Нестационарный диффузионный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности при наличии возвратных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

О

САСЮК ВЯЧЕСЛАВ ВАСИЛЬЕВИЧ

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ДИФФУЗИОННЫЙ ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗВРАТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соисканне ученой степени кандидата технических наук

Казань - 2000

Работа выполнена на кафедре аэрогидродинамики Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева (КАИ)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Павлов В. Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зарипов Р. Г., кандидат физико-математических наук, доцент Овчинников В. А.

Ведущая организация:

Казанский государственный технологический университет

Защита состоится "_"_2000 г. в_часов на заседании диссертационного совета Д063.43.01 Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева (КАИ) по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10, КГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ.

Автореферат разослан "..

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

2000 г.

А. Г. Каримова

Л<НМ,о

ОЕЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Теоретическое и экспериментальное изучение аэродинамических закономерностей в пограничных слоях при течениях жидкости или газа с усложненными физико-химическими свойствами обусловлено необходимостью решения практических задач в различных технических и производственных сферах: в авиации, космонавтике, а также в химической индустрии, поскольку процессы массопереноеа в дащкостяхигазах лежат в основе многих химических производств. ,

В первую очередь можно отметить вопросы интенсификации процессов перемешивания различного рода жидких и газообразных сред, вступающих-между собой в химичскне реакции; процессы течения в близи твердых поверхностей, обладающих каталитическими свойствами, при наличии сублимации; процессы движения и переноса тепла и примесей в многофазных и многокомпонентных потоках, а также при наличии магнитного поля. Во-вторых, безусловно важным является решение проблем создания новых, более устойчивых к химическим и температурным воздействиям защитных покрытий, используемых в ракетостроении, авиации и химической индустрии. И, наконец, безусловно, актуальным является теоретическое исследование перечисленных выше физико-химических процессов в рамках нестационар-^ ного пограничного слоя. Исследования нестационарных пограничных слоев представляет несомненный интерес, так как экспериментальное изучение нестационарных эффектов затруднено из-за малости временных масштабов, на которых развиваются события.

К настоящему времени опубликовано большое количество научных работ посвященных исследованию стационарного диффузионного пограничного слоя. В этой области следует отметить работы Левича В. Г.1, Овчинникова В. А.2, в которых представлены решения уравнений стационарного диффузионного пограничного слоя для безотрывных течений. Классификация возможных инвариантных решений для систем уравнений динамического нестационарного

пограничного слоя приведена в работе Хьюи В.Х. и Филиппа К.Х. Ма,3 где также представлены численные решения, соответствующие возвратным течениям в пограничном слое. Отрывные течения в стационарном магнитогид-родинамическом поглраничном слое рассмотрены в работе A.B. Готовцева4.

1 Левич В. Г. Физико - химическая гидродинамика. М:. Изд-во АН ССС. 1952. 538 с.

2

Овчинников В. А. Инвариантные краевые задачи конвективной диффузии в пограничном слое. // Деп. в ВИНИТИ № 448 - 83. 1983.30 с.

3 Philip К. Н. Ma, V. Н. Hui. Similarity solutions of the two-dimensional unsteady boundary layer equations.//Fluid Mech. 1990. Vol. 216. 1990. pp. 537-559.

Готовцев А. В. Отрывные автомодельные течения в ламинарном магшггогидродина-мическом пограничном слое при вдуве отсосе. // Изв. АН ССС. Механика жидкости и газа. 1972. №4. С. 38- 46.

Целью работы является:

- Исследование характеристик и структуры течения плоского нестационарного ламинарного пограничного слоя при наличии химических реакций для различных скоростей массообразования компоненты смеси и для различных законов зависимости вязкости от концентрации при наличии вдува (отсоса), и при наличии возвратных течений в окрестности критической точки и на проницаемой пластине.

- получение инвариантных решений уравнений нестационарного бинарного ламинарного пограничного слоя, содержащих в себе известные инвариантные решения уравнений нестационарного динамического ламинарного пограничного слоя.

- исследование плоского стационарного и нестационарного ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности, стационарного магнито-гидродинамического пограничного слоя с целью изучения структуры поля течения при наличии отрицательных токов и их влияния на характеристики пограничного слоя.

- Создание алгоритма метода, позволяющего численно исследовать ламинарные течения сложной формы, возникающие в пограничном слое вследствие резкого замедления внешнего набегающего потока.

- Получение новых численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений ламинарного пограничного слоя, в котором реализуются возвратные течения и проведение анализа их характеристик.

Научная новизна состоит в следующем:

- поставлены задачи и исследовано влияние различных законов зависимости кинематического коэффициента вязкости и скорости массообразования компоненты смеси от концентрации на характеристики нестационарного диффузионного тираничного слоя в окрестности критической точки и на проницаемой пластине.

- исследовано влияние вдува (отсоса), а также различных значений числа Шмидта на характеристики нестационарного диффузионного пограничного слоя в окрестности критической точки и на проницаемой пластине, в зависимости от величины концентрации на поверхности твердого тела.

- построены инвариантные решения нестационарного бинарного пограничного слоя, включающие в себя перечисленные и классифицированные в работе Хьюи -В. X. и Филиппа К. X. Ма автомодельные решения нестационарного динамического пограничного слоя.

- Исследовано влияние различных законов зависимости кинематического коэффициента вязкости на характеристики как нестационарных динамического и диффузионного, так и стационарных динамического и магнито-гидродинамическош диффузионных пограничных слоев при наличии отрицательных токов.

- Предложена новая методика численного интегрирования плохо обусловленных краевых задач в случаях, когда уравнение имеет не единственное

решение. Использование этой методики позволило выявить наличие возвратных течений в пограничных слоях, а..также выделить основные признаки, присущие характеристикам пограничного слоя, когда в нем реализуются именно возвратные течения.

- Получен целый ряд новых численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих нестационарный динамический, нестационарный диффузионный, стационарный магнитогидродинами-ческий диффузионный пограничные слои при наличии возвратных течений.

- Предложен принцип классификации численных решений уравнений пограничного стоя, положенный в основу методики численного интегрирования.

Основными методами исследования яатяются метод тёоретико-груп-пового анализа дифференциальных уравнений в частных производных Ли -

Овсянникова5, теории ламинарного пограничного слоя с усложненными свойствами, методы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений с краевыми условиями.

Объектом исследования являются динамические, физико-химические, а также магаитогидродинамические характеристики ламинарного диффузионного пограничного слоя несжимаемой жидкости, определяющиеся из решения исходных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для более общего понимания процессов происходящих в пограничных слоях несжимаемой жидкости при наличии химических реакций, а также могут стимулировать дальнейшие исследования этих процессов при различных режимах течения. В частности, для случаев, когда возникают возвратные течения, обусловленные резким замедлением набегающего потока. Возможно использование полученных результатов для моделирования тепловой защиты спускаемых космических аппаратов, гиперзвуковых летательных аппаратов, а также при расчете физико-химических характеристик материалов, работающих в технически агрессивных средах. Полученные результаты являются "точными" решениями и могут использоваться для оценки приближенных методов решения уравнений пограничных слоев с усложненными свойствами.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена строгой математической постановкой рассматриваемых задач, используемых методов. Математическое описание исследуемых физических процессов, проведено в рамках известных теорий и уравнений механики жидкости. Полученные результаты, хорошо согласуются с результатами ранее опубликованных работ других авторов. Достоверность и точность подтверждается многочисленными тестами, результаты которых приведены в данной работе.

Публикации и апробация работы. Основные результаты работы . ,

5 Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.-Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1962. 240 с.

докладывались на: научной конференции студентов Вузов. Республики Татарстан (Казань - 1995 г.); на Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны - 1997 г.); на III Республиканской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов (Казань - 1997 г.); на научной конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов КГУ (Казань - 1999 г.); на школе - семинаре молодых ученых и специалистов, под руководством академика РАН В. Е. Алемасо-ва (Казань - 1999г.); на научно-технических семинарах кафедры аэрогидродинамики КГТУ им. А. Н. Туполева (Казань - 1995-1999 г.г.).

Публикации. По теме диссертационной работы имеется 5 публикаций. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы; основная часть содержит 150 страниц, 91 наименование источников литературы; приложение содержит ИОрисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуатьность темы диссертационной работы; дается краткий обзор литературы, касающейся темы диссертации, излагается содержание работы, формулируются основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе диссертации исследуется обтекание тела двумерным нестационарным потоком несжимаемой жидкости при наличии химических реакций, в результате, протекания которых образуется реагирующая двухком-поненгная смесь (Рис.1). Предполагается, что вдув (отсос) не воздействуют на параметры течения вне пограничного слоя. Начало вдува (отсоса), равно как и начало существования бинарной смеси, совпадает с точкой образования пограничного слоя. При этом уравнения ламинарного пограничного слоя в прямоугольной системе координат и соответствующие граничные условия будут иметь следующий вид:

ди ди ди .ди. ди. д , , .ди.

-+ и-+ v-= —-+ ие —+ —(v (с)-);

dt дх ду dt дх ду ду

дх ду

дс дс дс д ,v(c)dc\ ' '

■-+ и —+ v-= —(——---) + от;

dt дх ду ду Sc ду

у = 0: м=0; v=vw; c=cw; у-¥со: и-*ие\ с--»0, (2) где и, ue,v- составляющие скорости, t,x,y - безразмерные независимые переменные, С - относительная массовая концентрация компоненты смеси, v(t) - кинематический коэффициент вязкости, m -скорость массообразования, Sc = const- число Шмидта. Индексы «е» и «w» относятся к параметрам на границе пограничного слоя, и на поверхности тела соответственно. Нестационарность пограничного слоя может быть вызвана нестационарностъю вдува (отсоса), а так же нестационарностью на внешней границе пограничного слоя.

Рис. i

Следует отметить, что система уравнений (1) предоставляет возможность выбора • зависимости скорости массообразования либо от концентрации, либо от времени. В данной работе проанализированы обе возможности, т.е. т(с) и mit). При проведе- . нни группового анализа будем считать кинематическую вязкость и скорость массообразования произвольными функциями массовой концентрации. При таком подходе уравнение диффузии в групповом смысле неотделимо от уравнений динамического пограничного слоя.

При решении системы определяющих уравнений использовались программные пакеты символьной математикти Reduce и Maple. В результате решения определяющих уравнений алгебры Ли, получены законы изменения кинематической вязкости и скорости массообразования от концентрации, позволяющие провести классификацию течений с усложненными свойствами.

S с

dv 1 de v

de v где

= с.

= е,

¿с

dm ~dc dm dt

m(c)(el +c, -26,) -£'(0 = 0;

-= m(t)(ej + c, ~2b1) - s'{t) + ue[ (*) = 0,

(3)

(4)

- произвольные постоянные, e(t) - в общем случае произвольная функции от t, (х) - произвольная функция от х, m - скорость массообразовакия для случаев m — m{t) (4) и m - >п(с) (3) соответственно. Для нахождения основной группы, допускаемой различными специализациями системы (1) при m ~ mit) и m = т(с), используются уравнения (4) и (3).

Во второй главе диссертации конструируются инвариантные решения уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций. Исследуется их влияние на характеристики пограничного слоя.

В п. 2.1 рассматриваются структуры внешних невязких течений допускающие автомодельные решения. В данной работе, исследуются случаи степенного распределения скорости на внешней границе пограничного слоя.

В п. 2.2 строятся инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя доя различных скоростей массообразования компоненты смеси. Рассмотрим подгруппу, для одного из случаев, когда

^ / » д д 8 в, О) = const., с оператором л 3 =

-+ и ■

ди.

Полный набор функционально независимых инвариантов:

Система уравнений (1) и граничные условия (2) примут следующий вид:

£1з_+ + ^ + +

V' з/з

Бс

8 дх ду 2 д!_ 3 2 4 <?/,

д1 ду б I ду \ ду

13 + 0; (6) ду

8 { 4 ду ду

у = 0: /3(;,0) = 0; /4(/,0)=уиг; /5(/,0) = с-и,; (7)

]3(1,у) = 1; ' 150,у)-*0.

Л

В качестве примера для случая и^ ~ ~х рассмотрен вариант, когда

у (с) = с. Для дальнейшего решения используем, полученный в результате повторно проведенного группового анализа оператор вида

В качестве новой независимой переменной для системы уравнений (6)

выбран инвариант / = . (9)

г

■■> Полный набор независимых инвариантов для исходной системы уравнений (1), будет выглядеть следующим образом:

г> ; V---£-/(»,); (п) - 0<>)

.{"- е I t ■ . (

Здесь /(ц),ф (?})- функции удовлетворяющие следующей системе уравнений:

ГФ + /"ф'+ г {А/ + 1ц) + /'(1 - 4Л + Л -1 = 0;

1 1 2 (П) 2 • ьс

Система уравнений (11) представляет собой окончательный вид системы уравнений (1). Граничные условия для системы (22) следующие: /(())=/„ = 0.3; 0,1;0;-0.1;-0.3; /'(0)=0; фф)=ф„= 1;

/'(«.) = !; *(»)-► 0;

Результаты численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений из [? ] были выбраны в качестве тестовых. На рис. 2 -г 7 представлены результаты численного интегрирования системы уравнений (11).

Рис. 2. Профи-ис продольной и поперечной состааляющих скорости в пограничном слое при различных .шачешмх иарамара А.

««5*1»

/л

л

\Т1г

\ ! V

я

Рис. 4. Профили продольной составляющий скорости & пограничном ело« при А ™ 2 (7р1ш1р - тип решения).

20

9 ] 10 15 М Я 3»

П

Рис. в. Профили продольной состаытоший скорости в тпранпчним слое ири А 2 (9р1ш1р - тип решения).

1

1>ис. 3. Влняше различных шачений параметра А на распределение касательного напряжения по толщине пограничного слоя.

I

<р о

О 5 1» И 20 25

Рис. 5. Профили продольной составляющий скорости в пограничном слое при А - 2 (10р - тип решения).

1

♦

5 10 15 20 15

Рнс. 7. Профили кшгаеитрадпп в пограничном ооелрн А = 2 для 7р1ш1р, 10р, 9р1т1р - типов решения.

[ Юр

;.........."Г

.... ЧЧ»»^ : / >' I

А Й 1

\! V

/ ~ и V •

В третьей главе исследуются групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластинке при наличии вдува (отсоса) и изучается их влияние на характеристики пограничного слоя.

В п. 3.1 приводится постановка задачи для случая плоского обтекания пластины, т.е. ие-С = const. В этом параграфе конструируются инвариантные решения системы уравнений нестационарного плоского ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций и слабом вдуве (отсосе) на проницаемой пластине для различных скоростей массообразования компоненты смеси и для различных законов ■ изменения вязкости от концентрации. Предполагается, что начало вдува (отсоса) совпадает с началом образования пограничного слоя, а нестационар-ностъ вызвана только нестационарностью вдува (отсоса) или присутствует в следствие нестационарности массовой концентрации на поверхности.

Система уравнений и граничные условия имеют вид

ди 8 и dt дх

ди dv

дх ду

+ v

0;

ди ду

дс дс

--н и -+■ V

dt дх

дс

ду ду ^ 5с ду у = 0: м = 0; у=у№(г,х); с = с„((,х); уч

Рассмотрим подгруппу со следующим оператором:

где а * 0. Набор инвариантов следующий

д

ду

д

ду

v(c)

ди_

ду

v (с ) д с

(13)

+■ т (с ); со: и-ум =1; с-»0, (14)

и- д д

Х-, = — + а —, сЬс 3f

1х^-ах;12=у,ЫЬ,Ь)=ч-,ииьЬ)^;15{1112)=с. (15)

В этом случае система уравнений бинарного пограничного слоя (13) и граничные условия (14) примут вид

ди ди ди д

--а и— + v-=-

ЗЬ 81 i cf2 df2

ди dv -а—-f-=0;

а/, • si г

дс дс дс д

——осы-+у-= ——

д1\ £?/( 612 д! 2

ди)

Э/2

дс

(16)

Бс д12

/2=0:м = 0;у=у>(,(/1);с = си,(/1); //-*«,: и->1;с->0. (17)

В п. 3.3. рассматривается дальнейшее редуцирование и численное интегрирование систем уравнений нестационарного диффузионного пограничного

слоя на проницаемой пластине.

Для дальнейшего решения введем обозначение 1 -аи-и , Используя уравнение неразрывности и ввода функцию тока аналогично

методике, использовавшейся в работе [4]: у=/11/2<р(п)', Л = полу-

чим систему уравнений (16) и граничные условия (17) при а = 1 в виде:

йц

-1/2 ,

(

с1

аг)

<1ц

1 *<Р п

, 2 ^

1 о & л

+ — <р-= 0 ;

2 ^ Л,

г] = 0: — = 1; у,„ = --<р(0) = соп51; Д0) = с„ с/г] 2

►

->0; ^->0.

(18)

(19)

Здесь и* -

<1ц>

• 1/2

с=дтг).

Система уравнений (18), с граничными условиями (19), в данной работе исследована численно для случаев, когда с = ^(ц)^, при к = 1; 2. Результаты численного интегрирования системы уравнений (18) представлены на рис. 8, 9. Анализ полученных результатов показал, что при к = 2 диффузионный пограничный слой имеет меньшую толщину, чем при к = 1.

1 ] 2 «ТО = -0.3. ПО) ЗЙЛ-О; №)"05 4 5о«0; Р(3)Ч

РТОМ

,1 *0]»-а.3;*0}«05 .

* 4 :

;5 л0)-03; Р(0)»0.5 1

,6 I

101}

Рис. 8. Профили продольной составляющей скорости и распределение касательного напряжения в пограничном слое прп различных величинах вдува (отсоса) и различных значениях концентрации на поверхности обтекаемой пластины.

Рис. 9. Профили концентрации в пограничном ело с ггри различных величинах вдува (отсоса) и различных значениях концентрации на поверхности обтекаемой пластины.

4.0

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию влияния нестационарности на характер течения в пограничном слое, а также классификации получаемых решений и обсуждению метода численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений диффузионного пограничного слоя при наличии возвратных течений.

В п.4.1 рассматривается задача Янга.6 Янг исследовал нестационарный пограничный слой в окрестности критической точки и показал, что уравнения пограничного слоя первого порядка имеют автомодельные решения, когда скорость основного потенциального течения ие =х/(1 ~а1), где х - продольная координата, Г - время, а - константа, характеризующая нестационарность невозмущенного потока.

При а = 0 мы имеем стационарный случай, при а <0 - замедленное течение, а при а>0 - ускоренное течение. Вводятся следующие переменные подобия:

V = Л(г}), £=,/(1 -а/)" (20)

Здесь у - функция тока, а %) - функция, удовлетворяющая следующему уравнению: + +]+а(1-1г'-ф"/2) = 0. (21)

Граничные условия для уравнения (44) имеют вид

Л(0) = И'(0) = 0, й'(оо) = 1. (22)

Янгом установлено, что для плоского течения в окрестности критической точки решения существуют только при а >-3,175 (при а= -3,175 обнуляется поверхностное трение). Анализ численного исследования системы уравнений (21) с граничными условиями (22) показал, что можно выделить три диапазона значений параметра характеризующего эффект нестационарности невозмущенного потока а.

Первый диапазон при а > 0, характеризуется отсутствием решений соответствующих реверсивным течениям.

Второй диалпазон при 0 > а > - 3.9999, характеризуется наличием двух решений, одно из которых соответствует течениям с отрицательными токами.

И, наконец, третий диапазон реализуется при - 4 > а > - 5. Вэтом диапазоне значений параметра а имеется два решения соответствующих течениям с отрицательными токами в пограничном слое (рис. 10, 11). Особенностью' системы (21) для этого диапазона является малая чувствительность получаемых решений к изменениям параметра а. Два решения реализуются независимо от значений а (в пределах диаппазона - 4 > а > - 5). Зги решения представлены на рисунках рис. 10, 11, они характеризуются разными значениями второй производной на поверхности А"(0).

6 Yang K. On certain sujiilar solution to unsteady lamina! boundary layer equations in low speed flow. // Journal of aerospace sciences. 1958. Vol. 25.

f,f*

a--4 a • ■IS./

/

/

/ У ,

... - f 15)*-0.57517

■ 7"|0> = -1.35777 '

0: -4,5. j

j

/ / .1

i - ("(4=-0.57517 i

..... П0) =-1.52777 :

Рис. 10. Профили продольной и поперечной составляющих скорости в пограничном слое при различных знаменит параметра а.

Рис. 11. Влияние различных значений параметра а на распределение касательное напряжения по толщине пограничного слоя.

В п. 4.2 численно исследуется стационарный диффузионный пограничный слой при наличии отрывных течений. В этой главе рассматриваются решения, полученные путем дальнейшего редуцирования системы (6) с учетом граничных условий (7) для случаев, когда в пограничном слое имеются отрицательные токи.

Окончательный вил редуцированной системы уравнений и граничные

условия следующие [2 ]:

+/7 + Ж1-/'2):

аф

1-ф" + /ф' = 0;

-0;

(23)

Sc

=0: /=/г=0; ф=0; /'->1; ф->1. (v =

v

Sc = —) D

(24)

Зависимость коэффициента кинематической вязкости от концентрации

задается следующим соотношением [2]:

у(0)

v = (l -Я)ф(т}) + X, где А = -

(25)

В качестве тестовой задачи выполнено численное интегрирование системы уравнений (23) при v(c) = const (Я=1 рис. 12 -14). В результате получены профили скорости послеотрывного течения (рис. 12), полностью совпадающие с профилями Стюартсона7 (при Д.=1). Очевидна общая для ламинарных диффузионных пограничных слоев закономерность, которая заключается в том, что при больших Sc, в частности при Sc = 100, пограничный слой тоньше, чем при малых Sc (Sc = 1) рис.15.

Stewartson К. Theory of unsteady laminar boundary layers.//Adv. Appl. Mech. Vol.4, pp.1-37.

Как и предполагалось, решение при наличии возвратного течения соответствует большей толщине слоя. Для безградиентного обтекания пластины, на поверхности которой протекает химическая реакция, определен максимально возможный вдув = - 0.87574.

2 4 ( 8 10 12 н

п

Рис. 12. Профили продольной составляющей скорости в пограничном слое при различных значениях параметров р и ). (режим отрывных течений).

{ I I ! . 1 / i / !

, 1 1 1 .< 1 ! 1 ■ 1 Х'1.0 1

! I | ; i _____fs-0.02 •

i i { i ---j

1 1 ----j*.О,« ,

/ } -(=>-0.1380!

2 5 5 J .7,5 10.« 12.5 15.0

Ч

Рис. 13. Профили концентрации в пограничном слое при рахшчнык значениях параметра (5 (режим отрцвнш: течений').

с, 0.5

Г-.........

»•OS

Л=1.0

-.....е-ш I

___- i=-a.or •

____/*.0.1< I

- i"-0.1W»i

_,_I

115

г

, t

! *

/ * 4 /

. ScM.il > Sc • 100.0

... ¡да

—t'-ea? —¿ = -0.1»

10.0

Рис. 14. Профили продольной составляющей спорости в пограничном слое при различных значениях параметров {) и X (режим безотрывного обтекания).

Рис. 15. Профили продольной составляющей скорости в пограничном слое при различных значениях параметров 5с и £ (режим безотрывного обтекания).

Численный эксперимент показывает, что благодаря соответствующему подбору значения коэффициента кинематической вязкости v(c) можно уменьшить или увеличить (затянуть) область отрывного течения (рис. 12, 13).

В п. 4.3 численно исследуется нестационарный диффузионный пограничный слой в случае неограниченной пластины, импульсивно приведенной в движение из состояния покоя. Так как в этом случае v = 0, u-u{y,t), то,

о

согласно Демьянову А. Ю. и др.," система уравнений (13) и граничные условия (14), с учетом функционатьно независимых инвариантов

и=Л/\)\т]); с=ф (г?); 77= у//1'2, запишутся следующим образом:

. ~ (26)

^<¿4 —(фпф + ф'2) = 0. 2

Граничные условия для системы (26) следующие:

77 = 0: /*=0; ф=ф„; /->}; ф-+0; -(27)

В результате численного интегрирования системы уравнений (26) подтвержден факт существования зоны отрывного течения на неограниченной

пластине при и~(" (рис. 16, 17,19). Очевидно, что в момент начала движения ? = 0 на границе тела имеется разрыв касательной составляющей скорости -вихревая пелена.

1

Рис. 16. Профили продольной составляющей скорости в пограничном слое при различных значениях параметра н (режим отрывных и безотрывных течений).

Рис. 17. Профили продольной составляющей скорости а пограничном слое для отрывных течений, при различных значениях Бс и различных величинах концентрации Ф(п1 на поверхности пластины.

Исследовано влияние параметров, определяющих характер течения на внешней границе пограничного слоя, на величины скоростей, касательного напряжения и концентрации в зоне отрывного и предотрывного течений. В частности, для системы уравнений (26) установлено, что в системе координат,

связанной с пластиной, будем иметь [']: при п < - 0,5 - профили скоростей с отрицательными токами (послеотрывное течение, напряжение по всей поверхности пластины отрицательно рис. 17, 19); при п = 0,5 - отрывной профиль в

пограничном слое (сплошная линия на рис. 16); при л > 0,5 профили (рис. 16).

предотрывные

/!:: / м-и

:7 К(4=еапй

-Sc-1

---Se* 100

.....Scioai

Piic. 18. Профили Еондигграцпи в пограничном слое для отрывных течений, при ритачвых

значениях Se к различных величинах концентрации 4(11 на поверхности пластины .

Гас. }9. Профили нродшьион составляющей скорости в пограничном слое для отрывных течений, при различных значениях -Чс.

В п. 4.4 рассматривается стационарный магнитогидродинамический диффузионный пофаничный слой на проницаемой поверхности.

Согласно Готовцеву А. В., система уравнений магнитогидродинамичес-кого диффузионного пограничного слоя несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности и соответствующие граничные условия имеют вид [4 ]:

du ,, du 1 dp д

и— + V — =---£-+ —

дх ду р de ду

du 8V .

— +-=0;

дх ду

и + у дс _ д ( v(c) дс дх ду <3у ^ Se ду

(28)

и->ие(х), 0.(29)

у = 0: и = 0;,щУ = У„; с = у < Здесь использованы следующие обозначения:

и, V— продольная и поперечная компоненты скорости; р - давление во внешнем потоке; р,ст, у(с) - плотность, электрическая проводимость и коэффициент, кинематической вязкости; В(х) — оставляющая магнитного поля, перпендикулярная к поверхности обтекаемого тела; У^,— при Ун>> 0 вдув, при ^ <о отсос; значение, концентрации на поверхности тела. , „,,

Функции В(х) и Е(х) рассматриваются как заданные |4]. Используя соотношение ие —= -——+ — (Е-иеВ), преобразуем систему (28) к виду <1х р с/г р

ди г, ди Л'е д(,кди} <?В1

и — +У — + Кс)— +-(ие - и);

ох ду ах о у о у J р

— + - 0; (30)

ох ду .

дс дс о j v(c) дс дх ду ду ( Sc ду

Предполагается, что скорость на границе пограничного, слоя задана степенной зависимостью ие = Сх", где C = const>0 [2].

Автомодельное течение в магнитогидродинамическом пограничном слое реализуется при следующих соотношениях:

Я = Б.х(т~1)/2, Vv = Vv/mA)l2. (B.,VWo = const) (31)

Вводя функцию тока и используя автомодельные переменные аналогично тому, как это сделано в работе [4 ]:

ф(гг)= Щ± ,-«-»>/*„(,.,>. / = V(c), V 2 4 2 (32)

ду ' ~~ дх

Зависимость коэффициента кинематической вязкости от концентрации задается соотношением v(c) = А0с+В0. В результате система (28) и граничные условия (29) перепишутся следующим образом:

Ф7 + />" + 00 - ?,2) + <РЧ>" + "(1 - <р')(2 - Р)= 0;

(33)

(/"'" + ff" I:

Sc

ri = 0:(p=<pw =0.0;ф' = 0;/ = /и, =1.0; г? -> со:<р' = 1.0; / -> 0.1, (34)

где п - параметр МГД взаимодействия п-аВ,~/р. Система уравнений (33) решалась численно при граничных условиях (34).

В данной работе при исследовании системы уравнений (33) рассматривались режимы с возвратными течениями, которые реализуются при различных значениях р,п. Анализ полученных численных результатов (рис. 20 - 25) выявил для решений системы (33), отвечающих возвратным течениям, туже закономерность, что и для аналогичных решений системы уравнений нестационарного пограничного слоя (11).

ф,ф -1

■ MOD tliffazional boundary bycr

о Unsteady dtiluzionoJ boundary layer

MGD drlluzioaaJ ЫчикЬгу layer

Imsteaidillu/ ionui boundary layer

Рис. 20. Профили продольной н поперечной составляющих скорости при А в 2, (режим возвратных течений, решение 4р - типа).

Рис. 21, Распределение касательного напряжения при А. = 2„ (режим возвратных течений, решение 4р - типа).

I — I ,'nsieady diflWuvui hounda^ layer

ffLli

V4, XT' \

• MGD diliimonal boundary layer " Unsleauiv dffuztonai boundary layer

Рис. 22. Профили конпешрацни при Л = 2. (режим возвратных течений, решение 4р - типа).

••(tl'AjC^Sj

~— MGD tiiBuiwojii boundary lJ>«r -- Uasieady diffuziurm! boundary taver

Рис. 24. Распределение касательного напряжения при А<= 2. (режим возвратных тгчгний, решение I р I ш2р 1 т I р - типа).

Рис. 23. Профили пролальной и поперечной составляющих скорости при А ~ 2. (режим возвратных течений, решение 1р1ш2р1т1р -типа).

--- MUD dirtiiiiotbil bouriday iayer ^ — Uiinteady difiimuudl bouadarv layer

V

Рис. 25. Профили концентрации при А = (режим возвратных течений, решение !р1ш2р)щ]р - типа).

Оказалось, что варьируя значения параметров p,n',<pw, при режимах возвратных течений, решения системы (33) переходят из одного типа в другой. При п > О и при одинаковых значениях /3 магнитное поле приводит к более наполненному профилю безразмерной продольной скорости, чем при п = 0, что является подтверждением результатов работы [4 ].

По мере увеличении . параметра МГД .взаимодействия реверсивный пограничный слой становится тоньше. На рис. 20 - 25 графически представлены 2 решения МГД пограничного слоя соответствующие тем же типам решений, которые были впервые получены для нестационарного динамического

пограничного слоя в работе [3], и во второй главе данной диссертации для нестационарного диффузионного пограничного слоя. Пунктиром на рис. 20 - 25 выделены кривые соответствующие МГД пограничному слою, а сплошной линией показаны решения соответствующие диффузионному МГД пограничному слою.

В п. 4.4 вводится классификация получаемых решений, а также рассматривается предлагаемая методика численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В результате детального исследования систем уравнений (11) и (33) найдено большое количество новых решения, что в свою очередь вызвало необходимость их классификации. Необходимость классификации обусловлена наличием большого числа отличных друг от друга решений (рис. 27 - 29), свойствами этих решений и самое главное спецификой итерационной процедуры, применяемой для получения этих решений. Поиск новых решений можно существенно облегчить путем определения и постепенного сужения диапазона значений второй производной на стенке, в котором прогнозируется наличие искомого решения. Учитывая тип искомого решения, использованный в данной работе алгоритм итерационной процедуры позволяет быстро выходить именно на нужное решение, что является необходимым условием для численного исследования диффузионного пограничного слоя. Информация о типе численного решения уравнения движения системы при v(c) = 1.0 хранится в одной из подпрограмм и по требованию основной программы предоставляется для сравнения с информацией накапливающейся в процессе решения полной системы уравнений диффузионного пограничного слоя, при v(c) * const. В зависимости от результата сравнения активизируется механизм корректировки. В качестве численного алгоритма, служащего непосредственно для вычисления значения функции, используется стандартный алгоритм метода Ньютона.

Порядок классификации рассмотрим на примере решений представленных на рис. 23. Однозначно идентифицировать (определить) тип полученного численного решения предлагается, для простоты, по виду графика функции

<р'(т}), (профиль продольной составляющей скорости). Рассматриваемое решение соответствует 1р1т2р1ш1р - типу. Цифра, стоящая перед буквой р, соответствует количеству перемен знака функции <р'(т;), или количеству точек пересечения с осью г;, (при <р'(п) = 0-0). на интервале до точек перегиба, которые расположены подряд, друг за другом и находятся в отрицательной полуплоскости. Средняя из трех близлижащих на графике функции <р'(п) точек перегиба на интервале, где <р'(г)) < 0.0, в которой ¡ф'(п)! имеет наименьшее значение, условно назовем точкой минимума или просто минимумом и обозначить буквой ш. Таким образом, на рис. 23 представлено решение 1р1пт2р1ш1р-типа.

Построение линий тока, соответствующих различным полям течений, производилось по формуле [3 ]: у = -А- А-.

На рис.26 схематически показано поле токов, (для А = 1), которое реализуется при наличии возвратных течений в окрестности критической точки. Очевидно, что по мере замедления набегающего потока, толщина пограничного слоя будет возрастать. Далее, как следует из анализа полученных численных решений, в пограничном слое может наблюдаться несколько зон с замкнутыми линиями тока, расположенных на различных расстояниях от поверхности.по толщине слоя. Не трудно видеть, что, например, для случая показанного на рис. 29, в поле течения имеются две зоны обратных токов, которые с течением времени смещаются по направлению от обтекаемой поверхности (критической точки).

Таким образом результатами, которые получены и проанализированы в данной работе, подтверждается тот факт, что при уменьшении величины скорости внешнего течения возможен отрыв. Проведенные исследования систем уравнений пограничного слоя позволяют сделать вывод, что в случае, когда в пограничном слое имеются зоны с отрицательными токами, причем значение касательного напряжения на поверхности является положительной величиной (рис 2, 3), по толщине пограничного слоя имеется четное количество областей с замкнутыми линиями тока (рис.29, А = 2). При этом, послеотрывной режим течения обусловлен наличием присоединенной к обтекаемой поверхности области с замкнутыми линиями тока, в которой напраатение движения жидкости у поверхности совпадает с направлением внешнего замедленного потока.

Если же в пограничном слое имеются зоны с отрицательными токами, но значение касательного напряжения на поверхности является отрицательной величиной (рис. 2, 3), по толщине пограничного слоя имеется нечетное количество областей с замкнутыми линиями тока (рис. 27, А < 1). При этом возникающее на обтекемой поверхности возвратное течение, обусловлено обратным направлением движения жидкости у поверхности, которое реализуется благодаря прсоединенному вихрю.

Рис. 26. Схематическое изоирлжсши: гсчсмпя й окрестности кртической ючки. тха

;и)я режима отрывою течения при замедленном ие).

-¡о о т

Рис. 27. Лшшитока в окрестности критической точки, полученные в результате расчета при А = 1.(ст релкамн указано направление движения аяинэсги).

■ г.5

15

Рис. 28. Линии тока в окрестности критической точки, полученные в результате расчета при А = 2 (Hiemenz flow).

• 7 0 ¡5

Рис. 29. Линии тока в окрестности критической точки, полученные в результате расчета при А = 2, для моментов времени / = 1 и (= 2 секунды, (стрелками указано направление движения жндкэстн).

Течение соответствует решению 2р - типа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Проведен теоретико-групповой анализ и получены инвариантные решения системы уравнений нестационарного бинарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности для случаев, когда вязкости зависит от концентрации, а скорость массообразования зависит и от концентрации и от времени. Найденные решения позволяют получить характеристики пограничного слоя, важные в практических приложениях и могут быть использованы как эталонные.

2. Получены автомодельные решения уравнений нестационарного ламинарного диффузионного пограничного слоя в окрестности критической точки и на пластине и проведен анализ полученных характеристик

3. Разработана методика численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, диффузионного пограничного слоя, с помощью которой был получен ряд решений, соответствующих течениям при

Iшшчии-отрииательньгх токов, течениям, возникающим и развивающимся в пограничном слое при торможении внешнего потока.

На примере решения нескольких задач теории пограничного, а так же на примере ряда проделанных численных тестовых экспериментов, показано, что применяемый алгоритм, вложенных итераций с функцией распознавания типа получаемого решения, может успешно применяться при интегрировании систем дифференциальных уравнений пограничного слоя, имеющих множество решений различной структуры.

4. На базе решений, полученных в результате проведенных численных исследований, выявлены критерии и приведены необходимые условия возникновения возвратных течений в пограничном слое. В рамках изучения структуры возвратных течений, проведен сравнительный анализ полученных для стационарных и нестационарных задач теории ламинарного пограничного слоя численных результатов.

5. В результате проведенного численного эксперимента, выявлено наличие трех диапазонов значения параметра а, характеризующего нестационарность в задаче Янга, при котором соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет несколько решений, отвечающих различной структуре течений в ламинарном пограничном слое.

6. Численно решена задача о формировании диффузионного ламинарного пограничного слоя на неограниченной пластине, импульсивно приведенной в движение в покоящейся среде.

Показано, что путем варьирования зависимости коэффициента кинематической вязкости от массовой концентрации компонент смеси на обтекаемой поверхности можно изменять величину зоны отрицательных токов.

7. Получен ряд новых численных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей нестационарный ламинарный пограничный слой в окрестности критической точки. В рамках данной диссертационной работы приводится двенадцать из полу ченных решений, соответствующих системам уравнений как нестационарного динамического, так и нестационарного диффузионного пограничного слоя, при наличии в их поле течения зон с обратными токами.

8. Получен ряд новых численных решений уравнений стационарного ламинарного диффузионного магнигогидродинамического пограничного слоя, которые соответствуют возвратным течениям.

9. Введена классификация полученных решений систем уравнений как нестационарного пограничного слоя, так и стационарного магнигогидродинамического пограничного слоя, при наличии возвратных течений. Для однотипных решений, принадлежащих системам уравнений нестационарного диффузионного и стационарного магнигогидродинамического диффузионного пограничных слоев, проведен сравнительный анализ по основным характеристикам.

10. Выделены и ^проанализированы общие закономерности, "присущие как динамическому, так и диффузионному пограничным слоям, при наличии в

их поле течения зон с отрицательными токами. Эффекты нестационарности поля течения проявляются, в частности, при быстром торможении тел. Появление отрыва потока в зоне, где скорость движения частиц жидкости вдоль контура падает, приводит к развитию возвратных течений во времени, если значение касательного напряжения на поверхности является положительной величиной, при этом в самой зоне возвратных течений жидкость начинает двигаться с ускорением.

Численно исследовано влияние вдува (отсоса), числа Шмидта Sc, а также влияние коэффициента кинематической вязкости на характеристики диффузионного пограничного слоя, в случаях, когда в пограничном слое реализуется режим возвратного течения.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сасюк В. В, Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя при вдуве (отсосе) и при наличии переменной вязкости // III Республиканская научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов, Казань, 1997: Тезисы докладов, С. 35.

2. Сасюк В. В. Павлов В. Г. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя при вдуве (отсосе) // "Механика машиностроения", Набережные Челны, 1997: Тезисы докладов, С. 20 - 21.

3. Сасюк В. В. Павлов В. Г. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластине при наличии вдува (отсоса). // Известия вузов. Авиационная техника, 1999, № 3, С. 39 - 41.

4. Сасюк В. В. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя в окрестности критической точки.//"Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении", Казань, 1999: Труды школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН В. Е. Алемасова, С. 173 -176.

5. Сасюк В. В. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя. // Вестник КГТУ (КАИ), 1999, №4, С. 28-31.

Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,25. Усл.печ.л. 1,16. Усл.кр.-отг. 1,21. Уч.-изд.л. 1,0.

_Тираж 100.Заказ ДУ89._

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К.Маркса 10

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Групповые свойства уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций на поверхности обтекаемого тела для различных скоростей массообразования компонент смеси и для различных законов изменения вязкости от концентрации.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций.

1.3. Группы преобразований при m=m(c) и g(t)=g(t).

1.4. Группы преобразований при m=m(c) и g(t)=const.

1.5. Группы преобразований при m=m(t) и g(t)=g(t).

1.6. Группы преобразований при m=m(t) и g(t)=const.

ГЛАВА П. Инвариантные решения уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций.

2.1. Структуры внешних невязких течений и инвариантные решения.

2.2. Инвариантные решения уравнений нестационарно- го диффузионного пограничного для различных законов изменения вязкости от концентрации.

2.3. Дальнейшее редуцирование и численное интегрирование систем уравнений.

Выводы по главе П.

ГЛАВА Ш. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластинке при наличии вдува (отсоса).

3.1. Постановка задачи.

3.2. Инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластинке.

3. 3. Дальнейшее редуцирование и численное интегрирование систем уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластине.

Выводы по главе Ш.

ГЛАВА IV. Диффузионный пограничный слой при наличии возвратных течений.

4.1. Задача Янга.

Выводы по параграфу 1 главы IV.

4.2. Стационарный диффузионный пограничный слой при наличии возвратных течений.

Выводы по параграфу 2 главы IV.

4.3. Нестационарный диффузионный пограничный слой на проницаемой пластине при ее движении по степенному закону от времени в покоящейся среде.

Выводы по параграфу 3 главы IV.

4.4. Магнитогидродинамический диффузионный пограничный слой на проницаемой поверхности.

Выводы по параграфу 4 главы IV.

4.5. Численный метод решения и классификация решений.

Выводы по 5 параграфу IV главы.

Исследование гидродинамических закономерностей в пограничных слоях при течениях жидкости или газа с усложненными физико-химическими свойствами - это одна из важнейших задач механики.

Бурно развивающаяся авиационная и ракетная техника ставит множество вопросов перед теорией и, в частности, перед теорией пограничного слоя. Процессы массопереноса в жидкостях и газах лежат в основе многих химических производств. В первую очередь можно отметить вопросы интенсификации процессов перемешивания различного рода жидких или газообразных сред, вступающих между собой в химические реакции; процессы течения вблизи твердых поверхностей, обладающих каталитическими свойствами, при наличии сублимации; процессы движения и переноса тепла и примесей в многофазных и многокомпонентных потоках.

Изучение всех этих вопросов в рамках теории пограничного слоя и выяснение связанных с ними качественных явлений представляет большой интерес для практических приложений во многих областях науки и техники.

Строгая математическая постановка задачи теории пограничного слоя приводит к сложным системам дифференциальных уравнений в частных производных. Однако, в некоторых простейших, но имеющих большое прикладное значение, случаях уравнения пограничного слоя можно преобразовать в обыкновенные дифференциальные уравнения и сравнительно простыми методами получить эффективное решение.

Точные решения представляют большую ценность при создании основы для построения приближенных решений более сложных задач и толкования экспериментальных данных.

Теория пограничного слоя, являясь составной частью механики жидкости и газа, послужила не только пониманию и описанию явлений, связанных с течением вязкой теплопроводной жидкости и газа, но и оказала, в свою очередь, заметное влияние на развитие некоторых разделов теории дифференциальных уравнений.

Принципиальными особенностями дифференциальных уравнений, описывающих течение вязкой сжимаемой жидкости, являются нелинейность и частные производные. Отсюда идет многообразие методов анализа уравнений, определяющих структуру и характеристики пограничного слоя.

В данной работе в качестве метода, дающего алгоритм нахождения решений, при котором исходная система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, выбран метод, основанный на теории групповых свойств дифференциальных уравнений [27].

Эта теория содержит общий математический аппарат, позволяющий наиболее просто учитывать количественно различные соотношения симметрии уравнений относительно функциональных преобразований в классе переменных, заложенные в условия задачи.

Понятие группы ценно для аэрогидродинамики в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей. Во-вторых, с помощью понятия группы можно проверить справедливость математических теорий механики жидкости и газа даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать теоретически выведенные уравнения в частных производных. Здесь теория групп позволяет произвести качественный анализ возможных решений этих уравнений. И, в-третьих, это понятие дает средство для уменьшения числа подлежащих рассмотрению зависимых и независимых переменных, каких-либо параметров и, тем самым, вносит существенные упрощения в математическую постановку задачи.

Всякая физическая задача классификации сразу же обнаруживает свою теоретико-групповую природу, а так называемые автомодельные решения включаются в более общий класс инвариантных решений [18]. Дифференциальные уравнения, описывающие движения вязкой жидкости и газа и, в частности, уравнения пограничного слоя, допускают богатые возможности их группового анализа, на основе которого могут строиться различные частные решения [30, 64].

В первом параграфе первой главы приводится постановка нестационарной задачи теории пограничного слоя с усложненными свойствами [45-47]. Представлена система уравнений (в частных производных) нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций на поверхности обтекаемого тела. Выставлены соответствующие граничные условия.

Во втором параграфе первой главы, в соответствии с методикой, описанной в работах [25-28], проводится групповой анализ, и определяются группы, допускаемые дифференциальными уравнениями нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций.

В настоящей работе, в отличие от работ [29, 30], исследуются групповые свойства уравнений нестационарного бинарного пограничного слоя, в случае, когда скорость на внешней границе пограничного слоя считается заданной функцией и от времени ие (£, х).

Общая проблема исследования групповых свойств дифференциальных уравнений была поставлена и изучена во второй половине XIX века норвежским математиком Софусом Ли. В нашей стране первые работы по газовой динамике с применением теории групп Ли принадлежат Л.В. Овсянникову [25-28]. Затем появились работы различных авторов, в которых для различных систем дифференциальных уравнений вычислены группы преобразований и с их помощью найдены инвариантно-групповые решения исследуемых систем [5, 7].

В работе Ю.Н. Павловского [31] впервые были исследованы групповые свойства стационарных уравнений двумерного пограничного слоя и получены все возможные инвариантно-групповые решения. В работе [30] рассмотрен широкий класс граничных условий для концентрации, а также исследована возможность построения инвариантных решений в случае переменного коэффициента вязкости для стационарного пограничного слоя. В работе [18] найдены лиевы преобразования, относительно которых инвариантны уравнения нестационарного пограничного слоя на пластинке. Сконструированы инвариантные решения ранга единица и проведено групповое расслоение. В работе [68] проводится единый анализ с целью получения всех решений подобия стационарного и нестационарного течений внутри пограничного слоя, вдоль плоской пластинки. При стационарном случае показано, что для решения подобия, как скорости, так и температуры, должно существовать соотношение между скоростью внешнего невозмущенного течения, скоростью в пограничном слое и температурой обтекаемой пластинки.

Результаты исследования группового расслоения уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя приведены в [5, 18]. В работе [6] представлен краткий обзор результатов, полученных в области приложения теории групповых свойств дифференциальных уравнений к задачам пространственного нестационарного пограничного слоя. Найдена группа преобразований, допускаемая системой уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя, а также получены частные решения.

При проведении группового анализа будем считать кинематическую вязкость и скорость массообразования произвольными функциями массовой концентрации. При таком подходе система является совместной, т.е. уравнение диффузии в групповом смысле неотделимо от уравнений динамического пограничного слоя. Отмечается, что система уравнений предоставляет возможность выбора зависимости скорости массообразования либо от концентрации, либо от времени.

В качестве граничных условий для концентрации принимаются граничные условия, соответствующие диффузионной и смешанной кинетике гетерогенных реакций и реакциям автокаталитического типа [17, 30, 49-51].

При решении системы определяющих уравнений, использовались пакеты для проведения символьных математических вычислений Reduce и Maple [58].

В параграфах 1.3 и 1.4 приведены группы преобразований, допускаемые различными специализациями исходной системы уравнений, представленной в параграфе 1.1, для случаев v(c) и m = m(c), а в параграфах 1.5 и 1.6 приведены группы для случаев у(с) и ш= ш(0-Подробно рассмотрены возможности, представляемые определяющими для видов зависимостей v(c), т(с) и т(1) уравнениями.

Также приведены однопараметрические подгруппы, соответствующие полученным в параграфах 1.2 - 1.6 первой главы базисным операторам. В этих параграфах были рассмотрены наиболее интересные случаи, в которых возможно получение инвариантных решений ранга 1, для исходной системы уравнений (1.1).

Групповые исследования, приведенные в параграфах I главы показывают, что получение инвариантных решений возможно не только в виде широко известных автомодельных решений (с точки зрения теории групп это решения, которые получаются на однопараметрических подгруппах подобия), но и за счет того, что в группы входят однопараметрические подгруппы переноса и бесконечномерные подгруппы.

Вторая глава диссертации посвящена конструированию инвариантных решений системы уравнений нестационарного ламинарного диффузионного пограничного слоя несжимаемой жидкости, представленной в параграфе 1.1, а также численному интегрированию редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если краевая задача имеет единственное решение, то из инвариантности уравнений и граничного многообразия относительно некоторой группы преобразований следует также инвариантность решения краевой задачи. При выполнении условий инвариантности краевая задача с необходимостью запишется в терминах инвариантов допускаемой группы.

Также в этом параграфе затрагиваются вопросы, касающиеся структуры внешних невязких течений, допускающих автомодельные решения.

Во втором параграфе второй главы ставится целью нахождение инвариантных решений ранга 1 системы уравнений, представленной в параграфе 1.1 для некоторых конкретных случаев зависимости у(с), т(с), рассмотренных в первой главе.

Приведенные в параграфе 2.1 решения включают в себя все б классов возможных инвариантных решений, перечисленных в работе [72] для нестационарного динамического пограничного слоя, и обобщают их на случай бинарного пограничного слоя.

В параграфе 2.3 второй главы рассматривается дальнейшее редуцирование полученных в параграфе 2.2 систем уравнений, а также анализируются результаты численного интегрирования одной из редуцированных систем уравнений, представляющей наибольший интерес с точки зрения изучения влияния нестационарности на характеристики пограничного слоя.

В этом параграфе обсуждаются некоторые виды граничных условий для массовой концентрации, заданные на химически активной поверхности тела.

Численные решения редуцированой системы обыкновенных дифференциальных уравнений получены для различных значений параметров вдува (отсоса) и отвечают различным видам течений, в том числе течениям, возникающим при торможении потока -течениям с замкнутыми линиями тока. Условия, необходимые для возникновения течений с отрицательными токами в пограничном слое, подробно анализируются в параграфе 5.5.

Результаты численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений из [72] были выбраны в качестве тестовых при решении редуцированной в параграфе 2.3 системы уравнений для случая присоединенного течения. Следует отметить, что все тестовые результаты численного решения редуцированной системы, представленные в приложении 2.3, с точностью до пятой цифры совпадают с результатами работы - оригинала [72].

Исследовано влияние различных значений параметра, характеризующего степень влияния эффекта нестационарности, значения градиента концентрации на обтекаемой поверхности, и различных значений числа Шмидта Б с на характеристики диффузионного пограничного слоя.

В третьей главе настоящей диссертации анализируются групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластинке при наличии вдува (отсоса).

Постановка задачи нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластинке, система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая физику происходящих в пограничном слое, а также соответствующие этой системе уравнений граничные условия приводятся в параграфе 3.1 третьей главы. Характер постановки задачи предполагает, что нестационарность вызвана только нестационарностью вдува (отсоса) или присутствует в следствие нестационарности массовой концентрации на поверхности.

Во втором параграфе третьей главы конструируются инвариантные решения системы уравнений нестационарного плоского ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций и слабом вдуве (отсосе) на проницаемой пластине для различных скоростей массо-образования компоненты смеси и для различных законов изменения вязкости от концентрации.

Решение системы определяющих уравнений для нестационарного пограничного слоя на пластине при наличии химических реакций получено для некоторых видов зависимостей у(с) и ш(с), которые представлены в первой главе данной работы. Базисные операторы, полученные в 3 главе, фактически представляют собой частный вид соответствующих базисных операторов, которые представлены в I главе, поэтому их описание не приводится.

Параграф 3.3 посвящен дальнейшему редуцированию и численное интегрирование систем уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластине. Полученные для одной из редуцированных систем уравнений результаты, дают возможность проследить влияние вдува (отсоса) на характеристики пограничного слоя при различных значениях градиента концентрации на поверхности пластины.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию влияния нестационарное™ на характер течения в пограничном слое, а также классификации получаемых решений и обсуждению методики численного интегрирования систем уравнений диффузионного пограничного слоя при наличии течений с замкнутыми линиями тока.

Четвертая глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе рассматривается так называемая задача Янга [90]. Эффекты нестационарности поля течения проявляются, в частности, при быстром торможении и ускорении тел. Экспериментальное изучение нестационарных эффектов затруднено из-за малости временных масштабов, на которых развиваются события. Известно, что появление отрыва потока в зоне, где скорость движения частиц жидкости вдоль контура падает, приводит к развитию отрыва во времени. Если движение жидкости вдоль контура ускоренное, то отрыв будет затухать во времени [91].

Янг исследовал нестационарный пограничный слой в окрестности критической точки и получил автомодельные решения системы уравнений динамического пограничного слоя для случая, когда скорость внешнего течения со временем уменьшается. В работе [90] представленны результаты численного интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для различных значений параметра а (а — константа, характеризующая нестационарность невозмущенного потока).

Анализ численного исследования системы уравнений проведенный в рамках настоящей диссертации выявил три диапазона значений параметра а .

При а > 0 существующие решения соответствуют присоединенным течениям. При 0 > а > - 3.9999 существует два решения, одно из которых соответствует течениям с отрицательными токами. И, наконец, при - 4 > а > - 5 имеются два решения соответствующие течениям с отрицательными токами в пограничном слое. Отмечено, что при - 4 > а > - 5 система уравнений становится малочувствительной к изменениям параметра а .

Во втором параграфе четвертой главы исследуется редуцированная система обыкновенных диференциальных уравнений стационарного диффузионного пограничного слоя при различных параметрах зависимости v(c).

Впервые аналогичная система уравнений была получена и исследована численно в работе [30] для случая присоединенного течения. В отличие от вышеупомянутой работы [30], целью исследования, проведенного в рамках второй главы, является изучение влияния отрывных течений на характеристики стационарного пограничного слоя. Определена область существования автомодельных решений для послеотрывного режима течения, а также исследовано влияние вдува (отсоса) и величины числа Шмидта Sc на профили безразмерных скоростей и концентрации.

В качестве тестовой задачи выполнено численное интегрирование исследуемой в параграфе 4.2 системы уравнений при v(c) = const, в этом случае уравнение движения по виду полностью совпадает с известным уравнением Фолкнера - Скен [61]).

О неединственности решения уравнения Фокнера - Скен впервые упоминается в работе [S3]. Эти уравнения при /?> 0.0 соответствуют ускоренным течениям и имеют единственное решение [71]. Диапазону 0.0 >/?>-0.1988 соответствует режим течения с замедлением, и в этом случае имеет место неединственность решения уравнения. При этом существует бесконечное множество решений, но из них приемлемы только два, соответствующие экспоненциальному закону приближения к внешнему граничному условию. Эти решения соответствуют известным профилям безотрывного течения Фокнера - Скен и профилям отрывного течения, впервые Цолученным Стюартсоном [83].

Анализ результатов численного эксперимента, который приводится в параграфе 4.2 показывает, что характер изменения коэффициента кинематической вязкости v(c) имеет существенное влияние на поле течения в зоне отрицательных токов. В приложении п.4.2 графически продемонстрировано, как путем изменения значения концентрации на химически активной поверхности можно существенно уменьшать или увеличивать (затягивать) область возвратного течения.

В третьем параграфе четвертой главы рассматривается нестационарный диффузионный пограничный слой на проницаемой пластине при ее движении по степенному закону от времени в покоящейся среде. Ставится и численно решается задача о формировании диффузионного пограничного слоя на неограниченной пластине импульсивно приведенной в движение, когда в пограничном слое возникают обратные токи.

Аналогичные задачи для динамического пограничного слоя рассматривались ранеее в работах [13-16, 37-40]. Результаты численного интегрирования, представленные в [16], хорошо согласуются с результатами полученными в рамках исследования формирования возвратных течений на неограниченной пластине в данной диссертации.

Результаты численного эксперимента подтверждают факт существования течений с отрицательными токами на неограниченной пластине, когда ие = А1п, а именно, что при п < - 0,5 в пограничном слое реализуется послеотрывной режим течения, при п = 0,5 - реализуется отрывной режим течения, а при п > 0,5 - имеет место безотрывное течение.

Анализ результатов, проведенных расчетов показал, что путем варьирования значения коэффициента кинематической вязкости на поверхности можно изменять величину зоны с обратными токами. Исследовано влияние различных значений числа Шмидта Бс на характеристики диффузионного пограничного слоя для безотрывного и отрывного течений.

В четвертом параграфе четвертой главы исследуется система уравнений стационарного магнитогидродинамического диффузионного пограничного слоя несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности. Результаты численного решения аналогичной системы уравнений для случая, когда отсутствует химический пограничный слой, представлены в работе [11]. В этой работе исследованы автомодельные течения при наличии градиента давления, вдува и отсоса проводящей жидкости. Кроме того, в работе А. В. Готовцева указаны области изменения определяющих параметров для безотрывных течений.

Целью исследования, проведенного в рамках параграфа 4.4 является изучение влияния параметров магнитогидродинамического воздействия на характеристики стационарного диффузионного пограничного слоя при различных режимах течения, и, в первую очередь, при наличии возвратных течений на обтекаемой поверхности и в самом пограничном слое. Кроме того, большой интерес с точки зрения теории пограничного слоя и численных методов представляет выяснение вопроса о возможности существования решений, соответствующих наличию в пограничном слое различных по структуре возвратных течений.

Результаты проведенных вычислений свидетельствуют о том, что при увеличении параметра МГД взаимодействия послеотрывной пограничный слой становится тоньше. Эта закономерность имеет место и для более сложных типов решений, обусловленных наличием возвратных течений, которые были впервые получены при исследовании соответствующей системы обыкновенных диференциальных уравнений, приведенной в параграфе 4.4.

Найден ряд решений МГД пограничного слоя, соответствующих тем же типам решений, которые были впервые получены для нестационарного динамического пограничного слоя в работе [72], а также во второй главе данной диссертации для нестационарного диффузионного пограничного слоя (5 из этих решений приведены в п.4.4).

Параграф 4.5 полностью посвящен анализу полученных в рамках данной диссертации результатов, относящихся к исследованию возвратных течений различной структуры, возникающих в ламинарном пограничном слое и на обтекаемой поверхности; анализу и классификации получаемых решений; обсуждению предлагаемой модификации метода численного интегрирования соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численные методы, применявшиеся различными авторами для интегрирования уравнений пограничного слоя, в том числе и при наличии в пограничном слое возвратных течений, весьма разнообразны [9, 15, 20, 21, 33-35, 53, 59, 60, 66, 69, 82, 86].

Если отрыв сопровождается малой рециркуляционной областью с последующим присоединением основного пограничного слоя, то уравнения установившегося ламинарного пограничного слоя можно проинтегрировать через точки его отрыва и присоединения, если заданы трения на стенке или толщина вытеснения (обратный метод [89]).

Различные модификации конечноразностных методов позволяют интегрировать уравнения ламинарного двумерного пограничного слоя через точку нулевого касательного напряжения на стенке в область оторвавшегося течения и через точку повторного присоединения в присоединившийся пограничный слой. Решения, полученные в [54] для затупленных тел, показывают, что поверхностное трение, возрастая от отрицательного до соответствующего значения по Блазиусу [63], свидетельствуют об отрыве течения и о последующем его присоединении с образованием в пограничном слое рециркуляционной зоны.

В работе [89] рассмотрен случай замедляющейся по линейному закону скорости, в котором отрицательный градиент давления мгновенно возрастает на некоторую величину в момент времени t = 0, (также отмечается, что при I = - 0 и при бесконечно большом значении времени точка нулевого касательного напряжения совпадает с точкой отрыва).

Следует также отметить, что при исследовании нестационарного трехмерного отрыва систему уравнений пространственного пограничного слоя в некоторых случаях можно путем замены переменных свести к системе уравнений плоского нестационарного пограничного слоя (эта проблема выходит за рамки рассматриваемых в данной диссертации задач, поэтому в дальнейшем, вопросы, касающиеся трехмерного пограничного слоя, затрагиваться не будут).

Модель отрыва Мура-Ротта-Сирса подтверждена численными решениями уравнений, которые описывают ламинарный пограничный слой перед нестационарной точкой отрыва, движущейся вдоль поверхности тела для случаев небольших рециркуляционных зон [75, 82]. Очевидно, что в случае плоского неустановившегося течения точка обращения в нуль касательного напряжения на стенке не обязательно совпадает с отрывом.

Исследованы некоторые полуавтомодельные задачи, в которых число независимых переменных (координат) снижено с трех до двух [40]. Метод частично автомодельных решений позволяет фиксировать область интегрирования. Использование новых независимых переменных позволяет производить численные расчеты в областях возвратного течения без нарушений сходимости или устойчивости в расчете. В частности, при исследовании областей с обратным течением в работе [89], рассматривалась система уравнений нестационарного динамического пограничного слоя (т.е. система уравнений, приведенная в параграфе 1 главы 1 без уравнения диффузии), но в отличие от данной диссертации и работы [72], в [88] использовался метод частично автомодельных решений.

В работе [40] предлагаются преобразования уравнений нестационарного пограничного слоя, которые позволяют ослабить влияние временных производных и, таким образом, упростить расчеты в следствие возможности увеличения шага интегрирования по времени. С помощью разностных схем в [36] найдено решение некоторых задач теории пограничного слоя. В их числе задачи продольного нестационарного обтекания пластины с ускорением по степенному законуот времени. Сравнение результатов, полученных в [40], с результатами, полученными в рамках данной дисертации для случаев, когда внешние нестационарные течения подчиняются закону ие =■ Axtn, показало хорошее соответствие этих результатов для динамического пограничного слоя при v(c) = const.

Для полностью автомодельных задач решения во всем диапазоне изменения времени были получены, например, в работе

10]. В этой работе изучается влияние нестационарности на аэродинамические и тепловые характеристики тела при его входе в атмосферу с гиперзвуковой скоростью, которая уменьшается обратно пропорционально времени ие = и0 /(1 +кГ), где м0- начальное значение скорости, ? - время, к - величина зависящая от плотности набегающего потока, а также от массы и площади тела.

В работе [37] показано, что если течение формируется импульсивным возмущением или ускорением степенного вида, то задачи пограничного слоя, автомодельные при стационарном движении, автомодельны и в случае нестационарного режима движения.

При исследовании автомодельных течений, уравнения Прандтля обычно сводятся в переменных Крокко к сингулярным уравнениям параболического типа [16]. При наличии возвратных течений получение решений в переменных Крокко затруднительно. В работе [16] предложен метод, с помощью которого решена задача о формировании пограничного слоя на полубесконечной пластине при ие-АИх12.

Как уже отмечалось выше, в рамках данной диссертации исследуются только автомодельные задачи, часть из которых проанализирована в работах [42-47]. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений, приведенных в параграфах 4.1 - 4.3 (четвертой главы) и 3.2 (третьей главы) проводилось методом Рунге - Кутты с автоматическим подбором шага интегрирования при использовании итерационной процедуры Ньютона. Системы уравнений, которые исследованы в рамках параграфа 2.3 (второй главы) и 4.4 (четвертой главы), имеющие решения соответствующих систем уравнений ламинарного диффузионного пограничного слоя при наличии зон возвратных течений сложной структуры чиссленно решались методом, описанным в четвертой главе (параграф 4.5).

Основу этого метода составляет алгоритм вложенных итераций. Внутренняя итерационная процедура, представляющая собой стандартный метод Ньютона, использовалась для нахождения необходимых значений вторых производных на поверхности. При этом большая точность этих значений, обусловленная характером решаемых задач, достигалась за счет автоматического подбора шага интегрирования в зависимости от поведения функции. Главная задача внешней итерационной процедуры - передача необходимых параметров внутринней итерационной процедуре и управление ее работой - обеспечивалась алгоритмом распознавания типа получаемого решения и алгоритмом прогнозирования значений градиента скорости, а также градиента массовой концентрации, оптимальных для решения искомого типа. Весь комплекс используемых программ реализован на базе работы в среде С++. Более подробное описание метода численного интегрирования приводится в параграфе 4.5 данной диссертации. Следует лишь заметить, что описанный выше механизм вложенных итераций, может успешно применяться при интегрировании любых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих множество решений.

В этом же параграфе в общей сложности обсуждаются 16 из более чем 20 впервые полученных решений, соответствующих системам уравнений нестационарного динамического, нестационарного диффузионного и стационарного магнитогидродинамического диффузионного пограничных слоев при наличии в их поле течения зон с обратными токами. Вводится классификация этих решений и для однотипных решений, принадлежащих системам уравнений нестационарного диффузионного и стационарного магнитогидро-динамического диффузионного пограничных слоев, проводится сравнительный анализ по их основным характеристикам.

Также проведены многочисленные тесты, результаты которых с большой степенью точности совпадают с результатами приведенными в оригинале [11, 72]. Отмечена выявленная ранее в параграфе 2.3 закономерность, в соответствии с которой толщина пограничного слоя при v(c) Ф const меньше, чем при v(c) = const.

Выделены и проанализированы некоторые общие закономерности, присущие диффузионному пограничному слою. Отмечено, что с течением времени зоны обратных токов будут увеличиваться, т.е. толщина пограничного слоя будет расти. Показано, что если значение касательного напряжения на поверхности является положительной величиной, то по толщине пограничного слоя имеется четное количество зон с отрицательными токами, а если значение касательного напряжения на поверхности отрицательно, то по толщине пограничного слоя имеется нечетное количество зон, причем на самой обтекаемой поверхности имеются возвратные течения.

Таким образом, анализ результатов, проведенный в пятой главе, подтверждет тот факт, что при уменьшении величины скорости внешнего течения возможен отрыв, т.е. в случае замедленного внешнего течения профиль скорости в пограничном слое имеет, по крайней мере, одну точку перегиба.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Объем диссертации без учета приложения (рисунков) составляет 150 страниц. Диссертация содержит 130

Выводы по 5 параграфу IV главы.

При решении системы уравнений (4.4.7) с граничными условиями (4.4.8), так же использовалась вышеописанная итерационная схема. Все решения этой системы уравнений, полученные для случаев течений сложных структур, обусловленных наличием отрицательных токов в пограничном слое, являются новыми решениями. Описанный выше механизм вложенных итераций с прогнозированием искомых градиентов, для определенного типа решений, может успешно применяться при интегрировании любых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих неустойчивые решения [43].

Как уже отмечалось, в качестве тестовых задач для описанного выше алгоритма, использовалась система уравнений (2.3.12) с граничными условиями (2.3.13) при А = 2.0 для случаев с течениями сложной структуры (при наличии отрицательных токов в поле течения пограничного слоя). На рисунках п.2.3.41 - п.2.3.44 приложения представлены профили безразмерных скоростей соответствующие четырем решениям, полученным впервые для динамического пограничного слоя при у(с) = 1.0 и представленным в работе [72]. Сплошной линией на этих рисунках выделены тестовые результаты, т.е. решения системы уравнений (2.3.12) с граничными условиями (2.3.13) при А = 2.0, для режимов с отрицательными токами. Полученные результаты для тестовых задач показали практически полное совпадение с результатами приведенными в работе [72], (решения совпадают с точностью до пятой, шестой цифры). Пунктирными линиями на рисунках п.2.3.41

- п.2.3.44 представлены эти же типы решений, согласно введеной классификации, для диффузионного пограничного слоя при v(c)= А0с + В0. Очевидна отмеченная в 2.3 закономерность, в соответствии с которой толщина пограничного слоя при v(c)=A0c + B0 меньше, чем при v(c)=1.0. Кривые изменения коэффициента кинематической вязкости, соответствующие решениям представленным на рисунках п.2.3.41 - п.2.3.44, представлены на рисунке п.2.3.45. Здесь цифрами I, II, III и IV обозначены кривые соответствующие 2р, 4р, lplmlp и lplm2plmlp типам решений, согласно введенной выше класификации. Легко заметить, что участкам, имеющим точки перегиба (или по другому минимумы) на профиле продольной скорости, соответствуют горизонтальные участки на графике решений функции ф(г]) (рисунок п.2.3.45).

Описанные выше четыре типа решений, но уже для системы уравнений (4.4.7) с граничными условиями (4.4.8) для случая стационарного магнитогидродинамического пограничного слоя приведены на рисунках п.4.4.13 - п.4.4.20 и п.4.4.23 - п.4.4.25. Здесь также представлены профили безразмерных скоростей для случаев v(c) = 1.0. и v(c) = А0с + ¿?0 рисунки п.4.4.8 - п.4.4.11, а на рисунках п.4.4.13 - п.4.4.20 совместно представлены решения 2р, 4р, lplmlp и lplm2plmlp - типов, полученные для системы уравнений (1.2.12) (unsteady diffuzional boundaiy layer), и для системы уравнений (4.4.7) (mgd diffuzional boundary layer). На рисунках п.4.4.13, п.4.4.15, п.4.4.17 и п.4.4.19, где приведены профили безразмерных скоростей, сплошными линиями показаны профили продольной скорости <p'(rf), а пунктирными линиями профили поперечной скорости <р(ф.

На рисунках п.4.4.14, п.4.4.16, п.4.4.18 и п.4.4.20 сплошной линией показана кривая безразмерного касательного напряжения <р"(?f) для случая нестационарного диффузионного пограничного слоя, а кривая <р"(г/), показанная пунктирной линией, соответствует случаю стационарного магнитогидродинамического пограничного слоя.

Точно такие же обозначения используются на рисунках п.4.4.21 и п.4.4.22, на которых представлено одно из новых решений систем уравнений (1.2.12)и (4.4.7) Юр-типа при у(с)=1.0.

Кривые зависимости ф(п), соответствующие вышеописанным решениям 4р, 1р1ш1р, 1р1т2р1ш1р - типов, для систем уравнений (1.2.12) и (4.4.7) представлены на рисунках п.4.4.23, п.4.4.24 и п.4.4.25 соответственно. Пунктирной линией здесь показаны решения системы уравнений (4.4.7), а сплошной линией решения системы уравнений (1.2.12), при этом на рисунке п.4.4.24 крестиком отмечено решение ф{п) системы (1.2.12), соответствующее типу

1р2т1р.

Особенностью полученных решений систем уравнений (1.2.12) и (4.4.7), при соответствующих граничных условиях (1.2.13) и (4.4.8), представленных на рисунках п.4.4.13 - п.4.4.25, по сравнению с решениями, полученными в рамках данной диссертационной работы для других систем уравнений, являются две следующие закономерности:

1) Толщина динамического пограничного слоя, который описывается системой уравнений (1.2.12) и удовлетворяет граничным условиям (1.2.13) больше соответствующей толщины динамического пограничного слоя, описываемого системой уравнений (4.4.7) с граничными условиями (4.4.8). При этом для диффузионного пограничного слоя справедлива обратная закономерность, т.е. толщина диффузионного пограничного слоя, который описывается системой уравнений (1.2.12) и удовлетворяет граничным условиям (1.2.13) меньше толщины диффузионного магнитогидродинамического пограничного слоя (4.4.7), (4.4.8), (рисунки п.4.4.23 - п.4.4.25).

2) При наличии так называемого минимума на профиле безразмерной продольной скорости, (средняя из трех близлижащих на графике функции <р'(п) точек перегиба на интервале, где <p'{rf) < 0.0, в которой \<p'{rf) \ имеет наименьшее значение), профиль концентрации c(rf) - {ф{7}) - В0)/А0 имеет горизонтальный участок.

Длина этого горизонтального участка зависет от количества расположенных подряд точек перегиба на графике функции (p'ijf).

Например, график функции ф(?/), который отмечен на рисунке п.4.4.24 крестиком, для решения Ip2mlp - типа, соответствующего 2 минимумам на профиле продольной скорости, имеет более протяженный горизонтальный участок, чем график функции фО]) для решения lplmlp - типа, соответствующего 1 минимуму на профиле продольной скорости (рисунок п.4.4.24).

На рисунках п.2.3.46 - п.2.3.55 представлены 3 решения системы уравнений (1.2.12) соседних, согласно введенной классификации, типов. Пунктирной линией выделены кривые соответствующие случаю v(c) - А0с + В0, а сплошной линией кривые для случая v(c) = 1.0. Решение 7plmlp - типа представлено на рисунках п.2.3.46 - п.2.3.48. На рисунках п.2.3.49 - п.2.3.51 и п.2.3.52 - п.2.3.54 приведены решения Юр и 9plmlp - типов соответственно. Профили коэффициента кинематической вязкости, соответствующие случаю, когда v(c) = А0с + В0, для 7plmlp, Юр и 9plmlp - типов решений, представлены на рисунке п.2.3.55.

Еще 8 из более 20 полученных новых решений системы уравнений (1.2.12) при А = 2.0 представлены на рисунках п.2.3.57 - п.2.3.64. Типы этих решений указаны на соответствующих графиках.

Решения системы уравнений (1.2.12) обусловленные наличием возвратных течений, имеющих не сложную структуру, допускают небольшой вдув (отсоса) не переходя при этом в решения других типов. На рисунке п.2.3.56 приведено решение 4р - типа при р(0) = 0.0 и <р(0) = 0.2.

На рисунке 4.5.5 - 4.5.8 показаны линии тока, соответствующие течению в окрестности критической точки. Классическое течение Хименца для присоединенного пограничного слоя при А = 2 представлено на рисунке 4.5.5.

10

5.0

0.5

- 2.5 ■ I I * ' • л' ,' 4 I

I ' 1 о.о

Рис. 4.5.5.

При наличии в пограничном слое возвратного течения, которое соответствует решению 2р - типа, при А = 1, график для линий тока будет состоять как бы из двух половинок (рисунки 4.5.6 и 4.5.7). Течение в верхней половине рисунка является течением Хименца [70]. Ниже в пограничном слое наблюдается так называемый пузырь, т.е. реализуется возвратное течение на обтекаемой поверхности, при этом на поверхности направление течения совпадает с направлением внешнего течения.

Построение линий тока соответствующих полям течений, представленным на рисунках 4.5.5 и 4.5.8, производилось по Л следующей формуле [72]: у/ - / и1/2/

X.

Рисунки 4.5.6, 4.5.7 и 4.5.8 дают некоторое представление о развитии физических процессов, происходящих при наличии возвратных течений на обтекаемой поверхности, во времени.

Рис. 4.5.6.

Рис.4.5.7.

Представленные выше линии тока получены в качестве тестовых и соответствуют решению при А = 1, которое впервые приведено в работе [72]. Сравнительный анализ полученной структуры поля течения, приведенной на рисунках 4.5.6, 4.5.7 и структуры поля течения полученной в [72], показывает практически полное их соответствие.

Очевидно, что в момент начала движения £ = О на границе тела имеется разрыв касательной составляющей скорости-вихревая пелена. Не трудно видеть, что с течением времени зоны обратных токов будут увеличиваться. Линии тока представленные на рисунке

4.5.6 соответствуют моменту времени I - 2, а линии тока на рисунке

4.5.7 соответствуют моменту времени I = 3, (вид течений, показанных на этих рисунках соответствует виду течений представленных в работе [72]). По мере замедления набегающего потока отсоединенный пограничный слой будет удаляться от поверхности. Далее, как следует из анализа полученных численных решений уравнений динамического пограничного слоя, в окрестности критической точки одновременно может наблюдаться несколько отсоединенных потоков, расположенных на различных расстояниях от поверхности. Так на рисунке 4.5.8 представлены линии тока, соответствующие структуре поля течения при А = 2 для моментов времени { = 1 и £ = 2, кривые 1 и 2 соответственно. Не трудно видеть, что в этом случае в поле течения имеются две зоны обратных токов, которые с течением времени смещаются по направлению от обтекаемой поверхности (критической точки). ' ■ ' 'I » ¡1 * Р ,Г .V \ 11 11 1'. - 1\ — 1

--с,г —, ■ у -. > ^- -V —--. - „ -1

-"-0— : ,

I111' 1

-15 0 15

Рис.4.5.8.

Таким образом результатами, которые получены и проанализированы в данной работе, подтверждается тот факт, что при уменьшении величины скорости внешнего течения возможен отрыв, который обусловлен разностью давлений. Проведенные исследования систем уравнений пограничного слоя позволяют сделать вывод, что в случае, когда в пограничном слое имеются зоны с отрицательными токами, причем значение касательного напряжения на поверхности является положительной величиной (рис 4.5.8), по толщине пограничного слоя имеется четное количество областей с замкнутыми линиями тока (рис.29, А = 2). При этом, послеотрывной режим течения обусловлен наличием присоединенной к обтекаемой поверхности области с замкнутыми линиями тока, в которой направление движения жидкости у поверхности совпадает с направлением внешнего замедленного потока.

Если же в пограничном слое имеются зоны с отрицательными токами, но значение касательного напряжения на поверхности является отрицательной величиной (рис. 4.5.6, 4.5.7), по толщине пограничного слоя имеется нечетное количество областей с замкнутыми линиями тока (рис. 4.5.6, 4.5.7 А < 1). При этом возникающее на обтекемой поверхности возвратное течение, обусловлено обратным направлением движения жидкости у поверхности, которое реализуется благодаря присоединенному вихрю.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведен теоретико-групповой анализ и получены инвариантные решения системы уравнений нестационарного бинарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности для случаев, когда вязкости зависит от концентрации, а скорость массообразования зависит и от концентрации и от времени. Найденные решения позволяют получить характеристики пограничного слоя, важные в практических приложениях и могут быть использованы как эталонные.

2. Получены автомодельные решения уравнений нестационарного ламинарного диффузионного пограничного слоя в окрестности критической точки и на пластине и проведен анализ полученных характеристик

3. Разработана методика численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, диффузионного пограничного слоя, с помощью которой был получен ряд решений, соответствующих течениям при наличии отрицательных токов, течениям, возникающим и развивающимся в пограничном слое при торможении внешнего потока.

На примере решения нескольких задач теории пограничного, а так же на примере ряда проделанных численных тестовых экспериментов, показано, что применяемый алгоритм, вложенных итераций с функцией распознавания типа получаемого решения, может успешно применяться при интегрировании систем дифференциальных уравнений пограничного слоя, имеющих множество решений различной структуры.

4. На базе решений, полученных в результате проведенных численных исследований, выявлены критерии и приведены необходимые условия возникновения возвратных течений в пограничном слое. В рамках изучения структуры возвратных течений, проведен сравнительный анализ полученных для стационарных и нестационарных задач теории ламинарного пограничного слоя численных результатов.

5. В результате проведенного численного эксперимента, выявлено наличие трех диапазонов значения параметра а, характеризующего нестационарность в задаче Янга, при котором соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет несколько решений, отвечающих различной структуре течений в ламинарном пограничном слое.

6. Численно решена задача о формировании диффузионного ламинарного пограничного слоя на неограниченной пластине, импульсивно приведенной в движение в покоящейся среде.

Показано, что путем варьирования зависимости коэффициента кинематической вязкости от массовой концентрации компонент смеси на обтекаемой поверхности можно изменять величину зоны отрицательных токов.

7. Получен ряд новых численных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей нестационарный ламинарный пограничный слой в окрестности критической точки. В рамках данной диссертационной работы приводится двенадцать из полученных решений, соответствующих системам уравнений как нестационарного динамического, так и нестационарного диффузионного пограничного слоя, при наличии в их поле течения зон с обратными токами.

8. Получен ряд новых численных решений уравнений стационарного ламинарного диффузионного магнитогидродинами-ческого пограничного слоя, которые соответствуют возвратным течениям.

9. Введена классификация полученных решений систем уравнений как нестационарного пограничного слоя, так и стационарного магнитогидродинамического пограничного слоя, при наличии реверсивных течений сложной структуры. Для однотипных решений, принадлежащих системам уравнений нестационарного диффузионного и стационарного магнитогидродинамического диффузионного пограничных слоев, проведен сравнительный анализ по основным характеристикам.

10. Выделены и проанализированы общие закономерности, присущие как динамическому, так и диффузионному пограничным слоям, при наличии в их поле течения зон с отрицательными токами. Эффекты нестационарности поля течения проявляются, в частности, при быстром торможении тел. Появление отрыва потока в зоне, где скорость движения частиц жидкости вдоль контура падает, приводит к развитию возвратных течений во времени, если значение касательного напряжения на поверхности является положительной величиной, при этом в самой зоне возвратных течений жидкость может двигаться с ускорением.

Численно исследовано влияние вдува (отсоса), числа Шмидта Б с, а также влияние коэффициента кинематической вязкости на характеристики диффузионного пограничного слоя, в случаях, когда на обтекаемой поверхности и в самом пограничном слое реализуется режим возвратного течения.

1. Алексеев Б. В. Пограничный слой с химическими реакциями. М.: ВЦ АН СССР. 1967.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука. 1975. 631 С.

3. Бахвалов Н. С., Кобельков Г. М., Чижонков Е. В. Эффективные численные методы решения уравнений Навье-Стокса. // Сб. Численное моделирование в аэродинамике. М.: Наука. 1986. С. 37-45.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г, М. Численные методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 600 с.

5. Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя // Вестник Ленинградского университета. 1973. выпуск 3. № 13. С. 82 86.

6. Верещагина Л. И. Групповые свойства уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. // Труды международного симпозиума «Теоретико-групповые методы в механике». Новосибирск. 1978. С. 80-75.

7. Гараев К. Г. групповые свойства уравнений нестационарного пространственного пограничного слоя несжимаемой жидкости. // Труды КАИ. Казань. 1970. Вып. 119. С. 47-53.

8. Гараев К. Г., Дружинин Г. В., Павлов В. Г. Анализ автомодельности и расслоение уравнений нестационарного пораничного слоя на пластине методами теории групп Ли. // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1984. №4. С. 18-21.

9. Герм В. Э., Прозорова Э. В., Чистякова М. В. Решение уравнений нестационарного пограничного слоя. // Физико-технический институт АН СССР. Препринт. 1985. № 923 . С. 32. № 24. С. 59.

10. Горюнова Г. И., Михайлов В. В. влияние нестационарности на аэродинамические и тепловые характеристики тел, тормозящихсяв газе. // Ученые записки ЦАГИ. 1982.Т. XIII. № 4. С. 34-44.

11. Готовцев А. В. Отрывные автомодельные течения в ламинарном магнитогидродинамическом пограничном слое при вдуве отсосе. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. № 3. С. 38-46.

12. Гурченков A.A., Яламов Ю. И. Нестационарный поток на пористой пластине при наличии вдува ( отсоса) среды. // Прикладная механика и техническая, физика. 1980. № 4. С. 66-69.

13. Демьянов А. Ю., Демьянова H.A. К задаче нестационарного движения неограниченной пластины в покоящейся среде. // Механика сплошной среды. Ташкент: Фан. 1982. С. 212-214.

14. Демьянов А. Ю., Панасенко А. В. О применении метода установления к решению нестационарных автомодельных задач теории пограничного слоя. // Вычислительная математика и математическая физика. 1983. Т. 23. № 1. с. 239-241.

15. Демьянов А. Ю., Демьянов Ю.А., Касымов Ш.А. Численное исследование нестационарных автомодельных задач пограничного слоя с зоной отрыва. // Вычислительная математика и математическая физика. 1989.Т. 29. № 7. С 1093-1098.

16. Демьянов А. Ю., Касымов Ш. А. Численное исследование некоторых нестационарных автомодельных задач теории пограничного слоя.//Числ. анал., мат. модели и их применение в мех.М., 1998.С.77-80.

17. Зельдович Я. Б. Химическая физика и гидродинамика. М. «Наука». 1984.

18. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983. 278 с.

19. Ильичев К. П. Постоловский С. Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. № 2. С. 72-83.

20. Касымов Ш. А. Решение задач нестационарного пограничного слоя методом быстрейшего спуска. // Вычисл. и прикл. мат. Киев. 1988. № 65. С. 51-55.

21. Кравченко В. И, Шевелев Ю. Д., Щенников В. В. Численное исследование нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в случае различных режимов разгона и торможения обтекаемого тела. М.: Препринт Института, проблем механики АН СССР. 1984. 17 С.

22. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Изд-во АНССС. 1952. 538 С.

23. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М. Государственное издательство физико-математической литературы. 1962.456 С.

24. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 903 С.

25. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно групповые решения дифференциальных уравнений.// Докл. АН СССР. 1958. Т . 118. № 3. С. 439-442.

26. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск:. Издательство СО АН СССР. 1962. 240 С.

27. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений.Новосибирск.:Издательство НГУ.1966.130С.

28. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 400 С.

29. Овчиннников В. А., Павлов В. Г. Исследование групповых свойств уравнений пограничного слоя при наличии химических реакций и переменной вязкости. // Труды КАИ. Вып.169. 1997. С. 57- 68.

30. Овчиннников В. А. Устойчивость сдвиговых течений при переменных физических свойствах жидкости. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Казань 1984. 170 С.

31. Павловский Ю. Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя. // Вычислительная математика и математическая физика. 1961.Т. 1. № 2. С. 280 294.

32. Панченков Г. М. Теория вязкости жидкостей. ГТТИ. 1947.

33. Пасконов В. М. Стандартная программа для решения задач пограничного слоя. // Численные методы в газовой динамике. Сборник работ вычислительного центра МГУ. Часть II. М.: Изд-во МГУ. 1963. С. 110-116.

34. Пасконов В. М. Нестационарное течение сжимаемого газа в пограничном слое. М.: Издательство Московского университета. Вычислит. Цен. 1968. 38 С.

35. Пасконов В. М. Численное решение нестационарных уравнений пограничного слоя. В сб. : Численные методы в газовой динамике. М.: Издательство Моск. ун-та. 1965. С. 75-82.

36. Прозорова Э. В. Некоторые автомодельные задачи в газовой динамике.//Вестник ленинградского университета 1975.№19.С.108-113.

37. Прозорова Э. В. Об автомодельности движений нестационарного пограничного слоя. // Прикладная механика и техническая физика . 1975. № 4. С. 122- 125.

38. Прозорова Э. В. Некоторые нестационарные задачи пограничного слоя. // Вестник ленинградского университета 1976. № 7. С. 114-118.

39. Прозорова Э. В. Несколько автомодельных задач нестационарного пограничного слоя. //ПМЕФ. 1976. № 6. С. 56-60.

40. Прозорова Э. В. Решение уравнений нестационарного пограничного слоя, // Прикладная механика и техническа физика. 1983. № 2.С.47-49.

41. Романенко П. Н. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое. М.: Энергия. 1974. 464 с.

42. Сасюк В. В., Павлов В. Г. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя при вдуве (отсосе) // Тез. докл. конф. "Механика машиностроения". 1997. С. 20 21.

43. Сасюк В. В., Павлов В. Г. Сублимация в окрестности критической точки при переменной вязкости. // Вестник КГТУ им. Туполева. 1998. № з. с. 8-11.

44. Сасюк В. В., Павлов В. Г. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластине при наличии вдува (отсоса). // Известия вузов. Авиационная техника. 1999. № 3. С. 39 41.

45. Сасюк В. В. Групповые свойства и инвариантные решенияуравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя. // Вестник КГТУ им. Туполева. 1999. № 6. С. 8-11.

46. Славчев С. Г. Нестационарный пограничный слой на теле в несжимаемой жидкости. // Вестник ленинградского университета. 1972. №13. С. 106-112.

47. Струминский В. В. Пограничный слой на каталитической поверхности. //Доклады АН СССР. 1979. Т. 245. №5. С. 1068-1071.

48. Супоницкий А. М. О расчете скорости переноса вещества в ламинарном потоке жидкости при гетерогенных химических реакциях со смешанной кинетикой. // Прикладная механика и техническая физика. 1960. № 2. С. 28-35.

49. Супоницкий А. М. Автомодельные задачи конвективной диффузии при наличии гетерогенных химических реакций со смешанной кинетикой. // Прикладная механика и техническая физика. 1963. № 2. С. 93-99.

50. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир. 1981. 407 С.

51. Товстых Л. Е. О применении явной конечно-разностной схемы численного моделирования уравнений нестационарного пограничного слоя. //Мат. Модели и САПР в судостр.Л.1985.С.85-90.

52. Уильяме Дж. III. Отрыв пограничного слоя несжимаемой жидкости. // Механика. Новое в зарубежной науке. Москва. 1979. №21. С. 85-100.

53. Хол Дж. Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1979.312 С.

54. Хартри Д. Р. // Вычисл. матем. и матем. физ. Моква. 1956. т.З. № 6. С. 223-239.

55. Хуснутдинова Н.В. о продолжении пограничного слоя заточку с нулевым напряжением трения на стенке. // Динамика сплошной среды. 1978. № 33. С. 147-159.

56. Чашечкин Ю. Д. Байдулов В. Г. Препр. ИМП РАН № 596. 1997.71 С.

57. Чудов JI. А. Обзор работ по пограничному слою, выполненных в Вычислительном центре МГУ. // Численные методы в газовой динамике. Сборник работ вычислительного центра МГУ. Часть II. М.: Изд-во МГУ. 1963. С. 87-97.

58. Чудов JL А., Кускова Т. В. О применении разностных схем к расчету нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. // Численные методы в газовой динамике. Сборник работ вычислительного центра МГУ. Часть П.М.:Изд-во МГУЛ963.С.190-207.

59. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М:Наука. 1974.712 С.

60. Afzal N. Rizvi S. М. A. Second-order unsteady stagnation-point boundary-layer solutions. //AIAA Journal. 1977.Vol. 15. № 7.pp.l051-1053.

61. Blasius H. HZ. Angew.Math.Phys.1908. Vol.56. pp. 1-37.

62. Bluston H. S. Symmetries of the boundary-layer equations under groups of linear transformations .//AIAA Journal 1972. Vol. 10.№7pp.943-944.

63. Cebeci T. An unsteady laminar boundary layer with separation and reattachment. //AIAA Journal. 1978. Vol.16. № 2. pp. 1305-1306.

64. Cebeci T. Unsteady boundary layers with an intelligent numerical scheme. // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 163. pp. 129-140.

65. Falkner V. M., Skan S. W. // Some approximate solutions of the boundary-layer equations. //Phil. Mag. Vol.12 (7). pp. 865-896.

66. Ghoshal S. On similarity solution of an unsteady laminar boundary layer along a flat plate. // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Ser. math.-mech. 1973. Vol. 18. №2. pp. 79-86.

67. Hall M. G. A numerical method for calculating unsteady two-dimensional laminar boundary layers. // Ing. Arch. Vol. 38. pp. 97-106.

68. Hiemenz K. // Dinglers Polytech J. 1911. Vol. 326. p. 321.

69. Howarth L. // Proc. Roy. Soc. Vol. 164 A. 1938. pp. 547-549.

70. Hui W. H. Ma P. K. H. Similarity solutions of the two-dimensional unsteady boundary-layer equations. // J. Fluid Mech. 1990. Vol.216, pp.536-559.

71. Hui W. H. A solution for hypersonic flow past slender bodies // J. Fluid Mech. 1971. Vol.48, pp.23-31.

72. Lin S. P., Tobak M. Reversed flow above a plate with suction. // AIAA Journal. 1986. Vol.24. №2. pp.334-335.

73. Moore F. K. Unsteady laminar boundary-layer flow. // N.A.S.A. Tech. Note. №2471.

74. Osamu I. Numerical investigation of two-dimensional, incompressible boundary layer flows with separation and reattachment. // ISAS Rept. 1980.Vol.45. №7. pp. 127-145.

75. Pedly T. I. Viscous boundary layers in reversing flow. // J. Fluid Mech. 1976. Vol.74. Part 1. pp. 59-79.

76. Phillips J. H., Ackerberg R.A. A numerical method for integrating the unsteady boundary-layer equations when there are regions of backflow. // J. Fluid Mech. 1973. Vol.58. №3. pp.561-579.

77. Riley N. Unsteady laminar boundary layers. // SIAM Review. 1975. Vol. 17. № 2. pp. 274-297.

78. Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point. // Q. Appl. Maths. 1956. Vol. 13. pp. 444-451.

79. Sears W. R, Telionis D. P. Boundary-layer separation in unsteady flow. // SIAM. J. Appl. Math. 1975. Vol. 28. pp. 215-235.

80. Socio L.M., Pozzi A. Method for the Solution of the Unsteady Boundary-Layer equations. // App. Mech. 1979. Vol. 46. pp. 269-275.

81. Stewartson K. Further solutions of the Folkner-Skan equation. //Proceedings of the Royal Society. 1955. Ser. A. Vol. 312. pp. 181-206.

82. Stewartson K. Theory of unsteady laminar boundary layers. // Advances in App. Mech. Vol. 4. pp. 1-37.

83. Stewartson K. Multi-structured Boundary-Layer on flat plates and related bodies. // Adv. Appl. Mech. 1974. Vol. 14, pp= 145-239.

84. Telionis D. P., Tsahalis D. Th., Werle M. J. Numerical investigations of unsteady boundary-layer separation. // Phys. Fluids. 1973. Vol.16, pp. 968-973.

85. Werle M. J. Bertke S. D. A finite-difference method for boundary layers witch reverse flow. // AIAA. 1972.Vol. 10. pp. 1250-1252.

86. Williams J. C., III, Johnson W. D. Semi-similar solutions to unsteady boundary-layer flows including separation. // AIAA. 1974.Vol. 12. pp. 1388-1393.

87. Williams J. C., Ill, Johnson W. D. Note on unsteady boundary-layer separation. //AIAA Journal. 1974. Vol. 12. pp. 1427-1429.

88. Yang K. Unsteady laminar boundary layers in an incompressible stagnation flow. // J. App. Mech. 1958. Vol. 26. pp. 421-427.