Диффузионный пограничный слой и сублимация в окрестности критической точки при торможении в поле переменной плотности и архимедовой силы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Нестационарный ламинарный динамический, диффузионный и тепловой пограничные слои несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Метод обращенных рядов в задаче диффузии.

1.3 Анализ результатов.

1.3.1 Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А, скорости вдува (отсоса) м?о, параметра изменения плотности среды Б и архимедовой силы на характеристики динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев в окрестности критической точки.

1.3.2 Анализ результатов расчета методом обращенных рядов в задаче диффузии.

Глава 2. Нестационарный ламинарный динамический, диффузионный и тепловой пограничные слои несжимаемой жидкости в окрестности критической точки «двоякой» кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом влияния архимедовой силы в среде с переменной плотностью.

2.1 Постановка задачи

2.2 Анализ характеристик нестационарного ламинарного динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев несжимаемой жидкости в окрестности критической точки двояки кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью.

Глава 3. Сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки и критической точки двояки кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности.

3.1 Сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности.

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Определение концентрации на фронте сублимации при торможении внешнего потока.

3.1.3 Анализ результатов

3.1.3.1 Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/а и плотности среды Б на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев, определяющих процесс сублимации.

3.1.3.2 Анализ результатов численного моделирования влияния архимедовой силы на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев в задаче сублимации.

3.1.3.3 Анализ результатов численного моделирования влияния торможения а/А, плотности среды Б и архимедовой силы N на скорость продвижения фронта сублимации.

3.2 Сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной плотности.

3.2.1 Решение задачи сублимация твердого тела в окрестности критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока в поле переменной плотности.

3.2.2 Анализ результатов.

3.3 Расчет сублимации некоторых веществ.

В авиационной и ракетной технике основную роль играют течения газа при больших значениях числа Рейнольдса. Решение уравнений Навье - Стокса, описывающих течение вязкого газа, представляет до сих пор значительные трудности даже при использовании современной вычислительной техники. В этом направлении имеются определенные успехи. Однако, именно для течений при больших значениях числа Рейнольдса , численное решение задач оказывается сложным и трудным. Поэтому обычным путем является использование классической теории пограничного слоя Прандтля [19,39]. В этом случае предполагается, что поскольку число 11е велико, вязкие члены уравнений Навье - Стокса несущественны почти во всем потоке, кроме узкой области течения, толщина которой уменьшается при возрастании числа Внешнее невязкое течение описывается системой уравнений Эйлера. Её решение дает часть краевых условий для уравнений пограничного слоя.

Теории пограничного слоя посвящено большое число работ, содержащих результаты теоретических и экспериментальных исследований. Обширная библиография представлена, например, в [19,39]. Важное место в теории пограничного слоя занимают математические методы. Математические исследования системы уравнений Прандтля вскрывают природу явлений, управляющих движением жидкости или газа в пограничном слое, и, тем самым, позволяют установить количественные и качественные закономерности движения.

Гипотеза пограничного слоя позволила получить физическое объяснение теплопередачи, процессов массопереноса вещества, а также дала возможность преодолеть математические трудности, возникающие при решении уравнений вязкого и теплопроводного газа или жидкости, с учетом явления массопереноса вещества - тех уравнений, которые, даже в случае учета только вязкости, приводят к значительным трудностям их решения.

Теория пограничного слоя (динамического, теплового, диффузионного) является одним из важнейших разделов механики жидкости и газа, позволяющая решать важнейшие прикладные задачи взаимодействий - силового, теплового, химического и других задач взаимодействия, встречающихся в практике.

Движение жидкости и газа в пограничных слоях и его внешнем потоке в действительности неразрывно связаны между собой. В большинстве работ эта связь рассматривается односторонне, т.е. считается, что внешний поток существует независимо от пограничного слоя и задается, как известный потенциальный поток. В этом случае характер течения жидкости и газа в пограничном слое определяется по характеру заданного распределения давления внешнего течения.

Одним из способов активного воздействия на характеристики пограничного слоя является искусственная организация вдува, или отсоса жидкости, или газа через проницаемую поверхность. Еще Л. Прандтль подметил это влияние на характер течения в пограничном слое. В дальнейшем отсос широко использовался для управления точкой отрыва пограничного слоя, так как преждевременный его отрыв уменьшает подъемную силу и увеличивает лобовое сопротивление обтекаемого тела, например, профиля крыла или иной несущей поверхности.

Во всех многочисленных работах по изучению влияния вдува или отсоса на характеристики пограничного слоя [19,39] предполагается, что

V , , < 0,001, где у1 - абсолютная величина скорости вдува или отсоса, ик и»

СО характерная скорость - скорость набегающего потока. Оказано, так - же, что у№ ~ и^К^, где - число Рейнольдса для набегающего потока. Это условие и определяет понятие «слабого» вдува или отсоса. При столь малой скорости не оказывается влияние вдува или отсоса на характер внешнего течения, т.е. предполагается, что градиент давления в случае «слабого» вдува или отсоса не меняется.

В результате все допущения, лежащие в основе теории пограничного слоя, выполняются.

Таким образом, при «слабом» вдуве или отсосе имеет место, как и при их отсутствии, строго разграниченное проявление влияния вязкости, приводящее к возможности разделения области обтекаемого тела на две: внешнее течение, где не проявляется вязкость и вдув (отсос), и течение в тонком пограничном слое, в котором проявляется влияние вязкости и «слабого» вдува (отсоса) и используются те же уравнения Прандтля, но с учетом поперечной составляющей скорости на поверхности тела, т.е. v = ф О. Введя таким способом определение понятия «слабого» вдува или отсоса, следует отметить, что «сильный» вдув или отсос уже оказывают влияние на внешнее течение и его проявление приводит к ослаблению влияния вязкости.

Возникает естественный вопрос: изменится ли математическая модель, описывающая течение вязкой жидкости, т.е. возможно ли сохранение влияния вязкости в слое малой толщины при «сильном» вдуве или отсосе, и как скажется их влияние на характер внешнего течения. Другими словами, возможно ли при «сильном» вдуве или отсосе представление области течения вязкой жидкости, состоящей из внешнего течения и течения в пограничном слое.

В работе [27] на поставленный вопрос была сделана попытка дать ответ, исходя из оценки величин членов уравнений Навье-Стокса. Предполагалось, что массовые силы отсутствуют, течение несжимаемой жидкости установившееся.

В результате при определенных условиях в уравнениях, как обычно, были выделены члены различных порядков малости и решения представлены в виде разложений по малому параметру.

Так как заранее неизвестно, к каким последствиям приведет «сильный» вдув или отсос, то нельзя предполагать «анизотропию» пограничного слоя, т.е. малость поперечных размеров в этой области движения вязкой жидкости по сравнению с продольными и малость поперечной скорости по сравнению с продольной.

Приведенный анализ показал, что при «сильном» вдуве, отсосе, когда скорость вдува соизмерима со скоростью набегающего потока, пограничный слой отсутствует, и влияние вязкости при больших числах Рейнольдса не оказывают сильного воздействия на характеристики течения. Поэтому поток жидкости находится, в основном, под воздействием градиента давления. Это, по-видимому, будет справедливым до тех пор, пока вдув не приведет к отрывному характеру течения.

Далее отметим, что одно из основных предположений Прандтля о пограничном слое состоит в том, что слой настолько тонок, что на его структуру не влияет структура внешнего течения. Если же завихренность во внешнем течении достаточно велика, то она может влиять на структуру пограничного слоя.

Если методы изучения характеристик плоско - параллельного пограничного слоя достаточно развитии при решении обычных задач, то изучение трехмерного пограничного слоя развито недостаточно, что объясняется сложностью математической модели.

Основное отличие гидродинамики трехмерного течения в пограничном слое от двумерного заключается в появлении поперечного или, так называемо, вторичного течения. Линии тока внешнего течения искривлены. Внутри пограничного слоя существует градиент давления, перпендикулярный к линиям внешнего течения, наряду с градиентом вдоль этих линий тока. При обычных предположениях теории пограничного слоя давление поперёк пограничного слоя постоянно, т.е. совпадает со значением на внешней ее границе. Так как скорость в пограничном слое уменьшается по мере приближения к поверхности тела, то центробежные силы, действующие против сил давления, уменьшаются вблизи стенки.

Поэтому результирующее направление внутри пограничного слоя отличается от направления на внешней границе. Поперечный градиент давления создает поперечный поток и вызывает поперечные искривление. Внутри пограничного слоя развивается вторичное течение, направленное в центр кривизны линий тока.

Понимание физической картины «отрыва» - устойчивого или неустойчивого характера течения - явление перехода ламинарного течения в турбулентное связано, на наш взгляд, с пониманием трехмерных вязких течений [22,38].

В пространственном пограничном слое возникает целый ряд явлений, которые не могут быть исследованы даже качественно на основании решения задач о плоском пограничном слое[39,19].

Предположим, что создаваемый внешним потоком градиент давления направлен не по скорости внешнего потока (как в случае плоского течения), а полностью или частично поперёк скорости внешнего потока. При этом возникают центробежные силы за счет кривизны линий тока внешнего потока, рассматриваемых в плоскости, параллельной поверхности тела. В случае пространственного потока следует ожидать, что вследствие малой инерции жидкости вблизи поверхности поперечный градиент давления вызовет увеличение кривизны линий тока, внутри пограничного слоя по сравнению с кривизной линий тока вне слоя.

Если поверхность тела имеет поперечную кривизну, то пограничный слой распространяется вширь по поверхности по мере продвижения вдоль нее. В результате такого развития пограничный слой может оказаться тоньше, чем в случае плоского потока.

На основании сказанного следует, что направление течения в пределах пространственного пограничного слоя меняется по нормали к обтекаемой поверхности. Вектор скорости поворачивается поперек пограничного слоя от поверхности до внешней границы слоя. Если направление внешнего течения принять за основное, то составляющую скорости, нормальную к этому направлению называют скоростью вторичного течения.

Описанный механизм появления в пространственном пограничном слое вторичного течения можно считать правдоподобным, если градиент давления в пограничном слое возрастает при движении вдоль тела. Однако, если при этом градиент давления уменьшается и меняет знак, что происходит, если кривизна линий тока внешнего течения уменьшается или меняет знак в точке перегиба, то картина сильно усложняется. Уменьшение, исчезновение градиента давления или изменение его знака не приводит сразу же соответственно к уменьшению, исчезновению или перемене знака вторичного течения. Эта перестройка происходит в течение некоторого времени. В теории были установлены условия отсутствия вторичных течении в пространственном пограничном слое. Физической предпосылкой для этого условия является отсутствие бокового градиент давления во всех точках пограничного слоя, что препятствует появлению вторичного течения [3].

При расчете пространственного пограничного слоя важное значение имеют, так называемые, линии растекания. Эти линии образуются и наветренной стороне тела, и в окрестности этих лини трения достигает наибольшее значение. Линии вдоль которых всюду составляющие полного вектора скорости лежат в одной плоскости, как и при двумерном течении, называются линиями растекания [3].

Уравнение движения вдоль оси х- при этом совпадают с уравнениям от двумерного пограничного слоя, Следует отметить, что в отличие от двумерного течения, и уравнение неразрывности на

07 линии растекания пространственного пограничного слоя не совпадают с уравнение неразрывности двумерного течения. Линии тока вне пограничного слоя, внутри его расходятся в обе стороны от линии растекания.

Уравнение плоского пограничного слоя - уравнения параболического типа. Это означает, что главный механизм, определяющий характер течения, перпендикулярном к стенке, является механизм диффузии движения. Произвольное возмущение мгновенно передается поперек пограничного слоя, так как предполагается, что скорость диффузии бесконечно велика. Общие свойства уравнений двумерного пограничного слоя сохраняются и для пространственного пограничного слоя.

Произвольные возмущения в пространственном пограничном слое распространяется вдоль линий тока с некоторой конечной скоростью и с бесконечной скоростью в направлении перпендикулярном стенке.

Уравнение пространственного пограничного слоя значительно упрощаются для большого класса задач, в которых скорость внешнего потока зависит только от одной пространственной координаты, например ие(х), we(z). К такому классу относится широкий диапазон прикладных задач, например, пограничные слои на скользящих крыльях бесконечного размаха [31], на вращающихся телах [19], течения в окрестности критическая точки «двойной кривизны» [39] и т.д.

Теория пограничного слоя дает возможность описать качественное и оценить количественно явление, называемое отрывом пограничного слоя. Оно заключается в том, что даже при больших числах Рейнольдса не всегда выполняется предположение того том, что тангенциальная к обтекаемой поверхности составляющая скорости жидкости велика по сравнению с нормальной к поверхности тела составляющей скорости. На обтекаемой поверхности может существовать линия, а в плоском случае точка, ниже которой по течению возникает возвратное, по отношению к внешнему течению, движение жидкости. Этот поток жидкости оттесняет пограничный слой от обтекаемой поверхности, и его верхняя граница, отделяющая безвихревое течение от пограничного слоя, уходит от поверхности тела вглубь потока. При этом вихревое движение жидкости проникает из пограничного слоя во внешнее течение. Такое проникновение может произойти только путем непосредственного перемещения движущейся вблизи тела жидкости вглубь основного потока. При этом может произойти как бы отрыв течения в пограничном слое от поверхности тела, в результате чего линии тока выходят из пограничного слоя во внешний поток. Нормальная составляющая скорости становится соизмеримой с продольной компонентой, это означает, что в окрестности точки отрыва нормальная составляющая возрастает, и система уравнений Прандтля описывает движение жидкости в ограниченной области по переменной х. Но эти рассуждения не строги. Уравнения Прандтля не могут описывать отрывные течения.

Если и(х,у) - продольная составляющая скорости, то «(5,0) = 0,

Зи = 0, где £ - точка отрыв пограничного слоя (рис.1). Тогда давление в ду окрестности точки отрыва распределяется по закону 0

Рис. 1

Поскольку в пограничном слое и(х,у)> 0, а в точке х = 5 имеем

0.

-— - = 0, то в точке отрыва —^ 2 > 0, т.е. ду дудх дг=5 с1ие 1 др йие

Так как ие —1 =---—, то отсюда следует, что —1 < 0.

Ьс р дх сЬс

При обтекании тела, где есть изменение давления от — < 0 (скорость ск увеличивается) до — >0 (скорость уменьшается), всегда произойдет ск отрыв.

Строгая математическая постановка задач теории пограничного слоя приводит к сложным системам дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку требования к точности расчетов очень высокие, то единственным практическим способом решения этих уравнений является использование численных методов с применением современных компьютерных технологий.

Проблемы взаимодействия высокотемпературных газовых потоков с поверхностями различных тел весьма многообразны. Так, при гиперзвуковом обтекании тела перед ним возникает ударная волна, и кинетическая энергия набегающего газового потока переходит в тепловую энергию сжатого слоя. Температура этого слоя может оказаться столь высокой, что у поверхности образуется пограничный слой, являющийся источником конвективного теплового и диффузионного химического воздействия на материал оболочки тела. Кроме этого, аэродинамические напряжения: давление и трение -вызывают силовое воздействие газового потока на материал. Под этим воздействием внешние поверхностные слои тела начинают нагреваться и через определенное время разрушаются. Характер разрушения существенно зависит от теплофизических и прочностных характеристик материала.

В настоящее время при разработке теплозащитных покрытий широко используются материалы, на поверхности которых, в результате воздействия высокоскоростного и высокотемпературного потока газа, может образовываться жидкая пленка расплава (абляция) или диффузионный слой испаряющегося материала поверхности (сублимация).

Для теплозащитных покрытий применяются также и коксующиеся материалы, которые при нагревании разрушаются как на внешней границе, так и изнутри. В результате разрушения такого покрытия образуется твердый пористый каркас, через который выделяются газообразные продукты разрушения [1], [2], [6], [30], [41], [42].

Задачи, где имеют место фазовые превращения, сопровождающиеся разрушением (деструкцией) материала при его горении, плавлении или испарении, встречаются, например, при расчёте температурного поля теплозащитного материала, которым покрываются головные части летательных аппаратов, индукционные угольные печи в электрометаллургии, плазменные установки и. т.д.

На рис. 2а и 26 показана деструкция материала антенны и крыла самолета XI5 из-за высокоскоростного, высокотемпературного потока газа и высокого давления за ударной волной.

Рис.2а Рис.2б

Вообще, есть два класса тепловых систем защиты, которые защищают тело от серьезного нагревания при полете с гиперзвуковой скоростью [45]:

• Многократное использование тепловой системы защиты, в которой при входе тела в атмосферу нет никаких изменений в массе или свойствах теплозащитных материалов (рис.3);

• Абляционный теплозащитный материал - классический подход для системы тепловой защиты в период 40-х годов и выше. Все исследования космических ракет и станций, проводимые в NACA, использовали абляционный материал. (Характеристика абляционого теплозащитного материала показана на рис. 4.)

Большинство абляционого теплозащитного материала, в основе, включает композиционный материал, который используют как связывающий. При нагреве происходит пиролиз смолы с выделением газа (углеводороды), который просачивается к нагретой поверхности и вдувается в пограничный слой, в результате чего свойства пограничного слоя изменяются. Образуются динамический и диффузионный пограничные слои, влияющие друг на друга. Кроме того, химическая реакция между поверхностным материалом и пограничным слоем ведет к снижению массы материала поверхности. Эти реакции вызывают испарение (сублимацию) или окисление.

Рис.4 абляционный теплозащитный материал

Изучение всех этих вопросов в рамках теории пограничного слоя и выяснение связанных с ними качественных явлений представляет большой интерес для теоретических и практических приложений во многих областях науки и техники.

Бурно развивающаяся авиационная и ракетная техника ставят множество вопросов перед теорией и, в частности, перед теорией пограничного слоя. А также процессы массопереноса в жидкостях и газах лежат в основе многих химических производств; в первую очередь, можно отметить вопросы интенсификации процессов перемешивания различного рода жидких или газообразных сред, вступающих между собой в химические реакции.

Аэродинамический нагрев космического корабля многоразового использования имеет диапазон температур более 2000° Б в носике, а около двигателей на подветренной поверхности крыла более низкую температуру 200° Б (рис. 5)

Рис.5. Профиль аэродинамического нагрева орбитальной ступени многоразового транспортного космического корабля

Теория пограничного слоя, являясь составной частью механики жидкости и газа, послужила не только пониманию и описанию явлений, связанных с течением вязкой теплопроводной жидкости и газа, но и оказала, в свою очередь, заметное влияние на развитие некоторых разделов теории дифференциальных уравнений.

Строгая математическая постановка задачи теории пограничного слоя приводит к сложным системам дифференциальных уравнений в частных производных. Однако, в некоторых простейших, но имеющих большое прикладное значение случаях, уравнения пограничного слоя можно преобразовать в обыкновенные дифференциальные уравнения и сравнительно простыми методами получить эффективное решение.

Решение задачи о взаимодействии теплозащитных материалов с высокотемпературным и высокоскоростным потоком газа необходимо для обоснования и рационального выбора тепловой защиты. Это требует совместного решения задачи тепломассообмена в газообразном пограничном слое, жидкой пленке расплава и прогретом слое твердой оболочки [23], [28], [49]. Отметим некоторые трудности, связанные со сложностью решения таких задач:

• Математическая модель деструкции теплозащитных материалов описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных с нелинейными краевыми условиями, которые записываются на поверхности разрыва для основных характеристик течения;

• Исходная физическая модель данного явления очень сложна, а коэффициенты переноса и другие физико-химические параметры недостаточно достоверны [28], что, в основном, связано с высоким уровнем рабочих температур;

• При интенсивном испарении с поверхности тела, что соответствует сильному вдуву, нельзя использовать уравнения ламинарного пограничного слоя в газе.

Ввиду указанных сложностей, обычно, поступают следующим образом [23], [28]: получают решение исходных уравнений для каждой зоны (газообразной, жидкой и исходного материала) в конечном виде как некоторые функции краевых условий и далее стыкуют эти решения друг с другом.

Практическая важность решения проблемы тепловой защиты стимулирует разработку в настоящее время экспериментальных и теоретических исследований. Эти исследования направлены на выяснение главных факторов, влияющих на процессы взаимодействия нагретого газа и материала покрытия, на расчёт основных параметров разрушения теплозащитных покрытий и.т.д. Судить о характере этих процессов можно лишь на основании сравнения расчетных и измеренных значений некоторых суммарных параметров, таких, как суммарная скорость уноса массы и температуры на разрушающейся поверхности, так как прямые измерения в подповерхностном слое практически невозможны из за высокого уровня температур и быстрого протекание всех процессов [28]

Саттон Дж. У. в статье [33] делится личными впечатлениями по созданию тепловой защиты в США, а также кротко прослеживает предысторию этого вопроса.

В работе [44] представлен упрощенный анализ охлаждения массопередачей, т.е. вдувание газа в окрестности критической точки для двухмерных и осесимметричных тел.

Снижение теплопередачи определяется свойствами газового теплоносителя. Показано, что теплопередача может быть уменьшена значительно за счет газа, имеющего соответствующие тепловые и диффузионные свойства. Обсужден механизм уменьшения теплопередачи.

В работе [24] численно исследовалось влияние горения на коэффициенты трения на пластине в ламинарном и турбулентном течениях. В математической модели использовалось приближение пограничной слоя. Система определяющих уравнений включала в себя: уравнение неразрывности, уравнение количества движения, уравнение энергии, уравнение переноса тепла и уравнение переноса 1-го компонента смеси. Показано, что при вдуве и горении в ламинарном и турбулентном потоках сопротивление и трение уменьшается почти на порядок.

В работе [36] рассматривается одномерная нестационарная задача об испарении с плоской поверхности тела. Коэффициент испарения является параметром задачи.

Показано, что отличие коэффициента испарения от единицы существенно видоизменяет картину движения газовой фазы. Однако скорость испарения, отнесенная к скорости испарения в вакуум при заданной температуре поверхности, слабо зависит от коэффициента испаренная.

В работе [47] проанализировано аэродинамическое нагревание баллистической ракеты в результате конвекции с учетом влияния силы тяжести. Величина теплопереноса на головной часть была определена отдельно. Приведено четыре числовых примера для оценки ошибки теплоотдачи и скорости нагрева головной части. Результаты показывают, что влияние силой тяжести не всегда мало и зависит от баллистического фактора.

В работе [6] проведено исследование нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих деструкцию некоторых теплозащитных материалов в высокоскоростном и высокотемпературном потоке газа. По отношению к произвольно заданным функциям решена задача групповой классификации системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих установившееся движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения. Построены редуцированные математические модели процессов деструкции теплозащитных материалов. Даны точные и приближенный методы расчета основных параметров разрушения некоторых теплозащитных материалов при воздействии на них высокоскоростного и высокотемпературного потока газа. Приведена методика расчета теплозащитных материалов в окрестности точки торможения осесимметричного тела с учетом физических параметров потока до и после скачка уплотнения.

В работе [34] получено точное решение задачи о сублимации твердого тела в окрестности критической точки в плоском и осе-симметричном потоках газе. Решение проведено при следующих предположениях:

• Фронт сублимации продвигается в тело с постоянной скоростью;

• Процесс теплопередачи происходит как в газе, так в твердом теле.

• Задача решается в предположении ламинарного пограничного слоя;

• Теплофизические свойства газа и твердого тела для упрощения задачи принимаются независимыми от температуры и диффузии.

Найдены конечные соотношения для определения концентрации и температуры на фронте сублимации. Построены графики для определения скорости продвижения фронта сублимации от концентрации смеси. Для определения концентрации и температуры на фронте сублимации используется аналитический метод обращенных рядов, но без улучшения сходимости.

В этой работе были использованы метод обращенных рядов без улучшения их сходимости. А также не учитывалось влияние торможения, силы тяжести и переменность плотности среды.

В работе [4] рассматривается сжимаемый ламинарный пограничный слой в окрестности критической точки на пористой стенке. На тело набегает поток воздуха. Сквозь стенку подается легкий газ-водород. Рассматриваются уравнения пограничного слоя с учетом диффузии при отсутствии химических реакций и массопереноса.

В результате изучаются зависимости функции тока, скорости течения, температуры и концентрации смеси для различных значений, концентрации смеси на стенке при различных значениях скорости вдува.

В работе [25] получены точные решения задачи о сублимации твердого тела в окрестности критической точки при условии зависимости коэффициента вязкости и скорости массообразования от массовой концентрации паров смеси. Исследовано поведение динамического пограничного слоя в зависимости от различных значений кинематического коэффициента вязкости и скорости массообразования. Показана связь скорости продвижения фронта сублимации вглубь твердого тела и величины концентрации на фронте сублимации. Рассмотрен численный пример. Проводится анализ результатов численного интегрирования, которые представлены в графическом виде.

В работе [5] изучается влияние нестационарности на аэродинамические и тепловые характеристики тела, гиперзвуковая скорость движения которого уменьшается обратно пропорционально времени, т.е. изучается влияние торможения. Показано, что для случая совершенного газа на режиме стабилизации по числам Мю задача автомодельная по времени как во внешнем невязком потоке, так и в пограничном слое. Приведены результаты расчета влияния нестационарности на обтекание клина невязким потоком. Получено соотношение для относительного изменения теплового потока в критической точке.

Проблема сублимации многие годы представляет интерес для исследований, что вызвано необходимостью решения практических задач в различных технических и производственных сферах, например; в авиации, ракетостроении, химической промышленности и т.д. Отметим, что впервые задача, связанная с сублимацией твердого тела, была поставлена и решена в работе [34]. В работе [25] получены точные решения задачи о сублимации в окрестности критической точки с учетом переменой вязкости.

Однако в этих и последующих работах не исследовалось влияние массообразования, влияние архимедовой силы, влияние изменения плотности внешней среды и соотношение локальной и конвективной составляющих ускорения (торможение) на процесс сублимации и на ее основные характеристики.

Целью диссертационной работы является:

• Построение математических моделей процесса диффузии и сублимации материала поверхности тела в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности. Изменением плотности внешнего потока можно моделировать изменение высоты полета и траекторию входа тела в плотные слои атмосферы.

• Исследование влияния вдува (отсоса), архимедовой силы, торможения внешнего потока и переменной плотности на основные характеристики процесса диффузии и сублимации, например, профиль скорости, распределение концентрации вещества, температуру, скорость фронта сублимации, точки отрыва пограничного слоя, касательное напряжение и.д.

• Определение области существования параметров, обеспечивающих безотрывность течения ламинарного пограничного слоя.

• Выявление возможности возникновения условий потери устойчивости ламинарного пограничного слоя при торможении внешнего потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности.

• Распространение метода обращенных рядов для решения задач сублимации в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны.

• На основе рассматриваемых математических моделей процесса диффузии и сублимации создание метода расчета основных параметров разрушения теплозащитного материала.

Научная новизна состоит в следующем:

• Поставлены и решаются новые задачи, изучаются основные закономерности процессов диффузии и сублимации с усложненными граничными и начальными условиями. В результате проведенных исследований обнаружены новые эффекты в изменении характеристик пограничного слоя.

• Поставлены задачи и исследовано влияние вдува (отсоса), архимедовой силы, торможения внешнего потока и переменной плотности на основные характеристики процесса диффузии и сублимации в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны.

• Разработан метод обращенных рядов в задаче диффузия и сублимация материала твердого тела, с применением метода Эйлера для улучшения сходимости рядов, позволяющий приближению определить концентрацию на фронте сублимации при определении безразмерной скорости ее продвижения.

• Предложен метод определения интенсивности сублимации ф0 при различных значениях параметров торможения внешнего потока а/А, плотности Б, архимедовой силы N для разных значений температуры То на фронте сублимация для определенных материалов покрытия поверхности тела. На защиту выносится следующие результаты:

- Постановки задач и математические моделей процесса диффузии и сублимации материала поверхности тела в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности;

- Результаты метода обращенных рядов в задаче диффузии;

- Результаты численного интегрирования, редуцированных обыкновенных дифференциальных уравнений в задаче диффузии и сублимации материала твердого тела в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности;

- Результаты расчета сублимации некоторых покрытий из реальных веществ например (йод, нафталин) при условиях обтекания тела в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в полях переменой плотности набегающего потока и переменной архимедовой силы.

Содержание диссертации

В первом параграфе первой главы приводится постановка задачи о нестационарном ламинарном динамическом, диффузионном и тепловом пограничных слоях несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в среде с переменной плотностью. Представлена система уравнений в частных производных пограничных слоев, и проводятся преобразования этих уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями.

Результаты численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующие задаче об исследовании влияния торможения внешнего потока и переменности во времени плотности с учетом вдува и отсоса газа на характеристики динамического пограничного слоя, представленные в приложении 1. Приведенные результаты тестовой задачи показывают совпадение результатов с результатами работы [21]

Во втором параграфе первой главы, приводится использование метода обращенных рядов [46,37], для решения задачи о диффузии при условии торможения внешнего потока в поле переменной плотности. Решение основано на представлении его в виде степенных рядов. В результате получена связь коэффициентов этих рядов с параметрами, входящими в уравнения и граничные условия. Для улучшения сходимости степенных рядов используется метод преобразований Эйлера. Проведено сравнение результатов с численным интегрированием. Результаты показывают их удовлетворительное согласование.

В первом параграфе второй главы диссертации конструируются решения системы уравнений нестационарного ламинарного динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев несжимаемой жидкости в окрестности критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потенциального потока в среде с переменной плотностью. Проведено численное интегрирование редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Здесь, также, для приближенных решений используется метод обращенных рядов. Проведено сравнения результатов численного и аналитически приближенного решения. Результаты показывают хорошее совпадение.

Во втором параграфе второй главы диссертации обращается внимание и проводится анализ влияния параметра, определяющего соотношение локального и конвективного ускорения (торможения) на характер изменения давления р(^х) вдоль границы пограничного слоя, а также изучается совместное влияние градиента давления и скорости вдува (отсоса) на основные характеристики нестационарного пограничного слоя при переменной во времени плотности среды. Определяется область параметров, соответствующая безотрывному условию существования ламинарного пограничного слоя, а также изучается влияние архимедовой силы на характеристики динамического, диффузионного и теплового пограничных слоев.

Определена картина деформаций линий тока на поверхности тела (г|->0) по сравнению с распределением линий тока на внешней границе пространственного пограничного слоя (л-»00) при параметрах а/А, 8 и N и С, соответствующих безотрывному течению.

Анализ распределения линий тока показывает, что линии тока искривляются в сторону меньших перепадов давления.

В первом параграфе третьей главы исследуется сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности.

Рассматривается взаимодействие газового потока и твердого тела в окрестности критической точки, в результате которого происходит сублимация твердого тела.

Вводится следующее основное допущение - задача решается в предположениях ламинарного пограничного слоя. Свойства газа и твердого тела для упрощения задачи принимаются постоянными. Процесс сублимации не оказывает влияние на распределение давления в окрестности критической точки, и распределение давления определяется только соотношением локальной и конвективной составляющих ускорения (торможения). Решаемая задача описывается системой уравнений, в которую входят уравнения неразрывности, движения, диффузии, энергии для газовой смеси и уравнение теплопроводности в твердом теле.

Используя новые зависимые и, V, с, со, со 1 и независимые переменные г| (3.1.12), система уравнений в частных производных (3.1.10) преобразована в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1.18), (3.1.19) с граничн

Для решения задачи сублимации необходимо знать концентрацию на фронте сублимации, следовательно, необходимо интегрировать уравнение диффузии в системе (3.1.18). После интегрирования указанного уравнения и определения констант интегрирования из граничных условий (3.1.20), получим выражения для распределения концентрации в газовой смеси. Метод обращенных рядов применяется к задаче сублимации для Л

- Г(-~Л+5А+ф)<1Л ч J 2Л решений интеграла Ф(г|) = Ге 0 с!г|. Для улучшения сходимости о используется метод Эйлера. Безразмерная скорость продвижения фронта сублимации находится по известной концентрация на фронте из рис. 3.56-3.58 приложение 3.

В качестве прикладной задачи исследована сублимация (испарение) теплозащитного материала в окрестности критической точки при торможении внешнего потенциального потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности. Проведено численное интегрирование системы (3.1.18). Проведен анализ результатов влияния торможения внешнего потока, архимедовой силы в поле переменной во времени плотности на характеристики динамического, диффузного и теплового пограничных слоев и на фронте сублимации.

Во втором параграфе третьей главы поставлена и разработана математическая модель сублимации (испарение) материала твердого тела в окрестности критической точки двоякой кривизны при условии торможения внешнего потока в среде с переменной плотностью во времени с учетом влиянии архимедовой силы. Приведены независимые и зависимые переменные, в соответствии с которыми система уравнений в частных производных точно сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

После интегрирования второго уравнения в системе (3.2.3) и определении констант из граничных условий (3.2.4), получено выражение для распределения концентрации на фронте сублимации.

Для определения скорости продвижения фронта сублимации при различных значениях параметров а/А, Б, С, И. а/А - отношение параметров, определяющих локальное и конвективное ускорение (замедление), Б - параметра, характеризующего изменения плотности среды, параметра С - характеризующего отношение радиусов кривизны в критической точке и параметра N - характеризующего влияние архимедовой силы, где отрицательное значение параметра N относится к восходящей части траектории, а положительное значение параметра N относится к нисходящей части траектории, использован метод обращенных рядов.

Построены графики зависимости концентрации на фронте сублимации от интенсивности сублимации для параметров а/А, Б и N при различном значении параметра С, из которого находится безразмерная скорость продвижения фронта сублимации О0.

Представлен анализ результатов влияния торможения внешнего потока, переменной плотностью во времени и архимедовой силы на скорость предвидения фронта сублимации для различных значений параметра С.

В третьей параграфе третьей главы проведен расчет сублимации некоторых покрытий из реальных веществ (йод, нафталин) при условиях обтекания тела в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в полях переменой плотности набегающего потока и переменной архимедовой силы с использованием предложенного метода в первом параграфе третьей главы.

Построены графики скорости продвижения фронта сублимации для различных значений параметров а/А, 8 и N.

Результаты расчета показывают, что скорость продвижения фронта сублимации йода для всех вышеуказанных параметров больше, чем скорость продвижения фронта сублимации нафталина, т.е. вещество йод испаряется быстрее, чем нафталин.

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 публикациях [7, 8,9,10,11 ,12, 13,14, 15,16,17, 18]

Материалы диссертации докладывались и обсуждались:

1. На научно-технических семинарах кафедры аэрогидродинамики КГТУ им. А.Н. (Казань, 2004-2006).

2. Международной молодежной научной конференции «XII Туполевские чтения» (Казань, 2004).

3. На «XXIX Гагаринских чтениях» (Москва, 2004).

4. На всероссийской молодежной школе - конференции «Чеботаревские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике» (Казань, 2004).

5. В Национальном центре аэрокосмического образования «VII международной молодежной научно-практической конференции» (Днепропетровск, 2005).

6. На первой научно-технической конференции зарубежных аспирантов и магистрантов (Казань, 2005).

7. На всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения» (Самара, 2005).

8. На национальной конференции по теплоэнергетике (Казань, 2006).

В приложениях представлены результаты и проведен анализ численного интегрирования, редуцированных обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующими граничными условиями задач, диффузии и сублимации материала поверхности тела в окрестности критической точки и критически точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока с учетом архимедовой силы в поле переменной во времени плотности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформируем основные результаты диссертации

1. Впервые поставлена и разработана математическая модель нестационарного ламинарного диффузного пограничного слоя в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью с учетом влияния архимедовой силы.

2. Использован метод обращенных рядов и получены решения уравнения, описывающего диффузию в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью. Полученные результаты показывают их согласование с результатами численного интегрирования.

3. Определены области параметров, характеризующие интенсивность вдува (отсоса), торможение внешнего потока, изменение плотности во времени среды, архимедовой силы, соответствующие безотрывному пограничному слою, как вдоль оси х, так и оси г в окрестности критической точки одной и двоякой кривизны.

4. Проведено исследование характеристик нестационарного ламинарного диффузного пограничного слоя несжимаемой жидкости в окрестности критической точки и критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью с учетом архимедовой силы и сделаны выводы:

• Установлено существование трех возможных режимов течения различной структуры в окрестности критической точки при торможении внешнего потока: течение ускоренное, безградиентное течение и течение замедленное.

• Установлены области параметров а/А, ЯД, м>0,С, соответствующие безотрывному течению.

• Показано, что при отсутствии вдува (отсоса) жидкости в пограничный слой в поле постоянной плотности и отсутствии архимедовой силы безотрывное течение сохраняется в области изменения параметра торможения а/А <3,162.

• Установлена связь между ф"'(0),^",(0) и параметрами а/А, и>0 ,С.

• Результаты расчётов ф"(л) и #"(л) показывают существование области изменения параметров а/А, 8 и С при которых эти характеристики имеют точку перегиба, т.е. ф"^,) = 0, g",(л2) = 0» ПРИ значениях г\ = г|,,г| = г\2, где ф"(л,) и ^"(л2)достигают наибольших значений. Показано, что при Ф"(Л)=Ф1(Л,) и £"(л) = £1(л2), Л, <Л2 I точка перегиба профиля скорости ф'(т1,) возникает на меньших I расстояниях от поверхности и возможность потери устойчивости ламинарного пограничного слоя наступает раньше в направлении оси ох, чем в направлении оси ог. Если Л,>Л2> т0 потеря устойчивости ламинарного пограничного слоя в направлении оси ох наступает раньше, чем в направлении оси ох.

5. При увеличении параметра а/А и параметра С толщина диффузного слоя уменьшается.

6. При увеличении параметра £ от - 0,5 до 1,0 и при увеличении параметра С от 0,5 до 1,5 концентрация и температура внутри диффузного и теплового пограничных слоев уменьшаются.

7. Параметр N слабо влияет на характеристики изменения профиля скорости и касательного напряжения вдоль оси г, но влияет на характеристики изменения профиля скорости и касательного напряжения вдоль оси х.

8. Установлено, что параметр N слабо влияет на характеристики теплового пограничного слоя.

9. Зависимость концентрации вещества диффузного слоя от параметра характеризующего влияния архимедовой силы, определяется величиной параметра С. Если С<1, то влияние параметра N существенно, Если С>1, то влияние архимедовой силы на концентрацию незначительное. Ю.Определена картина деформаций линий тока на поверхности тела (г|-»0) по сравнению с распределением линий тока на внешней границе пространственного пограничного слоя (т|->оо) при параметрах а/А, £, N, соответствующих безотрывному течению.

11.Анализ распределения линий тока показывает, что линии тока искривляются в сторону меньших перепадов давления, что способствует растеканию пограничного слоя по поверхности двоякой кривизны.

12.Распределение линий тока на границе пограничного слоя зависит только от параметра С, но распределение «предельных» линий тока на поверхности в окрестности критической точки двоякой кривизны при заданном значении параметра С зависит от параметра 8, определяющего значения параметра т, характеризующего деформацию линий тока.

13.Получены точные решения системы уравнений, описывающие сублимацию (испарение) материала твердого тела в окрестности критической точки при условии зависимости коэффициента скорости массообразования от концентрации вещества газовой смеси при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью с учетом архимедовой силы.

14. Увеличение интенсивности сублимации приводит к увеличению толщины пограничного слоя.

15. Касательное напряжение на фронте сублимации ф"(0) уменьшается по мере увеличения интенсивности сублимации ф(0), что соответственно приводит к увеличению толщины динамического пограничного слоя.

16. Скорость внутри пограничного слоя увеличивается по мере увеличения параметра Б, т.е. толщина пограничного слоя при увеличении параметра Б уменьшается. Касательное напряжение на фронте сублимации увеличивается по мере увеличения параметра Б.

17. Анализ результатов численного моделирования изменения температуры смеси по толщине температурного слоя показывает, что увеличение параметра Б проводит к уменьшению толщины теплового слоя.

18. При значении параметра Б=0 и изменении интенсивности сублимации ф(0) от 0 до -1,5 , наблюдается увеличение толщины вытеснения 8* при увеличении параметра а/А, но происходит слабое падение толщины потери импульса от параметра а/А. По мере роста параметра Б, как для Б < 0 и Б > 0 происходит уменьшение основных толщин 8* и 8**.

19. Найдено, что при т0 = 0, т.е. когда нет массообразования, концентрация имеет меньшее значение, чем при т0= 1, а при п-1 концентрация имеет большее значении, чем при и>1, т.е. по мере увеличения параметра « концентрация уменьшается внутри пограничного слоя. При увеличении показателя степени п в слагаемом т0/", -уменьшается, так как величина / < 1.

20. Увеличение интенсивности сублимации ф0 приводит к увеличению концентрации для значений т0 = 1 и т0 = 0.

21. Видно, что при увеличении степени П скорость продвижения фронта сублимации уменьшается. Это объясняется тем, что концентрация уменьшается при увеличении П .

22. Установлено, что увеличение указанных параметров приводит к уменьшению безразмерной температуры в твердом теле по ее толщине и уменьшению производной с!®,/^, т.е. в твердом теле можно выделить область существования температурного пограничного слоя.

23. Установлено, что увеличение параметра N от 0 до 1 приводит к увеличению интенсивности нарастания скорости ф'(л) и касательного напряжения на стенке ф"(0), что приводит к уменьшению толщины динамического пограничного слоя, и уменьшение параметра N от 0 до -1 приводит к уменьшению скорости ф'(г|) и касательного напряжения на стенке ф"(0).

24. Выявлено, что параметр N существенно влияет на концентрацию вещества, т.е. увеличение параметра N от -1 до 1 приводит к уменьшению интенсивности концентрации вещества внутри диффузного пограничного слоя.

25. Проведен анализ влияния числа Фруда для различных значений параметра И, так при N < 0 касательное напряжение на стенке увеличивается с ростом числа Фруда, а при N > 0 касательное напряжение на стенке уменьшается с ростом числа Фруда.

26. Скорость продвижения фронта сублимации уменьшается по мере увеличения торможения и увеличивается с ростом концентрации вещества на поверхности тела.

27. Увеличение параметра Б приводит к увеличению скорости продвижения фронта сублимации с увеличением параметра С.

28. Увеличение торможения приводит к уменьшению скорости продвижения фронта сублимации но увеличение параметра С приводит к увеличению скорости продвижения фронта сублимации.

29. Влияние архимедовой силы на скорости продвижения фронта сублимации уменьшается с увеличением параметра С.

30. Проведан расчет сублимации покрытий тела нафталином и йодом при условиях обтекания тела в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в поле переменной плотности набегающего потока и переменной архимедовой силы.

31. Результаты расчета показывают, что скорость продвижения фронта сублимации йода для всех параметров а/А, Я, N , больше, чем скорость продвижения фронта сублимации нафталина.

1. Адаркар Д. Интегральный подход к решению задачи о нестационарном поведении коксующегося аблирующего материала / Д. Адаркар, JL Хартсук // Ракетная техника и космонавтика, 1966. — № 12. — С. 232235.

2. Бичер Н. Механизм абляции пластмасс с неорганическим армированием / Н. Бичер, Р. Розенсвейг // Ракетная техника, 1961. — № 4. —С. 81-90.

3. Белов И. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости / И. А. Белов, С. А. Исаев, В. А. Коробков. — JI:. Судостроение, 1989. — 253с.

4. Варжанская Т. С. Пограничный слой в окрестности критической точки / Т. С. Варжанская, Е. И. Оброскова, Е. Н. Старова // ВЦ МГУ. — 1962. — С. 135-145.

5. Горюнова Г. И. Влияние нестационарности на аэродинамические и тепловые характеристики тел тормозящихся в газе / Г. И. Горюнова, В. В. Михайлов // Учены записки ЦАГИ. — 1982. — Т. XIII. — № 4. — С 34-44.

6. Дружинин Г. В. Задачи деструкции теплозащитных материалов в высокоскоростном и высокотемпературном потоке газа: дис. . канд. техн. Наук / Г. В. Дружинин; Казан, гос. тех. ун-т . 1985.

7. Ешиен A.C. Диффузия в окрестности критической точки при торможении внешнего потока в поле переменной плотности / A.C. Ешиен // Материалы докладов XXIX Гагаринские чтения. — Москва, 2004. —С. 50.

8. Ешиен A.C. Сублимация в окрестности критической точки при переменной вязкости и торможении внешнего непотенциального потока / A.C. Ешиен // Материалы докладов XII Туполевские чтения. — Казань, 2004. —Том. 1.—С.4.

9. Ешиен A.C. Сублимация в окрестности критической точки при переменной вязкости и торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью / A.C. Ешиен, В.Г. Павлов // Известия вузов. Авиационная техника. — 2004. — № 4. — С. 16-19.

10. Ешиен A.C. Сублимация в окрестности критической точки двоякой кривизны при торможении внешнего потока в среде с переменной плотностью. / A.C. Ешиен // VII международная молодежная научно-практическая конференция. — Днепропетровск, 2005. — С. 50.

11. Ешиен A.C. Автомодельное решение уравнений в задаче сублимации твердого тела. / A.C. Ешиен // Первая научно-техническая конференция зарубежных аспирантов и магистрантов. — Казань, 2005. — С. 20.

12. Ешиен A.C. Сублимация в окрестности критической точки при торможении с учетом архимедовой силы. / A.C. Ешиен // Труды VIII Королевские чтения. — Самара, 2005. — С. 41.

13. Ешиен A.C. Метод обращенных рядов в задаче сублимации твердого тела. / A.C. Ешиен, В.Г. Павлов // Вестник Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н.Туполева. — 2006. — №1. — С. 30-34.

14. Ешиен A.C. Влияния торможения внешнего потока, архимедовой силы в поле переменной плотности на скорость продвижения фронта сублимации в окрестности критической точки. / A.C. Ешиен // Известия вузов. Авиационная техника. — 2006. — № 3. — С. 26-29.

15. Ешиен A.C. Сублимация в окрестности критической точки при торможении в поле переменной плотности и архимедовой силы. / A.C. Ешиен // Вторая научно-техническая конференция зарубежных аспирантов. — Казань, 2006. — С. 17-21.

16. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. — М.: Физматгиз, 1962. —480 с.

17. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М.:. Наука, 1970. —903 С.

18. Мохаммед А. А. Нестационарный ламинарный пограничный слой несжимаемой жидкости в окрестности критической точки при торможении внешнего потока / А. А. Мохаммед // Труды Четаевской между, конфе. — Казань, 2002.

19. Мур Ф. Теория трехмерного пограничного слоя / Ф. Мур. — М.: ИЛ, 1952.

20. Панкратов Б.М. Рудько А.К. Взаимодействия материалов с газовыми потоками / Б.М. Панкратов, Ю.В. Полежаев. — М.: Машиностроение, 1976. —224 с.

21. Перепечко Л. Н. Численное исследование влияния горения метана на тепло-и массообмен и трение в пограничном слое / Л. Н. Перепечко // Физика горения и взрыва, — 2003. — Т. 39. — № 3.

22. Павлов В.Г. Сублимация в окрестности критической точкой при переменной вязкости / В.Г. Павлов, В.В. Сасюк // Вестник Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н.Туполева. — 1998. — № 3. — С. 8-11.

23. Полежаев Ю.В. Тепловая защита/ Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юревич. — М.: Энергия, 1976. —392 с.

24. Павлов В.Г., Замечание к выводу уравнений пограничного слоя с учетом вдува / В. Г. Павлов // Известия вузов. Авиационная техника. — №19. —С. 21-25.

25. Полежаев Ю. В. Тепловая защита / Ю. В. Полежаев, Ф.Б. Юревич. — М.: Энергия, 1976. — 392 с.

26. Славчев С. Г. Нестационарный пограничный слой на теле в несжимаемой жидкости / С. Г. Славчев // Вестник ленинградского университета. 1972. — №13. — С. 106-112.

27. Струминский В.В. Пограничный слой на каталитической поверхности /

28. B.В. Струминский // Доклады АН СССР. — Т. 245. — №5. — С. 10681071.

29. Струминский В.В. Скольжение крыла в вязкой жидкости / В.В. Струминский // Д. АНСССР, 1946. — Т. 54. — №7.

30. Скала С. Тепловое разрушение теплозащитного обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах / С. Скала, Л. Гильберт // Ракетная техника. 1962, — № 6. — С. 74-82.

31. Саттон Д.ж. У история создания разрушающейся теплозащиты / Д. Ж. Саттон // Аэрокосмическая техника. — 1983. — № 5. — С. 37-45.

32. Совершенный В. Д. Сублимация твердого тела в окрестности критической точки в плоском и осисимметричном потоках газа / В. Д. Совершенный // ЦИАМ. —1962. — №. 166.

33. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса / Р. Темам.— М.: Мир, 1981. — 407 с.

34. Титарев В. А. Теплоотдача и испарение с плоской поверхности в полупространство при внезапном повышении температуры тела / В. А. Титарев, Е. М. Шахав // Механика жидкости и газа. — 2002. — № 1. —1. C. 141-153.

35. Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. — Л.: Москва, 1951. — 450 с.

36. Чжен П. Отрывние течения/ Чжен П. — М.: Мир, 1979. — 552 с.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. — М.: 1956, — 528 с.

38. Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя / Ю. Д. Шевелев. — М.: Наука, 1977. — 223с.

39. Шехтман Ю.М. Задача теплопроводности при нарушении структуры материала с учетом влияния выходящего газа / Ю.М. Шехтман // Инженерный журнал. — 1965. — Т. 5. — № 3. — С. 441-448.

40. Barriault R.I. Yos I. Analysis of the Ablation of Plastic heat Shield That Forms Charred Surface Layer. ARS Journal, 1960, 30, № 9, P. 823-829.

41. Kawamura R., nakajima T. Gas dynamic Study of Charring Ablation. Trans, lap. Soc. Aeronaut and Space Science, 1971,4, № 25, P. 51-71.

42. Leonard Roberts, "Mass Transfer Cooling Near the Stagnation Point", NACA TN4391, September 1958.

43. Meksyn D. Integration of the boundary layer equations. Mathematics department, Imperial College of Science and Technology, London 1956. P. 543-559.

44. Maitra S. A., Aerodynamic heating of ballistic missile including the effect of gravity. Sadhana, India, Vol. 25, Part 5, October 2000, P. 463-473.

45. Riley N., Unsteady laminar boundary layer. // SIAM Review. 1975. Vol. 17. №2. P. 274-297.

46. Scala S., Sutton G. The two-Phase Laminar Boundary Layer A Study of Surface Melting. Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute, 1958. P. 231.

47. Yang K. Unsteady laminar boundary layer in incompressible stagnation flow.//J. App.Mech.- 1958.-V.26. P. 412-427.