Исследования задач о магнитогидродинамическом пограничном слое сжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ

§ I. Эффективные решения задач об обтекании бесконечной пластины переыеннопроводящей сжимаемой жидкостью и о свободной конвекции

§2. Течение сжимаемой постояннопроводящей жидкости в полупространстве. Свободная конвекция

§ 3. Задача обтекания пористой пластины сжимаемой жидкостью с учетом диссипативных факторов

§ 4. Приближенный метод расчета пограничного слоя сжимаемой жидкости на полубесконечной пластине

ГЛАВА П. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 5. Обтекание бесконечной пористой пластины сжимаемой проводящей жидкостью

§ б. Автомодельные задачи.

§ 7. Задачи обтекания кругового цилиндра сжимаемой проводящей жидкостью

При изучении задач обтекания тел на основе теории ламинарного пограничного слоя, возникает необходимость такого искусственного воздействия на пограничный слой, чтобы все течение в целом приобретало иной характер, желательный для тех или иных практически важных целей. При обтекании неподвижных тел несжимаемой жидкостью, в обычной гидродинамике, единственным фактором управления полем скоростей и трением, является отсасывание (вдувание) жидкости через поверхность тел. В этом случае воздействие над остальными характеристиками течения - над температурным полем и теплоотдачей, можно осуществить, кроме фактора отсоса (вдува), тепловым параметром Т^/Ч^о -отношением температур обтекаемого тела и внешнего потока. Этим же фактором можно воздействовать на изменение скоростей и трения при свободо-конвективных течениях несжимаемой жидкости. В случае обтекания тел сжимаемым совершенным газом, в отличии от предыдущих задач, динамические характеристики течения - скорость и трение, становятся зависящими от теплового фактора. Это явление вызвано тем, что плотность и вязкость, являющиеся постоянными величинами в несжимаемой жидкости, становятся , вследствие фактора сжимаемости, переменными величинами, зависящими от температуры.

При магнитогидродинамических обтеканиях тел управление потока, кроме вышеуказанных факторов, осуществляется с помощью изменения магнитного и электрического полей. Кроме этого, существенное влияние на течение оказывает характер изменения коэффициента проводимости среды, которое может зависеть от поля температур, плотности тока и от других факторов. Отметим, что в данном случае в задачах магнитогидродинамического обтекания тел несжимаемой жидкостью, за исключением задач о свободной конвекции ,тепловой параметр оказывает влияние только на поле температур и на теплоотдачу, вследствие чего исключается возможность управления динамическими характеристиками течения тепловым фактором. Воздействие этого фактора над динамическими характеристиками течения становится возможным при рассмотрении задач магнитогидродинамического обтекания тел сжимаемой жидкостью. В этих случаях изменение градиента температуры существенно влияет на распределения скоростей и сил трений в пограничном слое.

Важно отметить,что вклад воздействия каждого одного из вышеперечисленных динамических,тепловых и электромагнитных факторов, над всеми характеристиками течения,тесно связан с изменением всех остальных. Качественное и количественное влияния отмеченных факторов друг на друга в процессе управления ими всеми характеристиками течения,зависят от конкретных условий поставленных задач. Выявление связей между управляющими факторами,для наиболее оптимального управления течением,представляет собой большой теоретический и практический интерес.

Основной целью настоящей диссертационной работы является изучение некоторых задач магнитогидродинамического обтекания тел сжимаемой электропроводящей жидкостью, на основании теории пограничного слоя, исследование совместного воздействия пористости обтекаемой поверхности,тепловых и магнитогидродинамичес-ких факторов на динамические и тепловые характеристики течения, а также установление количественных и качественных взаимодействий между управляющими факторами в процессе управления ими всего течения в целом.

Работа состоит из введения,из семи параграфов,объединенных в двух главах и заключения .В первой главе ( § I - § ^рассмотрены стационарные задачи,а во второй ( §5- §7) нестационарные задачи. В § I изучается задача обтекания бесконечной пористой нагретой пластины сжимаемой жидкостью, коэффициент проводимости которой принимается переменной величиной^зависящей от тепловой ионизации потока. Для этой задачи найдены эффективные решения соответствующей системы уравнении. Здесь же дается точное решение задачи о свободной конвекции переменно-проводящей жидкости. В § 2 исследована задача о движении сжимаемой жидкости около бесконечной пористой пластины и задача о свободной конвекции. В обеих задачах, в отличие от задач,рассмотренных в § I, коэффициент проводимости среды принимается постоянной величиной. В § 3 изучаются задачи обтекания бесконечной пористой пластины сжимаемой жидкостью с постоянной и переменной проводимостью. В этих задачах, в отличие от задач , рассмотренных в предыдущих параграфах, учитывается вклад дисси-пативных факторов - вязкой диссипации и джоулева тепла. В § 4 рассматриваются задачи обтекания полу бесконечной непроницаемой пластины сжимаемой жидкостью с постоянной и переменной электропроводностью. В § 5 изучаются нестационарные задачи движения жидкости около бесконечной пористой пластины приведенной в равноускоренное движение из состояния покоя. Исследования автомодельных задач нестационарного движения газа около бесконечной пористой пластины изложены в § 6. В § 7 решаются задачи магни-тогидродинамического обтекания круглого цилиндра для случаев ее равноускоренного движения и ее мгновенного разгона. Все нестационарные задачи решаются для двух случаев характера проводимости среды: постоянной и переменной.

Для изучения вышеперечисленных задач необходимо воспользоваться системой уравнении магнитной гидродинамики,которая описывает движение жидких и газообразных электропроводных сред в электромагнитных полях. Как известно, магнитная гидродинамика возникла при слиянии двух дисциплин - динамики жидкости и электромагнитной теории, вследствие чего описание шгнитогидро-динамических движений производится на основе совместном систе

В задачах магнитной гидродинамики изучаемые среды предполагаются сплошными, однородными и изотропными, проводимость среды, в отличие от плазмы, считается независимой от напряженности магнитного поля, т.е. предполагается, что радиус лармо-ровской орбиты электронов значительно превосходит длину их свободного пробега. Пренебрегается током смещения при рассмотрении нестационарных явлений, не учитывается вклад конвективного тока в величину полного тока. В нерелятивистской магнитной гидродинамике предполагается, что движения сред совершаются со скоростями, намного меньшими скорости света, и тем самым для описания электромагнитного поля применяется система уравнений Максвелла, записанная в виде уравнений электродинамики медленно движущихся сред.

Уравнения магнитной гидродинамики, на основании вышеуказанных соображений, представляют собой совокупность уравнений Максвелла, гидродинамических уравнений движения, термодинамических уравнений состояния среды и уравнения закона сохранения энергии (уравнения записаны в электромагнитной системе едимы уравнении гидродинамики и электродинамики ниц): pep dt oLt

P = RfT, ^^(T i — I \ ■ I 1 где 5 и обозначают тензор скоростей деформации и дкоулево тепло, причем:

9U,

Эх i [эй дил % [) i/ЭЦ. /ЭЦ\

Эх у

1/Э\3 Э\д/\ V

If aw ,'ЭЩ i/9wf3\5\

Закон Ома и уравнения Максвелла соответственно будут иметь вид:

ЪА э-t jt -л 1 1

-Loi р * в]+wg л е>,

В этих уравнениях \J , U- , М , V/ обозначают соответственно вектор скорости и его компоненты, j^— плотность, Р— давление, J^—динамический коэффициент вязкоети, ^^-коэффициент теплопроводности, ^ -температура, R -плотность тока, б' -коэффициент электропроводности, [Г -напряженность электрического поля, $ - индукция магнитного поля, и ^ -соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума, J^ -объемная плотность электрического заряда.

В общем случае, из-за наличия нелинейных членов вида ? 4j0t[\5 «Решение уравнении магнитной гидродинамики становится весьма трудоемким.

Можно выделить класс задач, в которых индуцируемым в области течения магнитным полем можно пренебречь по сравнению с полем,создаваемым внешними источниками.Оказалось, что если параметр, называемый магнитным числом Рейнольдса а и \J характерные масштабы длины и скорости, то возможна постановка задач, щм которой магнитное поле можно считать заданной функцией ^ - .Основные свойства таких задач можно выявить посредством введения некоторых безразмерных параметров,являющихся характерным для данных течений.Эти параметры также существенно облегчают обработку экспериментальных данных и получение численных результатов.

Наряду с встречающимися в обычной гидродинамике параметрами [18-1б],в магнитной гидродинамике появляются новые параметры,имеющие физический смысл только для движения проводящей жидкости и газа в электромагнитном поле. Они дают возможность оценить степень влияния магнитогидродинамических эффектов на течение проводящей жидкости и раскрывают характер переходных процессов между движением жидкости и электромагнитным полем.

Определим безразмерные параметры посредством приведения уравнений магнитной гидродинамики к безразмерной форме, обозначив характерные величины через

Подставляя эти величины в уравнение движения и энергии получим, что наряду с гидродинамическими критериями подобия - числом Стрюхаля о , числом Эйлера с , числом Рейнольдса

Re, числом Эккерта С , числом Пекле | j и числом Маха Ма с р Р* п

Р \5*г п Су fV** P-nR'* возникают еще два критерия ) которые называются числами Стюарта и параметром нагрузки. Параметр магнитогидродинамического взаимодействия — , характеризует влияние магнитного поля на движение среды, и представляет собой отношение членов, связанных с воздействием магнитного поля на среду, к конвекционным членам в уравнениях движения. В ряде задач вместо параметра удобно пользоваться .числом Гартмана

Ha=#RT = б11 7 ) Г которое характеризует отношение электромагнитных и вязких чле характеризует отношенов в уравнениях движения. Параметр ние напряженности электрического поля и поля, индуцируемого при движении среды в магнитном поле. При отсутствии внешнего электрического поля, магнитогидродинамические эффекты характеризуются параметром J\f .

Большое применение имеет метод пограничного слоя для изучения развития течения жидкости в каналах. При таких течениях поток жидкости условно делится на "ядро", распределение параметров в котором считается в известном смысле не зависящим от граничных условий на стенках канала, и узкие пограничные слои, в которых происходит резкое изменение параметров от их значений в ядре потока до значений на стенке канала,определяемых граничными условиями. Метод пограничного слоя широко используется для оценки трения и теплообмена на стенках канала, при расчете течения вязкой и теплопроводной среды узких длинных каналах , при решении внешних задач обтекания тел в задачах о движении струи и т.д.

В связи с этим ниже сфордулируем основные положения теории магнитогидродинамического пограничного слоя. Будем считать,как обычно в теории пограничного слоя, что в силу постановки задачи вязкость и теплопроводность существенны только в узкой области (пограничном слое), характерный размер § которой будем принимать за характерную длину изменения гидродинамических параметров в направлении поперек слоя.

Если через £ обозначить характерную длину изменения гидродинамических параметров вдоль пограничного слоя, то предложение об узости слоя выражается соотношением: f-i.

Так как характерные длины изменения параметров вдоль и поперек пограничного слоя различны, то при приведении уравнений магнитной гидродинамики к безразмерному виду перед членами ,содержащими вязкость и теплопроводность возникнут параметры

I11 г

S'Re S'feR'

Следовательно, вязкость и теплопроводность могут быть существенны в пределах пограничного слоя только при 8 Re — 1.

Отсюда получим оценку толщины пограничного слоя

Обычные оценки теории пограничного слоя fl7-I8jи электродинамики [l-2,I9] позволяют упростить уравнения магнитной гидродинамики и окончательно сформулировать систему уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя: dp

ЗХ Ъ^у ) о/-эа . 9ц „эй ,

9W.U9W + ^WY ЭР г эг ъ^ъ^'

J Х-Э-Ь '^х "ЭД н

-V di * о» v 82 ^

ЭЗ

Щ\ (dw\l

J \эи I v V is (

- wb^N^+W ел)+UE.^BJ ,

Граничными условиями для системы уравнений магнитогидро-динамического пограничного слоя будут при ^о, Uj=0, \л/ ~ 0 ; \J-\5nV; T = Tv/,

При U-U.OO) Т-Too, индексом оо и w здесь и далее отмечены значения величин, соответственно на внешней границе пограничного слоя и на обтекаемой поверхности. Величины U^o * Woo' ^оо ПРИ решении задачи пограничного слоя задаются, а их определение возможно из решения внешней задачи,для которой система уравнений имеет следующий вид

0L)

Из системы уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя, при i-* можно получить, интересующую нас в дальнейшем, систему уравнений для двумерного пограничного слоя на непроводящей теплопроводной пористой стенке, для которой 0 ) О ,будем иметь: К

При этом скорость и температура жидкости должны удовлетворять следующим начальным и граничным условиям: lJL-Uo > \5=Uo ; Т^То при "t -О; (0.5) ■UL=0; tf = \fw ; при ^ = (О.б)

U=\jUo, Т^Тоо при ^ОО. (0.7)

Основное содержание данной диссертационной работы опубликовано в работах [20 - 25] и доложено на проблемных семинарах кафедры теоретической механики Тбилисского государственного университета, на XXI республиканской научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава Грузинского политехнического института и на IX конференции математиков высших учебных заведений Грузинской ССР.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для исследования стационарных задач электропроводящей сжимаемой среды подобраны такие модели, решения которых получены или точно, или приближенно аналитически.

1. Для всех рассмотренных стационарных движений сжимаемой жидкости, влияние магнитного поля над трением существенно зависит от характера проводимости среды: при 6=Схж>уЬ увеличение магнитного поля влечет за собой увеличение трения, а при переменной проводимости наоборот: возрастание магнитного поля способствует убыванию сил трений в пограничном слое.

2. В отличие от несжимаемой жидкости, в стационарных задачах, существенно сказывается влияние фактора нагрева пластины над динамическими характеристиками движения. Количественное воздействие теплового фактора на поле скоростей и на трение тесно связано от величины магнитного поля, причем эта связь выражается сильнее при переменной проводимости среды по сравнению с постояннопроводящей средой.

3. Степень убывания проводимости жидкости от поверхности пластины до внешнего потока заметно влияет на поле скоростей и на поле сил трений в пограничном слое.

Для изучения сложных нестационарных задач электропроводящей сжимаемой среды строятся такие модели, для которых получены "эталонные" решения аналитически и расчеты всех физических величин доведены до чисел с помощью ЭВМ.

При нестационарном движении сжимаемой жидкости около бесконечной пластины, влияние магнитного поля на трение, в зависимости от закона проводимости среды, так же, как для несжимаемой жидкости и для стационарного движения сжимаемой

- 107 жидкости, противоположно разное. В отличие от несжимаемой жидкости, воздействие магнитного поля на трение существенно зависит от степени нагрева пластины.

5. Для нестационарного движения влияние магнитного поля на теплоотдачу, аналогично трению, зависит от характера проводимости среды. При возрастании степени нагрева пластины, количественный вклад воздействия магнитного поля на теплоотдачу заметно увеличивается.

6. При равноускоренном движении цилиндра и в отсутствии и при наличии магнитного поля, отсос жидкости через поверхность цилиндра влечет за собой увеличение значения времени отрыва , а при вдуве наоборот: отрыв начинается раньше. В отличие от несжимаемой жидкости, увеличение нагрева поверхности цилиндра способствует уменьшению количественного вклада фактора отсоса (вдува). В отсутствии магнитного поля,увеличение нагрева цилиндра, в обоих случаях проводимости, увеличивает значение времени отрыва. При наличии магнитного поля, для случая постоянной проводимости среды, отмеченное влияние нагрева цилиндра на увеличение времени отрыва возрастает, а при переменной проводимости ослабляется.

7. При мгновенном разгоне цилиндра количественные воздействия параметров отсоса и вдува над значением времени отрыва больше, чем при равноускоренном движении. При постоянной проводимости среды, увеличение магнитного поля увеличивает характерное время отрыва, а при переменной проводимости наоборот, отрыв начинается раньше. В обоих случаях проводимости среды, степень нагрева поверхности цилиндра увеличивает отмеченное воздействие магнитного поля над изменением временем отрыва.

1. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинамические течения в каналах.- М.:Наука, 1970 .-672с.

2. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика.-М.: Физматгиз, 1962.-246с.

3. Новиков М.И. Прикладная магнитная гидродинамика.-М.:Атом-издат, 1969.-360с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.-М.:Физматгиз, 1959 .-532с.

5. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики.- М.:Мир, 1967.320 с.

6. Бай-Ши-И. Магнитная газодинамика и динамика плазмы.-М.: Мир, 1964.-301с.

7. Сыроватский С.И. Магнитная гидродинамика.- УФН, 1957,т.62, № 3, с.247-303.

8. Альвен X., Фельтхаммар К. Космическая электродинамика.-М.:Мир, 1967.-260с.

9. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. М.: Физматгиз, 1970.-379с.

10. Ю.Калихман Л.Е. Элементы магнитной газодинамики.- М.:Атом-издат, 1964 .-423с.

11. П.Цинобер А.Б. МГД обтекание тел.-Рига:Зинатне, I970.-29IC.

12. Саттон Дж., Шерман А. Основы технической магнитной газодинамики.- М.:Мир, 1968.-492с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.-М.:Гос-техиздат, 1953.-788с.

14. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.-М.:Гос-техиздат, 1955 .-519с.

15. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.:Наука, 1970 .-904с.

16. Седов Л.И. Методы размерности и подобия в механике.-М.: Наука, I977.-438C.

17. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.- М.: Наука, 1969.742 с.

18. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой.-М.: ФМД962.-479с.

19. Любимов Г.А. К постановке задач о магнитогидродинамичес-ком пограничном слое.- ПММ, 1962, т.26, № 5, с.811-820.

20. Азмайпарашвили Л.Г. Об одном методе расчета ламинарного пограничного слоя сжимаемой проводящей жидкости.- Труды ТГУ, Математика, механика, астрономия, 1978, т.204,с.119-126.

21. Азмайпарашвили Л.Г. О некоторых задачах свободной и вынужденной конвекции сжимаемой переменнопроводящей жидкости.-Труды ТГУ, Математика, механика, астрономия, 1981, т.218, с.145-156.

22. Азмайпарашвили Л.Г. О приближенных решениях уравнений магнитной газодинамики.- В кн.: Тезисы IX конференции математиков высших учебных заведений Грузинской ССР. Батуми, 1981, с.13.

23. Азмайпарашвили Л.Г. О некоторых задачах нестационарного МГД пограничного слоя сжимаемой жидкости с постоянной и переменной электропроводностью. Труды ТГУ, Математика, механика, астрономия, 1983, т. 239 , с.174-187.

24. Азмайпарашвили Л.Г. Об одной автомодельной задаче магнитной гидродинамики. Сообщ.АН ГССР, 1983, т.109, № 2.

25. Регирер С.А., Чекмарев М.Б. Стационарные течения анизотропно проводящей среды в полупространстве. ПММ, 1966, т.30, № I, с.154-163.

26. Кереселидзе З.А., Шарикадзе Д.В. Стационарная теплопередача в переменнопроводящей жидкости в однородном внешнем магнитном поле с учетом пористости. Сообщ.АН ГССР,1975, т.78, № I, с.89-92.

27. Акасофу С.И., Чепмен С. Солнечно-земная физика, ч.1.-М.:Мир, 1974. 384 с.

28. Дородницын А.А. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе. ПММ, 1942, т.У1, № 4, с.449-486.

29. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа.-М.: Наука, 1963. 515 с.

30. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.П. М.: Наука, 1969. - 800 с.

31. Кереселидзе З.А. Свободная конвекция в переменнопроводящей среде. В кн.: Тезисы докладов У Республиканской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов. Тбилиси, 1976, с.71-72.

32. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

33. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч.1.-М.:Наука, 1949.- 798с.

34. Абрамов А.А. Вариант метода прогонки. ЗК.вычисл.матем. и матем.физ., 1961, т.1, №.2, с.349-351.

35. Шарикадзе Д.В. Обтекание пластины при наличии приложенного магнитного поля.- МГ, 1968, № 4, с.53-55.

36. Польский Н.И., Швец И.Т. Об автомодельных решениях уравнений ламинарного пограничного слоя в магнитной гидродинамике.- ДАН СССР, 136, № 5, 1961, т.136, № 5, с.1051-1054.

37. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя.- ПММ, 1949, т.ХШ, № 3, с .257266.

38. Добрышман Е.М. Приближенное решение некоторых нестационарных задач пограничного слоя.- ПММ, 1956, т.20, № 3, с.402-410.

39. Кулонен Г.А. О применении последовательных приближений М.Е.Швеца к расчету ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. Вестник ЛГУ, I960, № I, с. I23-I3I.

40. Шарикадзе Д.В. О приближенном решении некоторых стационарных задач пограничного слоя с учетом магнитного поля.-Сообщ.АН ГССР, 1966, т.43, № 3, е.551-554.

41. Кереселидзе З.А. Приближенное решение стационарной задачи обтекания плоской пластины с учетом магнитного поля.

42. В кн.: Тезисы ХУШ научной конференции аспирантов и молодых научных работников, посвященная 250-летию Академии наук СССР. Тбилиси, 1974, с.25-26.

43. Шарикадзе Д.В. Приближенное решение некоторых нестационарных задач пограничного слоя с учетом магнитного поля.-Сообщ.АН ГССР, 1967, т.45, № I, с.43-46.

44. Шарикадзе Д.В. Приближенный метод решения уравнения пограничного слоя с учетом магнитного поля.-В кн.:Труды I респ.конф.по аэрогидромеханике.,теплообмену и массообмену. Киевский университет, 1969, с.161-164,

45. Кереселидзе З.А., Шарикадзе Д.В. Расчет пограничного слоя у пористой пластины с переменным отсосом в магнитном поле. -МГ, 1974, № 2, с.138-140.

46. Блум Э.Я. Тепло и массообмен в магнитном поле.- МГ, 1975, ftlj.0, 35-46.

47. Регирер С.А. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для полупространства.- ДАН СССР, 1959, т.127, № 5,с.983-986.

48. Бузникова ДЛ., Иотковский Б.Г., Кириллов В.В.

49. О применимости метода последовательных приближений для расчета пограничного слоя при магнитогидродинамическом течении в каналах. Изв.АН СССР, МЖГ, 1969, № I,c.I43-148.

50. Юферев B.C. Ламинарный пограничный слой сжимаемого электропроводного газа в поперечном магнитном поле.-МЕГ, 1967, № 6, с.64-70•

51. Ватажин А.Б. О течении в диффузоре в присутствии магнит ного поля. -ПММ, I960, т.24, №3, с.524-529.

52. Ватажин А.Б. Об отрыве магнитогидродинамического пограничного слоя. ПММ, 1963, т.27, №2, с.338-341.

53. Цинобер А.Б., Штерн А.Г., Щербинин Э.В. Об отрыве магнитогидродинамического пограничного слоя.-Изв.АН Латв.ССР, 1963, т.12, с.49-56.

54. Цинобер А.Б., Щербинин Э.В. О влиянии магнитного поля на сопротивление при обтекании тел потоком электропроводящей жидкости. Изв.АН Латв.ССР, 1962, № II, с.45-54.

55. Young A.D. Note on the velocity and temperature distributions attained with suction on a flat plate of infinite extent in compressible flow.- Quart.J.Mech.Appl.Math., 1948, V 1, No, 1, p.70-75.

56. Falkner V.M» , Skan S.W. Some approximate solutions of the boundary layer equations. Phil. Mag., 1931,No.12, c. 865-896.

57. Cohen C.B., Reshotko E. Similar solutions for the compressible laminar boundary layer with heat transfer and pressure gradient. NACA Rep., 1956, No.1293.

58. Wilcox M.W. The magnetofluiddynamical viscous compressible flow about wedges and flat plates. In: Magneto-hydrodynamics, Evanston, Northwest. Univ. Press, 1962, p. 277-298.у * *

59. Becker E. Instationare Grenzschichten hinter Verdich-tungsstossen und Expansionswellen. В .: Progress in Aero. Sci. London 1961, v.I, p.104-173.64* Stewartson K. The theory of unsteady laminar boundary layers. Adv. Appl. Mech. 1900, v.VI, p. 1-37.

60. Odqvist P.K.G. Uber die Randwertaufgaben der Hydrodynamik zaher Pliissigkeiten. Ma them. Zeitschr., 1930, No. 32,p. 329-375.

61. Rossow V.J. On magnetoaerodynamic boundary layers. -ZAMP, 1958, v.9B, No.5-6, p.519-527.

62. Lykoudis P.S. On a class of compressible laminar boundary layers with pressure gradient for an electrically conducting fluid in the presence of a magnetic field.-In: 9th Internat. Astronaut. Congr. Amsterdam, 1958. Proc. Wien, 1959, v.1, p. 168-180.

63. McLeod J.В., Serrin J. The behaviour of similar solutions in a compressible boundary layer. J.Pluid Mech., 1968, v. 34, No.2, p. 337-342.

64. Goldstein S., Rosenhead L, Boundary layer growth.- Proc. Cambr. Phil. Soc., 1936, No.32, p. 392-401.

65. Gortler H. Verdrangungswirkung der laminaren Grenzschicht und Druckwiderstand. Ing.Arch., 1944, No.14, p.286-305.

66. Axford W.I. The magnetohydrodynamic Jeffrey-Hamel problem for a weakly conducting fluid. Quart. J.Mech.Appl. Math., 1961, v.14, N0.3, p.355-362.