Ламинарный пограничный слой на проницаемой поверхности при неравномерном внешнем течении в поле переменной во времени плотности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЯКИМОВ Евгений Иванович

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ВНЕШНЕМ ТЕЧЕНИИ В ПОЛЕ ПЕРЕМЕННОЙ ВО ВРЕМЕНИ ПЛОТНОСТИ

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

Казань 2004

Работа выполнена на кафедре аэрогидродинамики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Павлов В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Игнатьев В.Н.

доктор технических наук, профессор Федяев В.Л.

Ведущая организация: Отдел энергетики Казанского

научного центра РАН

Защита состоится <<?&■>ол->а уу^_2004г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.079.02 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул. К. Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке КГТУ им. АН. Туполева. Автореферат разослан «2.0» »-реу, 9_2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

А.Г. Каримова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования.

Теория пограничного слоя является одним из разделов механики жидкости и газа, позволяющая решать важнейшие прикладные задачи взаимодействий - силового, теплового, химического, встречающихся в практике. Гипотеза пограничного слоя позволила получить физическое объяснение важной роли трения, теплопроводности, диффузии в проблемах сопротивления, теплопередачи, процессах массопереноса вещества, а также дала и возможность преодолеть математические трудности, возникающие при решении уравнений, которые даже в самом простом случае учета вязкости движущейся среды приводят к значительным трудностям в их решении.

Изучение структуры и характера течения жидкости или газа в пограничном слое позволяет объяснить такие важные аэродинамические явления как возникновения отрыва потока на обтекаемых телах, определить силы трения, указать пути улучшения структуры течения. Теоретический анализ движения жидкости и газа в пограничном слое сводится к решению сложных дифференциальных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, определяющими решение задач, соответствующих сложным физическим явлениям.

Движение жидкости и газа в пограничных слоях и в его внешнем потоке в действительности неразрывно связаны между собой. В большинстве работ считается, что внешний поток потенциальный и равномерный. Однако, существуют практически важные задачи, которые по постановкам отличаются от классических задач пограничного слоя. Примером таких задач можно назвать задачи развития пограничного слоя за отошедшей криволинейной ударной волной или развитие пограничного слоя на проницаемой поверхности, при условии, что начало вдува или отсоса жидкости не совпадает с точкой начала образования пограничного слоя. Поэтому построение математических моделей, описывающих сложные явления обтекания проницаемых поверхностей неравномерным внешним потоком в среде переменной плотности во времени, определение условий и преобразований, позволяющих точное сведение этих уравнений в частных производных к обыкновенным и, в результате численного моделирования проведение анализа характеристик пограничного слоя и установление областей параметров, соответствующих постановкам задач, определяющих устойчивый и безотрывный характер течения, представляют собой актуальную проблему теории ламинарного пограничного слоя.

Решению поставленной проблемы в рамах принятых математических моделей и посвящена данная работа.

Целью диссертационной работы является построение математических

моделей, исследование характеристик ттрли^ртт™ "п.цп........ слоя

(стационарного и нестационарного), фоа^ффяМ^ЙЮШ*'! питаемых

поверхностях при неравномерном внешнем течении в поле переменной во времени плотности и при нарушении аналитичности граничных условий.

Теоретическое значение и научная новизна:

В диссертации поставлены и решаются новые задачи, изучаются основные закономерности характеристик ламинарного пограничного слоя в задачах с усложненными граничными и начальными условиями. В результате проведенных исследований обнаружены новые эффекты в изменении характеристик пограничного слоя. Установлены условия существования основных групп непрерывных преобразований и определены классы существенно различных инвариантных решений, соответствующих точным решениям поставленных задач. Наиболее важные следующие результаты:

1. Используя, полученные математические модели, исследовано влияние неравномерности и торможение внешнего потока в поле переменной во времени плотности на касательное напряжение на поверхности, профиль скорости, отрыв ламинарного пограничного слоя с проницаемых поверхностей.

2. Получена оценка влияния неравномерности и торможения внешнего потока на распределение давления на границе пограничного слоя.

3. Установлено, что увеличение- параметра, характеризующего изменение плотности во времени приводит к расширению области торможения внешнего потока, соответствующего безотрывному течению.

4. Установлены основные группы преобразований и, соответствующие им инвариантные решения, рассмотренных задач с усложненными постановками задач ламинарного пограничного слоя.

5. Установлено, что при нарушении аналитичности в распределении скорости вдува на пластинке и при изменении плотности среды во времени не существует групп непрерывных преобразований, относительно которых уравнения пограничного слоя инвариантны, т.е. не существуют точные решения задачи о совместном влиянии перемещения точки начала вдува и изменении плотности среды во времени при обтекании пластинки.

6. Проведено численное исследование влияния скорости вдува (отсоса) жидкости, интенсивности торможения и изменения плотности среды на характеристики пограничного слоя в окрестности критической точки. Установлены условия потери устойчивости ламинарного профиля скорости и отрыва пограничного слоя.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Постановки задач и математические модели течений ламинарного пограничного слоя с особыми физическими условиями (неравномерность внешнего течения, нарушение аналитичности в граничных условиях, торможение внешнего потока, переменность во времени плотности среды).

2. Результаты теоретико-группового анализа дифференциальных уравнений ламинарного пограничного слоя в усложненных физических постановках и условия существования точных решений.

3. Результаты численного интегрирования редуцированных обыкновенных дифференциальных уравнений и их интерпретация на проницаемых поверхностях в неравномерном внешнем потоке, в поле переменной плотности и торможении.

Метод исследования.

В диссертации в качестве метода, дающего алгоритм определения решения, при котором исходная система уравнений в частных производных сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, выбран метод основанный на анализе групповых свойств уравнений и построение инвариантных решений.

Обоснованность и достоверность результатов.

Обеспечивается строгостью постановок физических и математических моделей, строгостью выполнения математических выкладок и преобразований, проведением сравнений аналитических и численных результатов с результатами других авторов.

Практическая значимость.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы при проведении качественного и количественного анализа характеристик пограничного слоя, в установлении областей изменения параметров, сохраняющих безотрывное ламинарное течение в условиях торможения, неравномерности внешнего потока в поле переменной во времени плотности.

Теоретико-групповой подход, примененный в данной работе, позволяет определить автомодельные решения, которые могут быть использованы для ускорения численных расчетов и могут служить эталоном результатов приближенных вычислений.

Проведенные исследования способствуют правильному пониманию влияния различных факторов на динамические характеристики пограничного слоя и позволяют разрабатывать практические рекомендации выбора параметров, способствующих получению устойчивого и безотрывного течения.

Личный вклад автора в работу. Результаты работы, полученные автором, являются определяющими. Автором разработаны математические модели, выполнено численное интегрирование уравнений и проведен анализ результатов.

Апробация работы.

Основные результаты работы, докладывались и обсуждались на итоговой университетской научно-технической конференции студентов КГТУ им. А.Н. Туполева (Казань, 2002г.); На научно-технических семинарах кафедры аэрогидродинамики КГТУ им. А.Н. Туполева (Казань, 2002-

2004г. г.); На тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003 г.); На Всероссийской молодежной научной конференции «VII Королевские чтения» (Самара, 2003 г.); На Всероссийской молодежной научной конференции «XI Туполевские чтения» (Казань, 2003 г.); На «XXX Гагаринских чтениях» (Москва, 2004г.); На четырнадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004г.); На научно-техническом семинаре отдела энергетики Казанского научного центра Российской академии наук (Казань, 2004г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 публикациях.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литератур из 84 наименований и приложения. Основной текст изложен на 148 страницах, приложение содержит 60 таблиц и 133 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы. Формируется цель, научная новизна, практическая значимость, подтверждается достоверность результатов и апробация работы. Показана новизна работы, дан анализ современного состояния проблемы, обосновывается метод исследований и сформулированы основные научные результаты, выносимые на защиту. Дана аннотация диссертации по главам.

В_первой_главе диссертации дается постановка и исследуется

ламинарный погранишшй слой на проницаемой поверхности (вдув или отсос жидкости того же состава, что и состав основного потока), формирующийся в неравномерном внешнем потоке. Неравномерность внешнего потока может

возникнуть не только при завихрении внешнего потока, т.е. при ^ 0, но и

при структуре потока, когда

продольная и поперечная составляющие скорости вне пограничного слоя. Эта неравномерность структуры внешнего потока оказывает влияние на характеристики пограничного слоя через изменение поля давления. Под действием изменения поля давления, изменение структуры пограничного слоя и его характеристик существенно.

Рассматривается плоский стационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности. Предполагается, что вязко-невязкое взаимодействие не приводит к изменению вида уравнений пограничного слоя, а условия на бесконечности означают, что на достаточно большом расстоянии от поверхности тела функция тока и все ее производные (число которых определяется характером внешнего течения) отличается от соответствующих величин во внешнем течении на малую, убывающею

<аге = 0, т.е.

— где и,(х,у),у,(х,у) -ду дх

экспоненциальную, величину. Вдув или отсос означает, что на поверхности тела значение функции тока V„(x) * 0.

Задача сводится к интегрированию уравнения для функций тока в безразмерном виде

9V дц/ ¿?У _ dp t ЭУ ду дхду дх ду1 dx ' ду1

с граничными условиями

^ = 0: \|/ = v„(x), = v->v>(x,.y). (2)

ду

Здесь и далее индексы «w», «e» относятся к параметрам на поверхности тела и внешнему потоку, соответственно.

Структура внешнего течения, принятая в данной работе, определяется.

функцией тока вида +6(х).у+с(х), где а = const - «вихревое»

число, Ь(х), с(х) - непрерывные вместе со своими производными функции,

определяющие структуру ие (х, у), vg (х, .у), <а е (х, у).

Множество - решений уравнения (1) при условиях (2) определяется

множеством заданий функций Ы,х\ с(х), \|/„(х) и параметра а, т.е. функцией

, db dc F{x) = b~-a—. dx dx

Далее, исследуются групповые свойства и конструируются инвариантные решения уравнения (1) для двух структур внешнего потока при условии, что F(x) = 0 и F(x) * 0 .

В случае F(x) = 0, уравнение (1) инвариантно относительно группы преобразований, определяемой следующим базисом

v д v д v д v д д v д д в= & ■= а? ^'ъ^е? х> (3)

Рассматривается линейная комбинация X ~Х5 +пХА и конструируется инвариантное решение на этой подгруппе, где параметр п определяется

-1 1 i ь2 '

условием при -> оо, т.е. п - 3, tj = x3>', у = х3Ф(п), Ь~Ь0х3, с = —2-х3,

2 а

2 J

v„(*) = * 41_ 1

Используя замену Л = уравнение (1) и граничные

условия (2) примут вид

¿/3Ф [ l—d1!? \(i/ф"4' <Щ1+3 dr? 3

г- , =0- (4)

В случае О при условии 6 = вводятся новые переменные

и функция тока Ф(£,11) в виде

Ь„х ^ Ь,

Уравнение (1) и граничные условия (2) примут вид

«УФ т+1 дгФ ГйфУ 1-Зт(дФ52Ф' дФ д'Ф V

(6)

5ПГ+" 2

'V \5riJ 2 От? дг\ дЕ,дг\У Ь W

(8)

В этом случае функция с(х) имеет вид-

( \ 2АЬ? ( ф)= 1

4м«-а-3«я

г" ' .

(9)

4т+и - Зпт I ь^ V* *

В качестве примера рассматривается задача обтекания пластинки

1 ( ■ Т

вихревым потоком Тогда уравнение (7) и-граничные

условия (8) следующие

(?Ф . 1 ^д'Ф . 1(дФд'Ф дФ д7ф\ Л

> Ц'-'/

-+—Ф

дц* 2 дп3 дц7 дц д£,дц

р _

ПО: о, Ф(0)+^ = -2у,(5), П—>°°' Ф->:г4т11 + ^+— £

дФ

1

2А,

Зт,

(И)

Анализ групповых свойств уравнения (10) показал, что в этом случае

базис алгебры Ли следующий при и = —

X, = •—, X, --, Х„ =£---г!—+—Ф-.

1 й]' ' ЙФ 3 ^ 3% 3

(12)

Тогда, новая независимая переменная £ и новая функция тока

следующие С — "Л^1» Ф = Уравнение (10) и граничные условия (11)

примут вид

03)

Таком

1

1-

образом, А ЬГ» '

3 {ах'У>

пограничного слоя (1) пограничного слоя

Изменение давления

(14)

л )

при обтекании пластинки вихревым потоком существуют точные решения уравнения

при условиях (2), определяющие характеристики

. ви ¿'Р а пг [Г 1

Так,

■/*'(£[) - решение уравнения (13) при условиях (14).

Ф

определяется соотношен ах ах ах

если параметр А < О, то при а > О течение ускоренное. Если А > О, то

течение с торможением, т.е. характер течения в пограничном слое и его

характеристики определяются здесь параметрами Л и л(о).

I Касательное напряжение на поверхности тела определяется величиной -F,r(o), отрыв пограничного слоя определяется условием ^"(0)= 0.

Результаты численного интегрирования уравнения (13) при условиях (14), определяющие ¥"(6), представлены таблицей 1.

Область параметров А и Р(о); соответствующая безотрывному пограничному слою на проницаемой поверхности при внешнем вихревом потоке с вышеприведенными характеристиками, при которых существует решение, представлены на рисунке 1.

Приведенный анализ уравнения (13) позволил сделать вывод о влиянии скорости вдува (отсоса) и параметра А на основные характеристики пограничного слоя.

Если отсос жидкости характеризуется значениями Б(о)>0, ТО значения параметра А > О соответствует скорости вне пограничного слоя < О. В этом случае расширяется область безотрывного течения.

Таблица 1

По)

2,0 "1.5 -1.0 •0,5 0,0 0.5 1.0 1.5 2,0

-1,0 0,7271 0,9999 1,3588 1,8131 2,3640 3,0069 3,7346 4,5402 5,4179

-0,75 0,5162 0,7604 1,0918 1,5225 2,0550 2,6837 3,4003 4,1964 5,0654

•0.5 0,2991 0,5111 0.8113 1,2157, 1,7286 2,3435 3,0499 3.8377 4,6992

-0,25 0,0749 0,2502 0,5139 0,8880 1,3797 1,9814 2,6794 3,4610 4,3167

0.0 ■О, 1575 -0,0253 0,1940 0,5313 0,9999 1,5903 2,2832 3,0617 3,9145

0,1 0,0578 0,3777 0,8364 1,4232 2,1155 2,8943 3,7471

0,25 -0,1371 0,1313 0,5740 1,1574 1,8517 2,6333 3,4879

0,3 0,0438 0,4808 1,0639 1,7600 2,5432 3,3990

0,5 -0,3457 0,0659 0,6563 1,3682 2,1648 3,0295

0,75 -0,6734 0,0080 0,794 1,6362 2,5277

1.0 -1,0499 -0,0162 0.9999 1,9604

При значениях параметра А<0,5 и F(o)>-1,4, ЧТО соответствует уменьшению вдува область параметров безотрывного течения.

расширяется. Чем меньше параметр4 А<0, тем на большие значения -

выдува и расширяется область безотрывного течения

жидкости при вихревом внешнем потоке, обтекающем проницаемую поверхность. При А>0,5 область отрывного течения распространяется и на значения ^(о)> 0,, т.е. и на течения при отсосе жидкости с поверхности, и по мере увеличения А эта область отрыва пограничного слоя расширяется и на большие значения параметра так как увеличивается торможение потока. Отметим, что

при /*'(0) = 01 т.е. = 0 область безотрывного пограничного слоя существует для любых А 5 0,5; если же А = 0, то область безотрывного течения существует для всех 1,4., Увеличение скорости отсоса

жидкости с проницаемой поверхности приводит к увеличению касательного напряжения при Л-сош!. Увеличение же скорости вдува при Л-сошг соответствует уменьшению и в конечном итоге приводит к отрывному

течению. Увеличение параметра А при приводит к увеличению

торможения потока как вне пограничного слоя, так и внутри, что в свою очередь приводит к отрывному течению. Для сохранения безотрывного течения в этих случаях необходимо увеличить интенсивность отсоса жидкости через проницаемую поверхность, причем, чем больше параметр А тем интенсивнее отсос.

Г(») 1 1 1 .

облает беют 1ЫВНОГ течет 0 1

< -И .1 1 I *

.1 ТЬ О тр ¿Л НО ГО ТОЧСНИ1

вк I 1

/Ян .5 П —р"(0)=0

7.

Риг. 1

Результаты численного интегрирования уравнения (13) с граничными» условиями (14) представлены в приложении.

Анализ показал, что автомодельные решения существуют при

1 ь

и, =ау+Ь„х', у, =—1*5.у> тогда уравнение (1) и граничные условия (2)

сводятся к уравнению £

<¡4

'Ф 2а</'Ф 1(</ФУ 1,2 п

—+ —Ф------ +— к =0,

'л* з ¿71 3 V ^ 3

П = 0: -—о, ф(0) = -|.уо> ^->00: ф.*1ч* + Ап, ац 2 2

(15)

(16)

.1 1 11 1.1

где

Результаты численного интегрирования уравнения (15) при условиях (16) для различных значений параметра к, характеризующего завихренность внешнего потока и скорости вдува у0 > 0, отсоса у0 < 0, определяющие Ф(о), представлены таблицей 2.

Таблица 2.

Анализ результатов показывает, что при значении параметра к < 1,0

влияние завихренности внешнего потока по мере роста у0 ослабевает и приводит к незначительным изменениям Ф(о), а следовательно и Ф"(о).

Увеличение параметра к > 1,0 приводит к значительному увеличению параметра Ф"(о) при любых у0.

Результаты численного интегрирования уравнения (15) с граничными условиями (16) представлены в приложении.

Далее показано, что для изучения характеристик пограничного слоя, развивающегося на поверхности при неравномерном внешнем потоке, целесообразно введение переменныхКрокко % — Х'.'П = «(х,^).

Уравнение пограничного слоя и граничные условия в переменных Крокко следующие

а1» ал'

аи®,) (¡ъд1){<о)

(17)

дт\

Исследование групповых свойств уравнения (17) установило, что определяющие уравнения алгебры Ли зависят от трех произвольных постоянных. В соответствии с этим группа О является произведением трехпараметрической группы, порожденной независимыми операторами

В соответствии с базисом (19) построены инвариантные решения. Например, для подгруппы Н, с оператором

соответствуют инвариантные решения <0 = £г" Ф(0» Где £ = £ а Т| и функция / = /.

Здесь функция - решение уравнения

7 2/Тч 1 Л 1 1 ~ Г

(21)

К

Ф' <11; 2а Ф

С = 0: Ф = Ф0.С = С.: Ф = Ф.

(/ф,

• 4

=р.

(22)

Распределение вихрей вне пограничного слоя 2(*Ф,(С). Если

изучается развитие пограничного слоя на полубесконечной пластинке в вихревом поле, то = 0 и тогда имеем следующее уравнение для распределения вихрей в пограничном слое.

</'Ф с 1 </Ф _ 3 - а С

<Я? а Ф1 2а Ф

граничные условия

</Ф.

¿¡ = 0: Ф = Ф„ Ф = Ф.,-^- = р.

аС

Если а = - 1, то уравнение (23) примет вид

(23)

(24)

(25)

Результаты численного интегрирования уравнения (23) при условиях (24) представлены в приложении. Значение ф(о) и Ф'(с>), в зависимости от параметра для некоторых значений а, представлены на рисунках 2,3.

3 2,5 2 1.1 1

0.5 0

«40 1 ч 3

\ 1-2, 1,09

— а Г1*! и 1 16

и 7 19

9 г<

Р

0.25

1.25 1.5

О

-0.5 •I -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

Р

0, :5 и и. Н-вГ 1 ►и.иу л

9 Ю,«7

5

—«-- —и 9

Рис.3

1 — * *т М

11 -тг»

'"ТГм

г 0,70 0,8

>0.34 "оТет

>

/ -п М « л 1 ' < п « л лР

' -0.30

0.5 0.75

Рис.2

Анализ результатов позволяет сделать вывод о значительном падении значений касательного напряжения ф(о) по мере роста

Ф'(1) на границе пограничного слоя.

Если а = 3, т.е. о = то

распределение • касательного

напряжения Ф(о) и Ф'(о) в зависимости от параметра {3 представлены на рисунке 4. Рис. 4

Анализ результатов численного- интегрирования показал, что касательное напряжение по толщине пограничного слоя зависит от «вихревого» числа Р.

Проведен анализ влияния структуры вихревого поля внешнего течения на характер изменения касательного напряжения по толщине пограничного слоя и на пластинке.

Вторая глава диссертации посвящена построению решений уравнений ламинарного пограничного слоя в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий.

Пусть течение в пограничном слое до точки нарушения аналитичности граничных условий х=хд определяется решением У0 = (ж,,у),

решение при х>хд, то кроме обычных граничных условий необходимо, удовлетворить условию V-> У0(;с>.>')» ПРИ х~'Решение ищется в виде

где

и

подлежит

ф.

определению в конкретной задаче.

Уравнение (1) в этом случае примет вид

+а

сФ сФо'Ф —+а---% дхд?

др

<РЬ &

=0.

Здесь а=а(£ *)=•—-. Распределение давления — можно представить в виде ¿^Уо дх

Ф-¿у. ау.

дх ду дхду

дх ду1

ЗУ.

(27)

дУ Л д\!

Если внешний поток неравномерный, то

ду1 ' ду3

Проведен анализ групповых свойств уравнений (26). Общее решений определяющих уравнений зависит от пяти произвольных постоянных (ограничимся конечномерной группой преобразований). В соответствии с этим, группа О является произведением пятипараметрической группы, порожденной независимыми операторами

„ д д „ д. d~.dvr-d-d.d-d

X, = ~,ХЛ =—,Хг = х—+а--2р—, X, =С,--2а—+4р—+Ф

дх'

др

дх

дС, да др

X, —4р

д_ др

дФ' (28)

да др

Для определения всех существенно различных

инвариантных решений уравнений (26), построенных на

однопараметрических подгруппах основной группы, достаточно построить решение на следующих подгруппах

В диссертации приведены некоторые инвариантные решения, построенные на соответствующих подгруппах, указаны функции я(С,х) и граничные условия, связанные с конкретной постановкой задач.

В качестве примера построения решений уравнений пограничного слоя в окрестности нарушения аналитичности граничных условий, рассмотрена постановка задачи и изучены характеристики пограничного слоя на

14

Подгруппа Инфинитезимальный оператор

Я, х,

я, X,

я, X,

я, ХА+аХ3

я, Хх+Х,

я, Хх+ХА

я, Х, + Х>

Я, 2Х3 + Х,+Хг

Я» х>-х>

пластинке при условии скачкообразного изменения скорости вдува с переменной точкой начала вдува и изменением плотности во времени.

Рассмотрена задача о нестационарном вдуве в ламинарный пограничный слой при условии, что начало вдува не совпадает с точкой образования пограничного слоя. Схема вдува представлена в виде

Профиль скорости на участке хх{) - известный, соответствующий решению задачи Блазиуса, так как рассматривается развитие пограничного слоя на полубесконечной пластинке. Профиль скорости «внутреннего» пограничного слоя плавно переходит в соответствующее распределение, скоростей «внешнего» течения. Если точка х = х(1) перемещается по пластинке, то «внутренний» пограничный слой смещается со временем вдоль пластинки, удаляясь или приближаясь к точке начала образования

1

«внешнего» пограничного слоя.

Уравнение ламинарного пограничного слоя на частично проницаемой пластинке, через поверхность которой на некотором расстоянии от носика х = х(1) производится вдув при условии, что плотность меняется со

временем имеет вид

Л Я? п ЛЧ ш шЛ: \ д¥ д¥, #4»

Здесь уС.^УНЗ'С.зОтп), $ = *-*.(0. П =

_ У

5(1,х)

Задача решается при условии, что х„ = а0 +а /, 5(£) = (3^)>.

Анализ групповых свойств уравнения (29) при а* О и к* О, т.е. уравнения, соответствующего изучению совместного влияния скорости перемещения точки начала вдува и переменности во времени плотности показал, что не существует группы О непрерывных преобразований, относительно которой уравнение (29) инвариантно, т.е. в общем случае невозможно точно привести это уравнение к обыкновенному дифференциальному уравнению.

В соответствии с этим рассмотрены групповые свойства и построены инвариантные решения для двух случаев: 1. к- 0, а * 0; 2. к* 0, а = 0.

Каждой из этих задач соответствует свое распределение скорости вдува

Для этих двух случаев исследованы групповые свойства уравнений (29), найдены преобразования, позволяющие получать точные решения.

Так, при к = 0, а * 0 имеем базисный оператор

% ^

В этом случае С= £. где Ф(С) - решение

следующего уравнения

</'Ф Э(. а Г)4'Ф .

_ Л д¥ „ „ ^ <Л> <я> £Ф ,„ч

5 = 0: —=(* где V. С-*»:Ф->Ф.(0,—-щ • (33)

Вводится функция = —IФ——^ I, тогда уравнение (32) примет

Ч У1 )

вид уравнения Блазиуса

(34)

«С <5

Г Л НА 3 Г ^ зГл <0*? зГ<Я> аУб ЗЛ> „„

Таким образом, задача о развитии ламинарного пограничного слоя на частично проницаемой пластинке с точкой начала вдува, движущейся с

постоянной скоростью а, при распределении скорости вдува 2

¿/Сг

соответствует задаче Блазиуса при условии 6(0) Ф 0, —— ф 0.

Результаты численного интегрирования уравнения (34) при условии (35) представлены в виде таблиц и рисунков, показывающих влияние

16

скорости перемещения точки начала вдува а и скорости вдува у0 на характеристики пограничного слоя.

Касательное напряжение на пластинке О'(о) и интенсивность его изменения для различных значениях параметров а и у0 представлены

следующими зависимостями

перегиба профиля скорости имеет место.

Далее, если точка вдува жидкости через частично проницаемую пластинку неподвижна, т.е. а = 0 и изучается влияние параметра к, характеризующего изменение плотности набегающего потока, то уравнение

(29) инвариантно относительно группы О преобразований с оператором

С-0: Ф(0)--

сО>

+3

аг ф

=0, =сопя, оо: Ф -> ф

и;

О,

(36)

-зз"->1. (37)

^ ^ «С

Результаты численного интегрирования уравнения (36) при условии (37) приведены в приложении в диапазоне изменения параметра к от -1,5 до 1,5. Здесь выявлена область параметров к и у0, при которых возможна потеря устойчивости ламинарного течения, т.е. при к > 0,6 величина Ф*(о) >1 и Ф"(0)>0, т.е. профиль скорости Ф'(С) в некоторой точке С=С. имеет перегиб. Таким образом, существует область параметров к и v0, при которых ламинарное течение неустойчиво.

На рисунке 7, 8 представлены зависимости Ф"(о) и Ф"*(о) для различных значений /си v0.

Рис. 7 Рис. 8

При фиксированном значении параметра к рост скорости вдува v0 приводит к уменьшению касательного напряжения ф"(о).

eсли а." О, к — 0, т.е. исследуются характеристики пограничного слоя при фиксированном начале вдува и постоянной плотности набегающего потока, то уравнение (29) и граничные условия (30) примут известный ранее вид

&¥

дт]'

(39)

Уравнение (38) с граничными условиями (39) инвариантного решения

не имеет его можно представить в виде ряда что сделано в

ранее проведенных исследованиях Ю.А. Демьянововым, Л.Н. Покровским, В.Н. Шманенковым.

В третьей главе исследуется нестационарный ламинарный пограничный слой в поле переменных во времени плотности и вязкости, изучаются групповые свойства и конструируются инвариантные решения уравнений, описывающих нестационарный двумерный ламинарный пограничный слой, развивающийся в поле переменных во времени плотности и вязкости.

Найдены, существенно различные решения, построенные на однопараметрических подгруппах основной группы. Найден полный набор функционально независимых инвариантов.: Определенны законы изменения плотности и вязкости во времени.

В качестве прикладной задачи исследуются характеристики пограничного слоя в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью.

Уравнение нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности проницаемой критической точки, при торможении внешнего потока с переменной во времени плотностью в безразмерной форме имеют вид

Так как А>0, а>0,тов зависимости от их значений в окрестности критической точки возможны три режима изменения даплепия и, соответственно, три структуры течений с различными характеристиками пограничного слоя.

, а , др .

1. — < 1, то < 0 - течение ускоренное;

2. — = 1, то — = 0 - течение безградиентное;

граничные условия следующие

А

дх

3. ~ > 1, то 0 - течениезамедленное.

Вводятся ттепеменньте

Тогда уравнения (40) приводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка

с1г\

+(ф + ГДУ + « £*Р_ Л +! и о, (43)

п5 мт^ А\2 1 <Ь\ )

С ГраНИЧНЫМ" «рппниами

л ¿/ф .

л — 0: —!- = 0,ф = -и\. =С01В1, Г| —> 00: —-> 1. ац ах\

(44)

Результаты численного интегрирования уравнений (43) при (44) представлены в приложении диссертации и сделан подробный анализ

влияния параметров

а

на характеристики пограничного слоя,

включающие распределение скорости касательное напряжение и

по толщине пограничного слоя.

Например, на рисунке (10) 4- (13) представлены хараю еристики пограничного слоя в зависимости от

Piic.12.Wg =0, 5 = 1, — = 1. Рис.13, №„•=(),

А Л

Заключение.

На основе выполненных автором исследований п диссертации методами аналитического и численного моделирования проведено исследование характеристик ламинарного пограничного слоя на проницаемых поверхностях в неравномерных потоках в иоле изменения плотности среды во времени.

Основные результаты и выводы по работе следующие:

1. Предложены и разработаны новые задачи теории ламинарного пограничного слоя. позволяющие изучать динамические характеристики нестационарного и стационарного пограничных слоев на проницаемых поверхностях. развивающихся при неравномерном внешнем течении среды с плотностью. изменяющейся во времени.

2. Проведен теоретико-групповой анализ. построены новые инвариантные решения. выявлены новые существенно различные инвариантные решения. построенные на однопараметрических подгруппах основной группы.

3.Указаны условия существования инвариантных решений при линейном законе изменения скорости внешнего потока в поперечном направлении.

4. Определенны области параметров характеризующих: интенсивность вдува (отсоса), торможение и неравномерность скорости внешнего потока, изменение плотности во времени среды, скорость перемещения точки начала вдува жидкости через проницаемую поверхность, соответствующие безотрывному пограничному слою.

5. Введены переменные Крокко для изучения характеристик ламинарного пограничного слоя при неравномерном внешнем потоке; используя анализ групповых свойств уравнения в этих переменных, конструируются инвариантные решения, и изучается влияние параметров, характеризующих неравномерность внешнего потока на касательное напряжение. Анализ результатов позволяет сделать вывод о росте касательного напряжения на поверхности по мере роста показателя неравномерности внешнего потока.

6. Проведен групповой анализ, построены инвариантные решения уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности точки нарушения аналитичности граничных условий. Построены существенно различные инвариантные решения, соответствующие подгруппам основной группы.

7. Исследованы характеристики ламинарного пограничного слоя за точкой скачкообразного нестационарного изменения скорости вдува на проницаемой пластинке при условии перемещения точки начала вдува вдоль пластины, и плотности изменяющейся во времени.

8. Анализ групповых свойств уравнения, описывающего совместные влияние скорости перемещения точки начала вдува и переменности во времени плотности среды показал, что не существует группы непрерывных преобразований, относительно которой уравнение (29) инвариантно, т.е. не существует точного решения в модели совместного их влияния.

9. Показано, что точные решения существуют в двух случаях:

а=0, т.е. или для модели среды с постоянной во времени

плотностью, но при перемещении точки начала выдува жидкости или в среде с переменной плотностыо, но неподвижной точкой начала вдува.

Установлено, что при определенных значениях а <-0,55 и в"(о) > 1,5 на профиле скорости имеется точка перегиба и возникает условие нарушения устойчивости ламинарного течения.

Показано, что подобная точка перегиба на. профиле скорости возникает и при параметре к > 0,6 при значении Ф(О) > 1.

Установлено, что при а = 0, к=0, т.е. при фиксированном значении точки начала вдува и в среде постоянной плотности, точного решения,

удовлетворяющего граничным условиям задачи, не существует. Существует только приближенное решение, например, в виде степенного ряда.

10. Проведено исследование характеристик нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью и сделан вывод:

• Впервые поставлена и разработана математическая модель нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде переменной плотности.

• Установлено существование трех возможных режимов течения в окрестности критической точки при торможении внешнего потока: течение -ускоренное, безградиентное течение и течение замедленное;

• Установлена область параметров s, w0, соответствующих

безотрывному течению;

• Показано, что при отсутствии вдува (отсоса) жидкости через проницаемую поверхность, т.е. w0 = 0 в поле постоянной плотности s = 0 безотрывный пограничный слой сохраняется в области изменения параметра

торможения Повышение уровня торможения при

сохранении безотрывности пограничного слоя возможно только при отсосе жидкости с поверхности тела или учете влияния параметра s;

• Установлена связь между <рт(о) и параметрами

показывающая их влияние на распределение касательного напряжения по толщине пограничного слоя и деформацию профиля скорости;

• Увеличение параметра А/a приводит к смещению наибольшего

значения касательного напряжения внутрь пограничного слоя, что приводит к нарушению устойчивости ламинарного течения. Интенсивность этого смещения уменьшается с ростом отсоса жидкости;

• Возрастание параметра s приводит к увеличению касательного напряжения ф"(о);

• Увеличение параметра s приводит к возможности увеличения

торможения a/A с сохранением области безотрывного течения;

• При значении параметра s<0 установлено увеличение толщины вытеснения и падение толщены потери импульса при увеличении

степени торможения, т.е. параметра a/A

а

Т

и s,

4-13853

• Уменьшение параметра s уменьшает область параметров a/A w0,

соответствующих безотрывному течению.

11. В приложении представлены результаты численного интегрирования редуцированных обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями задач, позволяющих определить основные характеристики ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности при неравномерном внешнем потоке и торможении в поле переменных во времени плотности.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕННО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1.Якимов Е.И., Групповые свойства и инвариантные решения уравнений ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности в неравномерном внешнем потоке. // Труды тринадцатой межвузовской конференции. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара,

2003. С. 173-176.

2.Якимов Е.И., Павлов В.Г., Ламинарный пограничный слой за точкой скачкообразного нестационарного изменения скорости вдува в поле переменной во времени плотности. // Вестник. Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева, 2004.№2.С 56-59.

3.Якимов Е.И., Ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в поле переменной во времени плотности. // Труды четырнадцатой межвузовской конференции. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара, 2004.Т.З.С. 238-240.

4.Якимов Е.И., Нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности в поле переменной во времени плотности и вязкости. // XXX Гагаринские чтения. Москва,

2004.Т.2.С. 65.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л.1,5. Усл.печ.л. 1.39. Усл.кр.-отт. 1.39. Уч.-изд.л. 1.09. Тираж 100. Заказ Д92.

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, г.Казань, ул. К.Маркса, 10

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Ламинарный пограничный слой на проницаемой поверхности в вихревом внешнем потоке.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Основные группы преобразований и инвариантные решения. Результаты численного интегрирования.

1.3. Переменные Крокко и уравнения пограничного слоя на поверхности при неравномерном внешнем потоке.

Глава 2. Построение решения уравнений ламинарного пограничного слоя в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий.

2.1. Постановка задачи и основное уравнение.

2.2. Групповые свойства уравнения ламинарного пограничного слоя в окрестности точки нарушения аналитичности граничных условий.

2.3. Построение существенно различных инвариантных решений.

2.4. Ламинарный пограничный слой за точкой скачкообразного нестационарного изменения скорости вдува в поле переменной во времени плотности.

Глава 3. Нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости в поле переменных во времени плотности и вязкости.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости в поле переменных во времени плотности р(г) и кинематического коэффициента вязкости и(г).

3.3. Инвариантные решения уравнения (3.1.4).

3.4. Нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью.

3.4.1. Постановка задачи и основные уравнения.

3.4.2. Анализ результатов численного моделирования влияния параметра торможения = , скорости вдува (отсоса) w0 и параметра изменения плотности среды s на характеристики пограничного слоя.

В авиационной и ракетной технике основную роль играют течения газа при больших значениях числа Рейнольдса. Решение уравнений Навье

- Стокса, описывающих течение вязкого газа, представляет до сих пор значительные трудности даже при использовании современной вычислительной техники. В этом направлении имеются определенные успехи. Однако, именно для течений при больших значениях числа Рейнольдса Re, численное решение задач оказывается сложным и трудным. Поэтому обычным путем является использование классической теории пограничного слоя Прандтля [20,47]. В этом случае предполагается, что поскольку число Re велико, вязкие члены уравнений Навье-Стокса несущественны почти во всем потоке, кроме узких областей течения, толщина которых уменьшается при возрастании числа Re. Внешнее невязкое течение описывается уравнениями Эйлера. Их решение дает часть краевых условий для уравнений пограничного слоя.

Существенным предположением теории пограничного слоя является малость продольных градиентов функций по сравнению с поперечными. В связи с этим в уравнениях Прандтля отсутствуют старшие производные по продольной переменной.

Таким образом, влияние вязкости проявляется лишь в очень тонком слое, в котором скорость обтекания тела резко меняется, возрастая от нуля

- условие прилипания до значений скорости во внешнем потоке, в котором жидкость можно рассматривать без трения.

Теории пограничного слоя посвящено большое число работ, содержащих результаты теоретических и экспериментальных исследований. Обширная библиография представлена, например в [20,47]. Важное место в теории пограничного слоя занимают математические методы. Математические исследования системы уравнений Прандтля вскрывают природу явлений, управляющих движением жидкости или газа в пограничном слое, и тем самым позволяют установить количественные и качественные закономерности движения.

Гипотеза пограничного слоя позволила получить физическое объяснение важной роли трения, теплопроводности, диффузии в проблеме сопротивления, теплопередачи, процессах массопереноса вещества, а также и дала возможность преодолеть математические трудности, возникающие при решении уравнений вязкого и теплопроводного газа или жидкости с учетом явления массопереноса вещества - тех уравнений, которые даже в самом простом случае учета только вязкости приводят к значительным трудностям их решения.

Теория пограничного слоя (динамического, теплового, диффузионного) является одним из важнейших разделов механики жидкости и газа, позволяющая решать важнейшие прикладные задачи взаимодействий - силового, теплового, химического и других задач взаимодействия, встречающихся в практике.

Движение жидкости и газа в пограничных слоях и в его внешнем потоке в действительности неразрывно связаны между собой. В большинстве работ эта связь рассматривается односторонне, т.е. считается, что внешний поток существует независимо от пограничного слоя и задается как известный потенциальный поток. В этом случае характер течения жидкости и газа в пограничном слое определяется по характеру заданного распределения давления внешнего течения.

Одним из способов активного воздействия на характеристики пограничного слоя является искусственная организация вдува или отсоса жидкости или газа через проницаемую поверхность. Еще Я. Прандтль подметил это влияние на характер течения в пограничном слое. В дальнейшем отсос широко использовался для управления точкой отрыва пограничного слоя, так как преждевременный его отрыв уменьшает подъемную силу и увеличивает лобовое сопротивление обтекаемого тела, например, профиля крыла или иной несущей поверхности.

Во всех многочисленных работах по изучению влияния вдува или отсоса на характеристики пограничного слоя [20,47] предполагается, что

- абсолютная величина скорости вдува или отсоса, и оо

- характерная скорость - скорость набегающего потока. Показано, так же, что v ~ и R 2, здесь R - число Рейнольдса для набегающего потока. w ооеоо е°°

Это условие и определяет понятие «слабого» вдува или отсоса. При столь малой скорости не оказывается влияние вдува или отсоса на характер внешнего течения, т.е. предполагается, что градиент давления в случае «слабого» вдува или отсоса не меняется.

В результате все допущения, лежащие в основе теории пограничного слоя, выполняются.

Таким образом, при «слабом» вдуве или отсосе имеет место, как и при их отсутствии, строго разграниченное проявление влияния вязкости, приводящее к возможности разделения области обтекаемого тела на две -внешнее течение, где не проявляется вязкость и вдув (отсос) и течение в тонком пограничном слое, в котором проявляется влияние вязкости и «слабого» вдува (отсоса) и используются те же уравнения Прандтля, но с учетом поперечной составляющей скорости на поверхности тела, т.е. v = v 9*0. Введя таким способом, определение понятия «слабого» вдува или отсоса, следует отметить, что «сильный» вдув или отсос уже оказывают влияние на внешнее течение и его проявление приводит к ослаблению влияния вязкости.

Возникает естественный вопрос - изменится ли математическая модель, описывающая течение вязкой жидкости, т.е. возможно ли сохранение влияния вязкости в слое малой толщины при «сильном» вдуве или отсосе и, как скажется их влияние на характер внешнего течения. Другими словами, возможно ли при «сильном» вдуве или отсосе

0,001, где представление области течения вязкой жидкости, состоящей из внешнего течения и течения в пограничном слое.

В работе [31], на поставленный вопрос, была сделана попытка, дать ответ, исходя из оценки величин членов уравнений Навье-Стокса. Предполагалось, что массовые силы отсутствуют, течение несжимаемой жидкости установившееся.

В результате при определенных условиях в уравнениях, как обычно, были выделены члены различных порядков малости и решения представлены в виде разложений по малому параметру.

Так как заранее неизвестно к каким последствиям приведет «сильный» вдув или отсос, то нельзя предполагать «анизотропию» пограничного слоя, т.е. малость поперечных размеров в этой области движения вязкой жидкости по сравнению с продольными и малость поперечной скорости по сравнению с продольной.

Приведенный анализ, показал, что при «сильном» вдуве, отсосе, когда скорость вдува соизмерима со скоростью набегающего потока, пограничный слой отсутствует, и влияние вязкости при больших числах Рейнольдса не оказывают сильного воздействия на характеристики течения. Поэтому поток жидкости находится, в основном, под воздействием градиента давления. Это, по-видимому, будет справедливым до тех пор, пока вдув не приведет к отрывному характеру течения.

Далее, отметим, что одно из основных предположений Прандтля о пограничном слое состоит в том, что слой на столько тонок, что на его структуру не влияет структура внешнего течения. Если же завихренность во внешнем течении достаточно велика, то она может влиять на структуру пограничного слоя.

Согласно общепринятой модели пограничного слоя [47], предполагается отсутствие его взаимодействия с внешним потоком. Однако, существуют практически важные задачи, которые по постановкам отличаются от классических задач пограничного слоя. Примером является задача обтекания поверхности вязкой жидкостью при условии непотенциальности или неравномерности набегающего потока. В этом случае, при определённых значениях составляющего вихря набегающего потока, границы раздела учёта влияния вязкости при обтекании какого либо тела могут и не существовать, т.е. вихревой поток пограничного слоя непрерывно переходит в поток внешнего течения с заданными составляющими вихря.

В работах [16,30,32,44,59,79,80], посвященных учёту влияния завихренности на характеристики пограничного слоя для плоского течения, предполагалось, что -^-«1, где со. и Q. - характерные значения составляющего вихря вне пограничного слоя и внутри, соответственно.

Эти условия и определяют понятие «слабого» вихревого взаимодействия.

При «слабом» взаимодействии, как и без него, существует строгое ограничение проявления вязкости в тонком пограничном слое.

Особенность учёта вихревого взаимодействия здесь сводится к ди со, граничному условию —- Ф 0 на внешней границе слоя. Если же —~ 1, то ду Q, говорят о «сильном» вихревом взаимодействии, которое оказывает влияние на структуру течения. Это влияние приводит к ослаблению влияния вязкости, в результате чего может и не быть разграничения течения на две области, как в классической теории пограничного слоя.

Возникает естественный вопрос, как изменится математическая модель, описывающая течение вязкой жидкости при «сильном» вихревом взаимодействии по сравнению с моделью «слабого» воздействия.

В работе [30] была сделана попытка, дать ответ на этот не простой вопрос.

Был проведён анализ для двух предельных случаев, соответствующих «слабому» и «сильному» влиянию. Показано, ещё раз, что тонкий пограничный слой в общепринятых допущениях существует и в случаях «слабого» вихревого воздействия. В этом случае, составляющие вихря монотонно изменяются, уменьшаясь от значения на поверхности тела до значений, соответствующих значениям вихря в набегающем потоке. В этом случае толщина пограничного слоя имеет тот же порядок, что и в случае отсутствия вихрей вне пограничного слоя.

В случаи «сильного» вихревого взаимодействия влияние завихренности внешней среды становится значительным, и пограничный слой отсутствует, т.е. в случае «сильного» воздействия нельзя выделить область, которая подразумевается как некоторый тонкий слой со значительным проявлением вязкости, таким образом, при больших числах Рейнольдса влияние вязкости может не оказывать существенного влияния на характеристики течения. о (О

Если предполагать, что —- ~ 1, или —- »1, то составляющая вихря

Z Z во внешнем течении является величиной того же порядка, что и составляющая вихря в пограничном слое или больше. Для согласованности необходимо считать, что-либо всё поле течения являются невязким, либо всё поле течения является вязким. В любом из этих случаев обычная концепция пограничного слоя оказывается несостоятельной и должен использоваться другой подход.

В данной работе анализ непотенциальности внешнего потока проводится в предположении, что это воздействие «слабое».

Теория пограничного слоя дает возможность описать качественно и оценить количественно явление, называемое отрывом пограничного слоя. Оно заключается в том, что даже при больших числах Рейнольдса не всегда выполняется предположение о том, что тангенциальная к обтекаемой поверхности составляющая скорости жидкости велика по сравнению с нормальной к поверхности тела составляющей скорости. На обтекаемой поверхности может существовать линия, а в плоском случае точка, ниже которой по течению возникает возвратное, по отношению к внешнему течению, движение жидкости. Этот поток жидкости оттесняет пограничный слой от обтекаемой поверхности и, его верхняя граница, отделяющая безвихревое течение от пограничного слоя, уходит от поверхности тела вглубь потока. При этом вихревое движение жидкости проникает из пограничного слоя во внешнее течение. Такое проникновение может произойти только путем непосредственного перемещения движущейся вблизи тела жидкости вглубь основного потока. При этом может произойти как бы отрыв течения в пограничном слое от поверхности тела, в результате чего линии тока выходят из пограничного слоя во внешний поток. Нормальная составляющая скорости становится соизмеримой с продольной компонентом, это означает, что в окрестности точки отрыва нормальная составляющая возрастает, и система уравнений Прандтля описывает движение жидкости в ограниченной области по переменной х. Но эти рассуждения не строги. Уравнения Прандтля не могут описывать отрывные течения.

Если - продольная составляющая скорости, то 0, где Ху - точка отрыва пограничного слоя. Тогда давление в окрестности точки отрыва распределяется по закону

Поскольку в пограничном слое и(х,у)> 0, а в точке х = х имеем

Эу о) Э2и(л: ,о) = 0, то в точке отрыва-^— > 0, т.е. > 0, т.е. 0, то в точке отрыва

Эу 0, т.е. жидкость движется из зоны низкого давления в область более высокого. du 1 Эр du

Так как и —- =---, то отсюда следует, что —- < 0 е dx р дх dx

Так как и du то отсюда следует, что —- < 0 dx зона отрывного dp<o = о dx dx dp dx ди

Ту 0 0 y=o dp

При обтекании тела, где есть изменение давления, от — < 0 dx скорость увеличивается) до — > 0 (скорость уменьшается) всегда dx произойдет отрыв.

Строгая математическая постановка задач теории пограничного слоя приводит к сложным системам дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку требования к точности расчетов очень высокие, то единственным практическим способом решения этих уравнений является использование численных методов с применением современных компьютерных технологий.

К сожалению, полученные таким образом результаты, приводят к необходимости проведения весьма длительного анализа, прежде чем могут быть получены количественные и качественные выводы.

Однако, в некоторых конкретных, частных случаях течения в пограничных слоях, имеющих большое практическое значение, структура уравнений и произвольные функции, входящие в уравнения и краевые условия таковы, что уравнения пограничного слоя, могут быть точно преобразованы в уравнения с меньшим числом независимых переменных или даже сведены точно к обыкновенным дифференциальным уравнениям и сравнительно простыми методами решены. Эти новые независимые переменные могут быть представлены в виде комбинаций исходных независимых переменных. Такие решения обычно в литературе именуются «точными», автомодельными или в более общем наименовании, как «инвариантные». Их существование связано с существованием непрерывных групп преобразований, относительно которых система дифференциальных уравнений инвариантна.

Ценность этих решений, полученных даже для простых физических задач, состоит в том, что они создают основу для построения приближенных решений более сложных задач и дают возможность проникновения в глубь новых физических явлений с более сложной математической моделью.

В методологии исследований характеристик пограничного слоя широко используются как экспериментальные, так и теоретические методы исследований, основанные на различных физико-математических постановках и методах. Опираясь на результаты экспериментальных исследований по прямому наблюдению и регистрации параметров процессов, теория пограничного слоя имеет своей основной целью предсказания хода развития явления и его основных характеристик путем анализа его математических моделей и применения расчетных методов, основанных на разнообразных разделах математики.

Теория пограничного слоя, являясь составной частью механики жидкости и газа, послужила не только пониманию и описанию явлений, связанных с течением реальных сред, но и оказала в свою очередь заметное влияние и на развитие некоторых разделов теории дифференциальных уравнений.

Принципиальной особенностью дифференциальных уравнений, описывающих, течение реальных сред различных физических процессов, являются их нелинейность и наличие частных производных.

Таким образом, одна из основных трудностей получения конкретных выводов о движении жидкости и газа вызвана бесконечностью числа степеней свободы аэрогидродинамических объектов, сочетающихся с нелинейностью уравнений.

Отсюда и идет многообразие методов анализа уравнений, определяющих пространственно-временную структуру того или иного течения.

Одним из возможных путей преодоления этих трудностей, является замена объекта с бесконечным числом степеней свободы системой с конечным числом свободы, но нелинейным.

То есть в связи со значительными математическими трудностями интегрирования уравнений аэрогидродинамических объектов различных физических явлений, но с одними и теми же сложностями, возникают две проблемы, разрешение которых с той или иной точностью, позволяют дать конкретные качественные и количественные оценки явлений. Это следующие пути преодоления сложностей:

1. Упрощение уравнений математических моделей физических явлений (например, если есть условия - линеаризация уравнений — точная или приближенная с оценкой линеаризации, их . декомпозиция и агрегирование - разбивка системы на подсистемы или объединение переменных, снижение размерностей независимых и зависимых переменных, отыскание симметрий в математических моделях, введение новых независимых и зависимых переменных, позволяющих сводить исходную задачу к более простой или к задаче с известными уже решениями и т.д.). Но все эти упрощения, естественно, ограничивают общность постановок и приводят к возможностям преодолений математических трудностей в частных физических задачах.

2. Экспериментальное исследование параметров течений жидкости и газа, т.е. моделирование уравнений механики жидкости и газа (например, уравнений Навье-Стокса, неразрывности, энергии и состояния) с помощью экспериментальных установок, в которых создаются объекты и условия аналогичные реальным.

Экспериментальные исследования течений около поверхностей или по руслам, ограничивающим, и направляющим течения проводятся, как правило, не с телами или поверхностями в натурную величину, а с их моделями - геометрически, подобным телами меньших размеров.

Здесь возникают большие проблемы, связанные с возможностью переноса результатов эксперимента на натурные объекты.

Эта задача, в какой - то мере, аналогична задаче о приближенном интегрировании системы уравнений механики жидкости и газа в той или иной физической постановке. Здесь требуется введение определенных понятий, формирующих условия достоверности результатов, полученных экспериментальным путем. Известно, что такими понятиями являются понятия, вытекающие из общих принципов подобия и аналогий.

За последние годы в механике жидкости и газа нашли широкое применение методы теории групп и в первую очередь анализ групповых свойств этих уравнений с последующим конструированием инвариантных решений.

Понятие группы ценно для механики жидкости и газа в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей.

Во-вторых, с помощью понятия группы можно проверить справедливость математических теорий механики жидкости и газа даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать, теоретически выведенные, уравнения в частных производных. Здесь теория групп позволяет провести качественный анализ возможных решений и, в-третьих, теория групп дает алгоритм упрощения в математической постановке задачи. Следует отметить, что теория непрерывных групп преобразований теснейшим образом связана с вопросом интегрирования дифференциальных уравнений изначально с момента ее создания. На эту связь впервые указал норвежский математик С. Ли. В работах С. Ли, его учеников и последующих работах была сформулирована и разработана теория, позволяющая ввести понятие группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений, т.е. были заложены основы поиска, так называемых, инвариантных решений уравнений.

В настоящее время направление исследований, связанное с использованием аппарата теории групп Ли, для анализа структуры множества решений дифференциальных уравнений и их классификация, при наличии произвольных непрерывных функций в уравнениях, получило название группового анализа дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения, описывающие движения вязкой, теплопроводной жидкости или газа и, в частности, уравнения пограничного слоя, допускают богатые возможности их группового анализа, на основе которого, строятся различные частные решения.

Методы группового анализа получили широкое распространение в задачах механики жидкости и газа. Работы Л.В. Овсянникова и его последователей, например [17,22-25,29,64] и другие показали перспективность этих исследований и их большое прикладное значение.

С точки зрения приложений наиболее важно то, что эта абстрактная теория содержит математический аппарат, позволяющий наиболее просто и естественно учитывать качественные и количественные состояния (свойства) симметрии, заложенные в уравнения, граничные и начальные условия.

Одним из первых, на возможность применения теории групп Ли в гидроаэродинамике, указал Г. Биркгоф [1]: «С помощью понятия группы можно прове|эить справедливость математических теорий гидромеханики даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать теоретически выведенные уравнения в частных производных».

За последние годы было развито понятие инвариантных решений уравнений математической физики и разработана техника вычислений и классификация таких решений (это, в частности перечислим некоторые из них: уравнения Навье-Стокса, Прандтля как в стационарном, так и в нестационарном случаях, нелинейной теплопроводности и диффузий и многих других). Удалось найти множество точных решений, строго определить место в этой схеме для инвариантных решений, взглянуть на всю проблему исследований уравнений механики с единой общей точки зрения.

Всякая физическая задача классификации, сразу же обнаруживает свою теоретико-групповую природу. Необходимо подчеркнуть, что существующие, так называемые автомодельные, решения включаются в более общий класс инвариантных решений. С групповой точки зрения автомодельные решения - решения, построенные на подгруппах аффинного сжатия или растяжения, которые являются частными подгруппами общей группы. Это еще раз подтверждает высказывание известного физика и математика Мартона Хаммермаша, что многие найденные решения систем дифференциальных уравнений различной природы являются частью более широких классов решений, которые определяются методами теории групп [43].

Дифференциальные уравнения механики сплошной среды допускают достаточно широкую группу, что и определяет богатые возможности их группового анализа.

Одной из основных задач группового анализа дифференциальных уравнений является изучение действия, допускаемой системой уравнений, группы на множестве решений.

Изучая физическое явление, используя основные законы такие, как сохранение массы, количества движения, энергии, состояние получаем математическую модель в виде системы уравнений, а допускаемая ими группа вместе с моделью не дается, она неизвестна. Поэтому и возникает особая задача отыскания этой допустимой группы, т.е. такой группы, относительно которой система дифференциальных уравнений остается инвариантной.

Фундаментальную основу исследования какой-либо физической системы составляют ее свойства инвариантности, относительно некоторых преобразований.

Исследования, выполненные за последние десятилетия, показали, что методы теории групп Ли являются особенно перспективными в различных разделах механики. Выполненный к настоящему времени групповой анализ ряда дифференциальных уравнений механики не только позволил систематизировать ранее известные разрозненные факты, но и дал возможность вскрыть новые закономерности в строении семейства решений этих уравнений.

Идея о существовании тесной связи разнообразных свойств инвариантности тех или иных явлений с моделированием этих явлений обсуждалось многими авторами, например, в работах [1,43].

Методы расчета характеристик пограничного слоя, связанные с непосредственным интегрированием уравнений Прандтля при усложненных граничных условиях (произвольное распределение скорости во внешнем потоке, вдув инородного газа или жидкости через проницаемую поверхность, непотенциальность внешнего потока, нарушение аналитичности граничных условий, например, несовпадение начала вдува или отсоса с точкой начала образования пограничного слоя и т.д.), представляют значительные трудности.

Строгая математическая постановка задач теории пограничного слоя с усложненными свойствами, выражающимися в условии, как в самой математической модели - системы дифференциальных уравнений, так и в граничных условиях, приводит к значительным трудностям в решении этих уравнений с заданными граничными условиями и начальными условиями.

Однако, в ряде весьма важных приложениях, имеющих практическое значение, уравнения, описывающие течения в пограничных слоях с теми или иными особенностями в уравнениях, позволяют получить весьма эффективные решения, основанные на исследованиях групповых свойств этих уравнений и на основе этого анализа построить решения, провести их классификации если имеется произвольные функции и сделать вывод о влиянии тех или иных особенностей, учитываемых в постановках явлений. Такие решения называются инвариантными или «точными» решениями.

Благодаря исследованиям Л. В. Овсянникова и его последователей Ибрагимова Н. X., Павловского Ю. Н., этот математический аппарат нашел широкое применение в решении разнообразных задач механики сплошной среды, теории управления и динамики систем, до изучения динамики биологических популяций и начинает внедряться в проблемы психологии и теории изменчивости.

В работе Ю.Н. Павловского [29] впервые были исследованы групповые свойства стационарных уравнений двумерного пограничного слоя и получены все возможные инвариантные решения. В работе [60] найдены Лиевы преобразования, относительно которых уравнения нестационарного пограничного слоя на пластинке, инвариантны. Сконструированы инвариантные решения ранга I, проведено групповое расслоение. В работе [64] проводится единый анализ с целью получения всех решений подобия нестационарного и стационарного пограничного слоя на плоской пластинке.

Эффекты нестационарности поля течения проявляются, в частности, при быстром торможении и ускорении тел. Экспериментальное изучение нестационарных эффектов крайне затруднительно из-за малости временных масштабов, на которых развивается события.

Янг в работе [83,84] исследовал нестационарный пограничный слой в окрестности критической точки и получил автомодельные решения системы уравнений динамического пограничного слоя для случая, когда скорость внешнего течения со временем уменьшается. В своей работе [84] он представил результаты численного интегрирования, полученных дифференциальных уравнений для различных значений параметра а (а -постоянная, характеризующая нестационарность внешнего потока).

Численные методы, применявшиеся различными авторами для интегрирования уравнений пограничного слоя весьма разнообразны [12,14,19,33-37,41,45,56,58].

В работе [61] рассмотрен случай замедляющейся по линейному закону скорости, в котором отрицательный градиент давления мгновенно возрастает на некоторую величину в момент времени t = 0.

Исследованы некоторые полу автомодельные задачи, в которых число независимых переменных снижено с трех до двух [40]. Метод частично автомодельных решений позволяет фиксировать область интегрирования. В этой работе предлагаются преобразования уравнений нестационарного пограничного слоя, которые позволяют ослабить влияния временных производных и, таким образом, упростить расчеты вследствие возможности увеличения шага интегрирования по времени. С помощью разностных схем в [35] найдено решение некоторых задач теории пограничного слоя. В их числе задачи продольного нестационарного обтекания пластины с ускорением по степенному закону от времени.

Для полностью автомодельных задач решения во всем диапазоне изменения во времени были получены, например, в работе [9]. В этой работе изучается влияние нестационарности на аэродинамические тепловые характеристики тела при его выходе в атмосферу со скоростью, и которая уменьшается обратно пропорционально времени, т.е. и =--—,

00 1 + а г где м()- начальное значение скорости при а = 0, t - время, а - величина, зависящая от плотности набегающего потока, а также массы и площади тела.

В данной диссертации развитие пограничного слоя в окрестности критической точки при торможении внешнего потока при условии, что плотность среды изменяется во времени, будет подробно исследовано.

В работе [37] показано, что если течение формируется импульсивным возмущением или ускорением степенного вида, то задачи пограничного слоя, автомодельные при стационарном движении, автомодельные и в случае нестационарного режима движения.

При исследовании автомодельных течений, уравнения Прандтля нередко сводятся в переменных Крокко к уравнению, в качестве искомой функции, которой является функция, определяющая касательное напряжение.

В данной диссертации будет уделено достаточное внимание использованию переменных Крокко при исследовании развития пограничного слоя при внешнем вихревом течении и показано влияние параметров, определяющих завихренность на характеристики пограничного слоя и, в первую очередь, на касательное напряжение.

В данной диссертации в качестве метода, дающего алгоритм нахождения решений при котором исходная система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, выбран метод анализа групповых свойств дифференциальных уравнений.

Исследуются только инвариантные решения, часть из которых проанализирована автором в работах [48-53]. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, приведенных в качестве исследования конкретных характеристик пограничного слоя, проводилось методом Рунге-Кутты при использовании итерационной процедуры Ньютона.

Метод группового анализа позволяет регулярным процессом выделить из всего множества решений, исследуемой системы дифференциальных уравнений, так, называемые, инвариантные решения, отыскание которых сводится к интегрированию более простой системы, чем исходная, за счет уменьшения числа независимых переменных, либо за счет уменьшения числа искомых функций. Широко известные и имеющие большое теоретическое и прикладное значение автомодельные решения, получаемые методами теории размерностей, входят составной частью в класс инвариантных решений.

Групповой анализ позволяет находить инвариантные решения и в тех случаях, когда исходная система дана без указания на физический смысл связываемых величин.

Рассмотрим вкратце общую постановку задачи группового анализа дифференциальных уравнений в частных производных.

Групповым свойством системы дифференциальных уравнений (5) называется ее свойство оставаться неизменной (инвариантной), когда зависимые и независимые переменные общим числом «п», рассматриваемые как координаты точки п - мерного пространства, подвергаются преобразованиям некоторой группы преобразований G.

Значение группового свойства для интегрирования системы (S) заключается в том, что под действием преобразований из G любое решение системы (s) переходит снова в решение этой же системы. Это позволяет использовать групповое свойство для построения различных классов частных решений системы (5), отыскание которых сводится к интегрированию более простых систем уравнений. Кроме того, групповое свойство является признаком, по которому можно осуществлять определенную классификацию решений системы (5).

Остановимся, на наш взгляд, на некоторых недостатках классической теории пограничного слоя.

Классическая теория пограничного слоя рассматривает течение вязкой жидкости, которое при стремлении коэффициента вязкости и к нулю стремится к некоторому «предельному» течению идеальной жидкости, во всякой подобласти не содержащих точек границы области

21 течения. Предполагается, что при малых значениях D (кинематический коэффициент вязкости) всю область течения можно разбить на «основную область», где течение мало отличается от предельного, и так называемые пограничные слои - узкие области, расположенные вдоль участков границы, где течение отличается от предельного течения и описывается специальными уравнениями пограничного слоя.

Достаточно строгий и убедительный вывод уравнений, описывающих течения в пограничном слое был дан Прандтлем для случая пограничного слоя на непроницаемой границе.

Распространение этих уравнений на некоторые другие случаи пограничного слоя имеет формальный характер. Так, например, в случае проницаемой поверхности (границы) нарушается одно из основных предположений, на которые опирается вывод уравнений Прандтля -обращение в нуль на стенке нормальной компоненты скорости. Таким образом, уже в этом сравнительно простом и практически важном случае возникает вопрос об условии применимости уравнения Прандтля.

Аналогичные вопросы возникают в связи с некоторыми задачами, имеющими практическое значение. Например, пограничные слои, возникающие при наличии поверхности разрыва или пограничные слои, возникающие при условии непотенциальности внешнего к пограничному слою течения.

Исследования применимости классических уравнений пограничного слоя, изучение других типов пограничных слоев с усложненными постановками и особенностями в уравнениях и граничных условиях по сравнению с классическими, приобретают большое теоретическое и практическое значения.

Очень мало разработан вопрос о граничных условиях, которые надо задавать совместно с уравнениями пограничного слоя. Остановится на условиях, которые задаются на «внешней границе» пограничного слоя.

На практике часто пользуются асимптотическими граничными условиями Прандтля, имеющими в простейшем случае течения вязкой несжимаемой жидкости вблизи плоской стенки следующий вид: при у—>°о, и(х,у)—>U(x), где и(х) - значение касательной составляющей скорости «предельного» течения на стенке. Хорошо известно, что в случае U(*) Ф const это приводит к парадоксальному результату: при удалении от стенки нормальная компонента скорости v неограниченно возрастает. В некоторых случаях (например, расчет многокомпонентного пограничного слоя) это физическое бессмысленное поведение v может вызвать заметное искажение результатов [28].

В научной и учебной литературе рассматриваются так же граничные условия, основанные на введении некоторой условной «границы» пограничного слоя. Условия, которыми определяется положение этой «границе», представляются нам недостаточно обоснованными с ди физической точки зрения, например условия u(x,5) = U(x), — ду 0. v=5

Вопрос о построении приближенного решения «в целом», т.е. во всей области течения, по существу не рассматривается в классической теории пограничного слоя. Следует отметить, что в общем случае невозможно построить непрерывное и гладкое по всем компонентам приближенное решение путем сопряжения «предельного» течения и решения классических уравнений пограничного слоя.

Отметим, что в некоторых работах при рассмотрении влияния пограничного слоя на основное течение, граничное условие задается не на стенке, а на некоторой линии удаленной от стенки на расстоянии порядка «толщены» пограничного слоя.

Предлагаемая работа посвящена исследованиям ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности при неравномерном внешнем потоке в поле переменных во времени плотности, скорости набегающего потока и нарушение аналитичности в граничных условиях.

23

Исследования проводятся как для стационарных, так и для нестационарных постановок. Проводится единый анализ с целью получения инвариантных решений в этих сложных постановках.

Конечно, изучение таких совместных влияний, в столь сложных постановках на характеристики пограничного слоя, связано с исследованием сложных нелинейных уравнений в частных производных, с граничными условиями, приводящими к сложностям численного интегрирования.

Общие постановки задач не всегда дают возможность в получении результатов оценки совместного влияния параметров, определяющих особенность поставленной задачи, на характеристики пограничного слоя, таких как касательное напряжение на поверхности, распределение скорости и касательного напряжения по толщине пограничного слоя, точки отрыва пограничного слоя и т.д.

Поэтому, в работе проводятся исследования и раздельного влияния на решение уравнений, а, следовательно, и на характеристики пограничного слоя, указанных в постановках задач особенностей физического или математического характера.

Возможность исследования этих совместных влияний проводится на основе исследования групповых свойств дифференциальных уравнений. Если система уравнений, учитывающая особенности постановки физической задачи, обладает основной группой преобразований G, относительно которой она остается инвариантной, то такая математическая модель имеет так называемые «точные» решения, которые позволяют оценивать совместные влияния тех или иных параметров на характеристики пограничного слоя.

Если система уравнений не обладает свойством инвариантности относительно основной группы G, то получить «точное» решение такой задачи невозможно и, необходимо, изучить эти свойства, в отдельности и найти группу преобразований G, а, следовательно, и «точные» решения при оценки того или иного параметра в отдельной постановке.

Таким образом, делается вывод о роли группового анализа дифференциальных уравнений в оценке совместного влияния параметров,

I» т или структур уравнений, позволяющих получить «точные» решения. Отсутствие такой группы непрерывных преобразований G, относительно которой система уравнений инвариантна, позволяет сделать вывод о невозможности точной оценки совместного влияния, что приводит к необходимости использования различных приближенных методов.

Целью диссертационной работы является:

Исследование характеристик ламинарного пограничного слоя (стационарного и нестационарного), формирующегося на проницаемых поверхностях при неравномерном внешнем течении в поле переменной во времени плотности и при нарушении аналитичности граничных условий. Для достижения этой цели были проведены;

• Постановки задач и исследование характеристик ламинарного пограничного слоя, образующегося при обтекании несжимаемой жидкостью проницаемого тела неравномерным потоком, как в стационарном, так и нестационарном течениях;

• Исследования характеристик ламинарного пограничного слоя на проницаемых поверхностях с усложненными постановками, выражающимися в особых физических и математических моделях;

• Изучено существование основных групп преобразований, соответствующих этим постановкам, относительно которых системы дифференциальных уравнений инвариантны;

• Определенны классы существенно различных инвариантных решений, соответствующих граничных условий и функций, определяющих особенность физических постановок задач;

• Определены области существования параметров, определяющих безотрывность течения ламинарного пограничного слоя;

• Выявлены возможности возникновение условий потери устойчивости ламинарного профиля скоростей;

• Анализ влияния параметров, характеризующих неравномерность и торможение внешнего течения, скорости перемещения точки начала вдува на проницаемой пластинке, скорости вдува или отсоса на проницаемой поверхности, параметра изменения плотности во времени на основные характеристики ламинарного пограничного слоя.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Постановки задач и математические модели течений ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости с особыми физическими условиями (неравномерность внешнего течения, нарушение аналитичности в граничных условиях, переменность во времени плотности и вязкости внешнего потока, торможение внешнего потока);

• Результаты теоретико-группового анализа дифференциальных уравнений, описывающих ламинарный пограничный слой в усложненных физических постановках;

• Построение существенно различных решений, построенных на подгруппах основной группы преобразований и их интерпретация в различных постановках;

• Результаты численного интегрирования, редуцированных обыкновенных дифференциальных уравнений теории ламинарного пограничного слоя в различных постановках, полученных и проанализированных в рамках данной диссертации, а именно: о На проницаемой поверхности в неравномерном внешнем потоке в поле переменной во времени плотности в стационарной и нестационарной постановке о Уравнений в переменных Крокко при неравномерном внешнем потоке; о Построение решений и изучение характеристик течения в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий в задаче нестационарного пограничного слоя на пластинке при перемещении точки начала вдува и влиянии нестационарности поля переменной плотности; о Характеристики течений в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в поле переменной плотности при вдуве или отсосе; о Установление областей параметров определяющих, безотрывной характер течения ламинарного пограничного слоя, возможность возникновения условий потери устойчивости ламинарного течения в некоторых задачах, представленных в диссертации. Содержание диссертации.

В первой главе дается постановка и исследуется ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности (вдув или отсос жидкости того же состава, что и состав основного потока), формирующегося в неравномерном или завихренном внешнем потоке. Используя базис основной группы Ли преобразований зависимых и независимых переменных, определяются условия существования инвариантных решений при линейном законе изменения скорости в поперечном направлении. Проведено численное интегрирование, проанализированы характеристики пограничного слоя в зависимости от скорости вдува (отсоса) и параметра, определяющего завихренность внешнего потока.

Установлена область параметра вдува (отсоса) и параметра завихренности внешнего потока соответствующих существованию безотрывного течения пограничного слоя.

Показано, что завихрение внешнего потока оказывает влияния на характер распределения давления на внешней границе пограничного слоя,

- dp dp др и градиент давления может быть — <0,— = 0,— >0 в зависимости от дх дх дх интенсивности завихрения и структуры внешнего потока.

В соответствии с этим показано, что для сохранения безотрывного течения при условии — >0, необходимо увеличивать отсос жидкости на дх проницаемой поверхности. Чем больше параметр, характеризующий завихренность, тем больше величина — >0, тем интенсивнее должен дх быть отсос жидкости.

Увеличение «вихревого» числа к приводит к увеличению касательного напряжения на поверхности. Установлено, что уменьшение

28 параметра к < 1,0 приводит к ослабеванию его влияния на касательное напряжение, но при к > 1,0 увеличение «вихревого» числа приводит к значительному увеличению касательного напряжения.

Здесь же, для изучения характеристик пограничного слоя, развивающегося на поверхности при неравномерном внешнем потоке, введены переменные Крокко. Показано, что эти переменные удобны для проведения анализа оценки влияния завихренности внешнего потока на характеристики пограничного слоя.

Проведен групповой анализ в уравнения переменных Крокко. Показано, что основная группа преобразований является произведением трех параметрической группы преобразований. Полученный базис алгебры Ли, позволил получить инвариантные решения.

В качестве задачи изучение влияния неравномерности внешнего потока на характеристики пограничного слоя исследован пограничный слой на плоской пластинке. Исследовано влияние «вихревого» числа на характер изменения скорости, и касательного напряжения по толщине пограничного слоя. Установлено, что касательное напряжение на пластинке существенно зависит от завихрения внешнего потока. Чем больше завихренность внешнего потока, тем больше касательное напряжение на пластинке. Проведен анализ влияния структуры вихревого поля внешнего течения на характер изменения касательного напряжения по толщине пограничного слоя и на поверхности.

Вторая глава диссертации посвящена построению решений уравнений ламинарного пограничного слоя в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий. Решение этих задач вызваны потребностью практики и заключается в том, что в некоторой точке jc = jcq на поверхности обтекаемого тела происходит нарушение аналитичности граничных условий. В этих точках терпит разрыв не только функция, но и ее производные.

В данной работе используется методика, исследования подобных задач, изложенная в [15,16].

Переход к новым независимым переменным и новой искомой функции, функции учитывающей характер течения в пограничном слое до точки нарушения аналитичности, позволяет получить уравнение с учетом особенностей поставленной задачи.

Здесь весь пограничный слой разбивается на два слоя: «внутренний» и «внешний». Условия на границе «внутреннего» слоя представляются условиями плавного перехода к условиям «внешнего» слоя.

Предполагается изменение в граничных условиях, означающие, что этим изменением учитывается взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком.

Полученные уравнения (2.1.10) содержит новую функцию Ф(л;,£), ее производные до третьего порядка по С, и функции, соответствующие функции тока внешнего течения. Считается, что эти функции, обозначенные Ф(х,£) и производные по х,С,, определяют функцию тока внешнего течения.

Далее, в пункте 2.1, изучаются групповые свойства уравнения (2.1.10) и конструируются инвариантные решения.

Особенность предложенного в данной работе метода исследования групповых свойств уравнения (2.1.10), заключается в расширении пространства зависимых и независимых переменных за счет включения в это расширенное пространство функций, определяющих внешнее течение.

Общее решение определяющих уравнений зависит от пяти произвольных постоянных, и основная группа G преобразований является произведением пяти параметрической группы. Найден базис алгебры Ли и построены существенно различные инвариантные решения. Этим исследованиям посвящен пункт 2.3.

В результате анализа определенны все существенно различные инвариантные решения и указаны девять однопараметрических подгрупп, на которых построены некоторые из инвариантных решений.

Далее, в пункте 2.4 исследуется ламинарный пограничный слой за точкой скачкообразного нестационарного изменения скорости вдува в поле переменной во времени плотности. Рассмотрена постановка задачи и изучены характеристики пограничного слоя при условии скачкообразного изменения скорости вдува с переменной точкой начала вдува и изменением плотности среды во времени. Проведен анализ групповых свойств и построены инвариантные решения.

Рассматривается задача о нестационарном ламинарном пограничном слое на пластинке при условии, что начало вдува не совпадает с точкой образования пограничного слоя. Точка начала вдува перемещается во времени с постоянной скоростью.

Модель течения состоит из двух ламинарных слоев. Предполагается, что профиль скорости на участке до точки начала вдува считается известным - профиль соответствует решению задачи Блазиуса. В точке начала вдува функция тока и ее производная по координате х терпят разрыв. Профиль скорости «внутреннего» пограничного слоя плавно переходит в соответствующие распределение скорости «внешнего» слоя. Так как точка начала вдува перемещается, то рассматривается впервые постановка задачи о перемещающемся со временем по пластинке «внутреннем» пограничном слое.

Таким образом, задача о течении во «внутреннем» пограничном слое сведена к задаче о развитии нестационарного пограничного слоя в неравномерном внешнем потоке при нестационарном вдуве жидкости на участке jc > т.е. к задаче с поперечном градиентом скорости во «внешнем» течении при перемещении точки вдува в поле переменной плотности.

Получены дифференциальные уравнения в частных производных, в которых учтена скорость перемещения точки начала вдува - скорость ее перемещения а и параметр к, характеризующий переменность плотности.

Для полученного уравнения в частных производных поставлена задача о возможности точного сведения этого уравнения к обыкновенному, получению точного решения и проведению классификации решений.

Анализ групповых свойств уравнения (2.4.7) при а^О и кФ О, т.е. уравнения, соответствующего изучению совместного влияния скорости перемещения точки начала вдува, переменности во времени плотности и характера распределения скорости вдува показал, что не существуют группы G непрерывных преобразований, относительно которой уравнение (2.4.7) инвариантно, т.е. в этом общем случае преобразование, точно сводящее уравнение (2.4.7) в обыкновенно, не существует. Это говорит о невозможности построения решения ранга I, т.е. отсутствии точного решения.

В соответствии с этим задача была разделена на изучение влияния скорости перемещения точки вдува и переменности плотности на характеристики пограничного слоя по отдельности: к = 0, кФ О, а = 0.

Были исследованы в этих двух случаях групповые свойства, соответствующего уравнения, найдено преобразование, позволяющее получить точное решение (решения ранга I). Соответствующие уравнения проинтегрированы и сделан анализ влияния указанных параметров на характеристики пограничного слоя. Результаты представлены в таблицах и рисунках. Был установлен важный факт существования условий при а, к, на которых профили скорости при соответствующих вдувах имеют точку перегиба. Наличие точки перегиба позволяют сделать вывод о возможной неустойчивости ламинарного течения.

Результаты численного интегрирования уравнения (2.4.13) показывают зависимость, необходимого и достаточного условия устойчивости течения от скорости перемещения точки начла вдува (X. Чем больше а > 0, тем более устойчиво ламинарное течение, так как менее вероятно проявление точки перегиба профиля скорости. Если се < -0,55 и 3

G*(0)> —, тогда при СЛ'(0)>0 точка перегиба имеет место. Чем дальше удаляется точка начала вдува, т.е. чем больше а, тем больше прирост толщины вытеснения А. Приближение точки начала вдува к началу координат приводит к уменьшению толщины вытеснения А.

Изучено влияние параметра, характеризующего переменность во времени плотности к на характеристики пограничного слоя при а = 0 -условие неподвижности точки начала вдува.

Здесь показано, что в этом случае уравнение (2.4.13) при се = О, т.е. уравнение (2.4.14) инвариантно относительно группы G, представители которой отличаются от представителей группы преобразований при к = 0. Это говорит, что в этих двух случаях существуют различные точные решения.

Используя новые зависимые и не зависимые переменные, в соответствии с этим базисом, получено точное сведение уравнения (2.4.14) к обыкновенному (2.4.19). Численное интегрирование, которого в широком диапазоне параметра к от -1.5*1.5, показало существование зависимости характеристик пограничного слоя от интенсивности изменения плотности среды. Здесь выделена область параметров к и vQ, при которых возможна потеря устойчивости ламинарного течения, т.е. при к > 0,6 величина Ф"(0) > 1, Ф^О) >0 и профиль скорости имеет точку перегиба. Таким образом, существует область параметров к и v , при которых ламинарное течение не устойчиво. Необходимо отметить, что при уменьшении плотности к < 0, уменьшается и толщина вытеснения.

Величина прироста толщины вытеснения может быть А > 0 и А < 0. Чем больше параметр к, тем меньше прирост толщины вытеснения.

Если скорость вдува произвольная функция, то точных решений не существует и решения представляется в виде степенного ряда.

Результаты работ [46] получены как частный случай при к = О, а = 0.

Проведенный анализ этого случая показал падение касательного напряжения на поверхности при увеличении скорости вдува и рост толщины вытеснения с ростом скорости вдува. Здесь было установлено, что при условии jt = const, т.е. при условии, что точка начала вдува зафиксирована, в поле постоянной плотности для уравнения (2.4.25) существует точное решение, но граничное условие в этом случае не удовлетворяет постановке задачи. В соответствии с отсутствием точного решения автор работы [46] представляет решение в виде степенного ряда.

В третьей главе исследуется нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости в поле переменных во времени плотности среды и вязкости. Изучаются групповые свойства и конструируются инвариантные решения уравнений, описывающих нестационарный двухмерный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости, развивающиеся в поле переменных во времени плотности и вязкости.

Определен базис алгебры Ли с учетом включения в пространство преобразований плотности и вязкости.

Найдены существенно различные решения, построенные на однопараметрических подгруппах основной группы. Для каждой подгруппы найден полный набор функционально независимых инвариантов. В соответствии с найденными инвариантами определены законы изменения плотности и вязкости. В качестве прикладной задачи исследован нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменой плотностью. Проведено численное интегрирование.

Анализ характеристик нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности проницаемой критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменой плотностью позволяет сделать вывод:

Впервые поставлена и разработана математическая модель нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде переменой плотности.

Определены существенные безразмерные параметры: Л отношение параметров, определяющих локальное и конвективное ускорение (замедление); s - параметр, характеризующий изменение плотности среды, s > О - плотность увеличивается, s < 0 - плотность падает; w0 - параметр вдува w0 > О, отсоса w0 <0.

Установлено существование трех возможных режимов течения в окрестности критической точки при торможении внешнего потока: течение - ускоренное, безградиентное течение и течение замедленное.

Установлена область изменения параметров =,s,w0, А соответствующих безотрывному течению.

Показано, что при отсутствии вдува (отсоса) жидкости через проницаемую поверхность, т.е. vvQ = 0 в поле постоянной плотности s = 0 безотрывный пограничный слой сохраняется в области изменения а параметра торможения ■= < 3,175. Л X

Повышение уровня торможения — > 3,175 при сохранении Л безотрывности пограничного слоя возможно только при отсосе жидкости с поверхности тела или учете влияния параметра s.

Увеличение параметра — приводит к смещению наибольшего А значения касательного напряжения внутрь пограничного слоя. Интенсивность этого смещения уменьшается с ростом отсоса жидкости.

Увеличение параметра ^ приводит к возможности увеличения торможения с сохранением области безотрывного течения.

Уменьшения параметра ^ уменьшает область параметров

А и соответствующих безотрывному течению.

В заключении приводятся итоги диссертационной работы и список, используемой литературы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 236 страниц машинописного текста, таблиц 60 и рисунков 133.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключении сформируем основные результаты диссертации.

1. Предложены новые постановки задач теории ламинарного несжимаемого пограничного слоя, позволяющие изучать динамические характеристики нестационарного и стационарного пограничных слоев на проницаемых поверхностях, развивающихся при неравномерном внешнем течении среды с плотностью, изменяющейся во времени.

2. Проведен теоретико-групповой анализ, построены новые инвариантные решения, выявлены новые существенно различные инвариантные решения, построенные на однопараметрических подгруппах основной группы.

3. Указаны условия существования инвариантных решений при линейном законе изменения скорости внешнего потока в поперечном направлении.

4. Определенны области параметров характеризующих: интенсивность вдува (отсоса), торможение и неравномерность скорости внешнего потока, изменение плотности во времени среды, скорость перемещения точки начала вдува жидкости через проницаемую поверхность, соответствующие безотрывному пограничному слою.

5. Введены переменные Крокко для изучения характеристик ламинарного пограничного слоя при неравномерном внешнем потоке; используя анализ групповых свойств уравнения в этих переменных, конструируются инвариантные решения, и изучается влияние параметров а,(3, характеризующих неравномерность внешнего потока на касательное напряжение. Анализ результатов позволяет сделать вывод о росте касательного напряжения на поверхности по мере роста показателя неравномерности внешнего потока.

6. Проведен групповой анализ, построены инвариантные решения уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности точки нарушения аналитичности граничных условий. Построены существенно различные инвариантные решения, соответствующие подгруппам основной группы.

7. Исследованы характеристики ламинарного пограничного слоя за точкой скачкообразного нестационарного изменения скорости вдува на проницаемой пластинке при условии перемещения точки начала вдува вдоль пластины, и плотности изменяющейся во времени.

8. Анализ групповых свойств уравнения, описывающего совместные влияние скорости перемещения точки начала вдува и переменности во времени плотности среды показал, что не существует группы непрерывных преобразований, относительно которой уравнение (2.4.7) инвариантно, т.е. не существует точного решения в модели совместного их влияния.

9. Показано, что точные решения существуют в двух случаях &=0, а^О и кФО, а=0, т.е. для модели среды с постоянной во времени плотностью, но при перемещении точки начала выдува жидкости или в среде с переменной плотностью, но неподвижной точкой начала вдува.

Установлено, что при определенных значениях а < —0,55 и С//(0)>1,5 на профиле скорости имеется точка перегиба и возникает условие нарушения устойчивости ламинарного течения.

Показано, что подобная точка перегиба на профиле скорости возникает и при параметре к = 0,6 при значении Ф"(0) > 1.

Установлено, что при а=0, &=0, т.е. при фиксированном значении точки начала вдува и в среде постоянной плотности, точного решения, удовлетворяющего граничным условиям задачи не существует. Существует только приближенное решение, например, в виде степенного ряда.

10. Проведено исследование характеристик нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью и сделан вывод:

• Впервые поставлена и разработана математическая модель нестационарного ламинарного пограничного слоя в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде переменной плотности.

• Определенны существенные безразмерные параметры: = А отношение параметров, определяющих локальное и конвективное ускорение (замедление); s - параметр, характеризующий изменение плотности среды, s>0 - плотность увеличивается, ж 0 - плотность падает; w0 - параметр вдува w0 > 0, отсоса w0 < 0.

• Установлено существование трех возможных режимов течения в окрестности критической точки при торможении внешнего потока: течение - ускоренное, безградиентное течение и течение замедленное;

• Установлена область параметров s, w0, соответствующих Л безотрывному течению;

• Показано, что при отсутствии вдува (отсоса) жидкости через проницаемую поверхность, т.е. w0 = 0 в поле постоянной плотности s = О безотрывный пограничный слой сохраняется в области изменения а параметра торможения — < 3,175; Л X

• Повышение уровня торможения —>3,175 при сохранении Л безотрывности пограничного слоя возможно только при отсосе жидкости с поверхности тела или учете влияния параметра s;

ОС

• Установлена связь между Ф^О) и параметрами —, vv0 и ^,

А. показывающая их влияние на распределение касательного напряжения по толщине пограничного слоя и деформацию профиля скорости;

• Увеличение параметра -==• приводит к смещению наибольшего значения касательного напряжения внутрь пограничного слоя. Интенсивность этого смещения уменьшается с ростом отсоса жидкости;

• Возрастание параметра s приводит к увеличению касательного напряжения ф"(0);

• Увеличение параметра s приводит к возможности увеличения торможения = с сохранением области безотрывного течения; А

• При значении параметра s < О установлено увеличение толщины вытеснения 5*, и падение толщены потери импульса б** при увеличении а степени торможения, т.е. параметра —; А

• Уменьшение параметра s уменьшает область параметров w0, А соответствующих безотрывному течению.

1. Бирхгоф Г., Гидродинамика. ИЛ. М.: 1963. 244 С.

2. Ван-Дайк М., Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир. 1967.

3. Варжанская Т.С., Оброскова Е. И. Расчет пограничного слоя при наличии вдува, описываемого разрывной функцией. ВЦ МГУ. 1962.

4. Верещагина Л.И., Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. // Вестник Ленинградского университета. 1973. выпуск 3. № 13. С. 82-86.

5. Верещагина Л.И., Групповые свойства уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. // Труды международного симпозиума «Теоретико-групповые методы в механике». Новосибирск. 1978. С. 80-85.

6. Гараев К.Г., Групповые свойства уравнений нестационарного пространственного пограничного слоя несжимаемой жидкости. // Труды КАИ. Казань. 1970. Вып. 119. С. 47-53.

7. Гараев К.Г., Дружинин Г.В., Павлов В.Г., Анализ автомодельности и расслоение уравнений нестационарного пограничного слоя на пластине методами теории групп Ли. // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1984. №4. С. 18-21.

8. Герм В.Э., Прозорова Э.В., Чистякова М.В., Решение уравнений нестационарного пограничного слоя. // Физико-технический институт АН СССР. Препринт. 1985. №923. С. 32. №24. С. 59.

9. Горюнова Г.И., Михайлов В.В., Влияние нестационарности на аэродинамические и тепловые характеристики тел, тормозящихся в газе. // Ученые записки ЦАГИ. 1982. Т. XIII. №4. С. 34-44.

10. Гурченков А.А., Яламов Ю.И., Нестационарный поток на пористой пластине при наличии вдува (отсоса) среды. // Прикладная механика и техническая физика. 1980. №4. С. 66-69.

11. Демьянов А.Ю., Демьянова Н.А., К задаче нестационарного движения неограниченной пластины в покоящейся среде. // Механика сплошной среды. Ташкент: Фан. 1982. С. 212-214.

12. Демьянов А.Ю., Панасенко А.В., О применении метода установления к решению нестационарных автомодельных задач теории пограничного слоя. // Вычислительная математика и математическая физика. 1983. Т. 23. С. 239-241.

13. Демьянов А.Ю., Демьянов Ю.А., Касымов Ш.А., Численное исследование нестационарных автомодельных задач пограничного слоя с зоной отрыва. // Вычислительная математика и математическая физика. 1989. Т. 29. №7. С. 1093-1098.

14. Демьянов А.Ю., Касымов Ш.А., Численное исследование некоторых нестационарных автомодельных задач теории пограничного слоя. // Числ. анал. мат. моделир. и их применение в мех. М., 1998. С. 7780.

15. Демьянов Ю.А., Об одном способе построения решения уравнений типа Прандтля в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий. // Вычислительная математика и математическая физика. 1969. Т.7. №4. С. 894-907.

16. Демьянов Ю.А., Покровский А.Н., Шманенков В.Н., О подобных решениях уравнений пограничного слоя в неравномерном потоке. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1971. №2. С. 7883.

17. Ибрагимов Н.Х., Группы преобразований в математической физике. М., Наука. 1983. 278 С.

18. Ильичев К.П., Постоловский С.Н., Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. №2. С. 72-83.

19. Кравченко В.И., Шевелев Ю.Д., Щенников В.В., Численное исследование нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости вслучае различных режимов разгона и торможения обтекаемого тела. М., Препринт Института проблем механики АН СССР. 1984. 17 С.

20. Лойцянский Л.Г., Ламинарный пограничный слой. М., Государственное издательство физико-математической литературы. 1962. 456 С.

21. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М., Наука. 1970.903 С.

22. Овсянников Л.В., Группы и инвариантно групповые решения дифференциальных уравнений. // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. №3. С. 439-442.

23. Овсянников Л.В., Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Издательство СО АН СССР. 1962. 240 С.

24. Овсянников Л.В., Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Издательство НГУ. 1966. 130 С.

25. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений. М., Наука. 1978. 400 С.

26. Олейник О.А., Математические задачи теории пограничного слоя. // Успехи математической науки. 1968. Т. 23. №3. С. 3-65.

27. Олейник О.А., О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя. // Докл. АН СССР. 1963. Т. 150.1. С. 28-32.

28. Олейник О.А., Самохин В.Н., Математические методы в теории пограничного слоя. М., Наука Физматлит. 1997. 512 С.

29. Павловский Ю.Н., Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя. // Вычислительная математика и математическая физика. 1961. Т. 1. №2. С. 280-294.

30. Павлов В.Г., Садыкова Л.А., К выводу уравнений пограничного слоя с учетом вихревого взаимодействия. // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 1986. №2. С. 55-59.

31. Павлов В.Г., Замечание к выводу уравнений пограничного слоя с учетом вдува. // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. №19. С. 21-25.

32. Павлов В.Г., Ламинарный пограничный слой при вихревом внешнем потоке. // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 1986. №2. С. 107-109.

33. Пасконов В.М., Стандартная программа для решения задач пограничного слоя. // Численные методы в газовой динамике. Сборник работ вычислительного центра МГУ. Часть II. М., Издательство МГУ. 1963. С. 110-116.

34. Пасконов В.М., Нестационарное течение сжимаемого газа в пограничном слое. М., Издательство МГУ. Вычислительный Центр. 1968. 38 С.

35. Пасконов В.М., Численное решение нестационарных уравнений пограничного слоя. В сб.: Численные методы в газовой динамике. М., Издательство МГУ. 1965. С. 75-82.

36. Пасконов В.М., Сердюкова С.И., Двумерный пограничный слой с нестационарным вдувом. Вычислительный Центр МГУ. 1961.

37. Прозорова Э.В., Некоторые автомодельные задачи в газовой динамике. // Вестник ленинградского университета. 1975. №19. С. 108-113.

38. Прозорова Э.В., Об автомодельности движений нестационарного пограничного слоя. // Прикладная механика и техническая физика. 1975. №4. С. 122-125.

39. Прозорова Э.В., Некоторые нестационарные задачи пограничного слоя. // Вестник ленинградского университета. 1976. №7. С. 114-118.

40. Прозорова Э.В., Несколько автомодельных задач нестационарного пограничного слоя. // ПМЭФ. 1976. №6. С. 56-60ь»

41. Прозорова Э.В., Решение уравнений нестационарного пограничного слоя. // Прикладная механика и техническая физика. 1983. №2. С. 47-49.

42. Славчев С.Г., Нестационарный пограничный слой на теле в несжимаемой жидкости. // Вестник ленинградского университета. 1972. №13. С. 106-112.

43. Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам. Издательство УРСС. М., 2002. С. 587.

44. Хейз Ч.Д., Пробетин Р.Ф., Теория гиперзвуковых течений. М., ИЛ, 1962. 607 С.

45. Чудов Л.А., Обзор работ по пограничному слою, выполненных в вычислительном центре МГУ. // Численные методы в газовой динамике. Сборник работ вычислительного центра МГУ. Часть II. М., Издательство МГУ. 1963. С. 87-97.

46. Шманенков В.Н., К исследованию ламинарного пограничного слоя за точкой скачкообразного изменения граничных условий. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. №2. С. 107 -109.

47. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя. М., Наука. 1974. С.712.

48. Якимов Е.И., Павлов В.Г., Ламинарный пограничный слой за точкой скачкообразного нестационарного изменения скорости вдува в поле переменной во времени плотности. // Вестник. Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева, 2004.№2.С. 56-59.

49. Якимов Е.И., Павлов В.Г., Переменные Крокко и уравнения пограничного слоя на поверхности при неравномерном внешнем потоке. // Вестник. Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева, 2004.ЖЗ.С.

50. Якимов Е.И., Павлов В.Г., Ламинарный пограничный слой на проницаемой поверхности в вихревом внешнем потоке. // Изв. вузов. Авиационная техника. 2004.№2.С. 39-43.

51. Якимов Е.И., Нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности в поле переменной во времени плотности и вязкости. // XXX Гагаринские чтения. Москва, 2004.Т.2.С. 65.

52. Blasius Н., // Z. Angew. Math. Phys. 1908. Vol. 56. P. 1-37.

53. Bluston H.S., Symmetries of the boundary-layer equations under groups of linear transformations.// AIAA Journal. 1972. Vol. 10. № 7. P. 943944.

54. Cebeci Т., An unsteady laminar boundary layer with separation and reattachment. // AIAA Journal. 1978. Vol. 16. №2 P. 1305-1306.

55. Cebeci Т., Unsteady boundary layer with an intelligent numerical scheme. Hi. Fluid Mech. 1986. Vol. 163. P. 129-140.

56. Glauert M.B., The laminar boundary layer on oscillating plates and cylindered. // J. Fluid Mech. 1958. Vol. 1, P. 97-110.

57. Falkner V.M., Skan S.W., // Some approximate solutions of the boundary-layer equations. // Phil. Mag. Vol. 12 (7). P. 865-896.

58. Ferry A., Libby P.A., Note on an interaction between the boundary layer and the in viscid flow. Journal of the Aeronautical Scinces. 1954. Vol.21. №2. P. 130.

59. Ghoshal S., On similarity solution of an unsteady laminar boundary layer along a flat plate. // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Ser. math.- mech. 1973. Vol. 18. №2. P. 79-86.

60. Hall M.G., A numerical method for calculating unsteady two-dimensional laminar boundary layers. // Ing. Arch. Vol. 38. P. 97-106.

61. Hiemenz K., // Dinglers Polytech J. 1911. Vol. 326. P. 321.

62. Howarth L., // Proc. Roy. Soc. Vol. 164 A. 1938. P. 547-549.

63. Hui W.H., Ma P.K.H., Similarity solutions of the two-dimensional unsteady equations. //J. Fluid Mech. 1990. Vol. 216. P. 536-559.

64. Hui W.H., A solution for hypersonic flow past slender bodies. // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 48. P. 23-31.

65. Lin S.P., Tobak M., Reversed flow above a plate with suction. // AIAA Journal. 1986. Vol. 24. №2. P. 334-335.

66. Murray J.D., The boundary layer on the flat plate in a stream with uniform shear. // J. Fluid. Mech., 1961. Vol. 11. P. 2.

67. Moore F.K., Unsteady laminar boundary-layer flow. // N.A.S.A. Tech. Note. №2471.

68. Pedly T.I., Viscous boundary layers in reversing flow. // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 74. Part 1. P. 59-79.

69. Phillips J.H., Ackerberg R.A., A numerical method for integrating the unsteady boundary-layer equations when there are regions of backflow. // J. Fluid Mech. 1973. Vol. 58.№3. P. 561-579.

70. Riley N., Unsteady laminar boundary layers. // SIAM Review. 1975. Vol. 17. №2. P. 274-297.

71. Rott N., Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point. // Q. Appl. Maths. 1956. Vol. 13. P. 444-451.

72. Sears W.R., Telionis D.P., Boundary-layer separation in unsteady flow. // SIAM. J. Appl. Math. 1975. Vol. 28. P. 215-235.

73. Socio L.M., Pozzi A., Method for the Solution of the Unsteady Boundary-Layer equations. // App. Mech. 1979. Vol. 46. P. 269-275.

74. Stewartson К., Further solutions of the Folkner-Skan equation. // Proceedings of the Royal Society. 1955. Ser. A. Vol. 312. P. 181-206.

75. Stewartson K., Theory of unsteady laminar boundary layers. // Advances in App. Mech. Vol. 4. P. 1-37.

76. Stewartson K., Multi-structured Boundary-Layer on flat plates and related bodies. //Adv. Appl. Mech. 1974. Vol. 14. P. 145-239.

77. Telionis D.P., Tsahalis D., Th., Werle M.J., Numerical investigations of unsteady boundary-layer separation. // Phys. Fluids. 1973. Vol. 16. P. 968-973.

78. Ting Y.L., Simple shear flow past a flat plate in incompressible fluid of small viscosity. Journal of the Aeronautical Scinces. 1955. Vol. 22. № 9. P. 651-652.

79. Ting Y.L., Effects of free-stream vorticity on the behaviour of a viscous boundary layer. Journal of the Aeronautical Scinces. 1956. Vol. 23. №12. P. 1128-1129.

80. Williams J.C., III, Johnson W.D., Semi-similar solutions to unsteady boundary-layer flows including separation. // AIAA. 1974. Vol. 12. P. 1388-1393.

81. Williams J.C., III, Johnson W.D., Note on unsteady boundary-layer separation. // AIAA. 1974. Vol. 12. P. 1427-1429.

82. Yang K., Unsteady laminar boundary layer in an incompressible stagnation flow.// J App. Mech. 1958. Vol. 26. P. 412-427.

83. Yang K., On certain similar solution to unsteady laminar boundary layer equations in low speed flow. // Journal of the Aeronautical Scinces. 1958. Vol. 25.