Линейные и нелинейные двух и трехмерные динамические задачи теории упругости и магнитоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВУХ И ТРЕХМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И МАГНИТОУПРУГОСТИ

01.02.04 — «Механика деформируемого твердого тела»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Сафарян Юрик Сережаевич

Москва-2003

Работа выполнена в Горисском филиале Государственного Инженерного Университета Армении

Научный консультант: член-корреспондент Национальной Академии наук Армении, доктор физико-математических наук, А. Г. Багдоев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Никитин Л. В.

доктор физико-математических наук Кукуджанов В. Н. доктор технических наук Сабодаш П. Ф.

Ведущая организация: Акустический институт РАН, Москва

Защита состоится 21 ноября 2003 г., в 16 часов, в аудитории 16-10 на заседании специализированного совета Д 501.001.91 при МГУ по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан «21» октября 2003 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 501.001.91 при МГУ, профессор

С. В. Шешенин

го^Л 1ъч<><ч(>

?Л О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность задач рассматриваемых в- диссертации, вытекает из необходимости Учитывать влияние магнитных полей на колебания металлических конструкций в управляемом термоядерном синтезе, в различных промышленных процессах, в измерительных приборах, а также влияние нелинейности среды на волновые движения в указанных задачах и в сейсмике. Знание значений частот и амплитуд колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин в указанных конструкциях необходимо для расчета динамических процессов в них. Задачи соударения упругих тел имеют важное значение при изучении сейсмических процессов. Практическую значимость имеют двух и трехмерные дифракционные нелинейные задачи теории упругости, задача о каустиках (фокусирование волн) и задача о трехмерных волновых пучках в различных средах. Цель диссертации заключается;

а) в разработке пространственного точного подхода для определения собственных частот изгибных колебаний магнтоупругих и ферромагнитных пластин и сравнение с осредненным классическим подходом,

б) исследованию на основание полученных линейных частот распространения и устойчивости нелинейных волн модуляции в указанных типах пластин,

в) в теоретическом исследовании двумерных и трехмерных линейных и нелинейных дифракционных нестационарных задач для акустической и упругой среды и получением помимо точных аналитических решений графиков изменения параметров движения среды на ударных волнах

г) в выводе нелинейного уравнения для поведения квазимонохроматической волны вблизи каустики для изгибных волн в упругой и магни-тоупругой нелинейных пластинах и численного его решения

д) в исследовании нелинейных пучков в магнитоупругой среде и плазме

е) в получении линейного и нелинейного решения в сейсмической задаче соударения двугранных углов.

Решение поставленных задач достигается:

- разработкой теории пространственного подхода к определению частот колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин,

- выяснением роли магнитного поля на устойчивость нелинейных колебаний металлических пластин,

- распространением асимптотического метода изучения нелинейных волн на двух и трехмерные дифракционные задачи путем сращивания

нелинейного решения с линейным и дальнейшим численным экспериментом по определению ударных волн,

- численным расчетом нелинейного обыкновенного уравнения вблизи каустики в магнитоупругой пластине,

- выводом восьми обыкновенных дифференциальных уравнений из уравнений модуляции для гауссовых пучков и их численным решением,

- в определении линейного решения задачи соударения бесконечных двугранных углов в форме Смирнова-Соболева, определении решения для углов конечной высоты и исследовании нелинейных решений. Научная новизна работы заключается в разработке:

- эффективного метода получения точных значений частот изгибных колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин, позволяющего оценить правильность результатов, полученных ранее по осредненней классической теории.

- метода получения аналитических решений задач нелинейной дифракции путем сращивания с линейных решением, который дополняется численным анализом обыкновенных дифференцииальных уравнений на ударной волне,

- нелинейного решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики,

- получения эффективных результатов по уточненному исследованию гауссовых пучков в сочетании аналитических и численных методов

- получению простых аналитических зависимостей в сложной математической задаче соударения двугранных бесконечных и конечных по высоте углов.

Практическое значение исследований состоит в применении результатов при изучении волновых процессов в металлоконструкциях, для управляемых термоядерных реакций, для приборов, находящихся в магнитном поле, для изучения сейсмичных явлений по прогнозу землетрясений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- теоретические исследования частот изгибных колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин

- экспериментальные подтверждения правильности результатов пространственного подхода,

- формулировка общего подхода к получени линейного и нелинейного решения дифракционной нестационарной задачи по исследовани окрестности точки или линии касания распространяющейся волны с точечной волной,

- аналогичные исследования задачи, определения линейного и не-

линейного решения вблизи каустики,

- определение нелинейного решения задачи для узких осесимет-ричных гауссовых пучков путем вывода и численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений,

- определение линейного и нелинейного решения в задаче соударения неограниченных и ограниченных двугранных углов. Все результаты исследований реализованы в институте механики Национальный Академии Наук Армении, государственном инженерном университете Армении, в министерстве высшего образования и науки Армении.

Апробация работы Основные положения диссертации доложены: на Всесоюзной конференции: "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред". Арм.ССР, г. Горис, май 19.84-1987. Ереван, май, 1990.

На III Всесоюзной конференции: "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Харьков, 1985г.

На IV Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Иваново, 1985.

на семинаре по динамике сплошной среды Института Проблем Механики HAH РФ, Москва, ноябрь 2001г.;

на семинаре отдела волновых процессов Института Механики МГУ им. М. В. Ломоносова, ноябрь 2001г.;

на годичной научной конференции Государственного Инженерного Университета Армении октябрь 2001 г., 2002г.; на научной конференции, посвяшенной памяти академика А. Л. Шагиняна, Ереванский государственный университет, июль 2002г. на научной конференции, посвященной памяти академика Н. X. Арутюняна, Институт механики HAH Армении, апрель 2003г. Обьем работы Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Она содержит 220 страниц текста, включающие 19 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 95 наименований. Публикации По теме диссертации опубликовано 25 научных статей. Список публикаций приводится' в конце текста автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении изложены актуальность задач, рассматриваемых в диссертации, предистория вопроса с обзором работ, выполненных до диссертации, цель, научная новизна, практическое значение выполненной работы.

В главе 1 рассмотрен новый пространственный подход к исследованию частот магнитоупругих колебаий пластины. Вначале рассмотрено невозмущенное поперечное магнитное поле. Пусть ось х направлена вдоль средней линии пластины, вдоль которой распространяется волна, ось г нормальна к ней, невозмущенное магнитное поле Н0направлено по оси г.

их, иг - компоненты смещения по осям х, г, Н=Н0+ А вектор магнитного поля, причем для индуцированного поля считается кх ~Н0Н'Х, Аг=Н0Н'г. Для квазимонохроматических волн можно полагать:

их~±их{гУ+кс., иг=±У2(гУг+к.с. (1.1)

т=Ьх-Ы, Н'х =^Нх(г)е1т +к.с., Н'г=^Нг[г)е" +к.с.

Затем, следуя методу Новацкого, примененному им для упругой пластины, решение двухмерных уравнений теории магнитоуп-ругости ищется в виде:

I]г =А;сЫ}г, их ,

НХ=С;С Аи;2, Яг=Я;8Ли;2 (1.2)

где по ] суммируется от 1 до 3. Подставляя (1.1), (1.2) в уравнения магнитоупругости, можно все постоянные в (1.2) выразить через В) и получить уравнение для

1.2 ,,2 1,2гг2 „2 172 и 2

ь у2 е \а - 01 * »1 з)

_2 л2+5 а2 м2 „2 у2 -2 '

а а —г о ,г ® а . .к -V

а а <о

где а, Ь скорости продольных, поперечных упругих волн,

2 Н1 _ . Ь2 с2 а. =——, р -плотнсость, £=1—-, V- --, ст -электропровод-

4 яр а Алсг

ность, с -скорость света.

Для конечных а все V конечны. Для сг=оо можно получить два конечных значения у =ух г. И для больших, но конечных а

_ 0 добавляется третье значение у = у3, которое для —»1 будет:

• »'з а. . I—^ =Нг+1.

(14)

Для того, чтобы получить эффективные формулы для у12 3 разлагается к123 по степеням а,2 вплоть до а,4. Тогда из (1.3) получится:

а

а2 -к2+-

„2_. 2 А .Д»* <*1* 14 -2 ~2 а2£а>2'

2 Ь2 ¿>2 б4 ¿а2<»2

(1.5)

Для того, чтобы вывести дисперсионное соотношение й>(а) в пространственной постановке нужно использовать для определения оставшихся ¿?, 2 3 граничные условия на поверхностях пластины г=±Л/2 с диэлектриком. Эти три условия приводят к детерми-нантному уравнению:

' кл, к . к., к

1+—1+—¿Лу,-I/, 12 и, 2 2

1+—

V, 2

Л

1+—А2

А'

Хг

1+-£-к2 Л2

1+—Л2

Г2

=0,

(1.6)

где

А 2 Ь2и2 02 , .к2^ г а2~2Ь2

7

й>

(1.7)

Подставляя (1.4), (1.5) в (1.6), (1.7), разлагая эти уравнения по степеням а? вплоть до а,4, можно убедиться, что члены с а,4 сокращаются и для больших а дисперсионное соотношение получится в виде:

о о / о¥ 2 2а?Л262 ¿у=<у,и+ку£, [а>{)=а>оо--Н-

а£

(1-8)

Лй),с

4?'

Интересно, что хотя полученное решение годится для небольших значений а,2/а2 , однако уточнение до членов порядка а^ не вносит поправки в значение со, которое тем самым содержит только члены с а,2, так же как и в осредненной задаче.

Для конечных а вместо (1.8) получается:

..... -А6Ь2!' д

3 3 0

или приближенно:

К/

Соотношения (1.8), (1.9) дают частоты свободных колебаний магнитоупругих пластин в поперечном поле. В осредненной постановке вместо (1,8) получается:

(йд1°)г=й4+а2А2, а>2°=--(1.10)

•I

Формулы для 0% совпадают, Но ¿а, как количественно, так и качественно отличается от пространственного подхода причем в (1.10) имеется добавок а,2£2, в то время как в (1.8) соответствующий член вычитается из Аналогичные выкладки проводятся для случая продольного начального магнитного поля Н0, направленного по оси х. Только вместо (1.2) берется:

Нх=С^Ь^г, Нг =и;-сЛ^г. (1.11)

Удерживая члены порядка а,4 можно убедиться, что а,4 не дает вклада в т(к) и получится для больших а в пространственном подходе:

Интересно отметить, что осредненный подход для больших а, в отличие от случая поперечного поля, дает в точности то же соотношение (1-12).

В то же время, для конечных а пространственный подход

дает:

.2*11

М-

(Оп+сХкА 1+—

о в?

">2=-^-. (1-13)

и ео° не совпадает с осредненным подходом:

.2

Ги41

4у

(1.14)

Проведенные эксперименты находятся в количественном и качественном согласии с пространственным подходом (1.8), (1.9), но не с осредненным подходом (1.10). В главе 1 также рассмотрены нелинейные волны модуляции в магнитоупругих пластинах и исследована их устойчивость. При этом используются линейные частоты (1.8), (1.9), (1.12), (1.13). Кроме того приводятся результаты экспериментов по измерению амплитуд изгибных колебаний в присутствии магнитного поля, причем показано, что последнее в несколько раз повышает амплитуду колебаний.

В главе 2 проводятся аналогичные исследования, на основе пространственного подхода, по определению частот колебаний ферромагнитных магнитомягких пластин. При этом задача осложняется из за влияния начального магнитного поля на начальные напряжения. Записывая для полных перемещений и напряжений:

где индекс Н обозначает начальные перемещения и напряжения за счет начального магнитного поля, можно из уравнений нелинейной магнитоупругости для ферромагнетика в первом порядке относительно малых возмущений получить:

д(_ .ндиЛ.....„ дкк дгик

М<г +гг"диЛ+и гН

ы1

где Н0; - компоненты начального магнитного поля по осям х и г,

V -магнитная проницаемость, //0 -магнитная постоянная. По у, т ведется суммирование. Это уравнение записывается для случая продольного поля Н0х-Н0 и поперечного поля Н0г-Н0.

При этом компоненты начальных напряжений а" , а" ,' для продольного поля равны нулю, а для поперечного поля

ИоХ2н1\

=

а2-2&2 1

2 и 2

2'"" " " а2 2 Эти значения начальных напряжений годны как для диэлектрической так и для идеально проводящей пластины. Кроме того граничные условия на поверхностях пластины также более сложные, чем магнитоупругие.

В случае диэлектрических ферромагнитных пластин в продольном магнитном поле, после длинных выкладок, получится дисперсионное соотношение для пространственного подхода:

а ~аоо * а\ . °г

(2.1)

И к где ¿2 -*кк —+рскк — 2 2

Осредненный подход дает:

а>2*>а>1о-Х2кга ,2

(г-Л

(2.2)

Последний дает ю<й>оо > 0 то время как по (2.1) а>ю00, что согласуется с магнитоупругими колебаниями (1.12). В случае поперечного магнитного поля пространственный подход дает

2 2 1

® =<»оо

2 А2

9-2-

*У«|2 Хло{к

3_2.2

(2.3)

5-, =скк —+шкк — 3 2 2

Осредненный подход дает:

2 2 й>=й>оо

21.2 2 ^ X*а*

1+

2 ^ X +х

(2.4)

т.е. качественно правильное, ахео^, но заниженное по сравнению с (1.18) значение добавки.

В случае идеально проводящей ферромагнитной пластины пространственной, подход дает в продольном поле:

+ (2.5)

л

В поперечном поле пространственный подход дает:

2 2 2цга\Ъгкг ® = - -

В соответствии с (1.8) получится й>«%) •

В главе 3 рассматривается широкий круг задач нестационарной дифракции волн на экранах, задач проникания клина в жидкую или упругую среду, задач отражения упругих волн от клиньев. В случае когда начальная волна ОА0 является продольной упругой волной при определении линейного решения в окрестности точки В касания продольных упругих волн АВ и В В' можно решать волновое уравнение для продольных волн, и поперечные волны на указанную окрестность не влияют. Во всех этих задачах имеется распространяющася волна АВ , которая касается точечной волны В В' и ставится задача определения линейного и нелинейного решения в двумерной окрестности точки В . В начале рассмотрим задачу о прохождении волны ОА 0 около края О полубесконечного непроницаемого экрана. В момент времени I волна ОА0 занимает положение АВ и, кроме того, имеется точечная волна • В В', произведенная вершиной О экрана. При наличии нескольких волн в среде следует вернуть их в начальное положение и определить решение на волнах АВ с помощю начального условия на волне ОА 0. При этом согласно теории Кирхгофа следует для решения в окрестности точки В касания волн интегрировать по освещенной части падающей волны, то есть по хх >0, где ось х, касается начальной волны в точке О .

Удобно вместо координаты, отсчитываемой по нормали к началь-

ной волне вводить время пробега от точки интегрирования (х1, уу) до начальный волны, полагая у1 = , где с0 есть начальная нормальная скорость волны, £ - время пробега от точки (х,, у,) до ОА0 . Для общности рассмотрения рассмотрим произвольную линейную гиперболическую систему с переменными коэффициентами, к которой относится упругая неоднородная среда. Вводя собственный вектор на волне АВ, полагая в близи

волны и/ = Эр, можно взять начальное условие для волны АВ с учетом вышеуказанной теории Кирхгофа в виде:

р.»

где обобщенная функция:

к Глс*, *>0

л п (3.2)

О, х<0

Такое же начальное условие получится из граничной задачи отражения волны АС от угла, при этом для определения отраженных волн АВ можно решать систему алгебраических уравнений и из граничных условий на сторонах угла определять лучевым методом решение на АВ. Тогда начальное условие на волне ОАо получается продолжением решения на АВ к моменту *=0, и поскольку при переходе к решению на точечной волне ВВ' следует считать решение на ВВ' равным нулю, при замене граничной задачи на начальную следует, как и выше, полагать t=0, ц=0 при лс, <0 и брать начальное условие в форме (3.1). Наиболее практичной и простой задачей является задача о прохождении скачкообразной волны вблизи края экрана, для которой в (3.1) А. =0 , ц=0 и условие (3.1) имеет вид:

и = а°а(%)а(х1), (3.3)

где а (х) -есть единичная функция Хевисайда. Тот .же вывод получится при решении граничной задачи для системы уравнений с постоянными коэффициентами, например, задачи о проникании тупого клина в упругую полуплоскость. В полученных методом Смирнова-Соболева интегралах по поверхности среды у=О можно показать, что при определении решения вблизи точки В интеграл по отрицательным значениям координаты х есть малая

более высокого порядка, чем интеграл по положительным х -ам, что после перехода к начальным условиям на ОАо позволяет интегрировать решение на ОА0 для значений х, > О и выбирать начальное условие в виде (3.1). Тем самым решения конкретных граничных задач обосновывают правильность теории Кирхгофа. Решение линейной гиперболической системы уравнений при начальном условии (3.1) можно искать в виде, обобщаюшим решение волнового уравнения с переменной скоростью волн и системы уравнений с постоянными коэффициентами в окрестности точки В касания волн:

где ф есть эйконал. Подставляя (3.4) в систему линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, можно показать, что А есть лучевое решение, которое для идеальной, например, упругой, среды имеет вид:

где сп есть нормальная скорость волны в данной точке г(х,у) с0 -

йг

и=

(3.5)

ее начальное значение, а =

есть длина сечения лучевой

трубки.

С

Рис. 1. Картина дифракционной волны в окрестности точки касания с произвольной волной

Можно также показать, после вычисления интегралов, что решение (3.4), (3.5), кроме того, что удовлетворяет системе уравнений, также удовлетворит условию (3.1). Для вычисления интегралов (3.4) следует записать эйконал <р вблизи волны в виде:

Ф^-^-^Нс.-^-Ч. (3.6)

2с0

где t=tф есть уравнение волны АВ, к^ - кривизна ОА^, А, кривизна обращенной точечной волны ЕР рис. 1 или квазиокружности, в есть значение координаты х1 в точке М0 пересечения луча, проходящего через данную точку М(х,у) с начальной волной.

Кроме того показывается выполнение соотношения:

(3.7)

где 9 =соп»г есть уравнение лучей для точечной волны ВВ', 80 есть значение 9 в В. Вычисление интегралов (3.4) позволяет записать линейное решение в общем случае начального условия (3.1) в виде двух гипергеометрических функций, дающих решение позади точечной волны КВВ' и между волнами КВ и АВ.

В случае наиболее реального условия (3.3) получится в указанных областях:

тагсЦ у -. т <0

и=

ПЛ -*2 9 ^О (38)

А т >0

где т<0 есть область позади точечной волны КВВ', т>0- между волнами КВ и АВ, т =0 есть уравнение точечной волны КВВ'.

Для определения нелинейного решения в окрестности точки В следует получить упрощенные нелинейные уравнения в этой окрестности. Уравнение линейной характеристики АВ в

лучевых координатах имеет вид:

т = М.У (3 9)

ЗД-М'

Записав в первом порядке по и формулу нормальной скорости нелинейной волны:

С.-с.+^-ф, 13.10)

которая получается из условий совместности на нелинейной характеристике, из (3.10) можно получить для нелинейных одномерных по т характеристик:

" /он»

—=а —, 3.11

3* с„

сравнивая с (3.9), можно получить уравнение двумерных нелинейных характеристик:

дт

-+ dt

Нелинейные упрощенные уравнения в окрестности точки В, имеющие (3.12) уравнением характеристик, имеют вид:

ди _ dv а0 ди din А л ди dv

--Г,—+—и--и-=0; —=—, (3.13)

dt 159 сл Эх dt двдт 1 '

где второе уравнение дает смысл введенной функции v. Вводя переменные

■Jki -kj Jky -Aj

можно записать для ц и v линейное решение ц0 и v0.

Исключая из него т , можно получить соотношение в плоскости годографа, которое считается выполненным и в нелинейной задаче:

Используя этот метод, можно, подставляя (3.15) в (3.13) получить, после интегрирования, нелинейное решение сращиваемое с линейным в виде (3.15), к которому добавится

(3.16)

г_ sinym

Это нелинейное решенйе имеет место позади точечной волны В'ВК . Для выяснения вопроса о том, когда волна ABB' будет ударной, а когда непрерывной, причем в последнем случае, как следует из исследования эквивалентной с математической точки зрения задачи обтекания верха треугольного крыла, будет иметь

место висячая ударная волна ВК рис. 1, рассмотрим одномерное по т решение, имеюшее место на ВВ' вдали от В. Тогда из (3.16), упрощенного для малых ц и больших 9 ~90 получится на ударной волне ВВ':

М =

о

ja°Adi

(3.17)

! о с.

где у, находится из уравнения одномерных по т характеристик:

т/2с0у, <д° т = (а а •

причем у,>0 на ВВ'. Тогда при а°А>0, а°а°>0 ударная волна

ВВ' (3.17), имеет место, а при а°а° <0 (3.17) выполнится лишь при ц =0 и волна ВВ' является непрерывной и имеется висячая ударная волна ВК рис. 1.

о л+1

Поскольку для жидкости а =——, где п показатель адиа-

и

баты, а0 > 0 и существует ударная волна ВВ' сжатия, для которой а°> О или висячая ударная волна КВ разрежения, для которой а°<0. Для упругой среды, как будет показано далее, а°<0 и, наоборот, существует ударная волна ВВ' разрежения, для которой а°<0, или висячая ударная волна сжатия, для которой а°>0 . Эти выводы можно распространить, на всю волну ABB'.

Для случая однородной среды и плоской волны, для которых

ся~со< и при постоянных а°а°>0, обозначая

.=у , в-0О =>/ct®Vу. ы=ус0ц, f=aV& , v =Jä°ytv',

можно вычислить интегралы в (3.16) и получить нелинейное решение вблизи В в виде:

5 =-—tgг\m у2 +ц+—8ш 2цл +В$1п2цп ;

2 2к

(3.18)

Подставляя первое равенство (3.18) в уравнение ударной волны ВВ' вблизи В :

dy

можно получить уравнение ц(у) вдоль ВВ':

+ Bsin2 Ц71

(3.19)

ytg2\m -J-y*tg2iiя +-£-sin2ym +Bsin2 цл

J.

^ - y nt^n +l+cos2\in +Вк 8ш2ця

cos2 ця

которое интегрируется с условиями в точке В у=-1, ц = 1 для у>-1. Расчеты показывают, что условие равенства нулю касательной к ВВ' скорости частицы х =v'-|i^25 -ц при В=0 выполняется с погрешностью до 6%.

Графики ц(у), х(у) на ударной волне ВВ' даются рис. 2. Вблизи точки В решение уравнения (3.19) имеет асимптотику

ц-1=~(у+1); K=-|(i/+l). (3.20)

Вдали от точки В на ВВ' решение имеет вид:

3

М ~~~ПГ • (3.21)

я У v '

Таким образом случай а°а°>0 исследован довольно подробно.

В случае а°а°<0 следует полагать

т £ , =У ; Ъ-в0=т1*Ау, и=±уцс0;

V ; V ; т =±0*^8 , (3.22)

где верхние знаки соответствуют а°<0, а нижние а°>0 . Тогда уравнения (3.13) примут вид:

За Э7' Зй/_ -ч 1 _ 1 дч' п ды 35 35 2 2 ду

Следует отметить, что (3.23) имеют место и для рассмотренного случая а°ао>0, только следует вместо ¡Г, <Г' писать ц , V'. Поскольку в случае а°а° <0 имеет место висячая ударная волна

КВ позади нее можно решение для ц вместо ц брать в виде (3.18), а впереди нее имеет место решение, полученное методом характеристик:

иг

8-у=М,; v1' = -^/^rl. (3.24)

Уравнение висячей ударной волны КВ имеет вид:

^-=±^25-Й-Д, • ¿У

Подставляя (3.18), (3.24) в это уравнение на КВ получим:

"Ц__V 2_2я_2_ р 25)

йу~ _яу^_Ц71 +1+С082^+Впзт2]хп

СО» ЦП

которое следует решить при условиях Ц"=0, у=0.

На ударной волне ЛГВ должно еще выполняться условие: Х'^'-у^ц-ц^гЗ-ц-ц, ; Х'=0, которое, как и в случае а°а0>0, выполнено в точке В. В близи от точки В (3.25) дает:

1-20*. (3-26)

о

Определим одномерное по 5 нелинейное решение на КВ

вдали от точки В для больших У. В силу одномерности ^-=0,

йу

25 -¡Г-р, =0 причем впереди ударной волны КВ берется не (3.24), а постоянное течение:

¡Г,=-1; уГ;=У,

причем на основе (3.18) для больших |у| и малых ¡1+1, 5=2(1+1. Из полученных соотношений на волне ВК получится: _ 3 , Г , з

Условие х'=0 Для полученной асимптотики вдали от В для

больших |у| удовлетворяется точно.

Хотя асимптотики (3.26), (3.27) позволяют определить примерный ход решения, однако необходимо построить полное

решение уравнения (3.25). При этом будут такие варианты: а) около точки В берется при счете у>О, ц<0, 5 <0, тогда в (3.25) и х' берем нижний знак, затем при некотором у-ух, у,>0 радикал £, в (3.25) обращается в нуль и далее следует брать у<у, и считать (3.25) и %', где берется верхний знак, при ¡Г=-1/2 должно быть у=0. Вместе с вычисляется функция

В результате счета х' должно быть мало или по крайней мере условие х'=0 должно выполняться интегрально на КВ. Результаты расчетов варианта а) приведены на рис. 3 для функции ) и рис. 4 для функции х'(ц) Как видно из рис. 4 условие х'=0 выполняется приближенно интегрально. Это выполнение условия считается достаточным в работах по теории газодинамических коротких волн.

1

-1 0

Рис. 2. Графики. ц(у), х(у) на ударной волне ВВ' ■

-6 J

у(ш) '

Рис. 3. График функции у(Д") не волне ВК.

в) около точки В берется при счете у<О, рГ<0, 5<0 и в (3.25) и X' берется верхний знак, для некоторого у=уг, у2<0, £=0 и следует далее брать у>у2 и нижний знак в (3.25) и %', при у-0 должно быть рГ=-1/2.

и

Рис. 4. График функции на волне ВК.

2 ! 1.5 1

0.5

-2

-1.5 1

Из вариантов а) и в) следует выбрать тот, который соответствует меньшим х' •

Как показывет расчеты вариант а) лучше удовлетворяет интегральному выполнению условия равенства нулю х' • Поэтому приводятся результаты расчетов для варианта а), даваемые рис. 3, рис. 4. кроме того кривая висячей ударной волны КВ 5 (у) согласуется с экспериментальными данными имеющимися в аналогичной по математической постановке задаче обтекания верха крыла.

Выясним знак а° для нелинейной упругой среды пятиконстантной теории упругости. Вычисление дает

К , ц - параметры Ламэ, А, В, С - нелинейные упругие модули.

Таким образом для реальных материалов а°<0 и имеет место ударная волна ABB' разрежения или висячая ударная волна КВ сжатия. Кроме того в гл. 3 рассмотрена задача простанственной дифракции акустической или упругой волны на непрозрачном экране, имеющем форму угла раствора Зя/2 в нелинейной среде. Вначале ставится и решается линейная задача о начальных условиях, заданных на угле раствора я/2 или освещенной части плоской начальной волны. Определено линейное решение вблизи линий касания плоской распространяющейся волны с цилиндрическими волнами произведенными сторонами угла, а затем в окрестности точки касания этих волн со сферической волной, произведенной вершиной угла. При этом для упругой среды считается, что падающая волна является продольной и в окрестности точки или линий касания продольных цилиндрических, сферической и плоской волн решается волновое уравнения для продольных волн. Затем методом, указанным в плоской задаче, определяются нелинейные решения в окрестностях волн. Вблизи цилиндрических волн эти решения совпадают с решениями плоской задачи, рассмотренными выше, а вблизи сферической волны получается новое решение.

В приложении гл. 3 рассмотрены те же плоские задачи, только не для квадратичной, а для квадратично кубичной среды. Типичным примером являются электромагнитные ударные волны

(3.28)

в сегнетоэлектрике и ферромагнетике. Удается распространить результаты гл. 3 на эту более сложную среду. Эти результаты можно также применить к девятиконстантной нелинейной упругой среде.

В главе 4 рассматривается поведение квазимонохроматической волны вблизи каустики, представляющей огибающую линейных лучей, в кубично нелинейной упругой и магнитоупругой пластине. Сначала выводится линейное уравнение вблизи каустики, представляющее обыкновенное дифференциальное уравнение по координате у отсчитываемой по нормали к каустике Картина волн вблизи каустики приведена на рис. б. Это уравнение для общего вида сред имеет линейное решение, записываемое через функцию Эйри. Затем с использованием нелинейного дисперсионного соотношения, в частности для упругой пластины, указанное линейное уравнение дополняется нелинейным членом, причем в безразмерных координатах получается уравнение:

(4.1)

ау

где верхний знак соответствует дефокусирующей, а нижний знак соответствует фокусирующей среде. Для уравнения (4.1) ставится граничная задача с граничными условиями, взятыми из линейного решения на некотоом удалении от каустики:

у'=±5; »|/'=-и(±5), (4.2)

М

где I>(у) есть функция Эйри, с/ц - постоянная, определяемая параметрами среды и волны согласно решению геометрической акустики.

Ориентировочные значения с/ц для металлических пластин 0.4; 0.5; 0.6. Поскольку решение граничной задачи представляет некоторые трудности она заменяется задачей о начальных условиях:

»•■в;*'-^);^). (4-3)

И ¿у ц

Результаты расчетов для дефокусирующей и фокусирующей среды приведены на рис. 6 и рис. 7.

Рис. 5. Огибяцая лучей волны, на которой имеются подащая и отраженная волна.

Рис. 6. Графики нелинейной задачи вблизи каустики для Г Д*I >а соответствует

дефокусирущей среды.

Рис. 7. Графики нелинейной задачи вблизи каустики для Г дД | < р соответствует

1а»1 Л

фокусирущей среды.

Для указанных значений с/ц граничнее условие рис. 6 и

рис. 7 в точке у'=-5, у'=—(-5) удовлетворяется достаточно

И

точно. Рассмотрен также случай диссипативной среды для которой вместо (4.1) получена система двух уравнений, для которых ставится задача о начальных условиях.

В главе 5 дается вывод обыкновенных дифференциальных уравнений для решений нелинейных узких гауссовых пучков для магнитоупругих и магнитогазодинамичесКих сред, й дается их численный расчет. Вначале для нелинейной диссипативной дисперсирующей магнитоупругой среды конкретизируются коэффициенты эволюционного трехмерного уравнения. Далее ищется решение этого уравнения в виде квазимонохроматических волн и для комплексных амплитуд первой и второй гармоники получаются связанные два уравнения модуляций. В работе дается

обобщение метода решения задачи для узких пучков для указанных уравнений, тем что производные от амплитуды второй гармоники не считаются малыми и вместо одного уравнения второго порядка для безразмерного радиуса, полученного в предыдущих работах получается система из восьми обыкновенных диферен-циальных уравнений для параметров первой и второй гармоник. Решается задача о начальных условиях для этой системы, причем в качестве характерный постоянных взяты постоянные плазмы, что имеет приложение к расчету параметров плазменных пучков в управляемых термоядерных реакциях и для звезд. Для этого выведено также эволюционное уравнение для плазмы в поперечном магнитном поле и в указанных восьми обыкновенных уравнениях взяты постоянные для управляемого синтеза и пульсаров. Построена таблица параметров первой и второй гармоник, амплитуд, безразмерных радиусв пучков. Дано сравнение с упрощенными теориями линейных и нелинейных пучков.

В главе 6 дается решение линейных и нелинейных задач соударения двугранных упругих углов, имеющая важное приложение в сейсмологии.

Вначале рассмотрен случай неограниченных по у углов рис. 9.

/ V«

А

Е

х

Рис. 8. Принципиальная схема соударения тел.

Ставится задача о начальных условиях

ди, т

их=0, иж=0, ^-=0,

(6.1)

где иял компоненты перемещения, 2агс^Л"' есть угол раствора

двугранного угла.

Решение уравнений теории упругости находится по методу

интегральных преобразований. Затем оно приводится к форме

Смирнова-Соболева. Для деформаций получается внутри точечных

продольных и поперечных волн:

я диж _

~=Х1 X» X» X« •

(К+Г) дх

я ди. ,2

-=-Х1+Х2-Ха*

(6.2)

где

1+к2

Х» =

Х< =

(2К0+К> дг

1 , >

' *'*!+>' г' '_

с08(Ро ¿г+г

а а

у

■Р?_____

(6.3)

2а(1+*2)*Л

агсгв-

2&(1+А2)*

гсовд>0

-■\-arctg

Г С08<р п

совф0 =

, г2=х2+г2

Очевидно, что вне поперечных волн х2 • Х«=0-Учитывая, что аше(-0)=ъ из (6.2), (6.3) получится решение позади плоской волны АВ или впереди А, В,

дих_ 2Ур+у Зцж_ 2гв+у'

(6.4)

" 2(1' * " 2(1+*»)?

а

а между соответствующими поперечными плоскими волнами к (6.4) добавится

Таким образом можно найти напряжения о„, о„ во всей области возмущенного движения. Затем ставится и решается линейная задача соударения полубесконечных двугранных углов со свободными поверхностями. Решение получено в форме Смирнова-Соболева для трехмерной задачи. Далее рассмотрена задача соударения углов конечной или малой высоты и найдена низкочастотная асимптотика линейного решения в виде пластинчатых волн. Методами гл. 3 решена соответствующая нелинейная задача для окрестности касания точечных и плоских волн.

2У0+У .,. 2У0+У ,

_ — я , г-К

(6-5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе разработан новый пространственный подход к теоретическому определению частот изгибных колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин. Получены расчетные формулы для зависимости частот колебаний магнитоупругих пластин от продольного и поперечного полей как для большой, так и для конечной электропроводности. Аналогичные результаты получены для магнитомягких ферромагнитных диэлектрических и идеально проводящих пластин. Все проводенные расчеты были весьма трудоемкими, хотя окончательное формулы весьма просты.

На основании полученных линейных частот исследуется распространение и устойчивость нелинейных волн модуляции в магнитоупругих и ферромагнитных пластинах. Развит аналитический и численный метод исследования нелинейных дифракционных нестационарных задач в плоской, а также пространственной постановке для акустической и нелинейно упругой среды. Построено уравнение Пенлеве для квазимонохроматичекой нелинейной волны вблизи каустики и дано его численное решение, сращиваемое с линейным. Выведено трехмерное эволюционное уравнение для нелинейной магнитоупругой среды с диссипацией и дисперсией, для квазимонохроматической волны из него получены уравнения модуляции для амплитуд первой и второй гармоники. В случае гауссовых осесиметрических узких пучков получена система из 8 обыкновенных дифференциальных уравнений, которая численно решена. Составлена таблица и дано сравнение с упрощенными линейными и нелинейными решениями. Дано аналитическое решение в форме Смирнова-Соболева линейной задачи соударения двугранных упругих углов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Багдоев А.Г., Ванцян А.А., Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи и устойчивость волн модуляции. Изв. РАН, МТТ, 2003 г. N 3 с.

2. Сафарян Ю.С. Определение частот изгибных магнитоупругих колебаний пластин в пространственной и осредненной постановках задачи. Доклады Акадении Наук. РАН, Механика, М, 2002г. т.383 N6 с. 767-770.

3. Bagdoev A.G., Safaryan Ju.S. The détermination of fréquences of free bending vibrations of ferromagnetic plates in space and averaged treatment. Information technologies and management. Yerevan: " Encyclopaedia-Armenica". 2001. N 4. p. 106-121.

4. Ванцян A.A., Григорян H.K., Сафарян Ю.С. Экспериментальное исследование влияния продольного и поперечного постоянного поля на амплитуды поперечных колебаний пластин. // Изв. НАН Армении, Механика. 2002. т.55. N2, с. 63-67.

5. Багдоев А.Г., Мартиросян Г. А. , Сафарян Ю. С. Нелинейная нестационарная задача пространственной дифракции в фер-ритовой среде. Сб: Информационные технологии и управление. Ереван: "Энциклопедия-Арменика" 2001. N 3. с. 197216.

6. Багдоев А.Г., Ванцян А.А., Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной постановки. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван: "Энциклопедия-Арменика" 2001г. N 1, с. 155-174.

7. Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн для пространственной и осредненной задачи и устойчивость волн модуляции. "Акустический журнал". М. 2002г. В печати.

8. Багдоев А.Г., Машурян Г.М., Сафарян Ю.С. К расчету ударных волн в дифракционных задачах газодинамики и нелинейной динамической теории упругости. Изв. НАН Армении, 2003, N 1.

9. Сафарян Ю.С., Решение некоторых граничных задач динами-

ческой теории упругости- Сб: "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред". Ер. Изд. АН Арм. ССР, 1987г. с.249.

10. Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи. Сб. наухных трудов ГИУА, Ереван, 2001, т. I, с. 230-232

11. Багдоев А.Г.,Мартиросян А.Н., Сафарян Ю.С. Антиплоская задача для трещины движущейся с произвольной скоростью в анизотропной упругой однородной среде. Изд. HAH Армении, Механика, 1998,т. 51, N1, с.16-20

12. Сафарян Ю.С., Погосян С.М. Аналитическое и численное решение конкретных задач об узких пучках для электропроводящей магнитозвуковой релаксирующей среды. Доклады HAH Армении Механика, 2003, т. 103, N 2, с.

13. A.G. Bagdoev, Ju.S. Safaryan, S.M. Pogosyan Determination of non-liner Solution near caustic for quasymonochromatic wave . Information technologies and management. Yerevan: "Encyclopedia-Armenica ",2003, N1-2, p. 52-66.

14. Мартиросян A.H, Сафарян Ю.С., Соударение тел конечной высоты, ограниченных равными двугранными углами и параллельными плоскостями. Изв.АН, Арм ССР, Механика, 1985г. т.38, N1, с.3-11

15. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Решение некоторых гранич- * ных динамических задач теории упругости методами Винера-Хопфа интегральных преобразований и Смирнова-Соболева.

Сб: "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. Харьков, 1985.,с.213.

16. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Соударение пластин и стержней, граничащих с магнитной жидкостью. Сб: Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Иваново, 1985г.,с.200-201

17. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С. Решение смешанной задачи о соударении тел между упругими полуплоскостями. Изв.АН СССР МТТ, 1985., N6, с.90-95.

18. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел конечной высоты, ограниченных спереди двугранными углами и параллельными плос-

костями. Изв.АН Арм ССР Механика, 1986г., т.39, N1, с.25-37.

19. Сафарян Ю.С., Задача соударения стержней внутри упругого тела. В сб.: Проблема динамики взаимодействия деформируемых сред. ЕР. Изв АН Арм ССР 1984г. с.274-278

20. Сафарян Ю С., Решение некоторых нестандартных задач теории упругости. Сб статей деформируем твердого тела. Изв АН Арм ССР, Ереван, 1986г., с. 151-160

21. Сафарян Ю.С., Решение некоторых задач соударения упругих четверть плоскостей, ограниченных полуплоскостью. Изв АН Арм ССР, Механика, 1986, т.39, N5, с.37-49.

22. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Соударение тел конечной высоты, ограниченных равными двугранными углами и параллельными плоскостями.// Изв.АН, Арм ССР, Механика, 1985г. т. 38, N1, с. 3-11

23. Сафарян Ю.С. Решение эволюционного уравнения для узких пучков. Сб. ГИУА. Ереван. 2000. т.1 с. 232-234

24. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С. Решение смешанной задачи соударения тел ограниченных упругими полуплоскостями Изв.АН Арм ССР, Механика, 1985г. т.38, N3, с.25-32

25. Сафарян Ю.С. Решение нелинейной дифракционной задачи для неоднородной упругой среды. Изв. НАН Армении, Механика. Ереван 2002, т. 55. N 1 с. 23-31.

26. A.G. Bagdoev, Ju.S. Safaryan, S.M. Pogosyan Analytical and numerical solutions of two nonlinear diffraction problems. Conference of NATO Advanced research. Workshop 2002, September 22-25. Yerevan.

27. Багдоев А.Г., Мкртчян A.P., Сафарян Ю.С. Нелинейные звуковые пучки в газопарожидкостном облаке. Изв. НАН Армении, Механика, 2001, т. 54, N4. с. 34-40.

*

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 2

Тираж /0£>экз. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

<

4

I

t

4

РНБ Русский фонд

2007-4 840

3 ОПТ 2003

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАГНИТОУПРУГИХ ПЛАСТИН В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ОСРЕДНЕННОЙ

ПОСТАНОВКЕ.

§1.1. Введение

§1.2. Пространственная задача для поперечного магнитного поля.

§1.3. Уравнение частот для поперечного поля в осредненной постановке.

§1.4. Уравнение для частот свободных колебаний магнитоупругих пластин в продольном магнитном поле.

§1.5. Уравнение частот для продольного поля в осредненной постановке.

§1.6. Сравнение с экспериментом.

§1.7. Нелинейные волны модуляции.

§1.8. Экспериментальные исследования амплитуд изгиб — ных магнитоупругих колебаний.

ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН МОДУЛЯЦИЙ В ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПЛАСТИНЕ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

И ОСРЕДНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ.

§2.1. Введение.

§2.2. Частоты колебаний ферромагнитных диэлектрических пластин в продольном магнитном поле.

§2.3. Случай поперечного магнитного поля для пластины из диэлектрического ферромагнетика.

§2.4. Случай ферромагнитной идеально проводящей пластины в продольном поле.

§2.5. Случай поперечного магнитного поля для идеально проводящей ферромагнитной пластины.

§2.6. Расчеты значений частот.:.

§2.7. Устойчивость нелинейных волн модуляций.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК КАСАНИЯ ПРОЗВОЛЬНОЙ ВОЛНЫ С ТОЧЕЧНОЙ ВОЛНОЙ и ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФРАКЦИОННЫМ ЗАДАЧАМ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

§3.1. Введение.

§3.2. Интенсивность волны вдоль луча для произвольной системы линейных гиперболических уравнений с переменными коэффицентами.

§3.3. Определение линейного решения в окрестности точки касания произвольной волны с точечной или дифракционной волной.

§3.4. Определение нелинейного решения в окрестности точки В касания волн.

§3.5. Определение решения на ударных волнах в неоднородной квадратично нелинейный среде.

§3.6. Упрощение решений для однородной среды и плоской волны АВ.

§3.7. Решение пространственной линейной задачи дифракции акустической или упругой волны на препятствиях уголковой формы.

§3.8. Решение нелинейной задачи.

§3.9. Нелинейные решение вблизи точки В

Проблема исследования распространения линейных и нелинейных волн в сплошных средах является актуальной ввиду динамического характера большинства промышленных процессов, работы измерительной аппаратуры, сейсмологических и других геофизических явлений. Среди этих обширных явлений в последное время значительную роль приобретают задачи изучения волн и колебаний в магнитоупрутих средах.

Эти вопросы имеют практическое значение при исследовании устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, в магнитогазодинамических генераторах, при создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при разработке методов обработки металлов магнитным полем и т.д. Эти задачи относятся к области динамической магнитоупругости электропроводящих сплошных сред, в частности пластин и оболочек. Не менее важно изучение в указанных процессах линейных и нелинейных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и электропро — водящих пластин и оболочек в магнитном поле. Представляет не только теоретический, но и практический, интерес линейная и нелинейная задача о дифракции акустических и упругих волн в неоднородной плоской среде на экране и уголковой пластине в однородной среде (пространственная задача).

При термоядерных процессах имеет большое значение изучение распространения нелинейных пучков, как в самой плазме, так и в магнитоупрутих конструкциях. Также имеет важное значение изучение фокусирования волн в пластинах, в том числе вблизи огибающей лучей или каустики. Взаимосвя — занность напряженно—деформированного состояния и электромагнитного поля имеет сложный характер. На первых этапах развития теории магнитоупругости принимались упрощающие гипотезы для разработки приближенных математических методов исследования колебаний магнитоупрутих пластин и оболочек [5-8].

Точное решение в рамках осредненной классической теории линейной изгибных задачи о колебаниях магнитоупругой пластины в поперечном магнитном поле дано в [7, 57].

Для тонких оболочек и пластин конечной электропро — водности, находящихся во внешнем магнитном поле авторы работ [6 — 8] сформулировали гипотезу магнитоупругости тонких тел, позволящую свести трехмерную задачу к двумерной. Эта гипотеза, помимо известной гипотезы осредненной теории изгиба упругих пластин и оболочек, а именно, гипотезы неде — формированных нормалей, состоит в предположении, что нормальная компонента вектора напряженности индуцированного магнитного поля и тангенциальнья компонента вектора напряженности электрического поля остаются неизменными по толщине пластин или оболочек. Исследования в области теории упругих пластин и оболочек часто посвящаются построению уточненных теорий, в которых отказываются от основной гипотезы классической теории [1—4, 91]. Это связяно с тем, что результаты, полученные по классической теории не всегда применимы при решении прикладных задач. В работах [5, 15, 92] на основе предположения о линейном законе изменения по толщине пластинки нормальной компоненты индуцированного магнитного поля и тангенциальных компонент электрического поля получены уравнения магнитоупрутих колебаний проводящих пластин, позволяющие уточнить гипотезу магнитоупругости для случая поперечного магнитного поля. Для приведения общей трехмерной задачи магнитоупругости к двумерной в [40] используется асимптотический метод [1] интегрирования трехмерных уравнений. В работе [40] дано сравнение разных подходов уточнения гипотезы магнитоупругости тонких пластин и оболочек. В качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости предложено уточненное уравнение для исследования задач колебаний во внешнем продольном поле в проводящей пластинке, установлено, что магнитное поле приводит к дисперсии. На основе гипотезы Кирхгофа в работе [75] дано сравнение различных моделей задач магнитоупругости пластин. В работе [5] дается рассмотрение широкого аспекта задач о колебании электропроводящих пластин в магнитном поле, в рамках осредненного классического подхода, рассмотрены определения частот линейных изгибных колебаний как для бесконечных, так и для конечных пластин. Для последних развит асимптотический метод определения связи волновых чисел с размерами пластинки в случае консольного и жесткого опи — рания. Кроме того найдены амплитуды вынужденных колебаний пластинок как в постоянном, так и в переменном магнитном поле. В [93, 94] рассмотрена задачи о трещине в ферроупругой пластине.

В работах [33 —35, 71, 85] дается теоретическое исследование проблемы колебаний магнитоупругих электропроводящих пластин в продольном и поперечном магнитных полях. 1

Развивается пространственный подход к проблеме определения линейных частот изгибных колебаний. Показано, что для большой электропроводности решения в пространственном подходе и по гипотезе Кирхгофа для продольного поля совпадают, а для поперечного поля пространственный подход дает уменьшение частоты за счет поля, а осредненный классический подход дает увеличение частоты.

В [85] показано, что эксперимент подтверждает пра — вильность пространственной теории. В работах [68, 69, 71] показано, что для конечной проводимости значения линейных частот по пространственной и осредненной теории существенно различны как для продольных так и для поперечных полей.

В работах [16], [18] рассмотрен широкий круг задач о колебаниях (свободных и вынужденных) ферромагнитных диэлектрических и проводящих пластин на основе классической теории Кирхгофа.

В статьях [59, 60] изучены теоретически и экспериментально колебания стержня — полосы из ферромагнетика в поперечном магнитном поле. Показано, что магнитное поле уменьшает частоту колебаний.

В работе [33] развит пространственный подход к изучению изгибных волн модуляций в магнитоупругих проводящих пластинах. В статье [85] изучены теоретически и экспериментально линейные частоты изгибных колебаний магнитоупругих пластин, причем показано, что эксперимент [34, 36] подтверждает правильность пространственного, а не осредненного по классической теории подхода. В работе [68] дается подробный вывод значений частот изгибных колебаний магнитоупругих пластин на основании пространственного подхода для большой и конечной электропроводности.

В работе [84] проводится вычисление на основе прос — транственного подхода линейных частот собственных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и идеально проводящих пластин, и дано сравнение с осредненным подходом [16, 18]. В [38] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропро — водящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0.05 Тл для продольного и порядка 0.5 Тл для поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд.

В книге [23] и статьях [21, 29] дается линейное и нелинейное решение дифракционных плоских задач об определении окрестности точки касания произвольной волны с точечной волной для произвольной идеальной сплошной среды, описываемой квазилинейной системой гиперболических уравнений. В [22, 30] рассмотрены соответствующие задачи пространственной дифракции волн.

В работах [90, 23, 41] изучено линейное решение для монохроматической и нестационарной волн вблизи каустики в случае волнового уравнения с переменной скоростью волн. В [23, 24, 27, 87] изучены соответствующие нелинейные задачи, в том числе для магнитогазодинамоческих волн и волн в пластинах.

В работе [13] дается численный расчет нелинейных газодинамических пучков.

• В работах [25, 31] развит метод аналитического решения нелинейных задач для пучков на основе получения эволюционного уравнения для данной среды, вывод из него для значительной дисперсии нелинейного уравнения Шредингера для амплитуды первой гармоники и получения его решения в виде узких гауссовских пучков. Решена задача для двух пучков в резонаторе. В [32] этот метод обобщен для случая малой дисперсии.

В работах [50 — 55, 64 — 67] рассматриваются исследования соударения упругих тел, решения которых приводятся аналитическими методами граничных задач динамической теории упругости.

В [50, 51, 54] рассматриваются соударения тел ограниченных спереди равными двугранными углами, которые движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, которые имеют применения в сейсмологических задачах. В [51, 54, 67] рассмат — риваются соударения тел конечной высоты со смешанными граничными условиями. Определено решение линейной задачи в виде пластинчатых продольных волн, получена формула для асимптотики решения и определено решение вблизи фронтов волн.

Выводятся нелинейные уравнения в окрестностях волны для продольных упругих волн в пластинках, которые соответствуют полученной асимптотике. В указанных линейных задачах решения находятся методом интегральных преобразований Фурье и Лапласа, а затем приводятся к форме записи через аналитиеские функции, введенной Смирновым и Соболевым [77].

В настоящей диссертации рассмотрены линейные и нелинейные задачи: об колебаниях магнитоупрутих пластин в магнитных полях, о дифракции звуковых и упругих волн на экране в плоской и пространственной постановке, о нелинейных решениях вблизи каустик для изгибных волн в магнитоупругих пластинах, о нелинейных гауссовых пучках в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с дисперсией и диссипацией, о соударении упругих двугранных углов. Диссертация состоит из шести глав, введения, заключения и списка литературы.

В главе 1 рассмотрен новый пространственный подход к исследованию собственных частот колебаний электропроводящей упругой пластины.

В §1.1 дается обзор литературы по осредненному классическому подходу.

В §1.2 приводится получение частот собственных колебаний бесконечной упругой электропроводящей пластины в поперечном магнитном поле. На основании нового пространственного подхода для упругих пластин предложенного в [33], получены дисперсионные соотношения (o±co{k) для большой и конечной электропроводности. Показано, что для большой электропроводности <у-й)00(/г)<0, где com{k) есть упругая частота изгибных колебаний, в то время, как по осредненному подходу со-сот(1г)>0. Дается вывод более общей формулы частоты для случая конечной электропроводности. Показано, что для нее значение частоты не совпадает с рёзультатом осредненной теории, вывод которого приведен в §1.3.

В §1.4 рассмотрены пространственный и осредненный подходы к определению частот колебаний в продольном поле. Показано, что для большой электропроводности значения частот и декремента затухания для обоих подходов совпадают.

В §1.5 рассмотрен случай конечной электропроводности и показано, что указанные подходы дают разные результаты.

В §1.6 даны результаты экспериментальных исследований по определению частот изгибных колебаний для магнитоупрутих (алюминий, латунь) пластин. Показано хорошее соответствие с новым пространственным подходом. Затем в §1.7 использованием полученных значений линейных частот развивается нелинейная теория распространения волн модуляций в магнитоупрутих пластинах и исследована их устойчивость.

В §1.8 на основе экспериментального исследования и теоретического анализа показано, что постоянное магнитное поле приводит к сдвигу собственной частоты консольный пластинки — полосы. Выяснено, что при сравнительно небольших постоянных продольных и поперечных полях имеется значительное увеличе — ние амплитуд.

В главе 2 проводятся аналогичные исследования для ферромагнитных диэлектрических и идеально проводящих упругих пластин. Показано, что во всех случаях как для продольного так и поперечного магиитиого поля значения частот по пространственному подходу отличаются от значений по осредненному подходу.

Дается сравнение с результатами эксперимента по изгиб — ным колебаниям ферромагнитных пластин. Определены частоты собственных колебаний и дано сравнение с теорией. Определены амплитуды вынужденных колебаний электропроводящей и ферромагнитных пластин и влияние на них магнитного поля. Дано сравнение с теоретическими выводами [5].

В главе 3 получаются аналитические решения линейных и нелинейных, плоских и пространственных задач дифракции упругих волн на экранах. Полученные замкнутые решения годятся также для задач по определению окрестности точек (линий) касания произвольных волн, отраженных от клина, с точечной или дифракционной волной, произведенной его вершиной.

Приведены графики распределения решения вдоль ударных волн. Дано аналитическое решение линейных и нелинейных трехмерных задач дифракции плоской акустической или продольной упругой волны на плоском экране, имеющем форму утроенного прямого угла.

В приложении к главе 3 дается рассмотрение линейной и нелинейной задачи дифракции в общей квадратично и кубично нелинейной среде. В качестве примеров взяты волны в сегнето — электрике или феррите. Рассмотрены случаи, когда распространяющая волна является ударной и когда непрерывной, причем в последнем случае имеется висячая ударная волна.

В главе 4 исследуются линейные и нелинейные решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для волн изгиба в электропроводящей упругой пластине. Выведено нелинейное обыкновенное дифферсциальное уравнение для амплитуды волны и дано его численное решение, сращиваемое с линейным. Рассмотрен также случай комплексной нелинейности (для конечно — проводящих пластин).

В главе 5 выводятся нелинейные уравнения модуляций для амплитуд первой и второй гармоник квазимонохроматических волн в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с диссипацией и дисперсией. В случае задачи о гауссовых узких пучках выводятся восемь обыкновенных дифференциональных уравнений.

Дется их численный расчет на компыоторе и дано сравнение с результатами упрощенной теории, когда пренебре — гаются в уравнении для второй гармоники членами с ее производными и удается получить аналитическое решение, аналогичное решению нелинейных оптики [9].

В главе 6 исследуются линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел, ограниченных спереди равными двугранными углами.

Указанные задачи возникают при изучении практических задач связанных с запросами техники такими, как задача о направленном взрыве с перемещением масс грунта [81], задача о сварке взрывом, задача стыкования металлических и, вообще, строительных конструкций (Еремянц В. Э., Модели продольных колебаний в ударных системах машин: Тезисы, докл. X междунар. конф. По нелинейн. Колебаниям., Варна, 1984, с. 76). В строительной технике может возникнуть также и задача о соударении тел при смешанных граничных условиях, которая может иметь приложения в сейсмологических задачах и к задаче удара летящих тел об объекты, которые находятся на земле (или на воде), при подземных работах, при проходке тоннелей.

Для получения эффективного решения рассматриваемых задач используется метод интегральных преобразований Лапласа и Фурье, в сочетании с методами Винера — Хопфа [62] (при смешанных граничных условиях), причем удается с помощю контурного интегрирования привести окончательные формулы к форме записи через аналитические функции, предложенной Смирновым и Соболевым [77], который по идее близок к методу Каняра [88], введенному для изотропной упругой среды в задаче о точечном источнике, действующем в одном из контакируюшах полупространств. Отличие состоит в том, что в [88] предположено, в отличие о применяемого нами метода, что действительное значение имеет не частота со, а параметр преобразования Лапласа S=-ico, поэтому соответствующие гиперболы, на которые заменяется контур интегрирования повернуты на 90° и при вычислении интегралов приходится учитывать все особенности подинтегральной функции. При этом вычисление интегралов в [88] дает все имеющиеся волны, и в этом смысле метод [88] является более эффективным. Но следует отметить, что необходимость учета всех особенностей при получении решения ограничивает применимость прямого метода [88]. В применяемом нами методе [51—54] процесс получения решения не связан с учетом особенностей подынтегральных функций, которые находятся на действительной оси вне замкнутых контуров, используемых при замене интегралов по действительной оси в преобразовании Фурье на интегралы по контурам, проходящим через точки Смирнова —Соболева. Решение во всех рассматриваемых задачах находятся в форме суммы решений, записанных через аналитические функции, а исследование особых точек решения проводится после получения решения в общей форме Смирнова —Соболева путем выделения соответствующих особенностей около волн [51—55].

Ясное представление о связи метода контурных интегралов с формой записи Смирнова —Соболева позволяет включить точки разрезов в вышеуказанные контуры, что дает единую форму записи решения во всей области в форме аналитических функций, а также получить обобщение для произвольной гиперболической системы уравнений с постоянными коэффициентами.

Особенно эффективно применение обсуждаемого метода в задачах со смешанными граничными условиями, в которых для изображений применяется простой метод Винера —Хопфа [62] а затем проводится обращение преобразований Лапласа и Фурье, решение записывается в форме Смирнова —Соболева.

Метод интегральных преобразований особенно удобен при получении асимптотического решения для больших моментов времени. В работе [Малков М.А. Асимптотика двумерной задачи об упругом соударении стержней. — ПММ, 1968 —Т32, выпЗ, с. 467 — 479]* получается для задачи соударения полуполос асимптотическое решение из общего решения в форме [77] весьма длинным способом. С другой стороны при применении метода интегральных преобразований асимтотическое решение задачи получается просто путем вычисления вычета в интеграле дающим обратное преобразование Фурье в точке, соответствующей продольным волнам в упругой пластине.

В §6.1 главе 6 рассмотрена, имеющая приложение в сейсмологии, задача соударения двугранных бесконечных вверх и вниз углов. Решение получено методом интегральных преобразований и приведено к форме Смирнова —Соболева.

В §6.2 с помощью решения §6.1 поставлена и решена задача соударения полубесконечных двугранных углов.

В §6.3 решается линейная задача соударения тел конечной высоты со свободными поверности. Выделяется двумерное решение задачи соударения безграничных по высоте тел, которое позволяет для добавочных смещений в слое записать нулевые начальные условия. Решение трехмерной задачи находится методом интегральных преобразований и получено асимптотическое решение в виде двухмерных волн в пластине для объемного расширения. Вблизи плоских и точечных воли получены простые формулы, а всюду в области решение имеет форму Смирнова — Соболева.

В §6.4 проводится устранение особого характера решения линейной задачи, учетом геометрического характера нелинейных эффектов. На основе порядков величин и размеров волновой области вблизи точки касания плоской и точечной волны, которое следует из формы линейного решения, получаются упрощенные нелинейные уравнения, которые по форме совпадают с системой уравнений коротких волн [20, 56], для жидкости. Отличие состоит в том, что нелинейные коэффиценты имеют обратный знак по отношению к жидкости и имеют место ударные волны разрежения. Для этого случая около волны вводятся нелинейные уравнения, подобные уравнения м гл. 3 для случая а°у<0.

В §6.5 вводятся нелинейные уравнения при учете физической нелинейности. Показано, что уравнения по форме те же, но характер нелинейности различен для металлов [43] и жидко — подобной нелинейной среды. Для жидкости знак коэффицента при нелинейном члене уравнений обратный по сравнению со случаем геометрического вида нелинейности. При этом будут ударные волны сжатия, что соответствует плоской и точечной волнам, впереди которых возмущение равно нулю. Позади плоской ударной волны решение постоянно. При этом условия на ударной волне удовлетворяются достаточно точно (рис. 9).

В §6.6 находятся асимтотнческне решения линейной задачи о соударении рассматриваемых тел при наличии твердого опирания на части границ. Вершины углов соединившихся тел находятся на краю опоры. Решается уравнение Винера —Хопфа и получено решение в форме записи через аналитические функции, которое упрощается вблизи волн. Вблизи точки касания плоской и точечной волн получается решение в виде, подобном задаче соударения при свободных границах.

Далее приведены основные выводы и литература.

Формулировка задачи о соударении упругих тел

Пусть упругие тела, движущиеся навстречу друг другу со скоростями Va+V',-V0 направленными вдоль оси х', сливаются в момент £ = 0. В предположении, что после соударения они образуют одно целое, из уравнения сохранения количества движения(при равных массах, что неограничевает общности рассмотрения) можно получить для скорости частиц упругой среды: где V'/2 есть скорость образовавшегося тела после соударения.

Интегрируя, можно получить при x'<-at, UQ=(V„+V')t, при \x'\<at: х' \ V'f л:'^ U0=—(Уо+Vj+rr- t+— , при x'>-at, U0=-V0t, или

2 V а) а

U0={V0+V')ta(-x'-at)-V0tcj(x'-at)+ — t-—\V'+—) a(at-\x'\);

Vx'f

В дальнейшем рассматриваются задачи при V' = 0, что не уменьшает общности рассмотрения. При V' = -V0 получим задачу удара об упругую преграду. Отметим, что удар о жесткую преграду х'<0 [26] соответствует:

U0 =-V0ta(x'-atyV0^-a(at-x'), а дх а что вдвое превышает значение при ударе об упругую преграду и совпадает с задачей симметричного соударения стержней, которая дается приведенными формулами при V'=0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассматривается широкий круг линейных и нелинейных волновых задач. Основную часть работы составляют аналитические иследования, которые дополняются численными расчетами, в основном, путем решения полученных обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Рассмотрена теоретическая задача применения пространственного подхода к получению линейных частот колебаний магнитоупрутих пластин. Единым методом получены частоты магнитоупрутих колебаний в поперечном и продольном магнитном поле, для больших и конечных электропроводностей. Показано, что для большой электропроводности в поперечном поле имеется качественное отличие от результатов осредненного подхода. Получена также пространственным подходом частота для конечной электропроводности.

В продольном поле для большой электропроводности пространственный и осредненный подходы дают совпадающие частоты, а для конечной электропроводности пространственный и осредненный подход дают существенно различные значения частот.

2. Применен пространственный подход к получению линейных частот изгибных колебаний - ферромагнитных магнитомягких пластин в продольном и поперечном поле. Задача осложняется наличием начальных напряжений за счет магнитных полей и более сложными граничными условиями на границе диэлектрика и для ферромагнитных пластин. Получена пространственным подходом линейная частота в продольном магнитном поле для диэлектрических и идеально проводящих ферромагнитных пластин. Качественно полученные результаты согласуются с магнитоупрутими пластинами. Также получена линейная частота в поперечном магнитном поле. И здесь пространственный подход даеты результаты, качественно согласутциеся с магнитоупругим случаем. Осредненный подход дает количественно, а в ряде случаев, и качественно другие результаты.

3. Проведены аналитические исследования задач дифракции акустических и упругих волн на крае непрозрачного экрана и в других дифракционных задач, где имеется точка касания распространяющейся волны и точечной волны. Рассмотрение ведется для общего случая неоднородной среды и произвольной распространяющейся волны, а затем дается применение- полученных результатов на однородную среду и плоскую волну. Для этого случая построено численное решение на ударной волне путем решения обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрен также случай висячей ударной волны, который имеет место для волны сжатия в упругой среде.

4. Проведены аналитические и численные исследования по определению решения для квазимонохроматической волны в нелинейно упругой и магнитоупругой пластиные вблизи каустики.

5. Выведено эволюционное уравнение для магнитоупругой среды в общем случае направления магнитных полей. Из него получены для амплитуд первой и второй гармоник уравнения модуляций. Для случая узких пучков получены 8 обыкновенных дифференциальных уравнений, которые численно решены. При этом постоянные в этих уравнениях взяты из подобной по математической постановке задачи о движении плазмы в звездах и термоядерном синтезе.

6. Решена задача соударения упругих двугранных углов, важная для сейсмологии.

1. Агаловян Л А. О некоторых соотношениях классической линейной теории анизотропных оболочек и возможностях их уточнения. Изв. АН СССР, МТТ, 1972, N1, с. 109-120.

2. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М., Наука, Физматгиз., 1997, 414с.

3. Алфутов Н.А. О некоторых парадоксах теории тонких упругих пластин. Изв.АН СССР, МТТ, 1992, N3, с. 65-72.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М., Наука, 1987, 360с.

5. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е. Электропроводящие пластинки и оболочки в магнитном поле. М., Наука, 1996, 286 с.

6. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М. В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. Изв.АН СССР, МТТ, М., Наука, 1977, с. 272

7. Амбарцумян С.А., Белубекян М.Б. Колебания и устойчивость токонесущих упругих пластин. Изд —во АН Армении, 1992, 123с.

8. Амбарцумян С.А., Белубекян М.Б., Минасян М.М. Осесимметричные колебания нелинейно — упругих цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле. Изв.АН Армении, Механика, 1995, т. 48,N2, , с. 3—12

9. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.Б. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде. Усп. физ. наук, 1967. т. 93 N1.

10. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. Матем. сб.: 1960. т. 52 (94) N2

11. Бабич Б.М. Распростронение нестационарных волн и .каустики

12. Уч. зап. ЛГУ. 1958. вып. 32. с. 228-260

13. Бабаков И. М. Теория колебаний. М. Изд. Физ. Мат. Лит. 1968, 559 с.

14. Бахвалов Н.С. Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков Серия " Современные проблемы физики",. М., Наука, 1982. 176с.

15. Багдасарян Г.Е. Уравнения магнитоупрутих колебаний тонких идеально —проводящих пластин. Прикладная механика, 1983, XIX N12, с. 87-91.

16. Багдасарян Г.Е. Об учете влияния индуцированного электромагнитного поля на колебание проводящих пластин в поперечном магнитном поле. Механика, Межвуз. сб. науч. трудов, вып. 6, Изд—во ЕГУ, 1987, с. 49 — 57.

17. Багдасарян Г.Е. Колебания и устойчивость магнитоупрутих систем. ЕГУ, Изд-во "Тигран Мец", 1999, 483с.

18. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Основные уравнения и соотношения нелинейных магнитоупрутих колебаний электропроводящих пластинок. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1985, т. 38, N12, с. 17 — 29.

19. Багдасарян Г.Е., Микилян М.А. Математическое моделирование магнитоупрутих колебаний проводящих ферромагнитных пластин. Изв. НАН Армении. Механика 1996, т. 49 N4, с. 3— 18.

20. Багдоев А.Г. Определения решения на фронте вблизи точкй поворота. Изв. АН Арм. ССР, Серия технических наук. 1967, т.20 N3, с.26-29

21. Багдоев А.Г., Гургенян А.А. Приближенное решения ряда нелинейных задач определения ударных волн в сжимаемой жидкости. Изв. АН Арм ССР. Механика, 1968, т. 21, с.39 —56.

22. Багдоев А.Г., Даноян З.Н. Исследование движения среды вокрестности точки касания ударных волн в линейной и нелинейной постановке. Журнал вычис. матем. и матем. физики. М.1972,. т. 12, N6, с. 1512-1529

23. Багдоев А.Г. Определение параметров движения жидкости в задаче отражения ударной волны от пластинки в линейной и нелинейной постановке. Изв.АН Арм. ССР. Механика, 1974, т. 27, N6, с. 18-31

24. Багдоев А.Г., Распространение волн в сплошных средах. Ереван, 1981. 307с.

25. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Нелинейные колебания пластин в продольном магнитном поле. Изв.АН Арм. ССР. Механика, 1982, т.35, N1, с. 16-22.

26. Багдоев А.Г., Шекоян А.В. Нелинейные волны в твердой вязкой среде с полостями. Акустический журнал, 1999, т. 45, N2, стр. 149.

27. Багдоев А.Г.,Мартиросян А.Н., Сафарян Ю.С. Антиплоская задача для трещины движущейся произволной . скоростью в анизотропной упругой однородной среде. Изв. НАН Армении, Механика, 1998,т. 51, N1, с.16-20.

28. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Нелинейные уравнения для квазимонохроматичных волн вблизи каустики в дисперсионной диссипативной среде с кубической или квадратичной нелинейностью. Акустический журнал, 2000, т. 46, N3, с. 249 — 255.

29. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Квазимонохроматические волны изгиба в нелинейно— упругих пластинах. Изв.АН СССР, МТТД981. N4 с. 169-176.

30. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Определение нелинейного решения в дифракционной волновой области для неоднородной упругой среды. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван:

31. Энциклопедия Арменика" 1999, N4., с. 29-34.

32. Багдоев А.Г., Мартиросян Г.А. , Сафарян Ю.С. Нелинейная нестационарная задача пространственной дифракции в ферритовой среде. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван: "Энциклопедия Арменика"2001, N3, с. 197 — 216.

33. Багдоев А.Г., Седракян Д.М. Волновые пучки в неоднородной плазме в поперечном магнитном поле. Астрофизика. 2002, т. 45, вып. I.e. 65 — 68.

34. Багдоев А.Г., Мкртчян А.Р., Сафарян Ю.С. Нелинейные звуковые пучки в газопарожидкостном облаке. Изв. НАН Армении, Механика, 2001, т. 54, N4. с. 34-40.

35. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Устойчивость нелинейных волн модуляций в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи. Изв. РАН, МТТ, N5, 2001, с. 35-42.

36. Багдоев А.Г., Ванцян А.А., Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи й устойчивость волн модуляции. Изв. РАН МТТ. 2003г., N3, с.

37. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках ; и многогранниках. М.: Наука Мир. 1966г., 455с.

38. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М. "Наука", 1970г. 343с.

39. Ванцян А.А., Григорян Н.К., Сафарян Ю.С. Экспериментальноеисследование влияния постоянного магнитного поля на вынужденные поперечные колебания пластин. Изв. НАН Армении, Механика, 2002. т.55, N2, с. 63 — 67.

40. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М."Наука" 1979, 389с.

41. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Погрешности в области применимости уравнений магнитоупругости тонких оболочек. Тез. IV симпозиума "Теоретические вопросы магнитоупругости", Ереван: Изд-во ЕГУ, 1989, с. 62-67

42. Газарян Ю.Л. О распространении звука в неоднородных средах. В. сб. "Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн". 1961. ЛГУ, с. 73—114.

43. Рыжов О.С., Христианович С.А. О нелинейном отражении слабых ударных волн. ПММ. 1958. т. 22 Н 5, с. 586 —599.

44. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М. "Наука". 1966г. 290 с.

45. Григорян С. С. Кандидатская диссертация. МГУ. 1957г.

46. Григорян Э.Х. О колебании магнитоупругой среды, возбуждаемой сосредоточенной гармонической силой. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1978, т.31, N5, с. 48-52.

47. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд —во иностр. лит., 1961, 777с.

48. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики. Радиофизика. 1964, т. 7, N4.

49. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Магнитотермоупрутость. В кн.: Итоги науки и техники, МДТТ, М., ВИНИТИ, 1981, т. 14, с. 3-59.

50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982, 624с.

51. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Соударение тел конечнойвысоты, ограниченных равными двугранными углами и параллельными поверхности. Изв. АН Арм ССР, Механика, 1985г. т.38, N1, с.3-11.

52. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Решение смешанной задачи соударения тел ограниченных упругими полуплоскостями, Изв.АН, Арм ССР, Механика, 1985г. т.38, N3, с.25-32.

53. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Соударение пластин и стержней граничащих с магнитной жидкостью. Сб.: Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Иваново, 1985г.,с.200 — 201.

54. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Решение смешанной задачи о соударении тел между упругими полуплоскостями. Изв.АН СССР, МТТ, 1985г., N6, с.90 —95.

55. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел конечной высоты, ограниченных спереди двугранными углами и параллельными плоскостями. Изв.АН Арм ССР Механика, 1986г., т.39, N1, с.25-37

56. Минасян М.М. О Распространение слабых возмущений в магнитогазодинамике Докл.АН Арм ССР. 1972 т.4 N5. с. 273 — 280.

57. Мкртчян П.А. Колебания электропроводящей пластинки в поперечном магнитном поле. Изв АН Арм.ССР, XXXVI N6, 1983, с. 39-49.

58. Мовсисян Л.А. Волны изгиба и другие для одной пьезоэлектрической пластинки. Изв. НАН Армении, Механика,1997, т. 50, с. 21-26.

59. Мун Ф., ПаоИ.— Синь. Колебания и динамическая неустойчивость стержня— пластины в поперечном магнитном поле. Тр. Американского общества инженеров — механиков, серия Е, Прикладная механика, 1969. N1, с. 98 — 108.

60. Мун Ф., Пао И.— Синь. Магнитоупрутое выпучивание тонкой пластинки. Тр. Американского общества инженеров — механиков, серия Е, Прикладная механика. 1970, N1, с. 160— 166.

61. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, 872 с.

62. Нобл Б. Применение метода Винера—Хопфа для решения дифференциальных уравнений с частными производными.— М.ИЛ, 1962г. с.

63. Сагомонян А.Я., Поручиков В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М: Изд —во МГУ, 1970, 119с.

64. Сафарян Ю.С., Решение нелинейной дифракционной задачи для пространственной теории упругости. Прикладная математика и механика. 2003. принято к печати.

65. Сафарян Ю.С., Решение некоторых нестандартных задач теории упругости. Сб статей деформируемого твердого тела. Ереван, Изд. АН Арм ССР, Механика, 1986г., с. 151 160.

66. Сафарян Ю.С., Решение некоторых задач соударения упругих четверть плоскостей, ограниченных полуплоскостью. Ереван. Изв. АН Арм ССР, Механика, 1986, т.39, N5, с.37-49.

67. Сафарян Ю.С., Решение некоторых граничных задач динамической теории упругости. Сб.: "Проблемы дин. взаимодействия деформируемых сред". ЕР., Изд. АН Арм. ССР, Механика, 1987г. с.249 —251.

68. Сафарян Ю.С. Исследование колебаний магнитоупрутих пластинв пространственной и осредненной постановке. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван "Энциклопедиа — Арменика" 2001. N2. с. 17-49.

69. Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследование . изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи. Сб. ГИУА Ереван, 2000г. т. I, с. 230-232

70. Сафарян Ю.С. Решение эволюционного уравнения для узких пучков.//. Сб. ГИУА. Ереван.изд. ГИУА. 2001г. т.1 с. 232-234

71. Сафарян Ю.С. Определение частот изгибных магнитоупругих колебаний пластин в пространственной и осредненной постановках задачи.М(Доклады Академии наук, РАН, Механика, 2002г. т.383, N6 с. 767-770.

72. Сафарян Ю.С. Решение нелинейной дифракционной задачи для неоднородной упругой среды. Изв. НАН Армении, Механика, 2002г. т. 55. N1 с. 23-31

73. Сафарян Ю.С., Погосян С.М. Аналитическое и численное решение конкретных задач об узких пучках для электропроводящей магнитозвуковой релаксирующей среды. Ер. Докл. НАН РА, Механика, 2003. т. 103, N2, с.

74. Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн для пространственной и осредненной задачи и устойчивость волн модуляции. Акустический журнал. М. в печати.

75. Селезов И.Т. Некоторые приближенные формулы уравнений движения магнитоупругих сред. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, N5, с. 86-91.

76. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976, 616 с.

77. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральныеуравнения математической физики. —М: ОГИЗ, 1996. 998с.

78. Фриндлендер Ф. Звуковые импульсы. М. ИЛ, 1962г. 232с.

79. Шефтер Г.М. О влиянии вязкости и теплопроводности на распространении звуковых импульсов в неоднородной движущейся среде. ПММ, 1969г. т. 33. N1. с. 162-168

80. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М. "Мир". 1964. 428 с

81. Чебан В.Г. Двумерные нестационарные задачи о распространении волн в деформируемых твердых средах: Док. дисс. —М., 1982, 286с.

82. Ambartsumian S.A. Some new problems of magnetoelasticity of thin shells and plats. The mecanical Behavior of Electromagnetic Solid Continius. IUTAM — IUAPAP, Edit. G.A. Maugin: North-Holland, 1984, p. 359-367.

83. Bagdoev A.G., Movsisyan L.A. Thermomagnetoelastic modulation waves in a non —linear plate. Izv. of NAS Armenia. Mechanica. 1999. v.52. N1. p.25 —29.

84. Bagdoev A.G., Safaryan Ju.S. The determination of frequences of free bending vibrations of ferromagnetic plates in space and averaged treatment. Information technologies and management. Yerevan: "Encyclopedia-Armenica ",2001, N4, p. 106-121.

85. Bagdoev A.G., Vantsyan A.A. Theoretical and experimental investigations of waves in plate in magnetic field for space and averaged treatment. International Journal of solids and structures. 2002.V. 39.

86. A.G. Bagdoev, Ju.S. Safaryan, S.M. Pogosyan Determination of non — liner solution near caustic for quasymonochromatic wave Information technologies and management. Yerevan: "Encyclopedia — Armenica ",2003, N1-2, p. 52-66.

87. A.G. Bagdoev, Ju.S. Safaryan, S.M. Pogosyan Analiticaly and numerical solutions of thewo nonlinear diffraction problems. Conference of NATO Advansed reseapch. Worcshop 2002, September 22-25. Yerevan.

88. Cagniard L. Reflexion et refraction des ondes seismiques progressives. Paris, Gautheir—Villards, 1939.

89. Kaliski S. Magnetoelastic vibration of a perfectly conducting plates and bars assuming the principle of plan sections. Proc. of Vibr.,• Probl., 1962, v.3, N4, p. 225-234.

90. Ludwig D. Uniform asymptotic expansions at a caustic. Communs. on pure and Appl. Math., 1966. v. 19, N2, p. 215.

91. Reissner E. Reflactions on the theory of elastic plates. Appl. mech. Revs., 1985, v. 38, N11, p. 1453-1464.

92. Rudnicki M. Eigenvalue solutions for free motion of electro — conductive plate in magnetic field. Int. J. Eng. Sci., 40, 2002, p. 93 — 107.

93. Shindo Y., Ohnishi J., Tohyama S. Flexural wave scattering at a through crack in a conducting under a uniform magnetic field. Trans. ASME Journal of Appl. Mech., vol. 64, N4, 1997, p. 828-834.

94. Shindo Y., Ohnishi J., Tohyama S. Dynamic singular moments in a perfectly conducting Mindlin plate with a through crack under a magnetic field. Trans. ASME Journal of Appl. Mech., vol. 67, 2000, September, p. 503 — 510.

95. Skalak R. Longitudinal impact of Some infinite bars.—Journal of Applied Mechanics, 1957, 24, 1, 59-64.