Дисперсия, затухание и нелинейная локализация магнитоупругих волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

9046170?1 На правах рукописи

I

/

МАЛЬХАНОВ Алексей Олегович

ДИСПЕРСИЯ, ЗАТУХАНИЕ И НЕЛИНЕЙНАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ МАГНИТОУПРУГИХ ВОЛН

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 Ш 2010

Нижний Новгород - 2010

004617071

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (Национальный исследовательский университет) и в Нижегородском филиале Учреждения Российской академии наук Института машиноведения им. Л.Л. Благонравова РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Глушков Евгений Викторович доктор физико-математических наук, профессор Волков Иван Андреевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург).

Защита состоится 29 декабря 2010 г. в 11-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете по адресу: 603950, ГСП 1000, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан 23 ноября 2010 года Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук Игумнов Л.А.

0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Магнитоупругость как научное направление возникла в середине 50-х годов на стыке механики деформируемого твердого тела, электродинамики и акустики. Первые работы были инициированы проблемами геофизики - потребностью описать волновую динамику глубинных слоев Земли с учетом ее электропроводности и взаимодействия с геомагнитным полем.

С тех пор динамические процессы при взаимодействии электромагнитных и деформационных полей активно изучаются. Это связано с многочисленными физическими, техническими и технологическими приложениями. Среди них проблемы прочности конструкций и механизмов, эксплуатируемых в условиях сильных магнитных полей.

В связи с моральным и физическим износом эксплуатируемой техники, возросла актуальность задач дефектоскопии. При этом с помощью индуктора в проводящем материале, находящемся в постоянном магнитном поле, создаются вихревые токи. Возникающая распределенная амперова сила возбуждает колебания. Наличие дефектов определяется по отклонению собственных и резонансных частот от эталонных.

Такой же механизм используется в виброобработке. Виброобработка расплавов способствует улучшению структуры получающегося при затвердевании материала. Виброобработка при сварке металла плавящимся электродом улучшает прочность сварного шва и устраняет остаточные напряжения. Использование электродинамических способов при дефектоскопии и виброобработке решает многие технологические проблемы за счет бесконтактности возбуждения колебаний.

Энергия электромагнитного поля наиболее удобна при промышленной термообработке, использующей индукционный нагрев при диссипации электромагнитного поля.

Включение полей различной физической природы в механические системы открывает новые возможности для развития техники и технологии. Эффекты магнитоупругости проявляются в сильных магнитных полях, если создаваемые нагрузки способны заметно повлиять на волновые и диссипативные свойства среды, или в тонких телах: стержнях, пластинах и оболочках. Для безграничной магнитоупругой среды характерна создаваемая магнитным полем анизотропия свойств. Магнитное поле в среде с конечной проводимостью приводит к дополнительному механизму диссипации. Эти свойства магнитоупругих систем открывают новые возможности практического применения.

Основные результаты диссертации были получены в ходе выполнения работ по теме "Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты",

включенной в план основных заданий Нф ИМАШ РАН (2009 — 2012 г.г. Гос.рег. № 01200957044, руководитель проф. Ерофеев В.И.)

и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 г.г.)

- гранта РФФИ «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент, Приложения в технической диагностике». (РФФИ № 09-08-00827, 2009 - 2011, рук. проф. Ерофеев В.И.);

- гранта РФФИ, полученного в рамках конкурса «Мобильность молодых ученых» (РФФИ № 09-01-16035-моб_з_рос, рук. Мальханов А.О.).

Цель работы состоит в изучении влияния внешнего постоянного магнитного поля на дисперсионные, диссипативные и нелинейные свойства упругих волн, распространяющихся в электропроводящих материалах и элементах конструкций.

Научная новизна.

В диссертации получила развитие теория магнитоупругости электропроводящих деформируемых неферромагнитных тел, находящихся в постоянном внешнем магнитном поле.

- Впервые предложена система уравнений магнитоупругости для стержня, с учетом кинетической энергии толщинных колебаний и потенциальной энергии сдвиговых деформаций.

- Исследовано влияние внешнего магнитного поля и конечной электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики продольной упругой волны, распространяющейся в стержне, выражающееся, в частности, в формировании ускоренной и замедленной волн по отношению к волне, соответствующей материалу с бесконечной проводимостью.

- Системы динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации, в частных случаях представляющих собой известные модельные уравнения нелинейной волновой динамики (Кортевега-де Вриза-Бюргерса, Кортевега-де Вриза, Бюргерса, Римана, двумерные уравнения Хохлова-Заболоцкой-Кузнецова и Кадомцева-Петвиашвили, трехмерное уравнение Хохлова-Заболоцкой-Кузнецова).

- Исследована эволюция магнитоупругой волны Римана в стержне. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует простую волну, увеличивая время формирования резкого фронта.

- В результате аналитических исследований и численного моделирования продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн (уединенные волны деформации в стержне; двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде.

Практическая значимость

Результаты исследований могут найти применение при разработке методик акустического и вихретокового контроля материалов и элементов конструкций. Они могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий виброобработки материалов с целью снятия в них остаточных напряжений и технологий магнито-акустического разогрева материалов.

Методы исследования

При проведении исследований использованы аналитические методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении эволюционных уравнений использован метод многих масштабов.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики и электродинамики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- Нелинейные эволюционные уравнения, описывающие магнитоупругие волны в стержне, пластине и упругой трехмерной среде.

- Результаты исследования дисперсионных зависимостей для магнитоупругих волн.

- Результаты исследования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн.

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались: на XXXVII международной конференции «The International Summer Schoo! "Advanced Problems in Mechanics" (APM-2009)», (June 30 - July 5, 2009, St. Petersburg, Russia), на международной конференции «Young scientists' school-conference "Modern Ways in Mechanics" (MWxM-2009)», (July 4, 2009, St. Petersburg, Russia), на XVI симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» ("DYVIS

- 2009") (25 - 29 мая, 2009, Звенигород), на XIV Нижегородской сессии молодых ученых (физика, химия, медицина, биология), (Нижний Новгород 1924 апреля, 2009г.), на всероссийской научно-технической конференции «Современные технологии в кораблестроительном и авиационном образовании, науке и производстве"», (17-20 ноября, 2009, Нижний Новгород), на XVI международном симпозиуме «Динамические и технологические

проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова», (1519 февраля, 2010, Ярополец), на XXII сессии Российского акустического общества (Сессия научного совета РАН по акустике) (15-17 июня, 2010, Москва), на «Четырнадцатая научная конференция по радиофизике, посвященная 80-й годовщине со дня рождения Ю.Н. Бабанова» (7 мая, 2010, Нижний Новгород), на международной конференции «The 2010 International Conference of Mechanical Engineering» (London, U.K., 30 June - 2 July, 2010), на международной конференции «1st International Conference on Mechanical Engineering (ICOME 2010 - VF) virtual forum», (June 7 - 21, 2010).

Работа была поддержана стипендией академика Г.А. Разуваева (20092010), а так же отмечена дипломом «За лучший доклад молодого специалиста в секции «Нелинейная акустика» на XXII сессии Российского акустического общества (Москва, 2010 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 19 работ, 6 из которых [1 — 6] -статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.

Личный вклад соискателя

Основные результаты диссертации получены лично Мальхановым А.О. путем проведения аналитических исследований и численного моделирования. Ерофееву В.И. [1 - 4, 6 - 15, 18, 19] принадлежит постановка задач и общее руководство исследованиями. Землянухин А.И. и Катсон В.М. [3, 7, 8] произвели адаптацию полунеявной псевдоспектральной схемы вычисления к анализу эволюции ударной волны в пластине. Морозов А.Н. [4] принимал участие в обсуждении результатов и в формулировке возможных практических приложений. Кажаев В.В., Семерикова Н.П. [9] провели качественный анализ динамического поведения осциллятора, содержащего нелинейное слагаемое в отрицательной степени - этот материал в диссертацию не включен. Кузнецов С.И., Урман Ю.М. [5, 17] определили область изменения параметров подвеса, соответствующих устойчивому равновесию ротора в поле магнитов - этот материал в диссертацию не включен.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем составляет 142 страницы, включая 76 рисунков, б таблиц, 24 страницы библиографии, содержащей 246 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель, основные положения работы, выносимые на защиту, определены научная новизна и практическая значимость работы.

Глава 1. Магнитоупругость. Обзор публикаций и основные уравнения

Первый параграф главы (п. 1.1) носит обзорный характер, в нем обосновывается актуальность темы диссертации, приводится ряд областей науки и техники, которые нуждаются в исследовании процессов колебаний и распространения волн с учетом электромагнитных эффектов. Отмечаются основные направления развития теории электромагнитоупругого взаимодействия:

• магнитоупругость (и магнитотермоупругость) электропроводящих неферромагнитных тел в постоянном внешнем магнитном поле;

• магнитоупругость магнитоактивных, в том числе пьезомагнитных, ферромагнитных и магнитострикционных сред;

• электроупругость пьезоэлектрических и электрострикционных сред;

Дан обзор литературы по каждому из направлений теории. Отмечено, что большой вклад в развитие магнитоупругости и ее приложений внесли: Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Багдоев А.Г., Бардзокас Д., Белубекян М.В., Бурак Я.И., Калиский С., Кейлис-Борок В.И., Киселев М.И., Кнопофф Л., Кондрат В.Ф., Короткина М.Р., Кудрявцев Б.А., Можен Ж., Новацкий В., Партон В.З., Подстригач Я.С., Саркисян B.C., Саркисян С.О., Селезов И.Т. и другие. Линейные магнитоупругие волны изучались многими авторами, в нелинейной постановке рассматривались, в основном, квазигармонические волновые процессы (Багдоев А.Г., Шекоян A.B., Донато А., Селезов И.Т., Корсунский C.B. и другие). Диссертация выполнена в рамках первого (из перечисленных выше) направления теории электромагнитоупругого взаимодействия и ориентирована, главным образом, на изучение нелинейных мапштоупругих волн.

В п. 1,2 дается вывод системы уравнений магнитоупругости в рамках первого направления теории электромагнитоупругого взаимодействия. Предполагается, что упругое деформируемое электропроводящее тело находится в начальном постоянном магнитном поле и электромагнитное взаимодействие между телом и полем осуществляется посредством пондеромоторных сил Лоренца. Токами смещения пренебрегается. Считается, что свободные электрические заряды отсутствуют, входящих в уравнения движения упругой среды:

Таким образом, уравнения магнитоупругости имеют вид:

и г нея + — га/ НхН

д^и

а/2

дН

8г

- = го(

ди_ 81

хН

+ ——АН. 4ка

Здесь и - вектор перемещений; Х,ц - модули упругости (константы Ламе)

напряженность магнитного включает в

второго порядка; р - плотность материала; Н

поля; ег - проводимость; с - скорость света в вакууме. Вектор Р себя слагаемые, обусловленные учетом упругой нелинейности.

Далее приведен явный вид системы уравнений магнитоупругости для трехмерной упругой среды.

Для однородной, нелинейно-упругой пластины, находящейся во внешнем магнитном поле, система уравнений магнитоупругости получается из общей системы (1) путем применения метода приведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям равновесия или динамики пластин. Этот метод заключается в выражении напряженно-деформированного состояния в произвольной точке тела через новые величины, заданные вдоль срединной поверхности пластины. При этом переход от бесконечного числа

степеней свободы в направлении нормали х± = (>'.2) к конечному числу степеней свободы (конечному числу мод) осуществляется путем аппроксимации смещений многочленами. Она производится, как правило, по степеням поперечных координат, и в качестве малого параметра выступает относительная толщина пластины 2кИ, где к- полутолщина пластины, к,-нормальная компонента волнового вектора.

Система уравнений магнитоупругости (1) для модели, описывающей продольные колебания стержня (в этом случае преобладает продольная компонента вектора перемещений их) и учитывающей как кинетическую энергию толщинных колебаний, так и потенциальную энергию сдвиговых деформаций, имеет вид:

&2 дх2 )+4пр

с2 1 +

аг ая,

81 4па дх

6а. ди.

Е д'Н,

дх = 0,

¿я, ди,

дх1 дх'

И.^-Н.^

дх дх

= 0,

<эя „ д\ —-+я —

& дх& дх д!

5®£.+Я д'и' I аЯ- 8"'

д! ' дхдг дх 81

д2Н.

4ла дх с2 д2Н. 4яа дх2

Здесь V - коэффициент Пуассона, я = ~ полярный радиус инерции, ^"¡¡(у1 ~~ полярный момент инерции, Р — площадь поперечного

сечения стержня, £ = ^зя + 2/') - модуль Юнга, а, = — + — +• А + в(1 -2у)+ — (1 -6у) -Л + р 2 2 3

коэффициент упругой нелинейности, с„ = ^Ё/ - скорость распространения

продольной волны в стержне, с, волны в стержне.

<"/ - скорость распространения сдвиговой

Глава 2. Линейные и нелинейные магнитоупругие волны в стержне

П.2.1 посвящен исследованию влияния магнитного поля и электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики волны, распространяющейся в стержне. Направление вектора напряженности внешнего постоянного магнитного поля предполагается перпендикулярным направлению распространения волны деформации. Связь волнового числа и частоты продольной волны деформации, описываемой с помощью линейной модели Бернулли, выражается комплексным биквадратным по волновому числу уравнением.

На Рис. 1 представлена зависимость, связывающая волновое число и частоту продольной волны деформации при наличии магнитного поля в случае бесконечной проводимости стержня (Е = оо).

жс*1е1инн1

1т)к/

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Магнитное поле определяет величину фазовой скорости Уф = -Д+С , чем больше величина магнитного поля, тем больше фазовая скорость волны.

Здесь к, со - волновое число и частота, С = - безразмерный квадрат

скорости,

2 = — - безразмерная проводимость

с - ЩТ

' С л - \ 4лр

скорость волны

V 4 яр

Альфвена.

Конечная проводимость среды (£#<») приводит к появлению мнимой части волнового числа, которая характеризует затухание волны. Результат численного решения дисперсионного уравнения представлен на Рис. 2-3.

На Рис. 2 наряду с решениями уравнения (8) представлена так же зависимость волнового числа от частоты для материала с бесконечной проводимостью. Из рисунка видно, что в случае конечной проводимости материала имеется две волны, причем одна из них замедлена, а вторая ускорена относительно волны, соответствующей стержню с бесконечной проводимостью (£ = оо ).

Первая волна распространяется почти без затухания и, с ростом частоты, действительная часть волнового числа значительно преобладает над мнимой. Вторая волна распространяется почти без затухания, но с ростом частоты преобладание действительной части волнового числа над мнимой уменьшается.

В п. 2.2 представлено сравнение зависимости затухания и скорости продольной магнитоупругой волны от напряженности магнитного поля с данными эксперимента, где затухание и скорость продольной магнитоупругой волны с частотой от 5 до 90 МГц в магнитном поле, перпендикулярном направлению распространения волн, измерялись для монокристаллов никеля.

Показано, что зависимость затухания первой волны от величины внешнего магнитного поля качественно не соответствует экспериментальным данным. Затухание же второй волны имеет участок качественного совпадения с экспериментом. Зависимость же фазовых скоростей для обеих волн от величины внешнего магнитного поля качественно соответствует экспериментальным данным.

В п. 2.3 рассматривается распространение магиигоупругих волн в стержне согласно нелинейным моделям.

Предполагается, что суммарное магнитное поле состоит из его постоянного значения и возмущений, появляющихся в результате взаимодействия с полем деформаций:

где п - вектор нормали к поверхности стержня, А - малое возмущение магнитного поля.

Полагая, что внешнее магнитное поле перпендикулярно направлению распространения продольной магнитоупругой волны в стержне, для вектора перемещений, вектора малого возмущения магнитного поля и вектора суммарного магнитного поля имеем:

Методом многих масштабов система уравнений магнитоупругости (2) сводится к эволюционному уравнению, относительно продольной деформации

Я = Я0 Л,

(3)

(4)

т

где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков.

Уравнение (5) носит название уравнения Кортевёга - де Вриза -Бюргерса. Оно имеет решение в виде локализованной волны (кинка):

и = А ехр(£>есЬ^0<Г = £„(* - 2 *),{„

3<52 а .. _ , 2

а =--=--=2а,/1 = —.

25/? а &

(6)

На Рис. 4 изображены зависимости амплитуды (Л), скорости (X) и ширины (Л) этой волны от напряженности магнитного поля.

Для конденсированных сред в магнитных полях до ¡0 Тл скорость волны Альфвена меньше скорости распространения продольной волны, поэтому

изменение параметров представлено на интервале 0 < су2 < 1 • Все графические

/ с о

построения были выполнены для алюминиевого образца.

Как видно из рисунка, с увеличением напряженности внешнего магнитного поля амплитуда и скорость локализованной волны убывают, в то время как ее ширина возрастает.

А.Гк,\

0.2 0.4

Рис.4

Если стержень является идеальным проводником, то в эволюционном уравнении (5) можно пренебречь слагаемым с коэффициентом б, поскольку значение проводимости а близко к бесконечности. Эволюция магнитоупругой волны в этом случае будет описываться уравнением Кортевега - де Вриза, допускающим локализованное решение в виде солитона отрицательной полярности:

А „ , ЗУ, . [Щ

(7)

с1И -5-

ЗУ а

Зависимости амплитуды (А), скорости (к,) и ширины (А) солитона от напряженности магнитного поля показаны на Рис. 5

Рис. 5

Из рисунка видно, что с ростом напряженности амплитуда (при постоянной скорости) солитона возрастает, в то время, как его скорость (при постоянной амплитуде) убывает. Ширина солитона с ростом напряженности магнитного поля возрастает.

При исследовании волновых процессов в низкочастотном диапазоне, в исходной системе уравнений магнитоупругости (2) можно пренебречь кинетической энергией поперечных движений и потенциальной энергией сдвиговых деформаций. В этом случае эволюционное уравнение (5) преобразуется в уравнение Бюргерса (/3 = 0), допускающее локализованное решение в виде:

"А(х-УьХ)л

и=У„~АЛ

25

у _!/(-«>)+[/(+«>) 25 2 ' " 2 А

(8)

На Рис. 6 представлена зависимость ширины уединенной волны от

напряженности внешнего магнитного поля

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

/сг

Рис. 6

Из рисунка видно, что с ростом напряженности внешнего магнитного поля ширина волны уменьшается.

В низкочастотном диапазоне для идеального проводника (0 = 0,6 = 0) уравнение (5) сводится к уравнению Римана, имеющему решение в виде простой волны.

Исследована нелинейная эволюция волны, заданной в начальный момент времени в виде синусоиды и(х,0)=ио5т(кх), показано, что у такой волны в

момент времени t. =-, формируется резкий фронт. Это время зависит от

ка1/а

напряженности внешнего магнитного поля (Рис.7).

Из рисунка видно, что магнитное поле увеличивает время опрокидывания, то есть стабилизирует волну.

Далее рассмотрен случай, когда внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 направлено под произвольным углом 0 < < 2?г к направлению распространения продольной волны. Тогда соотношение для вектора перемещений, вектора поправки к магнитному полю и вектора суммарного магнитного поля примет вид:

" = (",> 0,0), h = [hx,hy,h:) Я = (#0eos<p + h:,hy, Я0sincp + h.) (9)

Система (2) и в этом случае сводится к уравнению Кортевега - де Вриза -Бюргерса (5), но теперь его коэффициенты будут зависеть еще и от угла 9.

Глава 3. Двумерные и трехмерные локализованные нелинейные магнитоупругие волны

В п. 3.1 рассматривается распространение продольной волны в однородной, нелинейно-упругой пластине, находящейся во внешнем магнитном поле. Предполагается, что пучок продольных волн распространяется вдоль оси х. Пучок считается ограниченным, слаборасходящимся и близким к плоской волне. Рассматривается область, в которой параметры нелинейности, дисперсии и дифракции имеют одинаковый порядок (- с). В начале предполагается, что внешнее магнитное поле перпендикулярно направлению распространения волнового пучка. Вектор перемещений, вектор малого возмущения магнитного поля и вектор суммарного магнитного поля имеют вид:

и = (и, v, 0), h = (hx, hyl h.), H = (hx, hy, H0 +h:) (Ю)

где и, v - проекции вектора перемещений на оси х и у. Ввдятся лучевые координаты:

и новые функции:

и = и; V = -Уёу;

Г г

Позволяющие привести систему уравнений магнитоупругости в первом приближении по е к эволюционному уравнению относительно продольной деформации и = :

д_

, д3и

д2ил

ди зи _

—+аи— + в—т—З—.г дт) 8? д?

ё2и

V

+ г— = °>

(13)

где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков.

Уравнение (13) соединяет в себе известные модельные уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (получается при /? = 0) и Кадомцева-Петвиашвшш (при <5 = 0 ).

Было найдено аналитическое решение уравнения (13): С2 Г „V**

(И)

1 8

6 83 5Рук\

>к! - произвольная постоянная, при этом

где ^ у +

,2 6 54

К1 525 ур1 " ^ помощью 04) проанализированы изменения амплитуды и

ширины волнового пучка вдоль каждой из координат в зависимости от величины внешнего магнитного поля (Рис. 7-8).

л ,л

А

о о.а о.б о.8 ] сА/ о о.: о.^ об ов I с ,

Рис. 7 Рис. 8

Из Рис.7 видно, что ростом напряженности внешнего магнитного поля амплитуда волнового пучка убывает. В то же время ширина пучка вдоль каждой из координатных осей возрастает с увеличением величины магнитного

поля, причем вдоль продольной координаты £ ширина пучка на порядок больше, чем вдоль поперечной х (Рис. 8).

Далее рассмотрен случай, когда внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 имеет произвольную ориентацию в пространстве, определяемую углами 0 < в < 0 < <р < 2л. Вектор суммарного магнитного поля в этом случае имеет следующий вид:

Н = (#0 sin в eos (р + hx, Н0 sin в sin <р + hy, Н0 eos О+А.) (*4)

где hx,hy,hz - компоненты вектора малого возмущения магнитного поля.

Система уравнений магнитоупругости в первом приближении по £ ив этом случае сводится к эволюционному уравнению относительно продольной деформации (13), объединяющему в себе уравнения Кадомцева — Петвиашвили и Хохлова - Заболотской - Кузнецова, но теперь его коэффициенты будут зависеть еще и от углов в и 9.

Проанализированы изменения амплитуды А и ширины пучка вдоль каждой из координатных осей в зависимости от ориентации внешнего магнитного поля.

На Рис. 9 изображена поверхность А, которая представляет собой зависимость амплитуды волны от углов в и (р.

Рис.9

Из рисунка видно, что с ростом угла <р на отрезке

0,-

амплитуда волны

убывает. При в = 0, я она принимает минимальное значение и не зависит от

л

величины угла <р. При & ~ ~ амплитуда волны принимает максимальное

значение. С ростом угла в на отрезке

0,2

амплитуда волны возрастает, а в

зависимости от угла ср принимает свое максимальное значение при <р = 0,л. _£_ ЗТГ

Амплитуда при ^ ~ 2 '~~2~ пРшишвт минимальное значение и не зависит от величины угла 0.

Соответствующие графики для ширин волнового пучка вдоль координатных осей качественно похожи на приведенные выше, с той лишь разницей, что значения углов, при которых ширины принимают минимальные и максимальные значения могут не совпадать с этими значениями для амплитуды.

Следует отметить, что в отличие от стержня, для пластины относительная оценка степени влияния ориентации магнитного поля к его напряженности существенно больше.

В п.3.2 рассматривается распространение продольной волны трехмерной упругой среде. Для квазиплоского слаборасходящегося волнового пучка введены безразмерные переменные

и = —-—, V — —— = ——

еА(1 еАс! еА<Л

,х

х

Ас1

У =

У

м'

Ас!' Ас!

(15)

и лучевые координаты: ^ = х -сг ,г} = ех ,х = 4Ёу > позволяющие

привести систему уравнений магнитоупругости (1) в первом приближении по е к одному скалярному уравнению для осевой деформации и = :

д_

ди ггди ад2и

— + а11—+В—-дц д£ И ск2

о!и д2и л дх д£

(16)

где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, Л- безразмерный масштаб

волны, Ас! - длина волны, где с - характерная скорость, заранее неизвестная.

Уравнение (16) совпадает с известным в теории нелинейных волн трехмерным уравнением Хохлова - Заболотской - Кузнецова. Решение этого уравнения имеет вид:

1 „ 2 рг+аъАВг

-£ + —--Т]

4 у2 2 сс/ЗВ

(17)

где А, В - произвольные постоянные.

С ростом напряженности внешнего магнитного поля, ширина волнового пучка (17) вдоль оси £ уменьшается, в то время как вдоль координатных осей ц, £ возрастает. Ширина вдоль поперечной координаты X сначала убывает, затем начинает возрастать. Однако, в силу сказанного выше об интервале

изменения величины , практический интерес представляет только участок,

где ширина пучка вдоль оси X убывает. Отметим, что значения ширины волнового пучка вдоль оси £ на три порядка больше, чем значения ширин волнового пучка вдоль осей X и £ и на шесть порядков больше чем значения

ширины (которую можно рассматривать, как поправку порядка б к ширине вдоль оси £) вдоль оси ц.

Если внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 имеет произвольную ориентацию в пространстве, которая определяется углами 0<#<7Г, 0<<р<2я, то вектор суммарного магнитного поля в рассматриваемом случае имеет компоненты (14).

Система уравнений магнитоупругости в первом приближении по с и в этом случае сводится к трехмерному уравнению Хохлова - Заболотской -Кузнецова (16), но теперь его коэффициенты будут зависеть еще и от углов в и 9.

На Рис. 10, 11 изображены сечения поверхности ¿)г(<р,#), которая представляет собой зависимость ширины волнового пучка вдоль оси £ от углов в\\ (р, плоскостями <р = const и в= const:

О

Рис. 10

Из Рис. 10 видно, что с ростом угла <р на отрезке ширина

волнового пучка вдоль оси £ убывает. При в = 0, к она принимает

минимальное значение и не зависит от величины угла <р. При 2 шиРина волнового пучка вдоль оси принимает максимальное значение.

Из Рис. 11 видно, что с ростом угла б на отрезке

0,-

ширина волнового

пучка вдоль оси 4 возрастает, а в зависимости от угла ф принимает свое максимальное значение при р = 0,я. Ширина пучка вдоль оси £ при _ я Ъж

~ ~2'~2~ принимает минимальное значение и не зависит от величины угла 0.

Соответствующие графики для ширин волнового пучка вдоль остальных координатных осей качественно похожи на приведенные выше, с той лишь разницей, что значения углов, при которых ширины принимают минимальные и максимальные значения могут не совпадать с этими значениями для амплитуды.

Для упругой среды, как и для пластины, относительная степень влияния

ориентации магнитного поля к его напряженности существенно больше, чем

для стержня.

В Заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты диссертации

1. Впервые предложена система уравнений магнитоупругости для стержня, с учетом кинетической энергии толщинных колебаний и потенциальной энергии сдвиговых деформаций.

2. Исследовано влияние внешнего магнитного поля и электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики продольной упругой волны, распространяющейся в стержне.

Показано, что для стержня из идеально проводящего материала влияние магнитного поля сводится к изменению фазовой скорости волны: чем больше напряженность магнитного поля, тем больше фазовая скорость волны.

Конечная проводимость материала приводит к появлению мнимой части волнового числа, которая характеризует затухание волны. В случае конечной проводимости имеется две волны, причем одна из них замедлена, а вторая ускорена относительно волны, соответствующей материалу с бесконечной проводимостью. Первая волна распространяется почти без затухания и, с ростом частоты, действительная часть волнового числа значительно преобладает над мнимой. Вторая волна распространяется почти без затухания, но с ростом частоты преобладание действительной части волнового числа над мнимой уменьшается.

3. Система динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации, в частных случаях представляющих собой известные модельные уравнения нелинейной волновой динамики.

В случае стержня система уравнений магнитопругости сводится к одному из уравнений: Кортевега-де Вриза-Бюргерса, Кортевега-де Вриза, Бюргерса и уравнению Римана в зависимости от учета проводимости материала и модели, описывающей упругие колебания стержня.

Если рассматриваемым объектом является пластина, то система уравнений магнитоупругости сводится к уравнению, соединяющему в себе известные двумерные модельные уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова и Кадомцева-Петвиашвили.

Для трехмерной упругой среды эволюционное уравнение представляет собой трехмерное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова.

4. Исследована эволюция магнитоупругой волны Римана в стержне. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует простую волну, увеличивая время формирования резкого фронта.

5. В результате аналитических исследований и численного моделирования продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупуругих волн:

- уединенные волны деформации в стержне;

- двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине;

- трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде.

Установлены зависимости волновых параметров (амплитуда, скорость, ширина) от величины и пространственной ориентации внешнего магнитного поля, показывающие, что с помощью магнитного поля можно управлять характеристиками локализованных волн.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

В журналах, рекомендуемых ВАК РФ

1. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Влияние магнитного поля на локализацию волны деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №1. С. 95-100.

2. Мальханов А.О., Ерофеев В.И. Магнитоупругая волна Римана в стержне // Нелинейный мир. 2009. Т.7. №12. С. 933 - 936.

3. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Нелинейные продольные локализованные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3. №4.

4. Ерофеев В.И., Мальханов А.О., Морозов А.Н. Локализация волны деформации в нелинейно-упругой среде // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010, Выпуск № 40.

(http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=22860).

5. Кузнецов С.И., Мальханов А.О., Урман Ю.М. Влияние периодических изменений формы сверхпроводящего тела на его динамику в неконтактном магнитном подвесе // Журнал технической физики. 2008. Т. 78. №12. С. 1-6.

6. Erofeyev V.l., Malkhanov А.О. Localized magnetoelastic waves formation И International Review of Mechanical Engineering. 2010. Vol. 4. №5. P. 581-585.

В других изданиях

7. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Продольные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / Нижний Новгород: Издательство общества «Интелсервис». 2010. №1(16). С. 35-45.

8. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Двумерные нелинейные магнитоупругие волны в пластине // Труды XXII сессии

Российского акустического общества и научного совета по акустике РАН. М.: Изд-во «Геос». 2010. Т. 1. С. 154 -157.

9. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Мальханов А.О., Семерикова Н.П. Сильно нелинейные магнитоупругие волны в стержне // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / Нижний Новгород: Издательство общества «Интелсервис». 2009. №2(15). С.113 -121.

10. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Влияние магнитного поля на локализацию волны деформации в нелинейно-упругой проводящей среде // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / Нижний Новгород: Издательство общества «Интелсервис». 2009. №2(15). С. 10-15.

11. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Воздействие магнитного поля на характер распространения продольных волн в стержне // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / Нижний Новгород: Издательство общества «Интелсервис». 2008. №2(13). С. 128 -138.

12. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Локализация волны деформации под влиянием магнитного поля // Материалы XVI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова (15-19 февраля, 2010, Ярополец). Чебоксары : ГУП ИПК «Чувашия». 2010. Т. 1. С. 66 - 70.

13. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Формирование магнитоупругой волны Римана в стержне // Материалы Всероссийской научно-технической конференции "Современные технологии в кораблестроительном и авиационном образовании, науке и производстве". Нижний Новгород: Изд-во НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2009. С. 397- 401.

14. Erofeyev V.I., Malkhanov А.О. Nonlinear magnetoelastic waves in rods // Book of abstracts XXXVII Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, Russia. 2009. P. 59.

15. Erofeyev V.I., Malkhanov A. O. The Impact of the Magnetic Field on the Transmission of Longitudinal Waves in a Rod // Proceedings of the World Congress on Engineering 2010. London. U.K. 2010. Vol. 2. P. 1438 - 1443.

16. Malkhanov A.O. The impact of magnetic field on nonlinear magneto-elastic waves in rods described with Bishop model // Book of abstracts of XXXVII Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, Russia. 2009. P. 59.

17. Кузнецов С.И., Мальханов A.O., Урман Ю.М. О возможности потери устойчивости пульсирующего сверхпроводящего тела в неконтактном магнитном подвесе // Труды Нижегородского государственного педагогического университета. Серия «Естественные науки». 2008. №1.

18. Erofeyev V.I., Malkhanov A.O. Localized magnetoelastic waves formation H Proceedings of Iя International Conference on Mechanical Engineering -ICOME 2010. Virtual Forum. 2010. P. 13 -17.

19. Ерофеев В.И., Мальханов A.O. Влияние ориентации магнитного поля на распространение квазиплоской магнитоупругой волны в пластине // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / Нижний Новгород: Издательство общества «Интелсервис». 2010. №2(17). С. 147-157.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАГНИТОУПРУГОСТЬ. ОБЗОР ПУБЛИКАЦИЙ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1.1 Обзор работ по магнитоупругости.

1.2 Уравнения магнитоупругости.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЕ.

2.1 Дисперсия, затухание.

2.2 Сравнение с экспериментом.

2.3 Локализация.

ГЛАВА 3. ДВУМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛНЫ.

3.1 Пластина.

3.2 Трехмерная среда.

Актуальность темы

Магнитоупругость как научное направление возникла в середине 50-х годов на стыке механики деформируемого твердого тела, электродинамики и акустики. Первые работы были инициированы проблемами геофизики — потребностью описать волновую динамику глубинных слоев Земли с учетом ее электропроводности и взаимодействия с геомагнитным полем.

С тех пор динамические процессы при взаимодействии электромагнитных и деформационных полей активно изучаются. Это связано с многочисленными физическими, техническими и технологическими приложениями. Среди них проблемы прочности конструкций и механизмов, эксплуатируемых в условиях сильных магнитных полей.

В связи с моральным и физическим износом эксплуатируемой техники, возросла актуальность задач дефектоскопии. При этом с помощью индуктора в проводящем материале, находящемся в постоянном магнитном поле, создаются вихревые токи. Возникающая распределенная амперова сила возбуждает колебания. Наличие дефектов определяется по отклонению собственных и резонансных частот от эталонных.

Такой же механизм используется в виброобработке. Виброобработка расплавов способствует улучшению структуры получающегося при затвердевании материала. Виброобработка при сварке металла плавящимся электродом улучшает прочность сварного шва и устраняет остаточные напряжения. Использование электродинамических способов при дефектоскопии и виброобработке решает многие технологические проблемы за счет бесконтактности возбуждения колебаний.

Энергия электромагнитного поля наиболее удобна при промышленной термообработке, использующей индукционный нагрев при диссипации электромагнитного поля.

Включение полей различной физической природы в механические системы открывает новые возможности для развития техники и технологии. Эффекты магнитоупругости проявляются в сильных магнитных полях, если создаваемые нагрузки способны заметно повлиять на волновые и диссипативные свойства среды, или в тонких телах: стержнях, пластинах и оболочках. Для безграничной магнитоупругой среды характерна создаваемая магнитным полем анизотропия свойств. Магнитное поле в среде с конечной проводимостью приводит к дополнительному механизму диссипации. Эти свойства магнитоупругих систем открывают новые возможности практического применения.

Основные результаты диссертации были получены в ходе выполнения работ по теме "Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты", включенной в план основных заданий Нф ИМАШ РАН (2009 - 2012 г.г. Гос.рег. № 01200957044, руководитель проф. Ерофеев В.И.) и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 г.г.)

- гранта РФФИ «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент, Приложения в технической диагностике». (РФФИ № 09-08-00827, 2009 -2011, рук. проф. Ерофеев В.И.);

- гранта РФФИ, полученного в рамках конкурса «мобильность молодых ученых» (РФФИ№ 09-01 -16035-мобзрос, рук. Мальханов А.О.); 3

Цель работы состоит в изучении влияния внешнего постоянного магнитного поля на дисперсионные, диссипативные и нелинейные свойства упругих волн, распространяющихся в электропроводящих материалах и элементах конструкций.

Научная новизна.

В диссертации получила развитие теория магнитоупругости электропроводящих деформируемых неферромагнитных тел, находящихся в постоянном внешнем магнитном поле.

- Впервые предложена система уравнений магнитоупругости для стержня с учетом кинетической энергии толщинных колебаний и потенциальной энергии сдвиговых деформаций.

- Исследовано влияние внешнего магнитного поля и конечной электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики продольной упругой волны, распространяющейся в стержне, выражающееся, в частности, в формировании ускоренной и замедленной волн по отношению к волне, соответствующей материалу с бесконечной проводимостью.

- Системы динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации, в частных случаях представляющих собой известные модельные уравнения нелинейной волновой динамики (Кортевега-де Вриза-Бюргерса, Кортевега-де Вриза, Бюргерса, Римана, двумерные уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова и Кадомцева-Петвиашвили, трехмерное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова).

- Исследована эволюция магнитоупругой волны Римана в стержне. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует простую волну, увеличивая время формирования резкого фронта.

- В результате, аналитических исследований и численного моделирования продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн (уединенью волны деформации в стержне; двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде.

Практическая значимость

Результаты исследований могут найти применение при разработке методик акустического и вихретокового контроля материалов и элементов конструкций. Они могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий виброобработки материалов с целью снятия в них остаточных напряжений и технологий магнито-акустического разогрева материалов.

Методы исследования

При проведении исследований использованы аналитические методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении эволюционных уравнений использован метод многих масштабов.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики и электродинамики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- Нелинейные эволюционные уравнения, описывающие магнитоупругие волны в стержне, пластине и упругой трехмерной среде.

- Результаты исследования дисперсионных зависимостей для магнитоупругих волн.

- Результаты исследования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн.

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались: на XXXVII международной конференции «The International Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM-2009)», (June 30 - July 5, 2009, St. Petersburg, Russia), на международной конференции «Young scientists' school-conference "Modern Ways in Mechanics" (MWM-2009)», (July 4, 2009, St. Petersburg, Russia), на XYI симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» ("DYVIS - 2009") (25 - 29 мая, 2009, Звенигород), на XIV Нижегородской сессии молодых ученых (физика, химия, медицина, биология), (Нижний Новгород 19-24 апреля, 2009г.), на всероссийской научно-технической конференции «Современные технологии в кораблестроительном и авиационном образовании, науке и производстве"», (17-20 ноября, 2009, Нижний Новгород), на XVI международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова», (15-19 февраля, 2010, Ярополец), на XXII сессии Российского акустического общества (Сессия научного совета РАН по акустике) (15-17 июня, 2010, Москва), на «Четырнадцатая научная конференция по радиофизике, посвященная 80-й годовщине со дня рождения Ю.Н. Бабанова» (7 мая, 2010, Нижний Новгород), на международной конференции «The 2010 International Conference of Mechanical Engineering» (London, U.K., 30 June - 2 July, 2010), на международной конференции «1st International Conference on Mechanical Engineering (ICOME 2010 - VF) virtual forum», (June 7 - 21, 2010).

Работа была поддержана стипендией академика Г.А. Разуваева (20092010), а так же дипломом «За лучший доклад молодого специалиста в секции «Нелинейная акустика» на XXII сессии Российского акустического общества (Москва, 2010 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 19 работ [72 - 74, 76 - 83, 109, 110, 125, 211 - 213, 224, 240], 6 из которых [73, 77, 125, 83, 109,212] - статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.

Личный вклад соискателя

Основные результаты диссертации получены лично А. О. Мальхановым путем проведения аналитических исследований и численного моделирования. Ерофееву В.И. [72 - 74, 76 - 83, 125, 211 - 213, 240] принадлежит постановка задач и общее руководство исследованиями. Землянухин А.И. и Катсон В.М. [72 - 74] произвели адаптацию полунеявной псевдоспектральной схемы вычисления к анализу эволюции ударной волны в пластине. Морозов А.Н. [83] принимал участие в обсуждении результатов. Кажаев В.В., Семерикова Н.П. [76] провели качественный анализ динамического поведения осциллятора, содержащего нелинейное слагаемое в отрицательной степени — этот материал в диссертацию не включен. Кузнецов С.И., Урман Ю.М. [109, 110] определили область изменения параметров подвеса, соответствующих устойчивому равновесию ротора в поле магнитов — этот материал в диссертацию не включен.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения , трех глав и заключения. Общий объем составляет 142 страницы, включая 76 рисунков, 6 таблиц, 24 страницы библиографии, содержащей 246 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Впервые предложена система уравнений магнитоупругости для стержня, с учетом кинетической энергии толщинных колебаний и потенциальной энергии сдвиговых деформаций.

2. Исследовано влияние внешнего магнитного поля и электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики продольной упругой волны, распространяющейся в стержне.

Показано, что для стержня из идеально проводящего материала влияние магнитного поля сводится к изменению фазовой скорости волны: чем больше напряженность магнитного поля, тем больше фазовая скорость волны.

Конечная проводимость материала приводит к появлению мнимой части волнового числа, которая характеризует затухание волны. В случае конечной проводимости имеется две волны, причем одна из них замедлена, а вторая ускорена относительно волны, соответствующей материалу с бесконечной проводимостью. Первая волна распространяется почти без затухания и, с ростом частоты, действительная часть волнового числа значительно преобладает над мнимой. Вторая волна распространяется почти без затухания, но с ростом частоты преобладание действительной части волнового числа над мнимой уменьшается.

3. Система динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации, в частных случаях представляющих собой известные модельные уравнения нелинейной волновой динамики.

В случае стержня система уравнений магнитопругости сводится к одному из уравнений: Кортевега-де Вриза-Бюргерса, Кортевега-де Вриза, Бюргерса и уравнению Римана в зависимости от учета проводимости материала и модели, описывающей упругие колебания стержня.

Если рассматриваемым объектом является пластина, то система уравнений магнитоупругости сводится к уравнению, соединяющему в себе известные двумерные модельные уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова и Кадомцева-Петвиашвили.

Для трехмерной упругой среды эволюционное уравнение представляет собой трехмерное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова.

4. Исследована эволюция магнитоупругой волны Римана в стержне. Показано, что внешее магнитное поле стабилизирует простую волну, увеличивая время формирования резкого фронта.

5. В результате аналитических исследований и численного моделирования продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупуругих волн:

- уединенью волны деформации в стержне;

- двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине;

- трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде Установлены зависимости волновых параметров (амплитуда, скорость, ширина) от величины и пространственной ориентации внешнего магнитного поля, показывающие, что с помощью магнитного поля можно управлять характеристиками локализованных волн.

1. Аветисян А С Об одном уравнении нелинейной электроупругости пьезодиэлектрика//Изв АН Арм. ССР, Механика, 1990, Т.43, №4, с.41-51.

2. Аветисян A.C. Поверхностные электроупругие волны конечной аплитуды в пьезоэлектрической среде // Изв. HAH РА, Механика, 1995, С48, №2, с.27-37.

3. Агранович З.Н., Дервенко Н.И Деформирование намагниченного тела действием внешнего магнитного поля // Прикл. Мех., 1975, Т. 11, № 11, с. 3-8.

4. Александров К.С. Отражение сдвиговых упругих волн от границы раздела двух анизотропных сред // Кристаллография, 1962, Т.7, №5, с.735-741

5. Алексеев А А. О критерии существования волн Лява Теория и алгоритмы интерпретации географических данных // М . Наука, 1986, с.137-141.(Вычислительная сейсмология, вып. 22)

6. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е Электропроводящие пластинки и оболочки в магнитном поле // М.: Изд. фирма "Физ.-мат. литература", 1996,288 с.

7. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин // М.: Наука, 1977, 272 с.

8. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В Некоторые задачи электромагнитоупругости пластин//Ереван: Изд. ЕГУ, 1991, 143 с.

9. Амбарцумян С.А., Белубекян М В. Колебания и устойчивость токонесущих упругих пластин //Ереван: Изд. АН Армении, 1992, 124с.

10. Амбарцумян С А., Белубекян М.В К вопросу об изгибных волнах, локализованных вдоль кромки пластинки // Прикл механика, Т.ЗО, №2, 1994, с 61-66.

11. Асимова В.Д., Филиппов В.В, Волны Лява в системе двух изотропных слоев на подложке // Акуст. Журнал. 1984, Т.ЗО, вып 4, с.424-427.

12. Ахиезер А И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский C.B. Спиновые волны // М.: Наука, 1967, 368с. (а также, Связанные магнитоупругие волны в ферромагнетиках и ферроакустический резонанс. // ЖЭТФ, 1958, Т.35, №1, с. 128-233 )

13. Ахинян Ж.О., Багдоев А Г. Определение движения магнитоупругой среды при точечных воздействиях // Прикл. Механика, 1977,Т. 13, №4, с.9-14

14. Багдасарян Г. Е., Даноян Э. А. Математическое моделирование колебаний двухслойных магнитострикционных пластин пластин // Изв. АН РФ, МТТ, 1992, №3, с. 87-94

15. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Распространение упругих волн в анизотропном полупространстве при наличии магнитного поля // Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1972, Т.25, №5, с. 38-43

16. Багдасарян P.A., Белубекян М.В, Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке. В сб.: Волновые задачи механики / Под ред. А.И. Весницкого и В.И. Ерофеева // Ниж.Новгород, 1992, с. 87-93

17. Багдоев А.Г. Определение фундаментальных решений для уравнений магнитотермоупругости. // Изв. АН Арм ССР, Механика, Т.27, №2, 1974, с.13-23

18. Багдоев А.Г., Ванцян A.A. Пахалов Б. В. Определение распределения токов в упругих полях при импульсном разряде в металлах // Изв. АН Арм. ССР, Механика, Т.39, №1, 1986, с.3-11

19. Багдоев А.Г., Мовсисян Л А. О влиянии магнитного поля на волны модуляции в пластинке и цилиндрической оболочке // Изв. АН Арм.ССР, Механика, Т.42, №2, 1989, с.3-12

20. Багдоев А.Г., Шекоян А. В Нелинейные волновые пучки в упругом, вязком, дисперсном и теплопроводягцем пьезодиэлектрическом слое. // Изв. HAH Армении, Механика, Т.44, №1, 1995, с.64-72

21. Балакирев М.К., Гилинский И. А. Волны в пьезоэлектриках. // Новосибирск: Наука, 1982, 240с.

22. Балакирев М К., Гилинский И.А. Отражение упругой волны от границы раздела пьезоэлектрик-вакуум. // ФТТ, 1969,Т. 11, №9, с. 1027-1029

23. Балакирев М К., Гилинский И А. Сопутствующие поверхностные колебания и усиление ультразвука при отражении от полупроводника с током. // ФТТ, 1974, Т. 16, №12, с.3144-3146

24. Балакирев М К., Горчаков А.В Просачивание упругой волны через зазор между пьезоэлектриками. // ФТТ, 1977, Т 19, №2, с. 571-572

25. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитоупругих средах // М.: Едиториал УРСС, 2003, 336 с.

26. Батанов В.М., Куценко Г.В., Улитко А.Ф. Распространение плоских электроупругих волн в пьезоэлектрической среде // Докл. АН УССР, 1977, А, №2, с. 124-128

27. Берлинкур Д, Керрам Д., Жаффе Г Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы их применение в преобразователях // В кн.: Физическая акустика/Под ред. У. Мэзона, Т. 1А. М.: Мир, 1966, с.204-306

28. Белман Р. Введение в теорию матриц // М.: Наука, 1969, 367с.

29. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости // М.: Мир, 1972, 184с.

30. Боровик-Романов A.C. Пьезомагнетизм в антиферромагнетиках фторидах кобальта и марганца//ЖЭТФ, 1960, Т,38, №4, с.1088-1098

31. Брагинский JI.C., Гилинский И.А. Обобщенные поверхностные сдвивдвые волны в пьезоэлектриках // ФТТ, 1979, Т.21, №12, с.3524-3528

32. Бреховский JI.M., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред // М.: Наука, 1982,336 с.

33. Будаев В С. Распространение колебаний от источника типа сосредоточенного импульса в анизотропной среде // ПМ, Т.9, вып.2,1973, с. 67-73

34. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамической теории упругих анизотропных сред // ПМТФ, №3, 1974, с. 121-163

35. Будаев B.C. Упругие волны в кристаллах и анизотропных средах // ПМТФ, №6, 1974, с. 143-153

36. Бурак Я И., Колодий Б.И., Кондрат В.Ф. Нелинейные магнитоупругие колебания электропроводного полупространства // Мат. методы н физ -мех. поля, 1977, №4, с. 70-73

37. Бурлак Н.Г., Коцаренко Н.Я., Кошевая C.B. Поверхностные акустоэлектрические волны на границе раздела двух сред, обусловленные электрострикцией// ФТТ, 1976, Т. 18, №5, с. 1222-1225

38. Ванцян А. А Вибропроникание твердых металлических тел в электропроводящие грунты при наличии переменных или постоянных токов // Изв. АН Арм ССР, Механика, Т.40, №5, 1987, с. 40-45

39. Вековищева И.А. Плоская задача электроупругости дляпьезоэлектрической пластинки. ПМ, 1975, Т. 11, №2,с 85-89

40. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: Фролов К.В. (пред.). Колебания линейных систем. Т.1 / Под ред. Болотина В.В // М.: Машиностроение. 1999. 504 с.

41. Викторов И.А Звуковые поверхностные волны в твердых телах // М.: Наука, 1981, 286 с.

42. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике // М.: Наука, 1966, 168 с.

43. Викторов И.А. Упругие волны в твердом полупространстве с магнитным полем // Докл АН СССР, 1975, Т. 221, №5, с. 1069-1070

44. Виноградов М.Б., Руденко О.В, Сухоруков А.П. Теория волн // М.: Наука, 1979, 384с.

45. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек // М.: Наука, 1972, 432с.

46. Гаспарян А.Е., Даноян З.Н. Распространение магнитоупругих волн в идеально проводящем полупространстве, обусловленных действием электромагнитного импульса // В сб.: Исследования по механике твердого деформируемого тела. 1983, вып.2, с.65-72.

47. Гилинский И.А., Попов В.В. Возбуждение акустоэлектрических волн в пьезоэлектриках внешними источниками // ЖТФ, 1976, Т.46, № 11, с.2233-2242

48. Гоголадзе В.Г. Отражения и преломления упругих волн; общая теория граничных волн Релея // Труды Сейсмологического института АН ССР, № 125, 1947, с. 1-42

49. Григорян Э.Х. О колебании магнитоупругой среды, возбуждаемой сосредоточенной гармонической силой // Изв. АН Арм. ССР, Механика, Т. 31, № 5, 1978, с. 48-62

50. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих средах // Киев: Наукова думка, 1981, 283 с.

51. Гринченко В.Т., Улитко А Ф., Шульга H.A. Акустоэлектроупругость // Киев: Наукова думка, 1988, 285 с.

52. Гуляев Ю.В Поверхностные эпектрозвуковыс волны в твердых телах // Письма в ЖТФ, 1969, Т. 9, №1, с.63-65

53. Гуляев Ю.В., Кузавков Ю.А., Олейник И.Н., Шавров В. Г. Новый тип поверхностных магнитоакустических волн, обусловленных пьезомагнетизмом // ЖТФ, 1984, Т. 87, № 2, с.674-676

54. Гуляев Ю.В., Плеский В П. Щелевые акустические волны в пьезоэлектрических материалах // Акуст. Журнал, 1977, Т. 23, № 3, с.716-720

55. Гуляев Ю.В., Пуставойт В.И. Усиление поверхностных волн в полупроводниках//ЖТФ, 1969, Т.47, №12, с. 2251-2253

56. Гуревич B.JI. Теория акустических свойств пьезоэлектрических полупроводников // ФТП, 1968,Т.2, №11, с.1557-1592

57. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках // М.; Наука, 1973

58. Даноян З.Н. К плоской задаче распространения магнитоупругих волн в идеально проводящих, изотропных средах // Изв. АН Арм. ССР, Механика, Т. 25, №5, 1974, с.27.46

59. Даноян З.Н. К плоской задаче распространения магнитоупругих колебаний от точечного источника // Изв. АН Арм. ССР, Механика, Т. 28, №1, 1975, с.20-23

60. Даноян 3 Н. Плоские магнитоупругие волны в анизотропной идеально проводящей среде // Математические методы и физико-механические поля, 2003, Т. 46, № 3, с. 116-120

61. Даноян 3. Н. Исследование корней характеристического уравнения плоских магнитоупругих волн для идеально проводящих анизотропных сред // Математические методы и физико-механические поля, 2003, Т. 46, № 3, с. 116-120

62. Дечь Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа//М.: Наука, 1971, 288с.

63. Дзялошинский И.Е. К вопросу о пьездомагнетизме // ЖТФ, 1957, Т. 33, №3, с. 807-808

64. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения//М.: Мир. 1988. 694 с.

65. Долбин Н.И. Распространение плоских упругих волн в неограниченной среде, находящейся в магнитном поле // ПМТФ, 1962, №5, с. 46-147

66. Долбин Н И. Распространение упругих поверхностных волн в полупространстве, находящемся в магнитном поле // ПМТФ, 1963, №1, с. 84-17

67. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах // М.: Наука, 1982, 424 с.

68. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой // М.: Изд-во МГУ. 1999. 328 с.

69. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М. Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне // Нелинейный мир, 2009, Т. 7, №7, с. 533-540

70. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Продольные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем //

71. Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / Нижний Новгород: Издательство общества «Интелсервис», 2010, №1(16), с. 35-45

72. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Нелинейные продольные локализованные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем // Вычислительная механика сплошных сред, 2010, Т. 3, №4

73. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Двумерные нелинейные магнитоупругие волны в пластине // труды XXII сессии Российского акустического общества и научного совета по акустике РАН, М.: Изд-во «Геос», 2010, Т. 1, с. 154-157

74. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность // М.: Наука, Физматлит, 2002

75. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Влияние магнитного поля на локализацию волны деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010, №1, с. 95 -100

76. Ерофеев В.И., Мальханов А.О., Морозов А.Н. Локализация волны деформации в нелинейно-упругой среде // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010, Выпуск № 40 (Ьйр://\\гут.та1.ги/8с1епсеЛшёу/риЬН8Ье(1.р11р?Ш=22860)

77. Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Нелинейные волны в упругих телах с пространсвенной дисперсией // Горьковский ун-т. деп. В ВИНИТИ, №5440-В86, 224 с.

78. Жарий О.Ю., Улитко А.,Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн // Киев: Высшая школа, 1989,184 с.

79. Желнарович В.А. Модели материальных сплошных сред, обладающих внутренним электромагнитным и механическим моментами // М.: Изд. МГУ, 1980, 175с.

80. Илюшин А.А Механика сплошной среды // М.: Изд. МГУ, 1978, 287 с.

81. Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965

82. Калиский С. Распространение пластических волн в полупространстве в магнитном поле для идеального проводника// В кн.: Проблемы механики сплошной среды. (К 70-летию акад. Н И Мусхелишвили) / М.: Изд. АН СССР, 1961, с. 170-185

83. Кейлис-Борок В И., Монин А С. Магнитоупругие волны и граница земного ядра // Известия АН СССР, сер. геофиз. №11, с. 1529-1541

84. Кесенних Г.Г. Поверхностные волны Лява для двух изотропных слоев на изотропной подложке // Акуст. журнал, 1984, Т. 30, вып. 1, с.74-78

85. Кесенних В В., Любимов В.Н., Шувалов Л.А. О поверхностных волнах Лява в пьезоэлектриках // Кристаллография, 1982, Т. 27, №3, с. 437-443

86. Кесенних Г.Г., Любимов В.Н., Филиппов В.В. Поперечные поверхностные акустические волны для изотропной полложки с пьезоэлектрическим слоем // Акуст. журнал, 1985, Т. 31, вып. 4, с 492-495

87. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи // М.: Мир, 1972, 124 с.

88. Киселев М.И. О волнах конечной амплитуды в токонесущей сверхпроводящей коаксиальной линии // ЖТФ, 1975, Т. 45, №2, с. 382-385

89. Киселев М.И., Рыкалин Н.Н. К оценке эффективности магнитозвукового разогрева металла // Физика и химия обработки материалов, 1967, №6, с. 76-78

90. Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля // М.: Мир, 1972, 391 с.

91. Коганов М.И., Скловская И.Л. О поверхностной волне в пьезоэлектрике // ФТГ, 1966, Т. 8, №12, с. 3480-3482

92. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах // М.: Изд. Иност. лит., 1955, 192с.

93. Комаров В.А. Квазистационарное электромагнито-акустическое преобразование в металлах (Основы теории и применения при неразрушающих испытаниях) // Свердловск. УНЦ АН ССР, 1986,235 с.

94. Конторович В.М., Тищенко H.A. Преобразование звуковых и электромагнитных волн на границе упругого проводника в магнитном поле. Изв. вузов, Радиофизика, 1963, Т. 6, вып. 1, с.24-36

95. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость // М.: Изд. МГУ, 1988, 304 с.

96. Косачевский Л .Я. Об отражении магнитозвуковых волн // ПММ, 1962, Т. 26, №5, с. 842-847

97. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления // М.: Изд. АН СССР, 1961, 426 с.

98. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики // М.: Высшая школа, 1970, 710 с.

99. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику // М.: Наука, 1984, 400с.

100. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов // М.: ВИНИТИ, 1978, Т. 11, с. 5-11

101. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Магнитотермоупругость // Итоги науки и техники. МДТТ М.: ВИНИТИ, 1978, Т. 11, с. 5-11

102. Кузнецов С.И., Мальханов А.О., Урман Ю.М. Влияние периодических изменений формы сверхпроводящего тела на его динамику внеконтактном магнитном подвесе // Журнал технической физики, 2008, том 78, вып. 12, с. 1 6

103. Кулиев Ю.Н., Кулиев М.Я. О распространении волн Лява в пьезоэлектрических средах // Изв. АН Азр. ССР, сер. ФТМН, №6, 1976, с. 119-122

104. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика // М.: Физматгиз, 1962, с.246

105. Купрадзе В.Д., Соболев С.Л К вопросу о распространении упругих волн на границе двух сред с различными упругими свойствами // Тр. сейсм. инта 1930, №10, с.50-64

106. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики // Т. II М-Л: ОГИЗ, 1945

107. Курош А. Г. Курс высшей алгебры // М.: Наука, 1971, 432с

108. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение // М.: Изд. Иностр. лит., 1949, 718с

109. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного //М.: Физматгиз, 1958, 678 с.

110. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // М.: Наука, 1982 // 624 с. («Теоретическая физика», том VIII).

111. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. —. Теория упругости // М.: Наука, 1987, 248 с. («Теоретическая физика», том VII)

112. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977, 416 с.

113. Лохин B.B. Основные уравнения механики деформируемых сплошных сред взаимодействующих с электромагнитмым полем, с учетом электрической и магнитной поляризации // В кн.: Науч. труды ин-та Механики МГУ / Изд. МГУ, 1974, №31, с.149-166

114. Любимов В.Н Упругие волны в кристаллах при наличии пьезоэффекта // ФТТ, 1970/Г.12, №3, с. 947-949

115. Любимов В.Н., Алыдвиц В.И., Лоте Е. 06 объемных и поверхностных квазиобъемных волнах в полубесконечной пьезоэлектрической среде // Кристаллография, 1980, Т. 25, №1, с. 33-42

116. Мак -Фи Дж. Распространение и усиление звуковых волн в пьезоэлектрических полупроводниках // В кн.: Физическая акустика / Под. ред. У. Мезона. Т. 6, М.: Мир, 1969, с. 13-62

117. Мальханов А.О., Ерофеев В.И. Магнитоупругая волна Римана в стержне // Нелинейный мир, 2009, №12, с. 933 936

118. Мовсисян Л.А. К модуляционной устойчивости нелинейных волн в пьезоэлектрической пластинке // Докл. HAH Армении, Т. 97, №2, 1997, с.76-78

119. Можен Ж Механика электромагнитных сплошных сред // М.: Мир, 1991, 560 с.

120. Мун Ф, Чатопадхайя С. Волны напряжений, возбуждаемые магнитмым полем в проводящем теле. Теория и эксперимент // В кн.: Нестационарные процессы в деформируемых телах / М.: Мир, 1976, с. 97-115

121. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультроакустике // М.: ИЛ, 1952, 448 с.

122. Нелинейные волны. (Под ред. С. Лейбовича и А.Сибасса) // М.: Мир, 1977,319с.

123. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах // М.: Мир, 1986, 160с.

124. Новацкий В. Сопряженные поля в механике твердого тела // Успехи механики, 1978, Т. 1, № 1-2, с 17-44

125. Новичков Ю.Н. Поверхностные волны в слоистой упругой среде // В. кн.: Динамика и прочность машин // М.: 1972, вып. 101 (тр. МЭИ)

126. Новожилов В.В, Основы нелинейной теории упругости // М.: Гостехиздат, 1948,212с.

127. Новожилов В.В. Теория упругости // Л.: Судпромгиз, 1958, 370 с.

128. Олинер А. Поверхностные акустические волны // М. Наука, 1981, 281 с.

129. Осипов И.О. Отражение и преломление плоских упругих волн на границе двух анизотропных сред // Изв.АН СССР, сер. геофиз., 1961, №5, с. 649-65

130. Осипов И. О. К методу функционально-инвариантных решений для задач динамической теории упругости анизотропных сред // Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1963, №3, с. 391-396

131. Осипов И.О. К плоской задаче распространения упругих колебаний в анизотропной среде от точечного источника // ПММ, 1969, Т. 33, вып. 3, с. 548-555

132. Осипов И.О. О волновых полях и остроугольных кромках на волновых фронтах в анизотропной среде от точечного источника // ПММ, 1972, с. 927-934

133. Осипов И.О. К методу комплексных решений динамических задач плоской теории упругости анизотропных сред // Изв. РАН МТТ, 1999, №4, с. 102-112

134. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел // М.: Наука, 1988, 472 с.

135. Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лэмба в случае полупространства // Уч. зап. ЛГУ, сер. мат., 1950, №35, вып. 21, с.71-118

136. Петрашень Г И. Распространение волн в анизотропных упругих средах // М.: Наука, 1980, 280с.

137. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермоупругость электропроводных тел // Киев: Наук. Думка, 1982, 296 с.

138. Половин Р.В., Черкасова К.П. Магнитозвуковые волны // Маг. Гидродин., 1966, №1, с. 3-34

139. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости // М.: Наука, 1986, 328 с.

140. Пусовойт В. И. Взаимодействие электронных потоков с упругими волнами решетки //УФН, 1969,Т. 97, №2, с.257-306

141. Рахматулин Х.А., Шкенев Ю С. Взаимодействие сред и полей // Ташкент: ФАН, 1985,232 с.

142. Руденко О.В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики // М.: Наука, 1975

143. Саркисян В.С, Минасян М.М, К магнитоупругости неортотропной пластинки с анизотропной электропроводностью // Механика, меж. вуз. сб. науч.тр, Ереван: Изд. ЕГУ, 1982, вып 2, с. 97-102

144. Саркисян C.B. Об одном уточнении уравнения нелинейных колебаний электропроводящих пластин // Изв. HAH Армении, Механика, Т. 51, Т. 4, 1998,с. 55-69

145. Саркисян C.B. Распространение волн в упругом электропроводящем слое // Тез. док. Всесоюз, сов.- сем. ИФПНТ, МГТУ, М., 1990, с. 100-101

146. Саркисян С.О. Общая двухмерная теория магнитоупругости тонких оболочек//Ереван: Изд. HAH Армении, 1992, 235 с.

147. Свекло В.А. Упругие колебания анизотропного тела // Уч. зап ЛГУ, 1949, вып. 17, с. 28-71

148. Свекло В.А К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела//ПММ., 1961,Т. 25, вып. 5, с. 885-896

149. Седов Л.И. Механика сплошной среды // М.: Наука, Т. 1, 1976, 492 с.

150. Седов Л.И Механика сплошной среды // М.: Наука, Т.2, 1976, 576 с.

151. Селезов И.Т. Распространение магнитоупругих волн напряжений от цилиндрической полости в проводящей среде // ПМТФ, 1969, №2, с. 15-20

152. Селезов И.Т Некоторые приближенные формы уравнений движения магнитоупругих сред // Изд. АН СССР, МТТ, 1975, №5, с. 86-91

153. Селезов И.Т., Корсунский C.B. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах // Киев: Наукова думка, 1991.200 с.

154. Селезов И.Т., Селезова Л В. Волны в магнитогидроупругах средах // Киев: Наукова Думка, 1975, 164 с.

155. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны // Л.: Судостроение, 1972, 376 с.

156. Смирнов В.И. Курс высшей математики // М.: Наука, Т.З, часть 2, 1974,672 с

157. Смоленский Г.А., Леманов В.В. Ферриты и их техническое применение // Л: Наука, 1975,219 с.

158. Соболев С.JI. Некоторые вопросы распространения колебаний // В кн.: Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики / М.-Л.: ОНТИ, 1937, с. 468-617

159. Сыркин Л.Н. Пьезомагнитная керамика // Л.: Энергия, 1980, 219 с.

160. Таблицы физических величин. Справочник под ред. И К. Кикоина // М.: Атомиздат, 1976, 1006 с.

161. Тавгер Б.А. Симметрия пьезомагнетизма антиферромагнетиков // Кристаллография, 1958, Т.З, №3, с. 342-345

162. Тамм И.Е.Основы электричества // М.: Наука, 1976, 616с.

163. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела//М.: Мир, 1972, 308 с.

164. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны // М.: Мир, 1977, 622 с.

165. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезоэлектрических тел // В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып. 15, с. 90-99

166. Улитко А.Ф., Гринченко В.Т. и др. Электроупругость (Механика связанных полей в элементах конструкций, Том 5) // Киев: Наукова Думка, 1989

167. Уфлянд Я. С. Колебания упругих тел конечной проводимости в поперечном магнитном поле // ПММ., 1963, Т. 27, вып. 4, с740-744

168. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн //В кн.: Физическая акустика, Т. 6 / М.: Мир, 1973, с. 139-202

169. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах // М.: Наука, 1965, 386 с.

170. Феоктистов В.А. О поверхностных волнах в упругой среде при наличии магнитного поля // ПМТФ, 1966, №5, с. 85-89

171. Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии // Под ред. Углова A.A. М.: Наука. 1989.

172. Шапира И. Распространение упругих волн в сильных магнитных полях // В кн.: Физическая акустика / М.: Мир, 1967, 320 с.

173. Шульга Н.А. Поверхностные волны в намагниченной, сильно проводящей регулярно-слоистой среде // ПМ, 1979, Т. 15, №3, с. 88-90

174. Шульга Н.А. Об электроупругих волнах в сплошном пьезокерамическом цилиндре с продольной поляризацией // Прикл. Мех., 1986, Т. 22, №11, с. 17-21

175. Яковлев Ю.М., Генделев С.Ш. Монокристаллы ферритов в радиоэлектронике // М.: Советское радио, 1975, 360 с.

176. Acharya D., Sengupta P.R. Magnetotermoelastik plane Lamb's problem in a initially stressed conducting medium // Gerlands Beitr. Geo-Phys., 1978, 87, №1, p. 63-71

177. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids // Amsterdam. Noth-Holl, Publ. Co. 1984, 425 p.

178. Ambartsumian S A., Belubekian M.V., Minasian M M. On the problem of vibrations of Non-linear Elastic Electroconductive Plates in Transvers and Longitudinal Magnetic fields // Int J. Non-linear Mech., 1983, vol. 19, №2, p.141-149

179. Bagdasarian G.E., Danoyan Z.N., Sanoyan L.A. Surface magnetoe lastic waves in the piezomagnetic medium // Proceedings of the international Symposium Surface Waves, Novosibirsk, 1986, vol. 2, p 273-276

180. Bagdasarian G E., Danoyan Z.N., Sanoyan L.A. Surface wave processes in piezomagnetic and magnetoelastic media // Proceedings of the IUTAM

181. Symposium on the Mechanical Modellengs of New Electromagnetic Materrial, Stockholm, 1990, p. 395-399

182. Bagdasarian G.Y., Danoyan Z.N., Mikilyan M.A. Solution of twodimensional magnetoelastic Lamb problem. In the book: Topics in analysis and its applications (Edited by G.A. Barsegian and H. G. W. Begehr). NATO Science Series, 2004, p. 385-396

183. Bazer J. Geometrical magnitoelasticity // Geophys. J R., astr. Soc., 1971, p. 207-237. (see also Bazer J., Ericsson W.B. Nonlinear Wave motion in magnitoelasticity // Arch. Ration. Mechanics analysis, 1974, 55, №2, p 124-192)

184. Banos A. Normal modes characterizing magnetoelastic plane waves // J.Phys, Rev., 1956, 104, p.300-305

185. Bhattacharyay S., Sengupta P.R. Surface waves in magnetoviscoelastic solids under initial stress // Gerland Beiter. Geophys., 1978, 87, №6, p. 489-499

186. Bleustein T.L. A new surface wave in piezoeleotric materials // Appl. Phys Lett., 1968, 13, №12, p. 412-413

187. Brown W.F. Theory of magnetoelastic effect in ferromagnetism // Journ of Appl. Phys., vol. 36, 1965

188. Brown W.F. Magnetoelastic Interaction // Springer-Valag, New-York, 1966, 155 p.

189. Buchwald V T. Davis A. Magnetoelastic wave propagation // Mathematika, 1960, 7, p. 161-171

190. Cagniard L. Reflection and refraction of progressive seismic waves // New York: Megraw-hill book company, 1962, 281 p.

191. Chadwich D Elastic wave propogation in a magnetic field // IX Congres Inter, de Mech. Appl., 1957, p. 143-158

192. Chandrasekharaiah D.S. The propagation of magneto-thermo-elastic plan waves in an initially stressed medium // Tensor, 1971,22, №3, p. 285-295

193. Chandrasekharaiah D.S On magneto-elastic transverse surface waves in an initially stressed half-space // Pure and Appl. Geophys., 1973, 109, №8, p. 1712 1717

194. Curtis R.G., Redwood M. Transvers surface wave on a piezoelectric material earring a metal layer of finite thickness // J. Appl. Phys., 1973, vol. 44, №5, p. 2002-2007

195. Curtis R.G., Redwood M. Transvers surface wave on a piezoelectric crystal bars // Int. J. Solids and Struct., 1974, vol. 10, 4, p. 401-409

196. Das N.C., Bhattacharya S.K. Love waves in elastic media in presence of magnetic field// Geophys., Res. Bull., 1978, 16, №2, p. 105-110

197. Dunkin J.W., Eringen A.C. On propagation of waves in an electromagnetic elastic solid//Int. J. Eng. Sci., 1963, №1, p.461-495

198. Erofeyev V.I., Malkhanov A.O. Nonlinear Magnetoelastic waves in rods // Book of abstracts XXXVII Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, Russia, 2009, p. 59

199. Erofeyev V.I., Malkhanov A.O. Localized Magnetoelastic Waves Formation // International Review of Mechanical Engineering, 2010, v. 4, №5, p. 581-585.

200. Erofeyev V.I., Malkhanov A. O. The Impact of the Magnetic Field on the Transmission of Longitudinal Waves in a Rod // Proceedings of the World Congress on Engineering 2010, v. 2, London, U.K., 2010, pp. 1438-1443

201. Hutson A.R., White D.L. Elastic wave propagation in piezoelectric semiconductors // J. Appl. Phys., 1962, vol.33, №5, p. 40-47

202. Hutter K. Wave propagation and attenuation in paramagnetic and soft ferromagnetic materials // In: J. Eng. Sci., 1975, 13, №12, p. 1067-1084

203. Hutter K. On thermodynamics and thermostatics of viscous thermoeiastic solids in the electromagnetic fields. A Lagrangian formulation // Arch. Ration. Mech. and Anal:, 1975, 58, № 4, p. 339-368

204. Kaliski S. Rayleigh waves between perfectly conducting fluid and solid body in a magetic field // Proc. Vibr. Probl., 1962, 3, p. 23-29

205. Kaliski S., Rogula D. Rayleigh waves in a magnetic field in the case of a perfect conductor // Proc. Vibr. Probl., 1960, №5, p. 63-80

206. Kjame J.J. Wave propagation in piezoelectric crystals // J. Acoust. Soc. Am., 1949, vol. 21, №1, p.159-164

207. Knopoff L. The interaction between elastic wave motions and a magnetic field in electrical conductors // J. Geophys. Res., 1955, 60, p. 441-456

208. Kydryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons abd Fractals, 2005, vol. 24, p. 1217-1231

209. Love A.E.H. Some problems of Geodinamics // Cambrige University Press, London, 1911,180p.

210. Majorkowska-Knap K. Surface waves in piezoelectric materials of the 42m class // Bull. De Lacad. Pol. Sciences, 1980, vol. 28, 9-10, p. 417-424

211. Malkhanov A.O. The impact of magnetic field on nonlinear magneto-elastic waves in rods described with Bishop model // Book of abstracts of XXXVII Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, Russia, 2009, p. 59

212. Maugin G.A. Wave motion in magnetizable deformable solids // In: J. Eng. Sci., 1981, 19, №12, p. 321-388

213. Moon F. Problems in magneto-solid mechanics // In: mechanics today, vol. 4, Pergamon Press, New York, 1978, p. 307-390

214. Murthy S.N. Reflection and refraction of magneto elastic shear waves // Rev. Roum. Sci. Techn., Ser. Mec. Appl., 1973, 18, №4, p. 699-715

215. Pao Y. H., Yen C.S. A linear theory for soft ferromagnetic elastic solids // In: J. Eng. Sci., 1973, 11, №4, p. 415-436

216. Parekh J.P. Magnetoelastic surface wave in ferrites // Electronics letters, 1969, №14, p. 322-329 (also Propagation characteristics of magnetoelastic surface wave // Electronics letters, 1969, vol. 5, №21, p. 540-541)

217. Paria G. On magnetoelastic plane waves. Proc. Cambridge Phil. Sci., 1962, 358, p. 527-531

218. Paker D.F., David E.A. Nonlinear piezoelectric surface waves // In: J. Eng. Sci., 1989, vol. 27, №5, p. 565-583

219. Parkus H. Magneto-thermoelasticity // Wien, New York: Springer verlag, 1972, 62 p.

220. Paul H S., Anandam C. Transverse waves in piezoelectric (622) crystal class // Pure and Appl. Geophys., 1971, vol. 88, 5, p. 35-43

221. Reyleigh J.W On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proc. Math. Soc., London, 1885, vol. 17, p. 4-11

222. Tiersten H.F. Coupled magnetomechanical equations for magnetically saturated insulators // J. Math. Phys., 1964, 5, №9, p. 1298-1318

223. Tomita S., Shindo J. Reyleigh waves" in magnetothermoelastic solids with thermal relaxations // Int. J. Eng Sci., 1979, 17, №2, p. 227-232

224. Tseng C.C. Piezoelectric surface waves in cubic and orthorhombic crystals // Appl. Phys. Lett., 1970, vol. 16, p. 253-255

225. Tseng C.C, White R.M. Propagation of piezoelectric and elastic surface waves on the basel plane of hexagonal piezoelectric crystals // Appl. Phys. Lett., 1967, vol.38, 11, p. 4274-4280

226. Yu C.P., Tang S. Magneto-elastic waves in initially stressed conductors // Z. Angew. Math, and Mech., 1966, 17, №6, p. 766-775

227. Erofeyev V.I., Malkhanov A.O. Localized Magnetoelastic Waves Formation // Proceedings of 1st International Conference on Mechanical Engineering -ICOME2010, Virtual Forum, 2010, p. 13-17.

228. Порубов A.B. Локализация нелинейных волн деформации // М.: Физматлит, 2009, 208 с.

229. Агеев А.Н., Киселев М.И., Рыкалин Н.Н. Оценка эффективности магнитозвукового разогрева металла в режиме бесконтактного индукционного возбуждения // Физика и химия обработки материалов, 1970, №6, с.З 10

230. Гулевская Г.И., Киселев М.И., Кукса Ю.Г. Электродинамический способо ультразвуковой дефектоскопии по сдвигу собственной частоты колебаний образца// Дефектоскопия, 1969, №2, с. 99-103

231. Шкарлет Ю.М. О теоретических основах электромагнитных и электромагнитоакустических методов неразрушающего контроля // Дефектоскопия, 1974, №4, с. 12-20

232. Бабат Г.Н. Индукционный разогрев металлов и его промышленное применение//М.-Л.: Энергия, 1965, 522 с.

233. Физико-химические процессы обработки материаловконцентрированными потоками энергии. Под ред. А.А.Углова // М.: Наука, 1989, 268 с.1. Ч/