Исследование сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности в космической плазме методом крупных вихрей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧЕРНЫШОВ Александр Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ СЖИМАЕМОЙ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ МЕТОДОМ КРУПНЫХ ВИХРЕЙ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

К1!111!111111111111!111

□оэ хееБээ

■ВММр,

Москва 2008

Работа выполнена в Институте космических исследований Российской академии наук (ИКИ РАН).

Научный руководитель:

к.ф.-м.н. Петросян Аракел Саркисович (ИКИ РАН - Институт космических исследований Российской академии наук).

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н, профессор, Соколов Дмитрий Дмитриевич (МГУ - Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова).

д.ф.-м.н. профессор, Петров Олег Федорович (ИТЭС ОИВТ РАН -Институт теплофизики экстремальных состояний Объединенный институт высоких температур Российской академии наук).

Ведущая организация:

ИПМ РАН - Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук

Защита состоится 29 апреля 2008 г. в 13 ч. 30 мин. на заседании Диссертационного Совета Д 002.113.03 ИКИ РАН по адресу: Москва, ул. Профсоюзная 84/32, 2-й подъезд, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН. Автореферат разослан 20 марта 2008 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета к.ф.-м.н. Буринская Т. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Сжимаемая магнитогидродинамическая (МГД) турбулентность является широко распространенным состоянием космической плазмы во многих астрофизических, гелиофизических, геофизических процессах Например, в аккреционных дисках МГД-турбулентность вызвана магниторотационной неустойчивостью Формирование звездных облаков вследствие эффектов магнитного поля и гравитации происходит в турбулентных условиях Динамика межзвездной и межпланетной среды также имеет турбулентный характер Большинство турбулентных явлений в физике Солнца описываются в рамках МГД солнечный ветер, расширение солнечной короны, конвективная зона, фотосфера, солнечный тахоклин Явления турбулентности наблюдаются в околоземном пространстве, как в солнечном ветре, так и в различных областях магнитосферы Земли, в частности, в дальней области геомагнитного хвоста, наблюдаемые спутниками свойства космической плазмы адекватно можно объяснить только в рамках теории и моделей турбулентности Магнитогидродинамическая турбулентность является важным процессом при возникновении динамо-процессов и генерации магнитного поля в космических условиях Турбулентные течения в магнитном поле также широко распространены и в прикладных областях Среди инженерных применений можно указать возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку, магнитогидродинамические течения в каналах, в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов

Возникновение турбулентности связано с неустойчивостью исходного состояния космической плазмы Вследствие неустойчивости амплитуда колебаний в электропроводящей жидкости нарастает до нелинейного уровня, при котором становятся существенными сложные процессы взаимодействия и взаимной трансформации колебаний Как известно, при больших скоростях потока, то есть при больших числах Рейнольдса, течение становится неустойчивым и разбивается на крупномасштабные вихри Нелинейное взаимодействие между вихрями приводит к непрерывному дроблению их масштабов, происходящему вплоть до малых масштабов, для которых существенно затухание, обусловленное молекулярной вязкостью Дробление масштабов вихрей соответствует перекачке энергии турбулентных движений из длинноволновой в коротковолновую область спектра В результате в потоке появляются беспорядочные вихри разных размеров, и скорость потока в каждой точке меняется случайным образом Кроме того, важнейшей особенностью турбулентности в космических условиях является наличие в ней случайных магнитных полей наряду со

случайными значениями скорости Для таких течений существенную роль играют эффекты нелинейности, вязкости, диффузии, сжимаемости, трехмерности, поэтому численное моделирование сжимаемой МГД является важным инструментом для исследования заряженной жидкости в таких МГД-течениях К тому же, плазма в космических условиях, как правило, не доступна для непосредственного экспериментального изучения

Наиболее подробную информацию о турбулентном течении жидкости можно получить с помощью прямого численного моделирования - DNS (Direct numerical simulation), которое заключается в численном решении полной нестационарной системы магнитогидродинамических уравнений При таком подходе разрешаются все масштабы движения заряженной жидкости Метод DNS не требует специальных замыканий для уравнений магнитной гидродинамики Прямой численный расчет МГД-турбулентности сталкивается с принципиальными трудностями, связанными с большими гидродинамическими и магнитными числами Рейнольдса, которые характерны для исследуемых процессов, так как в этом случае число степеней свободы турбулентного движения велико и минимальное количество узлов на численной сетке должно быть столь большим, что ограничивает применение прямого численного моделирования для изучения турбулентных течений с реальными характерными числами Рейнольдса

Осборн Рейнольде предложил статистический подход для исследования турбулентных течений, который заключается в осреднении уравнений движения - RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes) В методе RANS все параметры движения разлагаются на среднюю и турбулентную составляющие В уравнении Навье-Стокса появляются рейнольдсовские напряжения, которые необходимо замкнуть Следовательно, вся турбулентность моделируется (например, к - е модель), а не высчитывается, как в методе DNS Метод RANS обычно используется для теоретических исследований средних течений Этот подход не содержит информации о динамике турбулентности

Метод крупных вихрей LES (Large eddy simulation) - это метод, который описывает приближенную динамику турбулентности, где крупномасштабная часть турбулентного потока высчитывается непосредственно, а мелкомасштабная - моделируется, то есть LES является промежуточным подходом к изучению турбулентности между DNS и RANS

В методе LES используется операция фильтрации для разложения характеристик турбулентного движения на крупномасштабную и мелкомасштабную части, что связано с изотропностью, однородностью и универсальностью мелких масштабов турбулентного движения Мелкомасштабное движение исключается из исходной системы

уравнений движения с применением процедуры фильтрации и дальше их влияние на движение моделируется с использованием подсеточных моделей SGS (subgrid scale) (или, другое название, SFS (subfilter scale)), выраженных через отфильтрованные параметры турбулентных течений Крупномасштабное движение рассчитывается из решения отфильтрованных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики LES является методом для моделирования течений с большими числами Рейнольдса, так как в методе крупных вихрей предполагается, что энергия переносится от больших масштабов к малым только внутри инерционного интервала, поэтому число степеней свободы будет меньше, чем в методе DNS, следовательно, LES требует значительно меньших вычислительных затрат по сравнению с DNS

Изначально метод крупных вихрей развивался для моделирования гидродинамической турбулентности нейтральной жидкости для изучения задач метеорологии и океанологии Большая часть работ была выполнена для несжимаемых течений Использования LES к сжимаемым средам встречается значительно реже, вследствие увеличения сложности задачи из-за необходимости решения уравнения энергии В отфильтрованном уравнении энергии появляются сразу несколько дополнительных подсеточных (SGS) слагаемых, которые необходимо параметризовать Первые применения метода LES к сжимаемым течениям рассматривали транспортное уравнения для внутренней энергии на единицу массы, для давления или для удельной энтальпии Метод LES к течениям электропроводящей жидкости применялся и исследовался крайне мало Все предыдущие работы в этом направлении ограничивались только рассмотрением несжимаемой жидкости для решения индустриальных задач Тем не менее, многие течения электропроводящей жидкости не могут быть описаны в рамках несжимаемой среды, а необходимо рассматривать сжимаемые уравнения в приближении политропного соотношения между плотностью и давлением или теплопроводящую жидкость с использованием уравнения энергии Применение LES для сжимаемой теплопроводящей МГД-жидкости значительно усложняется из-за того, что нужно решать уравнение энергии, в котором появляются дополнительные слагаемые из-за наличия магнитного поля К тому же, после фильтрации появляются добавочные подсеточные члены, требующие разработки теории для их параметризации

Исследование сжимаемой турбулентности, как в гидродинамике нейтральной жидкости, так и в магнитогидродинамике является трудной задачей, поскольку не существует аналитической или приближенной теории таких явлений Однако, несмотря на существенную роль сжимаемости в космической плазме, целый ряд наблюдений показывает воспроизведение колмогоровского спектра флуктуации плотности Для интерпретации таких наблюдений была использована асимптотическая

-з-

теория "почти несжимаемой" (nearly incompressible) среды, которая описывает флуктуации плотности в гидродинамике нейтрального и магнитного газа в режиме переноса пассивного скаляра Однако в силу ограничений метода прямого численного моделирования ранее не удавалось получить спектры плотности и кинетической энергии и показать их совпадения и реализацию пассивного режима для флуктуаций плотности в сжимаемой МГД турбулентности на основе полной трехмерной системы уравнений магнитной гидродинамики

Цель работы

Разработать метод крупных вихрей для исследования сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности политропной плазмы Расширить параметризации подсеточных явлений на случай присутствия эффектов сжимаемости и магнитного поля Исследовать применимость различных подсеточных параметризаций для различных параметров подобия

Разработать метод крупных вихрей для теплопроводящей плазмы в сжимаемой МГД-турбулентности и разработать теорию принципиально новых подсеточных слагаемых, возникающих в методе крупных вихрей из-за присутствия магнитного поля и флуктуаций температуры

Осуществить численное моделирование методом крупных вихрей затухающей сжимаемой МГД-турбулентности в политропном газе и теплопроводящей плазме Сравнить результаты моделирования метода крупных вихрей с результатами, полученные методом прямого численного моделирования

Исследовать спектры флуктуаций плотности и энергии в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентной плазме для политропного уравнения состояния Показать возможность существования режима слабосжимаемых турбулентных пульсаций, когда флуктуации плотности являются пассивным скаляром

Применить результаты моделирования для интерпретации известных спутниковых данных о флуктуациях плотности локальной межзвездной среды Исследовать свойства анизотропии сжимаемой турбулентности и намагниченности плазмы в условиях локальной межзвездной среды

Научная новизна работы

Метод крупных вихрей ранее хорршо зарекомендовал себя для изучения гидродинамических течений атмосферы и океана, а также многих промышленных течений Все имеющиеся предыдущие работы

рассматривали либо течения несжимаемой жидкости, в том числе и магнитной, либо течения сжимаемой нейтральной жидкости без магнитного поля В диссертационной работе впервые метод крупных вихрей сформулирован и реализован для изучения сжимаемых турбулентных течений космической плазмы, как в случае политропного газа, так и для теплопроводящей плазмы в магнитогидродинамическом приближении Применение этого метода к изучению космической плазмы позволило впервые продемонстрировать наличие нетривиального режима, при котором спектры флуктуаций плотности воспроизводят спектры кинетической энергии турбулентности, и сделать вывод о режиме пассивного переноса плотности в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности, а также изучить временную динамику намагниченности плазмы и свойств анизотропии Эти результаты позволили подтвердить гипотезы относительно спектров флуктуаций турбулентности локального межзвездного газа

Практическая и научная ценность работы

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования сжимаемых МГД-течений, поскольку предложенный метод крупных вихрей позволяет исследовать турбулентные течения с существенно более высокими числами Рейнольдса, что особенно важно для проблем космической плазмы

В работе определены наилучшие подсеточные модели при различных числах подобия для моделирования сжимаемой политропной космической плазмы Предложенные новые параметризации подсеточных слагаемых для описания турбулентности теплопроводящей плазмы могут быть использованы для изучения процессов в различных инженерных течениях, например, возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку, магнитогидродинамические течения в каналах, в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов

Результаты исследований слабосжимаемого режима МГД-турбулентности объяснили имеющиеся данные наблюдений локального межзвездного газа и могут брть использованы для планирования их новых наблюдений в космических проектах

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается сравнением результатов, полученных методом крупных вихрей, с результатами исследования сжимаемой МГД-турбулентности

методом прямого численного моделирования, применением хорошо обоснованных численных методов, устойчивостью и сходимостью использованных разностных схем Достоверность результатов третьей главы обеспечивается сравнением с имеющимися данными наблюдений локальной межзвездной среды и приближенными теориями

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 статьях в реферируемых российских и зарубежных изданиях, из которых 4 из списка журналов, рекомендованных ВАК Результаты работы представлены в 11 тезисах докладов российских и международных конференций

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на российских и международных научных конференциях и симпозиумах

• XLVII и XLVIII научных конференциях МФТИ, Москва, 2004 - 2005,

• Конференциях молодых ученых, посвященных дню космонавтики, ИКИ РАН, Москва, 2005 - 2006,

• XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", конференции молодых ученых, Нижний Новгород, 2006,

• XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2006,

• European Geosciences Union, EGU, Vienna, Austria, 2005,

• Conférence on Turbulence and Interactions (TÎ2006), Porquerolles, France, 2006,

• 8th International School/Simposium for Space Simulations (ISSS-8), Kauai, USA, 2007,

• International School of Space Science "Turbulence and Waves in Space Plasmas", L'Aquila, Italy, 2007

Личный вклад автора

Автор принимал участие в формулировке задач и выборе методов их решения Все численные и теоретические результаты, представленные в настоящей диссертации, а также сравнение с

данными наблюдений, разработка численных алгоритмов, были получены лично автором диссертации

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы Объем диссертации -132 страницы Библиография включает 144 наименования Диссертация содержит 54 рисунка, 2 таблицы

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы ее цели, дается обзор литературы по данной тематике, приведены сведения о научной новизне и практической значимости работы, а также о личном вкладе соискателя, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, и приведены сведения о структуре диссертации

Первая глава посвящена разработке теории метода крупных вихрей для сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности политропной плазмы и исследованию затухающей сжимаемой МГД-турбулентности при различных числах подобия Модель политропного газа используется и эффективно применяется при исследовании и моделировании сжимаемой турбулентности нейтральной и магнитной жидкости, турбулентности солнечного ветра, турбулентности в межзвездном газе, а также в других задачах астрофизической турбулентности Это приводит к тому, что вместо громоздкого и сложного уравнения сохранения энергии для замыкания системы уравнений используется политропное соотношение между плотностью и

давлением р- ру В этом случае система уравнений сжимаемой магнитной гидродинамики сводится к более простому виду

В методе крупных вихрей к исходным уравнениям применяется операция фильтрации Каждый физический параметр разлагается на крупномасштабную (отфильтрованную) и мелкомасштабную составляющие Причем, эффекты на больших масштабах высчитываются непосредственно, а на мелких - моделируются Для фильтрации уравнений магнитной гидродинамики в методе LES использован фильтр, удовлетворяющий свойству нормировки

/(*)= 1/{х')С{х,х',А)ах' (1)

здесь 0(х,х', Д) - фильтр, / - одна из характеристик течения; о-область течения, А - ширина фильтра, х) =(х,у,г) - оси Декартовой

системе координат

Для упрощения уравнений, описывающих турбулентное МГД-движение с переменной плотностью, применялась фильтрация по Фавру (другое название - средневзвешенная фильтрация), для того чтобы избежать появления дополнительных подсеточных слагаемых У = pf !р В работе получены следующие отфильтрованные уравнения МГД в безразмерном виде др дрЯ, п

£+а,;-0 <2>

д( дХ; н ' у уМ] * Яе ' 2М\ МгА ' дх, У '

где р- плотность, и}- скорость в направлении х3,

о = 2/иБц - 2 и8ккд - вязкий тензор напряжений, я,, = 1 - тензор

3 2 дxJ дх,

скорости деформации, В ] - магнитное поле в направлении х/, № -динамический (молекулярный) коэффициент вязкости, 77 - коэффициент магнитной диффузии, 8Ч - символ Кронекера В системе МГД уравнений (2) - (5) использовались следующие безразмерные параметры подобия Ле- гидродинамическое число Рейнольдса, Кет- магнитное число Рейнольдса, М,- число Маха, Мл- альфвеновское (магнитное) число Маха

Для сравнения в этой главе также выведены уравнения МГД, отфильтрованные с использованием обычной процедуры фильтрации и средневзвешенной фильтрации Показано, что после обычной операции фильтрации появляются дополнительные, слагаемые, связанные с переносом массы, по сравнению с видом уравнений, отфильтрованных по Фавру

Вследствие фильтрации по Фавру системы уравнений МГД политропной плазмы появляются подсеточные слагаемые в правой

части уравнений (3) и (4) т"ч-р((и}иХ-ггд)-{В1В]-ЯД) -

¿VI д

подсеточный тензор напряжений и = (м,В] ~ 5Д) - (Дм, - и]В1) . магнитный подсеточный тензор напряжений, которые необходимо параметризовать, выразив их через крупномасштабные значения характеристик течения Учет сжимаемости течения приводит к усложнению вида тензора подсеточных напряжений в уравнении количества движения, связанной с появлением отфильтрованной плотности по сравнению с несжимаемым течением Однако магнитный тензор подсеточных напряжений, возникающий в уравнении индукции, сохраняет такой же вид, как и для несжимаемого МГД-тёчения

В данной главе обобщены различные модели замыкания подсеточных слагаемых на случай сжимаемой МГД-турбулентности, а

именно

модель Смагоринского для МГД-турбулентности

к - \= -2С.рд21IФ - зад) (6)

(7)

хЧк=2Г1р Д2|5"'|2 (8)

модель Колмогорова для МГД-турбулентности

К - з К А, = ~2СгрА4П (Зу - * ад) (9)

(10)

Кк = 2КгрД4/3 | У" | (11)

модель, основанная на перекрестной спиральности скорости и магнитного поля, для МГД-турбулентности

= ~2С3/?Д21Г (^ад) (12)

< = -2ДД2 5ёпО©) 17©|"2 ^ (13)

т"ы=2ГзРА2\7\\3"\ (14)

модель подобия масштабов для МГД-турбулентности

г; = р((и,я,у -Щ)- ад -в^,) (15)

Т> = (а,в! -Ш,в,) (16)

и смешанная модель для МГД-турбулентности

К=-2С5/?Д21 У" |(Зу-^ккЗи)+рЩЦУ -ВД) (17)

< = -205&2 \J\J¡J+ (Щ -вр,)-(Щ-ВД) (18)

г;=2У5/>Д2|У|2 (19)

В формулах (6) - (19) использовались следующие обозначения

13" |= (25,,)1/3, ./„ = 1 - у), В - крупномасштабная завихренность,

2 дх1 Элг,

у- крупномасштабная плотность электрического тока, ( обозначает, что операция фильтрации относится ко всему выражению в скобках

Все модели (кроме модели подобия масштабов) содержат константы Ск,Ук,Ок(к = 1,2,3,5), которые необходимо определить Для того чтобы решить проблему, связанную с выбором значений констант, была использована динамическая процедура, обобщенная в данной работе на случай сжимаемых МГД-уравнений, которая определяет значение модельной константы на каждом временном шаге

В этой главе также представлены численные методы, которые использовались в работе при моделировании сжимаемой МГД-турбулентности Для интеграции по времени использовался модифицированный явный метод Рунге-Кутта третьего порядка точности, который требует меньше ресурсов оперативной памяти по сравнению со стандартным методом Рунге-Кутта Был разработан и создан численный код с конечно-разностными схемами четвертого порядка точности для системы уравнений магнитной гидродинамики, записанной в консервативной форме Однако для нелинейных слагаемых применяется кососимметричная форма, которая обеспечивает более точные результаты, так как уменьшаются ошибки, связанные с дискретизацией при использовании конечно-разностного подхода для моделировании турбулентных течений Для разделения турбулентного течения на крупномасштабные и мелкомасштабные вихри применялся фильтр Гаусса четвертого порядка точности Так как в работе рассматривается трехмерное сжимаемое турбулентное МГД-

- ю-

течение, то использовалось последовательное применение одномерных фильтров.

Для оценки эффективности различных предложенных подсеточных замыканий LES использовались результаты, полученные прямым численным моделированием МГД-турбулентности в различных диапазонах магнитного числа Рейнольдса, гидродинамического числа Рейнольдса и числа Маха Всего было рассмотрено семь различных случаев с варьированием начальных параметров вычислений Приведены результаты расчетов сжимаемых МГД-течений методом LES с использованием пяти подсеточных параметризаций

Показано, что при уменьшении магнитного числа Рейнольдса разница между подсеточными моделями уменьшается для магнитной энергии и все предложенные подсеточные модели демонстрируют хорошее согласование с результатами DNS при малых значениях магнитного числа Рейнольдса При увеличении магнитного числа Рейнольдса растет роль подсеточных замыканий в моделировании сжимаемой МГД-турбулентности и уменьшается скорость диссипации магнитной энергии Наилучшие результаты показали модели Смагоринского, Колмогорова и модель, основанная на перекрестной спиральности для временной эволюции магнитной энергии Такое же поведение наблюдается и для перекрестной спиральности роль подсеточных параметризаций растет при увеличении магнитного числа Рейнольдса Для кинетической энергии при уменьшении магнитного числа Рейнольдса наблюдалось большее расхождение в результатах LES при применении различных подсеточных параметризаций Модель подобия масштабов продемонстрировала наихудшие результаты, остальные подсеточные замыкания увеличили точность расчетов Для временной динамики турбулентных напряжений, как магнитных, так и кинетических, характерно увеличение влияния на результаты моделирования МГД-турбулентности подсеточных параметризаций при увеличении магнитного числа Рейнольдса Роль анизотропии в расчетах и расхождение LES- и DNS-результатов для анизотропии турбулентности увеличивались при уменьшении магнитного числа Рейнольдса

При изменении гидродинамического числа Рейнольдса результаты расчетов вели себя качественно похожим образом, это связано с тем, что начальные условия для магнитного поля, поля скоростей не изменялись, поэтому в наших вычислениях влияние на выбор подсеточной параметризации от гидродинамического (или тейлоровского) числа Рейнольдса зависит слабо Подсеточные модели Смагоринского, Колмогорова, смешанная и модель, основанная на перекрестной спиральности скорости и магнитного поля, показывают адекватные результаты и хорошее приближение к DNS-результатам

Число Маха оказывает существенное влияние на результаты вычислений При увеличении звукового числа Маха увеличивалось расхождение в результатах DNS и LES для кинетической энергии Модель Смагоринского и модель, основанная на перекрестной спиральности, для кинетической энергии показали наилучшее согласование с DNS при различных числах Маха Для магнитной энергии, наоборот, наблюдалось уменьшение разброса в результатах при увеличении числа Маха Следует заметить, что при уменьшении числа Маха магнитная энергия быстрее выходит на стационарный уровень Для перекрестной спиральности магнитного поля и скорости модель Смагоринского показала лучшие результаты, как для высоких чисел Маха, так и для низких Асимметрия компонент скорости, рассчитанная с использованием LES, лучше совпадает с результатами DNS при увеличении числа Маха На асимметрию компонент магнитного поля выбор подсеточных параметризаций практически не оказал влияния При увеличении числа Маха турбулентные напряжения, рассчитанные при помощи LES, лучше согласовались с результатами DNS

Подсеточные модели меньше всего оказали влияние на временную эволюцию пологости и асимметрии (модель без подсеточных замыканий также демонстрирует сравнительно хорошее согласование с DNS результатами), это связано с тем, что анизотропия и перемежаемость являются свойствами крупномасштабных структур, а различия между подсеточными моделями и моделью без подсеточных замыканий имеют место на мелких масштабах турбулентного течения

Показано, что наилучшие результаты демонстрируют расширенная модель Смагоринского для МГД-случая и модель, основанная на перекрестной спиральности магнитного поля и поля скоростей Модель подобия масштабов не обеспечивала достаточной диссипацией кинетическую и магнитную энергию и эту модель следует использовать только вместе с моделями вихревой вязкости (например, с моделью Смагоринского), что является основной идеей смешанной модели

Вторая глава диссертации посвящена разработке метода крупных вихрей для сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности теплопроводящей плазмы, где для замыкания системы МГД-уравнений использовалось уравнение полной энергии, и исследованию сжимаемой МГД-турбулентности при различных числах Маха

В главе представлена полная система уравнений сжимаемой магнитной гидродинамики электро- и теплопроводящей жидкости, исходные уравнения МГД приводятся к безразмерному виду Получены отфильтрованные по Фавру уравнения для полной системы МГД-уравнений теплопроводящей жидкости, которая используется в методе

крупных вихрей для моделирования трехмерной сжимаемой турбулентности

(20)

Э р + д ра1 = ( Э/ Ьх]

дри, э ___рг х 1 ^ вг 1 эт;

+ = (21)

ЭЯ, Э ,„-5- 1 Э2В, Эг*

"эГ+ " (22)

Э/?£ + Э Э< Эх

Э V Йж _ЩЛ,__ э 1 1 _1 1 (23)

дх^мГ1 % дх, ~ + + Мг,'

Здесь Е = ре+\ри,и,+ 1 2 В1В1 - полная энергия, -- Тр

+ .--[(Е + Р)и, -11В,В,гГ,]+^ [ - 1 ггд]-

/ ' ' Мгл ' 1 а Эх/РгЯеМ^у-!) Яе •

е =

используется уравнение состояния в виде ~р - г

2 2Л/„ ' '

э?

внутренняя энергия, ц. = -&(, -) - диссипация, связанная с

Ъх,

теплопроводностью (закон Фурье) Для замыкания системы

г:р

уМ ,

Наличие уравнения для полной энергии в системе МГД-уравнений значительно усложняет решение задачи методом крупных вихрей Влияние мелкомасштабной турбулентности на отфильтрованную часть уравнений магнитной гидродинамики определяется через подсеточные слагаемые в правой части уравнений (21) - (23) Для определения

тензора подсеточных напряжений г," и магнитного подсеточного тензора

напряжений г* применялась модель Смагоринского для МГД-турбулентности (6) - (8)> подробно рассмотренная в первой главе Для определения подсеточного потока тепла QJ = р((и^У -и^) и

турбулентной подсеточной диффузии JJ-р((и^кик)~-Н^икик)~) в уравнении полной энергии использовались параметризации в виде

•г, (25)

В отличие от гидродинамики нейтрального газа, в магнитогидродинамике заряженной жидкости появляются сразу несколько новых подсеточных слагаемых в отфильтрованном уравнении полной энергии, для которых в данной главе разработана теория для их параметризаций Для того чтобы получить подсеточные модели для подсеточных слагаемых в уравнении энергии, возникающие из-за наличия магнитного поля, была использована теория, основанная на вычислении обобщенных центральных моментов Данный подход в диссертационной работе был расширен и применен к МГД-случаю, в итоге для потока подсеточной магнитной энергии

Vj = (B/cBkuj ~BjBflj) и подсеточной энергии взаимодействия

магнитного натяжения и скорости Gj - ~ ^к^к^к) была

получена следующая подсеточная модель

(26)

Также в данной главе приведены соотношения для определения модельных констант в рассмотренных подсеточных замыканиях при помощи динамической процедуры

Во второй главе представлены результаты моделирования затухающей сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности методом LES при различных звуковых числах Маха когда течение слабосжимаемое, когда сжимаемость играет существенную роль, третий случай соответствует появлению сильных разрывов в сверхзвуковом сжимаемом МГД-течении Полученные численные результаты LES проанализированы на основе сравнения с результатами численных экспериментов, выполненных прямым численным моделированием для теплопроводящей заряженной жидкости Изучена временная динамика кинетической, магнитной энергии, перекрестной спиральности между магнитным полем и скоростью, средней температуры, температурной асимметрии, параметра, характеризующего флуктуации температуры, при различных числах Маха Показано, что анизотропия главным образом свойство крупномасштабных структур, и различия между подсеточными замыканиями и моделью без подсеточных параметризаций имеют место в основном на мелких масштабах турбулентного течения

Продемонстрировано, что на кинетическую и магнитную энергию учет подсеточных слагаемых в уравнении полной энергии почти не оказывает никакого эффекта, даже при высоких числах Маха, в то же время для температуры (соответственно и для внутренней энергии) наличие подсеточных моделей в уравнении полной энергии является важным условием для повышения точности вычислений термодинамических величин Указано, что при увеличении значения

числа Маха увеличиваются осцилляции кинетической энергии и температуры, так как при повышении звукового числа Маха увеличивается влияние вязкости и возрастает роль нелинейных эффектов, что приводит к усилению осцилляций и флуктуаций характеристик турбулентного течения.

В данной главе показано, что ЬЕБ-метод с использованием явной средневзвешенной фильтрации демонстрирует хорошие результаты при моделировании теплопроводящей плазмы в сжимаемой МГД-турбулентности при различных числах Маха.

В третьей главе, используя преимущества метода крупных вихрей, исследуется нетривиальный режим сжимаемой магни ^гидродинамической турбулентности космической плазмы, когда исходно сверхзвуковые флуктуации переходят в слабосжимаемый режим! Изучаются спектры плотности и энергии турбулентности в этом режиме, изменение намагниченности плазмы со временем и свойства анизотропии сжимаемой МГД-турбулентности. Полученные результаты используются для интерпретации данных о флуктуациях плотности в локальной межзвездной среде.

Метод крупных вихрей, разработанный в первой главе, используется для моделирования сжимаемой затухающей МГД-турбу-

лентности в политропном случае. Показано что имеется возможность существования режима слабо-сжимаемых турбулентных пульсаций, когда флуктуации плотности являются пассивным скаляром. Для этого получена временная эволюция турбулентного мелкомасштабного числа Маха и дивергенции скорости. Как видно из рис. 1, локальное турбулентное число Маха уменьшается со временем со сверхзвукового значения до дозвукового режима. Показано, что турбулентный каскад, связанный с нелинейными взаимодействиями в комбинации с диссипативными эффектами на мелких масштабах, приводит к тому, что сверхзвуковые плазменные флуктуации затухают достаточно сильно к дозвуковым флукгуациям в электропроводящем течении, и МГД-турбулентность становится

Рис.1. Затухание турбулентного мелкомасштабного числа Маха со временем. Наблюдается переход из сверхзвукового режима к дозвуковому.

слабосжимаемой. Таким образом, результаты численного моделирования показали, что существенно сжимаемое турбулентное течение становится слабосжимаемым.

Рис.2. Спектр кинетической энергии (слева). Нормализованный (умноженный на к*') сглаженный спектр кинетической энергии (справа). Видно, что степенной показатель спектра близок к к 'для большей части турбулентного каскада. Однако существует четко выраженный инерционный интервал колмогоровского типа /с 5'.

Рис.3. Спектр плотности - сплошная линия, спектр флуктуаций плотности -пунктирная линия (слева). Нормализованный (умноженный на к*"сглаженный спектр флуктуаций плотности (справа). На рисунке (слева) оба графика имеют показатель спектра близкий к к"3. Также существует четко выраженный инерционный интервал колмогоровского типа к~5Пдля флуктуаций плотности (справа), что подтверждает наблюдательные данные.

Из рис. 2 и 3 видно, что спектры кинетической энергии, плотности и флуктуаций плотности демонстрируют практически аналогичное поведение в Фурье-пространстве и имеют близкие показатели степени. Проиллюстрировано также, что в спектрах кинетической энергии (рис. 2) и флуктуаций плотностей (рис. 3) существует инерционный интервал турбулентности колмогоровского типа, причем практически при таких же волновых числах. Таким образом, сделан вывод, что флуктуации плотности являются пассивной примесью в умеренно сжимаемом течении дозвуковой турбулентности, что объясняет данные наблюдений со спутников турбулентности локального межзвездного газа.

В этой главе также показано, что со временем уменьшаются энергосодержащие крупные масштабы турбулентности, амплитуда спектра энергии также ослабевает, что соответствует диссипации рассматриваемого сжимаемого МГД-течения. Отмечено, что увеличивается диссипативный интервал в турбулентном каскаде энергии и уменьшается инерционный интервал, что соответствует уменьшению со временем гидродинамического числа Рейнольдса в затухающей турбулентности.

Переход плазмы от существенно сжимаемого турбулентного течения к слабосжимаемому МГД-

течению в локальной межзвездной среде не только преобразовывает сверхзвуковое движение в дозвуковое, но также приводит к ослаблению намагниченности плазмы. В режиме, когда существенно сжимаемые плазменные

флуктуации затухают, намагниченность плазмы падает и плазменная бета (отношение плазменного давления к магнитной энергии) с низкого значения увеличивается до состояния с высоким значением, как видно из рис. 4. Из временной динамики сжимаемого МГД-течения следует, что магнитозвуковые флуктуации ослабевают быстрее, чем альфвеновские. Частицы плазмы, связанные с магнитными силовыми линиями, выталкиваются из их гироорбит вследствие того, что

Рис.4. Временная эволюция турбулентной плазменной беты в сжимаемой МГД турбулентности. Плазма из сильно намагниченной в начальный промежуток времени со временем становится менее намагниченной.

увеличивается доминирующая роль плазменного давления по сравнению с магнитной энергией Это приводит, в конечном счете, к ослаблению намагниченности плазмы, а следовательно, плазменных флуктуаций, и переходу к режиму с высоким значением плазменной беты и дозвуковому слабосжимаемому течению

В данной главе продемонстрировано, что МГД-турбулентность в условиях локальной межзвездной среды является анизотропной, что подтвердило данные наблюдений Получено различное поведение компонент скорости в спектральном каскаде при малых волновых числах для х-, у- и т. - компонент поля скорости и почти отсутствие различий при больших Фурье-модах, что означает возникновение турбулентных анизотропных каскадов, главным образом, на больших масштабах Также показано, что при больших значениях волнового числа, что соответствует мелким масштабам, спектр является изотропным

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и результаты работы

Положения, выносимые на защиту

1 Сформулирован метод крупных вихрей для сжимаемой МГД-турбулентности политропной космической плазмы, показано, что в этом случае подсеточные модели получаются комбинацией и обобщением известных подсеточных слагаемых в гидродинамике сжимаемой нейтральной жидкости и несжимаемой магнитной жидкости

2 Исследованы предложенные подсеточные параметризации и выявлены подсеточные модели, которые демонстрируют наиболее точные результаты при моделировании затухающей сжимаемой МГД-турбулентности при различных числах подобия Показано, что расширенная модель Смагоринского для сжимаемого МГД-случая и модель, основанная на перекрестной спиральности магнитного поля и скорости, обеспечивают наиболее точные численные результаты

3 Разработан метод крупных вихрей для сжимаемой МГД-турбулентности электро- и теплопроводящей жидкости и показано, что появляются принципиально новые подсеточные слагаемые в отфильтрованном уравнении полной энергии вследствие наличия магнитного поля Предложена теория подсеточных турбулентных течений для новых подсеточных слагаемых для замыкания системы

• отфильтрованных по Фавру МГД-уравнений Проведено моделирование сжимаемой МГД-турбулентности при различных числах Маха и показана применимость метода крупных вихрей к

моделированию теплопроводящей плазмы при малых и умеренных числах Маха

4 Исследована динамика флуктуаций плотности в космической плазме методом крупных вихрей Установлено, что исходно сильно сжимаемые флуктуации становятся слабосжимаемыми и спектр флуктуаций плотности воспроизводит спектр кинетической энергии, это соответствует тому, 'что флуктуации плотности переносятся магнитогидродинамическим течением в режиме пассивной примеси Это позволило подтвердить гипотезу о слабосжимцемой природе флуктуаций плотности, наблюдаемых в локальной межзвездной среде

5 Исследованы свойства спектров энергии со временем Установлено, что со временем уменьшаются энергосодержащие крупные масштабы турбулентности, амплитуда спектров также ослабевает Показано, что увеличивается диссипативный интервал в энергетическом каскаде и уменьшается инерционный интервал Исследованы свойства анизотропии МГД-турбулентности космической плазмы в условиях локального межзвездного газа Показано, что крупномасштабное магнитогидродинамическое течение является анизотропным, а мелкомасштабное - изотропным в турбулентности локальной межзвездной среды

Публикации по теме диссертации

1 Chernyshov А А , Karelsky К V , Petrosyan A S Subgrid-scale modeling in large-eddy simulations of compressible magnetohydrodynamic turbulence/1 Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling 2006 V 21 N 1 P 1-20

2 Chernyshov A A , Karelsky К V , Petrosyan A S Large-eddy simulation of magnetohydrodynamic turbulence in compressible fluid //Physics of Plasmas 2006 V 13 N 3 P 032304-032304-9

3 Chernyshov A A , Karelsky К V , Petrosyan A S Subgrid-scale modelling of compressible magnetohydrodynamic turbulence in heat-conducting plasmall Physics of Plasmas 2006 V 13 N 10 P 104501104501-4

4 Chernyshov A A , Karelsky К V , Petrosyan A S Development of large eddy simulation for modeling of decaying compressible magnetohydrodynamic turbulence// Physics of Fluids 2007 V 19 N 5 P 055106-055106-14

5 Chernyshov A A , Karelsky K V , Petrosyan A S Assessment of subgrid-scale models for decaying compressible MHD turbulence/1 Flow, Turbulence and Combustion 2008 V 20 N 1 P 21-35

6 Chernyshov A A , Karelsky K V , Petrosyan A S Large Eddy Simulation of Compressible Magnetohydrodynamic Turbulence in Heat-conducting Plasma/1 In Advances in Turbulence XI Proceedings of the EUROMECH European Turbulence Conference 2007 P 20-22 ISSN 0930-8989 ISBN 978-3-540-72603-6 Springer, Berlin, Heidelberg, New York

055(02)2 Ротапринт ИКИ PAH

Москва, 117997, Профсоюзная, 84/32

Подписано к печати 14 03 2008

Заказ 2128

Формат 70x108/32

Тираж 100

0,8 уч -изд л

Введение

Глава 1. Метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности политропной плазмы турбулентности

1.1 Введение.

1.2 Уравнения магнитной гидродинамики

1.3 Формулировка метода крупных вихрей.

1.4 Подсеточное моделирование.

1.4.1 Модель Смагоринского для МГД турбулентности.381.4.2 Модель Колмогорова для МГД турбулентности.

1.4.3 Модель, основанная на перекрестной спиральности.

1.4.4 Модель подобия масштабов для МГД турбулентности.

1.4.5 Смешанная модель для МГД турбулентности.

1.4.6 Динамическая процедура определения констант.

1.5 Численные методы, используемые при моделировании сжимаемой МГД турбулентности.

1.6 Численное моделирование затухающей МГД турбулентности.

1.6.1 Прямое численное моделирование.

1.6.2 Метод крупных вихрей.

1.7 Выводы.

Глава 2. Метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности теплопроводящей плазмы

2.1 Введение.

2.2 Уравнения магнитной гидродинамики теплопроводящей жидкости

2.3 Отфильтрованные уравнения магнитной гидродинамики тепло-проводящей жидкости.

2.4 Параметризации подсеточных слагаемых для сжимаемой магнито-гидродинамической турбулентности.

2.5 Численное моделирование и анализ результатов расчетов.

2.6 Выводы.

Глава 3. Установление слабо сжимаемого режима в МГД турбулентности космической плазмы и свойства турбулентности локальной межзвездной среды

3.1 Введение.

3.2 МГД модель и численное исследование локальной межзвездной среды

3.3 Анализ результатов моделирования и теоретическая интерпретация

3.3.1 Свойства сжимаемости среды.

3.3.2 Динамика намагниченности плазмы.

3.3.3 Турбулентные спектры локальной межзвездной среды.

3.3.4 Анизотропная турбулентность.

3.4 Выводы.

Это очень просто мои дорогие: потому что политика гораздо сложнее, чем физика.

Альберт Эйнштейн

Сжимаемая магнитогидродинамическая (МГД) турбулентность является широко распространенным состоянием космической плазмы во многих астрофизических, гелиофизических, геофизических процессах. Например, в аккреционных дисках МГД турбулентность вызвана магнито-ротационной неустойчивостью [6, 49, 92]. Формирование звездных облаков вследствие эффектов магнитного поля и гравитации происходит в турбулентных условиях [12, 67, 123]. Динамика межзвездной и межпланетной среды также имеет турбулентный характер [32, 110, 121]. Большинство турбулентных явлений в физике Солнца описываются в рамках МГД: солнечный ветер, расширение солнечной короны, конвективная зона, фотосфера, солнечный тахоклин [68, 69, 115, 135]. Явления турбулентности наблюдаются в околоземном пространстве как в солнечном ветре, так и в в различных областях магнитосферы Земли, в частности, в дальней области геомагнитного хвоста наблюдаемые спутниками свойства космической плазмы адекватно можно объяснить только в рамках теории и моделей турбулентности [46, 119, 139]. Магнитогидродинамическая турбулентность является важным процессом при возникновении динамо-процессов и генерации магнитного поля в космических условиях [38, 55, 113, 136, 138]. Турбулентные течения в магнитном поле также широко распространены и в прикладных областях. Среди инженерных применений можно указать возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку [9, 58], магнитогидродинамическис течения в каналах [59], в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов [91].

Возникновение турбулентности связано с неустойчивостью исходного состояния космической плазмы. Вследствие неустойчивости амплитуда колебаний в электропроводящей жидкости нарастает до нелинейного уровня, при котором становятся существенными сложные процессы взаимодействия и взаимной трансформации колебаний. Как известно, при больших скоростях потока, то есть при больших числах Рейнольдса (характеризует отношение сил инерции к вязким силам), течение становится неустойчивым и разбивается на крупномасштабные вихри. Нелинейное взаимодействие между вихрями приводит к непрерывному дроблению их масштабов, происходящему вплоть до малых масштабов, для которых существенно затухание, обусловленное молекулярной вязкостью. Дробление масштабов вихрей соответствует перекачке энергии турбулентных движений из длинноволновой в коротковолновую область спектра. В результате в потоке появляются беспорядочные вихри разных размеров, и скорость потока в каждой точке меняется случайным образом. Кроме того, важнейшей особенностью турбулентности в космических условиях является наличие в ней случайных магнитных полей наряду со случайными значениями скорости. Для таких течений существенную роль играют эффекты нелинейности, вязкости, диффузии, сжимаемости, турбулентность является трехмерной, поэтому численное моделирование сжимаемой МГД является важным инструментом для исследования заряженной жидкости в таких МГД течениях. К тому же, плазма в космических условиях, как правило, не доступна для непосредственного экспериментального изучения.

Наиболее подробную информацию о турбулентном течении жидкости можно получить с помощью прямого численного моделирования - DNS (Direct numerical simulation) [89], которое заключается в численном решении полной нестационарной системы магнитогидродипамических уравнений. При таком подходе разрешаются все масштабы движения заряженной жидкости. Метод DNS не требует специальных замыканий для уравнений магнитной гидродинамики. Прямой численный расчет МГД турбулентности сталкивается с принципиальными трудностями, связанными с большими гидродинамическими и магнитными числами Рейнольдса, которые характерны для исследуемых процессов, так как в этом случае число степеней свободы турбулентного движения велико и минимальное количество узлов на численной сетке должно быть столь большим, что ограничивает применение прямого численного моделирования для изучения турбулентных течений с реальными характерными числами Рейнольдса.

Осборн Рейнольде предложил статистический подход для исследования турбулентных течений [88], который заключается в осреднении уравнений движения - RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes). В методе RANS все параметры движения разлагаются на среднюю и турбулентную составляющие. В уравнении Навье-Стокса появляются рейнольдсовские напряжения, которые необходимо замкнуть. Следовательно, вся турбулентность моделируется (например, к—е модель [140, 141]), а не высчитывастся, как в методе DNS. Метод RANS обычно используется для теоретических исследований средних течений [23]. Этот подход не содержит информации о динамике турбулентности.

Метод крупных1 вихрей LES (Large eddy simulation) - это метод, который описывает приближенную динамику турбулентности, где крупномасштабная часть турбулентного потока высчитывается непосредственно, а мелкомасштабная -моделируется, то есть LES является промежуточным подходом к изучению турбулентности между DNS и RANS. Это видно на рисунке 1.1, который показывает различие между тремя вычислительными методами, применяемыми для исследования турбулентности.

В методе LES используется операция фильтрации для разложения характеристик турбулентного движения на крупномасштабную и мелкомасштабную части, что связано с достаточной изотропностью, однородностью и универсальностью мелких масштабов турбулентного движения. Мелкомасштабное движение исключается из исходной системы уравнений движения с применением процедуры фильтрации и дальше их влияние па движение моделируется с использованием подсеточных моделей SGS (subgrid scale) (или, другое название, SFS (subfilter scale)), выраженных через отфильтрованные параметры турбулентных течений. Крупномасштабное

Рис. 1. Розница между численными методами DNS, FLANS и LES. движение рассчитывается из решения отфильтрованных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики. LES является методом для моделирования течений с большими числами Рсйнольдса, так как в методе крупных вихрей предполагается, что энергия переносится от больших масштабов к малым только внутри инерционного интервала, поэтому число степеней свободы будет меньше, чем в методе DNS, следовательно, LES требует значительно меньших вычислительных затрат по сравнению с DNS.

Изначально метод крупных вихрей развивался для моделирования гидродинамической турбулентности нейтральной жидкости [29, 34, 44, 63, 71, 84| для изучении задач метеорологии и океанологии. Большая часть работ была выполнена для несжимаемых течений. Использования LES к сжимаемым средам встречается значительно реже, вследствие увеличения сложности задачи из-за необходимости решения уравнения энергии. В отфильтрованном уравнении энергии появляются сразу несколько дополнительных подсеточных (SGS) слагаемых, которые необходимо параметризовать. Впервые LES рассматривался и использовался к сжимаемой жидкости в работе (98]. Первые применения метода LES к сжимаемым течениям рассматривали транспортное уравнения для внутренней энергии на единицу массы [31, 73], для давления [108] или для удельной энтальпии ]33, 98). В работах [103, 105] было предложено использовать уравнение полной энергии для замыкания системы гидродинамических уравнений нейтральной жидкости, причем некоторые подсеточные слагаемые имеют точно такой же вид, как и в уравнениях внутренней энергии или энтальпии. Подробная информация о различных подсеточных моделях метода крупных вихрей для случая сжимаемой жидкости содержится в работе [70]. В этой статье авторы рассматривают и тестируют параметризации для различных видов уравнений энергии: внутренней энергии, энтальпии и полной энергии.

Метод LES к течениям электропроводящей жидкости применялся и исследовался крайне мало. Все предыдущие работы в этом направлении ограничивались только рассмотрением несжимаемой жидкости для решения индустриальных задач. В работах [1, 47, 77, 78, 107, 114] авторы использовали LES для изучения несжимаемой МГД турбулентности, в статье [51] рассматривалось влияние магнитного поля в методе LES на течение несжимаемой проводящей жидкости при низких значениях магнитного числа Рейнольдса без использования уравнения для магнитной индукции. Во всех вышеупомянутых статьях несжимаемая система МГД уравнений рассматривалась без использования уравнения энергии. Для замыкания системы уравнений магнитной гидродииамики предполагалась политропность (или адиабатичность) процесса, или давление рассматривалось лишь как пассивная величина, которая обеспечивала несжимаемость МГД турбулентности. Тем не менее, многие течения электропроводящей жидкости не могут быть описаны в рамках несжимаемой среды, или сжимаемыми уравнениями в приближении политропии, а необходимо рассматривать теплопроводящую жидкость с использованием уравнения энергии. Применение LES для сжимаемой тенлопроводящей МГД жидкости значительно усложняется из-за того, что нужно решать уравнение энергии, в котором появляются дополнительные слагаемые из-за наличия магнитного поля. К тому же, после фильтрации появляются добавочные подсеточные члены, требующие разработки теории для их параметризации.

Вообще, полные нелинейные трехмерные уравнения магнитной гидродинамики (включая диссипативные, тепловые, диффузионные и сжимаемые эффекты) столь сложны, что поддаются лишь приближенному численному решению. Однако, из-за того, что для космических МГД течений характерны большие числа Рейнольдса и числа Маха отличны от нуля, моделирование сжимаемой МГД турбулентности ограничено вычислительными ресурсами и встречается намного реже, чем для несжимаемых сред. Поэтому зачастую пользуются упрощенными моделями, пренебрегая некоторыми эффектами. Например, моделирования идеальных МГД течений, когда пренебрегают диссипацией и теплопроводностью и считают, что проводимость плазмы бесконечная [7]. В этом случае система МГД уравнений становится гиперболической, а пе параболической, как для диссипативной системы уравнений, что упрощает численные решения, так как можно использовать хорошо развитые году поиск ие схемы различного порядка точности (в результате решение трехмерной задачи сводится к решению серии одномерных задач, численные потоки в каждом пространственном направлении вычисляются на основе соответствующей одномерной задачи Римана о распаде произвольного разрыва [128]). Существуют несколько работ, где используют TVD схемы, ENO/WENO схемы, схем на основе принципа минимального значения производной и т.д. для решения уравнений вязкого сжимаемого газа для МГД случая [102] путем добавления численных вязких потоков к соответствующим невязким потокам, однако это часто нарушает монотонность разностной схемы и может привести к некорректным результатом, обычно подобного рода реконструкции используются для невязкой жидкости. Иногда используют квазиупругое приближение (anelastic approximation) [42, 43, 57] для МГД моделирования, когда предполагается, что звуковые моды отсутствуют или стационарны, однако такого рода приближение используются в основном только при моделировании конвективных зон Солнца и звезд. Часто межзвездную и межпланетную среду, а также солнечный и звездный ветер, рассматривают предполагая политропное (или адиабатическое) соотношение между плотностью и давлением для замыкания системы уравнений, в этом случае соображения о температуре процесса не являются основными и система сжимаемых МГД уравнений решается без уравнения энергии [15, 24, 32, 45, 69, 94]. Еще одним упрощением является рассмотрение сжимаемой двухмерной МГД турбулентности [25, 41, 56, 83], причем в работах [25, 83] в качестве начальных условий для скорости и магнитного поля использовалось детерминированное, неслучайное распределение (так называемый вихрь Орсзага-Танга [72, 81]), однако случайное распределение начальных значений скорости и магнитного поля является более подходящим условием для космических применений в МГД моделировании. Подробное влияние магнитного числа Рейнольдса на двумерное магнитогидродинамическое течение при различных начальных условиях описывается в работе [56]. Двухмерная МГД турбулентность существенно отличается от трехмерной турбулентности, так как в двухмерном потоке (если пренебречь вязкостью) сохраняется средняя завихренность, в то время как в трехмерном вихревые трубки деформируются и завихренность не является инвариантом движения, также турбулентные дипамо-процессы и генерация крупномасштабного магнитного поля возможны только в трехмерном случае МГД турбулентности [131]. Иногда при вычислении космических течений предполагают, что плазменная бета (отношение давления плазмы к энергии магнитного поля) столь велико,' что пренебрегают магнитным полем и задача сводится к гидродинамической и решается система уравнений для движения нейтральной жидкости [26-28].

Исследование сжимаемой турбулентности как в гидродинамике нейтральной жидкости, так и в магнитогидродинамике является трудной задачей, поскольку не существует аналитической или приближенной теории таких явлений. Однако, несмотря на существенную роль сжимаемости в космической плазме, целый ряд наблюдений показывает воспроизведение колмогоровского спектра флуктуаций плотности [3—5, 97] (этот факт продемонстрирован на рисунке 2). На рисунке 2 приведен трехмерный спектр плотпости электронов в межзвездной среде, полученный с помощью различных прямых и косвенных наблюдений [5], в работе [5] поясняются различные наблюдательные методы, изображенные на этом рисунке. Для интерпретации таких наблюдений была предложена теория "почти несжимаемой"(nearly incompressible) среды, которая описывает флуктуации плотности в гидродинамике нейтрального [111] и магнитного [112] газа в режиме переноса пассивного скаляра. В работе [28] аналитическая теория для сжимаемого нейтрального газа была подтверждена прямым численным моделированием только для двухмерного случая. В работе [94] прямым численным моделированием было показано, что в сжимаемой магнитогидродинамике существует аналогичный эффект уменьшения локального турбулентного числа Маха со сверхзвукового режима в дозвуковой, что соответствует режиму преобразования сверхзвуковых турбулентных

1од10(»ро1ю1 иа^епитЬвг, к (т '))

Рис. 2. Трехмерный спектр плотности электронов в межзвездной среде, полученный с помощью различных прямых и косвенных наблюдений /5/. Сплошная линия демонстрирует колмогоровский спектр определенный здесь без учета к-пространственного объемного коэффициента к2. флуктуаций в дозвуковые. Однако в этой работе в силу ограничений метода прямого численного моделирования не удалось получить спектры плотности и кинетической энергий и показать их совпадения и реализацию пассивного режима для плотности в сжимаемой МГД турбулентности. Несмотря на это авторы этой работы [94] используют эти результаты для интерпретации спутниковых данных о солнечном ветре и локальной межзвездной среде.

Цель работы

Разработать метод крупных вихрей для исследования сжимаемой магнито-гидродинамической турбулентности политропной плазмы. Расширить параметризации подсеточных явлений на случай присутствия эффектов сжимаемости и магнитного поля. Исследовать применимость различных подсеточных параметризаций для различных параметров подобия.

Разработать метод крупных вихрей для теплопроводящей плазмы в сжимаемой МГД турбулентности и разработать теорию принципиально новых подсеточных слагаемых, возникающих в методе крупных вихрей из-за присутствия магнитного поля и флуктуаций температуры.

Осуществить численное моделирование методом крупных вихрей затухающей сжимаемой МГД турбулентности в политропном газе и теплопроводящей плазме. Сравнить результаты моделирования метода крупных вихрей с результатами, полученные методом прямого численного моделирования.

Исследовать спектры флуктуаций плотности и энергии в сжимаемой магиитогидродинамической турбулентной плазме для политропного уравнения состояния. Показать возможность существования режима слабосжимаемых турбулентных пульсаций, когда флуктуации плотности являются пассивным скаляром.

Применить результаты моделирования для интерпретации известных спутниковых данных о флуктуациях плотности межзвездной среды. Исследовать свойства анизотропии сжимаемой турбулентности и намагниченности плазмы в условиях локальной межзвездной среды.

Научная новизна работы

Метод крупных вихрей ранее хорошо зарекомендовал себя для изучения гидродинамических течений атмосферы и океана, а также многих промышленных течений. Все имеющиеся предыдущие работы рассматривали либо течения несжимаемой жидкости, в том числе и магнитной, либо течения сжимаемой нейтральной жидкости без магнитного поля. В диссертационной работе впервые метод крупных вихрей сформулирован и реализован для изучения сжимаемых турбулентных течений космической плазмы, как в случае политропного газа, так и для теплопроводящей плазмы в магнитогидродинамическом приближении. Применение этого метода к изучению космической плазмы позволило впервые продемонстрировать наличие нетривиального режима, при котором спектры флуктуаций плотности воспроизводят спектры кинетической энергии турбулентности, и сделать вывод о режиме пассивного переноса плотности в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности, а также изучить временную динамику намагниченности плазмы и свойств анизотропии. Эти результаты позволили подтвердить гипотезы относительно спектров флуктуаций турбулентности локального межзвездного газа.

Практическая и научная ценность работы

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования сжимаемых МГД течений, поскольку предложенный метод крупных вихрей позволяет исследовать турбулентные течения с существенно более высокими числами Рейнольдса, что особенно важно для проблем космической плазмы.

В работе определены наилучшие подсеточпые модели при различных числах подобия для моделирования сжимаемой политропной космической плазмы. Предложенные новые параметризации подсеточных. слагаемых для описания турбулентности теплопроводящей плазмы могут быть использованы для изучения процессов в различных инженерных течениях, например, возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку, магнитогидродинамические течения в каналах, в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов.

Результаты исследований слабосжимаемого режима МГД турбулентности объяснили имеющиеся данные наблюдений межзвездного газа и могут быть использованы для планирования их новых наблюдений в космических проектах.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается сравнением результатов, полученных методом крупных вихрей, с результатами исследования сжимаемой МГД турбулентности методом прямого численного моделирования, применением хорошо обоснованных численных методов, устойчивостью и сходимостью использованных разностных схем. Достоверность результатов третьей главы обеспечивается сравнением с имеющимися данными наблюдений межзвездной среды и приближенными теориями.

Публикации

Основное содержание настоящей диссертации опубликовано в реферируемых российских и зарубежных изданиях [16-22].

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на российских и международных научных конференциях и симпозиумах:

- ХЬУП и ХШП научных конференциях МФТИ, Москва, 2004-2005

- Конференциях молодых ученых, посвященных дню космонавтики, ИКИ РАН, Москва, 2005-2006

- XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", конференции молодых ученых, Нижний Новгород, 2006

- XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2006

- European Geosciences Union, EGU, Vienna, Austria, 2005

- Conference on Turbulence and Interactions TI2006, Porquerolles, France, 2006

- 8th International School/Simposium for Space Simulations (ISSS-8), Kauai, USA, 2007

- International School of Space Science "Turbulence and Waves in Space Plasmas", L'Aquila, Italy, 2007

Личный вклад автора

Автор принимал участие в формулировке задач и выборе методов их решения. Все численные и теоретические результаты, представленные в настоящей диссертации, а также сравнение с данными наблюдений, разработка численных алгоритмов, были получены лично автором диссертации.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

Сформулирован метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности политропной космической плазмы, показано, что в этом случае подсеточные модели получаются комбинацией и обобщением известных нодсеточпых слагаемых в гидродинамике сжимаемой нейтральной жидкости и несжимаемой магнитной жидкости. Исследованы предложенные подсеточные параметризации и выявлены подсеточные модели, которые демонстрируют наиболее точные результаты при моделировании затухающей сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности при различных числах подобия. Показано, что расширенная модель Смагорипского для сжимаемого МГД случая и модель, основанная на взаимной спиральности магнитного поля и скорости, обеспечивают наиболее точные численные результаты.

Разработан метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности электро-и теплопроводящей жидкости и показано, что появляются принципиально новые подсеточные слагаемые в отфильтрованном уравнении полной энергии вследствие наличия магнитного поля. Предложена теория подсеточных турбулентных течений для новых подсеточных слагаемых для замыкания системы отфильтрованных по Фавру МГД уравнений. Проведено моделирование сжимаемой МГД турбулентности при различных числах Маха и показана применимость метода крупных вихрей к моделированию теплопроводящей плазмы при малых и умеренных числах Маха.

Исследована динамика флуктуаций плотности в космической плазме методом крупных вихрей. Установлено, что исходно сильно сжимаемые флуктуации становятся слабосжимаемыми и спектр флуктуаций плотности воспроизводит спектр кинетической энергии, это соответствует тому, что флуктуации плотности переносятся магнитогидродинамическим течением в режиме пассивной примеси. Это позволило подтвердить гипотезу о слабосжимаемой природе флуктуаций плотности, наблюдаемых в локальной межзвездной среде. Исследованы свойства спектров полной энергии со временем. Установлено, что со временем уменьшаются энергосодержащие крупные масштабы турбулентности, амплитуда спектров также ослабевает. Показано, что увеличивается диссипативный интервал в энергетическом каскаде и уменьшается инерционный интервал. Исследованы свойства анизотропии МГД турбулентности космической плазмы в условиях локального межзвездного газа. Показано, что крупномасштабное МГД течение является анизотропным, а мелкомасштабное - изотропным в турбулентности локальной межзвездной среды.

Заключение

Если бы природа имела столько законов, сколько имеет государство, сам Господь не в состоянии был бы управлять ею.

Людвиг Бёрне

1. Agullo, O., Miiller, W.-C., Knaepen, B., and Carati, D. (2001). Large eddy simulation of decaying inagnetohydrodynainic turbulence with dynamic subgrid-inodeling. Phys. Plasmas, 8(7), 3502-3505.

2. Anderson, J. D. (1995). Computational fluid dynamics: the basics with applications. McGraw-Hill, Inc., United States, 547 pages.

3. Armstrong, J. W., Cordes, J. M., and Rickett, B. J. (1981). Density power spectrum in the local interstellar medium. Nature, 291, 561-564.

4. Armstrong, J. W., Coles, W. A., Rickett, B. J., and Kojima, M. (1990). Observations of field-aligned density fluctuations in the inner solar wind. Astrophysical Journal, 358, 685-692.

5. Armstrong, J. W., Rickett, B. J., and Spangler, S. R. (1995). Electron density power spectrum in the local interstellar medium. Astrophysical Journal, 443(1).

6. Balbus, S. A., Hawley, J. F., and Stone, J. M. (1996). Nonlinear Stability, Hydro-dynamical Turbulence and Transport in Disks. Astrophysical Journal, 467, 76-86.

7. Balsara, D. (2001). Total Variation Diminishing Scheme for Relativistic Magneto-hydrodynamics. Astrophysical Journal Supplement, 132, 83-101.

8. Bardina, J., Ferziger, J. H., and Reynolds, W. C. (1980). Improved subgrid scale models for large eddy simulation. In AIAA 13th Fluid and Plasma Dynamics Conference, Snowmass, Colo, page 10.

9. Berger, T. W., Kim, J., Lee, C., and Lim, J. (2000). Turbulent boundary layer control utilizing the lorentz force. Phys. Fluids, 12(3), 631-649.

10. Berland, J., Bogey, C., and Bailly, C. (2006). Low-dissipation and low-dispersion fourth-order Runge-Kutta algorithm. Computers and Fluids, 35, 1459-1463.

11. Biskamp, D. (2003). Magnetohydrodynamic turbulence. Cambridge University Press, United Kingdom, 297 pages.

12. Boldyrev, S., Nordlund, A., and Padoan, P. (2002). Scaling Relations of Supersonic Turbulence in Star-forming Molecular Clouds. Astrophysical Journal, 573, 678-684.

13. Brandenburg, A. and Dobler, W. (2002). Hydromagnetic turbulence in computer simulations. Comp. Phys. Comm, 147, 471-475.

14. Brandenburg, A. and Subramanian, K. (2005). Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory. Physics Reports, 417, 1-209.

15. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Large-eddy simulation of magnetohydrodynamic turbulence in compressible fluid. Phys. Plasmas, 13(3), 032304.

16. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Subgrid-scale modelling of compressible magnetohydrodynamic turbulence in heat-conducting plasma. Phys. Plasmas, 13(10), 104 501.

17. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Subgrid-scale modelling in large-eddy simulations of compressible magnetohydrodynamic turbulence. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 21(1), 1-20.

18. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Large eddy simulation of compressible MHD turbulence. In Conference on Turbulence and Interactions TI2006. Porquerolles, France.

19. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2007). Assessment of subgrid-scale models for decaying compressible MHD turbulence. Flow, Turbulence and Combustion, doi 10.1007/sl0494-007-9100-8, 15 pages.

20. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2007). Development of large eddy simulation for modeling of decaying compressible magnetohydrodynamic turbulence. Physics of Fluids, 19(5), 055106.

21. Chkhetiany, 0. G., Moiseev, S. S., Petrosyan, A. S., and Sagdeev, R. Z. (2004). The large scale stability and self-organization in homogeneous turbulent shear flow. Phys. Scr, 49, 214-220.

22. Cho, J. and Lazarian, A. (2003). Compressible magnetohydrodynamic turbulence: mode coupling, scaling relations, anisotropy, viscosity-damped regime and astro-physical implications. Mon.Not.Roy.Astron.Soc., 345, 325-339.

23. Dahlburg, R. BT and'Picone, J. M. (1989): Evolution of the Orszag-Tang"vortex system in a compressible medium. I. initial average subsonic flow. Phys. Fluids B, 1, 2153.

24. Dastgeer, D. and Zank, G. P. (2004). Anisotropic density fluctuations in a nearly incompressible hydrodynamic fluid. Astrophysical Journal, 604(2), L125-L128.

25. Dastgeer, D. and Zank, G. P. (2004). Density spectrum in the diffuse interstellar medium and solar wind. Astrophysical Journal, 602(2), L29-L32.

26. Dastgeer, D. and Zank, G. P. (2005). Turbulence in nearly incompressible fluids: density spectrum, flows, correlations and implication to the interstellar medium. Nonlin. Processes Geophys., 12, 139-148.

27. Deardorff, J. W. (1970). A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers. J. Fluid Mech., 41, 453.

28. Eidson, T. M. (1985). Numerical simulation of the turbulent Rayleigh-Benard problem using subgrid modelling. J. Fluid. Mech., 158, 245-268.

29. El-Hady, N. M., Zang, T. A., and Piomelli, U. (1994). Application of the dynamic subgrid-scale model to axisymmetric transitional boundary layer at high speed. Phys. Fluids, 6(3), 1299-1309.

30. Elmegreen, B. G. and Scalo, J. (2004). Interstellar turbulence I: Observations and processes. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 42, 211.

31. Erlebacher, G., Hussaini, M., Speziale, C., and Zang, T. (1992). Toward the large-eddy simulation of compressible turbulent flows. J. Fluid. Mech., 238, 155-185.

32. Ezau, I. (2001). Large eddy simulation theory, models and experiments for the atmospheric boundary layer. An introductory essay, Uppsala Universitet, Sweden.

33. Favre, A. (1965). Equations des gaz turbulents compressible. I. Formes generales. J.Mee., 4, 361-390.

34. Ferziger, J. (1996). Large eddy simulation. In T. Gatski, Y. Hussami, and J. Lum-ley, editors, Simulation and Modeling of Turbulent Flows, pages 109-154. Oxford University Press, New York (NY).

35. Ferziger, J. H. and Peric, M. (2002). Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 423 pages.

36. Frick, P., Stepanov, R., and Sokoloff, D. (2006). Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo. Physical Review E: Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics, 74, 066310.

37. Germano, M. (1992). Turbulence: the filtering approach. J. Fluid. Mech., 238, 325-336.

38. Germano, M., Piomelli, U., Moin, P., and Cabot, W. (1991). A dynamic subgrid-scale eddy-viscosity model. Phys. Fluids A, 3(7), 1760-1765.

39. Ghosh, S. and Matthaueus, W. (1990). Relaxation processes in a turbulent compressible magnetofluid. Phys. Fluids B., 2(7), 1520.

40. Gilman, P. A. and Glatzmaier, G. A. (1981). Compressible convection in a rotating spherical shell. I. anelastic equations. Astrophys. J. Suppl. Ser., 45, 335-388.

41. Glatzmaier, G. A. (1984). Numerical simulations of stellar convcctive dynamos. I -The model and method. Journal of Computational Physics, 55, 461-484.

42. Glazunov, A. V. and Lykossov, V. N. (2003). Large-eddy simulation of interaction of ocean and atmospheric boundary layers. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 18(4), 279-295.

43. Goldstein, M., Roberts, D., and Matthaueus, W. (1995). Magnetohydrodynamics turbulence in the solar wind. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 33, 283-325.

44. Goldstein, M. L. (2005). Magnetosphcric physics: Turbulence on a small scale. Nature, 436, 782-783.

45. Gomez, T., Sagaut, P., Schilling, O., and Zhou, Y. (2007). Large-eddy simulation of very large kinetic and magnetic reynolds number isotropic magnetohydrodynamic turbulence using a spectral subgrid model. Phys. Fluids, 19(4), 032304.

46. Haugen, N. and Brandenburg, A. (2004). Inertial range scaling in numerical turbulence with hyperviscosity. Phys. Review E, 70(026405), 1-7.

47. Hawley, J. F., Gammie, C. F., and Balbus, S. A. (1995). Local Three-dimensional Magnetohydrodynamic Simulations of Accretion Disks. Astrophysical Journal, 440, 742-763.

48. Higdon, J. C. (1984). Density fluctuations in the interstellar medium: Evidence for anisotropic magnetogasdynamic turbulence. I model and astrophysical sites. Astrophysical Journal, 285, 109-123.

49. Knaepen, B. and Moin, P. (2004). Large-eddy simulation of conductive flows at low magnetic reynolds number. Phys. Fluids, 16(5), 1255-1261.

50. Knaepen, B., Debliquy, 0., and Carati, D. (2004). Direct numerical simulation and large-eddy simulation of a shear-free mixing layer. J. Fluid Mech., 514, 153-172.

51. Knaepen, B., Kassinos, S., and Carati, D. (2004). Magnetohydrodynamic turbulence at moderate magnetic reynolds number. J. Fluid Mech., 513, 199-220.

52. Knight, D., Zhou, G., Okong'o, N., and Shukla, V. (1998). Compressible large-eddy simulation using unstructured grids. AIAA Paper, 98-0535.

53. Krause, F. and Radler, H.-K. (1979). On the theory of the geomagnetic dynamo based on mean field electrodynamics,. Phys. Earth planet. Inter., 20, 158-171.

54. Ladeinde, F. and Gaitonde, D. (2004). Magnetic reynolds number effects in compressible magnetohydrodynamic turbulence. Phys. Fluids, 16(6), 2097-2121.

55. Lantz, S. R. and Fan, Y. (1999). Anelastic Magnetohydrodynamic Equations for Modeling Solar and Stellar Convection Zones. Astrophysical Journal Supplement Series, 121(1), 247-264.

56. Lee, C. and Kim, J. (2002). Control of the viscous sublayer for drag reduction. Phys. Fluids, 14(7), 2523-2529.

57. Lee, D. and Choi, H. (2001). MHD turbulent flow in a channel at low magnetic reynolds number. J. Fluid. Mech., 439, 367 394.

58. Leonard, A. (1974). Energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows. Adv. Geophys., 18, 237-248.

59. Lesieur, M. (1990). Turbulence in Fluids. Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Holland.

60. Lilly, D. (1992). A proposed modification of the germano subgrid scale closure method. Phys. Fluids A, 4, 633-635.

61. Lilly, D. K. (1967). The representation of small-scale turbulence in numerical simulation experiments. In IBM scientific Computing Symposium on Environmental Sciences, pages 195-210. 320-1951.

62. Liu, S., Meneveau, C., and Katz, J. (1994). On the properties of similarity sub-grid-scale models as deduced from measurements in a turbulent jet. J. Fluid Mech., 275, 83-119.

63. Low, M.-M. M. (1999). The energy dissipation rate of supersonic, magnetohydro-dynamic turbulence in molecular clouds. Astrophys. J., 524, 169-178.

64. Low, M.-M. M. (2004). Turbulence in the interstellar medium. Astrophys. Space Sci., 289, 323-331.

65. Low, M.-M. M., Klessen, R. S., Burkert, A., and Smith, M. D. (1998). Kinetic energy decay rates of supersonic and super-alfvenic turbulence in star-forming clouds. Phys. Rev. Lett., 80, 2754-2764.

66. Mangeney, A., Grappin, R., and Velli, M. (1991). MHD turbulence in the solar wind. In E. Priest and A. Hood, editors, Advances in Solar System Magnetohydrodynamics, pages 327-356. Cambridge University Press, Cambridge, U.K.; New York, U.S.A.

67. Marsch, E. (1991). MHD turbulence in the solar wind. In R. Schwenn and E. Marsch, editors, Physics of the Inner Heliosphere II. Heidelberg: Springer-Verlag.

68. Martin, P., Piomelli, U., and Candler, G. (2000). Subgrid-scale models for compressible large-eddy simulations. Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 13, 361-376.

69. Meneveau, C. and Katz, J. (2000). Scale-invariance and turbulence models for largc-eddy simulation. Annu. Rev. Fluid Mech., 32, 1-32.

70. Mininni, P. D., Pouquet, A., and Montgomery, D. C. (2006). Small scale structures in three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. Physical Review Letters, 97, 244503.

71. Moin, P., Squires, K., Cabot, W., and Lee, S. (1991). A dynamic subgrid-scale model for compressible turvulence and scalar transport. Physics of Fluids A, 3, 2746-2757.

72. Montgomery, D., Brown, M. R., and Matthaeus, W. H. (1987). Density fluctuation spectra in magnetohydrodynamic turbulence. J. Geophys. Res., 92, 282-284.

73. Müller, W.-C. and Biskamp, D. (1999). Decay laws for three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. Phys. Rev. Lett, 83, 2195 2198.

74. Müller, W.-C. and Biskamp, D. (2000). Scaling properties of three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. Phys. Rev. Lett, 84, 475-478.

75. Müller, W.-C. and Carati, D. (2002). Dynamic gradient-diffudion subgrid models for incompressible magnetohydrodynamics turbulence. Phys. Plasmas, 9(3), 824-834.

76. Müller, W.-C. and Carati, D. (2002). Large-eddy simulation of magnetohydrodynamic turbulence. Computer Physics Communications, 147, 344-347.

77. Orszag, S. and Tang, C.-M. (1979). Small-scale structure of two-dimensional magnetohydrodynamics. J. Fluid Mech, 90, 129-143.

78. Park, N., Yoo, J., and Choi, H. (2004). Discretization errors in large eddy simulation: on the suitability of centered and upwind-biased compact difference schemes. J. of Comput. Phys, 198, 580-616.

79. Picone, J. M. and Dahlburg, R. B. (1991). Evolution of the Orszag-Tang vortex system in a compressible medium. II. supersonic flow. Phys. Fluids B, 3, 29-44.

80. Piomelli, U. (1999). Large-eddy simulation: achievements and challenges. Progress in Aerospace Sciences, 35, 335-362.

81. Porter, D. H., Pouquet, A., and Woodward, P. R. (1992). Three-dimensional supersonic homogeneous turbulence: A numerical study. Phys. Rev. Lett, 68, 3156 -3159.

82. Porter, D. H., Pouquet, A., and Woodward, P. R. (1994). Kolmogorov-like spectra in decaying three-dimensional supersonic flows. Physics of Fluids A, 6, 2133-2142.

83. Porter, D. H., Pouquet, A., and Woodward, P. R. (1994). A numerical study of supersonic turbulence. Theor. and Comput. Fluid Dynarn., 4, 13-49.

84. Reynolds, O. (1895). On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 186, 123-164.

85. Rogallo, R. S. and Moin, P. (1984). Numerical simulation of turbulent flows. Ann. Rev. Fluid Mech., 16, 99-137. '

86. Sagaut, P. and Grohens, R. (1999). Discrete filters for large eddy simulation. Int. J. Numer. Mech. Fluids, 31, 1195-1220.

87. Shaikh, D. and Zank, G. P. (2006). The Transition to Incompressibility from Compressible Magnetohydroynamic Turbulence. Astrophysical Journal, 640, L195-L198.

88. Shaikh, D. and Zank, G. P. (2007). Three-dimensional simulations of turbulent spectra in the local interstellar medium. Nonlin. Processes Geophys., 4, 351-359.

89. Shebalin, J. V., Matthaeus, W. H., and Montgomery, D. (1983). Anisotropy in MHD turbulence due to a mean magnetic field. J. Plasma Phys., 29, 525-547.

90. Smagorinsky, J. (1963). General circulation experiments with the primitive equations. Mon. Weather Rev., 91, 99-164.

91. Spangler, S. (2001). Multi-scale plasma turbulence in the diffuse interstellar medium. Space Science Rev., 99, 261-270.

92. Speziale, G., Erlebacher, G., Zang, T., and Hussaini, M. (1988). The subgrid-scale modelling of compressible turbulence. Phys. Fluids, 31(4), 940-942.

93. Stanescu, D. and Habashi, W. (1998). 2N-storage low dissipation and dispersion Runge-Kutta schemes for computational acoustics. J. Computational Physics, 143(2), 674-681.

94. Theobald, M., Fox, P., and Sofia, S. (1994). A subgrid-scale resistivity for magne-tohydrodynamics. Phys. Plasmas, 1(9), 3016 3032.

95. Ting, A. C., Matthaeus, W. H., and Montgomery, D. (1986). Turbulent relaxation processes in magnetohydrodynamics. Phys. Fluids, 29, 3261-3274.

96. Ustyugov, S. D. and Andrianov, A. N. (2002). Numerical simulation of magneto-convection in a stellar envelope. Center for Turbulence Research, Annual Research Briefs, pages 281-288.

97. Vreman, B. (1995). Direct and Large-Eddy Simulation of the Compressible Turbulent Mixing Layer. Ph.D. thesis, University of^Twente, the Netherlands.

98. Vreman, B., Geurts, B., arid Kuerten, H. (1994). Realizability conditions for the turbulent stress tensor in large eddy simulation. J. Fluid Mech., 278, 351-362.

99. Vreman, B., Geurts, B., and Kuerten, H. (1995). Subgrid-modeling in les of compressible flow. Applied Scientific Research, 54, 191-203.

100. Williamson, J. H. (1980). Low-storage Runge-Kutta schemes. J. of Comput. Phys., 35, 48-56.

101. Yoshizawa, A. (1987). Subgrid modeling for magnetohydrodynamic turbulent shear-flows. Phys. Fluids, 30(4), 1089-1095.

102. Zang, T. A., Dahlburg, R. B., and Dahlburg, J. P. (1992). Direct and large-eddy simulations of three-dimensional compressible Navier-Stokes turbulence. Phys. Fluids A, 4(1), 127-3140.

103. Zang, Y., Street, R. L., and Koseff, J. R. (1993). A dynamic mixed subgrid-scale model and its application to turbulent recirculating flows. Phys. Fluids A, 5(12), 3186-3196.

104. Zank, G. P. (1999). Interaction of the solar wind with the local interstellar medium: a theoretical perspective. Space Science Reviews, 89, 413-688.

105. Zank, G. P. and Matthaeus, W. H. (1991). The equations of nearly incompressible fluids. I. hydrodynamics, turbulence and waves. Phys. Fluids A, 3(1), 69-82.

106. Zank, G. P. and Matthaeus, W. H. (1993). Nearly incompressible fluids. II: Magne-tohydrodynamics, turbulence and waves. Phys. Fluids A, 5(1), 257-273.

107. Zeldovich, Y. B., Ruzmaikin, A., and Sokoloff, D. (1983). Magnetic Fields in Astrophysics. Gordon and Breach, N.Y., 364 pages.

108. Zweibel, E. (1999). Magnetohydrodynamics problems in the intermedium medium. Phys. Plasmas, 6, 1725-1731.

109. Zweibel, E. (2002). Ambipolar drift in a turbulent medium. Astrophysical Journal, 567, 962-970.

110. Вайнштейн, С. И., Быков, А. М., и Топтыгин, И. Н. (1989). Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической плазме. Наука, Москва, 311 стр.

111. Зеленый, Л. М. и Милованов, А. В. (2004). Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. Усп. Физ. наук, 174(8).

112. Иванов, Б. II. (2002). Мир физической гидродинамики: От проблем турбулентности до физики космоса. Едиториал УРСС, Москва, 240 стр.

113. Каплан, С. А. (1958). Межзвездная газодинамика. Гос.издательство физико-математической лит-ры, Москва, 194 стр pages.

114. Карельский, К. В., Петросян, А. С., и Чернышов, А. А. (2005). Метод крупных вихрей для сжимаемых магнитогидродинамических течений. Фильтрация по Фавру и подссточное моделирование. Препринт, Пр-2106, ИКИ РАН, 32 стр.

115. Колесничепко, А. Н. и Маров, М. Я. (2007). О влиянии спиральности на эволюцию турбулентности в солнечном протопланетном облаке. Астрономический Вестник, 41(1), 3-23.

116. Колмогоров, А. Н. (1941). Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. Докл. Академ. Наук СССР, 30(4).

117. Колмогоров, А. Н. (1941). К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой среде. Докл. Академ. Наук СССР, 31(6).

118. Колмогоров, А. Н. (1941). Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности. Докл. Академ. Наук СССР, 32(11).

119. Конторович, Л. и Крылов, В. (1949). Приближенные методы высшего анализа. Гос.издательство технико-теоретической лит-ры, Ленинград, 697 стр.

120. Куликовский, А. Г., Погорелов, Н. В., и Семенов, А. Ю. (2001). Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. Физматлит, Москва, 608 стр.

121. Куликовский, А. Г. and Любимов, Г. А. (1962). Магнитная гидродинамика. Физматлит, Москва, 247 стр.

122. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Е. М. (1986). Теоретическая физика: Гидродинамика, том VI. Наука, Москва, 736 стр.

123. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Е. М. (2005). Теоретическая физика: Электродинамика сплошных сред, том VIII. Физматлит, Москва, 656 стр.

124. Обухов, А. М. (1941). О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Докл. Академ. Наук CCCF, 32(1).

125. Обухов, А. М. (1941). О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Изв. Акад. Наук СССР. Серия геогрю и геофиз., 5(4-5).

126. Поттер, Д. (1975). Вычислительные методы в физике. Мир, Москва, 392 стр.

127. Прист, Э. Р. (1985). Солнечная магнитогидродинамика. Мир, Москва, 590 стр.

128. Рузмайкип, А. А., Шукуров, А. М., и Соколов, Д. Д. (1988). Магнитные поля галактик. Наука, Москва, 280 стр.

129. Сивухин, Д. В. (1990). Термодинамика и молекулярная физика (Общий курс физики; rn.II). Наука, Москва, 592 стр.

130. Соколов, Д. и Фрик, П. (2003). Модель многомасштабного МГД-динамо. Астрон. журн., 80(6).

131. Фортов, В. Е., Храпак, А. Г., Храпак, С. А., Молотков, В. И., и Петров, О. Ф. (2004). Пылевая плазма. Усп. Физ. наук, 174(5).

132. Фрик, П. Г. (1998). Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. ПГТУ, Пермь, 108 стр.

133. Фрик, П. Г. (1998). Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. ПГТУ, Пермь, 136 стр.

134. Фриш, У. (1998). Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. Фазис, Москва, 346 стр.

135. Хинце, И. (1963). Турбулентность. Физматлит, Москва, 680 стр.

136. Ши-и, Бай. (1964). Магнитная газодинамика и динамика плазмы. Мир, Москва, 302 стр.