.2.3. Действие газа на собственное колебание в целом

4.2.4. Построение собственной функции

4.3. Вектор скорости газа параллелен одной из сторон пластины

4.4. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины.

4.5. Влияние покоящегося газа.

4.6. Примеры расчёта флаттера прямоугольной пластины.

4.6.1. Алгоритм расчёта.

4.6.2. Флаттер обшивки летательного аппарата.

4.6.3. Флаттер пластины, испытываемой в аэродинамической трубе.

4.7. Выводы.

1. Введение

Настоящая работа посвящена изучению устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Источник этой задачи лежит в явлении «панельного флаттера» — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха.

Выделим в обшивке крыла самолёта отдельную панель (рис. 1) и рассмотрим возмущение её состояния покоя. Такие возмущения неизбежно возникают

Рис. 1. Рассматриваемая панель обшивки крыла. Вид крыла в плане (а), сечение крыла (б). при полёте, например, из-за перепадов давления воздуха и турбулентности. Чтобы ограничиться рассмотрением одной панели, будем считать, что она вмонтирована в жёсткую раму и обтекается с одной стороны потоком воздуха (рис. 2). Если скорость потока не очень велика, то энергия возникающих a б

Рис. 2. Колебание изолированной панели. возмущений рассеивается в потоке, и он обладает демпфирующим действием. Однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило, сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к панели, и возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком — положение панели становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают, что приводит к катастрофическому или усталостному разрушению панели.

Впервые панельный флаттер возник во время Второй мировой войны на немецких ракетах V-2 в 1944 г., в результате чего многие из них были подвержены разрушениям [1]. На самолётах этот вид флаттера, даже в случае разрушения отдельных панелей, обычно не приводит к крушению, но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолёта и разрушению других систем. Так, в 1950-х гг. на одном из опытных истребителей в результате возникшего флаттера одной из панелей произошло разрушение трубопровода гидравлической системы, соединённого с этой панелью, что привело к крушению [1]. Из недавних происшествий можно выделить возникновение панельного флаттера на американском истребителе F-117A в 1980-х гг. После испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [2].

В настоящее время задача панельного флаттера является весьма актуальной. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Активно обсуждаются концепции создания самолётов с изменяемой формой, что также неизбежно приводит к уменьшению толщины обшивки. Наконец, использование новых материалов и, в частности, композитов меняет физические свойства панелей и также может привести к воз

Введение и обзор литературы никновению флаттера.

4.7. Выводы

Исследована устойчивость прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, по отношению к высокочастотным возмущениям. Получено условие, позволяющее для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей.

В случае, когда поток параллелен одной из сторон пластины, колебание растет или затухает равномерно по пластине — форма колебаний при флаттере при этом не искажается. В случае потока, не параллельного кромкам, и формы колебаний, которой соответствует замкнутая несимметричная траектория распространения возмущения, или близкая незамкнутая траектория, форма колебаний изменяется: около максимальной траектории амплитуда колебаний больше, чем в других точках пластины. Остальные формы колебаний под действием газа не искажаются.

Сформулирован алгоритм расчёта высокочастотного флаттера пластины и приведены конкретные примеры его использования. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. Приведены результаты расчётов. Показано, что в рассмотренных ситуациях в пластине возникают высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера.

Заключение

В работе исследована устойчивость пластины, обтекаемой с одной стороны потоком невязкого совершенного газа, в следующих постановках: безграничная пластина, пластина, имеющая форму полосы (двумерная постановка), и пластина, имеющая форму прямоугольника. Во всех случаях с другой стороны от пластины поддерживается постоянное давление или находится покоящийся невязкий совершенный газ.

В случае безграничной пластины, когда со стороны, противоположной обтекаемой, поддерживается постоянное давление, получен критерий устойчивости и описан его физический смысл: рост амплитуды бегущей волны происходит тогда, когда газ «обгоняет» волну, а разница между фазовой скоростью волны и скоростью течения больше скорости звука в газе. Учёт покоящегося газа приводит к дестабилизации возмущений и неустойчивости системы при любых параметрах. Как предельный случай безграничной пластины рассмотрена устойчивость тангенциального разрыва и найдены достаточные условия устойчивости и неустойчивости системы.

Для исследования устойчивости пластины, имеющей форму полосы, применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости. Получены два типа флаттера: низкочастотный и высокочастотный. Первый является «классическим» флаттером пластины, имеющим связанный тип, и подробно исследован в литературе в приближении поршневой теории. Потеря устойчивости при нём происходит через слияние двух собственных частот колебаний пластины и возможна лишь при достаточно большой плотности потока газа. Второй тип флаттера не описывается с помощью поршневой теории и был теоретически обнаружен впервые. Потеря устойчивости происходит из-за отрицательного аэродинамического демпфирования одной из собственных форм колебаний; взаимодействия между формами при этом не происходит.

Характерной особенностью высокочастотного флаттера является то, что он может иметь место при сколь угодно малой плотности потока газа. Выяснены физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, получены критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Исследована точность полученных результатов. Для высокочастотного флаттера указанный асимптотический метод даёт погрешность, не превышающую 1%, если отношение ширины пластины к её толщине превышает несколько десятков. Покоящийся газ не оказывает влияния на результаты при М — 1 < х и демпфирует колебания при М — 1 ^ х {М — число Маха, х ~ отношение скорости звука покоящегося газа к скорости звука движущегося). Рассмотрено влияние внутреннего трения в материале пластины и конструкционного демпфирования. Они по-разному действуют на пластину: достаточно большое рассеяние в материале подавляет флаттер пластин любых размеров, в то время как конструкционное демпфирование может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большой протяжённости пластины. Приведены примеры обтекания стальных, титановых и алюминиевых пластин, для которых показатель усиления колебаний при высокочастотном флаттере в несколько раз больше, чем трение в материале.

Объяснено известное в литературе отличие условий устойчивости безграничных и ограниченных пластин больших размеров. Устойчивость ограниченных пластин исследовалась с использованием поршневой теории, приводящей лишь к низкочастотному флаттеру. Но неустойчивость безграничных пластин, проявляющаяся в виде роста бегущих волн, связана с высокочастотным флаттером, а низкочастотный флаттер имеет другой механизм возбуждения и не связан с усилением бегущих волн.

Поскольку главный интерес представляет высокочастотный флаттер, в случае прямоугольной пластины исследована неустойчивость именно такого типа. Получен критерий, позволяющий для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей. В случае, когда поток параллелен одной из сторон пластины, форма колебаний при флаттере не искажается по сравнению с колебанием пластины в вакууме. В случае потока, не параллельного кромкам, искажение возможно; выяснены его условия и причины. Сформулирован алгоритм расчёта высокочастотного флаттера пластины и проведены конкретные вычисления. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. На этих примерах показано, что возможны ситуации, когда в пластине возникают высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера. Влияние покоящегося газа аналогично двумерному случаю: он не влияет на колебания при достаточно малых скоростях потока и демпфирует их в противном случае.

1. Garric 1.E., Reed, W.H., III. Historical development of aircraft flutter// Journal of Aircraft. 1981. V. 18. № 11. P. 897-912.

2. Zhou R.C., Lai Z., Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of nonlinear panel flutter with piezoelectric actuators using finite element method// AIAA Journal. 1995. V. 33. № 6. P. 1098-1105.

3. Kang N., Raman A. Aeroelastic flutter mechanisms of a flexible disk rotating in an enclosed compressible fluid// Journal of Applied Mechanics. 2004. V. 71. Issue 1. P. 120-130.

4. Shubov M.A. Mathematical modeling and analysis of flutter in bending-torsion coupled beams, rotating blades, and hard disk drives// Journal of Aerospace Engineering. 2004. V. 17. Issue 2. P. 56-69.

5. Huang X.Y., Hoque M.E., Wang X. An experimental study on feedback control of rotating disk flutter// Journal of Fluids and Structures. 2005. V. 20. P. 71-80.

6. Lennemann E. Aerodynamic aspects of disk files// IBM Journal of Research and Development. 1974. V. 18. № 6. P. 480-4881.xhttp://www.research.ibm.com/j ournal/rd/186/ibmrdl806C.pdf

7. Tatewaki М., Tsuda N., Maruyama Т. A numerical simulation of unsteady airflow in HDDs// FUJITSU Scientific and Technical Journal. 2001. V. 37. № 2. P. 227-2351.

8. Shubov M.A. Mathematical modeling and analysis of flutter in long-span suspension bridges and in blood vessel walls// Journal of Aerospace Engineering. 2004. V. 17. Issue 2. P. 70-82.

9. Dowell E.H. (ed.), Clark R., Cox D., Curtiss H.C., Edwards J.W., Hall K.C., Peters D.A., Scanlan R.H., Simiu E., Sisto F., Strganac T.W. A modern course in aeroelasticity. Kluwer Academic Publishers, 2004. 752 p.

10. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

11. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory — new aerodynamic tool for the aeroelastician// Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. V. 23. №. 12. P. 1109-1118.

12. Dowell E.H. Panel flutter: A review of the aeroelastic stability of plates and shells// AIAA Journal. 1970. V. 8. № 3. P. 385-399. Перевод: Панельный

13. Jhttp://www.fuj itsu.com/downloads/MAG/vol37-2/paperl4.pdfфлаттер. Обзор исследований аэроупругой устойчивости пластин и оболочек/ / Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 3. С. 3-24.

14. Panel flutter. NASA space vehicle design criteria (structures). NASA SP-8004. 1972. 53 p.1

15. Resende H.B. Hypersonic panel flutter in a rarefied atmosphere. NASA CR-4514. 1993. 116 p.2

16. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек// Итоги науки. Механика. 1963. М.: ВИНИТИ, 1965. С. 34-90.

17. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек// Итоги науки и техники. Серия «Механика деформируемого твёрдого тела». Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 67-122.

18. Mei С., Abdel-Motagaly К., Chen R.R. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds// Applied Mechanics Reviews. 1999. V. 10. P. 321-332.

19. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

20. Dowell Е.Н. Aeroelasticity of plates and shells. Kluwer Academic Publishers, 1974. 160 p.

21. Miles J.W. On the aerodynamic instability of thin plates// Journal of the Aeronautical Sciences. V. 23. № 8. p. 771-780. 1956.

22. Jhttp://trs.nis.nasa.gov/archive/00000117/01/sp8004.pdf2http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/cas i.ntrs.nasa.gov/199300178951993017895.pdf

23. Miles J.W. On panel flutter in the presence of a boundary layer// Journal of the Aero/Space Sciences. 1959. V. 26. № 2. P. 81-93,107. Перевод: О флаттере панелей с учётом пограничного слоя// Механика. Сборник переводов. 1959. № 4. С. 97-122.

24. Epstein R.J., Srinivasan R., Dowell Е.Н. Flutter of an infinitely long panel in a duct// AIAA Journal. 1995. V. 33. № 1. P. 109-115.

25. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA. 1946. Report № 846. 25 p.1

26. Nelson H.C., Cunnigham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.2

27. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании// Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

28. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of fluttering plate. II// AIAA Journal. 1967. V. 5 № 10. P. 1856-1862. Перевод: Нелинейный флаттер пластины. II// Ракетная техника и космонавтика. 1967. Т. 5. № 10. С. 156-164.

29. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 211-222.

30. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

31. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе // Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 5. С. 700-706.

32. Микишев Г.Н. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в потоке// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 154-157.

33. Махортых Ж.К. Устойчивость многопролётной панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 2. С. 174-177.

34. Bohon H.L. Flutter of flat rectangular orthotropic panels with biaxial loading and arbitrary flow direction. NASA TN D-1949. 1963. 33 p.1

35. Метсавээр Я.А. О флаттере защемлённых пластин// Известия АН СССР. МТТ 1969. № 4. С. 179-180.

36. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек// Инженерный сборник. 1960. Т. 28. С. 55-75.

37. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of fluttering plate// AIAA Journal. 1966. V. 4 № 7. P. 1267-1275. Перевод: Нелинейный флаттер пластины// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 7. С. 149-159.

38. Лампер Р.Е. О применении некоторых аэродинамических теорий к расчёту флаттера панели// ПМТФ. 1960. № 2. С. 147-149.

39. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа// Учёные записки ЦАГИ. 1976. Т. VII. № 3. С. 80-90.

40. Laurenson R.M., McPherson J.I., Shore С.Р. Design procedures for flutter-free surface panels// AIAA Journal. 1979. V. 17. № 4. P. 398-399.

41. Lee I., Cho M.-H. Flutter analysis of composite panels in supersonic flow// AIAA Paper 90-1180. 1990. 11 p.

42. Zhou R.C., Xue D.Y., Mei C. Finite element time domain-modal formulation for nonlinear flutter of composite panels// AIAA Journal. 1994. V. 32. № 10. P. 2044-2052.

43. Abdel-Motaglay K., Chen R., Mei C. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements // AIAA Journal. 1999. V. 37. № 9. P. 1025-1032.

44. Duan В., Abdel-Motagaly K., Guo X., Mei C. Suppression of supersonic panel flutter and thermal deflection using shape memory alloy// AIAA Paper 20031513. 2003. 10 p.

45. Bein Т., Friedmann P., Zhong X., Nydick I. Hypersonic flutter of a curved shallow panel with aerodynamic heating// AIAA Paper 93-1318. 1993. 15 p.

46. Gray Jr. C.E., Mei С. Large-amplitude finite element flutter analysis of composite panels in hypersonic flow// AIAA Journal. 1993. V. 31. № 6. P. 1090-1099.

47. Bendiksen O.O., Davis G.A. Nonlinear traveling wave flutter of panels in transonic flow// AIAA Paper 95-1486. 1995. 17 p.

48. Веденеев В.В., Куликовский А.Г. Неустойчивость плоской упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004. М.: Издательство МГУ. С. 22.

49. Веденеев В.В. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Известия РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 19-27.

50. Vedeneev V.V. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow// European conference for aerospace sciences (EUCASS). Moscow, 2005. CD paper.

51. Веденеев В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

52. Веденеев В.В. О высокочастотном флаттере пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 163-172.

53. Vedeneev V.V. High-frequency flutter of rectangular plates// 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006. CD paper.

54. Веденеев В.В. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 173-181.

55. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1976. 576 с.

56. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I. М.: Наука, 1976. 536 с.

57. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

58. Miles J.W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet// Journal of Fluid Mechanics. 1958. V. 4. P. 538-552.

59. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

60. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

61. Ландау Л.Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости// Доклады АН СССР. 1944. Т. 44. № 4. С. 151-153.

62. Сыроватский С.И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой среде// ЖЭТФ. 1954. Т. 27. Вып. 1 (7). С. 121-123.

63. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 432 с.

64. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний// Известия АН СССР. ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 148-153.

65. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

66. Hersh R. Boundary conditions for equations of evolutions // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. V. 16. № 4. P. 243-264.

67. Минасян Д.М. Флаттер упругой пластинки при малых сверхзвуковых скоростях потока газа. Сравнительный анализ // Известия НАН Армении. Механика. 2001. Т. 54, № 3. С. 65-72.

68. Минасян Д.М., Минасян М.М. Новое приближение в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа// Доклады НАН Армении. 2001. Т. 101. № 1. С. 49-54.

69. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера// Известия РАН. МТТ. 1999. №. 1. С. 170176.

70. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчёт самолёта на прочность. М.: Машиностроение, 1966. 520 с.

71. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

72. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. 231 с.

73. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

74. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1971.

75. Куликовский А.Г. О глобальной неустойчивости однородных течений в неодномерных областях// Известия РАН. ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 2. С. 257-263.

76. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях пластинок// Инженерный сборник. 1960. Т. 31. С. 3-14.

77. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек// Известия АН СССР. ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 5. С. 831-842.

78. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.