Термокапиллярная неустойчивость слоя жидкости с твердыми элементами на свободной поверхности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Линейная устойчивость равновесия периодически закрытого слоя жидкости

1.1. Основное состояние и уравнения для малых возмущений

1.2. Периодические возмущения

1.3. Форма нейтральной поверхности

1.4. Анализ плоских возмущений

Глава II. Численное исследование надкритических движений в периодически закрытом слое

2.1. Постановка конечноамплитудной задачи

2.2. Описание численной процедуры

2.3. Результаты численного анализа

Глава III. Конвекция Марангони при слабом нарушении однородности теплопотока

3.1. Постановка задачи и описание вычислительной процедуры

3.2. Обсуждение результатов

3.3. Исследование конвекции Марангони в слое с неоднородной верхней границей методом конечных разностей

3.4. Результаты численного анализа

Конвекция в системах со свободными поверхностями подвергалась многочисленным исследованиям ввиду своей практической значимости. В качестве объекта исследования, в основном, выбираются системы со свойствами, однородно распределенными в пространстве. Однако необходимо помнить о том, что подобные модели не всегда являются хорошим приближением действительности. В реальности можно встретить системы, в которых жидкость соприкасается с твердыми элементами конструкций не на всей свободной поверхности, а лишь на отдельных ее участках. Такие чередующиеся твердые и жидкие участки поверхности образуют пространственно-неоднородную границу. Наконец, свободная поверхность жидкости может содержать твердые включения (загрязнения), существенно меняющие качество поверхности. В присутствии подобного рода дефектов модель с однородно распределенными свойствами границы будет не очень точно описывать техническую проблему, и для ряда задач может потребоваться модель, учитывающая влияние пространственных неодно-родностей.

Особой для конвекции является ситуация, когда выполняются условия микрогравитации и силой тяжести можно пренебречь. Если при этом исключить действие вибраций, то основную роль в процессах тепломассо-переноса начинает выполнять конвекция Марангони. Вызывающие движение термокапиллярные силы определяются зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры и, следовательно, очень чувствительны к качеству свободной поверхности и ее свойствам.

Предлагаемая работа проводилась с целью выяснения влияния, оказываемого пространственно-неоднородными граничными условиями на конвекцию Марангони в плоском слое жидкости. Рассматривались модели, в которых неоднородными вдоль границы слоя предполагались касательные напряжения и тепловой поток.

Начало теоретическим исследованиям термокапиллярной неустойчивости механического равновесия неизотермической жидкости было положено работой Пирсона [1]. В ней изучалось равновесие плоского слоя жидкости со свободной границей, подогреваемого со стороны нижней твердой границы. На основе анализа линеаризованных уравнений конвекции было показано, что слой теряет устойчивость относительно монотонно нарастающих возмущений, длина волны которых равна тс. В полученной краевой задаче фигурирует квадрат волнового числа, по этой причине существует вырождение формы возмущения, относительно которого нарушается равновесие слоя. Анализ показал, что неустойчивость наступает при числе Марангони примерно равном восьмидесяти.

Дальнейшее изучение термокапиллярной неустойчивости плоского слоя неравномерно разогретой жидкости с постоянным поперечным градиентом температуры проводилось в ряде работ [2-14]. В [2] рассматривается влияние двух механизмов: термокапиллярного и термогравитационного на порог устойчивости жидкости в плоском слое. В, работе [3] исследована монотонная неустойчивость жидкого слоя с двумя свободными границами. Показано, что наличие второй свободной границы приводит к повышению порога неустойчивости системы. Это результат того, что пир-соновский механизм неустойчивости, существующий на поверхности, с которой осуществляется подогрев, препятствует возникающему движению.

В приведенных выше случаях границы слоя предполагались плоскими, и устойчивость нарушалась относительно монотонных возмущений. Строгое доказательство принципа монотонности возмущений неизвестно, однако, неизвестны и работы, в которых сообщалось бы о существовании колебаний в однослойной системе с плоской границей. Учет деформации границ свободной поверхности приводит к возникновению в системе колебательных возмущений. Исследование влияния деформируемости границ на термокапиллярную неустойчивость подогреваемого снизу слоя жидкости проведено в работах [4-8].

Еще один механизм термокапиллярной неустойчивости описан в работе [9]. Он связан с возникновением в слое жидкости, подогреваемом снизу, участков различной толщины. В результате высокий участок рельефа поверхности оказывается более холодным по сравнению с участком, лежащим ниже, и под действием термокапиллярных сил жидкость течет в сторону от горячего пятна поверхности к более высокой ее точке, поддерживая рельеф. Влияние тепловыделяющей перегородки на- термокапиллярную неустойчивость равновесия плоского слоя рассматривалось работах [10,11]. Различные механизмы термокапиллярной неустойчивости на примере жидкой пленки с поперечным градиентом температуры подробно обсуждается в [12]. Обзоры, связанные с проблемой неустойчивости Ма-рангонИрдаются в статьях [13,14].

Численное исследование конвекции Марангони, основанное на решении полных нелинейных уравнений методами конечных разностей, проводилось в работах [15 - 17]. В них изучались конвективные режимы, возникающие в прямоугольных областях (задачи решались в плоской постановке). В работе [15] исследуется термокапиллярная конвекция в открытой прямоугольной кювете (рассмотрены случаи, когда отношение длины к толщине равно 4, 12.5, 25), боковые стенки которой поддерживаются при различных температурах. Кроме того, прослеживается образование многовихревых структур возникающее с увеличением числа Марангони.

Работы [16,17] посвящены численному исследованию термокапиллярной неустойчивости жидкости находящейся в прямоугольной кювете. В [16] рассматривается конвекция Марангони в контейнере, подогреваемом со стороны верхней границы (используется аномальный коэффициент поверхностного натяжения), боковые стенки теплоизолированы. Исследуется влияние эффекта Соре на структуру течений в случае, когда жидкость представляет собой не реагирующую двухкомпонентную (бинарную) смесь.

Проблема влияния, оказываемого граничными условиями на боковых поверхностях, на структуру термокапиллярных и гравитационных течений обсуждается в работе [17]. Подогрев кюветы осуществляется со стороны нижней границы. В работе анализируются ситуации, в которых для жидкости на вертикальных границах выполняются условия прилипания и проскальзывания. Для этих двух случаев граничных условий рассматривается ветвление решения, происходящее при увеличении числа Марангони. Показано, что для случая квадратной полости первым "мягко" возникает одновихревой режим, у которого в ходе нелинейной эволюции рядом появляется маленький согласованно вращающийся вихрь. С увеличением числа Марангони интенсивность обоих вихрей выравнивается. Таким образом, происходит плавная эволюция одновихревого конвективного режима в двухвихревой. Исследования также проводились для областей, имеющих различные отношения длины к толщине канала.

Воздействие радиационного теплообмена со свободной границы на термокапиллярную конвекцию в квадратной каверне обсуждается в работе [18].

Существует достаточное количество работ, посвященных влиянию пространственно-модулированных граничных условий на изотермические течения. К исследованиям по этой тематике можно отнести работу [19], в которой рассматривается устойчивость течений вдоль волнистой поверхности. Скорость предполагается периодически зависящей от пространственной координаты, направленной вдоль течения. Расчет устойчивости проводится для случая, когда распределение скорости представляет собой решение уравнений пограничного слоя, возмущения предполагаются двумерными, жидкость - вязкой и несжимаемой. Показано, что в присутствии волнистости границы критическое число Рейнольдса понижается. В работе

20] исследуется устойчивость стационарных пространственно-периодических движений в плоском вертикальном слое при наличии бокового подогрева. В результате определены области устойчивости вторичных периодических движений и основные типы возмущений, вызывающие неустойчивость. В обеих работах для возмущений в пространственно-периодических движениях используется специальный вид решения. По аналогии с методом Флоке для обыкновенных дифференциальных уравнений решение ищется в виде

Ч>(х,у) = еи>хФ(х,у).

Здесь q - действительное число, определяющее период возмущения, а - периодическая функция координаты х, период которой 2я/к. В теории твердого тела эти функции известны под названием функций Блоха

21].

Работы [22,23] посвящены исследованию воздействия, оказываемого периодическими граничными условиями, на протекание гравитационной конвекции в вертикальных каналах. Анализ конвективных режимов проводится на основе решений нелинейных уравнений методом конечных разностей. В работе [22] исследуются конвективные движения в вертикальном слое с гармонически искривленными границами, которые поддерживаются при разных температурах. Изучение конвективных режимов в плоском вертикальном слое, температура границ которого гармонически менялась вдоль слоя, описано в работе [23]. В обоих случаях получены конвективные структуры, пространственный период которых кратен периоду граничных условий. Причем, в случае модуляции температуры в вертикальном слое удалось получить конвективные ячейки, все изолинии которых замыкаются сами на себя, и нет сквозного движения вдоль всего слоя. Отмечено, что в количественном отношении искривление стенок оказывает значительно более сильное влияние на конвекцию в слое, чем модуляция температуры.

В работе [24] рассматривается конвекция в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, при наличии малых пространственно-периодических возмущений температуры на границах. В данной системе равновесие нарушается уже при сколь угодно малых подогревах снизу. Вблизи порога устойчивости равновесия интенсивность основного пространственно-периодического движения с периодом внешней гармоники резко нарастает. Устойчивыми оказываются только те движения, для которых вихри располагаются согласованно с внешней гармоникой температуры на границах. Более полный обзор литературы, затрагивающий подобные вопросы можно найти в [25,26].

Анализ литературы показал, что существует значительно меньше работ, посвященных термокапиллярной конвекции с пространственно-неоднородными граничными условиями. В работе [27] рассматривается влияние слабого термокапиллярного течения на радиальную сегрегацию, происходящую в жидкой зоне выращиваемого кристалла. Считается, что движение вызывается только термокапиллярной силой. Кроме того, в работе предполагается, что на свободной поверхности периодически встречаются участки, которые можно рассматривать как твердые. Строится модельная задача, которая решается аналитически и методом конечных элементов. Результаты теоретического анализа дают возможное объяснение наблюдавшейся ранее в экспериментах радиальной сегрегации примеси.

Влияние периодически расположенных по поверхности слоя твердых элементов на термокапиллярное течение, вызванное продольным температурным градиентом, было исследовано в [28]. Одним из интересных результатов работы является демонстрация существования двух режимов конвекции: проточного течения вдоль всего слоя и структур, состоящих из ячеек, упорядоченно расположенных относительно твердых участков. Расчеты проводились методом конечных разностей и в приближении ползущего течения.

В двух последних работах используется модель,' которая предполагает, что на свободной периодически закрытой поверхности задается определенное распределение температуры. В результате, на границе определена термокапиллярная сила, вызывающая движение. Более интересной нам представляется ситуация, в которой распределение температуры на поверхности вырабатывается в результате возникающего движения.

Диссертация посвящена исследованию термокапиллярной неустойчивости плоского слоя вязкой несжимаемой жидкости, на поверхности которого расположены твердые участки. Предполагается, что сила тяжести пренебрежимо мала, и что только поверхностные силы могут вызвать движение жидкости в рассматриваемой системе. Также мы будем полагать, что твердые участки периодически расположены вдоль поверхности слоя. Порог устойчивости системы исследуется в рамках линейной теории. Расчет нелинейных пространственно-периодических движений проводится как численно (методом конечных разностей), так и аналитически в приближении ползущего течения.

Автор защищает:

• математическую модель, позволяющую провести анализ влияния твердых элементов, расположенных на поверхности жидкости, на термокапиллярную конвекцию в плоском неизотермическом слое;

• результаты исследования порога термокапиллярной неустойчивости механического равновесия плоского периодически закрытого слоя относительно пространственных и плоских возмущений, проведенного в рамках линейной теории;

• анализ структуры критических движений, нарушающих механическое равновесие системы;

• результаты численного анализа (методом конечных разностей) конечноамплитудных конвективных движений в плоском периодически закрытом слое жидкости;

• аналитическое исследование медленных (ползущих течений) в плоском слое с пространственно-модулированным тепловым потоком вдоль свободной поверхности;

• численное исследование конвективных режимов в периодически закрытом слое с пространственно-модулированным тепловым потоком вдоль поверхности.

Достоверность результатов исследования обеспечивается применением различных методов численного анализа при построении решений, согласованностью результатов исследований,проводимых в рамках линейной теории^ с расчетами методом конечных разностей. Правильность используемых моделей доказывается сопоставлением с результатами других авторов, а в предельных случаях с известными теориями.

Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе на основе модельной задачи исследовано влияние пространственно-неоднородных граничных условий на термокапиллярную конвекцию жидкости в плоском слое, подогреваемом снизу. Предполагалось, что выполняются условия микрогравитации, и термокапиллярная сила является единственной силой, способной вызвать движение жидкости в рассматриваемой системе. Выбранная модель предполагала, что на поверхности слоя расположены твердые элементы, представляющие собой плоские параллельные пластины, ширина которых соизмерима с толщиной слоя. В результате граница рассматриваемой системы состоит из твердых участков, на которых скорость движения жидкости равна нулю и жидких участков, на которых действуют термокапиллярные силы.

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы.

В случае, когда тепловые свойства твердых участков поверхности такие же, как у жидкости, существует состояние механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. Граница устойчивости этого состояния определяется нейтральной поверхностью, которая описывает зависимость критического числа Марангони от волнового вектора возмущения и геометрических параметров поверхностной решетки.

При больших периодах решетки > 1,5) велика площадь свободных участков, что обеспечивает большую свободу термокапиллярным силам. В результате, в такой системе равновесие нарушается относительно возмущений, имеющих прямоугольную форму.

В случае, когда период расположения поверхностных пластин (1 меньше 1,5, наиболее опасные возмущения имеют форму валов, оси которых направлены параллельно пластинам решетки.

При уменьшении периода решетки возрастает влияние твердых участков верхней границы, и порог устойчивости системы повышается до бесконечности.

В случае плоских возмущений оказывается возможным провести классификацию критических движений по свойству симметрии на два типа: симметричная мода, в которой движение на поверхности симметрично относительно средней точки окна, и несимметричная мода, в которой в каждом окне имеется выделенное направление движения.

Для несимметричной моды существует режим, обладающий бесконечной длиной волны и конечным порогом возбуждения, при котором имеется сквозное течение вдоль всей границы слоя.

Для больших периодов решетки в окнах образуется система вихрей с диаметром, близким к критическому возмущению в свободном слое, а критическое число Марангони асимптотически стремится к восьмидесяти.

Анализ развитых конвективных режимов, проведенный методом конечных разностей в бесконечном плоском слое, закрытом поверхностной решеткой и однородным тепловым потоком вдоль свободной поверхности, приводит к следующим выводам.

Наличие поверхностной решетки существенно понижает интенсивность конвективного движения по сравнению со случаем полностью открытой поверхности.

Если зафиксировать период решетки равным <1 = тс 12, то в согласии с линейной теорией первым рождается режим с Я = 2<И (наиболее опасное возмущение). Движения, имеющие другие периоды, кратные периоду поверхностной решетки, оказываются неустойчивыми. Развиваясь, этот режим теряет устойчивость по отношению к движению, имеющему вдвое меньший горизонтальный размер Х-с1, который устойчив во всей области выше точки перехода. Обратный переход при уменьшении числа Марангони сопровождается гистерезисом. Таким образом, существует область параметров, в которой для слоя с выбранными параметрами поверхностной решетки имеется два устойчивых стационарных состояния.

Анализ конвективных режимов в бесконечном плоском слое, закрытом поверхностной решеткой с периодом с/ = п /2 и теплоотдачей твердых участков, отличающейся от теплоотдачи жидкости менее чем на 10%, показал следующее.

Аналогично случаю с однородной теплоотдачей вдоль поверхности устойчивые режимы представляют собой конвективные валы, длина волны которых равна Я = ¿/ и Я = 2с/ в зависимости от величины надкритичности. Однако из-за неоднородно распределенного теплового потока равновесия в системе не существует. Поэтому при малых числах Марангони рождается ползущее течение с периодом, равным периоду поверхностной решетки Я = <1. В области первой критической точки его сменяет режим с длиной волны Я = 2с/, который при увеличении числа Марангони, в свою очередь, оказывается неустойчивым по отношению к движению с Я = , но с закруткой валов, противоположной закрутке ползущего течения. Обратный переход между режимами, с уменьшением числа Марангони, сопровождается гистерезисом.

При расчетах в области Ь = с! возникающее при малых числах Ма ползущее течение вблизи первой критической точки сменяется проточным течением, переносящим жидкость вдоль слоя. При увеличении числа Марангони этот режим плавно эволюционирует в конвективную ячейку с симметричным течением и выносом жидкости в центре открытого участка. С уменьшением числа Марангони происходят обратные переходы между движениями без заметного гистерезиса.

Отличие теплового потока на жидких и твердых участках слоя обеспечило существование ползущего движения при сколь угодно малых числах

Марангони. Когда такое отличие невелико (до 10%), структура амплитудных кривых подобна случаю однородной теплоотдачи вдоль поверхности слоя. В окрестности второй критической точки для движений с Я = с1 имеет место несовершенная бифуркация, достаточно хорошо описываемая полным кубическим уравнением для значений параметра несовершенства, не превышающих Ы = 0,01.

1. Pearson J. R. A. On convection cells induced by surface tension I Г J. Fluid Mech.- 1958.-V. 4.-P. 489-500.

2. Smith K.A. On convective instability induced by surface-tension gradients // J. FluidMech.-l966.-\. 24.-N2.-P 401-414.

3. Funada T. Marangoni instability of thin liquid sheets // J. Phys. Soc.-Japan, 1986.-V. 55.-N 7.-P. 2191-2202.

4. Takashima M. Surface tension driven instability in a liquid layer with a deformable free surface II J. Phys. Soc.- Japan, 1981.-V. 50.-P. 2745-2756.

5. Levchenko E. В., Chernyakov A. L. Instability of surface waves in a nonuniformly heated liquid // Sov. Phys.-JETP, 1981.-V. 54.-P. 102-106.

6. Velarde M. G., Garcia-Ybarra P. L., Castillo J. L. Interfacial oscillations in Benard-Marangoni layers II Phys. Chem. Hydrodyn.- 1987.-V.9.-P. 387-392.

7. Рябицкий E.A. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ.-1992.-№ 3.-С. 19-23.

8. Garcia-Ybarra P. L., Velarde M. G. Oscillatory Marangoni-Benard interfacial instability and capillary-gravity waves in single- and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion // Phys. Fluids.-1987.-V. 30.-P. 1649-1660.

9. Goussis D.A., Kelly R.E. On the thermocapillary instabilities in a liquid layer heated from below // Intern. J. Heat Mass Transfer 1990.-V. 33.-N 10.-P. 2237-2245.

10. Birikh R., Briskman V., Rudakov R., Velarde M. Marangoni-Benard instability driven by heat divider// Intern. J. Heat Mass Transfer.-1994.-V. 37.-N 3.-P. 493-498.

11. Бирих P.B., Рудаков P.H. Термокапиллярная неустойчивость деформируемой пленки II Изв. РАН. МЖГ.-1996.-№ 5.-С. 30-36.13.3ейтунян Р.Х. Проблемы термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони // Успехи физ.наук.- 1998.-Т. 168.- № 3.- С. 259-286.

12. Davis S. Н. Thermocapillary instabilities // A. Rev. Fluid Meek- 1987.-V. 19.-P. 403-435.

13. Ben Hadid H., Roux B. Thermocapillary convection in long horizontal layers of low-Prandtl-number melts subject to a horizontal temperature gradient // J. Fluid Mech.-1990.-V. 221 .-P. 77-103.

14. Bergeon A., Henry D., Benhadid H. Marangoni-Benard instability in micro-gravity conditions with Soret effect // Intern. J. Heat Mass Transfer.-1994.-V. 37.- N11.-P. 1545-1562.

15. Dijkstra H. A. On the structure of cellular solutions in Rayleigh-Benard-Marangoni flows in small-aspect-ratio containers // J. Fluid Mech-1992.-V. 243.-P. 73-102.

16. Русакова O.JI., Тарунин Е.Л. Исследование влияния на термокапиллярную конвекцию радиационного теплообмена со свободной границы // Тез./ X Зимняя школа по механике сплошных сред.- Пермь, 1995.- С. 212.

17. Левченко В.Я., Соловьев А.С. Устойчивость пограничного слоя на волнистой поверхности И Изв. АН СССР. МЖГ,-1972.-№ 6.-С. 11-16.

18. Возовой Л.П., Непомнящий А.А. Устойчивость стационарных пространственно-периодических конвективных движений в плоском вертикальном слое // Журнал прикладной механики и технической физики.4.-С. 54-60.

19. Займан Дж. М. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1966.- 416 с.

20. Возовой Л.П. Конвекция в вертикальном слое с волнистыми границами II Изв. АН СССР. МЖГЛ916.-Ш 2.-С. 31-35.

21. Возовой Л.П. Конвективные течения в вертикальном слое с пространственно-модулированным распределением температуры на границах // Изв. АН СССР. МЖГ.-1978.-№ 5.-С. 20-25.

22. Возовой Л.П., Непомнящий A.A. Конвекция в горизонтальном слое при наличии пространственной модуляции температуры на границах // Учен.зап. /Перм. ун.-т. Серия Гидродинамика.-1974.- Вып. 7.-С.105-119.

23. Возовой Л.П. Конвективные течения в слоях с пространственно-периодическими граничными условиями: Дисс. канд. физ.-мат. наук.-Пермь, 1980.- 209 с.

24. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989.- 320 с.

25. Levenstam М., Amberg G., Tillberg Е., Carlberg Т. Weak flows in a floating zone configuration as source of radial segregation // Journal of Crystal Growth.- 1990.-N 104.-P 641-652.

26. Birikh R., Briskman V., Chernatynsky V., Roux B. Thermocapillary flows due to partially closed nonisothermal liquid surface. AIAA-paper 96-0736.1996.- 8 p.

27. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука,1972.- 392 с.

28. Демидович Б.П., Марон И.А, Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Изд-во физ.-мат. лит.-ры, 1963.- 400 с.

29. Conca С. The Stokes sieve problem // Commun. Appl. Numer. Meth-1988.-V.4.-N7.-P.113-121.

30. Полежаев В.И., Буне A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое Моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений На-вье-Стокса. -М.: Наука, 1987.- 270 с

31. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990.- 228 с.

32. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.-392 с.

33. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Численное исследование стационарной конвекции в полости прямоугольного сечения со свободной верхней границей // Учен.зап. /Перм. ун.-т. Серия Гидродинамика.-1971.-Вып. 3.-С. 106-125.

34. Зб.Чернатынский В. И., Шлиомис М. И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры // Изв. АН СССР. МЖГЛ91Ъ.~ № 1.-С. 64-70.

35. Тарунин E.JI. Ветвление решений уравнений конвекции в замкнутой полости с подвижной границей при подогреве снизу // Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции. Минск, 1974.-170 с.

36. Шкляев О.Е. Термокапиллярная неустойчивость в слое с периодическими твердыми элементами // Тез./ XI Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1997.-С. 298.

37. Birikh R.V., Shklyaev О.Е. Marangoni instability of plane liquid layer with solid elements on the free surface // Abstracts of 3rd European Fluid Mechanics Conf. Gottingen, 1997.-P. 36.

38. Birikh R.V., Briskman V.A., Shklyaev O.E., Velarde M.G. Marangoni instability of liquid with partially free surface. Meeting AIAA-paper 98-0654.-1998.-7 p.

39. Шкляев O.E. Конвекция Марангони в слое с периодически закрытой поверхностью // Сб. науч. трудов / Перм. ун-т. Серия Гидродинамика1998.-Вып. 11.-С. 267-278.

40. Бирих P.B., Шкляев O.E. Конвекция Марангони в периодически закрытом слое с неоднородно распределенным теплопотоком вдоль поверхности // Тез./ XII Зимняя школа по механике сплошных сред.- Пермь,1999.- С. 94.

41. Бирих Р.В., Шкляев О.Е. Конвекция Марангони при слабом нарушении однородности теплопотока // Сб. науч. трудов / Перм. ун-т. Серия Гидродинамика. 1999. - Вып. 12. (в печати).

42. Бирих Р.В., Шкляев О.Е. Конвекция Марангони в слое с неоднородной верхней границей // Сб. науч. трудов / Конвекция в системах несмеши-вающихся жидкостей. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. (в печати).