Колебания и устойчивость упругой полосы в сверхзвуковом потоке газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

- 5 Ш1 )30;1'

На правах рукописи

КУДРЯВЦЕВ Борис Юрьевич

УЛК 539.3:534

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ В СВЕРХЗВУК С® СМ ПОТОКЕ ГАЗА.

/ 01.02.04. - механика деформируемого твердого тела /

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой стетана кандидата физшсо-датематическлх наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" Московской государственной академии автомобильного и тракторного машиностроения.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор И.А.Кийко.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор И.Е.Трояновский,

доктор физико-математических наук, профессор D.H.Новичков.

Ведущая организация - механико-математический факультет МГУ им. М.Ь.Ломоносова.

¡Защита диссертации состоится tM&Hcb 1995 г.4ff

на-заседании диссертационного совета Д 063.68.01. Московского . государственного института электроники и математики / технический университет / по адресу: 109028, Москва, Большой Вузовский переулок, 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.'

' Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

к.ф.-м.н. доцент / В.М.Яганов

до

____ — " t

________ - - ------ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темн. Диссертация посвящена исследованию динамической потери устойчивости упругой полосы, находящейся в потоке газа. Систематическое изучение теоретических основ этого явления, называемого панельным флаттером, началось в середине пятидесятых годов. А.АЛЛовчан в [ 1J сформулировал общий подход к подобный проблемам, который в дальнейшем использовался многими авторами. Задача сводится к отысканию собственных фугас- ■ ций и собственных значений дифференциального оператора, и при исследовании на устойчивость критическим будет то наименьшее . значение скорости / ющ какого-либо другого параметра /, при ' которой собственное значение будет удовлетворять уравнению ■ "параболы устойчивости" - кривой, разделяющей области устойчивых и неустойчивых колебаний. А.А.Мовчансм, В.Б.Бояотгнкм, К.КЛиьановым, З.К.Махортых и другими авторами была изучена устойчивость ь потоке, газа прямоугольных пластин с всевозможными случаями закрепления краев и соотношениями длин сторон. Раз- ' личные аспекты проблемы флаттера пластин и оболочек рассматривались в работах Ю.Н.Новичхова [ 2 ] , Р.Д.Степанова, Р.Е.Лампера, Ю.Ю.Швейко и других. 3 последнее время в связи' с широким распространением вычислительной техники увеличилось количество фдат-терных задач, ревенных численными методами / Гз],С4],[5]/.

1. Ыоачан A.A. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе. Тр. ин-та механ., 1S55, ь. 1.

2. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек. В сб. Механика деформируемого твердого тела / Итога науки z техника, ВИНИТИ АН СССР /. 1978, Т. И. '

■Основными объектами исследований по панельному флаттеру , являлись прямоугольные в плане пластины и панели, или замкнутые .цилиндрические ободочки. При этом использовалась достаточно частная постановка задачи, когда вектор скорости потока параллелен одной из сторон панели, либо образующей цилиндрической оболочки. ..' В работах [ 6 ] . Г 7 1 » которые можно считать исключениями из общепринятой постановки, обоснованного ьывода используемых уравнений не приводилось. Таким образом, решение многих практически важных задач не было возможно без обшей постановки проблемы панельного флаттера. - В-статье А.А.Ильюшина и И.А.Кийко [ в] приведена постановка задачи о панельном флаттере произвольной в алане и произвольно ориентированной по отношению к вектору скорости потока пологой оболочки. Применение новой постановки задачи о флаттере к исследованию устойчивости прямоугольной пластины с шарнирно опертыми краями содержится в работе [^9 ] .

3. Мяченхов Б.И., Шаблий П.Ф. Устойчивость оболоченных конструк-цкй в сверхзвуковом потоке газа. В сб. Прикл.. пробл. прочности

к пластичности. Горький, 1975, .в. 2.'

4. Александров В.М., Гришин С.А. Динамика конической оболочки при. внутренней сверхзвуковом потоке газа. Прикл. матем. и мех., 1994, т. 58, * 4.

5. Улнд. Т., СЛеп Г. S-tatftettyefi&ew рШе$ subjects to aewfynafoic аие?(k-piane jt&zces, Sound Met Vd fo. ,4324, 171 .

Зйсли Д., Дызэссен Г. Флаттер тонких пластинок при совместном действии сдвигающих и нормальных усилий на краях. Ракетн. техн. к космонавтика, 1967, т. 5, * 1.

Цель работы. Исследовать динамическую устойчивость в сверхзвуковом потоке газа бесконечной упругой полосы с различными случаями закрепления краев при произвольно ориентированном в ее плоскости векторе скорости потока.

Научная новизна. Результаты работы яелтогся новыми. Основные из них следующие.

1. Найдены точные значения критической скорости потока, и предложена алгоритмы ее вычисления для полосы, у которой один край жестко заделан, а второй либо токе жестко заделан, либо шарнир-но оперт, либо свободен, если направление потока параллельно кромке или достаточно близкое к такому: вычисления конкретизи-

. ровшш на примерах.

2. С использованием метода Бубнова-Галеркина найдены значения критической скорости потока для полосы, у которой один край жестко заделан, второй либо тоже яестко заделан, либо шаряирло оперт, либо квазн-свободен при направлениях потока, параллельных и перпендикулярных краям полосы, а также исследовано подлепив критической скорости при небольших отклонениях направле- . пай' от вышеуказанных.

"3. Для трех случаев закрепления краев полосы из предыдущего ..аункта построены графика зависимости приведенной критической

?. Метсавээр Я.А. О флаттере защемленных пластин. Изв. АН СССР.

Мзх. тверд, тела, 1969, * 4. .

8. Ильшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки. Прикл. матем. и мех., 1524, т. 58,- в. 3.

9. Ильгашн A.A., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Вестник Моск. ун-та, сер. 1 матем., мех., 1994, J» 4.

* скорости от направления потока.

• Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение при исследовании различных проблем аэроупругости, а также при расчетах надежности элементов конструкций летательных аппаратов.

Апробация -работы. Результаты диссертации докладывались ка научном семинаре кафедры теории упругости механико- математического факультета МГУ под руководство« чл.-корр. РАН А.А.Ильюшина, научном семинаре кафедры "Высшая математика" МГААТМ / руководитель проф. И.А.Кийко / и на научном семинар "Проблемы механики деформируемого твердого тела в технологии" / руководители ■ проф. И.А.Кийко и проф. Р.А.Васин /.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, третья глава разбита на 5 параграфов. Общии объем работы - 96 страниц. Список литератур« содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к рассматриваемой теме. Изложены основные результаты диссертации.

Глава 1 содержит постановку задачи. Приводится обоснование уравнения колебаний пластины, являющейся частью поверхности плоского тонкого клина, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа, иы будем рассматривать упругую пластину ширины £ н бесконечной длины, находящуюся в сверхзвуковом потоке* газа. Вектор

скорости потока лежит в плоскости пластины- и произвольно ориентирован относительно ее сторон. Один край полосы жестко заделан. Второй край будет иметь различные способы закрепления:, тоже жестко заделан, шарнирно оперт, свободен и квази-свободен. Квази-свободным будем называть край, на котором функция прогибов удовлетворяет условиям

Ш-о

Выберем прямоугольную систему координат ХОУ так, чтобы ось ОХ совпадала с жестко заделанной кромкой полосы, положительное направление оси ОУ было направлено в сторону противоположного края, который совпадает с прямой у=/ . Согласно . [ 8] уравнение колебаний будет иметь вид

где Р>,Ср - давление и скорость звука в покоящемся газе.-показатель политропы, ТЛ) - вектор скорости потока,

\Д/ - прогиб пластины, $), -А, - ее цилиндричессая жесткость , и толщина, р - плотность материала. Умножим обе части уравнения на -£*/>£) • и примем обозначения:

где В - угол между вектором скорости потока и положительным направлением оси ОХ , а =12Г\. Тогда уравнение колебаний запишется так:

. ' • • - 5 -

* «

Решения будем представлять в виде ■

Ч/^ЦЛ)- > шее.

Подставив это выражение в уравнение колебаний, получим задачу на отыскание собственных значений дифференциального оператора. Колебания будут устойчивыми, если им соответствуют частоты 00 с. отрицательной действительной частью. В*этом случае собственные значения X — убудут изображаться на комплексной плоскости точкой, лежащей внутри так называемой "параболы устойчивости". Задача будет состоять в том, чтобы определить критическую скорость потока газа, то есть наименьшую по модулю скорость, при которой [ и р будут удовлетворять уравнению пара-долы устойчивости. Можно сформулировать задачу я по-иному: зафиксировав одну из проекций вектора скорости потока У* или Уу , Нужно, минимизируя, найти критическое значение второй проекции. .

. Аналитические результаты, полученные в диссертации, будут проиллюстрированы на примере стальной полосы толщины 1 мм. и ширины 250 мм.'с различными способами закрепления краев. Вычисления <5удут производиться при следующих значениях параметров:

Р, = } * = 1,4 У-0,3,

гд8 Е - модуль Юнга, у - коэффициент Пуассона. Тогда

Е-А3 -

, О-~0,36 С/АС;

В главе 2 рассмотрена бесконечная полоса, обтекаемая сверхзвуковым потоком газа, направление которого параллельно кромке. Будем искать решения уравнения колебаний в виде

\Л/(Х, у-, ±) = &ър{шЬ(гС<1Х) ,<1£/?+.

Критической скорости будет соответствовать действительное значение СО . Для определения получим дифференциальное уравнение .

(Л-2 асог1/^о.

Его решение можно представить так

где

Учитывая граничные условия, придем к однородной системе линейных уравнений относительно С\ , ¡¡^'{•■■Ч. Чтобы получить нетривиальное решение, приравняем ее определитель к нулю. Добавив уравнение - • .

■ггаи+а0со-о >

будем иметь два уравнения, связывающие три неизвестные У~ , оС и 60,. Критическая скорость находится из условия

ЪПср = тш гг..

об

Приведены алгоритмы вычисления критической скорости для полосы, у которой один край жестко заделан, а второй либо тоже жестко заделан, либо шарнирно оперт, либо свободен. Для всех трех случаев проведены вычисления при одинаковых конкретных значениях параметров. Как и следовало ожидать, критическая скорость возрастает при увеличении жесткости закрепления второго края.

Если вектор скорости потока "немного" не параллелен оси ОХ, в том смысле, что I 2/у/ 1/к\ , то дифференциальное уравнение для У($) будет следующим

¿сС-уи^у - -- аггу(?'.

Сведя дифференциальное уравнение к интегральному', получим' уравнение Ьольтерра второго рода

■о

У

где ^о^) ~ решение однородного уравнения. Для исследования решения при малых 1/у достаточно ограничиться первым приближением, взяв *под знаками интегралов вместо ^И). Действуя в

- 8 -

дальнейшем как в предыдущем случае, опять придем к двум уравнениям с тремя неизвестными, и найдем критическую скорость как минимальную noo¿ . В качестве примера взята полоса со свободным краем, и для этого случая проведены вычисления при конкретных значениях параметров. Выяснилось, что при добавлении к потоку, параллельному оси ОХ , достаточно малой отрицательной составлявшей 7/у критическая скорость V* становится по модулю меньше, чем в исходном случае, то есть устойчивость полосы уменьшается. И наоборот, если Vy положительна, то минимальное значение Vx увеличивается, то есть устойчивость повышается. Отсюда будет следовать, что при малых отклонениях угла Q от нуля в положительном направлении, модуль критической скорости будет увеличиваться.

В главе 3 рассмотрена полоса, у которой один край жестко заделан, а второй либо тоже жестко заделан, либо шарнирно оперт, либо кьаэн-свободен, при произвольно ориентированном в ее плоскости направлении потока. Будем исследовать решения уравнения колебаний в классе функций

- Ux)(C{ иф1Ы0, ,

где Uj l^-) i j - //Я. - так называемые балочные функции, С[, ¡ -1,2 - произвольные постоянные. Обозначив

и проведя процедуру Бубнова-Галеркина, представим Н в виде

где « и е^ • зависят от V и оС . Тогда уравнение параболы устойчивости затвается так

а]-в

Критической будет минимальная по </-' скррость, удовлетворяющая атому уравнению.

В случае двух жестко заделанных краев критическая скорость будет вычисляться по формулам

ьГкр^8,37Ш1 ■ ' при 6=0>

Если второй край полосы шарнирио оперт, то получим ■

• .

Щ - -^[.^1,93 пРи - ■

Для этих двух -случаев оказывается доек точным рассмотреть угол 0 в пределах от 0 до ТС/2. , так кал пхоехшк скорости Т/у 'входит в уравнения параболы устойчивости только во второй степени. Если один край полосы кваэи-свободен ,то & должен принадлежать отрезку Формулы для нахождения крити-

ческой скорости будут следующими:

ар

при В-О ,

Уф-Лг-Ья щ®

+22ЗК9)]*)' при 0=5";

причем при б*- будет наступать дивергенция. Известное ранее точное значение приведенной критической скорости для 0~~7c/Z , найденное в предположении цилиндрического изгиба, равнялось 6,33 / {flOj /. В нашей постановке задачи практически то же значение получается при oL-О , но дивергентная потеря устойчивости происходит при меньшей скорости и не по цилиндрической форме CJ.^0) .

Некоторые закономерности обнаружены- для всех трех случаев. Критической скорости для &-ТЕ/2. будет соответствовать oL — О / цилиндрический изгиб /. Направления, близкие к параллельным осям координат, исследованы методом малого параметра. При до-

10. Мовчан A.A. О колебаниях пластинки, движущейся ь газе. Прикл. матем. и мех., 1956, т. 20, * 2.' "

бавлении к скорости потока, направленной'под углом Ж/а. , достаточно малой составлявшей, параллельной оси ОХ , " основная" критическая скорость Щ уменьшится, что означает снижение устойчивости. Обратный эффект будет наблюдаться при добавлении к вектору скорости, параллельному оси ОХ , малой положительной перпендикулярной составляющей. Также при небольшом отклонении угла 9 от нулевого значения в положительном направлении . модуль критической скорости будет увеличиваться, что способствует, стабилизации. Для полосы с квази-свободным краем если к скорости потока, строго параллельной кромке, добавить малую отрицательную составляющую Уу , то критическая проекция скорости %ГХ по модулю уменьшится. Обратное явление будет происходить, если к вектору скорости, направленному под углом -Тс/Х . добавить 'небольшую перпендикулярную составляющую, а следовательно, модуль критической скорости будет увеличиваться при малых отклонениях угла 9 от значения -Тс/т. ,

Для выбранных конкретных, значений параметров проведены ш-часлзши и построены графики зависимости приведенной критической скорости от угла В , меняющемся в интервале 10,76/21 в первых двух случаях, и в интервале ,"^7 в третьем случае. Вычисления полностью подтверждают аналитические исследования. Если сравнить точные значения критической скорости и значения/полученные методом Гаяеркина, то для полосы с-> свободным краем при они совпадают, прг В-г.'/и. - обличаются доаалъно мало, а при 0-0 степень точности приближений возрастает по мере увеличения жесткости закрепления краев / для случая двух заделанных краев они практически совпадают /.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю И.А.Ккйко за постоянное внимание и помощь в работе.

- 12 -

РАБОТЫ ШОРА ПО та® ДИССЕРТАЦИИ »

1. Кийко И.А. ,Куд1явцев Е.Ю. Колебания упругой шллосн и потоке газа. Ленонир. - ВИНИТИ 11.07.94, » 1761 - Ъ94.

2. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой полосы. Днпонир. ВИНИТИ 27.12.94, Л 3059 - В94.