Численное моделирование физико-механических процессов взаимодействия защитных композитных преград и многофакторных внешних воздействий тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Общая методика осреднения уравнений электромагнитоупругости.

1) Осреднение уравнений вязкоупругости (в декартовых координатах).

2) Осреднение уравнений электродинамики (в декартовых координатах).

3) Пьезоэлектрики.

Глава 2. Механические волны в слоистых средах.

1) Модель плоскослоистого вязкоупругого защитного экрана.

Механические волны в неограниченных средах.

Прохождение механической волны через толстый вязкоупругий слой.

2) Модель криволинейного защитного экрана выполненного из упругого композитного материала.

Глава 3. Моделирование экранов для защиты от волновых и импульсных электромагнитных воздействий.

1) Прохождение электромагнитных волн через неоднородный непроводящий слой.

2) Модель цилиндрического защитного экрана.

3) Модель сферического защитного экрана.

4) Плоские экраны.

Среды с быстро изменяющимися свойствами (линейный вариант).

Среды, с медленно изменяющимися свойствами.

Среды, с медленно изменяющимися свойствами.

Среды, с быстро изменяющимися свойствами (нелинейный вариант).

В связи с бурным развитием науки и техники, созданием современных систем и излучений человек все больше и больше подвергается вредным механическим воздействиям (шумы, вибрация и т. п.) и электромагнитным излучениям (низкочастотные и высокочастотные радиоволны, радиоактивное излучение и т. п.). В зависимости от характера воздействия на объект, электромагнитные излучения могут быть ионизирующими и неионизирующими. К ионизирующим излучениям относится рентгеновское излучение, которое широко используется в медицине, к неионизирующим - электромагнитное поле сверхнизкой и низкой частоты. Ионизирующее излучение, воздействуя на объект, в частности на клетки человека, вызывает их повреждение за счет образования ионов. Электромагнитные излучения низкой частоты не обладают способностью вызвать ионизацию, а, соответственно, мутацию. Их действие на живую клетку не в полной мере изучено, однако известно, что они за относительно короткий срок воздействия (10-15 лет) не приводят к возникновению злокачественных опухолей. Существует огромное количество исследований электромагнитного поля низкой частоты, одни из которых доказывают, что этот вид излучения вреден для здоровья, а другие - наоборот, но все сходятся на мнении, что рекомендуется уменьшить или свести к минимуму встречу с этим излучением.

В последние годы развитие наукоемких производственных технологий предопределило разработку значительного количества уникальных по своим физико - механических характеристикам конструкционных материалов, в частности синерго - композиционных материалов, позволяющих создавать эффективные средства защиты от перечисленных многофакторных внешних воздействий. Это специальные структурно - неоднородные слоистые преграды, защитные экраны, другие конструкции и изделия специального назначения.

В этой связи чрезвычайно актуальной представляется разработка методов » и средств математического моделирования, расчета и создания структурно неоднородных сред и материалов с наперед заданными физико -механическими свойствами, исследование моделей синергетически - активных вязкоупругих сред с различными характеристиками и зависимостями как линейными, так и нелинейными в уравнениях состояния среды. Для исследования процессов прохождения и отражения электромагнитных волн через вязкоупругие структурно - неоднородные слоистые материалы рассматриваются тензорные уравнения электромагнитного поля. Решение уравнений Максвелла строятся с помощью асимптотического метода осреднения, в котором вводится малый параметр е, зависящий от неоднородности материала. Наличие большого числа слоев в материале делает малоэффективным построение решения с помощью разностных методов применяемых к исходным уравнениям. В связи с этим в работе используется модифицированный метод осреднения с элементами операторного исчисления. Получающиеся асимптотические разложения существенно проще исходных уравнений. Кроме того, число членов асимптотического ряда необходимых для получения требуемой точности отражения процессов поведения материала, во внешнем поле регулируется наличием соответствующих степеней малого параметра.

Так как композиты - это неоднородные материалы, их характеристики существенно зависят от пространственных координат. С точки зрения построения математической модели термоэлектромагнитомеханических процессов в этих материалах это означает, что коэффициенты в уравнениях, описывающих вышеназванные модели, будут переменными. Здесь возможно несколько случаев.

Первый случай - свойства среды изменяются относительно слабо. Для приближенных решений подобных уравнений могут быть успешно использованы метод возмущения и метод осреднения [16, 24, 25, 74, 87].

Если свойства материалов изменяются существенно на конечном протяжении, то соответствующие уравнения могут быть проинтегрированы численно [13, 15, 45, 46, 104].

И, наконец, еще один случай, который обычно вызывает наибольшие затруднения, когда свойства среды сильно изменяются на относительно малом протяжении. Численные методы в данной ситуации оказываются неэффективными, так как требуют для учета неоднородности среды очень большого числа точек разбиения заданной области. Для анализа подобных материалов разрабатывались асимптотические методы малого параметра, использующие идею осреднения Н.С. Бахваловым, Г.П. Панасенко, И.В. Андриановым, Б.И. Моргуновым и другими исследователями [4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 16,28,55,58,61,74, 75,76, 77, 78, 80,81,82, 83,95, 101, 102, 107, 108, 110].

Термоэлектромагнитомеханические процессы в неоднородных средах описываются связанными уравнениями электромагнитного поля и термоупругости [11, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 83, 89, 94, 102]. С помощью асимптотических методов малого параметра и осреднения можно свести связанные уравнения термоэлектромагнитоупругости к уравнениям с постоянными коэффициентами. Определение коэффициентов асимптотических преобразований сводится к решению систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. В работе изучаются математические модели термоэлектромагнитоупругих сред имеющих одномерную и трехмерную стратификацию в том числе нелинейные модели [33, 34, 35, 36, 37].

Надо заметить, что метод малого параметра может быть применен и к задачам и защиты объектов от жесткого излучения [37, 38].

Известно, что материалы некоторых радиотехнических конструкций летательных аппаратов, находящихся в космическом пространстве, могут подвергаться так называемой космической эрозии и ударам со стороны метеорных тел [23, 40]. Космическая эрозия является процессом разрушения поверхности конструкционных элементов ракет и искусственных спутников Земли, совершающих полет вне земной атмосферы. Она протекает под воздействием атомов и ионов веществ, содержащихся в космическом пространстве, а также метеорных тел.

Существуют различные эмпирические формулы или формулы, полученные экспериментальным путем [23, 40], которые позволяют вычислить коэффициенты ослабления излучения, толщину вещества, поглощающего излучение, среднюю длину свободного пробега частицы (протон, нейтрон, электрон) и т.д. Однако, вопрос математического моделирования процессов взаимодействия композитных материалов с жестким излучением является достаточно сложным и в настоящее время в этой области сделано очень мало [24,38, 105].

В рамках диссертационной работы рассмотрен вопрос о взаимодействии композитного вещества с медленными нейтронами и построена соответствующая математическая модель.

Таким образом, работа представляет интерес для различных областей знаний и практических приложений и является актуальной.

Основная цель настоящей работы - разработка методов и алгоритмов математического моделирования механических (упругих и вязкоупругих), электромагнитных и ядерных процессов в существенно неоднородных материалах. Эти алгоритмы позволяют выполнять численные эксперименты на ПЭВМ с целью расчета и оптимального проектирования конструкций с заданными свойствами.

В первой главе описана общая методика осреднения уравнений вязко -упругости и электродинамики в тензорной форме для трехмерно стратифицированных сред, учитывающая подвижность среды [1, 2, 83]. Тензорная форма записи исходных уравнений придает процедуре осреднения более универсальный и алгоритмичный вид, что в свою очередь делает процедуру осреднения более легкой и удобной в применении. Получив осредненное уравнение в тензорной форме для решения конкретных практических задач можно легко вернуться к координатной форме, как это было проделано в главах 2, 3, 4.

В этой же главе рассмотрены термоэлектромеханические процессы протекающие в пьезоэлектриках при помещении их в электромагнитное поле.

Подобные исследования проводились в работах [20, 61, 101, 102, 110], для случая однородных и изотропных сред. В данной работе в нелинейной постановке рассмотрены похожие задачи для композитных сред. В частности подробно рассмотрена задача для пьезоэлектрического цилиндра и пьезоэлектрического слоя.

Во второй главе исследуются механические процессы в одномерно стратифицированных упругих и вязкоупругих средах [22, 32, 33, 38, 40, 42, 48, 54, 59, 61, 62, 66, 67, 68, 70, 71, 77, 82, 101, 102, 105, 107, 108, 110]. Рассматриваются материалы как стратифицированные в направлении одной из декартовых координат, так и имеющие цилиндрическую и сферическую стратификацию. Для плоско неоднородных вязкоупругих сред построена математическая модель позволяющая определить характеристики волн, распространяющихся в подобных средах. Это позволило решить вопрос о поведения волн на границе раздела однородной и неоднородной среды и исследовать процесс затухания механических возмущений в композитном материале. Метод приближенного решения уравнений теории вязкоупругости для плоско неоднородной среды был разработан в предположении, что характеристики среды можно аппроксимировать кусочно - постоянной функцией [32, 33].

Результаты второй главы могут быть использованы для численных экспериментов при конструировании устройств, предназначенных для защиты от внешних механических, волновых, импульсных или вибрационных воздействий.

В третьей главе было рассмотрено поведение электромагнитных волн на границе раздела двух непроводящих сред, одна из которых является плоско -неоднородной [35, 60, 80, 82, 89, 94, 109]. Для падающей электромагнитной волны, соответствующей горизонтально (вертикально) поляризованному вектору напряженности электромагнитного поля, определены коэффициенты отражения и прозрачности, которые определяют отношение амплитуды 4 отраженной и прошедшей волны. Кроме того, подробно рассмотрена задача о распространении волн внутри плоско - стратифицированной среды [31, 34, 35, 36, 37, 77, 80, 89, 94, 109]. Причем для сильно неоднородной среды характерно относительно сильное изменение свойств: нелинейная зависимость электрической индукции от напряженности электрического поля. Для слабо неоднородной среды характерна относительно слабая линейная зависимость от координат. В соответствии с вышесказанным были построены математические модели распространения электромагнитных волн для сред быстроизменяющимися свойствами (с линейным и нелинейным уравнением состояния) и сред с медленно изменяющимися свойствами [34]. Полученные результаты можно использовать при решении различных задач электродинамики.

Попутно были подробно рассмотрены волновые и импульсные электромагнитные процессы, протекающие в неоднородных средах имеющих стратификацию по радиусу цилиндрической и сферической системы координат. Полученные результаты также как и во второй главе могут быть использованы для численных экспериментов при конструировании устройств, предназначенных для защиты от внешних электромагнитных воздействий [ 35].

Четвертая глава посвящена исследованию ядерных процессов, в неоднородных, в том числе нелинейных, непроводящих средах.

В этой главе построена математическая модель экрана выполненного из композитного материала для защиты от нейтронного излучения, в предположении, что данный процесс можно рассмотреть в диффузионном приближении, а так же рассмотрен вопрос защиты от а, (3 и у - излучений [24, 38, 105].

Все вычисления проводились в пакетах: Mathcad 6.0 plus, Maple V power edition [72, 96]

В заключении приведены краткие выводы по работе.

Выводы по работе

1. Разработаны методики и аппарат математического моделирования механических конструкций различной формы, выполненных из структурно-неоднородных композиционных материалов для защиты от механических воздействий, электромагнитных физико-механических возмущений, а также от жесткого излучения. Использовались предложенные в работе асимптотические процедуры построения приближенных решений нелинейных систем термоэлектромагнитоупругости в тензорной форме, что существенно упрощало процедуру осреднения исходных уравнений.

2. С целью исследования и оценки физико-механических параметров динамических процессов в неоднородных вязкоупругих средах, предложены математические модели распространения волновых возмущений в многослойных защитных экранах из вязкоупругих структурно-неоднородных материалов. Оценивалось поведение механических волн на границе раздела двух сред: однородной изотропной и неоднородной вязкоупругой. Получены коэффициенты отражения и прохождения волн через толстый вязкоупругий слой, характеристики затухания волн в композите в зависимости от вязкоупругих характеристик материала.

3. Разработаны математические модели физико-механических процессов в неоднородных линейных и нелинейных непроводящих средах с быстро изменяющимися и медленно изменяющимися свойствами, проведены расчеты и получен большой фактический материал для плоских защитных экранов, которые моделируются одномерно стратифицированной средой. Проведен детальный анализ поведения электромагнитных волн на границе раздела двух непроводящих сред: однородной изотропной и неоднородной. Проведен расчет коэффициентов отражения и прохождения волн через неоднородный одномерно стратифицированный слой конечной толщины.

4. Разработана методика и получены практические рекомендации по расчету процессов распространения волновых и импульсных электромагнитных возмущений в неоднородных цилиндрических и сферических защитных экранах.

5. Построена формализованная математическая модель в «диффузионном приближении» распространения нейтронов в структурно-неоднородной среде. Моделировались процессы взаимодействия композитных веществ с медленными нейтронами. Выявлен ряд качественных физико-механических эффектов взаимодействия.

1. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1972.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз., 1961.

3. Амбарцумян С.А. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука. Физматгиз., 1977.

4. Андреевская Г.Д., Буров А.К. Высокопрочные стеклопластики СВАМ. М.: изд. АН СССР, 1958.

5. Андрианов И.В. Расчет пластин с дискретным заполнителем на основе метода осреднения. // Докл. АН УССР.-1983.№9.

6. Андрианов И.В. Упрощенная модель геометрически нелинейных колебаний вязкоупругой пластинки // Задачи и методы механики сплошных сред. Иркутск: изд.-во Иркутского ун.-та, 1985.

7. Андрианов И.В. Построение упрощенных уравнений нелинейной динамики пластин и пологих оболочек на основе метода осреднения. // Прикл. матем. и механика.-1986.-50.-Вып.1.

8. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975.

9. Аннин Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1985.

10. Ю.Ахвердиев К.С., Кучеров В.А., Подрезов С.А. Асимптотическое решение задачи термоупругости для подшипника. ВИНИТИ № 7001, 1987.

11. Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. О колебаниях проводящих пластин в магнитном поле. Механика тв. тела, 1974, №2.

12. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1983.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы М.: Наука, 1987.

14. М.Беклемешев H.H., Шапиро Г.С. Пластичность и прочность проводящих материалов при действии высокоэнергетического электрического тока. Вкн.: Прочность, пластичность и вязкость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2 М.: Наука ФМ, 1959.

16. Боголюбов H.H. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1973.

17. Бреховских JIM. Волны в слоистых средах М.: Наука 1983.

18. Бурак Я.И. Физико математические поля в деформируемых средах. Сб. статей - Киев, 1978.

19. Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитоупругость волны в полубесконечном электропроводном теле. В кн. Волны в сплошных средах. Киев: Наук. Думка, 1978.

20. Бурак Я.И. Подстригач Я.С. и др. Магнитоупругость электропроводных тел. Киев: Наук. Думка, 1982.

21. Бурлаков A.B. Основы теории пластичности и ползучести. Харьков: ХГУ, 1968.

22. Ванин В.Е. Колтунов М.А. Моргунов Б.И. Расчет случайных колебаний вязкоупругих виброзащитных систем. В кн.: Прикладная проблема прочности и пластичности. М., 1979.

23. Васильев В.Н., Сидорин В.П., Ставицкий Р.В. Поглощенная доза в тканеэквивалентной среде при облучении низкоэнеогетическими фотонами. М., 1986.

24. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. М.,1971.

25. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем, М.: изд.-во МГУ, 1971.

26. Волосов В.М. Асимптотические методы исследования нелинейных волн в стратифицированной среде с приложениями к теории внутренних волн в океане. М.: изд.-во МГУ, 1972.

27. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз., 1971.

28. Гудьер Дж., Тимошенко С.П. Теория упругости (пер. с англ. под. ред. Г.С. Шапиро). М: Наука, 1975

29. Дорофеев В.И. Моргунов Б.И. Трояновский И.Е. Вынужденные колебания упруго-вязкой пластины с учетом тепловыделения при деформировании. В кн.: Прикладная проблема прочности и пластичности. 1978, №8.

30. Дорофеев В.И. Моргунов Б.И. Расчет нестационарных колебаний упруго-вязкой пластины с учетом тепловыделения при деформировании. В кн.: Прикладная проблема прочности и пластичности. 1979, №13.

31. Жуков A.M. Некоторые особенности поведения металлов при упруго-пластичном деформировании. В кн.: Вопросы теории пластичности, АН СССР, 1961.

32. Зельдович Я.Б. Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1965.

33. Земсков A.B. Исследование процесса диффузии при наличии цепных реакций в композитных материалах. ВИНИТИ: №480 В2001.39.3убчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990.

34. Ивашов E.H., Степанчиков C.B. Факторы космического пространства и защита материалов в условиях орбитального полета. Отчет. 199 г.

35. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1990.

36. Ильюшин A.A. Пластичность Изд.-во АН СССР, 1963.

37. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоу пру гости. М.: Наука, 1971.

38. Ильюшин A.A. Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Сб. научн. трудов: Свердловск, 1986.

39. Каниболоцкий М.А., Уржумцев Ю.С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. Новосибирск: Наука, 1989.

40. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ФМ, 1962.

41. Канторович Л.В., Крылов В.И. Методы приближенного решения уравнений в частных производных. ОНТИ, 1936.

42. Карнаухов В.Г. Связанные динамические задачи термоэлектровязкоупругости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979.№41.

43. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наук, думка, 1982.

44. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Термомеханика предварительно деформированных вязко упругих тел. Киев: Наук, думка, 1990.

45. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1986.

46. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. Киев: Наук, думка, 1987.

47. Карнаухов В.Г. и др. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. Киев: Наук, думка, 1985.

48. Кийко H.A., Гвоздев С.Ю. Нелинейные колебания вязкоупругой прямоугольной пластины. -Рук. деп. в НИИМавтопром. №1148ап, 1985.

49. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1076.

50. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М: Высшая школа, 1983.

51. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев: «Штиинца», 1977.

52. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров (перевод с англ.). М.: Наука, 1968.

53. Кравчук A.C., Майборода В.П., Моргунов Б.И. Математическое моделирование физико механических процессов. М.: МИЭМ, 1993.

54. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: МИР, 1973.

55. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, гл. ред. физ. мат. лит., 1988.

56. Кундышева Е.С., Моргунов Б.И. К расчету волновых и импульсных процессов в упругих мелкослоистых структурах. ВИНИТИ: №6913, 1989.

57. Кундышева Е.С., Моргунов Б.И. Анализ вынужденных колебаний конструкции, выполненной из слоистого упруго пластичного материала. ВИНИТИ: №6914, 1989.

58. Лаврентьев М.А., Шабат Б.Ф. Методы теории функции комплексного переменного. М.: ФМ, 1958 (и более поздние издания).

59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1982.

60. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Электродинамика. М.: Гостехиздат, 1969.

61. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.

62. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, гл. ред. физ. мат. лит., 1977.

63. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины. Изд.2 М.: Гостехиздат, 1957.

64. Лейбензон Л.С. Вариационные методы лешения задач теории упругости. М.: Гостехиздат, 1943.

65. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947.

66. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

67. Манзон Б.М. Maple V power edition. М.: изд. дом «Филинъ», 1998.

68. Мауривиц Н., Фелсен Л. Излучение и рассеяние волн, т. 1,2. М.: МИР, 1978.

69. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев, Наук, думка, 1971.

70. Могунов Б.И. Асимптотические методы решения некоторых задач нелинейной механики. Киев: изд. во АН УССР, 1976.

71. Могунов Б.И. Асимптотический анализ нелинейных систем. Приближенное решение нелинейных задач. М.: МИЭМ, 1988.

72. Могунов Б.И. Методы расчета нелинейных систем. М.: МИЭМ, 1988.

73. Могунов Б.И. Методы расчета нелинейных систем, приближенное решение прикладных задач. М.: МИЭМ, 1990.

74. Могунов Б.И., Петров Л.Ф. Численный анализ колебаний существенно нелинейных систем. М.: МИЭМ, 1991.

75. Могунов Б.И., Дзанишвили Г.Ф. Анализ волновых процессов. М.: МИЭМ, 1992.

76. Моргунов Б.И. Асимптотический анализ динамических процессов. М.: МИЭМ, 1993.

77. Моргунов Б.И. Математический анализ физико механических процессов. М.: МИЭМ, 1995.

78. Моргунов Б.И., Федоров И.А. Определение коэффициентов асимптотических преобразований динамических уравнений теории упругости для неоднородных сред. ВИНИТИ, №79-В93.

79. Морозов Е.М. Механика разрушения упруго пластических тел. Уч. Пособие М., 1986.

80. Морозов Е.М., Партон В.З. Механика упруго пластического разрушения. М.: Наука, 1985.

81. Мусхелишвили Н.И. некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд.5. М.: Наука, 1966.

82. Найфэ А. Методы возмущений. М.: МИР, 1976.

83. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958.

84. Новожилов В.В., Яппа Ю.А. Электродинамика. М.: Наука, 1978.

85. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: МИР, 1978.

86. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М.: МИР, 1962.

87. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: МИР, 1970.

88. Новацкий В. Теория упругости. М.: МИР, 1975.

89. Пальмов В.А. Колебания упруго пластических тел. М.: Наука 1976.

90. Пальмов В.А. Колебания упруго пластических тел. М.: МТТ, №3.

91. Пантелеев A.B., Якимова A.C. теория функции комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М.: МАИ, 1998.

92. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.

93. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: изд. во МГУ, 1983.

94. Победря Б.Е. О связанных задачах механики сплошной среды. В кн.: Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1972, вып. 2.

95. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн: Учебное пособие М.: Наука, 1983.

96. Самарский A.A., Тихонов А.Н. Уравнения математической физики. М.:МИЭМ, 1953.

97. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983.

98. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

99. Скобельцин С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансверсально изотропный неоднородный плоский слой. Акуст. журнал 1990 т. 36, №5.

100. Степанов Г.В. Упруго пластическое деформирование материалов под действием импульсных нагрузок. Киев. Наук, думка, 1979.

101. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1996.

102. Ферри. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: изд. во иностр. лит., 1963.

103. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб.: издательство «Лань», 1997.

104. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955.