Применение асимптотического метода для исследования спектров собственных колебаний тонкостенных элементов конструкций в магнитных полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 539.3:534.1

004685690 Корешкова Надежда Сергеевна

ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СПЕКТРОВ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 ИЮН 2010

Москва-2010

004605690

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре динамики и прочности машин им. 'В. В. Болотина

Научный руководитель:

- кандидат технических наук-, доцент Хроматов Василий Ефимович

- доктор технических наук, профессор Подалков Валерий Владимиров!?1*

- доктор технических наук, ирофсссор Матвиенко Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

- ФГУП «НПП ВНИИЭМ»

Защита состоится 23 июня 2010 г. в 15-- часов н аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д 212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 1 ] 1250, Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета)

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заясремяые печать» организации, просим направлять по адресу: П1250. Москва, Красноказарменная ул., д. 14. Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан МуСиЗ/ 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

.л.'Ж'тр технических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Развитие современной техники тесно связано с теоретическими и прикладными проблемами взаимодействия различных тел и полей. Проблемы взаимодействия являются основополагающими и задачах движения упругого деформируемого электропроводящего тела в магнитном поле.

Создание оптимальных конструкций во многих областях современной техники связано с вопросами широкого использования конструктивных элементов типа тонкостенных оболочек и пластин, на упругие колебания которых существенное влияние оказывают магнитные поля. Данная картина взаимодействия упругих и электромагнитных явлений довольно сложна и ее можно рассматривать на ccncns аггалша сс2л;естнсй системы уравнений движения упругой среды и уравнений электромагнитного поля.

Задачам колебаний тонкостенных элементов конструкций в магнитных полях посвящено достаточно большое количество публикаций, однако остается не полностью исследованным вопрос о влиянии магнитных полей на весь спектр частот. Применение асимптотического метода В.В. Болотина (АМБ) позволяет рассмотреть задачи колебаний пластин с различными краевыми условиями и распределение собственных частот колебаний пологих оболочек в магнитных полях.

Целью работы является изучение колебаний тонкостенных элементов конструкций в магнитном поле: расчет спектров собственных частот колебаний прямоугольных пластин с различными условиями закрепления краев, круговых цилиндрических оболочек и сферических панелей; исследование влияния индукции поперечного и продольного магнитного поля на значения собственных частот и их распределение; вывод соотношений для асимптотических оценок плотности собственных частот и сопоставление с эмпирическим распределением частот колебаний.

Методы исследования. В диссертационной работе с использованием АМБ были построены решения типа динамических краевых эффектов для прямоугольных пластин с различными условиями закрепления краев, полученные теоретические оценки для плотности собственных частот колебаний круговых цилиндрических оболочек и сферических панелей в магнитном поле сопоставляются с результатами численного эксперимента по моделированию плотности распределения собственных частот. Для расчетов используются математические пакеты MathCad, MATLAB, программная среда Borland Delphi.

Научная новизна. В работе впервые получены аналитические решения для расчета частот колебаний пластин с различной комбинацией краевых условий. Проведен численный анализ колебаний прямоугольных пластин с различными условиями закрепления краев, исследовано влияние поперечного и продольного магнитного поля на спектр частот. Для круговых цилиндрических оболочек и сферических панелей в продольном и поперечном магнитном поле выведены асимптотические оценки для плотности частот. Обнаружены новые эффекты, которые оказывает магнитное поле, на распределение собственных частот.

На основании выведенных аналитических соотношений разработан программный комплекс для проектирования и расчета динамических характеристик упругих пластин и оболочек в магнитных полях

Достоверность научных результатов. Обоснованность и достоверность результатов работы обеспечивается корректной постановкой задач, применением прикладных математических методов, современных программных средств и сравнением полученных результатов с результатами, приведенными в научных публикациях.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение. Они позволяют уточнить существующее представление о характере поведения тонкостенных элементов конструкций в продольном и поперечном магнитном поле. Разработанный в диссертации программный комплекс внедрен в МЭИ(ТУ) на кафедрах «Динамики и прочности машин» и «Электрических и электронных аппаратов» в качестве программного средства учебного назначения и может быть использован при проектировании и расчете динамических характеристик тонкостенных элементов конструкций в магнитных полях. Результаты, полученные в диссертации, используются и внедрены в ЗАО «Нефтьстальконструкция» при проектировании электродвигателей и генераторов.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на 12-ой ежегодной международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика». 2006 г., Москва;

- на XII международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». 2006 г., Ярополец;

- на XI международной конференции «Электромеханика, электротехнологии, электротехнические материалы и компоненты» (МКЭЭЭ-2006). 2006 г., Алушта;

- на XIV международной научно-технической конференции «Машиностроение и техносфера XXI века». 2007 г., Севастополь;

- на 3-ей, 4-ой, 5-ой и 7-ой Курчатовской молодежной научной школе. 2005,2006, 2007, 2009 гг., Москва;

- на ежегодной XXI международной инновационно-ориентированной конференции молодых ученых и студентов «МИКМУС-2009». 2009г., Москва.

По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, сводки результатов и выводов, списка литературы. Объем работы - 141 страница, включая 47 рисунков. Список литературы включает 72 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении проводится обзор литературных источников, посвященных вопросам поведения тонкостенных элементов конструкций в магнитных полях, в той или иной степени связанных с предметом настоящих исследований, обосновывается актуальность темы диссертационной работы.

В первой главе приводятся основные гипотезы и уравнен™ колебаний пластин и оболочек в магнитном поле, изложенные в монографиях С.А. Амбарцумяна, Г.Е. Багдасаряна, основные положения асимптотического метода В.В Болотина и теории распределения собственных частот. Формулируется цель диссертации.

Вторая глава посвящена исследованию колебаний прямоугольных пластин в поперечном магнитном поле с заданным вектором магнитной индукции В(0,0,В3) (рис. 1).

с вектором магнитной индукции ¿?(0,0,53)

Уравнение колебаний пластины имеет вид

D-AAw+2-ph^ + 0

С использованием АМБ получено выражение для собственных частот магнитоупругих колебаний пластины

Для определения волновых чисел кх и к2 для пластин с различными типами закрепления краев согласно АМБ следует воспользоваться общей процедурой условий стыковки решений

Соответствующие функции и коэффициенты С2/Сх, входящие в

порождающее решение, для основных типов закрепления краев пластин выведены в работе и приведены в таблице 1.

Построив систему трансцендентных уравнений для определения волновых чисел, можно произвести расчет спектров частот колебаний пластин в поперечном магнитном поле с любой комбинацией краевых условий.

Собственные частоты определялись для квадратных пластин, изготовленных из алюминия (плотность р-2700 кг/м3, магнитная проницаемость //=1+2,1-10"5, модуль упругости Е-10 ГПа, коэффициент Пуассона У=0,3) при различных значениях индукции поперечного магнитного поля.

При анализе спектров частот колебаний пластин с различными краевыми условиями получено, что поперечное магнитное поле понижает собственные частоты колебаний пластин. Более резкое уменьшение частот с ростом индукции магнитного поля наблюдается у шарнирно опертых пластин и пластин с комбинированными условиями закрепления краев, более плавное -у жестко защемленных и консольных пластин. Для консольной пластины наблюдается незначительное увеличение первой собственной частоты с ростом индукции поперечного магнитного поля. Причем, чем тоньше пластина, тем более снижающее влияние на частоты колебаний оказывает поперечное магнитное поле (рис. 2), что соответствует опубликованным в литературе результатам экспериментальных исследований влияния поперечного магнитного поля на частоты колебаний пластин.

Таблица 1.

Функции иар{к^т) и коэффициенты С2/С, для различных типов закрепления пластин

Типзакрепления Граничные услови я Поперечное магнитное поле Продольное магнитное поле

п э> Э2ч> , 0 0 - -

Г х,=0; ^=§£=0 к п К гЛ^гк^^в2 V Лщи-О 3 г^+Ък^л-уВ2

о|-1

Iх* 01-1 г, ГЭ> д2<р „ (Эх,3 ^ !дх,дл2 (*,24у*22) ии(/с,Д2) г. 1,-2,^.2 Ч""1)^

[г?-Ук1] ^иЦк^) п^к2+гк2+гв2

О 200 400 600 800 1000

Рис. 2 Влияние индукции поперечного магнитного поля на собственные частоты колебаний квадратной шарнирно опертой пластины при различных значениях относительной толщины пластины 2/г/а (of,, af2, 42 - 2й/а=1,51(Г2, ttfj, <ug - 2h/a=U0'2, <, <, - 2/г/а=5«"3)

Третья глава посвящена исследованию колебаний прямоугольных пластин в продольном магнитном поле с заданным вектором магнитной индукции 5(.52,0,0).

Уравнение колебаний пластины имеет вид

D-AAw+2-p-h~ -

И dt Ъп

h+-

1

■Д

,2 d2w

=0

С использованием АМБ получено выражение для собственных частот магнитоупругих колебаний пластины

Q =

(k?+k22f

1

Ъл-D

h+

1

1

D

v2-p-h

Как и в случае поперечного магнитного поля, для определения волновых чисел и к2 для пластин с различными типами закрепления краев согласно АМБ будем пользоваться общей процедурой условий стыковки решений. В случае продольного магнитного поля соответствующие функции

и отношения коэффициентов С2/С, порождающего решения для

основных типов закрепления краев пластин, также приведены в таблице 1.

Построив систему трансцендентных уравнений для определения волновых чисел, можно произвести расчет спектров частот колебаний пластин в продольном магнитном поле с любыми краевыми условиями.

Собственные частоты определялись для квадратных пластин, изготовленных из алюминия, с различными условиями закрепления при различных значениях индукции продольного магнитного поля.

При анализе спектров частот колебаний пластин с различными краевыми условиями получено, что продольное магнитное поле повышает собственные частоты колебаний шарнирно опертой (пунктирные линии на рис. 3) и защемленной пластин, что качественно подтверждается экспериментальными исследованиями. Для консольной пластины продольное магнитное поле понижает некоторые собственные частоты (сплошные линии на рис. 3).

(о

18

12 8

О -,,---

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 3 Зависимости безразмерных частот консольной и шарнирно опертой квадратной пластины с параметрами 21г = \Л0~ъ м, ^=02=0,2м

На рис. 4 представлены зависимости частот квадратной шарнирно опертой пластины от значений индукции продольного магнитного поля В] при различных значениях относительной толщины пластины 2к/а (кривые I - 2/г/£1=1,5-10-2, кривые II - 2/г/а=1-10"2, кривые III - 2/г/а=5-10"3). Чем тоньше пластина, тем быстрее возрастают частоты колебаний пластин. Продольное магнитное поле оказывает эффект растягивающих усилий в срединной поверхности пластины.

со

Рис. 4 Влияние индукции продольного магнитного поля на собственные частоты колебаний квадратной шарнирно опертой пластины при различных значениях относительной толщины пластины 2/г/а а(2, 4, - 2/1/й=1,5-10~2, 0&, а%2 - 2/г/я=1-10"2, од'" - 2И/а=5-\СГ1)

В четвертой главе проводится исследование колебаний пологих оболочек в поперечном магнитном поле с заданным вектором магнитной

с вектором магнитной индукции В(О,ОД)

Уравнения колебаний оболочки в поперечном магнитном поле, записанные для преимущественно изгибных форм колебаний, имеют вид

к Ъ-я-ц 3 И

— -ДДХ + Д,Г = 0.

*

Здесь £1 - частота магнитоупругих колебаний оболочки, Ж(х1,х2) - форма прогиба оболочки, Х(х,,л:2) - форма усилий в оболочке.

Введем характерную частоту 0.г и характерное волновое число к0, а также безразмерные параметры Е Е • ¡г

р к~2 и-К'

Я = —, А* = —-т- + Я •—-г- - оператор В.З. Власова в безразмерном виде.

л,

Выражение для безразмерных собственных частот магнитоупругих колебаний пологой оболочки имеет вид

о2 =(*? + *!) -2-/?-(з^) + 1 ' V »

(ае, +ж2]

где ае1 и аг2 - безразмерные волновые числа.

Для цилиндрической оболочки Я2 = Я (Л~0) выражение для

безразмерных собственных частот колебаний примет следующий вид

* ' 1 ^

Расчет собственных частот производился для шарнирно опертой по торцам цилиндрической оболочки, изготовленной из алюминия, с параметрами /г/7? = 4 ■ Ю-3, I/Я = 2.

На рис. 6 представлены зависимости частот круговой цилиндрической оболочки от числа полуволн п в окружном направлении при т = 1. Кривые 1 соответствуют случаю /?=0 - отсутствие магнитного поля; кривые 2 -/? = 0,02; кривые 3 - /? = 0,04. Как видно из графика, с повышением индукции поперечного магнитного поля собственные частоты оболочки уменьшаются, причем минимальной частоте соответствует не самая простая

форма колебаний. Для цилиндрической оболочки с вышеприведенными параметрами минимальная частота при т = 1, л = 7 - щ7 (рис. 7).

со

Рис. 6 Зависимость частот круговой цилиндрической оболочки от числа

полуволн п в окружном направлении (т = 1) при различных значениях безразмерного параметра /} индукции поперечного магнитного поля

Для пологой сферической панели Л, =К2-Я {Л = \) выражение для безразмерных собственных частот колебаний примет следующий вид

со1 = (ае^ -»- авз) -н 1.

Расчет собственных частот производился для шарнирно опертой по краям сферической панели, изготовленной из алюминия, с параметрами /г//? = 4-10~3, а1=а2=Я.

На рис. 7 представлены зависимости частот сферической панели от чисел полуволн в одном из направлений при различных значениях безразмерного параметра /?. Как видно из графика, поперечное магнитное поле понижает собственные частоты колебаний сферической панели. При различных значениях индукции магнитного поля минимальными оказываются частоты, соответствующие более сложным формам колебаний т> 1, п> 1 (рис.7).

Рис. 7 Зависимость безразмерных частот сферической панели от числа полуволн в одном го направлений при различных значениях безразмерного параметра /5 индукции поперечного магнитного поля

--без действия магнитного поля (/7 = 0);

----------------------в магнитном поле (в = 0.5):

...............................................в магнитном поле = 0,75).

О число полуволн а продольном направлении /И = 10;

□ число полуволн в продольном направлении Ш = 5;

О число полуволн в продольном направлении т = 1.

На основе соотношений для собственных частот колебаний круговых цилиндрических оболочек в поперечном магнитном поле и теории распределения частот выведена формула для асимптотической плотности

к

со

со

-Цк),

со> 1

2

' ' "Г

Здесь К(к) - полный эллиптический интеграл 1-го рода в форме Лежандра, Р(к,ф) - неполный эллиптический интеграл 1-го рода в форме Лежандра,

, ^>.=агс51п

а^+^р+а?)

аи-

■урР+а?

^2=агс8ш

При отсутствии магнитного поля цилиндрическая оболочка имеет асимптотическую точку сгущения частот при со = 1, которая соответствует безмоментной частоте колебаний £2^ = Е/ р-К2. При действии поперечного магнитного поля на оболочку асимптотическая точка сгущения собственных частот смещается в область более низких частот, со* = лД - у?2 . Поперечное магнитное поле оказывает эффект сжимающих безмоментных усилий в срединной поверхности оболочки. В области высоких частот при со>\ плотность частот оболочки стремится к постоянной величине - плотности Куранта

Для асимптотической плотности частот колебаний сферической панели в поперечном магнитном поле получено следующее соотношение

Iо

«(а)

Ю>1

2- » 1

4рг+(ог-1 О, (Хюс,/!-/?2

При отсутствии магнитного поля сферическая панель имеет асимптотическую точку сгущения частот при со=\. При 0)< 1 асимптотическая плотность частот колебаний панели равна нулю.

При действии поперечного магнитного поля на панель асимптотическая точка иущения собственных частот смещается к началу координат,

- 01, а при (0= 1 наблюдается разрыв функции плотности частот колебаний, как и при действии сжимающих безмоментных усилий в срединной поверхности панели. В области высоких частот при 0)> 1 плотность частот панели стремится к постоянной величине - плотности Куранта.

Для сравнения асимптотических оценок для плотности собственных частот колебаний оболочек было произведено численное моделирование эмпирических распределений собственных частот.

Сравнительные графики эмпирической и асимптотической плотностей частот представлены на рис. 8, 9. На рис. 8 представлены асимптотическая и эмпирическая плотности частот шарнирно опертой круговой цилиндрической оболочки с параметрами /г/Л = 4-10~3, 1/Я = 2 при действии магнитного поля с ¡3 = 0,5, а на рис. 9 - асимптотическая и эмпирическая плотности частот шарнирно опертой сферической панели с параметрами /г//? = 4-10"3, а1=а2=Я при действии магнитного поля с /3 = 0,5.

"(д)

Рис. 8 Асимптотическая и эмпирическая плотность частот шарнирно опертой круговой цилиндрической оболочки с параметрами

^ = 4 • 1СГ3, у^ - 2 при действии магнитного поля с /? = 0,5 п(П)

|.............:....................|.................Г; 1: .. V.............. № —пПн

-си-ц-щ......

Рис. 9 Асимптотическая и эмпирическая плотность "частот шарнирно опертой сферической панели с параметрами ^ = 4 -1СГ3, а, = я2 = Л при действии магнитного поля с /0= 0,5

Асимптотические оценки для плотности собственных частот хорошо описывают эмпирическое распределение частот колебаний оболочек и определяют области наиболее активного резонирования оболочек.

Пятая глава посвящена исследованию колебаний цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле с заданным вектором магнитной индукции Б(В1,0,0).

Уравнения колебаний круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле, записанные для преимущественно изгибных форм колебаний, имеют вид

1

1 Ъ2Ш Л •ДАХ + —г-г = 0. Е-к Я Эх,

К Эх, 4-ж-м Ъх1 и

Как к в случае поперечного магнитного ноля введем характерную частоту , характерное волновое число к0 и безразмерные параметры.

В этом случае р = г—^, Ып= —

Д2.

11 А-л- ц2

Выражение для безразмерных собственных частот магнитоупругих колебаний круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле имеет вид

со2 = (®,2 + ге2

ге? + -

аг,

(а^ + аг2

Для исследования влияния продольного магнитного поля на частоты колебаний оболочки были произведены расчеты для оболочки, изготовленной из алюминия, с параметрами /г/Л = 4-10"\ //7? = 2. Наличие продольного магнитного поля понижает значение частот, для высших форм колебаний происходит «слияние» частот. Продольное магнитное поле оказывает эффект сжимающих усилий вдоль образующей оболочки.

Выведена формула для асимптотической плотности частот колебаний круговых цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле

и (Я)

СО +

2 л 2 л

2___

л" ф^'

со

^Т2

■К(к), ю>\

со

а+ф-/] со.

= •[2 ■К{к)-Р(к,ср1)\, ^Тг<СО< 1

г-к\1 ).гаЛ

Здесь к=

^,=arcsin

, ^¡=arcsin

№ 1+л/М1

Результаты вычислений асимптотической плотности частот для круговой цилиндрической оболочки представлены на рис. 10.

Рис. 10 Асимптотическая плотность частот круговой цилиндрической оболочки с параметрами к/Я = 4 • 10"3, 1/Я = 2 при действии продольного магнитного поля и без него (кривая/- /3 = 0, кривая II- [3 = 0,5, криваяIII- /3 = 0,75)

При отсутствии магнитного поля цилиндрическая оболочка имеет асимптотическую точку сгущения частот при со=\, которая соответствует безмоментной частоте колебаний Qгг=Е/р-Я2 (см. кривую I на рис. 10). При действии продольного магнитного поля наблюдается тот же эффект, что и при действии продольных сжимающих усилий на оболочку: асимптотическая точка сгущения собственных частот смещается в область

более низких частот, со* =*jl-ß2 (см. кривые II и III на рис. 10). Здесь оболочка будет наиболее активно резонировать, что необходимо учитывать при проектировании электротехнического оборудования,

взаимодействующего с магнитными полями. При со> 1 плотность частот оболочки стремится к постоянной величине - плотности Куранта.

Для сравнения асимптотических оценок для плотности собственных частот было проведено численное моделирование для эмпирического распределения собственных частот. Асимптотические оценки для плотности

частот хорошо описывают распределение собственных частот.

В шестой главе содержится описание программного комплекса, позволяющего в автоматическом режиме производить расчет спектров частот колебаний пластин с произвольными граничными условиями и пологих оболочек в магнитных полях.

Основные выводы и результаты работы

1. Построены с применением асимптотического метода В.В. Болотина решения типа динамических краевых эффектов для прямоугольных пластин с произвольной комбинацией условий закрепления краев в поперечном и продольном магнитном поле.

2. Произведен расчет спектров собственных частот колебаний пластин с различными условиями закрепления краев в продольном и поперечном магнитном поле. Установлено, что поперечное магнитное поле понижает собственные частоты колебаний пластин, а продольное магнитное поле повышает собственные частоты колебаний. Поперечное магнитное поле оказывает эффект сжимающих усилий в срединной плоскости. Получены соотношения для индукции поперечного магнитного поля, при котором возможна потеря статической устойчивости.

3. Получены асимптотические оценки для плотности собственных частот для оценки влияния магнитных полей на весь спектр частот колебаний пластин. Основное влияние поперечное и продольное магнитные поля оказывают на низшие частоты колебаний. В области высоких частот асимптотическая плотность стремится к плотности частот колебаний пластин в вакууме (плотности Куранта).

4. Произведен расчет спектров частот колебаний круговых цилиндрических оболочек и сферических панелей в поперечном магнитном поле. Поперечное магнитное поле оказывает эффект безмоментных сжимающих усилий, и тем самым понижает собственные частоты колебаний круговых цилиндрических оболочек и сферических панелей.

5. Выведены формулы для асимптотической плотности частот колебаний круговых цилиндрических оболочек и сферических панелей в поперечном магнитном поле. Установлено, что с повышением индукции поперечного магнитного поля асимптотическая точка сгущения собственных частот смещается в область более низких частот. В области высоких частот плотность частот стремится к постоянной величине - плотности Куранта. Составлены программы по моделированию эмпирических плотностей частот колебаний. Проведено сопоставление асимптотических оценок для плотности частот колебаний и результатов численного моделирования эмпирического

распределения частот. Установлено, что асимптотические оценки для плотности частот хорошо описывают эмпирическое распределение и позволяют определить области наиболее активного резонирования оболочек.

6. Произведен расчет спектров частот колебаний круговых цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле. Продольное магнитное поле также понижает собственные частоты колебаний оболочек. Выведены формулы для асимптотической плотности частот колебаний оболочек в продольном магнитном поле. Установлено, что с повышением индукции продольное магнитное поле смещает диапазон сгущения собственных частот в область более низких частот.

7. Разработан программный комплекс, в котором на основании выведенных аналитических соотношений для расчета спектров собственных частот колебаний пластин с различными краевыми условиями и пологих оболочек, находящихся в магнитных полях, решаются десять задач об определении частот колебаний прямоугольных пластин с различными краевыми условиями в поперечном и продольном магнитных полях и три задачи о колебаниях цилиндрических и сферических оболочек. Комплекс не требует установки дополнительного математического обеспечения, все математические операции написаны непосредственно в среде Borland Delphi 7.0. Реализована возможность вывода спектра частот в виде таблиц в отдельном файле Microsoft Excel.

8. Полученные в диссертации результаты использованы и внедрены ЗАО «Нефтьстальконструкция» при проектировании электродвигателей и генераторов

Публикации по теме диссертации

1. Корешкова Н.С., Хроматов В.Е. О влиянии поперечного магнитного поля на спектры частот колебаний пологих оболочек // Известия РАН. МТТ. 2009. № 4. С. 165-171.

2. Хроматов В.Е., Корешкова Н.С. Спектры частот колебаний круговых цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле // Вестник МЭИ. 2008. №1. С. 5-8.

3. Коробков Ю.С., Красова Н.С., Хроматов В.Е. Влияние магнитного поля на спектры частот колебаний прямоугольных пластин // Электротехника. 2007. №4. С. 30-34.

4. Красова Н.С. Исследование влияния магнитных полей на спектр частот колебаний пластин плазменных генераторов // Сборник аннотаций 3-ей Курчатовской молодежной научной школы. М., 2005. С. 42.

5. Красова Н.С. О распределении собственных частот колебаний пологих

панелей в поперечном магнитном поле // Сборник аннотаций 4-ой Курчатовской молодежной научной школы. М., 2006. С. 115.

6. Красова Н.С. О распределении собственных частот колебаний упругих пластин и оболочек в магнитном поле. // Тезисы докладов XII межд. научно-техн. конф. студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: Изд-во МЭИ, 2006. С. 294.

7. Хроматов В.Е., Смирнов А.И., Красова Н.С. О влиянии магнитных полей на колебания круговых цилиндрических оболочек // Труды XI международной конференции «Электромеханика, электротехнологии, электротехнические материалы и компоненты» (МКЭЭЭ-2006). Алушта, 2006. С. 219-220.

8. Красова Н.С., Самогин Ю.А., Хроматов В.Е. Плотность собственных частот колебаний круговых цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле. // Тезисы докладов XII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: Изд-во МАИ, 2006. С. 195.

9. Корешкова Н.С., Комиссарова Т.Н. Влияние граничных условий на спектры частот колебаний прямоугольных пластин в поперечном магнитном поле // Сборник аннотаций 5-ой Курчатовской молодежной научной школы. М„ 2007. С. 107.

10. Хроматов В.Е., Самогин Ю.Н., Красова Н.С., Комиссарова Т.Н. О влиянии продольного магнитного поля на спектры частот колебаний круговых цилиндрических оболочек // Сборник трудов XIV международной научно-технической конференции «Машиностроение и техносфера XXI века». Севастополь, 2007. Т.4. С. 116-119.

11. Корешкова Н.С. Программный комплекс для расчета спектров частот колебаний пластин и оболочек в магнитных полях// Сборник аннотаций 7-ой Курчатовской молодежной научной школы. М., 2009. С. 121.

12. Корешкова Н.С. Программное обеспечение для расчета собственных частот колебаний пластин и оболочек в магнитном поле // Материалы ежегодной XXI международной инновационно-ориентированной конференции молодых ученых и студентов «МИКМУС-2009» 16-18 ноября 2009г. Институт машиноведения им. A.A. Благонравова РАН. М., 2009. С. 147.

13. Программное средство учебного назначения «Комплекс: алгоритм и программа «Магнитоупругость» для проектирования и расчета динамических характеристик упругих пластин и оболочек в магнитных полях». // В.Е. Хроматов, В.Н. Щугорев, Н.С. Корешкова, Т.Н. Голубева, Ю.С. Коробков. -Зарегистрировано в ЦНИТ МЭИ(ТУ) 17.04.2009 г.

Подписано в печать tt.CS/C Зак. /7.3 Тир. <Ct n.n. fAf Полиграфический центр МЭИ(ТУ) Красноказарменная ул.,д.13

Введение.

Глава 1 Основные гипотезы и уравнения колебаний пластин и оболочек в магнитном поле.

1.1. Основные допущения о взаимодействии магнитных полей с деформируемыми телами.

1.2. Колебания пластин в магнитном поле.

1.3. Колебания оболочек в магнитном поле.

1.4. Основные положения асимптотического метода В.В Болотина и теории распределения собственных частот.

1.5. Цель диссертации.

Глава 2 Исследование колебаний пластин в поперечном магнитном поле

2.1. Построение решений типа ДКЭ для жестко защемленного края пластины в поперечном магнитном поле.

2.2. Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в поперечном магнитном поле.

2.3. Построение решений для частот колебаний пластин с различными условиями закрепления краев в поперечном магнитном поле.

2.4. Численный анализ влияния поперечного магнитного поля на частоты колебаний пластин с различными граничными условиями.

2.5. Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний пластин в поперечном магнитном поле. Численный анализ.

Глава 3 Исследование колебаний пластин в продольном магнитном поле

3.1.Построение решений типа ДКЭ для жестко защемленного края пластины в продольном магнитном поле.

3.2. Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в продольном магнитном поле.

3.3.Построение решений для частот колебаний пластин с различными условиями закрепления краев в продольном магнитном поле.

3.4.Численный анализ влияния продольного магнитного поля на частоты колебаний пластин с различными граничными условиями.

3.5.Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний пластин в продольном магнитном поле. Численный анализ.

Глава 4 Исследование колебаний оболочек в поперечном магнитном поле

4. ¡.Расчет спектров частот шарнирно опертых круговых цилиндрических оболочек в поперечном магнитном поле.

4.2. Расчет спектров частот пологих сферических панелей в поперечном магнитном поле.

4.3. Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний цилиндрической оболочки в поперечном магнитном поле. Численный анализ.

4.4. Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний пологих сферических панелей в поперечном магнитном поле. Численный анализ.

4.5. Влияние тангенциальных сил инерции на колебания оболочек в поперечном магнитном поле.

Глава 5 Исследование колебаний цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле.

5.1.Расчет спектров частот круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле.

5.2.Расчет асимптотической и эмпирической плотности частот колебаний круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле.

5.3.Исследование динамических краевых эффектов цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле.

Глава 6 Описание программного комплекса «Магнитоупругость».

Сводка результатов и выводы.

Развитие современной техники тесно связано с теоретическими и прикладными проблемами взаимодействия различных тел и полей. Проблемы взаимодействия являются основополагающими и в задачах магнитоупругости, т.е. в задачах движения упругого деформируемого электропроводящего тела в магнитном поле [1,2].

Магнитоупругость издавна привлекала внимание исследователей. Еще Фарадей и его современники изучали вопросы взаимодействия электромагнитных полей и движущихся в них проводников, которые под действием электромагнитных сил претерпевают деформации и в свою очередь изменяют начальные характеристики электромагнитного поля. Однако бурное развитие исследований в области магнитоупругости намечается лишь в последние годы в связи с решением ряда важных задач в некоторых отраслях современной техники. В частности, такие задачи решаются при создании электромагнитных насосов, наложении магнитных полей для управления движением плазмы, протекающей в упругой оболочке, создании импульсных соленоидальных катушек, разработке различных типов магнитокумулятивных генераторов, создании магнитогидродинамических ускорителей, исследовании бесконтактных магнитных опор движущихся систем, создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при постановке некоторых физических экспериментов и др. [26, 50, 51, 52].

Создание оптимальных конструкций в указанных выше областях современной техники связано с вопросами широкого использования конструктивных элементов типа тонкостенных оболочек и пластин, в которых эффекты взаимодействия электромагнитных полей с телом оказываются весьма существенными. Данная картина взаимодействия электромагнитных и упругих явлений довольно сложна и ее можно рассматривать на основе анализа совместной системы уравнений электромагнитного поля и уравнений движения упругой среды.

Первые работы по магнитоупругости посвящены как научным, так и методологическим аспектам совместного анализа уравнений механики и электромагнетизма. В работе [1], исходя из гипотезы Кирхгофа о недеформируемых нормалях и гипотез магнитоупругости тонких идеально проводящих пластин и оболочек, получена замкнутая двумерная система уравнений магнитоупругости тонких пластин и оболочек во внешнем стационарном магнитном поле. В работе [2] исследуется влияние магнитного поля на устойчивость и колебания электропроводящих пластин и оболочек.

К основным отечественным монографиям по магнитоупругости можно отнести [26, 40, 50, 51, 52, 58]. Задачам акустоэлектромагнитоупругости посвящена работа [26], электромагнитные эффекты в твердых телах исследуются в [50]. Задачи электромагнитоупругости в электропроводных и пьезоэлектрических телах излагаются в работах [51, 52].

В работах [58, 65] приводятся примеры расчета и анализа напряженного состояния некоторых электромеханических систем.

Исследованию колебаний пластин и оболочек в продольном магнитном поле посвящены работы [6, 8]. В [6] на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел и уточненной теории оболочек получены уравнения движения ортотропной круговой цилиндрической оболочки с ортотропной электропроводностью во внешнем магнитном поле. Исследована осесимметричная задача колебания цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле.

Вопросам колебаний тел в поперечном магнитном поле посвящены работы [3, 5, 11, 49, 55]. В [3] исследуются колебания электропроводящей пластины в поперечном магнитном поле. Колебания токонесущей пластины в поперечном магнитном поле представлены в работе [11]. В [5] рассматривается задача колебания тонкой двухслойной пластинки, составленной из двух однородных изотропных материалов, во внешнем постоянном поперечном магнитном поле.

В работе [49] выведены дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, описывающие в различных приближениях изгибные колебания электропроводящей пластинки в сверхзвуковом потоке газа в присутствии поперечного магнитного поля. Для распределения составляющих электромагнитного поля по толщине пластинки принята модель, предложенная Г.Е. Багдасаряном. Для выражения аэродинамического давления использован пространственно-временной нелокальный закон зависимости давления от прогиба пластинки.

В [55] путем уточнения условий на лицевых поверхностях пластин предложен вариант уравнений нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин во внешнем постоянном магнитном поле. На основе полученных уравнений решена задача нелинейных колебаний пластинки-полосы в поперечном магнитном поле.

Вопросам экспериментального изучения поведения стержней, пластин и оболочек посвящены работы [12, 20, 29, 70, 72]. В [20] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропроводящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0,05 Тл для продольного поля и порядка 0,5 Тл для поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд.

В [70] с учетом магнитоупругих взаимодействий предпринят совместный экспериментально-теоретический анализ показателей изгиба пластин из мягкого ферромагнитного конструкционного материала. Испытания при комнатной температуре проведены на консольно закрепленных полосовых и пластинчатых образцах, размещенных в полости сверхпроводящего магнита." Консольные образцы изготовлены из ферритной нержавеющей стали. Полученные опытные данные программных испытаний на изгиб сравнивают с результатами численного моделирования.

В [72] с целью аналитического исследования установленного экспериментально феномена возрастания собственных частот поперечных колебаний консольной ферромагнитной балки-пластины, помещенной в продольное магнитное поле, построена физико-математическая модель на основе применения энергетического вариационного принципа. Результаты численного теоретического прогнозирования собственных частот и коэффициентов магнитного демпфирования сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными, причем отмечено их хорошее согласование.

В [29] для определения влияния внешнего постоянного магнитного поля на частоты колебаний прямоугольной пластинки экспериментальным путем исследуются амплитуды вынужденных колебаний в окрестностях резонансных частот. Для определения значений амплитуд вынужденных колебаний пластинки исследуются колебания прямоугольной пластинки с конечной электропроводностью в поперечном магнитном поле под действием нормально приложенной силы. Определен прогиб пластинки и изучена зависимость амплитуры вынужденных колебаний от напряженности магнитного поля, частоты вынуждающей силы и электропроводности пластинки в окрестностях резонансных частот.

В [12, 14] выведены асимптотические для малых магнитных полей и точные для произвольных магнитных полей дисперсионные уравнения в случае начальных деформаций и напряжений, связанных законом Гука. Проведены соответствующие численные расчеты.

Изучению влияния магнитного поля на ферромагнитные тела посвящены работы [11, 13,70,72].

В [13] на основе точного подхода проведено исследование изгибных свободных колебаний тонкой ферромагнитной цилиндрической оболочки. Получено точное дисперсионное уравнение в виде детерминанта шестого порядка, которое для случая магнитоупругой тонкой оболочки решается численно. Результаты расчетов приведены в таблицах и сравниваются с расчетами по гипотезе Кирхгофа. Показано значительное количественное различие результатов, даже для низшей частоты.

Весьма эффективным для исследования колебаний и устойчивости упругих систем является асимптотический метод В. В. Болотина (АМБ) [1619, 22, 53]. Обзор работ по применению АМБ к решению задач о собственных колебаниях упругих тел и сложных строительных конструкций дан в работе [27].

На основе асимптотического метода в 1963 г. В. В. Болотиным была решена задача о плотности распределения собственных частот колебаний оболочек [18] и установлены области сгущения собственных частот колебаний оболочек.

Исследование распределения собственных частот колебаний ортотропных оболочек проведено в [61]. В конечном виде получены формулы для асимптотической плотности частот колебаний пологих оболочек, установлены границы распределения частот ортотропных сферических оболочек и оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны. Влияние безмоментных усилий в срединной поверхности цилиндрических оболочек на распределение собственных частот исследовано в [59]. Установлена возможность вырождения точек сгущения собственных частот. В [62] на основе АМБ было исследовано распределение собственных частот колебаний пологих трехслойных оболочек, обнаружены точки сгущения собственных частот, смещение областей сгущения при наличии сжимающих усилий в срединной поверхности оболочек.

Идеи, заложенные в асимптотическом методе, оказались плодотворными и для решения других задач механики. В [7] дано применение АМБ к задачам оптимизации колебаний пластин. В [15], выполненной в развитие [18], исследована плотность распределения собственных значений в задачах устойчивости пологих оболочек. В конечном виде приведены формулы для плотности собственных значений и установлены асимптотические точки сгущения критических усилий. Исследования колебаний пластин в продольном магнитном поле с применением асимптотического метода приведено в [8].

Остается не полностью исследованным вопрос о влиянии магнитных полей на высшие частоты колебаний тонкостенных элементов конструкций. Применение АМБ позволяет рассмотреть задачи колебаний пластин с различными краевыми условиями и распределение собственных частот колебаний пологих оболочек в магнитных полях.

1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. М.: Наука. 1977. 272 с.

2. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е. Электропроводящие пластинки и оболочки в магнитном поле. М.: Физматлит. 1996. 288 с.

3. Амбарцумян С.А. К вопросу о колебаниях электропроводящей пластинки в поперечном магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №3. С. 164-173.

4. Амбарцумян С.А. Некоторые особенности колебаний пластинок в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №4. С. 194-200.

5. Амбарцумян С.А., Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания двухслойной пластинки // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов 19 Межд. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород. 1999. С. 23-25.

6. Амбарцумян С.А., Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания электропроводящей ортотропной цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле // Изв. Нац. АН Армении. Механика. 1997. т.50, №3-4. С. 3-16.

7. Андрианов И.В., Искра B.C. Применение асимптотического метода В. В. Болотина в задачах оптимального управления колебаниями // Проблемы машиностроения. 1991. №36. С. 79-82.

8. Багдасарян Г.Е. Применение асимптотического метода В. В. Болотина для исследования магнитоупругих колебаний идеально проводящих прямоугольных пластин // Проблемы машиностроения. 1986. №25. С. 63-68.

9. Багдасарян Г.Е. Уравнения магнитоупругих колебаний тонких идеально проводящих пластин. Прикладная механика. 1983. т. 19, №12. С. 87-91.

10. Багдоев А.Г., Ванцян A.A., Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи и устойчивость волн модуляции // Изв. РАН. МТТ. 2003. №6. С. 148-157.

11. Багдоев А.Г., Варданян A.B., Варданян C.B., Кукуджанов В.Н. Определение линейных частот колебаний ферромагнитной оболочки // Изв. РАН. МТТ. 2007. №5. С. 146-157.

12. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Устойчивость нелинейных волн модуляции в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи // Изв. РАН. МТТ. 2001. №5. С. 35-42.

13. Бендич H.H., Корнев В.М. О плотности собственных значений в задачах устойчивости тонких упругих оболочек // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 2. С. 364-368

14. Болотин В. В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих пластинок. Инженерный сборник. 1961. т.31.

15. Болотин В. В, Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1960. Т.24. Вып.5. С. 831-842.

16. Болотин В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ. 1963. Т.27. Вып.2. С. 362-369.

17. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука. 1979. 336 с.

18. Ванцян A.A., Григорян Н.К., Сафарян Ю.С. Экспериментальное исследование влияния постоянного магнитного поля на вынужденныепоперечные колебания пластин // Изв. HAH Армении. Механика. 2002. Т.55. №2. С. 63-67.

19. Варданян JI.B. Колебания токонесущей левитирующей пластинки во внешнем магнитном поле // Изв. HAH Армении. Механика. 1998. т.51. №4. С. 31-37.

20. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение. 2-е изд. 1999. 506 с.

21. Геча В.Я., Голубева Т.Н. Хроматов В.Е. Колебание электропроводящей пластины в магнитном поле // Сборник трудов XVI международной научно-технической конференции «Машиностроение и техносфера XXI века». Севастополь. 2009. Т.1. С. 134-139.

22. Гонткевич B.C. Собственные магнитоупругие колебания круговой цилиндрической оболочки //Труды VI всес. конф. по теории оболочек и пластинок. 1966. С. 273-276.

23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1971. 1108 с.

24. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Акустоэлектромагнитоупругость. Киев: Наукова думка. 1988. 285 с.

25. Дубовских Ю.А., Хроматов В.Е., Чирков В.Е. Асимптотический анализ устойчивости и послекритического поведения упругих панелей в сверхзвуковом потоке // Изв. РАН МТТ. 1996. № 3. С. 76-88.

26. Дьяконов В. П. Mathcad 11/12/13 в математике. Справочник. М. Горячая линия. Телеком. 2007. 958 с.

27. Исраелян С.Р., Саркисян C.B. О вынужденных колебаниях прямоугольной пластинки в магнитном поле // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов 20-ой Международной конференции по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород. 2002. С. 158-162.

28. Комиссарова Т.Н., Корешкова Н.С. Построение решений типа динамических краевых эффектов при колебаниях оболочек в магнитных полях // Сборник аннотаций 6-ой Курчатовской молодежной научной научной школы. М. 2008. С. 112.

29. Корешкова Н.С. Программный комплекс для расчета спектров частот колебаний пластин и оболочек в магнитных полях// Сборник аннотаций 7-ой Курчатовской молодежной научной научной школы. М. 2009. С. 121.

30. Корешкова Н.С., Комиссарова Т.Н. Влияние граничных условий на спектры частот колебаний прямоугольных пластин в поперечном магнитном поле // Сборник аннотаций 5-ой Курчатовской молодежной научной школы. М. 2007. С. 107.

31. Корешкова Н.С., Хроматов В.Е. О влиянии поперечного магнитного поля на спектры частот колебаний пологих оболочек // Изв. РАН. МТТ. 2009. №4. С. 165-171.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973. 832 с.

33. Коробков Ю.С., Красова Н.С., Хроматов В.Е. Влияние магнитного поля на спектры частот колебаний прямоугольных пластин // Электротехника. 2007. №4. С. 30-34.

34. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость. М.: Издательство МГУ им. М.В. Ломоносова. 1988. 304 с.

35. Корчагина Л.А., Красова Н.С. Влияние магнитных полей на упругие колебания пластин плазменных генераторов // Сборник аннотаций 2-ой Курчатовской молодежной научной школы. М. 2004. С. 65.

36. Красова Н.С. Исследование влияния магнитных полей на спектр частот колебаний пластин плазменных генераторов // Сборник аннотаций 3-ей Курчатовской молодежной научной школы. М. 2005. С. 42.

37. Красова Н.С. О распределении собственных частот колебаний пологих панелей в поперечном магнитном поле // Сборник аннотаций 4-ой Курчатовской молодежной научной школы. 2006. С. 115.

38. Красова Н.С. О распределении собственных частот колебаний упругих пластин и оболочек в магнитном поле. // Тезисы докладов XII межд. научно-техн. конф. студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: Изд-во МЭИ. 2006. С. 294.

39. Красова Н.С. Плотность собственных частот колебаний пологих оболочек в поперечном магнитном поле // Тезисы докладов XIII межд. научно-техн. конф. студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: Изд-во МЭИ. 2007. С. 248.

40. Минасян М. М. Уравнения колебаний электропроводящей пластинки в сверхзвуковом потоке газа при поперечном магнитном поле // Изв. НАН Армении. Механика. 2003. т.56. №3. С. 55-61.

41. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир. 1986.160 с.

42. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука. 1988. 472 с.

43. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермоупругость электропроводных тел. Киев: Наукова думка. 1982. 293 с.

44. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3-х т. Т.З. / Под ред. И.А. Биргера иЯ.Г. Пановко. М.: Машиностроение. 1968. 568 с.

45. Саркисян C.B. Об одном уточнении уравнений нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин // Изв. HAH Армении. Механика. 1998. т.51, №4. С. 55-64.

46. Саркисян C.B. О колебаниях проводящей пластинки в магнитном поле // Проблемы механики тонких деформируемых тел: Сборник, посвященный 80-летию академика HAH Армении С. А. Амбарцумяна / Ин-т мех. HAH Армении. Ереван. 2002. С. 281-284.

47. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. Издательство АН Армении. 1992. 232с.

48. Фролов С.И. Механические напряжения и деформации под действием электромагнитных сил и моментов. М.: Изд-во МЭИ. 1992. 108 с.

49. Хроматов В.Е. Свойства спектров тонких круговых цилиндрических оболочек, колеблющихся в окрестности безмоментного напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №2. С. 103-108.

50. Хроматов В.Е. Плотность частот собственных колебаний тонких сферических оболочек при безмоментном напряженном состоянии // Труды МЭИ. Изд-во МЭИ. 1972. Вып. №101. С. 148-153.

51. Хроматов В.Е. Плотность собственных частот тонких пологих ортотропных оболочек // Прикладная механика. 1977. Т. 13. Вып. 7. С. 3-41.

52. Хроматов В. Е. Свойства спектров собственных колебаний пологих трехслойных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №2. С. 130-137.

53. Хроматов В.Е., Корешкова Н.С. Спектры частот колебаний круговых цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле // Вестник МЭИ'. 2008. №1. С. 5-8.

54. Хроматов В.Е., Самсонов Ю.П., Москвин В.Г., Коробков Ю.С. Решение задач механики при проектировании электрических аппаратов и машин // Вестник МЭИ. 2003. №5. С. 71-75.

55. Электрические и электронные аппараты. Учебник для вузов. Под ред. Ю. К. Розанова. 2-е изд. М.: Информэлектро. 2001. 420 с.

56. Horiguchi Katsumi, Shindo Yasuhide. Bending tests and magneto-elastic analysis of ferritic stainless steel plate in a magnetic field // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A N Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1998. V.64(621). P. 1296-1301.

57. Pevzner P., Weller Т., Bozkovits A. Further modification of Bolotin method in vibration analysis of rectangular plates//ALAA Journal. 2000. V.38. №9. P. 1725-1729.

58. Zhou You-He, Miya Kenzo. A theoretical prediction of natural frequency of a ferromagnetic beam plate with low susceptibility in an in-plane magnetic field // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V.65. №1. P. 121-126.