Термокапиллярные течения в пограничных и тонких слоях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ ВБЛИЗИ СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Взаимодействие равномерного потока и поверхностного напряжения.

1.3. Взаимодействие поверхностного напряжения и градиента давления.

1.4. Возникновение противотока.

1.5. Пограничные слои, сопрягающиеся с покоем.

1.6. Пограничные слои в областях, имеющих угловую точку.

ГЛАВА 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО

СЛОЯ В НЕСТАНДАРТНЫХ СИТУАЦИЯХ.

2.1. Задача перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля.

2.2. Задача перехода пограничного слоя Прандтля в слой Марангони.

2.3. Пограничный слой Прандтля вблизи точки излома границы.

2.4. Задача продолжения пограничного слоя Прандтля при возрастании давления вниз по потоку.

2.5. Развитие пограничного слоя Марангони из точки торможения.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМЫХ ЖИДКИХ ПЛЁНОК.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Плоскопараллельные установившиеся течения пленок с постоянной вязкостью.

3.3. Трехмерные течения пленок с переменной вязкостью.

ГЛАВА 4. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ В ЗАДАЧАХ

МИКРОКОНВЕКЦИИ.:.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Пограничные слои при установившемся движении.

4.3. Автомодельные решения. Формулы для массообмена.

4.4. Начальные асимптотики

Изучение термокапиллярных течений жидкости получило в последнее время интенсивное развитие прежде всего в связи с активным изучением космического пространства и с развитием новых технологий. Это получение кристаллов методом бестигельной зонной плавки, лазерная обработка материалов с плавлением поверхностного слоя для его легирования, охлаждение прецизионных устройств стекающими жидкими слоями, очистка расплавов от пузырей и включений, эпитаксия пленок из растворов-расплавов или газовой среды и др. Экспериментальные исследования в космосе весьма дороги, их физическое моделирование на Земле часто сложно технически. В связи с этим возникает проблема математического моделирования движения жидкости в условиях действия массовых и поверхностных сил а также тепловых нагрузках.

Во многих жидких средах диффузионные коэффициенты малы, что приводит к формированию концентрационных, тепловых и динамических пограничных слоев вблизи поверхностей раздела. Диссипативные нелинейные тонкие слои у разделяющих поверхностей до сих пор изучены не в полной мере. Такие задачи, как течение вблизи линии контакта трех фаз, термокапиллярные деформации поверхностей пленок, конвекция при пониженном тяготении или в микромасш:табах еще не нашли своего окончательного решения. Недостаточно изучены также задачи теории пограничного слоя при таких осложняющих факторах, как неблагоприятный продольный градиент давления, наличие точек остановки внешнего основного потока, наличие в области течения угловых точек.

Диссертация посвящена решению крупной проблеме механики жидкости и газа по изучению движения жидкости в пограничных и тонких слоях под воздействием термокапиллярных сил, изучению влияния усложняющих эффектов, таких как непостоянство материальных постоянных и наличие углов у границ областей течений.

Целью работы является исследование влияния термокапиллярных эффектов на тепло- и массоперенос и конвективное движение жидкой фазы с учетом малости диффузионных коэффициентов, а также исследование движения жидкости на основе изучения нелинейных свойств пограничных слоев вблизи свободных границ путем использования аналитических, асимтотических, теоретико-групповых и численных методов. В качестве математической модели используются уравнения вязкой теплопроводной жидкости с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхностей раздела.

В настоящее время пограничные слои вблизи свободных границ все более привлекают внимание исследователей. Изучение термокапиллярных эффектов, возникающих при неравномерном нагреве свободной поверхности с большими градиентами температур приводит к необходимости исследовать новые свойства пограничных слоев Марангони. Наиболее интенсивно слои Марангони стали изучаться примерно 20 лет назад, хотя отдельные работы появлялись и раньше. По-видимому, в работе В.Я. Шкадова [93] впервые изучено автомодельное решение в пограничном слое вблизи плоской границы. Правильная постановка граничных условий на неизотермической поверхности раздела дана L.G. Napolitano [113, 114], а в нестационарном случае

- B.B. Пухначевым [60]. Отметим работы L.G. Napolitano, С. Golia,

G. Russo [115]-[118] по постановке основных граничных задач для пограничного слоя Марангонии и изучению инвариантных решений. Часть исследований по пограничным слоям Марангони отражена в обзорной статье [96], содержащей также новые результаты. Интерес к задачам с вязкими слоями Марангони связан, в частности, с исследованиями термокапиллярной конвекцией в невесомости, в поле тяжести в случае малой диссипации, а также с расчетами течений в тонких слоях, ограниченных твердой и свободной поверхностями. Большой вклад в решение проблем течений жидкости со CBo6oflHbi.viH граница.ми при малых диффузионных коэффициентов внесли работы таких ученых как В.И. Юдович, А.Г. Петров, В.И. Полежаев, В.А. Батищев, Л.С. Срубщик, Ю.П. Гупало. О.В. Воинов, В.В. Пухначев. Ю.С. Рязанцев, Ю.В. Саночкин, Ю.А. Сергеев. Выдающийся вклад в развитие математических методов в теории пограничного слоя был сделан в работах O.A. Олейник. Важные исследования по изучению краевых задач теории пограничного слоя выполнили В.Н. Самохин, h. в. Хуснутдинова, К.Б. Павлов, Н.С. Пискунов, Д.А. Силаев, А.И. Суслов, Т.Д. Джураев, К. Nickel, P.C. Fife, S.A.S. Messiha и многие другие. Проблемой изучения пограничных слоев вблизи поверхностей разрыва занимались такие ученые как Л.В. Овсянников, Л.А. Чудов, В.П. Стулов, A.B. Кажихов, В.А. Солонников, А.Г. Петров, М.А. Гольдштик, Ф.Л. Черноусько, СИ. Антонцев, В.Н. Монахов. Вопросы устойчивости термокапиллярных течений и расчеты ответвляющихся режимов исследовались В.К. Андреевым, В.А. Батищевым, Р.В. Бирихом,

Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицким и многими другими.

Эффекты Марангони, проявляющиеся при взаимодействии ненулевого градиента температуры на поверхность капиллярной жидкости представляют значительный интерес, однако все еще недостаточно хорошо изучены. В реальных жидкостях с малыми диссипативными коэффициентами эти эффекты ярко проявляются в тонких слоях жидкости и в условиях, близких к невесомости. Наиболее простым, но достаточно распространенным случаем таких течений являются тонкие стекающие под действием гравитации пленки жидкости. Поверхностные силы в таком течении могут доминировать над объемными силами или быть сравнимыми с ними. Одно из обнаруженных явлений :г10 формирование пространственной самоорганизующейся структуры в тонкой движущейся под действием гравитации пленке жидкости при ее локальном нагреве со стороны подложки. По-видимому, впервые формирование структур было замечено в экспериментальном исследовании [103], выполненом O.A. Кабовым и др. Было обнаружено, что локальный нагрев приводит к местному существенному утолщению пленки вблизи передней кромки нагревателя (жидкого вала). При определенной пороговой плотности теплового потока течение разделяется на вертикальные струи, следующие с определенной длиной волны и тонкую плёнку между ними. Теория пленочных течений жидкости в настоящее время быстро развивается. Имеется большое число работ, в которых при различных предположениях выведены уравнения движения. Эта множественность подходов объясняется многоплановостью рассматриваемого явления, его зависимостью от большого числа факторов. Преобладание тех или других из них приводит к качественным отличиям в характере движения, что, естественно, требует различных подходов при описании. Заметный вклад в развитие данной теории внесли работы В.Е. Накорякова, C.B. Алексеенко, В.В. Пухначева, O.A. Кабова, СВ. Митлина, В.М. Старова, О.Ю. Цвелодуба, Г.И. Сивашинского, С. Nakaya. J.Ä. Moriarty, А. Orón, А. Sharma, J.C Logros, S.W. Joo, S.H. Davis и многих других. Можно отметить работу [26], в которой теория пленочных движений распространена на случай неизотермических пленок с учетом термокапиллярных сил.

Если плотность жидкости меняется в зависимости от температуры или концентрации примеси, то при их неоднородном распределении возникает движение жидкости, называемое свободной или (чаще в иностранной литературе) естественной конвекцией. Свободная конвекция является хорошо изученной областью гидродинамики. Наиболее полные исследования по свободной конвекции приведены в монографиях 14, 15, 19]. Подробное изучение применения методов пограничного слоя в задачах со свободной конвекцией дано в монографиях [44, 45]. Однако классическая модель конвекции Обербека-Буссинеска не применима в условиях малой тяжести или в микромасштабах. В работах В.В. Пухначева [61], а также P.S. Perora & R.F. Sekerka 124] разработана замещающая классическую модель микроконвекции. В работах О.Н. Гончаровой [16, 17] проведен сравнительный анализ результатов проведенных численных расчетов режимов конвекции по обеим моделям, выявлены качественные отличия. Исследования тепло-и массообмена при свободной конвекции проводились также О.С.

Федынским, Я.Б. Зельдовичем, A.A. Березовским, О.Г. Мартыненко, Г.Г. Кумсишвили, Е.М. Пузыревым, A.A. Гухманом, а также В. Gebhart, Y. Jaluria, В. Sammakia, E.J. Le Fevre, S. Roy, J.R. Selman и другими учеными.

Диссертация посвящена изучению движения неизотермической жидкости в пограничных и тонких слоях под действием поверхностных термокапиллярных сил. В первой главе рассмотрено движение жидкости в плоском пограничном слое Марангони с неблагоприятным градиентом температуры, индуцирующим термокапиллярную силу, направленную против основного потока жидкости, с которым сопрягается пограничный слой. Представляется естественным нахождение такого соотношения параметров задачи, при котором свободная граница неподвижна. Тогда, изменяя это сотношение в ту или в другую сторону, можно ожидать как наличия возвратных течений, так и обычных решений с однонаправленной продольной скоростью. Подробно исследованы случаи, когда основной поток имеет постоянную скорость или характеризуется постоянным градиентом давления (случай переменного градиента давления отличается от последнего не принципиально).

В первом случае {U = const) равновесие на свободной поверхности достигается при касательном напряжении, убывающем обратно пропорционально корню квадратному из расстояния вниз по потоку, причем должно быть U = (некоторая постоянная, определяемая по данным здачи). При каждом U > строятся два решения, одно из которых физически нереализуемо, а другое не имеет противотоков. Установленные дополнительные свойства монотонности решений задачи

Коши для уравнения Блазиуса показывают, что при 11 < 11А у рассматриваемой задачи нет автомодельных решений.

Иная ситуация возникает, когда в основном потоке продольный градиент давления равен (отрицательной) постоянной —Р. Здесь также вычисляется значение Р = Ро, при котором на свободной границе наблюдается равновесие. Но здесь решения, имеющие физический смысл, существуют как при Р > Ро, так и при Р < РА. В последнем случае область течения содержит зону противотока, которая захватывает тем большую часть всего пограничного слоя, чем меньше Р.

Рассмотрена ситуация, когда пограничный слой Марангони сопрягается с состоянием покоя. Построено точное решение, удовлетворяющее условиям сопряжения с покоем и наличия некоторого тангенциального напряжения на поверхности. Замечено, что при сопряжении с покоем можно строить решения, имеющие зоны противотока по чисто динамическим причинам, а не в результате конкуренции двух физических факторов, как в рассмотреном выше случае.

Случай постоянных скорости внешнего течения и касательного напряжения характеризуется тем, что при удалении от начала координат вниз по потоку обязательно возникает область возвратных течений. Выведена приближенная формула для расчета длины участка, на котором тормозящая поверхностная сила еще не приводит к нарушению однонаправленности течения.

Область движения может иметь пересекающиеся под некоторым углом твердые стенки и свободные границы, либо твердые стенки могут иметь точки излома. Тогда при решении задачи методом выделения пограничных слоев возникает проблема возможности прохождения пограничного слоя через угловую точку. Выделена асимптотическая (при больших числах Рейнольдса) форма уравнений Навье - Стокса, пригодная для описания течений вблизи угла. Показано, что преобразованием координат полученная система сводится к классическому уравнению Мизеса теории пограничного слоя. Рассмотрены автомодельные решения. Отмечено, что в случае тупых углов имеется более широкие возможности построения решений, имеющих физический смысл.

Во второй главе изучены математические свойства краевых задач теории пограничного слоя в ситуациях, часто возникающих (см. например. [34. 96]) при исследовании задач динамики жидкости метода.ми выделения у границ области движения пограничных слоев, таких как наличие угловых точек, неблагоприятных градиентов давления, развитие слоев из точек торможения. В этих нестандартных для теории пограничного слоя ситуациях возникающие задачи не изучены с достаточной полнотой до настоящего времени.

При течении в угле возможны следующие режимы движения: случай натекания жидкости на твердую стенку со стороны свободной поверхности (переход пограничного слоя Марангони в слой Прандтля), случай обратного направления движения и случай движения жидкости вблизи излома твердой стенки. Поставлены граничные задачи, соответствующие данным ситуациям. Точка контакта при этом соответствует точке смены типа граничного условия для уравнения Мизеса: на участке границы, соответствующему свободной поверхности в физическом пронстранстве задаются условия второго рода, и на участке, соответствующему твердой стенке - первого рода. Эти задачи математически весьма различны и имеют особенности, обусловленные их физическим смыслом: точку разрыва продольного градиента давления, в которой к тому же имеет место остановка внешнего потока. Во всех трех вариантах задачи установлены условия существования обобщенного решения, а в случае перехода слоя Марангони в слой Прандтля найден также класс данных, правда довольно узкий, при которых решение становится классическим. Показана регулярность обобщенных решений всюду в области движения, за исключением, быть может, одной линии. Исследовано асимптотическое поведение решений при удалении от границ.

Рассмотрена классическая задача продолжения пограничного слоя Прандтля в случае возрастания давления вниз по потоку. Известно [50 . что при этом пограничный слой непродолжим дальше точки остановки внешнего потока. Известно также [89], что имеется некоторый класс задаваемых начальных профилей скорости, с которыми решение задачи и Г\ О разрушится, еще не достигнув этой точки. Здесь построен другой класс начальных профилей скорости, с которыми пограничный слой можно продолжить вплоть до точки остановки.

Если распределение температуры вдоль свободной границы имеет максимум, то пограничный слой Марангони развивается из точки остановки. Аналогичная задача для пограничного слоя Прандтля изучена в [51], где продолжимость слоя как угодно далеко вниз по потоку установлена в случае не возрастания давления. Однако в пограничных слоях Марангони это условие не является необходимым.

Получены условия существования "в целом "и единственности классического решения рассматриваемой задачи, если градиент давления отрицателен в точке торможения. При этом во внутренних точках интервала решения (вне некоторой окрестности точки торможения) градиент давления может иметь произвольный знак, а скорость внешнего потока, с которым сопрягается пограничный слой, может равняться нулю на некоторых промежутках интервала решения. В более общем случае, когда градиент давления может быть нулевым в некоторой окрестности точки торможения, установлено существование обобщенного решения этой задачи.

В третьей главе рассмотрено движение жидкой пленки, стекающей с наклоненной к горизонту плоской подложки и подвергаемой местному тепловому воздействию. Задача решается в приближении тонкого слоя. Традиционный подход для описания движения тонких пленок жидкости состоит в упрощении уравнений импульсов и их интегрирования поперек потока, что позволяет свести задачу к одному уравнению для положения свободной поверхности. Б.К.Копбосынов и В.В.Пухначев [26 распространили этот подход на неизотермические пленки с учетом термокапиллярных сил. Однако в проводимых в последнее время (О.А.Кабовым и соавторами [104, 106]) экспериментах по локальным нагревам пленок было установлено появление в жидкости больших (до 15 град/мм) градиентов температуры. Это приводит к значительным (до 50 %) отклонениям от среднего значения динамического коэффициента вязкости. Кроме того, при использовании жидкостей с большими (более 10) значениями числа Прандтля оказывается неоправданным пренебрежение конвективным переносом тепла в пленках по сравнению с кондуктивным, что обычно делается при расчетах в тонких пленках. В итоге оказывается невозможно точно проинтегрировать уравнения импульсов и теплопереноса поперек потока.

Здесь построена математическая модель движения пленки, сводящая задачу к решению системы трех уравнений для определения давления, толщины и температуры (все остальные величины рассчитываются через них по явным формулам), причем две первые переменные не зависят от поперечной координаты. Разработан эффективный итерационный алгоритм численного решения, основанный на сходстве уравнений для плановых переменных (давление и толщина) с системой уравнений Навье-Стокса в переменных вязкость-функция тока. Проведены серии расчетов, в которых в которых варьировались управляющие параметры процесса. Исследованы особенности полей скорости и температуры, формы возникающих на поверхности пленки структур.

В случае плоскопараллельных течений при слабых тепловых воздействиях построены точные решения задачи, удовлетворяющие условиям затухания при удалении от места нагрева. Здесь же рассмотрены движения пленки под воздействием спутного потока маловязкого газа. Проведенный асимптотический анализ такого совместного движения показал, что даже при исчезающе малых значениях динамического коэффициента вязкости может оказывать воздействие, соизмеримое с действием других факторов, таких как термокапиллярный эффект, и может быть причиной движения пленки. Изучено влияние на возникающие поверхностные структуры теплового режима на подложке и на свободной поверхности. в четвертой главе рассмотрена задача о массообмене и свободной конвекции вблизи вертикальной стенки при больших числах Шмидта. Проведен сравнительный анализ интегральных характеристик течения для моделей Обербека — Буссинеска и микроконвекции. Для обеих моделей выведены асимптотические формы задач в установившемся режиме движения и на малых временах от начала процесса. В области движения выделяется диффузионно-динамический слой, в котором существенны вязкие силы и силы плавучести, а динамические силы пренебрежимо малы. Вне этого слоя концентрация примеси неотличима от средней.

Структура поля скоростей во всей области движения зависит от числа Рейнольдса Ке. Если Ке велико, то в области движения выделяется еще один чисто динамический пограничный слой с большей асимтотической толщиной, сопрягающийся на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем, а на внешней — с состоянием покоя. Если Ке мало, то вне диффузионного слоя можно использовать приближение Стокса.

Для обоих способов описания конвекции получены формулы для чисел Нуссельта в зависимости от чисел Рейнольдса, Шмидта и параметра Буссинеска в режиме установления. В случае конвекции эти формулы совпадают с известными, полученными ранее [98] в предположении об интенсивном движении с большими значениями Ке. Проведено исследование массообмена на вертикальной подложке на малых временах от начала процесса. Получены формулы (в случаях конвекции и микроконвекции) для чисел Нуссельта. Обнаружено, что поток массы имеет степенную особенность по времени.

Основные результаты, полученные в диссертации.

1. Найдены новые автомодельные режимы течений жидкости в пограничных слоях Марангони. Построены примеры точных решений. Получена формула для расчета длины участка, на котором поток вблизи свободной границы при действуюш,ем вдоль неё тормозящем напряжении сохраняет однонаправленность. Установлены дополнительные свойства решений задачи Коши для уравнения Блазиуса.

2. При больших числах Рейнольдса выделена асимтотическая форма уравнений Навье-Стокса для описания движения вблизи угловой точки, являющаяся аналогом системы уравнений Прандтля. Проведен анализ и Г> О автомодельных режимов течений. Замечено, что случай тупого угла дает значительно более широкие возможности построения решений с понятным физическим смыслом.

3. Изучены математические задачи для пограничных слоев вблизи угловой точки. Рассмотрены три варианта движения: а) жидкость натекает на твердую стенку со стороны свободной поверхности (переход пограничного слоя Марангони в слой Прандтля), б) направление движения противоположное (переход пограничного слоя Прандтля в слой Марангони), в) переход пограничного слоя Прандтля через точку излома твердой границы. Для всех трех случаев установлены условия существования обобщенных решений соответствующих краевых задач, исследованы свойства решений. Для задачи перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля найдены условия, при которых решение становится классическим.

4. Исследованы граничные задачи для пограничных слоев Прандтля и Марангони в нестандартных ситуациях. Найден класс начальных

1 и и и и "1—г профилей продольной скорости, с которыми пограничный слой Прандтля может быть продолжен вплоть до точки остановки внешнего потока. В случае развития слоя Марангони из точки торможения установлены условия существования и единственности классического решения, а в более общем случае - существования обобщенного решения.

5. Построена математическая модель движения жидких пленок по плоским подложкам в случае непостоянной вязкости и порядковом равенстве конвективной и кондуктивной составляющих теплопереноса. При этом уравнения движения и переноса тепла не могут быть проинтегрированы поперек потока, как это обычно делается в теории пленочных движений. Жидкость может приводится в движение как тяготением, так и тангенциальными поверхностными силами. Изучены особенности возникающих под действием локального нагрева на поверхности пленки структур, а также полей температуры и скорости как . при плоскопаралельных, так и при трехмерных течениях.

6. При больших числах Шмидта выведены уравнения особого диффузионно-динамического пограничного слоя вблизи вертикальной твердой стенки. Рассмотрены случаи конвекции, описываемой классической системой Обербека-Буссинеска и также микроконвекции, модель движения для которой разработана в работах В.В.Пухначева [61 и Р.З.Регега, К.Р.Зекегка [124]. Эта модель замещает классическую при пониженном тяготении и в случаях микромасштабов. В обеих случаях выведены формулы для расчета интенсивности массобмена при установившихся течениях и на малых временах от начала процесса.

Данный подход применим также при изучении тепловых конвекции и микроконвекции с большими числами Прандтля.

Достоверность результатов исследований подтверждается точностью применяемых методов, широким сравнением аналитических формул и данных численных расчетов, полученных автором, с данными других авторов, полученных путем экспериментов, численных и аналитических расчетов.

Исследования, проводимые автором по теме диссертации, в разные годы поддерживались Российским фондом фундаментальных исследований. Международным научным фондом, Комплексными интеграционными проектами СО РАН.

В заключении выражаю глубокую благодарность Владиславу Васильевичу Пухначеву за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов.

Основные результаты, полученные в диссертации.

1. Найдены новые автомодельные режимы течений жидкости в пограничных слоях Марангони. Построены примеры точных решений. Получена формула для расчета длины участка, на котором поток вблизи свободной границы при действующем вдоль неё тормозящем напряжении сохраняет однонаправленность. Установлены дополнительные свойства решений задачи Коши для уравнения Блазиуса.

2. При больших числах Рейнольдса выделена асимтотическая форма уравнений Навье-Стокса для описания движения вблизи угловой точки, являющаяся аналогом системы уравнений Прандтля. Проведен анализ

V-/ П с» автомодельных режимов течений. Замечено, что случай тупого угла дает значительно более широкие возможности построения решений с понятным физическим смыслом.

3. Изучены математические задачи для пограничных слоев вблизи угловой точки. Рассмотрены три варианта движения: а) жидкость натекает на твердую стенку со стороны свободной поверхности (переход пограничного слоя Марангони в слой Прандтля), б) направление движения противоположное (переход пограничного слоя Прандтля в слой Марангони), в) переход пограничного слоя Прандтля через точку излома твердой границы. Для всех трех случаев установлены условия существования обобщенных решений соответствующих краевых задач, исследованы свойства решений. Для задачи перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля найдены условия, при которых решение становится классическим.

4. Исследованы граничные задачи для пограничных ачоев Прандтля и Марангони в нестандартных ситуациях. Найден класс начальных

1 и и и и "1—г профилей продольной скорости, с которыми пограничный слой Прандтля может быть продолжен вплоть до точки остановки внешнего потока. В случае развития слоя Марангони из точки торможения установлены условия существования и единственности классического решения, а в более общем случае - существования обобщенного решения.

5. Построена математическая модель движения жидких пленок по плоским подложкам в случае непостоянной вязкости и порядковом равенстве конвективной и кондуктивной составляющих теплопереноса. При этом уравнения движения и переноса тепла не могут быть проинтегрированы поперек потока, как это обычно делается в теории пленочных движений. Жидкость может приводится в движение как тяготением, так и тангенциальными поверхностными силами. Изучены особенности возникающих под действием локального нагрева на поверхности пленки структур, а также полей температуры и скорости как при плоскопаралельных, так и при трехмерных течениях.

6. При больших числах Шмидта выведены уравнения особого диффузионно-динамического пограничного слоя вблизи вертикальной твердой стенки. Рассмотрены случаи конвекции, описываемой классической системой Обербека-Буссинеска и также моделью микроконвекции, замещающей в случае пониженного тяготения или в микромасштабах классическую модель. В обеих случаях выведены формулы для расчета интенсивности массобмена при установившихся течениях и на малых временах от начала процесса. Данный подход применим также при изучении тепловых конвекции и микроконвекции с большими числами Прандтля.

Полученные результаты, связанные с исследованием термокапиллярных течений жидкости при малых диссипативных коэффициентах, с развитием математических методов в теории пограничного слоя, с выводом асимптотических форм уравнений гидродинамики, с деформированием координат, с разработкой численных алгоритмов решений задач гидродинамики имеют весьма общий характер и широкий диапозон применения в космических технологиях и различных прикладных вопросах. Эти результаты уже нашли свое отражение и развитие в ряде статей, обзоров, монографий. По материалам исследований прочитаны спецкурсы по движению жидкостей в слабых силовых полях, по теории пограничного слоя, выполнены курсовые и дипломные работы, магистерские диссертации.

В 1993-2000 г.г. работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований. Международного научного фонда, программой Комплексных интеграционных проектов СО РАН.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований решена крупная проблема механики жидкостей и газа: математическое моделирование движения жидкости в пограничных и тонких слоях под воздействием термокапиллярных сил. имеющая важное научное и техническое значение.

Открыто новое направление в теории пограничного слоя: прохождение пограничного слоя через угловые точки границы, являющиеся либо точками контакта трех фаз, либо точками излома твердой стенки.

1. Авдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д. и др. Проблемы космического производства. М.: "Машиностроение". 1980. С. 222.

2. Андреев В.К., Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений термокапиллярного движения // В сб.: Численные методы механики сплошной среды. 1983. Т. 14. Ш 5. С. 3-23.

3. Батищев В.А. Асимптотический анализ пограничных слоев и поверхностей "слабого"разрыва в жидкости малой вязкости // Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. Ростов-на-Дону 1977. С. 142.

4. Батищев В.А. Пограничный слой на свободной поверхности, вызванный касательными напряжениями // Известия СевероКавказского Науч. Центра Высшей Школы. 1985. № 1. С. 23-25.

5. Батищев В.А. Асимптотика неравномерно нагретой свободной границы капиллярной жидкости при больших числах Марангони // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53. Вып. 3. С. 425-432.

6. Батищев В.А. Автомодельные рещения, описывающие термокапиллярные течения в пограничных и тонких слоях // Прикладная математика и механика. 19,91.Т>55. Вып. 3. С. 389-395.

7. Белова И.В., Кузнецов В.В. Расчет концентрации примеси при направленной кристаллизации в отсутствие' силы тяжести // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып. 63. С. 107-111.

8. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Журнал прикл. мех. и технич. физики. 1966. ДЛ 3. С. 69-72.

9. Буковошин В.Г., Таганов Г.И. Ламинарный пограничный слой смешения на границе двух потоков при наличии продольного градиента давления // прикладная математика и механика. 1974. Т. 38. т 6. с. 1133-1136.

10. Введенская Н.Д. О решении уравнений пограничного слоя в окрестности критической точки / ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. С. 304312.

11. И. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение ии и и 1 1 ипограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12. № 5(77). С. 3-122.

12. Воинов О.В., Петров А.Г. О течениях с замкнутыми линиями тока и движении капель при больших числах Рейнольдса // Известия АН СССР. Механика жидкостей и газа. 1987. Т. 5. С. 61-70.

13. Волков СВ., Петров А.Г. Движение пузырей в жидкости // Итого ВИНИТИ. Механика жидкости и газа. 1976. Т. 10.

14. Гебхарт В., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Книга 1. М.: "Мир". 1991. С. 678.

15. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Книга 2. М.: "Мир". 1991. С. 528.

16. Гончарова О. Н. Микроконвекция в слабых силовых полях. Сравнение двух моделей при численном исследовании // Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38. ДА 2. С. 58-63.

17. Гончарова О. Н. Численное исследование микроконвекции в областях со свободными границами //' Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38. Яа 3. С. 64-68.

18. Гупало Ю.П., Рязанцев Ю.С. О термокапиллярном движении жидкости со свободной поверхностью при нелинейной зависимости поверхностного натяжения от температуры // Известия АН СССР. Механика жидкостей и газа. 1988. № 5. С. 132-137.

19. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен / Пер. с англ. СЛ. Вишневецкого; Под ред. В.И. Полежаева. М.: "Мир". 1983.

20. Джураев Т.Д. О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя // Известия АН Уз. ССЗР. Серия физ. мат. 1967. № 6. С. 11-15.

21. Джураев Т.Д. О системе уравнений теории пограничного слоя для стационарного течения несжимаемой жидкости // А Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 11. С. 2068-2083.

22. Джураев Т.Д. Об однозначной разрешимости основной краевой задачи теории температурного пограничного слоя // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38. № 1.0. 170-175.

23. Ильин А. М., Калашников А. С, Олейник О. А. Линейные уравнения втрого порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. вып. 3. С. 3-146.

24. Кабов O.A. Формирование регулярных структур в стекающей пленке жидкости при локальном нагреве // Теплофизика и Аэромеханика. 1998. Т. 5. № 4. С. 597-602.

25. Кабов O.A., Кузнецов В.В., Марчук И.В., Пухначев В.В., Чиннов Е.А. Регулярные структуры при термокапиллярной конвекции в движущемся тонком слое жидкости // Поверхность, рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. 2001. KA 5. С. 84-90.

26. Копбосьшов Б.К., Пухначев В.В., Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // В сб.: Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск. 1983. С. 116-125

27. Кочин И.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть II. М.: ГИТТЛ. 1948.

28. Кружков СИ. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1979. Вып. 5. С. 217-272.

29. Кузнецов В.В. Термокапиллярная конвекция в ампуле в условиях невесомости. Деп. в ВИНИТИ }fA 4623-83Деп. 1983. С. 8.

30. Кузнецов В.В. Расчет течений расплава в ампуле // Журнал прикл. мех. и технич. физики. 1984. № 2. С. 105-110.

31. Кузнецов В.В. О существовании пограничного слоя вблизи свободной поверхности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 67. С. 68-75.

32. Кузнецов В.В. Особые случаи задачи продолжения пограничного слоя // Записки науч. семин. ЛОМИ. 1984. Т. 138. С. 86-89.

33. Кузнецов В.В. Пограничные слои Марангони // Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. Новосибирск. 1985. С. 87.

34. Кузнецов В.В. Расчет полей скорости и концентрации в расплаве при получении кристаллов методом бестигельной зонной плавки // В сб.: Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. Новосибирск, 1987. С. 91-97.

35. Кузнецов В. В. Об условиях разрешимости краевой задачи для пограничного слоя Прандтля // Сиб. мат. журнал. 1994. Т. 35.3. С. 624-629.

36. Кузнецов В.В. О разрешимости задачи продолжения пограничного слоя Прандтля при произвольном распределении в потоке гидродинамического давления // Деп. в ВИНИТИ № 2260-В95. 1995. С. 12.

37. Кузнецов В.В. О развитии пограничного слоя Марангони из точки торможения // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 6. С. 820 826.

38. Кузнецов B.B. Течения с пограничными слоями в областях, имеющих свободные границы // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N 4. С. 69-80.

39. Кузнецов В.В., Фроловская O.A. Пограничные слои при свободной конвекции // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41. № 3. С. 92-100.

40. Кузнецов В.В. О существовании пограничного слоя вблизи точки трехфазного контакта // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41. № 3. С. 635647.

41. Кузнецов В.В. О задаче продолжения пограничного слоя Прандтля

42. Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 7. С. 898-902.

43. Кузнецов В.В. О задаче перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41. № 4. С. 822-838.

44. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: "Наука" 1967.

45. Мартыненко О.Г., Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Асимтотический методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск. "Наука и техника". 1979. С. 168.

46. Мартыненко О.Г., Соковип1ин Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен на вертикальной поверхности. Минск. "Наука и техника". 1977. С. 216.

47. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. С. 536.

48. Олейник O.A., Венцель Т.Д. Задача Коши и первая краевая задача для квазилинейного параболического уравнения // Доклады АН СССР. 1954. Т. 97. № 4. С. 605-608.

49. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации / / Известия академии наук. Серия математическая. 1958. Т. 22. № 5. С. 667-704.

50. Олейник O.A., Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменны.ми

51. Успехи математических наук. 1961. Т. 16. JYA 5. С. 116-155.

52. Олейник O.A. О системе уравнений теории пограничного слоя // ЖВМ и МФ. Т. 3. 1963. С. 489-507.

53. Олейник O.A. О решении системы уравнений Прандтля методом конечных разностей // Прикл. мат. и мех. 1967. Т. 32. С. 90-100.

54. Олейник O.A. Обобщенные решения в смысле С.Л.Соболева для системы уравнений пограничного слоя // Дифференц. уравнения с частными производными: Тр. симп., посвященного бО-летию акад. С.Л.Соболева. М.: "Наука". 1970. С. 177-190.

55. Олейник O.A., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. Наука. Физматлит, 1997. С. 512.

56. Петров А.Г. Нестационарный пограничный слой на сферическом пузыре // Вестник Московского ун-та. Математика, механика. 1971. № 1. С. 69-76.

57. Пискунов Н.С. Интегрирование уравнений теории пограничного слоя

58. Известия АН СССР. Сер. математическая. 1943. Т. 7. С. 35-46.

59. Потетюнко Э.Н. Срубщик Л.С. Асимптотический анализ волновых движений вязкой жидкости со свободной границей // 1970. Т. 34.5. С. 891-910.

60. Пухначев В.В. Групповой анализ уравнений нестационарного пограничного слоя Марангони // Доклады АН СССР. 1984. Т. 279. № 5. С. 1061-1064.

61. Пухначев В.В. Проявление аномального термокапиллярного эффекта в тонком слое жидкости // В сб.: Гидродинамика и теплообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск. Изд. ИТ СО АН СССР. 1985. С. 119-127.

62. Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Учебное пособие. Новисибирск. Изд-во НГУ. 1989. С. 105.

63. Пухначев В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. Т. 6. № 4. С. 47-56.

64. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: "Мир". 1980. С. 616.

65. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: "Наука". 1971. С. 552.

66. Самохин В.Н. Об образовании плоскопараллельного симметрического пограничного слоя при внезапном возникновении движения // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. № 3. С. 471-474.

67. Самохин В.Н. О системе уравнений пограничного слоя неньютоновских жидкостей // Вестник МГУ. Сер. мат., мех. 1974. ХЛ 2. С. 46-51.

68. Самохин В.Н. О ламинарном слое смешения на границе двух потоков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. 4. С. 614-617.

69. Самохин В.Н. О системе уравнений пограничного слоя проводящей псевдопластической жидкости в магнитном поле // Гидродинамика. 1988. Вып. 58. С. 31-33.

70. Самохин В.Н. Q слое смешения на границе двух потоков жидкости с различными свойствами // Сиб. мат. журнал. 1989. Т. 30. № 2. С. 161-166.

71. Самохин В.Н. О системе уравнений ламинарного пограничного слоя при вдуве неньютоновской жидкости // Сиб. мат. журнал. 1993. Т. 34. № 1. С. 157-168.

72. Саночкин Ю.В. Установившееся термокапиллярное движение в горизонтальном слое жидкого металла, локально нагреваемом сверху

73. Известия АН СССР. Механика жидкостей и газа. 1984. № 6. С. 146-152.

74. Саночкин Ю.В. Некоторые задачи о термокапиллярном движении жидкости // Журнал прикл. мех. и технич. физики. 1989. № 5. С. 83-89.

75. Силаев Д.А. Периодические по времени решения системы уравнений пограничного слоя // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. № 3. С. 460-470

76. Силаев Д.А. Продолжение Т-периодического пограничного слоя Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. КЛ 3. С. 215-216.

77. Силаев Д.А. Построение решения нестационарной системы Прандтля методом прямых // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28. № 2. С. 243-244.

78. Силаев Д.А. Асимптотическое интегрирование системы уравнений пограничного слоя методом усреднения // Доклады АН СССР. 1973. Т. 213. № 1. С. 63-66.

79. Соколова Е.Г. О построении решения нестационарной системы уравнений Прандля методом конечных разностей // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. ДЛ 3. С. 227-228.

80. Соколова Е.Г. О гладкости решений системы уравнений пограничного слоя // Успехи мат. наук. 1975. Т. 30. ]ул 3. С. 173-174.

81. Соколова Е.Г. Применение метода конечных разностей к решению задачи о продолжении пограничного слоя // Литов. мат. сборник. 1975. Т. 15. № 3. С. 219-222.

82. Срубщик Л.С, Юдович В.И. Асимптотика слабых разрывов течений жидкости при исчезающей вязкости // Доклады АН СССР. Т. 199. № 3. С. 563-566.

83. Стулов В.П. Пограничные слои в химически реагирующих и излучающих средах // Аэромеханика и газовая динамика. М.: "Наука". 1976. С. 150-159.

84. Суслов А.И. Об отрыве пограничного слоя при вдуве // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38. № 1. С. 166-169.

85. Суслов А.И. О системе уравнений Прандтля для пограничного слоя с поверхностью разрыва / /Тр. сем. им. Петровского. 1976. № 2. С. 243-259.

86. Таблицы физических величин. / Под ред. Кикоина И.К. М.: "Атомиздат". 1976. С. 10006.

87. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том I. М.: "Мир". 1991.

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

89. Хуснутдинова Н.В. Краевая задача для системы уравнений температурного пограничного слоя // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. 1. С. 64-67.

90. Хуснутдинова Н.В. О продолжении пограничного слоя за точку с нулевым напряжением трения на стенке // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1978. Вып. 33. С. 147-159.

91. Хуснутдинова Н.В. Об условиях супдествования безотрывного пограничного слоя при возрастаюш;ем давлении // Доклады АН СССР. 1980. Т. 253. № 5. С. 1095-1099.

92. Хуснутдинова Н.В. Отрывные течения в пограничном слое // Доклады академии наук. 1998. Т. 359. № 3. С. 334 336.

93. Черноусько Ф.Л. Движение тонкого слоя жидкости под действием силы тяжести и поверхностного натяжения // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. .)\л 5. С. 856-862.

94. Черноусько Ф.Л. Задача о равновесии жидкости, подверженной действию сил тяжести и поверхностного натяжения // В сб.; Введение в динамику тела с жидкостью в условиях невесомости. М. Изд. ВЦ АН СССР. 1968. С. 69-97.

95. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории пограничного слоя. М.: "Наука". 1981. С. 366.

96. Шкадов В.Я. К образованию волн на поверхности вязкой тяжелой жидкости под действием касательного напряжения // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1970. № 3. С. 133-137.

97. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. Г.А. Вольперта с 5-го нем. изд., испр. по 6-му (амер.) изд. Под ред. Л.Т Лойцянского. М.: "Наука". 1974. С. 711.

98. Alekseenko S.V., Nakorrykov V.Ye., Pokusaev E.G. Wave formation on a vertical falling liquid film // AIChE. J. Vol. 31. P. 1446-1460.

99. Batishchev V. A., Kuznetsov V. V., Pukhnachov V. V. Marangoni boundary layers // Prog. Aerospace Sci. 1989. V. 26. P. 353-370.

100. Cowlew S.I., Davis S.H. Viscows thermocapillary convection at hight Marangoni number /' J. Fluid Mech. 1983. V.135. P. 175-188.

101. Le Fevre E.J. Laminar free convection from a vertical plane surface. Mech. Eng. Res. Lab. Heat 113 (Gt. Britian). 1956.

102. Fife P.O. Consideration regarding the mathematical basis for Prandtl's boundary layer theoty // Archiv for Rat. Mech. and Anal. 1968. V. 28. Ш 3. P. 184 216.

103. Geshev P.L., Lapin A.M., Tsvelodub O.Yu. Heat and mass transfer in a wavy flowing down Hquid film // Russian Journal of Engineering Ther-mophysics. 1995. Vol. 5. № 2. P. 107-124.

104. Joo S.W., Davis S.H., Bankoff. Long-wave instabilities of heated films: two dimmentional theory of uniform layers / / J . Fluid Mech. Vol. 242. P. 529-549.

105. Kabov O.A., Marchuk I.V. and Chupin V.M. Thermal Imaging Study of the Liquid Film Flowing on Vertical Surface with Local Heat Source// Russian Journal of Engineering Thermophysics. 1996. V. 6. JV^ 2. P. 104138.

106. Kabov O.A., Chinnov E.A. Hydrodynamics and heat transfer in evaporating thin liquid layer flowing on surface with local heat sourse // Heat Transfer. Proc. 11th. Intern. Heat Transfer Conf. Vol. 2, Kyongju, Korea. 1998. P. 273-278.

107. Kabov O.A., Marchuk I.V., Muzikantov A.V., Legros J.C., Istasse E., Devandel J.L. Gegular structures in lokally heated liquid falling films // Proc. 2nd Int. Symp. on Two-Phase Flows Modelling and Experimentation. Pisa. 1999. Vol. 2. P. 1225-1233.

108. Kuznetsov V. V. Dynamics of locally heated liquid films //Russian Journal Engineering Thermophysics. 2000. Vol. 10. № 2. P. 107-120.

109. Moore D.M. The boundary layer on a sperical gas bubble // J. Fluid Mech. 1963. V. 16. P. 161-170.

110. Na T.Y. Computational methods in engineering boundary layer problems. New York. Academ Press. 1979. P. 294.

111. Napolitano L.G. Thermodynamics and Dynamics of Pure Interfaces // Acta Astronaut. 1978. V. 5. P. 655-670.

112. Napolitano L.G. Thermodynamics and Dynamics of Surface Phases // Acta Astronaut. 1979. V. 6. № 5-6. P. 1093-1112.

113. Napohtano L.G. Marangoni boundary layers // Proc. 3rd European Symp. on Material Sciences in Space. Grenoble, 1979. P. 349-358.

114. Napohtano L. G., Goha C. Similar solution of Marangoni boundary layers

115. Proc. 3rd Levich Conf., Madrid. 1980. V. 3F, P. 71-86.

116. Napohtano L.G., Golia C. Coupled Marangoni boundary layers // Acta Astronaut. 1981. V. 8, № 5-6. P. 417-434.

117. Napohtano L.G., Russo G. Similar axially simmetric Marangoni boundary layers // Acta Astronaut. 1984. V. 11, № 3-4. P. 189-198.

118. Nickel K. Einige Eigenschafte von Lösungen der Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen // Archiv for Rat. Mech. and Anal. 1958. V. 2. jyA 1. P. 1-31.

119. Nickel K. Ein Eindeutigkeitssatz für instationäre Grenzschichten // Mat. Ztschr. 1958. J\A 72. P. 209-220.

120. Nickel K. Ein Eindeutigkeitssatz für instationäre Grenzschichten // Mat. Ztschr. 1964. K'- 83. P. 1-7.

121. Oron A., Rosenau P. Formation of patterns indused by thermocapillary and gravity // J. Phys (France) II. 1992. Vol. 2. P. 131-146.

122. Oron A., Davis S.H., Bankoff S.G. Long-Scale Evolution of Thin Liquid Films // Reviews of Modern Physics. 1997. V. 69. No. 3. P. 931-980.

123. Perora P. S., Sekerka R. F. Non-solenoidal flows in a liquid diffusion couple // Phys. Fluids. 1997. V. 9. P. 376-391.

124. Pukhnachov V.V. Boundary layers near free surfaces // Computationap and asymptotic methods for boundary and interior layers. Dublin: Bool press. 1982. P. 97-110.

125. Pukhnachov V.V. The models of thermocapillary motion // Control and Cybernetics. 1985. Vol. 14. № 1-3. P. 145-159.

126. Pukhnachov V.V. Thermocapillary convection under law gravity // Fluid Dynamics Transaction. Warshawa. 1989. V. 14. P. 145-204.

127. Rosenblat S., Davis S.H., Homsy G.M. Nonlinear Marangoni convection in boundary layers. Part 1: Circular cylindrical containers / / J . Fluid Mech. 1982. V. 120. P. 91-122.

128. Roy S. A note on natural convection at high Prandtl number // Intern. J. Heat Mass Transfer. 1969. V. 12. P. 239-241.

129. Skriven L.E., Sterling C.V. The Marangoni effects // Nature. 1960. Vol. 187. P. 186-188.

130. Selman J.R., Newman J. High Sc limit of free convection at a vertical plate with uniform flux condition // Trans. ASME, Ser. C. J. Heat Transfer. 1971. V. 93. P. 465-466.

131. Sharma A., Ruckenstein E. Dynamics and life-times of thin evaporating liquid films: some non-linear effects // Phys. Chem. Hydrodynamics. V. 10. P. 675-691.

132. Smith M.K. Thermocapillary and centrifugal-buoyancy-driven motion in a rapid rotating liquid cyhnder // J. Fluid Mech. V. 166. P. 245-264.

133. Walter W. Existence and convergence theorems for the boundary layer equations based on the line method // Archiv for Rat. Mech. and Anal. 1970. V. 39. jVA 3. P. 169 188.

134. Walter W. On the asymptotic behavior of solutions of the Prandtl boundary layer equations // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 20. JVA 2. P. 829841.

135. Zebib A., Homsy G. M., Meiburg E. High Marangoni number convection in a square cavity // Phys. Fluids. 1985. V. 28. P. 3467-3476.