Термокапиллярная неустойчивость плоских и цилиндрических слоев тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

УДК 532.5.013.4:536.24

На правах рукописи

РЯБИЦКИЙ Евгений Андреевич

ТЕРМОКАПИЛЛЯРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СЛОЕВ

01.04.14— теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск - 2003

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Батищев В.А., Маслов А.А., Славин В.С.

Ведущая организация: Институт гидродинамики СО РАН

(г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится " б " ноября 2003 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.098.01 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. акад. Ки-ренского, 26, ауд. Г 2-22. Тел. (8-3912) 49-79-90, 49-76-19, факс (8-3912) 43-06-92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Отзывы об автореферате в двух экземплярах с подписью составителя, заверенные печатью организации, просим направлять в адрес диссертационного совета.

Автореферат разослан "¿И " ОШТ^У^Л 2003 г.

Ученый секретарь

д.т.н., профессор <ГТ" П.Н. Сильченко

9-

2ooS-/A

>3

/ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важнейших задач технологии получения веществ с заданными свойствами является учет всех теп-лофизических явлений, происходящих в жидкой фазе. При этом, если расплав обладает свободной границей на которой имеется градиент температуры, то в случае тонкого слоя либо слабого силового поля влияние термокапиллярного эффекта на его устойчивость становится решающим. Следствием тепловой конвекции в технологии получения материала является перемешивание расплава, которое влияет на распределение компонентов в полученном конечном материале. Такая ситуация возникает, например, при лазерной обработке материалов с плавлением, которая применяется при легировании поверхностного слоя металла, в космической технологии при получении сверхчистых кристаллов и т.д. Важность моделирования такого рода процессов очевидна, так как проведение большой серии экспериментов обычно связано со значительными техническими трудностями и материальными затратами. Особенно это относится к экспериментам в космосе. Исследование же математической модели позволяет выделить основные теплофизические факторы, влияющие на устойчивость расплава, и тем самым дает возможность оптимизировать технологический процесс.

В условиях, когда неравномерно нагретая жидкость со свободной поверхностью находится в состоянии, близком к невесомости, существенное влияние на устойчивость ее равновесия и движения оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и порождаемый ею термокапиллярный эффект. Несмотря на то, что о существовании этого эффекта известно уже давно, интенсивное изучение этого явления началось несколько десятилетий назад. В 1956 году M.J.Blok, анализируя результаты собственных экспериментальных исследований условий возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведенных ранее опытов H.Benard (1900) , пришел к заключению, что в этих случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В 1958 году выходит первая теоретическая ю^т^д этом^нм^ав-

БИБЛИОТЕКА С.Петербург ~ ' 09 У»Х>тхтЭ35

' '" ' ———■ mmtjmi*

лении, выполненная J.R.A. Pearson, в которой исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил. В этой работе был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Дальнейшее теоретическое изучение влияния термокапиллярного эффекта на устойчивость равновесия было продолжено рядом авторов L.E. Scriven, C.V. Sterling (1964), J.C. Berg, Acrivos (1965), D.A. Nild (1966), A. Vidal, A. Acrivos (1966), H.J. Palmer, J.C. Berg (1972), М.Я. Антимиров, В.Р. Лиепиня (1978), A.A. Непомнящий, И.В. Симановский (1985, 1986) и др. Исследование термокапиллярных движений и изучение условий устойчивости таких движений было проведено в работах Р.В. Бириха (1966), H.F. Bauer (1982), M.K. Smith, S.H. Davis (1982,1983), J.-J. Xu, S.H. Davis (1984,1984) и др.

Таким образом, исследование процессов связанных с термокапиллярным эффектом, происходящих в расплавленной зоне при выращивании кристаллов в условиях невесомости, лазерной обработке материалов с плавлением и т.д., является крупной научной проблемой имеющей важное значение для оптимизации технологических процессов.

Цель работы. Исследование влияния термокапиллярных и диффузионных эффектов на теплофизические явления происходящие в расплавленной зоне для ряда технологических процессов.

Методы исследования. Моделирование процессов основано на уравнениях механики сплошной среды и термодинамики. В качестве математической модели используются уравнения вязкой теплопроводной жидкости с граничными условиями, учитывающими термодинамику свободной поверхности. В рамках линейной теории с помощью метода нормальных возмущений исходные уравнения сводятся к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная задача решается аналитически в предельных режимах и в случае монотонности возмущений, а также численно методом ортогонализации с применением метода Ньютона.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

- на основе теории малых возмущений получена задача устойчивости термокапиллярного движения неравномерно нагретой жидкости с учетом деформируемости свободной границы и эффекта термодиффузии;

- исследовано воздействия различных способов подогрева на устойчивость равновесного состояния цилиндрического и плоского слоев жидкости относительно монотонных возмущений, показано, что к потере устойчивости приводят возмущения двух типов, соответствующих различным механизмам неустойчивости: капиллярному и термокапиллярному;

- при исследовании устойчивости равновесия обнаружено, что учет деформируемости свободной поверхности приводит к появлению капиллярной колебательной неустойчивости, которая реализуется в ограниченном интервале волновых чисел, при этом, в случае недеформируемой свободной поверхности возможна только монотонная термокапиллярная неустойчивость;

- обнаружена колебательная неустойчивость плоского слоя жидкости при подогреве твердой поверхности (задача Пирсона), которая доминирует в области коротковолновых возмущений, показано, что при достаточно больших числах Марангони взаимодействие термокапиллярного и капиллярного механизмов неустойчивости приводит к появлению нового типа осциллирующих возмущений;

- изучено влияние поверхностно-активного вещества и эффекта термодиффузии на термокапиллярную неустойчивость равновесия плоского слоя, показано, что наличие термодиффузии оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесия;

- исследована устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя при нагреве внутренними источниками тепла и при подогреве внутренней твердой поверхности, получено, что

при учете деформируемости свободной границы появляются точки разрыва нейтральной кривой для осесимметрических возмущений и дано их обоснование;

- обнаружена капиллярная колебательная неустойчивость равновесия цилиндрического слоя, которая является наиболее опасной для некоторых интервалов волновых чисел, показано, что для недеформируемой свободной поверхности возможны только монотонные возмущения;

- изучено совместное влияние капиллярных и термокапиллярных механизмов на устойчивость стационарного движения в цилиндрическом слое, показано, что капиллярная неустойчивость доминирует в области длинноволновых возмущений, а термокапиллярная неустойчивость является наиболее опасной в области умеренных и коротковолновых возмущений.

Достоверность результатов исследований подтверждена полным совпадением численных расчетов с полученными аналитическими решениями для случая монотонных возмущений, а также с результатами полученными другими авторами.

Практическая значимость работы. Разработанные методы применимы в космических и химических технологиях и дают возможность моделировать процессы протекающие в жидкости при воздействии на свободную поверхность касательных напряжений (которые могут быть созданы градиентами температур или наличием адсорбированных веществ). Проведенные исследования позволяют прогнозировать влияние термокапиллярного эффекта на теплофизичес-кие явления происходящие в расплаве, для таких технологических процессов как получение монокристаллов методом зонной плавки, лазерной обработки материалов с плавлением для легирования поверхностного слоя металла и т.д..

Личный вклад автора. Постановка и решение задач данного исследования, разработка всех положений, определяющих новизну и практическую значимость работы. Результаты исследований, выносимые на защиту, получены лично соискателем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на

- 4-м Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Новосибирск, 1987);

- VII Всесоюзном семинаре по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения задач математической физики (Кемерово, 1988);

- Советско-японском симпозиуме по вычислительной аэродинамике (Хабаровск, 1988);

- Международной 1МАСС конференции по математическому моделированию и прикладной математике (Москва-Вильнюс,1989);

- Всесоюзном семинаре по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Новосибирск, 1990);

- Международном симпозиуме по гидромеханике и тепло- массо-переносу в микрогравитации (Пермь, 1991);

- Международной конференции по проблеме свободной границы в механике сплошной среды (Новосибирск, 1991);

- 10 Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995);

- II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996);

- Международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 1999);

- Всероссийской конференции по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- Восьмом Всероссийском съезде по теории и приложении задач со свободными границами (Бийск, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 49 научных работ. Основные результаты опубликованы в работах [1-16].

Структура и объем работы. Материалы диссертации изложены на 218 страницах и иллюстрированы 76 рисунками. Работа состоит из введения, пяти разделов, списка литературы и заключения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор работ, в которых изучались вопросы, связанные с темой диссертации, отмечается актуальность проблемы, обосновывается цель исследования и приводится содержание диссертации по главам.

В первом разделе приводится постановка задачи об устойчивости неизотермического движения жидкости со свободной границей и излагается алгоритм численного исследования.

Рассмотрим уравнения движение несжимаемой теплопроводной вязкой жидкости со свободной границей в произвольной области П при отсутствии массовых сил. Предположим, что на границе раздела жидкости Г с газом сосредоточено поверхностно-активное вещество (ПАВ). Тогда движение жидкости описывается системой уравнений

Предположим, что процессами переноса в газе можно пренебречь, и будем считать давление газа pgas постоянным, а его температуру вда8 на границе с жидкостью заданной функцией х и t. Пусть поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации:

<т(в, s) = <то - a(s - «о) - эе(0 — во), а, ае = const.

На границе раздела жидкости с газом Г должны быть выполнены

щ + ttVи Н—Vp = vAu, Р

div и = О, $t + и- V0 = хД0 + ?,

(1)

условия

^ + S7ll • (us) - drArs = jn,

Jn =

jn = кас - kps,

здесь й(х, £) — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, в — температура; с— концентрация примеси в жидкости, £>(и) — тензор скоростей деформации, <7(0, я, г) — заданные внутренние источники тепла; <1 — коэффициент диффузии, р, V, х — соответственно плотность, кинематическая вязкость и коэффициент температуропроводности, вс — некоторая постоянная средняя температура; п - вектор внешней нормали, Я — средняя кривизна поверхности Г, (V// = п — • п) — поверхностный градиент), С? — заданный поток тепла, к — коэффициент теплопроводности, 7 — коэффициент межфазного теплообмена, в — поверхностная концентрация, й?г — коэффициент поверхностной диффузии ПАВ, Др — оператор Лапласа-Бельтрами, ]п — поток вещества с поверхности в объемную фазу, к^к кв — коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно

На поверхности твердого тела Е, контактирующего с жидкостью ставятся следующие условия:

где а(х, t) — скорость движения стенки Е, Q(x, t),b(x, t) — заданные функции.

Соотношения (1)-(3) следует дополнить начальными условиями.

Получим уравнения малых возмущений основного движения. Пусть известно решение u(x,t), p{x,t), в(х, t), c(x,t), s(x, t) задачи (l)-(3) в области Q. Положим x = x -j- X(x,t),X, где вектор смещений частиц жидкости или вектор возмущений. Обозначим через fi

и — а(х, t),

аа

?- = Q(x,t), (0 = b(x,t))

(3)

область, получаемую сдвигом П на вектор X. Рассмотрим решение и, р, 0, с, 5 задачи (1)-(3) в области П. Представим функции и,р,9,с,ё в виде

й{х, = и(х, I) 4- 0(х, I), £ = 4,

ё(г,1) = г) + т(г,г),

с(х, ?) = с(х, £) + К(х, £),

ё(х, £) = в(х, ¿) + 5(я, ¿),

где и, Р, Т,К,Б — возмущения основного решения 9, с, е. Предполагая, что эти возмущения малы и область & мало отличается от получаем систему уравнений

1

иг + йчи+иуй+-'7Р = "А и,

Р

сПУ ¿7 = 0,

Кх + и • + и • ус = ¿А (к + .

(4)

Аналогичным образом, после линеаризации граничных условий (2), будем иметь на свободной границе:

др дп

-Р + 2\риВ{й) п-п + 2риВ(и) п • П1] =

дБ{и)

_!_ о——

£>? + Ы дп

дп

Я+

<¿<7 Ли

+<тДгД + 2—НТ + 2— Я5, ав аз

руи{и) п ■ Ха12 + Р1/ ■ п ■ Х01аК+

da 1в

+pi>D(u) n • (ñR)al 2 + pvD{u) ñi • xa¡

\ d2a (дв \ i

JQJ + dP\d¿R + T)d-c

(dn R + S)a,2 + ds2 doth2 (5+ дп

dati¿ \dn da f ds

d2a dOds

«и V dn dn J дал 2

St + Vil ■ (fS + R) + Vn(sÜ) - drArS

J (дк д2с „ „ _

R + Ve • nx +

dT dn

(5)

ЛдК д2с „ „ _ ke(d20n „ _

on дпг в с \on¿ дпt

= kA^R + K^-kDS,

где aj,a2 — параметризация поверхности Г, xQl, xa2 — базис касательной к Г плоскости, R = X ■ ñ — нормальная составляющая вектора возмущений на свободной поверхности, щ — проекция возмущения нормали п на касательную плоскость, — главные радиусы кривизны невозмущенной поверхности Г. На твердых стенках £

U~ О, Х = 0, Т = О

дК квдТ дп + вс

(либо g = о) , дТ Л / ж дК \

Получим амплитудные уравнения при наличии плоской симметрии. Предположим, что для основного движения вектор скорости, давление, температура и концентрация имеют вид

и=(ф),0,0), р = р{г), 0 = О{г), с = с(г), (7)

т.е. имеется стационарное однонаправленное движение вдоль оси х.

После обезразмеривания ищем решение задачи (4)—(6) в виде нормальных волн

(■и, К, ТУ,Р,Г, К, Я,Б) = (С/(0, У(0, ^(0^(0,7(0,^(0,^,5). • ехр[га£ + фг} — Ют],

где а,/? — безразмерные волновые числа.

Тогда из (4) получаем систему амплитудных уравнений

(гай - Ю)и + гаР + й'Ж = {Яе*)~х[и" - (а2 + /?2)1/],

(гай - Ю)У + г/ЗР = (Де*)-1^" - (а2 + /32)У],

(гай - Ю)\¥ + +Р' = (Де*)-1^" - (а2 + (32)\У],

гаС/ + «/ЗУ + Ж' = 0, (8)

(гай - г'С)Г + V* • # = (.Рг*)~1[Т" - (а2 + /?2)Т],

(гай - С)К + Ус • ¿7 = (Ре*)"1^" - (а2 + 02)К]+

+Зг*[Т" - {а2 + ^2)Т]

при 0 < С < 1; штрих означает дифференцирование по На свободной границе при С = 1 имеем:

-Р + 2(Яе*)~1 - гай'Я) = - И'е* (а2 + /З2)Д,

1а\¥ + и' + й"Я = -гаМ*Яе*(Т + 0'Д) - гаМ;Де*5, V + ¿/ЭТУ = -фМ*Яе*{Т + 0'Д) - г/?М*Де*5, Т' + ¿"Я - (га^ + г/30,) Д + Яг(Г + 0'Д) = 0, (9)

{аи + г/ЗУ + [гай - гС + (а2 + /32)(Ре^)_1]5 + гай'Я =

= -В{[К' + (с" - гас/: - ЦЩЩ + БгЦТ' + {в" - - г/Звп)Щ,

~[К' + (с" - (ач ~ фсп)Щ + ^ [Т' + {в" - га0£ - г7?0„)Д] =

= £>2(с'Д + #)- £>55, (гай - г'С)Я = Ж Если С = 0 — твердая поверхность, то на ней

¿7 = 0, Г = О, К' = 0, (10)

или

¿7 = 0, т = о, яЧ = о-

Здесь введены безразмерные переменные и параметры

Ы* ^ х у , г _ и _ з

Г==Т' ^Л' С=Л' * =

= Рг* = ^, Ре* = -р-,

V X а

A0cU*' )0(u*)2/l' р«)2Л'

к = = = Sr* dk°°*

p{u*)2h' k ' 1 dr 2

„ de*

где u*,0*,c*,s* — характерные скорость, температура, массовая и поверхностная концентрации, а р(и*)2, h/u* — характерные давление и время, Re* — характерное число Рейнольдса, Рг* — характерное число Прандтля, Ре* — характерное число Пекле, Sr* — характерное число Соре, М* — характерное число Марангони, We* — характерное число Вебера, М* — характерное концентрационное число Марангони, Bi — число Вио.

Краевая задача (8)—(10) является задачей на собственные значения относительно декремента С — Cr + iC{. Для устойчивости

течения (7) по отношению к малым возмущениям необходимо и достаточно, чтобы у всех собственных значений С мнимая часть С,-была отрицательной.

Часто при анализе уравнений (8)—(10), особенно в случае равновесия жидкости, отдельно рассматривают монотонно нарастающие либо убывающие возмущения Сг = 0. В этом случае при построении нейтральных кривых (С; = 0), получаем С = 0. Исходная задача, при этом, существенно упрощается и часто удается получить явное выражение для критических чисел Марангони.

Получим амплитудные уравнения в цилиндрической системе координат.

Рассмотрим стационарное осесимметрическое термокапиллярное течения вида

Ищем решение задачи (8)—(10) в виде нормальных волн.

Пусть и,У,\¥,Р,Т— возмущения основного течения (11).

где а = 27г/А — осевое волновое число, А — безразмерная длина волны возмущения, т = 0,1,2,... — азимутальное волновое число, С — комплексный декремент.

При подстановке в (8) получается система амплитудных обыкновенных дифференциальных уравнений

« = 17 = 0, IV = гс(г), р-р(г), в = в {г, г) (11)

{и, V, и?, р, т, щ = (с/(о,по, ж (о, т тд)-

• ехр [г{ат] — Ст) + ¿ту?],

аи + Яе'Р' = ^ (££/)' '

¿т „ Г1 2гтп тт

аУ + —11е*Р= -(¿У)'

а\¥ + Пе*й'и + шДе'Р = ^ (е^У')',

1 177?.

гт

■1\1

ЬТ + Рг%и + Рг%]¥ = ^ ЦТ')' при й < £ < 1. Введены обозначения

а = И1е*(ай) - С) + + а2, Ь= {Рг*(агй - С) + + а2.

Граничные условия примут вид: на твердой стенке при £ = й

и = У = = 0, Т' = 0 (или Т = 0); (13)

на свободной границе при £ = 1

тУ' - V + М = -гтМ*(Г +

и*и + + Ш' - ~{<хМ*{Т + Я), -Не*Р + 2(и' - га-ш'В) = -М*(Т + всЯ)+

+ (1 - а2 - т2)*Ге*Д, (14)

Т' + В1Т + (0а + ВМ^ - = 0,

¿(ото - С)й = и.

Особенностью полученных задач (8)—(10), (12)-(14) является то, что половина граничных условий задается на левом конце интервала, другая половина — на правом. Из-за появления дополнительного уравнения для температуры и сложных граничных условий на свободной поверхности решение рассматриваемых задач является более трудной проблемой по сравнению с классической задачей Орра-Зоммерфельда. При этом, кроме стандартных трудностей, связанных с наличием малого параметра при старшей производной и необходимостью отслеживать сразу несколько радиальных мод (в случае цилиндрической геометрии), полученные задачи характеризуется большим числом определяющих параметров, что требует проведения большого числа вычислений и затрудняет полный анализ основных факторов, влияющих на устойчивость. Кроме того, рассматриваемые задачи требуют высокой точности вычислений и индивидуального выбора характеристического уравнения для каждого

конкретного случая. Для решения задач (8)—(10), (12)—(14) был разработан и адаптирован численный алгоритм основанный на комбинации метода ортогонализации и метода Ньютона, который хорошо себя зарекомендовал.

Во втором разделе исследуется устойчивость равновесия плоского слоя при наличии термокапиллярного эффекта.

Рассмотрим устойчивость равновесия плоского слоя жидкости под действием вертикального градиента температуры во- Решение (1)—(3) в зависимости от способа подогрева будет иметь вид

и = (0,0,0), р — Ро — const,

в = в0{£ - z)/i либов = в0z/t.

Эта задача является классической при изучении термокапиллярной неустойчивости (задача Пирсона). Именно при исследовании устойчивости равновесия в такой постановке впервые было показано, что наличие термокапиллярных сил может привести к возникновению движения в жидкости. В этой работе считалось, что свободная поверхность не деформируема и рассматривались только монотонно нарастающие возмущения. Учет деформации свободной границы для этой задачи, проведенный позднее, показал, что влияние капиллярности проявляется только в области длинноволновых возмущений. Вопрос о наличии осциллирующих возмущений для задачи Пирсона оставался открытым.

Проведенные исследования показали, что учет деформируемости свободной поверхности приводит к возникновению осциллирующей неустойчивости как при подогреве свободной поверхности, так и в случае подогрева твердой границы. При этом, в случае подогрева твердой поверхности капиллярная неустойчивость возникает в области коротковолновых возмущений (кривые 2, 3 на рис. 1) и является наиболее опасной. Кроме того, при достаточно больших числах Марангони взаимодействие термокапиллярного и капиллярного механизмов неустойчивости приводит к появлению нового типа колебательных возмущений, которые доминируют в коротковолновом диапазоне.

IB мт'

s

о

15 .25 J 5 к

Рис. 1 — Нейтральная кривая при больших волновых числах: 1 соответствует монотонным возмущениям, 2, 3 — колебательным

Изучены условия устойчивости равновесия плоского слоя при нагреве внутренними источниками тепла q = const. Основное решение будет иметь вид

(0,0,0), Р = Ро- const, 6 = -q{z2-i2)/2\

Для недеформируемой свободной границы было получено, что, как и в задаче Пирсона (линейная равновесная температура), при возрастании числа Био происходит стабилизация равновесия и имеет место коротковолновая асимптотика М ~ 8к(к + Bi) при к —> оо. При учете деформируемости свободной поверхности картина резко меняется: происходит не только понижение устойчивости в области малых волновых чисел, как было получено ранее, но и появляется точка разрыва нейтральной кривой. Поскольку обоснование точкам разрыва нейтральной кривой ранее не давалось, этот вопрос был здесь исследован. Проведенный численный анализ показал, что для деформируемой свободной поверхности нейтральная кривая для монотонных возмущений является не единой кривой с точкой разрыва,

а состоит из двух самостоятельных кривых, каждая из которых соответствует своему типу возмущений: термокапиллярному (кривая 2 на рис. 2) или капиллярному (кривая 3 на рис. 2). Кроме того, при учете капиллярного механизма конвекции появляется колебательная неустойчивость (кривые 4, 5 на рис. 2), которая становится наиболее опасной в области малых чисел Прандтля и волновых чисел.

V 1

v и

/

ц

3 "^Ч 5

О 0,8 1,6 к

Рис. 2 — Нейтральные кривые при Вг — 2: 1 соответствует монотонным возмущениям при We — оо; 2, 3 — монотонным при We = 104; 4, 5 — колебательным при We — 104

Проведено исследование устойчивости равновесия плоского слоя при наличии поверхностно-активных веществ s = so = const. Равновесное состояние имеет вид

и= (0,0,0), р — р0 = const, s = sq с= со = koSo/kA,

9 = e0(l-z)/i тбо0 = вог/£ в зависимости от способа подогрева.

10 м

10'

£

\ /з

/

А

о

Рис. 3 — Нейтральные кривые при Bi = 0: 1,3 построены для монотонных возмущенй при We = оо и We = 104 соответственно; 2, 4 — для колебательных при We = оо и We = 104

Рассмотрены случаи растворимого и нерастворимого ПАВ. Ранее, в случае монотонных возмущений и недеформируемой свободной поверхности эта задача исследовалась в работе J.C. Berg, А. Acrivos (1965). Построенные авторами нейтральные кривые для чисел Ма-рангони (кривая 1 на рис. 3) лежали существенно выше, чем соответствующие нейтральные кривые, полученные Пирсоном. Отсюда был сделан вывод, что ПАВ сильно стабилизирует термокапиллярную неустойчивость. Проведенный анализ всего спектра возмущений показал, что выводы сделанные авторами были ошибочны. На самом деле область неустойчивости лежит не выше построенных нейтральных кривых, как ими предполагалось, а ниже. При этом, термокапиллярные возмущения, соответствующие неустойчивости Пирсона становятся колебательными (кривая 2 на рис. 3). Учет капиллярности приводит к снижению порога устойчивости в области малых волновых чисел (кривые 3, 4 на рис. 3). Наличие ПАВ приводит к стабилизации капиллярной моды и качественному изменению формы нейтральной

кривой в области коротковолновых возмущений.

Рассмотрено взаимодействие термодиффузионного эффекта (эффекта Соре) с термокапиллярностью. При этом равновесное состояние имеет вид

и = (0,0,0), р = ро — const, s = so,

с = с0 = -2кд(1 - z/l) + крво/кл, в = в0(£ - z) Ji либо в = в0г/1

в зависимости от способа подогрева.

В случае монотонных возмущений получено явное выражение для критических чисел Марангони, которое использовалось в качестве теста при расчетах. Численный анализ задачи (8)-(10) показал, что учет термодиффузии оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесия.

Рис. 4 — Нейтральные кривые при Вг = 0: 1,2 обозначают границу устойчивости относительно колебательных возмущенй, 3 — относительно монотонных для 5г = 10; 4, 5 соответствуют колебательным возмущениям, 6 — монотонным при 5г = 50

Наиболее опасными при этом являются колебательные капиллярные возмущения, которые доминируют в диапазоне реальных чи-

сел Марангони. Усиление дестабилизирующего влияния эффекта Соре происходит с ростом зависимости коэффициента поверхностного натяжения от концентрации (рис. 4). Наоборот, с ростом числа Пран-дтля происходит стабилизация равновесия и роль термодиффузии становится незначительной по сравнению с другими процессами.

В третьем разделе рассматривается неустойчивость равновесия цилиндрического слоя жидкости относительно монотонных возмущений.

Приведем постановку задачи о возникновении термокапиллярного движения в покоящемся цилиндрическом слое под действием произвольного радиального распределения температуры:

и = (0,0,0), р = р0 = const, в = в(г).

Показано, что в предположении монотонности возмущений (Сг = 0) можно получить явное выражение для нейтральных чисел Марангони (С,- = 0) для произвольной функции в. При этом с помощью простой замены удается отделить задачу на отыскание возмущений вектора скорости и давления от общей задачи (12)-(14). Для полученной отделенной задачи для трех самостоятельных случаев: осесимметрических (тп = 0), азимутальных (а = 0) и произвольных (тп ф 0, а ф 0) удается получить решение в явном виде. После этого исходная задача сводится к решению пятого уравнения (12) с известной функцией U , заданной 0(£) и удовлетворяющего условиям для температуры в (13)—(14).

Исследуем условия потери устойчивости равновесия цилиндрического слоя жидкости при наличии внутренних источников тепла q = const. На твердой поверхности задавались два типа условий для температуры: теплоизоляции и идеальной проводимости. Равновесная температура имеет вид: в случае условия теплоизоляции (0г(го) = 0)

0(r) = q[rlln(r/ri)-(r2-rl)/2]/2x в случае условия идеальной проводимости (0(го) = 0)

в(г) = ~q[r2 ~rj + {r\ - r02)ln (r/n)/ln (г0/гх)]/4Х.

Получено, что качественное поведение нейтральной кривой для чисел Марангони практически не зависит от граничных условий, но для равновесного состояния с условием идеальной проводимости соответствующая нейтральная кривая лежит выше.

Для осесимметрических возмущений при учете деформаций свободной поверхности кривая М(а) распадается на две самостоятельные кривые, каждая из которых соответствует одному из механизмов неустойчивости: капиллярному или термокапиллярному.

л^М)

6 4 2 О -2 -4 -6

О 0.5 1.0 ос 1.5

Рис. 5 — Нейтральные кривые при Ш = 2, <1 = 0.1: 1-3 обозначают границу устойчивости относительно монотонных осесимметрических возму-щенй (т = 0); 4 — относительно монотонных азимутальных (т = 1); 5, 6 — колебательных осесимметрических (т — 0)

Изучим условия возникновения термокапиллярного движения в цилиндрическом слое при подогреве твердой поверхности. Равновесная температура имеет вид

в(г) = ^1п(г/г1)/1п(г0/г1).

Установлено, что при учете деформируемости свободной поверхности происходит понижение устойчивости в области малых волновых чисел. Кроме того, для осесимметрических возмущений появля-

ются две точки разрыва нейтральной кривой (кривые 1-3 на рис. 5), которые при уменьшении числа Вебера сливаются и исчезают.

Для расплавленного германия проведена оценка перепада температуры, при котором происходит потеря устойчивости равновесия.

Рассмотрим устойчивость цилиндрического слоя при одновременном нагреве внутренними источниками тепла и подогреве твердой границы. Равновесная температура описывается формулой

9(г) = -± 4х

* - Г1 + (Г1 - го)

1п(г0/г1).

+ *0;1П(Г/Г1)

Иго/п)'

В случае недеформируемой свободной поверхности получено, что наиболее опасной будет первая азимутальная мода. Причем с убыванием безразмерной толщины слоя возрастает роль осесимметри-ческих возмущений, и примерно при й = 0.5 критические кривые для осесимметрических и азимутальных возмущений практически совпадают.

Проведенные исследования показали, что независимо от вида равновесной температуры, увеличение й приводит к стабилизации равновесия. Кроме того, во всех рассматриваемых задачах наиболее опасными возмущениями являются либо осесимметрические, либо одна из первых двух азимутальных мод. При этом равновесие всегда более устойчиво относительно остальных азимутальных мод, и их можно не рассматривать.

Рассмотрим условия потери устойчивости жидкого цилиндра нагреваемого внутренними источниками тепла. Эту задачу можно рассматривать как предельную, если в цилиндрическом слое устремить радиус внутреннего цилиндра к нулю. Показано, что кривые критических чисел Марангони так же являются предельными для соответствующих кривых при <1 0.

В четвертом разделе рассматривается неустойчивость равновесия цилиндрического слоя жидкости относительно произвольных возмущений.

Исследуем устойчивость равновесия цилиндрического слоя жидкости с внутренними источниками тепла. Нейтральные кривые в случае монотонных возмущения для этой задачи исследованы

в третьем разделе. Анализ полной задачи показал, что как и в плоском случае для недеформируемой свободной поверхности колебательной неустойчивости нет, при этом точки разрыва нейтральной кривой имеют тот же смысл. Проведенные расчеты показали, что учет деформируемости свободной границы приводит к появлению колебательной неустойчивости, которая имеет место в ограниченном интервале волновых чисел. При этом коротковолновые колебательные возмущения стабилизируются силами поверхностного натяжения. Кроме того, обнаружено, что наличие термокапиллярного механизма конвекции стабилизирует рэлеевскую неустойчивость в области длинноволновых возмущений.

Проведено исследование термокапиллярнойя неустойчивости равновесия цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры. Дано объяснение точкам разрыва нейтральной кривой для монотонных возмущений, полученных в третьем разделе. Показано, что при учете капиллярности наиболее опасные монотонные возмущения представляют собой комбинацию возмущений двух типов. При этом в интервале а < 1 потеря устойчивости происходит под действием рэлеевского механизма неустойчивости, связанного с цилиндрической геометрией области, заполненной жидкостью. Для значений а > 1 реализуется классическая термокапиллярная неустойчивость описанная Пирсоном. Кроме того, при деформациях свободной поверхности, как в случае подогрева свободной границы, так и в случае подогрева внутреннего цилиндра, появляется осциллирующая неустойчивость индуцированная, поверхностными волнами. Показано, что качественное поведение осесимметрических колебательных возмущений не зависит от геометрии области и полностью совпадает с поведением аналогичных возмущений в плоском слое рассмотренных во втором разделе. Установленно, что монотонная неустойчивость является доминирующей при больших числах Ве-бера. Осциллирующая осесимметрическая неустойчивость, в случае подогрева внутреннего цилиндра, возможна только в области очень коротких волн и больших чисел Марангони. При уменьшении жесткости свободной поверхности вклад колебательных возмущений в появление неустойчивости для умеренных и больших волновых чис-

лах становится решающим. Азимутальные возмущения практически не влияют на потерю устойчивости равновесия. В случае монотонных возмущений наиболее опасной является азимутальная мода с т — 1 , при этом потеря устойчивости относительно этих возмущений происходит только в области малых волновых чисел.

Во всех проведенных расчетах наблюдалось полное совпадение численных и аналитических результатов.

В пятом разделе изучается устойчивость термокапиллярного течения в цилиндрическом слое, индуцированное приложенным вдоль свободной поверхности градиентом температуры. Задачи такого рода возникают, например, при моделировании гидродинамических процессов в расплавленной зоне при выращивании монокристаллов методом зонной плавки.

Рассмотрим стационарное осесимметрическое течение цилиндрического слоя жидкости вида (11), вызванное зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Течения такого сорта возникают в расплавах при выращивании кристаллов в невесомости методом зонной плавки. Наличие внутреннего твердого цилиндра позволяет учитывать все стадии расплавления заготовки.

Предположим, что радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны го и гх соответственно, свободная поверхность нагревается по закону 0даа = —Ъг, и расход жидкости через нормальное сечение полагается нулевым. Тогда стационарное осесимметрическое течение жидкого слоя после обезразмеривания имеет вид

и = V = о, »(О = м*[вх{е - ¿2) + Я21п(£А0],

(15)

+В2( 1 + 1п <*)](! - £2) + В2(? + ¿2) 1п£ + Вхй41п£

где

Вх = (1 - <Р + 21п <0/[(1 - ¿2)2 + 2(1 - <Р) + 41п «д,

В2 = (1 - <*2)2/[(1 - <*2)2 + 2(1 - й2) + 41п ¿ = г0/г 1, £ = г/п.

Полученое движение представляет собой вихрь в плоскости г .г, центр которого сдвинут к свободной границе, при этом максимальная скорость течения достигается на свободной поверхности (рис. 6).

Рис. 6 — Профили аксиальной скорости основного стационарного осесим-метрического течения в цилиндрическом слое: кривая 1 построена при <1 = 0.1, 2 — при Л = 0.5 и 3 — при Л = 0.9

Проведем исследование устойчивости построенного течения (15) в упрощенной постановке: считается, что свободная поверхность не деформируется. Такое предположение справедливо, если ограничиться рассмотрением только коротковолновых возмущений, поскольку капиллярные силы доминируют в области длинных волн. Кроме того, такой подход позволяет рассматривать термокапиллярную неустойчивость в чистом виде, без взаимодействия с капиллярной. Проведенные исследования показали, что как и в плоском случае все возмущения делятся на два типа: гидродинамические и термокапиллярные. При этом наиболее опасными всегда являются гидродинамические возмущения. Получено: что при уменьшении безразмерной толщины слоя происходит возрастание роли осесимметрических

возмущений. Так, для <1 — 0.1 осесимметрические возмущения являются наиболее опасными при Рг > 12.1 (для жидкого цилиндра при Рг > 62.2). Кроме того, показано, что при небольших числах Прандтля увеличение безразмерного радиуса внутреннего цилиндра может приводить к понижению устойчивости.

Исследуем устойчивость движения (15) при совместном влиянии капиллярного и термокапиллярного эффектов. При этом обезразме-ривание выбрано так, что при стремлении числа Вебера к бесконечности эта задача переходит в задачу об устойчивости равновесия цилиндрического слоя идеальной жидкости. Для предельного случая получено аналитическое решение, которое при с? -» 0 переходит в известное решение Рэлея для жидкого цилиндра.

Рис. 7 — Нейтральные кривые при Рг = 1, Л = 0.1: 1 обозначают границу устойчивости относительно капиллярных возмущенй, 2 — относительно термокапиллярных возмущений, 3 — гидродинамических

Анализ полной задачи показал, что при учете деформаций свободной поверхности появляются возмущения нового типа — капиллярные, которые соответствуют неустойчивости Рэлея (рис. 7). При этом капиллярная неустойчивость доминирует в области длинноволновых возмущений, а термокапиллярная неустойчивость является

наиболее опасной в области умеренных и коротковолновых возмущений.

Основные результаты диссертации

В результате проведенных исследований в диссертация решена крупная научная проблема теплофизики: изучены условия возникновения и устойчивости термокапиллярного движения в расплаве, в том числе при наличии поверхностно-активного вещества и учета эффекта термодиффузии, имеющая важное научное и техническое значение.

1. Получены уравнения и условия на свободной границы для малых возмущений движения жидкости с учетом термокапиллярного и термодиффузионного эффектов.

2. Исследованы условия потери устойчивости равновесия плоского слоя с линейным и квадратичным распределениями равновесной температуры. Получено, что при учете деформируемости свободной поверхности в жидкости возникает новая, осциллирующая неустойчивость, доминирующая в коротковолновом диапазоне.

3. В случае плоского слоя изучено влияние ПАВ на термокапиллярную неустойчивость. Показано, что присутствие ПАВ не приводит к сильной стабилизации равновесия, как предполагалось ранее. При этом возникает новый механизм неустойчивости, связанный с наличием примеси, и термокапиллярные возмущения становятся колебательными.

4. Рассмотрено взаимодействие термокапиллярного и термодиффузионного эффектов на устойчивость равновесия плоского слоя. Показано, что наличие термодиффузии оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесия.

5. Исследована устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя при нагреве внутренними источниками тепла и при подогреве внутренней твердой поверхности. Получено, что при учете деформируемости свободной поверхности появляются точки разрыва нейтральной кривой для осесимметрических возмущений и дано их обоснование. Показано, что нейтральная кривая фактически состоит из двух непересекающихся кривых, каждая из которых соответствует одному из механизмов неустойчивости: капиллярному

или термокапиллярному.

6. При исследовании устойчивости равновесия цилиндрического слоя обнаружены колебательные капиллярные возмущения, которые являются наиболее опасными для некоторых интервалов волновых чисел. Показано, что для недеформируемой свободной поверхности возможна только монотонная термокапиллярная неустойчивость.

7. Исследовано влияние капиллярных и термокапиллярных сил на устойчивость движения. Получено, что к потере устойчивости приводит взаимодействие трех основных механизмов неустойчивости: капиллярного, гидродинамического и термокапиллярного, при этом капиллярная неустойчивость доминирует в области длинноволновых возмущений, а термокапиллярная неустойчивость является наиболее опасной в области умеренных и коротковолновых возмущений.

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации опубликовано 49 научных работ, основными из них являются:

1. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. - Новосибирск: Наука, 2000. - 279 с.

2. Андреев В.К., Рябицкий Е.А. Малые возмущения термокапиллярного движения в случае цилиндра. - Красноярск: ВЦ СО РАН, 1984. - Деп. ВИНИТИ 27.11.84, № 7788-84. - 44 с.

3. Андреев В.К., Родионов A.A., Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоском слое при под действием внутренних источников тепла // ПМТФ. № 2. - 1989. - С. 101-108.

4. Рябицкий Е.А. Об устойчивости термокапиллярного движения в цилиндрическом слое // ПМТФ. № 4. - 1989. - С. 50-52.

5. Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в цилиндрическом слое при различных способах нагрева // ПМТФ. № 1. - 1991. - С. 28 - 34.

6. Рябицкий Е.А. Численное исследование устойчивости равновесия цилиндрического слоя жидкости при наличии внутренних источников тепла // ПМТФ. № 6. - 1991. - С. 67-72.

7. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. № 3. - 1992. - С. 19-23.

8. Рябицкий Е.А. О термокапиллярной неустойчивости равновесия плоского слоя при наличии внутренних источников тепла // Изв. РАН. МЖГ. № 2. - 1991. - С. 27-31.

9. Рябицкий Е.А. Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ. № 1. - 1993. - С. 6-10.

10. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии растворимого поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ. № 1. - 1996. - С. 3-8.

11. Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре // Изв. РАН. МЖГ. № 3.2000. - С. 3-9.

12. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. № 3. - 2001. - С. 3-12.

13. Andreev V.K., Ryabitskii Е.А. Numerical Investigation of thermo-capillarity instability of Marangony convection in cylindric layer // Micrograviti science and technology, Munich, Germany, Vol. VII, March. - 1994. - P. 36-40.

14. Andreev V.K., Ryabitskii E.A. Perturbations of the thermal diffusion motio of liquid with free boundary // Russ. Jour. Numer. Anal. Math. Modeling, Vol. 15, № 2. - 2000. - P. 111-125.

15. Ryabitskii E.A. Thermocapillarity instability of liquid layer with internal heat generation // Micrograviti science and technology, Munich, Germany, Vol. VII, March. - 1994. - P. 20-23.

16. Ryabitskii E.A. Oscillatory thermocapillarity instability of liquid layer with heated from below // Micrograviti science and technology, Munich, Germany, Vol. VII, August. - 1995. -P. 88-92.

Соискатель: gjftfj^

Подписано в печать /б. О 52003 г. Формат 60 ж 847x6 -Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН

Ф 14 8 6 3

Введение

1 Малые возмущения термодиффузионного движения жидкости со свободной границей п. 1.1 Движение жидкости со свободной границей п. 1.2 Линеаризованная задача о малых возмущениях п. 1.3 Амплитудные уравнения при наличии плоской симметрии.

1.3.1 Амплитудные уравнения.

1.3.2 Об определяющих параметрах п. 1.4 Уравнения движения и малых возмущений в цилиндрической системе координат.

1.4.1 Уравнения движения в цилиндрической системе координат

1.4.2 Амплитудные уравнения для стационарных осесимметричных термокапиллярных течений п. 1.5 Метод ортогонализации для численного исследования термокапиллярной неустойчивости.

2 Устойчивость равновесия плоского слоя п. 2.1 Плоский слой с вертикальным градиентом температуры.

2.1.1 Основные уравнения .:.

2.1.2 Неустойчивость слоя при подогреве твердой стенки

2.1.3 Неустойчивость при подогреве свободной границы слоя п. 2.2 Плоский слой с внутренними источниками тепла.

2.2.1 Критические числа Марангони для нейтральных колебаний

2.2.2 Результаты численных расчетов спектральной задачи п. 2.3 Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно-активного вещества.

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Монотонные возмущения

2.3.3 Нерастворимый ПАВ.

2.3.4 Растворимый ПАВ п. 2.4 Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя с учетом эффекта Соре.

2.4.1 Постановка задачи и выражение для чисел Марангони в случае нейтральных возмущений

2.4.2 Результаты численных исследований

3. Возникновение термокапиллярной неустойчивости в цилиндрической области п. 3.1 Устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя относительно монотонных возмущений.

3.1.1 Постановка задачи и уравнения малых возмущений

3.1.2 Преобразование амплитудных уравнений

3.1.3 Осесимметрические возмущения

3.1.4 Азимутальные возмущения

3.1.5 Общий случай. п. 3.2 Цилиндрический слой с внутренними источниками тепла.

3.2.1 Равновесное состояние.

3.2.2 Случай осесимметрических возмущений

3.2.3 Азимутальные возмущения.

3.2.4 Общий случай

3.2.5 Расчеты нейтральных кривых для условий теплоизоляции.

3.2.6 Расчеты нейтральных кривых для условия идеальной проводимости п. 3.3 Цилиндрический слой с подогревом твердой поверхности.

3.3.1 Формулы для нейтральных кривых .•.

3.3.2 Расчеты нейтральных кривых и. 3.4 Цилиндрический слой с комбинированным нагревом

3.4.1 Выражения для нейтральных кривых

3.4.2 Расчет нейтральных кривых. и. 3.5 Жидкий цилиндр с внутренними источниками тепла.

3.5.1 Формулы для чисел Марангони

3.5.2 Расчет нейтральных кривых.

4 Устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя. п. 4.1 Неустойчивость цилиндрического слоя с внутренними источниками тепла относительно произвольных возмущений.

4.1.1 Равновесное состояние и граничные условия

4.1.2 Длинноволновые возмущения

4.1.3 Результаты расчетов п. 4.2 Неустойчивость цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры.

4.2.1 Равновесное состояние и граничные условия

4.2.2 Результаты расчетов

5 Устойчивость стационарных течений при наличии цилиндрической симметрии. п. 5.1 Стационарные термокапиллярные течения в цилиндре и цилиндрическом слое п. 5.2 Устойчивость движения слоя с недсформируемой свободной поверхностью.

5.2.1 Устойчивость длинных волн

5.2.2 Анализ численных результатов п. 5.3 Влияние поверхностных волн на устойчивость свободной границы цилиндрического слоя

5.3.1 Амплитудные уравнения и их асимптотический анализ для длинных волн

5.3.2 Случай идеальной жидкости.

5.3.3 Анализ численных результатов

Диссертация посвящена изучению влияния термокапиллярного эффекта на устойчивость плоских и осесимметрических слоев жидкости, условиям возникновения конвекции при наличии поверхностно-активного вещества и термодиффузии.

Одной из важнейших задач технологии получения веществ с заданными свойствами является учет всех явлений происходящих в жидкой фазе. При этом, если расплав обладает свободной границей, то в случае тонкого слоя либо слабого силового поля влияние термокапиллярного эффекта на его устойчивость становится решающим. Такая ситуация возникает, например, при лазерной обработке материалов с плавлением /12/, которая применяется для легирования поверхностного слоя металла, в космической технологии при получении сверхчистых кристаллов /22/, /32/ и т.д. Важность математического моделирования такого рода процессов очевидна, так как проведение большой серии экспериментов обычно связано со значительными техническими трудностями и материальными затратами. Особенно это относится к экспериментам в космосе. Исследование же математической модели позволяет выделить основные факторы, влияющие на устойчивость расплавленного вещества и тем самым дает возможность оптимизировать технологический процесс.

В условиях, когда неравномерно нагретая жидкость со свободной поверхностью находится в состоянии, близком к невесомости, существенное влияние на устойчивость ее равновесия и движения оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и порождаемый ею термокапиллярный эффект.

Несмотря на то, что о существовании этого эффекта известно уже давно (см. подробный обзор в /79/), интенсивное изучение данного явления началось несколько десятилетий назад. В 1956 году Блок /58/, анализируя результаты собственных экспериментальных исследований условий возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведенных ранее опытов Бе-нара /56/, пришел к заключению, что в этих случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В 1958 году выходит первая теоретическая работа в этом направлении, выполненная Пирсоном /74/, в которой исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил. В этой работе предполагалось, что свободная поверхность недеформируема. Пирсоном был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Кроме того, им было показано, что состояние покоя наиболее неустойчиво при коэффициенте теплоотдачи Bi = 0, что означает отсутствие потока тепла через свободную поверхность. Независимо, в 1959 году вышла работа /84/, в которой рассматривалась концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несме-шивающихся жидкостей. Так как уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, а зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации примеси имеет такой же характер, как его зависимость от температуры, то задача /84/ близка к задаче Пирсона.

В последние годы в связи с развитием космической технологии появилось значительное количество работ, в которых теоретически и экспериментально изучается термокапиллярный эффект (см. монографии /22/, /32/, /16/ и цитируемую в них литературу). В отсутствие гидростатического давления в условиях невесомости форма ?кидкости определяется только ее поверхностным натяжением, что позволяет осуществлять плавление и затвердевание веществ без физического контакта со стенками. Такая бесконтактная технология исключает внесение загрязнения материалами контейнера или тигля, и ее можно использовать для получения сверхчистых веществ. При этом на свободной поверхности расплава под действием перепада температуры возникает термокапиллярное движение (конвекция Марангони), которая может привести к неоднородному распределению вещества в кристаллах (полосчатая неоднородность). Как отмечается в /22/, проведенные космические эксперименты по выращиванию кристаллов методом зонной плавки и Бриджмена показывают, что нестационарная термокапиллярная конвекция является потенциальным источником полосчатой неоднородности в кристаллах. В отсутствие свободной поверхности расплава полосчатость не возникает, а распределение примесей соответствует переносу, близкому по характеру к диффузионному. Отсюда следует, что термокапиллярная неустойчивость равновесного состояния и стационарного движения является важнейшим фактором, влияющим на качество кристаллов, выращиваемых в слабых силовых полях. О решающем вкладе зависимости поверхностного натяжения от температуры по сравнению с изменением плотности и вязкости говорят и полученные теоретические результаты. В /72/, /73/ исследовалось совместное влияние термокапиллярного и термогравитапионного механизмов на возникновение конвекции в плоском горизонтальном слое. Было показано, что если толщина слоя h ho = ^гс/рдР, то неустойчивость вызывается термокапиллярным механизмом, если же h > ho, то конвекция возникает за счет действия подъемных сил. Поскольку в обычных условиях д ~ 10~2 м/с2, то для расплава серебра имеем ho = 63 см и для расплава германия ho = 49 см (физические величины взяты при Т = 962° для серебра и Т = 986° для германия /48/). В реальных экспериментах радиус расплавленной зоны порядка нескольких миллиметров, и, следовательно, в слабых силовых полях термогравитационными силами можно пренебречь. В /69/ рассматривалось влияние зависимости вязкости от температуры на термокапиллярную неустойчивость для плоского слоя. Показано, что для расплавов металлов изменение вязкости /46/ приводит к незначительному уменьшению критического числа Марангони (порядка одного процента).

В связи с развитием современной технологии появились новые задачи, когда необходимо учитывать термокапиллярный эффект и в земных условиях. Например, при лазерном отжиге полупроводников /49/ или при лазерной обработке материалов с плавлением, которая применяется для легирования поверхностного слоя металла /12/. При этом на поверхности материала появляются относительно протяженные тонкие слои расплава (глубиной порядка нескольких мкм), в которых, согласно /72/, /73/, термокапиллярные силы доминируют над силами термогравитации. Возникающие здесь вопросы термокапиллярной устойчивости интенсивно исследуются /11/, /47/.

При исследовании устойчивости равновесного состояния неравномерно нагретой жидкости широкое применение получил "принцип монотонности возмущений" /14/ или, как его еще называют, "принцип смены устойчивости" /16/. Он заключается в том, что в задаче ограничиваются рассмотрением только монотонно возрастающих или убывающих со временем возмущений и не рассматривают осциллирующие. При этом получают зависимость какого-либо одного определяющего параметра, обычно числа Марангони, от других для нейтрального состояния устойчивости. Этот метод позволяет существенно упростить задачу, и обычно удается получить искомую зависимость в явном виде. Недостатком такого подхода является то, что при этом не рассматриваются колебательные возмущения, относительно которых неустойчивость может начинаться раньше. Однако исследования, проведенные в работе /85/, в которой искались колебательные возмущения для задачи Пирсона, и результаты, полученные во втором разделе данной диссертации, показывают, что в случае не-деформируемой свободной поверхности возможна только монотонная неустойчивость. При этом монотонные возмущения играют ведущую роль не только для однородной жидкости. Например, при исследовании устойчивости системы двух жидкостей конечной толщины с внутренней недеформируемой границей раздела колебательная неустойчивость была обнаружена только в системе трансформаторное масло - муравьиная кислота /29/. Но и для этой системы минимум нейтральной кривой реализуется для монотонных возмущений.

Таким образом, рассмотрение только монотонных возмущений имеет большую практическую ценность. Этот подход позволяет, не проводя расчета задачи на собственные значения, исследовать устойчивость равновесия в случае недеформируемой свободной поверхности и ограничиться численным анализом колебательных возмущений при учете деформации границы. Кроме того, полученные аналитические зависимости могут служить тестом для апробирования численных. методов, а также дают некоторое начальное приближение, с которого можно начинать расчет полной задачи.

Как отмечалось выше, исследование устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости относительно монотонных возмущений было впервые проведено Пирсоном для плоского слоя. Та же задача, но с учетом деформируемости свободной поверхности, рассматривалась в /80/. Было получено, что учет деформаций свободной границы приводит к понижению устойчивости в области малых волновых чисел, при этом длинные волны всегда неустойчивы. Для коротковолновых возмущений картина устойчивости не изменяется, а критические числа Марангони качественно и количественно согласуются с результатами Пирсона. Поиску колебательной неустойчивости в задаче /80/ посвящены работы /63/, /64/. Было показано, что в случае подогрева свободной поверхности в слое возможна колебательная неустойчивость. При нагреве твердой границы колебательная неустойчивость так и не была обнаружена.

Другое обобщение задачи /74/ на случай слоя с двумя свободными недеформируемыми границами рассматривалось в /6/, /81/. Было показано, что наличие второй свободной поверхности сильно понижает устойчивость, так при Bi = 0 получено Мс = 21.92 при волновом числе к = 1.2 (для сравнения, у Пирсона Мс = 79.6 при к = 2.1). Исследование неустойчивости равновесия слоя с двумя деформируемыми свободными границами проводилось в /10/. Показано, что наличие второй свободной поверхности не приводит к появлению новых механизмов неустойчивости.

Исследование термокапиллярной неустойчивости при наличии в жидкости примеси было начато в /54/. В этой работе рассматривалась задача Пирсона при наличии на свободной границе нерастворимых поверхностно-активных веществ (ПАВ). В предположении монотонности возмущений были построены нейтральные кривые для чисел Марангони, из анализа которых было сделано предположение, что наличие ПАВ приводит к сильной стабилизации равновесия. Дальнейшее обобщение этих исследование на случай растворимого ПАВ было продолжено в /75/ . В этой работе показано, что механизмы, связанные с наличием в жидкости концентрации примеси, могут привести к возникновению колебательной неустойчивости в слое. Аналогичный результат для двухслойной жидкости получен в /30/. В перечисленных работах деформируемость свободной поверхности не учитывалась.

Взаимодействие термокапиллярности с эффектом термодиффузии (эффектом Соре) рассматривалось в /63/ для полубесконечного слоя жидкости и в /64/ для слоя конечной толщины в случае подогрева свободной поверхности. Показано, что наличие эффекта Соре приводит к появлению осциллирующей неустойчивости.

Влияние деформируемости свободной поверхности и эффекта термодиффузии на устойчивость плоского слоя изучена в работе /68/. При этом рассматривался только случай подогрева свободной поверхности.

Исследование условий возникновения термокапиллярной конвекции в области другой геометрии проводилось в /5/ для шарового слоя и в /4/ для цилиндрического слоя. При этом в /5/ учитывалась деформируемость свободной поверхности, а в /4/ свободная граница считалась недеформируемой. Было показано, что при стремлении радиуса цилиндра или шара к бесконечности при постоянной толщине слоя решения этих задач переходят в решения соответствующих задач Пирсона.

Здесь уместно отметить, что устойчивость равновесия неравномерно нагретой жидкости со свободной границей подробно исследовалась в монографиях /16/, /28/, см. также обзор /60/. В /63/ рассматривалось влияние зависимости вязкости от температуры на термокапиллярную неустойчивость плоского слоя. Вопросы устойчивости равновесия плоских и сферических межфазных поверхностей раздела при наличии механических, химических и электрических воздействий рассмотрены подробно в сборнике статей /26/.

Как уже отмечалось ранее, изучение такого рода движений связано с развитием космической технологии и начато сравнительно недавно. В 1966 г. вышла работа Бириха /8/, в которой рассматривалось термогравитационное движение в плоском горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу. При этом была учтена зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В /55/ рассматривалась термокапиллярная конвекция в жидком цилиндре при заданном распределении температур. В /61/ получено стационарное осесимметрическое термокапиллярное течение в жидком цилиндре, индуцированное приложенным вдоль свободной поверхности градиентом температуры. Эта задача возникает при моделировании гидродинамических процессов в расплавленной зоне при выращивании монокристалла методом зонной плавки.

Обзор результатов численного изучения двумерной нестационарной термокапиллярной конвекции в условиях невесомости приводится в монографии /31/. В /59/ проводится численное исследование сильно нелинейной термокапиллярной конвекции в двумерной геометрии в пределе малого числа Прандтля. Численное исследование установившейся трехмерной термокапиллярной конвекции с учетом архимедовых сил дается в /71/.

Исследование термокапиллярной неустойчивости движений было начато в работе /19/. В ней рассматривалась устойчивость термокапиллярного течения Бириха /8/ (вклад термогравитационных сил не учитывался) для двух предельных случаев: медленные течения и длинноволновые возмущения. Полностью эта задача была исследована в /82/ для недеформируемой свободной поверхности. Было получено, что возмущения делятся на два типа: гидродинамические, соответствующие возмущению основного движения, и тепловые, обусловленные неоднородностью нагрева. При этом тепловые возмущения всегда являются монотонными и доминируют при больших числах Прандтля. Учет деформируемости свободной поверхности для этой задачи был проведен в /83/. Показано, что при этом появляются возмущения нового типа, которые приводят к уменьшению критических чисел Марангони в области малых волновых чисел. В предположении недеформируемости свободной поверхности в /86/ исследовалась устойчивость термокапиллярного течения /61/. Получено, что при

Pr > 62.2 наиболее опасными являются осесимметрические возмущения, а при Рг < 62.2 — азимутальные (m = 1). В /87/ для этой задачи рассмотрено совместное влияние капиллярных и термокапиллярных сил.

В /9/ дан обзор результатов, посвященных термокапиллярной неустойчивости течений в плоских слоях. В /9/, в частности, исследованы вопросы термокапиллярной неустойчивости плоских слоев со специальными свойствами: а) пленки с тепловыделением или охлаждением проницаемой перегородки; б) влияние высокочастотных вибраций на границу раздела двух жидкостей; в) влияние периодически расположенных твердых элементов на свободной поверхности слоя.

Работы по исследованию влияния эффекта Марангони на гидродинамическую устойчивость тонких пленок жидкости приведены в обзоре /21/.

Представленная диссертация посвящена решению крупной научной проблемы теплофизики: исследованию условий возникновения и устойчивости термокапиллярного движения, в том числе, при наличии поверхностно-активного вещества и учете эффекта термодиффузии.

Первый раздел посвящен постановке задачи о термокапиллярном движении жидкости и описанию численного алгоритма.

В п.1.1. рассматриваются уравнения движения вязкой теплопроводной жидкости с поверхностью раздела при наличии диффузионного переноса. Поскольку целью данной работы является исследование термокапиллярности как доминирующего механизма неустойчивости в слабых силовых полях, в уравнениях движения пренебрегаем зависимостью плотности и вязкости от температуры. При этом учитываются эффекты термодиффузии — эффекты Соре.

В п.1.2. получены уравнения малых возмущений произвольных гладких движений в предлагаемой модели.

В п.1.3. и и.1.4. для стационарных основных течений приводится задача для амплитуд возмущений в случае плоской и осевой симметрии соответственно. Обсуждается выбор безразмерных параметров и их диапазон изменения в реальных ситуациях. Решение обезразме-ренной задачи для амплитуд ищется в виде нормальных возмущений /27/, после чего исходная задача сводится к нахождению комплексного собственного числа системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Критерием устойчивости здесь служит знак мнимой части собственного числа. Особенностью задачи является то, что половина граничных условий задается на левом конце интервала, другая половина — на правом. Из-за появления дополнительных уравнений для температуры и концентрации и сложных граничных условий на свободной поверхности решение полученной задачи является более трудной проблемой по сравнению с классической задачей Орра-Зом-мерфельда. Кроме стандартных трудностей, связанных с наличием малого параметра при старшей производной, полученная задача характеризуется большим числом определяющих параметров, что требует проведения большого числа вычислений и затрудняет полный анализ основных факторов, влияющих на устойчивость.

Несмотря на то, что для численного анализа задач гидродинамической устойчивости предложено множество разнообразных методов (см. монографии /18/, /15/), наиболее широко используются преимущественно только два из них: это метод дифференциальной прогонки /18/ и метод ортогонализации /17/. Оба метода использовались при проведении тестовых расчетов, при этом было получено, что при примерно равных затратах расчетного времени метод ортогонализации является более универсальным и слабо зависит от класса задач. Поэтому при проведении основных расчетов преимущество было отдано этому методу.

В п.1.5. изложена адаптация метода ортогонализации для полученной в п.1.4. задачи на отыскание собственных значений.

Во втором разделе диссертации рассматривается устойчивость равновесия плоского слоя жидкости при наличии термокапиллярного эффекта.

При экспериментальном изучении различных аспектов термокапиллярной конвекции часто рассматривают горизонтальный слой ?кид-кости, покоящийся на неподвижной, хорошо проводящей тепло, твердой подложке, на верхней поверхности которой можно поддерживать фиксированное значение температуры, и ограниченный сверху свободной поверхностью, разделяющей жидкую и газовую фазы. Хороший контроль температурного режима в системе достигается при наличии ограничивающей сверху газ теплопроводящей пластины, так что газовая фаза заполняет тонкую прослойку между жидкостью и верхней крышкой. Данная конфигурация позволяете использованием современных экспериментальных методик провести весьма точные измерения основных параметров классической термокапиллярной неустойчивости. Для удобства математического моделирования различных процессов, происходящих в жидкости, часто рассматривают бесконечный в горизонтальном направлении слой.

В п.2.1. исследуется устойчивость равновесия плоского слоя под действием вертикального градиента температуры. Как отмечалось выше, именно при исследовании этой задачи Пирсону /74/ удалось показать, что наличие термокапиллярных сил может привести к потере устойчивости равновесия. При этом в /74/ считалось, что свободная поверхность не деформируема, и рассматривались только монотонные возмущения. Учет деформаций свободной границы для этой задачи, проведенный в /80/, показал, что влияние капиллярности проявляется только в области длинноволновых возмущений. Вопрос о наличии осциллирующих возмущений остался открытым. В /63/, /64/ удалось показать, что в случае подогрева со стороны свободной поверхности наличие капиллярных сил приводит к появлению колебательной неустойчивости в диапазоне длинноволновых возмущений. В п.2.1 показано, что учет капиллярности приводит к возникновению осциллирующей неустойчивости и при подогреве твердой границы. При этом капиллярная неустойчивость возникает в области коротковолновых возмущений и является наиболее опасной. Кроме того, при достаточно больших числах Марангони взаимодействие термокапиллярного и капиллярного механизмов неустойчивости приводит к появлению нового типа колебательных возмущений, которые доминируют в коротковолновом диапазоне.

В п.2.2. изучаются условия устойчивости плоского слоя при нагреве внутренними источниками тепла. Эта задача является аналогом задачи /80/ для квадратичного распределения равновесной температуры. Сравнение результатов показало, что для недеформируемой свободной поверхности равновесное состояние с квадратичным распределением температуры более устойчиво, чем с линейным (М* = 80, для сравнения, у Пирсона М = 48). Было показано, что при учете деформируемости свободной поверхности происходит не только понижение устойчивости в области малых волновых чисел /80/, но и происходит распад нейтральной кривой для монотонных возмущений на две несвязные части. Ранее разрывные нейтральные кривые были обнаружены только для двухслойной жидкости /6/, /81/.

Так как рассматриваемая задача является предельной для цилиндрического слоя, когда радиус цилиндра стремится к бесконечности, а толщина слоя фиксирована, было проведено численное сравнение соответственных критических чисел Марангони. Получена сходимость при d —> 1 минимума нейтральной кривой для цилиндрического слоя к минимуму соответствующей кривой для плоского слоя.

Поскольку обоснование точкам разрыва нейтральной кривой ранее не давалось, этот вопрос был здесь исследован. Проведенный анализ показал, что для деформируемой свободной поверхности нейтральная кривая является не единой кривой с точкой разрыва, а состоит из двух самостоятельных кривых, каждая из которых соответствует своему типу возмущений: термокапиллярному или капиллярному. Кроме того, при учете капиллярного механизма конвекции появляется колебательная неустойчивость, которая становится наиболее опасной в области малых чисел Прандтля и волновых чисел.

В п.2.3. рассматривается устойчивость равновесия плоского слоя при наличии поверхностно-активных веществ. Рассматриваются случаи растворимого и нерастворимого ПАВ. Для монотонных возмущений данная задача с нерастворимым ПАВ рассматривалась в /54/. Построенные в этой работе нейтральные кривые для чисел Маран-гони лежали существенно выше, чем соответствующие нейтральные кривые, полученные Пирсоном. Отсюда был сделан вывод, что ПАВ сильно стабилизирует термокапиллярную неустойчивость. Проведенный анализ всего спектра возмущений показал, что выводы, сделанные в /54/, были ошибочны. На самом деле область неустойчивости лежит не выше построенных нейтральных кривых, как предполагалось в /54/, а ниже. При этом термокапиллярные возмущения, соответствующие неустойчивости Пирсона, становятся колебательными. Кроме того, наличие ПАВ приводит к стабилизации капиллярной моды и качественному изменению формы нейтральной кривой.

В п.2.4 рассматривается взаимодействие термодиффузионного эффекта (эффекта Соре) с термокапиллярностью. Показано, что учет термодиффузии оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесия. Наиболее опасными при этом являются колебательные капиллярные возмущения, которые доминируют в диапазоне реальных чисел Марангони. Усиление дестабилизирующего влияния эффекта Соре происходит с ростом зависимости коэффициента поверхностного натяжения от концентрации. Наоборот, с ростом числа Прандтля происходит стабилизация равновесия и роль термодиффузии становится незначительной по сравнению с другими процессами.

В третьем разделе рассматривается условия возникновения термокапиллярного движения цилиндрического слоя относительно монотонных возмущений.

В п.3.1 приводится постановка задачи о возникновении термокапиллярной конвенции в покоящемся цилиндрическом слое под действием произвольного радиального распределения температуры. В предположении монотонности возмущений с помощью простой замены удается отделить задачу на отыскание возмущений вектора скорости и давления от общей задачи на собственные значения. Приводится решение отделенной задачи для трех самостоятельных случаев: осесимметрических (ш = 0), азимутальных (а = 0) и произвольных возмущений (т ф 0,а ф 0). После этого рассматриваемая задача сводится к решению линейного дифференциального уравнения 2-го порядка для возмущений температуры, у которого правая часть зависит от уже найденного возмущения скорости и заданной функции равновесного распределения температуры.

В п.3.2. исследуются условия возникновения термокапиллярной конвекции в цилиндрическом слое при нагреве внутренними источниками тепла. Эта задача интересна тем, что равновесное распределение температуры является комбинацией логарифмической и квадратичной функций, и ранее такие профили температур не исследовались.

Рассматривались два типа условий на твердой поверхности для температуры: теплоизоляции и идеальной проводимости. Получено, что качественное поведение нейтральной кривой для числа Маран-гони не зависит от типа граничного условия, но для равновесного состояния с условием проводимости соответствующая нейтральная кривая лежит выше.

Для осесимметрических возмущений получено, что при учете деформаций свободной поверхности кривая, описывающая зависимость критических чисел Марангони от волнового числа, распадается на две части. Кроме того, было получено, что при нагреве внутренними источниками тепла учет деформируемости свободной границы повышает устойчивость длинноволновых возмущений для первой азимутальной моды.

В п.3.3. проведен учет деформируемости свободной поверхности для задачи /4/. Получено, что, как и в плоском случае, происходит понижение устойчивости в области малых волновых чисел, при этом для коротковолновых возмущений критические кривые практически совпадают с /4/. Кроме того, для осесимметрических возмущений появляются две точки разрыва нейтральной кривой, которые при уменьшении числа Вебера "сливаются" и исчезают.

Для расплавленного германия приведена оценка перепада температуры, при котором происходит потеря устойчивости равновесия. Получено, что для возникновения термокапиллярного движения достаточно перепада равновесной температуры в расплаве порядка одного градуса.

В п.3.4. рассматривается устойчивость цилиндрического слоя при одновременном нагреве внутренними источниками тепла и подогреве твердой границы. Для недеформируемой свободной поверхности получено, что наиболее опасной будет первая азимутальная мода. Причем с убыванием безразмерной толщины слоя возрастает роль осесимметрических возмущений и примерно при d = 0.5 критические кривые для осесимметрических и азимутальных возмущений сливаются (здесь d — безразмерный радиус внутреннего цилиндра).

Проведенные исследования показали, что независимо от вида равновесной температуры увеличение d приводит к стабилизации равновесия. Кроме того, во всех рассматриваемых задачах было получено, что наиболее опасными возмущениями являются либо осесим-метрические, либо одна из первых двух азимутальных мод. При этом относительно остальных азимутальных мод равновесие всегда более устойчиво, и их можно не рассматривать.

В п.3.5 исследуются условия потери устойчивости жидкого цилиндра, нагреваемого внутренними источниками тепла. Эту задачу можно рассматривать как предельную, .если в цилиндрическом слое устремить радиус внутреннего цилиндра к нулю. Показано, что полученные кривые критических чисел Марангони также являются предельными для соответствующих кривых из п.3.2. при d —» 0.

В четвертом разделе рассматривается устойчивость равновесия цилиндрического слоя жидкости относительно произвольных возмущений.

В [1.4.1. численно исследуется устойчивость равновесия цилиндрического слоя жидкости при нагреве внутренними источниками тепла. Отмечено хорошее согласование численных результатов с найденными в п.3.2. аналитическими. Получено, что, как и в случае плоского слоя, для недеформируемой свободной поверхности колебательной неустойчивости нет, при этом точки разрыва нейтральной кривой имеют тот же смысл. Проведенные расчеты показали, что учет деформируемости свободной границы приводит к появлению колебательной неустойчивости, которая имеет место в ограниченном интервале волновых чисел. При этом коротковолновые колебательные возмущения стабилизируются силами поверхностного натяжения. Кроме того, обнаружено, что наличие термокапиллярного механизма конвекции стабилизирует рэлеевскую неустойчивость в области длинноволновых возмущений.

В п.4.2. исследуется термокапиллярная неустойчивость равновесия цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры. Показано, что при учете капиллярности наиболее опасные монотонные возмущения представляют собой комбинацию возмущений двух типов. При этом в интервале а < 1 потеря устойчивости происходит под действием рэлеевского механизма неустойчивости /62/, связанного с цилиндрической геометрией области, заполненной жидкостью. А для значений а > 1 реализуется классическая термокапиллярная неустойчивость, описанная Пирсоном /4/. Кроме того, при деформациях свободной поверхности появляется новая осциллирующая неустойчивость, индуцированная поверхностными волнами. Показано, что качественное поведение осесимметрических колебательных возмущений не зависит от геометрии области и полностью совпадает с поведением аналогичных возмущений в плоском слое, рассмотренных в §6. Установлено, что монотонная неустойчивость является доминирующей при больших числах Вебера. Осциллирующая неустойчивость, при этом возможна только в области очень коротких волн и больших чисел Марангони. При уменьшении жесткости свободной поверхности вклад колебательных возмущений в появление неустойчивости для умеренных и больших волновых числах становится решающим.

Пятый раздела предлагаемой диссертации посвящен исследованию устойчивости термокапиллярного течения в цилиндрическом слое.

В п.5.1. получено точное стационарное решение уравнений термокапиллярной конвекции в цилиндрическом слое. Полученное движение представляет из себя вихрь в плоскости rz с центром, сдвинутым к свободной границе. При этом максимальная скорость достигается на свободной поверхности, и с уменьшением безразмерной толщины внутреннего цилиндра интенсивность движения увеличивается. Построенное решение является обобщением течения /61/ и позволяет при моделировании учитывать все стадии расплавления заготовки. При этом движение в цилиндрическом слое при стремлении радиуса нерасплавленной части к нулю переходит в течение, найденное в /61/. Получено, что максимальная скорость течения достигается на свободной поверхности, при этом с уменьшением безразмерной толщины внутреннего цилиндра интенсивность движения увеличивается.

В п.5.2. исследуется устойчивость термокапиллярного течения в цилиндрическом слое жидкости в упрощенной постановке: считается, что свободная поверхность не деформируется. Такое предположение справедливо, если ограничиться рассмотрением только коротковолновых возмущений, поскольку капиллярные силы доминируют в области длинных волн. Кроме того, такой подход позволяет рассматривать термокапиллярную неустойчивость в чистом виде, без взаимодействия с капиллярной. Проведенные исследования показали, что, как и в плоском случае, все возмущения делятся на два типа: гидродинамические и термокапиллярные. При этом наиболее опасными всегда являются гидродинамические возмущения. Получено, что при уменьшении безразмерной толщины слоя происходит возрастание роли осесимметрических возмущений. Так, для d = 0.1 осесиммет-рические возмущения являются наиболее опасными при Рг > 12.1 (для жидкого цилиндра — при Рг > 62.2). Кроме того, показано, что при небольших числах Прандтля увеличение безразмерного радиуса внутреннего цилиндра может приводить к понижению устойчивости.

В п.5.3. исследовалась устойчивость движения в цилиндрическом слое при совместном влиянии капиллярного и термокапиллярного механизмов. При этом обезразмеривание выбрано так, что при стремлении числа Вебера к бесконечности эта задача переходит в задачу об устойчивости равновесия цилиндрического слоя идеальной жидкости. Для предельного случая получено аналитическое решение, которое при d —> 0 переходит в известное решение Рэлея /23/ для жидкого цилиндра. Анализ полной задачи показал, что при учете деформаций свободной поверхности появляются возмущения нового типа — капиллярные, которые соответствуют неустойчивости Рэлея.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Настоящая диссертация выполнена автором в ИВМ СО РАН (г. Красноярск). Основные результаты опубликованы в работах /1-3/, /3345/, /50-53/, /76-78/.

Основные результаты по теме диссертации докладывались на на следующих конференциях:

- IV Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Новосибирск, 1987);

- VII Всесоюзном семинаре по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения задач математической физики (Кемерово, 1988);

- Советско-японском симпозиуме по вычислительной аэродинамике (Хабаровск, 1988);

- Международной IMACG конференции по математическому моделированию и прикладной математике (Москва-Вильнюс, 1989);

- Всесоюзном семинаре по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Новосибирск, 1990);

- Международном симпозиуме по гидромеханике и тепломассопе-реносу в микрогравитации (Пермь, 1991);

- Международной конференции по проблеме свободной границы в механике сплошной среды (Новосибирск, 1991);

- I-IV школах молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Красноярск, 1987, 1989, 1991, 1992);

- 10 Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995);

- II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996);

- Международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 1999);

- Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001).

Автор выражает благодарность профессору В.К. Андрееву за постоянное внимание и полезное обсуждение работы.

1 МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

ТЕРМОДИФФУЗИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

В этом разделе дается постановка задачи и выводятся уравнения малых возмущений произвольных гладких движений ?кидкости со свободной границей. При этом учитываются эффекты термодиффузии (эффект Соре). В случае стационарных течений приводятся уравнения для амплитуд возмущений при наличии плоской и вращательной симметрии, которые в дальнейшем используются при анализе устойчивости либо состояний покоя, либо конкретных стационарных течений. Обсуждаются комплексы безразмерных параметров, приводятся их числовые значения для жидкостей, участвующих при технологических экспериментах в условиях невесомости. В последнем параграфе главы описывается метод численного решения спектральных задач — метод ортогонализации С.К. Годунова, его адаптация к особенностям рассматриваемых здесь вопросов устойчивости.

Основные результаты этого раздела опубликованы в работах /1/, /2/, /53/.

1.1 Движение жидкости со свободной границей

Рассмотрим движение несжимаемой теплопроводной вязкой жидкости со свободной границей. Обозначим через Q область, занятую жидкостью; через p,v,x — соответственно, плотности, кинематические вязкости, коэффициенты температуропроводности. Далее предполагается, что эти параметры — положительные постоянные. Тогда движение жидкости описывается системой уравнений при х 6 Q (рассматривается случай, когда нет существенного градиента давления, а концентрация и температура мало меняются в жидкости, так что коэффициенты переноса можно считать постоянными): щ + иЧй + -Vp = vAu + д, (1.1) Р divu = 0, (1.2) et + u-ve = x&o + q, (1.3) c£ + t?.Vc = (1.4) где it(x,t) — вектор скорости; вс — некоторая постоянная средняя температура; р — отклонение давления от гидростатического; в — температура; с — концентрация; g(x,t) — вектор внешних сил; q{0,x,t) — заданные внутренние источники тепла; d — коэффициент диффузии.

Замечание 1. Уравнение (1.3) может включать в правую часть диссипативную функцию

2v

Ф = — D \ D, ср с}, — удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении, D(u) — тензор скоростей деформаций. В правой части (1.3) не учитываем диффузионную теплопроводность, поскольку этот поток тепла пренебрежимо мал по сравнению с величиной теплового потока Фурье, см. /24/.

Замечание 2. Вектор скорости й может удовлетворять уравнениям другой модели, например, Обербека-Буссинеска. Однако для сжимаемой жидкости в левых частях уравнений (1.3), (1.4) будут содержаться выражения div {рис) и div (рви).

Предположим, что процессами переноса в газе можно пренебречь, и будем считать давление газа pgas постоянным, а его температуру 9gas на границе с жидкостью заданной функцией х и t. (В практических приложениях наиболее естественная ситуация характеризуется постоянным значением 0gas.) Обозначим для определенности через Г границу раздела жидкости Q с газом. На поверхности Г должны быть выполнены: кинематическое условие и • п = Vn, (1-5) динамическое условие

Pgas - (р + Р9 • х)]п + 2pvD(u)n = 2СгНп + V//<7 (1.6)

V// = п — «(V • п) — поверхностный градиент) и условие теплового контакта дв k-^ + y(e-egas) = Q, (1.7) где Q — заданный поток тепла.

В динамическом условии (1.6) опущены слагаемые, связанные с ускорением свободной границы (силами инерции Г), поверхностными сдвиговой вязкостью и вязкостью растяжения; в реальных ситуациях они пренебрежимо малы.

В (1.7) к = const — коэффициент теплопроводности; 7 > 0 — коэффициент межфазного теплообмена; для простоты будем считать 7 = const. В условии (1.6) опущен член pgasg-x, связанный с потенциальной энергией газа в поле силы тяжести. Это допущение оправдано, поскольку обычно отношение pgas/p имеет порядок 10~3.

Перенос ПАВ вдоль границы Г описывается уравнением

St + V//' (us) - drATs = j,

1.8) где s — поверхностная концентрация, dг — коэффициент поверхностной диффузии ПАВ, Др — оператор Лапласа-Бельтрами, j„ — поток вещества с поверхности в объемную фазу. Величина потока jn определяется процессами переноса ПАВ вглубь жидкости и с учетом термодиффузии имеет вид

Здесь с — концентрация примеси в жидкости. С другой стороны, обмен веществом между поверхностью и жидкостью происходит за счет процесса адсорбции-десорбции, и величина потока равна где и кр — коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно (при наличии химических реакций на Г зависимость может быть и нелинейной).

Поверхностное натяжение есть функция температуры и концентрации: а = a(0,s). Часто используется линейная зависимость, например, для расплавов металлов: сг(в, s) = сто — c*(s — so) — ае(# — #о)> а, ае = const. (1-И)

Поверхность Г, на которой выполняются условия (1.5)—(1.11), называется свободной границей.

Поверхность твердого тела, контактирующего с жидкостью, обозначим через Е. На ней ставится условие прилипания

1.9) jn = kAc - kDs, х€Г,

1.10) й = а(х, t), х £ Е,

1.12) где a(x,t) — скорость движения стенки Е. Кроме того, будем считать, что температура в точках Е удовлетворяет одному из условий = o = b(x,t), xes, (1.13) с заданными функциями Q(x, t),b(x, t).

Если через твердые поверхности Е нет потока вещества, то + *6Е. (1.14)

Когда идет диффузия от тела, растворяющегося в жидкости, то вблизи его поверхности быстро устанавливается равновесие, при котором концентрация в примыкающей к поверхности тела жидкости равна концентрации насыщенного раствора со. Диффузия вещества из этого слоя происходит медленнее, чем процесс растворения. Поэтому граничное условие (игнорируя погранслой) можно взять таким: с = сь хеЕ. (1.15)

Если же твердая поверхность "поглощает" попадающее на нее диффундирующее вещество, то граничным условием будет (1.15), где с, = 0.

Соотношения (1.1)—(1.15) следует дополнить начальными условиями

Q = (1.16) u(x,0) = u°(x),xeQ°, (1.17) в(х,0) = в°{х),хеп°, (1.18) с(£,0) = c°(f), (1.19)

В случае присутствия ПАВ добавляется начальное условие s(f,0) = s0(f), х е Г°, Г° — свободная граница Q°. Если поверхность Е не имеет общих точек с Г, то постановка нестационарной задачи о термодиффузионном движении закончена. Сформулируем эту задачу. Требуется найти области Q и функции й,р,в,с, s, определенные в областях Q, так, чтобы выполнялись уравнения (1.1)—(1.4), граничные условия (1.5)—(1.11), (1.12)—(1.15) и начальные условия (1.16)—(1.19). При наличии движущейся линии контакта L поверхностей Г и S возникают дополнительные трудности (так называемая проблема динамического краевого угла). Природа и способы преодоления этих трудностей обсуждаются в /16/.

1.2 Линеаризованная задача о малых возмущениях

Пусть известно решениеи(:г, £),;?(:?, £),#(:?, £),c(£,£),s(:r,f) задачи (1.1)-(1.11), (1.12)—(1.19) в области Q. Положим х = х + X(x,t),X — вектор смещений частиц жидкости или вектор возмущений, —* .

Ar|t=o = 0. Обозначим через Q область, получаемую сдвигом Q на вектор „Y. Рассмотрим другое решение 0, с, s в области Q с начальным полем скоростей щ = й0(х) + U0(x), div щ = 0.

Представим функции 0, с, s в виде u(x,t) = u(x,t) + U(x,t), t = t, p(x, t) = p(x, t) + P(x, t),

0(£, t) = t) + T(f, t), (1.20) c(x, t) = с(х, t) -f K(x, t), s(x, £) = s(£, £) + S(x, £), где U,P,T, Ii,S— возмущения основного решения Предw полагая малость начального возмущения скорости U0, мо?кно надеяться на то, что возмущения будут малыми хотя бы на небольшом интервале времени. Тогда уравнения на возмущения можно упростить, отбросив в них все члены, нелинейные относительно возмущений. Вектор возмущений также предполагается малым вместе со своими производными, так что область Q, мало отличается от Q. Поэтому можно представить равенства (1.20) в линейном приближении в виде й(х, t) = й(х, t) + X V и +U(.т, t), р(х, t) = р(х, t) + X -S7P + 0>

0(£, t) = в(х, t) + X • S70 + Т(х, t), с(х, t) = с(х, t) + X • Vc -f А'(£, £), s(ir, £) = s(x, t) + X - s/s + S(x, t).

В линейном приближении справедливы формулы преобразования производных

N* — транспонированная к N матрица. Используя эти равенства и проведя преобразования, получим в линейном приближении в О,

Ut + uvU + Us7u + ^vP = vAU, (1.22) div t7 = 0, (1.23)

Tt + й • VT + и • \/в = хЛТ + — D{u) : D(U), (1.24) ср

Xi + uyX = Xsyu + U, (1.25)

Л' + fc^). (1.26)

В уравнении энергии (1.24) учтен член, связанный с диссипацией. Заметим, что (1.25) эквивалентно в области Q уравнению <\\vX = 0. Это следует из (1.23), divu = 0 и легко проверяемого тождества div (uvl-iv«j = й • V(d\v X) - X • S7(d\v й).

Перейдем к линеаризации граничных условий (1.5)—(1.11). Представим вектор X на свободной границе в виде

X = Rn + X\, где A"i лежит в касательной к Г плоскости, а / = f(x, t)+F(x, t) = 0 — уравнение возмущенной поверхности Г. Тогда (1.5) для основного и возмущенного движений запишутся так (заметим, что V„ = —///|V/|, где f(x, t) = 0 — уравнение Г): ft + u-S7f = 0, хеГ, fi + u- Vx/ = 0, х е г. Используя (1.21) и тождество, справедливое для любого вектора д, получим

Ft +U-VF + U- v/ = 0. (1.27)

Kt + й • \jK + С/ • Vе d/\(

Заменяя в (1.27) U на Г из (1.25), с учетом того, что Я = V//I V /I» найдем

F +1v/|Л) = 0, хет, (1.28) где

R = n-X, £еГ, (1.29) является нормальной составляющей вектора возмущений на свободной поверхности.

Замечание 3. Если на Г задана функция д(х) = 0, д = д + G, д|г = 0, тогда в линейном приближении будем иметь д(х) + Vg • Х+ +G(x) = 0, и это условие теперь сносится на невозмущенную границу Г. Откуда

V9-X + G(x) = 0, х е Г.

Однако X = Rft + Х\ на Г, где Х\ лежит в касательной плоскости, и \/(j- Х\ представляют собой производную но касательному к Г направлению. Поскольку д = 0 на Г, значит, и sjg • A'i = 0 на Г, и линеаризованное условие на Г будет иметь вид

R + G(x) = 0, хеТ.

Поэтому ниже, при линеаризации, будем опускать все выражения, связанные с Х\.

Соотношение (1.6) имеет векторную форму. Далее полагаем, что невозмущенная поверхность Г является гладкой. Это означает, что (ai,«2) 0 суть параметрическое задание Г гладкими функциями, а тройка векторов Я, xQl,xQ2 образует локальный базис, вообще говоря, неортогональный, причем векторы xQl,xn2 лежат в касательной к Г плоскости. Поэтому (1.6) эквивалентно трем скалярным уравнениям

Pgas — Р — РЯ ' х + 2pvD(u)n • п = 2сгН, (1.30)

2pvD{u)n • Xq12 = VllО ' (1-31)

Найдем сначала нормаль для возмущенной поверхности Г. Имеем ^ X Xai) X (xQ2 -f- XQ2) ^ xftl X xQ2 | \(xQl + XQl) x (xQ2 + Xq2)| ^n+(xaixXQ2 + X xxQ2) n ^ [r1.(fQiX^Q2+ (132)

XQl x f«2)] = Я + Й1 в линейном приближении, причем щ • п = 0. Согласно замечанию

3 можно не учитывать касательную составляющую Х\ вектора Лг, поэтому в (1.32) достаточно положить Л'а, 2 = /?0,2п + Rnni 2. После этого легкий подсчет по формулам дифференциальной геометрии дает

Щ = EG\f2 \(Ro2F - RQ1G)xni + {RQlF - RQ2E)xa2], (1.33) где E = |5o,|2» G = F — ^o, — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности Г. Мы воспользовались формулами

1,2 • («о,.а X najii) = 0, ха1 • (я х XQ2) = -у/EG- F2,

Xq2 • (xQl х п) = — у/EG — F2.

Учитывая замечание 3, формулу (1.32) для возмущения нормали, найдем главную линейную часть приращения выражения в левой части равенства (1.30):

-Р + 2 |/млО(с7)й • п + pv^^n ' r~lR + 2pvD(u)n • ni|

-^R-rS-nR

Для правой части имеем а{вГз)Н ^ о{в + + + ~ R + S){H + Нх) ^ где #i — линейная часть приращения средней кривизны,

2Я1 = Й + ^)л+Лг/г' D\,D2 — главные радиусы кривизны невозмущенной поверхности Г, Ау — ее оператор Лапласа-Бельтрами. Оператор Аг имеет вид у/a iJ=l дщ сfaj в котором а = det(ajj),J=i)2, а,у = dx[dardx/dcxj — компоненты кова-риантного метрического тензора; atJ — соответствующий ему контрвариантный тензор (матрица (av) обратна матрице hj =1,2).

Аналогичным образом проводится линеаризация граничных условий (1.31) и (1.7), (1.8). В результате будем иметь на свободной границе

-Р + 2[pvD{V) й • п + 2puD(u) Я • ni] =

R+ дрл. — ! 1 ^ 1 и о дщй)^ oArR + 2% НТ + 2~ HS, (1.34) ас/ as

2\pvD{U) п • xai 2 + п ■ xQl 2R+ дтг pvD(u) n • (nR)al 2 + puD(u) n 1 • xQl 2 = da dO

ОТ (09 + — R dc*it2 \dn J oj 2

0,2. + dO2 (dn^"*""^) 0ait da /ds d2*7 ds \0n JQl j ds'2 da

1,2 + On d2a dOds

09 f Oai)2 V

On

Os

0n

Oa 1,2. an on1

1.35)

1.36)

Если на поверхности раздела Г имеется ПАВ, то полагая на Г s = 5 + ROs/On + 5, получим

Ои uS + s—^ R) + Vji(sU) - drArS =

JOK 02c kg (029 0T\\ . ryi—\

-d

OK 02c ^ /<920 „ „„ <9Г cra onz 9с \опг on

Ос kA (^-R + K)-kDS.

1.38)

Для полного определения возмущенного движения необходимо задать начальные условия при t = О

U = Uq, dWUo = О, 39

F = F0, X = 0, Tj = 0, (1.39)

К = KQ.

Если имеется контакт жидкости с твердой стенкой, то на линии смачивания L выполняется условие

• д Я

U = 0 или — + qR = 0, (1.40) at где q — известная функция. Оно означает сохранение угла смачивания (см. /16/, там же приведены и обозначения). На твердых стенках Е

- / дТ \ и = 0, Х = 0, Т = 0 (либо — = о) , (1.41) дК квдТ Л / дК л м an вс on \ on J

В (1.35) были использованы формулы дв

Щ • ХаХЛ = -i?ftli2, S7i]0 • 2 = V^ • = cfoit2

Я • £Ql 2 = 0, V//C • £01,2 = дс/дац.

В (1.32), (1.34)—(1.38) вектор п\ определяется равенством (1.33).

Поскольку функция s определена только на свободной поверхности в д± дп

1.35) имеем f- = 0.

1.3 Амплитудные уравнения при наличии плоской симметрии

Основные результаты данного раздела опубликованы в работах /35/, /41/, /45/.

4.1 Неустойчивость цилиндрического слоя с внутренними источниками тепла относительно произвольных возмущений

4.1.1 Равновесное состояние и граничные условия

Рассмотрим цилиндрический слой жидкости с внутренними источниками тепла интенсивности q = const. Пусть на твердой границе для температуры задано условие теплоизоляции. Тогда число Марангони и равновесная температура в слое после обезразмеривания имеют вид (см. н.3.2)

М = аупг\!риъ Щ) = Рг-Ч^п Z + (1 " 0/2], (4.1) где 7! = gri/2*.

Устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя с.равновесным распределением температуры (4.1) относительно монотонно нарастающих возмущений исследовалась в п.3.2. Были получены выражения для нейтральных чисел Марангони и рассмотрено влияние различных параметров задачи на поведение нейтральных кривых. В то же время в рамках исследования монотонных возмущений не удается дать объяснение разрывности нейтральных кривых. Остается также открытым вопрос о наличии осциллирующей неустойчивости. Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо решить полную задачу (3.2)-(3.4) для произвольных возмущений.

Чтобы исследовать термокапиллярный механизм конвекции отдельно, без учета капиллярности, целесообразно рассмотреть задачу в упрощенной постановке, а именно: считать, что свободная поверхность недеформируема (R = 0). В этом случае неустойчивость может возникнуть только из-за неоднородности распределения температуры на свободной поверхности. В рассматриваемой задаче это условие, за исключением случаев or = 1, ш = 0 и а = 0, m = 1, можно формально получить из третьего условия (3.4), положив We = оо. Тогда граничные условия при £ = 1 примут вид

V - V + гтМТ = 0, W' -f iaMT = 0, /7 = 0, (4.2)

Т + BiT = 0. в перечисленных выше исключениях при т = 0 прямая а = 1 соответствует границе рэлеевской неустойчивости и при рассмотрении термокапиллярного механизма не учитывается. При а — 0, т = 1 имеет место только тривиальное решение.

4.1.2 Длинноволновые возмущения

Проведем асимптотический анализ длинноволновых возмущений (а -> 0) при m = 0 системы (3.2), (3.3), (4.2). В этом случае задача для функции V отделяется. Пусть We = оо; полагая аС = 0(а), получаем характеристическое уравнение для определения комплексного декремента:

7 = (гаСРг)1/2, Jo, Ji,Yo,Vi — функции Бесселя 1-го и 2-го рода). Уравнение (4.3) имеет счетное число вещественных корней.

Если We ф оо, тогда, предполагая, что С = 0(a), Т = 0(\/а) при а —> 0, Bi ф 0, находим

Из (4.3) и (4.4) нетрудно видеть, что при m = 0, Bi ф 0 длинноволновые возмущения всегда монотонны и в случае We = оо состояние равновесия устойчиво. l[h(l)Yx(ld) - У, Wifrd)] + Bi[Yob)Mid) - (4.3)

-Jo(l)Yi(ld)) = 0

4.4)

4.1.3 Результаты расчетов

Численное решение задачи (3.2)-(3.4), (4.1) осуществлялось методом ортогонализации. Полученная в 3.2. аналитическая зависимость для нейтральных чисел Марангони использовалась для контроля расчетов, а найденные асимптотические значения (4.3) и (4.4) — в качестве начального приближения.

На примере расплава германия с Рг = 0.016, Bi = 2 исследуем влияние капиллярного и термокапиллярного механизма на устойчивость равновесия. Рассмотрим осесимметрическйе возмущения (т = 0), полагая d = 0.1.

Пусть свободная поверхность недеформируема (We = со). Проведенные расчеты показали, что в этом случае потеря устойчивости происходит при М > 216, что совпадает с аналитическими результатами, полученными в § 11. Кроме того, для всех а получено, что Сг = 0. На рис. 4.1 приведены результаты расчетов Сг- от а для наиболее опасных мод, построенных при М = 300 и 80 (кривые 1, 2). Соответствующая нейтральная кривая приведена на рис. 4.2 (кривая 1). Таким образом, анализ полученных численных и аналитических результатов показывает, что в случае недеформируемой свободной поверхности (термокапиллярный механизм возникновения конвекции) реализуются только монотонные возмущения.

Учет деформации свободной поверхности приводит к дестабилизации равновесия. При этом спектр наиболее опасных возмущений имеет более сложный вид и для М = 80 приведен на рис. 4.1. Кривая 2 иллюстрирует изменение термокапиллярной моды при уменьшении числа Вебера. Отметим, что для этой моды Сг всегда равно нулю, независимо от We. Соответствующая данным возмущениям нейтральная кривая при We = 104 приведена на рис. 4.2 (кривая 2). Кроме того, учет деформации свободной поверхности приводит к появлению нового механизма неустойчивости. Как показано на рис. 4.1, в этом случае появляются две новые монотонные в области малых а моды (кривые 4, 5). При этом кривая 4 лежит в верхней полуплоскости и начинается с асимптотики (4.4). Точки пересечения кривой 5 с осью С{ = 0 (а = 0.53 при М = 80) формируют монотонную капиллярную нейтральную кривую, которая для We = 104 приведена на рис. 4.2 (кривая 3). При увеличении числа Марангони кривые 4 и 5 смещаются вниз и для 94.5 < М < 95.6 капиллярная монотонная кривая определяется точками пересечения кривой 4 с осью С,- = 0. При М > 95.6 монотонная неустойчивость в области малых а исчезает.

Рассмотрим возникновение колебательной неустойчивости. Как показано на рис. 4.1, с ростом а монотонные капиллярные моды сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару. Мнимая часть декремента на рис. 4.1 соответствует кривой 6, а нейтральная кривая для колебательной неустойчивости приведена на рис. 4.2 (кривая 4); она состоит из двух частей, связанных между собой кривой 3, точки перехода одной кривой в другую следующие: а = 0.16, М = 94.5 и а = 0.95, М = 18.9.

Кроме подогрева жидкости, аналогичный механизм возникновения колебательной неустойчивости имеет место и при охлаждении. В этом случае, как показано на рис. 4.2, нейтральная кривая колебательных возмущений (кривая 5) ответвляется от нейтральной кривой капиллярных монотонных возмущений. Область устойчивости на рис. 4.2 ограничена слева и снизу при 0.95 < а < 1.14 линией 3 и при 1.14 < а < 1.56 — линией 5. Сверху граница проходит по кривой 4 при 0.95 < а < 1.92 и кривой 2 при а > 1.92. Кроме того, появляется "островок устойчивости" в области малых волновых чисел, ограниченных сверху левой частью кривой 4 и снизу прямой М = 95.6. Отметим, что кривая 5 и верхняя ветвь кривой 4 имеют одну и ту же асимптотику а = 1.56, следовательно, наблюдается аналогия в поведении нейтральных кривых для монотонных и колебательных возмущений.

Таким образом, все возмущения делятся на два типа: термокапиллярные и капиллярные, каждый из которых соответствует своему механизму неустойчивости. Термокапиллярная неустойчивость обусловлена наличием температурной неоднородности на свободной границе и связанным с нею термокапиллярным эффектом. Возмущения этого типа всегда монотонны и играют ведущую роль при больших волновых числах. Для случая цилиндрической геометрии этот механизм неустойчивости был получен в /4/.

Капиллярные возмущения возникают из-за деформируемости свободной границы и реализуются в виде пары волн, бегущих по поверхности. Этот тип неустойчивости является ведущим при небольших а и был впервые обнаружен /62/. Взаимодействие этих механизмов приводит к возникновению колебательных возмущений, относительно которых неустойчивость возможна только в ограниченном интервале волновых чисел (а < 1.95 для We = 104). При этом коротковолновые возмущения стабилизируются силами поверхностного натяжения. Кроме того, наличие термокапиллярного механизма конвекции стабилизирует неустойчивость Рэлел в области длинных волн.

Описанное выше поведение наиболее опасных возмущений характерно для чисел Био, не равных нулю. Если свободная поверхность теплоизолирована (Bi = 0), то механизм возникновения колебательных возмущений будет уже другим. На рис. 4.3 приведены графики капиллярных мод, построенные при Bi = 0, М = 2, We — 104. Как показано на рисунке, длинноволновые возмущения всегда осциллирующие, а состояние равновесия относительно этих возмущений неустойчивое. При уменьшении длины волны колебательная мода (кривая 1) разделяется на две монотонные ветви (кривые 2, 3), нижняя из которых пересекает ось С,- = 0 и формирует нейтральную кривую для монотонных возмущений. При дальнейшем увеличении волнового числа монотонные моды сливаются, вновь образуя комплексно-сопряженную пару (кривая 4). Соответствующие нейтральные кривые приведены на рис. 4.4. Здесь кривые 1, 2 отвечают монотонным возмущениям, 3, 4 — колебательным. Область устойчивости односвязна и ограничена слева кривыми 2 и 3.

Рассмотрим влияние других параметров задачи на поведение нейтральных кривых. Интересный эффект наблюдается приуменьшении безразмерной толщины слоя, а именно: с ростом Сточки перехода колебательной нейтральной кривой в монотонную смещаются навстречу друг другу и при некотором do появляется "мостик" между областями устойчивости. В качестве иллюстрации рассмотрим рис. 4.5, на котором приведены нейтральные кривые, построенные при d = 0.5, Bi = 2, We = 104 (для этих Bi и We получаем d0 = 0.447). Область устойчивости заштрихована. Аналогичное поведение нейтральных кривых наблюдается и при уменьшении Рг. В этом случае образование связанной области устойчивости происходит при очень малых значениях Рг (порядка Ю-4). Кроме того, уменьшение Рг приводит к дестабилизации равновесия.

Рассмотрим азимутальные возмущения (т ф 0). Известно /62/, что при наличии капиллярного механизма конвекции данные возмущения всегда устойчивы. Однако учет термокапиллярности приводит к появлению колебательной неустойчивости, которая может быть наиболее опасной. На рис. 4.6 представлены нейтральные кривые, построенные при m = 1, Bi = 2, Рг = 0.016, We = 104 (1, 2 отвечают монотонным, а 3, 4 — колебательным возмущениям). Таким образом, наблюдается качественное совпадение поведения азимутальных и осе-симметрических нейтральных кривых. При этом осесимметрические возмущения будут более опасные, чем азимутальные. Проведенный численный анализ показал, что колебательная неустойчивость возможна только при га = 1. При увеличении азимутального волнового числа колебательные возмущения стабилизируются капиллярностью.

4.2 Неустойчивость цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры

4.2.1 Равновесное состояние и граничные условия

Рассмотрим цилиндрический слой вязкой теплопроводной жидкости, ограниченный твердой внутренней и свободной внешней поверхностями, при отсутствии массовых сил. Введем цилиндрическую систему координат с осью 2, направленной вдоль образующей цилиндра. Уравнения твердой и свободной границ, соответственно, г = г0 и г = ri. Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры описывается формулой о = о о — ае(0 — 6q).

Пусть в жидкости задан радиальный перепад температуры в\. Тогда в слое возможно равновесное состояние и градиент температуры в равновесии равен

0Г= 01 s ln(r0/ri) г' где s = 1 в случае подогрева внутреннего цилиндра (0|г=го = и s = — 1 при нагреве свободной поверхности (0|r=r, =

Выберем в качестве масштаба длины, времени, скорости, давления и температуры ri, r\/v, u/r, p2/r\, vyr\s/x соответственно. Здесь р — плотность, и,х — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, у = -0Г|Г=Г1 = —9о/1п(г0/г1) • (s/r\).

Ищем возмущения вектора скорости, давления, температуры и нормальной составляющей свободной поверхности в виде

U,V,W,P,T,R) = (U(Z),V(Z),W(ti),P(ti),T(0,R)x х ехр[гат/ + imp — г'Ст], где а,т — осевое и азимутальное волновые числа; С = Сг + г'С,- — комплексный декремент; г — безразмерное время. Уравнения малых возмущений примут вид

27Т7 aU + Pt = -iaWz-— гтп „ aV + —P =

2im rr aW + iaP=^W^)b (4.5)

1 Iffl

КГ-J = где а = а2 + m2/£2 - г'С, 6 = а2 + т2/£2 - г'РгС; условия на твердой границе (£ = d):

U = V = W = Т^ = 0] (4.6) на свободной поверхности (£ = 1):

Vz-V + imU = —imM(T -f ^Л), гаС/ + И^ = -1'огМ(Г + ^Л), (4.7) iCR = U,

-Р + = -М(Т + ^Л) + We(l - а2 - m2)i?, BiT + (% + BiO^R = 0.

Здесь £ = r/r\\d = го/г\;М = sy<&r2/pv\ — число Марангони; We = г\Оц/pv2 — число Вебера; Pr = vj\ — число Прандтля; Bi = рг\/А — число Био; А,/? — коэффициенты теплопроводности и межфазного теплообмена.

В полученной задаче для возмущений в случае подогрева твердого цилиндра числа Марангони будут положительны, а при нагреве свободной поверхности — отрицательны.

Граница устойчивости равновесия определяется условием С,- = 0. Решение задачи (4.5)-(4.7) для монотонных нейтральных возмущений исследовалось в п.3.3. Полученная аналитическая зависимость чисел Марангони от остальных параметров использовалась в качестве теста при расчетах.

4.2.2 Результаты расчетов

Численное решение задачи (4.5)-(4.7) для произвольных возмущений осуществлялось методом ортогонализации.

Рассмотрим осесимметрические возмущения (т = 0) при подогреве твердого цилиндра (s = 1). В п.3.3 было показано, что при учете деформируемости свободной поверхности, нейтральная кривая для монотонно нарастающих возмущений при больших числах Вебера распадается на три несвязные кривые (кривые 1-3 на рис. 4.7). В рамках рассмотрения только монотонных возмущений данный факт объяснить не удается. Для этого требуется решение полной задачи (4.5)-(4.7) для произвольных возмущений.

На рис. 4.8 приведены результаты расчетов мнимой части комплексного декремента С,- в зависимости от волнового числа, значения параметров те же, что и на рис. 4.7. При учете капиллярности появляется новый механизм, приводящий к потере устойчивости, связанный с геометрией свободной поверхности. Это так называемая рэлеевскан неустойчивость /23/, которая приводит к дестабилизации равновесия относительно возмущений с волновыми числами меньше единицы. Как показано на рисунке, при этом происходит распадение единой кривой, описывающей зависимость С, от cv для недеформируемой свободной границы, на две части (кривые 1, 2). У кривой 1 появляется в области сх < 1 "горбик", характерный для неустойчивой рэлеев-ской моды. Кривая 3 является аналогом устойчивой рэлеевской моды. Заметим, что возмущения, соответствующие кривым 1-3 нарастают либо убывают монотонным образом. В окрестности а = 1, кривые 2 и 3 сливаются, образуя на интервале 1.00056 < а < 1.0045 пару осниллирующих затухающих возмущений (кривая 4), далее, с ростом волнового числа они вновь распадаются на пару монотонных. Таким образом, в области а < 1 нейтральную кривую 2 на рис. 4.7 формируют возмущения, соответствующие кривой 2 на рис. 4.8. А при а > 1, нейтральная кривая 3 на рис. 4.7 обозначает границу устойчивости, относительно возмущений, соответствующих кривой 1 на рис. 4.8.

На рис. 4.9 показано влияние числа Марангони на поведение наиболее опасных мод. При убывании числа Марангони происходит стабилизация возмущений, соответствующих кривой 2, и при М < 265 (М = 265 — минимум нейтральной кривой 2 на рис. 4.7) интервал неустойчивости пропадает, и кривая 2 полностью лежит в нижней полуплоскости. Кривая 1 при этом смещается вниз, и для М < 220 (М = 220 — локальный максимум кривой 3 на рис. 4.7) появляется диапазон волновых чисел, который соответствует затухающим возмущениям. По мере убывания числа Марангони этот диапазон, расширяется в сторону коротких волн.

Таким образом, можно обобщить представленные выше результаты. Известно, что в случае недеформируемой свободной поверхности имеется только один механизм потери устойчивости равновесия. Он связан с неоднородным распределением температуры на свободной границе и действием поверхностных сил. Это термокапиллярная неустойчивость, которая впервые была обнаружена Пирсоном /74/. При учете капиллярности появляется другой механизм, приводящий к потере устойчивости равновесия, — это рэлеевская неустойчивость, которая обусловлена геометрией свободной поверхности.

Как показано на рис. 4.8 и 4.9, учет деформируемости свободной поверхности приводит к распадению наиболее опасной моды на две части. Первую можно условно назвать термокапиллярно-рэлеевской (кривая 1), она соответствует неустойчивости, связанной с взаимодействием рэлеевского и термокапиллярного механизмов возникновения неустойчивости. В области or < 1 — это классическая неустойчивость Рэлея, а при а > 1 — термокапиллярная неустойчивость в чистом виде. Устойчивость равновесия относительно возмущений этого типа возможна только при а > 1, и область устойчивости расположена ниже кривой 3 на рис. 4.7. Вторая часть (кривая 2) представляет из себя "остаточную" пирсоновскую неустойчивость в области а < 1. Эта мода практически совпадает в этом интервале с термокапиллярной модой для We = со. При стремлении а —> 1 происходит стабилизация равновесия относительно этих возмущений, и в дальнейшем они затухают не зависимо от величины числа Марангони. Поскольку при а < 1 под действием рэлеевского механизма равновесие всегда неустойчиво, получаем, что влияние этих возмущений несущественно. Таким образом, они не играют никакой роли при потере устойчивости равновесия.

При уменьшении числа Вебера первая точка разрыва нейтральной кривой на рис.4.7 смещается вправо, вторая точка разрыва — влево, и при We > 1.03 • 105 кривые 1 и 3 сливаются в единую нейтральную кривую, как показано на рис. 4.10, построенную при We — 104 (кривая 1). Нейтральная кривая для остаточных термокапиллярных возмущений (кривая 2 на рис. 4.7) при этом исчезает.

На рис. 4.11 приведена зависимость комплексного декремента от волнового числа для наиболее опасных мод, построенная при

М = 4200. Здесь кривая 1 соответствует термокапиллярно-рэле-евским возмущениям, которые нарастают либо затухают монотонно. Для простоты далее эти возмущения будем называть просто термокапиллярными. На рис. 4.10 границу устойчивости относительно этих возмущений обозначает кривая 1.

Кроме того, как и в случае плоского слоя, учет капиллярности приводит к появлению колебательных возмущений нового типа. Это капиллярные возмущения, которые реализуются в виде поверхностных волн, возникающих вследствие деформаций свободной поверхности. Этот механизм неустойчивости для задачи Пирсона был описан в п.2.1. На рис. 4.11 капиллярным возмущениям соответствует кривая 2. Нейтральные кривые для этих возмущений приведены на рис. 4.12 (кривая 2, 3). Кривая 1 на рис. 4.12 соответствует нейтральной кривой для монотонно нарастающих возмущений (продолжение кривой 1 на рис. 4.10 в области больших волновых чисел). Сравнение полученных численных результатов с расчетами, проведенными для плоского слоя показывает, что качественное поведение капиллярных возмущений не зависит от геометрии свободной границы. В отличие от рэлеевских они наиболее опасны в области больших волновых чисел, где и определяют границу устойчивости равновесия. При этом в цилиндрической области, как и в случае плоского слоя, при больших числах Марангони происходит расщепление кривой 2 на две монотонные моды и реализуется весь механизм возникновения новых возмущений, описанный в п. 2.2. При увеличении числа Вебера происходит сильная стабилизация капиллярных возмущений, так уже при We = 1.2 • 105 потеря устойчивости относительно возмущений этого типа происходит при числах Марангони порядка б • 105 и волновых числах, больших 267.5.

Рассмотрим азимутальные возмущения (т ф 0). Нейтральная кривая для монотонных возмущений в случае We = 10', т = 1 приведена на рис. 4.7 . Таким образом, нейтральные кривые для азимутальных монотонных возмущений не имеют точек разрыва даже при больших числах Вебера. При этом, нейтральная кривая для азимутальных возмущений с т — 1 лежит ниже соответствующей нейтральной кривой для осесимметрических возмущений. Например, при We = 107 кривая 4 имеет локальный минимум М* = 88.2, а минимальное значение нейтральной кривой 3 для осесимметрических возмущений равно 114.5. При увеличении азимутального волнового числа происходит стабилизация равновесия относительно монотонно нарастающих возмущений. Так при т = 2 соответствующая нейтральная кривая лежит существенно выше кривой 4, и с ростом азимутального волнового числа происходит смещение нейтральных кривых вверх. На рис. 4.9 приведена зависимость С,- от а для m = 1. Как показано на рисунке, дестабилизирующее влияние первой азимутальной моды наиболее сильно при небольших волновых числах, и с ростом cv оно становится несущественным. В случае We = 104 нейтральная кривая для монотонных возмущений, построенная при m = 1 (кривая 2 на рис. 4.10) лежит выше кривой 1 только в области небольших волновых чисел. С ростом волнового числа эти кривые практически сливаются, и при о: > 1.6 уже кривая 1 лежит выше кривой 2. Что касается колебательных возмущений, то поведение нейтральных кривых сильно зависит от значения азимутального волнового числа. С ростом m происходит дестабилизация равновесия относительно колебательных возмущений. При этом происходит смещение "носика" нейтральной кривой влево и понижение минимального значения числа Марангони. Зависимость минимальных чисел Марангони М% и критических волновых чисел а* от азимутального волнового числа приведена в табл. 3.1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены уравнения малых возмущений движения жидкости с учетом термокапиллярного и термодиффузионного эффектов для произвольной области.

2. В случае стационарного основного движения выписаны амплитудные уравнения при наличии плоской и осевой симметрий.

3. Исследованы условия потери устойчивости равновесия плоского слоя с линейным и квадратичным распределениями равновесной температуры. Обнаружено, что при учете деформируемости свободной поверхности в жидкости возникает новая, осциллирующая неустойчивость, которая доминирует в коротковолновом диапазоне.

4. В случае плоского слоя изучено влияние ПАВ на термокапиллярную неустойчивость. Показано, что присутствие ПАВ не приводит к сильной стабилизации равновесия, как предполагалось ранее. При этом возникает новый механизм неустойчивости, связанный с наличием примеси, и термокапиллярные возмущения становятся колебательными.

5. Рассмотрено взаимодействие термокапиллярного и термодиффузионного эффектов на устойчивость равновесия плоского слоя. Показано, что учет термодиффузии оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесия.

6. Исследована устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя при нагреве внутренними источниками тепла. Рассмотрены два типа граничных условий для температуры. Получено, что при учете деформируемости свободной поверхности появляется точка разрыва нейтральной кривой для осесиммет-рических возмущений.

7. Изучены условия возникновения термокапиллярной конвекции в цилиндрическом слое при подогреве внутренней твердой поверхности. Получено, что при учете деформируемости свободной поверхности нейтральная кривая может иметь две точки разрыва в зависимости от числа Вебера.

8. Показано, что задачи об устойчивости жидкого цилиндра и плоского слоя при нагреве внутренними источниками тепла являются предельными случаями задачи об устойчивости цилиндрического слоя при безразмерном радиусе внутреннего цилиндра, стремящегося к нулю и к бесконечности соответственно.

9. Для цилиндрического слоя с внутренними источниками тепла дано объяснение точки разрыва нейтральной кривой. Показано, что нейтральная кривая состоит из двух непересекающихся кривых, каждая из которых соответствует одному из механизмов неустойчивости: капиллярному или термокапиллярному.

10. При исследовании устойчивости равновесия обнаружены колебательные капиллярные возмущения, которые являются наиболее опасными для некоторых интервалов волновых чисел. Показано, что для недеформируемой свободной поверхности возможны только монотонные возмущения.

11. В предположении недеформируемости свободной поверхности исследована устойчивость стационарного осесимметрического течения. Показано, что уменьшение безразмерной толщины слоя может приводить к понижению устойчивости для осесимметрических возмущений.

12. Исследовано влияние капиллярных и термокапиллярных сил на устойчивость движения. Получено, что к потере устойчивости приводит взаимодействие трех основных механизмов неустойчивости: капиллярного, гидродинамического и термокапиллярного.

1. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. - 279 с.

2. Андреев В.К., Рябицкий Е.А. Малые возмущения термокапиллярного движения в случае цилиндра. Красноярск: ВЦ СО РАН, 1984. - Деп. ВИНИТИ 27.11.84, № 7788-84. - 44 с.

3. Андреев В.К., Родионов А.А., Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоском слое при под действием внутренних источников тепла // ПМТФ, № 2. 1989. - С. 101-108.

4. Антимиров М.Я., Лиепиня В.Р. Возникновение термокапиллярной конвекции в цилиндрическом слое жидкости в условиях невесомости // Изв. АН Латв. ССР. Физика и техника, № 3. 1978. - С. 90-100.

5. Бабский В.Г., Скловская И.Л. Гидродинамика в слабых силовых полях. Возникновение стационарной термокапиллярной конвекции в шаровом слое жидкости в условиях невесомости // Изв. АН СССР. МЖГ, Kq 3. 1969. - С. 92-99.

6. G. Бадратинова Л.Г. Термокапиллярная неустойчивость равновесия жидкого слоя, ограниченного свободными поверхностями // Динамика сплошной среды, № 46. 1980. - С. 14-22.

7. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости М.: Мир, 1971. - 350 с.

8. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ, № 3. 1966. - С. 69-72.

9. Бирих Р.В. Конвективная неустойчивость. Влияние тонких проницаемых перегородок и высокочастотных вибраций. Диссерт. д.ф.-м.н. - Пермь: ПГУ, 1999. - 264 с.

10. Бирих Р.В.,Рудаков Р.Н. Термокапиллярная неустойчивость деформируемой жидкой пленки // Известия РАН МЖГ, № 5.- 1996. С. 30-36.

11. Бугаев А.А., Лукошкин В.А., Урпин В.А., Яковлев Д.Г. Термокапиллярные явления и образование рельефа поверхности под воздействием пикосекундных лазерных импульсов // ЖТФ. 1988.- Т. 58, № 5. С. 908-914.

12. Веденов А.А., Гладуш Г.Г. Физические процессы при лазерной обработке металлов. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 206 с.

13. Гапонов С.А., Маслов А.А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск: Наука, 1980. - 144 с.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

15. Герщуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

16. Гидромеханика невесомости / Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д. и др. М.: Наука, 1976. - 504 с.

17. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН.- 1961. Т. 16, № 3199. - С. 171-174.

18. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. - 366 с.

19. Гончаренко Б.Н., Уринцев A.J1. Об устойчивости движения, вызванного термокапиллярными силами // ПМТФ, № 6. 1977.- С. 94-98.

20. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир, 1981.- 638 с.

21. Зейтунян Р.Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бе-нара-Марангони // УФН. 1998. - Т. 168, № 3. - С. 259-286.

22. Космическое материаловедение / Б.Фойербах, Г.Хамахер, Р.Нау-ман. М.: Мир, 1989. - 478 с.

23. Ламб Гидродинамика. M.-JI.: Гостехиздат, 1947. - 225 с.

24. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.- 736 с.

25. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физмат-гиз, 1959. - 700 с.

26. Линде X., Шварц П., Вильке X. Диссипативные структуры и нелинейная кинетика неустойчивости Марангони / Гидродинамика межфазных поверхностей: Сб. статей 1979 1981 г.г. Пер.с англ. / Сост. Буевич Ю.А., Рабинович JI.M. М.: Мир, 1984.- С. 77-116.

27. Линь Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. - 196 с.

28. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости / Под ред. А.Д.Мышкиса. Киев: Наукова думка, 1992. - 592 с.

29. Непомнящий А.А., Симановский И.Б. О колебательной конвективной неустойчивости равновесия двухслойных систем при наличии термокапиллярного эффекта // ПМТФ, № 1. 1985.- С. 62-65.

30. Непомнящий А.А., Симановский И.Б. Термокапиллярная конвекция в двухслойных системах при наличии поверхностно-активных веществ на границе раздела // Изв. АН СССР. МЖГ, № 2. 1986.- С. 3-8. ,

31. Полежаев В.И., Белко М.С., Верезуб Н.А. и др. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука, 1991. - 240 с.

32. Проблемы космического производства / В.С.Авдуевский, И.В.Бар-мин, С.Д.Гришин и др. М.: Машиностроение, 1980. - 220 с.

33. Рябицкий Е.А. Об устойчивости термокапиллярного движения в цилиндрическом слое // ПМТФ, № 4. 1989. - С. 50-52.

34. Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в цилиндрическом слое при различных способах нагрева // ПМТФ, № 1. 1991. - С. 28-34.

35. Рябицкий Е.А. Численное иследование устойчивости равновесия цилиндрического слоя жидкости при наличии внутренних источников тепла // ПМТФ, № 6. 1991. - С. 67-72.

36. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ, Ко 3. 1992. - С. 19-23.

37. Рябицкий Е.А. О термокапиллярной неустойчивости равновесия плоского слоя при наличии внутренних источников тепла // Изв. РАН. МЖГ, Kq 2. 1991. - С. 27-31.

38. Рябицкий Е.А. Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ, К> 1. 1993. - С. 6-10.

39. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии растворимого поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ, № 1. 1996. - С. 3-8.

40. Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре // Изв. РАН. МЖГ, № 3. 2000. - С. 3-9.

41. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ, № 3. 2001. - С. 3-12.

42. Рябицкий Е.А. Об устойчивости термокапиллярного течения в цилиндрическом слое // Тез. доклада на IV Всесоюзном сем. погидромех. и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. - С. 50-51.

43. Рябицкий Е.А. О возникновении термокапиллярного движения в цилиндрическом слое под действием радиального градиента температуры // Аннотации докладов Восьмого Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь: УрО РАН, 2001. - С. 127.

44. Справочник химика / Под ред. Б.П.Никольского и др. Т. 1.- Л.: Химия, 1971. 1071 с.

45. Селищев С.В., Углов А.А. Термоградиентная устойчивость свободной плоской поверхности жидкости к возникновению капиллярных волн // Письма в ЖТФ. 1988. - Т. 14, № 28.- С. 2296-2299.

46. Таблицы физических величин / Под ред. И.К.Кикоина. М.:1. Атомиздат, 1976. 1006 с.

47. Хайбибуллин И.Г., Штырков Е.И., Зарипов М.М. Лазерный отжиг имплантированных полупроводников // Изв. АН СССР. Сер. физ.- 1981. Т. 45, № 8. - С. 1464-1473.

48. Andreev V.K., Ryabitskii Е.А. Numerical investigation of instability of viscous driven by thermocapillarity // Soviet Union Japan Symposium on Comput. Fluid Dynamics. - USSR, Khabarovsk, 1988.- P. 11-21.

49. Andreev V.K., Ryabitskii E.A. Numerical Investigation of thermocapillarity instability of Marangony convection in cylindric layer // Mic-rograviti science and technology. 1994. - V. VII. - P. 36-40.

50. Andreev V.K., Ryabitskii E.A. Perturbations of the thermal diffusion rriotio of liquid with free boundary // Russ. Jour. Numer. Anal. Math. Modeling. 2000. - V. 15, № 2. - P. 111-125.

51. Berg J.C., Acrivos A. The effect of surface active agents on convection cells induced by surface tension // Chem. Engeng. Sci. 1965.- V. 20, № 8. P. 737-745.

52. Bauer H.F. Velocity distribution due to thermal Marangoni effect in a liquid column// ZAMM. 1982. № 9. - P. 471-482.

53. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. Gen. Sci. Pure Appl. 1900. - V. 11. - P. 1261-1268.

54. Bergeon A., Henry D., Benhadid H., Tuckerrnan L.S. Marangoni convection in binary mixtures with Soret effect //J. Fluid Mech.- 1998. V. 375. - P. 143-177.

55. Block M.J. Surface tension as the cause Benard cells and surface deformation in a liquid film // Nature. 1956. - V. 178, № 4534.- P. 650-651.

56. Boeck Th., Thess A. Inertial Benard-Marangoni convection // J. Fluid. Mech. 1997. - V. 350. - P. 149-175.

57. Davis S.H. Thermocapillary Instabilities//Annu. Rev. Fluid Mech.- 1987. P. 403-435.

58. Davis S.H., Xu J.-J. Liquid bridges with thermocapillary // Jour. Phys. Fluids. 1983. - V. 26, № 10. - P. 2880-2886.

59. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability.- Oxford: Clarendon Press, 1961. 525 p.

60. Garcia-Ybarra P.L., Velarde M.G. Oscillatory Marangoni-Bcnard interfacial instability and capillary-gravity waves in single- and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion // Phys. Fluids 30(6). 1987. - P. 1649-1655.

61. Garcia-Ybarra P.L., Castillo J.L., Velarde M.G. Benard Marangoni convection with a deformable interface and poorly conducting boundaries // Phys. Fluids 30(9). - 1987. - P. 2655-2661.

62. Georis Ph., Hcnnenberg M., Simanovskii I.B. et al. Thermocapillary convection in multilayer system // Phys. Fluids A. 1993. - V. 5, № 7. - P. 1575-1582.

63. Golovin A.A., Nepomnyshchy A., Pismen L.M. Nonlinear evolution and secondary instabilities of Marangoni convection in liquid-gas system with deformable interface // J. Fluid Mech. 1997. - V. 341.- P. 317-341.

64. Golovin A.A., Nepomnyshchy A., Pismen L.M. Interaction between shot-scale Marangoni convection and long-scale deformational instability // Phys. Fluids. 1994. - V. 6, № 1. - P. 34-48.

65. Joo S.W. Marangoni instabilities in liquid mixtures with Soret. effects // J. Fluid Mech. 1995. - V. 293. - P. 127-145.

66. Lam T.T., Bayazitoglu Y. Effects of internal heat generation arid variable viscosity on Marangoni convection // Numerical Heat Transfer. 1987. - V. 11. - P. 165-182.

67. Miles J.W. The hydrodinamic stability of a thun film of liquid in uniform shearing motion // J.Fluid Mech. 1960. - V. 8.- P. 593-610.

68. Mundrane M., Zebib A. Two- and three-dimensional buoyant thermocapillary convection // Phys. Fluids A. 1993. - V. 5, № 4.- P. 810-818.

69. Nield D.A. Surface tension and buoyancy effect in cellular convection // J. Fluid Mech. 1964. - V. 19, № 3. - P. 341-352.

70. Nield D.A. Streamlines in bernard convection cells induced by surface tension and buoyanoy // ZAMP. 1966. - V. 17, № 2. - P. 226-230.

71. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension //J. Fluid Mech. 1958. - V. 5, № 4. - P. 489-500.

72. Palmer H. J., Berg J.C. Hydrodynamic stability of surfactant solutions heated from below // J. Fluid Mech. 1972. - V. 51. - Pt. 2.- P. 385-402.

73. Ryabitskii E.A. Thermocapillarity instability of liquid layer with internal heat generation // Micrograviti science and technology.- 1994. V. VII, March. - P. 20-23.

74. Ryabitskii E.A. Oscillatory thermocapillarity instability of liquid layer with heated from below // Micrograviti science and technology.- 1995. V. VII, August. - P. 88-92.

75. Scriven L.E., Sterling C.V. The Marangoni effects // Nature. 1960.- V. 187, № 4733. P. 186-188.

76. Scriven L.E., Sterling C.V. On cellular convection driven by surface tension gradients: effect of mean surface tension and suface viscosity // J. Fluid Mech. 1964. - V. 24, № 2. - P. 321-340.

77. Smith К.A. On convective instability induced by surface-tension gradients // J.Fluid Mech. 1966. - V. 24. - Pt. 2.- P. 401-414.

78. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech.- 1983. V. 132, № 7. - P. 119-144.

79. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part 2. Surface wave instabilities //J. Fluid Mech.- 1983. V. 132, № 7. - P. 145-162.

80. Sternling C.V., Scriven L.E. Interfacial turbulence: hydrodynamics instability and Marangoni effect // AIChE Journal. 1959. - V. 5, № 4. - P. 514-520.

81. Vidal A., Acrivos A. Nature of the neutral state in surfacetension driven convection // Phys. Fluids. 1966. - V. 9, № 3.- P. 615-616.

82. Xu J.-J., Davis S.H. Convective thermocapillary instabilities in liquid bridges//Jour. Phys. Fluids. 1984. - V. 27, № 5. - P. 1102-1107.

83. Xu J.-J., Davis S.H. Instability of Capillary Jets with thermocapil-larity // Jour. Fluid Mech. 1985. - V. 161. - P. 1-25.

84. Smith M.K., Davis S.H. The instability of sheared liquid layers // J. Fluid Mech. 1982. - V. 121, № 7. - P. 189-206.