Гидродинамический альфа-эффект с генерация вихрей в сплошной среде тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

^ о АКАДЕМИЯ НАУК СССР

' у ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИИ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

ХОМЕНКО ГЕОРГИИ АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 317.532. 4

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ АЛЬФА-ЭФФЕКТ И ГЕНЕРАЦИЯ ВИХРЕЙ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ

01.04.02 - теоретическая и математическая фгатап

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Моегва - 1991

Работа выполнена в Институте космических исследований Академии Наук СССР.

Официальные оппоненты: д ф. - м. н., профессор Яглом А. М., Институт физики атмосферы АН СССР, Москва;

д. ф. - и. н. Соколов Л Д , Московский государственный университет им. Ломоносова, Москва;

д. ф. - и. н., профессор Похотелов 0. А., Институт физики земли АН СССР, Москва

Ведущее предприятие:

Институт земного магнетизма и распространения радиоволн АН СССР, Москва

Защита состоится Р^марта 1991 г. в часов на заседая

специализированного Совета Д 0029401 при Институте космическ исследований АН СССР по адресу: 1178110, Москва, ул. Профсоюэн 84/32, подъезд N4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институ космических исследований АН СССР.

Автореферат разослан " " 1991г.

Ученый секретарь специализированного Совета к. т. н. Нестеров В. Е. ^^ ^

"1т;,щ "'Ищ I

'„_ / ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

я/

туальйоезъ проблемы:

Гидродинамическим альфа-эффектом называют эффект генерации )ушгамасштабных вихрей в газообразной или жидкой фбулентной среде, когда турбулентность обладает свойством шральности. Турбулентность является спиральной, если ней скорость и завихренность скоррелированы по направлениям, е. средняя спиральность <у.го1у> отлична от нуля. Генерация »хрей в сплошной среде - явление повсеместное, а изучение запмодействия вихрей относится к традиционным • задачам идродинамихи. Хорошо известно, что при определенных условиях зикение жидкости становится неупорядоченным, происходит переход турбулентности.

В то же время, в последние годы было замечено, что в урбулентнбсти часто возникают крупномасштабные вихри. Или, как х еще называют, крупномасштабные структуры в турбулентности, исло публикаций, посвященных изучению когерентных структур в урбулентности, исчисляется сотнями. Однако, несмотря на это еханизмы формирования крупномасштабных вихрей в турбулентности, вязанные с нелинейным взаимодействием большого числа вихрей азных масштабов, до последнего времени остаются до конца ¡евыясненными. В то же время, крупномасштабные вихри влияют на [роцессы тепло- я массо- переноса в турбулентной среде, сильно

• ч _

>лиявт на динамику турбулентности.

В природных условиях значительная часть солнечной энергии, юглоааемая атмосферой, сконцентрирована на конвективных масштабах I затем передается в более крупные масштабы. Поэтому задача о формировании крупномасштабных движений из мелкомасштабных важна

для понимания динамики атмосферы. Поэтому развитие теор: образования крупномасштабных вихрей в турбулентной среде являет* актуальной проблемой.

В магнитной гидродинамике было обнаружено замечательна свойство спиральной турбулентности (т.е. такой турбулентности, которой скорость и завихренность скоррелированы . по направлена. <у. го1у> / 0) - это способность усиливать крупномасштабн] магнитные поля, так называемый а-зффект (Штейнбек, Краузе Рэдлер, 1966г.). С этого момента спиральная турбулентность ста. объектом пристального изучения именно в плане возможное обратного каскада энергии в ней. Интерес к этой теме обусловь еще и тем, что средняя спиральность наиболее естествен! возникает ь поле псевдовекторных сил, таких как сила Кориолис; или магнитное поле, то есть спиральная турбулентность час-встречается в природных условиях и может быть смоделирована лабораторных экспериментах. Образование крупномасштабных вихрей турбулентности можно трактовать также как проце< самоорганизации, возникновения когерентных состояний 1 неупорядоченного движения. Поэтому задача о формирован! крупномасштабных вихрей в спиральной турбулентности представлж как общетеоретический, так и практический интерс в связи возможным приложением в геофизике, астрофизике и физике плазмы.

-После открытия а-эффекта в магнитной гидродинамике, бкд

¡.редприняты ряд попыток обнаружить гидродинамический аналог это]

о с

эффекта, эта тема одно время весьмд интенсивно обсуждалась литературе (например, Моффатт, 1981г ). Эти попытки основывали« на формальной аналогии между уравнением для индукции магнитно!

[я в МГД и уравнением для завихренности в обычной 1родинамике, но в результате лишь было доказано СКрауэе и шгер, 1976г.), что гидродинамический аналог О.-эффекта юзможен в однородной изотропной спиральной турбулентности зкимаемой жидкости. Поэтому доказательство того, что фодинамический а-эффект возможен и выяснение условий, гда он реализуется, является актуальной задачей.

14 и задачи исследования:

Основная цель диссертации - построение и обоснование теории терации крупномасштабных вихревьгх структур в спиральной рбулентности (теории гидродинамического а-эффекта).

К основным задачам относятся - вывод осредненных авнений статистической гидродинамики, учитывавших нелинейное аимодействие движений различных масштабов в сжимаемой среде с нородноЯ изотропной спиральной турбулентностью; исследование их уравнений; вывод осредненных уравнений, описывасвдх аимодействие неоднородного потока с однородной изотропной рбулентностьв в несжимаемой среде и исследование этих авнений. Исследование сильно нелинейной стадии дродинамического а-эффекта в сжимаемой среде.

[учная новизна результатов:

1. Впервые доказана возможность генерации крупномасштабных 1хревых структур мелкомасштабной спиральной турбулентностью в шмаемой среде С гидродинамический «-эффект).

2. Впервые выведены осредненные уравнения, описывают нелинейное взаимодействие между , крупномасштабными мелкомасштабными движениями с учетом спиральное мелкомасштабного движения в сжимаемой среде. Выведении уравнения статистической гидродинамики имеют вид, ранее встречавшийся в гидродинамике. Показано, что эти уравнен обладают неустойчивостью по типу положительной обратной свя между различными компонентами поля скорости, приводящей образованию крупномасштабных спиральных вихрей.

3. Впервые исследовано взаимодействие крупномасштабно: стационарного потока несжимаемой жидкости со спиральш турбулентностью. Показана возможность реализащ гидродинамического а-эффекта в несжимаемой жидкости даже случае, когда крупномасштабный поток потенциален. Найдены точш решения осреднненых уравнений для частного вида потенциально: потока, описывающие генерацию вихрей.

4. Изучена устойчивость крупномасштабного двумерно) течения Колмогорова под влиянием мелкомасштабной двумернс турбулентности. Доказано, что турбулентность меняет критер; устойчивости течения Колмогорова. Вблизи порога устойчивое турбулентность может приводить к эффекту отрицательной вязкое! и вызывать генерацию крупномасштабных вихрей.

3. Впервые изучена сильно нелинейная стад»

.'идродинамического а-эффекта. Показана возможность насыщен»

о с

неустойчивости. Впервые показано, что решение соответствующе граничной задачи для осредненногп уравнения описывает поте энергии в сторону больших масштабов, что указывает на возможну

¡язь гидродинамического а-эффекта с обратным каскадом энергии в гаральисЯ турбулентности.

¡основанность научных положений и выводов:

В работе использованы современные методы прикладной »тематики. Важно, что использование различных методов дает звпадав'дие результаты. Вывод осредненных уравнений !дродинамического а-эффекта в сжимаемой среде тремя различными этодами, в том числе, функциональным методом и методом югомасштабного разложения, основанного на.теории возмущений по тому мелкомасштабному числу Рейиольдса дает совпадающие эдультаты. Достоверность полученных в диссертационной работе гзультатоз обеспечивается также правальныка прэделышкя эреходамя к ранее известным случаям.

аучная и практическая ценность работы:

Предложенный и изучаемый в диссертационной работе новый ффект Сгидродинамический а-эффект), связанный с влиянием пиральности мелкомасштабной турбулентности на крупномасштабные вижения дает ранее неизвестный физический механизм усиления и ормирования когерентных вихревых движений в турбулентной среде.

диссертационной работе предложена модель формирования гмосферных вихрей, которая послужила первоначальной основой кспериментальной темы в ИКИ АН СССР. Теоретические редставления, разработанные в диссертационной работе могут найти рименение в астрофизике при описании гидродинамических процессов

с

в галактическом диске, а также в физике плазмы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Доказательство возможности генерации крупномасштабш вихревых структур мелкомасштабной спиральной турбулентностью сжимаемой среде (гидродинамический а-эффект).

2. Вид осредненных уравнений, описывающих гидродинамическ! а-эффект в сжимаемой среде.

3. Вид осредненного уравнения и доказательство возможное! гидродинамического a-эффекта в несжимаемой среде с неоднороднь крупномасштабным потоком.

4. Изменение порога устойчивости двумерного течени Колмогорова под влиянием мелкомасштабной двумернс турбулентности.

5. Эффект перекачки энергии в область больших масштабов н сильно нелинейной стадии развития гидродинамического а-эффекта сжимаемой среде.

Апробация работы:

Основные результаты диссертационной работы докладывались н международных рабочих группах по нелинейным и турбулентны процессам в физике (Киев, 1983, 1987, 1989гг.), международно симпозиуме "Синергетика" (Пущино. 1983г.), Всесоюзной конференци

.о космической плазме (Новосибирск. 1988г.), Генерально;

о г

ассамблее Европейского геофизического общества (Барселона 1989г.), S-й международной конференции по туроулектносл Европейского физического общества (Москва, 1989г.), международно!

;мпозиуме "Генерация крупномасштабных структур в сплошных >едах" (Пермь - Москва, 1990г.), 3-й Европейской конференции по грбулентности (Стокгольм, 1990г.), международной конференции (викение жидкости в анизотропном поле массовых сил" (Рига, ¡90г.), а также на научных семинарах ИКИ АН СССР, ИПМ АН :СР, ИФА АН СССР, Института океанологии АН СССР. МГУ, 5серватория Ниццы, Обсерватории де Медон (Париж), Института :трофизики (Потсдам), Туринского университета, Института эсмогеофизики (Турин).

гбликации:

Основное содержание диссертации изложено в работах 11-201.

груктура я объем диссертации:

Диссертация состоит яз введения, пяти глав, заключения и иска цитируемой литературы из 194 наименований. Объем юсертации составляет 4 * основного текста и ^ страниц тиска цитируемой литературы.

удержание диссертации:

Во введении дается обзор современного состояния проблемы енерации крупномасштабных вихрей в турбулентности, обсуждаются адачи, решаемые в диссертации, и приводятся по главам основные езультаты, полученные в диссертации.

ГЛАВА 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ* «-ЭФФЕКТ. ФЕНОМЕНОЛОГИЯ И КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ.

В этой главе диссертации дается постановка проблем! обсуждаются качественные соображения и размерные оценк! Приводится упрощенный вывод осреденного уравнения, описывасще; гидродинамический а-эффект в сжимаемой среде. Проведен анал! устойчивости решений этого уравнения.

Исходными уравнениями являются уравнения движения сжимаем! среды со случайной внешней силой.

V; - ^к^г = Х>\ Ь с.

+ = О

с;

где - коэффициент кинематической вязкости, с - скорос звука, Г - случайная внешняя сила с нулевым средним значение! Предполагается, что давление связано с плотностью политропическ! законом Р = {?, у = 2. Если предположить теперь, что скорость v плотность р благодаря воздействию силы ( имеют регулярную V, р случайную у', р' компоненты, то после усреднения по ансамб турбулентных пульсаций в уравнениях движения появляют

нелинейные по пульсациям средние > и <у'р'>. Задач

о с

замыкания является выразить эти средние через регулярные поля р и статистические характеристики случайной силы.

Статистические характеристики турбулентных пульсаций

гсутствии средних полей определяются статистическими арактеристиками внешней силы. Мы считаем, что они с достаточной зчностью определяются корреляционной функцией, то есть моментом горого порядка. При этом предполагается, что пульсации скорости днородны, изотропны, стационарный спиральны Ст.е. корреляция короста и завихренности отлична от нуля). Общий вид орреляционной функции такого случайного процесса V*- (Монин и глом, 1965г.)

ó i C3)

де H - псевдоскалярная функция, характеризующая спиральность урбулентности.

<r V/Í?). ъ>{\7с*)> =

Пусть в некоторый момент времени в среде появляется крупномасштабная флуктуация vCx, t), которая начинает

»заимодействовать с турбулентностью vl, в результате чего юследняя преобретает неоднородную анизотропную добавку, тогда юлную скорость можно представить в виде

v¿ = vL + vf + v£; <v.> = i/ </?*<

3 силу однородности и изотропности процесса vl, з осредненное сравнение дает вклад только неоднородное возмущение случайной скорости. Отбрасывая нелинейное по возмущениям слагаемое <v 7 v>.

вклад напряжений Рейнольдса в осредненное уравнение можн представить в виде Сем. § 1.1.)

где X - внешний пространственный масштаб турбулентности, L • масштаб средних полей (X << L), а и v должны выражаться чере: параметры корреляционной функции невозмущенной турбулентност! СЗ).

Размерные оценки дают а Нтоог, v Атоог. Это ж< подтверждается прямым расчетом (§ 1.2), который дает следующи! вид осредненного уравнения:

?tV + ОLtbív + ?PzV- V£ u)

o*3 O"3

P ( / f 4 / H(K,¿>)LtJ -I W^k---—;—7

.«O O

то есть а выражается через спиральность турбулентности Н.

Таким образом, из-за спиральности турбулентности в осредненном уравнении появляется слагаемое a rot v. Обратим внимание на то, что rot v является псевдовектором и поэтому такой

•:лен в векторном уравнении может появиться только в комбинации с

с ~ г

псевдоскаляром, которым является и. Поэтому гидродинамический a-эффект неразрывно связан с нарушением пространственной четности мелкомасштабной турбулентности, наличием у нее статистических

где

СК. ~ —

- И -

рактеристик, ««инвариантных относительно отражений системы ординат, измеряя которые можно отличить правую систему юрдинат от левой. Такой характеристикой в данном случае ¡ляется средняя спиралыгость <vlrotvl>. Своеобразную роль играет симаемость среды. В этой главе показано, что а-член возникает из )еднего <vtdivv>> причем вклад в это среднее дает только {изотропная часть случайного поля V, которая связана с гаимодействием заданной однородной изотропной турбулентности vl э средним полем v.

Уравнение (4) имеет экспоненциально растущие решения, лисивающие поле типа Бельтрами, причем инкремент неустойчивости равен

Ы.к - г)кг (63

ри к < a/v, инкремент положителен у > 0. Быстрее других растет армоника с = az/4u. lb вида соотношения С5) следует, что

МсаЛ

та неустойчивость крупномасштабна. Развитие этой неустойчивости >значает возрастание средней крупномасштабной завихренности и, :ледовательно, когерентно» вихревой структуры.

ГЛАВА 2. ГЕНЕРАЦИЯ КРУПНОМАСШТАБНЫХ ВИХРЕЙ СПИРАЛЬКОИ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ В СЖИМАЕМОЙ СРЕЯЕ.

В настоящей главе выведены осредненные уравнения, эписываюиие начальную стадию эволюции крупномасштабного возмущения, нелинейно взаимодействующего с мелкомасштабной

спиральной турбулентностью. Замыкание уравнений основано I функциональной технике, гипотезы модельного характера 1 привлекались. Подробно исследована роль сжимаемости среды гидродинамическом а-эффекте, рассмотрены предельные переходи несжимаемой жидкости и модели турбулентности в виде белого шу* по времени.

В § 2.1. осредненные уравнения гидродинамического а-эффект в сжимаемой среде выводятся с помощью функциональной техники д: случая, когда турбулентность рассматривается ка ¿-коррелированный по времени гауссовый случайный процесс. Этс случай интересен тем, что процедура замыкания при сделаннь предположениях о турбулентности выполняется точно. Идея этог метода замыкания состоит в том, что возмущение скорости является функционалом случайного процесса V1 и для нахождени среднего <у v1), входящего в осредненное уравнение, можл использовать Фуруцу-Новикова, выражающую среднее значени функционала и случайного процесса через корреляционную функци случайного процесса С в нашем случае коррелятор <у1у1>) и средне значение вариационной производной <6 у (1)/б у1(1')> . Поскольк в выбранной модели у1 является ¿-коррелированным по времен случайным процессом, значение вариационной производной нужн знать только в один момент времени (I = Ъ'), что значительн упрощает выкладки и позволяет вычислить значение вариационно ::роизводной точно. В результате получается осредненное уравнение имеощее'вид (4) с коэффициентом а = Й (0), 11]. Этот результа является весьма неожиданным, поскольку коэффициент а оказало

* г

независящим от параметра сжимаемости среды. Этот парадок

[зъясняется в § 2.3, где показано, что асимптотическое [элогение я в пределе бесконечно малых времен корреляции ¡Яствительно не зависит от сжимаемости среды, если скорость >ука в ней остается конечной.

В § 2.2 осредиешое уравнение выведено без предположения о -коррелированности турбулентности по времени, но в этом случае 1Я вычислс-ния вариационно?} производной приходится линеаризовать з возмущениям систему уравнений, что накладывает некоторые эпоянительтга ограничения па параметры задач;!. С^.еиз запасания лстога уравзенпй остается похогей па использоззпнуэ в § 2.1, эгт а гоян:г:эс:ссч плане янкладки становятся <5зязо грскоздгаия. В ззультато получается уравнение (4) с коэЭДкцясктси а п зпяо (3).

В § 2.3 псслодована роль сетаспоетз среды я роапаяпэ!фрза?м ярэделышч переходи. Дня зналнэа вырасспия С5) орроляцпеннал ^ункцпя с;хростп завяхроияеетя Н (сянральность) ула Ширака з гадолькои сяге

/ — 1 "1 IX

до а г~> 1/т , г - время корреляции, \ - длина cor oor cor r г оог

;сррэл)гцга. В прэдояэ w ® (т„сг-> 0) полутон белий иу:; или ¡-херрэдяроваяный случайниЯ процесс. С функцией (5) интеграл (5) >ычясляется точно. Результат иыэет вид: -S"

= ±Mfz Hoi^y^l 1 - Л/<г 4-

гдэ Ф í^0 - интеграл ошибок,

А

Ъ^+С- СО)

Используя асимптотическое разложение интеграла ошибок Ф (ц получаем

а в противоположном случае

£ Н0А*[ (/<<1 (10)

Из выражения (9) видно, что главный член в асииптотическс разложении а для .больших м не зависит от параметра сжимаемости р Этот предельный случай соответствует модели турбулентности в вил ¿-коррелированного по времени случайного процесса. Действительно из (8) видно, что м ■» 0 при тоог-» 0, при условии, что ро и с конечны. В этом случае .получаем результат §2.1 а Н (0). Пр 1>о « сатоо}, вязкость» в (8) можно пренебречь и мы получае ^ СХ.оог/тоог)/с, т.е. параметр н аналогичен числу Маха. Преде тсог* 0, р оо формально эквивалентен пределу с 0, ^ •* со. этом случае а не зависит от скорости звука.

Переход к несжимаемой жидкости соответствует с со п{ конечном тсог, тогда ц ■* 0 при с -» ш и а обращается в нуль, т есть при переходе к несжимаемому случав а-эффект исчезает, Ч1

^ответствует результату Краузе н Редигера, 1976г. -

ГЛАВА 3. ГЕНЕРАЦИЯ КРУПНОМАСШТАБНЫХ ВИХРЕЙ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ.

В однородной изотропной турбулентности несжимаемой идкости, как уже отмечалось, гидродинамический а-эффект но имеет ггста из-за определенной симметрии напряжений Рейиольдса. Следовательно, для существования гидродинамического а-эффекта в ¡естамаемой среде, какая-то симметрия должна быть нарушена. В сачестве фактора, нарушающего симметрию задачи в настоящей главе .'ассглотрен неоднородный стационарный поток. В § 3.1 формулируются зснсвтке уравнения, в § 3.2 функциональным методом выполняется }Зкыканйо п Е1ГЕСДИТСЯ ссрэдненное уравнение, в § 3,3 это сравнение исследуется для частного вица потенциального потока.

Б качество основного состояния рассматривается крупномасштабный стационарный поток несжимаемой жидкости с наложенный на него слабыми турбулентными пульсациями. Скорость стационарного потока обозначаем через у<о1, а скорость турбулентных пульсаций - через у1. Предполагается, что у'0> является стационарным реиеккем уравнения Навье Стокса, а пульсацяп V1 являются однородным изотропным стационарным случайным процессом. Предполагается также, что поле у1 обладает отличной от нуля средней спиральностью. Дальнейшая задача ставится как задача об устойчивотси этого основного состояния. Пусть в некоторый момент времени возникает крупномасштабная флуктуация у"' поля у"". В результате ее взаимодействия с

турбулентностью последняя приобретает неоднородную добавку V тогда полную скорость в произвольный момент времени мог» представить в виде

<о) Ь, / р)

где предполагается, что v11' и v возмущения регулярной i случайной компонент скорости, соответственно. Выполняя усреднение по ансамблю и пренебрегая нелинейными по, возмущению V членами, осредненное уравнение можно записать в виде

-л .у СО п ъ , (е) (I) (О) (1) И) О).

Л гг2- 1-1 ' г\ / •£■ ■£ \

где П^ = - С?*)"'- проекционный оператор. Су*)"' оператор, обратный оператору Лапласа.

Задачей.замыкания является выразить напряжения Рейноольдса <у1у> через средние поля'и корреляционную функцию процесса V1. Для этой цели снова используется вариационная техника. Схема замыкания такова: вначале записывается уравнение для v, которое легко получается из уравнения для полной скорости вычитанием уравнения, описывающего основное состояние и осредненного уравнения, Это уравнение можно представить в'виде

% V; (Ь^) + иГк и*} - II (М) СИ)

л

где оператор М п ке зависит от времени и состоят ¡г* двух некоммутирувщих частей:

м,/*) = - гЧ* + А < г>

А <*) = ^ Л,5 [ +

а правая часть дается выражением

Решение (11) может быть записано в операторном виде

Чтобы избавиться от некомыутируюадх операторов в экспоненте, можно воспользоваться методами квантовой теории поля (Фейнман, 1951), разложив операторную экспоненту по малым мелкомасштабным числам Рейнольдса, после чего легко вычисляется выриационная производная <5у/<5у1 и с помоцьв формулы Фуруцу-Новикова - искомые средние <гу*>. В результате замыкания осредненное уравнение имеет вид:

где

К ÍJ"6- ^ б- ^/Й/С/

а коэффициент G выражается через слиральность турбулентности Н:

о О

а константы В и v выражаются через спектраль::>ю функцию энергии турбулентности.

В § 3.3 уравнение (12) проанализировано для частного вида потока v(0>:

, / ^ Í И.. Й, 7

Этот поток потенциален (что, по-видимому, ялвляется наиболее интересным случаем с точки зрения генерации вихрей турбулентностью).

Для потока такого вида, уравнение (12) удается решить точно и найти среднюю завихренность П = rot v'1'. Точное решение имеет вид:

Л ti,i) = wCt.Ko) елр[ OZi*)-?} t

M = \л/въ &xp[-But Pßul -Kol)]

= Wflexp[lßMt -¿IButtbcq-ibl)]*

Это решение интересно тем, что одновременно происходят два процесса. Амплитуда вихря растет сначала экспоненциально (при «алых К2), а затем сверхэкспоненциально (как экспонента в экспоненте). Масштаб вихря при этом все время экспоненциально уменьшается. Когда масштаб вихря сравнивается с турбулентны)! масштабом и должна включиться вязкость, приближение, в котором выведено осредненное уравнение (12) нарушается и мы уже не можем судить о дальнейшей эволюции вихря. Другими словами, на протяжении всего времени применимости нашей теории происходит нарастание амплитуды вихря. Процесс дробления масштаба решения не связан с воздействием турбулентности, а лишь является следствием "конфигурации" потока v<0'. Поток v<0) любое векторное поле оудет либо "вытягивать в жгут", либо "расплющивать в блин" и за счет этого, по крайней мере, один из масштабов будет уменьшать«.-» Нарастание амплитуды решения, напротив, связано не о видом потоки v(0\ а с влиянием спиральной турбулентности, приводящей >■

неустойчивости среднего течения. Если разложить к2С1) в ряд, то мы получим экспоненциально растущее решение, аналогичное решению уравнения гидродинамического а-эффекта в сжимаемой среде.

ГЛАВА 4. ОБ ЭФФЕКТЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ВЯЗКОСТИ В №ШРШ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЯХ.

Ь настоящей главе диссертации изучается взаимодействие крупномасштабных течений с турбулентностью в двумерно-! гидродинамике. Показано, что влияние флугсгуаций кокет привести к неустойчивости крупномасштабного течения по типу отрвдателыюй вязкости.

Выразив скорость у через функцию тока - € гло

■-11 - антисимметричный тензор второго ранга, уравнение двитаиия двумерной среди запишем в виде

где Ф однородный изотропный случайный процесс. Моззго считать, что в основном состоянии имеется некоторое стационарное течение

|'х' и однородные изотропные флуктуации Ф1(х, I). Пусть £ и возмущения регулярной и случайной компонент основного состояния. Тогда, повторяя схему рассуждений главы 3 диссертации, приходим к необходимости вычислить члены осредненного уравнения, содержащие средние <Ф 151 >. Используя такую же схему замыкания, как « в главе 3, в § ¿.2 настоящей главы выведено осреднекное уравнение, олиснваюпее эволюцию крупномасштабной флукттуаиии Ф:

Р = ^ + У ~ { + %'.

где

(.13)

3

к

рт - щу^^иу

Здесь через <ро обозначен фурье-обраэ корреляционной функции случайного процесса Ф1.

Из вида осредненного уравнения (13) следует, что турбулентность двояко влияет на эволюцию крупномасштабного поля Ф. С одной стороны, появляется дополнительный вклад в диссипативный член, описываемый V - коэффициентом изотропной турбулентной вязкости. С другой стороны, возникает анизотропная турбулентная вязкость, пропорциональная I»". Причем знак этой

добаьки не фиксирован.

Для того, чтобы выявить влияние малой добавки, необходимо определить основное состояние. Другими словами, надо найти положение минимума кривой нейтральной устойчивости в отсутствие дополнительного члена. И, затем, уже вблизи этого минимума, рассмотреть как меняет его местонахождение анизотропная турбулентная вязкость.

В результате такого анализа показано, что в минимуме нейтральной кривой возникает положительная добавка к инкременту, имеющая вид

А О*о О

где ко - волновое число течения Колмогорова. Таким образом,

влияние двумерной турбулентности приводит к понижению порога

неустойчивости течения Колмогорова по сравнению с ламинарным

случаем вследствие появления в уравнении движения дополнительного

члена - анизотропной турбулентной вязкости. Поскольку минимум

кривой нейтральной устойчивости реализуется при малых волновых

ч

числах возмущения, (3 •* 0, /3 = к/ко, неустойчивость

крупномасштабна, а ее инкремент неустойчивости у* определяется статистическими характеристиками поля турбулентных пульсаций. Вид

инкремента позволяет интерпретировать развивающуюся

крупномасштабную неустойчивость как эффект отрицательной вязкости.

ГЛАВА 3. ОБРАТНЫЙ КАСКАД ЭНЕРГИИ В СПИРАЛЬНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ.

В этой главе диссертации осредненное уравнение гидродинамического а-эффекта выводится методом многомасштабного разложения в рамках теории возмущений по малому мелкомасштабному числу Рейнольдса. Рассмотрены два случая, когда среднее поле по амплитуде много меньше средней амплитуды турбулентных пульсаций (§ 5.1) и обратная ситуация, когда средняя скорость много больше скорости турбулентных пульсаций (§ 5.2). Обсуждаются также возможные приложения гидродинамического а-эффекта к физике атмосферы и астрофизике (§ 3.3).

В § 3.1 уравнения гидродинамического а-эффекта выводятся методом многомасштабного разложения в рамках теории возмущений по малому мелкомасштабному числу Рейнольдса. Исходными уравнениями здесь снова берутся уравнения движения сжимаемости среды (1). (2). Число Рейнольдса мелкомасштабного движения Яе = г

считается малым {?е << 1 и по нему строится ряд теории возмущений

р. г,

Каждый член ряда теории возмущений, в свою очередь, зависит от мелкомасштабных х. т и крупномасштабных переменных X. Т. которые раздоляются следующим образом:

эс - f£X

Ъ = -h \7k

г = ^ т Qt - я + ^ эт

Подставляя выражения (14) н (IS) в уравнения движения и собирая члены одного порядка, можно выписать цепочку уравнений теории возмущений (при этом полагается, что число Маха порядка числа Рейнольдса). Оказывается, что в выражении для скорости в первом порядке теории возмущений переменные разделяются: vu' = W (X, Т) + v<l)(x, г) и вследствие того, что в первом порядке оператор дифференциального уравнения действует только на мелкомасштабные переменные, крупномасштабная скорость W (X, Т) является произвольной функцией крупномасштабных переменных в этом порядке теории возмущений. Уравнение, описывающее ее эволюцию получается как условие разрешимости цепочки уравнений теории возмущений в пятом порядке по числу Рейнольдса. Условия разрешимости в более низких порядках дают div W - 0, так что крупномасштабное поле является соленоидальным. Вид уравнения и выражение для коэффициента а совпадают С (4), (5).

Кроме того, в этом параграфе проанализирована -зависимость гидродинамического а-эффекта от вида турбулентной накачки. Показано, ■ что гдиродинамический а-эффект в сжимаемой среде имеет место, когда сила - массовая, то есть когда она зависит от плотности. Если же сила однородна, изотропна, но не зависит от плотности, а ее среднёе значение равно нулю, гидродинамический

а-эффект не возникает.

Формализм теории возмущений и метод многомасш, кЭноп разложения позволяют рассмотреть случай, когда средние поля значительно превышают по амплитуде турбулентные. Эта задача решена в § 5. 2. Ряд теории возмущений в этом случае начинается не с нулевого порядка, а с минус первого по мелкомасштабному числу Рейнольдса. Соответствующее уравнение для крупномасштабной скорости возникающее как условие разрешимости в третьем порядке по мелкомасштабному числу Рейнольдса имеет вид:

+ <*(!&! ) ъЛ й/ - 1 Г2*/ - Р^Р чо.

7- ^ = О = г 11, ■

где а (11Л) дается выражением:

00 ос. 4 '

Н(«,оО) Л*-)

^ v- г ьлУ-ЭС.КУА/)'2

О - 00

л< 1

I ( 1И1

где т = М/ке, М - число Маха мелкомасштабного движениг. Соотношения (17) являются условиями разрешимости в более низких порядках теории возмущений, а ( V > - убывающая функция V Поэтому с ростом V происходит насыщение неустойчивости к

формирование крупномасштабной спиральной структуры.

Уравгение (16) обладает стационарным решением, имеющим вид:

где к и - стационарные волновое число и амплитуда решения. Величина кя1 определяется из условия а ( V ) = к г, а р -константа, определяющаяся начальными условиями.

Численное решение граничной задачи для уравнения (16) со свободными границами для случая, когда только две компоненты поля ■V отличны от нуля и зависят только от г, (V CZ); (2); 0)) показывает, что масштаб среднего поля увеличивается с течением зремени, и его амплитуда возрастает. Максимум спектра решения смещается в область малых волновых чисел, что можно интерпретировать как указание на возможную связь гидродинамического а-эффекта с обратным потоком энергии по спектру в спиральной турбулентности.

В § 5.3 обсуждаются возможные приложения гидродинамического а-эффекта к физике и астрофизике.

Хорошо известно, что турбулентная конвекция во вращающихся объемах, например, в атмосфере, является спиральной. Под действием силы Кориолиса конвективные ячейки закручиваются вокруг вертикали так, что среднее значение спиральности конвективных движений отлично от нуля. В то'же время, атмосфера Земли является

сжимаемой, что обычно учитывается в геофизической гидродинамике при описании движений на мезоскопических и макроскопических масштабах. С другой стороны, в атмосфере Земли часто образуются тропические циклоны, в которых основная компонента скорости лежич в горизонтальной плоскости, а на горизонтальную циркуляцию накладывается более слабая вертикальная циркуляция. Таким образом, поле скорости в тропическом циклоне спирально Кепи предположить, что тропические циклоны возникают вследствие гидродинамического а-эффекта, то эту особенность поля скорости ь тайфунах легко объяснить, поскольку усиливающиеся спиральной турбулентностью крупномасштабные возмущения оказываются спиральными. В § 5.3 диссертации показано также, что если предположить, что тайфуны образуются вследствие гидродинамического а-эффекта, то удается объяснить порог их возникновения по географической широте, циклоническое и антициклоническое направление закрутки в северном и южном полушариях. Оценки на время развития и масштаб вихря 1анже качественно согласуются с наблюдениями. Однако здесь щ-учитывались многие особенности, присущие именно атмосферным процессам, оценки делались на основе уравнения гидродинамического а-эффекта для сжимаемой среды, которое в этом случае мы понимали как феноменологическую модель, позволяющую предложит» физический механизм передачи энергии от конвективных масштабов ь более крупные. Впоследствии было показано СМоисеев. Руткевич Тур, Яновский, 1988), что если учесть силу тяжести, конвекцию и другие реалистические особенности атмосферы. то происходит перестройка мелкомасштабных спиральных движений и формирование

крупномасштабного вихря.

В качестве возможного приложения гидродинамического «-эффекта в сжимаемой среде можно указать также на гидродинамические эффекты в галактическом диске. Согласно общепринятой точки зрения, магнитные поля спиральных галактик формируются в результате а-эффекта в МГД. Если в качестве отправной точки воспользоваться представлениями этой теории (теории МГД-динамо). то теория гидродинамического а-эффекта предсказывает формирование в галактическом диске спирального вихря с масштабом порядка 1 килопарсека за время порядка 10® лет.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе и следующие из них выводы:

1. Однородная изотропная спиральная турбулентность в сжимаемой среде способна усиливать и поддерживать первоначально слабые крупномасштабные спиральные вихри.

2. Спиральная турбулентность в несжимаемой среде в присутствии неоднородного крупномасштабного потенциального потока способна усиливать крупномасштабные вихри.

3. В двумерной гидродинамике влияние мелкомасштабных случайных движений на крупномасштабные может быть описано как дополнительная анизотропная турбулентная вязкость. Учет этого влияния может привести к изменению критерия устойчивости крупномасштабных вихрей.

4. На сильно нелинейной стадии гидродинамического а-эффекта и сжимаемой среде возможен поток энергии в сторону больших масштабов по спектру решения граничной задачи для осредненного

уравнения.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Моисеев С. С. , Сагдеев Р. 3. , Тур А. В. , Хоменко Г. А. . Яновский В.В. Теория возникновения крупномасштабных структур в гидродинамической турбулентности.//ЖЭТФ.- 1983. -т. 85 -с. 1979 - 1987.

2. Моисеев С. С. , Сагдеев Р.Э. , Тур А. В., Хоменко Г. А. , Шукуров А.М. Физический механизм усиления вихревых возмущений в атмосфере. //ДАН СССР. - 1983. - т. 273. - N 3. - с. 549 - 553.

3. Sagdeev R.Z. , Moiseev S. S. , Tur A. V. , Khomenko G. A. . Yanovsky V. V. Theory of Development of Large-Scale Structures in Hydrodynamical Turbulence, in Self-Organization, Autowaves and Structures Far from Equilibrium, ed. V.I.Krinsky. Springer-Verlag, Berlin, N.Y. ,Tokio, 1984, p. 74 - 76.

4. Tur A. V., Khomenko G. A. , Yanovsky V. V. Development ot Structures in Stochastic Systems and Closure of the Averaged Equations, in Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, ed. R.Z.Sagdeev, Harwood Acad. Publ. . London, Paris. N. Y . 1984,- v.2.- p. 1073 - 1078.

5. Тур А. В. , Хоменко Г.A., Яновский В.В. О замыкании осредненных уравнений и возникновении структур в стохастических системах в: Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике, - Киев.-Наук, думка. - 1985 - ч. 2. - с. .237 - 239.

6. Гварамадзе В. В. , Тур А. В. , Хоменко Г. А. . Чхетиани О. Г Ой одной возможности образования крупномасштабных вихрей г-океанической турбулентности.- Т*»з докл. Ill Съезда

советских океанологов.- Л. Гидрометеоиздат. - 1987.- с.103-105.

? Gvaramadze V. V. , Гиг А. V. , Khomenko G. A.. Chkhetiani O.G. Helical Structures in Turbulent Flows. Proc.Int.Conf. on plasma Phys. , Nauk. Dumka. - 1987.- v. 2,- p. 203 - 206.

8 Оганян К. P. , Тур А. В. , Хоменко Г. A. О влиянии турбулентности на устойчивость течения Колмогорова и эффекте отрицательной вязкости.- в: Взаимодействие и самовоздействие _ волн в нелинейных средах, - Душанбе. - Дониш. - 1988,- ч.2. - с. 92-106.

8. Khomenko G. А. , Moiseev S. S., Tur A.V. Hydrodynamlcal alpha-effect In compressible medium. Annales Geophys. - 1989.-p. 289. (Proc. XIV General Ass. Eur.Geophys. Soc.)

10 Gvaramadze V. V. , Khomenko G. A., Tur A.V. Large-scale vortices in helical turbulence of incompressible fluid. Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. - 1989.-v. 46. - p. S3- 69.

11 Дружинин О.А. , Хоменко Г.А. Нелинейная теория гидродинамического альфа-эффекта в сжимаемой среде и обратный каскад энергии, - в: Тр. международн. конф. "Нелинейные и турбулентные процессы в физике",- Наук, думка. -1989. - т.2.- с.83 - 86.

12. Khomenko G. А.. Moiseev S. S., Tur A.V. Hydrodynamical alpha -effect, in Proc. of the 5-th Europ. Phys. Soc.-1989. - p. 61-64.

13. Моисеев С.С., Тур А.В., Хоменко Г.А. Гидродинамический альфа-эффект в сжимаемой среде. Препринт ИКИ N 1407.- 34с.-Москва.-1988 (Khomenko G.А. , Moiseev S.S., Tur A.V. , Hydrodynamical alpha-effect in compressible medium. Journal of Fluid Mech.-1991).

!4 Моисеев С. С.. Оганян К. Р.. Руткевич П. Б. г Тур А. В., Хоменко

Г.А.. Яновский ВВ. Вихревое динаио в спиральний

турбулентности. - в: Интегрируемость и кинетические ур;."чения для солитонов. - Киев. - Наук, думка. - 1990. - с. 280 - 332

15. Druzhinin 0.А., Khomenko G. A. Nonlinear hydrodynaraic alpha effect and inverse energy cascade in Lurdulence oi compressible fluid.- in: Nonlinear World. World Scientific. Singapore.- od V.G.Bar'yakhtar. - 1989,- v. 1,- p. 470-489 (Preprint IKI N 1588, Moscow, 1990. )

16. Khomenko G.A., Druzhinin 0.A. Nonlinear evolution m large-scale structures and inverse energy cascade m helical turbulence.- in: Proc. Int. Symp. "Generation of large-seal* structures in continuous media" Moscow. - 1990,- p. 137.

17 Druzhinin 0. A. . Khomenko G. A. Large-scale structure m helical turbulence. - Stockholm. - 1990.

18. Druzhinin O.A., Khomenko G. A., Large-scale structures m helical turbulence.- in: Advances in turbulence eii Johansson A. V. and Alfredsson P. H. - 1990,- v. 3. - p. 14

19. Druzhinin O.A. .Khomenko G. A. Generation of vortex struct ui in random isotropic field of body forces - in: Absti 1Ы Workshop Anisotropy of fluid flows in ext forces fields Jurmala. - 1990. - p. 31.

20. Druzhinin O.k.. Khomenko G. A. . Moiseev S S Turbulent ton. им and larg -scale instability of compressible flows - I'repi mi IKI N 1684.- Moscovi. - 1990.