Динамические задачи электропроводящих пластин в сильных магнитных полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Саркисян, Самвел Владимирович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ереван
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1997
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
те од
ЬРЬ-иДГъЬ 'ЧЬБииЦЪ <иииииириъ
Я СЕН 1ЯЯ' Рйшщф 1цгш4п1арп11
ииР<Ш51ГЪ ииичьь чшамтьр!^
иш.ь№ акьиит^ивдгг ЬЪО-ЬРЪЬРС ПЬс№<1 иич-ъмш^иъ ^исвЬРПМГ
Цишйи^ипшррпСцг - Ц. 02.04 - цЬфпцйшдфщ ифйц (1иф|Щ1 ¿Ь^ишС^ш Лфс^ш-ишрЬишифЦшЦшй ф11цгтр[1 q}lulul^lш(i шиифбшй!!
иь-аииаьр
ЬРЬЧИЪ-1997
ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи САРКИСЯН САМВЕЛ ВЛАДИМИРОВИЧ
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩИХ ПЛАСТИН В СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Специальность- Л. 02. 04 - Механика деформируемого тнердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук ЕРЕВАН-1997
Работа выполнена на кафедре механики сплошной среды Ереванского Государственного Университета.
Официальные оппоненты: - академик HAH РА, доктор физико-математических наук, профессор Г.Е.Багдасарян
- доктор физико-математических наук, профессор М.И.Киселей
- доктор физико-математических наук, профессор С.О.Саргсян
Ведущая организация: - Ереванский архитектурно-строительный государственный институт
Защита диссертации состоится /¿00. 1997г. в^'час. на заседании специализированного совета Д-047 по адресу г. Ереван, пр. Маршала Баграмяна 246.
С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Института Механики Национальной Академии I '«ук.
Автореферат разослан
1997 г.
Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук, профессор P.M. Киракосян
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Одним из важных и основных направлений современной механики сплошных сред является исследование и разрешение проблем, связанных с взаимодействием материальных сред с электромагнитными полями, в частности, взаимодействие электромагнитного поля и поля упругих перемещений тонких тел. Возникающие при этом силы электромагнитного происхождения оказывают влияние на напряженно-деформированное состояние упругого тела, в особенности, если последнее является достаточно гибким (тонкие пластины и оболочки). При разработке новых конструкций зачастую возникают вопросы, связанные с изучением сопряженных полей и процессов в упругих проводящих телах при воздействии внешних электромагнитных полей. В связи с этим в последнее время развивается новая область механики деформируемого твердого тела -теория магнитоупругости. Причинами развития теории магнитоупругости были ее возможные приложения. Результаты исследований магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин и оболочек, в том число и токонесущих, имеют большое практическое значение при создании охлаждаемых сильноточных установок, сверхбыстрых бесконтактных поездов на магнитной подушке, устройств для магнитного подвешивания транспортных средств, взрывных генераторов импульсных магнитных полей, сильных и сверхсильных магнитных полей, экспериментальных установок по физике высоких энергий, конструкций плазменных двигателей космических аппаратов, тороидальных оболочек термоядерных установок типа "Токамак", оболочек электромагнитных насосов и магнитокумулятивных генераторов, оболочек и пластинок различного рода измерительных аппаратов и др.
Актуальность исследований в области магнитоупругости продиктована также необходимостью дальнейшего развития общей теории механики деформируемого тела, включающей в себя вопросы построения математических моделей и разработки аналитических, численных методов решения конкретных, практических задач.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена исследованию динамических задач электропроводящих пластин и оболочек при наличии внешних магнитных полей. Цель и задачи диссертации состоят:
в построении двумерных ' уравнений магнитоупругости трансверсально-изотропных проводящих пластин с учетом
поперечных сдвиговых деформаций; в изучении влияния внешнего магнитного поля, поперечных сдвиговых дефромаций на колебательный процесс в пластинках; в приведении пространственной задачи магнитоупругости пластин к интегрированию системы уравнений на срединной плоскости, на основе гипотезы уточненной теории пластин с применением операторного метода в комплексе с методом усреднения компонентов вектора индуцированного электромагнитного поля по толщине пластинки; в изучении влияния магнитного поля на распространение магнитоупругих волн в пластинках; в построении уравнений и граничных условий нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин во внешнем магнитном поле путем уточнения условий на лицевых поверхностях пластинки.
Научная новизна исследования и полученных результатов заключается в следующем. На основе гипотезы магнитоупругости тонких тел с учетом поперечных сдвиговых деформаций построена полная система уравнений магнитоупругости упругих трансверсально-изотропных пластин, находящихся во внешнем магнитном поле. На ряде конкретных примеров выявлено влияние поперечных сдвигов и соответствующих магнитоупругих взаимодействий на логарифмический декремент и частоту поперечных колебаний пластинки. Построено решение задач магнитоупругих колебаний прямоугольной пластинки при различных условиях опирания по краям в продольном магнитном поле. Установлено, что магнитное поле напряженностью 103-И04 эрстед в некоторых случаях приводит к увеличению частоты колебания пластинки в два и более раза. Показано влияние внешнего магнитного поля на форму колебаний проводящей прямоугольной пластинки. Получена аналитическая формула для определения прогиба пластинки, находящегося в продольном магнитном поле, с заданным начальным прогибом и начальным магнитным импульсом. Построены решения задач колебания электропроводящей пластинки в поперечном магнитном поле переменной интенсивности, с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Установлено, что логарифмический декремент колебания, при перифериальном расположении магнитного поля, своего максимального значения достигает, когда локальное магнитное поле находится у краев свободно опертой пластинки. Для заделанной пластинки максимальное значение логарифмического декремента колебаний достигается в местах, где максимальное значение интенсивности магнитного поля совпадает с максимальным значением тангенциальных перемещений. Выведена система ур.шпоиий мапштиунругости анизотропной электроироиодищо»
весьма пологой оболочки, находящейся во внешнем магнитном поле, с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Дан метод сведения пространственной задачи магнитоупругости цилиндрических оболочек к двумерной, и показана возможность и обоснованность предложенного метода. Используя операторной метод в комплексе с методом усреднения компонент вектора индуцированного электромагнитного поля, выведены двумерные уравнения магнитоупругости трапспорсально-изотропной пластинки с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Даны критерии тоикостеииости пластинки с точки зрения электродинамики, характеризующие погрешность приведения трехмерных уравнений к двумерным. На ряде конкретных примеров установлено влияние интенсивности магнитного поля, поперечных сдвиговых деформаций на характер магнитоупругих колебаний пластинки. Дано сравнение различных подходов уточнения гипотезы магнитоупругости тонких тел. В качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости тонких тел предложено уравнение для исследования задач колебания пластин во внешнем поперечном магнитном поле. В задаче распространения продольной волны в проводящей пластинке установлено, что магнитное поле приводит к дисперсии. Показано, что волна с заданной начальной скоростью перемещения в конечном счете превращается в квазигармоническую волну. Установлено значение частот, при которых упругая изотропная проводящая пластинка является волноводом. Показано влияние магнитного ноля п.1 критические частоты основной нормальной волны. Установлена применимость гипотезы недеформируемых нормалей при изучении задач распространения магнитоупругих волн в пластине при наличии магнитного поля. Показано влияние магнитного поля на скорость распространения волн. Получены дисперсионные уравнения для определения фазовой скорости магнитотермоупругих волн и волн, распространяющихся в конечно-проводящем изотропном слое. Построены уравнения и граничные условия нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин путем уточнения условий на лицевых поверхностях пластинки. Предложены нелинейные одномерные уравнения колебаний упругих изотропных пластин. Дана зависимость частоты нелинейных колебаний пластинки и амплитуды. Установлено, что в зависимости от напряженности внешнего магнитного поля, характер нелинейных магнитоупругих колебаний пластинки может быть мягким. Найдены значения прогиба нелинейных колебаний пластинки.
Апробация работы. Основные положения и результаты
диссертационной работы докладывались и обсуждались:
• Ежегодные научные сессии профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ереванского госуниверситета (Ереван - 19831989);
• 12-ая Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин (Ереван - 1980);
• Конференция молодых ученых и специалистов Института механики АН Армении (Ереван - 1980, Арзакан - 1988);
• Научная конференция профессорско-преподавательского состава КАДИ (Киев - 1980);
• Всесоюзные ' симпозиумы "Теоретические вопросы магнитоупругости" (Цахкадзор - 1984, Ереван - 1989);
• 2-ая Всесоюзная научно-техническая конференция "Прочность, жесткость и технологичность изделий из КМ" (Ереван - 1984);
• Всесоюзное совещание-семинар "Теория и численные методы расчета пластин и оболочек" (Тбилиси - 1984);
• 2-ое Всесоюзное совещание-семинар молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань - 1985);
• Республиканская научная конференция по методике преподавания математики и механике в вузе (Ереван - 1986);
• 14-ая Всесоюзная конференция по теории пластин и облочек (Кутаиси - 1987);
• Всесоюзные конференции по механике неоднородных структур (Львов - 1987, 1991);
• Всесоюзная конференция по композиционным материалам (Лешшакан - 1987);
• Научная конференция "Проблемы электродинамики и механики сплошных сред" (Рига - 1988);
• Региональные конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Дивноморск - 1988, Геленджик - 1990);
• 14-ая научная конференция молодых ученых Института Механики АН УССР (Киев - 1989);
• 15-ая Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин (Казань - 1990);
• Всесоюзные совещания-семинары "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Московская обл., Звенигород - 1990, Москва - 1992);
• Всесоюзный научный семинар "Актуальные проблемы неоднородной механики" (Ереван - 1991);
• 3-е Международное совещание "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва - 1994);
• Международная конференция по теоретической и прикладной механике (Ереван - 1994);
• Международная научно-техническая конференция "Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники" (Московская обл., Егорьевск - 1995);
• Международное совещание-семинар "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва - 1996);
• Семинар "Волновые процессы" Института механики HAH Армении под руководством С.А.Амбарцумяна, М.В.Белубекяна (Ереван -
1996);
• Семинар кафедры механики сплошной среды Ереванского госушжерситета (Ереван - 1997);
• Конференция "Современные вопросы механики тонкостенных конструкций" (Ереван - 1997);
• Общий семинар Института механики HAH Армении (Ереван -
1997).
Результаты диссертационной работы включались в программы и были опубликованы в материалах следующих международных мероприятий: международный симпозиум "Механическое моделирование новых электромагнитных материалов" (Стокгольм, Швеция - 1990); международная конференция по механике неоднородных структур (Тернополь - 1995); международный симпозиум о применениях математики в механике (Варшава, Польша - 1996).
Публикации. По результатам диссертации опубликованы и находятся в печати 29 работ.
Структура и об'ем работы. Диссертационная работа состоит из введении, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий об'ем составляет 232 страницы, из них 26 стр.
введения, 5 стр. заключения, 27 стр. списка литературы из 267 наименований. Имеются 12 рисунков, 12 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводится краткий обзор исследований, связанных с задачами теории магнитоупругости тонкостенных элементов конструкций в виде электропроводящих пластин и оболочек, формулируется цель работы и ее научная новизна. Кратко излагается содержание диссертационной работы по главам.
Важный класс задач в теории магнитоупругости являются задачи взаимодействия конструктивных элементов типа оболочек и пластин с электромагнитным полем. Вопросы взаимодействия поля деформаций тонких изотропных или анизотропных оболочек и пластин с электромагнитным полем имеют важное значение для развития современной техники и, следовательно, необходимо провести интенсивное исследование в этой области.
В общем случае задача магнитоупругости проводящих упругих тел является взаимосвязанной и трехмерной, в силу математической сложности принимаются различные физические и геометрические предположения относительно характера как электромагнитного поля, так и напряженно-деформированного состояния упругого проводящего тела.
В области- магнитоупругости изотропных и анизотропных электропроводящих пластин и оболочек основополагающими являются работы С. Калиского, С.А.Амбарцумииа, Г.П.Багдасаряна и М.В.Белубекяна.
Многочисленные исследования, выполненные армянскими механиками, основаны на исследовании линеаризованных уравнений магнитоупругости для пластин и оболочек, изготовленных из электропроводных материалов.
Большой вклад в разработку различных моделей взаимодействия деформируемого тела с электромагнитными полями внесли С.А.Амбарцумян, Г.Е.Багдасарян, А.Г.Багдоев, М.В.Белубекян, Я.И.Бурак, Л.В.Варданян, Б.П.Галапац, А.Р.Гачкевич, В.Т.Гринченко, З.Н.Даноян, Н.И.Долбин, В.И.Дресвянников, К.Б.Казарян, М.И.Киселев, В.Ф.Кондрат, Ю.М.Коляно, М.Р.Короткина, Б.А.Кудрявцев, М.М.Минасян, П.А.Мкртчян, Ю.Н.Новичков, Р.Н.Овакимян, В.З.Партон, Я.С.Подстригач, В.П.Рубаник,
B.С.Саркисян, С.О.Саркисян, Л.И.Седов, И.Т.Селезов, Л.В.Селезова, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинов, Я.С.Уфлянд, А.Г.Цыпкин, Л.В.Чернявская, А.К.Эринген, C.KcUUckh, Ж.Можеи, В.Нопацкий, Я.Пстнкснич и др.
Для тонких оболочек и пластин конечной проводимости, находящихся под действием внешнего магнитного поля,
C.А.Амбарцумяном, Г.Е.Багдасаряном, М.В.Белубекяном на основе анализа точных решений частных задач и асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости и уравнений электродинамики была сформулирована гипотеза магнитоупругости тонких тел, связанная с характером изменения электромагнитного поля и упругих перемещений по толщине оболочки или пластины. Эта гипотеза является аналогом гипотез классической теории пластин и оболочек и позволяет свести
трехмерные уравнения магнитоупругости к двумерным. Гипотеза магнитоупругости тонких тел позволила решить ряд практически важных и новых задач колебаний, устойчивости, флаттера пластин и оболочек. Отметим, что гипотеза, аналогичная гипотезе магнитоупругости тонких тел, для тонкостенных пьезокерамических оболочек вращения, была сформулирована В.А.Борисейко, В.Т. Гринченко, А.Ф.Улитко. Подтверждение корректности и эффективности гипотезы магнитоупругости тонких тел получила в работах как самих авторов гипотезы, так и других исследователей. В этих работах показана универсальность этой гипотезы по сравнению с моделью идеального проводника, а также по сравнению с моделью, не учитывающей индуцированные электромагнитные поля.
В работе М.В.Белубекяна предлагается использовать кроме гипотез магнитоупругости некоторые дополнительные предположения относительно характера изменения возмущенного электромагнитного поля в вакууме, вблизи от поверхностей пластинки. Тем самым решение трехмерной задачи магнитоупругих колебаний пластинки еще более упрощается.
На основе гипотез магнитоупругости тонких тел в работах Г.Е.Багдасаряна исследуются гармонические колебания и устойчивость электропроводящей пластинки в магнитном поле. Продолжая лицевые поверхности пластинки (конечного размера) во внешнюю область, где (в вакууме) получаются определенные слои толщиной, равной толщине пластинки, на которые распространяются гипотезы магнитоупругости тонких тел (электродинамическая часть гипотезы), становится возможным приведение задачи магнитоупругости для пластинки в целом к двумерной проблеме, этот же метод применяется для приведения трехмерной задачи магнитоупругости тонких цилиндрических оболочек к двумерной.
В работах С.О.Саркисяна для приведения общей трехмерной задачи магнитоупругости к двумерной использован асимптотический метод интегрирования всех групп трехмерных уравнений магнитоупругости. Автором построена полная двумерная теория магнитоупругости для проводящих тонких оболочек и пластин, имеющая рапиомеркую асимптотическую точность как по внутренней области, так и во внешней области. Разработаны методы решения практически важных задач колебаний и устойчивости проводящих пластин и оболочек в магнитном поле.
Использование гипотез магнитоупругости позволяет находить решение ряда задач о колебаниях и устойчивости токонесущих пластин и оболочек, являющихся проводником стационарного электрического тока. В работе М.В.Белубекяна получены уравнения
магнитоупругих колебаний токонесущей пластинки постоянной толщины при наличии внешнего магнитного поля.
К.Б.Казаряном построены и изучены задачи устойчивости токонесущих упругих тел типа стрежней, пластин и цилиндрических оболочек, как в магнитном поле протекающих по ним электрических токов, так и в магнитных полях, создаваемых внешними источниками. Задачам колебаний, устойчивости токонесущих пластин и оболочек посвящены монография С.А.Амбарцумяна и М.В.Белубекяна.
Без учета эффектов самовоздействия Г.Е.Багдасарян и М.В.Белубекян исследовали задачу колебаний и устойчивости консольной пластинки с достаточно слабым током, находящейся во внешнем магнитном поле.
Экспериментальное исследование устойчивости токонесущей пластинки в магнитном поле представлено в работе Р.Н.Овакимяна, Ю.И.Косакяна и Р.М.Мартиросяна. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек с током впервые было проведено Р.А.Овакимяном.
Исследования в области теории упругих оболочек и пластин все чаще посвящаются построению уточненных теорий, свободных от основной гипотезы классической теории. Большой интерес исследователей к построению новых уточненных теорий оболочек и пластин вызван тем, что результаты, полученные по классической теории не всегда применимы для рассмотрения важных прикладных задач. Изложенная в монографиях С.А.Амбарцумяна уточненная теория пластин и оболочек основана на предварительном задании распределения поперечных сдвиговых деформаций по толщине пластинки или оболочки, учитывается также нормальное напряжение, С использованием трехмерных уравнений теории упругости выводятся дифференциальные уравнения для определения расчетных величин. Рассмотрены различные задачи изгиба, колебания и устойчивости анизотропных пластин и оболочек. Показано существенное влияние анизотропии и учета поперечных сдвиговых деформаций на напряженно-деформированное состояние пластин и оболочек средней толщины.
В работах С.А.Амбарцумяна для анализа колебаний упругой пластинки в постоянном поперечном магнитном поле использована уточненная теория изгиба пластин, учитывающая поперечные сдвиговые деформации. Учет поперечных сдвигов приводит к волновым уравнениям магнитоупругости пластинки, которые содержат также члены, характеризующие новый вид взаимодействия между магнитным полем и деформируемой пластинкой. Показано, что
новый тип взаимодействия существенно меняет картину колебаний пластинки в зависимости от напряженности магнитного поля.
Г.Е.Багдасаряном получены уравнения магнитоупругих колебаний проводящей пластинки, учитывающие влияние индуцированного электромагнитного поля. Эти уравнения получены на основе предположения о линейном законе изменения по толщине пластинки тангенциальных компонент вектора напряженности индуцированного электрического поля и нормальной компоненты вектора напряженности индуцированного магнитного поля. Указанное предположение является последующим приближением по отношению к гипотезе магнитоупругости тонких тел.
Для сведения пространственной задачи теории упругости к двумерной предложен и развит применительно к исследованию термоупругого равновесия бесконечного слоя операторный метод -метод символического интегрирования. В работе Я.С.Подстригача с применением операторного метода получены основные соотношения теории теплопроводности тонкостенных элементов и составных конструкций.
В ряде исследований по определению термоупругого состояния электропроводных тел, находящихся в переменном электромагнитном поле используется упрощенная схема несвязанной задачи магнитотермоупругости. Эти результаты наиболее полно систематизированы в монографиях Я.С.Подстригача, Я.И.Бурака,
A.Р.Гачкевича и Л.В.Чернявской, Я.С.Подстригача, Я.И.Бурака и
B.Ф.Кондрата.
Я.И.Бурак, Б.Л.Галапац и Б.М.Гнидец предположили, что нормальный к срединной поверхности оболочки элемент в задачах электромагнитоунругости может деформироваться, изменяя свою длину. В этом предположении исследованы механико-электрические эффекты в цилиндрической оболочке, при осесимметричном силовом нагружении, в растянутой пластинке с круговым отверстием и в изгибаемой прямоугольной пластине.
В последнее время об'ектами многих теоретических и экспериментальных исследований явились процессы колебаний и распространения волн в электропроводных телах, помещенных в магнитное поле. Эти исследования получили быстрое развитие в связи с возможностью практического применения результатов в различных областях техники. В этой области важные результаты получены в работах Ж.О.Ахиняна и А.Г.Багдоева, А.Г.Багдоева, Я.И.Бурака, А.И.Викторова, A.B.Геворкяна, Э.Х.Григоряна, А.Н.Гузя, З.Н.Данояна, Н.И.Долбина, К.Б.Казаряна, Ф.Г.Махорта, И.Т.Селезова, Я.С.Уфлянда, P.Chadwick, L.Knopoff и др.
Большинство известных работ по взаимодействию упругих проводящих тел с внешними электромагнитными полями выполнены для линеаризованных систем уравнений. Однако, решение ряда прикладных задач требует более полного изучения механических процессов, включая волновые поля, сопровождающие магнитоупругое взаимодействие, на основе нелинейной системы уравнений магнитоупругости.
К работам, посвященным проблемам нелинейной магнитоупругости пластин и оболочек, следует отнести работы Г.Е.Багдасаряна и З.Н.Данояна, Я.И. Бурака и А.Р.Гачкевича,
B.И.Дресвянникова, Я.С.Подстригача, Л.В.Мольченко.
В работе Г.Е. Багдасаряна и З.Н. Данояна на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел получены основные уравнения и соотношения, описывающие нелинейные колебания проводящей пластинки в магнитном поле. Нелинейные колебания проводящей пластинки в продольном магнитном поле изучены Г.Е.Багдасаряном. Получены уравнения и граничные условия нелинейных колебаний магнитоупругих идеально-проводящих пластин в наклонном магнитном поле.
Большое количество исследований посвящено общим вопросам взаимодействия электромагнитного поля с упругой средой. Более детальный обзор можно почерпнуть из обзорных работ
C.А.Амбарцумяна, Ю.Н. Новичкова, Б.А.Кудрявцева и В.З. Партона, С.А.Амбарцумяна и М.В. Белубекяна.
Глава 1. Залами колебания электропроводящей пластинки » магнитном поле с учетом поперечных сдвиговых деформаций. В параграфе 1.1 приводятся исходные уравнения магнитоупругости трансверсально-изотропной электропроводящей пластинки в магнитном поле, основные гипотезы и предположения. На основе гипотезы магнитоупругости тонких тел с учетом поперечных сдвиговых деформаций получена полная система уравнений магнитоупругости упругих трансверсально-изотропных пластин, находящихся во внешнем постоянном магнитном поле. В параграфе 1.2 рассмотрена задача колебания пластинки-полосы в продольном магнитном поле. Для определения частоты поперечных колебаний пластинки конечной проводимости получено характеристическое уравнение.
с2 а, 2 2
9А2 р+.4яОШ0п,
Ь2?4 с2с!
0 + 1 = 0 (1)
сот а Ь2х2тв^2
где =-,р =
ю
От
бсрсо
коэффициент, характеризующий
От
интенсивность влияния магнитного поля (В02).
Для идеально-проводящей пластинки после предельного перехода из уравнения (1) получено
а2 +
+-
за
2
= о
(2)
"к
т
2 1 2
где с!] = Н--, йу = —Ь
1 т ХЬ' 2 3 \5С'(1-Уг)
Исследовано влияние напряженности магнитного поля, поперечных сдвигов на основные частоты колебания конечно и идеально-проводящих пластинок. В параграфе 1.3 на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел исследована задача колебания прямоугольной электропроводящей пластинки в продольном магнитном поле. В случае, когда стороны пластинки шарнирно оперты для определения безразмерной частоты поперечных колебаний О прямоугольной пластинки с конечной
электропроводностью получаем следующее характеристическое уравнение
2тгст Л 2
где
о
тп
рсо0с2
2ястА2 , ..2\ ©0
(Я-т + А
чпп
£2+1 = 0,
(3)
-.©о : ,
(о о 2рЬ V
(Я2т+ц2
2 _ ттг
гп --
а
к - т
1
2 2
+ЦП Н--),Ш —целое число.
ХЪу
Для идеально-проводящей пластинки характеристическое уравнение запишется в виде
П2+ртпВ2+1 = 0,
(4)
ЗЯ2т(1-^)| Я-
2 2 т+Ип +
гАе Ршп =
4лЬ"
Исследование этих уравнений показало, что с возрастанием напряженности магнитного поля частота колебания увеличивается. Логарифмический декремент колебания сначала возрастает, с возрастанием напряженности магнитного поля и достигает максимума при ее определенном значении, а затем уменьшается и в пределе стремится к нулю. Оставляя неизменной толщину пластинки и величину стороны, вдоль которой направлен вектор магнитной индукции магнитного поля, но увеличивая другую сторону, показано, что для пластинки существует зона изменения интенсивности магнитного поля, где частота колебания обращается в нуль. На основе численного анализа приведена оценка, при которой прямоугольная пластинка колеблется во внешнем магнитном поля, так как бесконечная пластинка. Влиянию внешнего магнитного поля на форму колебаний проводящей прямоугольной пластинки посвящен параграф 1.4.
Частота колебания для идеально-проводящей прямоугольной пластинки при наличии продольного магнитного поля, согласно (4), будет
со2 =
2рИ
_2 2 \2 ЗХ2т(1-У2)В2
(5)
При отсутствии магнитного поля, как видно из (5), частота колебания принимает свое минимальное значение при т=п~ 1. В зависимости от напряженности магнитного поля минимальное значение частоты колебания уже будет достигаться при разных значениях волновых чисел.
Из (5) следует, что при любых значениях напряженности магнитного поля минимальное значение частоты будет при т= 1 и
-,1/2
п =
/ 9 9 <:\2/5
3(1 - у )Вр]Ь 16а2я4Ь3Е )
2
Здесь п есть целая часть от полученного числа.
Таким образом, согласно (6), при разных значениях В01 минимальное значение волнового числа т всегда равно единице, а
волновое число п в зависимости от В^ может принимать разные
значения.Теперь, если напряженность магнитного поля В^ удовлетворяет следующему условию:
В?1 ^ Bq*
а2]"' „2 1«ИЬ3Е
Ч ь J
-о"» (?)
За (1 - v )
то частота колебания принимает свое минимальное значение при л=1. Например, для алюминиевой пластинки при h/a = 0.5-Ю-2 напряженность магнитного поля В0. =7.1-103 эрстед. При тех значениях напряженности магнитного поля, которые не удовлетворяют условию (7), волновое число л>1.
В заключение этого параграфа рассмотрен следующий вопрос. Пусть вес пластинки задан, т.е. 2 phab = const или а - Ъ = М = const . Поставим следующую задачу: найти при заданном весе пластинки min{min£ynOT} . Будем рассматривать те
ajj mji
магнитные поля, напряженности которых удовлетворяют условию (7), т.е. задача отыскания min С0т11 решена и т— п— 1. При отсутствии
т,п
магнитного поля решением поставленной задачи являлась квадратная пластинка \а/Ь—\). При разных значениях напряженности магнитного поля решениями такой задачи являются прямоугольные пластинки. Например, при В01=3.38-Ю4 эрстед решением поставленной задачи является прямоугольная пластинка с отношением сторон <5/6=2.25. Причем указанное значение напряженности магнитного поля удовлетворяет условию (7).
В параграфе 1.5 изучены задачи магнитоупругих колебаний эесконечной пластинки в продольном магнитном поле с заданным начальным прогибом, и с заданным начальным магнитным импульсом. Принимая независимость колебаний от координаты у, задача :водится к следующим уравнениям
о-—+2рЬ-— +-—
9х
д2\у 4яст 8
эе
В0, дю \ с Э^
о,
дх'
Л д{
В01 ды
с
ЛЬ
=0,
с определенными начальными условиями при
Рассматриваются следующие два типа начальных условий:
1Ж = Дх), -= 0, у/ = 0, (9)
д1
II W=0,
Ш дх
= 0, Г = у(х), Ь1=0
(10)
Первый тип начальных условий соответствует магнитоупругим колебаниям бесконечной пластинки с заданным начальным прогибом р{х), второй тип — магнитоупругим колебаниям бесконечной пластинки с заданным начальным магнитным импульсом у(х). Граничные условия в обоих случаях состоят в том, что функции Щх,,/) и у[х,() и их производные по х обращаются в нуль при х = ±оо .
Задача решена на основе преобразований Лапласа и Фурье. Методом стационарных фаз для получена следующая асимптотическая
формула:
кЛ
Щх,0
2 4тг
>2 -но
в(х) + Г(х, 0
(Н)
а к
где в(х) =
В
01
2 яО
'а +■
В,
-с!а ,
01
2 я£>
м 4Гх
„ 4)
+-
{-А
х -
«Л
Х=К
У
2т£> 2тЮ
Таким образом, имеем функцию прогиба Щх,/) для идеально-проводящей бесконечной пластинки с заданным начальным прогибом, находящейся в постоянном продольном магнитном поле. Имея это
/
значение можно определить тангенциальную компоненту вектора напряженности возбуждаемого электрического поля у{х,{).
Получена также формула для прогиба бесконечной пластинки с заданным начальным магнитным импульсом.
Задачи колебания электропроводящих трансверсально-изотропных пластинок в поперечном магнитном поле переменной интенсивности исследованы в параграфах 1.6 и 1.7.
Пусть магнитное поле постоянной интенсивности В отлично от
нуля лишь в интервале С1\ < X < а2 ^ а2 ^ ¿0 :
= -£+(*-«2)].
где
1, Х>й2
(12) 1, х>а{
0, х<а2 0, х<а\
Применяя метод Бубнова-Галеркина, для определения безразмерной частоты О получено следующее характеристическое уравнение:
В = const, 5+(х - а2) = <
2рЬ2ш^4+12рсо2а2 рюз +
5С
2ЕЬ2ТС2 ,5а2С(1 - v2)
5С7г • +
2^2 7Г и
+ 1
За'
(13)
ОТ + 2рЮ +1 = 0
2 а а
1 = ± (х - а]) - 8+(х - а2 ))2 сое* — йх
0
а2 ~а1 , 1
„2 2ЕЕ
а
а со
г-к
. . 2та1
БШ-— - 51П--
ЕЬ27Г4
п=—, —--—
©0 Зра (1-V )
а
, Р =
сЬУв2
2 2 ' брсоос а
где со0 — собственная частота колебания пластинки в отсутствие магнитного поля, Р — коэффициент, характеризующий интенсивность влияния магнитного поля.
С помощью численного анализа характеристического уравнения изучен характер изменения логарифмического декремента колебания
5 = -2л11еа/1та .
ч
Показано, что с увеличением напряженности магнитного поля логарифмический декремент колебания существенно увеличивается. Далее обнаруживается следующее явление: абсолютные значения логарифмического декремента колебания при одинаковой удельной интенсивности магнитного поля существенно больше при перифериальном расположении магнитного поля. При большей локализации магнитного поля это явление еще более усугубляется.
Для анизотропной электропроводной весьма пологой оболочки, находящейся во внешнем магнитном поле, в параграфе 1.8 на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел с учетом поперечных сдвиговых деформаций получена полная система уравнений магнитоупругости, которая позволяет исследовать колебательные и волновые процессы в пологой оболочке.
В параграфе 1.9 при помощи гипотезы магнитоупругости тонких тел и при дополнительном допущении относительно изменения возмущенного электромагнитного поля в окружающей среде вблизи от поверхностей оболочки, пространственная задача магнитоупругости тонких цилиндрических оболочек сведена к двумерной. В качестве примера рассмотрены осесимметричные колебания упругой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле, получено характеристическое уравнение относительно частоты магнитоупругих колебаний тонкой оболочки:
ю2 _п2 <гв§х к2 +(щ~\1+щк2 -ь2)-1) 0
рс2 к2 +47гспо)с_2 +(А,Ь)-1(1 +ЩД2 -И2)""1)
(14)
_ 2 Ок4 Е
где ---1--— —квадрат частоты собственных
2рЬ рК2
осесимметричных колебаний оболочки в отсутствие магнитного поля. Показана возможность и обоснованность предложенного метода сведения пространственной задачи магнитоупругости цилиндрической оболочки к двумерной.
Глава 2. Исследование задач магнитоупругости пластин во внешнем магнитном поле с применением операторного метода.
Используя операторный метод в комплексе с методом усреднения, в параграфе 2.1 трехмерные уравнения электродинамики трансверсально-изотропного тела приводятся к системе двумерных дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка. Предельным переходом из этих уравнений получены приближенные
уравнения второго порядка, соответствующие кубическому закону изменения компонент вектора индуцированного электромагнитного поля.
В поперечном магнитном поле компоненты индуцированного электрического поля имеют следующий вид:
-2 ,„2 Л -( ЗЬ2_5г2 ^ . +-у
л 30 у
е1 = 8с
, К-Ъъ1 2 1+-р^
/
г
ею+г
п
4тса (
В3р2Ь2
Ь2-Зг2_ 3112-5г2
У+-
\
•¿м
750
®2 =
1 +
Ь2 -Зг2
\
(
е20
, ЗЬ^ -Ъъ1 2
1+-q
30
е2* +
/
е2сВзЬ2 ГЬ2 -Зг2 тт ЗЬ2 -бг2 ЗЬ2 -5г2 Л --—и--cxw+-:—тф
4т
6Ь
д п д о где СХ = ——, р = ——, 0
дх ду
ЗОИ 4ла д
750
(15)
2 ст 2 2 . п2 л 2 2 , о2 л
р =—гя 1,я - а -У,я 1 = а + р--и.
а сг
Даны критерии тонкостенности пластин с точки зрения электродинамики, характеризующие погрешность приведения трехмерных уравнений к двумерным. В конце этого параграфа рассмотрена задача поперечных колебаний шарнирио-оиертой по краям трансверсально-изотропной пластинки в поперечном магнитном поле. Получены формулы для определения частоты упругих колебаний пластинки и сделан подробный численный анализ. В параграфе 2.2 исследована задача колебания пластинки в продольном магнитном поле с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Получено характеристическое уравнение и показано влияние интенсивности внешнего магнитного поля, поперечных сдвиговых деформаций на характер магнитоупругих колебаний пластинки. В параграфе 2.3 исследовано колебание трансверсально-
изотропной пластинки в поперечном магнитном поле. Получены характеристические уравнения для определения частоты поперечных колебаний пластинки как с учетом, так и без учета поперечных сдвиговых деформаций. Сделан подробный аналитический и численный анализ характеристических уравнений. Показано влияние напряженности магнитного поля и поперечных сдвигов на характер магнитоупругих колебаний пластинки.
В параграфе 2.4 приводится сравнение характеристических уравнений и соответствующих дифференциальных уравнений, которые описывают поперечные колебания пластинки-полосы в поперечном постоянном магнитном поле, полученных на основе разных подходов:
а) на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел;
б) на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел с учетом поперечных сдвиговых деформаций;
в) на основе предположения о линейном законе изменения тангенциальных компонент вектора напряженности индуцированного электрического поля и нормальной компоненты вектора напряженности индуцированного магнитного поля по толщине пластинки, в сочетании с гипотезой недеформируемых нормалей;
г) на основе гипотез уточненной теории пластин - учитывающие поперечные сдвиговые деформации, применением операторного метода в комплексе с методом усреднения компонент вектора индуцированного электромагнитного поля по толщине пластинки. Для этих случаев характеристические уравнения и соответствующие им дифференциальные уравнения будут:
а) П2 + |Ю + 1 = 0
2рЬ
д2\м
+ 0
а4\л/
2аЬ3Н2 д
дс дх'
где £2 = Пт/щ, Б = 2Е113/3(1-У2). б)
2рЪ2соо
Зс"
а
/ .9 ^
дх2
= 0
(16)
со20 = ЕЬ2Л.4т/Зр( 1 -V2), Хт = шя/а, Р = стЬ2Н'^2т/Зрс2(о0,
4 2(й0оЬ2Н2 о
+
+
1 +
+
2Е1А2т '
5Ф (1-V2),
о2+рд+1 = о
4p2h3 a4w 4aph3H2 a3w 5GT at4 + 5c2g' a3 + 2 ( h2 a2w ос:ц2
+2ph-
Э1"
2ah3H2 a
w--
2Eh'
3 ax2 5G'(i-v2)ax¿
3c2 St
a^w
Эх'
+ D
a4w ax4
= 0
B)
о
0 fi +fi¿ +p
Зс2 8ïïoph3 d3w
зс2 a3
/ 2nDX2m^
■J '/m
V
hH
fi + 1 = 0
+2ph—- + a2
5
+—
a
20h3!-!2 ô2w 8ro&>5 ö4w
+D
54w
3c2 =0
+-
Ъ? 9c (1-v ) дк"
ck'
(17)
r)
2ph^iß4 + 5G'
' hV 1 + iL^m.
+ ■
2o>0crh2H2 4ma0gh; 5c 2 G1
2Eh2A*
m
5G'(1-v2);
15c'
/
fi3 +
fi2 +ß
1 +
2лШ'
m
fi + 1 = 0
/
(18)
1б7гар т! аам/ + 4рЧт* дА
75с2С а5 5С я4
ь2 аУ
15 ах2
+-
Зы2
4стр11 Н бс2^
-\л/4
8дстрЬ 4сгр1г +-— \л/ —
15с'
+2рЬ-
+-
45
1 + -
45с
5 6Е
' 3
5С
н2+- 4*Е
<1-V2).
д V!
+
1 + -
V«
V«'
дх'
дх
+-
а
V 5С(1- V ). 2аЬ3Н2 a2w вястЕИ5 а4\лг 2стЬ5Н2 аУ
Зс'
ах2 45с2(1-у2) ах4 45сг дх
+
ах'
15
(19)
Для исследования задач колебания пластин ио внешнем поперечном магнитном поле в качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости тонких тел предложено уравнение, которое соответствует уточненным теориям пластин. Это уравнение имеет следующий вид:
.3
4р2ь3 аУ а3
50- а4
4сгрЬ3Н2 8тгстрЬ
\У +--—V/
5с2С
15с"
+
+2рЬ-
ЕЬ"
Э2ш
ь2 д2™
5 дх.2 5С(1-У2)ах2
+ -
а
2стЬ3Н2 д2ч 8тгстЕЬ5
аУ
Зс'
ах2 45с2(1-V2) ах4;
+
дк
4
ч
ч
Глава 3. Распространение магнитоупругих волн.
В параграфе 3.1 исследована задача распространения продольной волны в проводящей пластинке при наличии поперечного магнитного поля. Для определения фазовой скорости распространения волн получено характеристическое уравнение и показано, что наличие магнитного поля приводит к дисперсии. Построена система уравнений, из которой получается дисперсионное уравнение для идеально-проводящей пластинки, находящейся в магнитном поле. Применяя к полученной системе уравнений преобразования Фурье и Лапласа, методом стационарных фаз найдено асимптотическое поведение тангенциального перемещения точек срединной плоскости пластинки.
и(X, t)---- Y l° =г sin V - со 0t + -
2ф^-ijx2-s2t2 ^ 4.
ко ---/ , , =
x-yjx2-s2t2 Sj s2t
2^2 л]х2 -s2t2 ' 0 2í2 Jx2 ~s2t2
В2 E
Получено, что волна начальной формы
5 =_s ___
1 4 trph' 1 p(l-v2)' (21)
I n5u
ч. = 0,—
lt=o 'dt
= У 10-8(х)
1=0
в конечном счете превращается в квазигармоническую волну (с фазой У которой волновое число к0 и частота й)0 зависят от
отношения хЛ. Амплитуда этой волны также зависит от X /1 и затухает пропорцианально . Однако вблизи данного значения х и при фиксированном значении времени к0 и й)0 можно считать постоянными.
Аналогичная задача с применением операторного метода исследована в параграфе 3.6 и получены результаты, которые подтверждают приведенные выше выводы. В параграфе 3.2 изучаются волноводные свойства упругой изотропной электропроводящей пластинки, находящейся во внешнем продольном магнитном поле. Исследован вопрос распространения нормальных магнитоупругих изгибиых воли и определены те значения частот, при которых рассматриваемая
пластинка является волноводом. Показано существенное влияние внешнего магнитного поля на критические частоты основной нормальной волны.
В параграфе 3.3 исследуется вопрос применимости гипотезы недеформируемых нормалей при изучении задач распространения магнитоупругих волн в пластине. Рассмотрена упругая изотропная идепльно-проподящая пластинка, заключенная между плоскостями, свободными от напряжении. Пластина находится во внешнем продольном магнитном поле и в ней распространяется периодическая волна. Для симметричных и антисимметричных колебаний получены характеристические уравнения для определения фазовой скорости.
2 2
(1 + р^)2сй^Ь -4Р1Р2сЛу2Ь-^^1(р1 -1) = 0,р1 = (1 = 1,2,3)
(1 + Р^ЛУ.Ь ~ 4Р1Р2Л У2Ь - - 0 = О
(22)
(
1 1 1 где = к
С2С2Р3
,(а = 1,2), V] =к2
(23)
с2у
Рассмотрены предельные случаи: длина волны очень велика и очень мала по сравнению с толщиной пластинки. Эта же задача рассмотрена на основе гипотезы недеформируемых нормалей. Сравнены выражения фазовых скоростей, полученных на основе точного решения и на основе гипотезы недеформируемых нормалей и показано влияние внешнего магнитного поля на скорость распространения волн. Распространение магнитотермоупругих волн в идеально-проводящей пластинке исследуется в параграфе 3.4. Пластинка находится во внешнем продольном магнитном поле и в недеформированном состоянии имеет заданную температуру. Вследствие действия волны пластинка деформируется. Получено уравнение для определения неизвестной фазовой скорости и исследованы предельные случаи.
В параграфе 3.5 рассматривается распространение волн в упругом коиочио-иронодящем бесконечном изотропном слое, находящемся в поперечном стационарном магнитном поле с заданным вектором напряженности. Слой заключен между
плоскостями, которые свободны от напряжений. Вследствие действия волны слой деформируется и ограничение упругого пространства двумя плоскостями, взаимодействие индуцированного электромагнитного поля с полем перемещения вызывают возмущения, которые влияют на значение фазовой скорости и напряженного состояния. Рассматриваемая задача исследована на основе линеаризованных уравнений магнитоупругости. Построено решение, удовлетворяющее граничным условиям и получено дисперсионное уравнение для определения фазовой скорости.
Глава 4. Нелинейные магнитоупругие колебания пластин.
В параграфе 4.1 приводятся основные уравнения и соотношения нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин. Нелинейные колебания пластинки в магнитном поле описываются на основе геометрически нелинейной теории, считая прогибы пластинки сопоставимыми с ее толщиной, но малыми по сравнению с основными размерами.
На лицевых поверхностях пластинки имеем следующие граничные условия
а, -Я = О,
й-[я<е)-м#]=о,
-Ё] = ^[//(е)-ця],
(24)
Принимая уравнение возмущенных лицевых поверхностей в виде
г = ±И + и} (х,у,±И,1) для нормалей получены следующие выражения:
п =
_ «Зи-1 с _ ди-1 - - |
ах
Эу
1 +
ди3
+
1
2Г1
(25)
при г = ±Ь + щ{х,у,±И,{).
На основе (25) в параграфе 4.2 приводятся граничные условия. Получены значения напряжений <Т|3, <Т23 и <Т33 ири г = ±И+М.
V
_ ЕЬ = +-:
/ о 2 ^
д V/ д —— + V——
V дх2 ду2
„ э2 v/ д\м _ еь
о 23 = +2пи----1---
ЭхЭу дх 1-у
дх
сКУ
ЭхЭу Эу
а2\у 1ду2
■ + v-
Э2wЧ
Эх
2
стзз = О, (26)
В параграфе 4.3 получены значения компонент индуцированного электромагнитного поля и уравнения движения пластинки в перемещениях при наличии внешнего постоянного магнитного поля путем уточнения условий на лицевых поверхностях пластинки на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел. Пространственная нелинейная задача магнитоупругих колебаний пластинки сведена к решению системы двумерных дифференциальных уравнений. Полученные уравнения сравнены с известными в литературе аналогичными нелинейными уравнениями и показано влияние уточнения условий на лицевых поверхностях пластинки. В параграфе 4.4 путем уточнения условий на лицевых поверхностях пластинки, предложены нелинейные одномерные уравнения упругих изотропных пластин. В конце параграфа исследована задача колебаний шарнирно-опертой пластинки, один из размеров которого значительно превышает второй размер. Методом гармонического баланса получена зависимость между частотой нелинейных колебаний и амплитудой:
2
(О- =со^[ 1 + ^аВ2 I, а =-3/Ь2
(27)
Построено решение нелинейного уравнения методом усреднения и получено значение прогиба пластинки. Исследованию нелинейных колебаний шарнирно-опертой пластинки во внешнем поперечном постоянном магнитном поле посвящен параграф 4.5. Нелинейные колебания пластинки исследованы на основе уравнений, полученных в параграфе 4.3. Для частного случая получено нелинейное дифференциальное уравнение относительно прогиба пластинки:
\2
с! Ш 2________о 2
СИ
2 +<»оЛУ = -2а-
сИ
-Р'
Га
(11
Г с1\У
V сИ
(28)
у
где
2а =
а112712Н2
2 „2
Зра с
^ = 256
а'Ь5я3Н
27 ра3сб(1 + Ь)1а_1)
-I ■
2 64 У =
2и3 2тт2
а п л Н
9 ра^^ + Ьтга"1)' Зра4(1-у2)'
Нелинейные члены в полученном уравнении обусловлены наличием внешнего магнитного поля. Получена зависимость частоты нелинейных магнитоупругих колебаний пластинки и амплитуды: Г 1 \
2
ЕЬ2ТГ4
0)
-»{(н^Г^+А^".
Показано, что в зависимости от напряженности внешнего магнитного поля характер нелинейных магнитоупругих колебаний пластинки может быть мягким. Методом усреднения найдено значение для прогиба нелинейных магнитоупругих колебаний пластинки, которое имеет вид
= А()е~а^1 + хАо(1-е~2а1)|^ х ' с2
хсоб'
М
(о0
г-
8яаЬ2Юо
1п
1 + ХА§(1-е"2а1)
71х
(29)
где 1 Зас4(1 + Ьяа-')
64ст2Ь37ГЮл
Заключение
1. На основе гипотезы магнитоупругости тонких тел построена полная система уравнений магнитоупругости упругих проводящих трансверсально-изотропных пластин с учетом поперечных сдвиговых деформаций при наличии внешнего постоянного магнитного поля. Выявлено влияние поперечных сдвиговых деформаций и соответствующих магнитоупругих взаимодействий на логарифмический декремент и частоту поперечных колебаний пластинки. Для поперечных колебаний трансверсально-изотропной
пластинки в продольном магнитном поле показано, что с увеличением напряженности магнитного поля основная частота колебания пластинки возрастает незначительно. Частоты колебаний, обусловленные учетом поперечных сдвиговых деформаций, недостаточно сильно реагируют на изменение напряженности магнитного поля.
2. Дана постановка двумерной задачи колебания прямоугольной пластинки во внешнем продольном магнитном поле. Построены решения задач магнитоупругих колебаний прямоугольной пластинки при различных условиях опирания по краям. Определены дисперсионные уравнения для частот магнитоупругих колебаний. ' Показано, что продольное магнитное поле напряженностью порядка 103+10'1 эрстед приводит к увеличению частоты колебания пластинки в два и более раза. Приведен подробный анализ характера колебаний проводящей пластинки в магнитном поле в зависимости от материала, геометрии пластинки и напряженности внешнего магнитного поля. Показано влияние внешнего магнитного поля на форму колебаний проводящей прямоугольной пластинки и найдены соотпетстнующие значения напряженности магнитного поля.
3. Построены решения задач магнитоупругих колебаний бесконечной пластинки с заданным начальным прогибом и начальным магнитным импульсом. Получена аналитическая формула для определения прогиба пластинки и установлено влияние внешнего магнитного поля.
4. Построены решения задач колебания электропроводящей пластинки в поперечном магнитном поле переменной интенсивности, с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Установлено, что логарифмический декремент колебания пластинки, при перифериальном расположении магнитного поля, своего максимального значения достигает, когда локальное магнитное поле находится у краев свободно-опертой пластинки. Для заделанной пластинки максимальное значение логарифмического декремента колебаний достигается в местах, где максимальное значение иитонснниости магнитного ноля совпадает с максимальным значением тангенциальных перемещений.
5. Выведена система уравнений магнитоупругости анизотропной электропроводящей весьма пологой оболочки, находящейся во внешнем магнитном поле, с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Приведен метод сведения пространственной задачи магнитоупругости проводящих цилиндрических оболочек к
двумерной. Установлена возможность и обоснованность предложенного метода.
6. На основе операторного метода, в комплексе с методом усреднения и гипотез уточненной теории пластин С.А.Амбарцумяна, трехмерная задача электродинамики и магнитоупругости трансверсально-изотропных пластин сведена к системе двумерных уравнений на срединной плоскости пластинки. Получен кубический закон распределения компонент вектора индуцированного электромагнитного поля по толщине пластинки, находящейся в полном соответствии с гипотезой уточненной теории пластин. Установлены критерии тонкостенности пластинки с точки зрения электродинамики, характеризующие погрешность приведения трехмерных уравнений к двумерным. Исследованы колебания трансверсально-изотропной пластинки во внешнем постоянном поперечном и продольном магнитных полях. Установлена зависимость частоты магнитоупругих колебаний от напряженности внешнего магнитного поля, геометрических и физико-механических характеристик пластинки и учета поперечных сдвиговых деформаций. Показано, что неравномерное распределение компонент вектора индуцированного электромагнитного поля по толщине пластинки приводит к существенному изменению колебательного процесса пластинки. Дано сравнение различных подходов уточнения гипотезы магнитоупругости тонких тел. Для исследования задач колебания пластин при наличии внешнего поперечного магнитного поля в качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости тонких тел предложено уравнение, которое соответствует уточненным теориям пластин. Показано, что для уточнения гипотезы магнитоупругости тонких тел необходимо совместно уточнять гипотезу недеформируемых нормалей и для электродинамических величин брать соответствующий закон изменения по толщине пластинки.
7. Построено решение задачи о распространении продольных волн в тонком упругом проводящем слое (пластинка) в поперечном магнитном поле. Показано, что наличие магнитного поля приводит к дисперсии. Построена система уравнений идеально-проводящей пластинки в поперечном магнитном поле для определения фазовой скорости распространения продольной волны.
8. Найдено асимптотическое поведение тангенциального перемещения точек срединной плоскости пластинки. Установлено, что волна с заданной начальной скоростью перемещения в
конечном счете превращается в квазигармоническую волну, у которой волновое число и частота зависят от отношения x/t.
9. Изучены волноводные свойства упругой изотропной проводящей пластинки, находящейся во внешнем продольном магнитном поле. Определены значения частот, при которых рассматриваемая пластинка является волноводом. Показано влияние внешнего магнитного поля на критические частоты основной нормальной волны.
10. Исследован вопрос применимости гипотезы недеформируемых нормалей при изучении задач распространения магнитоупругих волн в проводящей пластине. Для симметричных и антисимметричных колебаний получены дисперсионные уравнения для определения фазовой скорости. Задача решена также на основе гипотезы недеформируемых нормалей. Сравнены выражения фазовых скоростей, полученных на основе точного решения и на основе гипотезы недеформируемых нормалей, и установлено влияние внешнего магнитного поля на скорость распространения волн. Получены дисперсионные уравнения для определения фазовой скорости магнитотермоупругих волн и волн, распространяющихся в конечно-проводящем изотропном слое.
11. Уточняя условия на лицевых поверхностях пластинки, выведены двумерные уравнения и граничные условия нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин в магнитном поле. Предложены нелинейные одномерные уравнения колебаний упругих изотропных пластин. Дана зависимость частоты нелинейных колебаний пластинки и амплитуды. Установлено, что в зависимости от напряженности внешнего магнитного поля, характер нелинейных магнитоупругих колебаний пластинки может быть мягким. Построены значения прогиба нелинейных колебаний пластинки.
Основные содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:
1. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В., Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания пластин в продольном магнитном поле с учетом деформации сдвига. Труды 12-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Ереван, 1980, т.1, с.53-59.
2. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В., Саркисян C.B. Колебания электропроводящей пластинки в поперечном магнитном поле переменной интенсивности. Межвузовский сборник научных трудов, вып.2, изд. ЕГУ, Ереван, 1982, с. 13-21.
3. Амбарцумян С.А., Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания электропроводящей ортотропной цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле. Изв. HAH РА, Механика.
4. Белубекян М.В., Саркисян C.B. Об одном уточнении уравнений нелинейных колебаний пластин. Уч. записки ЕГУ, №1, 1992, с.41-46.
5. Джилавян С.А., Саркисян C.B., Саргсян A.A. К исследованию задачи магнитоупругости пластин в поперечном магнитном поле с применением операторного метода. - В сб.: Механика деформируемого твердого тела, Ереван: изд-no АН Арм.ССР, 1988, C122-128.
6. Казарян К.Б., Саркисян C.B. О нормальных магнитоупругих изгибных волнах проводящей пластинки во внешнем продольном магнитном поле. - Механика, Межвуз. сборник научных трудов, вып.5, Ереван: изд-во ЕГУ, 1986, с. 194-197.
7. Саркисян B.C., Джилавян С.А., Саркисян C.B., Саргсян A.A. Исследование задач магнитоупругости транстропных пластин на основе операторного метода. - Сб. научных работ "Динамические задачи механики сплошной среды", ч.1, Краснодар, 1988, с. 126128.
8. Саркисян B.C., Саркисян C.B., Джилавян С.А., Саргсян A.A. Исследование колебаний электропроводящих пластин в магнитном поле. - Механика, Межвуз. сборник научных трудов, вып.8, Ереван: изд-во ЕГУ, 1991, с.49-60.
9. Саркисян B.C., Саркисян C.B. Колебание неоднородных анизотропных пластин при наличии магнитного поля. - В сб. IV Inter. Conference on Mech. of Inhomogeneous Structure, Тернополь, 1995, c.2.
10. Саркисян C.B. Об одной задаче колебания конечно-проводящей пластинки в магнитном поле. Исследование по механике твердого деформируемого тела. Изд. АН Арм.ССР, Ереван, 1981, с.224-230.
11. Саркисян C.B. Колебание прямоугольной пластинки в продольном магнитном поле. "Ученые записки ЕГУ", Ереван, 1981, №1, (146), с. 46-50.
12. Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания бесконечной пластинки с заданным начальным прогибом. - Межвузовский сборник научных трудов, вып.2, изд. ЕГУ, 1982, с. 120-125.
13. Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания бесконечной пластинки с заданным начальным прогибом или магнитным импульсом. - Ученые записки ЕГУ, Естеств. науки, 1983, №3 (153), с.36-41.
14. Саркисян C.B. Влияние магнитного поля на форму колебаний проводящей прямоугольной пластинки. - В кн.: III Всесоюзный симп. "Теоретические вопросы магнитоупругости", Тез. докл., Ереван: изд-во ЕГУ, 1984, с.139-142.
15. Саркисян C.B. К магнитоупрутим колебаниям неоднородной пластины. - Материалы II Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов", Ереван: изд-no ЕГУ, 1984, т.З, с. 127-130.
16. Саркисян C.B. Магнитоупругие колебания пластин с учетом поперечных сдвигов. - Труды Всесоюзного совещания-семинара "Теория и численные методы расчета пластин и оболочек", Тбилиси, 1984, т.2, с.281-293.
17. Саркисян C.B., Джилавян С.А., Петросян С.А. Магнитотермоупругие колебания транстропной пластинки с учетом поперечных деформаций. - Материалы Республиканской научно-практической конференции по методике преподавания математики и механики в вузе, Ереван, 1986, с.115-116.
18. Саркисян C.B., Джилавян С.А., Саргсян A.A. Поперечные колебания электропроводящей пластинки в продольном магнитном поле. - В кн.: IV симп. "Теоретические вопросы магнитоупругости", Ереван: изд-во ЕГУ, 1989, с. 180-186.
19. Саркисян C.B., Петросян С.А. К магнитоупругости весьма пологой оболочки с учетом поперечных сдвиговых деформаций. -Механика, Межнуа. сб. научи, трудов, iii.iii.-l, Преи.ш: П.ГУ, 19Я6, с.90-90.
20. Саркисян C.B., Саргсян A.A. Распространение продольной волны в пластинке при наличии магнитного поля. - Труды XIV научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР, Киев, деп. в ВИНИТИ, 2.08.1989, №5166-В.89, ч.З, с.466-470.
21. Саркисян C.B. К задаче распространения магнитоупругих волн в пластине. - Труды 14-ой Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 1987, т.2, с.400-405.
22. Саркисян C.B. Распространение магнитотермоупругих волн в пластине. - Труды XV Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, т.1, Казань, 1990, с.231-236.
23. Саркисян C.B. Распространение волн в упругом электропроводящем слое. Тез. докл. Всесоюз. сов.-сем. "ИФПНТ", МГТУ, Москва, 1990, с. 100-101.
24. Саркисян C.B. Нормальные магнитоупругие волны проводящей пластики. Тез. докл. 11 Нсес. сои. семинара ПФППТ. 1992, с.ЛО.
25. Саркисян С.В. Об одном варианте уравнений нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин. - Тез. докл. IV Межд. сов. сем. ИФПНТ, Москва, 1996, с.98-99.
26. Саркисян С.В. Об одном уточнении уравнений нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин. - Изв. НАН Армении, Механика, 14с. (в печати).
27. Ambartsumian S.A., Belubekian M.V., Sarkisian S.V. On the Magnetoelastic Vibration Problem of Cylindrical Shells. - Inter. Journal of Applied Electromagnetic in Materials, 10 стр. (в печати).
28. Avetisian A.S., Sarkisyan S.V. About Electroinagnetoelastic Vibrations and Waves Propagation in Nonhomogeneous Medium. - IUTAM Symposium Mechanical Modelings of New Electromagnetic Materials, 1990, Stockholm, Sweden, pp. 387-393.
29. Sarkisian S.V. Longitudinal Waves Propagation in Plates in Presence of Transverse Magnetic Field. - Междун. конф. по теор. и прикладной механике, Ереван, 4 стр. (в печати).
ШГФПФЛМГ
ï;L№SÎ4I<irinf"№Q UUI.bPh aKbllUhklliiirb ЬЪЧ-ПРЪЬРС
<liùûilhyiil piupmlj liiuptiliGGhpJi úiuqúlmiuuiniuáquiliiuQmpjiuQ iluiiiliuiûji фш, Ijiunni garnir Ьй umuiàquiliuiQ uipuiGuijhpuuii liqnuipnuj huirinpi}li¿ umQi líiuqGliuuiiuniuáquilpuGiupjuiú Ьр1^шф hiuijuiuiupiiiiSGhpp, iiujûuiliuiG uiuhpji ijb^npüuigJiuiGGhpli hui¿ijiunmiíni|: fhuniilGiuuli¡ii]ui& t uipinuipJiG úuiqGliuuiliuiG цш^иф U luijGuiljuiG uuihpji qbíJjiipüiugliuiGGbpli uiqijbgnipjiiiGii uui|hpniú umujgujgnq шштшйпцш^шй ицтдЬи]1 фш: Spilmí> t uipinuipliG bpljiujGuiliuiQ üuiqú[iuu]l¡uiú rpu^uinuí quiQi|ar\ iur[i|iuûljjiuG uui|]i шштшй^шй Ьр1^шф luûqpfi Ц]11[ш0р[1 U lpiinnigi(iud t |ruómií|i uiuippbp bqpuijfiG upujúiuQGbpli цЬидапй: Uiiqhpli inhumpjiuG 62qpini[m0 ijuipljiuöli hjuSiuG 1|рш, oquiiuqiiiit)li|iu| ouili|miumpiii||ili iU>|>ui||i iS|iy|il'uiupüuli iUi])iii)|i liliin luuihuuiLi|, hiuipipqli¿ uui|bpli ihuqülmuiuiiuu(!iqiulp.uüiiipjiuG uiiupuiöuiljuiG JuGqlipp phpijiuö t Ьр1^шф [uüqpfi: UpinuipliG [LujQiuljmû úuiqGliuuiljiuG qui^miuú qmHtjiiq ишф inuimuiGiíuiü fuúi)[i¡ip тишй'йинфрЬри hiuiíiup шпш$>шр1р(ш0 t huii[iuuuipnuí, прр hiuúuiu.]uiuiiuuJuuiGinú t uiu[h|i]i 62qpini]uiö uibuiupjniGGhpJiü Ь hmQiiJiumQmü t hiugnpq ünmuii|npnipjmü puipuili liiupiSJiGGbpli úiuqG[iuiuuinuiáquiliuiGmpjiuQ фир1|шй!1 GljuiuiúiuiJp:
fhumiilIiuuJïiH[t.uô t úiuqúliuiuljuiG гри^иф mqqbgnipjiiiGp líiuqGJiuiuumuiáqujljiuG ui[]ipGhpli miupuiöiiuiü i|piu: TS^qpinbiniJ ишф qJiiJiujliG úiLiljhplmtjpli фш upujtfuiGGbpp, фишпдфий Ьй l;ihl}inpiuhiuipipqli¿ ишф n¿ qâiujliG ùuiqûliuiuuiniuàquilpuQ inuiunuQimSGhpli ЬшфиишрпиШЬрр L hqpiujliG upujiSiuGlibpii:
ílhtH.'l Ull(lA»hUüiiU1i 'ШГ,М/РИМГ
